¿Qué son las ecuaciones bicuadradas, racionales e irracionales?

Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones bicuadradas

C(– 1, 0)

B(1, 0)

Una ecuación bicuadrada es una ecuación de la forma: ax 4 + bx 2 + c = 0

X

D(– 2, 0)

A(2, 0) y

Ecuaciones del tipo: ax 6 + bx 3 + c = 0

Se resuelven de forma similar a las bicuadradas.

Se resuelven aplicando el cambio de variable x 2 = z, con lo que queda una ecuación de 2.° grado en la variable z. Para cada valor de z, se hallan los valores de x que tengan sentido.

7 Resuelve la ecuación bicuadrada x 4 – 5x 2 + 4 = 0 Haciendo el cambio de variable x 2 = z, se tiene:

9 Resuelve la ecuación: x 6 – 7x 3 – 8 = 0

Haciendo el cambio de variable x 3 = z, se tiene: z 2 – 7z – 8 = 0 z = 7 ± √ 49 + 32 2 = = 7 ± 9 2 = 8 – 1

Deshaciendo el cambio de va ­ riable x 3 = z se tiene:

• x 3 = 8 ⇒ x = √ 8 3 = 2

• x 3 = – 1 ⇒ x = √ – 1 3 = – 1

Las raíces son: x1 = 2, x2 = – 1

Una ecuación racional es una ecuación que tiene la incógnita en el denominador. Para resolverla, se multiplica toda la ecuación por el m.c.m. de los denominadores y se resuelve la ecuación resultante. Se deben comprobar las soluciones.

8 Resuelve la ecuación racional x x – 3 –x + 15 x 2 – 9 = 1 x + 3 m.c.m. ( x – 3, x 2 – 9, x + 3) = x 2 – 9

Se multiplica la ecuación por el m.c.m. de los denominadores: x ( x + 3)

Comprobación: x = 3 no es solución de la ecuación porque hace cero dos denominadores, 3 – 3 = 0 y 9 – 9 = 0

Solución: x = – 4

Una ecuación irracional es una ecuación que tiene la incógnita dentro de un signo radical.

En estas ecuaciones es necesario comprobar las soluciones porque, al elevar al cuadrado, pueden aparecer soluciones que no son válidas, lo que es muy habitual.

10 Resuelve la ecuación irracional: a) Se despeja el radical, dejándolo solo en un miembro. b) Se elevan los dos miembros al índice de la raíz y se resuelve la ecuación resultante. c) Se comprueban las soluciones obtenidas en los dos miembros de la ecuación inicial.

Ecuaciones irracionales con dos radicales

Si en la ecuación irracional hay dos radicales, primero se despeja uno y se elevan ambos miembros al índice del radical; luego, se despeja el otro y se vuelven a elevar los dos miembros al índice del radical.