Taller 09 Materia:
Cálculo Diferencial Tasa de Variación Media e Unidad: Instantánea, Rapidez de variación relacionada Grupo: 4160
Profesor:
Allan Avendaño
Alumno: Fecha: Rapidez de Variación Relacionada: Ejercicios 1. Obtenga rapidez de variación solicitada: a.
Si 2x + 3y = 8 y
dy =2 , obtenga dt
dx dt
d d (2 x +3 y )= ( 8 ) dt dt 2
dx dy + 3 =0 dt dt
2
dx + 3 (2 )=0 dt
2
dx =−6 dt
dx −6 = dt 2 dx =−3 dt
b.
Si xy = 20 y
dy =10 , calcule dt
dx dt
cuando x = 2
d d ( xy ) = ( 20 ) dt dt x
dy dx + y =0 dt dt
−x ∗dy dx y = dt dt xy=20 → 2∗y=20→ y=10
dx −2 dx = ∗10 → =−2 dt 10 dt
c.
2
2
sen ( x ) +cos ( x )=
Si
(
5 4
y
dx =−1 , obtenga dt
2π 3π , ) 3 4
d ( sen 2 ( x ) +cos 2 ( x ) )= d 5 dt dt 4
()
2 sen ( x )∗cos
( y )∗(−sen ( y ) )∗dy ( x )∗dx +2 cos =0 dt dt
−2 sen ( x )∗cos ( x ) ∗dx dy 2 cos ( y )∗(−sen ( y ) ) = dt dt sen ( x )∗cos ( x ) ∗dx dy cos ( y )∗sen ( y ) = dt dt 2 2 π )∗cos ( π ) ( 3 3 dy = ∗(−1 ) dt 3 3 cos ( π )∗sen ( π ) 4 4 sen
dy dt
en el punto
√3 ∗ −1
( )
2 dy 2 dy −√ 3 = → = dt −√ 2 dt 2 ∗√ 2 2 2
d. Si
√ x+ √ y=5
y
dy =3 , halle dt
d d ( √ x + √ y )= ( 5 ) dt dt dx dy ∗1 ∗1 dt dt + =0(¿2) 2√ x 2√ y dx dy ∗1 ∗1 dt dt + =0 √x √y −1 √ y ∗dy 1 dx √ x = dt dt −√ x ∗dy dx √ y = dt dt
√ x+ √ y=5 → √ y=5−1→ √ y=4 dx −√ 1 = ∗3 dt 4 dx −1 = ∗3 dt 4 dx −3 = dt 4
dx dt
cuando x = 1
Rapidez de Variación Relacionada: Problemas de Aplicación 2.
Resuelva los siguientes problemas e interprete la respuesta. a. Una cometa vuela siempre a una altura de 40 m. La longitud total de la cuerda que tiene la cometa es de 50 m. El niño que controla la cometa corre en sentido horizontal a razón de 3 m/s. Cuando el niño comienza a correr con la cuerda tensa, ¿Con qué rapidez se afloja la cuerda? Nota: Usar el Teorema de Pitágoras 2
2
z =x + y
2
z 2=x 2+ 4002 z 2=x 2+160000 z d d 2 (¿¿ 2)= (x +160000) dt dt ¿ 2
z∗dz x∗dx =2 ( ¿ 2) dt dt
z∗dz x∗dx = dt dt x ∗dx dz z = dt dt x 2= y 2+ z2 → √5002−4002 →300 dz 300 = ∗3 dt 500 dz 9 = o 1,8 m/s dt 5
b.
Un globo esférico está siendo inflado en tal forma que su volumen aumenta a razón de 6 m3/min. ¿Con qué rapidez aumenta el radio cuando tiene 6 m? Nota: Usar el Volumen de una esfera [
Datos:
4 V = π r3 ] 3
dv dr =6 , =¿∗, r =6 dt dt
4 V = π r3 3 d d 4 3 (V )= πr dt dt 3
(
)
dv 4 3 r 2∗dr = π dt 3 dt 2
dv r ∗dr =4 π dt dt dv dr dt = dt 4 π r 2 dr 6 = dt 4 π (6)2
dr 6 = dt 4 π∗36 dr 6 = dt 144 π dr 1 = dt 24 π c.
Un hombre de 1.70m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1.2m/s. Justo en la acera de enfrente se encuentra una lámpara que ilumina el edificio a una distancia de 15 m. ¿A qué rapidez se acorta la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9m del mismo?
h
Nota: Utiliza la relación de triángulos semejantes
y
x L
l x = y h 15 x = y 1.70 xy=15∗1.70
y=
15∗1.70 → 4.25 6
d d (xy )= (15∗1.70 ) dt dt
x
dy dx + y =0 dt dt
−dx ∗y dy dt = dt x dy ( 1.2 )∗(4.25) dy = → =−0.85m/ s dt 6 dt d. Suponga que la picadura de un mosquito produce una roncha de forma esférica. Considerando que el radio de la roncha es de 0.02cm. Luego de aplicar un medicamento, dicha longitud disminuye a una velocidad de 0.0001 cm por hora. ¿Cuál es la tasa de decrecimiento del volumen de la roncha en este preciso momento? R=0.02 dr/dt=0.0001
4 V = π r3 3 dv 4 = π 3 r2 dt 3
2
0.02 ¿ ∗0.0001 dv =4 π ¿ dt dv dv = ( 0.004 )∗4 π∗0.0001 =0.0000016 cm/seg dt dt
e.
Un embudo de forma de cono invertido contiene aceite. Y se vacía a razón de 6cm3/s. La altura del embudo es de 10 cm y el radio de la base es de 5 cm. Calcule la rapidez de con la que va descendiendo el nivel del aceite cuando tiene una altura de 8cm.
f.
La ley de Boyle para la expansión de un gas es de P*V = c, donde P es la presión en milímetros de mercurio [mmHg], V es en litros [L] y c es una constante. En un momento, la presión es de 600 mmHg, el volumen es de 4 L y aumenta a razón de 0.5 L/s. Calcule la rapidez de cambio de la presión en este momento.
Datos: P=600 mmHg ; V=4 L ; dv/dt=0.5 L ; dp/dt=**
P∗V =C
dp dv ∗v+ ∗p=0 dt dt − p∗dv dp dt = dt v dp = dt
−600 mmHg∗0.5
L s
4L
dp =−7.5 mmHg dt
g.
Cuando arrojas una piedra a un lago formas una serie de anillos concéntricos que se extienden. El radio de los anillos aumenta a una razón de 10cm/s. ¿A qué rapidez aumenta dicha área cuando el radio es de 6cm?
Datos: Dr/dt=10cm/s
; r=6cm
d d ( A ) = ( π r 2) dt dt d πr∗dr ( A )=2 dt dt d π∗6∗dr ( A )=2 dt dt
d ( A )=2 π∗( 6 )∗( 10 ) dt d ( A )=337 cm/seg dt
h. Considere un triángulo rectángulo de catetos a y b. Si el cateto a decrece a razón de 0,5 cm/min y el cateto b crece a razón de 2 cm/min. Determine la tasa de variación del área del triángulo cuando a mide 15 cm y b mide 10 cm. Datos: da/dt=0.5 cm ;
A=
db/dt=2 cm ;
ab 2
da db b+ a dt dt A= 2 A=
0.5∗10+2∗15 2
A=
5+30 2
A=
35 2
A=17.5 cm / seg
a=15 cm ;
b=12 cm
i.
Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2 cm/s, mientras que los otros dos lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rectángulo de área constante igual a 50 cm2. ¿Cuál es la variación del lado que se acorta y la del perímetro cuando la longitud del lado que aumenta es de 5 cm?
Datos: Dx/dt=2 cm/seg
; P=2x+2y ; x*y=50 ;
x∗y=50 Procedemos a despejar la y
x∗y=50 → y=
50 50 → y= → y=10 x 5
d d ( x∗y )= ( 50 ) dt dt dy dx x+ y =0 dt dt dy 5+2∗10=0 dt dy −20 = =−4 dt 5 P=2 x+ 2 y P=2
dx dy +2 dt dt
dp/dt=*** ; x=5
P=2∗2+2∗(−4 ) P=4−8 P=−4 cm /seg
j.
Se está llenando un tanque de forma cilíndrica de base circular y 50cm de radio. Se vacía agua dentro del tanque a una velocidad de 20 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que aumenta la altura del agua.
Datos: Radio=50 cm
;
dv/dt=20cm/s
V =π r 2∗h d d ( v )= ( π r 2∗h ) dt dt dv r 2∗dh =π dt dt 2
¿50 ∗dh 20=π dt dh 120 = dt π ¿ 502 dh =254∗10−3 Lts /s dt
Tasa de Variación Media e Instantánea: Problemas de Aplicación 3.
Se conoce que los científicos de Racoon City pueden predecir el número (n) de zombis que habrán en la ciudad de acuerdo al número de día (d) que han pasado, de acuerdo a la función: 0.1d +1
n ( d )=e
Se necesita conocer:
¿Entre qué par de días [1,7]; [8, 14]; [15, 21] y [22, 28] existe una mayor tasa de número de zombis en promedio en Racoon city? ¿Cómo se puede interpretar los resultados?
Además, se necesita conocer cuál es la razón instantánea en los días 15 y 30. ¿Cuál es mayor? ¿Cómo se puede interpretar los resultados?