1.3 SISTEMUL DE REPREZENTARE DUBLU ORTOGONAL (MONGE)

Având în vedere faptul că proiecția paralelă pe un singur plan de proiecție nu poate determina cu acuratețe poziția și caracteristicile spațiale ale unui obiect, s-a considerat necesar crearea unui sistem de reprezentare ce utilizează în același timp două proiecții paralele pe plane de proiecție diferite, perpendiculare între ele, ce alcătuiesc împreună cu o serie de relații de interdependență, un sistem de referință.

Sistemul dublu ortogonal a fost introdus prima dată de matematicianul francez Gaspard Monge. Sistemul de referință este alcătuit din două plane infinite, perpendiculare între ele, ce se intersectează după o dreaptă infinită denumită linie de pământ (0 X ). Cele două plane poartă denumirea de plan orizontal (H) și plan vertical (V). Originea sistemului de referință se află pe axa 0 X și determină sensul pozitiv și negativ al valorilor.

Planele de referință împart spațiul în 4 subspații, numerotate convențional invers acelor de ceas, numite diedre. (fig. 1.5)

Diedrul este figura formată de două semiplane mărginite de dreapta lor de intersecție (porțiunea din spațiu cuprinsă între aceste semiplane).

Pentru a putea defini mai precis poziția fiecărui diedru în spațiu, semiplanele ce mărginesc cele patru subzone au primit denumiri convenționale, plecând de la premiza că observatorul se va afla permanent în diedrul I; astfel:

 Ha – Semiplanul orizontal anterior

 Hp – Semiplanul orizontal posterior

 Vs – Semiplanul vertical superior

 Vi – Semiplanul vertical inferior

Un punct în spațiu se poate afla în oricare dintre cele 4 diedre, în funcție de valorile coordonatelor pe axa verticală de referință ( 0 Z) și cea verticală (0 Y ).

Reguli de reprezentare a unui punct în sistemul Monge: o Convențional s-a stabilit ca valoarea coordonatei orizontale ( 0 X ) a unui punct să poarte denumirea de abscisă, valoarea măsurată pe axa 0 Y – depărtare, iar valoarea măsurată pe axa 0 Z – cotă. Un punct este definit prin cele trei valori, enumerate în ordinea mai sus prezentată.

Exemplu: punctului și regula de pliere a planelor de referință. o Punctul din spațiu se proiectează concomitent pe cele două plane de referință după direcții perpendiculare pe acestea printr-o proiecție ortogonală paralelă. Proiecția punctului “A” pe planul orizontal de proiecție (H) poartă denumirea de proiecție orizontală și se notează cu litere mici, respectiv “a”. Proiecția pe planul vertical de referință (V) se notează cu litera “a’ ”și poartă denumirea de proiecție verticală. o Pentru a trece de la spațiul tridimensional la suprafața bidimensională a foii de desen, cele două plane de referință se vor plia (rabata) după o regulă convențională (fig. 1.6). Se consideră planul vertical (V) ca fiind planul foii de desen, iar planul orizontal se rotește în jurul axei 0 X până când sensul pozitiv al axei 0 Y se suprapune peste sensul negativ al axei 0 Z. Astfel planul orizontal de proiecție se suprapune peste planul vetical de proiecție realizându-se un plan dublu de proiecție . Practic cele două proiecții ale punctului se reprezintă concomitent pe acest dublu plan de proiecție, iar regulile de reprezentare și notare ne ajută să facem distincția dintre proiecția orizontală și proiecția verticală a punctului. Împreună cu planele de proiecție se rotesc și proiecțiile punctului, precum și dreptele de proiecție. În reprezentarea dimetrică a punctului, proiecțiile dreptelor proiectante se vor numi linii de ordine (linii de rapel) și sunt întotdeauna perpendiculare pe axele de referință. o Punctele A, a, a’, ax formează un dreptunghi ce definește poziția punctului din spațiu în raport cu sistemul de referință format de planulele vertical și orizontal de proiecție. Acest dreptunghi se numește dreptunghiul de poziție a punctului A. o Reprezentarea în plan a unui obiect, pe planul dublu de proiecție, se numește epura obiectului (fig. 1.7). În funcție de numărul de plane de proiecție ce se suprapun, epura poate fi în proiecție dublu-ortogonală sau triplu-ortogonală.

A(10, 15, 30) unde: 10 – abscisa, 15 – depărtarea, 30 – cota.

B(30, -20, 30) unde: 30 – abscisa, -20 – depărtarea, 30 – cota.

C(20, -60, -20) unde: 20 – abscisa, -60 – depărtarea, -20 – cota.

D(40, 10, -30) unde: 40 – abscisa, 10 – depărtarea, -30 – cota.

 Segmentul a ax se numește depărtarea punctului A și măsoara distanța de la planul vertical de proiecție, la punctul A.

 Segmentul a ' ax se numește cota punctului A și măsoara distanța de la planul orizontal de proiecție la punctul A.

 Segmentul 0 ax se numește abscisa punctului A și măsoara distanța de la originea sistemului de referință la punctul A.

Se observă că în epură sunt reprezentate doar proiecțiile pe planurile de referință ale punctului, figurarea punctului “A” propriuzis din spațiu fiind imposibilă. Epura punctului oferă avantajul masurării grafice a valorilor reale ale coordonatelor puntului (abscisa, depărtarea și cota) și prezintă informații complete, necesare amplasării unui punct în spațiu raportat la sistemul de referință.

Apartenența unui punct la un diedru, se poate urmări în epură prin studierea semnelor depărtărilor și a cotelor punctelor. Abscisa este permanent considerată pozitivă și nu influențează poziția punctului. (tab.1.1).

A (10, 15, 30)

B (30, -20, 30) -

C (20, -60, -20) -

II

III

D (40, 10, -30) + - IV

Tab.1.1 Corespondența dintre semnele coordonatelor punctului (depărtare, cota) și apartenența la un anumit diedru.

Pe lângă cele două plane perpendiculare (H) și (V) ale sistemului de referință, sunt de remarcat planele bisectoare ale diedrelor. Planul bisector este planul ce împarte un diedru în două diedre ce au unghiurile dintre planele marginale, egale între ele (fig.1.8), astfel

În sistemul de referință dublu ortogonal Monge, se pot identifica două plane bisectoare:

- Planul bisector (B1), ce străbate diedrele I și III.

- Planul bisector (B2), ce străbate diedrele II și IV.

Punctele situate în planele bisectoare au cota și depărtarea egală ca valoare și prezintă următoarele caracteristici în reprezentarea lor:

- Punctele situate în planul bisector (B1) au cotele și depărtările egale între ele și de același semn. Planul (B1) se mai numește și planul simetriilor deoarece punctele situate pe el au proiecțiile simetrice față de axa OX.

- Punctele situate în planul bisector (B2) au cotele și depărtările egale între ele și de semne diferite. Planul (B2) se mai numește și planul coincidențelor deoarece punctele situate pe el au proiecțiile suprapuse în epură.