1.4 SISTEMUL DE REPREZENTARE TRIPLU ORTOGONAL

Reprezentarea dublu ortogonală nu poate releva toate aspectele unui obiect geometric mai complex, de aceea s-a considerat oportun introducerea unui al treilea plan de proiecție, ce poartă de numirea de „plan de profil” sau „plan lateral”.

Planul lateral de proiecție (L) este perpendicular concomitent pe planul frontal și planul orizontal de proiecție, fiind determinat de concurența axelor de referință 0 Z și 0 Y (fig. 1.9).

Cele trei plane de proiecție ale sistemului de referință împart spațiul în opt triedre, fiind identificate cu un număr de la 1 la 8. Numerotarea triedrelor se face în mod convențional ca în figura 1.10.

Triedrul este o zonă infinită a spațiului delimitată de intersecția a trei plane, perpendiculare între ele două câte două.

Reprezentarea unui punct simultan în cele trei proiecții ortogonale se numește epura triplu-ortogonală a punctului sau simplu, epura punctului. Regulile de realizare a epure în reprezentarea triplu-ortogonală: o Punctul din spațiu se proiectează concomitent pe cele trei plane de referință după direcții perpendiculare pe acestea, printr-o proiecție ortogonală paralelă. Proiecția punctului “A” pe planul orizontal de proiecție (H) poartă denumirea de proiecție orizontală și se notează cu litere mici, respectiv “a”. Proiecția pe planul vertical de referință (V) se notează cu litera “a’ ”și poartă denumirea de proiecție verticală. ”. Proiecția pe planul lateral de referință (L) se notează cu litera “a” ”și poartă denumirea de proiecție laterală. o Sensul de numerotare a triedrelor este de la observator, ce în mod convențional se află în triedrul I, conform schemei din fig. 10. o Cele trei plane ortogonale de referință (H), (V), (L), se pliază pe planul foii de desen (considerat planul vertical de proiecție) după următoarea regulă, explicitată grafic și în fig. 1.9 : o Datorită faptului că axa 0 Y aparține atât planului orizontal de proiecție cât și planului lateral de proiecție, după rabaterea acestora pe planul vertical, axa 0 Y va fi în dublă reprezentare. Astfel axa 0 Y se rabate o data împreună cu planul (H) păstrându-și notația inițială, iar împreună cu planul lateral (L) se va rabate încă o dată, fiind notată cu 0 Y 1 . În spațiu axa depărtărilor este una singură de poziție fixă, însă trecerea de la un sistem tridimensional la un sistem bidimensional cum e planul foii de desen se poate realiza doar prin dublarea axei perpendiculare pe planul de reprezentare. Acest mod de transformare a dimensiunilor dintr-un sistem în altul poate genera probleme în citirea corectă a informației, mai ales când punctele sunt situate în triedre diferite de triedrul I. De exemplu în figura 1.11, proiecția verticală a punctului B, ce se află în triedrul V, se suprapune peste zona în care în mod intuitiv ar trebui să se afle proiecția laterală, datorită valorilor negative ale abcisei. o În epură, proiecția punctului se realizează astfel:

- Planul vertical de proiecție (V) rămâne neschimbat fiind considerat chiar planul foii de desen.

- Planul orizontal de Proiecție (H) se rotește în jurul axei 0 X , spre observatorul ce în mod convențional este situat în triedrul I, până când axa 0 Y conținută de (H) se suprapune peste axa 0 Z conținută de (V). Astfel sensul pozitiv al axei 0 Y se suprapune peste sensul negativ al axei 0 Z și viceversa.

 Proiecția orizontală a se află la intersecția liniilor de ordine duse din ax și ay.

 Proiecția verticală a’ se află la intersecția liniilor de ordine duse din ax și az.

 o În epură se reprezintă doar proiecțiile punctului pe planurile de referință. Punctul real din spațiu, notat cu majuscule, este înlocuit de cele trei proiecții ortogonale ale lui. Informațiile conținute de epură sunt suficiente pentru a determina cu precizie poziția unui punct sau a aunui obiect spațial mai complex, în spațiu. o În funcție de triedrele în care se află, coordonatele punctelor pot avea valori pozitive sau negative. În tabelul 1.2 sunt prezentate semiplanele ce mărginesc triedrele precum și valorile coordonatelor din fiecare triedru. Denumirea semiplanelor a fost preluată de la sistemul de reprezentare dublu ortogonal, la care se adaugă specificația “stânga” sau „dreapta”, în funcție de poziția punctului față de planul lateral de referință introdus.

Proiecția laterală a” se află la intersecția liniilor de ordine duse din az și ay1, unde ay1 reprezintă depărtarea punctului A, măsurată pe axa 0 Y 1.

Triedrul

I

Semiplanele ce mărginesc triedrul

Orizontal anterior stânga (Has)

II

III

Valorile coordonatelor punctelor situate în triedrul respectiv

Abscisa Depărtarea Cota

Lateral superior anterior (Lsa) + + +

Vertical superior stânga (Vss)

Orizontal posterior stânga (Hps)

Vertical superior stânga (Vss)

Lateral superior posterior (Lsp) + - +

Orizontal posterior stânga (Hps)

Vertical inferior stânga (Vis)

Lateral inferior posterior (Lip) + - -

Orizontal anterior stânga (Has)

IV

Vertical inferior stânga (Vis)

Orizontal anterior dreapta(Had)

Lateral inferior anterior (Lia) + +V

Vertical superior dreapta (Vsd)

Lateral superior anterior (Lsa) - + +

Orizontal posterior dreapta (Hpd)

VI

VII

VIII

Vertical superior dreapta (Vsd)

Lateral superior posterior (Lsp) - - +

Orizontal posterior dreapta (Hpd)

Vertical inferior dreapta (Vid)

Lateral inferior posterior (Lip) - - -

Orizontal anterior dreapta (Had)

Vertical superior dreapta (Vsd)

Lateral inferior anterior (Lsa) - + -

1.6 SISTEMUL DE REPREZENTARE AXONOMETRIC.

Reprezentarea unui obiect geometric prin proiecțiile ortogonale poate genera uneori confuzii datorită suprapunerilor și coincidențelor de elementelor componente ale obiectului (muchii, puncte, fețe).

Reprezentarea axonometrică este o metodă utilizată frecvent în geometria descriptivă, datorită imaginilor ce dezvăluie într-un mod intuitiv, aproape realistic, detaliile spațiale ale unui obiect.

- Dezavantajul reprezentării axonometrice este faptul că dimensiunile obiectului sunt deformate, nu se pot măsura pe desen mărimile reale ale elementelor.

- Avantajul axonometriei o reprezintă percepția simultană a celor trei dimensiuni (deformate ca mărime) într-un singur desen, ceea ce face ca obiectul să poată fi înțeles într-un mod intuitiv apropiat de percepția umană a spațiului.

- De cele mai multe ori reprezentarea axonometrică însoțește epura, fiind un mijloc intuitiv și rapid de corelare și descifrare a informației din cele trei proiecții ortogonale.

Axonometria se realizează având în vedere următoarele aspecte:

1. Direcția de privire a observatorului trece întotdeauna prin originea sistemului de referință ( 00 1).

2. Planul (P), definit în fig. 1.12 și fig. 1.13 prin triunghiul ∆ PXPYPZ, se află în triedrul I și este concurent cu planele sistemului de referință.

3. Dreapta 00 1 este întotdeauna perpendiculară pe planul de proiecție (P).

4. Axele sistemului de referință se proiectează ortogonal pe planul (P), devenind axele sistemului axonometric. Astfel, axa 0 X devine 0 X 1, 0 Y devine 0 Y 1 și 0 Z devine 0 Z1 .

5. În reprezentarea axonometrică, valorile coordonatelor unui punct se modifică în funcție de unghiul dintre direcția de privire, 00 1 și planele de referință (H), (V), (L), astfel: i. 0 X 1=k ∙ 0 X , unde k= cos α ii. 0 Y 1=m∙ 0 Y , unde m= cos β iii. 0 Z1=n∙ 0 Z, unde n= cos γ

Notațiile k, m, n poartă denumirea de coeficienți de deformare și sunt într-o strânsă legătură interdependentă astfel: k2 + m2 + n2 = 2 (Relația fundamentală a axonometriei ortogonale)

Reprezentările axonometrice se pot clasifica după mai multe criterii astfel:

1. În funcție de direcția de proiectare: a. Reprezentare ortogonală, unde coeficientul de deformare este subunitar sau cel mult egal cu unu. b. Reprezentare oblică, unde coeficientul de deformare poate fi supraunitar iar planele sistemului de referință nu mai sunt perpendiculare între ele. Cel mai des utilizată este axonometria dimetrică oblică.

2. În funcție de poziția planului de proiecție axonometric (P) față de axele obiectului: a. Axonometria dimetrică – planul de proiecție este egal înclinat față de două plane ale sistemului de referință, având forma unui triunghi isoscel. În această situație, doar doi dintre coeficienții de reducere sunt egali între ei. k = m ≠ n , k ≠ m = n , k = n ≠ m . b. Axonometria tri-metrică sau anizometrică – planul de proiecție este un triunghi oarecare, iar coeficienții de reducere sunt diferiți între ei. k ≠ m ≠ n . c. Axonometria izometrică – planul de proiecție este egal înclinat față de planele sistemului de referință, având forma unui triunghi echilateral. În această situație, coeficienții de reducere sunt egali între ei: k = m = n ≅ 0,82

Pentru a ușura realizarea axonometriei, în practică, valoarea de 0,82 a coeficienților se aproximează cu 1, fiind considerat ca nu influențează imaginea finală. Proiecția axelor de referință pe planul [P] al axonometriei, formează unghiuri egale între ele de valoare 120° .

Avantaje

- Ușor de construit.

- Oferă o imagine intuitivă apropiată de imaginea reală a obiectului.

Dezavantaje

- Datorită faptului că planul de proiecție face un unghi egal cu fiecare dintre planele sistemului de referință a obiectului, pot exista suprapuneri ale unor elemente.

Capitolul 2

Punctu

Definiție: Punctul este element fundamental adimensional, determinat de intersecția a două drepte sau a trei plane.

2.1 REPREZENTAREA AXONOMETRICĂ ȘI ÎN EPURĂ A PUNCTULUI

Reprezentarea unui punct în axonometrie izometrică presupune efectuarea următorilor pași:

Se măsoară pe axe dimensiunile aferente coordonatelor și se marchează punctele obținute, cu litere mici și indicatori ce reprezintă axa pe care se situează : ax – Valoarea abscisei punctului, măsurată pe OX. aY – Valoarea depărtării punctului, măsurată pe