¿Qué son las ecuaciones de 1.er y 2.o grado?
e e
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
a) x + 3 = 8 b) 5x = 20 c) x 2 = 81 d) x(x – 2) = 0
¿Cómo se resuelven?
Ecuación de 1.er grado
Una ecuación de 1.er grado con una incógnita es del tipo: ax + b = 0, a ≠ 0, o bien una expresión más compleja que, después de ser simplificada, queda como la anterior.
Ecuación de 1.er grado con una incógnita
Una ecuación de 1.er grado con una incógnita es una ecuación que solo tiene una incógnita y en la que el mayor exponente de la variable es uno.
resolver una ecuación de 1.er grado, se eliminan los denominadores y los paréntesis, se trasponen los términos semejantes, se reducen estos y se despeja la incógnita.
=
Ecuación de 2.º grado completa
Y
Una ecuación de 2.° grado es completa si es de la forma:
ax 2 + bx + c = 0; a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
B(–1, 0)
= x 2 – 2x – 3
Interpretación gráfica
La interpretación gráfica de las soluciones de una ecuación f (x) = 0 son las abscisas de los puntos de corte de la función y = f (x ) con el eje X
La ecuación de 2.º grado se resuelve aplicando la fórmula: x
Ecuaciones de 2.º grado incompletas
Una ecuación de 2.º grado incompleta es aquella a la que le falta el término de 1.er grado, b = 0, o el término independiente, c = 0, o los dos, b = c = 0
• Resolución de ax 2 + c
Se resuelve despejando x 2 y haciendo la raíz cuadrada.
3 Resuelve la ecuación: 16x 2 – 9 = 0
x
• Resolución de ax 2 + bx = 0
Se resuelve sacando factor común a x. Una solución es x = 0
1
x – 2 2 –x + 1 6 + 7 3 = x + 3 4 m.c.m. (2, 6, 3, 4) = 12 6(x – 2) – 2(x + 1) + 28 = 12x + 9 ⇒ 6x – 12 – 2x – 2 + 28 = 12x + 9 6x – 2x – 12x = 9 + 12 + 2 – 28 ⇒ – 8x = – 5 ⇒ 8x = 5 ⇒ x = 5 8
Para
1 Resuelve la ecuación:
– b ± √
=
b 2 – 4 ac 2a
16x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9 16 ⇒ x = ± √ 9 16 = ± 3 4 ⇒ x 1 = 3 4 , x 2 = –3 4
A(3,
y
A
2 Resuelve la ecuación: x 2 – 2 x – 3 = 0 x = 2 ± √ 4 + 12 2 = B
2 ± 4 2 = 3 – 1 x1 = 3, x2 = – 1 x2 – 2x – 3
0) X
(3, 0)
(– 1, 0)
70 UNIDAD 4
4 Resuelve la ecuación:
2 – 5x = 0 x ( x – 5) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 5
Número de raíces reales
Una ecuación de 2.° grado puede tener dos raíces reales, una o ninguna. Según el valor del discriminante Δ = b2 – 4ac, se pueden presentar tres casos. Discriminante Δ > 0
Número de raíces
Tiene dos raíces reales y distintas, ambas son de multiplicidad 1, impar.
Tiene una sola raíz real doble o de multiplicidad 2, par.
Interpretación Corta en dos puntos al eje X Es tangente al eje X
Símbolo
Δ es la letra griega delta mayúscula.
Descomposición factorial del trinomio de 2.º grado
Raíces de la ecuación
Las raíces de la ecuación:
a ( x – x1)( x – x2) = 0
son:
x = x1, x = x2
6 Halla las raíces de:
( x – 5) ( x + 3) = 0
x1 = 5, x2 = – 3
8. 9x 2 = 4 9. 5x
12. Determina, sin resolverlas, cuántas soluciones tie
nen las siguientes ecuaciones:
a) x 2 + 4x – 5 = 0
c) x 2 + 6x + 9 = 0
b) 2 x 2 – 3x + 7 = 0
d) 3x 2 – 4x + 1 = 0
3x + 7 24 –1 – 4x 6 = – 4 – x –2x – 5 3
6. 2 x 2 – 3x = 0 7. 5x 2 – 14x – 3 = 0
13. Halla la descomposición factorial de:
a) 2 x 2 – 5x – 3
c) 3x 2 – x – 2
b) x 2 – 4x + 4
d) 5x 2 – 3x
Δ = 0 Δ < 0
No
tiene raíces reales.
No
Ejemplo x 2 +
Δ = 4 +
>
x 2 – 4x + 4 = 0 Δ = 16 – 16 = 0 x 2 – 4x + 5 = 0 Δ = 16 – 20 = – 4 < 0 Dibujo X Y y = x 2 + 2x – 3 A(– 3, 0) B(1, 0) X Y y = x 2 – 4x + 4 A(2, 0) y = x 2 – 4x + 5 X Y
corta al eje de abscisas X
2 x – 3 = 0
12 = 16
0
del trinomio de 2.° grado es: ax 2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) donde x1 y x2 son raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 5 Halla la descomposición factorial de x 2 – 2 x – 15 En primer lugar se hallan las raíces de la ecuación x 2 – 2 x – 15 = 0 x = 2 ± √ 4 + 60 2 = 2 ± 8 2 5 – 3 ⇒ x1 = 5, x2 = – 3 La descomposición factorial es: x 2 – 2 x – 15 = (x – 5)(x + 3) Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. x – 2 12 –x + 1 4 = x –11 4 2. x – 6 5 = x – 5 4 + 1 – x 6 –7 10 3. x + 1 4 – 2 X x –6 5 C = 3x – 1 5 + x 2 4. x – 2 3 + x = x – 4 5 + 5x + 14 10 5.
La descomposición factorial
2 – 24x – 5 = 0 10. ( x + 2)(x – 1) = x + 7 11. x 2 + 1 5 –x 2 + x 10 = 5x – 3 10
71 Resolución de ecuaciones
Y
¿Qué son las ecuaciones exponenciales y logarítmicas?
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
a) 3x = 9 b) 3x = 1 9 c) 3x = 3 d) 3x = 1
e) log3 x = 0 f) log3 x = 1 g) log3 x = 2 h) log3 x = – 2
¿Cómo se resuelven?
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver las ecuaciones exponenciales, estas se agrupan en tres tipos:
Propiedades de las potencias a
• Ambos miembros se pueden poner como potencia de la misma base
Para resolverlas, se ponen ambos miembros como potencias de la misma base y se igualan los exponentes.
11 Resuelve la ecuación: 2 x + 3 + 2 x = 72
No hay un procedimiento algebraico que permita resolver determinadas ecuaciones exponenciales.
2 x + 5 = 3 x
• Se reduce a una ecuación de 2.o grado
Para resolverlas, se hace el cambio de variable a x = z, con lo que queda una ecuación de 2.° grado en la variable z. Para cada valor de z, se hallan los valores de x que tengan sentido.
12 Resuelve la ecuación: 9x – 7 ∙ 3 x – 18 = 0 32 x – 7 ∙ 3 x – 18 = 0 porque 9 = 32 ⇒ 9x = (32)x= 32x
Se hace el cambio de variable 3 x = z ⇒ 32 x = z 2 z
Deshaciendo el cambio, 3 x = z, se tiene: 3 x = 9 ⇒ 3 x = 32 ⇒ x = 2 3x = – 2 no tiene solución porque las potencias de 3 son siempre positivas.
3
e e
23 ∙ 2 x + 2 x = 72 porque 2x + 3 = 23 · 2x 8 ∙ 2 x + 2 x = 72
∙
2 x =
2 x =
9
2 x = 72 Se simplifica dividiendo entre 9
8
23 ⇒ x = 3
⇒
–
2 – 7z – 18 = 0
z = 7 ± √ 49 + 72 2 = 7 ± 11 2 = 9
2
0 = 1, a ≠ 0 a 1 = a a n ∙ a p = a n + p a n : a p = a n – p (a n)p = a n ∙ p (a ∙ b)n = a n ∙ b n (a : b)n = a n : b n
Observa
74 UNIDAD 4
• No es de los tipos anteriores y se pueden aplicar logaritmos
Se deja en cada miembro un solo término y se aplican logaritmos.
13 Resuelve la ecuación: 5x – 2 – 3 x = 0
Se pasa el término negativo al segundo miembro: 5x – 2 = 3 x
Se aplican logaritmos decimales a los dos miembros:
( x – 2)log 5 = x log 3
x log 5 – 2 log 5 = x log 3
x log 5 – x log 3 = 2 log 5
x(log 5 – log 3) = 2 log 5
x = 2 log 5 log 5 – log 3 = 6,30 ⇒ x = 6,30
2 × log 5 ÷ ( log 5 – log 3 ) log 6,30
Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita aparece como argumento de un logaritmo.
Para resolver las ecuaciones logarítmicas, se aplican las propiedades de los logaritmos hasta obtener que cada miembro sea el logaritmo de un valor.
14 Resuelve la ecuación logarítmica: log (5x + 3) – log x = 1 log 5x + 3 x = log 10 Se ha utilizado que 1 = log 10
5x + 3 x = 10
5x + 3 = 10x
– 5x = – 3
5x = 3 x = 3 5
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
Logaritmos decimales
log 100 = 2
log 10 = 1
log 1 = 0
log 0,1 = – 1
log 0,01 = – 2
Logaritmos
log a p = x ⇔ a x = p
log a a = 1
log a 1 = 0
Propiedades
a) log (p ∙ q) = log p + log q
b) log p q = log p – log q
c) log pn = n ∙ log p
d) log √ p n = log p n
a) 3 x = 27
+ 1 = 1 34. a) 5x – 1 = 25
2
= 1 8 35. a) log x = 0
log 2 x = 4 36. a) log x 3 = 1
ln x = 1
Resuelve las siguientes ecuaciones, en las soluciones decimales redondea el resultado a 4 decimales:
37. 2 x 2 – 1 = 8
38. 4 x + 25 = 3 ∙ 2 x + 2
39. 5x + 51 – x = 6
2 48. 2 ln x – ln 5x = ln 2
b)
b)
b)
b)
33.
7x
x
3 x + 3 x + 1 + 3 x + 2
9x – 6 ∙ 3 x + 1 + 81 = 0
4 x = 61 – x
24 –
x = 0
x + 1 = 31 – 2 x
40.
= 117 41.
42.
43.
25
44. 5
45. log x 16 = 2
46. log x + log 80 = 3
47. 2 log x – log(x + 24) =
75 Resolución de ecuaciones
¿Cómo se resuelven problemas de ecuaciones?
e
Calcula mentalmente:
a) El lado de un cuadrado cuya área es de 36 m2
b) Dos números enteros consecutivos cuya suma sea 15
¿Qué procedimiento se aplica?
Nombres de las incógnitas
Para resolver un problema se debe leer detenidamente el enunciado, hasta saber cuáles son la incógnita, los datos, las preguntas y las relaciones.
1. Incógnita x: la ecuación se planea más fácilmente si la incógnita se asocia al valor más pequeño.
2. Preguntas: es lo que se pide en el problema.
3. Planteamiento y operaciones: se plantea la relación, se transforma en una ecuación y se resuelve.
4. Solución y comprobación: se escriben las respuestas a las preguntas que propone el problema, y se comprueba que cumplen las relaciones dadas.
Problemas numéricos
En los problemas numéricos se debe hacer siempre un esquema.
1. Incógnita:
• x = número menor
• Número mayor: x + 1
2. Pregunta: Halla dos números enteros consecutivos.
Suma de
los dos números
N.° menor: x
Los números son: x = 2, x + 1 = 3
Comprobación: 2 + 3 2 · 3 = 5 6
La solución 3/5 no es válida, ya que no es un número entero.
76 UNIDAD 4
4
e
15 Halla dos números enteros consecutivos cuya suma dividida entre su producto sea 5/6 N.° mayor: x + 1 Su suma: x + x + 1 Su producto: x(x + 1) La suma entre el producto: x + x + 1 x (x + 1) = 5 6
Producto
números = 5 6 x + x + 1 x ( x + 1) = 5 6 ⇒ 2 x + 1 x 2 + x = 5 6 6(2x + 1) = 5(x 2 + x) 12x + 6 = 5x 2 + 5x ⇒ 5x 2 + 7x + 6 = 0 5x 2 7x 6 = 0 x = 7 ± √ 49 + 120 10 = 7 ± 13 10 = 2 6 10 = 3 5 x1 = 2, x2 = 3 5
3. Planteamiento y operaciones:
de los dos
4. Solución y comprobación:
Debemos asociar el nombre de la incógnita al valor menor. A la incógnita le podemos llamar x o la inicial del objeto al que representa.
Problemas geométricos
En los problemas geométricos se debe hacer siempre un dibujo, con las medidas proporcionales a los datos del problema, y un esquema.
16 En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 3 cm más que el otro, y la hipotenusa mide 3 cm más que el cateto mayor. Calcula la longitud de los tres lados.
1. Incógnita:
• x = Cateto menor
• Cateto mayor: x + 3
• Hipotenusa: x + 6
2. Pregunta:
Calcula la longitud de los tres lados.
3. Planteamiento y operaciones: Aplicando el teorema de Pitágoras:
4. Solución y comprobación:
Si la longitud del cateto menor es 9 cm, la del cateto mayor es 9 + 3 = 12 cm, y la de la hipotenusa es 12 + 3 = 15 cm
Se comprueba que: 92 + 122 = 81 + 144 = 225; 152 = 225
La solución x = 3 no es válida porque no tiene sentido.
49. Halla dos números tales que su suma sea 10 y la diferencia de sus cuadrados sea 60
50. Se mezcla avena de 0,4 €/kg y centeno de 0,25 €/kg para hacer pienso para vacas. Si se hacen 5 000 kg de pienso a 0,31 €/kg, ¿cuántos kilos de avena y de centeno se han utilizado?
51. Dos motos salen juntas de Granada para recorrer 560 km a velocidad constante. La segunda moto lleva una velocidad de 10 km/h más que la primera, y tarda una hora menos en hacer el recorrido. Calcula las velocidades de las dos motos.
52. Halla las dimensiones de un rectángulo en el que la base es 2 cm mayor que la altura y cuya área sea de 24 cm2
53. La edad de un padre es seis veces la del hijo. Si dentro de dos años la edad del padre será cinco veces la del hijo, calcula la edad de cada uno.
54. En una tienda se compraron unos adornos de porcelana por 629 €. Se rompieron tres y los que quedaron se han vendido a 4 € más de lo que costaron. Si se ha obtenido un beneficio de 85 €, ¿cuántos adornos se compraron?
x + 3 x + 6 x
Cateto
Aplicando el teorema de Pitágoras: x 2 + (x + 3)2 = (x + 6)2
Cateto mayor: x + 3 Hipotenusa: x + 6
menor: x
x 2 + (x + 3)2 = (x + 6)2 x 2 + x 2 + 6x + 9 = x 2 + 12x + 36 ⇒ x 2 6x 27 = 0 x = 6 ± √ 36 + 108 2 = 6 ± 12 2 = 9 3 x1 = 9, x2 = 3
77 Resolución de ecuaciones
17 Resuelve la ecuación:
el cambio de variable x 2 = z, se tiene:
La solución negativa no es válida porque los números negativos no tienen logaritmo.
Resuelve las siguientes ecuaciones: 55. x4 – 29x2 + 100 = 0 56. x + 1 x – 2 + x – 1 x + 2 = 2x + 16 x2 – 4 57. √ x 2 – 3 x + √ x 2 + x + 4 = 4 58. x x + 3 = 3 2 –4 x + 1 59. 2 x – 1 + 1 2 x – 3 = 5 60. 4 x – 2 x – 1 – 14 = 0 61. log (10 – x 2) log (5 – 2x) = 2 62. 3 x2 – 4 + 3 x2 – 5 = 162 · 2 x2 – 8 63. 2 √x 3 – √x = 3 + √x 3 √x 64. log 3√x – log 3√4 = 1 3
x 4 – 7x 2 + 12 = 0
z 2 – 7z + 12 = 0 z = 7 ± √49 – 48 2 = 7 ± 1 2 = 4 3 Deshaciendo el cambio de variable x 2 = z, se tiene: • x 2 = 4 ⇒ x = 2, x = – 2 • x 2 = 3 ⇒ x = √3 , x = – √3 Las raíces son: x 1 = 2, x2 = – 2, x3 = √3 , x4 = – √3 18 Resuelve la ecuación: √x + 4 – √x – 1 = 1 √x + 4 = 1 + √x – 1 ⇒ X√ x + 4 C2 = X1 + √ x – 1C2 x + 4 = 1 + 2√x – 1 + x – 1 ⇒ 4 = 2√x – 1 ⇒ 2 = √x – 1 22 = X√ x – 1 C2 ⇒ 4 = x – 1 ⇒ x = 5 Comprobación: √5 + 4 – √5 – 1 = √9 – √4 = 3 – 2 = 1 19 Resuelve la ecuación: 2 x + 1 + 2 x + 2 x – 1 = 28 2 ∙ 2 x + 2 x + 2x 2 = 28 ⇒ 4 ∙ 2 x + 2 ∙ 2 x + 2 x = 56 7 ∙ 2 x = 56 ⇒ 2 x = 8 ⇒ 2 x = 23 ⇒ x = 3 20 Resuelve la ecuación: 2 log x = log (2 x + 3) log x 2 = log (2 x + 3) ⇒ x 2 = 2 x + 3 ⇒ x 2 – 2 x – 3 = 0 x = 2 ± √4 + 12 2 = 2 ± 4 2 = 3 – 1 Solución: x = 3
Haciendo
78 UNIDAD 4
21 Halla un número sabiendo que la suma de su cuadrado con su potencia a la cuarta es 90
1. Datos:
• El número: x
• El cuadrado del número: x 2
• El número a la cuarta potencia: x 4
2. Pregunta:
• Halla el número.
3. Planteamiento y operaciones:
x 2 + x 4 = 90
Haciendo el cambio de variable x 2 = z, tenemos:
z + z 2 = 90 ⇒ z 2 + z – 90 = 0
z = – 1 ± √1 + 360 2 = – 1 ± 19 2 = 9 – 10
x 2 = 9
x = 3, x = – 3
x 2 = – 10 no tiene solución real.
4. Solución: El número puede ser 3 y –3
22 El polonio tiene un periodo de semidesintegración de 140 días, es decir, cada 140 días se transforma en la mitad de su masa. Si tenemos 250 g de polonio, ¿en cuánto tiempo se transformará en 25 g?
1. Datos:
• Inicialmente tenemos 250 g de polonio.
• Periodo de semidesintegración: 140 días.
2. Pregunta:
• ¿En cuánto tiempo se transformará en 25 g?
3. Planteamiento y operaciones:
4. Solución: Tardará 464,8 días
65. En la actualidad la edad de una madre es el triple que la de su hijo, y dentro de 12 años la edad de la madre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuántos años tienen en este momento la madre y el hijo?
66. Halla las raíces de una ecuación de segundo grado, sabiendo que su suma es 10 y su producto es 21
67. Halla un número tal que al elevarlo al cuadrado sea 210 unidades mayor.
68. Halla un número que exceda a su raíz cuadrada en 156 unidades.
Masa final = Masa inicial · X 1 2 Ct 25 = 250 ∙ X 1 2 Ct ⇒ X 1 2 Ct = 0,1 ⇒ 2t = 10 t ∙ log 2 = 1 t = 1 log 2 = 3,32
∙ 140 = 464,8 días
3,32
79 Resolución de ecuaciones
1 ¿Qué son las ecuaciones de 1.er y
2.o grado?
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
69. 4x 2 – 25 = 0
70. ( x – 2)(x + 3) = 0
71. x Xx + 1 2 C = 0
72. 6x 2 – 5x = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones:
73. x – 2 3 –x – 4 5 = x + 3 10
74. x + 1 6 + 1 – 4x 5 = 4x + 1 3
75. x ( x – 3) = 18
76. x + 1 3 –3x – 2 9 = 2x – 1 18 + 5 9
77. x2 + 3 4 = 1 – x – 1 8
78. 3( x – 2) + ( x – 2)x = 2 x
79. x 3 –x – 2 12 – x = 3x – 7 3
80. ( x – 3)( x – 1) = 15
81. x + 1 2 + x + 1 – x 5 = 2
82. 5(1 – x) (x – 3) 4 + 14 = 2 ( x – 3)
83. 3x + 2 4 –2x – 1 6 + x = 3x – 1 2 + 3 4
84. 3x + 2 4 – ( x – 3) = x – 1 3 + 2x – 5 4
85. ( x + 2)(x – 2) = ( x + 3)2 – 7
86. 3x 2 + 1 + x2 + 4 4 = 0
87. 4( x – 2)( x – 1) + 3( x2 – 1) = 9
88. 2 x ( x + 2) – (4 – x)(x – 1) = 7x ( x – 1)
2 ¿Qué son las ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales?
Resuelve las siguientes ecuaciones:
89. x 6 – 9x 3 + 8 = 0
90. x + 12 x = 7
91. x 4 – 8x 2 – 9 = 0
92. 1 x + 3 = 1 x –1 6
93. x = – 2 + √16 + x2
94. x 4 – 10x 2 + 9 = 0
95. 1 x – 3 = 11 2 – x
96. x = 2 + √ x
97. 2 x 4 – 3x 2 – 20 = 0
98. x – √ 25 – x 2 = 1
99. 1 x + 1 + 2 x + 2 = 10 3
100. 2 x – 3 + 1 x + 3 = 6 x 2 – 9
101. 11 + √x2 – 5x + 1 = 2 x
102. 1 x –1 x + 2 = –4 3 (x – 3)
103. 9x 4 – 5x 2 – 4 = 0
104. √x + 1 – √7x + 4 = – 3
105. 1 x – 1 + 1 x – 2 = 3 2
106. x x + 1 + 2 x – 1 = 8 x 2 – 1
107. x 6 – 28x 3 + 27 = 0
108. x + 2 x – 1 –4 – x 2x = 3 2
109. 36x 4 – 13x 2 + 1 = 0
110. √5x – 4 + √2x + 1 = 7
111. 2 x + √x2 – 6x + 2 = 1
80 UNIDAD 4
112. x x + 1 + 4 9 = x x + 4 113. x x + 3 + x – 2 x – 1 = 1 114. √5x2 + 3x – 4 = 4x + 24 115. x 4 – 12 x 2 + 32 = 0
116. x – 1 x –3x 3x – 2 = 3 4
117. 6√x = x √x + 5
3 ¿Qué son las ecuaciones exponenciales y logarítmicas?
Resuelve las siguientes ecuaciones, en las soluciones decimales redondea el resultado a 4 decimales:
138. log x 2 – log 3 = log x + log 5
139. log x + log(3x + 5) = 2
140. log (22 – x) = – 1 + log x
141. 2 ln x + ln (x 2 + 2) = ln 3
142. log x + log 4 = log (x + 1) + log 3
143. 2 log x + log x 4 = 6
144. 3 log x = 2 log x + log 3
145. 2 log x = 4 + log x 10
146. 3 log 2 x – 2 log x = log (4x + 1)
147. 3 + log 3x 2 = 2 log x
148. log ( x – 2) = 1 + log 2 – log (x – 3)
149. log x = 1 – log (7 – x)
150. 3 log (6 – x) – log (72 – x3) = 0
151. log √3x + 1 + log 5 = 1 + log √2x – 3
152. ( x 2 – 5x + 5) log 5 + log 20 = log 4
4 ¿Cómo se resuelven problemas de ecuaciones?
153. Halla dos números que sumen 8 y cuyo producto sea 15
154. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. Si el cateto mayor mide 7 cm más que el cateto menor, ¿cuál es la longitud de los catetos?
155. Se ha mezclado aceite de girasol de 0,8 €/L con aceite de oliva de 3,5 €/L. Si se han obtenido 300 litros de mezcla a 2,6 €/L, calcula cuántos litros se han utilizado de cada clase de aceite.
9x = 3 x + 6
132. 2 x + 1 + 2 x + 2 x – 1 = 14
133. 2 x = X 1 3 Cx – 1
134. 5x2 + 2 x = 1
135. e x – 1 = 2 x + 1
136. 33x – 2 = 9x2 – 2
137. log( x 2 + 3x + 40) = 1 + log(3x – 1)
156. Un coche y una moto salen a la vez de dos ciudades, A y B, el uno hacia el otro por la misma carretera. La velocidad del coche es de 100 km/h y la de la moto es de 70 km/h. Si la distancia entre las ciudades es de 340 km, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
157. Dos obreros, trabajando juntos, tardan 12 días en realizar una obra. Se sabe que el segundo obrero, trabajando solo, tardaría 10 días más que el primero. Calcula el tiempo que emplean en realizar dicha obra por separado.
119.
121.
122.
1
3 x
1
124.
126.
127.
129.
118. 2 ∙ 2 x + 4 x = 80
25 – x2 = 1 16 120. 52 x – 2 – 6 ∙ 5x + 125 = 0
2 x + 2 x + 1 = 3 x + 3 x – 1
1 + 9x = 3 x +
+
–
123. 2 x + 1 2x – 2 = 5
62 x = 1 296 125. 3 x + 1 3x – 1 = 4
51 – x + 5x = 6
3 x ∙ 9x = 93 128. 22 x + 5 – 5 ∙ 42 x – 1 + 3 125 = 53
2 x – 2 + 28 = 2 x + 2 – 2 130. 3 x – 4 + 5 ∙ 3 x – 3 x + 1 = 163 131.
81 Resolución de ecuaciones
158. Varios amigos han preparado un viaje de vacaciones que cuesta 4 000 €. Un amigo tiene problemas y los demás deciden pagar 200 € más cada uno. Calcula el número de amigos que son.
159. Dos grifos, abiertos a la vez, llenan un depósito en 6 h. El segundo tarda en llenarlo 5 h más que el primero, estando este cerrado. Calcula el tiempo que tardan en llenar el depósito por separado.
160. Halla dos números enteros sabiendo que el mayor excede en 6 unidades al menor, y la suma de sus inversos es 4/9
161. Halla dos números pares consecutivos cuyo producto exceda a su suma en 142 unidades.
162. El dividendo de una división es 136 y el cociente y el resto son iguales. Si el divisor es el doble que el cociente, ¿cuál es el divisor?
163. Si se aumenta 2 cm la longitud de cada una de las aristas de un cubo, el volumen del mismo aumenta 218 cm3. Calcula la longitud de la arista.
164. Una finca rectangular tiene una superficie de 4 000 m2. Si un lado de la finca tiene 30 m más que el otro, calcula las dimensiones de la finca.
165. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 48 cm, y su hipotenusa mide 20 cm. Calcula la longitud de los catetos.
166. La diagonal de un rectángulo mide 25 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo, sabiendo que la altura es 4/3 de la base.
167. Se tiene un cuadrado cuyo lado es 5 cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados se tienen 233 cm2, calcula el área de cada uno de ellos.
168. Calcula la longitud de las diagonales de un rombo de 96 cm2 de área, sabiendo que la diagonal menor es 3/4 de la diagonal mayor.
169. Si se aumenta en tres centímetros el lado de un cuadrado, el área aumenta en 81 cm2. Calcula la longitud del lado del cuadrado inicial.
170. Se tiene un rectángulo de 20 cm de perímetro. Si se reduce en 3 cm la base y en 2 cm la altura, el área disminuye en 18 cm2. Calcula las dimensiones del rectángulo.
171. Se funde plata de ley 0,7 con plata de ley 0,9 para conseguir una aleación de 100 g de una ley 0,74. Calcula la cantidad de cada tipo de plata que se ha usado.
172. Se mezcla leche del tipo A, con un 4 % de grasa, con otra leche del tipo B, con un 8 % de materia grasa. Si se obtienen 40 L de mezcla con un 6 % de materia grasa, ¿cuántos litros de cada tipo de leche se han utilizado?
173. A las nueve de la mañana, Alba sale en bicicleta de Utrera, a una velocidad de 12 km/h. Dos horas después, sale en su búsqueda Pablo con una motocicleta a 32 km/h. ¿A qué hora alcanzará Pablo a Alba?
174. Dos autobuses de línea salen a la misma hora de dos ciudades, A y B, separadas por 400 km. Los dos autobuses salen por la misma carretera el uno hacia el otro. Si el autobús que sale de A lleva una velocidad de 90 km/h y el que sale de B lleva una velocidad de 110 km/h, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
175. Un grifo B tarda en llenar un depósito 4 h más que otro grifo A. Si a la vez llenan el depósito en 1 h 30 min, ¿cuánto tardarán en llenar el depósito por separado?
176. Dos desagües abiertos a la vez vacían un depósito en 15 h. Si se abre solo uno de ellos, tardaría en vaciar el depósito 16 h menos que el otro. Calcula el tiempo que tardan en vaciar el depósito los dos desagües por separado.
82 UNIDAD 4
177. Se han comprado por 37 € unas zapatillas de deporte y un balón que costaban 50 €. Si en las zapatillas han rebajado el 20 %, y en el balón, el 30 %, ¿cuál era el precio inicial de cada producto?
178. Se han pagado 450 € por un lector de DVD y una tarjeta de red que ahora se deben cambiar. Si en la venta se pierde el 30 % en el lector de DVD, y el 60 % en la tarjeta, y se han obtenido 288 €, ¿cuál era el precio inicial de los dos artículos?
179. Un grupo de estudiantes alquila un piso por 500 € al mes. Si aumentase el grupo en uno más, se ahorrarían 25 € cada uno. ¿Cuántos estudiantes son?
180. Pablo tiene 15 años, y su madre, 40. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el doble que la de Pablo?
181. Un padre tiene el quíntuplo de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 20 años menos y el hijo 8 años más, la edad del padre sería el doble que la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno.
182. La edad de una madre y un hijo suman 60 años, y dentro de dos años la edad de la madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno.
183. Se tiene un cultivo con células que se reproducen por bipartición cada hora. Si se tienen inicialmente 5 células, ¿cuántas horas han de transcurrir para que en el cultivo haya 5 120 células?
184. Una población de peces se reproduce según la fórmula N = 40 ∙ 3 t , donde N es el número de peces y t es el número de años. ¿Cuántos años deben transcurrir para que haya más de 500 000 peces? Redondea el resultado a dos decimales.
185. Resuelve la siguiente ecuación:
+ 1 = 5 2
186. Resuelve la siguiente ecuación:
Haz el cambio de variable z = √ x 3
187. Halla un número tal que al sumarle 6 unidades sea un cuadrado perfecto, y al restarle 6 unidades su resultado sea la raíz cuadrada positiva del cuadrado perfecto anterior.
188. Halla dos números enteros consecutivos tales que la diferencia de sus cubos sea 61
189. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm, y su altura correspondiente mide 4 cm. ¿Cuánto miden los segmentos que el pie de dicha altura determina sobre la hipotenusa?
190. La diagonal de un rectángulo mide 10 cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 3 cm y 4 cm
191. Se alean dos lingotes de oro. Uno de ellos con una ley 0,75, y otro con una ley 0,6. Si se han conseguido 500 gramos de aleación con una ley 0,69, ¿cuántos gramos pesaba cada lingote de oro?
192. Una moto y un coche salen a la misma hora de la ciudad A en dirección a la ciudad B, que dista 80 km. La velocidad de la moto es 4/5 de la velocidad del coche, y llega 12 minutos más tarde que este. Calcula las velocidades de los dos vehículos.
193. Un alumno ha obtenido una nota final de 6,4 puntos en matemáticas. Los exámenes valen el 80 % de la nota, y los trabajos, el 20 %. Sabiendo que entre exámenes y trabajos suma 14 puntos, ¿qué nota sacó en cada apartado?
194. Un padre tiene 45 años, y sus hijos, 10 y 8. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea igual a la suma de las edades de los hijos?
195. Una sustancia radiactiva tiene un período de semidesintegración de 10 años, es decir, que cada 10 años la masa de la sustancia se reduce a la mitad. Si se tienen 400 g de dicha sustancia, ¿en cuánto tiempo se transformarán en 25 g?
196. Se ha comprado un ordenador por 1 200 €, y se sabe que su valor se deprecia un 20 % cada año.
¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el ordenador valga menos de 400 €? Redondea el resultado a dos decimales.
√
√ x –
√
x + 1
2 + √ x – 2
x
5
–
√ x 3
√ x 2 3 = 6
83 Resolución de ecuaciones
