Betongkonstruksjoner (9788245027952)

Svein Ivar Sørensen

For teknisk fagskole Boka inneholder grunnlag for dimensjonering av enkle betongkonstruksjoner etter Eurokode 2, og er forsøkt tilpasset kunnskapskravene i teknisk fagskole.

Hele eller deler av boka er ment å kunne brukes som pensumlitteratur i aktuelle kurs ved teknisk fagskole. Det er lagt vekt på å forklare de forskjellige beregningsmodellene med et stort antall regneeksempler.

Svein I. Sørensen er professor emeritus ved NTNU. Han har undervist ved NTH/NTNU på alle nivå innen fagområdet betongkonstruksjoner i perioden 1977–2015, og har skrevet kompendier og lærebøker i alle emner innen fagområdet.

ISBN 978-82-450-2795-2

,!7II2E5-achjfc!

BETONGKONSTRUKSJONER

BETONGKONSTRUKSJONER

Svein Ivar Sørensen

BETONGKONSTRUKSJONER FOR TEKNISK FAGSKOLE

Svein Ivar Sørensen

BETONGKONSTRUKSJONER FOR TEKNISK FAGSKOLE

Copyright © 2020 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved 1. utgave / 1. opplag 2020 ISBN: 978-82-450-2795-2 Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Omslagsdesign ved forlaget Sats av forfatteren

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven.

Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

To my dear wife Adelina and our small bichon maltese Alma

FORORD Boka inneholder grunnlag for dimensjonering av enkle betongkonstruksjoner etter NS EN 1992-1-1:2004+NA:2008, også kjent som Eurokode 2.

Boka er forsøkt tilpasset kunnskapskravene i teknisk fagskole.

Forfatteren håper at hele eller deler av boka vil kunne brukes som pensumlitteratur i aktuelle kurs ved de tekniske fagskolene.

Det forutsettes grunnlag i enkel konstruksjonsmekanikk, dvs. likevektslære (statikk) og fasthetslære.

Boka tar for seg dimensjonering og kapasitetskontroll i bruddgrensetilstanden av bjelker, plater, korte søyler, fundamenter og frittbærende veggskiver.

Nedbøyning- og risskontroll av bjelker og plater i bruksgrensetilstanden, prinsipper for før- og etteroppspent betong, samt lastbalansering og dimensjonering av enkle spennbetongbjelker er også tatt med.

Det er lagt vekt på å forklare forskjellige beregningsmodellene med et stort antall regneeksempler.

Forfatteren vil takke Arnulf Netland ved Fagskolen i Hordaland for meget nyttige innspill til innhold i boka, samt grundig gjennomlesing av manus.

Verdal, oktober 2019 Svein Ivar Sørensen

SYMBOLLISTE Ac = betongtverrsnitt As = armeringstverrsnitt As’ = trykkarmeringstverrsnitt As,min = minimumsarmering Asw = skjærarmeringstverrsnitt CRd,c = faktor avhengig av tilslagsstørrelse i formel for skjærstrekkapasitet Ecm = midlere elastisitetsmodul for betong Ec,lang = langtids elastisitetsmodul for betong F = spennkraft Ic = arealtreghetsmoment for betong (andre arealmoment) Is = arealtreghetsmoment for armering K = faktor i uttrykk for momentkapasitet av armert betongtverrsnitt L = lengde M = bøyemoment MEd = dimensjonerende moment i bruddgrensetilstanden NEd = dimensjonerende aksialkraft i bruddgrensetilstanden P = konsentrert last V = skjærkraft VEd = dimensjonerende skjærkraft i bruddgrensetilstanden VRd,c = skjærstrekkapasitet uten behov for skjærarmering VRd,max = skjærtrykkapasitet VRd,s = skjærstrekkapasitet med behov for skjærarmering

b = tverrsnittsbredde b0 = fundamentbredde for sentrisk belastet fundament c = betongoverdekning cnom = nominell overdekning cmin,dur = minste overdekning mht. bestandighet d = effektiv tverrsnittshøyde (avstand fra trykkrand til strekkarmeringstyngdepunkt) e = eksentrisitet fck = karakteristisk sylindertrykkfasthet (28 døgn) fck,cube = karakteristisk terningtrykkfasthet fcm = midlere trykkfasthet fctm = midlere strekkfasthet fcd = dimensjonerende betongtrykkfasthet fyk = karakteristisk stålfasthet fyd = dimensjonerende stålfasthet (flytegrense) fpk = karakteristisk fasthet for spennstål fp0,1k = 0,1%-grense for spennstål fpd = dimensjonerende fasthet for spennstål g = egenlast gEd = dimensjonerende egenlast h = tverrsnittshøyde h’ = avstand mellom strekk- og trykkarmering hF = tykkelse av fundamentplate

k = p = pEd = q = qEd = s = w = w = z =

faktor for mange forskjellige parametre fordelt nyttelast dimensjonerende nyttelast fordelt last dimensjonerende last senteravstand mellom armeringsstenger rissvidde mekanisk armeringsforhold indre momentarm

D = trykksonefaktor Ecc = faktor for bestemmelse av betongfasthet tidligere enn 28 døgn Jc = materialfaktor for betong Js = materialfaktor for armeringsstål G = nedbøyning İ İc İcu İs İyd Ș

M

ȡ ıc ıs

= tøyning = betongtøyning = trykkbruddtøyning i betong = armeringstøyning = flytetøyning i armeringsstål = materialstivhetsforhold (Es/Ec) = kryptall = armeringsforhold = betongspenning = armeringsspenning

INNHOLD Side Kapittel 1.

INNLEDNING…………………………………………………………1

Kapittel 2.

DIMENSJONERINGSGRUNNLAG………………………….............7

Kapittel 3.

MATERIALMODELLER……………………………………..……...15

Kapittel 4.

DIMENSJONERING AV BJELKER OG PLATER FOR BØYEMOMENT……………………………………………….27

Kapittel 5.

DIMENSJONERING AV BJELKER OG PLATER FOR SKJÆRKRAFT…………………………………………………61

Kapittel 6.

DIMENSJONERING AV KORTE SØYLER……………..…….........85

Kapittel 7.

KONTROLL AV NEDBØYNING OG RISSVIDDE……………….107

Kapittel 8.

FUNDAMENTBEREGNINGER……………………………….........125

Kapittel 9.

FRITTBÆRENDE VEGGSKIVER………………………………….147

Kapittel 10. SPENNBETONG……………………………………………………..161 Kapittel 11. BEREGNINGSEKSEMPLER………………………………………..209 APPENDIKS A - DIMENSJONSLØSE M-N-DIAGRAM…………………….…..247 APPENDIKS B – BEREGNINGER FOR M-N-DIAGRAM………………….……253 APPENDIKS C – BØYESTIVHET VED EKVIVALENT BETONGAREALTREGHETSMOMENT…………………..….261 APPENDIKS D – BEREGNING AV MAKSIMALT FELTMOMENT I SYMMETRISK TOFELTSBJELKE ………………………….265

1

Kapittel 1 INNLEDNING

3

Formålet med boka er å gi en innføring i beregning og dimensjonering av enkle konstruksjonselementer i armert betong, dvs. bjelker, plater, søyler og fundamenter.

Hvorfor er det nødvendig med armering, og hvor skal denne plasseres?

Betong har høy trykkstyrke, mens strekkstyrken er bare 8–10 % av trykkstyrken.

I praksis regnes betongen ikke å tåle strekk, slik at strekkreftene tas av armering alene.

Det forutsettes at aktuelle lesere har et grunnlag i konstruksjonsmekanikk, enkel likevektslære (statikk) og enkel fasthetslære.

Ser først på en fritt opplagt betongbjelke belastet med en konsentrert vertikallast midt i feltet, figur 1.1. Ser bort fra fordelt last fra bjelkens egen vekt.

Opplager A er fritt dreibart og horisontalt uforskyvelig.

Opplager B er fritt dreibart og horisontalt forskyvelig ( glide- eller rullelager ).

Figuren viser også diagram for bøyemoment. Vanlig praksis er at momentdiagrammet tegnes på strekksiden av bjelken.

F

A

B L

Moment FL/4 Figur 1.1

4

Tenker oss at vi snitter ut en liten del av bjelken som vist i figur 1.2.

INDRE KREFTER

YTRE LASTVIRKNING

T (trykk )

M z

S (strekk)

Figur 1.2

Kraftlikevekt gir at T = S.

Momentlikevekt gir at M = Tz = Sz

Betong har høy trykkstyrke, men lav strekkstyrke, slik at bjelken vil sprekke opp i underkant.

Med økende bøyemoment vil sprekkene vokse raskt, og bjelken bryter sammen.

For å unngå at det dannes store sprekker som fører til brudd må det legges armering på undersiden, se figur 1.3. Merk at bjelken fortsatt vil sprekke opp, men armeringen vil ta strekkreftene og det dannes ikke store sprekker, men små riss som er fordelt langs bjelken. riss

armering Figur 1.3 En fritt opplagt, ett-felts bjelke kan ha et overheng. Dette kan f.eks. være bærebjelker for en fritt utkraget balkong som vist i figur 1.4.

Strekk

M:

Strekk Figur 1.4

5

Her blir det strekk i overkant ved venstre opplager, og strekk i underkant i feltet mellom opplagrene.

Dette betyr at lengdearmering ( eller momentarmering ) må legges som vist i figur 1.5.

Armering

Figur 1.5

For kontinuerlige bjelker over flere felt blir det på samme måte strekk i underkant mellom opplagrene og strekk i overkant over opplagrene.

En trefelts bjelke må derfor armeres som vist i figur 1.6.

Figur 1.6

Tilbake til den fritt opplagte bjelken igjen, figur 1.7

F

A

B

V = F/2 Skjærkraft V = F/2 Figur 1.7

Skjærkraftretning

6

Igjen tenker vi et utsnitt av bjelken som vist i figur 1.8.

Strekk V V Bjelkeutsnitt

Skjærspenninger (kraft/flateenhet)

Figur 1.8 Ser på et lite element ved høyre snittflate som vist til høyre i figuren.

Skjærspenningene blir like på alle sidene av elementet pga. likevekt så ikke elementet roterer eller forskyver seg vertikalt eller horisontalt.

Skjærspenningene fører til at elementet deformerer seg som vist med den stiplete figuren, og det blir strekk i retning 45o med bjelkeaksen. Dermed dannes det skråriss (skjærriss) som vist i figur 1.9.

For å ta skråstrekket må det legges armering som krysser skjærrissene. Mest effektivt vil det være med skråarmering som vist ved venstre ende av bjelken, men i praksis benyttes vanligvis vertikal bøylearmering som vist ved høyre ende av bjelken.

Bøylearmering

Skråarmering Skjærriss Figur 1.9

I de følgende kapitlene skal vi ta for oss grunnlag for dimensjonering og kapasitetskontroll av enkle betongkonstruksjoner basert på gjeldende regelverk.

Bruken av det teoretiske grunnlaget vil bli forklart med et stort antall regneeksempler.

7

Kapittel 2 DIMENSJONERINGSGRUNNLAG

9

2.1 REGELVERK Fra 2010 er gjeldende standard for dimensjonering av betongkonstruksjoner: NS-EN 1992-1-1:2004+NA:2008 Prosjektering av betongkonstruksjoner.

Del 1-1 : Allmenne regler og regler for bygninger.

Standarden kalles vanligvis Eurokode 2, og i denne boka benyttes forkortelsen EC2 når det henvises til den.

Eurokode 2 gjelder for prosjektering av bygg- og anleggskonstruksjoner med uarmert, armert og spennarmert betong. Den er i samsvar med prinsippene og kravene for konstruksjoners sikkerhet og bruksegenskaper, grunnlaget for prosjektering og verifikasjon av konstruksjoner, gitt i NS-EN 1990 Grunnlag for prosjektering av konstruksjoner.

Den felles europeiske standarden EC2 er EN 1992-1-1:2004, engelsk utgave.

NS-EN 1992 er norsk oversettelse med nasjonalt tillegg (NA) som angir en rekke nasjonale parametre som gjelder spesielt for Norge.

Eurokode 2 gir kun krav til betongkonstruksjoners kapasitet, bruksegenskaper, bestandighet og brannmotstand. Andre krav, f.eks. vedrørende termisk eller akustisk isolasjon, behandles ikke.

Eurokode 2 er forutsatt brukt sammen med: NS-EN 1990: Grunnlag for prosjektering av konstruksjoner NS-EN 1991: Laster på konstruksjoner

2.2 GRENSETILSTANDER Dimensjonering av konstruksjoner gjennomføres ved at det påvises at konstruksjonen tilfredsstiller dimensjoneringsreglenes krav i forskjellige såkalte grensetilstander.

Grensetilstandene er: -

bruddgrensetilstanden bruksgrensetilstanden ulykkesgrensetilstanden utmattingsgrensetilstanden

Disse er definert i NS-EN 1990.

10

Her vil bare brudd- og bruksgrensetilstanden bli behandlet, siden dette er de mest aktuelle tilstandene for vanlige bygg.

Bruddgrensetilstanden I denne tilstanden bestemmes konstruksjonsdelenes kapasitet mot brudd ved beregning på grunnlag av materialenes tøyningsegenskaper og dimensjonerende fastheter.

De aktuelle lastvirkningene bøyemoment, aksialkraft og skjærkraft, samt kombinasjoner av disse, er behandlet i kapittel 4,5 og 6.

Bruksgrensetilstanden I denne tilstanden skal det påvises at konstruksjonen, for sin brukstid, tilfredsstiller krav knyttet til dens bruk og formål. Krav til bruksgrensetilstanden skal også sikre konstruksjonens bestandighet.

Aktuelle krav gjelder opprissing av betong, deformasjoner av konstruksjoner og tetthet mot væskeinntrengning.

Her er bruksgrensetilstanden behandlet i kapittel 7, og hovedvekten er lagt på rissutvikling og deformasjonsberegninger.

2.3 KAPASITETSKONTROLL Kapasitetskontroller går ut på å påvise at konstruksjonens motstand for en bestemt lastvirkning er større enn påkjenningen pga. ytre laster mht. den samme lastvirkningen.

For å kunne vurdere dette må en, i tillegg til å kjenne til aktuelle beregningsmetoder, vite noe om laster og materialenes styrke (fastheter).

LASTER NS-EN 1991 angir karakteristiske verdier for forskjellige belastningstyper, som f.eks. nyttelast, snølast, vindlast osv.

Disse karakteristiske lastene representerer verdier, hvor sannsynligheten for at de overskrides er mindre enn bestemte grenser. Verdiene i NS-EN 1991 er basert på erfaring og målinger, som f.eks. for snølast, hvor Meteorologisk institutt har observasjoner fra et stort antall målestasjoner over hele landet for en lang tidsperiode.

11

Slike måledata har selvsagt en spredning, og kan framstilles med en statistisk fordeling, som vist i figur 2.1.a.

LAST

F

Fk

FEd = Jf Fk

a) LASTER

STATISK BEREGNING

PÅKJENNING

Vm

Vk

VEd = JfVk

b) PÅKJENNINGER

Figur 2.1 Karakteristisk og dimensjonerende last og påkjenning Avhengig av lasttype vil F vanligvis ha benevning kN, kN/m eller kN/m2.

Den statiske beregningen vil gi ytre lastvirkninger på konstruksjonen som aksialkraft, bøyemoment og skjærkraft.

Basert på disse lastvirkningene bestemmes spenninger i betong og armering, med vanlig benevning N/mm2.

Pga. usikkerhet i lastfastsettelsen, legger reglene inn en sikkerhet ved at de karakteristiske lastene multipliseres med lastkoeffisienter, Jf t 1.0 .

Lastkoeffisienter for forskjellige lasttyper og kombinasjoner av disse er gitt i NS-EN 1990.

Vanlig for egenlast Jg = 1.2 og for nyttelast Jp = 1.5.

Ved en statisk beregning av en aktuell konstruksjon for lastene i figur 2.1.a, kan f.eks. en dimensjonerende påkjenning bestemmes. Dette er illustrert ved spenningen VEd = Jf Vk i figur 2.1.b.

FASTHETER Den dimensjonerende spenningen VEd pga. ytre last i figur 2.1.b må videre sammenlignes med styrken av materialet, her representert ved spenning eller fasthet.

EC2, Tabell 3.1 angir karakteristiske verdier for fasthet for trykk- og strekkspenninger, fk.

Punkt NA.3.1.2 definerer forskjellige fasthetsklasser, B20 – B95 for "normalbetong" og LB12 LB75 for betong med lett tilslag.

12

Trykkfasthet Tallet i fasthetsklassebetegnelsen tilsvarer den karakteristiske 28-døgns sylindertrykkfasthet, fck, i tabell 3.1.

Ved dimensjonering tas det hensyn til at virkning av langtidslast reduserer trykkfastheten, og ugunstige virkninger som er en følge av måten lasten påføres ved å multiplisere sylinderfastheten med en faktor αcc = 0,85 se EC2:NA.3.1.6 (1)P. Disse karakteristiske fasthetene er verdier som ikke underskrides med 95% sannsynlighet, og som fastlegges ved standardiserte prøvningsmetoder for betongsylindre vannlagret i 28 døgn.

Ved å dividere fk med materialkoeffisient, Jm t 1.0 , finnes den dimensjonerende fasthet fd som vist i figur 2.2.

fd = fk / Jm

fk

fm

FASTHET

Figur 2.2 Karakteristisk og dimensjonerende fasthet Materialkoeffisienter for betong og armeringsstål finnes i EC2, Tabell NA.2.1N. Mest vanlig er Jc = 1,5 (betong) og Js = 1,15 (armering).

Dimensjonerende trykkfasthet blir da etter EC2 : fcd = αcc·fck / γc = 0,85fck / 1,5 = 0,567fck

(2.1)

Tilstrekkelig kapasitet er betinget av at fd t VEd

(2.2)

Strekkfasthet EC2, Tabell 3.1 gir tre forskjellige strekkfasthetsverdier: fctm = middelverdi av sentrisk strekkfasthet ved 28 døgn fctk, 0.05 = karakteristisk, sentrisk strekkfasthet med 5 % sannsynlighet for underskridelse fctk, 0.95 = karakteristisk, sentrisk strekkfasthet med 5 % sannsynlighet for overskridelse

13

Midlere strekkfasthet antas ü kunne bestemmes som funksjon av trykkfastheten: Fasthetsklasser ≤ B50: fctm = 0,3·(fck)2/3

(2.3)

Fasthetsklasser > B50: fctm = 2,12·ln(1+(fcm/10))

(2.4)

De karakteristiske fasthetene finnes som: fctk, 0.05 = 0,7·fctm

(2.5)

fctk, 0.95 = 1,3·fctm

(2.6)

Dimensjonerende strekkfasthet bestemmes som fctd = Dct· fctk, 0.05 /Jc = 0,85· fctk, 0.05 / fctk, 0.05

(2.7)

Hvor koeffisienten Dct er gitt i NA.3.1.6 (2)P Dersom strekkfastheten bestemmes ved spaltestrekkprøver kan, ifølge EC2, 3.1.2 (8), aksialstrekkfastheten tilnÌrmes som fct = 0,9·fct,sp

(2.8)

Svein Ivar Sørensen

For teknisk fagskole Boka inneholder grunnlag for dimensjonering av enkle betongkonstruksjoner etter Eurokode 2, og er forsøkt tilpasset kunnskapskravene i teknisk fagskole.

Hele eller deler av boka er ment å kunne brukes som pensumlitteratur i aktuelle kurs ved teknisk fagskole. Det er lagt vekt på å forklare de forskjellige beregningsmodellene med et stort antall regneeksempler.

Svein I. Sørensen er professor emeritus ved NTNU. Han har undervist ved NTH/NTNU på alle nivå innen fagområdet betongkonstruksjoner i perioden 1977–2015, og har skrevet kompendier og lærebøker i alle emner innen fagområdet.

ISBN 978-82-450-2795-2

,!7II2E5-achjfc!

BETONGKONSTRUKSJONER

BETONGKONSTRUKSJONER

Svein Ivar Sørensen

BETONGKONSTRUKSJONER FOR TEKNISK FAGSKOLE