Fig. 2.0.1 Axonometriea punctului

2. Reprezentarea proiecțiilor punctului

Din punctele găsite pe axele de referință se duc linii ne ordine în planele de proiecție. Fiecărui punct de pe axă îi corespunde două linii de ordine trasate în plane de proiecție diferite, exceptând situația când una dintre coordonate este nulă.

La intersecția liniilor de ordine situate în același plan se găsește proiecția punctului din spațiu pe planul respectiv, astfel : a – proiecția orizontală a punctului A (se află la intersecția liniilor de ordine trasate din ax și ay) a’ - proiecția frontală (verticală) a punctului A (se află la intersecția liniilor de ordine trasate din ax și az) a” - proiecția laterală a punctului A (se află la intersecția liniilor de ordine trasate din ax și az)

3. Reprezentarea punctului în spațiu

În fiecare proiecție a punctului, se desenează linii de ordine perpendiculare pe planul respectiv. La intersecția celor trei linii de ordine, aferente celor trei proiecții, se găsește punctul real din spațiu.

Toate cele trei linii de ordine trebuie să se întîlnească în același punct.

Reprezentarea unui punct în epură presupune parcurgerea doar a primilor doi pași pe care i-am prezentat anterior. Punctul fizic din spațiu nu poate fi reprezentat deoarece se află într-un sistem cu un număr de dimensiuni superior epurei.

Punctul poate ocupa în spațiu o infinitate de poziții, însă raportat la sistemul de referință, acesta se poate situa într-unu din cele 8 triedre, în funcție de valorile coordonatelor care sunt prezentate în tabelul 1.2 În continuare vom vedea cum se reprezintă punctul în epură, parcurgând toate cele opt triedre posibile. Pentru a distinge ma bine elementele geometrice, vom recurge la următoarea convenție cromatică: planul orizontal de proiecție este reprezentat cu roșu, planul vertical cu albastru și planul lateral cu galben. Toate elementele geometrice ce aparțin planelor de referință vor fi reprezentate în culoarea planului respectiv. Pentru a facilita parcurgerea desenelor, planele de referință vor fi colorate doar în triedrul I, unde toate valorile sunt pozitive fiind asociat spațiului real în care se află și observatorul.

Triedrul 1 (T1)

Fie punctul “A” de coordonate A (30,40,50)

Reprezentare axonometrică

Reprezentare

Triedrul 2 (T2)

Fie punctul “B” de coordonate B (30, -20, 30)

Reprezentare

Reprezentare

Triedrul 3 (T3)

Fie punctul “C” de coordonate C (20, -60, -20)

Triedrul 4 (T4)

Fie punctul “D” de coordonate D (40, 10, -30)

Triedrul 5 (T5)

Fie punctul “E” de coordonate E (-40, 30, 50)

Triedrul 6 (T6)

Fie punctul “F” de coordonate F (-40, 30, 50)

Triedrul 7 (T7)

Fie punctul “G” de coordonate G (-40,-30,-60)

Reprezentare

Triedrul 8 (T8)

Fie punctul “H” de coordonate

Reprezentare

Capitolul 3 Dreapta

Definiție: Dreapta este element fundamental unidimensional, determinat de două puncte, un punct și o direcție sau intersecția a două plane.

3.1 REPREZENTAREA DREPTEI

Dreapta este locul geometric al punctelor situate pe traseul cel mai scurt dintre două puncte aflate pe dreaptă (fig. 3.1). Suma tuturor proiecțiilor punctelor de pe o dreaptă generează proiecțiile de aceași natură ale dreptei.

Fie dreapta E, de poziție oarecare, determinată de punctele A(30,40,55) și B(60,25,20). Se construiesc proiecțiile celor două puncte pe planele de referință. Proiecțiile de aceași natură se unesc între ele, obținându-se astfel proiecțiile dreptei aferente fiecărui plan ortogonal (fig. 3.2).

3.2 URMELE DREPTEI

Poziția unei drepte în spațiul definit de sistemul de referință triortogonal, poate fi stabilită cu ajutorul urmelor dreptei. Punctele de intersecție dintre dreaptă și planele de proiecție se numesc urmele dreptei. O dreaptă de poziție oarecare are trei urme, fiecare aferentă intersecției dreptei cu unul dintre planele de proiecție. În funcție de pozițiile particulare ale dreptei, aceasta poate avea cel puțin o urmă.

Urmele sunt puncte importante pe dreaptă, ele marcând trecerea acesteia de la un triedru la altul de-a lungul parcurgerii spațiului.

În continuare vom analiza modul în care se construiesc urmele unei drepte și care sunt pașii pentru aflarea lor în epura dreptei.

Fig.3.3 Urmele dreptei E, în reprezentare axonometrică izometrică

Urmele dreptei se află în același timp situate pe dreapta din spațiu și planul de proiecție pe care dreapta îl înțeapă (fig. 3.3).

Se prelungește dreapta E până când intersectează planele de referință în cele trei urme :

E ∩ (H) = H - Urma orizontală a dreptei

E ∩ (V) = V - Urma verticală a dreptei

E ∩ (L) = L - Urma laterală a dreptei

H , V , L ∈ E

Construcția urmelor în epură (fig. 3.4) necesită parcurgerea logică a unor etape:

1. În planul frontal de proiecție se prelungește e ' (proiecția frontală a dreptei) până intersectează axa OX ,(respectiv planul orizontal de proiecție) în punctul h’ (proiecția frontală a urmei orizontale a dreptei).

2. Din punctul h’ aflat, se duce linie de ordine în planul orizontal de proiecție până când aceasta intersectează dreapta e (proiecția orizontală a dreptei E) sau prelungirea acesteia. La intersecția celor două drepte se află punctul H (urma orizontală a dreptei E). Urma orizontală coincide cu proiecția ei pe planul (H), astfel H ≡ h’ .

3. În planul orizontal de proiecție se prelungește e (proiecția orizontală a dreptei) până intersectează axa OX ,(respectiv planul frontal de proiecție) în punctul v (proiecția orizontală a urmei frontale a dreptei).

4. Din punctul v aflat, se duce linie de ordine în planul frontal de proiecție până când aceasta intersectează dreapta e ' (proiecția frontală a dreptei E) sau prelungirea acesteia. La intersecția celor două drepte se află punctul V (urma frontală a dreptei E). Urma frontală coincide cu proiecția ei pe planul (V), astfel V ≡ v’ .

5. În planul frontal de proiecție se prelungește e ' (proiecția frontală a dreptei) până intersectează axa OZ ,(respectiv planul lateral de proiecție) în punctul w’ (proiecția frontală a urmei laterale a dreptei).

6. Din punctul w’ aflat, se duce linie de ordine în planul lateral de proiecție până când aceasta intersectează dreapta e ¿ (proiecția laterală a dreptei E) sau prelungirea acesteia. La intersecția celor două drepte se află punctul W (urma laterală a dreptei E). Urma laterală coincide cu proiecția ei pe planul (L), astfel W ≡ w’ .

7. După aflarea celor trei urme, corectitudinaea desenului se verifică prin corelarea grafică a valorilor obținute: a. În planul orizontal de proiecție se prelungește e până intersectează axa OY ,(respectiv planul lateral de proiecție) în punctul “w” (proiecția orizontală a urmei laterale a dreptei). b. Punctul w coincide cu wy (depărtarea urmei laterale), w≡ wy . Depărtarea se rabate pe planul frontal de proiecție împreună cu planul lateral din care face parte, astfel wy devine wy1 măsurat pe axa OY 1. c. Din punctul wy1 aflat, se duce linie de ordine în planul lateral de proiecție până când aceasta intersectează dreapta e ¿ exact în punctul W. d. În planul lateral de proiecție se prelungește e ¿ până intersectează axa OY 1 ,(respectiv planul orizontal de proiecție) în punctul h” (proiecția laterală a urmei orizontale a dreptei). e. Punctul h” coincide cu hy1 (depărtarea urmei orizontale rabătută pe planul frontal de proiecție), h”≡ . Depărtarea se aduce pe planul frontal în poziția sa inițială , împreună cu planul lateral din care face parte, astfel hy1 devine hy măsurat pe axa OY f. Din punctul hy aflat, se duce linie de ordine în planul orizontal de proiecție până când aceasta intersectează dreapta e exact în punctul H. g. În planul lateral de proiecție se prelungește e ¿ până intersectează axa OZ ,(respectiv planul frontal de proiecție) în punctul v” (proiecția laterală a urmei frontale a dreptei). h. Din punctul v” aflat, se duce linie de ordine în planul frontal de proiecție până când aceasta intersectează dreapta e ' exact în punctul V.

Corelarea grafică dintre urmele unei drepte, reprezentate în epură, este rezultatul direct al relațiilor spațiale tridimensionale ce se stabilesc între dreaptă și sistemul de referință și sunt simultane.

Etapele prezentate mai sus într-o susccesiune logică, a demersului grafic, sunt cu aspect general putând fi aplicate la toate tipurile de drepte indiferent de poziția lor față de sistemul de referință.

3.3 CLASIFICAREA DREPTELOR ÎN FUNCȚIE DE POZIȚIA FAȚĂ DE PLANELE DE PROIECȚIE

În funcție de poziția dreptelor față de planele ortogonale de proiecție, acestea se pot clasifica după cum urmează:

A. Drepte de poziție generală (Oarecare)

B. Drepte paralele cu planele de proiecție a. Drepte paralele cu planul orizontal de proiecție (Orizontale) b. Drepte paralele cu planul frontal de proiecție (Frontale) c. Drepte paralele cu planul lateral de proiecție (De profil)

C. Drepte perpendiculare pe planele de proiecție a. Drepte perpendiculare pe planul orizontal de proiecție (Verticale) b. Drepte perpendiculare pe planul frontal de proiecție (De capăt) c. Drepte perpendiculare pe planul lateral de proiecție (Frontoorizontale)

D. Drepte conținute de planele de proiecție

E. Drepte conținute de planele bisectoare

F. Drepte conținute de axele sistemului ortogonal de proiecție În funcție de felul cum se proiectează pe planele de referință ale sistemului ortogonal, dreptele pot fi : - în mărime reală, deformate, total deformate

3.3.1 DREAPTA PARALELĂ CU PLANELE DE PROIECȚIE

a. Drepte paralele cu planul orizontal de proiecție (Orizontale)

-Fie dreapta determinată de punctele A (100,15,20) și B (50,40,20)

-Cotele punctelor situate pe o dreaptă orizontală, sunt egale

-Dreapta E se proiectează în mărime reală pe planul orizontal de proiecție, e= mărimea reală.

-Unghiul dintre e și axa OY este unghiul real dintre dreapta E și planul lateral de proiecție. Unghiul dintre e și axa OX este unghiul real dintre dreapta E și planul frontal de proiecție.

-În epură, proiecția frontală se suprapune peste proiecția laterală a dreptei.

-Urma orizontală a dreptei se află la infinit b. Drepte paralele cu planul frontal de proiecție (Frontale)

-Fie dreapta determinată de punctele A (120,40,80) și B (50,40,20)

-Depărtările punctelor situate pe o dreaptă frontală, sunt egale

-Dreapta E se proiectează în mărime reală pe planul frontal de proiecție, e ' = mărimea reală.

-Unghiul dintre e ' și axa OX este unghiul real dintre dreapta E și planul orizontal de proiecție. Unghiul dintre e ' și axa OZ este unghiul real dintre dreapta E și planul lateral de proiecție.

-În epură, proiecția orizontală și proiecția laterală a dreptei sunt perpendiculare pe axele OY respectiv OY 1 .

- Urma frontală a dreptei se află la infinit c. Dreapta paralelă cu planul lateral de proiecție (de profil)

-Fie dreapta determinată de punctele A (50,120,80) și B (50,40,20)

-Abscisele punctelor situate pe o dreaptă de profil, sunt egale

-Dreapta E se proiectează în mărime reală pe planul lateral de proiecție, e ¿ = mărimea reală.

-Unghiul dintre e ¿ și axa OY 1 este unghiul real dintre dreapta E și planul orizontal de proiecție. Unghiul dintre e ¿ și axa OZ este unghiul real dintre dreapta E și planul frontal de proiecție

-În epură, proiecția frontală se suprapune peste proiecția orizontală a dreptei.

-Urma laterală a dreptei se află la infinit.