2.l. a · x + b = 0 alakú egyenletek, ahol a, b ∈ ℝ 67
2.2. Két kétismeretlenes lineáris egyenletből álló egyenletrendszer. Egyenletek vagy egyenletrendszerek segítségével megoldható feladatok 71
1.l. Kétismeretlenes lineáris egyenletek 71
2.l. Két kétismeretlenes lineáris egyenletből álló egyenletrendszer 73
3.l. Lineáris egyenletrendszerek megoldása helyettesítési és kiküszöbölés módszerekkel 75
4.l. Egyenletekkel vagy lineáris egyenletrendszerekkel megoldható feladatok 79
3. Az adatszervezés elemei 84
3.1. Két halmaz Descartes-féle szorzata. Derékszögű koordináta-rendszer 84
1.l. Két nem üres halmaz Descartes-féle szorzata 84
2.l. A derékszögű koordináta-rendszer 86
3.2. Függvényi kapcsolat 89
1.l. A függvényi kapcsolatok ábrázolása Venn-Euler-diagrammal vagy táblázattal 89
2.l. Függvényi kapcsolat ábrázolása grafikonok vagy diagramok segítségével 91
4. A négyszög 95
4.1. A konvex négyszög. Egy konvex négyszög szögei mértékének összege 95
4.2. A paralelogramma. Tulajdonságok. A paralelogramma alkalmazása a háromszögek geometriájában 98
1.l. A paralelogramma. Tulajdonságok 98
2.l. Elégséges feltételek, hogy egy négyszög paralelogramma legyen 101
3.l. A paralelogramma alkalmazása a háromszögek geometriájában 104
4.3. Sajátos paralelogrammák: téglalap, rombusz, négyzet 108
1.l. A téglalap. Tulajdonságok
2.l. A rombusz. Tulajdonságok
3.l. A négyzet. Tulajdonságok
4.4. A trapéz
1.l. A trapéz: osztályozás, tulajdonságok
A trapéz középvonala
4.5. Kerületek és területek
1.l. Ismétlés
5.2. Körbe írt szabályos sokszögek. A kör kerülete.
6.1. Arányos szakaszok. Az egyenlő közű párhuzamosok tétele 157
1.l. Arányos szakaszok. Szakasz felosztása arányos részekre
2.l. Az egyenlő közű párhuzamosok tétele
6.2. Thalész tétele. Thalész tételének fordított tétele
1.l. Thalész tétele
2.l. Thalész tételének fordított tétele
3.l. Szakasz felosztása arányos részekre
157
161
163
163
166
169
6.3. Hasonló háromszögek. 172
1.l. Hasonló háromszögek. A hasonlóság alaptétele 172
2.l. A háromszögek hasonlósági esetei 177
3.l. A háromszögek hasonlóságának gyakorlati alkalmazása 182
7. Metrikus összefüggések a derékszögű háromszögben 188
7.1. Merőleges vetületek egy egyenesre. A magasságtétel. A befogótétel 188
1.l. Merőleges vetületek egy egyenesre 188
2.l. A magasságtétel 191
3.l. A befogótétel 195
7.2. Pitagorasz tétele. Pitagorasz tételének fordított tétele 199
7.3. A trigonometria elemei a derékszögű háromszögben.
A derékszögű háromszög megoldása
1.l. Trigonometriai elemek a derékszögű háromszögben
2.l. A derékszögű háromszög megoldása
3.l. A derékszögű háromszög alkalmazása a szabályos sokszög elemeinek kiszámítására és más gyakorlati helyzetekben
Összefoglaló feladatok
204
204
209
212
218
A TANKÖNYV BEMUTATÁSA
A VII. osztályos Matematika tankönyv hét fejezetet tartalmaz, 24 tanítási egységet, amelyek megfelelnek az iskolai tantervben foglalt témaköröknek és tartalmaknak. A tanítási egységek 1-2 óra alatt feldolgozható leckékre vannak felosztva.
A leckéket olyan gyakorlati, interaktív tanulási-értékelési tevékenységek egészítik ki, amelyek elősegítik a leckékkel összefüggésben álló specifikus kompetenciák kialakítását.
A tankönyv tartalmaz továbbá:
év elejei felmérőket;
önértékelő miniteszteket;
ismeretfelmérőket;
összefoglaló feldatokat.
állandónak (tényezőnek), vagy hasonlósági aránynak nevezzük. Egy háromszög oldalfelezői egy pontban metszik egymást. A metszéspontot a háromszög súlypontjának nevezzük, és mindegyik oldalfelezőn kétharmad részre van a csúcstól és egyharmad részre az alaptól.
1. értelmezés. Két, ugyanazzal a mértékegységgel mért szakasz aránya egyenlő a szakaszok hosszának az arányával. Feladat. Tibor egy madáretetőt szeretne készíteni, melynek a képen látható fa lécváza van. Minden léc egyforma hosszúságú. Van egy 3,2 méter hosszú farúdja. Mekkora lehet egy léc maximális hossza?
Tanulási tevékenységek
10. b) A 10 és 15 számok legkisebb közös többszöröse: A. 100; B. 50; C. 30; D. 5. c) Ha egy természetes szám és a a + + 7 2 egész szám, akkor az értéke: A. 3; B. 0; C. 1; D. –1. d) Miután egy sportoló megtette az út 30%-át, észrevette, hogy még hátra van 8,4 km. Az út hoszsza: A. 10 km; B. 12 km; C. 84 km; D. 42 km. 6. Mutasd ki, hogy: a) a 2 + 2 szám osztható 9-cel, bármely n természetes szám esetén. b) a 4 m + 8 szám 4-nek többszöröse, bármely nullától különböző természetes szám esetén. c) 3 nem osztja a 2 + 6 számot, bármely p természetes szám esetén sem. 7. Vizsgáld meg, hogy az 1 2 1 4 1 8 1 16 1 3 1 9 1 27 1 81 szám pozitív, negatív vagy nulla!
8. Határozd meg: a) természetes számot az x 4 9 aránypárból. b) az y egész számot a 3 27 y y aránypárból. 9. Határozd meg az a, b és c számokat, tudva, hogy egyenesen arányosak 2, 5 2 és 3 számokkal, valamint számtani közepük 25 10. Oldd meg a következő egyenleteket: a) 1,3 + 2,73 = 2 (1,2 – 1); b) xx 2 4 9 7 6 ; c) 51 10 23 6 1 3 xx 11. Egy csoport gyerek úgy döntött, hogy a csoport egyharmada részt vesz egy síversenyen, a többi 14 gyerek pedig csak szurkol nekik. Határozd meg a csoportban levő gyerekek számát! 12. Dávid ajándékot vásárolt András, Károly és Vencel barátainak. András ajándéka pénzének 2 5 -ébe, Károly ajándéka 8 lejjel kevesebbe, Vencel ajándéka pedig 31 lejbe került. Tudva, hogy az ajándékok megvásárlása után Dávidnak még 13 leje maradt, számítsd ki az ajándékokra elköltött összegeket! 13. Valamelyik építkezési anyagraktárból 22 tonna cementet adtak el, azaz a raktárban levő cementmennyiség 5 8 -át, második nap pedig a megmaradt mennyiség 3 4 -ét. Határozd meg a két eladás után a raktárban maradt cement mennyiségét! 14. Másold a füzetbe a mellékelt táblázatokat,
Javasolt tanulási tevékenységek
A címszavakról
Emlékeztető
Előző leckékben elsajátított fogalmak és ismeretek, melynek célja, hogy logikus kapcsolatokat teremtsünk az új lecke tartalmával.
Oldjuk meg figyelmesen!
Felfedezésen alapuló mintafeladatok és gyakorlatok; új ismeretek felismerése vagy következtetése.
Fedezzük fel, értsük meg!
A tantervben foglalt tartalmak, példák, magyarázatok, megoldási módszerek.
Alkalmazás
Megoldott példák; a lecke fogalmai közötti kapcsolatot bemutató fontosabb matematikai eredmények; ismétlés; hétköznapi alkalmazás.
Miniteszt
Objektív, félig objektív tételek, amelyeken keresztül a tanuló felismeri a tananyag megértésének szintjét.
Gyakorlatok és feladatok
Fokozatos nehézségi szintű, illetve a tanegység tartalmát követő tevékenységek.
Jegyezd meg!
A tanult fogalmak gyakorlati alkalmazásához hasznos matematikai eredmények.
Olyan egyéni vagy csoporttevékenységek, amelyek során a tankönyvi modellben leírt lépéseket követjük. Feladat a portfólióba
1. Adatok, mennyiségek és matematikai relációk felismerése adott környezetben
1.1. ℝ adott részhalmazában található számok meghatározása
1.2. Lineáris egyenlet vagy egyenletrendszer segítségével megoldható feladatok felismerése
1.3. Információk kikeresése táblázatokból, grafikonokból és diagramokból
1.4. Sajátos négyszögek felismerése adott mértani alakzatokban
1.5. Kör és/vagy szabályos sokszög elemeinek felismerése adott mértani alakzatokban
1.6. Hasonló háromszögek felismerése adott mértani alakzatokban
1.7. Egy derékszögű háromszög elemeinek felismerése adott mértani alakzatban
2. Mennyiségi, minőségi, strukturális matematikai adatok feldolgozása változatos tájékoztatási forrásokból
2.1. A számítási szabályok alkalmazása valós szám becslésére és közelítő értékének kiszámítására
2.2. A számítási szabályok használata lineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldásának ellenőrzésére
2.3. Adatfeldolgozás táblázat, grafikon vagy diagram formájában rögzítés és bemutatás céljából
2.4. Négyszögek leírása értelmezés és tulajdonságok felhasználása adott mértani konfigurációban
2.5. A kör és a körbe írt szabályos sokszögek tulajdonságainak leírása.
4. Adott helyzetre vonatkozó információk, következtetések, megoldási eljárások kifejezése sajátos matematikai nyelvezeten
4.1. A valós szám fogalmára vonatkozó terminológia használata (előjel, abszolút érték, modulus, ellentett, inverz)
4.2. Lineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldásának leírása
4.3. Az adatszervezés egyes elemeinek kifejezése sajátos matematikai nyelvezeten
4.4. A négyszögekkel kapcsolatos fogalmak kifejezése geometriai nyelvezeten
4.5. A kör és a szabályos sokszögek tulajdonságainak leírása kifejezése sajátos matematikai nyelvezeten
4.6. Egyes alakzatok tulajdonságainak kifejezése a hasonlóság segítségével, matematikai nyelvezeten
4.7. Egy derékszögű háromszög elemei közt fennálló relációk kifejezése matematikai nyelvezeten
5. Adott helyzet matematikai jellemzőinek elemzése
5.1. Valós számokra vonatkozó feladatok megoldási stratégiájának kidolgozása
5.2. Módszerek megállapítása lineáris egyenletek és egyenletrendszerek megoldására
5.3. Gyakorlati helyzetek elemzése adatszervezés révén
5.4. Megfelelő geometriai ábrázolás választása szakaszok hoszszának, szögek mértékének és felületek területének kiszámítására
5.5. A kör és a szabályos sokszögek bizonyos tulajdonságainak magyarázata mértani ábrázolás alapján
5.6. A háromszögek hasonlóságának értelmezése geometriai alakzatokban
5.7. Egy derékszögű háromszög elemei között fennálló metrikus összefüggések magyarázata
6. Adott helyzet matematikai modellezése különböző területek ismeretanyagának beépítésével
6.1. Valós számokkal végzett műveleteket maga után vonó gyakorlati helyzet matematikai modellezése
6.2. Adott helyzet átültetése a matematikába, lineáris egyenletek és/vagy egyenletrendszerek segítségével
6.3. Adott helyzet átültetése megfelelő ábrázolás segítségével (szöveg, képlet, grafikon)
6.4. Adott helyzet modellezése négyszögekre vonatkozó geometriai ábrázolással
6.5. Szabályos sokszögekkel vagy körrel kapcsolatos gyakorlati helyzetek matematikai modellezése
6.6. Adott helyzet megoldását célzó stratégia végrehajtása, háromszögek hasonlóságának alkalmazásával
6.7. Adott helyzet megoldását célzó stratégia végrehajtása, derékszögű háromszögben érvényes metrikus összefüggések alkalmazásával
Soha Néha Gyakran Mindig
Mindegyik tanulási egység végén értékeld az elvégzett munkádat és azt, hogy hogyan érezted magad a leckék során!
ISMÉTLÉS ÉS ÉV ELEJEI FELMÉRŐK
1. Adott az A 8 4 3 05 78 13 7 4 633220 , , ,,,:,
halmaz. Határozd meg az AA A ∩ ∩ ,,\. halmazokat!
2. Számítsd ki a 23 6 és 63 22 számok közötti egész számok összegét!
3. Adottak az x = 2,7; y = 1 1 2 és z xy 11 számok.
Határozd meg a z · (x – y2) szorzat értékét!
4. Mutasd ki, hogy az n 4 3 4 3 4 3 034 8 9 2 ,: természetes szám!
5. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
a) A 10 és 15 számok legnagyobb közös osztója:
A. 25; B. 30; C. 5; D. 10.
b) A 10 és 15 számok legkisebb közös többszöröse:
A. 100; B. 50; C. 30; D. 5.
c) Ha a egy természetes szám és a a + + 7 2 egész szám, akkor az a értéke:
A. 3; B. 0; C. 1; D. –1.
d) Miután egy sportoló megtette az út 30%-át, észrevette, hogy még hátra van 8,4 km. Az út hoszsza:
A. 10 km; B. 12 km; C. 84 km; D. 42 km.
6. Mutasd ki, hogy:
a) a 2n + 3 + 2n szám osztható 9-cel, bármely n természetes szám esetén.
b) a 4 ⋅ m + 8m szám 4-nek többszöröse, bármely m nullától különböző természetes szám esetén.
c) 3 nem osztja a 2p + 6p, számot, bármely p természetes szám esetén sem.
7. Vizsgáld meg, hogy az
pozitív, negatív vagy nulla!
8. Határozd meg:
a) az x természetes számot az x x 4 9 aránypárból.
b) az y egész számot a 3 27 y y aránypárból.
9. Határozd meg az a, b és c számokat, tudva, hogy egyenesen arányosak 2, 5 2 és 3 számokkal, valamint számtani közepük 25.
10. Oldd meg a következő egyenleteket: a) 1,3 ⋅ x + 2,73 = 2 ⋅ (1,2 ⋅ x – 1); b) xx 2 4 9 7 6 ; c) 51 10 23 6 1 3 xx .
11. Egy csoport gyerek úgy döntött, hogy a csoport egyharmada részt vesz egy síversenyen, a többi 14 gyerek pedig csak szurkol nekik. Határozd meg a csoportban levő gyerekek számát!
12. Dávid ajándékot vásárolt András, Károly és Vencel barátainak. András ajándéka a pénzének 2 5 -ébe, Károly ajándéka 8 lejjel kevesebbe, Vencel ajándéka pedig 31 lejbe került. Tudva, hogy az ajándékok megvásárlása után Dávidnak még 13 leje maradt, számítsd ki az ajándékokra elköltött összegeket!
13. Valamelyik építkezési anyagraktárból 22 tonna cementet adtak el, azaz a raktárban levő cementmennyiség 5 8 -át, második nap pedig a megmaradt mennyiség 3 4 -ét. Határozd meg a két eladás után a raktárban maradt cement mennyiségét!
14. Másold a füzetbe a mellékelt táblázatokat, majd töltsd ki betartva a következő szabályt: egy sorban levő két szomszédos cella számtani közepét írd a fölöttük található. Határozd meg az x értékét, tudva, hogy az összes cella kitöltése után az a és b szám egyenlő lesz!
2 14 16 28 a 3 5 x 9 b
15. Az x számból elindulva, elvégezve az ábrán feltüntetett műveleteket a jobb oldali cellában található számot kapjuk, bármely útvonalon is haladjunk. Határozd meg az x és y számot! xy
22. Az ABC háromszög derékszögű, A∢ = 90° és
AB = AC. Az A külső szög szögfelezője metszi a C külső szög szögfelezőjét a D pontban. Határozd meg a következő kijelentések logikai értékét:
a) AD || BC;
b) ADC∢ = 100°;
c) ADC∆ egyenlő szárú;
d) ABD∢ ≡ CBD∢; e) ADB∢ = 110° 30'.
23. Az ABC háromszögben AB = AC = 10 cm, A∢ = 120°, AD a BAC szög szögfelezője, D∈BC, és M az AB oldal felezőpontja. Töltsd ki az üres helyeket, hogy igaz mondatokat kapj!
16. Az AD szakasz tartalmaza a B és C pontot, AB = 4 cm, AC = 12 cm, AD = 20 cm. Mutasd ki, hogy a C pont a BD szakasz felezőpontja!
17. Az O, A, B, C pontok ebben a sorrendben kollineárisak, és az OA, AB és BC szakaszok hossza centiméterben kifejezve páros egymás utáni természetes számok. Tudjuk, hogy M az AC szakasz felezőpontja és OM = 11 cm. Számítsd ki:
a) az OC szakasz hosszát; b) az OB szakasz N felezőpontja és az M pont közötti távolságot!
18. Az AOB és a COD szögek csúcsszögek, O ∈ AC, és PO ⊥ BD, P∈ Int AOD∢. Ha COP∢ = 133°, számítsd ki az AOB és BOC szögek mértékét!
19. Az AOB, BOC, COD és DOA szögek az O pont körüli szögek, AOB∢ = 80°, BOC∢ = 140° és CO ⊥ OD.
a) Számítsd ki az AOC és az AOD szögek mértékét!
b) Bizonyítsd be, hogy az OC félegyenessel ellentétes félegyenes az AOB szög szögfelezője!
20. Igazak az ABC háromszög oldalai közötti alábbi relá-
ciók: 12 222 BCACAB ABBCAC+=+=+= cm.
Másold a füzetedbe és töltsd ki az üres helyeket, hogy igaz kijelentéseket kapj!
a) AB = … cm; c) BAC∢ = … °; b) K∆ABC = … cm; d) ABC∢ = … °.
21. Adott az xOy szög, amelynek mértéke 120° és az
A∈Ox, illetve B∈Oy pontok úgy, hogy AO = BO. Az AO és BO szakaszok felezőmerőlegesei a C pontban metszik egymást. Bizonyítsd be, hogy:
a) AOC∆ ≡ BOC∆; b) ABC∆ egyenlő szárú; c) AC || OB.
a) ABC∢ = … °; d) AD = ... cm;
b) ADB∢ = … °; e) DM = ... cm; c) BMD∢ = … °; f) d(M, BD).
24. Az AB szakasz a C(O, r) kör átmérője. A körön az AB egyenes különböző oldalán felvesszük a C és D pontot úgy, hogy BOC∢ = 45°, és az AD és BD ívek pedig kongruensek. Bizonyítsd be, hogy OC⊥AD
25. A DEF háromszögben tudjuk, hogy DE = 7 cm, DF = 24 cm és EF = 25 cm.
a) Igazold, hogy a háromszög derékszögű!
b) Ha DL a háromszög oldalfelezője, akkor számítsd ki a LED háromszög kerületét!
26. Adott az ABC tulajdonképpeni szög. Az A ponton keresztül a BC egyeneshez húzott párhuzamos egyenes a D pontban metszi a szög szögfelezőjét.
a) Bizonyítsd be, hogy AB ≡ AD.
b) Ha BC ≡ DC, akkor bizonyítsd be, hogy AC ⊥ BD.
27. A BC egyenes két különböző oldalán felvesszük az ABC és DBC egyenlő oldalú háromszögeket. A BE szakasz az ABC háromszög oldalfelezője, a BF pedig a BCD háromszög magassága.
a) Bizonyítsd be, hogy a BEF háromszög egyenlő oldalú!
b) Számítsd ki a BP CP arány értékét, ha P pont a BC és EF egyenesek metszéspontja!
28. Tekintsük az AB szakasz felezőmerőlegesén az AB szakasz felezőpontjától különböz C és D pontokat.
a) Bizonyítsd be, hogy ACD∆ ≡ BCD∆!
b) Tudva, hogy CDB∢ = 38°, számítsd ki ADB∢ mértékét!
29. Az ABC és a DBC háromszögek derékszögűek, A∢ = D∢ = 90° és E a BC oldalának felezőpontja.
a) Ha az A, E, D pontok nem kollineárisak, bizonyítsd be, hogy az AED háromszög egyenlő szárú!
b) Ha AD⊥BC, bizonyítsd be, hogy ABC∆ ≡ DBC∆!
I. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
5p 1. A 2,25 szám irreducibilis közönséges törtként írva a következő:
5p 4. Az a = ( 289) : ( 2 · 9 + 1) és b = (– 2)4 számok különbsége:
A. 1; B. 1; C. 33; D. 33.
5p 5. Az egyenlő oldalú háromszög egyik középvonalának hossza 4 cm. A háromszög kerülete:
A. 12 cm; B. 24 cm; C. 36 cm; D. 18 cm.
5p 6. Az ABC háromszögben A∢ = 100°, B∢ = 4·C∢. A B szög mértéke:
A. 60°; B. 24°; C. 64°; D. 16°.
5p 7. Az ABC háromszögben AB = AC, BAD∢ = CAD, D∈BC. Az ADB szög mértéke:
A. 45°; B. 60°; C.180°; D. 90°.
5p 8. A DEF háromszögben DEF, D∢ = 90°, M∈EF, ME = MF és DM = 5 cm. Az EF oldal hossza:
A. 10 cm; B. 5 cm; C. 2,5 cm; D. 15 cm.
II. Írd le a teljes megoldást!
1. Adott az a = 4 · 23 + 6 · 1 3 2 szám.
15p a) Bizonyítsd be, hogy a = 1 6
10p b) Számold ki az a szám tizedesjegyének összegét!
2. Az ABC egyenlő oldalú háromszög kerülete 39 cm, az M és az N pont pedig az BC illetve az AC oldal olyan pontja, amelyre BM = 5 cm és MN ∥ AB.
10p a) Határozd meg az ANM szög mértékét!
15p b) Számold ki a CMN háromszög kerületét!
2. év elejei felmérő
I. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
5p 1. A számítások elvégzése után az a = 10 15 + 10 · ( 1,5 ) szám értéke:
A. 15; B. 20; C. 20; D. 10.
5p 2. 36 és 48 legkisebb közös többszöröse:
A. 72; B. 108; C. 144; D. 288.
5p 3. Ha x · y = 4,5 és z y = 4, akkor az x · z szorzat egyenlő:
A. 8,5; B. 0,5; C. 9; D. 18. 1.
Hivatalból 10 pont. Munkaidő: 50 perc
5p 4. A kerékpár ára 850 lej. 12%-os áremelés után a kerékpár új ára:
A.1020 lej; B. 960 lej; C. 2010 lej; D. 1120 lej.
5p 5. Egy 12 cm alapú egyenlő szárú háromszög kerülete 28 cm. A kongruens oldalak hossza:
A. 12 cm; B. 8 cm; C. 16 cm; D. 14 cm.
5p 6. Az ABC háromszög B és C csúcsánál levő külső szögeinek mértéke 105° és 130°. A háromszög A szögének mértéke:
A. 65°; B. 85°; C. 55°; D. 75°.
5p 7. DEF∆≡ MNP∆ , DE = 8 cm, EF = 0,75 · DE, DF = 2 · EF. Az MP szakasz hossza:
A. 8 cm; B. 6 cm; C. 9 cm; D. 12 cm.
5p 8. AM és BN oldalfelező az ABC háromszögben, AM ∩ BN ={G}. Ha AM = (2x + 1) cm, GM = (x 2) cm, akkor az x szám egyenlő:
A. 7; B. 3; C. 4; D. 6.
II. Írd le a teljes megoldást!
1. Robi három nap alatt tesz meg kerékpárral egy útvonalat. Az első napon az útvonal egyharmadát teszi meg, a második napon 24 km-t, a harmadik napon pedig a teljes útvonal 5 12 -ed részét. Számold ki:
15p a) az útvonal hosszát; 10p b) minden egyes napon megtett út hosszát.
2. Az A, B, C pontok ebben a sorrendben kollineárisak, AB = 3cm, AC = 9 cm. Az AC egyenes B pontjában merőlegest állítunk, melyen felvesszük a D pontot úgy, hogy BD = 6 cm és E a BD szakasz felezőpontja. 5p a) Készíts a munkalapra egy ábrát, amely megfelel a feladat adatainak!
10p b) Bizonyítsd be, hogy ABD∆≡ EBC∆ . 10p c) Bizonyítsd be, hogy CE ⊥ AD.
1. Tanuljunk mértant GeoGebra segítségével
PROJEKTEK
2. Az adatok rendszerezése Microsoft Excel vagy Microsoft Word segítségével
Ha részt veszel a javasolt projektekben, fejleszteni fogod számítógépes ismereteidet és képes leszel:
· elkészíteni egy gyakorisági táblázatot, és bemutatni azt a kért formában;
· pontos mértani ábrákat készíteni;
· intuitív módon bizonyítani a mértani ábrák tulajdonságait;
· kiszámolni a szögek mértékét, a szakaszok hosszát, távolságokat, területeket;
· animációkat készíteni alapvető geometriai elemekkel;
· mértani ábrához vagy animációhoz tartozó szöveget megjeleníteni.
KUTATÁS
· az előállított adattáblázat felhasználásával egy adatsorhoz kapcsolódó diagramokat készíteni;
· kiszámolni egy számhalmaz elemeinek átlagát;
· rendezni egy adatsort;
· adatokat beilleszteni és eltávolítani egy szerkesztett adatsorból;
· Excel- vagy Word-fájlt szerkeszteni és menteni.
Időutazásra hívunk a matematikusok felfedezéseinek világába. Ha eleget teszel a felkérésünknek, és társakkal vagy egyénileg megvizsgálod a javasolt témákat és dokumentálódsz, újra beléphetsz a matematika lenyűgöző világába.
1. A VALÓS SZÁMOK HALMAZA
1.1. Természetes számok négyzetének négyzetgyöke.
Egy pozitív racionális szám négyzetgyökének becslése
1.l. Természetes számok négyzetének négyzetgyöke
Emlékeztető
ℕ = {0, 1, 2, 3, …}, a természetes számok halmaza;
ℤ = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}, az egész számok halmaza;
ℚ = az a b abb,,, cu 0 alakú számok halmaza, ahol a b abb,,, cu 0 , racionális számok halmaza. Igaz a következő bennfoglalás:
Ha ab , , valamint np , ∈ , akkor: aaa aa aaa abab abab npnp npnp npnp nnn nnn : ::
Az x ∈ ℕ számot négyzetszámnak nevezzük, ha létezik olyan n ∈ ℕ szám, melyre igaz, hogy x = n2 .
Oldjuk meg figyelmesen!
888∈∈∈ ,, 777 ,, 1 5 1 5 1 ,,5 3333 14145 1111
:
0620620300 29 222 ,:,:,,() = () ==
49 négyzetszám, mert 49 = 72 256 négyzetszám, mert 256 = 162
a) Keressük meg azokat a természetes számokat, melyeket négyzetre emelve a következő eredményeket kapjuk: 16, 49, 225. Próbálgatással kapjuk, hogy: 42 = 16, 72 = 49, 152 = 225.
b) Határozzuk meg annak a négyzetnek oldalhosszát, melynek területe 144 cm2
T = l 2 és T = 144 2 cm . Tehát l 22 12 = , azaz l = 12cm
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés: Legyen x ∈ , négyzetszám. Az n természetes számot az x szám négyzetgyökének nevezzük, ha x = n2
Így írjuk: xn = így olvasd: négyzetgyök alatt x egyenlő n-nel
Az n természetes számot az x szám másodrendű gyökének is nevezhetjük.
255 = , mivel 5 ∈ ℕ és 25 = 52
819 = , mivel 9 ∈ ℕ és 81 = 92
00 = , mivel 0 ∈ ℕ és 0 = 02
52923 = , mivel 23 ∈ ℕ és 529 = 232.
Azt a műveletet, melynek során az x négyzetszámnak megfeleltetünk egy olyan n természetes számot, melyre igaz, hogy x = n2 négyzetgyökvonásnak vagy másodrendű gyökvonásnak nevezzük.
Egy négyzetszám négyzetgyökének értelmezése alapján következik, hogy: xnxn 2 , ahol n ∈ ℕ
Tehát nn 2 = , n ∈ ℕ esetén.
Igazak az alábbi összefüggések:
a) xyxy , bármely x, y ∈ ℕ négyzetszám esetén.
b) x y x y = , bármely x ∈ ℕ és bármely y ∈ ℕ* négyzetszám esetén.
c) xyxy , x, y ∈ ℕ, négyzetszámok, x y x y = , x ∈ ℕ, y ∈ ℕ* négyzetszám esetén.
Hasonlítsuk össze az alábbi eredményeket: 169255 és 169437 ; 5 ≠ 7. 1692514412 és 169251358 ; 12 ≠ 8. 169169 1692516925
Jegyezd meg!
xy + és xy + különbözőek bármely x és y nullától különböző négyzetszám esetén.
xy és xy különbözőek bármely x és y nullától különböző négyzetszám esetén, ahol x > y
nn 2 = , bármely n ∈ ℕ esetén.
xnxn 2, ahol x ∈ ℕ négyzetszám és n ∈ ℕ.
xyxy x y x y y ;,, 0 ahol x, y négyzetszámok.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. A 102 és 201 számok közötti négyzetszámok száma: A. 2; B. 3; C. 4; D. 5.
30 p 2. Ha x∈ℕ , akkor 2 x egyenlő:
A. 2 · x; B. x; C. x; D. x4
30 p 3. Az 241 1234 ++⋅ szám egyenlő:
A. 1 + 2 + 3·4; B. 12; C. 1 + 2 + 32·4; D. 21.
Gyakorlatok és feladatok
1. a) Írd le a 123 és 321 közötti összes négyzetszámot!
b) Írd le az összes 700-nál nagyobb és 1000-nél kisebb négyzetszámot!
2. Vizsgáld meg, hogy az alábbi számok közül melyik egy természetes szám négyzete. Indokold a választ!
a) 64, 100, 140, 333, 1000000.
b) 24, 42 · 9, 36, 218, 109, 52·n, 64 · n + 1 , n ∈ ℕ.
3. Másold le a füzetbe az alábbi táblázatokat, majd
egészítsétek ki az üres cellákat, ahol x természetes szám.
a) x 4 1 0 2 7 11 x2
b) x2 9 36 400 0 121 49 x 2 x
4. Határozd meg az alábbi kijelentések logikai értékét!
p142 : = ; p212111 : = ; paa 3 2 : = , bármely a ∈ ℕ esetén;
p4 2 :1111 ;
pcc 5 2 :, = c ∈ ℤ; pbb 6 10042:10 , bármely b ∈ ℤ.
5. Számítsd ki:
a) x = 92 + 122, majd x ;
b) y = 252 – 72, majd y .
Megjegyzés: Munkaidő: 15 perc
Hivatalból: 10 pont
6. Végezd el!:
a) 1 + 81121 ;
b) 1 64 2 ⋅ + 1 81 3 ⋅ + 1 144 4 ⋅ ;
c) 102025 ++ ;
d) 642324 +⋅ .
7. a) Egészítsd ki az üres részeket olyan természetes számokkal melyekre érvényesek az egyenlőségek: 22 · 34 = (…)2; 22 · 34 · 56 = (…)2; 2100 : 284 = (…)2; 26 · 52 = (…)2.
b) Az a) alpont eredményeit használva számítsd ki! 23235 24246;;2225 1008462 :;.
8. Írd le mindegyik gyökjel alatti számot, mint egy természetes szám négyzetét, majd végezd el a számításokat:
a) 115632491296 ;
b) 1936 1 2 3844 + ;
c) 15490046656 ,
9. a) Adott az
A = 1 + 2 + … + 10 + 10 · (20 + 23 + 24 + 25). Bizonyítsd be, hogy A négyzetszám, és számold ki A értékét!
b) Adott a B = 1 + 3 + 5 + … + 19 szám. Bizonyítsd be, hogy B négyzetszám, és számold ki B -t.
c) Adott a következő szám:
C = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), n ∈ ℕ*. Bizonyítsd be, hogy C négyzetszám, és számold ki C -t.
10. Próbálkozással ellenőrizd az alábbi kijelentéseket:
a) Ha a, b ∈ ℕ*, akkor abab 22 .
b) Ha a, b ∈ ℕ* , a > b, akkor abab 22 .
2.l. Racionális számok négyzetének négyzetgyöke
Emlékeztető
Az előző leckéből tudjuk, hogy:
xyxy ; x y x y y ,0 ; nn 2 = ; xnxn 2 , x és y négyzetszámok, n ∈ ℕ
Az x = 0 esetén x ==00
Az x ∈ ℚ szám abszolút értéke: x x x , , ha x ha x 0 0 xx x 35035 ,, xx x 4044
Vizsgáljuk meg, hogy létezik-e x , ha x pozitív racionális szám. Előbb azokkal a racionális számokkal foglalkozzunk, amelyek pozitív racionális számok négyzetei. .
Oldjuk meg figyelmesen!
Egy négyzet területe 1,69 cm2 Határozd meg a négyzet oldalának hosszát!
I. Megoldás: T □ = l2 , T □ = 1,69 cm2. Tehát l2 = 1,32 , azaz l = 1,3 cm.
II. Megoldás: T □ = l 2 , T □ = 1,69 cm2
Tehát l 2 = 1,69 = 169 100 , azaz ll 169 100 13 10 1313 ,, cm,
Vagy l 169131,3 ⇒ l= ,,21,3 cm.
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés:
Az x pozitív racionális szám négyzetgyökének nevezzük azt az a pozitív racionális számot, melyre igaz x = a2 . Így írjuk: xa = . négyzetre emelés 1,2 1,44 négyzetgyökvonás
Számoljuk ki kétféleképpen az a = 14,4 és b = 00025 , számokat.
1) a ===== 144
144 100 144 100 12 10 12,, ; b ===== 00025 25 10000 25 10000 5 100 00 ,,5 2) a 1441212 2 ,,, ; b 00025005005 2 ,,, .
Megjegyzés: Fontos, hogy az előnyösebb módszert válasszuk.
Észrevehető, hogy hasonlóan lehet négyzetgyököt meghatározni akkor is, ha a szám szakaszos végtelen tizedes tört formájában van megadva. 17 171 9 16 9 16 9 4 ,3 és 3361 3361336 900 3025 900 121 36 11 ,6 .
Tudjuk, hogy nn 2 = , bármely n ∈ ℕ esetén. Mit jelent a x 2 , ahol x ∈ ℚ.
Ha x = 1,5 akkor xx 221522515 ==== ,,, .
Ha x = –1,5 akkor –x = –(–1,5) = 1,5, valamint xx 221522 ,,515,.
Jegyezd meg!
xx 2 = , bármely x ≥ 0 esetén. xx 2 , bármely x < 0 esetén.
Ha az x racionális számról nem tudjuk eldönteni, hogy pozitív vagy negatív, akkor az általános képletet használjuk.
Alkalmazás
1. Megoldott feladat:
a) Kiszámoljuk a x 2 értékét, ha x = 8,9 – 5 : 4. Előbb elvégezzük a számításokat: x = 8,9 – 1,25 = = 7,65. Mivel x > 0, alkalmazzuk a xx 2 = és
kapjuk, hogy x 22 765765,,
c) Számítsd ki x 2 értékét, ha x = 2 – 1,2 : 0,4.
Tudjuk, hogy xx 2 = és x 21204 ,:, .
Elvégezzük a szükséges műveleteket, és kapjuk, hogy: xx2212042311 ,:,
2. Megoldott feladat:
a) 144912336 ,,, és 1449129636 ,,,.
b) 144 9 12 3 ,04 , , == és 144 9 01 ,604 ,, ==
Jegyezd meg!
b) Kiszámoljuk a x 2 értékét, ha x = 2,7 – 9 : 2. Előbb elvégezzük a számításokat: x = 2,7 – 4,5 = – 1,8.
Mivel x < 0, akalmazzuk a xx 2 képletet, és kapjuk, hogy x 221818 ,, xx 2 = , bármely x racionális szám esetén.
Megjegyzés: 22 ()xx=−⇔ xx =− , bármely x racionális szám esetén.
Igazak az alábbi összefüggések:
xyxy , bármely x, y racionális szám négyzete esetén.
x y x y = , bármely x és y racionális szám négyzete esetén, y ≠ 0.
Ha x egy racionális szám négyzete, akkor azt az a pozitív racionális számot, melyre igaz x = a2 a szám négyzetgyökének, vagy az x másodrendű gyökének nevezzük. Így írjuk: xa = .
Bármely olyan x és y szám esetén, melyek racionális számok négyzetei, tudjuk, hogy:
• xyxy és x y x y = , y ≠ 0; • aa 2 = , bármely a ∈ ℚ esetén.
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. 3,24 négyzetgyöke:
A. 1,62; B. 1,6; C. 1,82; D. 1,8.
30 p 2. Ha a, b∈ℚ , a > 0 és b < 0, akkor 122 0,25 4 ab ⋅+⋅ szám egyenlő:
A. 22 ab + ; B. 22 ab −+ ; C. 22 ab ; D. 22 ab
30 p 3. Ha 4 9 c = , 44 99 d = , akkor a c − d számítás eredménye:
A. 0; B. 444 999 ; C. 4 3 ; D. 1.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc. Hivatalból: 10 pont Miniteszt
2. Adott az M 144 36 25 4 16 3 1 16 ,;17;;;,. halmaz. Határozd meg a P halmaz x elemeit, ha xyyM,.!
3. Másold a füzetbe az alábbi táblázatokat, majd töltsd ki mindkét táblázat üres celláit tudva, hogy a egy racionális szám.
a) a 1 –1 0 –0,5
4. Számítsd ki az m és n számok összegét tudva, hogy:
a) m 1009 , és n 2 49 25 ;
b) m 2 5 25 4 és n 0662,,5 .
5. Számítsd ki:
a) 1 9 81 25 3 300 1 9 16 3 13 36 5 29 100 ;;;;;;
b) 08101619 ,;64412025 ,;,;,;,;
6. Vonj gyököt, végezd el a számításokat, és tanulmányozd, hogy az
a = 3 2 4,84 2,25 +3,6· 82 : 273 egész szám-e!
7. Határozd meg az n egész szám értékeit az alábbi esetekben:
a) n2 = 81;
b) n2 = 169 és n > 0;
c) n2 = 900 és n < 0.
8. Adott az A = {–3, –2, –1, 0, 1, 2} halmaz. Határozd meg:
a) azt a B halmazt, melynek elemei az n számok, ahol nxxA 2 ,;!
b) azt a C halmazt, melynek elemei az m számok, ahol mnnB ,.!
3.l. Pozitív racionális szám négyzetgyökének
Emlékeztető
Pitagorasz tétele. Bármely derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a két befogó négyzetének összegével.
A becslés egy mennyiség közelítő meghatározását jelenti, ha az adatok nem pontosak vagy hiányosak. Míg a megközelítésnél ismerjük az eltérés maximális mértékét, a becslés esetében nem tudjuk, hogy milyen közel vagyunk a pontos értékhez.
Ha egy számítás során a számoknak megközelítő értékeit használjuk, akkor becsült eredményt kapunk.
Oldjuk meg figyelmesen!
Feladat
Sára és Noémi vásárolni ment Csilla nővérükkel. Három, egyenként 32,9 lejes mértani felszerelést, öt doboz, egyenként 19,29 lejes filctollat valamint tíz, egyenként 10,5 lejes füzetet vásároltak.
Ha az ABC háromszögben A = 90 , akkor igaz a BC 2 = AB 2 + AC 2 összefüggés.
A Băneasa erdőben levő fák mennyiségét pár százezerre becsülik.
A főváros lakosságát több mint kétmillióra becsülik.
A célig hátralevő időt egy órára becsülik.
Ha hiánnyal közelítjük tízesekre a 16,2 + 32 + 125,7, számítást, eredménye 160. A helyes eredmény 173,9.
Sára: Szükségünk van kevesebb mint 309 lejre; Noémi: Szükségünk van több mint 291 lejre; Csilla: Én azt mondom, hogy körülbelül 304 lejre van szükségünk.
A pénztáros bevezeti a termékek árát, kinyomtatja a számlát, és kijelenti: 300,15 lejt kell fizetni. Hogyan magyarázható, hogy az összegek nem egyeznek? Hibázott valaki?
Ahhoz, hogy megértsük nővérek válaszainak logikáját, gondoljuk végig a következő lépéseket:
Kiszámoljuk a fizetni való összeget: S = 3 · 32,9 + 5 · 19,29 + 10 · 10,5 = 300,15 (lej)
Felbecsüljük az összeget, úgy, hogy az árakat egységekre többlettel közelítjük:
32,9 ≈ 33; 19,29 ≈ 20; 10,5 ≈ 11.
S ≈ 3 · 33 + 5 · 20 + 10 · 11 = 309
Felbecsüljük az összeget, úgy, hogy az árakat egységekre hiánnyal közelítjük: 32,9 ≈ 32; 19,29 ≈ 19; 10,5 ≈ 10.
S ≈ 3 · 32 + 5 · 19 + 10 · 10 = 291
Felbecsüljük az összeget, úgy, hogy az árakat egységekre kerekítjük: 32,9 ≈ 33; 19,29 ≈ 19; 10,5 ≈ 11.
S ≈ 3 · 33 + 5 · 19 + 10 · 11 = 304
Megjegyzés: Mindegyik nővér helyesen becsülte meg az összeget, csak különböző módon. A helyes válasz legközelebbi becslését a tagok kerekítésével kaptuk meg. Néha előnyös, ha mindegyik tagot vagy hiánnyal, vagy többlettel közelítjük meg. A becslések nagyon fontosak a hétköznapi tevékenységekkel kapcsolatos feladatokban. Ezek segítenek, hogy előnyös gyakorlati döntéseket hozzunk.
1. lépés Beosztásos vonalzó segítségével szerkeszd meg az ABCD négyzetet, melynek oldalhossza 1 dm.
2. lépés Szerkeszd meg az AC átlóját.
3. lépés Írd fel az ABC derékszögű háromszögben Pitagorasz tételét.
4. lépés Figyelmesen mérd meg az AC szakasz hosszát, használva a beosztásos vonalzót. Jegyezd le a mért értéket deciméterben, és hasonlítsd össze a szomszéd osztálytársaid értékeivel!
Gyakorlati alkalmazás
• AC az ABC háromszög átfogója, AB = BC = 1 dm, tehát: AC2 = AB2 + BC2, vagyis AC2 = 1 + 1 = 2.
• Figyelmesen megmérve az AC szakasz hosszát 1,4 dm-hez közeli értékeket kapunk.
Fedezzük fel, értsük meg!
Az AC2 = 2 egyenlőség azt jelenti, hogy létezik egy olyan szám (még nem ismerjük), melynek négyzete 2. Mivel
az AC egy szakasz hossza, így AC > 0. Azt mondjuk, hogy AC = 2 . Mérésekből megállapítható, hogy a 2 szám értéke 1,4-re becsülhető. Felmerül a kérdés: Hány tizedes jegye van még? Meghatározható az összes? Az alábbiakban választ kaphatunk e kérdésre.
Ha 2 = q , akkor q2 = 2.
A q számot próbálgatással fogjuk megkeresni
12 = 1 < 2 < 4 = 22
1,42 = 1,96 < 2 < 2,25 = 1,52 1,412 = 1,9881
A próbálgatások alapján arra a következtetésre jutottunk, hogy nem kaptunk elegendő információt ahhoz, hogy meghatározzuk a q racionális számot, viszont elég közeli értékeket találtunk. Azt mondjuk, hogy a 2 számot fel tudjuk becsülni.
A fizikában racionális számok négyzetgyökének meghatározására általában hiánnyal századokra közelítő értékeket használnak. Példák: 214131735223 ≈≈≈,;,;,
Jegyezd meg!
Bármely x ≥ 0 racionális racionális számnak létezik négyzetgyöke, a x .
xnnxn ,02
Alkalmazás
Gyakran szükséges a négyzetgyököt megközelíteni egy természetes vagy egy pozitív racionális számmal. Ahhoz, hogy az x pozitív racionális szám négyzetgyökét természetes számmal megközelíthessük, közrefogjuk két, egymásutáni négyzetszámmal: n2 ≤ x < (n + 1)2, n ∈ ℕ
Ha n2 ≤ x < (n + 1)2, n ∈ ℕ, akkor nxn 1 .
Ha 0 ≤ x ≤ 100, akkor x-et az ismert négyzetszámokkal hasonlítjuk össze.
Példa
Ha x = 73, akkor 64 < x < 81 82 < x < 92 898 xx vagy x ≈ 9 .
Ha 102 < x < 1002, vagyis 100 < x < 10 000, akkor xab ≈ . Az a számjegyet (tízesek) az előző eljárás alapján kapjuk meg abból a számból, amit az x utolsó két számjegyének (tízesek, egyesek) törlésével állítunk elő. Ezután az egyesek számjegyét próbálgatással kapjuk meg. Javasolt, hogy b = 5 értékkel kezdjük.
Példa
Ha x = 5413, akkor keressük a x természetes számmal közelített értékét.
Mivel 102 < x < 1002 10100xxab
Töröljük az x utolsó két számjegyét, és 54-et kapunk. Így 49 < 54 < 64 72 < 54 < 82, azaz a = 7.
Azt kapjuk, hogy 7080 << x Ezért x ≈ 70.becsüljük.
A továbbiakban megkeressük az egyesek számjegyét is.
Ha b = 5, akkor abx 22755625 Ha b = 4, akkor abx 22745476
Ha b = 3, akkor abx 22735329 Tehát 732 < x < 742 7374 x és x ≈ 73 vagy x ≈ 74.
Mégis nagyon nagy számok esetén javasolt a számológép illetve a négyzetgyökvonás algoritmusának használata. A négyzetgyökvonás algoritmusának használata sok ideig hasznos volt, míg meg nem jelentek az alkalmasabb számítási eszközök.
Ha x ∈ ℚ+, véges tizedes szám átalakítva írható, hogy x y n = 102 ahol y, n ∈ ℕ, akkor x y n = 10 .
A y közelítését a fenti folyamat lépéseinek a betartásával végezzük el.
Ha tizedekre szeretnénk közelíteni, akkor x == 9340 100 9340 10 és 9340 ≈ ab .
Töröljük az 9340 utolsó két számjegyét, és a kapott 93 számot közrefogjuk két, egymásutáni négyzetszámmal.
81 < 93 < 100 92 < 93 < 102, tehát a = 9.
Ha b = 5, akkor ab 229590259340.
Ha b = 6, akkor ab 229692169340
Ha b = 7, akkor ab 229794099340
Feladat a portfólióba
Tehát 962 < 9340 < 972 96934097 ⇒ ⇒ 934096 ≈ vagy 934097 ≈ , valamint 934969,,3497 ,, ≈≈ sau vagy 934969,,3497 ,, ≈≈ sau
1. Vágj ki papírból egy 1,5 dm oldalú négyzetet. Jelöld ABCD-vel.
2. Vágj ki papírból egy 1 dm oldalú négyzetet is. Jelöld EFGH-val.
3. Tedd egymásra a két négyzet középpontját és szúrd át, rögzítve egy tűvel.
4. Tedd a nagyobbik négyzetet rögzített helyzetben a padra/asztalra, majd forgasd az EFGH négyzetet a tű körül (lásd a mellékelt ábrát).
5. Kövesd figyelmesen a kisebbik négyzet csúcsait, és vedd észre, mikor ezek áthaladnak a nagy négyzet oldalain.
6. Indokold válaszod, használva egy gyökmennyiség becsült értékét.
Jegyezd meg!
A becslés egy mennyiség közelítő meghatározását jelenti, amikor az adatok nem pontosak vagy hiányosak.
Ha egy számítás során számoknak a megközelítő értékeit használjuk, akkor a helyes eredmény becslését kapjuk meg.
Bármely x > 0 racionális számnak létezik négyzetgyöke, a x .
Az a ≥ 0 esetén xa = akkor és csakis akkor, ha x = a2 .
Ha n2 ≤ x < (n +1)2, n ∈ ℕ, akkor nxn 1. Ha x y n = 102 , ahol y, n ∈ ℕ, akkor x y n = 10
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. 71 a következő egymás utáni egész számok között van:
A. 7 és 8; B. 8,1 és 8,2; C. 8 és 9; D. 8,3 és 8,4.
30 p 2. 150 a következő egymás utáni egész számok között van:
A. 12,3 és 12,2; B. 13 és 12; C. 12,2 és 12,1; D. 12 és 11.
30 p 3. A 2024 számnál nagyobb legkisebb egész szám:
A. 45; B. 44; C. 46; D. 43.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc. Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Becsüld meg a x , értékét: a) x = 70; b) x = 230,68.
2. Adott az A 199300144 ,, halmaz.
Az A halmaz mindegyik x eleme esetén, határozd meg azt a legnagyobb egész számot, amely kisebb vagy egyenlő, mint x
3. Adott a B 57 36036 12 ,,7891,. halmaz.
A B halmaz minden x eleme esetén határozd meg azt a legkisebb egész számot, amely nagyobb vagy egyenlő, mint x.
4. Töltsd ki az négyzeteket egymás utáni egész számmal úgy, hogy igazak legyenek a relációk: a) << 12
b) 123
c) << 1234
d) 600
5. Határozd meg:
a) azt az A halmazt, melynek elemei olyan x természetes számok amelyekre 34 << x ;
b) azt a B halmazt, melynek elemei olyan x természetes számok amelyekre 65 x ;
c) azt a C halmazt, melynek elemei olyan x természetes számok amelyekre 10,5 < x2 < 50,1;
d) azt a D halmazt, melynek elemei olyan x természetes számok amelyekre 23 < x2 < 32.
6. Sándor hazafelé egy olyan négyzet alakú parkon halad át, melynek oldala 120 m. Az ösvény, melyen halad, egybeesik a négyzet átlójával. Közelítsd természetes számra a parkban megtett távolságot, méterben kifejezve.
7. Egy szerelő csapat fel szeretne jutni az épületnek A ponttal jelölt erkélyére, amely 15,8 m távolságra van a földtől. A szerelők egy létrát helyeznek el a B pontba, mely 4,2 m távolságra van az épülettől. A csapatnak van 10 m, 18 m illetve 25 m hosszú kinyitható létrája. Ezek közül melyik a célnak megfelelő?
8. Határozd meg a nn 2 + , szám első tizedes jegyét minden n 123,,. szám esetén.
9. Mutasd ki a négyzetgyök becslésével, hogy: 123...1415132537 +++++>⋅+⋅+⋅
10. A számológép és a becslések segítségével döntsd el, hogy a 333333 p =++ szám kisebb-e, mint 27,4.
11. Határozd meg azt a legnagyobb n és legkisebb m természetes számot, amelyre 1 nxym << , bármely tízes számrendszerbeli x és y számjegy esetén.
⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ bennfoglalás.
1.l. Irracionális számok
Emlékeztető
A racionális számok halmazát ℚ-val jelöljük és az összes olyan a b alakú számot tartalmazza, ahol a, b ℤ és b 0.
Ha x, y racionális számok, akkor
xyxyxy x y y ,,,. 0
Bármely pozitív racionális szám egyértelműen
leírható egy a b , alakú irreducibilis tört
alakjába, ahol a, b ∈ ℕ, b ≠ 0.
Ha x = 3,5 és y = 0,4 racionális számok, akkor az öszszegük x + y = 3,9, különbségük x – y = 3,1, szorzatuk x · y = 1,4 és hányadosuk x y = 87,5 ugyancsak racionális számok.
2 3 4 6 6 9 10 15 20 30 200 ,,300 ,,, közönséges törtek ugyanazt a racionális számot jelentik, mivel
===== , ahol csak 2 3 . irreducibilis.
Bármely pozitív racionális szám egyértelműen leírható a következő alakok egyikével:
véges tizedes tört: 17 5 34 = ,;
tiszta szakaszos végtelen tizedes tört, ahol a periódus (9)-től különböző: 14 11 127 ,;
vegyes szakaszos végtelen tizedes tört: 19 12 1583 ,.
Megjegyzés: Az egész szám felírható olyan véges tizedes tört alakban, amelynek az összes tizedesjegye nulla.
Bármely véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört racionális szám.
35 35 10 7 2 ,; == 273
Történelmi betekintés
,
Püthagorasz görög filozófus és matematikus volt. Kb. i.e. 580 – 495 között élt. Neki és tanítványainak több fontos mértani és algebrai felfedezést köszönhetünk. Emlékezz a tavaly tanult Pitagorasz-tételre. Püthagorasz szerint mindennek az alapja a szám, és véleménye, hogy minden hosszúságot ki lehet fejezni természetes számokkal. Például azt gondolta, hogy egy egyenlő szárú derékszögű háromszög esetén létezik olyan kellőképpen kicsi mértékegység, hogy az átfogó hossza a egység, a befogók hossza pedig b egység hosszúságú legyen, ahol a és b nullától különböző természetes számok.
A Pitagorasz tétele alapján: aba b 22. aegység b egység b egység 1.2. Irracionális számok, példák. A valós számok halmaza,
Fedezzük fel, értsük meg!
Ha a és b természetes szám, akkor a fenti összefüggés alapján 2 racionális szám lenne.
Az a b törtet irreducibilisnek tekinthetjük. Ha mégis a b egyszerűsíthető, akkor irreducibilis alakba hozható egyszerűsítés segítségével. A kapott tört ekvivalens lesz az eredetivel. Tehát: ababaa2222 222 Tehát a = 2 ∙ k, ahol k ∈ ℕ
Ha ababkbkbkbb 22224222 222222222 Tehát b ⋮ 2.
Következésképpen, a 2 és b 2, azaz a b tört egyszerűsíthető 2-vel, ami ellentmond annak, hogy az a b tört irreducibilis. Végül belátható, hogy nem léteznek olyan a és b természetes számok, melyekre igaz, hogy 2 = a b
Következtetés: 2 nem racionális szám.
2 irracionális szám. Így írjuk: 2 ∉ .
Az előző leckékben láttuk, hogy az egységnyi oldalhosszúságú négyzet átlójának hossza 2. Próbáltuk meghatározni 2, értékét, de nem sikerült olyan pontos q ∈ ℚ+ racionális számot találni, melyre igaz lenne a q2 = 2. A fenti bizonyítás alapján kijelenthető, hogy 2 nem racionális. Ez azt jelenti, hogy a racionális számokon kívül léteznek más számok is. Ezeket irracionális számoknak fogjuk nevezni.
Mivel 2 irracionális szám, ez nem írható le véges vagy végtelen szakaszos tizedes tört alakjában. Számológépet használva meg tudjuk határozni több tizedesjegyét: 21414213562373095048801688 = ,... Gyakorlatban két tizedes pontossággal becsüljük meg: 2141 ≈ ,.
Alkalmazás
Hasonlóan, ha a 2-es számot kicseréljük bármely más p prímszámra, bizonyítható, hogy p irracionális.
Ha az x ∈ ℚ szám nem írható két négyzetszám arányaként, akkor x irracionális Általánosan, ha n ∈ ℕ nem négyzetszám, akkor n irracionális.
A 3, 5, 7 prímszámok, tehát 357 ,, irracionális számok.
6, 8, 12 nem négyzetszámok, tehát 6812 ,, irracionális számok.
12 7 3 8 4 ,,5 nem négyzetszámok aránya, tehát 12 7 3 8 4 ,,5 irracionális számok.
Egy racionális és egy irracionális szám összege irracionális szám.
Egy nullától különböző racionális szám és egy irracionális szám szorzata irracionális szám. Irracionális szám ellentettje is irracionális szám.
Gyakorolj, igazolva, hogy a 351207 ,,,, irracionális számok!
Gyakorlati alkalmazás
Szükséges kellékek: körző, ceruza, rugalmatlan cérna, beosztásos vonalzó.
1. lépés Rajzoljunk egy kört, és ábrázoljuk annak AB átmérőjét.
2. lépés. Mérjük meg a rajzolt kör d = AB átmérőjét.
3. lépés. A cérnával a B ponttól kezdve a kör teljes hosszát lefedjük, amíg ismét el nem érjük a B pontot. Ezen a ponton vágjuk el a cérnát.
4. lépés. Mérjük meg vonalzóval a cérna használt részének L hosszát.
5. lépés. Számítsuk ki az L d arány értékét a századokra közelítve, majd hasonlítsuk össze a kapott az osztálytársak által kapott értékkel.
Látni fogjátok, hogy a talált arány nem függ a kör sugarától, mindig ugyanaz az értéke, egy irracionális szám, amely megközelítőleg egyenlő 3-mal.
Fogunk olyan irracionális számokkal is találkozni, melyek nem írhatók le gyökök segítségével. Ezek a számok végtelen, de nem szakaszos tizedes alakúak.
A p szám irracionális.
A p szám egy tetszőleges kör kerületének és átmérőjének aránya.
Századokra közelítő értéke: p ≈ 3,14.
Tekintsük az a = 0,505005000500005… számot (az első 5-ös számjegy után egy 0 van, a második után kettő, valamint az n-dik 5-ös számjegy után n darab 0). Az a irracionális szám.
Jegyezd meg!
Az x ∈ ℚ+ szám esetén: x akkor és csakis akkor irracionális szám, ha x nem négyzetszám, vagy nem írható fel négyzetszámok arányaként.
Egy szám akkor és csakis akkor irracionális, ha végtelen, nem szakaszos tizedes szám alakjában írható.
Ha q ∈ ℚ* , x ∈ ℚ+ és x ∉ , akkor xqxqx ,, irracionális számok.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Egy személy életkora években kifejezve:
A. racionális szám; B. negatív egész szám; C. természetes szám; D. ℚ \ ℤ -beli szám.
30 p 2. Az M = {} 1,4,9,18,25,361 halmaz irracionális eleme:
A. 1 ; B. 361 ; C. 25 ; D. 18 .
30 p 3. Ha 13 x irracionális szám, akkor az x legnagyobb egész értéke:
A. 11; B. 12; C. 13; D. 14.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Adott a következő halmaz:
A 34279124 5 2 8 18 ;;;;;;.
a) Sorold fel az A halmaz racionális elemeit;
b) Sorold fel az A halmaz irracionális elemeit. Indokold a választ!
2. Tekintsük a 0,246810… számot (a páros természetes számokat növekvő sorrendbe egymás mellé illesztjük) és az 1,010010001… számot (két egymás követő 1-es közötti nullák száma mindig 1-gyel növekszik, ahogy haladunk jobbra).
a) Indokold meg, hogy a fenti számok miért irracionális számok!
b) Írj még tizedes alakban két irracionális számot, majd indokold meg felhasználva a szabályt!
3. Írd le az aaA ,, ∈ irracionális számok halmazát, ahol aaA ,, ∈ tudva, hogy:
A = {152, 25, 36, 47, 73, 24, (–3)2, 811, (–5)2}.
Indokold szóban az általad választott elemeket!
4. Bizonyítsd be, hogy a 876193 ,,, 5551000 , irracionális számok, felhasználva a tulajdonságot, amely szerint:
„Ha x, n ∈ ℕ és n2 < x < (n + 1)2, akkor x irracionális szám.ˮ
2.l. A valós számok halmaza, ℕ ⊂
Emlékeztető
5. a) Írj három olyan x természetes számot, melyre x + 8 racionális szám!
b) Írj három olyan y természetes számot, melyre 5 y irracionális szám!
6. Tanulmányozd, hogy 73,1 és 104996 , racionális vagy irracionális szám!
7. Adottak az a = 10n + 3 alakú természetes számok
n ∈ ℕ
a) Írd le a legkisebb öt ilyen alakú számot!
b) Bizonyítsd be, hogy a irracionális szám, bármely n ∈ ℕ esetén!
8. a) Sorold fel az össze 99 és 200 közötti négyzetszámot!
b) Határozd meg az 1ab alakú racionális számokat, ahol a és b számjegyek.
9. Adottak a b = 4n + 2 alakú természetes számok,
n ∈ ℕ.
a) Írd le a legkisebb öt ilyen alakú számot!
b) Bizonyítsd be, hogy b irracionális szám, bármely n ∈ ℕ esetén!
10. a) Határozd meg a 67 ab , alakú racionális számokat, ahol a és b számjegyek!
b) Határozd meg a 76 cd , alakú racionális számokat, ahol c és d számjegyek!
bennfoglalás
Kijelentés Halmazelméleti jelekkel
Bármely egész szám egyben racionális szám is. ℤ ⊂ ℚ ;
Bármely természetes szám egyben egész és racionális szám is. ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ;
Ha egy szám nem egész, akkor nem is természetes szám.
Ha x ∉ℤ , akkor x ∉ℕ .
Ha egy szám nem racionális, akkor se nem egész, se nem természetes szám. Ha x ∉ℚ , akkor x ∉ℤ és x ∉ℕ
Léteznek irracionális számok.
2 ∉ ; p∉ℚ .
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés: A racionális és irracionális számok halmazának egyesítését a valós számok halmazának nevezzük és ℝ szimbólummal jelöljük.
Értelmezzük a következő halmazokat is:
• a pozitív valós számok halmaza tartalmazza az összes x ∈ ℝ, x > 0 számot. Jele: ℝ +;
• a negatív valós számok halmaza tartalmazza az összes x ∈ ℝ, x < 0 számot. Jele: ℝ –;
• a nullától különböző valós számok halmaza tartalmazza az összes x ∈ ℝ, x ≠ 0 számot. Jele: ℝ* .
Bármely racionális szám valós szám.
Bármely irracionális szám valós szám.
ℝ = ℝ + È ℝ –È {0}.
ℝ* = ℝ \ {0}= ℝ + È ℝ –Jegyezd meg!
Ha x ∈ ℚ , akkor x ∈ ℝ
Az irracionális számok halmaza az ℝ \ ℚ különbség.
Alkalmazás
Tudva, hogy: ha x ∈ ℕ , akkor x ∈ ℤ;
ha x ∈ ℤ , akkor x ∈ ℚ;
ha x ∈ ℚ , akkor x ∈ ℝ, következtetünk az ⊂⊂⊂ , bennfoglalásra.
∪ \ ℚ és ℝ \ ℚ diszjunkt halmazok, azaz metszetük üres halmaz.
6. András, Barabás és Károly a következőket állította az {} 1,2,3,...,99,100 A = halmazról:
András: Az A halmaz csak irracionális számokat tartalmaz.
Barabás: A halmazban racionális számok is vannak.
Károly: Igen, Barabás, ráadásul card (A ⋂ ℚ ) =10. Ki mondott igazat? Indokold meg!
7. Határozd meg az E halmazt, tudva, hogy elemei x alakúak, ahol 59 < x < 27 és x ∈
8. Határozd meg az A halmaz elemeinek számát tudva, hogy az A⋂ℚ halmaznak 4 eleme van, az A ⋂(ℝ/ℚ ) halmaznak pedig 2!
9. A B halmazról tudjuk, hogy B⋂ℚ = 31 ,1,,1 24
és B⋂(ℝ/ℚ) = {} 2,2 .
Határozd meg a B, B ⋂ ℕ és B ⋂ ℤ halmazokat!
10. Az M halmaz elemei olyan x = 23nm alakú valós számok, ahol n, m ℕ, n, m 2.
Határozd meg az M ∩ ℚ és M ∩ (ℝ / ℚ) halmaz elemeit!
1.3. Tényezők kiemelése a gyökjel alól •
Tényezők bevitele gyökjel alá
1.l. Tényezők kiemelése a gyökjel alól
Emlékeztető
Fedezzük fel, értsük meg!
A fenti relációk a ∈ ℝ \ ℚ esetén is igazak.
Kiemelni az a tényezőt a gyökjel alól azt jelenti, hogy a ab 2 kifejezést ab alakba írjuk, ahol a, b ∈ ℕ* .
Ha az a kérés, hogy emeljük ki a tényezőket a gyökjel alól, akkor nn n ,,, 2 számot, aholnn n ,,, 2 az ab alakba hozzuk, ahol b nem osztható egyetlen 1-től különböző négyzetszámmal sem.
Oldjuk meg figyelmesen!
• 63979737 (kiemeltük a 3-as tényezőt a gyökjel alól);
• 7525325353 (kiemeltük a 5-ös tényezőt a gyökjel alól);
• 70010071007107 (kiemeltük a 10-es tényezőt a gyökjel alól).
7236262 ; 15025656 ; 120430230 .
Ahhoz, hogy könnyen eldöntsük, hogy a gyökjel alatti tényezők közül melyek négyzetszámok, hasznos a számot prímtényezők szorzatára bontani.
Fedezzük fel, értsük meg!
Feltevődik a kérdés, hogy a tényezők gyökjel alóli kiemelését általánosíthatjuk-e a racionális, sőt a pozitív valós számok esetére is?
Tekintsük a 12 25 gyökmennyiséget, és kétféleképpen számoljuk ki, használva a tanult tulajdonságokat: 12 25 12 25 23 5 23 5 2 2 , illetve 12 25 2 5 3 2 5 3 2 5 3 22 .
Megállapíthatjuk, hogy mindkét számítás helyes.
Alkalmazás
abab kk 2 , ahol a ≥ 0, b ≥ 0, k ∈ ℕ*
Ha a felbontásban megtalálható az a2k tényező, akkor az ak tényezőt tudjuk kiemelni a gyökjel alól.
Példa: 253723574835 824
abaabaab kkk 212
Ha a felbontásban 2k + 1 darab a-val egyenlő tényező van, akkor az ak tényezőt tudjuk kiemelni a gyökjel alól, valamint a gyökjel alatt is marad az a tényező.
Példa: 23522335 7362 23235243 30
Külön-külön összeszorozzuk a gyökjel alól kiemelt és a gyökjel alatt maradt tényezőket is.
Azokban az algebrai számításokban, melyekben nem tudjuk, hogy az a tényező pozitív vagy negatív, így fogjuk írni: abab 2 = , ahol a, b ∈ ℝ, b ≥ 0.
Megoldott feladat:
555 22 xx x == ;
3222 4422 xx xx=== ;
2222 6632 xx xx x === .
a) Írd fel hatványok szorzataként az A = 86 + 87 + 88 számot!
b) Határozd meg az a és a b számot tudva, hogy Aab = , a b számnak pedig nincs egyetlen 1-től különböző négyzetszám osztója sem!
Megoldás:
a) A = 86 + 87 + 88 = 86·(1 + 8 + 82) = 86 · 73.
b) 63 87387351273, A =⋅== tehát a = 512, b = 73.
Jegyezd meg!
Az a tényezőnek kiemelése a gyökjel alól: 2 abab = , bármely a ≥ 0 és b ≥ 0 esetén.
Bármely a ∈ ℝ, b ≥ 0 esetén igaz, hogy: 2 abab = .
Ha a ≥ 0 és b ≥ 0, akkor 2 kk abab ⋅= és abaabaab kkk 212
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. A 422(3) ⋅− szám egyenlő:
A. 18; B. −12; C. 12; D. −18.
30 p 2. Miután kiemeljük a tényezőket a gyökjel alól a 252 szám alakja:
A. 47 ; B. 314 ; C. 76 ; D. 67 .
30 p 3. A 3337 x = 63 7 egyenlőségben az x természetes szám értéke:
A. 3; B. 7; C. 21; D. 49.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Másold le a füzetedbe és egészítsd ki úgy, hogy igaz kijelentéseket kapj!
c) 2357 ⋅ ; d) 357357 ⋅⋅ ; e) 2333 ; f) 2222 358 ⋅⋅⋅ ; g) 221 n n ,; h) 323 n n ,.
4. Emeld ki a tényezőket a gyökjel alól!
a) 121827327598 ,,,,,; b) 360192150288294972 ,,,,,; c) 22502366346890721010511 ,,,,,.
5. A műveletek elvégzése után emeld ki a tényezőket a gyökjel alól!
a) 2323 2246 ;
b) 244096 8 ;
c) 232323 544445
6. Határozd meg a következő kijelentések logikai értékét! Írd a füzetbe az igaz kijelentéseket!
a) 200102 = .
b) 34377 .
c) ababab 200,,.
d) abbaba 20,.
e) Ha 28812 = x , akkor x = 2.
f) Ha 6753 = x , akkor x = 5.
7. Tudva, hogy a > 0, b > 0 emeld ki a tényezőket a gyökjel alól!
a) 7223 ab ; b) 2 8() ab⋅+ ; c) 2 4 36 4 a b .
8. Tudva, hogy a < 0, b < 0 emeld ki a tényezőket a gyökjel alól!
a) 1083 ab ; b) 2 12() ab⋅+ ; c) 4 8 a b
9. Tanulmányozd, hogy igaz-e a 2 33(3) = 18 egyenlőség!
2.l. Tényezők bevitele gyökjel alá
Fedezzük fel, értsük meg!
A tényezők gyökjel alóli kiemelésével ellentétes
művelet a tényezők bevitele gyökjel alá.
Ha a ≥ 0, b ≥ 0, akkor így írjuk: abab = 2 . abab = 2
Példák:
• 3535959545 2
(bevittem a 3-as tényezőt a gyökjel alá)
• 72724929 28
(bevittem a 7-es tényezőt a gyökjel alá)
• 08508506 ,,24532 ,,
(bevittem a 0,8-as tényezőt a gyökjel alá)
! Ha a < 0 és b ≥ 0, akkor abab 2 . Példa: 252525 22 ()
Vidd be a tényezőket a gyökjel alá!
a) 32 0,(3) ; b) 51 25 −⋅ ; c) (x + 2)· y , d) 3 2 81 3 ⋅ Megoldás:
a) 32 0,(3) = 22 (3)0,(3) ⋅ = 413 3 ⋅ = 33 = 27 .
b) 51 25 −⋅ = 2 51 25
= 2515 454 −⋅=−
c) Megvizsgáljuk az x + 2 > 0 és az x + 2 < 0 esetet.
Ha x > 2, akkor x + 2 > 0 és (x + 2)· y = ()22 xy +⋅
Ha x < 2, akkor x + 2 < 0 és (x + 2) > 0. Tehát, ()()() 22222 xyxyxy +⋅=−−+⋅=−+⋅ . d) 3 2 81 3 2 3 3 2 3 339218 2 4 6 4 2 . Alkalmazás
Az a tényezőt bevisszük a gyökjel alá: 2 abab = , bármely a ≥ 0 és b ≥ 0 esetén.
Ha a ≥ 0 és b ≥ 0, akkor 2 kk abab =⋅ és 221kkk aabaabab + ⋅=⋅⋅=⋅ .
Ha a < 0 és b ≥ 0, akkor 2 abab =−⋅ Jegyezd meg!
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Miután bevisszük a tényezőket a gyökjel alá a 2 11 szám alakja:
A. 22 ; B. 15 ; C. 13 ; D. 44 .
30 p 2. Ha 4 3 1 1 8 = a , akkor az a szám egyenlő:
A. 2; B. 8; C. 3; D. 0,5.
30 p 3. Ha b· 8 3 = 6 , akkor a b szám egyenlő:
A. 3; B. −3; C. −1,5; D. 1,5.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Másold le a füzetedbe és egészítsd ki úgy, hogy igaz kijelentéseket kapj!
a) „Ha a > 0 és b ≥ 0, akkor ab = ”;
b) „Ha a < 0 és b ≥ 0, akkor ab = ”.
2. Vidd be a tényezőket a gyökjel alá!
a) 23; d) 32 ;
b) 514,; e) 2 3 15 ;
c) 1 3 24 ⋅ ; f) 5 7 7 5
3. Az alábbi összefüggések mindegyikére vonatkozóan határozd meg, hogy igaz vagy hamis!
a) 21560 = ; d) 219219 2 ;
b) 3545 = ; e) 6776 = ;
c) 4747 2 ; f) 41283.
4. Határozd meg az n egész számot tudva, hogy
n < 22 · 3 5 < n +1.
5. Határozd meg:
a) a legnagyobb 37 2 ;számnál kisebb egész számot;
b) a legkisebb 213.számnál nagyobb egész számot!
6. Vidd be a tényezőket a gyökjel alá, majd rendezd növekvő sorrendbe a 2 6 , 3 3 , 2 7, 5 számokat!
7. Vidd be a tényezőket a gyökjel alá!
a) 3,0xx ≥ ;
b) 25,0 yy −≤ ;
c) 27, xx ∈ ;
d) 2 32,yy −∈ ;
e) 2,0xxx⋅≥ ; f) 4 ,0yy y −⋅> ; g) ,0 y xyxy x ⋅⋅⋅> ; h) 22,0,0 xyxyxy −⋅⋅⋅≥≤
8. Másold le a füzetedbe és egészítsd ki úgy, hogy igaz kijelentéseket kapj!
a) Ha 45 x = , akkor x = … .
b) Ha 2 723 y −+=− , akkor y = … .
9. Határozd meg az x és y egész számokat tudva, hogy:
a) xyx 147 1 , ahol ;
b) yxy2521 ,.
10. Vidd be az egészeket a gyökjel alá!
a) 2 3 2 3 4;
b) 22 1 ()23();
c) 35225 kk k k ,.
1.4. Valós számok ábrázolása a számtengelyen közelítés segítségével • A számok összehasonlítása és rendezése • Valós szám abszolút értéke
1
.l. Valós számok megközelítése tizedes törtek álta •
Valós számok ábrázolása a számtengelyen közelítés segítségével
Fedezzük fel, értsük meg!
A hiánnyal való közelítés, a többlettel való közelítés, a racionális számok kerekítése kiterjeszthető a valós számok halmazára is.
Egy racionális szám értékének becslésére szolgáló eljárásokat alkalmazva azt kapjuk, hogy:
Egy pozitív valós számnak egységekre (tízesekre, százasokra, ezresekre, stb.) hiánnyal való közelítő értéke az a legnagyobb, csak egységekből (tízesekből, százasokból, ezresekből, stb.) álló természetes szám, amely kisebb vagy egyenlő az adott számmal.
Egy pozitív valós számnak egységekre (tízesekre, százasokra, ezresekre, stb.) többlettel való közelítő értéke az a legkisebb, csak egységekből (tízesekből, százasokból, ezresekből, stb.) álló természetes szám, amely szigorúan nagyobb, mint az adott szám.
Egy pozitív valós számnak egységekre (tízesekre, százasokra, ezresekre, stb.) kerekített értéke a számnak vagy hiánnyal, vagy többlettel való közelítő értéke, attól függően, hogy melyik van közelebb a számhoz.
Abban az esetben, amikor a két típusú közelítő érték távolsága az adott számtól megegyezik, akkor a kerekített érték a többlettel való közelítő érték lesz.
A pozitív valós számok tizedes törtekkel való tizedekre, századokra, ezredekre, stb. közelítésének fogalma a fentiekből levezethető.
Így kapjuk meg a hiánnyal vagy többlettel történő közelítés és a különböző nagyságrendekre való kerekítés gyakorlati szabályait.
Egy pozitív valós szám hiánnyal való közelítését tizedekre (századokra, ezredekre, stb.) a következő módon kapjuk meg: az eredeti számból eltávolítjuk az összes tizedesjegyet attól a nagyságrendtől jobbra, amelyre közelíteni akarunk.
A pozitív valós számok tizedekre (századokra, ezredekre stb.) többlettel történő közelítését a következőképpen kapjuk meg: egy tizedet (századot, ezredet stb.) adunk hozzá a hiánnyal való közelítéshez.
Egy pozitív valós számnak tizedekre (századokra, ezredekre, stb.) kerekített értéke a számnak vagy hiánnyal, vagy többlettel való közelítő értéke, attól függően, hogy melyik a számhoz közelebbi érték. Ha a két közelítés egyformán közelít a számhoz, a kerekítés többlettel való közelítés.
Megjegyzés: A gyakorlatban a számítások elkerülése érdekében a következőképpen járunk el:
• Ha a kerekítendő nagyságrendet közvetlenül követő számjegy 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor a kerekítés a hiánnyal való közelítés.
• Ha a nagyságrend után közvetlenül következő számjegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor a kerekítés többlettel való közelítés.
Példa. Tekintsük a 12,7358 valós számot, majd közelítsük tizedekre, századokra, ezredekre, hiánnyal, többlettel, majd kerekítsük. Igazak a következő egyenlőtlenségek: 12,7 < 12,7358 < 12,8; 12,73 < 12,7358 < 12,74; 12,735 < 12,7358 < 12,736
Tizedekre: Századokra: Ezredekre:
Észrevétel. A gyakorlatban, megegyezés szerint, egy vagy két tizedes pontossággal való közelítő értéket használnak, azaz a számnak tizedekre, vagy századokra hiánnyal való közelítését.
Megjegyzés: A valós számoknak közelítése tizedes tört alakjában használható a pontok számtengelyen való helyzetének becslésére, valós számok összehasonlítására, illetve a számok növekvő vagy csökkenő sorrendbe való rendezésére. Értelmezés: Azt az egyenest, amelyen rögzítettünk egy pontot (kezdőpont vagy origó a neve), egy mértékegységet és egy pozitív irányítást, számtengelynek nevezzük.
Az origót általában O ponttal jelöljük. Az alábbi ábrán OA = 1 a mértékegység, valamint a pozitív irányítás balról jobbra halad, és nyíllal jelöltük.
0 O A x 1 origó mértékegység pozitív irány
Az Ox tengelyen, minden valós számhoz egyértelműen megfelel az egyenes egy M pontja. Fordítva is igaz, azaz az egyenes minden M pontjának egyértelműen megfelel egy a valós szám, amit az M pont koordinátájának (vagy abszcisszájának) nevezünk, és xM-mel jelöljük.
Írva Olvasva
M(a) vagy xM = a az a abszcisszájú M pont vagy az M pont koordinátája az a
Magyarázat
• az a szám az M pont abszcisszája vagy koordinátája;
• az M pont az a valós számnak a számtengelyen való ábrázolása.
Mivel a valós számok és a számtengely pontjai között egyértelmű megfeleltetés van, a számtengelyt még valós számtengelynek is nevezzük. Általában az irracionális számokat tizedes tört alakjában közelített racionális számokkal adjuk meg. Példa. Kiszámoljuk számológéppel a 7 értékét, majd megtartjuk pontosan az első nyolc tizedes jegyét, vagyis 7264575131 = ,...
A 7 számnak hiánnyal, többlettel közelítő, illetve kerekített értékei:
Hiánnyal való közelítés Többlettel való közelítés Kerekítés
Az alábbi ábrán, a 7,számnak a valós számtengelyen való ábrázolását szemléltettük, használva megközelítését tizedes törtként.
273 << 26727 ,, << 264726 ,,5 <<
Megoldott feladat:
Az alábbi ábrán az A, B, C, D és E pontok abszcisszái a 0620761597 ,,,,, számok.
A pontok tengelyen való elhelyezkedése és a megadott számok értékének becslése alapján határozd meg az egyes pontok koordinátáit!
Megoldás:
Mivel 22 00,61 << , akkor 00,61 << . Mivel 01 A x << , azt kapjuk, hogy 0,6 A x =
Mivel 22 3154 << , akkor 3154 << . Mivel 34 Bx << , azt kapjuk, hogy 15 Bx =
Mivel 22 4205 << , akkor 4205 << . Mivel 45 Cx << , azt kapjuk, hogy 20 Cx =
Mivel 22 8769 << , akkor 8769 << . Mivel 89 Dx << , azt kapjuk, hogy 76 Dx = .
Mivel 22 99710 << , akkor 99710 << . Mivel 910 Ex << , azt kapjuk, hogy 97 Ex = .
Legyen x egy pozitív valós szám, az a egy hiánnyal való közelítése és b egy többlettel való közelítése x-nek.
Ekkor: a ≤ x < b és – b < – x ≤ – a.
Ezért x-et az a és b számoknak a tengelyen való ábrázolásai között vesszük fel, a –x-et pedig a –a és –b számoknak a tengelyen való ábrázolásai között
Az x és –x ellentett számokat az origó különböző oldalán ábrázoljuk, az O ponttól egyenlő távolságra. A pozitív számot az origó jobb oldalán, a negatív számot az origó bal oldalán ábrázoljuk
Jegyezd meg!
A 2 , illetve 2 , koordinátájú C és D pontokat a számtengelyen az O ponttól 2 távolságra ábrázoljuk. Az O pont abszcisszája 0.
Ha az a valós számot ábrázoljuk a számtengelyen, akkor így írjuk: M(a) vagy xM = a és azt jelenti, hogy:
• a az M pont abszcisszája;
• az M pont az a valós számnak a számtengelyen való ábrázolása, és a az M pont koordinátája.
Az a és –a ellentett számokat az origó különböző oldalán ábrázoljuk, az origótól egyenlő távolságra.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. A 8 3 számnak közelítése az egészekre többlettel:
A. 2,3; B. 3; C. 2; D. 2,6.
30 p 2. A 2 számnak közelítése tizedekre hiánnyal:
A. 1,2; B. 1,3; C. 1,4; D. 1,5.
30 p 3. A 5 2 számnak a számtengelyen való ábrázolása az A(a) és B(a +1), közötti pont, ahol a egész szám.
Akkor az a egyenlő:
A. 2; B. 4; C. 1; D. 3.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. a) Közelítsd egységre hiánnyal az alábbi számokat: 72341000 ,,
b) Közelítsd egységre többlettel a 312992019 ,, számokat!
2. a) Közelítsd tizedre hiánnyal: 320 ,.
b) Közelítsd századra többlettel: 532 ,.
3. Használva az egész számokkal végzett műveletek szabályait és a számológépet, töltsd ki az alábbi táblázatot. A számokat két tizedes pontossággal add meg (századra közelítve hiánnyal):
17 8 1 6 29 7 2 50
4. Adott az a = 1,234567.
a) Közelítsd hiánnyal az a számot, előbb egységekre, majd századokra.
b) Közelítsd többlettel az a számot, előbb tizedekre, majd ezredekre.
5. Töltsd ki az üres négyzeteket, hogy a < x < a + 1 alakú relációt kapj, ahol a egész szám.
a) < 3 < ; d) < 3 < ; b) < 27 < ; e) < 20 < ;
c) < 150 < ; f) < 27 <
6. Bizonyítsd be számításokkal az alábbi egyenlőtlenségeket:
7. a) Közelítsd hiánnyal tizedekre a 5. számot! b) Közelítsd többlettel századokra a 150 . számot!
8. Ábrázold a valós számtengelyen az 1 2 05 3 2 ;,;; 2 5 2 ;;15 , számokat, figyelembe véve, hogy a mértékegység 1 cm hosszú szakasz!
9. Mértékegységként egy 10 cm hosszú szakaszt használva ábrázold a valós számtengelyen a 0,2; –1; 1,3; –0,6; 3 10 5 5 1 1 10 ;;.számokat!
10. Válassz egy megfelelő mértékegységet, majd ábrázold a számtengelyen a 23 11 5 ;;315 ;;;.számokat!
11. Az A(–1), B(x), C(y), D(3) pontokat ebben a sorrendben ábrázoltuk a számtengelyen. x racionális számot, y pedig egy irracionális számot jelöl. Adj egy példát az x és y számra, majd készíts a feladat adatainak megfelelő ábrát!
12. Az alábbi ábrán látható számtengelyen csak racionális számokat ábrázoltunk. Határozd meg az a és b természetes számokat!
–3 –1 0 1 2 4 a b
Emlékeztető
Eddig a természetes (egész, racionális) számok összehasonlítására és rendezésére sikeresen használtuk a számtengelyen való ábrázolást, és értelmeztük a „ ≤ ” relációt (rendezési relációt).
Mivel ⊂⊂⊂ , azt gondoljuk, hogy végtelen sok valós számot (természetes, egész, racionális) össze tudunk hasonlítani és rendezni. Hátra van még, hogy a fenti gondolatmenetet kiterjesszük az irracionális számok esetére.
Fedezzük fel, értsük meg!
Vannak olyan irracionális számok, melyeket pontosan tudunk ábrázolni a számtengelyen. Például a 2 pontos ábrázolását körző segítségével végezhetjük. Mégis, általában az irracionális számok ábrázolásánál ezen számok becsléseit használjuk. Bármely irracionális számnak a számtengelyen való ábrázolását jelentő pont jobbra helyezkedik el közelítő értékét ábrázolja, illetve balra helyezkedik el ahhoz a ponthoz képest, amely a számnak többlettel való közelítő értékét ábrázolja, bármi a közelítés rendje.
Nyilvánvaló a következő megállapítás: ha x, y valós számok, valamint A(x) és B(y) pontok, akkor
Az A pont a B ponttól balra helyezkedik el akkor és csakis akkor, ha x < y
Mivel a számtengely minden pontjának egyértelműen megfelel egy valós szám, az A és B pontok egybeesőek akkor és csakis akkor, ha x = y.
A valós számok halmazán igazak a következő megállapítások: (x < y vagy x = y) x ≤ y; (x > y vagy x = y) x ≥ y; (x < y vagy x > y) x ≠ y. AB = 1
Az A pont a B ponttól jobbra helyezkedik el akkor és csakis akkor, ha x > y
Bármely két valós szám esetén a következő relációk csupán egyike igaz: x < y vagy x = y vagy x > y. Összehasonlítani két, x és y valós számot azt jelenti, hogy megállapítjuk, a fenti három reláció közül melyik igaz.
A valós számok halmazán igazak a következő megállapítások:
Tulajdonság a ≤ a, bármely a valós szám esetén.
Ha a ∈ ℝ, b∈ℝ és ha a ≤ b és b ≤ a, akkor a = b.
Példák: 0 ≤ 0; 33−≤− ; 33 ≤ 7 x ≤ és 7 x ≤ , akkor 7 x =
Megjegyzés: A < és a > reláció tranzitív:
Ha a ∈ ℝ, b∈ℝ és ha a ≤ b és b ≤ c, akkor a ≤ c.
32−≤− és 2 y −≤ akkor 3 y −≤
Ha a < b és b < c, akkor a < c. Ha a > b és b > c, akkor a > c. A < , > , ≤, ≥ relációk segítségével három vagy több valós számot tudunk növekvő vagy csökkenő sorrendbe rendezni.
Ha az x és y valós számok közé a <, >, ≤, ≥, = vagy ≠ szimbólumok egyikét tesszük úgy, hogy igaz kijelentést kapjunk, akkor azt mondjuk, hogy az x és y számok között egy relációt állapítottunk meg.
Két vagy több valós számot növekvő sorrendbe állítani azt jelenti, hogy a sorrendjüket úgy állapítjuk meg, hogy mindegyikük kisebb vagy egyenlő az utána következővel.
Két vagy több valós szám csökkenő sorrendbe állítása azt jelenti, hogy a sorrendjüket úgy állapítjuk meg, hogy mindegyik nagyobb vagy egyenlő legyen az utána következő számmal.
Megoldott feladat: Adott az A 2345 ,,, halmaz.
Határozd meg az A halmaz azon nem üres B, C, D és E részhalmazát, amelynek tulajdonságai:
Ha x ∈ B, akkor x ≤ 2. Ha x ∈ C, akkor x ≥ 2.
Ha x ∈ D, akkor x = 2. Ha x ∈ E, akkor x ≠ 2.
Megoldás: Számológépet használva és minden irracionális számnak csak az első tizedesjegyét megtartva: 21422,...;31732,...;42 = ;52252 ,....
Tehát B 234,,, C 45,, D 4, E 235,,.
Jegyezd meg!
Bármely negatív valós szám kisebb, mint bármelyik pozitív szám és mint a 0;
Ha x < 0, y < 0, akkor: x < y akkor és csakis akkor ha –x > –y
Ha x, a, y ∈ ℝ különböző számok, x < a és a < y, akkor x < y.
Ha x és y pozitív valós számok, akkor: xyxy .
Alkalmazás
1. Tizedes pontossággal való közelítést használva ábrázold a számtengelyen a 02233 ,,,,. számokat.
Figyeld meg a számoknak megfelelő pontokat, majd rendezd növekvő sorrendbe ezeket a számokat.
2. a) Számítógépet használva írd le a 5 számot két tizedesnyi pontossággal.
b) Hasonlítsd össze a 5 és 2,23 számokat.
c) Hasonlítsd össze a 2,23 és 2,(2) számokat.
d) Hasonlítsd össze a 5 és 2,(2) számokat.
3. Hasonlítsd össze a számokat: x = 35 és y = 211.
Megoldás: Bevisszük a tényezőket a gyökjel alá. Tehát: x 353545 2 , y 21121144 2 Mivel 45444544 xy. D – B – O – A – C 32023.
a) 52236 = , ; b) 5223 > ,; c) 2,23 > 2,(2) d) 5223 > , és 2,23 > 2,(2) tehát 522,.
4. Tanulmányozd, hogy az ABCD vagy az MNPQ téglalap átlója a nagyobb!
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az 1,23; 1,32; 1,2(3); 1,3(2) közül a legnagyobb::
A. 1,23; B. 1,32; C. 1,2(3); D. 1,3(2).
30 p 2. A 27 ; 23 ; 5; 33 számok növekvő sorrendben:
A. 27 ; 23 ; 5; 33 ; B. 23 ; 5; 33 ; 27 ; C. 23 ; 5; 27 ; 33 ; D. 5; 23 ; 27 ; 33 .
30 p 3. A 2 és 2 számok számtani közepe:
A. kisebb, mint 2; B. nagyobb, mint 2; C. nagyobb, mint 3; D. kisebb, mint 1.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Ábrázold a számtengelyen, majd rendezd növekvő sorrendbe az alábbi számokat. Határozd meg mindegyik esetben a legkisebb és legnagyobb számot!
a) 313 1 4 3 1 2 19 5 ,;;;;
b) 322114 ;;416 ;,;,
2. Vidd be az egészeket a gyökjel alá, majd hasonlítsd össze a számokat!
a) 23 és 32; c) 202 és –28;
b) 85 és 103; d) 66 és 75 .
3. Töltsd ki a négyzeteket a < , = , > szimbólumok valamelyikével, úgy, hogy igazak legyenek a kijelentések!
a) 26 5; h) 2552; b) 3753 ; i) 19674; c) 71096; j) 48 0; d) 4232; k) 0 6;
e) 4 3 5 3 ; l) –3 27 3 ; f) –5 26; m) 99 72;
g) 2730; n) 872448 .
4. Tekintsük az alábbi kijelentéseket :
p1: 37 < ;
p2: 195 > ;
p3: 12011130 << ;
p4: 829 < , ;
p5: 43655 > , ;
p6: 3645 ;
p7: 73 5 1322 , ; p8: 7997 20
Határozd meg a kijelentések logikai értékét, majd sorold fel az I és H halmazok elemeit, ahol I az igaz kijelentések halmaza, H pedig a hamis kijelentések halmaza.
5. Rendezd növekvő sorrendbe: a) 214114;,1;,; b) 26533 ;;
6. Rendezd csökkenő sorrendbe:
a) 7; 2114335 ;;; b) –8; 376221 ;;5
7. Határozd meg azt az n ∈ ℤ számot, melyre igaz, hogy:
a) nn411; b) nn81; c) 9 5 9 4 << n
8. Írj:
a) három példát olyan r racionális számra, melyre igaz: 23 << r ; b) három példát olyan p irracionális számra, melyre igaz 1 < p < 2.
3.l. Valós szám modulusa (abszolút értéke)
Emlékeztető
Az x ∈ ℚ modulusa a számtengely kezdőpontja és az x abszcisszájú A pont közötti távolságot jelenti. A mellékelt ábrákon |x| = OA. 0 O A x |x| = x x pozitív
Az x szám modulusát még az x szám abszolút értékének is nevezzük.
A számtengely két, A és B pontja közötti távolság a pontok xA, illetve xB koordinátái közötti egységek száma. A mellékelt ábrán AB = 3.
Láthatjuk, hogy xB – xA = 5 – 2 = 3 = AB, majd xA – xB = 2 – 5 = –3, tehát AB = 3 = – (xA – xB) vagy AB = xB – xA.
Következtetésként AB = |xB – xA| vagy AB = |xA – xB|, bármely xA és xB valós szám esetén.
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés: Az x valós szám modulusa a számtengelyen a kezdőpont és az A(x) pont közötti távolság.
Vagyis |x| = OA, ahol O a számtengely kezdőpontja, A pedig az x számnak a számtengelyen való ábrázolása.
Példa
Ábrázold a számtengelyen az
A(–2), B(3), C(32 –7), D(–3) pontokat
D
C A B O
a) OA = OC = 2 és OB = OD = 3.
Tehát |− 2| = |2|= 2 és |3| = |− 3| = 3.
b) |x – 5| = 0 x – 5 = 0 x = 5 M(5).
a) Számítsd ki OA, OB, OC, OD, majd határozd meg |–2|, |2|, |3|, |–3|. b) Keresd meg azt az M(x) pontot, melyre |x – 5| = 0. 0 1 –1 –2 –3 2 3 4 5
Oldjuk meg figyelmesen!
Az autópályán egy személygépkocsi megteszi az A és B kilométertáblák közötti távolságot. Ezeken a táblákon az xA = 43 (km) és xB = 98 (km)számok láthatók. Megállapíthatjuk, hogy xB > xA. Feltételezve, hogy az autópálya egyenes vonal, a személygépkocsi által megtett távolság: AB = xB – xA = 98 – 43 = 55 (km).
Ha nem tudjuk, hogy az xA és xB számok közül melyik a nagyobb, akkor két tetszőleges A és B pont közötti távolság: ABxxBA vagy ABxxAB .
– xA
xxBA=−
Más tantárgybeli alkalmazás: Fizikában az A pontot, melyből a személygépkocsi indul, kiindulási pontnak nevezik, és abszcisszáját xi-vel jelöljük. A B pontot, ahova a személygépkocsi érkezik, végpontnak nevezik, és abszcisszáját xf-fel jelöljük. Az xB – xA különbség jelölése: xxx fi .
Ha úgy tekintünk két valós szám modulusára, mint a számtengelyen való ábrázolásuk közötti távolságra, határozzuk meg azokat az x egész számokat, melyekre x 23
Megoldás: Ábrázoljuk a számtengelyen az M 2. pontot. Keressük a számtengelyen azokat a pontokat, amelyek koordinátái egész számok, és az M pont két oldalán helyezkednek el kisebb mint 3 távolságra. Figyelve a számtengelyt, a –1, 0, 1, 2, 3, 4 megoldásokat találtuk. A modulusnak a racionális számok esetében tanult tulajdonságai igazak a valós számok esetében is.
Modulus tulajdonságai
Példák
xxx , bármely 0 esetén 77 =
xxx , bármely 0 esetén 55 5 xx00 0, esetén bármely xx 330220 ,iar
330220 ,iarvalamint
xxx ,bármely esetén 88
xxx 2 ,bármely esetén 2 ;555 2
xyxyxy , bármely , esetén 051405140919 ,,,,,,
xyxyxy ,bármely esetén , 0514051407 ,,,,, és 05140707 ,,,,
xxxn nn , bármely , esetén és 0501250125 3 ,,,05050125 33 ,,,
x y x y xy , bármely , esetén és 14 05 14 05 ,28 , , , , 14 05 ,2828 , ,, a aa aa , , ha ha 0 0
Ha x ≥ 1, akkor x –1 ≥ 0 és xx11
Ha x < 1, akkor x –1 < 0 és xx11
A valós számok modulusának meghatározása és tulajdonságai alapján következtethetünk az alábbi állításokra.
Minden pozitív valós a szám esetén léteznek olyan x valós számok, melyre |x| < a vagyis az összes olyan valós szám melyek ábrázolása M(–a) és N(a) pontok között találhatók.
Bármely pozitív valós a szám esetén pontosan két olyan valós szám létezik, melyre |x| = a vagyis x = a és x = –a
Két negatív egész szám összehasonlítását újra fogalmazhatjuk használva a két szám modulusát, így: Az x < 0, y < 0 esetén: x < y akkor és csakis akkor ha |x| > |y|.
Két pozitív valós szám közül az a nagyobb, melynek modulusa nagyobb.
Két negatív valós szám közül az a nagyobb, melynek modulusa kisebb. Az |x| = - 2 egyenlőséget teljesítő valós számok + - 2 és –- 2 Következtetés: xyxyxy vagy . M O 0 N - 2 2
Jegyezd meg!
x x x , , ha x ≥0 ha x< 0
Ha x ∈ ℝ a számtengelyen levő A pont abszcisszája, akkor |x| = OA, ahol O a számtengely kezdőpontja.
AB = |xB – xA|, ahol xA és xB a számtengelyen levő A és B pont abszcisszája.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Ha | x | = 4, akkor:
A. x = 4; B. x = 4; C. x∈{ 4, +4}; D. x = 16.
30 p 2. A |+ 1,2| | 3,4| számítás eredménye:
A. 2,2; B. 4,6; C. 4,6; D. 2,2.
30 p 3. A 7 n = 7 n egyenlőséget teljesítő legnagyobb n természetes szám: A. 8; B. 2; C. 3; D. 7,1.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Egészítsd ki úgy, hogy igaz kijelentéseket kapjunk:
a) Ha a ∈ ℝ és a > 0, akkor |a| = … .
b) Ha b = 0, akkor |b| = … .
c) Ha c ∈ ℝ és c < 0, akkor |c| = … .
2. Számítsd ki az x szám modulusát majd töltsd ki a táblázat üres mezőit. x 5 2,8 7 2 1016 (–2)3 0
|x|
3. Végezd el!
a) (|–0,1| + |0,2| – |–0,3|) : |–2019|; b) 232332 32()
4. Sorold fel az összes:
a) olyan valós számot, amelynek modulusa 5; b) a 3-nál kisebb modulusú egész számot; c) negatív egész számot, amelynek modulusa legfeljebb 4.
5. Határozd meg az y valós számot!
a) |y| = 4,5 és y > 0;
b) y = 3 és y < 0;
c) y 20 = ;
d) |7y| = |y|.
6. Határozd meg az M halmaz eleminek számát tudva, hogy elemei olyan x egész számok, melyekre |x3| < 123.
7. a) Ha x > 0, számítsd ki:
E1 = |x| + |–3 | + |x + 27:3| – |2x|.
b) Ha x < 0, számítsd ki:
E2 = |x| + |x – 1| – |2x – 2|.
c) Ha x > 0, számítsd ki:
E = |x| + |–3| + 4x –1 – |2x|.
8. Egészítsd ki úgy, hogy igaz kijelentéseket kapjunk:
a) Ha x ∈ ℕ és x < 5, akkor x ∈{…}.
b) Ha x ∈ ℤ –és x < 7, akkor x ∈{…}.
c) Ha x ∈ ℤ* és x 3 03 ≤ ,(), akkor x ∈{…}.
1
.l. Valós számok összeadása, kivonása, szorzása és osztása
Tudjuk, hogy a valós számok halmaza nem más, mint a racionális és irracionális számok halmazának egyesítése.
Ezért a racionális számok halmazán értelmezett műveletek tulajdonságait felhasználhatjuk a valós számok halmazán végzett műveletek tanulmányozásakor.
Emlékeztető
Ha a, b ∈ ℚ, akkor a + b ∈ ℚ
2 a = ;
5 b = , akkor 41 10 ab+=∈
Ha a, b ∈ ℚ, akkor a ∙ b ∈ ℚ. Ha 7 2 a = ; 3 5 b = , akkor 21 10 ab⋅=∈
Ha a és b racionális szám, akkor az a számból kivonni a b számot azt jelenti, hogy összeadjuk az a számot a b szám ellentettjével, vagyis a – b = a + (– b).
Ha a, b ∈ ℚ, akkor a − b ∈ ℚ Ha 7 2 a = ; 3 5 b = , akkor 29 10 ab−=∈ .
Ha a és b racionális szám, b ≠ 0, akkor az a számot osztani a b számmal azt jelenti, hogy az a számot szorozzuk a b szám inverzével, vagyis aba b : 1
Ha a, b ∈ ℚ és b ≠ 0, akkor a b ∈ Ha 7 2 a = ;
b = ; 7535 : 236 ab =⋅=∈
Fedezzük fel, értsük meg!
Kiindulva az alábbi kérdésekből, fedezzük fel a valós számokkal végzett műveletek sajátosságait!
1) Milyen számot kapunk, ha összeadunk vagy szorzunk egy racionális számot egy irracionális számmal?
2) Milyen számot kapunk, ha összeadunk vagy szorzunk két irracionális számot?
1) a) Ha q ∈ ℚ és x ∈ \ , akkor qx \.
Bizonyítás: A redukció ad absurdum módszert alkalmazzuk: feltételezzük, hogy qxr . Akkor, xrq , ami ellentmondás, mert x ∈ \.
A feltételezésünk hamis, tehát qx \.
b) Ha q ∈ ℚ* és x ∈ \ , akkor qx \.
Bizonyítás: A redukció ad absurdum módszert alkalmazzuk: feltételezzük, hogy qxrx r q , ellentmondás, mert x ∈ \.
Hasznos példa egy nullától különböző természetes szám és egy irracionális szám szorzata.
Vegyük észre, hogy a 25 felírható 55 + , formában, majd 35555 . Ezek alapján az n ∈ ℕ* természetes szám és egy x alakú irracionális szám szorzata nxxxx n tag
2) Legyen a ∈ \ és b ∈ \. két szám.
Például a 31732 = ,... és 72645 = ,..., irracionális számok esetén a számok összege 37 + , ami nem más, mint a két számnak ugyanazzal a pontossággal, hiánnyal közelítő értékének összege és a többlettel közelítő értékének összege közötti szám.
és vagyis
4
Hasonlóképpen, két irracionális szám szorzata nem más, mint a két számnak ugyanazzal a pontossággal, hiánnyal közelítő értékének szorzata és a többlettel közelítő értékének szorzata közötti szám.
A 37 + alakot használjuk a 3 és 7, pontos összegének a leírásánál, valamint a pontos szorzatukat 37 vagy 21 alakban írjuk.
Ha a = 22, b = 2, c = 3, d 2, irracionális számok, akkor ab 32\ és bd 0 , majd ab 82164 és bc 236\.
Következtetés:
Ha a ∈ \ és b ∈ \, , akkor a + b és a · b racionális vagy irracionális szám is lehet.
A valós számok halmazán végzett műveletek tulajdonságai a racionális számok halmazán végzett műveletek tulajdonságaiból erednek.
Az összeadás asszociatív:
(a + b) + c = a + (b + c), bármely a, b, c ∈ ℝ esetén.
Az összeadás kommutatív:
a + b = b + a, bármely a, b ∈ ℝ esetén.
Az összeadás semleges eleme: 0, vagyis
533533
252522
a + 0 = 0 + a = a, bármely a ∈ ℝ esetén. 01313013
Bármely a ∈ ℝ számnak – a ∈ ℝ az ellentettje, azaz
a + (–a) = (–a) + a = 0, bármely a ∈ ℝ esetén. 373737370
A szorzás asszociatív:
(a · b) · c = a · (b · c), bármely a, b, c ∈ ℝ esetén. 377377
A szorzás kommutatív:
a ·b = b · a, bármely a, b ∈ ℝ esetén.
A szorzás semleges eleme 1, vagyis
a · 1 = 1 · a = a , bármely a ∈ ℝ esetén.
15232315
16868168 ,,,
Bármely a ∈ ℝ* szám inverze 1 a , vagyis a aa a 11 1 . 37 1 37 1
A szorzás disztributív az összeadásra nézve:
a(b + c) = ab + ac és (a + b)c = ac + bc, bármely a, b, c, ∈ ℝ esetén.
Az irracionális számok összeadása és kivonása hasonló a racionális számokkal végzett műveletekéhez, vagyis:
• Bármely a és b valós szám esetén a – b = a + (–b).
• Bármely a és b valós szám esetén, ahol b ≠ 0, igaz, hogy a : b = a · b–1 vagy a b a b 1 .
Számítási szabályok a valós számok halmazán
Az abx + alakú számok összeadása és kivonása, ha x > 0.
A valós számok összeadása asszociatív és kommutatív művelet, vagyis szabad megfelelő sorrendbe helyezni és csoportosítani a tagokat.
Két szám kivonása nem más, mint egy szám és egy másik ellentettjének összege. Tehát a tagok megfelelő csoportosítása a kivonás esetén is elvégezhető. (Vigyázzunk a tagok előjelére!)
Egynevű tagok összeadása és kivonása:
axbxabx és axbxabx , x > 0.
Két racionális tagot egynevű tagnak tekintünk.
Két ax és bx ,alakba hozható tag egynevű tag, ahol
a, b ∈ ℚ és x ∈ \, .
987 24 ++ ++ =+ 52 32 82
racionális tagok irracionális tagok
7383153 és 735323
29 és 11 egynevű tagok
52 és 32 egynevű tagok
29 és 52 nem egynevű tagok
7 és 5 nem egynevű tagok.
Két nem egynevű tag összeadásának illetve különbségének eredményét csak közelítés alapján adhatjuk meg. 37 + nem írható ax ,alakba, de megközelítve 3717326443 ,,7,.
Az ax alakú számok szorzása és osztása:
Ha a ∈ ℚ, b ∈ ℝ* , x ≥ 0 és y > 0, akkor:
axbyabxy és ax by a b x y =
Példa
65321810; 65 32 6 3 5 2 225 == ,.
46 24 53 15 = ⋅
racionális tényező irracionális tényező
Alkalmazás
Ha a, b ∈ ℚ, x ∈ \ és abx 0 , akkor a = 0 és b = 0.
Bizonyítás:
Ha b ≠ 0, akkor abxbxa 0 x a b hamis, mert x ∈ \. Tehát b = 0. Mivel abx 0, azt kapjuk, hogy a = 0.
Ha a, b ∈ ℚ és 23850 ab , akkor 2a – 3 = 0 és b –8 = 0. Tehát a = 1,5 és b = 8.
Következtetés: Ha ababx ,,,,\ és abxabx , akkor a = a' és b = b'.
Bizonyítás: abxabxaabbx 0
a – a' = 0 és b – b' = 0, tehát a = a' és b = b'
Megoldott feladat:
Számold ki: a) 31232 +−+ ; b) 2377 ⋅ ; c) ()() 86:43 .
Megoldás: a) 31232(323)(12)3333 +−+=−++=−+=− ; b) 2377(27)371421 ⋅=⋅⋅⋅= ; c) 8643
Jegyezd meg!
x + (–x) = (–x) + x = 0, bármely x ∈ ℝ
x xx x 11 1, bármely x ∈ ℝ* .
Bármely x, y ∈ ℝ esetén, x –y = x + (–y).
Hármely x, y ∈ ℝ esetén, y ≠ 0, x : y = x · 1 y .
Miniteszt
Ha a, b ∈ ℚ és 17343 ba , akkor a = 17 és b = –4.
Ha a ∈ ℝ, b ∈ ℝ és x ≥ 0, akkor axbxabx és axbxabx .
Ha a ∈ ℝ, b ∈ ℝ* és x ≥ 0 és y > 0, akkor axbyabxy és ax by a b x y = .
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. A 228184 ++−− számítás eredménye:
A. 2 ; B. 0; C. 2 ; D. 2.
30 p 2. Melyik halmaz eleme az 111 111 234 a =−⋅−⋅− szám?
A. ℕ ; B. ℤ ; C. ℚ ; D. ℝ \ ℚ .
30 p 3. A 2432 :: számítás eredménye:
A. 6 ; B. 6 ; C. 2; D. 2.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Végezd el!
a) –1,2 + 3,6; c) 1 4 2;
b) –4,3 –(–2,95); d) 7 3 23,.
2. Végezd el!
a) 22 + ; e) 62636 ++ ;
b) 2535 + ; f) 410310310; c) 33; g) 423252; d) 55 ; h) 233343
3. Végezd el a számításokat, majd határozd meg az eredményt két tizedes pontossággal!
a) 52721023242; b) 937353373 ; c) 4565115
4. Határozd meg x + y és x – y, értékeit az alábbi esetekben:
a) x 3522, y 8255 ;
b) x 7386, y 3376
5. Tudva, hogy x 12233, y 42536, z 236221, mutasd ki, hogy x + y + z összeg egész szám!
6. Emeld ki a tényezőket a gyökjel alól, majd végezd el a számításokat!
a) 28 + ; d) 321832;
b) 312 + ; e) 732748 ; c) 520; f) 2863175
7. a) Ábrázold a számtengelyen az A 2, B 3, C 8, D 23,pontokat. Közelítsd tizedekre a pontok abszcisszáit!
b) Számítsd ki az AC és BD szakasz hosszát, majd indokold meg, hogy melyik szakasz hossza a nagyobb!
8. Végezd el a szorzásokat!
a) 5 · 0,44; d) 5 3 62;
b) 7 3 1 2 7 ; e) 3 9 27 2 ;
c) –9 · 1,(3); f) 412633
9. Végezd el a szorzásokat!
a) 23 ⋅ ; d) 511;
b) 35 ; e) 132;
c) 57; f) 235.
10. Számítsd ki az x · y szorzatot!
a) x 3242 és y 163113 ;
b) x 8250 és y 328; c) x 63328 és y 20245.
11. Mutasd ki, hogy a B 22 8 512 5050 3 természetes szám!
12. Számítsd ki, használva a szorzás disztributív tulajdonságát az összeadásra és kivonásra nézve!
a) 6,(3) : (–38); c) 422:; b) 1 3 4 4 2 3 :; d) 2034:; e) 0555 ,:
14. Végezd el!
a) 505:; d) 4217:; b) 153:; e) 9142:; c) 357:; f) 164287:.
15. Számítsd ki annak a négyzetnek a területét, melynek kerülete 512 cm.
16. Határozd meg azokat az ab, kétjegyű természetes számokat, melyek tulajdonsága: a b = 4
17. Hasonlítsd össze az a 321282884 : és b 32412842884 :::. számokat!
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés: Az n ∈ ℕ és a ∈ ℝ*, esetén, az aaaa n n tényező
valós számot az a szám n-dik hatványának nevezzük. Az a számot a hatvány alapjának, az n számot pedig a hatvány kitevőjének nevezzük. alap kitevő 2-es 5-dik hatványa 25 = 32
Ha a ∈ ℝ*, akkor 11 a a jel és a a n n 1 , bármely n ∈ ℕ esetén.
A racionális számok esetén tanult egész kitevőjű hatványokkal végzett számítási szabályok használhatóak a valós számok halmazán is.
Ha x, y ∈ ℝ* és n, p ∈ ℤ, akkor:
Sajátos eset: x1 = x bármely x ∈ ℝ; x0 = 1 bármely x ∈ ℝ* ; 0n = 0 bármely n ∈ ℕ * . xn : xp = xn–p vagy x x x n p np xn : yn = (x : y)n vagy x y x y n n n xn · xp = xn+p (xn)p = xn · p xn · yn = (x · y)n
Alkalmazás
Adott az x ∈ ℝ és n ∈ ℕ úgy, hogy x és n nem lehet egyidejűleg nulla.
xx 2 = , bármely x ≥ 0 esetén; xx n n , bármely x ≥ 0 esetén;
Ha n = 2k, k ∈ ℕ*, akkor xxxx nk kk 2 2 , bármely x ≥ 0 esetén. 330202 8 4 6 3 ;,,.
Ha n = 2k + 1, k ∈ ℕ*, akkor xxxxx nk kk 21 21 , bármely x ≥ 0 esetén. 555556255 98 4 .
5 552 .
Ha n = 2k, k ∈ ℤ, akkor (–x)n = xn bármely x ∈ ℝ* esetén.
Ha n = 2k + 1, k ∈ ℤ, akkor (–x)n = – xn bármely x ∈ ℝ* esetén. axax n n n , bármely x ≥ 0 és a ∈ ℝ 33 2828 ;33 2828 . 66 7575 ;66 7575
Jegyezd meg!
xx 2 , bármely x ≥ 0 esetén;
xx n n , bármely x ≥ 0 esetén;
x x 11 , bármely x nullától különböző valós szám esetén.
Miniteszt
Ha n = 2k, k ∈ ℤ, akkor (–x)n = xn bármely x ∈ ℝ* esetén.
Ha n = 2k + 1, k ∈ ℤ, akkor (–x)n = – xn bármely x ∈ ℝ* esetén.
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. A () 2 3 + (−2)3 számítás eredménye:
A. 5; B. 5; C. 1; D. 1.
30 p 2. Ilona kertje négyzet alakú, oldala 3 5 dam. Kertjének területe: A. 15 dam2; B. 75 dam2; C. 45 dam2; D. 225 dam2.
30 p 3. Kiszámolva
, a kapott eredmény: A. 3 2 ; B. 2 3 ; C. 3 4 ; D. 4 3 . Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Egészítsd ki úgy, hogy az alábbi kijelentések igazak legyenek!
a) Ha x ∈ ℚ és n ∈ ℕ, akkor xn ∈
b) Ha x ∈ ℝ\ℚ és n ∈ ℕ, akkor xn ∈… vagy xn ∈… .
2. Számítsd ki!
a) 132; c) 7 3 2 ; e) (–4,63)1;
b) (–2)4; d) (–2)3; f) 1 7 2 57 0 ,.
3. Számítsd ki!
a) 7 2 ; d) 3 5 ; g) 42 ;
b) 5 2 ; e) 23 2 ; h) 6 6 ;
c) 2 2 ; f) 35 3 ; i) 14 4 .
4. Számítsd ki x2 értékét, ha:
a) x 28 ; b) x 250031500 .
5. Számítsd ki y – 2 és y – 4 ha:
a) y = 3 3 ; b) y 520.
6. Határozd meg az a, b, c természetes számokat tudva, hogy igaz a következő kijelentés: 22222 23910 abc
7. A mellékelt ábrán ABCD és BDEF négyzet, valamint
AB = 23
a) Számítással bizonyítsd be, hogy
TBDEF = 2 · TABCD b) Mutasd ki, hogy igaz az egyenlőség AB= a esetén, ahol a tetszőleges pozitív valós szám! A D E F B C
3.l. Az ab alakú nevező gyöktelenítése
Ha x nullától különböző valós szám, a és b nullától különböző természetes szám, valamint b nem osztható 1-től különböző négyzetszámmal, akkor a gyakorlatban néha szükséges, hogy az x ab , alakú törtet olyan egyenértékű törttel cseréljük ki, melynek nevezője racionális szám. Hasonlóan, ha a számítások eredménye irracionális szám, akkor racionális nevezőjű törtként írjuk fel.
Emlékeztető
Az adott törttel egyenértékű törteket kapunk, ha nullától különböző számmal bővítjük vagy egyszerűsítjük.
xx x, bármely x ≥ 0 esetén.
77722222224 2 ;.
xx:, = 1 bármely x > 0 esetén. 771221 :;:. ==
Kiemelve a tényezőket a gyökjel alól, a nn n ,,, 2 szám ab , alakba írható, aholnn n ,,, 2 és b nem osztható 1-től különböző négyzetszámmal.
Fedezzük fel, értsük meg!
Ha a nevező ab , alakú, ahol a, b ∈ ℕ*, akkor a törtet b , bővítve a nevező természetes, tehát racionális szám lesz.
Megjegyzés: Általában, a fenti relációban már nem emelhető ki természetes tényező a gyökjel alól. Ez viszont nem kötelező, csupán a számítások egyszerűbb elvégzése miatt, valamint az eredmény szebb alakjának leírására használják.
A nevező gyöktelenítésének nevezzük egy tört átalakítását olyan egyenértékű törtté, melynek nevezője racionális szám.
A törtek nevezőjének gyöktelenítése hasznos olyan műveletek elvégzésekkor, amikor irracionális nevezőjű törtként felírt valós számokat hasonlítunk össze és rendezünk. b ab
Alkalmazás
Ha b négyzetmentes szám, a c ab ,törtet nevezőjének gyöktelenítése céljából b bővítjük.
Ha b nem négyzetmentes szám, akkor a nevező gyöktelenítését az alábbi lépéseket követve végezzük el:
1. lépés: – kiemeljük a tényezőket a gyökjel alól és a nevezőt
′′ab ,alakba írjuk;
2. lépés: – a törtet ′b .-tel bővítjük.
Ha törteket kell összeadni vagy kivonni, akkor a közös nevezőre hozás előtt előnyös a törtek nevezőjét gyökteleníteni.
Ha törteket kell szorozni vagy osztani, akkor a nevezők gyöktelenítése előtt előnyösebb a műveletet elvégezni (néhány nevező racionális számmá válhat).
A nevező gyöktelenítésének nevezzük egy tört átalakítását olyan egyenértékű törtté, melynek nevezője racionális szám.
Jegyezd meg! b ab b ab ab 1 ,, *
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. A 3 23 tört nevezőjének gyöktelenítése utáni alakja:
A. 3 2 ; B. 3 2 ; C. 3 ; D. 3 .
30 p 2. Ha 2 2 a = és 8 2 b = , akkor a : b értéke:
A. 2; B. 1; C. −2; D. −1.
30 p 3. A 42 3:15 10 + számítás eredménye:
A. 10 ; B. 15 ; C. 2 ; D. 5 .
Gyakorlatok és feladatok
1. Bővítsd az alábbi törteket úgy, hogy a nevező racionális legyen!
1 2 2 3 5 5 9 6 10 10 24 30 ,,,,,.
2. Emeld ki a tényezőket a gyökjel alól, ha lehetséges egyszerűsítsd a törtet, majd gyöktelenítsd a nevezőt!
3 8 6 12 8 20 2 24 16 32 4 28 2 2 ,,,,,,, a ab ahol a > 0 és b > 0.
3. Gyöktelenítsd a törtek nevezőjét!
35 23 26 32 715 20 81 24 3 1 5 ,,083 ,,,,.
4. Gyöktelenítsd a nevezőket, majd hasonlítsd össze az x és y számot: a) x = 4 2 és y = 10; b) x 12 3 és y 10 2 .
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
5. Végezd el a számításokat, és az eredményt írd racionális nevezőjű tört alakjába! a) 7 26 4 36 2 6 ; b) 2 32 5 8 3 18 1 2 ; c) 6 3 8
6. Végezd el a számításokat és bizonyítsd be, hogy az A 1 12 3 48 5 108 27 10 racionális szám.
7. Határozd meg az a és b nullától különböző természetes számokat, ha 12 36 a b ab ,,.
A számítások során használt műveletek tulajdonságainak helyes alkalmazása érdekében olyan algoritmust használunk, amely a műveletek elvégzésének sorrendjét adja meg. A valós számokkal (mint minden más szám esetén is) végzett számítások eredményének helyessége függ az algoritmus szigorú betartásától.
Fedezzük fel, értsük meg!
A. Ha a gyakorlat nem tartalmaz zárójelet, akkor:
1) elvégezzük a hatványozásokat és a négyzetgyökvonást, ha lehetséges;
2) elvégezzük a szorzást és osztást a megadott sorrendben;
3) elvégezzük az összeadást és a kivonást a megadott sorrendben.
B. Ha a gyakorlat zárójeleket is tartalmaz, akkor:
1) a kerek zárójelben levő műveleteket végezzük el, az A pontban bemutatott lépéseket követve;
2) a szögletes zárójeleket kerek zárójellé, a kapcsos zárójeleket pedig szögletes zárójellé változtatjuk;
3) Addig folytatjuk az algoritmust, amíg kiszámoljuk a végeredményt.
2. Figyelembe véve a műveletek elvégzésének sorrendjét, számítsd ki:
a) 2222 6868 ⋅−+ ;
b) 0,041,690,25−+= ;
c) ()38382522:16 −+
; d) () 215259233223 +⋅−− .
3. Figyelembe véve a műveletek elvégzésének sorrendjét, számítsd ki:
a) 23221296; b) 6 2 3 3 210 5 5 4 567:; c) 05243225432 ,:;
d) 1 3 27 8 1 2 01622 3 :,:.
4. Számítsd ki és tanulmányozd, hogy az a szám pozitív, negatív vagy nulla!
a 6352735328112
5. Ha b 8623218 :, akkor számítsd ki 1 + b–1 + b–2
6. Adott a c 20015052 : és a d 362612328 :: szám.
Bizonyítsd be, hogy a c + d összeg természetes szám.
7. Határozd meg azt a legnagyobb számot, amely kisebb az x 2222 3579 :.számnál!
8. Hozzuk a lehető legegyszerűbb alakba az alábbi kifejezéseket:
a) 713513 : 234363243 −+ ; b) () 3 22 0,22 3 +⋅ ; c) 53343773 ; d) ()()135 82222 +−
9. Hasonlítsd össze az a és b számot!
a) a = 11 520 és b = 55 23 ; b) a 1 2 1 3 1 6 111 és b = 22 2 .
1.6. Az n valós szám súlyozott számtani közepe, n ≥ 2 • Két pozitív valós szám mértani közepe. x2 = a alakú egyenletek, a ∈ ℝ
1.l. Az n valós szám súlyozott számtani közepe, n ≥ 2
Emlékeztető
Két vagy több szám számtani közepe egyenlő az adott számok összegének és számának arányával.
Ha adott n valós szám, x1, x2, x3, .., x n, akkor a számtani közép m xxx n a n 12
Oldjuk meg figyelmesen!
A VII. A osztály ismeretfelmérésén a 24 résztvevő tanuló a következő jegyeket kapta: 6, 4, 10, 5, 3, 6, 6, 9, 7, 7, 10, 7, 8, 8, 8, 9, 8, 7, 9, 9, 8, 7, 10, 5. Könnyen azonosítjuk az „Ismeretfelmérő” számhalmazt, amelyre az átlagot (az összes osztályzat számtani közepét) kívánjuk kiszámítani. Ezt kapjuk: m a = 6410536697710788898799871057,(3) 24 +++++++++++++++++++++++
A számítás hatékonyabbá tétele érdekében meghatározzuk az egyes osztályzatok előfordulási számát az „Ismeretfelmérő” adatállományban, és kitöltjük a gyakorisági táblázatot, ahogyan azt a 6. osztályban tanultuk. Ha az értékeket (osztályzatokat) x1, x2, …x8 gyakoriságukat (súlyukat) pedig p1, p2, ..., p8, jelöli, akkor a fenti adathalmaznak megfelelő gyakorisági táblázat a következő:
Nyilvánvaló, hogy a súlyok összege megegyezik a jegyek teljes számával, azaz a felmérőn résztvevők számával: p1 + p2 + p3 + p4 + …+ p8 = 24.
Fedezzük fel, értsük meg!
A valós számok összeadásának kommutativitását és asszociativitását felhasználva a fenti számtani közép a következőképpen írható fel:
m a = 34(55)(666)(77777)(88888)(9999)(101010) 24 +++++++++++++++++++++++
34567 1123558910 43 11235543
A fenti táblázatban levő jelöléseket használva az m a számtani közepet a következő alakban írhatjuk fel: m
és azt mondjuk, hogy kiszámítottuk az adathalmaznak megfelelő számok súlyozott számtani közepét.
A számítást elvégezve és két tizedesjegy pontossággal kifejezve, m a = m p = 7,33.
A fenti példa azt szemlélteti, hogyan számolhatjuk ki a 3, 4, 5, 6, 7, 8 számok súlyozott számtani közepét az 1, 1, 2, 3, 5, 5, 4, 3 súlyokkal.
A 10-es súlya 3, a 9-es súlya 4, és így tovább, a súlyok összege pedig a jegyek száma.
Értelmezés: Az x1, x2, x3, …, x n számoknak p1, p2, … , pn súlyokkal számolt súlyozott számtani közepe az m= px+px++px p+p+... p+p nn n 1122 12 szám, melyet röviden, a fenti n szám súlyozott közepének nevezzük.
Megjegyzés:
• Ha nagy mennyiségű szám számtani közepét számoljuk ki, akkor a legcélszerűbb a súlyozott számtani közepet használni.
• A súlyozott számtani középre vonatkozó képlet nem más, mint az egyszerű számtani középre vonatkozó képlet rendszerezése, a valós számok összeadásának kommutativitását és asszociativitását felhasználva.
Alkalmazás
Megoldott feladat:
Ilona 3 kg piros almát vásárolt 8,5 lejért kilónként és 5 kg sárga almát, amelyért 36,25 lejt fizetett.
a) Számítsd ki az árat, amelyet Ilona a sárga almáért fizetett (az 1 kg sárga almáért fizetett összeget)!
b) Számítsd ki az átlagárat, amelyet Ilona az almákért fizetett!
Megoldás:
a) Ha 5 kg sárga alma 36,25 lejbe került, akkor 1 kg sárga alma ára 36,25 : 5 = 7,25 (lej).
b) Az átlagár, amit Ilona az almáért fizetett, a 8,5 és a 7,25 számok súlyozott számtani közepe, ahol 3 és 5 az árak súlya.
P = m p = 3855725 35 2553625 8 6175 8 77 ,,2 ,,, , (lej).
Egy kiló alma átlagára 7,72 lej körül van.
Két vagy több szám számtani közepe a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
T1. Két vagy több szám számtani közepe a számok közül legalább a legkisebbel, illetve a számok közül legfeljebb a legnagyobbal egyenlő.
Példa. A fenti feladatban 7,25 < 7,72 < 8,5.
Adott n valós szám közül legyen a a legkisebb és b a legnagyobb szám. Akkor a na n m nb n b a
T2. Két szám súlyozott számtani közepe ahhoz a számhoz áll közelebb, amelyiknek nagyobb a súlya.
Példa. Az előző feladatban a 7,25-ös számnak nagyobb a súlya, mint a 8,5-ös számnak, és
P – 7,25 = 0,47 < 0,78 = 8,5 – P.
P - 7 ≈ 0,43 < 0,56 ≈ 8 – P.
T3. Ugyanazon számok esetén a számtani közép értéke változhat a súlyok függvényében.
Ha 3 kg sárgabarackot 9 lej/kg áron, 1 kg őszibarackot pedig 10 lej/kg áron adnak el, akkor az eladott gyümölcsök átlagára 1 10 4 3 92 9 ,5 P + == ⋅ (lej), ha pedig 3 kg őszibarackot 10 lej/kg áron, 1 kg sárgabarackot pedig 9 lej/kg áron adnak el, akkor az eladott gyümölcsök átlagára P2 3 4 10 975 9 , . Például, ha Szilárdnak van 3 db. 8-as jegye és 3db. 10-es jegye, és Mariának van egy 8-as jegye és egy 10-es jegye, akkor mindketten ugyanazt az átlagot kapják.
T4. Ha az a1, a2, ...a n valós számok egyenlő súlyúak, azaz p1= p2 = ... = pn = p, akkor az n·p számok súlyozott számtani közepe egyenlő az a1, a2, ...a n számok számtani közepével.
Tényleg, Szilárd átlaga 3831054 9 66 p m ⋅+⋅ === , Mária átlaga pedig
81018 9. 22 m + ===
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az 32 a =+ és 32 b =− számok számtani közepe:
A. 23 ; B. 22 ; C. 3 ; D. 2
30 p 2. Az 1 2 , 2 3 , 3 4 számoknak 2, 3 illetve 4-gyel súlyozott számtani közepe:
A. 2 3 ; B. 3; C. 4; D. 1.
30 p 3. A következő táblázat a hetedik osztályosok által írt teszt eredményeit mutatja.
Jegy 5 6 7 8 9 10
Tanulók száma 1 2 4 6 8 4
Az osztály átlaga:
A. 8,42; B. 8,30; C. 8,24; D. 8,20.
Gyakorlatok és feladatok
1. Számítsd ki az a és b valós számok számtani közepét!
a) a = 2, b = 18; d) ab 1 4 5 108 ,,;
b) a = 7,25, b = 22,75; e) ab==2686 ,;
c) a = 5,5, b = 1,8(3); f) ab==35175 ,; g) ab12321250 ;.
2. Az egyik könyvesbolt szeptemberben ötféle tollat értékesített, amint azt az alábbi táblázat mutatja.
Szeptemberi eladáS
a) Határozd meg a diagram segítségével az egyes értékek (az egyes árak) súlyát a diagramon!
b) Számítsd ki az ebben a könyvesboltban szeptemberben eladott tollak átlagárát a súlyozott átlag segítségével!
3. Számítsd ki az a, b, c számok számtani közepét, ha a 32048; b 10838 ; c 7212
4. Az a, b, c számok számtani közepe 482 + Tudva, hogy ab 332572 ,, határozd meg a c számot!
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
5. A VII. C osztályban 24 tanuló közül 10 fiú. A fiúk átlag testmagassága 170 cm, a lányok átlag testmagassága pedig 166 cm. Számítsd ki a VII. C osztály tanulóinak átlag testmagasságát.
6. Lenke két különböző üzletből vásárolt szőlőt. Az első üzletből 2 kg vásárolt szőlőért 18,5 lejt, a második üzletből vásárolt 3 kg szőlőért pedig 26,25 lejt fizetett.
a) Határozd meg a szőlő kilogrammjának árát mindkét üzletben;
b) Határozd meg a Lenke által vásárolt szőlő árának átlagát!
7. Egy hét minden napján reggel 9 órakor megmérték a levegő hőmérsékletét. István a mért értékeket az alábbi táblázatba foglalta. A következő hét első három napján ugyanazt az x-szel jelölt hőmérsékletet mérték, Celsius fokban kifejezve.
Nap H K Sze Cs P Sz V
a) Számítsd ki az első hét átlag hőmérsékletét! b) Tudva, hogy a táblázatban levő 10 nap átlag hőmérséklete 13,5 °C, határozd meg az x értékét!
8. Egy kenguru öt 18 méteres, három 32 méteres és két 8 méteres ugrást hajt végre. Számítsd ki egy ugrás átlagos hosszát méterben! Kerekítsd az eredményt a legközelebbi egységre!
9. Határozd meg az a és b racionális számokat, tudva, hogy az 2 ab + és 2 ba számtani közepe 2.
Emlékeztető
Tekintsük a b a = k , arányt, ahol a és b pozitív valós szám, amelyet b = a · k alakban is írhatunk.
Példa. Az AB szakasz hossza 4 cm, a BC szakasz hossza pedig 6 cm. Tehát a BC AB = 6 4 vagy a BC=AB 6 4 ⋅ vagy BC = 1,5 · AB öszszefüggést írhatjuk.
Az l oldalhosszúságú négyzet területe T □ = l2 . A téglalap területe T Ll . ahol L a hosszúság és l a szélesség hossza.
A derékszögű háromszög területe T
Fedezzük fel, értsük meg!
1. Az A, B, C, D pontok kollineárisak az adott sorrenben, úgy, hogy AB = a,
BC = b és CD = c. Tudjuk, hogy
BC = k · AB és CD = k · BC.
a) Alkoss aránypárt az a, b, c pozitív számokkal!
b) Fejezd ki a b pozitív számot az a és c pozitív számok függvényében!
2. Az ABCD téglalap esetén, AB = 9 és BC = 25.
a) Számítsd ki a téglalap területét!
b) Számítsd ki annak a négyzetnek az oldalhosszát, amelynek területe egyenlő az adott téglalap területével!
AB b a k
CD
BC c b k b a c b
Azt mondjuk, hogy a b szám az a és c szám mértani közepe
a) TABCD = AB · BC = 9 · 25.
b) Legyen a a négyzet oldalának hossza
Tnégyzet = a2 a2 = 9 · 25, tehát a 92515.
Azt mondjuk, hogy a négyzet oldala mértani közepe az azonos területű téglalap méreteinek.
Értelmezés: Az x és y pozitív valós számok mértani közepe az mxy g .
Megjegyzés: Kiindulva az m x y m gmxy g g , ekvivalenciából, az x és y számok mértani közepét az x és y számok arányközepének is nevezzük.
Alkalmazás
Két pozitív szám mértani közepe a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
T1 Két pozitív szám mértani közepe a számok közül legalább a legkisebbel, illetve a számok közül legfeljebb a legnagyobbal egyenlő; ha a két szám egyenlő, akkor a mértani közép megegyezik mindkét számmal.
Ha 0 < x < y, akkor: xxxyyy 22
Mivel mxy g , az x ≤ m g ≤ y. Ha x = y, akkor mxyxxx g
T2 Két pozitív szám mértani közepe kisebb vagy egyenlő a két szám számtani közepénél.
Bármely x > 0 és y > 0 esetén, xy xy 2 .21
T3. Ha x és y pozitív szám, akkor xy xy xy 2 .
Gyakorlati alkalmazás
Ennél a gyakorlatnál legalább kétfős csapatokban dolgozzatok. Szükségetek lesz kartonra, markerre, mértani felszerelésre, ollóra.
1. Szerkessz a kartonra egy derékszögű háromszöget!
2. Szerkeszd meg az átfogóhoz tartozó magasságot! Jelöld a magasságot h betűvel, majd a magasság által az átfogón meghatározott szakaszokat x és y betűvel.
3. Satírozd be különböző színekkel a keletkezett két derékszögű háromszöget!
4. Vágd ki a kapott háromszögeket!
5. Szerkessz meg és vágj ki egy h oldalhosszúságú négyzetet és egy olyan téglalapot, melynek méretei x és y!
6. Egy nagyobb kartonon illeszd egymáshoz a négyzetet és a két háromszöget úgy, hogy kapj egy háromszöget. Rajzold meg és vágd ki a kapott nagy háromszöget.
7. Helyezd egymás mellé a két kis háromszöget és a téglalapot úgy, hogy kapj egy derékszögű háromszöget. Mit veszel észre?
8. Hasonlítsd össze a készített ábrákat, majd tanulmányozd a kapott összefüggéseket. h x y h
Amikor a h2 területű négyzetet és a két háromszöget összeillesztjük, akkor olyan derékszögű háromszöget kapunk, melynek befogói h + x és h + y hosszúságúak.
Amikor az x y területű téglalapot és a két háromszöget összeillesztjük, akkor szintén olyan derékszögű háromszöget kapunk, melynek befogói h + x, és h + y hosszúságúak.
Következmény: A négyzet és téglalap területe egyenlő, hxyhxy 2 , tehát az átfogóhoz tartozó magasság hossza mértani közepe a magasság által az átfogón meghatározott szakaszok hosszának.
Megjegyzés: Ezzel a gyakorlattal bebizonyítottátok a derékszögű háromszög egyik fontos törvényszerűséget, melyet magasságtételnek nevezünk. Ezzel az összefüggéssel mértanórán fogunk foglalkozni.
A gyakorlatban is fontos észrevenni a mértani közép használatának fontosságát. Megoldott feladatok
1. Mihály édesapja egy üzlet reklámrészlegén dolgozik. Az üzletben található egyik termék ára 500 lej. A következő évben két, egymás utáni áremeléssel szeretné drágítani ezt a terméket. Először 1,28-szorosan drágítana, majd 6 hónap múlva az új árat 1,62-szeresen növelné. A szükséges számítások elvégzése után megállapította, hogy a termék végső ára 1036,8 lej lesz.
Mihály azt tanácsolja, hogy a termék árát két egyforma drágítással növeljék, azaz x-szeresen emeljék az árat két alkalommal úgy, hogy a végső ár ugyanaz legyen. Édesapja megdicséri Mihályt ötletéért, és megkérdi: Hogyan számoljuk ki az x értékét?
Mihály kiszámolja a két áremelésnek megfelelő szám számtani közepét: 128162 2 14 ,,5,., de észreveszi, hogy nem ugyanazt az árat kapja.
Jobban meggondolva, Mihály arra a következtetésre jut, hogy a mértani közepet kell használnia: x 12816214 ,,4,. Magyarázd meg, miért kell a mértani közepet használni?
500 lej 640 lej 1036,8 lej 1,28-szor 1,62-szer
2. Számítsd ki a számok mértani közepét: a) 9 5 és 90; b) 2 és 8 ; c) 480 és 0,3
Megoldás: a) 992 905189929292 55 g m =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ; b) 28164 ⋅== , tehát m g = 4 = 2.
Felírhatjuk így is: 28222222 g m =⋅=⋅=⋅= vagy 281642 g m =⋅=== c) m g = 4800,3 ⋅ = 144 = 12.
3. Az a és b szigorúan pozitív valós számok mértani középértéke 6. Határozd meg a számokat, tudva, hogy b négyszer nagyobb, mint a!
Megoldás: A felhívó szöveg alapján b = 4·a és m g = 6. Azt kapjuk, hogy 4 aa = 6, vagyis 42 a = 36 . Tehát 4·a2 = 36, ami egyenértékű azzal, hogy a2 = 9 vagy a2 = 32, a > 0. Az a = 3 szám a feladat megoldása. A következő leckében látni fogjuk, hogy ez az egyetlen megoldás. A keresett számok a = 3 és b = 12.
Tényleg, 312 ⋅ = 36 = 6 és 12 = 4·3.
Az x és y pozitív valós számok mértani közepe vagy arányközepe az mxy g . Jegyezd meg!
Ha x > 0 és y > 0, akkor: xy xy 2, vagyis m g ≤ m a . xy xy xy 2, vagyis m g = m a ⇔ x = y.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az 23 a = és 63 b = számok mértani közepe:
A. 2; B. 3; C. 6; D. 36.
30 p 2. Két pozitív valós szám mértani közepe 12. Ha az egyik szám 8 3 , akkor a másik szám:
A. 63 ; B. 36 ; C. 43 ; D. 23
30 p 3. A 2 és 32 számok számtani és mértani közepének különbsége:
A. 8; B. 9; C. 8,5; D. 9,5.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Számítsd ki az a és b pozitív valós számok mértani közepét:
a) a = 2, b = 18; d) a = 3, b = 12;
b) ab== 14 5 10 7 ,; e) ab== 112 4 7 ,;
c) a = 1,2, b = 3,(3); f) a = 81, b = 9.
2. Számítsd ki az a és b pozitív valós számok mértani közepét:
a) ab==6232 ,;
b) ab== 315515 ,;
c) ab 312483 ,;
d) ab98325016272 ,.
3. Két pozitív szám mértani közepe 42, . Az egyik szám 22 Határozd meg a másik számot!
4. Két pozitív szám mértani közepe 53 , . Az egyik szám 5. Számítsd ki a két szám számtani közepét!
5. Adott az ab==562545 ,.szám. Számítsd ki a két szám m a számtani közepét és m g mértani közepét. Hasonlítsd össze az m a és m g számokat!
6. Határozd meg az ab, alakú természetes számokat tudva, hogy a 2a és 4b számok mértani közepe 8.
7. a) Határozz meg két természetes számot tudva, hogy mértani közepük 101
b) Keress két természetes számot tudva, hogy mértani közepük 5.
8. Az x pozitív szám és a 8 mértani közepe 12. a) Határozd meg az x számot! b) Mennyivel kell az x számot növelni ahhoz, hogy a mértani közép duplázódjon?
9. Az a és b pozitív számok aránya 4 9, mértani közepük pedig 18. Határozd meg az a és b számot!
10. Határozd meg az összes olyan természetes számpárt, amelyek mértani közepe 4.
11. Bizonyítsd be egy példával az állítás érvényességét: „Léteznek olyan nem nulla természetes a és b számok, hogy a 3a és 27b számok mértani középértéke egyenlő 35”.
12. Legyen a pozitív valós szám. Bizonyítsd be, hogy az a szám és inverzének mértani közepe egy természetes szám!
13. Adott a 20, 21, 22, 23, … számsor.
a) Igazold a 22211 nn n n ,. * egyenlőséget, ahol 22211 nn n n ,. *
b) Ellenőrizd, hogy a tizedik és a tizenkettedik tag mértani közepe tagja-e a számsornak!
Emlékeztető
Bármely x ∈ ℝ szám esetén igaz, hogy x2 = (–x)2. 2312 2 és 2312 2 .
Bármely valós szám négyzete pozitív valós szám, vagy nulla. 230 2 ;230 2 ; 02 = 0.
Mindegyik nem negatív a valós szám esetén megadhatjuk a szám négyzetgyökét, melyet a , -val jelölünk. a ,szintén nem negatív valós szám.
Bármelyik negatív szám kisebb, mint 0 és mint bármelyik pozitív szám.
Ha a ≥ 0 és b ≥ 0, akkor a2 = b2 a = b.
Fedezzük fel, értsük meg!
93 = ; 9 25 3 5 = ;
Ha a < 0 és b ≥ 0, akkor a < b.
a ≥ 0 és b ≥ 0, akkor a = b ab .
Az x2 = a, a ∈ ℝ, alakú egyenlet az összes olyan valós számok meghatározását jelenti, amelyek teljesitik az egyenlőséget.
Az x az egyenletben levő ismeretlen
Az egyenlet értelmezési tartománya ℝ.
Az ismeretlen összes olyan valós értékét, mely teljesíti az egyenletet, az egyenlet megoldásának nevezzük.
Az x összes olyan valós értékeinek halmazát, melyre igaz az egyenlőség, az egyenlet megoldáshalmazának nevezzük.
Megoldani az egyenletet azt jelenti, hogy meghatározzuk az összes megoldását.
Oldd meg ℝ-ben az x2 = 256 egyenletet.
16 az egyenlet megoldása, mert 162 = 256. –16 is az egyenlet megoldása, mert (−16)2 = 256.
Ha x > 16 vagy x < – 16, akkor x2 > 256, tehát nem teljesíti az egyenlőséget.
Ha x > – 16 és x < 16, akkor x2 < 256, tehát nem teljesíti az egyenlőséget.
Tehát, x1 = 16 és x2 = – 16 az egyenlet kizárólagos megoldásai. A megoldáshalmaz: M = {– 16, 16}.
Megjegyzés: A 16-os a 256 szám négyzetgyöke, – 16 pedig 16 ellentettje. Írhatjuk, hogy: 125616x == és 225616x =−=− .
Egy egyenlet összes megoldásának meghatározását az egyenlet megoldásának nevezzük.
Adott az x2 = a alakú egyenlet, ahol a ∈ ℝ. Mivel bármely x ∈ ℝ, x2 ≥ 0, az x2 = a, a ∈ ℝ, egyenlet megoldását a következő esetek befolyásolják: 1) a > 0; 2) a = 0; 3) a < 0.
Az alábbiakban bemutatjuk az x2 = a alakú egyenlet megoldásának algoritmusát a valós számok halmazán, ahol a egy valós szám.
1) Ha a > 0, az x2 = a egyenlet xa = , alakban írható, amely igaz akkor és csakis akkor, ha
xa = vagy xa =−
Az egyenlet valós megoldásai: 1 xa = és
2 xa =−
Az egyenlet megoldáshalmaza:Maa,.
2) Az x2 = 0 egyenlet egyetlen megoldása x = 0, tehát M = {0}.
3) Az x2 = a alakú egyenletnek, ahol a < 0, nincs valós megoldása, mert x2 ≥ 0, bármely x valós szám esetén és a < 0. Az egyenlet megoldáshalmaza M = ∅
Megjegyzés:
2 1 64648xx=⇒== és 2648x =−=− , tehát { } 8,8 M = -
2 1 181832xx=⇒== és 21832x =−=− , tehát { } 32,32 M =.
(2x)2 = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 és M = {0}. () 2 210021005 xxx −=⇒−=⇒= és M ={5}.
Az x2 = −16 egyenletnek nincs megoldása, M = ∅.
Az x2 = −1 egyenletnek nincs megoldása, M = ∅.
Az egyenletben levő ismeretlent más betűvel is jelölhetjük. Például, a t2 = 16 egyenletben levő ismeretlen t, megoldásai pedig t1 = – 4 és t2 = 4. A megoldáshalmaza M = {– 4, 4}, ugyanúgy, mint x2 = 16 vagy m2 = 16.
Alkalmazás
A megoldásra javasolt egyenletek közül sok egyenlet más formában, de ekvivalens átalakításokkal x2 = a alakú egyenleteket kaphatunk. Emlékezzünk, hogy azt a két egyenletet, melynek megoldásai ugyanazon halmaz elemei, és megoldáshalmazuk megegyezik, ekvivalens egyenleteknek nevezzük. Ekvivalens átalakításoknak nevezzük azokat az átalakításokat, melyek során ekvivalens egyenleteket kapunk. Az alábbi átalakításokat használhatjuk:
Hozzáadjuk vagy kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a valós számot;
Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk, vagy osztjuk ugyanazzal a nullától különböző valós számmal;
Ha a ≥ 0 és b ≥ 0, a = b akkor és csakis akkor, ha ab = .
Példák:
= {2, 7}.
Jegyezd meg!
Egyenlet A megoldáshalmaz Indoklás
2 = a, a >
, Maa = -
xa=⇔ xa=⇔ xa = vagy xa =− . x2 = 0 M = {0} x2 = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0. x2 = a, a < 0 M = ∅. x2 ≥ 0 és a < 0, tehát x2 ≠ a, bármely x valós szám esetén.
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. A 2 · x2 = 98 egyenlet megoldáshalmaza:
A. M = {7}; B. M = { 7, +7}; C. M = ∅; D. M = ℝ
30 p 2. Egy négyzet területe 324 cm2 és az oldalának hossza (x – 1) cm. Az x szám értéke:
A. 161; B. 36; C. 19; D. 17.
30 p 3. Az 2 · x2 = 98; 1213 49 x −= ; x2 + 4 = ( 2)2; 1 x2 = 2 egyenletek közül nincs megoldása ennek:
A. 2 · x2 = 98; B. 1213 49 x −= ; C. x2 + 4 = ( 2)2; D. 1 x2 = 2.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont Miniteszt
Gyakorlatok és feladatok
1. Oldd meg az ℕ halmazon a következő egyenleteket:
a) x2 = 625; d) –7 · x2 = –343;
b) x2 = 256; e) 3 · x2 + 1 = 76.
c) 2 · x2 = 800; f) 4x2 – 3 = 6.
2. Írd le az összes olyan (a2 , a), számpárt, amelyre:
a) a2 ∈ {16, 81, 400} és a ∈ ℕ;
b) a2 ∈ {25, 49, 144} és a ∈ ℤ;
c) a2 ∈ {16,81, 400} és a ∈ ℚ–.
3. Határozd meg az egyenletek valós megoldásait!
a) x2 = 36; c) x 225 4 = ; e) x2 + 7 = 907; b) x2 = 3,24; d) x2 = –9; f) 4 · x2 + 1 = 92.
4. Oldd meg ℝ-en az alábbi egyenleteket!
a) 5320 2 x = ; d) x x 20 45 = ;
b) 4 3 16 27 2 x ; e) 21 8 3 14 x x = ;
c) x 127 2 ,; f) 21 3 27 21 m m .
5. Határozd meg az egyenletek pozitív valós megoldásait!
a) 27105 2 x ; b) 14 15105 x x = .
6. Határozd meg az egyenletek negatív valós megoldásait!
a) x 21551; b) 2 3 061 7 9 2 x ,.
7. Oldd meg az egész számok halmazán az alábbi egyenleteket!
a) x 21551; b) 2 3 061 7 9 2 x ,.
8. Oldd meg ℝ-en az egyenleteket!
a) x 25 = ; d) 127 25 3 2 x ;
b) t 21 2 = ; e) x 23432;
c) 20 2 x ; f) 1 2 3 2 216 x ,.
9. Adott az M 081 1 4 ,;1029225 ;;;;;. halmaz. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy találomra kiválasztva az M halmaz egy a elemét, az x2 = a egyenletnek: a) racionális megoldásai legyenek; b) egész megoldásai legyenek; c) valós megoldásai legyenek; d) egyetlen valós megoldása legyen.
10. A mellékelt ábrán egy földterület vázlatos rajza látható. A földterület három egymáshoz illesztett ABIJ, BCGH és CDEF négyzetből áll. A H pont a BI szakasz, F pedig a CG szakasz felezőpontja. Tudva, hogy a teljes földterület felszíne 0,0756 ha, számítsd ki a három négyzet oldalának hosszát!
Hivatalból: 10 pont
Munkaidő: 50 perc
I. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
5p 1. A 7 8 tizedes törtként írva:
A. 0,78; B. 0,87; C. 0,875; D. 0,785. 5p 2. A 19,2837 hiánnyal, századokra közelített értéke:
A. 19,28; B. 19,30; C. 19,78; D. 19,29.
5p 3. 576 négyzetgyöke:
A. 26; B. 24; C. 28; D. 32.
5p 4. Kiemelve a tényezőket a gyökjel alól, a 600 alakja:
A. 610 ; B. 205 ; C. 415 ; D. 106
5p 5 A 5,-nél kisebb legnagyobb egész szám:
A. –1; B. –2; C. –3; D. 0.
5p 6. A a = 2 5 + 10 + () 2 205 szám kétötöde:
A. 0; B. 6; C. –3; D. 4.
5p 7. A ()()22 22 + számítás eredménye:
A. 2 ; B. 2 ; C. 0; D. 2,5.
5p 8. 23 és 63 mértani közepe:
A. 2; B. 3; C. 6; D. 12.
II. Írd le a teljes megoldást!
1. Adott az {} 1,2,3,...,44,45 A = halmaz. Határozd meg
5p a) az A halmaz racionális elemeinek számát;
10p b) az A halmaz 6-nál nagyobb elemeinek számát!
10p 2. Egy kétgyermekes családban a havi jövedelem: az apa fizetése 5600 lej, az anya fizetése 4800 lej, a gyermekek után járó juttatás pedig fejenként 375 lej. Ha a havi kiadások a teljes jövedelem 70%-át teszik ki, számítsd ki, hogy a család mekkora összeget takarít meg egy hónapban!
3.
15p a) Bizonyítsd be, hogy A = 227336100,252012 +⋅−+− racionális szám!
10p b) Határozd meg az x és y valós számot tudva, hogy xy 5 3 3 0.
2. LINEÁRIS EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK
2.1. ax + b = 0 alakú egyenletek, ahol a és b valós számok
A valós számok halmazán értelmezett egyenlőségi reláció tulajdonságai:
1) Minden valós szám egyenlő önmagával, azaz x = x
2) Ha x = y, akkor y = x
3) Ha x = y és y = z, akkor x = z
Adott egyenlőségben az = jel bal oldalán található kifejezést az egyenlőség baloldalának, valamint az = jel jobb oldalán található kifejezést az egyenlőség jobboldalának nevezzük.
Fedezzük fel, értsük meg!
A feladatok megoldása során egy adott információt többféleképpen is megadhatunk, látszólag különböző kijelentések alakjában.
Például, az x + 3 = 7, x – 2 = 2 és x = 4 kijelentések különbözőképpen vannak megfogalmazva, de mégis ugyanazt jelentik, azaz, hogy az x ismeretlen egyetlen olyan értéke, melyre igazak az egyenlőségek az a 4-es szám. Az ilyen kijelentéseket ekvivalenseknek nevezzük.
Így írjuk: x + 3 = 7 x – 2 = 2 vagy x + 3 = 7 x = 4 vagy x – 2 = 2 x = 4.
A. Kiindulva adott egyenlőségből vele ekvivalens egyenlőséget kaphatunk a következő átalakításokkal: Átalakítás Matematikai jelekkel leírva
Az egyenlőség mindkét oldalához hozzáadjuk vagy kivonjuk ugyanazt a valós számot.
Az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk vagy elosztjuk ugyanazzal a nullától különböző valós számmal. x = y ⇔ x · a = y · a, bármely a ∈ ℝ* ; x = y ⇔ x a y a = , bármely a ∈ ℝ* .
Ha az egyenlőség mindkét oldala pozitív szám, akkor ekvivalens egyenlőséget így is kaphatunk:
a) az egyenlőség mindkét oldalát felemeljük n hatványra, ahol n egész szám.
b) az egyenlőség mindkét oldalából gyököt vonunk.
Ha x > 0 és y > 0, akkor:
a) x = y ⇔ xn = y n , n ∈ ℤ* ; b) x = y ⇔ xy = .
Ekvivalens egyenlőségek szerkesztése érdekében tekintsük a következő példákat:
B. Ha adott két egyenlőség, akkor az alábbi átalakításokkal lehet ezekkel ekvivalens egyenlőségeket kapni:
• a két egyenlőség mindkét oldalát összeadjuk.
• a két egyenlőség mindkét oldalát kivonjuk.
• a két egyenlőség mindkét oldalát összeszorozzuk.
• a két egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk.
• a két egyenlőség mindkét oldalát hatványozzuk.
C. Matematikai azonosságnak nevezzük azt az egyenlőséget, mely egy vagy több változót tartalmaz és igaz minden értékre, amit a változók felvehetnek.
Példák:
1. a) x + 0 = x, x ∈ ℝ; b) 9 x 7 x = 2 x, x ∈ ℝ; c) x · (x + 3) = x2 + 3x, x ∈ ℝ; d) 2 = xx , x ∈ ℝ, egyváltozós matematikai azonosságok.
2. an · ap = an+p, bármely a ∈ ℝ* és n, p ∈ ℕ esetén, tehát háromváltozós matematikai azonosság.
3. 123 1 2, n nn bármely n ∈ ℕ* esetén, egyváltozós matematikai azonosság.
1) Számítsd ki a + b + x + y , tudva, hogy x + b = 27 és y + a = 4.
Megoldás: xb ya abxy 27 4 31 +
3) Ha a = b és x = y , ahol x ≥ 0, y ≥ 0, mutasd ki, hogy axby = .
Megoldás: xyxy =⇔= () ab xy axby = = = ⋅
Megoldás: 107 7770 ax ax +=⋅ += és 84 4432 by by +=⋅ += () 7770 4432 7474102 ax by abxy += += +++= + Alkalmazás
5) Ha a + b =14 és x + y = 17, számítsd ki a + b − x − y.
Megoldás: x + y = 17 · (–1) – x – y = – 17 ab xy abxy 14 17 3 +
egyenletek
2) Ha 3x + 2y = 7x , bizonyítsd be, hogy y az x kétszerese.
Megoldás: 3x + 2y = 7x 3x 2y = 4x : 2 y = 2x
4) Számítsd ki 7a + 4b + 7x + 4y tudva, hogy a + x = 10 és b + y = 8 .
6) Ha a + b = 5 és b + c = 7, számítsd ki 7a + 10b + 3c és 7a + 4b 3c.
Megoldás: ab ab 57 7735 | és bc bc 73 3321 | 7735 3321 710356 ab bc abc + és 7735 3321 74314 ab bc abc
Alkalmazás:
Bizonyítsd be, hogy a 0,( a ) egyszerű szakaszos tört, ahol a ∈ {1, 2, …, 7, 8}, kifejezhető a 9 a alakú közönséges törtként!
Megoldás: Legyen A = 0,(a) vagy A = 0,aaaaaa (1).
Az (1) egyenlőség mindkét tagját megszorozzuk 10-zel, és a 10 · A = a, aaaaa … , azaz 10·A = a, (a) (2) egyenlőséget kapjuk.
Az (1) és (2) egyenlőségek egyenértékűek.
Az (1) egyenlőséget tagonként kivonjuk a (2) egyenlőségből, és egy új egyenlőséget kapunk:
10 · A A = a,(a) 0,(a), azaz 9 · A = a + 0,(a) – 0,(a), tehát 9 · A = a
Ebből következik, hogy A = 9 a , tehát visszatérve a jelöléshez, 0,(a) = 9 a .
Feladatok a portfólióba
1) Írj példát az A és B részben bemutatott átalakításokra, figyelembe véve a megadott példákat.
2) a) Ha a b = 8 3 és b c = 3 2, számítsd ki a c . b) Ha a · c = 38 és b c = 19, számítsd ki a b és ab ab .
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Ha a + b = 3·c, akkor az 3 ab c + szám egyenlő:
A. 3; B. −3; C. 1; D. 0.
30 p 2. Ha a + b = 1, b + c = 3, c + a = 6, akkor a + b + c egyenlő:
A. 10; B. 5; C. 9; D. 4.
30 p 3. Ha a · b = 1, b · c = 3, c · a = 12, akkor (a · b · c)2 egyenlő:
A. 16; B. 6; C. 36; D. 20.
Gyakorlatok és feladatok
1. Ha a + b = 21 és x + y = 15, akkor számítsd ki
a + b + x + y és a + b x y
2. Ha a = 7 és b + c = 77, akkor számítsd ki:
a) a + 3 · b + 3 · c ; b) 88 · a – b – c .
3. Számítsd ki az n számot tudva, hogy a – b – 1 = 5 és n = 3 · a + 19 − 3 · b.
4. Tudjuk, hogy x + 4 · y = 3 · y + 2 · z = 14.
Határozd meg az m = 5 · x + 11 · y – 6 · z számot!
5. Az x és y természetes számok teljesítik az
x · (y + 3) + y = 98 egyenlőséget.
Határozd meg az x és y természetes számokat tudva, hogy x < y.
6. Tudva, hogy igazak
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
3 5 a b = , b c = 5 7 , 7 11 c d = , 11 183 d x = egyenlőségek.
Hasonlítsd össze a x és 62–1 számokat!
7. Adott a, b, c ∈ ℝ + , ahol a · b = 6, b · c = 12, c · a = 8. Számold ki a2 ∙ b2 ∙ c2 és a · b · c
8. Számítsd ki 9a + 4b + 9x + 4y értékét tudva, hogy a + x = 10 és b + y = 3.
9. Ha a + b = 15 és b + c = 23, akkor számold ki 7a + 10b + 3c és 7a + 4b 3c.
10. Ha a – 2b = 1, 2b – 3c = 2, 3c – 4d = 2 és 4d – 5e = 1, akkor számold ki a – 5e.
2.l. a · x + b = 0 alakú egyenletek, ahol a, b
Emlékeztető
Tanultuk az a ⋅ x + b = 0alakú, racionális együtthatós egyenletek megoldását a racionális számok halmazán vagy annak valamely részhalmazán.
Az a és b számokat az egyenlet együtthatóinak, valamint az x-et az egyenlet ismeretlen tagjának nevezzük.
A b számot az egyenlet szabad tagjának is nevezzük.
Fedezzük fel, értsük meg!
Példák:
ℚ-ban, a 6 ⋅ x + 3 = 0 egyenlet megoldása x = – 0,5.
ℤ-ben, a 3 ⋅ x + 6 = 0 egyenlet megoldása x = – 2.
ℕ-ben, a 2 x + 6 = 0 egyenletnek nincs megoldása
a · x + b = 0 ismeretlen ismeretlen együtthatója szabad tag
Célunk megoldani a valós számok halmazán vagy annak részhalmazán a x + b = 0 alakú egyenletet, ahol a, b ∈ ℝ.
Azt a D halmazt, melynek az egyenlet megoldása eleme kellene legyen, vagy azt a halmazt melyben az egyenlet kifejezései értelmezettek, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük.
Az értelmezési tartomány azon elemeit, melyekre igaz az egyenlőség, az egyenlet megoldásainak nevezzük.
Két egyenlet ekvivalens, ha ugyanazon a halmazon értelmezzük, és megoldásaik megegyeznek.
A 2x – 7 = 5, x ∈ ℤ és 8 – x = 2, x ∈ ℤ egyenletek ekvivalensek, mert mindkét egyenlet megoldása x = 6.
A 2x = 8, x ∈ ℚ és x – 3 = 4, x ∈ ℚ nem ekvivalens egyenletek, mivel az első egyenlet megoldása x = 4, másodiké pedig x = 7.
Megjegyzés: Az egyenlet megoldásainak halmaza az értelmezési tartomány részhalmaza. Ha egy egyenlet értelmezési tartománya nincs kifejezetten megadva, akkor az, az összes olyan értékek halmaza, amelyre az egyenletnek értelme van, amelyre az egyenletnek értelme van, sok esetben ez ℝ.
Megoldani egy egyenletet azt jelenti, hogy meg kell határozni az összes megoldását tartalmazó M halmazt. Egy egyenletnek az egyik halmazban lehetnek megoldásai, a másikban pedig nem.
Példák:
Oldd meg A = { 1, 0, 3} -ban az x – 3 = 0 egyenletet! – 1 – 3 ≠ 0; 0 – 3 ≠ 0; 3 – 3 ≠ 0. M = ∅
Oldd meg ℚ-ban az x – 3 = 0 egyenletet! x ∈ ⇒ ( x – 3 ) ∈ \ . Tehát x – 3 ≠ 0. M = ∅ .
Oldd meg ℝ-ben az x – 3 = 0 egyenletet! 3 x = és x ∈ ℝ. Tehát M = {} 3 .
Oldd meg ℝ \ ℚ -ban az x – 3 = 0 egyenletet!
3 x = és 3 ∈ ℝ \ ℚ . Tehát M = {} 3 S = .
Ha az egyenletet a valós számok halmazának egy H részhalmazán akarjuk megoldani, akkor:
Az egyenletet az ℝ halmazban oldjuk meg. Legyen Mℝ az egyenlet valós megoldásainak halmaza.
Felírjuk a megoldáshalmazt M = H ⋂ Mℝ.
Ha a, b ∈ ℝ, akkor az a ⋅ x + b = 0 egyenlet megoldásának algoritmusa a valós számok halmazában két különböző esetet foglal magába, ahol az egyiknek két alesete van. Ez azért van, mert a gyakorlatban egyes problémák megoldása során az egyenlet a és b együtthatóiról nem tudjuk, hogy nem nulla számok.
Ha a ≠ 0, a ⋅ x + b = 0, ahol b ∈ ℝ
a = 0 esetén az egyenlet 0 ⋅ x + b = 0 lesz b ∈ ℝ.
Átalakítva az egyenletet ekvivalens egyenletekké azt kapjuk, hogy:
a x + b = 0 b ⇔ a x = b : a ⇔ x = b a amely az egyenlet megoldása.
Felírhatjuk, hogy b M a ìü =íý îþ .
A következő két eset lehetséges:
a) b = 0 és az egyenlőség igaz az x minden valós értékére, tehát M = ℝ. b) b ≠ 0 és az egyenlőség hamis az ismeretlen összes valós értékére, tehát M =∅ .
Alkalmazás
Gyakran olyan egyenleteket kell megoldjunk, amelyek nem a ⋅ x + b = 0, alakúak, de ekvivalensek ilyen alakú egyenletekkel. Ezek ax + b = 0 alakú egyenletre visszavezethető egyenletek.
A megoldási algoritmus alkalmazásához több egyenértékű átalakítást kell elvégezni.
Megjegyzés: Ha az egyenletet csak megoldani szeretnénk, akkor a megoldási algoritmus a következő:
1. lépés: Átrendezzük a tagokat. A baloldal tartalmazza az ismeretlen tagokat, a jobboldal pedig azokat a tagokat, melyek között nem szerepel az ismeretlen.
2. lépés: Elvégezzük mindkét oldalon a számításokat.
3. lépés: Meghatározzuk az egyenlet megoldáshalmazát.
1. példa. Oldd meg ℝ-ben a 3 ( 0,5 x + 1) – 7 = 8 egyenletet.
I. Megoldás:
3(0,5x + 1) – 7 = 8 + 7 ⇔
3(0,5x + 1) = 15 : 3 ⇔
0,5x + 1 = 5 1 ⇔
0,5x = 4 · 2 ⇔
x = 8 ⇒ M = {8}.
2. példa. Oldd meg ℝ-ben a 81 4 61 3 xx egyenletet!
II. Megoldás:
3(0,5x + 1) – 7 = 8 ⇔
1,5x +3 – 7 = 8 ⇔
1,5x – 4 = 8 ⇔
1,5x = 12 ⇔
x = 12 : 1,5 ⇔
x = 8 ⇒ M = {8}.
Megoldás: 3(8x – 1) = 4(6 x + 1) ⇔ 24 x – 3 = 24 x + 4 ⇔ – 3 = 4, hamis kijelentés, tehát M =∅
3. példa. Oldd meg ℝ-ben a 5 ( 2 x + 1) 3 = 8 2 ( 3 5 x) egyenletet!
Megoldás: 10 x + 5 – 3 = 8 – 6 + 10 x ⇔ 2 = 2, ami igaz reláció az x minden valós értéke esetén, tehát M = ℝ. Néha az egyenlet megoldása több a ∙ x + b = 0 alakú egyenlet megoldását jelenti, ahol a, b ∈ ℝ. A megoldások száma függ az értelmezési tartománytól.
1. példa. Oldd meg az ( x 1)(2x 3)( x + 4) = 0 egyenletet a következő halmazokon: ℝ, ℚ, ℤ, ℕ.
Megoldás: Tudjuk, hogy ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Az egyenletek előbb a valós számok halmazán oldjuk meg.
Az egyenlet megoldása során felhasználjuk a következő matematikai tulajdonságot:
Ha a és b valós számok és a ⋅ b = 0, akkor a = 0 vagy b = 0.
( x 1)( 2x 3)( x + 4) = 0 ⇔ (x – 1 = 0 vagy 2x – 3 = 0 vagy x + 4 = 0) ⇔ (x = 1 vagy x = 1,5 vagy x = –4).
Kiválasztjuk a megoldásokat, és a megoldások halmazát annak a tartománynak (halmaznak) megfelelően írjuk fel, amelyben meg akarjuk oldani.
a) ℝ-ben M = {1; –4; 1,5}. b) ℚ-ban, M = {1; –4; 1,5}. c) ℤ-ben M = {1; –4}. d) ℕ-ben M = {1}.
2. példa. Határozd meg az (x; y) egész számpárokat, ha |x – 2| · |y – 3| = 2.
Megoldás: |x – 2| ≥ 0, |y – 3| ≥ 0. Az következik, hogy |x – 2| és |y – 3| természetes szám. Mivel 2 prímszám az egyenlőség igaz a következő esetekben: |x – 2| = 1 és |y – 3|= 2 vagy |x – 2| = 2 és |y – 3| = 1.
De |x – 2| = 1 igaz x – 2 = 1 vagy x – 2 = –1 esetekben, valamint |y – 3| = 2 igaz, ha y – 3 = 2 vagy y – 3 = –2.
Az |x – 2| = 2 és |y – 3| = 1 esetében a megoldások: (0; 4), (0; 2), (4; 4), (4; 2).
Vannak olyan helyzetek, amikor csak az egyenlet megoldásának egy bizonyos nagyságrendű becslésére van szükségünk.
Példa. Egy halászhajó legtöbb 20 tonna halat tud szállítani. Miután teherbírásának 95%-át megrakták a hajó visszatér a kikötőbe. Tudva, hogy egy hal átlag súlya körülbelül 700 gramm, becsüld fel ezresekben a hajó által szállított halak számát!
Megoldás: Ahhoz, hogy felírhassunk egy egyenletet, ugyanabban a mértékegységben adjuk meg egy hal illetve a teljes rakomány súlyát. Optimális, ha kilogrammot használunk. 700 g = 0,7 kg; 20 t = 20 000 kg.
Jelöljük a szállított halak számát x-szel. Felírjuk a 0,7 ⋅ x = 95 100 ⋅ 20 000 egyenletet.
⇔ 0,7 ⋅ x = 19 000 ⇔ x = 190000 7 .
A megoldás ezres közelítése 27 000.
Mivel a halak átlagos tömegének közelítésével és az egyenlet megoldásának közelítésével dolgoztunk, a szállított halak számát 27 000-re becsüljük.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. A 3,5·x + 14 = 0 egyenlet megoldása:
A. x = 4; B. x = 4; C. x = 0,4; D. x = 2.
30 p 2. A 2 · x + 50 = 0 egyenlet megoldáshalmaza:
A. M = { 5}; B. M = ℝ; C. M = ∅; D. M = {+ 5}.
30 p 3. Az egész számok halmazán megoldva az 1 0 23 xx + += egyenletet a kapott megoldáshalmaz:
A. M = ∅; B. M = ℤ ; C. M ={ 5}; D. M = 2 5
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Másold a táblázatot a füzetedbe, majd töltsd ki a minta segítségével!
Feladat
értelmezési tartomány együtthatók szabad tag ismeretlen
Oldd meg ℤ-ben a: 3230 x .egyenletet! ℤ 3 és 2323 x
Oldd meg ℝ -ben az 220 t . egyenletet! t
Oldd meg …-ben az .................. egyenletet! ℝ 7 és 0,3 0,3 y
Oldd meg …-ben az .................. egyenletet! ℚ 2 és 22 2 z
2. Adott a 0,25 · x + 2 = 0.
a) Ellenőrizd, hogy az adott egyenletnek van megoldása az A 4042,,;halmazban; b) Döntsd el, hogy az adott egyenletnek van-e egész megoldása!
3. Ellenőrizd, hogy x 2. az alábbi egyenletek közül melyiknek megoldása!
a) x + 2 = 0; c) 2 x = 0;
b) 280 x ; d) x 2 10.
4. Oldd meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!
a) x 28 ; d) 321 x ;
b) 4,5 · x + 9 = 13,5; e) x 5 1 5 0;
c) 3 1 2 152 2 x ,; f) 1890 x .
5. Írj három a ⋅ x + b = 0 alakú egyenletet, melyeknek
van megoldása a B 102 5 ,,2,. halmazban!
6. a) Oldd meg a valós számok halmazán 3x 57 = 0 és 5x + 95 = 0 egyenleteket, majd írd fel az első egyenlet M1 megoldáshalmazát illetve a második egyenlet M2 megoldáshalmazát!
b) Határozd meg az M1 és M2 halmazok közötti relációt!
7. Ha x ∈ ℝ bizonyítsd be, hogy a következő egyenletpárok ekvivalensek!
a) 1507 ,,50 x és 1 2 1 4 0 x ;
b) 280 x és 1 3 23 3 0 x
8. Bizonyítsd be, hogy a következő egyenletpárok nem ekvivalensek!
a) 3x 6 = 0 és 6x 3 = 0; b) x 5 50 és 9x + 1,6 = 0.
9. Határozd meg az a szám valós értékeit, ha a 01 6 5 ,0 x és 3 4 0 xa ,egyenletek ekvivalensek.
10. Oldd meg ℤ-ben az alábbi egyenleteket!
a) 3x + 7 = x + 21; d) 23348 x ; b) xx220; e) 0,5x + 3 = 0,25x + 4;
c) xx 23 23; f) –3 · (x + 1) = 2 · (x + 6).
11. Oldd meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket:
a) 330 x ; d) 7 3 8 5 xx ;
b) 5102020 xx ; e) 7714 x ; c) xx 2 3 4 2 ; f) xx410.
12. Határozd meg az m valós számot, tudva, hogy –3 az x 2 = m · x + 4 egyenlet megoldása, ahol x az ismeretlen.
13. a) Szerkessz egy x ismeretlent tartalmazó, a ⋅ x + b = 0, alakba hozható egyenletet. Használd a mellékelt ábra adatait és azt, hogy ABCD és BEGF téglalapok méretei cm-ben vannak kifejezve!
30 A B C E F x x + 5 G D 20 15
b) Oldd meg az a) alpontban írt egyenletet!
c) Határozd meg a GE és GF szakaszok hosszát!
2.2. Két kétismeretlenes lineáris egyenletből álló egyenletrendszer.
Egyenletek vagy egyenletrendszerek segítségével megoldható feladatok
1.l. Kétismeretlenes lineáris egyenletek
Oldjuk meg figyelmesen!
Feladat:
Egy kosárlabda-mérkőzésen Ádám 20 pontot szerzett 3 illetve 2 pontos dobásokból (legalább egyet mindegyikből). Határozd meg, hány 3 pontos, illetve hány 2 pontos kosarat dobott Ádám!
Átfogalmazás:
Ha x a szerzett 3 pontos dobások, illetve y a szerzett 2 pontos dobások száma, akkor meg kell határoznunk az x és y nullától különböző értékeit, melyekre igaz a 3 x + 2 y = 20 egyenlőség.
Megoldás: Mivel x és y nullától különböző természetes számok, könnyen beláthatjuk, hogy x páros szám és 2 ≤ x ≤ 6.
Tehát: x = 2 és y = 7 vagy x = 4 és y = 4 vagy x = 6 és y = 1.
A megoldások ilyen felírása nem célszerű. Helyette így írjuk: (2, 7), (4, 4), (6,1). Az első szám az x értéke, a második szám pedig az y megfelelő értéke.
A megoldott feladatot elemezve észrevesszük, hogy:
a) A 3 x + 2 y = 20 egyenlet kapcsolatot teremt a kapott 20 pont, a szerzett 3 pontos, illetve 2 pontos dobások között.
b) Az egyenletnek több megoldása van, tehát a feladatnak is több megoldása van.
c) Az x minden értéke csak az y valamely értékével együtt teljesíti az egyenlőséget (egyenletet), amely azt jelenti, hogy az egyenlet megoldásának egy számpárt tekintünk, ahol a számok sorrendje azonos az egyenletben szereplő ismeretlenek sorrendjével (rendezett számpár).
Kétismeretlenes lineáris egyenletnek nevezzük az
a ⋅ x + b ⋅ y + c = 0 alakú egyenletet, ahol a, b, c valós számok.
Megjegyzés:
Az a, b, c valós számokat az egyenlet együtthatóinak nevezzük, c a szabad tag, valamint x és y az egyenlet ismeretlen tagjai ebben a sorrendben.
Az x és y ismeretlen valós számokat jelöl, vagy a valós számok egy részhalmazának elemeit.
Az ismeretleneket más betűvel is jelölhetjük, viszont fontos az egyenletbeli sorrendjük.
Oldjuk meg figyelmesen!
Az ax + by + c = 0, x, y ∈ ℝ egyenlet megoldásainak meghatározásához, ahol a ≠ 0 és b ≠ 0, elegendő néhány elemi átalakítás. Végtelen sok megoldást, valós számpárokat kapunk.
Ha az egyenletet egész számok halmazán vagy természetes számok halmazán akarjuk megoldani, akkor emlékeznünk kell néhány dologra a VI. évfolyamról: a természetes számokra, az egész számokra vagy az oszthatóságra.
Példa. A 4x + y – 3 = 0 egyenlet egy lineáris egyenlet két ismeretlennel: x és y.
Elemi átalakításokkal az egyik ismeretlent a másik ismeretlen függvényében fejezzük ki.
4x + y – 3 = 0 | + 3 4x + y = 3 | – 4x y = 3 – 4x
Bármely x = a ∈ ℝ esetén létezik az a, b ∈ ℝ, b = 3 – 4a szám, amelyre 4a + b – 3 = 0. Azt mondjuk, hogy minden (a, 3 – 4a), a ∈ ℝ, számpár az adott egyenlet megoldása
Példa. a = 0,5 esetén 3 – 4a = 1, tehát a (0,5; 1) rendezett számpár az egyenlet egyik megoldása.
A (a, 3 – 4a) számpárok közül mindazok, amelyeknél a ∈ ℤ , egész számú alkotóelemmel rendelkeznek.
Ahhoz, hogy a ∈ ℕ és 3 – 4a ∈ ℕ a 3 – 4a ≥ 0 kell, hogy legyen, tehát a = 0. Tehát az egyenletnek csak egy megoldása van, ahol mindkét alkotóelem természetes szám, azaz a (0, 3) számpár.
Megjegyzés: A két ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletek megoldásai rendezett számpárok.
Vizsgálat. A diofantikus egyenletek széleskörűen és intenzíven vizsgált problémája az x és y egész számok meghatározása, ahol ax + by + c = 0, ahol a, b és c egész szám.
Nézz utána az alexandriai görög matematikus Diophantosz életrajzának és matematikai munkásságának!
Mutasd be az eredményeidet az osztálytársaidnak!
Fedezzük fel, értsük meg!
a) Az ( a, b ) számpár akkor és csakis akkor rendezett, ha a ≠ b esetén (a, b) ≠ (b, a).
b) Két rendezett (a, b) és (c, d) számpár egyenlő. akkor és csakis akkor, ha a = c és b = d.
Egy két ismeretlent tartalmazó lineáris egyenlet megoldása az egyenletet ellenőrző rendezett számpár.
Ha x és y valós számokat jelöl, akkor az ax + by + c = 0 lineáris egyenletnek, ahol a és b nem nulla, végtelen sok megoldása van.
Ha a = 0, akkor az egyenlet 0 ⋅ x + b · y + c = 0 lesz, a megoldások pedig x c b b ,,. 0 alakúak, ahol x c b b ,,0
(1, 3) ≠ (3, 1)
A (42, 15) és (24, 50) számpárok egyenlőek.
A (0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1) számpárok a 2x + y = 7 egyenlet kizárólagos megoldásai, ahol x és y természetes szám.
Az összes (a, 7 – 2a) számpár, ahol a∈ ℝ, 2x + y = 7 egyenlet megoldása x, y ∈ ℝ.
Ha b = 0, akkor az egyenlet a · x + 0 ⋅ y + c = 0 lesz a megoldások pedig c a ya ,,. 0 alakúak, ahol c a ya ,,. 0
Az egyenletet ellenőrző összes rendezett számpár halmazát az egyenlet megoldáshalmazának nevezzük.
Megjegyzés: A két ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletet valójában úgy kapjuk meg, hogy matematikailag megfogalmazzuk egy egyenlőségen keresztül, hogy egy mennyiség hogyan függ másik kettőtől.
A két ismeretlent tartalmazó lineáris egyenlet megoldásainak halmaza az ℝ × ℝ Descartes-féle szorzat részhalmaza. Gyakorlatok és feladatok
1. Egészítsd ki a táblázat üres mezőit:
Egyenlet ismeretlenek együtthatók szabad tag
1) 2x + 3y 8 = 0 x és y a = 2; b = 3; c = 8 c = 8
2) 9x 4,5y = 1 ⇔ 9x 4,5y 1 = 0
3) ………………….. = 0 x és y a = – 1; b = 2 ; c = 1 – 2 c = 1 – 2
2. A (4, 7), (3, –4), (2, –7), (7, 4) számpárok közül melyek a 4x – 2y = 20 egyenlet megoldásai?
3. A 3113230534 ,,,,;,,, számpárok közül melyek az xy325. egyenlet megoldásai?
4. Bizonyítsd be, hogy a (3 – 2m, m), számpár, ahol m ∈ ℝ az x + 2y = 3 egyenlet megoldása!
5. Az áruházban Laura 900 lejre vásárolt. n 100 lejes bankjeggyel és m 200 lejes bankjeggyel fizetett, mindegyikből legalább egyet. Visszajárót nem kapott.
a) A feladat adataiból kiindulva írj fel egy lineáris egyenletet két ismeretlennel.
b) Határozd meg azon lehetőségek számát, amelyekkel Laura ki tud fizetni 900 lejt.
2.l. Két kétismeretlenes lineáris egyenletből álló egyenletrendszer
Fedezzük fel, értsük meg!
Két kétismeretlenes lineáris egyenlet egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert alkot.
A kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja axbyc axbyc 111 222 , ahol
Az a1, b1, c1, a2, b2, c2 számokat a rendszer együtthatóinak nevezzük; a1, b1, a2, b2 számok az ismeretlen tagok együtthatói, illetve c1, c2 neve szabad tag. A 3750 2490 xy xy rendszer esetén a1 = 3, b1 = 7, c1 = 5, a2 = 2, b2 = – 4, c2 = – 9.
Meghatározás. Az egyenletrendszer megoldásának azt a valós számokból álló rendezett számpárt nevezzük, amely a rendszert alkotó mindkét egyenletnek a megoldása.
A (3, 1) számpár az xy xy 58 27 rendszer megoldása, mert 3 + 5 ⋅ 1 = 8 és 2 ⋅ 3 + 1 = 7.
Megoldani egy rendszert azt jelenti, hogy meg kell keresni az összes megoldásának halmazát.
Két lineáris egyenletrendszer ekvivalens, ha ugyanaz a megoldáshalmazuk.
Alkalmazás
Ha a rendszer egyik vagy mindkét egyenletét kicseréljük vele ekvivalens egyenlettel, akkor a rendszerrel ekvivalens másik rendszert kapunk.
Példa. Kiindulva a 342 7620 xy xy ,
rendszerből, átalakítva 3423 76202 xy xy a 9126 141240 xy xy ekvivalens rendszert kapjuk.
Ha a rendszer egyenleteit tagonként összeadjuk, akkor egy új egyenletet kapunk.
Ha a rendszer egyik egyenletét kicseréljük ezzel az új egyenlettel, akkor az eredetivel ekvivalens rendszert kapunk.
Példa. Adott a 594 752 xy xy . rendszer. Írj fel négy olyan, az adott rendszerrel egyenértékű rendszert, amelyben az egyik egyenletet az adott egyenletek tagonkénti összeadásával vagy kivonásával kapjuk.
Megoldás: A két egyenlet tagonként történő összeadásával 2x + 4y = 6, tagonként történő kivonásával pedig –12x + 14y = 2 adódik.
Ha az eredeti rendszer egyik egyenletét a kapott egyenletek bármelyikével helyettesítjük, a másik változatlanul marad, akkor egyenértékű rendszereket kapunk:
Elegendő az egyik rendszer megoldáshalmazát meghatározni. A többi megoldáshalmaza is ugyanaz.
Jegyezd meg!
A két kétismeretlenes lineáris egyenletből álló egyenletrendszer általános alakja Ismeretlenek Az egyenletrendszer együtthatói Szabad tagok
A rendszer megoldáshalmaza a két egyenlet megoldáshalmazának metszete.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Melyik számpár az x + 2 · y = 7 egyenlet megoldása?
A. ( 1; 3); B. (1; 4); C. (9; 1); D. ( 9; 1).
30 p 2. Melyik egyenletrendszer megoldása a (2; 3) számpár?
A. 5 1 xy xy +=
30 p 3. Az x szám 3-mal nagyobb, mint az y szám, valamint az y szám 2-vel kisebb, mint az x szám fele.
A két szám közötti relációkat leíró egyenletrendszer: A. 3 2 2 xy x y
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Ellenőrizd, hogy a (, )220 számpár az xy xy 24 0552 , egyenletrendszer megoldása!
2. Adottak az alábbi két lineáris egyenletből álló rendszerek, ahol x és y ismeretlenek:
1) xy xy 9 20 ; 2) 26 39 xy xy ; 3) xy xy 1 23 . Ellenőrizd és válaszd ki azt a rendszert, melynek az (5; 4) számpár megoldása!
3. a) Határozz meg két olyan természetes számpárt, melyre teljesül a (2x + y 4)2 = 0 egyenlőség!
b) Írd fel egyenletrendszer formájában az x y + 1+ (2x + y 4)2 = 0 egyenlőségből kapott egyenleteket!
c) Ellenőrizd, hogy az a) alpontnál kapott számpárok az egyenletrendszernek megoldásai-e!
4. a) Alkoss két kétismeretlenes lineáris egyenletből álló rendszert, amelynek megoldása M = {(2, 5)}.
b) Alkoss olyan két kétismeretlenes lineáris egyenletből álló rendszert, amelynek nincs megoldása!
3.l. Lineáris egyenletrendszerek megoldása helyettesítési és kiküszöbölés módszerekkel
Emlékeztető
Tekintsünk egy két lineáris egyenletből álló rendszert.
Ha kicseréljük a rendszer egyik vagy mindkét egyenletét ekvivalens egyenlettel, akkor az eredetivel ekvivalens rendszert kapunk.
Összeadva tagonként a rendszer két egyenletét egy új egyenletet kapunk. Ha a rendszer egyik egyenletét kicseréljük erre az új egyenletre, akkor az eredetivel egyenértékű rendszert kapunk.
Megoldani egy lineáris egyenletrendszert azt jelenti, hogy meg kell határozni azt a halmazt, amely tartalmazza az összes lehetséges megoldását.
Fedezzük fel, értsük meg!
Két lineáris egyenletből álló rendszer megoldásához általában a kiküszöbölés módszerét vagy a helyettesítési módszert és az egyenleteket egyenértékű egyenletekké alakító módszert használjuk.
A helyettesítés módszere - A megoldás folyamata
1. lépés. Kiválasztjuk azt az ismeretlent, melyet helyettesíteni szeretnénk.
2. lépés. Kifejezzük az egyik egyenletből a választott ismeretlent a másik függvényében.
3. lépés. A másik egyenletben helyettesítjük a kiválasztott ismeretlent, használva a kapott összefüggést.
4. lépés. Megoldjuk a kapott egyenletet, és meghatározzuk az egyik ismeretlent.
5. lépés. A kapott értéket behelyettesítjük valamelyik egyenletbe, és meghatározzuk a másik ismeretlent.
6. lépés. Leírjuk a rendszer megoldását.
A kiküszöbölés módszere - A megoldás folyamata
1. lépés. Ha szükséges, akkor úgy rendezzük át az egyenleteket, hogy a megfelelő ismeretlenek ugyanúgy helyezkedjenek el (x az x és y az y alatt).
2. lépés. Kiválasztjuk azt az ismeretlent, melyet kiküszöbölnénk.
3. lépés. Ha szükséges, akkor az egyenleteket megszorozzuk vagy osztjuk nullától különböző számmal úgy, hogy az illető egyenletekben a kiválasztott ismeretlen együtthatói ellentétes számok legyenek.
Adott az xy xy 32 273 . rendszer. Kiválasztjuk az x ismeretlent, amelyet helyettesíteni szeretnénk.
Az első egyenletből azt kapjuk, hogy x = 2 + 3y.
A 2x – 7y = 3, egyenletben az x-et helyettesítjük
2 + 3y-nal és azt kapjuk, hogy 2(2 + 3y) – 7y = 3.
4 + 6y – 7y = 3 ⇔ – y = – 1 ⇔ y = 1.
Az x = 2 + 3y, összefüggésben az y ismeretlent helyettesítjük 1-gyel, és így x = 5.
x = 5, y = 1, tehát M = {(5, 1)}.
Átrendezzük a 728 345 yx xy rendszert, azaz
278 345 xy xy
278 345 xy xy . Kiválasztjuk az x ismeretlent.
2783 3452 62124 6810 xy xy xy xy .
4. lépés. Összeadjuk a két egyenletet, és kiküszöböljük a választott ismeretlent.
5. lépés. Megoldjuk a kapott egyenletet.
6. lépés. Megismételjük a 3., 4. és 5. lépést a másik ismeretlen esetén. y = 14 29 .
7. lépés. Leírjuk a rendszer megoldását.
Alkalmazás
Bármely kétismeretlenes és két lineáris egyenletből álló rendszer megoldható a két módszer bármelyikével.
Néha azonban az egyik módszer előnyösebb.
Példa
Egyenletrendszer
módszer
A helyettesítés módszere
A kiküszöbölés módszere
Az egyenletrendszer megoldáshalmaza 15 (6,) 7 S
Megjegyzés: A gyakorlatban, időtakarékosság céljából, a kiküszöbölés megoldási folyamatának 6. lépését kicserélhetjük erre: A kapott értéket behelyettesítjük valamelyik egyenletbe, és meghatározzuk a másik ismeretlent.
1. példa. 5372 3283 10614 9624 xy xy xy xy
19x = 38 x = 2
A 3x + 2y = 8 egyenletben az x-et 2-vel helyettesítjük, majd azt kapjuk, hogy 6 + 2 y = 8, tehát 6 + 2y = 8, tehát y = 1 és M = {(2, 1)}.
2. példa. 2513 2321 88 xy xy x () , tehát x = –1. Helyettesítsük x = –1 bármelyik egyenletbe, például az első egyenletbe, és megkapjuk 2 + 5y = 13, tehát 5y = 11 és y = 2,2.
A rendszer egyetlen megoldása a (–1; 2,2), rendezett pár. Így írjuk M = {(–1; 2,2)}.
Egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszernek lehet: egyetlen megoldása vagy végtelen sok megoldása, vagy nem lehet megoldása.
egyetlen megoldása van végtelen sok megoldása van nincs megoldása
A 328 537 xy xy
rendszer egyetlen megoldása M = {(2, 1)}.
Az xy xy 29 2418 rendszernek
végtelen sok megoldása van. A rendszert alkotó egyenletek ekvivalensek.
Mm m m ,. 9 2
Az xy xy 28 25 rendszernek
nincs megoldása, ugyanis kivonva egymásból a két egyenletet hamis kijelentést kapunk: „8 – 5 = 0”,
Tehát M =∅
Jegyezd meg!
A két ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer minden megoldása rendezett valós számpár.
Egy lineáris egyenletrendszer minden megoldása a rendszert alkotó egyenletek közös megoldása.
Egy lineáris egyenletrendszernek lehet egyetlen megoldása vagy végtelen sok megoldása, de az is lehet, hogy nincs megoldása.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Melyik számpár az x xy 7 3 egyenletrendszer megoldása?
A. (7; 4); B. (4; 7); C. (10; 7); D. (7; 10).
30 p 2. Az xy xy 15 4 egyenletrendszer megoldáshalmaza:
A. {( 1; 5)}; B. {(4; 0), (5; 0)}; C. {(4; 0)}; D. {(5; 0)}.
30 p 3. Az xy xy 39 34 egyenletrendszernek
A. pontosan egy megoldása; B. nincs megoldása; C. két megoldása; D. végtelen sok megoldása van
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Oldd meg a rendszereket és írd fel mindegyik megoldáshalmazát!
a) x y 2 10 ; b) xy x 5 0 ; c) xy xy 3 4 .
2. Oldd meg a helyettesítés módszerével!
a) xy xy 350 350 ; c) x y xy 2 0 33 ;
b) 22 426 xy xy ; d) 271 345 xy xy .
3. Oldd meg a helyettesítés módszerével!
a) 2350 3130 xy xy ; d) 21 2 2 55 xy x xy ;
b) xy xy 34 2 1 ; e) 257 520 xy xy ;
c) 213 33 () () xyy xyyx ; f) xy xy 57 520 .
4. Keressük azokat az x és y valós számokat, melyekre egyidejűleg teljesülnek a következő egyenletek:
(1) x + y = 101; (2) x y = 23.
a) Add össze tagonként a két egyenlőséget és oldd meg a kapott egyenletet!
b) Vond ki tagonként a két egyenlőséget egymásból és oldd meg a kapott egyenletet!
c) Írd fel a két lineáris egyenletből álló rendszer megoldásainak halmazát!
5. Oldd meg a helyettesítés módszerével!
a) 2132312 421333 xyxy xyxy ;
b) 253 520 xy xy ;
c) x y xy 3 1 2 3 48
6. Oldd meg a kiküszöbölés módszerét használva az alábbi lineáris egyenletrendszereket!
a) xy xy 211 822 ; d) 2137 3111 xy xyxy ;
b) xy xy 310 25 ; e) 674 2924 xy xy ;
c) 2375 56 xy xy , ; f) 3111 2917 xy xy .
7. Oldd meg a kiküszöbölés módszerét használva az alábbi lineáris egyenletrendszereket!
a) x y x y 2 13 2 4 ; b) x y x y 3 03 2 25 18 , ;
c) 31265 292 xyxy xy ,
8. Határozd meg az a és b valós számokat az alábbi esetek mindegyikében!
a) a – 1 + a2 – b2= 0; b) a b a b 2 3 1 5 3 4 2 5 0.
9. Oldd meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket, előbb rendezve az egyenleteket, majd használd az előnyösebb megoldási módszert!
|2x y + 4| + |x 2y + 5| = 0 egyenlőséget. Írd fel és oldd meg az adott egyenlőségből eredő lineáris egyenletrendszert!
Emlékeztető
Sok gyakorlati feladat matematikai úton is megoldható, aritmetikai vagy algebrai módszerekkel.
Fedezzük fel, értsük meg!
Az alábbi két esetben vázoljuk a feladatok megoldási folyamatát:
Amikor a feladat leírható olyan lineáris egyenlettel, melyben egy ismeretlen van és együtthatói valós számok, valamint a megoldások is valós számok;
Amikor a feladat leírható két olyan lineáris egyenlettel, melyben két ismeretlen van és együtthatóik valós számok, valamint a megoldások valós számpárok.
Feladat: Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög kerülete 632 + (m). Határozd meg a háromszög oldalait!
Megoldás:
1. lépés. Jelöljük az ismeretlent: az egyik befogó hosszát x-szel jelöljük.
2. lépés. Felírjuk az egyenletet. Pitagorasz tételét használva kiszámoljuk az átfogó hosszát, ami x 2.
C A
x x
Ellenőrzés: K Pxxx 23332632 (m). x 2
A háromszög kerülete K Pxxx 2 . Megállapítjuk a következő egyenletet: 22632 xx
3. lépés. Megoldjuk az egyenletet. 22632223223 xxxx
4. lépés. Ellenőrizzük a megoldást és megmagyarázzuk az eredményt.
x = 3 ⇒ AB = AC = 3 (m) és BC = 32 (m).
A megoldás ellenőrzése nem kötelező. Mégis az ellenőrzés hasznos, mivel segít az esetleges hibák kijavításában. Ne kapkodj!
Alkalmazás
1. Feladat: Az ábrán látható téglalap keretét és annak átlóit szeretné Dávid elkészíteni egy 10 m hosszú vaspálcából, felhasználva a teljes vaspálcát.
A téglalap hosszúsága a szélességének duplája.
a) Mutasd ki, hogy a téglalap hosszúsága kisebb, mint 2 méter.
b) Számológép segítségével fejezed ki a téglalap hosszúságát, kerekítve két tizedes pontossággal.
Megoldás: a) A téglalap szélességét x-szel jelöljük, azaz AD = BC = x és AB = DC = 2 x
Pitagorasz tétele alapján kapjuk, hogy ACBDx == 5.
Tehát AB + BC + CD + AD + AC + BD = 10 625102355 xx xx :, vagyis x 5 35
Mivel 52 > következik, hogy 355, tehát x 5 35 5 5 1 és 2x < 2. A téglalap hosszúsága AB = 2x, vagyis azt kapjuk, hogy kisebb, mint 2 méter. b) Számológép segítségével azt kapjuk, hogy a téglalap hosszúsága AB = 2x ≈ 1,91 m.
2. Feladat: Andrásnak és Bélának együtt 100 leje van. Ha András 7 lejt ad Bélának, akkor Andrásnak háromszor több pénze lesz, mint Bélának. Határozzuk meg mekkora pénzösszeggel rendelkeztek eredetileg külön-külön!
Megoldás: András kezdeti pénzét jelöljük a-val, Béla pénzét pedig b-vel. Akkor a + b = 100. Miután András 7 lejt ad Bélának a pénzösszegük a − 7, illetve b + 7 lesz. Mivel az András pénzösszege Béla pénzösszegének háromszorosa lesz, azt kapjuk, hogy a 7 = 3(b + 7).
Így az ab ab 100 737 lineáris egyenletrendszert kapjuk. Megoldva az egyenletrendszert, a megoldás a = 82 és b = 18 lesz, azaz Andrásnak 82 leje és Bélának 18 leje volt.
3. Feladat: Ha egy osztályban levő tanulókat kettesével ültetjük a padokba, akkor öt tanuló állva marad. Ha hármasával ültetjük, akkor két pad üresen marad. Határozd meg az osztályban levő tanulók számát!
Megoldás: A tanulók számát x-szel, a padok számát n-nel jelöljük.
A 25 32 nx nx egyenletrendszert kapjuk.
⇒ 2 n + 5 = 3(n 2) ⇒ n = 11 és x = 27
2n + 5 = x n pad és 2n tanuló … 3(n 2) = x n – 2 pad és 3(n – 2) tanuló
4. Feladat: Egy medencét két állandó hozamú csappal 5 óra alatt tölthetünk meg. Ha csak az első csapon folyik a víz 7 órát, és utána megnyitjuk a második csapot is, akkor még három óra kell, hogy a két csap együtt töltse meg a medencét. Határozd meg, hogy mennyi idő alatt töltené meg a medencét a két csap külön-külön!
Megoldás: Jelöljük t1-gyel (órában kifejezve) azt az időt mialatt az első csap megtöltené a medencét, illetve t2-vel a második csapnak szükséges időt. Legyen C a medence űrtartalma. Az a vízmennyiség, mely az első csapon folyik egy óra alatt egyenlő C t1 , -gyel, valamint C t 2 . -vel a második csapon folyt vízmennyiség egy óra alatt.
Az alábbi egyenletrendszert kapjuk:
A mi példánkban jelöljük 1 1t x = és 1 2 t y = tehát az
xy , egyenletrendszert kapjuk, melynek megoldá-
sa x = 2 35 és y = 1 7 . Visszahelyettesítve kapjuk, hogy, t1 = 17,5 és t2 = 7.
Eredményként megállapíthatjuk, hogy az első csap 17,5 óra alatt, míg a második 7 óra alatt töltené meg a medencét.
5. Feladat: Az év végi záróünnepségen 18 csokor virágot adtak át a hetedikes diákoknak, melyekben vagy 5 szál fehér vagy 7 szál sárga rózsa volt. Tudva, hogy 116 szál rózsát osztottak ki, határozd meg a fehér és sárga csokrok számát!
Megoldás: Legyen x a fehér csokrok, illetve y a sárga csokrok száma. Azt kapjuk, hogy: xy xy 18 57116
Megoldva a rendszert, az eredmény x = 5 és y = 13, azaz 5 fehér csokor és 13 sárga csokor virágot adtak át.
Megjegyzés: Néhány feladat megoldása olyan egyenletrendszerekhez vezet, melyek nem hasonlítanak az általunk tanult egyenletrendszerekhez. Ezek megoldása szükségessé teszi, hogy jelölésekkel és átalakításokkal lineáris egyenletrendszerekké változtassuk.
Jegyezd meg!
Egyenletekkel vagy lineáris egyenletrendszerekkel megoldani feladatot azt jelenti, hogy követjük az alábbiakban vázolt megoldási:
1. lépés. A feladat megfigyelése és megértése
Jelöljük az ismeretleneket.
2. lépés. Átírjuk matematikai nyelvre
Felírjuk az egyenleteket.
Felírjuk az egyenletrendszert.
3. lépés. A megoldás kidolgozása
Az egyenlet megoldása./Az egyenletrendszer megoldása.
4. lépés. Ellenőrzés és kiértékelés
A megoldás ellenőrzése és az eredmény tanulmányozása.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Figyelmesen elolvassuk a felhívó szöveget. Felismerjük a feladat adatait és a kérdést. Megkeressük az ismeretlen mennyiségeket.
Egyértelműen kifejezzük az adatok közötti kapcsolatokat rajzok, vázlatok, ábrák segítségével. Átírjuk matematikai nyelvre az ismeretlenek közötti relációkat.
Megoldjuk az egyenletrendszert, használjuk a helyettesítést, kiküszöbölést vagy a kombinált módszert. Részletesen kidolgozzuk a megoldási folyamat lépéseit, és felírjuk a megoldást vagy a megoldások halmazát. Ellenőrizzük, hogy a kapott megoldás teljesíti-e a feladat feltevését. Kiértékeljük az eredményt.
30 p 1. Egy termék árának 20%-os emelése után 1 740 lejbe kerül. Az eredeti ára:
A. 1 540 lej; B. 1 450 lej; C. 1 545 lej; D. 1 455 lej.
30 p 2. Egy osztályban 32 tanuló van, fiúk és lányok. Ha háromszor kevesebb fiú van, mint lány, akkor a fiúk száma:
A. 8; B. 9; C. 10; D. 12.
30 p 3. Két szántóföld együtt 48 hektár. Miután az első terület 8 hektárjáról és a második terület 4 hektárjáról begyűjtöttek a termés a letakarítatlanul marad területek egyenlőek. A nagyobb szántóföld területe: A. 22 ha; B. 24 ha; C. 26 ha; D. 28 ha.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc
Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Vencel és Dávid 60 matricát vásárolt. Dávid 12 matricával vásárolt többet, mint Vencel. Határozd meg kétféleképpen a két gyerek által külön-külön vásárolt matricák számát!
a) egy a · x +b = 0 alakú egyenlettel ekvivalens egyenlettel;
b) két kétismeretlenes lineáris egyenletből álló rendszerrel.
2. Két termék árának összege 400 lej. Ha az első termék árát 15 lejjel növelnék, a második termék árát pedig 5%-kal csökkentenék, akkor a két termék árának összege nem változna. Határozd meg mindegyik termék árát!
3. Ha az a valós számot 10-zel csökkentjük, majd az eredményt megduplázzuk, akkor ugyanazt az eredményt kapjuk, mint mikor a számot 3-mal osztjuk. Határozd meg az a számot!
4. Valamely munkás munkaterve heti x darab alkatrész. Ha a munkás még 40 alkatrészt készítene, akkor heti munkatervének háromszorosát teljesítené. Határozd meg az x számot!
5. Egy palack súlya 100 g, valamint egy termosz 270 gramm. Határozd meg, hogy 300 ml vizet miképp osszuk el a két edényben azért, hogy súlyuk egyenlő legyen. (Feltételezzük, hogy 1 l víz súlya 1 kg).
6. Sándor az A településen, barátja pedig a B településen lakik. Az A és B települések közötti távolság 12 km. Sándor és Dani egyszerre indult el a két településről, egymással szembe. Amikor a két barát találkozott Sándor 800 km-rel több utat tett meg, mint Dani. Határozd meg a találkozásukig külön-külön megtett utat!
7. A mellékelt táblázat két szomszédos mezőjében levő számok összegét a fölöttük levő cellába írjuk.
13 – x 26 + 2x 100 39 – x
a) Töltsd ki a táblázatot, majd alkoss megfelelő egyenletet az x meghatározására!
b) Oldd meg az egyenletet, és írd be a kapott számokat a táblázatba!
8. Két természetes szám különbsége 53. Elosztva egymással a kapott hányados 3 és a maradék 1. Határozd meg a két számot!
9. A táborba 400 tanuló érkezett, közülük 60% fiú. 7 nap után néhány fiú elment, de az ott maradt fiúk száma kétszerese a lányok 60%-ának. Határozd meg a táborból eltávozott fiúk számát!
10. Csilla a kémia laborban 24%-os sósoldatot szeretne készíteni két, egyenként 20%-os illetve 30%-os töménységű oldatból. Határozd meg az elkészítéshez szükséges oldatok mennyiségét (literben kifejezve)!
11. Szerkessz feladatot, amely megoldható:
a) az x x 54 3 ;egyenlettel;
b) az xy xy 313 411 .egyenletrendszerrel
12. Egy iskola díjkiosztó ünnepségére 120 csokor virágot készítettek, némelyiket 5, némelyiket 7 szálból, összesen 694 szál virágot használva. Határozd meg, hogy hány csokrot készítettek az egyes típusokból az ünnepségre!
13. Ha egy teherautót teljes teherbírásával megraknánk, akkor 7 tonna lenne a súlya, ha pedig ugyanennek a rakománynak a felével raknánk meg, akkor 4,25 tonna lenne a súlya.
Határozd meg a teherautó tömegét, amikor üres!
14. Anna és Mária testvérek, és életkoruk összege 18 év. Három évvel ezelőtt Mária életkora fele volt az Anna életkorának.
a) Számítsd ki, hogy most hány évesek a nővérek!
b) Döntsd el és indokold meg, hogy lehetséges-e, hogy néhány év múlva Anna életkora háromnegyede lesz Mária életkorának!
15. Egy szabó 2 méter selyemből var egy blúzót, 3 méterből pedig egy ruhát. Tudva, hogy 19 m selymet teljesen felhasznált a blúzok és ruhák készítésére, határozd meg az összes lehetséges esetet elemezve, hogy hány blúz és hány ruha készült.
Hivatalból: 10 pont
Munkaidő: 50 perc
I. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
5p 1. Az 3 4 x x =− egyenlet megoldáshalmaza:
A. M ={4}; B. M ={3}; C. M ={ 4}; D. M = {6}.
5p 2. Az alábbi egyenletek közül melyiknek megoldása az 1 szám?
A. 2 · x 7 = x 5; B. 3 · (x + 5) = x + 15; C. 3 · x 5 = x 7; D. 2 · (x + 7) = 17 x
5p 3. Ha x ∈ ℕ, akkor az 5 · x 1 = x + 33, egyenlet megoldáshalmaza:
A. M = {8}; B. M = {7}; C. M = ∅ ; D. M = {9}.
5p 4. Az alábbi rendezett számpárok közül melyik az
= += 23 3 xy xy egyenletrendszer megoldása?
A. (2; 1); B. (2; 1); C. ( 2; 1); D. S = ( 2; 1).
5p 5 Az alábbi egyenletrendszerek közül melyiknek megoldása a (−3; 2) számpár?
A. 1 23 xy xy +=−
; B. 5 24 xy xy −=−
; D. 1 21 xy xy +=− +=
5p 6. Dinu három nap alatt olvas el egy könyvet a következőképpen: az első napon elolvassa az oldalak felét, a második napon a maradék oldalak felét, a harmadik napon pedig a maradék 37 oldalt.
A könyv oldalainak száma:
A. 148; B. 184; C. 152; D. 144. 5p 7. Az a, b, c számok számtani közepe 3–1, az a és c szám számtani közepe pedig 3–2.
A b szám értéke:
A. 1 3 ; B. 7 9 ; C. 1; D. 3.
5p 8. Két szám összege 64, különbségük pedig 46. A két szám szorzata:
A. 485; B. 455; C. 495; D. 475.
II. Írd le a teljes megoldást!
1. Oldd meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket:
10p a) 125 236 xx x +− +=− ;
10p b)
0,2 35 x x =
15p 2. Oldd meg az 232
egyenletrendszert!.
15p 3. A 195 eurós összeget 23 bankjeggyel fizették ki. Voltak 5 eurós és 10 eurós bankjegyek, mindegyikből legalább egy-egy darab.
Határozd meg, hogy az egyes bankjegyekből hány darabot használtak az összeg kifizetéséhez!
3. AZ ADATSZERVEZÉS ELEMEI
3.1. Két halmaz Descartes-féle szorzata.
Derékszögű koordináta-rendszer
1.l. Két nem üres halmaz Descartes-féle szorzata
Emlékeztető
Ha (a, b) rendezett elempárok és a ≠ b akkor ( a, b ) ≠ ( b, a ).
Az ( a, b ) és ( c, d ) rendezett elempárok akkor és csakis akkor egyenlőek, ha a = c és b = d.
Oldjuk meg figyelmesen!
1. feladat. A vakációban Mátyás és Vilmos reggelente kiment a közelben található három játszótér valamelyikére. Minden nap egymástól függetlenül döntötték el, hogy melyiket választják. Otthonról a játszótérig eltérő útvonalak vezetnek.
a) Hány útvonalat használhat összesen a két gyerek?
b) Mekkora valószínűséggel találkoznak a gyerekek egy reggel ugyanazon a játszótéren?
Megoldás: Készítsünk vázlatot! Jelöljük M-mel Mátyás, V-vel Vilmos lakását J1-gyel, J2-vel és J3-mal a három játszóteret, nyilakkal pedig az útvonalakat. Minden útvonal meghatároz egy rendezett elempárt: az első komponens a gyermek lakhelyét jelöli, a második pedig a játszótereket.
A = { V, M } a gyerekek halmaza, B = { J1, J2, J3}a játszóterek halmaza.
Az A és B halmazok elemeiből képezhető rendezett elempárok halmaza: {(M, J1), (M, J2), (M, J3), (V, J1), (V, J2), (V, J3)}.
Ezt a halmazt így jelöljük: A × B. Neve: A és B Descartes-féle szorzata. Tehát az útvonalak száma 6.
Kedvező esetek: (J1, J1), (J2, J2), (J3, J3) ezek száma 3.
A keresett valószínűség P == = () 3 9 1 3 03 , Megoldás: Minden falhoz két szín rendelhető, tehát minden fal meghatároz két rendezett elempárt.
Fedezzük fel, értsük meg!
2. feladat. Sára családja új lakásba költözött. Szobájának négy falát Sára két színnel szeretné kifestetni: fehérrel és lilával.
Sára tervet készít: kiszámítja, hány rendezett elempár van, amelyben az első komponens a szoba egyik fala, a második komponens pedig a fal színe.
1) Jelöljük f1, f2, f3, f4 falakat, f-fel és l-lel a színeket (fehér illetve lila). Elkészítjük az alábbi táblázatot: falak f1 f2 f3 f4 színek l f l f l f l f
2) A táblázatból kiolvashatjuk a következő rendezett párokat: (f1, f), (f1, l), (f2, f), (f2, l), (f3, f), (f3, l), (f4, f), (f4, l). Tekintsük a következő halmazokat: A = { f1, f2, f3, f4} és B = { f, l }. Ezek segítségével megkaphatjuk a rendezett elempárok halmazát: {(f1, f), (f1, l), (f2, f), (f2, l), (f3, f), (f3, l), (f4, f), (f4, l)}, amit így jelölünk A × B . Megállapítjuk, hogy a feladat követelményei szerint összesen 8 rendezett elempár alkotható. L1 L2 L3 Vilmos Mátyás
Megjegyzés: A rendezett elempárok halmaza nem azt fejezi ki, hogy hányféleképpen festhető ki a szoba! A szoba festésének minden lehetséges módja azt jelenti, hogy tudnunk kell, hogy az egyes falak milyen színűek lesznek. A számuk 16 (a szorzatszabály alapján). Minden fal kétféleképpen színezhető, így a szoba (a 4 fal) színezésére 24 lehetőségünk van.
Értelmezés: Az A és B nem üres halmazok Descartes-féle szorzata egyenlő az összes (a, b) rendezett elempár halmazával, ahol a az A halmaz eleme, b pedig a B halmaz eleme.
Példa. Az A = {2, 4, 6} és B = {1, 3} halmazok Descartes-féle szorzata az A × B = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)}.
Alkalmazás
Két halmaz Descartes-féle szorzata diagram segítségével is ábrázolható, oly módon, hogy az ábrából ki lehessen olvasni a rendezett elempárokat és azok komponenseinek sorrendjét is.
Adott az A = {2, 4, 6} és a B = {1, 3} halmaz. Akkor A × B = {(2,1), (2,3), (4,1), (4,3), (6,1), (6,3)}, amely a mellékelt két diagrammal ábrázolható. A B 2 4 6 1 3 (2, 3) (4, 3) (6, 3)
(2, 1) (1) (3) (4, 1) (6, 1)
A Descartes-szorzat elemeinek száma 3 · 2 = 6.
Ha A és B különböző halmazok, akkor A × B ≠ B × A
Példa. Az A = {2, 4, 6} és B = {1, 3}halmaz esetén A × B = {(2,1), (2,3), (4,1), (4,3), (6,1), (6,3)}, B × A = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6)}.
Ha A = B, akkor A × A és így is írhatjuk: A2. Például ℝ × ℝ = ℝ2 .
Tétel
Ha A és B két nem üres halmaz és card A = a, card B = b, akkor card A × B = a · b .
cardcardcard ABAB
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Ha A ≠ B, akkor A × B ≠ B × A card (A × B) = (card A) · (card B) card (A × B) = card (B × A). Jegyezd meg!
30 p 1. Ha A × B = {(0, 1); (1, 1); (0, 2); (1, 2); (0, 3); (1, 3)}, akkor a B halmaz elemeinek száma: A. 6; B. 4; C. 3; D. 2.
30 p 2. Az A halmaz a 2-nél kisebb modulusú egész számok halmaza és B = {0, 2}. Az A × B halmaz elemeinek száma:
A. 6; B. 4; C. 3; D. 2.
30 p 3. Az A halmaz a 2-nél kisebb természetes számok halmaza és B = {0, 2}. Akkor B × A egyenlő:
A. {(0, 1); (0, 2); (2, 0); (2, 1); (2, 2)};
C. {(0, 0); (0, 1); (2, 0); (2, 1)};
B. (0, 1); (0, 2); (1, 0); (1, 2)};
D. {(0, 1); (0, 2); (1, 1); (1, 2)}.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Adott az A = {−2, −1, 3} és B = {0, 2} halmaz.
Határozd meg A × B, B × A, A × A, B × B
2. Adott a C = {−3, 1} halmaz és a D azon nem nulla x egész számok halmaza, melyre |x| ≤ 2. Határozd meg elemeik felsorolásával a D, és C × D és D × C halmazokat!
3. Adott A × B = {(−4, 0), (−4, 2), (−4, 4), (−4, 6), (−2, 0), (−2, 2), (−2, 4), (−2, 6)}. Határozd meg az A és a B halmazt!
4. Határozd meg az M halmazt, melynek elemei az (x, y) ∈ ℤ × ℤ számpárok, ahol x + x · y = – 4.
5. Határozd meg az A és a B halmazt tudva, hogy
A × B ={(−2, a), (−1, a), (−2, b), (−1, b), (−2, c), (−1, c)}, és a, b, c azon legkisebb különböző pozitív egész számok, amelyekre igaz, hogy
| c − a − b | = 0.
6. Az A és B halmazok esetén card A = 2, B = {0, 1, 2, 4, 5} és C = B \ {2, 3, 4}.
Számold ki az A × B, B × C és C × A
halmazok elemeinek számát!
7. A gólyabált szervező csapat úgy dönt, hogy két műsorvezetőre van szükség, egy lányra és egy fiúra. Három lány vesz részt a válogatáson: Anna, Bíborka, Hanna és 2 fiú: Dani és Nimród. a) Írd fel a válogatáson részt vevő lányok és fiúk nevének kezdőbetűjéből álló L illetve F halmazt!
b) Írd fel az F × L és L × F halmazokat.
c) Számold ki, hogy hányféleképpen lehet kiválasztani a műsorvezető párokat! Indokold válaszod!
8. Az A halmazban azok az n valós számok vannak, amelyekre |n| = 3, a B halmazban pedig azok az m valós számok vannak, amelyekre m2 + 1 = 2. Határozd meg az A × B elemeinek a számát!
2.l. A derékszögű koordináta-rendszer
Emlékeztető
Számtengelynek nevezzük azt az egyenest, amelyen kijelöltük a kezdőpontot, a mértékegységet és a pozitív haladási irányt. A számtengelyen elhelyezkedő A és B pont közti távolság: AB = |xB – xA|.
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés:
Két, közös kezdőpontú, egymásra merőleges számtengely derékszögű koordináta-rendszert vagy Descartesféle koordináta-rendszert képez.
A két tengely közös kezdőpontját a koordináta-rendszer kezdőpontjának vagy origójának nevezzük, és O-val jelöljük.
A vízszintes tengelyt Ox-szel jelöljük, és abszcissza-tengelynek nevezzük. A pozitív irány balról jobbra tart.
A függőleges tengelyt Oy-nal jelöljük, és ordináta-tengelynek nevezzük. A pozitív irány lentről felfele tart.
A koordináta-rendszer jelölése: xOy, ritkábban (Ox, Oy).
Tekintsük a síkban az xOy derékszögű koordináta-rendszert. Minden (a, b) ∈ ℝ × ℝ valós számpárnak megfelel egyetlen jól meghatározott pont a síkban a következő eljárás szerint: – az Ox tengelyen felvesszük az A pontot, melynek koordinátája a; – az Oy tengelyen felvesszük a B pontot, melynek koordinátája b; – téglalapot szerkesztünk, melynek három csúcsa O, A és B; – a téglalap negyedik csúcsa M, ez lesz a keresett pont. y x y’ x’ +1 +1 y yM=bM
Az M pontot az (a, b) rendezett számpár mértani ábrázolásának nevezzük.
Az a és b számokat az M pont koordinátáinak nevezzük. Szokás ezeket xM , illetve yM -mel is jelölni.
Az M pontot tehát így jelöljük: M(xM , yM) és így olvassuk: az M pont koordinátái xM és yM. Az –nem kell.
Az xM = a koordinátát M abszcisszájának, az yM = b koordinátát M ordinátájának nevezzük.
Fordítva, az alábbi eljárással a sík minden P pontjához egyértelműen hozzárendelhető egy valós számpár, amit (xP, yP)-vel jelölünk. A P pontból egy-egy merőlegeset húzunk a két koordináta-tengelyre, ezek az Ox tengelyt az xP, az Oy tengelyt pedig az yP koordinátájú pontban metszik. Az így meghatározott xP és yP számok lesznek a P pont koordinátái. y yPP x OPx
Következtetés:
A sík pontjainak halmaza és az (x, y) rendezett számpárok halmaza között létezik egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A két tengelyen ugyanazt a mértékegységet használjuk.
Alkalmazás
a) A mellékelt ábrán a következő pontokat tüntettük fel: O (0, 0); A 80,; B 05,; M 85,; P 32 , és Q 152 ,;
Egy pont akkor és csakis akkor található az Ox tengelyen, ha ordinátája 0, vagyis M ∈ Ox ⇔ yM = 0. A mellékelt ábrán A ∈ Ox és yA = 0.
Egy pont akkor és csakis akkor található az Oy tengelyen, ha abszcisszája 0, vagyis M ∈ Oy ⇔ xM = 0. A mellékelt ábrán B ∈ Oy és xB = 0.
A derékszögű koordináta-rendszer kezdőpontja (origója): O(0, 0)
b) A mellékelt ábrán A, B, C, D, O pont az Ox tengelyen helyezkedik el: A(–3, 0), B(–2, 0), O(0, 0), C(1, 0) és D(3, 0). Az E, F, G, P és M pont egy vízszintes egyenesen található, amely az Oy tengelyt a 2 ordinátájú pontban metszi.
Ugyanazon a vízszintes egyenesen található pontok ordinátái egyenlőek.
Esetünkben: E(–3, 2), F(–2, 2), G(0, 2), P(1, 2), M(3, 2), tehát yE = yF = yG = = yP = yM . Ha A és B ugyanazon a vízszintes egyenesen helyezkedik el, akkor az egymástól mért távolságuk: ABxxBA . y EF ABOCD x GPM –2–11 1 2 3 23 –1 –2
c) A mellékelt ábrán, A, O, B és C pont az Oy tengelyen helyezkedik el: A(0, –1), O(0, 0), B(0, 1), C(0, 2). Adott a D, E, F és G négy pont egy függőleges egyenesen, amely az Ox tengelyt a 3 abszcisszájú pontban metszi. Ugyanazon a függőleges egyenesen található pontok abszcisszái egyenlőek.
Tehát: D(3, –1), E(3, 0), F(3, 1) és G(3, 2), vagyis xD = xE = xF = xG Ha A és B ugyanazon a függőleges egyenesen elhelyezkedő pontok, akkor az egymástól mért távolságuk: AByyBA
Két pont távolsága a síkban: Ha A(xA, yA), B(xB, yB), két pont a síkban, akkor a távolságuk az alábbi képlettel számítható ki: ABxxyy BABA 22
Bizonyítás:
Felvesszük az E(xB, yA) pontot. A feljebb tárgyalt esetek alapján: AExxBA , és BEyyBA Alkalmazzuk Pitagorasz tételét az ABE háromszögben AB2 = AE2 + BE2
Figyelembe véve, hogy xxxx BABA 22 , a bizonyítandó képletet kapjuk.
Feladat. Adott két pont a derékszögű koordináta-rendszerben: A(3, 2) és B( 1, 3).
a) Számítsd ki a két pont közötti távolságot!
b) Határozd meg azA1, B1 és M1 pontok koordinátáit a mellékelt ábrázolás segítségével!
c) A fenti adatok felhasználásával határozd meg az AB szakasz M felezőpontjának abszcisszáját!
Megoldás:
a) ABxxyyAB BABA 2222133217; .
b) Könnyen felismerhető: A1(3, 0); B1 (–1, 0) és M1(1, 0).
c) MM1 az A1B1BA, trapéz középvonala, vagyis MM1 || Oy. Tehát M és M1 pontoknak abszcisszái azonosak: x = 1.
Feladat a portfólióba
1) Tekintsük az M(xM, yM) és P(xP, yP) pontot. Adj mindkét ponthoz 4-4 értékpárt, és ábrázold az így kapott pontokat különböző koordináta-rendszerekben!
2) Mind a négy esetben határozd meg az MP szakasz felezőpontjának koordinátáit! Hasonlítsd össze a kapott eredményeket az xxMP + 2, illetve yyMP + 2 . értékekkel!
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
A mellékelt koordináta-rendszerben ábrázoltuk az A, B, C, D, M pontokat.
30 p 1. Az A pont ordinátája:
A. 4; B. 1; C. 1; D. 4.
30 p 2. A B pont abszcisszája:
A. 0; B. 2; C. 2; D. 4.
30 p 3. A CD szakasz hossza egy választott mértékegységben:
A. 4 m.e.; B. 3m.e.; C. 5 m.e.; D. 6 m.e.
Gyakorlatok és feladatok
1. Ábrázold a derékszögű koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(1, 3), B(2, 0), C(−2, 4), D(−3, 0), E(−4, 2), F(0, −3), G(−2, −2).
2. Határozd meg az alábbi xOy koordináta-rendszerben ábrázolt A, B, C, D, E, F pontok koordinátáit! y x C OQ A F G B 1 1
3. Adott az A(3, 0), B(−5, 0), C(0, −2), D(0, 4) pont. a) Ábrázold a derékszögű koordináta-rendszerben
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
az A, B, C és D pontot!
b) Ábrázold ugyanabban a derékszögű koordinátarendszerben az A, B, C és D pontnak az O pont szerinti A′, B′, C′ illetve D′ szimmetrikusát!
4. Adott az E(2, 3), F(−3, 2), G(3, –1) pont.
a) Ábrázold a derékszögű koordináta-rendszerben az E, F, G pontokat és ezen pontok Ox tengely szerinti szimmetrikusait!
b) Jelöld P, Q illetve R betűkkel ezeket a pontokat és határozd meg koordinátáikat!
5. Ábrázold a derékszögű koordináta-rendszerben:
a) a P(4, 3) pontot és számold ki az OP hosszát!
b) az A(−3, 0) és B(2, 0) pont, majd számold ki az AB hosszát!
c) C(0, 6) és D( 13 , 0) pontot, majd számold ki a CD hosszát!
3.2. Függvényi kapcsolat
1.l. A függvényi kapcsolatok és azok ábrázolása
Venn-Euler-diagrammal vagy táblázattal
Oldjuk meg figyelmesen!
Az alábbi táblázat egy meteorológiai állomás észlelési jegyzettömbjében szerepel:
Óra 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 24:00
Hőmérséklet 6
a) A táblázat jelentése: 4:00 órakor a levegő hőmérséklete 6 °C volt, 8:00 órakor a levegő hőmérséklete 5 °C volt és így tovább. Megállapíthatjuk tehát, hogy a levegő hőmérséklete függ a mérés időpontjától.
b) Meghatározzuk a mérés időpontja és a mért hőmérséklet közti összefüggést: 4:00 → 6 °C; 8:00 → 5 °C; 12:00 → 0 °C; 16:00 → 2 °C; 20:00 → 5 °C; 24:00 → 7 °C.
c) Ha A-val jelöljük a mérési időpontok halmazát és B-vel a mért hőmérsékletek halmazát, a függőségi kapcsolatot a mellékelt diagram segítségével is ábrázolhatjuk.
d) A megfeleltetést jelző nyilakat követve megfigyelhető, hogy az A halmaz minden eleméhez hozzárendelhető a B halmaz egyegy jól meghatározott eleme.
Fedezzük fel, értsük meg! 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 24:00
Értelmezés: Ha A és B két nem üres halmaz, azt mondjuk, hogy függvényi kapcsolat van közöttük, ha valamely szabály alapján az A halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a B halmaz egy-egy jól meghatározott elemét.
A függvényi kapcsolatok ábrázolhatók táblázattal, grafikonnal, diagrammal.
1. feladat. A mellékelt táblázat az x és y mennyiségek között létező függvényi kapcsolat értékeit tartalmazza. Határozd meg a értékét!
Megoldás: a = 9 3 = 6.
2. feladat. Egy osztály 25 tanulója felmérő dolgozatot írt. A következő jegyeket kapták: 6, 5, 7, 10, 8, 6, 9, 7, 10, 8, 7, 9, 8, 10, 7, 9, 10, 8, 8, 9, 9, 10, 9, 8, 6. Ábrázold táblázat és Venn-Eulerdiagram segítségével az osztály tanulóinak halmaza és a kapott jegyek halmaza közötti megfelelést! Megoldás: Nem hiányzott egyetlen tanuló sem. Az eredmények ismeretében függvényi kapcsolat létesíthető az osztály tanulóinak halmaza és a kapott osztályzatok halmaza között: 1. tanuló → 6-os osztályzat, 2. tanuló → 7-os osztályzat, 3. tanuló → 6-os osztályzat, …, 25. tanuló → 7-es osztályzat. Többen is kaphattak ugyanolyan osztályzatot. Egy jegy előfordulásának száma az abszolút gyakorisága. A mellékelt táblázatot kapjuk.
Előfordulási szám
Venn-Euler-diagrammal ábrázoljuk azokat a halmazokat, amelyek között függvényi kapcsolat van, majd nyilakkal társítjuk az első halmaz minden egyes elemét a második halmaz megfelelő eleméhez. jegy 5 6
3. feladat. Határozd meg a 2n + 3n, szám utolsó számjegyét, ahol n nullától különböző természetes szám!
Megoldás: Számítással ellenőrizzük, hogy 2 és 3 hatványainak utolsó számjegye 4-enként ismétlődik. Az eredményeket az alábbi két táblázatba foglaltuk, ezáltal függvényi kapcsolatot teremtettünk a hatványkitevők alakja és 2, illetve 3 hatványainak utolsó számjegye között.
A szám alakja n = 4k n = 4k + 1 n = 4k + 2 n = 4k + 3 u(2n) 6 2 4 8
A szám alakja n
Végül készítettünk egy összefoglaló táblázatot, amely függvényi kapcsolatot létesít az n hatványkitevő alakja és a 2n + 3n szám utolsó számjegye között.
alakja
Gyakorlatok és feladatok
1. Egy kilogramm szőlő 7,50 lejbe kerül. Számítsd ki, mennyit fizetne József, ha 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 8 kg és 10 kg szőlőt vásárolna. Írd ezeket a számokat az alábbi táblázatba:
Szőlő mennyisége (kg) 1 2 3 4 5 8 10
Kifizetett összeg (lej) 7,5
2. Számold ki az l oldalhosszúságú négyzet területét, ahol l ∈ {2; 3,5; 6; 10,4; 201 }cm-ben kifejezve. Foglald egy táblázatba a kapott eredményeket!
3. A testnevelésórán egy 6 fős csoport egy állóképességi versenyre készül. Az első 10 perc után a megtett távolságokat egy táblázatban rögzítették:
A tanuló keresztneve A megtett távolság
Anghel 1 775 m
Bogdan 171 dam
Dan 1 780 m
Emil 1,74 km
Marius 1 709 m
Sorin 17,01 hm
a) Írd fel a tanulók nevét a megtett távolságok növekvő sorrendjében!
b) Sorold fel azokat a tanulókat, akik több mint 7 4 km-t tettek meg!
4. Az alábbi diagramok közül melyik határoz meg függvényi kapcsolatot?
5. Egy kerékpáros 18 km/h átlagsebességgel halad. Írd fel a kerékpáros által 2 óra, 3 óra, 4,5 óra, 300 perc alatt megtett távolságot, és írd be az adatokat egy táblázatba a megadott minta szerint!
Idő 2 h Megtett távolság 36 km
2.l. Függvényi kapcsolat ábrázolása grafikonok vagy diagramok segítségével
Fedezzük fel, értsük meg!
A függvényi kapcsolatok ábrázolhatók geometrikusan is grafikonok és táblázatok segítségével.
Értelmezés:
Az A halmazból a B halmazba történő függvényi kapcsolat grafikonja mindazon (x, y) rendezett elempárok halmaza, amelyekben (x, y), x ∈ A, y ∈ B és a függvény x-nek megfelelteti y-t.
Például az előző lecke 2. feladatában meghatározott függvényi kapcsolat grafikonja a G = {(5, 1); (6, 3); (7, 4); (8, 6); (9, 6); (10, 5)}.
A grafikon geometriai ábrázolása a kiindulópontja a poligonális vonal- vagy oszlopdiagram tipusú ábázolásnak.
A függvényi kapcsolat grafikonja
Gyakorisági poligon vagy poligonális vonal
Oszlopdiagram
A függvényi kapcsolat grafikonjának megfelelő pontok ábrázolása koordináta-rendszerben, azaz: (5, 1); (6, 3); (7, 4); (8, 6); (9, 6); (10, 5).
Összekötjük a grafikon szomszédos pontjait, ezáltal egy törtvonalat kapunk.
Ezt a vonalat gyakorisági poligonnak nevezzük.
Az így kapott pontokból függőleges szakaszokat húzunk az Ox tengelyig. Ábrázoltuk a függvényi kapcsolatot oszlop- vagy botdiagrammal
Megjegyzés: A mértani ábrázolások segítségével összehasonlítható két érték gyakorisága. A nagyobb gyakoriságú értékről azt mondjuk, hogy nagyobb a súlya. Számítás nélkül becsülhető az értékek átlaga. A vizsgált példában a 8-as és a 9-es osztályzat súlya a legnagyobb, az 5-ös osztályzat súlya a legkisebb. Az átlag becsült értéke 8-as. Számítsátok ki számológép segítségével a súlyozott középértéket! A függvényi kapcsolatok kördiagramokkal történő ábrázolása egy korong körívekkel határolt körcikkekre való felosztását jelenti, ahol a mérték arányos a változó értékek gyakoriságával. Az adatok megjelenítésének módja eltérő lehet.
A két ábrázolásból teljes körű információt kapunk. Például a 8. évfolyamot 6 tanuló végezte el. Ők az összes résztvevő 24%-át képviselik.
Számos más típusú táblázat létezik, amelyek segítenek összefoglalni a statisztikai vizsgálatokhoz gyűjtött adatokat, és olyan diagramtípusok, amelyek a vizsgált összefüggéseket ábrázolják.
Megoldott feladat:
Adott az A = {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} halmaz és az x → y = | x |megfeleltetés az A halmazról a természetes számok halmazába.
a) Igazold, hogy az A és ℕ halmazok között függvényi kapcsolat létezik!
b) Ábrázold grafikusan a függvényi kapcsolatot!
Megoldás: a) Minden egész szám abszolút értéke (modulusa) egy jól meghatározott természetes szám, tehát az x → y = | x | megfeleltetés egy függvényi kapcsolatot hoz létre.
b) A grafikont a mellékelt ábrán látható (x, | x |), koordinátájú pontok alkotják, ahol x ∈ A.
Az O(0, 0), A1(1, 1), A2( 1, 1), B1(2, 2), B2( 2, 2), C1(3, 3), C2( 3, 3), D1(4, 4), D2( 4, 4) pontok az x → y = | x | függvényi kapcsolat grafikonját alkotják.
Az x → y megfeleltetés függvényi kapcsolatot teremt az A nem üres halmazról a B halmazra, ha az A halmaz minden eleméhez hozzárendeli a B halmaz egy-egy jól meghatározott elemét. Jegyezd meg!
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Egy függvényi kapcsolat táblázat, grafikon, diagram segítségével ábrázolható.
30 p 1. A következő kijelentés logikai értéke: A mellékelt diagramon látható megfeleltetés függvényi kapcsolatot jelképez.
A. Hamis; B. Igaz.
30 p 2. A mellékelt táblázat az x és y mennyiségek között létező x → y függvényi kapcsolatot szemlélteti. A táblázat adatai alapján a + b egyenlő: x 1 1 2 y = 5 x 6 a b
A. 2; B. 5; C. 6; D. 7.
30 p 3. A mellékelt ábra egy turista által egy háromnapos tartózkodás alatt elköltött euróösszegeket mutatja.
A turista által elköltött teljes összeg:
A. 100 euró; B. 400 euró; C. 450 euró; D. 200 euró.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Ábrázold diagram segítségével a kör sugara és kerülete közti függvényi kapcsolatot, ha a kör sugara centiméterben kifejezve r ∈ {1; 2,5; 0,75; 4,4}.
2. A téglalap kerülete 24 cm.
a) Fejezd ki a téglalap hosszúságát a szélesség függvényében!
b) Számítsd ki a téglalap hosszúságát, ha a szélessége rendre: 2 cm, 3 cm, 4,5 cm, 5 cm. Az eredményeket foglald táblázatba!
c) Ábrázold geometriailag a b) pontban kapott adatok felhasználásával az sz → h függőséget, tudva, hogy sz ugyanannak a téglalapnak a szélessége, h pedig a hossza.
3. Egy osztály tanulói ismeretellenőrző dolgozatra a következő osztályzatokat kapták: 9, 8, 4, 7, 8, 9, 7, 8, 10, 10, 5, 8, 9, 6, 9, 8, 10, 7, 7, 6, 4, 8, 9, 8, 9.
a) Töltsd ki a következő táblázatot, minden egyes jegyhez hozzárendelve annak gyakoriságát!
Jegy 4 5 6 7 8 9 10
Tanulók száma
b) Számítsd ki az osztály átlagát!
c) Ábrázold grafikusan az a) alpontban kapott függvényi kapcsolatot!
d) Ábrázold diagram segítségével a függvényi kapcsolatot!
e) Melyik osztályzat súlya a legnagyobb?
4. Adott az x → y, függvényi kapcsolat a {0, 1, 2, 3, … , 9} halmazról az ℕ, halmazra, amelyet a következő megfeleltetési szabály határoz meg: „y egyenlő az x2 szám utolsó számjegyével”
a) Határozd meg mindazon értékek halmazát, amelyet y felvehet!
b) Foglald táblázatba az eredményeket!
c) Ábrázold a függvényi kapcsolatot grafikon és diagram segítségével!
5. Alább ábrázoltuk az x → y függvényi kapcsolat grafikonját.
a) Határozd meg az A, B, C, D, E és F pont koordinátáit, ha a D pont abszcisszája 5-tel egyenlő!
b) Készítsd el a függvényi kapcsolat értéktáblázatát, majd az általa meghatározott VennEuler diagramot!
6. Az alábbi diagram egy osztály tanulóinak a második idegen nyelvre vonatkozó opciói alapján készült. Hány tanuló jár ebbe az osztályba és közülük hányan választották az olasz nyelvet?
F. – francia N – német O – olasz
O. F. N. 1 4 5 12 8 tanuló
7. Az alábbi diagram egy iskola VII. osztályainak létszáma alapján készült. A kék oszlopok ábrázolják a fiúk számát, a piros oszlopok pedig a lányokét.
A tanulók száma 5 10 15 20 osztály
a) Számítsd ki az iskolába járó hetedikes fiúk létszámát!
b) Azonosítsd azokat az osztályokat, amelyekben a lányok száma meghaladja a fiúk számát!
c) Másold le az alábbi táblázatot, majd töltsd ki a diagram alapján!
Osztály VII. A VII. B VII. C VII. D Lányok száma 16
Fiúk száma 12
Osztály létszáma 28
d) Határozd meg az iskola hetedik osztályainak átlagos létszámát!
VII.
VII. B VII. C VII. D
I. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
1. Adott az A = { 1; 4}, B = { 2; 3}, C = {a; b; c} halmaz.
5p a) Az A × B Descartes-féle szorzat:
A. {( 1, 2), ( 1, 3), (4, 2), (4, 3)};
B. {( 2, 1), ( 2, 4), {(3, 1), (3, 4)};
Hivatalból: 10 pont Munkaidő: 50 perc
C. {( 1, 2), ( 1, 3), (4, 1), (4, 4)};
D. {( 2, 1), ( 2, 4), (3, 2), (3, 4)}.
5p b) A B × C Descartes-féle szorzat elemeinek száma:
A. 2; B. 3; C. 4; D. 6.
5p c) Ha C × A = {( 3, 1), ( 3, 4), (1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4)}, akkor a + b + c értéke:
A. 4; B. 0; C. 6; D. 1.
2. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A, B, C, D pontok. Tekintve a mellékelt ábrát, akkor:
5p
5p a) Az A pont abszcisszája:
A. 2; C. –2; B. 4; D. –4.
b) a D pont ordinátája:
A. –1,5; C. 1,5; B. –2; D. 2.
5p c) az AB szakasz hossza:
A. 5 m.e.; B. 4 m.e.; C. 2 m.e.; D. 2 m.e.
5p d) az OC szakasz felezőpontjának koordinátái:
A. (0, 6); B. (6, 0); C. (0, 3); D. D. (3, 0).
5p e) A „BCO háromszög egyenlő oldalú” kijelentés:
A. igaz; B. hamis.
II. Írd le a teljes megoldást!
10p 1. Végezd el a szükséges számításokat, és töltsd ki az alábbi táblázatot, tudva, hogy az x és y mennyiségek közötti függvényi kapcsolat az y = x +1. x 4 6,25 y 10
2. Mihály meglátogatja legjobb barátját, aki a szülővárosától
30 kilométerre levő X városban él. Mihály reggel 8.00 órakor indult el busszal. Másfél óra alatt tette meg a 30 kmes utat X városig. Miután eltöltött egy kis időt a barátjával, Mihály vonattal tért haza. A mellékelt képen látható, Mihály mozgását ábrázoló grafikon segítségével és a szükséges számítások elvégzésével számold ki:
10p a) az autóbusz által az első órában megtett távolságot;
10p b) hány órakor érkezett meg Mihály az X városba;
10p c) a barátja házában töltött időt percekben kifejezve;
5p d) a vonattal megtett út időtartamát;
Megtett távolság (km) idő (óra)
5p e) a teljes utazási idő azon p%-át, amelyet a barátjánál töltött idő jelent.
5,5
4. A NÉGYSZÖG
4.1. A konvex négyszög.
Egy konvex négyszög szögei mértékének
összege
Emlékeztető
Három nem kollineáris pont meghatároz egy háromszöget. Ha a pontokat az A, B és C betűvel jelöljük, akkor az ABC háromszögről beszélünk és így írjuk: ABCΔ
1. Tétel: Egy háromszög belső szögei mértékének összege 180°.
2. Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal hossza kisebb, mint a másik két oldal hosszának összege.
Fedezzük fel, értsük meg!
A geometria lenyűgöző: "Ahol anyag van, ott geometria is van" (Johannes Kepler).
A mértani alakzatokra vonatkozó számos eredmény hasonló, és sajátos elemeket tartalmaz.
Négyszögnek nevezzük annak a négy szakasznak az egyesítését, amelyek zárt, törtvonalat1 alkotnak úgy, hogy bármelyik két szakasznak legfeljebb egy közös pontja van.
Ha a szakaszok végét A, B, C és D-vel jelöljük, akkor az ABCD négyszögről beszélünk.
Ha a szakaszok végét M, N, P és Q betűkkel jelöljük, akkor az MNPQ négyszögről beszélünk.
A mellékelt mértani alakzatok mindegyike egy négyszög.
Az A, B, C és D pontokat az ABCD négyszög csúcsainak, az M, N, P és Q pontokat pedig az MNPQ négyszög csúcsainak nevezzük.
Az AB, BC, CD és DA szakaszok az ABCD négyszög oldalai, az MN, NP, PQ és QM szakaszok az MNPQ négyszög oldalai.
Hasonlítsuk össze az ABCD és az MNPQ négyszögeket.
A négyszög oldalainak tartóegyenesei azok az egyenesek, amelyek a négyszög oldalait foglalják magukban.
Az ABCD négyszögben, bárhogyan is választunk egy oldalt, annak tartóegyenese nem metszi a többi oldalt, legfeljebb a négyszög csúcsainál. Az ABCD egy konvex négyszög.
Az MNPQ négyszögben az MN oldal tartóegyenese a PQ oldalt az S pontban metszi, amely nem a négyszög csúcsa. Az MNPQ egy konkáv négyszög.
A konvex négyszög olyan négyszög, amelyben bármelyik oldal tartóegyenese legfeljebb a négyszög csúcspontjaiban metszi a többi oldalt.
Az olyan négyszöget, amely nem konvex, konkáv négyszögnek nevezzük.
1 Zárt törtvonal: különböző szakaszok egyesítése, amelyek közül bármelyiknek két végén levő egy-egy pont két másik szakasszal közös.
Sajátos kompetenciák:
Alkalmazás
Emlékeztetünk arra, hogy egy háromszög elnevezésekor a csúcsok sorrendje nem lényeges; ABCΔ, BACΔ, BCAΔ, ACBΔ, CABΔ, CBAΔ ugyanannak a háromszögnek a megnevezései.
A négyszögek elnevezésében a csúcsok sorrendjének nagy jelentősége van, amint azt a következő példa is mutatja
Ha az ABCD négyszög konvex, akkor a csúcsok sorrendjének körkörös megváltoztatásával ugyanaz a konvex négyszög marad.
Körkörös változtatással a BCDA, CDAB és DABC négyszögeket kapjuk. A négyszöget elnevezhetjük valamelyik alakban: ADCB, DCBA, CBAD és BADC
A csúcsok sorrendjének semmilyen más változtatása a konvexitás tulajdonságát már nem őrzi meg. Például: ACBD vagy ADBC nem lesz konvex négyszög.
Elemezzünk részletesen egy konvex ABCD négyszöget, rámutatva a felmerülő mértani fogalmakra
Egy konvex négyszög két szemközti csúcsa meghatározza az átlót.
Egy konvex négyszög két szomszédos oldala egy tulajdonképpeni szöget alkot, amelyet a négyszög szögének nevezünk.
Egy konvex négyszög két szemközti szögének metszéspontja alkotja a négyszög belsejét.
Megjegyzés:
Az ABCD négyszög átlói: AC és BD
Egy konvex négyszög szögeinek csúcsai egybeesnek a négyszög csúcsaival.
Az ABCD négyszög szögei: DAB∢, ABC∢, BCD∢ és CDA∢
Ha nem áll fenn az összetévesztés veszélye, az ABCD négyszög szögeit egyszerűen felírhatjuk A∢, B∢, C∢, D∢ alakban.
Figyelve az ABCD négyszöget, meghatározhatjuk:
Csúcsok Oldalak Szögek Átlók szomszédos szemközti szomszédos szemközti szomszédos szemközti
A és B; B és C; C és D; D és A.
A és C; B és D.
AB és BC; BC és CD; CD és DA; DA és AB.
AB és CD; BC és DA.
A∢ és B∢; B∢ és C∢; C∢ és D∢; D∢ és A∢.
A∢ és C∢; B∢ és D∢ AC és BD
Vajon megállapítható-e egy konvex négyszög szögei esetében, hogy a belső szögek mértékének összege állandó szám?
Tétel: Egy konvex négyszög szögei mértékének összege 360°.
Bizonyitás: Megjegyezve, hogy 360° = 2 · 180°, megpróbálunk két háromszöget azonosítani egy olyan szerkesztéssel, amely a négyszög minél több szögét megőrzi, de háromszögek is megjelennek. Szerkesztünk egy átlót. Legyen AC ez az átló (mellékelt ábra). Az ABC és ACD háromszögeket kaptuk. A kapott két háromszög szögei az A1∢, illetve az A2∢, amelyek egymás melletti szögek és A1∢ + A2∢ = A∢. Hasonlóképpen, C1∢ + C2∢ = C∢. A bizonyítást a tervezett módon végezzük el. Alkalmazzuk a háromszög szögei mértékének összegére vonatkozó ismeretet. Az ABC∆-ben A1∢ + D∢ + C1∢ = 180°, az ACD∆-ben, pedig A2∢ + B∢ + C2∢ = 180°. Összevonjuk a két összefüggést, és figyelembe vesszük az egymás melletti szögekből származó összefüggéseket. A1∢ + B∢ + C1∢ + A2∢ + D∢ + C2∢ = A∢ + B∢ + C∢ + D∢ = 180° + 180° = 360°.
Jegyezd meg!
A konvex négyszög elnevezésében a csúcsok sorrendjének nagy jelentősége van.
Egy konvex négyszög belső szögei mértékének összege 360°.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Ha egy konvex négyszög három szögének mértéke 63°, 107°, 74°, akkor a negyedik szög mértéke: A. 107°; B. 117°; C. 106°; D. 116°.
30 p 2. Az ABCD konvex négyszögben A∢ = 79°, B∢ = x°, C∢ = 101°, D∢ = (x + 44)°. A D szög mértéke: A. 111°; B. 112°; C. 121°; D. 102°.
30 p 3. János a geometriakészletében lévő két vonalzót a mellékelt ábra szerint helyezi el, és megfigyeli, hogy a vonalzók csúcsai egy konvex négyszög csúcspontjaivá válnak. E négyszög nagyobbik szögének mértéke: A. 90°; B. 125°; C. 135°; D. 145°.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Rajzolj egy ABCD konvex négyszöget. Írd le:
a) a négyszög ellentétes oldalainak párját;
b) a négyszög szomszédos oldalainak párját; c) a négyszög szemben lévő szögpárjait; d) a négyszög egymás melletti szögpárjait!
2. A MNPQ konvex négyszögben M = 73°, P = 107°, Q = 64°. Számold ki az N mértékét!
3. Az ABCD négyszögben ABADBCCD ⊥⊥ , és
ABD ≡ BDC Bizonyítsd be, hogy:
a) ABC ≡ ADC
b) AD ≡ BC; c) AC ≡ BD.
4. A mellékelt ábrán az MQ és NP párhuzamos egyenesek, az MQ és PQ merőleges egyenesek. Az ábrán szereplő adatok alapján határozd meg az MNPQ négyszög szögeinek mértékét!
b) az EFGH négyszög átlói által meghatározott szögek mértékét!
6. Az ABC hegyesszögű háromszögben ABC = 44°, AD magasság, D ∈ BC, M az AB oldal felezőpontja és DN az ADC szög szögfelezője N ∈ AC. Tudva, hogy AND ≡ AMD, számold ki az AMDN négyszög szögeinek mértékét!
7. Az ABC egyenlő oldalú háromszög B csúcsúban az AB oldalra húzott merőleges egyenes az AC oldalt a D pontban metszi, az E pont pedig a BD szakasz felezőpontja.
a) Készíts egy ábrát, amely megfelel a feladat adatainak;
b) Számítsd ki az ABEC négyszög szögeinek mértékét!
8. Az ABC háromszög egyenlő oldalú, és a konvex ABCD négyszögnek két szemben lévő derékszöge van. Határozd meg a négyszög szögeinek mértékét!
4.2. A paralelogramma • Tulajdonságok •
A paralelogramma alkalmazása a háromszögek geometriájában
1.l. A paralelogramma • Tulajdonságok
Emlékeztető
A párhuzamosok axiómájának hosszú története és jelentős szerepe van az euklideszi és a nem euklideszi geometria fejlődésében. Rövid és világos kijelentést tartalmaz: egy egyeneshez egy külső ponton keresztül egyetlen párhuzamos egyenest lehet szerkeszteni
Két párhuzamos egyenes egy szelővel:
– kongruens belső váltószögpárt, külső váltószögpárt, megfelelő szögpárt alkot; – azonos oldalon lévő külső és belső kiegészítő szögpárokat alkot.
A párhuzamossági kritériumok azok az elégséges feltételek, amelyek alapján egy szelővel metszett két egyenes párhuzamos lesz. Ezek olyan módszerekre tanítanak minket, amelyekkel akkor is be tudjuk bizonyítani, hogy két egyenes párhuzamos, ha a meghatározás nem mindig egyértelmű.
A párhuzamossági kritériumok a következőképpen foglalhatók össze:
Ha két egyenes egy szelővel egy pár kongruens belső váltószöget vagy egy pár kongruens külső váltószöget vagy egy pár kongruens megfelelő szöget alkot, akkor az egyenesek párhuzamosak
Ha két egyenes egy szelő ugyanazon az oldalán egy pár kiegészítő belső szöget alkot, vagy egy pár kiegészítő külső szöget, akkor az egyenesek párhuzamosak.
Fedezzük fel, értsük meg!
Milyen tulajdonságokkal gazdagodik egy konvex négyszög, ha a szemben lévő oldalak párhuzamosak? Tudjuk, hogy egy négyszögnek két pár szemközti oldala van.
Azt a konvex négyszöget, amelynek csak két szemben fekvő oldala párhuzamos, trapéznak nevezzük.
Azt a konvex négyszöget, amelynek két-két szemben fekvő oldala párhuzamos, paralelogrammának nevezzük
A paralelogramma „bajnok” a tulajdonságainak számát tekintve. A paralelogramma tulajdonságai kiválóan használhatók más sokszögek tulajdonságainak bizonyítására. Elemezzük a b) ábrát, sorra véve az AB és CD párhuzamos oldalakat, majd az AD és BC párhuzamos oldalakat. Az AB || DC és az AD szelőt figyelve kijelenthetjük, hogy a paralelogramma A és D szögei a szelő azonos oldalán lévő belső szögek, tehát kiegészítő szögek, azaz A + D = 180°. Mivel egy négyszög szögei mértékének összege 360° ⇒ B + C = 180°.
Az AD || BC és AB, szelőt figyelve kijelenthetjük, hogy a paralelogramma A és B szögei a szelő ugyanazon oldalán levő belső szögek, tehát kiegészítő szögek, azaz A + B = 180°. Mivel egy négyszög szögei mértékének összege 360°, C + D = 180°. Bizonyítottuk a paralelogramma első tulajdonságát:
1. Tétel: Egy paralelogrammában az egymás melletti szögek kiegészítő szögek.
Alkalmazás
Használjuk az 1. tételt, és megfigyeljük, hogy D∢ kiegészíti mind a A, mind a C szöget, így A∢≡C∢. Nyilvánvalóan ugyanez az eredmény érvényes B és D esetében is. Bebizonyítottuk, hogy:
2. Tétel: A paralelogrammában a szemben fekvő szögek kongruensek.
≡ C
Szerkesszük meg az AC átlót, amely mindkét párhuzamos oldalpár szelője, a DCA és BAC szögek belső váltó szögek az AB és CD párhuzamosok esetén, a DAC és BCA szögek pedig belső váltó szögek a BC és AD párhuzamosok esetén. Így az átló a szemben lévő oldalakkal két pár kongruens szöget határoz meg. Ugyanaz érvényes a BD átlóra.
3. Tétel: Egy paralelogramma bármely átlója a szemben fekvő oldalakkal kongruens szögeket alkot.
DCA ≡ BAC
DAC ≡ BCA
CDB ≡ ABD
ADB ≡ CBD
Figyeljük meg, hogy a keletkezett háromszögeknek kongruens elemei vannak. Az SZ.O.SZ. vagy O.SZ.SZ. kongruencia esetek valamelyikéből kapjuk, hogy ACBΔ ≡ CADΔ, Elérkeztünk a paralelogramma egy újabb tulajdonságához:
4. Tétel: Egy paralelogramma szemben fekvő oldalai kongruensek. AB ≡ CD CB ≡ AD
Megszerkesztjük a paralelogramma átlóit, amelyek metszéspontját O ponttal jelöljük. A keletkezett négy háromszög felkelti a figyelmünket. A 3. tétel alapján OAB ≡ OCD és OBA ≡ ODC, de a 4. tétel azt mondja, hogy a párhuzamos oldalak kongruensek is, tehát AB ≡ CD. Következtetésképpen, OABΔ ≡ OCDΔ (SZ.O.SZ.). Tehát OA ≡ OC és OB ≡ OD. Így bebizonyítottuk, hogy az O pont mindkét átló felezőpontja. Azt mondjuk, hogy az O pont felezi az átlókat.
5. Tétel: Egy paralelogramma átlói felezik egymást.
Jegyezd meg!
OA ≡ OC
OB ≡ OD
Azt a konvex négyszöget, amelynek a két-két szemben fekvő oldalpárja párhuzamos, paralelogrammának nevezzük. Ha egy négyszög paralelogramma, akkor:
a szemben fekvő oldalai párhuzamosak
a szemben fekvő oldalai kongruensek.
a szemben fekvő szögei kongruensek.
az egymás melletti szögei kiegészítő szögek.
Az egyik átló és két szemközti oldalpár által alkotott szögek kongruensek.
A négyszög átlói felezik egymást.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABCD paralelogrammában, ABC∢ = x°, BCD∢= 65°. Az ADC szög mértéke:
A. 115°; B. 65°; C. (x + 65)°; D. 105°.
30 p 2. Az MNPQ paralelogramma kerülete 72 cm és MN = 20 cm. Az MQ szakasz hossza:
A. 52 cm; B. 20 cm; C. 16 cm; D. 18 cm.
30 p 3. Adott az ABMN paralelogramma, AM BN = {O}, AO = 7 cm, BN = 6 cm. Ha az AON háromszög egyenlő szárú, akkor a BM szakasz hossza:
A. 6 cm; B. 7 cm; C. 3 cm; D. 13 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc
Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. a) Rajzolj egy ABCD paralelogrammát!
b) Határozd meg:
– a párhuzamos oldalpárokat;
– a kongruens oldalpárokat;
– a kongruens szögpárokat;
– a kiegészítő szögpárokat.
2. Az ABCD paralelogrammában AB = 7 cm és BC = 9 cm. Indokold a következő állításokat:CD = 7 cm; AD = 9 cm; AC > 16 cm.
3. Szerkeszd meg az MNPQ paralelogrammát minden egyes esetben!
a) MQ = 6 cm, M = 50°, MN = 4 cm;
b) N + Q = 210°, NP = 2 · PQ = 10 cm.
4. a) Számítsd ki az ABCD paralelogramma szögeinek méreteit, ha A = 100°.
b) Számold ki a DEFG paralelogramma szögeinek mértékét, ha D =1,5 ⋅ (E).
c) Számold ki az ABCD paralelogramma szögeinek mértékét, ha A + B + C = 300°.
5. Szerkeszd meg az ABCD paralelogrammát, és jelöld P ponttal az átlók metszéspontját!
a) Ha AC = 20 cm, akkor AP = ... cm és CP = ... cm.
b) Ha BP = 7,5 dm, akkor DP = ... dm és BD = ... cm.
6. Az ABCD paralelogrammában AD ⊥ BD, AB = 24 cm és CBD = 3 ⋅ (ABD). Párosítsd az első oszlopban szereplő követelményt jelölő betűket a második oszlopban szereplő helyes választ jelölő számmal!
a) ABC =
b) C =
c) BC =
d) KABCD = 1. 100°
2. 120° 3. 60° 4. 72 cm
12 cm 6. 102 cm
7. Az ABCD paralelogramma AC ⋂ BD = {O}. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
a) Ha AB = 5 cm, AD = 0,2 · AB, akkor a paralelogramma kerülete:
A. 5,2 cm; B. 10,4 cm; C. 12 cm; D. 6 cm.
b) Ha AO = 8 cm, BO = 6 cm, akkor AC + BD =:
A. 28 cm; B. 14 cm; C. 48 cm; D. 24 cm.
c) Ha a paralelogramma kerülete 60 cm, az ABC háromszög kerülete pedig 38 cm, akkor az AC szakasz hossza:
A. 22 cm; B. 11 cm; C. 8 cm; D. 16 cm.
d) Ha AM és DM az A és D szögek szögfelezői, akkor az AMD szög mértéke:
A. 60°; B. 120°; C. 180°; D. 90°.
8. A P pont az ABCD paralelogramma belsejében található. Határozd meg az EPF szög mértékét az ábra adatai alapján!
Ötlet. Hosszabbítsuk meg az EP szakaszt úgy, hogy metssze az AB egyenest. DEC AFB
2.l. Elégséges feltételek, hogy egy
Fedezzük fel, értsük meg!
négyszög paralelogramma legyen
Tehát elégséges feltételeket keresünk ahhoz, hogy egy konvex négyszög paralelogramma legyen. A tanult tulajdonságok közül melyik és hány elégséges ahhoz, hogy a paralelogramma többi tulajdonsága is teljesüljön?
1. tétel
Ha egy konvex négyszög két szemben lévő oldala párhuzamos és kongruens, akkor paralelogramma.
A B C D
2. tétel
Ha egy konvex négyszögnek kongruens szemben lévő oldalai vannak, akkor paralelogramma.
3. tétel
Ha egy konvex négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma.
Bizonyitás: Tekintsük az AB és CD szemben lévő oldalakat párhuzamosnak és kongruensnek. Ahhoz, hogy az ABCD paralelogramma legyen, még be kell bizonyítanunk, hogy az AD és BC szemben lévő oldalak párhuzamosak. Megszerkesztjük az AC átlót.
Az AB || CD-ből következik CAB ≡ ACD
Hipotézis szerint AB ≡ CD, és AC az ADC és CBA háromszögek közös oldala. Az O.Sz.O. kongruencia esetét felhasználva igaz, hogy
ADCΔ ≡ CBAΔ, tehát DAC ≡ BCA. Kimutattuk, hogy AD és BC kongruens belső váltószöget alkotnak az AC szelővel, tehát párhuzamosak, és értelmezés szerint az ABCD paralelogramma.
Bizonyitás: Adott az ADC és CBA háromszög. Feltevés szerint AB ≡ CD és AD ≡ BC. Mivel AC a két háromszög közös oldala, ebből következik, hogy ADCΔ ≡ CBAΔ, tehát a háromszögek megfelelő szögei kongruensek lesznek. Ezek azonban belső váltószögek, amelyeket az átló alkot két szemben lévő oldallal, ami a szemben lévő oldalak párhuzamosságát eredményezi. Értelmezés szerint az ABCD négyszög paralelogramma.
Bizonyitás: Két pár kongruens háromszöget képeznek.
• OABΔ és OCDΔ esetén: AO ≡ OC, BO ≡ OD, és AOB ≡ COD (csúcsszögek). Az O.Sz.O. kongruencia esetéből következik, hogy OABΔ ≡ OCDΔ, tehát OAB ≡ OCD, azaz az AB és CD egyenesek az AC szelővel kongruens belső váltószögeket alkotnak, tehát AB || CD.
• AODΔ és COBΔ esetén: AO ≡ OC, OD ≡ OB, és AOD ≡ COB (csúcsszögek). Az O.Sz.O. kongruencia esetéből következik, hogy AODΔ ≡ COBΔ, tehát OAD ≡ OCB , azaz az AD és CB egyenesek az AC szelővel kongruens belső váltószögeket alkotnak, tehát AD || CB. Az ABCD négyszögnek párhuzamos szemközti oldalai vannak, tehát paralelogramma.
4. tétel
Ha egy konvex négyszögben a szomszédos szögek kiegészítő szögek, akkor paralelogramma.
Alkalmazás
5. tétel
Ha egy konvex négyszögben az egymással szemben lévő szögek kongruensek, akkor paralelogramma.
Bizonyitás: Egy konvex négyszög bármely két egymás melletti szögét a szelő ugyanazon oldalán lévő belső szögnek tekinthetjük, a négyszög két szemközti oldala esetén. A szelő a másik két oldal egyike. A megfelelő párhuzamossági kritériumot alkalmazva ebből az következik, hogy a négyszög szemközti oldalai párhuzamosak. A meghatározás szerint a négyszög paralelogramma.
Bizonyitás: Tekintsünk két szomszédos szöget, például A és B Az A ≡ C és B ≡ D alapján következik, hogy A + B = C + D. Mivel egy konvex négyszög szögeinek összege 360°, A + B = C + D = 180°. Ugyanez igaz az A és D, illetve B és C szomszédos szögpárokra, tehát az előző tétel szerint a négyszög paralelogramma.
6. tétel
Ha egy konvex négyszögben az egyik átló és a két szemben lévő oldalpár által alkotott szögek kongruensek, akkor a négyszög paralelogramma.
Bizonyitás:
Az ABCD négyszög AC átlója az egymással szemben lévő oldalakkal kongruens szögpárokat
alkot: DCA ≡ BAC és DAC ≡ BCA
Mivel ezek az AB és DC egyenesek és az AC átló által alkotott belső váltó szögek, illetve az AD és BC egyenesek és az AC átló által alkotott belső váltószögek, ebből következik, hogy AB || DC és AD || BC, azaz az ABCD paralelogramma.
Jegyezd meg!
Ahhoz, hogy egy konvex négyszög paralelogramma legyen, elegendő, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:
A négyszög mindkét szemben lévő oldalpárja párhuzamos.
A négyszög mindkét szemközti oldalpárja kongruens.
A négyszög két szemben lévő oldala párhuzamos és kongruens.
A négyszög mindkét szemben lévő szögpárja kongruens.
A négyszög szomszédos szögei kiegészítő szögek.
Az egyik átló és két szemközti oldalpár által alkotott szögek kongruensek.
A négyszög átlói felezik egymást.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABCD konvex négyszögben AB = 10 cm, BC = x cm, CD = (x + y) cm, DA = 6 cm. Az ABCD négyszög paralelogramma, ha
A. x = 6; B. y = 4; C. x = 6 és y = 4; D. x + y = 10.
30 p 2. Az ABCD négyszög adatai az alábbi ábrákon vannak feltüntetve: a)
Melyik ábrán levő ABCD négyszög paralelogramma?
A. a); B. b); C. c); D. d).
30 p 3. Az MNPQ négyszögben MN ∥ PQ. Ha az MQ és NP szakaszok kongruensek, akkor az MNPQ paralelogramma. Ez a kijelentés:
A. Igaz; B. Hamis.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
1. Az ABC és BCD háromszögek egyenlő oldalúak, és az A és D különböző pontok. Bizonyítsd be, hogy az ABDC négyszög paralelogramma!
2. Az ABCD paralelogrammában az M pont az AB oldal felezőpontja, DM ∩ BC = {E}. Bizonyítsd be, hogy:
a) ADM∆ ≡ BEM∆; b) ADBE paralelogramma!
3. Az ABCD paralelogrammában AB > BC. A BAD szögfelezője a CD oldalt az E pontban metszi, a BCD szögfelezője pedig az AB oldalt az F pontban metszi.
a) Bizonyítsd be, hogy az ADE háromszög egyenlő szárú!
b) Igazold, hogy az AECF négyszög paralelogramma!
4. Az MNPQ négyszög paralelogramma. E az MN szakasz felezőpontja, F pedig a PQ szakasz felezőpontja. Bizonyítsd be, hogy:
a) EF ≡ MQ; b) EF || NP.
5. Az ABCD paralelogrammában AC ∩ BD = {O}. Az O ponton áthaladó d egyenes az AB és a CD oldalt az E, illetve az F pontban metszi, a BC és AD meghosszabbításait pedig a P illetve Q pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy:
a) EO ≡ OF;
b) BPDQ és APCQ paralelogramma!
6. A P pont az ABC háromszög BC oldalán található.
Az M és N pontok a P pontnak az AB és AC oldalak felezőpontja szerinti szimmetrikusai. Bizonyítsd be, hogy:
a) az M, A, N pontok kollineárisak;
b) a BCNM paralelogramma!
7. Az MNPQ paralelogramma M > N
Legyen MR ⊥ NP, R ∈ NP és PS ⊥ MQ, S ∈ MQ
Bizonyítsd be, hogy:
a) MRPS és NRQS paralelogramma;
b) az MP, NQ és RS összefutó egyenesek!
8. Az ABC egyenlő szárú háromszög alapja BC, és
AD a BAC szögfelezője, ahol D ∈ BC. A DP szakasz az ABD háromszög oldalfelezője, a DQ szakasz pedig az ACD háromszög oldalfelezője.
a) Igazold, hogy APD ≡ AQD.
b) Igazold, hogy CDPQ paralelogramma!
c) Ha PQ ∩ AD = {E}, akkor számold ki az ED AD arány értékét!
9. Az AD az ABC és AMN háromszögek közös oldalfelezője, M BC. Mutasd ki, hogy a B, C, M, N csúcsú négyszög paralelogramma!
10. Legyen C az AB szakasz felezőpontja. A d egyenes az AC és BC szakaszok felezőmerőlegesét az AB egyenes ugyanazon oldalán lévő D és E pontokban metszi. Mutasd meg, hogy ha DC ≡ EC, akkor az ADEC paralelogramma.
11. Az ABCD paralelogramma esetén E és F a DC és a BC oldalak felezőpontjait jelölik. Az AE egyenes a BC-t a G-ben, az AF egyenes pedig a DC-t a H-ban metszi. Mutasd ki, hogy a DBHG négyszög paralelogramma!
12. Az ABCD konvex négyszög, AC ∩ BD = {O}. Ismert, hogy AO ≡ OC és ABC ≡ ADC Bizonyítsd be, hogy az adott négyszög paralelogramma!
13. Az MNPQ négyszögben MN ∥ PQ, M∢ = 108°, N∢ = 72°. Indokold meg, hogy MNPQ paralelogramma!
14. Az EFGH paralelogramma EF és GH oldalain felvesszük az A illetve B pontot úgy, hogy EF = 3AE és HB = 2BG. Igazold, hogy:
a) EA ≡ BG; b) AEBG paralelogramma;
c) EG, FH és AB összefutó egyenesek!
15. Sándor 11 azonos méretű gyufaszálból a következő alakzatot készíti el, ahol a H, G, C és D pontok kollineárisak.
a) Számítsd ki a DEF szög mértékét.
b) Határozd meg azoknak a paralelogrammáknak a számát, amelyeknek csúcsai A, H és bármely két másik ábrázolt és jelölt pont.
C D E F G H
16. Az M pont a DEF háromszög EF oldalának felezőpontja, DE = DF. Az E ponton keresztül áthaladó a DM egyenessel párhuzamos egyenes a DF egyenest az N pontban metszi, és a P pont pedig az M pont D-re vonatkozó szimmetrikusa.
a) Bizonyítsuk be, hogy EF || NP.
b) Bizonyítsuk be, hogy MN ≡ PF
3.l. A paralelogramma alkalmazása a háromszögek geometriájában
Emlékeztető
Oldalfelezőnek nevezzük azt a szakaszt, amely összeköti a háromszög egyik csúcsát a szemben fekvő oldal felezőpontjával. Egy háromszög oldalfelezői összefutó egyenesek. Az oldalfelezők metszéspontját általában G-vel jelöljük és a háromszög súlypontjának nevezzük.
Egy szakasz felezőmerőlegese merőleges a szakaszra és áthalad annak felezőpontján. Egy háromszög felezőmerőlegesei összefutó egyenesek. A felezőmerőlegesek metszéspontját általában O-val jelöljük és ez a háromszög köré írt kör középpontja.
Egy háromszög magasságának nevezzük a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal tartóegyenesére bocsátott merőleges szakaszt. Egy háromszög magasságvonalai összefutó egyenesek. A magasságok metszéspontját általában H-val jelöljük és a háromszög ortocentrumának vagy magasságpontjának nevezzük.
Szögfelezőnek nevezzük azt a félegyenest, amely a szög csúcsából indul, a szögtartomány belsejében halad, és a szöget két kongruens szögre osztja. Egy háromszög szögfelezői összefutó egyenesek. A szögfelezők metszéspontját általában I-vel jelöljük és ez a háromszögbe írt kör középpontja.
Fedezzük fel, értsük meg!
A paralelogramma tulajdonságai segítenek a háromszög geometriájára vonatkozó fontos eredmények bizonyításában.
Értelmezés: Egy háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük.
• Az ABC háromszög oldalainak felezőpontjai a D, E, F pont.
• Az ABC háromszög középvonalai a DE, EF, FD szakaszk.
1. Tétel: Egy háromszög két oldalának felezőpontja által meghatározott középvonal párhuzamos a harmadik oldallal és a hossza egyenlő ezen oldal hosszának felével.
Bizonyitás: Adott az ABC∆ és az MN középvonal, ahol, M ∈ AB, N ∈ AC Meghosszabbítjuk az MN egyenest az NP ≡ MN szakasszal. Mivel az N pont az AC szakasz felezőpontja, így az AMCP négyszögben az átlók felezik egymást. Tehát az AMCP egy paralelogramma. Következik, hogy PC ‖ AM és PC = AM Mivel az M pont az AB oldal felezőpontja, következik, hogy PC ‖ BM és PC = BM, ami azt mutatja, hogy a BCPM paralelogramma. Így egymás után következik, hogy: MP ‖ BC és MP = BC, vagyis MN ‖ BC és 2MN = BC, végül MN ‖ BC és MN = BC és MN BC = 2 .
2. Tétel: Egy háromszög súlypontja rajta van mindegyik oldalfelezőn; a súlypont kétharmad részre van a háromszög egyik csúcsától és egyharmad részre van a csúccsal szemben fekvő oldal felezőpontjától.
Bizonyitás: Adott az ABCΔ és az AD és BE oldalfelezők. Az AD és BE metsző egyenesek, mivel az AB szelő ugyanazon oldalán levő belső szögek nem kiegészítő szögek. Ez igaz, mivel a DAB + EBA < A + B < 180°. Jelöljük {G } = AD ∩ BE. Legyen M és N az AG illetve BG szakasz felezőpontja.
A GAB háromszögben az MN középvonal, tehát MN AB és MN AB = 2 A CAB háromszögben a DE középvonal, tehát DE AB és DE AB = 2 . Következik, hogy MN DE, MN = DE, ami azt mutatja, hogy a DEMN négyszög paralelogramma és átlói felezik egymást. Következik, hogy AM = MG = GD és BN = NG = GE.
Végül következik, hogy AGADGDAD == 2 3 1 3 ,, BGBE = 2 3 és GEBE = 1 3 . Hasonlóan bizonyítjuk, hogy G pont rajta van a CF oldalfelezőn is és CGCFGFCF == 2 3 1 3 ,. Az a pont, amely az AD oldalfelezőn helyezkedik el egyharmadnyi távolságra az alaptól és kétharmadnyira a csúcstól, egyértelműen meghatározott. Arra a következtetésre jutunk, hogy a három oldalfelezőnek van egy közös pontja, amit G-vel jelölünk és súlypontnak nevezünk.
3. Tétel: Egy háromszög magasságvonalai összefutó egyenesek. A magasságok metszéspontját általában H-val jelöljük és a háromszög ortocentrumának vagy magasságpontjának nevezzük.
Ahhoz, hogy bizonyítani tudjuk ezt a tételt, a paralelogramma tulajdonságait fogjuk használni és a következő, VI. osztályban tanult megállapítást: Egy háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást, amit a háromszög köré írt kör középpontjának nevezünk.
Bizonyitás: Meghúzzuk az A, B és C ponton keresztül a BC, AC, illetve AB-vel párhuzamos egyeneseket, amelyek páronként metszik egymást az A′ , B′ és C′ pontokban. A BCAC′ és BCB′A négyszögek oldalai párhuzamosak, tehát ezek paralelogrammák és C′A ≡ BC ≡ AB′, vagyis az A felezőpontja a B′C′-nek. Az AD magasság merőleges a BC-re, és BC ‖ B′C′, tehát AD ⊥ B′C′. Következtetésképpen az ABCΔ A-ból húzott magassága felezőmerőlegese az A′B′C′ háromszög B′C′ oldalának. Ugyanezzel a gondolatmenettel mutatjuk ki, hogy a B-ből húzott magasság az A′B′C′ háromszög A′C′ oldalának felezőmerőlegese, és a C-ből húzott magasság az A′B′C′ háromszög B′A′ oldalának felezőmerőlegese. Egy háromszögben a felezőmerőlegesek összefutó egyenesek. Az ABCΔ magasságai a felezőmerőlegeseken vannak, így összefutóak. Jelöljük ezt a pontot H-val, és az ABCΔ ortocentrumának vagy magasságpontjának nevezzük.
Alkalmazás
1. Alkalmazás: Az ABCD paralelogrammában E a BC oldal felezőpontja, AC ∩ BD = {O} és AC ∩ DE = {P} Bizonyítsd be, hogy a BP egyenes tartalmazza a CD oldal felezőpontját! .
Megoldás: Az ABCD paralelogrammában az AC és BD szakaszok átlók, tehát felezik egymást. Így a BCDΔ-ben a CO oldalfelező. Mivel DE is oldalfelező, következik, hogy a P pont a háromszög súlypontja, tehát a B-ből húzott oldalfelező tartalmazza a P súlypontot. Ha BP ∩ CD = {F}, akkor a BF oldalfelező és F a CD oldal felezőpontja.
Tétel: (az 1. tétel fordítottja) Ha egy egyenes tartalmazza egy háromszög egyik oldalának felezőpontját, és párhuzamos a háromszög másik oldalával, akkor ez az egyenes tartalmazza a háromszög harmadik oldalának felezőpontját is.
Bizonyitás: Legyen D az ABC háromszög AB oldalának felezőpontja és DE ∥ BC, E ∈ AC Tegyük fel, hogy az E pont nem az AC oldal felezőpontja, hanem legyen F az AC szakasz felezőpontja. Ekkor a DF az ABC háromszög középvonala és DF ∥ BC. Ellentmondást kaptunk, mert a D ponton keresztül egyetlen párhuzamot lehet szerkeszteni a BC egyenessel.
Ebből következik, hogy a feltételezés hamis, tehát E az AC oldal felezőpontja.
2. Alkalmazás: Adott az ABCD paralelogramma, ahol AC ∩ BD = {O} és és M az AO szakasz felezőpontja. Az EF egyenes tartalmazza az M pontot és párhuzamos a BD egyenessel, ahol E ∈ BC, F ∈ CD. Bizonyítsd be, hogy az O pont a CEF háromszög súlypontja!
Megoldás: A paralelogramma tulajdonságai alapján AO = CO, azaz
AO = 2 ⋅ MO, tehát MO CM = 3 . (1)
Be kell még bizonyítani, hogy CM a CEF háromszög oldalfelezője.
Legyen EF ∩ AB = {N} és EF ∩ AD = {P}. Az AOBΔ-ben M az AO oldal felezőpontja, N ∈ AB és MN OB. Azt kapjuk, hogy N az AB oldal felezőpontja
AB és MN BO = 2
Az AODΔ-ben M az AO oldal felezőpontja, P ∈ AD és MP OD. Következik, hogy P az AD oldal felezőpontja
és MP az AOD háromszög középvonala, tehát MP DO = 2 Mivel BO = DO azt kapjuk, hogy MN = MP (2)
NO a BDAΔ középvonala ⇒ NO ‖ AD ‖ BC és a feltevés alapján NE ‖ OB. Tehát a BENO négyszög paralelogramma, ahol EN = BO. Hasonlóan DFPO szemközti oldalai párhuzamosak, tehát DFPO paralelogramma és FP = DO, ahol EN = FP. Használva a (2) azonosságot azt kapjuk, hogy EM = FM. Következésképpen, a CM szakasz a CEF háromszög oldalfelezője, valamint (1) alapján O e háromszög súlypontja.
Jegyezd meg!
Azt a szakaszt, amely összeköti egy háromszög két oldalának felezőpontját, a háromszög középvonalának nevezzük.
Egy háromszög két oldalának felezőpontja által meghatározott középvonal párhuzamos a harmadik oldallal és hossza egyenlő ezen oldal hosszának felével.
Egy háromszög oldalfelezői a G pontban metszik egymást. Ez a metszéspont mindegyik oldalfelezőn kétharmad részre van a csúcstól és egyharmad részre a szemben fekvő oldal felezőpontjától. A G pont a háromszög súlypontja.
3. Alkalmazás: Az ABC háromszögnek G a súlypontja és P a háromszög egyik belső pontja, amely különbözik a G ponttól. Legyen M, N és Q a P pont BC, CA és AB oldalak felezőpontja szerinti szimmetrikusa.
a) Igazold, hogy a G pont az APM háromszögben is súlypont!
b) Igazold, hogy AM, BN és CQ összefutó egyenesek!
Megoldás: a) Legyen A′ a BC oldal felezőpontja. Mivel M a P pontnak az A′ szerinti szimmetrikusa, következik, hogy P, A′ és M kollineárisak és PA′ = A′M, tehát AA′ oldalfelező az APM háromszögben, így a G súlypont. b) Hasonlóan, G súlypont a BPN és CPQ háromszögekben. Legyen R az AM szakasz felezőpontja. Ekkor G ∈ PR és PG = 2 GR. Legyen S a BN szakasz felezőpontja. Ekkor G ∈ PS és PG = 2 GS. Legyen T a CQ szakasz felezőpontja. Ekkor G ∈ PT és PG = 2 GT. Következik, hogy R = S = T. Tehát az AM, BN, CQ egyenesek összefutóak R-ben.
4. Alkalmazás: Adott az ABC háromszög és G a háromszög egyik belső pontja.
a) Bizonyítsd be, hogy G az ABC háromszög A oldalfelezőjén található, akkor és csak is akkor, ha B és C egyforma távolságra van AG-től.
b) Bizonyítsd be, hogy G az ABC háromszög súlypontja, akkor és csak is akkor, ha a háromszög bármely két csúcsa egyenlő távolságra van a G és a harmadik csúcs által meghatározott egyenestől.
Megoldás: a) Bizonyítjuk, hogy ha G az ABC háromszög A csúcsából húzott oldalfelezőjén van, akkor a B és C pontok egyforma távolságra vannak az AG-től. Legyen AG ⋂ BC = {M}, akkor M a BC oldalának felezőpontja.
Megszerkesztjük BD ⊥ AG, CE ⊥ AG, D, E ∈ AG. Tehát BDMΔ ≡ CEMΔ (Á.Sz.), vagyis BD = CE, azaz d(B, AG) = d(C, AG).
Fordítva. Ha d(B, AG) = d(C, AG), azaz BD = CE, akkor az következik, hogy BDMΔ ≡ CEMΔ (B.Sz.), tehát BM = CM, azaz M a BC oldal felezőpontja, vagy G az A csúcsból húzott oldalfelezőn található.
b) Ha G a súlypont, akkor a B és C csúcsok esetén is használjuk az a) pontot, és megkapjuk: d(A, BG)=d(C, AG), és d(A, CG)=d(B, CG).
Fordítva, ha B és C egyforma távolságra van az AG-től, akkor az a) pont alapján az AM oldalfelező. Tekintsük most úgy, hogy A és C egyenlő távolságra van BG-től. Legyen BG ⋂ AC = {N} és szerkesszük meg AI ⊥ BG, CF ⊥ BG, I, F ∈ BG. Azt kapjuk, hogy AIN∆ ≡ CFN∆ (B.Sz), vagyis AN ≡ NC, azaz BN oldalfelező. Következésképpen, G az oldalfelezők metszéspontja, vagyis N az ABC háromszög súlypontja.
Feladat a portfólióba
I. a) Egy megfelelő méretű papírlap és mértani eszközök vagy GeoGebra felhasználásával készítsd el a következő mértani alakzatot, követve az alábbi utasításokat.
1) Rajzolj egy ABCD paralelogrammát, aminek O a középpontja.
2) Határozd meg az ABC és ADC háromszögek súlypontját! Jelöljétek ezeket G1-gyel, illetve G2-vel.
3) Szerkeszd meg az AM és AN szakaszokat, ahol{M}= AG2 ∩ BC, {N}= CG1 ∩ AD.
4) Határozd meg a DNG1 és BMG2 háromszögek súlypontját. Jelöld ezeket G3-mal illetve G4gyel!
b) Felhasználva az elkészített rajzot, oldd meg a 6), 7) és 8) feladatokat. Mindegyik lépésnél fejtsd ki a gondolatmenetet!
5) Húzd meg az NG2 és MG1 szakaszokat! Húzd meg pontozott vonallal az MN szakaszt!
6) Bizonyítsd be, hogy az AMCN négyszög paralelogramma, melynek középpontja közös az ABCD paralelogrammáéval!
7) Igazold, hogy G1G4G2G3 paralelogramma, melynek O a középpontja!
8) Sorold fel az elkészített rajzon lévő összes paralelogrammát!
II. Megszerkesztjük egy háromszög csúcsainak szimmetrikusát a szemközti oldal felezőpontja szerint. A kapott pontokat összekötjük. Igazold, hogy az így kapott háromszög súlypontja megegyezik az eredeti háromszög súlypontjával! M C B
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABCD négyszögben AB ∥ CD, AC ⋂ BD ={O} és AO OC. Akkor:
A. AB = CD; B. AB = CD 2 ; C. AB = CD 3 ; D. AB = 2 3 ⋅ CD
30 p 2. Az ABCD négyszög paralelogramma, az E pont a CD oldal felezőpontja és BE ⋂ AD ={F}. Ha AB = 5 cm, AD = 4 cm, akkor:
A. AF = 5 cm; B. AF = 4 cm; C. AF = 10 cm; D. AF = 8 cm.
30 p 3. Az ABCD paralelogrammában M és N az AB illetve CD oldal felezőpontja, AN ⋂ BD ={P}, CM ⋂ BD ={Q}, valamint BD = 24 cm. Akkor:
A. PQ = 12 cm; B. PQ = 8 cm; C. PQ = 16 cm; D. PQ = 6 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
4.3. Sajátos paralelogrammák: téglalap, rombusz, négyzet
1.l. A téglalap • Tulajdonságok
Emlékeztető
Az ABCD négyszög paralelogramma akkor és csakis akkor, ha A∢ ≡ C∢ és B
Az ABCD négyszög paralelogramma akkor és csakis akkor, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés: Azt a paralelogrammát, amelynek egyik szöge derékszög, téglalapnak nevezzük.
Azon pontok halmazát, amelyek egy téglalap belsejében és oldalán helyezkednek el, téglalap alakú négyszöglapnak nevezzük.
A gyakorlatban nagyon sokszor találkozunk téglalapokkal és téglalap alakú négyszöglapokkal: egy könyv vagy füzet lapja, íróasztal, számítógép vagy mobiltelefon képernyője stb., tehát elég sok okunk van arra, hogy részletesebben tanulmányozzuk ezt a mértani alakzatot. A téglalap egy paralelogramma, tehát érvényes rá a paralelogramma összes tulajdonsága. Hozzáteszünk néhány sajátos tulajdonságot.
1. Tétel: A téglalap minden szöge derékszög.
Bizonyitás: Tudjuk, hogy egy paralelogrammában a szemben fekvő szögek kongruensek, illetve az egymás melletti szögek kiegészítő szögek. Ha az egyik szög derékszög, akkor a szemben fekvő szöge is derékszög, és mivel az egymás melletti szögek kiegészítő szögek, ezek is derékszögek. Következtetésképpen mind a négy szög derékszög, tehát az összes szög kongruens.
2. Tétel: A téglalap átlói kongruens szakaszok.
Bizonyitás: Ha ABCD a téglalap, DABΔ és CBAΔ derékszögű háromszögek, amelyekben AD ≡ BC és AB közös oldal, így a B.B. kongruencia esetből következik, hogy a háromszögek kongruensek. Tehát AC ≡ BD, vagyis az átlók kongruensek.
3. Tétel: Ha egy paralelogramma átlói kongruensek, akkor a paralelogramma téglalap.
Bizonyitás: Az ABCD paralelogramma átlói kongruensek, AC ≡ BD. Ahhoz, hogy kimutassuk, hogy ez egy téglalap, be kell bizonyítanunk, hogy az egyik szöge derékszög. A DABΔ és CBAΔ háromszögekben: AC ≡ BD, AD ≡ BC és AB közös oldal. Az O.O.O. kongruencia esetből következik, hogy DABΔ ≡ CBAΔ, így DAB∢ ≡ CBA∢. Ezek a paralelogrammában egymás melletti szögek, tehát kiegészítő szögek. Mivel ezek kongruensek is, következik, hogy derékszögek, tehát a paralelogramma téglalap.
1. Alkalmazás: A téglalap átlói két szemben fekvő oldallal 4 kongruens szöget alkotnak.
Bizonyitás: Figyeljük meg az AC és BD átlók az AB és CD oldalakkal alkotott szögeit. Az ABDΔ, BACΔ, CDBΔ, DCAΔ kongruens derékszögű háromszögek a B.B. kongruencia eset alapján, így ABD∢ ≡ BAC∢ ≡ CDB∢ ≡ DCA∢. Hasonlóképpen következik, hogy az AC és BD átlóknak az AD és BC oldalakkal alkotott szögei kongruensek: CBD∢ ≡ BCA∢ ≡ DAC∢ ≡ ADB∢.
2. Alkalmazás: A téglalap átlói az oldalakkal két kongruens, egyenlő szárú háromszögpárt alkotnak.
Bizonyitás: Adott az ABCD téglalap. A téglalap átlói kongruensek és felezik egymást, vagyis AC ≡ BD és AO ≡ BO ≡ CO ≡ DO, ahol O az átlók metszéspontja.
Mivel AO ≡ CO, BO ≡ DO és AOB∢ ≡ COD∢, következik, hogy AOBΔ ≡ CODΔ.
Mivel AO ≡ CO, DO ≡ BO és AOD∢ ≡ BOC∢, következik, hogy AODΔ ≡ COBΔ.
Mivel AO ≡ BO ≡ CO ≡ DO, következik, hogy mind a négy háromszög egyenlő szárú.
3. Alkalmazás: Ha egy konvex négyszög minden szöge kongruens, akkor az téglalap.
Megoldás: Egy konvex négyszög szögei mértékének összege 360°. Mivel a négyszög minden szöge kongruens, és az összegük 360°, következik, hogy mindegyik szög 90°. A négyszög mindegyik szöge derékszög, így bármelyik egymás melletti szöge kiegészítő szög. Ha a négyszög olyan paralelogramma, amelyben az egyik szög derékszög, következik, hogy a négyszög téglalap.
Jegyezd meg!
Azt a paralelogrammát, amelynek egyik szöge derékszög, téglalapnak nevezzük.
A téglalap minden szöge derékszög.
Egy paralelogramma akkor és csakis akkor téglalap, ha az átlói kongruensek.
Ha egy négyszögnek három szöge derékszög, akkor az téglalap.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABCD téglalapban AC ∩ BD ={O} és AD = AO = 2 cm. Az ABD szög mértéke: A. 45°; B. 30°; C. 75°; D. 60°.
30 p 2. Az ABCD téglalapban AB = 4 cm, AC ∩ BD ={O}, AOB∢ = 60°. A téglalap átlóinak hossza: A. 4 cm; B. 2 cm; C. 8 cm; D. 6 cm.
30 p 3. Az MNPQ téglalap átlói az A pontban metszik egymást. Ha az A pontnak az MN és NP oldalaktól mért távolsága 3 cm illetve 4,5 cm, akkor az MNPQ téglalap kerülete: A. 7,5 cm; B. 15 cm; C. 25 cm; D. 30 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
1. Szerkeszd meg az ABCD téglalapot, amelyben:
a) AB = 6 cm, BC = 5 cm;
b) AB = 8 cm, BD = 10 cm; c) AC = 12 cm és ACB∢ = 30°
2. Bizonyítsd be, hogy egy négyszög, amelynek három szöge derékszög, téglalap!
3. Bizonyítsd be, hogy téglalap az a négyszög, melyben bármelyik szög mértéke egyenlő a másik három szög mértékének számtani közepével!
4. Az ABCD téglalapban AC ∩ BD = { O },
AOD∢ = 60° és AC = 24,8 cm. Számítsd ki a BOC háromszög kerületét!
5. Az MNPQ téglalap átlói metszik egymást az O pontban.
a) Ha MOQ∢ = 72°, számítsd ki az MQN∢ és
MPQ∢ mértékét!
b) Ha MQO∢ = 26°, számítsd ki az MOQ∢ és
MPN∢ mértékét!
6. Az AOB∢ és BOC∢ egymás melletti kiegészítő szögek szögfelezői. Legyen BD ⊥ OM, D ∈ OM és BE ⊥ ON, E ∈ ON. Bizonyítsd be, hogy:
a) BDOE téglalap; b) OB ≡ DE.
7. Legyen AD az ABC háromszög magassága, ahol D ∈ BC. Legyen E és F pont szimmetrikusa az AB illetve AC oldalak felezőpontjára nézve. Bizonyítsd be, hogy ADBE és BCFE téglalapok!
8. Az ABCD téglalapban AB = 15 cm, BC = 10 cm. Az E és F pont az AB oldalon helyezkedik el úgy, hogy AE = EF = FB. M a BC szakasz felezőpontja, és N a CD oldalon helyezkedik el úgy, hogy DN = 2 CN. Bizonyítsd be, hogy: a) BCNF téglalap; b) DF ⊥ FM; c) ha P pont szimmetrikusa az N pontra nézve, akkor DFMP téglalap.
9. Az MNPQ téglalap átlói az O pontban metszik egymást, ONP∢ = 30° és MP = 20 cm. Számítsd ki:
a) az MON szög mértékét; b) az MN szakasz hosszát!
10. Az ACD egyenlő szárú háromszögben AB a CD alaphoz tartozó magasság. Az E a C pont szimmetrikusa az AB oldal felezőpontjára nézve. Bizonyítsd be, hogy ABDE téglalap!
11. Az A, B, C, D, E ebben a sorrendben kollineáris pontok, és AB ≡ BC ≡ CD ≡ DE. Az M és N pontok szimmetrikusan helyezkednek el a C pontra nézve, M ∉ AB és AE = 2 MN. Bizonyítsd be, hogy: a) AMEN paralelogramma; b) BMDN téglalap!
12. Adott az ABC háromszög, amelyben a D pont a BC oldalon helyezkedik el. A D ponton át az AB-hez húzott párhuzamos az AC egyenest az E pontban, illetve a D ponton át az AC-hez húzott párhuzamos az AB egyenest az F pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy AEDF téglalap, akkor és csakis akkor, ha
BAC∢ = 90°.
13. Az O középpontú és AO = r sugarú kör átmérője AB. Az AO szakasz felezőmerőlegese a C és D pontban, illetve a BO szakasz felezőmerőlegese az E és F pontban metszi a kört. Bizonyítsd be, hogy a C, D, E, F pontok egy téglalap csúcsai!
14. Adott az ABCD téglalap, amelyben a P pont az AB oldalon helyezkedik el úgy, hogy CP = AB és APD∢ = 5 · (ADP∢).
Számítsd ki a CDP háromszög szögeinek mértékét!
15. Adott az MNPQ téglalap, S a P pont szimmetrikusa az N pontra nézve, QS ∩ MN = {R} és
PR ∩ MQ = {T}.
a) Bizonyítsd be, hogy TS ≡ MN.
b) Ha PR ∩ QN = {A}, mutasd ki, hogy AT = 2 ⋅ PA!
T Q
S P
2.l. A rombusz • Tulajdonságok
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés: Azt a paralelogrammát, amelynek két szomszédos oldala kongruens, rombusznak nevezzük.
A rombusz egy paralelogramma, következtetésképpen a paralelogramma minden tulajdonsága igaz rá. Ezeket kiegészítjük néhány sajátos tulajdonsággal.
1. Tétel: Egy rombusz minden oldala kongruens.
Bizonyitás: Az ABCD rombusz egyben paralelogramma, a szemben fekvő oldalai kongruensek, tehát AB ≡ CD és AD ≡ BC. A kiegészítő feltétel miatt AB ≡ BC, tehát AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA. Következik, hogy a rombusznak mind a négy oldala kongruens.
2. Tétel: A rombusz átlói merőlegesek egymásra.
Bizonyitás: Vizsgáljuk meg az ABCD rombuszt, ahol AC ∩ BD = {O}. Az átlói felezik egymást, tehát OA ≡ OC. Az ABC egyenlő szárú háromszögben BO az AC alaphoz tartozó oldalfelező, tehát magasság is. Következik, hogy BO ⊥ AC, tehát BD ⊥ AC.
3. Tétel: Egy rombusz átlói a szögeinek szögfelezői.
Bizonyitás: Tekintsük az ABCD rombuszt, ahol AC ∩ BD = {O}. Az ABD egyenlő szárú háromszög. Az AC egyenes tartalmazza a BD alaphoz tartozó AO oldalfelezőt. Akkor AC tartalmazza a BAD∢ szögfelezőjét is, vagyis BAC∢ ≡ DAC∢. Másrészt BAC∢ ≡ ACD∢ és DAC∢ ≡ ACB∢ (belső váltószögek). A három kongruenciából kapjuk, hogy ACB∢ ≡ ACD∢, vagyis az AC egyenes tartalmazza a BCD∢ szögfelezőjét is. Hasonlóan bizonyítható, hogy BD egyenes tartalmazza az ABC∢ és ADC∢ szögfelezőjét.
Alkalmazás
Elégséges feltételek, amelyek alapján egy négyszög rombusz.
F1: Ha egy négyszög minden oldala kongruens, akkor az rombusz.
F2: Ha egy paralelogramma átlói merőlegesek egymásra, akkor az rombusz.
F3: Ha egy paralelogramma egyik átlója az egyik szög szögfelezője, akkor az a paralelogramma rombusz.
Olyan módszereket azonosítottunk, amelyekkel ki tudjuk mutatni, hogy egy mértani alakzat rombusz:
1) Értelmezés: A rombusz olyan paralelogramma, melynek két szomszédos oldala kongruens.
2) F1 elégséges feltétel (az oldalak hosszára vonatkozik).
3) F2 és F3 elégséges feltétel (az átlókra vonatkozik).
Jegyezd meg!
Egy négyszög akkor és csakis akkor rombusz, ha minden oldala kongruens.
Egy négyszög akkor és csakis akkor rombusz, ha az átlói merőlegesek egymásra.
Egy négyszög akkor és csakis akkor rombusz, ha egyik átlója az egyik szög szögfelezője.
1. Alkalmazás: Az ABC egyelő szárú háromszögben AB ≡ AC és M, N, P az oldalak felezőpontja. Bizonyítsd be, hogy az A, M, N, P csúcsokkal rendelkező négyszög rombusz!
Bizonyitás: Legyen M a BC oldal felezőpontja, N az AC oldal felezőpontja, P az AB oldal felezőpontja. Ekkor AP AB = 2, és AN AC = 2
Az MN és MP szakaszok az ABCΔ középvonalai, tehát MN AB = 2 és
MP AC = 2 . Mivel AB ≡ AC, következik, hogy PA = MP = MN = AN.
Az F1 feltétel alapján, az ANMP négyszög rombusz.
2. Alkalmazás: Az ABCD konvex négyszögben a BD átló a B∢ és D∢ szögfelezője, illetve AC a BD szakasz felezőmerőlegese. Bizonyítsd be, hogy ABCD rombusz!
Bizonyitás: A BD átló a B∢ és D∢ szögfelezője. Hajlamosak vagyunk az F3 feltételre gondolni. Észrevesszük, hogy nem tudjuk az ABCD négyszögről, hogy paralelogramma-e. Kongruens elemeket keresünk.
A BD átló a B∢ és D∢ szögfelezője, tehát ABD∢ ≡ CBD∢ és ADB∢ ≡ CDB∢, illetve AB közös oldal.
A SZ.O.SZ. kongruenciaesetből kapjuk, hogy ABDΔ ≡ CBDΔ. Következik, hogy AB ≡ BC és AD ≡ DC. Másrészt AC a BD szakasz felezőmerőlegese, így AB ≡ AD és CB ≡CD, tehát AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA, vagyis ABCD rombusz.
3. Alkalmazás: Bizonyítsd be, hogy egy paralelogramma akkor és csak akkor rombusz, ha az egyik átlója felezi a paralelogramma egyik szögét!
Bizonyitás: A 3. tételből következik, hogy a rombusz átlói a szögek felezői. Ezért már csak a F3 elégséges feltételt kell bizonyítani. Legyen az MNPQ paralelogramma, és legyen MP az MNPQ paralelogramma átlója és az NMQ szög felezője. Ekkor NMP∢ ≡ QMP∢ (1) Mivel az MNPQ paralelogramma, ebből következik, hogy MN ∥ PQ és MQ ∥ NP. Az MP szelő az MN és PQ párhuzamos egyenesekkel NMP∢ és QPM∢ belső váltószögeket, az MQ és NP párhuzamos egyenesekkel pedig NPM∢ és QMP∢ belső váltószögeket alkot.
Az (1) alapján következik, hogy QPM∢ ≡ NMP∢ ≡ QMP∢ ≡ NPM∢, amely alapján NMP∢ ≡ NPM∢.
Tehát az MNP háromszög MP alapú egyenlő szárú háromszög, azaz MN ≡ NP.
A rombusz értelmezése szerint az MNPQ négyszög rombusz.
Feladat a portfólióba
Mutasd ki egy társaddal az F1 és F2 állításokat.
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABCD rombuszban AB = 8 cm és ABC∢ = 60°. Az AC átló hossza:
A. 4 cm; B. 16 cm; C. 8 cm; D. 10 cm.
30 p 2. Ha DEFG rombuszban EFG∢ = 30 ° , akkor a DEG szög mértéke:
A. 75°; B. 60°; C. 90°; D. 120°.
30 p 3. Ha a rombusz egyik szögének mértéke 120° és a kisebbik átló hossza 8 cm, akkor a rombusz kerülete:
A. 16 cm; B. 32 cm; C. 24 cm; D. 64 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. a) Szerkessz egy ABCD rombuszt, amelynek oldala 6 cm.
b) Szerkessz egy EFGH rombuszt, amelyben
EG = 2 cm és FH = 5 cm.
2. Anna és Csaba a következő párbeszédet folytatja a négyszöggel kapcsolatosan:
Anna: Bármely rombusz oldalainak felezőpontja egy téglalap csúcsai.
Csaba: Bármely téglalap oldalainak felezőpontja egy rombusz csúcsai.
Ki mondott igazat? Indokold a válaszod!
3. ABCD paralelogramma ADB = 56° és ACB = 34°.
Bizonyítsd be, hogy ABCD rombusz!
4. ABCD rombusz és a C ponton keresztül a BD egyenessel párhuzamos egyenes az AB egyenest az M pontban, az AD egyenest pedig az N pontban metszi.
a) Bizonyítsd be, hogy MN = 2 · BD.
b) Vizsgáld meg, hogy az eredmény akkor is érvényes-e, ha az ABCD csak egy paralelogramma, de nem rombusz!
5. MNPQ paralelogramma és az M pont távolsága az NP és a PQ egyenesektől egyenlő. Bizonyítsd be, hogy MNPQ rombusz!
6. A CDEF rombuszban CE ∩ DF = {O}, CO = 2,5 cm, EF = 5 cm.
a) Határozd meg a rombusz szögeinek mértékét! b) Számold ki a CEF és CFD szögek mértékét!
7. Az ABCD paralelogrammában AB = BD = 10 cm, E az AD oldal felezőpontja és BE ∩ CD = {F}.
a) Igazold, hogy DC ≡ DF b) Számítsd ki az AF szakasz hosszát!
8. Az LMNP rombusz LM oldalán felvesszük azt a Q pontot, amelyre PQ ⊥ LM. Tudva, hogy LM = 16 cm és PQ = 8 cm, határozd meg a rombusz szögeinek mértékét!
9. Az O pont az ABCD téglalap középpontja. A C ponton áthaladó a BD egyenessel párhuzamos egyenes E pontban metszi a D ponton áthaladó az AC egyenessel párhuzamos egyenest. Bizonyítsd be, hogy CD ⊥ OE!
10. Adott az ABCD rombusz egyik átlójának egy M pontja. Határozd meg a kijelentés logikai értékét: AMB + CMD = 180° .
11. Az ABC háromszögben, B = 90°, az A szögfelezője metszi BC oldalt D-ben, a C-ben emelt merőleges pedig AC-t E-ben. Legyen EF BC, F ∈ AB. a) Bizonyítsd be, hogy CDE∆ egyenlő szárú!
b) Bizonyítsd be, hogy CDFE rombusz.
12. A mellékelt ábra egy város történelmi központjának vázlata. A szakaszok
a bevezető utcákat, a pontok pedig a látnivalókat jelképezik.
Máriusz az A pontból indul, és a D, B, F, C sorrendben keresi fel nevezetességeket. Blanka ugyanebből a pontból indul, és felkeresi a B, G, C célpontokat. Az A, B, C pontok kollineárisak, AB = 2 ⋅ BC = 1,2 km, DAE = FCG = 120°, az ADBE és BFCG négyzetek pedig rombuszok.
a) Számítsd ki Máriusz és Blanka által megtett távolságot!
b) Határozd meg azt a legkisebb hosszúságú utat, amely mentén Máriusz az összes felvázolt látnivalót fel tudja keresni!
3.l. A négyzet • Tulajdonságok
Emlékeztető
Az előző leckékben a paralelogrammából indultunk ki, kiegészítettük egy-egy feltétellel, és a következő mértani alakzatokat kaptuk:
téglalap – ha a szögek kongruensek;
rombusz – ha az oldalak kongruensek.
Fedezzük fel, értsük meg!
Vajon milyen mértani alakzatot kapunk, ha mindkét feltétel egyszerre teljesül?
Megrajzolunk egy ilyen négyszöget és azonnal észrevesszük, hogy ez a legismertebb konvex négyszög, azaz a négyzet.
Értelmezés: Azt a konvex négyszöget, amely téglalap is, rombusz is, négyzetnek nevezzük. Azon pontok halmazát, amelyek egy négyzet belsejében és oldalain helyezkednek el, a négyzetlapnak nevezzük.
A meghatározás alapján a négyzet rendelkezik a téglalap és a rombusz összes tulajdonságával.
Szeretnénk meghatározni néhány sajátos tulajdonságot.
Tekintsük az ABCD négyzetet, ahol AC ∩ BD = {O}.
Tulajdonság
T1: A négyzet minden oldala illetve minden szöge kongruens (derékszögek).
T2: A négyzet átlói kongruensek és merőlegesek egymásra.
T3: A négyzet átlói a szögeinek szögfelezői.
T4: A négyzet átlói felezik egymást és négy kongruens szakaszt határoznak meg.
Bizonyítás:
T1: Az ABCD négyzet, következik, hogy ABCD rombusz és téglalap. Mivel ABCD rombusz, tudjuk, hogy AB ≡ BC ≡ CD ≡ AD (minden oldala kongruens), illetve ABCD téglalap, tehát A∢ ≡ B∢ ≡ C∢ ≡ D∢ (minden szöge kongruens).
T2: ABCD négyzet, következik, hogy ABCD rombusz és téglalap. Mivel ABCD téglalap, ezért az átlók kongruensek, AC ≡ BD, illetve ABCD rombusz, amiből következik, hogy az átlók merőlegesek egymásra, AC ⊥ BD.
T3: Ha ABCD négyzet, következik, hogy ABCD rombusz, így az átlók szögfelezők: A1∢ ≡ A2∢ és C1∢ ≡ C2∢, B1∢ ≡ B2 ∢ és D1∢ ≡ D2∢.
Megjegyzés: A négyzet átlói az oldalakkal 45°-os szöget zárnak be.
T4: Ha ABCD négyzet, következik, hogy ABCD paralelogramma, és átlói felezik egymást: OA = OC és OB = OD. A T2 tulajdonság alapján következik, hogy OA = OB = OC = OD.
A fentiekből következtetünk azokra az elégséges feltételekre, amelyek alapján egy konvex négyszög négyzet.
F1: Ha egy négyszög téglalap és rombusz is, akkor az négyzet.
F2: Ha egy rombusz egyik szöge derékszög, akkor az négyzet.
F3: Ha egy rombusz átlói kongruensek, akkor az négyzet.
F4: Ha egy téglalap átlói merőlegesek, akkor az négyzet.
F5: Ha egy téglalap két szomszédos oldala kongruens, akkor az négyzet.
F6: Ha egy paralelogramma két szomszédos oldala és két szomszédos szöge kongruens, akkor az négyzet.
F7: Ha egy paralelogramma átlói merőlegesek egymásra és kongruensek, akkor az négyzet.
F8: Ha egy téglalap egyik átlója az egyik szögének szögfelezője, akkor az négyzet.
Alkalmazás
1. Alkalmazás: Bizonyítsd be az F7-et: ha egy paralelogramma átlói kongruensek és merőlegesek egymásra, akkor az négyzet.
Bizonyitás: Vizsgáljuk az ABCD paralelogrammát! Mivel AC ≡ BD, következik, hogy ABCD téglalap. Mivel AC ⊥BD, következik, hogy ABCD rombusz. Tehát ABCD téglalap is, rombusz is, vagyis négyzet.
Feladat a portfólióba
Bizonyíts be két másik elégséges feltételt egy osztálytársaddal közösen!
2. Alkalmazás: Az ABCD paralelogrammában jelöljük az AB, BC, CD és DA szakaszok felezőpontjait A′ , B′ , C′ illetve D′-tel.
1) Bizonyítsd be, hogy az A′B′C′D′ paralelogramma!
2) Keress olyan feltételeket, amelyeket az ABCD kell teljesítsen ahhoz, hogy A′B′C′D′ : a) téglalap legyen; b) rombusz legyen; c) négyzet legyen.
Bizonyitás:
1) Az A′B′C′D′ négyszög oldalai összekötik az AB, BC, CD és AD oldalak felezőpontjait, ezért a középvonalakat juttatják eszünkbe. Megrajzoljuk az AC és BD átlókat. Az ADBΔ-ben az A′D′ középvonal párhuzamos BDvel és egyenlő a BD hosszának felével. Az CDBΔ-ben a B′C′ középvonal párhuzamos BD-vel és egyenlő a BD hosszának felével. Tehát, az A′B′C′D′ négyszögben két szemben fekvő oldal párhuzamos és kongruens. Ebből következik, hogy A′B′C′D′ paralelogramma.
2) a) Ahhoz, hogy A′B′C′D′ téglalap legyen, paralelogramma kell legyen (amit már bizonyítottunk), és a szomszédos oldalak merőlegesek kell legyenek egymásra. Mivel az A′B′C′D′ négyszög oldalai párhuzamosak az ABCD négyszög átlóival, teljesül az a feltétel is, hogy ezek merőlegesek egymásra. Következtetésképpen, ahhoz, hogy A′B′C′D′ téglalap legyen, szükséges és elégséges, hogy az ABCD konvex négyszög átlói merőlegesek legyenek egymásra.
b) Ahhoz, hogy A′B′C′D′ rombusz legyen, paralelogramma kell legyen (ez teljesül), és a szomszédos oldalak kongruensek kell legyenek. Mivel A′B ′ = C′D′ = AC 2 és B′C ′ = A′D ′ = BD 2 , következik, hogy A′B′C′D′ akkor rombusz, ha AC ≡ BD, vagyis ha az ABCD négyszög átlói kongruensek.
c) Mivel a négyzet egyidejűleg téglalap is, rombusz is, elegendő, ha a b) és c) alpontokban lévő feltételek teljesülnek. Így következik, hogy A′B′C′D′ akkor négyzet, ha AC⊥BD és AC ≡ BD, vagyis az ABCD négyszög átlói merőlegesek egymásra és kongruensek. A A' B B' C C' D D'
Jegyezd meg!
Tudtátok, hogy …?
Azt a négyszöget, melynek átlói merőlegesek egymásra, ortodiagonális négyszögnek nevezzük.
A halmazelméleti jelekkel az egyes paralelogrammák közötti kapcsolatokat a következőképpen rendszerezhetjük: Tekintsük a következő halmazokat:
A = a síkbeli paralelogrammák halmaza; C = a síkbeli rombuszok halmaza; B = a síkbeli téglalapok halmaza; D = a síkbeli négyzetek halmaza. Akkor
Reláció Jelentése
D ⊂ A Minden négyzet paralelogramma.
D ⊂ B Minden négyzet téglalap.
D ⊂ C Minden négyzet rombusz.
C ⊂ A, B ⊂ A Minden rombusz paralelogramma és minden téglalap is paralelogramma.
B ∩ C = D Egy négyszög akkor és csakis akkor négyzet, ha rombusz is és téglalap is.
Feladat a portfólióba
Venn-Euler-féle diagramm
Tekintsük az ABCD négyzetet és az MNPQ négyszöget, ahol M AB, N BC, P CD, Q AD úgy, hogy
MB = 2 MA, NC = 2 NB, PD = 2 PC és QA = 2 QD
a) Készíts mértani eszközök vagy a GeoGebra segítségével a fenti adatoknak megfelelő rajzot!
b) Bizonyítsd be, hogy DAMQ DBNM!
c) Bizonyítsd be, hogy AMQ∢ + BMN∢ = 90°!
d) Bizonyítsd be, hogy az MNPQ négyzet!
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes. Az ABC egyenlő oldalú háromszög kerülete 0,24 m. A háromszög külső tartományában megszerkesztjük az ABDE négyzetet. Akkor:
30 p 1. a DAC szög mértéke:
A. 75°; B. 105°; C. 90°; D. 120°.
30 p 2. a CDE szög mértéke:
A. 75°; B. 60°; C. 65°; D. 50°.
30 p 3. az ABDE négyzet kerülete egyenlő:
A. 54 cm; B. 36 cm; C. 32 cm; D. 48 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. a) Beosztásos vonalzó és körző segítségével szerkessz egy 4 cm oldalhosszúságú négyzetet! b) Beosztásos vonalzó és szögmérő segítségével szerkessz egy 0,6 dm oldalhosszúságú négyzetet!
2. a) Szerkessz egy 48 cm kerületű négyzetet! b) Szerkessz egy 80 mm átlójú négyzetet!
3. Az ABC és DBC egyenlő szárú derékszögű háromszögeknek a BC közös átfogója. Igazold, hogy ABDC négyzet!
4. Bizonyítsd be, hogy egy négyzet oldalainak felezőpontjai egy másik négyzet csúcsai lesznek!
5. Az ABCD négyzetben az átlók metszik egymást az O pontban. Mutasd ki, hogy az AO, BO, CO és DO oldalak felezőpontjai egy négyzet csúcsai!
6. Az ABCD rombuszban az A és C szögek kiegészítő szögek. Igazold, hogy ABCD négyzet!
7. Az ABCD téglalap AC átlóján legyen P egy pont úgy, hogy PB = PD, P ∉ BD Bizonyítsd be, hogy ABCD négyzet!
8. Bizonyítsd be, hogy ha egy téglalap egyik oldalának hossza számtani középarányosa a másik három oldal hosszának, akkor ez a téglalap négyzet!
9. Az ABCD négyzetben a BAC∢ és CAD∢ szögfelezői a BC és CD oldalakat az E illetve F pontban metszik.
a) Számítsd ki az AEF háromszög szögeinek mértékét!
b) Mutasd ki, hogy EF ‖ BD!
10. Az ABCD téglalap külső tartományában megszerkesztjük az ABE és CDF egyenlő szárú derékszögű háromszögeket, ahol AE = BE,CF = DF. Legyen AE ∩ DF = {M} és BE ∩ CF = {N}.
a) Bizonyítsd be, hogy MENF négyzet!
b) Igazold, hogy AC, EF és MN összefutó egyenesek!
11. Az A pont a BC szakasz egyik belső pontja. A BC egyenes mindkét oldalán megszerkesztjük az ABDE illetve ACFG négyzeteket.
a) Mutasd ki, hogy BG ≡ CE
b) Számítsd ki az AB AC arány értékét, ha BG ‖ CE.
12. Az ábrán ABCD és AEFG négyzetek.
AB DC GF E
Bizonyítsd be, hogy:
a) A, F, C kollineáris pontok;
b) GE és BD párhuzamos egyenesek!
13. Az A pont a BC szakasz belső pontja. A BC egyenes ugyanazon oldalán megszerkesztjük az ABDE illetve ACFG négyzeteket.
a) Igazold, hogy BE ‖ AF és BE ⊥ CG.
b) Számítsd ki az AB AC , arány értékét, ha CGD∢ = 90°!
14. Az MNPQ paralelogrammában az M és N szögek szögfelezői az A ∈ PQ pontban metszik egymást, a P és Q szögek szögfelezői pedig a B ∈ MN pontban metszik egymást. Legyen MA ∩ BQ = {C} és AN ∩ BP = {D}. Ha ACBD négyzet, számítsd ki az M szög mértékét és az MN NP arány értékét!
15. Az ABCD négyzet belsejében megszerkesztjük a CDE egyenlő oldalú háromszöget, a külső tartományában pedig a BCF egyenlő oldalú háromszöget.
DC E F
AB
a) Mértani eszközök használatával készítsd el a rajzot a füzetedben.
b) Számítsd ki a DEF szög mértékét.
c) Igazold, hogy A, E és F kollineáris pontok.
d) Egészítsd ki a rajzot az ACR egyenlő oldalú háromszöggel úgy, hogy az F és R pontok az AC egyenes ugyanazon oldalán helyezkedjenek el.
e) Bizonyítsd be, hogy CERF négyzet!
4.4. A trapéz
1
.l. A trapéz: osztályozás, tulajdonságok
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés: Trapéznak nevezzük az olyan konvex négyszöget, amelynek két szemben fekvő oldala párhuzamos, a másik kettő pedig nem.
Megnevezzük az ABCD trapéz elemeit:
Az AB és CD párhuzamos oldalakat a trapéz alapjainak nevezzük.
Ha AB > CD, akkor AB a nagyalap és CD a kisalap.
Az AD és BC nem párhuzamos oldalakat a trapéz szárainak nevezzük.
Az AC és BD szakaszokat a trapéz átlóinak nevezzük.
A két alap közötti távolságot a trapéz magasságának nevezzük.
Ha DE ⊥ AB, E ∈ AB, akkor DE a trapéz magassága.
Megjegyzés: A „magasság” kifejezést fogjuk használni arra a szakaszra, amely összeköti az egyik alap egy pontját, (általában a trapéz csúcsát) az ebből a pontból a másik alapra bocsátott merőleges talppontjával.
A trapézok szárai esetében két sajátos esetet különböztetünk meg, amelyek a trapézok egyik osztályozásának kritériumát adják meg.
Ha egy trapéz egyik szára merőleges az alapra, akkor a trapézt derékszögűnek nevezzük.
Ha egy trapéz szárai kongruensek, akkor a trapézt egyenlő szárúnak nevezzük.
Megjegyzés: A meghatározás szerint egy konvex négyszög trapéz, ha bebizonyítjuk, hogy:
1) két szemben fekvő oldala párhuzamos
2) a másik két oldala nem párhuzamos.
Egy trapéz nem párhuzamos oldalai és átlói az alapok szelői. Mivel az alapok párhuzamosak, adódnak a következő tulajdonságok:
T1: Egy trapéz szárain lévő belső szögek kiegészítő szögek.
Bizonyitás: Tekintsük a BC oldalt az AB és CD párhuzamos egyenesek szelőjének. Mivel AB ‖ CD, illetve ABC∢ és DCB∢ a szelő ugyanazon oldalán lévő belső szögek, következik, hogy kiegészítőszögek, így ABC∢ + DCB∢ = 180°. Hasonlóan bizonyítjuk, hogy BAC∢ + CDA∢ = 180°.
T2: Egy trapéz átlói az alapokkal kongruens szögpárokat alkotnak.
ABC∢ + DCB∢ = 180° BAD∢ + CDA∢ = 180°
Bizonyitás: AC a trapéz alapjainak szelője. AB || CD, DCA∢ és BAC∢ belső váltószögek, tehát DCA∢ ≡ BAC∢. Hasonlóan bizonyítjuk, hogy CDB∢ ≡ ABD∢. AB DC AB DC
DCA∢ ≡ BAC∢ CDB∢ ≡ ABD∢
Mivel az egyenlő szárú trapéz rendelkezik kongruens szárakkal, rendelkezik sajátos tulajdonságokkal is.
1. Tétel: Az egyenlő szárú trapéz alapján fekvő szögek kongruensek.
Bizonyitás: Kimutatjuk, hogy az A∢ és B∢ az ABCD egyenlő szárú trapézban kongruensek. Legyen DE ⊥ AB és CF ⊥ AB úgy, hogy E, F ∈ AB
A DCFE négyszög minden szöge derékszög, így téglalap. A szemben fekvő szögei kongruensek, például DE ≡ CF . Észrevesszük, hogy az ADEΔ és BCFΔ derékszögű háromszögek, ahol az átfogók AD ≡ BC (a trapéz szárai kongruensek) és a befogók DE ≡ CF (a fentiekben bizonyítottuk).
Az Á.B. kongruencia esetből kapjuk, hogy a háromszögek kongruensek, és ebből következik, hogy
DAB∢ ≡ CBA∢. Mivel ADC∢ és DAB∢, illetve BCD∢ és CBA∢ kiegészítő szögek (trapéz szárain lévő szögek) kapjuk, hogy ADC∢ ≡ DCB∢
2. Tétel: Az egyenlő szárú trapéz átlói kongruensek.
Bizonyitás: Meghúzzuk a trapéz AC és BD átlóit, majd megfigyeljük a DABΔ és CBAΔ-ben, hogy: AD ≡ CB, AB közös oldal és az 1. tételből következik, hogy, DAB∢ ≡ CBA∢. Az O.SZ.O. kongruenciaeset alapján a két háromszög kongruens, tehát AC ≡ BD Az 1. illetve 2. tétel fordított tétele is igaz, és elégséges feltétel ahhoz, hogy egy trapéz egyenlő szárú legyen.
F1: Ha egy trapéz alapján fekvő szögek kongruensek, akkor az egyenlő szárú.
F2: Ha egy trapéz átlói kongruensek, akkor az egyenlő szárú.
Felhasználva az 1. tétel és 2. tétel jelöléseit, bizonyítsd be egy osztálytársaddal közösen az F1 és F2 elégséges feltételeket! Feladat a portfólióba
1. Alkalmazás: Egy trapéz akkor és csakis akkor egyenlő szárú, ha alapjainak felezőmerőlegesei egybeesnek.
Megoldás: Tekintsük az ABCD trapézt, ahol AB és CD az alapjai. Vegyük észre, hogy két feltételezést kell bizonyítani: 1) Ha ABCD trapéz egyenlő szárú, akkor az alapok felezőmerőlegesei egybeesnek.
2) Ha az ABCD trapézban az alapok felezőmerőlegesei egybeesnek, akkor a trapéz egyenlő szárú.
1) Tekintsük az ABCD egyenlő szárú trapézt. Legyen E az AB szakasz felezőpontja és d a AB alap felezőmerőlegese. Mivel AB || CD, így d ⊥ CD. A következő bizonyítás az, hogy a d egyenes a CD alap felezőmerőlegese is. Elégséges, hogy kapjunk egy pontot a d egyenesen, amely egyenlő távolságra van a C és D pontoktól (kisalap végpontjaitól). Az AEDΔ és BECΔ-ben: AE ≡ EB (E szerkesztés alapján felezőpont); AD ≡ BC (egyelő szárú trapéz); DAE∢ ≡ CBE∢ (egyenlő szárú trapéz alapján fekvő szögek). Az O.SZ.O. kongruenciaeset alapján kapjuk, hogy AEDΔ ≡ BECΔ, tehát ED ≡ EC. Ha {F} = d ∩ CD, akkor EF a CED egyenlő szárú háromszög alapjához tartozó magasság, így d a DC szakasz felezőmerőlegese is.
2) Tudjuk, hogy ABCD trapéz, és hogy AB és CD az alapok felezőmerőlegesei egybeesnek. Bebizonyítjuk, hogy a trapéz egyenlő szárú, vagyis hogy a nem párhuzamos oldalai kongruensek. Jelöljük E és F pontokkal az AB, illetve DC alapok felezőpontjait. Az AEDΔ és a BECΔ-ben: AE ≡ BE (EF felezőmerőlegese az AB-nek); DE ≡ CE (EF felezőmerőlegese a CD-nek); AED∢ ≡ BEC∢ (AED∢ ≡ EDC∢ mivel belső váltószögek és AB ‖ CD, DE szelő; EDC∢ ≡ ECD∢ az ECD egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei; ECD∢ ≡ BEC∢, mivel belső váltószögek és AB ‖ CD, CE szelő).
Az O.SZ.O. kongruencia eset alapján következik, hogy a két háromszög kongruens és a megfelelő elemek kongruensek. Például AD ≡ BC, amiből következik, hogy a trapéz egyenlő szárú.
Megjegyzés: A fentiekből kimutattuk, hogy egy trapéz egyenlő szárú, akkor és csakis akkor, ha az alapok felezőpontjait összekötő egyenes pontosan az alapok felezőmerőlegese
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Az ABCD trapézban AB||CD, AD = BC, CD = 8 cm, B∢ = 45 ° . Megszerkesztjük a DE⊥AB és a CF⊥AB, ahol E, F∈AB, valamint AE = 4 cm. Akkor:
30 p 1. a DE szakasz hossza:
A. 7 cm; B. 6 cm; C. 3 cm; D. 4 cm.
30 p 2. a ADC szög mértéke:
A. 115°; B. 125°; C. 135°; D. 145°.
30 p 3. az AB szakasz hossza:
A. 16 cm; B. 14 cm; C. 12 cm; D. 15 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Rajzolj mértani eszközök segítségével egy MNPQ konvex négyszöget, amelyben MNP∢ = 105°, NPQ∢ = 75° és PQM∢ = 135°. Egészítsd ki a mondatokat úgy, hogy az állítások igazak legyenek:
p1: Az MNPQ konvex négyszög egy … .
p2: Az MN és PQ szakaszokat … nevezzük.
p3: Az NP és MQ szakaszokat … nevezzük.
p4: Az MP és NQ szakaszokat … nevezzük.
2. Az ábrán az a és b egyenes párhuzamos. Másold le a füzetbe a mondatokat, majd egészítsd ki úgy, hogy az állítás igaz legyen.
CDE a b 58 13
AB
p1: Az ABEC konvex négyszög … .
p2: Az ACDB konvex négyszög … .
3. Szerkeszd meg az IJKL derékszögű trapézt, amelyben I∢ = L∢ = 90°, IJ = 8 cm, J∢ = 60°, JK = 5 cm.
a) Írd le a szerkesztés lépéseit!
b) Nevezd meg a trapéz alapjait és szárai!
4. Szerkeszd meg az ABCD egyenlő szárú trapézt, amelyben A∢ = B∢ = 60°, AB = 10 cm, BC = 5 cm.
a) Írd le a szerkesztés lépéseit!
b) Nevezd meg a trapéz alapjait és szárait!
5. a) Számítsd ki az MNPQ trapéz szögeinek mértékét tudva, hogy egyidejűleg teljesülnek a következők:
M∢ + N∢ + P∢= 320°, Q∢ + P∢ = 180°, P∢ = 2 · M∢.
b) A fenti adatoknak megfelelően mértani eszközök segítségével készíts egy ábrát!
6. Számítsd ki az ABCD egyenlő szárú trapéz szögeinek mértékét a következő esetekben:
a) A∢ = 55° és AB ‖ CD ;
b) A∢ =B∢ és C∢ + D∢ = 260°.
7. Adott az ABCD egyenlő szárú trapéz, amelyben
A∢ = 3 · C∢ és C∢ ≡ D∢.
a) Határozd meg a trapéz alapjait!
b) Számítsd ki a trapéz szögeinek mértékét!
c) Igazold, hogy az AD és BC egyenesek merőlegesek egymásra!
8. Az MNPQ négyszögben MN ‖ PQ, MQ NP, MQ ≡ NP és MP ∩ NQ = {O}. Határozd meg a következő kijelentések igazságértékét:
a) MN ≡ PQ ; b) MP ≡ NQ ;
c) NMQ∢ ≡ MNP ∢;
d) NMQ∢ ≡ NPQ ∢;
e) MNP∢ + MQP∢ = 180°;
f) MO ≡ OP ; g) OP ≡ OQ ;
h) MON∆ egyenlő szárú.
9. Adott a CDEF trapéz, melyben CD ‖ EF, M a CD oldal felezőpontja és ME = MF. Mutasd ki, hogy CDEF egyenlő szárú trapéz!
10. Az ABCD trapéz alapjai AB és CD, AC a BAD szög szögfelezője és BD az ABC szög szögfelezője. Bizonyítsd be, hogy AC ≡ BD.
2.l. A trapéz középvonala
Fedezzük fel, értsük meg!
11. Az MNPQ konvex négyszögben az M szög mértéke 68° és az N szög mértéke 112°.
Mutasd ki, hogy MNPQ trapéz vagy paralelogramma!
12. Pál egy papírlapból kivágott egy olyan egyenlő szárú trapézt, amelynek kisalapja 8 cm hosszú. A trapéz magasságának hossza 6 cm, és a nem párhuzamos oldalakkal 45°-os szöget zár be. Határozd meg a trapéz nagy alapjának hosszát!
13. Az ABCD egyenlő szárú trapéz, ahol AB ‖ CD és AC ∩ BD = {O}. Igazold, hogy: a) az AOB és COD egyenlő szárú háromszögek; b) az AOD és BOC kongruens háromszögek.
14. Egy derékszögű trapéz egyik szögének mértéke 72°. Határozd meg a trapéz többi szögének mértékét!
15. Adott az ABCD derékszögű trapéz, amelyben
A∢ = D∢ = 90°, AB < CD, és BCD egyenlő szárú háromszög. Számítsd ki az ABC, BCD, CDB szögek mértékét!
16. MNPQ egy derékszögű trapéz, MN ‖ PQ, M∢ = 90°, MN = 14 cm, MQ = QP = 6 cm. Számítsd ki a PN oldal hosszát!
17. A TRAP trapézban TR ‖ AP, TR > AP, PTR∢ = 90°, és TPA illetve TAR egyenlő szárú háromszög.
Számítsd ki a trapéz szögeinek mértékét, minden lehetséges esetet tárgyalva!
Értelmezés: A trapéz nem párhuzamos oldalainak felezőpontjait összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük.
A következő tétel a középvonal két fontos tulajdonságát mutatja.
1. Tétel: A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és hossza az alapok hosszának félösszegével egyenlő.
Bizonyitás: A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. Párhuzamos a harmadik oldallal, és hossza egyenlő a harmadik oldal hosszának a felével. Az ABCD trapézban jelöljük az AD és BC nem párhuzamos oldalak felezőpontjait E, illetve F pontokkal. Jelöljük az AC átló felezőpontját G-vel. Ekkor EG az ADCΔ középvonala és GF az ABCΔ középvonala Ebből származik, hogy EG ‖ DC és GF ‖ AB, de AB ‖ CD (trapéz alapjai), tehát GE ‖ AB ‖ GF. A G ponton keresztül egyetlen párhuzamos egyenes húzható AB-vel (párhuzamossági axióma), következik, hogy E, G, F kollineárisak és EF ‖ AB ‖ DC. A háromszög középvonalának hossza: EG CD = 2 és GF AB = 2 , összeadva EF = EG + GF = ABCD + 2
Megjegyzés: Egy trapéz középvonalának hossza egyenlő az alapok hosszának számtani közepével.
Alkalmazás
1. Alkalmazás:
a) Egy trapéz átlóinak felezőpontja a trapéz középvonalán található és a trapéz középvonalából az átlók által kimetszett szakasz hossza a trapéz alapjai hosszának félkülönbségével egyenlő.
b) Ha egy konvex négyszög egyik átlójának felezőpontja két szemben fekvő oldal felezőpontjait összekötő szakaszon helyezkedik el, akkor a négyszög trapéz vagy paralelogramma.
Megoldás:
a) ABCD trapéz (AB ‖ CD és AB > CD), E-vel és F-fel jelöltük az AD illetve BC oldal felezőpontját, G-vel és H-val jelöltük az AC, illetve BD átló felezőpontját. Az ADC és ABC háromszögekben alkalmazva a középvonal párhuzamosságát következik, hogy GE ‖ CD ‖ AB ‖ GF. A párhuzamossági axióma azt mondja ki, hogy a G ponton keresztül egyetlen AB-vel párhuzamos egyenes húzható, tehát GE és GF egybeesnek vagy G ∈ EF Hasonlóan mutatjuk ki, hogy a BD felezőpontja, vagyis H, az EF szakaszon helyezkedik el. Mivel EF a trapéz középvonala, ezért párhuzamos az alapokkal, vagyis GH ‖ AB ‖ DC. Az ADCΔ és
BDCΔ háromszögek középvonalára teljesül, hogy EG DC = 2 = HF. Kiszámítjuk a GH szakasz hosszát:
GHEFEGHF ABCDCDCDABCD 2222 .
2. Alkalmazás: Ha egy egyenlő szárú trapéz átlói merőlegesek egymásra, akkor a magasság hossza egyenlő a középvonal hosszával.
Megoldás: Legyen ABCD konvex négyszög és M, E, N, F az oldalak felezőpontjai, ahogy az ábrán is látható. Tudjuk, hogy egy konvex négyszög oldalainak felezőpontjai meghatároznak egy paralelogrammát. A mi esetünkben MENF paralelogramma és
ME = BD 2 , EN = AC 2, BD = AC, tehát MENF rombusz. Mivel ME ‖ BD, EN ‖ AC és
b) ABCD konvex négyszög, jelöljük E és F ponttal az AD, illetve BC oldal felezőpontját, G-vel az AC átló felezőpontját. Tudjuk, hogy G az EF szakaszon helyezkedik el. Ekkor EG az ADCΔ középvonala és GF az ABCΔ középvonala. Következik, hogy GE ‖ CD és GF ‖ AB, viszont G, E, F kollineárisak, így AB ‖ CD (két különböző egyenes, amelyek párhuzamosak egy harmadikkal, egymással is párhuzamosak), valamint ABCD trapéz vagy paralelogramma. AEB MN O
BD ⊥ AC, így ME ⊥ EN és MENF négyzet, tehát átlói kongruensek, EF = MN. Az előző leckéből tudjuk, hogy egy egyenlő szárú trapézban az alapok felezőpontjait tartalmazó egyenes az alapok felezőmerőlege. E és F az ABCD egyenlő szárú trapéz alapjainak felezőpontjai. Ebből következik, hogy EF az alapok felezőmerőlegese, tehát EF a trapéz magassága. Az (1)-t használva a magasság és a középvonal hossza megegyezik.
3. Alkalmazás: Legyen az MNPQ trapéz, ahol MN ∥ PQ, és A az MQ oldal felezőpontja. Az MN-nel párhuzamos d egyenes tartalmazza az A pontot és az NP oldalt a B pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy B az NP oldal felezőpontja!
Bizonyitás:
Tételezzük fel, hogy B az NP szakasznak nem felezőpontja!
Legyen D ez a pont. Ekkor AD a trapéz középvonala, és az 1. tétel szerint AD ∥ MN De d tartalmazza az A pontot, és párhuzamos az MN-nel, azaz A-n keresztül két párhuzamos egyenes haladna át, ami ellentmond az euklideszi axiómának
AB QP
A feltételezés téves volt, és B az NP oldal felezőpontja, AB pedig a trapéz középvonala. MN
Az ABCD trapéz alapjai AB és CD, AB = a, CD = 3·a, a ∈ ℕ* , EF középvonal, E ∈ AD, F ∈ BC, AC ⋂ EF ={ N } és BD ⋂ EF ={ M }. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Ha a = 4 cm, akkor a trapéz középvonalának hossza:
A. 7 cm; B. 8 cm; C. 6 cm; D. 10 cm.
30 p 2. Ha EF = 12 cm, akkor:
A. AB = 8 cm CD = 16 cm; B. AB = 4 cm CD = 20 cm;
30 p 3. Az „MN = EM + FN” kijelentés:
A. igaz; B. hamis.
Miniteszt Gyakorlatok és feladatok
1. Az ábrán egy ABEF téglalap látható. Nevezz meg két trapézt és azok középvonalát!
C. AB = 6 cm CD = 18 cm;
D. AB = 5 cm CD = 19 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
5. Az ABCD trapézban AB ‖ CD, E és F az AD, illetve BC oldal felezőpontja. Ha AEF∢ = 127° és
CFE∢ = 54°, számítsd ki a trapéz szögeinek mértékét!
6. Az MNPQ trapézban MN ‖ PQ, A az MQ oldal felezőpontja, B az AM szakasz felezőpontja, illetve C ∈ PN úgy, hogy CP = CN és D ∈ CN úgy, hogy
2. Adott az ABCD trapéz, amelynek nagyalapja AB Jelöljük az AD oldal felezőpontját M-mel és a BC oldal felezőpontját N-nel
a) Számítsd ki az MN szakasz hosszát, ha AB = 13 cm, CD = 9 cm b) Számítsd ki a CD, szakasz hosszát, ha AB = 16 cm, MN = 10 cm.
3. Az MNPQ trapézban MN∥PQ, az AB középvonal a trapéz átlóit a D illetve E pontban metszi.
CD = ND. a) Készíts egy rajzot a fenti adatoknak megfelelően! b) Ha MN = 8 cm és PQ = 2 cm, számítsd ki a BD szakasz hosszát!
7. Az EF szakasz az ABCD trapéz középvonala, E ∈ AD és F ∈ BC. P az E pont F szerinti szimmetrikusa.
Bizonyítsd be, hogy:
a) CP ≡ BE és CE ‖ BP ;
b) EP = AB + CD
8. Egy telek egy 180 méter kerületű egyenlő oldalú ABC háromszög.
a) Ha MN = 6 cm, PQ = 1 dm, akkor számold ki az AB, AD, DE, BE, AE szakaszok hosszát! b) Ha PQ = 14 cm, DE = 5 cm, akkor számold ki az MN és AB szakasz hosszát!
4. Az ABCD trapézban AD = 13 cm, AB = BC = CD = = 7 cm. Az AB egyenessel párhuzamos, a C ponton átmenő egyenes az M pontban metszi az AD egyenest, valamint a trapéz középvonala az N pontban metszi a CM-et és a P pontban a CD-t. Számítsd ki az NP szakasz hosszát!
Venczel nagyszülei megvásárolják a földterületnek azt a részét, amelyet az ABQP négyszög határol, ahol P az AC szakasz felezőpontja, Q pedig a BC szakasz felezőpontja.
Építenek egy MN utat, ahol M az AP szakasz felezőpontja, N pedig a BQ szakasz felezőpontja.
a) Számítsd ki a nagyszülők telkét körülvevő kerítés hosszát!
b) Határozd meg az MN gyalogút hosszát! AB C P M Q N
1.l. Ismétlés és kiegészítés
Emlékeztető
A hosszúság legfontosabb mértékegysége a méter.
A hosszúság kifejezhető méterben vagy a méter valamelyik többszörösében vagy törtrészében, a szövegkörnyezettől függően.
A méter többszörösei: dekaméter, hektométer, kilométer
A méter törtrészei: deciméter, centiméter, milliméter.
Egy geometriai alakzat kerülete az alakzat oldalai hosszának összege azonos mértékegységben kifejezve.
Egy sokszögű felület belseje a szögek belső tartományának metszete
Megjegyzés: A konvex négyszög belsejét egyszerűbben megkaphatjuk, ha metsszük két szemközti szög belső tartományát.
A sokszög belsejében lévő pontok a sokszögön lévő pontokkal együtt alkotják a sokszög felületét Egy sokszög területe a felületének megmérését jelenti, amelyet a sokszöget tökéletesen lefedő területegységek számával fejezünk ki.
A téglalap területe egyenlő a két szomszédos oldal hosszának szorzatával.
Ha az ABCD téglalap oldalainak hossza AB = CD = h és BC = AD = sz, akkor e téglalap területe az
AB · BC = BC · CD = CD · DA = DA · AB = h · sz szorzat értéke. Így írjuk: TABCD = h · sz.
A négyzet területe egyenlő a négyzet egyik oldala hosszának négyzetével.
Ha az ABCD négyzet oldalainak hossza AB = BC = CD = AD = l, akkor e négyzet területe
Egy paralelogramma átlóinak metszéspontja a paralelogramma szimmetriaközéppontja.
A téglalap, a rombusz és a négyzet is paralelogramma, így az átlóik metszéspontja mindegyikük szimmetriaközéppontja.
A téglalapban a szemben lévő oldalak felezőpontjai által alkotott egyenesek a téglalap szimmetriatengelyei.
A rombusz átlóinak tartóegyenesei a rombusz szimmetriatengelyei.
A négyzet egyszerre téglalap és rombusz, tehát négy szimmetriatengelye van.
Az egyenlő szárú trapézban az alapok felezőpontja által meghatározott egyenes a trapéz szimmetriatengelye.
Megjegyzés: • A trapéznak nincs szimmetriaközéppontja.
• Ha egy trapéz nem egyenlő szárú, akkor nincs egyetlen szimmetriatengelye sem.
Fedezzük fel, értsük meg!
Egy alakzat kerületének és egy felület területének fogalma könnyen kiterjeszthető általánosabb geometriai alakzatokra is. Ehhez megismerkedünk a sokszög fogalmával. A háromszög, a négyszög és a hatszög 3, 4, illetve 6 oldalú sokszög.
1. Értelmezés: Az n oldalú sokszög olyan zárt tört vonal, amely n szakaszból áll, és amelynek az a tulajdonsága, hogy bármelyik kettőnek legfeljebb egy közös pontja lehet.
A P1P2P3…P n sokszög esetén a: P1, P2, P3, ..., Pn pontok, ahol n ∈ ℕ, n ≥ 3 a sokszög csúcsai. Ezek a megadott sorrendben meghatározzak a P1P2, P2P3 , ..., P n P1 szakaszokat, amelyeket a sokszög oldalainak nevezünk.
2. értelmezés: Egy sokszög kerülete egyenlő az oldalai hosszának összegével ugyanabban a mértékegységben kifejezve.
Példa
Egy mértani alakzat területét becsülni tudjuk, ha közrefogjuk két, területegységekből álló hálózattal: az egyik teljesen lefedi az alakzatot, a másik pedig teljes mértékben az alakzat belsejében helyezkedik el.
Példa. A mellékelt ábrán látható ABCDE síkidom területe nagyobb, mint 6 területegység és kisebb, mint 27 területegység. Természetesen, ha minél kisebb oldalhosszúságú területegységekből álló hálózattal fedjük le, annál pontosabban meg lehet határozni a kért területet.
Intuitív módon könnyen levezethetjük, hogy bármely sokszögű felület felbontható diszjunkt háromszögfelületek egyesítésére.
Példa. Az ABCDEFGHI által határolt terület az ABI, BIH, BHC, BHC, BHC, CDE, ECF, FCG és GHC háromszögek egyesítése.
Megjegyzés:
• Ha két mértani alakzat kongruens, akkor a kerületük egyenlő.
• Ha két mértani alakzat kongruens, akkor területük egyenlő.
•
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Egy gazdálkodó a négyzet alakú földterületet - a mellékelt ábrán látható módon - két részre osztja, amelyeken búzát és kukoricát termeszt.
Tudjuk, hogy EF ∥ AB, AE = 7 dam, CF = 30 m, és a földterület nagyobbik részén kukoricát termeszt. Akkor
30 p 1. az EF szakasz hossza:
A. 37 m; B. 73 m; C. 100 m; D. 10 m.
30 p 2. a teljes földterület területe:
A. 1 ha; B. 10 ha; C. 1000 m2; D. 1000 dam2.
30 p 3. A kukorica és a búza termőterülete közötti különbség:
A. 4 m2; B. 40 m2; C. 400 m2; D. 4000 m2
Gyakorlatok és feladatok
1. András bejárja egy város történelmi központját, és az
A pontból az S1, S2, S3, S4 és S5 utcákon halad vissza a kiindulási ponthoz. Az utcákat szakaszok jelölik. Minden utca, a második utcától kezdve, 45 méterrel hosszabb, mint az előzőleg bejárt utca. Ha tudjuk, hogy az S4 310 m hosszú, számítsd ki az András által megtett útvonal hosszát!
2. Egy téglalap mérete 8 cm és 1,2 dm. Számítsd ki annak a négyzetnek a területét, amelynek kerülete megegyezik a téglalap kerületével!
3. Az ABCD téglalapban BD = 15 cm. Ha az ABC háromszög kerülete 36 cm, számítsd ki a téglalap kerületét!
4. Egy négyzet alakú telket a négyzet egyik oldalával párhuzamos két egyenessel három téglalap alakú területre osztunk. Tudva, hogy mindegyik téglalap kerülete 80 dam, számítsd ki: a) a négyzet oldalhosszát; b) az egyes téglalap alakú részek területét és a telek területét, az eredményeket hektárban kifejezve!
5. Az ABCD négyzet területe 144 m2 , az MNPQ négyzet oldalhossza MN = 2 ·AB. Számítsd ki az MNPQ négyzet kerületét és területét!
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
6. A mellékelt ábrán MNPQ egy téglalap, MN = 1,(3) · NP = 16 cm, ME = EN, NF = FP, PG = GQ, QH = HM. a) Számítsd ki az MNPQ, MNFH, EGPN négyszögek kerületét! b) Számítsd ki az MNPQ, MNFH, EGPN négyszögek területét!
7. Az alábbi ábrán az ABCD egy téglalap, és a színes rész területe 864 cm2. Számítsd ki az ábrán szereplő téglalapok mindegyikének területét! D A C B M N E x x y y G 2x 2y H F
8. Az ABCD négyzet AB és CD oldalait meghosszabbítjuk a BE és CF szakaszokkal, amelyek hossza a négyzet oldalhosszának 25 százaléka. Számítsd ki a négyzet területét, tudva, hogy az AEFD négyszög kerülete 108 cm!
9. Az Otopeni uszodakomplexumban van egy téglalap alakú olimpiai úszómedence, 10 egyforma sávval, amelyeket elhanyagolható vastagságú korlátok választanak el egymástól, és mindegyik sáv 2,5 m széles. A 400 m-es versenyen részt vevő sportolónak 8 hosszat kell úsznia a medencében. Számítsd ki a medence kerületét és a medence felszínének területét!
2.l. A paralelogramma kerülete és területe
Fedezzük fel, értsük meg!
A paralelogramma kerülete az oldalai hosszának összege. Ha felhasználjuk azt a tényt, hogy a párhuzamosok ellentétes oldalai kongruensek, akkor az ABCD paralelogramma kerülete K = 2 (AB + BC).
Adott az ABCD paralelogramma.
Az AB és CD párhuzamos egyenesek közötti távolságot a paralelogramma AB (vagy CD) oldalához tartozó magasságának nevezzük, ami az EF szakasz hossza, ahol E ∈ AB, F ∈ CD, AB ⊥ EF ⊥ CD. Hasonlóképpen, az AD és BC párhuzamos egyenesek közötti távolságot a paralelogramma AD (vagy BC) oldalához tartozó magasságának nevezzük, ami a GH szakasz hossza, ahol G ∈ AD, H ∈ BC, AD ⊥ GH ⊥ BC.
Megjegyzés: Általában olyan magasságát válasszuk ki a paralelogrammának, amely tartalmazza az egyik csúcsát.
Alkalmazás: A téglalap területének képletét felhasználva következtessük ki a paralelogramma területének képletét!
Tekintsük az ABCD paralelogrammát. Megszerkesztjük a DE ⊥ AB, E ∈ AB és CF ⊥ AB, F ∈ AB. Mind a DE, mind a CF az AB oldalnak megfelelő magasságok.
a) Az az eset, amikor E (vagy F) az AB szakaszon található.
AD ≡ BC-ből (a paralelogramma szemben lévő oldalai) DAE∢ ≡ CBF∢ (a BC és AD párhuzamosok által az AB szelővel alkotott megfelelő szögek), és az Á.H. eset alapján DAEΔ≡ CBFΔ.
De, EF∥CD és DE∥CF (ugyanarra az egyenesre merőlegesek) és
CDE∢ = 90°, tehát EFCD egy téglalap, és területe TEFCD = EF · CF.
Mivel EF = EB + BF = EB + AE = AB azt kapjuk, hogy TEFCD = AB · CF.
Következésképpen, TABCD = AB · hAB, ahol hAB = DE = CF az AB oldalnak megfelelő magasság.
b) Az az eset, amikor E és F pont is az AB szakasz meghosszabbításán található.
Az ADE és BCF háromszögek kongruensek (Á.H.), tehát a területek egyenlőek:
TADE∆ = TBCF∆.
Az ADE háromszög alakú felületet felbontjuk az MEFC és BME részekre.
Akkor, TADE∆ = TABMD + TBME∆ és TBCF∆ = TEFCM + TBME∆. Mivel TADE∆ = TBCF∆, akkor TABMD = TEFCM
Másrészt az ABCD paralelogramma felülete felbontható az ABMD és MDC részekre, a DCFE téglalap felszíne pedig az EFCM és MDC részekre. Akkor
TABCD = TABMD + TMDC∆ és TDCFE = TEFCM + TMDC∆. Tehát TABCD = TDCFE = EF · FC
De AE = BF, tehát EF = BF – BE = AE – BE = AB és azt kapjuk, hogy TABCD = AB · FC vagy TABCD = AB · hAB.
Jegyezd meg!
A paralelogramma területe egy oldal hosszának és az oldalhoz tartozó magasságnak a szorzata.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABCD paralelogramma kerülete 70 cm és AB BC = 2 5 . Akkor:
A. AB = 20 cm; BC = 50 cm.
B. AB = 10 cm; BC = 35 cm.
C. AB = 10 cm; BC = 25 cm.
D. AB = 8 cm; BC = 20 cm.
30 p 2. Egy paralelogramma oldalainak hossza 6 cm illetve 4 cm és egyik szögének mértéke 30°.
A paralelogramma területe:
A. 24 cm2; B. 12 cm2; C. 10 cm2; D. 18 cm2.
30 p 3. Az EFGH paralelogramma területe 24 cm2, valamint EA és EB a paralelogramma magasságai,
A ∈ FG, B ∈ GH. Ha EA = 3 cm, EB = 4 cm, akkor a paralelogramma kerülete:
A. 14 cm; B. 7 cm; C. 24 cm; D. 28 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc
Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok
és feladatok
1. Az ABCD paralelogrammában A∢ = 60°, BD = AB = 7 cm. Számítsd ki a paralelogramma kerületét!
2. Az EFGH paralelogramma átlói FH ⊥ EF, E∢ = 60° és FG = 10 cm. Számítsd ki a paralelogramma kerületét!
3. Aletta matekfüzetében egy MNPQ téglalap látható, ahol MN = 8 cm, MQ = 6 cm. Aletta meghosszabbítja az MN és PQ oldalakat az MA = PB = 2 cm-es szakaszokkal. Határozd meg az ANBQ négyszög természetét, és számítsd ki a területét.
A Q M P N B
4. ABCD paralelogramma, AC ∩ BD ={O}, KAOB = 13 cm és KBOC = (7 + 3 3 ) cm. Állapítsd meg, hogy „Az AB oldal nagyobb, mint a BC oldalˮ állítás igaz vagy hamis!
5. Az ABCD paralelogramma AB és CD oldalain felveszünk olyan M és N pontot, hogy AM ≡ CN. Bizonyítsd be, hogy: a) TABND = TCDMB; b) TAMND = TBMNC = 1 2 TABCD.
6. Az alábbi ábrán d ∥ AB, C, D ∈ d, CD ≡ AB és TABC = 15 cm2. d D
A C B
a) Számold ki az ABCD négyszög területét!
b) Ha CD = 2,5 cm, számold ki az A pont távolságát a d egyenestől!
7. Az ABCD paralelogramma átlóinak metszéspontján, az O-n keresztül szerkesszünk egy d egyenest, amely az AD és BC oldalakat az M és N pontokban metszi. Igazold, hogy TABNM = TCDMN.
8. Hosszabbítsuk meg az ABCD négyzet AB oldalát a BE ≡ CD szakasszal. Tudva, hogy AB = 4 cm, számítsd ki:
a) a CE szakasz hosszát;
b) a BECD négyszög kerületét és területét!
9. Az MNPQ paralelogramma kerülete 42 cm. Határozd meg:
a) az MN szakasz hosszát, ha NP = 9 cm; b) a PQ és QM szakaszok hosszát, ha
MN NP = 1 cm; c) a PQ hosszát, ha MN + NP + PQ = 37 cm.
3.l. A háromszög kerülete és területe
Emlékeztető
A háromszög kerülete
Ha az ABC háromszög oldalainak hossza AB = c, BC = a, AC = b, akkor a háromszög kerülete az a + b + c összeg. Így írjuk: KABC = a + b + c. Megjegyzés: gyakorlatban találkozunk olyan feladatokkal, ahol szükségünk van egy háromszög fél kerületére, azaz pABC abc 2 .
Fedezzük fel, értsük meg!
1. Alkalmazás: Tekintsük az ABC háromszöget. Jelöljük A'-tel az A csúcsnak a BC oldal felezőpontja szerinti szimmetrikusát, B'-tel a B csúcsnak az AC oldal felezőpontja szerinti szimmetrikusát, C'-tel pedig a C csúcsnak az AB oldal felezőpontja szerinti szimmetrikusát.
a) Igazold, hogy az ABA′C, BCB′A és CAC′B négyszög paralelogramma!
b) Hasonlítsd össze az ABA′C, BCB′A és CAC′B négyszögek területét!
c) Indokold, hogy egy háromszög oldalának és a hozzá tartozó magasságnak a szorzata állandó!
d) A fenti eredmények felhasználásával határozd meg a háromszög területének képletét.
Megoldás:
a) A csúcsoknak a szemközti oldalak felezőpontja szerinti szimmetrikusai az A′ , B′ és C′ pontok. Ez eredményezi, hogy az ABA′C, BCB′A és CAC′B alakzatok átlói felezik egymást, tehát ezek paralelogrammák.
b) Ha AA′′⊥ BC, A′′∈ BC, akkor TABCB′ = BC ⋅ AA′′ = TBCAC′.
Ha BB′′⊥ AC, B′′∈ AC, akkor TBCAC′ = AC ⋅ BB′′ = TBACA′. Ha CC′′⊥ AB, C′′∈ AB, akkor TBACA′ = AB ⋅ CC′′ = TABCB′, tehát TBCAC′ = TBACA′ = TABCB′
c) Mivel TBCAC′ = TBACA′ = TABCB′ , akkor BC ⋅ AA′′ = AC ⋅ BB′′ = AB ⋅ CC′′ . A BC = a, AC = b, AB = c, AA′′ = hA, BB′′ = hB, CC′′ = hC, hagyományos jelölésekkel a fenti egyenlőségek így alakulnak: a ⋅ hA = b ⋅ hB = c ⋅ hC,, vagyis az egyik oldal és a hozzátartozó magasság szorzata állandó.
d) A BC = a, AC = b, AB = c, AA′′ = hA, BB′′ = hB, CC′′ = hC, hagyományos jelölésekkel az ABC háromszög
területe : TABC ahbhch ABC 22 2 (*)
Megjegyzés: Az oldalt és a megfelelő magasságot megválaszthatjuk előnyösen (azt, amelyet ismerünk vagy könnyen kiszámíthatunk). Különösen a derékszögű háromszögben a két befogó közül az egyiket választhatjuk magasságnak, így a következő állítást kapjuk: A derékszögű háromszög területe egyenlő a befogók szorzatának a felével. (**)
Bármely háromszög területe egyenlő az egyik oldal hosszának és a hozzá tartozó magasságnak a szorzatával. Jegyezd meg!
Alkalmazás
1. Alkalmazás: A derékszögű háromszög területe
Bizonyítsd be a (**) kijelentést. Használd a téglalap területének képletét!
Megoldás:
Emlékeztető: Egy téglalap területe egyenlő a két szomszédos oldal hosszának szorzatával. Tekintsük az ABC derékszögű háromszöget, B∢ = 90°.
Megszerkesztjük az ABCD téglalapot. Az AC átló az ABC és CDA derékszög háromszögek közös átfogója. Az ABCD felület az ABC és a CDA diszjunkt felületek belsejének egyesítése, tehát TABCD = TABC + TCDA
Mivel ABC∆ ≡ CDA∆, akkor TABC = TCDA és TABCD = 2 · TABC = 2 · TCDA
De TABCD = AB · BC, vagyis 2 · TABC = AB · BC, ami alapján
TABC ABBC 2 , ahol AB és BC az ABC háromszög befogói.
2. Alkalmazás: A derékszögű háromszög területére vonatkozó (**) képlet segítségével bizonyítsd be a (*) állítást, amit egy hegyesszögű háromszög területének kiszámítására használsz.
Megoldás:
Adott az ABC hegyesszögű háromszög, melynek magasságai AA1, BB1, CC1
Mindegyik magasság az ABC háromszöget két diszjunkt derékszögű háromszög alakú részre osztja.
Az ábra jelöléseit használva, hA= AA1, hB = BB1, hC = CC1, igazak az alábbi egyenlőségek:
A derékszögű háromszög területére vonatkozó (**) képlet segítségével bizonyítsd be a (*) állítást, amit egy tompaszögű háromszög területének kiszámítására használsz.
Megoldás: Adott az ABC tompaszögű háromszög, A∢ > 90°, magasságai AA1, BB1, CC1.
Az AA1 magasság az ABC háromszöget az AA1B és AA1C derékszögű háromszög alakú részre osztja. Jelöljük hA = AA1. Akkor
A BB1 magasság a BB1C és BB1A derékszögű háromszögek közös befogója. Akkor az ABC területe egyenlő két derékszögű háromszög területének különbségével. Jelöljük h B = BB 1 .
Akkor TABC = TBB1C + TBB1A, vagyis TABC 1111 () 2222 BBBB ABC CBhABhCBABhACh A ⋅⋅−⋅⋅
Hasonlóan: TABC = TCC1B + TCC1A, 11
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az egyenlő szárú háromszög egyik oldalának hossza 3 cm és kerülete 13 cm. A háromszög alapjának hossza:
A. 6,5 cm; B. 3 cm; C. 5 cm; D. 10 cm.
30 p 2. Az ABC háromszögben AB = 10 cm, BC = 8 cm, CA = 12 cm, és DE pedig középvonal, D ∈ AB, E ∈ BC. A BDE háromszög kerülete egyenlő
A. 15 cm; B. 12 cm; C. 18 cm; D. 26 cm.
30 p 3. A rajz egy 16 cm x 9 cm méretű téglalap alakú felületet ábrázol. A piros színű rész ugyanakkora területű, mint a kék színű rész. A kék színű rész területe:
A. 72 cm2; B. 54 cm2; C. 36 cm2; D. 27 cm2.
Miniteszt Gyakorlatok és feladatok
1. Szerkessz egy 8 cm-es oldalhosszú egyenlő oldalú háromszöget és annak középvonalait. Számítsd ki a háromszög kerületét, valamint ennek és a háromszög középvonalai által meghatározott háromszög kerületének arányát!
2. Az alábbi ábrán látható ABC háromszög kerülete 21 cm és AB = AC. Határozd meg az x számot! B C x cm (x + 3) cm A
3. Számítsd ki az alábbi ábrákon látható háromszögek területét!
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
7. Az alábbi ábrán az ABCD téglalap látható, AB = 24 cm, BC = 16 cm, BE = 2 · AE és
CG = GF = DF. Számold ki:
a) az ABCD téglalap területét;
b) az ADF, AGB, ACE háromszögek területét!
AB 17cm 15cm
4. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója 10 cm. Számítsd ki az átfogóhoz tartozó magasságot, majd a háromszög területét!
5. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 6 cm és 8 cm.
a) Számítsd ki a háromszög kerületét és területét!
b) Számítsd ki az átfogóhoz tartozó magasságot!
6. Számold ki az ABC háromszög területét, ha AB = 6 cm, BC = 1 dm, ABC∢ = 150°.
8. a) Az ABC háromszögben legyen M a BC szakasz felezőpontja. Igazold, hogy az ABM és ACM háromszögek területe egyenlő!
b) Legyen P az ABC háromszög BC oldalának egy pontja. Igazold, hogy T T BP CP ABP ACP
9. Az ABC háromszög területe 20 cm2, M a BC oldal felezőpontja, AP ⊥ BC, P ∈ BC, P ≠ M és BC = 10 cm.
a) Számold ki az AMC háromszög területét!
b) Határozd meg az AP szakasz hosszát!
c) Ha BAC∢ = 90 ° , számold ki az AMP háromszög területét!
10. Az ABCD paralelogramma, és AC ∩ BD = {O}.
a) Igazold, hogy TAOB = TBOC = TCOD = TDOA
b) Ha TABC = 12 cm2, számold ki TABCD
c) Ha TABCD = 18 cm2, számold ki TAOBCD!
4.l
.
A rombusz kerülete és területe
Fedezzük fel, értsük meg!
Adott az ABCD rombusz. Ekkor AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA és kerülete K = 4 ⋅ AB.
A rombusz egy paralelogramma, tehát a rombusz területe az egyik oldal hosszának és a hozzá tartozó magasságának a szorzata.
A rombusz átlóinak merőlegessége alapján meghatározható a rombusz sajátos területképlete.
Az ABCD rombusz AC és BD átlóinak segítségével a rombuszt négy háromszög alakú részre bontjuk.
A rombusz átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra.
A B.B. kongruencia eset alapján kijelenthetjük, hogy a négy derékszögű
Háromszög kongruens, tehát területük egyenlő.
TABCD = 4 · TAOB 4 22 AOOBACBD . Ha az átlók hosszára azAC = d1 és
BD = d2, jelölést használjuk, akkor TABCD dd12 2 . (1) A
Jegyezd meg!
A rombusz területe egyenlő az átlók hosszának félszorzatával.
Alkalmazás
Alkalmazás: Bizonyítsd be, hogy az (1) képlet alkalmazható minden olyan konvex négyszög esetében, amelyekben az átlók merőlegesek egymásra.
Bizonyitás:
Adott az ABCD négyszög, ahoAC ⊥ BD, és fie {M} = AC ∩ BD. A négyszög átlói a négyszöget felosztják két-két háromszög alakú részre.
Így, TABCD = TABC + TADC = ACMBACMDACBD 222 .
Azt kaptuk, hogy TABCD ACBD 2 , vagyis TABCD dd12 2 .
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Az ABCD négyszög rombusz, AC ⋂ BD ={O}.
30 p 1. Ha ABC∢ = 60° és AC = 4 cm, akkor a rombusz kerülete:
A. 8 cm; B. 24 cm; C. 12 cm; D. 16 cm.
30 p 2. Ha ABC háromszög területe 15 cm2, akkor a rombusz területe:
A. 7,5 cm2; B. 60 cm2; C. 30 cm2; D. 45 cm2
30 p 3. Ha AO = 3 cm és a rombusz területe 24 cm2, akkor a BD szakasz hossza:
A. 8 cm; B. 4 cm; C. 12 cm; D. 6 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Az ABCD rombuszban AC ∩ BD ={O}. Számold ki a rombusz kerületét, ha:
a) AC = 6 cm, ABC∢ = 60°;
b) BO = 2,5 cm, BCA∢ = 30°;
c) AC = 6 cm, BD = 8 cm.
2. Az EFGH rombuszban EG ∩ FH ={O}. Számold ki a rombusz területét, ha:
a) EG = 6 cm, FH = 8 cm;
b) EO = 5 cm, FH = 24 cm;
c) EF = 15 cm, FO = 12 cm.
3. Számold ki a rombusz területét tudva, hogy kerülete 48 cm és egyik szögének mértéke 150°.
4. Az ABCD téglalap méretei AB = 12 cm, BC = 8 cm, és M, N, P, Q az AB, BC, CD, illetve DA oldal felezőpontja.
a) Bizonyítsd be, hogy MNPQ rombusz!
b) Számold ki az MNPQ rombusz területét, valamint e rombusz és a téglalap területének arányát!
5. Az alábbi ábrán látható ABCD téglalapban AB = 36 cm, BC = 16 cm. A színezett részek kongruens rombuszok. Számold ki a téglalap és az egyik rombusz területét!
6. Számold ki a mellékelt ábrán látható négyszögek kerületét és területét!
a) EG ∩ FH = {O}, EG ⊥ FH, OF = OH = 3 cm, OE = OG. G O F E H
120°
b) SQRT rombusz és SR = 4 cm.
45° T R Q S
7. ABCD rombusz, P az AD oldal felezőpontja, valamint TABP = 14 cm2. Számold ki a rombusz területét!
8. Adott az ABC egyenlő szárú háromszög. Legyen D, E és F az AB,BC illetve AC oldal felezőpontja, AB ≡ AC, BC = 8 cm, AE = 6 cm.
a) Határozd meg az ADEF négyszög természetét!
b) Számold ki az ADEF négyszög területét!
5.l. A trapéz kerülete és területe
Fedezzük fel, értsük meg!
A trapéz egy négyszög. Ezért az ABCD trapéz kerülete K = AB + BC + CD + DA. A BD átló segítségével a trapézt az ABD és CBD háromszög alakú diszjunkt részekre bontjuk. TABCD = TABD + TCBD. E-vel és F-fel jelöljük a D csúcsból AB-re, illetve a B csúcsból CD-re húzott merőlegesek talppontját. Mivel AB ∥ CD, ebből következik, hogy DE = BF a trapéz h magassága. Alkalmazzuk a háromszög területképletét. Tehát: TABCD
ABDECDBFABCDh 222 ()
Ha a nagyalapot B-vel, a kisalapot b-vel, valamint az alapok közötti távolságot (a trapéz magassága) h-val jelöljük, akkor TABCD ()Bbh 2 .
Feladat a portfólióba
Egy téglalap oldalhosszai 12 cm és 6 cm. Vágd fel a téglalapot két trapéz alakú részre úgy, hogy mindkét trapéznak legyen egy 6 cm hosszú alapja, valamint az egyik területe a másik kétszerese legyen.
A trapéz területe egyenlő az alapok hosszának összegének és a magasság szorzatának a felével. Jegyezd meg!
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Egy egyenlő szárú trapéz nem párhuzamos oldalainak hossza 6 cm, középvonalának hossza pedig 9 cm. A trapéz kerülete:
A. 21 cm; B. 24 cm; C. 30 cm; D. 36 cm.
30 p 2. Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza 14 cm, illetve 8 cm és egyik szögének mértéke 45°. A trapéz területe:
A. 66 cm2; B. 64 cm2; C. 44 cm2; D. 88 cm2.
30 p 3. A négyzetrács minden négyzetének oldala 1 cm. Az ábrázolt trapéz területe egyenlő:
A. 12 cm2; B. 10 cm2; C. 9 cm2; D. 31 cm2
Gyakorlatok és feladatok
1. Az ABCD egyenlő szárú trapézban AB ∥ CD, AB = 4 cm, CD = 10 cm, a kerülete pedig 24 cm. Számold ki az AD és BC oldal hosszát!
2. Számold ki a trapéz területét, ha középvonalának hossza 20 cm, magassága pedig 3,5 cm!
3. Az MNPQ derékszögű trapéz alapjai MN = 12 cm és PQ = 18 cm, valamint N∢ = 135°.
a) Határozd meg a trapéz magasságát!
b) Számold ki a trapéz és az MPQ háromszög területét!
4. Egy egyenlő szárú trapéz területe 400 dm2, alapjainak aránya 1 3 , a magassága pedig az alapok számtani közepe.
a) Számold ki a trapéz alapjainak és magasságának hosszát!
b) Igazold, hogy a trapéz kerülete nagyobb, mint 84 dm!
5. Az ABCD trapézban AB ∥ CD, az O az átlók metszéspontja. Bizonyítsd be, hogy az AOD és BOC háromszögek területe egyenlő!
6. ABCD trapéz, AB ∥ CD, DE ⊥ AB, CF ⊥ AB, E, F ∈ AB. Számold ki a trapéz területét és kerületét az alábbi esetek mindegyikében:
a) 4cm 6cm15cm 8cm AEFB DC b) AEFB DC
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
7. Az ABCD trapézban AB ∥ CD, AC ⊥ BD, AC ∩ BD = = {O}, AB = 12 cm, CD = 8 cm.
a) Határozd meg az O pont távolságát az AB egyenestől!
b) Számold ki a trapéz magasságának hosszát és a trapéz területét!
8. Az alábbi ábrán ABCD derékszögű trapéz, EF ∥ AB és FG ∥ BC. 6cm 6cm 12cm12cm 12cm AGB EF DC
a) Igazold, hogy az A, F, C pontok kollineárisak!
b) Számold ki az ABCD, CDEF, AEFG és BCFG négyszög területét!
9. A Szonja házához legközelebbi park trapéz alakú, BAD∢ = ABC∢ = ACD∢ = 90°. Minden egyes szakasz egy-egy sétányt jelöl, a sétányok hosszát pedig méterben fejezzük ki.
900 12002000
AD BC
a) Számold ki az AD sétány hosszát és a park területét! Használd az ábra adatait!
b) Számítsd ki, hogy Szonja mennyi idő alatt jut el A pontból C pontba 4,8 km/h átlagsebességgel az A – C; A – D – C és az A – B – C útvonalak mindegyikén!
Hivatalból: 10 pont Munkaidő: 50 perc
I. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
5p 1. Egy konvex négyszög szögeinek mértéke (2x)°, (3x)°, (6x)°, (7x)°. Az x szám értéke:
A. 25; B. 20; C. 35; D. 30.
5p 2. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, BC = 18 cm és M az átfogó felezőpontja. Ha D az A pontnak az M szerinti szimmetrikusa, akkor az AD szakasz hossza:
A. 9 cm; B. 4,5 cm; C. 12 cm; D. 18 cm.
5p 3. ABCD rombusz és A∢ = 72°. A CBD szög mértéke:
A. 18°; B. 36°; C. 54°; D. 72°.
5p 4. Az MNPQ, négyszög téglalap, MN = 10 cm és MNQ∢ = 30°. A P pontnak az NQ egyenestől mért távolsága:
A. 5 cm; B. 10 cm; C. 7,5 cm; D. 20 cm.
5p 5. A DEFG négyszög négyzet, DF átlóján felvesszük a P pontot úgy, hogy DP = DE. A PEF szög mértéke:
A. 30°; B. 22°30′ ; C. 45°; D. 12°30′
5p 6. Az MNPQ négyszög rombusz, MP = 3,5 cm és NPQ∢ = 120°. A rombusz kerülete:
A. 21 cm; B. 7 cm; C. 14 cm; D. 10,5 cm.
5p 7. ABCD trapéz, A∢ = 90°, B∢ = 45°, AB = 2·CD =12 cm. A trapéz területe:
A. 36 cm2; B. 42 cm2; C. 48 cm2; D. 54 cm2
5p 8. Az MNP egyenlő oldalú háromszög kerülete 24 cm. Az NA és PB oldalfelezőket meghosszabbítjuk az AC = NA illetve a BD = PB szakaszokkal. A CD szakasz hossza:
A. 16 cm; B. 8 cm; C. 12 cm; D. 18 cm.
II. Írd le a teljes megoldást!
1. Az ABCD négyszög téglalap, AB = 10 cm, BC = 7,5, a BM félegyenes az ABC szög szögfelezője, M ∈ CD, valamint CN ⊥ BM, N ∈ AB. Számold ki:
10p a) a BCMN négyszög kerületét;
10p b) az AMN háromszög területét!
2. Adott az ABCD paralelogramma, ahol AB = 12 cm, BC = 8 cm és ABC∢ = 135°. A paralelogramma külső tartományában megszerkesztjük az ABMN és az ADEF négyzeteket.
10p a) Határozd meg az EDC szög mértékét!
10p b) Bizonyítsd be, hogy az E, A, N kollineáris pontok!
10p c) Bizonyítsd be, hogy EN > 21 cm!
5.1. Kerületi szög • Külső pontból húzott érintők
1.l. Húrok és körívek tulajdonsága
El tudnátok-e képzelni a mindennapi életet kör alakú tárgyak nélkül? London kihagyhatatlan attrakciója a London Eye. Az óriáskerék átmérője 120 méter, 80 küllője, 32 zárt, légkondicionált utasfülkéje van, amelyek a kerék külső széléhez vannak rögzítve. A fülkéket 1-től 33-ig számozták meg, a 13-as számot átugrották.
Emlékeztető
A kör a sík azon pontjainak halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak egy rögzített ponttól, amit a kör középptontjának nevezünk. A kör középpontját általában O-val jelöljük.
A kör középpontja és egy tetszőleges pontja közötti távolságot a kör sugarának nevezzük, és R-rel jelöljük.
A kör két pontját összekötő szakaszt húrnak nevezzük.
Az olyan húrt, amely tartalmazza a kör középpontját, átmérőnek nevezzük.
A kör azon részét, amely egy húr tartóegyenesének egyik oldalán helyezkedik el, és a húr végpontjait is tartalmazza, körívnek nevezzük.
A kör bármely két különböző pontja meghatároz a körön két körívet. Ha meg szeretnénk különböztetni a két azonos végpontú körívet, jelölhetjük őket három betűvel.
Egy átmérő két egyforma körívet határoz meg, ezeket félköröknek nevezzük.
Egy olyan szöget, amelynek csúcsa a kör középpontjában van, középponti szögnek nevezünk.
A kör két tetszőleges pontja esetén a kis körív mértéke egyenlő a hozzá tartozó középponti szög mértékével.
A fenti ábrán:
A rögzített O ponttól R távolságra található pontok alkotják az O középpontú, R sugarú kört. A kört így jelöljük: C (O, R )
A körön megjelöltük az A, B, M, N és P pontot.
AO = BO = MO = NO = PO = R.
MN és MP húr.
MP húr és O ∈ MP, tehát MP átmérő.
MP = d = MO + ON = 2· R .
Az M és N pont esetén a kisebbik és nagyobbik
MN körívet MN .-nel jelöljük. Rendszerint MN -nel a kis körívet jelöljük. Az M és N végpontú nagy körív tartalmazza az A, B és P pontot, ezért a nagy körívet így jelölhetjük: MPN vagy MAN vagy MBN
Az MP átmérő meghatározza az MNP és MAP . félköröket.
AOB∢ középponti szög.
AB =AOB∢ MP = 180°, ha MOP∢ =180°.
Eszter és Petra nézi a London Eye óriáskereket, és beszélgetnek:
– Petra, ha az M pontban található a 8-as fülke, az N pontban pedig a 17-es fülke, mennyivel egyenlő az MN kis körív mértéke?
– Értem, Eszter, ki akarod próbálni, tudom-e, hogy az óriáskeréken nincs 13-as fülke, azaz a 8-as és 17-es között 7 fülke van 8 helyett.
– Bravó! Azt jelenti, hogy a 8-assal és 17-essel együtt 9 fülkét kell figyelembe vennünk. Ezek összesen 8 kongruens szöget határoznak meg, mindegyik mértéke egyenlő a teljes kör 32-ed részével.
– Helyes, akkor számoljunk! 360 : 32 = 11,25. Ez azt jelenti, hogy két szomszédos fülke által meghatározott középponti szög mértéke 11°15'. Tehát az MN kis körív mértéke 8·11°15′ = 90°.
Mit gondolsz, Eszter, ki tudják számolni az osztálytársaink, hányas számú a P pontnál található fülke?
Figyeljétek meg az ábrát, határozzátok meg a P pont helyzetét, végezzétek el a szükséges számításokat és válaszoljatok a barátnők kérdésére!
1. Értelmezés: Az egyenlő sugarú köröket kongruens köröknek nevezzük.
Két kongruens kör kölcsönös helyzete:
külső körök külső érintő körök metsző körök egybeeső körök (koncentrikus, kongruens körök)
2. Értelmezés: Egy körben vagy két kongruens körben két körív kongruens, ha a mértékük egyenlő. Az
AB és CD kongruens ívek esetén így jelöljük: ABCD
Megjegyzés: Annak, hogy két körív kongruens legyen egymással, nem elégséges feltétele, hogy a húrok mértéke egyenlő legyen. Lényeges feltétel az is, hogy a körívek ugyanahhoz a körhöz, vagy kongruens körökhöz tartozzanak.
Alkalmazás
1. Tétel: Ha
Ellenpélda
A mellékelt ábrán AB = 90° és
CD
= 90° de a két körív mégsem kongruens egymással.
Hasonló tulajdonságokkal a szakaszoknál és a szögeknél is találkoztunk.
2. tétel
(i) Ugyanabban a körben vagy kongruens körökben, kongruens húrokhoz kongruens körívek tartoznak.
(ii) Ugyanabban a körben vagy kongruens körökben, kongruens körívekhez kongruens húrok tartoznak.
Bizonyítás:
(i) A feltételnek megfelelően a C (O, R) körben A, B, C és D négy pont, és AB ≡ CD. Az OAB és OCD háromszögben OA ≡ OB ≡ OC ≡ OD (a kör sugarai), továbbá AB ≡ CD (feltétel szerint). Következik, hogy OABΔ ≡ OCDΔ (O.O.O. kritérium),
tehát AOB∢ ≡ COD∢ és ABCD ≡ .
(ii) Ha A, B, C, D ∈ C (O, R), ABCD ≡ , akkor AOB∢ ≡ COD∢. Az OABΔ és OCDΔ háromszögben AO ≡ CO, BO ≡ DO. Az O.Sz.O. egybevágósági kritérium szerint OABΔ ≡ OCDΔ, tehát AB ≡ CD
3. tétel
(i) Ha egy kör valamely átmérője merőleges egy húrra, akkor a húrt és a hozzá tartozó két körívet (a kis körívet és a nagy körívet) kongruens részekre osztja.
(ii) Ha egy kör valamely átmérője egy húrt vagy a húrhoz tartozó köríveket kongruens részekre osztja, akkor az átmérő merőleges a húrra.
Bizonyítás: Adott A, B, E, F ∈ C(O, R), O ∈ EF és EF ∩ AB = {D}. (i) Ha EF ⊥ AB, akkor az ADO és BDO háromszögek derékszögűek és kongruensek egymással (átfogó-befogó eset): OD ≡ OD (közös oldal) és AO ≡ BO (a kör sugarai).
Következik, hogy AD ≡ DB és AOD∢ ≡ BOD∢, tehát AFFB ≡
Az EAF és EBF körívek félkörök, ezért AEAFBFBE 180180 . (ii) A feltétel szerint az átmérő tartalmazza a húr felezőpontját vagy a húr által meghatározott valamely körív felezőpontját. Ennek megfelelően, az AOB egyenlő szárú háromszögben az átmérő tartalmazza az alaphoz tartozó oldalfelezőt és a szárak által meghatározott szög szögfelezőjét. Akkor az átmérő tartalmazza az alapjához tartozó magasságot is. Következik, hogy EF⊥ AB, tehát az átmérő merőleges a húrra.
4. Tétel: Egy kör két húrja akkor és csakis akkor kongruens egymással, ha a kör középpontjától egyenlő távolságra helyezkednek el.
Bizonyítás: Adott A, B, C, D ∈ C (O, R ) , OE ⊥ AB, E ∈ AB és OF ⊥ CD, F ∈ CD OE és OF merőlegesek a húrokra, ezért E és F az AB illetve CD húr felezőpontja, vagyis AB = 2·BE és CD = 2·CF Ha AB ≡ CD, akkor BE ≡ CF és BEOΔ ≡ CFOΔ (átfogó-befogó eset). Következik, hogy OE ≡ OF, tehát d(O, AB) = d(O, CD). Fordítva, ha d(O, AB) = d(O, CD), vagyis OE ≡ OF, akkor BEOΔ ≡ CFOΔ (átfogóbefogó eset). Következik, hogy BE ≡ CF, tehát AB ≡ CD.
5. Tétel: Egy körön két párhuzamos egyenes között található húrok kongruensek egymással.
Bizonyítás: A, B, C, D négy pont a C (O, R) körön úgy, hogy AB ∥ CD. Megszerkesztjük OE ⊥ AB és OE ∩ AB = {F }. Mivel AB ‖ CD következik, hogy OF ⊥ DC. Az ABO és CDO háromszögek egyenlő szárúak (OA = OB = OC = OD = R), OE illetve OF, az alapokhoz tartozó magasságok, tehát szögfelezők is. Következik, hogy O1∢ ≡ O2∢ és O4∢ ≡ O5∢. Az OE és OF ellentétes félegyenesek, tehát
O3∢ = 180° − O2∢ − O4∢ = 180° – O1∢ − O5∢ = O6∢. Tehát BCAD ≡ , azaz BC ≡ AD
1. Alkalmazás: Adott a C(O, R) körön három pont: A, B, C, továbbá AD ⊥ BC, D ∈ BC A DAO∢ szögfelezője E-ben metszi a kört.
Igazoljuk, hogy BECE ≡ .
Bizonyítás: AOEΔ egyenlő szárú (AO = OE = R) tehát EAO∢ ≡ AEO∢. AE az DAO∢ szögfelezője és EAO∢ ≡ EAD∢
Következik, hogy AEO∢ ≡ EAD∢, tehát EO ‖ AD.
Mivel AD ⊥ BC, következik, hogy EO ⊥ BC. Az EO egyenes tartalmazza a kör
átmérőjét, tehát a BC körívet két kongruens részre osztja: BECE ≡ .
2. Alkalmazás: Az O középpontú, AB átmérőjű körön felvesszük a C és D pontot az átmérő egyik oldalán, az E és F pontot az átmérő másik oldalán úgy, hogy
teljesüljenek az AC ≡ AE és BD ≡ BF feltételek. Igazoljuk, hogy CDEF ≡ és d(O, CD) = d(O, EF).
Bizonyítás: Kongruens húrokhoz kongruens körívek tartoznak.
Mivel AC ≡ AE következik, hogy ACAE ≡ , valamint BD ≡ BF azaz BDBF ≡ . Az
átmérő a kört félkörökre bontja, tehát CDACBDAEBFEF 180180, vagyis CDEF = .
A CDEF = . és az CDEF = . körív ugyanazon a körön van, tehát kongruensek egymással. A 2. tétel szerint a hozzájuk tartozó húrok kongruensek: CD ≡ EF. Ezután alkalmazzuk a 4. tételt, amely szerint, a CD és EF kongruens húrok a kör középpontjától egyenlő távolságra helyezkednek el.
Jegyezd meg!
Ugyanabban a körben vagy kongruens körökben kongruens húrokhoz kongruens körívek tartoznak.
Ugyanabban a körben vagy kongruens körökben kongruens körívekhez kongruens húrok tartoznak.
Ha egy kör valamely átmérője merőleges egy húrra, akkor a húrt és a hozzá tartozó két körívet kongruens részekre osztja.
Ha egy kör valamely átmérője egy húrt vagy a húrhoz tartozó valamelyik körívet kongruens részekre osztja, akkor merőleges a húrra.
Egy kör két húrja akkor és csakis akkor kongruens egymással, ha a kör középpontjától egyenlő távolságra helyezkednek el.
Egy körön két párhuzamos húr között található húrok kongruensek egymással.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Az r = 10 cm sugarú C(O, r) körben az AB átmérő merőleges a CD húrra és CBD∢ = 120 ° .
30 p 1. A kisebbik CB körív mértéke:
A. 120°; B. 60°; C. 30°; D. 90°
30 p 2. A BD szakasz hossza:
A. 5 cm; B. 20 cm; C. 10 cm; D. 15 cm.
30 p 3. A COD szög mértéke egyenlő
A. 90°; B. 45°; C. 30°; D. 120°.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Rajzolj egy O középpontú kört és ábrázold rajta az A, B és C pontot!
a) Nevezd meg a pontok által meghatározott köríveket és húrokat!
b) Nevezd meg azt a középponti szöget, amely tartalmazza a B és C pontot!
2. Rajzolj egy kört és vedd fel rajta az A, B és C pontot úgy, hogy teljesüljenek az AB 60, BC 90 feltételek. Számítsd ki az AC kis körív mértékét! Vizsgálj meg minden lehetőséget!
3. Rajzolj egy O középpontú kört és vedd fel rajta az A, B és C pontot úgy, hogy az AB, BC és CA körív mértéke 50°, 150°, illetve 160° legyen. Állapítsd meg az alábbi kijelentések logikai értékét:
a) O ∈ AC .
b) Az AC nagy körív mértéke 200°.
c) AOC∢ = 80°.
d) Az AOB háromszög egyenlő szárú.
4. Szerkessz a C(O, R) kör adott A belső pontján át egy BC húrt, amelynek A a felezőpontja!
a) Írd le a szerkesztés menetét!
b) Ha BC = R, számítsd ki az OBC szög mértékét és a BC kis körív mértékét!
5. Ha AB a C(O, R), kör átmérője, AC és AD kongruens húrok, igazold, hogy:
a) BCBD ≡ ; b) AB ⊥ CD .
2.l. Kerületi szög
6. A C(O, R) körben AB = 6 cm és CD = 12 cm két húr. A húroknak nincs közös pontjuk és 6 cm illetve 3 cm távolságra helyezkednek el a kör középpontjától. Bizonyítsd be, hogy ABO∢ + BAO∢ = COD∢.
7. A C(O, R) körben az AB és CD húrok merőlegesek egymásra és P-ben metszik egymást. Jelöljük E-vel és F-fel a két húr felezőpontját. Igazold, hogy
EF = OP!
8. Az ABCD paralelogramma A, B és C csúcsa a C(O, R) körön helyezkedik el. A kör és a CD oldal E-ben metszi egymást. Igazold, hogy az ADE háromszög egyenlő szárú!
9. A C(O, R), kör sugara R = 12 cm, a körön található A, B, C és D pontok úgy helyezkednek el, hogy AB átmérő, CAD 120 és CDAB ⊥ .
a) Igazold, hogy az OCD és ACD háromszög egyenlő szárú!
b) Határozd meg az AC és BD . húr mértékét!
c) Számítsd ki a B pont távolságát a CD egyenestől!
10. Az A, B, C, D és E pont a C(O, R) körön helyezkedik el úgy, hogy az ABBCCDDEEA
,, ,, , körívek közül semelyik kettőnek nincs közös belső pontja. Tudjuk, hogy ABCCDEAE 120 és ABCDBC 2.
a) Határozd meg az öt körív mértékét!
b) Igazold, hogy az ACEΔ háromszög egyenlő oldalú!
Mielőtt a kört tanulmányoztuk, a geometriai ismereteink többnyire a háromszögekre vonatkoztak. A mértani alakzatok tulajdonságainak felfedezése és bizonyítása újabb módszerekkel bővül a kör értelmezése és tulajdonságainak leírása révén.
Emlékeztető
Egy szakasz felezőmerőlegesének bármely pontja egyenlő távolságra van a szakasz végpontjaitól.
Egy háromszög felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást, amelyet rendszerint O-val jelölünk.
A középponti szög (amelynek csúcsa a kör középpontjában van) mértéke egyenlő a szög szárai által bezárt körív mértékével.
A húrra merőleges átmérő a húron kongruens szakaszokat, a megfelelő íveken pedig kongruens ívpárokat határoz meg.
A mellékelt ábrán megszerkesztettük az ABC háromszög oldalfelező merőlegeseit és a kört, amely átmegy a háromszög csúcsain.
Az ABC háromszög oldalai a kör húrjai.
Minden oldalhoz tartozik egy kis ív és egy nagy ív.
A háromszög szögeinek csúcsa a körön van.
Fedezzük fel, értsük meg!
Értelmezés: Azt a szöget, amelynek csúcsa egy körön helyezkedik el, szárai pedig a kör húrjai, kerületi szögnek nevezzük
Tétel: Egy kerületi szög mértéke egyenlő a szárai által bezárt körív mértékének felével.
Bizonyítás:
Jelöljük ABC-vel a kerületi szöget, O-val a kör középpontját és R-rel a sugarát. Három esetet különböztetünk meg:
1) A szög egyik szára a kör átmérője. Legyen ez a szár a BC. Mivel OA = OB = R, akkor AOBΔ egyenlő szárú, tehát BAO∢ ≡ ABO∢. Az AOC∢ az AOB háromszög külső szöge, tehát AOC∢ = BAO∢ + ABO∢ = 2· ABO∢ = 2· ABC∢. Az AOC∢ középponti szög és mértéke egyenlő AC kis körív mértékével. Következésképpen ABC∢= 1 2 AC .
2) Ha O az ABC∢ belső tartományában található. Legyen D a B ponttal átmérősen ellentett pont. Ezáltal az ABC kerületi szöget két, egymás melletti szögre bontjuk, a kerületi szögnek megfelelő körívet pedig két körívre bontjuk. A keletkezett szögekre és körívekre alkalmazható az előző eset:
∢ = ABD
3) Ha O az ABC∢ külső tartományában található, hasonlóan járunk el: legyen D a B ponttal átmérősen ellentett pont, az ABC és CDB pedig egymás melletti szögek. Alkalmazzuk az 1) eset eredményét:
A fenti tétel alapján megfogalmazunk néhány fontos következtetést.
K1: Bármely, félkörbe írt kerületi szög mértéke 90 ° .
K2: Ha A, B és C egy kör három rögzített pontja, akkor az ABC , körív bármely B n pontjára érvényes, hogy: AB n C∢ ≡ ABC∢.
Igazoljátok az ábrák alapján a fenti kijelentéseket!
K3: Ha A, B és C egy kör három rögzített pontja, akkor a kör minden olyan D n pontjára, amely nem az ABC köríven található, érvényes, hogy: ABC∢ + AD n C∢ = 180°.
D2 D
Alkalmazás
1. Alkalmazás: Egy kör AB és CD húrja a kör M belső pontjában metszi egymást. Igazold, hogy AMC∢ = 1 2 ACBD .
Megoldás: Az A ponton keresztül meghúzzuk az AE párhuzamost a CD-hez. Az AC és DE körívek kongruensek egymással, mint párhuzamos húrok között található körívek. Az AE és CD egyenesek az AB szelővel kongruens belső váltószögeket alkotnak: AMC∢ ≡ BAE∢. Mivel BAE∢ kerületi szög, következik, hogy:
2. Alkalmazás: Egy kör AB és CD húrjának tartóegyenesei a körön kívül található N pontban metszik egymást. Igazold, hogy ANC∢ 1 2 BDAC
Megoldás: Az A ponton keresztül meghúzzuk az AE ‖ CD húrt, és az ACED
. íveket kapjuk. Az AE és CD egyenesek az AN szelővel kongruens megfelelő szögeket alkotnak: ANC∢ ≡ BAE∢. Mivel BAE∢ kerületi szög, következik, hogy:
Jegyezd meg!
Kerületi szögnek nevezünk egy olyan szöget, amelynek a csúcsa egy körön fekszik, szárai pedig a körnek húrjai. Egy kerületi szög mértéke egyenlő a szárai által közre zárt körív mértékének felével.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
A C(O, r), körben az AB átmérő párhuzamos a CD húrral,
M∈ CBD , M ≠ C, M ≠ D és BCD∢ = 130°.
30 p 1. A BC kisebbik körív mértéke:
A. 130°; B. 65°; C. 80°; D. 90°.
30 p 2. Az ACD szög mértéke:
A. 65°; B. 50°; C. 30°; D. 40°
30 p 3. A CMD szög mértéke egyenlő
A. 10°; B. 50°; C. 65°; D. 45°.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Rajzolj egy C(O, R) kört, válassz rajta három pontot és jelöld őket A-val, B-vel illetve C-vel.
a) Kösd össze a pontokat és nevezd meg a C(O, R) körön keletkezett kerületi szögeket!
b) Ha ABBC40100,, számítsd ki az ABC∢, BCA∢, CAB∢ mértékét!
2. Az A, B, C a C(O,R) kör pontjai, O ∈ AB, valamint AC 52 Határozd meg az ABC∢, BCA∢, CAB∢ mértékét!
3. Adott az A, B, C és D pont az O középpontú körön úgy, hogy C és D az AB egyenes ugyanazon oldalán helyezkedik el, mint az O pont.
a) Igazold, hogy ACB∢ + ADB∢ = AOB∢!
b) Ha AB 70, számítsd ki az ACB∢ és AOB∢ mértékét!
4. E, F, G, H ugyanazon az O középpontú körön helyezkedik el úgy, hogy G és H az EF egyenes különböző oldalán található.
a) Számítsd ki az EFG∢ + EHF∢ összeget!
b) Ha EF 80, határozd meg az EHF∢, EOF∢ és EGF∢ mértékét! Vizsgáld mindkét lehetséges esetet: ha G az EF kis köríven, vagy ha G az EF nagy köríven helyezkedik el!
5. Az A pont az R = 6 cm sugarú C(O, R) körön található. Az OA szakasz felezőmerőlegese a kört B-ben és C-ben metszi.
a) Számítsd ki az ABOC négyszög kerületét!
b) Számítsd ki a BAC∢, ABC∢ és ACO∢ mértékét!
6. A DEF háromszög csúcsai a C(O, R) körön helyezkednek el, és az EDF szög szögfelezője a kört másodszor az M pontban metszi.
a) Igazold, hogy EFM∢ ≡ FEM∢!
b) Ha DEDF 90150,, számítsd ki a DFM háromszög szögeinek mértékét!
7. A C(O, R) kör AB és AC sugarai merőlegesek egymásra és ABO∢ = 80°. Határozd meg az ABC háromszög szögeinek mértékét!
8. Az MNPQ négyszög csúcsai a C(O, R) körön helyezkednek el és MNNPMQPQ ≡≡ ,.
a) Igazold, hogy O ∈ NQ
b) Tudva azt, hogy MNMQ 40, határozd meg az MNPQ négyszög szögeinek mértékét!
9. Az A, B és C pont a C(O, R) körön helyezkedik el és AB a kör átmérője. Az ACB szög szögfelezője a
D pontban metszi a kört. Számítsd ki:
a) a BD kis körív mértékét!
b) az AOD szög mértékét!
10. Az ABC háromszög egyenlő szárú, AB = AC, és az
A középpontú, R < AB sugarú kör az AB és AC oldalakat a D, illetve E pontban metszi.
a) Igazold, hogy DE ‖ BC !
b) Számítsd ki a DE nagy körív mértékét, tudva azt, hogy BAC∢ + ECB∢ = 115°.
11. A C(O, R), körben AB egy átmérő, C egy pont a körön, és M a BC körív felezőpontja.
a) Igazold, hogy OM ‖ AC !
b) Ha D a kör azon pontja, amelyre BD ‖ OM, bizonyítsd be, hogy a C, D és O kollineáris pontok!
12. A C(O, R), R = 10 cm körön található A, B és C pontok teljesítik a következő feltételeket: AO ⊥ OB, és C az AB kis köríven helyezkedik el. Megszerkesztjük CM ⊥ OA, M ∈ OA, illetve CN ⊥ OB, N ∈ OB. A CM egyenes a kört P-ben metszi, a CN egyenes pedig Q-ban.
a) Számítsd ki az MN szakasz hosszát!
b) Igazold, hogy a P, O és Q pontok kollineárisak!
c) Határozd meg az ACM szög mértékét abban az esetben, ha CMON négyzet!
13. A C(O, R)körön az M és N pontok átmérősen ellentettek, P az M és N végpontú valamely körív középpontja. A PM szakasz felezőmerőlegese a PM nagy körívet Q-ban metszi, a PN szakasz felezőmerőlegese a PN nagy körívet R-ben metszi. Határozd meg a PQR háromszög szögeinek mértékét!
14. Az A, B, C a C(O, R) kör pontjai, AB = 2 · R és CAB∢ = 42°. Számold ki a BCO szög mértékét!
15. Az A, B, C a C(O, R) kör pontjai, AB = AC, AO a BAC szög szögfelezője és BOC∢ = 150°. Számold ki az ABO szög mértékét!
Emlékeztető
Adott A ponton végtelenül sok kör megy át.
Ha adott két pont, A és B, akkor végtelenül sok olyan kör létezik, amely tartalmazza mindkét pontot.
Mindegyik kör középpontja az AB szakasz felezőmerőlegesén fekszik.
Egy kör bármely három különböző pontja nem kollineáris.
Ha adott három nem kollineáris pont egy és csakis egy kört határoz meg.
Egy egyenesnek és egy körnek legfeljebb két közös pontja lehet.
a kört nem metsző egyenes
C (O1, R1) ∩ d1 =∅
Egyenes és kör kölcsönös helyzete:
a kört érintő egyenes
C(O2, R2) ∩ d2 = {A2}
a kört metsző egyenes
C(O3, R3) ∩ d3 = {A4, A5} O1 R1 M1 A1 d1 d (O1,
Fedezzük fel, értsük meg!
1. Tétel: A d egyenes akkor és csakis akkor érinti a C(O, r) kört az A pontban, ha d ⊥ OA.
Bizonyítás: Adott a d egyenes, amely a C(O, r) kört az A pontban érinti. Ellentmondásra való visszavezetéssel (reductio ad absurdum) bizonyítjuk, hogy d ⊥ OA. Tételezzük fel az ellenkezőjét: d nem merőleges OA-ra. Legyen OB ⊥ d, B ∈ d. Az A′-tel jelöljük A szimmetriáját B-re nézve. Ekkor OBAΔ ≡ OBA′Δ (befogó-befogó), tehát OA = OA′, tehát a d egyenesnek két különböző pontja van a körrel, azaz nem érintője a körnek. Ellentmondáshoz jutottunk, tehát a feltételezés hibás, következésképpen d ⊥ OA. Másrészt, az OA egyenes A pontjában az OA egyenesre egyetlen d merőleges szerkeszthető, tehát ez a merőleges éppen az A pontban a körhöz húzott érintő kell legyen. Következésképpen, egy kör adott pontján keresztül egyetlen érintő húzható a körhöz.
2. Tétel: Egy C(O, R) körön kívül fekvő tetszőleges A ponton át két érintő szerkeszthető a körhöz: AM és AN Az A pont és az érintési pontok által meghatározott szakaszok kongruensek.
Bizonyítás: Mivel az A pont a C(O, R) körön kívül helyezkedik el, OA > R. Az A pontból húzott érintő és a kör közös pontját megkapjuk, ha szerkesztünk egy AO átfogójú derékszögű háromszöget, melynek a harmadik csúcsa (a derékszög) az adott körön található. Tudjuk, hogy egy derékszög félkörbe írható, ezért megszerkesztjük az AO átmérőjű kört. Jelöljük Q-val a középpontját, tehát sugara
R OA = 2 . Jelöljük M-mel és N-nel a két kör metszéspontjait, tehát OMA∢ és ONA∢ derékszögek mint félkörbe írt kerületi szögek. AM és AN a kör érintői. Az OAM és OAN derékszögű háromszögek kongruensek (OA közös oldal és OM ≡ ON, mint ugyanazon kör sugarai), tehát MA és NA kongruens befogók.
Az OAM és OAN háromszögek egybevágósága alapján kijelenthetünk még egy tulajdonságot, amely hasznos segédeszköz bizonyos feladatok megoldásában. Egy körön kívül található pontot a kör középpontjával összekötő félegyenes a külső pontból húzható érintők által meghatározott szög szögfelezője. A 2. tételhez tartozó ábrán az AO félegyenes az MAN∢ szögfelezője.
Alkalmazás
1. Alkalmazás: Az ABC háromszögben AB = c, BC = a, AC = b. A háromszög szögfelezői az I pontban metszik egymást. A szögfelező minden pontja egyenlő távolságra található a szög száraitól, tehát I egyenlően távol fekszik a háromszög három oldalától. Jelöljük ezt a távolságot r-rel, tehát d(I, AB) = d(I, BC) = d(I, AC) = r. Megszerkesztjük az I középpontú, r sugarú kört. Ezt a kört az ABC háromszögbe írt körének nevezzük. A háromszög oldalai érintik a beírt kört az A1 ∈ BC, B1 ∈ AC, illetve C1 ∈ AB pontban. Számítsuk ki az AB1, AC1, BA1, BC1, CA1, CB1 szakaszok hosszát a, b, c és a háromszög félkerülete függvényében!
Megoldás: A háromszög oldalai érintik a kört. Alkalmazzuk a 3. tételt: AB 1 ≡ AC1, BC 1 ≡ BA1, és CA 1 ≡ CB 1. Jelöljük AB 1 = x, BC 1 = y és CA 1 = z. Akkor a háromszög oldalainak hossza: a = y + z, b = x + z, c = x + y. (1) Az ABC háromszög kerülete pedig K = 2 x + 2 y + 2 z . Jelöljük p = x + y + z (2) az ABC háromszög fél kerülete. Rendre kivonjuk a (2)-es azonosságból az (1)-es azonosságokat, és a következő eredményeket kapjuk AB 1 = AC 1 = p a, BC 1 = BA 1 = p b és CA 1 = CB 1 = p c.
2. Alkalmazás: Az A külső pontból AA1 és AD1 érintőket húzunk a C(O, R), körhöz. Válasszunk egy C pontot az A1AD1 ∢ belsejében, de a körön kívül, és szerkesszük meg a C pontból a körhöz húzott CB1 és CC1 érintőket úgy, hogy az A1B1C1D1 konvex négyszög legyen! .
Jelöljük: {B} = AA1 ∩ CB1 és {D} = AD1 ∩ CC1.
a) Készítsétek el a mellékelt ábrát mértani felszerelés segítségével. Ügyeljetek az adatoknak megfelelő szerkesztésre!
b) Igazoljátok, hogy az ABCD konvex négyszögben AB + CD = BC + AD!
Megoldás: Az azonos színű szakaszok kongruensek, mivel külső pontból a körhöz húzott érintők. Ebből következik, hogy AB + CD = BC + AD.
Egy kis történelem
A 2. alkalmazásban bebizonyított egyenlőséget Henri Pitot francia mérnök fedezte fel 1725-ben. Henri Pitot 1695–1771 között élt.
3. Alkalmazás: Az ABC∢ csúcsa az O középpontú körön található, egyik szára a kör érintője, a másik pedig a kör egy húrja. Bizonyítsuk be, hogy az ABC∢ mértéke egyenlő a szög belsejében található körív mértékének felével!
Bizonyítás: Az ABC szög BC szára B-ben érinti a kört, a BA szára pedig ugyanannak a körnek egy húrja. Három eset lehetséges:
Henri Pitot
1) Az ABC∢ hegyesszög. Mivel OBC∢ = 90°, következik, hogy O ∉ Int (ABC ∢). Jelöljük D-vel a B átmérősen ellentett pontját, tehát BAD∢ = 90° (félkörbe írt kerületi szög).
Az ABC∢ és ADB∢ pótszögei azonosak (ABD∢), ebből következik, hogy kongruensek. ADB∢ kerületi szög, tehát
ABC∢ = ADB∢ = 1 2 AB
2) ABC∢ tompaszög, tehát a szög belsejében található körív az ADB nagy körív.
Jelöljük BE-vel a BC ellentétes félegyenesét! Az ABE∢ hegyesszög, egyik szára érintő, a másik húr, tehát
3) Az ABC∢ derékszög. Akkor AB átmérő, az ABC∢ szárai által bezárt ív az AB félkör, melynek mértéke 180 ° . Tehát 1 2 AB = 90° = ABC∢.
4. Alkalmazás: Az ABC szög B csúcsa egy körön található, és BC a kör egyik húrja.
Ha ABC∢ = 1 2 BC , akkor AB a kör érintője, és B-ben érinti a kört.
Bizonyítás: Tételezzük fel az ellenkezőjét (red. ad abs.): AB nem érinti a kört B-ben.
Akkor létezik egy BA1 egyenes, amely érinti a kört B-ben. A 3. Alkalmazás 1. pontja
szerint: A1BC∢ = 1 2 BC = ABC∢. Ebből következik, hogy a BA és BA1 egyenesek
egybeesnek, tehát AB érinti a kört B-ben.
Jegyezd meg!
Három nem kollineáris ponton át egy és csakis egy kör fektethető.
Egy egyenesnek és egy körnek legfeljebb két közös pontja van.
Egy egyenes akkor és csakis akkor érintője egy körnek, ha merőleges egy sugárra, amelynek tartóegyenesével a körön metszik egymást.
A C(O, r) kör bármely külső A pontján át két érintő húzható a körhöz. Az A pont és az érintési pontok által meghatározott szakaszok kongruensek egymással.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Az A pontot tartalmazó d egyenes a C(O, r) kört a B pontban érinti, AB = 8 cm, OAB∢ = 45 ° , az OA szakasz a kört a C pontban metszi, valamint D ∈ C(O, r).
30 p 1. A kör sugarának hossza:
A. 4 cm; B. 2 cm; C. 42 cm; D. 8 cm.
30 p 2. A BC körív mértéke: A. 30°; B. 45°; C. 60°; D. 90°.
30 p 3. Ha a C pont a BD körív felezőpontja, akkor az AD egyenes a C(O, r) kör éríntője. Ez a kijelentés: A. igaz B. hamis.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
1. Készítsd el az alábbi kijelentéseknek megfelelő
ábrákat, és írd le matematikai jelekkel a kör sugarának és középpontjának az egyenestől mért távolsága közti relációt:
a) az A középpontú kör sugara r1 és az a egyenes nem metszi a kört;
b) a B középpontú kör sugara r2 és a b egyenes érinti a kört;
c) a C középpontú kör sugara r3 és a c egyenes két pontban metszi a kört.
2. Rajzolj egy C(O, r) kört és vegyél fel egy A pontot a körön kívül! Húzz három egyenest az A ponton keresztül: egyet, amely nem metszi a kört, egy érintőt és egy metsző egyenest! Jelöld meg az egyenesek és a kör közös pontjait, majd írd le az egyenesek és a kör közös pontjainak halmazát!
3. Rajzolj egy O középpontú, r = 3 cm sugarú kört!
Rögzíts egy A pontot a körön, és szerkeszd meg a körhöz a TA érintőt! Egészítsd ki az alábbi
kijelentéseket:
a) TAO∢ = … ° ;
b) d (O, TA) == cm.
4. Tudjuk, hogy a C(O, r) kör sugara r = 0,4 dm és d egy egyenes a síkban. Az O pont távolsága a d egyenestől, centiméterben kifejezve x ∈ N, x < 10. Adj példát x lehetséges értékére, ha a d egyenes:
a) nem metszi a kört; b) érinti a kört;
c) metszi a kört!
5. M egy pont a C(O, r) körön, r = 3 cm és T egy pont a körön kívül. Tudjuk, hogy TM = 4 cm és
TO = 5 cm. Milyen helyzetű a TM egyenes a C(O, r) körhöz viszonyítva?
6. Az A pont a C(O, r) körön kívül helyezkedik el, AB érinti a kört, B a körön található, OA = 18 cm és OAB∢ = 30°. Határozd meg a kör sugarát!
7. A C(O, r), körön kívül található B ponton keresztül meghúzzuk a BC és BD érintőket, C, D ∈ C(O, r). Tudjuk, hogy OB = 16 cm és a COD háromszög egyenlő oldalú. Számítsd ki: a) BC és BD hosszát; b) a B pont távolságát a CD egyenestől!
8. Az A, B és C pontok egy körön fekszenek és
ABAC ≡ . Igazold, hogy a körhöz az A ponton át húzott érintő párhuzamos a BC egyenessel!
9. Az AB = 72°-os körívet tartalmazó körhöz az A-n át húzott érintő az AB szakasz felezőmerőlegesét C-ben metszi.
a) Igazold, hogy a CB egyenes a kör érintője!
b) Számítsd ki az ACB szög mértékét!
10. Az O középpontú, 8 cm sugarú körön található A és B pont által meghatározott körív mértéke AB = 120°
Az A és B pontban érintőket húzunk a körhöz, ezek T-ben metszik egymást.
a) Határozd meg a TO szakasz hosszát!
b) Ha AB ∩ OT = {D}, igazold, hogy TD = 3 · DO!
11. A C(O, r) kör AB és AC érintői merőlegesek egymásra, B és C az érintési pontok. Az AO egyenes a kört D-ben illetve E-ben metszi.
a) Határozd meg a BDCE négyszög szögeinek mértékét!
b) Igazold, hogy a D és E pontban a körhöz húzott érintők párhuzamosak a BC egyenessel!
12. Az A a C(O, r) egy pontja, r = 12 cm és TA a kör érintője. Számold ki az AOT háromszög kerületét, ha TO = 15 cm!
13. Adott a TA és TB a C(O, r) kör két érintője, r = 6 cm, A, B ∈ C(O, r), valamint TO = 10 cm.
a) Számold ki az AOBT négyszög kerületét!
b) Igazold, hogy AOB tompaszög!
14. Az ABCD négyszög AB, BC, CD, DA oldalai egy kör értinői. Tudva, hogy AB + CD = 19,50 cm, számold ki az ABCD négyszög kerületét!
5.2. Körbe írt szabályos sokszögek • A kör kerülete • A körlap területe
1.l. Körbe írt szabályos sokszögek
Az ember a legrégibb időktől igényli a szépet. A természetben is számos különösen szabályos és szép alakzatot fedezhetünk fel. Tekintsük az alábbi képeket:
Mindegyiken megfigyelhetjük a szinte tökéletes, körszerű alakzatokat, melyek egyenlő részekre tagolódnak, jellegzetes szimmetriát hozva létre.
Egy kis történelem
Már az ókorban is tanulmányozták, hogy miképpen lehet felosztani a kört n egyenlő részre csupán körző és beosztás nélküli vonalzó segítségével. Ismerték a megoldást, ha n = 2, n = 4, n = 8, általánosabban, ha n = 2a (ahol a nullától különböző természetes szám), ha n = 3, n = 5, ha n két vagy több ilyen szám szorzata.
Gauss Disquisitiones Arithmeticae (1801) című művében a kör egyenlő részekre osztásának lehetőségét kiterjeszti más alakú számokra is.
Karl Friedrich Gauß (Gauss) volt az, aki egy 17 oldalú szabályos sokszöget szerkesztett meg csupán vonalzó és körző segítségével, ami korának felfedezése volt.
Emlékeztető
Az egyenlő oldalú háromszögben minden oldal és minden szög kongruens egymással. A négyzet minden oldala és minden szöge kongruens egymással. Kérdések:
Van-e más sokszög, amelyben minden oldal és minden szög kongruens egymással?
Melyek a közös tulajdonságai ezeknek a sokszögek?
Melyek azok a sajátos tulajdonságok, amelyek megkülönböztetik ezeket a sokszögeket egymástól?
Fedezzük fel, értsük meg!
1. Értelmezés:
Szabályos sokszögeknek nevezzük az olyan konvex sokszögeket, amelyeknek az oldalaik is, a szögeik is kongruensek.
2. Értelmezés: Ha egy kör tartalmazza egy sokszög minden csúcsát, a sokszög köré írt körnek nevezzük.
3. Értelmezés: Ha egy sokszög minden csúcsa ugyanazon a körön található, körbeírt sokszögnek nevezzük.
Vegyük észre (egyelőre bizonyítás nélkül), hogy minden szabályos sokszög körbe írható sokszög.
Az ABC háromszög körbe írható. Az ABCD négyzet körbe írható. Az ABCDE ötszög körbe írható. Az ABCDEF hatszög körbe írható.
Figyeljük meg a fenti ábrákat! Érvényesek az alábbi tulajdonságok:
Egy szabályos sokszög köré írt kör középpontja egybeesik az oldalak felezőmerőlegeseinek metszéspontjával.
Egy szabályos sokszög köré írt kör középpontja egybeesik a csúcsokból kiinduló szögfelezők metszéspontjával.
Egy szabályos sokszög minden oldala a körülírt kör egy-egy húrja.
Egy n-oldalú szabályos sokszög csúcsai n kongruens körívet határoznak meg.
Egy n-oldalú szabályos sokszög minden szöge kerületi szög és a szárai által közrezárt körív n – 2 kongruens körívből áll.
A kör középpontját a csúcsokkal összekötő OA, OB, ... sugarak, a csúcsoknak megfelelő szögek szögfelezői.
Feladat a portfólióba
a) Figyeljétek meg a fenti szabályos sokszögeket, majd másoljátok le és egészítsétek ki az alábbi táblázatot!
Sokszög ABC háromszög ABCD négyzet
oldalak AB, BC, AC
átlók Nincs
szögek
ABC, BCD, CDA, DAC
ABCDE szabályos ötszög
AB, BC, CD, DE, EA
ABCDEF szabályos hatszög
AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF, DF
b) Bizonyítsátok be, hogy n = 4, n = 5 és n = 6 esetében, a szabályos sokszög egy csúcsából kiinduló oldalai és átlói n – 2 kongruens szöget határoznak meg!
Tudjátok-e?
Ha egy síkfelületet szeretnénk tökéletesen (hézagmentesen) burkolni csak egyfajta, szabályos sokszög alakú burkolólappal, akkor csak egyenlő oldalú háromszög, négyzet vagy szabályos hatszög alakú burkolólapokat használhatunk.
Tétel: Bármely n oldalú szabályos sokszög esetén létezik egy kör, amely átmegy a sokszög minden csúcsán, ahol n ∈ ℕ , n ≥ 3.
Bizonyítás: Csak n = 6 esetén végezzük el a bizonyítást.
Adott ABCDEF egy szabályos hatszög. Akkor AB ≡ CD ≡ DE ≡ EF ≡ FA és ABC∢ ≡ ≡ BCD∢ ≡ CDE∢ ≡ DEF∢ ≡ EFA∢ ≡ FAB∢. Legyen M, N és P az AB, BC illetve
CD oldal felezőpontja. Mivel az A, B, C pontok nem kollineárisak, ezért létezik az ABC háromszög köré írt kör O középpontja. Ez az ABC háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja. Ezek a felezőmerőlegesek az OM és az ON. Bizonyítjuk, hogy a CD oldal felezőmerőlegese is tartalmazza az O pontot. Ez lesz az OP.
Az átfogó-befogó kongruencia eset alapján OMBΔ ≡ ONBΔ, ahol OBM∢ = OBN∢ = 1 2 ABC∢.
Az OBC háromszög egyenlő szárú (OB ≡ OC ), tehát OCN∢ = OBN∢ = 1 2 ABC∢ = 1 2 BCD∢
Akkor a CO félegyenes a BCD∢ szögfelezője, tehát OCP∢= OCN∢= 1 2 BCD∢.
Az O.Sz.O. kongruencia eset alapján OCNΔ ≡ OCPΔ. Következésképpen, OPC∢ = ONC∢ = 90°. Mivel CN = CP (a szabályos sokszög oldalának fele), azt kapjuk, hogy OP a CD oldal felezőmerőlegese, tehát a C(O, OA) kör áthalad a D ponton is.
Az érvelést folytatva megmutatjuk, hogy a szabályos hatszög minden oldalának felezőmerőlegese az O pontban fut össze, így a hatoldalú szabályos sokszög minden csúcsa a C(O, OA) körön található.
Jegyezd meg!
Szabályos sokszögnek nevezünk minden olyan konvex sokszöget, amelyeknek az oldalai is, a szögei is kongruensek.
Van egy kör, amely egy szabályos sokszög minden csúcsát tartalmazza, ezt nevezzük a sokszög köré írt körnek. A szabályos sokszög köré írt körnek a középpontja a sokszög oldalafelező merőlegesének metszéspontja.
Egy szabályos sokszög valamelyik csúcsából kiinduló és a köré írt kör középpontját tartalmazó minden félegyenes a sokszög adott csúcsnál levő szög szögfelezője.
Egy n-oldalú szabályos sokszög szögeinek összege (n 2)·180 °
Egy n-oldalú szabályos sokszög minden szögének mértéke n n 2 180 .
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
A C(O, r) körben az AB átmérő merőleges a CD húrra, CBD < 180°. Az EF húr párhuzamos és kongruens a CD húrral, ahol E a kisebbik AD körív eleme.
30 p 1. Ha ACD szabályos sokszög, akkor a CBD körív mértéke:
A. 60°; B. 90°; C. 120°; D. 150°.
30 p 2. Ha CDEF szabályos sokszög, akkor a CBD körív mértéke:
A. 60°; B. 180°; C. 120°; D. 90°.
30 p 3. Ha CBD = 120°, akkor „ Az AEDBCF szabályos sokszög.” kijelentés
A. igaz; B. hamis.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Rajzoljatok egy O középpontú, R sugarú kört, és rögzítsetek egy A pontot a körön. Vegyétek körzőnyílásba a kör sugarát, és jelöljétek meg a körön az A, B, C, D, E, F pontokat, ebben a sorrendben úgy, hogy AB = BC = CD = DE = EF = R teljesüljön! Igazold, hogy:
a) AF = R ;
b) ABBCCDDEEFFA
c) az ACE háromszög és az ABCDEF hatszög szabályos!
2. Rajzolj egy O középpontú kört és a középponton keresztül az a és b egymásra merőleges egyenest!
A kört az a egyenes A-ban és C-ben, a b egyenes B-ben és D-ben metszi. Igazold, hogy az A, B, C, D csúcsú sokszög szabályos!
3. Rajzolj egy ABCD téglalapot, amelyben AB = 4 cm és ABD∢ = 60°.
a) Bizonyítsd be, hogy létezik egy kör, amely áthalad a téglalap összes csúcsán! Határozd meg a sugarát, majd rajzold is meg a kört!
b) Az AD oldal felezőmerőlegese E-ben és F-ben metszi az a) alpontban megrajzolt kört. Igazold, hogy az A, B, F, C, D, E csúcsú hatszög szabályos!
4. Az ABC egyenlő oldalú háromszög minden oldalát felosztjuk három kongruens részre, az ábrának megfelelően. Döntsd el, hogy a kiszínezett sarkok eltávolítása után megmaradt sokszög szabályos-e?
a) Bizonyítsd be, hogy a négyzetek középpontjai egy szabályos sokszög csúcsaiban vannak!
b) Számítsd ki ezen sokszög körülírt körének sugarát!
6. A DEFG négyzet minden oldalát felosztjuk három kongruens részre, az ábrának megfelelően. Döntsd el, hogy a kiszínezett sarkok eltávolítása után megmaradt sokszög szabályos-e? Indokold is a választ!
Q1 Q2 Q6 Q7 DE GF Q3 Q4 Q8 Q7
7. Tekintsük az ABC, ACD, ADE, AEF, AFG egyenlő oldalú háromszögeket, melyek belső tartományai páronként diszjunktak (nincs közös belső pontjuk).
a) Döntsd el, hogy a BCDEFG hatszög szabályos-e? Indokold meg a választ!
b) Milyen típusú négyszög az ABCD és az EFGB?
8. A C(O, R) körbe szabályos n-oldalú sokszöget írunk, n ≥ 3. A sokszög egyik oldala A1 A2. Számítsd ki az AA12 ,körív mértékét, ha n ∈ {3, 4, 5, 6}.
9. Az MNPQRS szabályos hatszögben A, B, C és D az MN, PQ, QR illetve SM oldalak felezőpontjai. Számítsd ki az AC és BD egyenesek által bezárt szöget!
10. Az ABCDEF szabályos hatszög a C(O, r) körbe írható. Az A és C pontban érintőket húzunk a körhöz, ezek T-ben metszik egymást. Bizonyítsd be, hogy:
5. Az ABCD téglalap oldalai AB = a cm, BC = b cm.
A téglalap oldalaira, a téglalapon kívül négyzeteket szerkesztünk.
a) TAC szabályos sokszög;
b) OB = BT.
2.l. A kör kerülete és a körlap területe
Egy O középpontú, R sugarú körön felvesszük az A és B pontot. Meg szeretnénk határozni a kör kerületét, ami nem más, mint az ABA körív hossza. Az eddig tanult ismeretek alapján ez a feladat nem oldható meg, de egy kísérlettel közelebb juthatunk a megoldáshoz.
Fedezzük fel, értsük meg!
Egy pénzérme peremén megjelölünk egy pontot. Elgördítjük az érmét egy egyenes mentén, majd megmérjük annak a szakasznak a hosszát, amely a megjelölt pont és az egyenes első találkozási pontjától a második találkozási pontjáig tart. Kiszámítjuk a mért szakasz és a pénzérme átmérőjének arányát: az eredmény 3,1 és 3,2 közé esik.
Többször megismételjük ezt a kísérletet, különböző méretű körökkel, és azt találjuk, hogy a végeredmény (a kiszámított arány értéke) mindig ugyanaz, függetlenül a pénzérme átmérőjétől. Ezt az állandó arányt a görög π betűvel jelöljük, ami a görög „perimetros” (kerület) szó első betűje, és pinek ejtjük. Irracionális szám (végtelen, nem szakaszos tizedes tört), közelítő értéke π= 3,1415926535 . Rendszerint két tizedesnyi pontossággal használjuk: π ≈ 3,14. Következésképpen, az R sugarú kör kerületét a Kkör = 2·π·R képlettel számíthatjuk ki. Ez a képlet a teljes kör, tehát a 360°-os körív hosszára vonatkozik.
A C(O, R) kör tetszőleges AB körívének hossza egyenesen arányos a körív fokban mért mértékével, tehát
AB LR AB 360 2
Ha A és B a kör két adott pontja, akkor:
a C(O, R) kör kisebbik AB ívének hossza L RABRAOB AB 180180 ;
a C(O, R) kör nagyobbik AB ívének hossza
LR RABRABR ACB 2 180 360 180 ()360() 1 180 . AOB
Példa. Számítsuk ki a C(O, R) körön egy 60°-os kerületi szög szárai által közrezárt körív hosszát! A BAC kerületi szög BAC∢ = 1 2 BC , tehát BC = 2 · 60° = 120°. Mivel
BC
LLR BCBC 120360 2 arra jutunk, hogy L R BC 2 3 .
Megjegyzés: A körív mértéke és a körív hossza egyenesen arányos mennyiségek, ezért a körív hossza kiszámítható egyszerű hármasszabállyal is.
1. Értelmezés: O középpontú, R sugarú körlapnak nevezzük a C(O, R) kör belső pontjainak és kör pontjainak az egyesített halmazát.
2. Értelmezés: A C(O, R ) kör AB köríve és az OA és OB sugara által határolt síkidomot, a határaival együtt, körcikknek nevezzük.
A körlap területe egy olyan képlettel számítható ki, amely nem bizonyítható az általános iskolában tanultak alapján. Közelítőleg becsüljük a körlap területét úgy, hogy kongruens középponti szögek segítségével 2n darab egyforma körcikkre bontjuk. Választunk egy ésszerű értéket, pl. 2n = 28-at, és ugyanennyi egyenlő mértékű középponti szöget szerkesztünk. Az átmérő egyik oldalán található körcikkeket pirosra, a másikon zöldre festjük, majd kifejtjük őket egy egyenes mentén úgy, hogy a körcikkek „alapjai” ellentétes oldalon legyenek (lásd a lenti ábrát). Ezután a körcikkeket egybekapcsoljuk (összecsúsztatjuk), az eredmény egy „majdnem” paralelogramma (ha n nagyon nagy, ez téglalaphoz közelít). A paralelogramma egyik oldalának hossza egyenlő a félkör hosszával, magassága pedig megközelítőleg a kör R sugarával. Tehát a paralelogramma területe megközelítőleg egyenlő π· R 2 -tel.
A körcikk területe egyenesen arányos a hozzá tartozó körív mértékével. Ábrázoltuk az első körben az O1A1 és O1B1 sugár, valamint az AB11 , kis körív által határolt körcikket, a második körben pedig O2A2 és O2B2 valamint az AB22 nagy körív által határolt körcikket.
Az AB11 , kis körívhez tartozó körcikk területe az
A APB 22 nagy körívhez tartozó körcikk területe
Megjegyzés. A körív mértéke és a körcikk területe egyenesen arányos mennyiségek, ezért a körcikk területe kiszámítható egyszerű hármasszabállyal is.
1. Alkalmazás: Négy félkörből álló csigavonalat rajzoltunk, a félkörök sugara rendre 20, 21, 22, 23 egység. Számítsuk ki a csigavonal hosszát!
Megoldás: A piros félkör sugara 1 egység, a kék félköré 2, a zöldé 4, végül a lila félkör sugara 8 egység. A teljes csigavonal hossza: L =π+ 2 · π+ 4 · π+ 8 · π= 15 · π
2. Alkalmazás: Adott a C(O, R) kör és A egy külső pont. Az A-ból húzott érintők a kört a B illetve C pontban metszik és egymással 60°-os szöget zárnak be. Számítsuk ki az érintők és a BC , kis körív által határolt síkidom területét!
Megoldás: A keresett területet úgy számítjuk ki, hogy kivonjuk az ABOC négyszög területéből a BC kis körív által meghatározott körcikk területét. Mivel AB ≡ AC és BO ≡ CO, az AOB és AOC derékszögű háromszögek kongruensek. Következik, hogy AO a BAC∢ szögfelezője és TABOC = 2· TABO. Az AOB háromszögben az OB befogóval szemben fekvő szög 30°-os, ezért AO = 2· OB = 2· R, valamint
AB = R 3 .
TABOC = 2· TABO = 2· ABBO ⋅ 2 = R2 3. A
Az ABOC négyszögben kiszámítjuk a BOC szög mértékét: BOC∢ = 360° − ABO∢ − ACO∢ − BAC∢ = 120°.
Mivel a BOC∢ középponti szög, a BC kis körív mértéke is 120°. A BC -hez tartozó körcikk területe:
Tkörcikk = RR 22 120 3603 , majd a kért rész területe T = R R R 2 2 32 3 3 3 .
Jegyezd meg!
Kkör = 2 · π · R. Tkör = π · R2 .
A C(O, R) körön egy körív hossza egyenesen arányos a körív mértékével.
C(O, R) körben egy körcikk területe egyenesen arányos a hozzá tartozó körív mértékével.
Tudod-e?
Minden év március 14-én világszerte megünnepelik a nemzetközi π (pi) napot, hogy megünnepeljék a matematika jelentőségét és a szám fontosságát.
A hónap 14. napjának a 3-as számmal való megválasztása abból a tényből következik, hogy a π irracionális szám megközelítőleg egyenlő 3,14-gyel.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az 5 cm átmérőjű kör hossza:
A. 10π cm B. 5π cm; C. 2,5π cm; D. 25π cm.
30 p 2. Ha a körlap területe 100π cm2, akkor a sugarának hossza:
A. 10 cm; B. 50 cm; C. 10π cm; D. 50π cm.
30 p 3. A mellékelt ábrán látható félkörök és a két kongruens szakasz által határolt színes rész területe:
A. 25π cm2; B. 12,5π cm2; C. 37,5π cm2; D. 50π cm2.
Gyakorlatok és feladatok
1. Számítsd ki a tanult képlet alapján a kör kerületét, ha a sugara: a) 5 cm; b) 7,5 cm; c) 10 π cm.
2. Határozd meg egy kör átmérőjét, ha a kerülete: a) 14 π cm; b) 5 dm.
3. Számítsd ki egy kör területét, ha a sugara: a) 6 cm; b) 9 2 cm; c) π cm.
4. Egy kör területe 4,84π cm2. Határozd meg a kör átmérőjét!
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
5. Egy kör kerülete 36 π cm. Számítsd ki az általa határolt körlap területét!
6. A T és K valós számok egy kör területét illetve kerületét fejezik ki cm2-ben, illetve cm-ben mérve. Határozd meg a T és K számokat, ha T K 5 2 !
7. A C1(O, r1) és C2(O, r2) kör sugara r1 = 17 cm illetve r2 = 21 cm.
a) Mennyivel nagyobb a C2 kör kerülete a C1 kör kerületénél?
b) Számítsd ki a két körvonal által határolt síkidom (körgyűrű) területét!
8. Az A, B és C pont a C (O,r ) körön úgy helyezkedik el, hogy AB 120, és C az AB nagy körív felezőpontja. Ha AD ⊥ BC, D ∈ BC és AD = 18 cm, számítsd ki a kör kerületét!
9. Az A, B, C pont a C(O, r) körön található úgy, hogy AC egy félkör és AB 120. Ha BC = 16 cm, számítsd ki az O középpontú, r sugarú kör területét!
10. Az AB és BC szakaszok egymásra merőleges húrok a C(O,r ) körben, és AB = BC = 2 m. Számítsd ki a kör kerületét!
11. Az A, B, C és D kollineáris pontok ebben a sorrendben helyezkednek el, és centiméterben kifejezve AB = BC – 1 = CD – 2 = 3. Ha k1, k2 és k3 az AB, BC illetve CD átmérőjű kör kerülete, számítsd ki az a k kk k kk k kk 1 23 2 31 3 12 . kifejezés értékét!
12. Az ábrán az ABCD négyzet és a C(O, r ) kör látható. A kiszínezett felület területe 8π cm2 . a) Számítsd ki a kör kerületét és a négyzet területét!
b) Határozd meg annak a síkidomnak a területét, amelyet úgy kapunk, hogy a négyzet belső tartományából eltávolítjuk a kiszínezett felületet!
amelyre virágot ültetnek, vagy az, amelyre gyepet telepítenek?
AB D O1 O2 O3 O4 C
16. Az O középpontú, R = 6 cm sugarú kör AB átmérőjének ellentétes oldalaira megszerkesztjük az OA és OB átmérőjű félköröket.
AOB
Határozd meg a bevonalkázott alakzat területét és a határát alkotó körívek összhosszát!
13. Egy körlapból kivágható legnagyobb négyzet területe 32 cm2. Határozd meg a körlap területét!
14. Egy kör alakú karkötő sugara 4 cm. Az ékszerész kivág belőle egy 90°-os AB körívet, majd az A és B pontot újra összeilleszti úgy, hogy szintén kör alakú, de kisebb karkötő keletkezzen. Számítsd ki az új kör kerületét és az általa meghatározott körlap területét!
15. Az ábrán egy virággrupp alaprajza látható. A kiszínezett felületre virágokat ültetnek, a maradék helyre gyepet telepítenek. Tudjuk, hogy ABCD négyzet és az OO OO OO OO 12233441
,,, körívek az A, B, C illetve D középpontú, egyenlő sugarú körökhöz tartoznak. Döntsd el, melyik terület nagyobb: az,
17. Két kerékpáros egy 48 m átmérőjű körpályán halad. Egyszerre indulnak el két, egymással átmérősen ellentétes A és B pontból, azonos mozgásirányban. 10 másodperc elteltével az A pontból induló kerékpáros megtette a körpálya 1 3 részét, a B pontból induló kerékpáros pedig a körpálya 1 4 részét. Mutasd ki, hogy a t = 10 s időpontban a kerékpárosok közötti távolság a körpálya mentén számolva kisebb, mint 63 m!
18. Egy mechanikus rendszer 20 mm átmérőjű kör alakú alkatrészt tartalmaz. Az AB sín mentén halad előre-hátra úgy, hogy minden egyirányú mozgásnál pontosan 2 teljes fordulatot tesz meg. Kiindulási helyzetében a kör az M pontban érinti a sínt.
a) Számítsd ki a sín hosszát!
b) Számítsd ki a megtett hosszt, amíg a kör másodszor is eléri a kiindulási helyzetet!
Hivatalból: 10 pont Munkaidő: 50 perc
I. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
5p 1. A C(O, r) kör nagyobbik AB körívén adott egy M pont és AOB∢ = 116 ° . Az AMB szög mértéke:
A. 58°; B. 116°; C. 64°; D. 53°.
5p 2. A C(O, r) körön, ahol r = 4 cm, felvesszük az A, B, P pontokat úgy, hogy AB = 8 cm, BPO∢ = 30 ° . Az AP szakasz hossza:
A. 12 cm; B. 8 cm; C. 4 cm; D. 2 cm.
5p 3. A C(O, r) körben adottak az AB és CD párhuzamos húrok, r = 10 cm, O∈AB, AD = 60°. Az ABCD négyszög kerülete egyenlő
A. 20 cm; B. 50 cm; C. 40 cm; D. 60 cm.
II. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Adott a C(O, r) kör egy A pontja. Az O ponton áthaladó és az A pontban a körhöz húzott érintővel párhuzamos egyenes a kört a C és D pontban metszi, CD = 20 cm, valamint B az AC kisebbik körív azon pontja, melyre AOB∢ = 60°
5p 1. A BC körív mértéke:
A. 60°; B. 90°; C. 75°; D. 30°.
5p 2. Az AB húr hossza:
A. 20 cm; B. 40 cm; C. 10 cm; D. 5 cm.
5p 3. Az ACD szög mértéke:
A. 60°; B. 45°; C. 30°; D. 90°.
5p 4. A kör hosszát kiszámolva a kapott eredmény:
A. 20π cm; B. 10π cm; C. 40π cm; D. 30π cm.
5p 5. A C(O, r) kör területe egyenlő:
A. 200π cm2; B. 400π cm2; C. 100π cm2; D. 300π cm2.
III. Írd le a teljes megoldást!
1. Az A, B, C, D, E egy kör azon különböző pontjai, melyekre AE = 72°, AB = BC = CD = DE és B, C, D az AE nagyobbik körív elemei.
10p a) Bizonyítsd be, hogy ABCDE egy szabályos sokszög!
10p b) Tudva, hogy az A és F átmérősen ellentett pontok, számítsd ki a CEF szög mértékét!
2. Az A, B, C, D kollineáris pontok, AB = 3 cm, BC = 5 cm, CD = 8 cm, és BC , AC , AD pedig félkörök (lásd a mellékelt ábrát).
5p a) Mértani eszközök segítségével készíts a feladat adatainak megfelelő ábrát!
10p b) Számítsd ki a színezett rész területét!
5p c) Számítsd ki a kékkel színezett rész területét!
10p d) Számítsd ki a BCAD spirál hosszát, ha a BC , AC , AD körívekből áll.
6. HÁROMSZÖGEK HASONLÓSÁGA
6.1. Arányos szakaszok •
Az egyenlő közű párhuzamosok
tétele
1.l. Arányos szakaszok. Szakasz felosztása arányos részekre
A mérés az emberiség egyik fontos, egyszerű és hasznos ötlete. Mérni annyit jelent, mint megismerni. A mérés lényege egy egyezményes mértékegység ismételt használata a tárgyak mennyiségi jellemzőinek kifejezésére.
Emlékeztető
Azt mondjuk, hogy az a1, a2, , a n valós számok egyenesen arányosak (vagy egyszerűen arányosak) a b1, b2, … , b n, n ∈ ℕ, n ≥ 2, valós számokkal ha
Az arányok közös értékét, a k számot, hasonlósági állandónak (tényezőnek), vagy hasonlósági aránynak nevezzük.
Egy háromszög oldalfelezői egy pontban metszik egymást. A metszéspontot a háromszög súlypontjának nevezzük, és mindegyik oldalfelezőn kétharmad részre van a csúcstól és egyharmad részre az alaptól.
Oldjuk meg figyelmesen!
Feladat: Tibor egy madáretetőt szeretne készíteni, melynek a képen látható faléc váza van. Minden léc egyforma hosszúságú. Van egy 3,2 méter hosszú farúdja. Mekkora lehet egy léc maximális hossza?
Megoldás: A fakeretet alkotó léceket megszámolva rájön, hogy 16 lécre van szüksége. Ekkor
minden egyes kis léc l hossza a rúd L = 3,2 m hosszúságának 16-od része, azaz 16 L l = . Tehát 3,20,2 16 l == (m) vagy l = 20 cm. Az 16 L l = összefüggés így is írható: 16 L l = l
Fedezzük fel, értsük meg!
1. Értelmezés: Két, ugyanazzal a mértékegységgel mért szakasz aránya egyenlő a szakaszok hosszának az arányával.
1. Alkalmazás: Számítsuk ki az AB és CD szakaszok arányát, tudva, hogy azonos mértékegységgel mérve AB 16 egység, CD pedig 10 egység!
Megoldás: Az AB és CD szakaszok aránya AB CD == 16 10 16,.
2. Alkalmazás: Számítsd ki egy bankkártya méreteinek arányát egy tizedesjegy pontossággal, tudva, hogy a kártyát körülvevő téglalap hossza körülbelül 8,6 cm, szélessége pedig 5,4 cm!
Megoldás: L l 86 54 ,16 , ,. Ez a szám valójában közel áll az 15 2 16180,, irracionális számhoz. Ez a szám a híres aranymetszés, amely a természetben, a festészetben, a szobrászatban, a világ minden táján megtalálható képek egyensúlyát és harmóniáját adja.
Sajátos kompetenciák:
2. Értelmezés: Adott n ∈ ℕ, n ≥ 2. Azt mondjuk, hogy az A1B1, A2B2, A3B3, … , A n B n szakaszok arányosak a C1D1, C2D2, C3D3, … , C n D n, szakaszokkal, ha a hosszúságuk (egyenesen) arányos, vagyis
AB CD AB CD AB CD AB CD nnk nn 11 11 22 22 33 33 ===== . Az arányok közös értékét, a k számot, hasonlósági állandónak nevezzük.
Példa. A G súlypontú ABC háromszög csúcsai által meghatározott AG, BG, CG arányosak a GA1, GB1, GC1 szakaszokkal, amelyeket a súlypont és az A1, B1, C1 oldalak felezőpontjai határoznak meg. Számold ki az arányossági tényezőt!
Megoldás: Az AA1, BB1, CC1 szakaszok oldalfelezők és G a súlypont. Akkor G ∈ AA1 és AG = 2 3 AA1, GA1 = 1 3 AA1. Hasonlóan a másik két oldalfelező esetében is. Azt látjuk,
hogy AG GA AA AA 1 1 1 2 3 1 3 2 == és a másik két esetben is, tehát AG GA BG GB CG GC
A hasonlósági arány: k = 2.
Alkalmazás
Megállapítottuk, hogy bármely AB és CD két szakasz esetén meghatározható az arányuk (a szakaszok hosszának aránya, ugyanazzal a mértékegységgel kifejezve), amely egy pozitív valós szám: AB k CD = . Feltevődik a kérdés: adott AB szakasz és k pozitív valós szám esetén létezik-e olyan az A és B pontokkal kollineáris C pont, amelyre az AC és BC szakaszok aránya k?
3. Alkalmazás: Az A és B település közötti 24,5 km hosszúságú egyenes útszakaszon egy P munkapont található, és a PA és PB távolságok aránya 0,75. Határozzátok meg a munkapont távolságát a településektől külön-külön!
Megoldás: A feladat adatai alapján írhatjuk, hogy PA + PB = 24,5 és PA PB = 3 4 .
Származtatással kapjuk, hogy PA PAPB 3 34 vagy PA 245 3 ,7, = Tehát PA = 10,5 és PB = 14.
Tehát a munkapont távolsága a településektől 10,5 km illetve 14 km. A fenti alkalmazás azt mutatja, hogy az adott AB szakasz és a k = 0,75 pozitív szám esetén létezik egyetlen olyan P pont a szakaszon, hogy PA k PB = Elég könnyen bizonyítható egy általános eredmény, amely nagyon hasznos a gyakorlati feladatok megoldásában. 4. Alkalmazás:
a) Bármely k pozitív valós szám esetén létezik egyetlen olyan C pont az AB szakasz belsejében, amelyre CAk CB = . b) Bármely k ≠ 1 pozitív valós szám esetén létezik egyetlen olyan C pont az AB szakasz tartóegyenesén, a szakasz külső tartományában, amelyre CAk CB = .
Bizonyitás: a) Ha AC BC k = , akkor 1 ACk ACBCk = ++ vagy 1 k ACAB k =⋅ +
Mivel 1 1 k k < + bármely k pozitív valós szám esetén azt kapjuk, hogy C az AB szakasz eleme. Továbbá, egyetlen
olyan C pont van az AB szakaszon, amely az A ponttól 1 k AB k ⋅ + távolságra található. Sajátos esetben, amikor k = 1, a C pont az AB szakasz felezőpontja.
Feladat a portfólióba
Bizonyítsd be a 4. b) pont alkalmazását az alábbi esetekben:
1) k > 1, esetén AC > BC és C pont az AB, szakasz külső tartományában van.
Ez csak akkor lehetséges, ha a pontok az A–B–C sorrendben helyezkednek el A B C
2) 0 < k < 1, esetén AC < BC, és a C pont az AB szakasz külső tartományában van. Ez csak akkor lehetséges, ha a pontok a C–A–B. sorrendben helyezkednek el. C A B
Következtetés: Bármely k ≠ 1, pozitív valós szám esetén létezik az A és B ponttal kollineáris C1 és C2 pont, egyik az AB szakasz belsejében, másik pedig a szakasz meghosszabbításán, amelyek az AB szakaszt k arányban osztják, azaz AC BC k = . k = 1 esetén létezik egyetlen C pont, amely az AB szakasz felezőpontja.
k < 1 k = 1 k > 1
Megoldott feladatok
1. Az A, B, C pontok kollineárisak, AC = 20 cm, AB BC = 3 .
Határozd meg az AB szakasz hosszát! Tanulmányozd az összes esetet!
Megoldás:
Mivel AB BC = 3, következik, hogy AB = 3 · BC. Ez igaz abban az esetben, ha B az A és C között van, vagy C van az A és B között.
Ha B az A és C között van, akkor AB + BC = AC és és AB BC AB AC 3 3 4 , tehát AB 3 4 2015 cm cm.
Ha C az A és B között van, akkor AB – BC = AC és AB BC AB AC 3 3 2 , tehát AB 3 2 2030 cm cm.
2. Tekintsük az AD szakasz B és C pontját úgy, hogy az AB, BC és CD szakasz hossza arányos legyen a 2-vel, 3-mal, illetve 4-gyel. Tudva, hogy BD = 21 cm, számítsd ki az AD szakasz hosszát!
Megoldás:
Az adatok alapján tudjuk, hogy a pontok sorrendje A, B, C, D és
ABBCCDk === .
234
Akkor AB = 2 · k, BC = 3 · k, CD = 4 · k. Mivel BC + CD = BD, következik, hogy 7 · k = 21 és k = 3.
Az eredmény AD = AB + BC + CD = 9 · k = 27 (cm).
Jegyezd meg!
Két, ugyanazzal a mértékegységgel mért szakasz aránya egyenlő a szakaszok hosszának az arányával.
Bármely k ≠ 1 pozitív valós szám esetén létezik az A és B ponttal kollineáris C1 és C2 pont, egyik az AB szakasz belsejében, másik pedig a szakasz meghosszabbításán. Ezek az AB szakaszt k arányban osztják
Az egyetlen pont, amely k = 1 arányban osztja a szakaszt, a szakasz felezőpontja.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az A, B, C, D, E, F, G, H, I pontok ebben a sorrendben kollineárisak. Az AI szakasz hossza 8 dm és az adott pontok kongruens szakaszokra osztják. Az AC és DH szakaszok arányosak a következő szakaszokkal:
A. BC és EF; B. CD és GI; C. AD és HG; D. AE és EI.
30 p 2. Adott az AB szakasz azon P pontja, amelyre AP PB = 2 3 és AB = 10 cm. Az AP szakasz hossza:
A. 5 cm; B. 2 cm; C. 8 cm; D. 4 cm.
30 p 3. Adott a CD szakasz azon Q pontja, amelyre CQ CD = 3 4 és DQ = 2 cm. A CD szakasz hossza:
A. 7 cm; B. 3 cm; C. 8 cm; D. 4 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Az alábbi ábrán látható AB és CD szakasz 6, illetve 7 kongruens szakaszból áll. Határozd meg a következő arányok értékeit: AM AB MB AM ,, CN CD NC ND ,. AMB CND
2. Határozd meg az AB és CD szakaszok arányát a következő esetekben:
a) AB = 25 mm, CD = 15 mm; b) AB = 0,17 m, CD = 510 mm.
3. Az A1, A2, … , A10, pontok a PQ szakasz belsejében helyezkednek el ebben a sorrendben, 11 kongruens részre osztva a szakaszt. Határozd meg a következő arányok értékeit: PA PQ PQ AA AA AA 1 56 37 29 ,,.
4. Rajzolj egy 6 cm hosszúságú CD szakaszt. Ha az E pont a CD egyenesen található, határozd meg az EC és ED szakaszok hosszát, majd az EC CD és ED CD arányok értékeit a következő esetekben:
a) Az E pont a CD szakaszon van és EC = 2ED; b) Az E pont a CD szakaszon kívül van és
CE = 9 cm.
5. A O origójú számegyenesen a mellékelt ábra szerint felvesszük az A, B és C pontokat. Ha tudjuk, hogy az egység 1 cm, számítsd ki:
AO –1+1 BC
a) az AO, BO, BC szakaszok hosszát.
b) az AO BO AO CO BO AC AB BC ,,,. arányokat!
6. Az ABC háromszögben jelölje D és E az AB illetve AC oldal felezőpontját. Számítsd ki az
AD DB EC AC K K ADE ABC ,,. arány értékét!
7. Az MN = 14 cm hosszúságú szakaszon ábrázoljuk a C pontot úgy, hogy CM CN = 2 5
Számítsd ki a CM és CN szakasz hosszát!
8. Az AB = 84 mm hosszúságú szakaszon ábrázoljuk a C pontot úgy, hogy 7 ⋅ AC = 4 ⋅ AB. Határozd meg
a BC szakasz hosszát, majd a BC AC arány értékét!
9. A d egyenesen tekintjük az A, B, C pontot úgy, hogy AB = 15 cm és AC BC = 2 3 .
a) Számítsd ki az AC és BC szakasz hosszát!
b) Állapítsd meg a pontok sorrendjét a d egyenesen!
2.l. Az egyenlő közű párhuzamosok tétele
1. Értelmezés: A d1 és d2 párhuzamos egyenesek közötti távolságot az AB szakasz hossza adja meg, ahol A ∈ d1 és B ∈ d2 , valamint AB ⊥ d1 .
A d1 és d2 párhuzamos egyenesek közötti távolságot jelölje d ( d1 , d2).
Észrevétel. Két párhuzamos egyenes közötti távolságot az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másik egyenestől való távolsága adja meg. Használjuk a következő jelölést d ( d1 , d2) = d ( A , d2) = d(B, d1) = AB.
2. Értelmezés: A d1 ∥ d2 ∥ d3 ∥ … ∥ d n , n ∈ , n ≥ 3, párhuzamos egyenesek sorozatát egyenlő közű párhuzamosoknak nevezzük, ha d ( d1 , d2) = d ( d2 , d3) = = d ( d3 , d4) == d ( d n 1 , d n).
Példa. A tűzoltók által tűzoltáshoz használt létra lépcsőfokai párhuzamos egyeneseken helyezkednek el. Két egymást követő lépcsőfok között azonos távolság van.
Fedezzük fel, értsük meg!
Az egyenlő közű párhuzamosok tétele
Egyenlő közű párhuzamos egyenesek bármely szelőn kongruens szakaszokat határoznak meg.
Matematikai jeleket használva:
Adottak d1 ∥ d2 ∥ d3 ∥ … ∥ d n egyenesek. Ha az a és a b egyenes az A1, A2, A3, …, A n, illetve a B1, B2, B3, …, B n, pontokban metszi az adott párhuzamos egyeneseket és A1A2 ≡ A2 A3 ≡
akkor
Alkalmazás
Az egyenlő közű párhuzamosok tételének egy gyakorlati alkalmazása a szakasz felosztása n egyenlő részre (n ∈ ℕ, n ≥ 2).
Alkalmazás: Határozzátok meg csak körző és vonalzó segítségével a D1 , D2 , … , Dn-1 , n ∈ ℕ, n ≥ 2, pontokat az AB szakaszon úgy, hogy AD1 = D1 D2 = D2 D3 = = D n 2 D n 1 = D n 1 B
Megoldás: Következőképpen járunk el:
1) Egy A kezdőpontú félegyenesen körző segítségével megszerkesztjük az n kongruens szakaszt, tehát AC1 ≡ C1 C2 ≡ C2 C3 ≡≡ C n 1 C n 2) Megszerkesztjük a CnB egyenest.
3) C1 , C2 , … , C n 1 , pontokon keresztül párhuzamosokat húzunk a CnB egyenessel, amelyek az AB félegyenest a D1, D2, … , D n−1 pontokban metszik. Ezek a pontok az AB szakaszt n egyenlő részre osztják, vagyis AD1 ≡ D1D2 ≡ D2D3 ≡ … ≡ D n 2D n 1 ≡ D n 1B = AB n , A párhuzamosok az a szelőn kongruens szakaszokat határoznak meg.
Jegyezd meg!
Egyenlő közű párhuzamos egyenesek bármely szelőn kongruens szakaszokat határoznak meg.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
A BC, PS, NR és MQ egyenlő közű párhuzamos egyenesek, M, N, P ∈ AB és Q, R, S ∈ AC, AM = MN és AQ = QR
30 p 1. Ha NP = 2,5 cm, akkor az AB szakasz hossza:
A. 5 cm B. 15 cm; C. 10 cm; D. 7,5 cm.
30 p 2. Az AQCS AC + arány értéke:
A. 2 3 ; B. 1 2 ; C. 3 2 ; D. 2 1 .
30 p 3. Ha az ABC egyenlő oldalú háromszög kerülete 13,2 dm, akkor a PS szakasz hossza:
A. 3,3 dm; B. 2,2 dm; C. 1,1 cm; D. 6,6 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc
Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Egy négyzethálós lapon egy b egyenest rajzolunk. A mellékelt ábra alapján a vízszintes vonalak a b egyenest a P1, P2, … , P9 pontokban metszik. P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 ba A B
a) Bizonyítsd be, hogy P1 P2 ≡ P2 P3 ≡≡ P8 P9 b) Állapítsd meg, hogy P5 a P1 P9 szakasz felezőpontja-e!
c) Tudva, hogy P2P8 = 5,4 cm, számold ki a P3 P7 szakasz hosszát, majd a PP PP 13 35 arány értékét!
2. Egy O kezdőpontú félegyenesen tekintjük az A, B, C pontokat úgy, hogy OA = 1 cm, OB = 2 cm, OC = 3 cm. Az O, A, B, C pontokon keresztül húzott párhuzamos egyenesek egy tetszőleges d egyenest az M, N, P illetve Q pontokban metszenek.
a) Számítsd ki az AB és a BC szakasz hosszát!
b) Igazold, hogy a P pont az NQ szakasz felezőpontja!
c) Ha NP = 2,8 cm, számítsd ki a 4 ⋅ MQ hosszát!
3. Az a és b egyenesek d1, d2, d3, d4, d5 egyenlő közű párhuzamos egyeneseket az A1, A2, A3, A4, A5 illetve a B1, B2, B3, B4, B5 pontokban metszik. Tudjuk, hogy A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 és B1B3 = 5,6 cm. Határozd meg a B1B2, B1B5, B2B5 szakaszok hosszát!
4. A CD = 6 cm hosszúságú szakaszon beosztásos vonalzót használva jelöld a P1, P2, P3, P4 pontokat úgy, hogy a CP1, P1P2, P2P3, P3P4, P4D szakaszok kongruensek legyenek!
5. Az ABCD paralelogramma AB oldalán felvesszük az E és F pontot úgy, hogy AE = EF = FB. Az E és F ponton keresztül az AC egyeneshez húzott párhuzamosok a BC egyenest M és N pontban metszik. Igazold, hogy MNAD 1 3 .
6. Az A, B, C, D, E kollineáris pontok ebben a sorrendben helyezkednek el úgy, hogy AB = BC = CD = DE, és P egy tetszőleges pont az AB egyenes egyik oldalán. A B ponton keresztül a PC egyeneshez húzott párhuzamos az AP egyenest M pontban metszi, valamint a D ponton keresztül a PC egyeneshez húzott párhuzamos a PE egyenest az N pontban metszi.
AB MN P QG CDE
a) Igazold, hogy AN oldalfelező az AEP háromszögben!
b) Ha BM ∩ AN = {Q} és PC ∩ AN = {G}, igazold, hogyAQ = QG = GN.
c) Bizonyítsd be, hogy az AN, EM és PC összefutó egyenesek!
1.l. Thalész tétele
Emlékeztető
Két párhuzamos egyenes közötti távolságot az egyik egyenes egy tetszőleges pontjának a másik egyenestől való távolsága adja meg.
Párhuzamos egyenesek sorozatát egyenlő közű párhuzamosoknak nevezzük, ha bármely két „szomszédos” egyenes közötti távolság ugyanakkora.
Példa. A négyzethálós lap vízszintes egyenesei tulajdonképpen egyenlő közű párhuzamosok.
Az ABC háromszög A csúcsa egy vízszintes egyenesen legyen, valamint a B és C csúcsa egy másik vízszintes egyenesen helyezkedjen el. Egy harmadik vízszintes egyenes az AB és AC oldalt a D illetve E pontban metszi
A vízszintes egyenesek az AD és AE szakaszokon ugyanannyi, p darab, kongruens szakaszt határoznak meg. Ugyanúgy a DB és EC szakaszt is q darab egyenlő részre osztják a négyzetháló vízszintes egyenesei.
Tehát a vízszintes egyenesek az AB szakaszt egyenlő hosszúságú részekre osztják, jelölje ezek hosszát u. Ekkor AD = p · u, valamint DB = q · u. Ugyanez érvényes az
AC oldal esetén is, ahol jelölje egy rész hosszúságát v, így kapjuk, hogy AE = p · v és EC = q · v
Megfigyelhetjük, hogy AD DB pu qu p q , illetve AE EC pv qv p q ,. Tehát AD DB AE EC = . A mellékelt ábrán p = 5 és q = 3.
Egy kis történelem
Milétoszi Thalész (623 – 546 Kr. e.) görög filozófus, a hét bölcs egyike, a matematika és filozófia atyja, a legkorábbi görög természetfilozófus.
Thalész tétele
Egy háromszög egyik oldalával húzott párhuzamos a másik két oldalon arányos szakaszokat határoz meg.
A mellékelt ábra jelöléseit használva Thalész tétele így írható:
Ha D ∈ AB, E∈ AC és DE ‖ BC, akkor DA DB EA EC =
Fedezzük fel, értsük meg!
1. Alkalmazás: Thalész tétele akkor is érvényes, ha a háromszögben az egyik oldallal húzott párhuzamos a másik két oldal tartóegyeneseit az oldalakon kívül metszi.
Ezt az állítást fogjuk bebizonyítani.
Az ABC tetszőleges háromszögben a BC oldallal húzott d párhuzamos az AB és AC egyeneseket D illetve E pontban metszi úgy, hogy a D és E metszéspontok nincsenek rajta AB illetve AC szakaszokon.
A következő esetek lehetségesek:
1) A B pont az AD szakaszon, míg a C pont az AE szakaszon van Az ADE háromszögben a BC egyenes párhuzamos a DE oldallal, így
alkalmazva Thalész tételét kapjuk, hog AB BD AC CE = , innen pedig származtatással
ABBD
BD ACCE CE , aránypárhoz jutunk, vagyis DA DB EA EC = .
2) Az A pont rajta van a BD és EC szakaszon.
Jelölje M a D pontnak az A pontra vonatkozó szimmetrikusát, valamint N az E pont A szerinti szimmetrikusát. Ekkor MA = AD, NA = AE, ahonnan az O.SZ.O kongruencia eset alapján következik, hogy az AMN és ADE háromszögek kongruensek. Mivel az AMN és
ADE belső váltószögek kongruensek, ezért MN ‖ ED de ED ‖ BC, tehát MN ‖ BC. Így az
ABC háromszögben MN párhuzamos a BC oldallal, tehát Thalész tétele alapján írhatjuk, hogy: AM MB AN NC = , ahonnan származtatással az AM AB AN AC = aránypárt kapjuk, vagy
DA
AB EA AC = , majd DA DB EA EC = .
E három eredmény együttesen a Thalész-tétel következő megfogalmazásához vezet:
Egy háromszög egyik oldalával húzott párhuzamos a másik két oldalon vagy az oldalak meghosszabbításain arányos szakaszokat határoz meg.
Alkalmazás
2. Alkalmazás: A szögfelező tétele. Az ABC háromszög, AB és AC oldalai különböző hosszúságúak, AD a BAC∢ szögfelezője, valamint D ∈ BC
Igazoljátok, hogy
DC DB AC AB !
Megoldás: A háromszög B csúcsán keresztül párhuzamost húzunk az AD szögfelezővel, amely az E pontban metszi az AC egyenest. Az AD és EB egyenesek párhuzamosak, így az AC szelő által keletkezett megfelelőszögek kongruensek, vagyis BEA∢ ≡ DAC∢ Majd az AB szelő által keletkezett belső váltószögek is kongruensek, tehát EBA∢ ≡ BAD∢. Mivel AD szögfelező, ezért DAB∢ ≡ DAC∢, tehát következik, hogy BEA∢ ≡ EBA∢, vagyis az ABE háromszög egyenlő szárú, melynek alapja az EB, tehát AE ≡ AB. (1)
A CEB háromszögben AD párhuzamos az EB oldallal, tehát Thalész tétele értelmében kapjuk, hogy DC DB AC AE = Innen pedig, felhasználva az (1) kongruenciát következik, hogy DC DB AC AB = .
Ha AB ≡ AC, akkor az ABC háromszög egyenlő szárú, tehát az AD szögfelező egyben oldalfelező is, ezért DC
DB AC AB == 1.
Megoldott feladat: Adott az ABC háromszög AB oldalának D pontja, DE ∥ BC, E ∈ AC és EF ∥ AB, F ∈ BC.
a) Tudva, hogy AD = 4 cm, DB = 6 cm, EC = 9 cm, számold ki az AC oldal hosszát!
b) Igazold, hogy AD DB · CF FB = 1.
Megoldás: a) Az ABC háromszögben D ∈ AB, E ∈ AC és DE ∥ BC, tehát teljesülnek Thalész-tétel feltételei.
Azt kapjuk, hogy
AD DB = AE EC ⇔ 4 6 = 9 AE és AE = 49 6 = 6 (cm). Akkor AC = AE + EC = 6 + 9 = 15 (cm).
b) Thalész-tétel segítségével fejezzük ki az AD DB és CF FB arányokat. Az ABC háromszögben E ∈ AC, F ∈ BC és
EF ∥ AB. Azt kapjuk, hogy CF FB = EC AE . Az a) alapján következik AD DB = AE EC . Akkor AD DB CF FB = AE EC EC AE = 1.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Az ABC háromszögben M ∈ AB, N ∈ AC, P ∈ BC, MN ∥ BC és NP ∥ AB
30 p 1. Ha AM = 2 cm, BM = 4 cm, AN = 3 cm, akkor az AC oldal hossza:
30 p 2. Ha 2 5 AN NC = és BM = 4,5 cm, akkor az AB oldal hossza:
A. 3,6 cm; B. 10 cm; C. 9 cm; D. 6,3 cm.
30 p 3. Ha P a BC oldal hossza, akkor a CN AC arány értéke:
A. 9 cm; B. 6 cm; C. 8 cm; D. 12 cm B C A M N P
A. 1; B. 0,3; C. 0,5; D. 0,(6).
Gyakorlatok és feladatok
1. Az ABC háromszögben D ∈ AB, E ∈ AC és DE ‖ BC. Másold le és egészítsd ki a pontozott részeket úgy, hogy egyenlő arányokat kapj! a) AD DB = ; b) EC AE = ; c) AE AC = .
2. A mellékelt ábrán az F, A, G illetve B, A, E pontok kollineárisak, valamint FB ‖ EG
Másold le és egészítsd ki a pontozott részeket úgy, hogy egyenlő arányokat kapj! a) FA AG = ; b) EA AB = ; c) AG FG = .
3. Az ABC háromszögben M ∈ AB, N ∈ AC, MN ∥ BC. Határozd meg az x számot az alábbi esetek mindegyikében, tudva, hogy az összes hosszúságot ugyanabban az mértékegységben fejezzük ki! a) C B M 10 8 5 x N A b)
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
4. Az ABC háromszög AB és BC oldalán az M és N pont úgy helyezkedik el, hogy MN ‖ AC, AM = 2 cm, AB = 6 cm, BC = 9 cm. Számítsd ki a BN és NC szakaszok hosszát!
5. A d egyenes párhuzamos az MNP háromszög NP oldalával és az MN és MP oldalak meghosszabbítását az A illetve B pontban metszi.
Számítsd ki az AM és AN szakaszok hosszát tudva, hogy: a) BM = 3,6 cm, MP = 4,8 cm és MN = 6 cm. b) BM BP = 2 5 és MN = 15 cm.
6. Az ABCD trapéz átlóinak metszéspontját jelölje O, AB ‖ CD, AB > CD és EO ‖ AB, E ∈ AD. Tudjuk, hogy AO OC = 4 3, DO = 6 cm, DE = 9 cm.
Határozd meg az AD és BD szakasz hosszát!
7. Legyen P az ABC háromszög BC oldalának egy tetszőleges pontja, valamint PE ‖ AB, E ∈ AC és PF ‖ AC, F ∈ AB. Ha AB = 9 cm, AC = 12 cm és PC = 2 BP. Számítsd ki az AEPF négyszög kerületét!
8. Az ABC háromszög oldalfelezője AM, ahol M ∈ BC és D egy tetszőleges pont az AM szakaszon.
D
NP A M BC
a) Ha DN ‖ AB és DP ‖ AC, ahol N, P ∈ BC, igazold, hogy DM a DNP háromszög oldalfelezője!
b) Tudva, hogy AD DM = 1 2 és BC = 18 cm, számítsd ki az NP szakasz hosszát!
2
9. Az r = 5 cm sugarú C(O, r) kör A pontjába húzott érintőn felvesszük a B pontot úgy, hogy AB = 12 cm.
a) Számítsd ki az OB szakasz hosszát!
a) Számítsd ki az OB szakasz hosszát!
b) Az OB félegyenes C pontban metszi a kört és CD ⊥ OA, D ∈ OA. Számítsd ki az OD szakasz hosszát!
10. Az ABC háromszögben M ∈ AB és MN ‖ BC, N ∈ AC, MP ‖ AC, P ∈ BC. Igazold, hogy AN AC BP BC +=1.
.l. Thalész tételének fordított tétele
Emlékeztető
Egy háromszög egyik oldalával húzott párhuzamos a másik két oldalon vagy az oldalak meghosszabbításain arányos szakaszokat határoz meg.
Thalész tétele egy hasznos bizonyítási módszer szakaszok arányosságainak igazolására.
Kérdés: Mi a szükséges feltétele annak, hogy egy egyenes párhuzamos legyen a háromszög egyik oldalával? A választ a következőkben adjuk meg.
Egy tételből kiindulva (direkt tétel) egy másik kijelentést fogalmazhatunk meg, amelyben a feltevés a direkt tétel következtetése, valamint az új kijelentés következtetése a direkt tétel feltevése, vagy egy része ennek. Ezt a kijelentést a direkt tétel fordított tételének nevezzük.
Egy tétel fordított tétele lehet igaz vagy hamis. Ha igaz, akkor fordított tételnek nevezzük és az eredmény használható más bizonyításoknál.
Az ábra jelöléseit használjuk, Thalész tétele és fordítottja egy tetszőleges ABC háromszögre vonatkozik és egy egyenesre, amely a háromszög két oldalát a D és E pontban metszi.
Thalész tétele
Feltevés
Egy egyenes párhuzamos a háromszög egyik oldalával.
D ∈ AB, E ∈ AC és DE ∥ BC Következtetés:
Az egyenes metszéspontjai a háromszög két oldalán arányos szakaszokat határoznak meg. AD DB AE EC =
Thalész fordított tétele A BC DE
Feltevés
Egy egyenes a háromszög két oldalán arányos szakaszokat határoz meg.
D ∈ AB, E ∈ AC és AD DB AE EC =
Következtetés:
Az egyenes párhuzamos a háromszög harmadik oldalával.
DE ∥ BC
Igazoljuk, hogy teljesül Thalész tételének fordított tétele. E fordított tétel segítségével könnyen kimutathatjuk két egyenes párhuzamosságát, szakaszok arányosságának ismeretében.
Tétel: Thalész tételének fordított tétele
Ha egy egyenes egy háromszög két oldalán arányos szakaszokat határoz meg, akkor ez az egyenes párhuzamos a háromszög harmadik oldalával
Bizonyitás: Az ABC háromszög AB illetve AC oldalait egy egyenes a D és E pontban metszi úgy, hogy ezek az AB illetve AC oldalakon arányos szakaszokat határoznak meg, azaz AD DB AE EC = . (1)
Igazolni fogjuk, hogy a DE párhuzamos a BC oldallal.
A hamis feltevés módszerét alkalmazzuk, vagyis feltételezzük, hogy DE és BC nem párhuzamosak. Ekkor megszerkesztjük a D ponton keresztül a BC oldalhoz húzott párhuzamost, amely az E1 pontban metszi az AC oldalt.
Mivel az ABC háromszögben DE1 ∥ BC ezért Thalész tétele értelmében: AD DB AE EC = 1 1 . (2)
Az (1) és (2) azonosságok alapján kapjuk, hogy AE EC AE EC = 1 1 , majd AE AEEC AE AEEC 1 11 és
Innen következik, hogy AE = AE1, ami pedig azt jelenti, hogy E és E1 pontok egybeesnek.
Ellentmondáshoz jutottunk, tehát a feltevés hamis. Következésképpen, DE ∥ BC.
Az igazolt eredmény akkor is érvényes, ha a D pont az AB oldal meghosszabbításán van, ami maga után vonja, hogy az E az AC oldal meghosszabbításán van.
Ennek bizonyítása ugyanezen gondolatmenet alapján történik, az ábra megfelelő megváltoztatásával.
Alkalmazás
Alkalmazás: A szögfelező tételének fordított tétele
Az ABC háromszög BC oldalán található D pont esetén DB DC AB AC = . Igazold, hogy AD az A szög szögfelezője!
Megoldás: Keressük a fenti tétel alkalmazásának módját. Tegyük fel, hogy a B, D, C pontok kollineárisak. Az
AC meghosszabbításán megszerkesztjük meg az AB-vel kongruens AE szakaszt. Akkor AB AC AE AC = . A feltevésben levő összefüggés DB DC AB AC AE AC == , lesz, vagyis az AD egyenes arányos szakaszokat határoz meg a BCE háromszög CE és CB oldalain, és a Thalész fordított tétele alapján az AD és BE egyenesek párhuzamosak. Az AD és BE egyenesek párhuzamosak, tehát az AB szelő által meghatározott belső váltószögek kongruensek, azaz BAD∢ ≡ ABE∢, valamint az AC szelő által meghatározott megfelelőszögek is kongruensek, tehát DAC∢ ≡ AEB∢. Másrészt, az ABE háromszög egyenlő szárú, alapja BC, ezért ABE∢ ≡ AEB∢, ahonnan következik, hogy, BAD∢ ≡ ABE∢ ≡ AEB∢ ≡ DAC∢ Következésképpen BAD∢ ≡ DAC∢, tehát AD a BAC∢ szög szögfelezője.
Feladat a portfólióba
D C A E
1. Bizonyítsd be a szögfelező fordított tételét! Használd az ellentmondásra való visszavezetés módszerét!
2. Ha az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontja az átlókon arányos szakaszokat határoz meg, akkor igazold, hogy az ABCD négyszög trapéz vagy paralelogramma!
Ha egy egyenes egy háromszög két oldalán arányos szakaszokat határoz meg, akkor ez az egyenes párhuzamos a háromszög harmadik oldalával. Jegyezd meg!
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABC háromszög AB és AC oldalán felvesszük a D illetve az E pontot úgy, hogy 1 3 AD AB = , AC = 15 cm, CE = 10 cm. A „BC és DE egyenesek párhuzamosak” kijelentés
A. igaz; B. hamis.
30 p 2. Az ABCD konvex négyszög. Az AB és CD egyenesek a P pontban metszik egymást. Ha PAPD PBPC = , akkor az ABCD négyszög:
A. négyzet; B. téglalap; C. rombusz; D. trapéz.
30 p 3. Az MNPQ négyszög téglalap. Az A pont az MN oldal eleme, a B pont pedig az NP oldal eleme úgy, hogy MA AN = 1 2 és NB BP = 2. Ha AB ⋂ NQ = {C}, akkor az NC NQ arány értéke:
A. 0,(3); B. 0,1(6); C. 0,25; D. 0,5.
Gyakorlatok és feladatok
1. Egy négyzethálós lapra az AB, CD és EF szakaszokat rajzoltuk, amint a mellékelt ábra mutatja. B A C E D F
Igazold, hogy az AB, CD és EF egyenesek párhuzamosak!
2. Az ABC háromszögben M ∈ AB, N ∈ AC. Határozd meg az MN és BC egyenesek helyzetét a következő esetekben:
a) AM = 4 cm, AN = 6 cm, MB = 10 cm, NC = 15 cm.
b) AB = 15 cm, BM = 9 cm, 2 3 AN NC = .
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
3. Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalain felveszszük a D, E illetve F pontot úgy, hogy AD = 3 · BD, BC = 4 · BE és CF = 0,25 AC. Igazold, hogy:
a) a DF és BC egyenesek párhuzamosak. b) a DE és AC egyenesek párhuzamosak.
4. A CDE háromszögben CD = 20 cm és CE = 24 cm. Meghosszabbítjuk a CD oldalt az AC = 12 cm és DF = 8 cm szakaszokkal. Hasonlóan, a CE oldalt is meghosszabbítjuk a CB = 15 cm és EG = 11 cm szakaszokkal. Másold le a füzetedbe, majd döntsd el a következő kijelentésekről, hogy igazak vagy hamisak! Indokold a válaszodat!
a) DE ∥ FG; b) AB ∥ DE; c) AB ∥ FG. A B E
5. Az ABCD paralelogramma AC átlójának tetszőleges E pontján keresztül párhuzamosokat húzunk a paralelogramma oldalaihoz úgy, hogy EM ∥ AB, M ∈ BC és EN ∥ AD, N ∈ CD. Igazold, hogy MN ∥ BD!
9. Az ABCD trapézban AB ∥ CD, E ∈ AC, F ∈ BC, G ∈ CD, AE = 1 cm, AC = 4 cm, BC = 8 cm, CF = 6 cm. a) Igazold, hogy EFCG trapéz vagy paralelogramma! b) Igazold, hogy ha GE ∥ AD, akkor FG ∥ BD!
6. Az ABC háromszög BC oldalának D a felezőpontja, a DE, DF az ADB∢, illetve ADC∢ szögfelezője
E ∈ AB, F ∈ AC. Igazold, hogy EF ∥ BC!
7. Az MNP egyenlő oldalú háromszög oldalain
tekintjük az R ∈ MN, S ∈ NP pontokat úgy, hogy
NR = PS = 12 cm. Ha MN = 18 cm, akkor igazold, hogy az RS egyenes párhuzamos az NMP∢ szög szögfelezőjével!
8. Az xOy hegyesszög szárait a C1(O,r1) kör az A és B pontban metszi, valamint a C2(O,r2), r2 > r1, kör C és D pontban metszi. Igazold, hogy AB ∥ CD!
10. Legyen E az ABCD téglalap AB oldalának egy tetszőleges pontja és F egy pont a CD oldal meghosszabbításán, amint a mellékelt ábra mutatja. Legyen {G} = AD ∩ BF és {H} = DE ∩ BC. Igazold, hogy GE ∥ FH ! A B D C F E
H
11. Az ABC háromszög AB oldalán legyen a D pont úgy, hogy AD AB = 3 8 , és az E, F, G pontok az AC oldalon vannak, ahol AE = 2,2 cm, AF = 2,4 cm, AG = 2,7 cm, GC = 3,7 cm. Határozd meg az „A {DE, DF, DG} halmazban van egy olyan egyenes, amely párhuzamos a BC egyenessel” kijelentés logikai értékét!
3.l. Szakasz felosztása adott arányban
Emlékeztető
Egyenlő közű párhuzamos egyenesek bármely szelőn kongruens szakaszokat határoznak meg.
Az egyenlő közű párhuzamosok tételének gyakorlati alkalmazása egy szakasz felosztása n egyenlő részre.
Ez a tétel segített abban, hogy megértsük Thalész tételét, amely két összefutó egyenesen két párhuzamos által meghatározott arányos szakaszokhoz vezet.
Fedezzük fel, értsük meg!
Felmerülnek a következő kérdések:
1) Milyen összefüggés áll fenn három vagy több párhuzamos egyenes által két szelőn meghatározott szakaszok között?
2) Hogy tudunk felosztani egy szakaszt két vagy több részre adott arányosság szerint?
1. Alkalmazás: Igazolni fogjuk, hogy három párhuzamos egyenes két tetszőleges szelőn arányos szakaszokat határoz meg.
Bizonyitás: A d1, d2, d3 párhuzamos egyenesek az a szelőt az A, B, illetve C pontban, míg a b szelőt a D, E, illetve F pontban metszik.
Igazolni fogjuk, hogy AB BC DE EF = .
Olyan háromszöget szeretnénk találni, amelynél a megadott egyenesek egyike párhuzamos a háromszög egyik oldalával. A D ponton keresztül párhuzamost húzunk az a egyeneshez, amely a d2 és d3 egyeneseket a G illetve H pontban metszi. Így az ABGD és BCHG paralelogrammák keletkeznek. A paralelogrammában a szemközti oldalak kongruensek, azaz AB ≡ DG és BC ≡ GH. A DHF háromszögben GE ∥ HF, így Thalész tételét
alkalmazva DG GH DE EF = Majd felhasználva a bizonyított kongruenciákat kapjuk, hogy AB BC DE EF =
Hasonló eredményeket kapunk több párhuzamos egyenes esetén is.
Tétel
Három vagy több párhuzamos egyenes bármely két szelőn arányos szakaszokat határoz meg.
Feladat a portfólióba
András barátja, Balázs egy 3 m hosszúságú lécből hasonló kalitkát szeretne építeni, mint
András úgy, hogy a felhasznált lécek ne legyenek mind egyforma hosszúságúak.
A mellékelt ábra alapján az azonos színű szakaszok egyenlő hosszúságúak, jelölje őket
a, b, h illetve c. Tudjuk, hogy: 1,6 ah hb == és 1,2 c a = .
a) Geometriai eszközök vagy GeoGebra segítségével modellezd egy 3 m-es szakasz (lécek) felosztását 4 olyan szakaszra (lécekre), amelyek hossza arányos a következő számokkal: 1; 1,6; 2,5 és 3!
b) Határozd meg az a, b, c, h hosszúságokat úgy, hogy a kapott valós számokat tizedekre kerekíted! a b h c
Útmutatás. Mivel a h h b == 16 , és c a = 12 , , és ha tizedekre hiánnyal közelítjük,
azt kapjuk, hogy h = 1,6 · b; a = 2,5 · b; c = 3 · b, vagyis
,, . Tehát b, h, a, c arányosak az 1; 1,6; 2,5; 3 számokkal.
116253
a) Kövesd az alábbi lépéseket:
1. lépés. Megszerkesztjük az AX félegyenest.
2. lépés. Szerkesztünk egy olyan AB, B ∉ AX szakaszt, mely a 300 cm hosszú lécet ábrázolja.
3. lépés. Ábrázoljuk az AX félegyenesen a P, Q, R, S pontokat ebben a sorrendben úgy, hogy AP = 1 cm, PQ = 1,6 cm, QR = 2,5 cm és RS = 3 cm.
4. lépés. Megszerkesztjük az SB szakaszt, majd a P, Q, R pontokon áthaladó SB-vel párhuzamos egyeneseket, amelyek az AB félegyenest a C, D illetve E pontban metszik.
5. lépés. Felírjuk az AB és AX egyeneseken a három párhuzamos által meghatározott szakaszok arányosságát.
AC AP CD PQ DE QR EB RS === .
b) 6. lépés. Meghatározzuk az AC, CD, DE, EB szakaszok hosszát az egyenlő arányok tulajdonságának felhasználásával, ahol AP + PQ + QR + RS = 8,1 és AC + CD + DE + EB = 300.
7. lépés. Kiszámoljuk az a, b, h, c értékeit tudva, hogy AC = 4b, CD = 4h, DE = 4a, EB = 4c.
Jegyezd meg!
Az AB szakaszt feloszthatjuk az a1, a2, … , a n pozitív számokkal arányos részekre, a következő eljárás szerint:
1) Szerkesztünk egy tetszőleges AX félegyenest, amelyen felvesszük a P1, P2, … , P n, pontokat úgy, hogy AP1 = a1, P1P2 = a2, ... , P n –1P n = a n .
2) Megszerkesztjük a P n B szakaszt, majd a szakasszal párhuzamosokat szerkesztünk a P1 , P2 , … , P n –1 pontokon keresztül.
3) Jelöljük a Q1, Q2, … , Qn–1 pontokkal a párhuzamosok és AB szakasz metszéspontjait. Így az AQ1, Q1Q2, … , Qn–1B szakaszokat kapjuk. Ezek arányosak a megadott számokkal.
Megjegyzés: A fenti algoritmus akkor is érvényes marad, ha az a1, a2, ..., a n sorozat helyett az azzal arányos b1, b2, ..., b n sorozatot tekintjük, így a P1, P2, ..., P n pontok szerkesztése elvégezhető a füzetben. Indokold!
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az AB szakasz hossza 24 cm. A P pont 3 5 arányban osztja az AB szakaszt. Az AP szakasz hossza:
A. 9 cm; B. 8 cm; C. 6 cm; D. 12 cm.
30 p 2. A O hegyesszög Ox szárán felvesszük az A, B, C, D pontokat, az Oy szárán pedig az M, N, P, Q pontokat.
Tudva, hogy OA = 1 cm, OB = 3 cm, OC = 6 cm, OD = 10 cm, OM = 1,5 cm, MN = 3 cm, NP = 4,5 cm, PQ = 6 cm, akkor igaz a következő kijelentés:
A. AM ∥ DP; B. BN ∥ CQ; C. CP ∥ DQ; D. AN ∥ BQ
30 p 3. Az A, B, C, D pontok ebben a sorrendben kollineárisak, 1 5 AB BD = , 5 4 DC CA = , AD = 18 cm.
A BC szakasz hossza:
A. 6 cm; B. 7 cm; C. 8 cm; D. 5 cm.
Gyakorlatok és feladatok
1. Az AB = 125 mm hosszúságú szakaszt a P pont az 5 és 7,5 számokkal egyenesen arányos részekre osztja. Határozd meg az AP és PB szakaszok hosszát!
2. Az A, B, C, D, E pontok kollineárisak ebben a sorrendben úgy, hogy AB = 4 cm, BC = 5 cm, CD = 6 cm, DE = 7 cm. Ezen pontokon keresztül párhuzamosokat szerkesztünk, amelyek egy tetszőleges d ≠ AB egyenest az M, N, P, Q illetve R pontokban metszenek. Számítsd ki az MN, PQ, NR szakaszok hosszát a következő esetekben: a) MR = 33 cm; b) NP = 2,5 cm.
3. Az ABC háromszögben az AB szakasz tetszőleges D és F pontjain keresztül megszerkesztjük a DE ∥ FG ∥ BC párhuzamosokat, ahol az E és G pontok az AC szakasz pontjai. Ha AE = 4 cm, AG = 6 cm,
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
EC = 7 cm, AB = 22 cm, határozd meg az AD, DF, FB szakaszok hosszát!
4. Az ABCD trapézban AB ∥ CD, az MN szakasz a trapéz középvonala úgy, hogy M ∈ AD, N ∈ BC, valamint a PQ szakasz a CDMN trapéz középvonala, P ∈ DM és Q ∈ CN. Ha AP = 12 cm és NQ = 4 cm, határozd meg a DP, BN és CQ szakaszok hosszát. Ellenőrizd, hogy ABCD trapéz egyenlő szárú.
5. Az A és B pont az MN szakasz két belső pontja úgy, hogy MB > MA és MN = 0,51 m. Az MA, AB, BM szakaszok hosszúságát centiméterben természetes számok fejezik ki, amelyek egyenesen arányosak három egymás utáni, növekvő sorrendbe rendezett természetes számmal. Határozd meg az MA, AB, BM szakasz hosszát!
6.3. Hasonló háromszögek
1.l. Hasonló háromszögek • A hasonlóság alaptétele
Két alakzatról az mondjuk, hogy hasonlók, ha ugyanazon tulajdonságokkal rendelkeznek. A Párizsban található Diadalív hasonló építészeti sajátosságokkal rendelkezik, mint a bukaresti. Az ábrákon található geometriai alakzatok hasonlók, de nem kongruensek, mert méreteik különbözők. A mértani alakzatok tulajdonságai az oldalak és szögek számára illetve méretére vonatkoznak. Bizonyos esetekben az alakzatok méretei annyira nagyok, hogy csak egy csökkentett méretű modellt tudunk elkészíteni, amely megőrzi a tulajdonságokat.
Példa. Az udvaron egy derékszögű háromszög alakú homokozót szeretnénk kialakítani, amelynek befogói 4 m illetve 2 m hosszúságúak. A részletek megállapításhoz vázlatot készítünk. Mivel a lapra nem tudunk rajzolni ilyen méretekkel rendelkező háromszöget, így egy hasonló derékszögű háromszöget szerkesztünk, amelynek egyik befogója fele a másiknak.
Emlékeztető
Két mértani alakzat akkor kongruens, ha egymásra helyezés révén egybeesik.
Két háromszögről azt mondjuk, hogy kongruensek, ha megfelelő oldalaik és szögeik kongruensek.
A kongruencia esetek (kritériumok) lehetőséget adnak arra, hogy két háromszög kongruenciáját bizonyítsuk, a megfelelő elemek hat kongruenciapárja közül csak hárommal.
Két szakasz aránya azonos a hosszúságuk arányával, azonos mértékegységben kifejezve.
Fedezzük fel, értsük meg!
Az O.O.O. kongruencia eset igazolja, hogy nem létezik két háromszög, amelyekben a megfelelő oldalak kongruensek, de a megfelelő szögek nem.
Feltevődik a következő kérdés: létezik-e két olyan háromszög, amelyekben a megfelelő szögek kongruensek anélkül, hogy a megfelelő oldalak is kongruensek lennének?
Gyakorlati foglalkozás: A fenti kérdésre a választ keresve párban fogtok dolgozni, vagyis két fős csoportokat alkottok. A következőkre van szükségetek: papír, ceruza, mértani felszerelés, olló. 1. lépés. A csapat egyik tagja megszerkeszti az ABC háromszöget, amelyben: A∢ = 40° , B∢ = 60° , AB = 8 cm. Közben a másik tagja az MNP háromszöget szerkeszti meg a M∢ = 40° , P∢ = 80° , MN = 4 cm méretekkel.
2. lépés. Beosztásos vonalzóval mérjétek meg az AC és BC valamint az MP és NP szakasz hosszát.
3. lépés. Másoljátok le a füzetetekbe az alábbi táblázatot, majd töltsétek ki a kapott mérési eredményekkel!
AB MN AB MN AC MP AC MP BC NP BC NP
8 cm 4 cm 2
4. lépés. Vágjátok ki a két háromszöget!
5. lépés. A kisebbik háromszög M szögének szárait tegyétek rá a nagyobbik háromszög A szögének száraira, betartva a jelölés sorrendjét: az MN félegyenes az AB félegyenesen, míg az MP félegyenes az AC félegyenesen legyen.
Megfigyelések
a) Végtelen sok olyan háromszöget szerkeszthetünk, amelyeknek a megfelelő szögei kongruensek az ABC háromszög szögeivel és a megfelelő oldalak hosszúsága különböző.
b) Bármely két ilyen háromszög megfelelő oldalai arányosak.
Értelmezés: Két háromszögről azt mondjuk, hogy hasonlók, ha megfelelő szögeik kongruensek és megfelelő oldalaik arányosak.
Két megfelelő oldal arányát hasonlósági aránynak nevezzük.
Megjegyzés: Két ilyen háromszög, amelynek hasonlósági aránya 1, kongruens háromszög.
Az ABC és DEF háromszögek hasonlóságára az ABCΔ ∼ DEFΔ jelölést használjuk.
A két háromszög megfelelő szögei kongruensek
A két háromszög megfelelő oldalai arányosak.
Megjegyzés: A hasonlóság felírásának sorrendje megőrzi a megfelelő csúcsok sorrendjét.
Az oldalak arányosságának írásakor a sorrend megőrzi a megfelelő csúcsok által adott sorrendet.
Két háromszög közötti hasonlósági reláció helyes felírásához figyelembe kell vennünk a következőket: – a kongruens szögpárokat: A∢ ≡ D∢, B∢ ≡ E∢, C∢ ≡ F∢; – Az ABC háromszög A szögével szemközti oldalnak a DEF háromszög D szögével szemközti oldal felel meg. Így az AB és DE, BC és EF, AC és DF oldalpárok megfelelőek; – A megfelelő oldalak arányosságát a következőképpen írjuk: AB DE BC EF AC DF == .
A hasonlósági reláció a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
Minden háromszög hasonló önmagával: ABCΔ ∼ ABCΔ.
Ha ABC∆∼ DEF∆ , akkor DEF∆∼ ABC∆
Ha ABC∆∼ DEF∆ és DEF∆∼ MNP∆ , akkor ABC∆∼ MNP∆ .
Ha ABC∆≡ DEF∆ , akkor ABC∆∼ DEF∆ .
Olyan mértani szerkesztéseket szeretnénk találni, amelyek segítségével hasonló háromszögeket kapunk. Ebben segít a következő tétel:
A hasonlóság alaptétele
Egy háromszög egyik oldalával párhuzamosan húzott egyenes a háromszög másik két oldalával vagy azok meghosszabbításaival az eredetihez hasonló háromszöget alkot.
Bizonyitás: Az ABC háromszögben d egyenes párhuzamos a háromszög BC oldalával. A következő két eset lehetséges:
I. A d egyenes az AB és AC oldalt a D illetve E pontban metszi. Igazoljuk, hogy az így keletkezett ADE háromszög hasonló az eredeti ABC háromszöggel.
• A szögek kongruenciája. Mivel DE ∥ BC, így a DB és EC szelők által meghatározott megfelelő szögek kongruensek, azaz ADE∢ ≡ ABC∢, illetve
AED∢ ≡ ACB∢. Másrészt a DAE∢ és BAC∢ szögek egybeesnek, tehát kongruensek.
• Az oldalak arányossága. Mivel az ABC háromszögben DE ∥ BC, Thalész tételéből következik, hogy AD AB AE AC = Az E ponton keresztül az AB oldalhoz húzott párhuzamos a BC oldalt az F pontban metszi.
Mivel EF ∥ AB, így Thalész tétele értelmében
AE AC BF BC = . Másrészt, a DEFB négyszög paralelogramma, tehát DE ≡ BF. Ezt felhasználva az előző aránypárból kapjuk, hogy AE AC DE BC =
A két egyenlőség alapján azt kapjuk, hogy AD AB AE AC DE BC == , vagyis a megfelelő oldalak arányosságát.
Bebizonyítottuk, hogy az ADE és ABC háromszögek megfelelő szögei kongruensek, és a megfelelő oldalai arányosak, így az értelmezés szerint a két háromszög hasonló
II. A d egyenes metszi a háromszög oldalainak meghosszabbításait.
a) A B pont rajta van az AD szakaszon, a C pont az AE szakaszon valamint DE ∥ BC. Az ADE háromszögben a BC egyenes párhuzamos a háromszög DE oldalával, így teljesülnek az I. eset feltételei. Felhasználva a bizonyított eredményt következik, hogy a megfelelő szögek kongruensek és a megfelelő oldalak arányosak, azaz a két háromszög hasonló.
b) Az A pont a BD és CE szakaszok metszéspontja, valamint DE ∥ BC. Így a BD szelő által meghatározott belső váltószögek kongruensek, azaz ADE∢ ≡ ABC∢. Ugyanúgy a CE szelő által meghatározott belső váltószögek is kongruensek, tehát
AED∢ ≡ ACB∢ Másrészt, DAE∢ ≡ BAC∢ (csúcsszögek). (1) Megszerkesztjük a CF ∥ AD, F ∈ DE és AG ∥ BC, G ∈ CF párhuzamosokat, így BC ∥ AG ∥ DF Ekkor a BCFD, AGFD és BCGA négyszögek paralelogrammák, innen pedig következik, hogy DF ≡ BC, GF ≡ AD és GC ≡ AB. A CEF háromszögben AG ∥ EF, tehát teljesülnek az I. eset feltételei.
Thalész tételét alkalmazva kapjuk, hogy AE AC GF GC = vagy AE AC AD AB =
A CEF háromszögben AD ∥ CF, tehát teljesülnek az I. eset feltételei. AE AC DE DF = vagy AE AC DE BC = .
Következésképpen, AD AB AE AC DE BC == és figyelembe véve az (1) kongruenciákat következik, hogy ADEΔ ∼ ABCΔ. Alkalmazás
1. Alkalmazás: Az ABCD trapéz alapjai AB, CD; {O } = AC ∩ BD. Igazold, hogy az O pont a trapéz AC és BD átlóit az alapok arányával egyenlő arányra osztja!
Megoldás: Az OAB háromszögben DC ∥ AB. A hasonlóság alaptételének értelmében: OCDΔ ∼ OABΔ. Így a megfelelő oldalak arányosak, vagyis
OC OA OD OB CD AB == , tehát az O pont az átlókat CD AB aránnyal egyenlő arányra osztja.
2. Alkalmazás: Az ABCD trapézban AB ∥ DC és {O } = AC ∩ BD. Az O ponton keresztül az alapokkal párhuzamosan húzott egyenes a trapéz AD és BC oldalát az E illetve F pontban metszi. Igazold, hogy az O pont az EF szakasz felezőpontja!
Megoldás: Összehasonlítjuk az OE és OF szakaszokat. Ezek tartóegyenese az EF egyenes, amely párhuzamos az AB alappal. A hasonlóság alaptételének értelmében a DEOΔ ∼ DABΔ, tehát DE DA DO DB EO AB == , valamint COF∆∼ CAB∆, tehát CO CA CF CB OF AB == . De COD∆∼ AOB∆ (1. alkalmazás) és OC OA OD OB = , innen pedig származtatással kapjuk, hogy OC AC OD BD = Összehasonlítva az első két egyenlő aránysorozatot az utolsó
aránypárral következik, hogy EO AB OF AB = , amely egyenértékű azzal, hogy EO ≡ OF, vagyis az O pont az EF szakasz felezőpontja.
Jegyezd meg!
Két háromszögről azt mondjuk, hogy hasonlók, ha megfelelő szögeik kongruensek és megfelelő oldalaik arányosak.
Egy háromszög egyik oldalával párhuzamosan húzott egyenes a háromszög másik két oldalával vagy azok meghosszabbításaival az eredetihez hasonló háromszöget alkot.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABC és a DEF hasonló háromszögek, AB = 3 cm, BC = 6 cm, AC = 8 cm, DE = 9 cm. Az EF szakasz hossza:
A. 12 cm; B. 18 cm; C. 16 cm; D. 15 cm.
30 p 2. Ha ABC∆~DEF∆, A∢ = 1,5·B∢ = 90°, akkor az F szög mértéke:
A. 30° ; B. 60° ; C. 45° ; D. 75° .
30 p 3. Az ABCD négyszögben, AC ⋂ BD = {O}, BAC∢ = 35° , COD∢ = 100°, BDC∢ = 45°. Igaz a következő hasonlóság:
A. OAB∆∼ OAD∆ ;
B. AOD∆∼ BOC∆ ;
C. AOB∆∼ COD∆ ;
D. ACD∆∼ BDC∆
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
1. Az értelmezést felhasználva igazold, hogy a következő háromszögpárok hasonlók! Mindegyik pár esetén írd fel a megfelelő oldalak és szögek közötti összefüggéseket!
2. Az ABC és DEF háromszögek hasonlók.
a) Ha AB = 4 cm, BC = 5 cm, EF = 7,5 cm, DF = 9 cm, számold ki az AC és DE hosszát!
b) Ha A∢ = 30° és F∢ = 70°, számold ki a B∢, C∢, D∢ és E∢ szög mértékét!
c) Ha AB = 15 cm, BC = 24 cm, AC = 18 cm és KDEF = 76 cm, számold ki a DE, EF és FD szakasz hosszát!
3. Ha ABC∆∼ MNP∆ , AB = 8 cm, MN = 6 cm, NP = 9 cm, PM = 12 cm, számold ki az ABC háromszög kerületét
4. Ha ABC∆∼ DEF∆ , A∢ + C∢ = 80 ° + B∢ és D∢ = 65 °, számold ki a DEF háromszög szögeinek mértékét!
5. A GEO és MAT hasonló háromszögek esetén a hasonlósági arány k = 2 5 . Tudva, hogy GE = 4 cm, GE + 2 EO =13,6 cm és 1 4 1 3
78 GEEOOG ,cm., határozd meg a MAT háromszög oldalainak hosszát!
6. Az ABC háromszögben M ∈ AB, N ∈ AC és MN ‖ BC. Határozd meg az x szám értékét mindhárom esetben!
7. A mellékelt ábrán látható ABC háromszögben ABC, M ∈ AB, N ∈ AC és ANM∢ ≡ ACB∢ a) Igazold, hogy az AMN és
ABC háromszögek hasonlók. Írd fel azokat az egyenlő arányokat, amelyeket a hasonlóság alaptételének alkalmazásával kapunk!
b) Ha AMN∢ + ACB∢ = 134°, határozd meg a BAC∢ mértékét!
8. A DEF háromszög DE és DF oldalain felvesszük
az A és B pontot úgy, hogy AD AE = 3 5 és 5 8 BF DF =
a) Mutasd ki, hogy AB ‖ EF.
b) Tudva, hogy EF = 3,6 cm, határozd meg az AB szakasz hosszát!
9. Az ABC háromszögben P, Q ∈ AB és M, N ∈ AC, úgy, hogy PM ‖ QN ‖ BC Ismert, hogy AP = PM = 3 cm, AM = 5 cm, AQ = 7,8 cm, AB = 10,5 cm. a) Számold ki a PQ, AN és BC szakasz hosszát! b) Számold ki a BCNQ trapéz kerületét!
10. Az ABCD trapézban AB ‖ CD, AD ∩ BC = {E} cu AB = 7,5 cm, BC = 6 cm, CD = 3 cm, AD = 4,5 cm. Számold ki az EA, EB, EC és ED szakasz hosszát!
11. ABCD paralelogramma, AB = 12 cm, BC = 6 cm, oldalon felvesszük az E pontot úgy, hogy CE = 3 · DE, majd AE ∩ BC = {F}. Határozd meg az EC és CF szakaszok hosszát!
12. Az ABCD trapéz AD és BC nem párhuzamos oldalain adott az E, illetve F pont úgy hogy, EF ‖ AB és AE ED = 2 7 Tudva, hogy AB = 24 cm és
CD = 6 m, számold ki az EF szakasz hosszát!
13. Az ABC háromszög G súlypontján keresztül megszerkesztjük a GK ∥ BC, K ∈ AB, GL ∥ AC, L ∈ BC és GM ∥ AB, M ∈ AC párhuzamosokat. Tudva, hogy az ABC háromszög kerülete 18 cm, számítsd ki a GK + GL + GM összeget!
Emlékeztető
Két háromszögről azt mondjuk, hogy kongruensek, ha megfelelő oldalaik és szögeik kongruensek.
Két háromszögről azt mondjuk, hogy hasonlók, ha megfelelő szögeik kongruensek és megfelelő oldalaik arányosak.
Ahhoz, hogy két háromszögről igazoljuk, hogy kongruensek, az értelmezést használva be kell bizonyítanunk a három szögpár illetve a három oldalpár kongruenciáját.
A háromszögek kongruencia esetei elégséges feltételek két háromszög kongruenciájának bizonyításánál: (O.Sz.O.), (Sz.O.Sz.), (O.Sz.Sz.) és (O.O.O.).
Hasonlóképpen, elégséges feltételeket keresünk két háromszög hasonlóságának kimutatásához.
Fedezzük fel, értsük meg!
1. Tétel: (Sz.Sz. hasonlósági eset)
Ha két háromszögben két-két szög kongruens, akkor a két háromszög hasonló.
Bizonyitás: Az ABC és DEF háromszögekben a BAC∢ ≡ EDF∢ és ABC∢ ≡ DEF∢ kongruens szögpárok. Képzeljük el, hogy a DEF háromszöget az ABC háromszög fölé helyezzük, és a D szög oldalait az A szög oldalaira illesztjük.
Ez az egybeesés adja az ötletet: Az ABC háromszög AB oldalán (vagy az AB félegyenesen) rögzítjük a G pontot úgy, hogy AG ≡ DE. Majd megszerkesztjük a GH szakaszt úgy, hogy H ∈ AC és AGH∢ ≡ DEF∢. Így létrejött az AGH háromszög, amely kongruens a DEF háromszöggel (Sz.O.Sz.). Ebből következik, hogy: GH ≡ EF, AH ≡ DF és AHG∢ ≡ DFE∢. Tehát elégséges igazolnunk, hogy az ABC és AGH háromszögek hasonlóak. Mivel ABC∢ ≡ DEF∢ és DEF∢ ≡ AGH∢, ezért ABC∢ ≡ AGH∢, de ezek a szögek a GH és BC egyeneseken az AB szelő által meghatározott megfelelő szögek, így GH ∥ BC. Az ABC háromszögben GH ∥ BC, így a hasonlóság alaptétele értelmében
AG AB AH AC GH BC == . Másrészt, a DEF és AGH háromszögek oldalai kongruensek, így kapjuk, hogy DE AB DF AC EF BC == , ami éppen a DEF és ABC háromszögek oldalainak arányossága. A háromszög szögeinek összege 180°, tehát DFE∢= 180° − DEF∢ − EDF∢ = 180° − ABC∢ − BAC∢ = ACB∢. Mivel a két háromszög megfelelő szögei kongruensek és megfelelő oldalai arányosak következik, hogy DEFΔ ∼ ABCΔ.
2. Tétel: (O.Sz.O. hasonlósági eset)
Ha két háromszög egy-egy szöge kongruens, és az ezeket a szögeket alkotó oldalak arányosak, akkor a háromszögek hasonlóak.
Bizonyitás: Az ABC és DEF háromszögek esetén legyen BAC∢ ≡ EDF∢ és a szögeket alkotó oldalak arányosak: AB DE AC DF = . Az AB és AC félegyeneseken felvesszük az L illetve a K pontot úgy, hogy AL ≡ DE és AK ≡ DF, azaz ALKΔ ≡ DEFΔ (O.Sz.O).
A feltevésben adott aránypárból kapjuk, hogy AB DE AC DF = , ahonnan AB AL AC AK = Az ABC háromszögben az L és K pontok az oldalak tartóegyeneseinek pontjai, így Thalész fordított tételének értelmében következik, hogy BC ∥ LK
A hasonlóság alaptétele szerint ABCΔ ∼ ALKΔ. Azt kaptuk, hogy ABCΔ ∼ ALKΔ és ALKΔ ≡ DEFΔ, amelyből következik, hogy ABCΔ ∼ DEFΔ.
3. Tétel: (O.O.O. hasonlósági eset) Ha két háromszög megfelelő oldalai arányosak, akkor a két háromszög hasonló.
Bizonyitás: Az ABC és DEF háromszögek esetén AB DE AC DF BC EF == Igazolnunk kell, hogy a háromszögek megfelelő szögei kongruensek. Ezért az AB és AC félegyeneseken felvesszük az M illetve N pontot úgy, hogy AM ≡ DE és AN ≡ DF. Ekkor AB AM AC AN = , így Thalész tételének fordított tétele alapján MN ∥ BC
A hasonlóság alaptétele szerint ABCΔ ∼ AMNΔ, ezért AB AM AC AN BC MN == . Figyelembe véve az AB DE AC DF BC EF == és AM ≡ DE, összefüggéseket következik, hogy az előző hat arány egyenlő, tehát BC MN BC EF = . Tehát EF ≡ MN. Következésképpen a DEF és AMN háromszögek kongruensek
(O.O.O.). Igazoltuk, hogy ABCΔ ∼ AMNΔ, ezért BAC∢ ≡ MAN∢ ≡ EDF∢, ABC∢ ≡ AMN∢ ≡ DEF∢ és
ACB∢ ≡ ANM∢ ≡ DFE∢. Mivel a két háromszög hasonlóságára vonatkozó értelmezés összes feltétele teljesül, következik, hogy ABCΔ ∼ DEFΔ.
Alkalmazás
Olyan mértani szerkesztéseket keresünk, amelyek hasonló háromszögekhez vezetnek.
Ebben segítenek a következő tulajdonságok:
1. Alkalmazás: Az ABC hegyesszögű háromszög magasságai a BD és CE szakaszok.
a) Igazold, hogy ADB és AEC hasonló háromszögek!
b) Írd fel a két háromszög megfelelő szögeinek kongruenciáját, valamint a megfelelő oldalak arányosságait.
Megoldás: a) BD és CE az ABC háromszög magasságai. ADB és AEC derékszögű háromszögek, tehát ADB∢ = AEC∢ = 90°. Az A szög közös, tehát ADBΔ ∼ AECΔ (Sz.Sz.).
b) Megállapítjuk a két háromszögben a megfelelő szögeket:
A∢ ≡ A∢, ADB∢ ≡ AEC∢ és ABD∢ ≡ ACE∢
A megfelelő oldalpárok (BD, CE), (AB, AC) és (AD, AE) arányosak, tehát BD CE AB AC AD AE ==
Észrevétel. Az alkalmazás eredménye a (BDCΔ, AFCΔ), illetve (AFBΔ, CEBΔ) háromszögpárokra is érvényes.
Megjegyzés: Az első két arány egyenlőségéből következik, hogy BD ∙AC = CE ∙AB Az AFB és CEB háromszögek hasonlóságából kapjuk, hogy AF ∙BC = CE ∙AB, vagyis
BD ∙AC = CE ∙AB = AF ∙BC. Az eredmények alapján a következő fontos kijelentést tehetjük: Egy háromszögben az egyik oldal és a hozzá tartozó magasság hosszának szorzata állandó. Megkaptuk a háromszög területének kiszámolására használt képletet:
Feladat a portfólióba
Igazoljátok, hogy a fenti alkalmazás eredménye érvényes derékszögű illetve tompaszögű háromszögekben is.
2. Alkalmazás: Az ABE és a BCD egyenlő oldalú háromszög, B ∈ AC, a K pont az AE oldal felezőpontja és L a CD oldal felezőpontja.
Igazoljátok, hogy: a) AB BC BK BL = ; b) ABD∆∼ KBL∆ .
Megoldás: a) A BK és BL szakaszok oldalfelezők az egyenlő oldalú háromszögekben, így szögfelezők is: ABK∢ = CBL∢ = 30°. Az ABK és CBL háromszögekben egy-egy szög 60 fokos illetve egy-egy szög 30 fokos.
A Sz.Sz. hasonlósági eset alapján a két háromszög hasonló, innen következik, hogy AB BC BK BL = .
b) Igazoljuk, hogy az ABD és KBL háromszögek hasonlók.
A két háromszög oldalai az AB, BD, AD illetve KB, BL, KL szakaszok.
Mivel BC = BD, a fent igazolt azonosságból kapjuk, hogy AB BD BK BL = vagy AB BK BD BL = Még be kell bizonyítanunk, hogy az ABD∢ és KBL∢ szögek kongruensek.
Az O.Sz.O. hasonlósági eset alapján következik, hogy ABDΔ ∼ KBLΔ.
3. Alkalmazás: Az M pont nincs rajta a C(O,R). körön. Az M ponton áthaladó a és b szelők a kört az A és B illetve C és D pontokban metszik. Igazoljátok, hogy: MA ∙ MB = MC ∙ MD
Megoldás: Két esetet különítünk el: M ∈ Ext C(O,R) és M ∈ Int C(O, R).
I. M ∈ Ext C(O, R).
A bizonyítandó azonosságban szereplő szakaszok az MAD és MCB háromszögek oldalai. Az M szög a két háromszög közös szöge, valamint
MDA∢ = MBC∢ = AC 2, mert ugyanahhoz a körívhez tartozó kerületi szögek.
A Sz.Sz. hasonlósági eset alapján következik, hogy MADΔ ∼ MCBΔ, tehát
MA
MC MD MB AD CB == ,. Az első két arány egyenlőségéből következik, hogy MA ∙ MB = MC ∙ MD.
II. M ∈ Int C(O, R).
Az MAC és MBD háromszögekben AMC∢ ≡ BMD∢ (csúcsszögek), valamint
MCA∢ = MBD∢ = AD 2, mert ugyanahhoz a körívhez tartozó kerületi szögek.
A Sz.Sz. hasonlósági eset alapján következik, hogy MACΔ ∼ MDBΔ, tehát
MA MD MC MB AC DB == .
Az első két arány egyenlőségéből következik, hogy MA ∙ MB = MC ∙ MD.
Jegyezd meg!
Az értelmezés alapján az ABC és A′B′C′ háromszögek hasonlók, ha egyidőben teljesülnek a következő
összefüggések: A∢ ≡ A′∢, B∢ ≡ B′∢, C∢ ≡ C′∢ és AB AB AC AC BC BC
A hasonlósági esetek elégséges feltételek két háromszög hasonlóságának igazolásához.
Két háromszög hasonlóságának bizonyítására a hasonlósági esetek hatékonyabb módszerek, mint az ertelmezés.
A értelmezésben szereplő hat egyenlőség vagy kongruencia közül kettő is elegendő ahhoz, hogy az összes többit megkapjuk.
Eset Feltevés Mértani alakzat Következtetés és következmények
A Sz.Sz. eset (két-két szög kongruenciája)
Az O.Sz.O. eset (egyegy szög kongruenciája és egy-egy arány egyenlősége)
Az O.O.O. eset (három arány egyenlősége)
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABCD négyszög paralelogramma, E az AB oldal egy pontja és BD ⋂ CE = {F}. A BEF és a DCF hasonló háromszögek a következő hasonlósági eset alapján:
A. O.Sz.O.; B. Sz.O.Sz.; C. Sz.Sz.
30 p 2. Figyeld meg a mellékelt ábra adatait. Azonos mértékegységeket használj. Az ABC és a CDE hasonló háromszögek a következő hasonlósági eset alapján:
A. O.Sz.O.; B. O.O.O.; C. Sz.Sz.
30 p 3. Az AG és DH szakasz oldalfelező az ABC illetve DEF hasonló háromszögekben. Az ABG és a DEH hasonló háromszögek a következő hasonlósági eset alapján:
A. O.Sz.O.; B. O.O.O.; C. Sz.Sz.
Gyakorlatok és feladatok
1. Azonosítsd a mellékelt ábrán lévő hasonló háromszögeket! Minden háromszögpár esetén nevezd meg a hasonlósági esetet!
5. A DEF egyenlő oldalú háromszög kerülete 30 cm. Legyen DA oldalfelező, EB magasság, valamint FC a DFE∢ szögfelezője, ahol C ∈ DE.
a) Igazold, hogy DEFΔ ∼ ABCΔ!
b) Számítsd ki az ABDE négyszög kerületét!
6. Legyen AD az ABC derékszögű háromszög magassága, A∢ = 90°, valamint DE az ADC háromszög magassága.
a) Igazold, hogy ABCΔ ∼ DACΔ!
b) Igazold, hogy ABDΔ ∼ CDEΔ!
c) Ha AC = 16 cm, CD = 12,8 cm számítsd ki a BC és az EC szakasz hosszát!
7. A mellékelt ábrán AB ∥ CD, BC ∥ DE és AE = 4 · CE. Határozd meg:
2. Bizonyítsd be, hogy a mellékelt ábrán lévő háromszögek hasonlók! Mindkét esetben írd fel az oldalak arányosságát és a szögek kongruenciáját!
a) az ABC és CDE háromszögek kerületének arányát;
b) a CDE és ABC háromszögek területének arányát!
8. Az ABCD téglalapban E ∈ AB, valamint BCE∢ ≡ BDC∢.
a) Igazold, hogy BC 2 = BE CD !
b) Számítsd ki az AE szakasz hosszát tudva, hogy AB = 8 cm és BC = 6 cm!
3. Rajzolj egy ABC egyenlő szárú háromszöget, amelyben BAC∢ = 120° és D a BC oldal egy pontja úgy, hogy ADC∢ = 60° a) Igazold, hogy az ábrán van két hasonló háromszög!
b) Igazold, AB2 = BC · BD
4. Az ABC és DEF háromszögek hasonlók, valamint az M és N pont a BC illetve EF oldal egy-egy pontja. Igazold, hogy:
a) ha AM és DN oldalfelezők, akkor
ABMΔ ∼ DENΔ;
b) ha AM és DN szögfelezők, akkor
ACMΔ ∼ DFNΔ;
c) ha AM és DN magasságok, akkor AM DN BC EF = .
9. Az ABCD paralelogrammában AE ⊥ CD, E ∈ CD és AE ∩ BC = {F}. Állapítsd meg, hogy az ADE és FCE háromszögek hasonlók-e! Vizsgáld mindkét esetet: BAD∢ hegyesszög vagy tompaszög!
10. Az ABCD derékszögű trapézban A∢ = D∢ = 90°. Az átlók metszéspontján keresztül a trapéz alapjaihoz húzott párhuzamos az AD oldalt E pontban metszi. a) Igazold, hogy ABEΔ ∼ DCEΔ! b) Igazold, hogy EO a BEC∢ szögfelezője!
11. a) ABC és DEF hasonló háromszögek és T T ABC DEF 9 16 . Számold ki a K K ABC DEF arány értékét!
b) KLM és NPQ hasonló háromszögek és K K KLM NPQ = 1,5. Számold ki a T T KLM NPQ arány értékét!
3.l. Hasonló háromszögek gyakorlati alkalmazása
Sok esetben a mérést lehetetlen elvégezni a túl nagy távolság miatt vagy akár olyan akadályok miatt, amelyek lehetetlenné teszik a hozzáférést. Ilyen jellegű mérésekhez Thalész mértani tulajdonságokat alkalmazott. Ezekben a helyzetekben a kapott értékek hozzávetőlegesek, de nem a közelítő vagy becsült számokkal végzett számítások miatt, hanem az irányok meghatározásakor, a távolságok mérésekor vagy a szögméréseknél előforduló hibák miatt. Az idők során olyan korszerű eszközöket hoztak létre, amelyek segítségével a kapott értékek nagymértékben megközelítik a valós értékeket.
Alkalmazás
A. Távolságok becslése a hasonlóság segítségével
1) Tárgyak magasságának becslése
Meghatározzuk a párizsi Eiffel-torony magasságát. Kijelöljük azt a külső pontot, ahonnan a mérést szeretnénk végezni (C). Megmérjük a C pont távolságát az alap középpontjától, legyen BC = a. Úgy helyezkedünk el a BC szakaszon, hogy a DE szakasz hossza megegyezzen a magasságunkkal.
A DE = b magasság ismert és megmérjük DC távolságot, DC = c. Most már elégséges információnk van a torony magasságának meghatározásához.
Az AB és DE egyenesek párhuzamosak (mindkettő függőleges irányú), így az ABC és EDC háromszögek hasonlók, ezért AB ED BC DC AC EC == , valamint BC, ED és CD hossza ismert.
Az AB ED BC DC = , aránypárból megkapjuk a torony magasságát: AB BCED DC vagy AB ab c
Feladat a portfólióba
Egy közeli baráttal Párizsba utaztok, hogy megmérjétek az Eiffel-torony magasságát. A 180 cm magas barát a DE-vel jelölt helyre helyezkedik el. Mérések után azt kaptátok, hogy BC = 540 m és DC = 3 m. Számítsátok ki a torony magasságát, a fentiekben bemutatott lépések alapján! (Válasz: Htorony = 324 m)
2) Egy rögzített pontig való távolság becslése A parton állunk a B pontban és szeretnénk meghatározni ettől a ponttól a távolságot a part menti hajóig. A hajó helyzetét jelölje A. Hogyan járhatunk el? Lássunk egy lehetséges változatot. A B pontból a C pontba megyünk, megmérve a BC távolságot. A homokban megjelöljük BA és CA irányokat. A BA egyenesen kijelölünk egy E pontot, ezen keresztül párhuzamost húzunk a BC egyenessel, amely az AC egyenest a D pontban metszi. Megmérjük a BE és ED hosszúságokat. Az ABC háromszögben
DE ∥ BC, a hasonlóság alaptétele alapján következik, hogy AE AB DE BC AD AC ==
Az AE AB DE BC = aránypárból azt kapjuk, hogy ABAE AB BCDE BC innen pedig
az következik, hogy a hajóig lévő távolság dAB EBBC BCDE .
Feladat a portfólióba
Kövessétek a 2. alkalmazásban leírt lépéseket, ha BC = 60 m, DE= 58 m és BE = 10 m.
3) Két pont közötti távolság becslése Az A pontban állva szeretnénk meghatározni a távolságot B pontig. A közvetlen mérés lehetetlen a közbeeső akadály miatt. (mellékelt ábra) Keressünk egy módszert az AB szakasz hosszának meghatározásához.
Kijelölünk egy C pontot úgy, hogy tudjuk megmérni az AC és BC távolságokat. Megjelöljük a CA és CB irányt. A CA illetve CB szakaszon szeretnénk rögzíteni a D és E pontot úgy, hogy DE és AB párhuzamos legyen, valamint a D és E pont között ne legyen akadály. A következőképpen járunk el:
1. lépés. A CA szakaszon kijelöljük a D pontot.
2. lépés. Megmérjük a CD, AC és BC szakasz hosszát.
3. lépés. A CB szakaszon kijelöljük az E pontot úgy, hogy CE CB CD CA =
4. lépés. Megmérjük a DE szakasz hosszát!
5. lépés. Alkalmazzuk Thalész fordított tételét. Ezért DE ∥ AB.
Az ABC háromszögeben a hasönlóság alaptétele alapján azt kapjuk, hogy DE AB CDCE CACB == . Következésképpen, AB = CA CD DE ⋅ és így megkaptuk az AB távolságot.
Példa. Sajátos esetben AC = 22 m és BC = 24 m. Megválaszthatjuk a D pontot úgy, hogy CD = 2,75 m.
Felvesszük a CB szakasz azon E pontját, amelyre CE CB CD CA = , azaz CE 24 275 22 = , . Következik, hogy CE = 3 m, feltéve, hogy az így kapott DE szakasz mérését nem gátolja semmilyen akadály. Ellenkező esetben folytatjuk a megfelelő D pont kiválasztását. Mérés útján kapjuk, hogy DE = 5 m. Ekkor 5275 22 3 24 AB == , , azaz AB = 40 m.
B. Két hasonló háromszög területének aránya
Tudjuk, hogy a háromszög területének kiszámításához szükség van a magasság hosszára. Hasznos lesz a következő tétel:
1. Tétel:
Ha két hasonló háromszög esetén a hasonlósági arány k, akkor:
a) a megfelelő oldalfelezők aránya k; b) a megfelelő magasságok aránya k; c) a megfelelő szögfelezők aránya k.
Bizonyitás: A DEF és az ABC hasonló háromszögek, a hasonlósági arány k
Ekkor D∢ ≡ A∢, E∢ ≡ B∢, F∢ ≡ C∢ és DE AB EF BCAC k DF === . a) Igazoljuk, hogy a D és A csúcsból húzott két oldalfelező aránya k Jelölje M és N a BC, illetve EF oldalak felezőpontját.
Ekkor EN BM EF BC EF BC k 2 2 és DE AB EN BM = .
A feltevésből adódik, hogy E∢ ≡ B∢ így az O.Sz.O. hasonlósági eset alapján DENΔ ∼ ABMΔ, tehát DN AM DE AB k == .
Bebizonyítottuk, hogy két hasonló háromszögben a megfelelő oldalfelezők aránya egyenlő a hasonlósági aránnyal
b) Igazoljuk, hogy a D és A csúcsból húzott két magasság aránya k. A DEF és ABC háromszög magassága DN és AM. Ekkor a két háromszögben a DNE∢ és AMB∢ derékszögek kongruensek. Mivel E∢ ≡ B∢ így a Sz.Sz. eset alapján DENΔ ∼ ABMΔ, tehát DN AM DE AB k == .
Bebizonyítottuk, hogy két hasonló háromszögben a megfelelő magasságok aránya egyenlő a hasonlósági aránnyal.
A digitális tankönyvben tanulmányozd a tétel c) állításának bizonyítását!
2. Tétel:
Ha két hasonló háromszög esetén a hasonlósági arány k, akkor a két háromszög területének aránya k2 .
Bizonyitás: Az 1. tételnél levő ábra alapján a DEF és az ABC háromszögek hasonlók, a hasonlósági arány k, azaz EF BC k = Igazoltuk, hogy a megfelelő magasságok aránya is k, tehát DN AM k = Kiszámítjuk a két háromszög
területének arányát: EFDN BCAM EF BC DN AM DEkkk F ABC 2 2 2
A bizonyított tételt kijelentjük a következőképpen:
Két hasonló háromszög területének aránya egyenlő a hasonlósági arány négyzetével.
1. Alkalmazás: Az ABC derékszögű háromszögben BAC∢ = 90°, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Meghosszabbítjuk az AB szakaszt a BD = 1 cm-es szakasszal, majd az AC félegyenesen felvesszük az E pontot úgy, hogy ABC∢ ≡ AED∢. a) Igazold, hogy az ABC és AED háromszögek hasonlók!
b) Számítsd ki az ADE háromszög területét!
Megoldás: a) Az O.O. hasonlósági eset alapján az ABC és AED háromszögek hasonlók, hiszen BAC∢ ≡ EAD∢ (közös szög) és a feltevésből ABC∢ ≡ AED∢.
b) Az ABC és AED háromszögek hasonlóságából kapjuk, hogy kAC AD AC ABBD 6 9 2 3
Mivel T T ABk C AED 2 22 3 4 9 és ABAC ABC 2 86 2 24 T (cm2) azt kapjuk, hogy
AEDABC : 4 9 24 9 4 54(cm2). TT
2. Alkalmazás: Az ABC háromszögben a P pont a BAC∢ szög egy belső pontja. Az AP egyenes a BC oldalt D pontban metszi. Igazold, hogy: a) T T DB DC ABP ACP ; b) T T DA DP ABC PBC
Megoldás: a) A BE és CF az ABP és ACP háromszög magassága. A BDE és CDF hasonló háromszögek, mert BED∢ ≡ CFD∢ (90°) és BDE∢ ≡ CDF∢ (csúcsszögek). Ekkor
DB DC BE CF = . Azt kapjuk, hogy
b) Az AM és PN szakasz az ABC és PBC háromszög magassága. Az ADM és PDN hasonló háromszögek, mert
AMD∢ ≡ PND∢ (90°) és ADM∢ ≡ PDN∢ (csúcsszögek). Ekkor DA DP AM PN =
Azt kapjuk, hogy DA DP AM
3. Alkalmazás:
Az ABC háromszög AB, BC és AC oldalán felvesszük a D, E, illetve F pontot úgy, hogy DE ‖ AC és DF ‖ BC. Tudjuk, hogy az ADF háromszög területe 4 cm2 és a
BDE háromszög területe 9 cm2 Számítsd ki az ABC háromszög területét!
Megoldás: Mivel DF ∥ BC, akkor ADF∢ ≡ B∢ (megfelelő szögek).
Mivel DE ∥ AC, akkor A∢ ≡ BDE∢ (megfelelő szögek).
A Sz.Sz. hasonlósági eset alapján ADFΔ ∼ DBEΔ és T T AD DB ADF DBE 24 9 , tehát 2 3 AD DB = , amely egyenértékű azzal, hogy 2 5 AD AB =
Mivel DF ∥ BC, akkor ADFΔ ∼ ABCΔ és T T AD AB ADF ABC 2 . Következésképpen, 44 25 T ABC . Ezért TABC = 25 (m2).
Jegyezd meg!
Ha két háromszög hasonló, akkor a megfelelő oldalfelezők, magasságok és szögfelezők aránya egyenlő a hasonlósági aránnyal.
Két hasonló háromszög területének aránya egyenlő a hasonló arány négyzetével.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az A, B, C buszmegállókat az AB, BC, AC utcák kötik össze, és távolságuk AB = 800 m, BC = 600 m, CA = 1 km, valamint ABC∢ = 90°. Az AB utcában levő S megálló egyenlő távolságra van a BC és AC utcáktól. Az A és S megálló közötti távolság:
A. 200 m; B. 300 m; C. 400 m; D. 500 m.
30 p 2. Az ABC háromszögben AD magasság, D ∈ BC , AD = h cm. Az ABC háromszög súlypontjának a BC egyenestől mért d távolsága kisebb h-tól
A. 1,5-ször; B. 2-szer; C. 2,5-ször; D. 3-szor.
30 p 3. Vajk észreveszi, hogy egy 0,60 m magas rózsa árnyéka 36 cm. Ugyanakkor egy közeli fenyőfa árnyéka 1,2 m. A fenyőfa magassága:
A. 2 m; B. 1,8 m; C. 1,5 m; D. 1,44 m.
36cm 1,2m
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc
Hivatalból: 10 pont
1. Sándor nagyszüleihez megy. Megállapítja, hogy a kerti kút javításra szorul, ezért tudni szeretné a kút mélységét a víz felszínéig (h = AD). Mivel nincs ilyen hosszú mérőszalagja a következőképpen jár el: Gergő magassága 1,8 m és ha 0,3 m távolságra áll a kúttól, akkor pontosan meglátja a víz felszínét. Tudva, hogy a szeme és a feje teteje közötti távolság 10 cm, a kút átmérője 1,2 m Gergő állítja, hogy meg tudja határozni (megközelítve) a kút mélységét a víz felszínéig. Figyeld meg a mellékelt ábrát és határozd meg a h értékét!
2. Egy egyenes útvonalon közlekedő drótkötélpálya ércet szállít a 375 m hosszú AB távolságon. Az A pontból 45 m megtétele után 3 m magasságba ér. Számítsd ki a B végpont magasságát!
45
A3
3. Viktor az O ponton lévő megfigyelőhelyről figyeli az őzgidának az A - B - C útvonalon, az őzek szálláshelye felé tartó mozgását. Ismeri a CO távolságot, meg tudja mérni az AO, BO, AB távolságokat anélkül, hogy megijesztené az őzet, és tudja, hogy az AOB és COB szögek kongruensek. A Viktor által készített vázlat segítségével határozd meg a őzgida által megtett távolságot! A B
40 m 30 m 60 m 90 m
4. Raul játszóterét egy égő világítja meg, amely 5 m magasan van felszerelve egy oszlopra. Dani magassága 1,65 m és 6,7 méterre áll az oszloptól. Számítsd ki Raul árnyékának hosszát!
A B 6,7m
5m 1,65m
5. Egy bevásárlóközpont az ABCD négyzet alakú telekre van építve. Ennek vázlata a mellékelt ábrán látható. Az AMN és BCM háromszögek üzletek számára kijelölt helyiségek, ahol az M pont az AB szakasz felezőpontja és MN ⊥ MC. Tudjuk, hogy DN = 225 m. Számítsd ki az üzletek számára kijelölt felület nagyságát!
AB DC M N 225 m
6. Bence egy kosárlabdapályát szeretne megtervezni az udvaron, amelynek hossza 20 m. A kert alakja derékszögű háromszög és méretei 30 m, 40 m, 50 m. A kivitelező három változatot mutat be, amint az alábbi ábra mutatja. Határozd meg, hogy melyik változatot válassza Bence, ha tudjuk, hogy a lehető legnagyobb felületű pályát szeretné!
Hivatalból: 10 pont
Munkaidő: 50 perc
I. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
5p 1. Az ABC háromszög AB és AC oldalán felvesszük a D illetve az E pontot úgy, hogy DE ∥ BC.
Ha AB = 18 cm, AC = 15 cm, AD = 6 cm, akkor az EC szakasz hossza:
A. 8 cm; B. 10 cm; C. 6 cm; D. 12 cm.
5p 2. Ha DEF∆∼ MNP∆ , D∢ = 68 ° , N∢ = 53 ° , akkor az F szög mértéke:
A. 59°; B. 58°; C. 57°; D. 60°.
3. Ábrázolj egy ABCD téglalapot, az AB oldal M felezőpontját és az N pontot úgy, hogy {N} = MC ∩ BD.
5p
5p
5p
a) Az igaz reláció az:
A. CND∆∼ CNB∆; B. CNB∆∼ MNB∆; C. CNB∆∼ BCM∆; D. CND∆∼ MNB∆.
b) A BN DN arány értéke:
A. 2; B. 1,5; C. 0,5; D. 0,75.
c) Ha BC = 6 cm, BDC∢ = 30°, akkor a DN szakasz hossza:
A. 6 cm; B. 4 cm; C. 8 cm; D. 9 cm.
4. Az ABCD trapéz alapjai AB = 10 cm, CD = 6 cm, illetve EF a középvonala, E ∈ AD, F ∈ BC.
Ha DE = 3 cm, BF = 4 cm, AD ⋂ BC ={M}, akkor:
5p 5p 5p
a) Az EF szakasz hossza:
A. 9 cm; B. 8 cm; C. 7 cm; D. 8,5 cm.
b) Az MCD háromszög kerülete:
A. 27 cm; B. 36 cm; C. 40 cm; D. 32 cm.
c) Az MEF és MAB háromszög területének aránya:
A. 4 5 ; B. 36 5 ; C. 4 25 ; D. 16 25
II. Írd le a teljes megoldást!
1. Adott az ABC háromszög, ahol AB = 16 cm, BC = 20 cm, AC = 24 cm. Az AB oldalon felvesszük a D pontot úgy, hogy AD = 12 cm, ADE∢ ≡ C∢, E ∈ AC. 15p a) Bizonyítsd be, hogy ADE∆∼ ACB∆ 10p b) Ha BF ∥ DE, F∈AC, számítsd ki a CF szakasz hosszát!
2. Egy sporttelepnek öt teniszpályáját az A, B, C, D, E pontok jelölik, amelyek a Győzelem és Európa sétányon helyezkednek el. A nézők bármelyik teniszpályára, valamint az AE és BD szakaszok által jelölt Jupiter és Szaturnusz sétányokra is eljuthatnak. Használd az ábrázolt vázlat adatait!
15p a) Döntsd el és érvelj, hogy a Jupiter sétány és a Szaturnusz sétány párhuzamosak-e egymással!
10p b) Számítsd ki a Jupiter sétány hosszát, tudva, hogy a Szaturnusz sétány 150 m hosszú!
Jupiter sétány Szaturnusz sétány Győzelem sétány Európa sétány
1.l. Merőleges vetületek egy egyenesre 7.
HÁROMSZÖGBEN
7.1. Merőleges vetületek egy egyenesre • A magasságtétel • A befogótétel
1. Értelmezés: Az A pontnak a d egyenesre eső merőleges vetülete az A pontból a d egyenesre állított merőleges talppontja. (Rövidebben: az A pont vetülete a d egyenesre).
Jelölés: ha M az A vetülete a d egyenesre, így írjuk M = prd A.
Példák:
a) Az A pontnak a d1 egyenesre eső vetülete A1, mert AA1 ⊥ d1 és A1∈d1.
Az A pontnak a d2 egyenesre eső vetülete A2, mert AA2 ⊥ d2 és A2 ∈ d2.
Az A pontnak a d3 egyenesre eső vetülete A3, mert AA3 ⊥ d3 és A3 ∈ d3. Jelölés:
A1 = prd1A, A2 = prd2A, A3 = prd3A
A fenti példákban az A pont nincs azon az egyenesen, amire vetítjük.
b) Ha az A pont a d egyenesen fekszik, akkor az A vetülete d-re maga az A, mivel az A-n átmenő, d-re merőleges egyenes talppontja maga az A.
Minden mértani alakzat egy ponthalmaz, tehát beszélhetünk egy ponthalmaz egyenesre eső merőleges vetületéről.
2. Értelmezés: Az F ponthalmaznak a d egyenesre eső vetületén az F halmaz összes pontjának a d-re eső vetületeinek halmazát értjük.
Példák: A mellékelt ábrán különböző síkidomok és azok d-re eső vetületei láthatók. Megfigyelhetjük, hogy a pirossal jelzett vetületek mindegyike szakasz vagy pont. d
Tétel:
a) Ha AB ⊥ d, akkor az AB szakasznak a d egyenesre eső vetülete az A'B' szakasz, amit az A és B pontoknak a d-re eső vetületei határoznak meg.
b) Ha AB ⊥ d, akkor az AB szakasznak a d egyenesre eső vetülete az A' pont, azaz az A pontnak a d-re eső vetülete.
A matematikai jelrendszer nyelvén a tétel a következőképpen fogalmazható meg:
a) Ha AB ⊥ d, A′ = prd A és B′ = prd B, akkor az A és B közötti bármely M ∈ AB esetén prd M = M ′∈ A′B′, amely az A′ és B′ között található. Fordítva, bármely A′ és B′ közötti M ′ ∈ A′B′ pont esetén létezik az A és B között egy
olyan M ∈ AB pont, amelyre prd M = M ′.
Így írjuk: prd AB = A'B', ahol A′ = prd A és B′ = prd B.
b) Ha AB ⊥ d és A′ = prd A, akkor az A és B közötti bármely M ∈ AB esetén, prd M = prd B =A′ .
Így írjuk: prd AB = {A′}, ahol A′ = prd A. A digitális tankönyvben tanulmányozd a tétel bizonyítását!
1. Alkalmazás:
a) Egy szakasz vetületének hossza kisebb a szakasz hosszánál vagy egyenlő vele.
b) Egy szakasz felezőpontjának egy egyenesre eső vetülete a vetületi szakasz felezőpontja.
Megoldás: AB egy tetszőleges szakasz, d egy egyenes és C = prd A, D = prd B. Akkor az AB szakasznak a d-re eső vetülete a CD szakasz és így írjuk: prd AB = CD. Összehasonlítjuk az AB és CD szakaszok hosszát.
a) Az AB ⊥ d eset nyilvánvaló, mivel az AB szakasz vetülete egy ponttá zsugorodik, C = D. További két esetet kell vizsgálni: a1) AB ∥ d és a2) AB ∦ d.
a1) Ha AB ∥ d, akkor figyelembe véve, hogy AC ⊥ d és BD ⊥ d következik, hogy AC ∥ BD és ACD∢ = BDC∢ = 90°. Mivel AB ∥ CD, következik, hogy ABDC téglalap és CD = AB.
a2) Ha az AB egyenes nem párhuzamos a d egyenessel, megszerkesztjük az E ∈ BD pontot úgy, hogy AE ⊥ BD. Az AEDC négyszög egy téglalap és AE = CD. Az ABE háromszögben AEB∢ = 90°, és mivel a befogó rövidebb, mint az átfogó, AE < AB tehát CD < AB.
Az a1) és a2) esetekből következik, hogy CD ≤ AB.
b) Az AB ⊥ d esetet nem szükséges tárgyalni, mert ebben az esetben C = D. Marad az AB ⊥ d eset. Az A, M és B pontból a d egyenesre állított merőlegesek egyenlő közű párhuzamosok (M az AB szakasz felezőpontja). Alkalmazva az egyenlő közű párhuzamosok tételét következik, hogy N a CD szakasz felezőpontja.
2. Alkalmazás:
Az ABCD paralelogrammában A hegyesszög, a BD átló nem merőleges az AD oldalra és AC ∩ BD = {O }. Megszerkesztjük a következő vetületeket: E az O pont AB-re eső vetülete, F az O pont AD-re eső vetülete, G a D pont AB-re eső vetülete, H a B pont AD-re eső vetülete. Igazoljuk, hogy BE ·FH = DF ·GE Megoldás: E = prABO, G = prABD és B = prABB. Következik, hogy: a BD szakasznak az AB egyenesre eső vetülete a BG szakasz, a BD szakasz O felezőpontjának vetülete pedig az E, ami a BG szakasz felezőpontja. Azt kapjuk, hogy BE = EG. Jelöljük BE = a. (1)
F = prADO, H = prADB és D = prADD. Következik, hogy: a BD szakasznak az AD egyenesre eső vetülete a DH szakasz, a BD szakasz O felezőpontjának vetülete pedig az F, ami a DH szakasz felezőpontja. Azt kapjuk, hogy DF = FH. Jelöljük DF = b. (2) Az (1) és (2) összefüggésekből következik, hogy BE FH = a b = DF GE .
Feladat a portfólióba
Fogalmazzátok újra és oldjátok meg a 2. alkalmazást, ha A tompaszög.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Adott az xOy koordináta-rendszerben ábrázolt A( 3; 3) pont. Az A pontnak az Ox tengelyre eső vetületének koordinátái:
A. (0; 3); B. (0; –3); C. (–3; 0); D. (3; 0).
30 p 2. Az AMBN rombuszban AB ⋂ MN = {O}. Az AM szakasznak az OB egyenesre eső vetülete:
A. az O pont; B. az AB szakasz; C. az A pont; D. az AO szakasz.
30 p 3. Az MNP háromszögben M∢ = 90°, N∢ = 60°, MN = 8 cm. Az MN és MP befogóknak az átfogóra eső vetületei x cm illetve y cm hosszúak. Akkor:
A. x = 4 cm, y = 12 cm; B. x = 8 cm, y = 4 cm; C. x = 4 cm, y = 16 cm; D. x = 4 cm, y = 8 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
1. Adott az A, B és C pont és a d egyenes úgy, hogy A ∉ d, B ∈ d, C ∈ d és AC ⊥ d . Másold le az alábbi mondatokat és egészítsd ki úgy, hogy igaz kijelentéseket kapj!
a) A C pont a(z) … pont merőleges vetülete a d egyenesre.
b) A B pont a(z) … pont merőleges vetülete a d egyenesre.
2. Az A és B pont a b egyenes azonos oldalán található, ABb ⊥ Az AC és BD egyenes merőleges a b egyenesre, C ∈ b, D ∈ b b A B CD
Határozd meg: prb A, prb B és prb AB
3. Az ABCD rombusz átlói az O pontban metszik egymást. Határozd meg az alábbi vetületeket!
a) AC prD ; b) BD prA ; c) AC prO ; d) AC prAB ; e) BD prCD ; f) AC prBD .
4. Az M pont az xOy hegyesszög belső tartományában van. Jelöljük A = prOx M és B = prOy M Ha AM = BM, bizonyítsd be, hogy:
a) Ox prOM = Oy prOM ;
b) AB prO = AB prM .
5. Adott a d egyenes, valamint az E és G pont, E ∉ d és G ∈ d. Vedd fel az F ∈ d pontot úgy, hogy teljesüljön az EF ⊥ d feltétel. Nevezd meg a következő vetületeket: prd E, prd G és prd EG.
6. A d egyenes különböző oldalán adott az M és N pont, d ∩ MN = {O },valamint A = prd M, B = prd N. Bizonyítsd be, hogy:
a) Ha OM = ON , akkor OA = OB . b) Ha OA = OB , akkor OM = ON .
7. Ábrázold az xOy derékszögű koordináta-rendszerben az A(–2; 4), B(0; 3), C(3; –2), D(5; 0) pontokat, majd ezen pontok Ox tengelyre eső A′, B′, C′ illetve D′ vetületeit. Határozd meg az A, B, C és D pontok koordinátáit!
8. Ábrázold az xOy merőleges koordináta-rendszerben az A(–3 ; –4), B ( 0 ; 2), C ( 1 ; 5), D ( 3 ; 0), pontokat, majd ezen pontok Oy tengelyre eső A′, B′, C′, illetve D′ vetületeit. Határozd meg az A', B', C' és D' pontok koordinátáit!
9. A P pont az xOy szög belső tartományában található, az OP szakasz vetületei a szög száraira az OA illetve OB kongruens szakaszok. Igazold, hogy az OP félegyenes az xOy szög szögfelezője!
10. A mellékelt ábrán az A, B és C pont a d egyenes azonos oldalán helyezkedik el és BC ∥ d
C A d
Határozd meg az alábbi kijelentések logikai értékét!
p1: prd AB = A′B ′;
p2: prd AC = A′C ′;
p3: prd BC = B ′C ′
11. Az ABC háromszög magassága AD
a) Szerkessz ábrát, majd nevezd meg az AB és AC oldal vetületét a BC egyenesre a következő esetekben:
1) B∢ < 90° és C∢ < 90°;
2) B∢ > 90°.
b) Határozd meg a „BD + DC = BC” kijelentés logikai értékét az a) alpont mindkét esetében.
12. Az A, B, C és D kollineáris pontok a d egyenes ugyanazon oldalán helyezkednek el úgy, hogy
AB = BC = CD. Az A', B', C' és D' pontok az A, B, C, illetve D vetületei a d egyenesre. Igazold a következő egyenlőségeket:
a) A′B′ = B′C′ = C′D′.
b) BB AACC CC BBDD 22 , .
c) BB AADD CC
2 3 2 3 ,.
2.l. A magasságtétel
Akárcsak az egyenlő oldalú háromszögeknek, a derékszögű háromszögeknek is számos elméleti és gyakorlati alkalmazása ismeretes. A matematika történetének kezdete óta ismertek a derékszögű háromszöggel kapcsolatos felfedezések, amelyeket a társadalmi élet több területén alkalmaznak.
Egy kis történelem
A legkorábbról fennmaradt matematikai feljegyzések (Kr.e. 2000 – 1800), amelyeket babiloni agyagtáblák (Plimpton 332 agyagtábla) és papirusztekercsek (Rhind-papirusz) őriztek meg, tartalmazzák a derékszögű háromszög oldalhosszaként értelmezhető számokat (pitagoraszi számok) és a derékszögű háromszög tulajdonságait.
Emlékeztető
A mellékelt ábra szerint az A-ban derékszögű ABC háromszögben, a CA, BA és AD szakaszok a háromszög magasságai és az A pont a háromszög magasságpontja (ortocentruma).
Fedezzük fel, értsük meg!
1. tétel: A magasságtétel
Kijelentés A matematikai jeleket használva Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság a befogók átfogóra eső vetületeinek mértani közepe.
Feltevés ABCΔ derékszögű, BAC∢ =90°; AD ⊥ BC, D ∈ BC.
Következtetés: ADBDCD =⋅ , vagy AD2 = BD · CD
Bizonyitás: Az ABC derékszögű háromszögben BAC∢ = 90° és AD az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítandó, hogy ADBDCD , Ezzel egyenértékű relációk AD 2 = BD CD vagy AD CD BD AD = ,A kapott aránypár azt sugallja, hogy keressünk hasonló háromszögeket és ezekben hasonlósági arányokat. Az AD szakasz az ADB és ADC háromszögnek is oldala. Mindkét háromszög derékszögű: ADB∢ = ADC∢ = 90°, továbbá az ABD és CAD szögek kongruensek egymással (ugyanaz a BAD szög a pótszögük), tehát ABDΔ ∼ CADΔ. A hasonló háromszögek oldalaira vonatkozó aránysor: AB CA BD AD AD CD == , és a BD AD AD CD = ,aránypárból következik, hogy AD 2 = BD · CD
Alkalmazás
1. Alkalmazás: a) Az ABC derékszögű háromszögben BAC∢ = 90°. Számítsuk ki az AD átfogóhoz tartozó magasságot, ha DC = 2,25 · BD és AD + BC = 57 cm!
b) Az ABC derékszögű háromszögben BAC∢ = 90°, AD az átfogóhoz tartozó magasság, DC = k 2· BD és AD + BC = a, (a és k adott pozitív számok). Számítsuk ki az AD szakasz hosszát a és k függvényében!
Megoldás: a) BD = x jelöléssel DC = 2,25 · BD = 2,25 · x, és BC = BD + DC = x + 2,25 · x = 3,25 · x
Az ABC háromszögben alkalmazzuk a magasságtételt: AD2 = BD DC = 2,25 · x2 ⇔ AD = 1,5 · x .
A feltétel szerint AD + BC = 57 ⇔ 1,5 · x + 3,25 · x = 57 ⇔ 4,75 · x = 57 ⇔ x = 57 : 4,75 = 12.
Végeredmény: AD = 1,5 · x = 18 cm.
Az 1. b) alkalmazás bizonyításának tanulmányozásához olvassátok el a digitális tankönyvet.
Mielőtt megfogalmaznánk a magasságtétel fordított tételét, újrafogalmazzuk a magasságtételt, kiemelve a feltevést és a következtetést.
Újrafogalmazás
Általános keretek
A direkt tétel feltevése Következtetés
ABC egy háromszög és AD a BC oldalhoz tartozó magasság. Az ABC háromszög derékszögű, A∢ = 90°. ADBDCD .
A fordított tételt ugyanabban a keretben fogalmazzuk meg, azaz az ABC háromszögről és annak az AD magasságáról beszélünk
Ahhoz, hogy eldöntsük, hogy a fordított tétel igaz-e, el kell döntsük, hogy az ADBDCD összefüggésből következik-e, hogy a háromszög derékszögű A-ban? Meglepő, de ez a következtetés nem mindig igaz. Mégis, egy további feltétel hozzáadásával érvényes tételt kapunk.
2. Tétel: A magasságtétel fordított tétele Általános keretek
ABC egy háromszög és AD a BC oldalhoz tartozó magasság.
A fordított tétel sajátos feltevése Következtetés
Az ABC háromszög nem tompaszögű; ADBDCD
Bizonyitás: Az ABC háromszögben AD ⊥ BC, D ∈ BC. A háromszög nem tompaszögű, tehát D a BC szakasz belső pontja. A feltétel szerint ADBDCD , ezzel ekvivalens AD 2 = BD · CD vagy akár AD CD BD AD =
Az ABC háromszög derékszögű, A∢ = 90°.
Az így kapott aránypár és az a tény, hogy az ADB és CDA háromszögek derékszögűek ADB-ben illetve CDA-ban, azt eredményezi, hogy ezek a háromszögek hasonlóak (O.Sz.O. eset). Következik, hogy ABD∢ ≡CAD∢ és BAD∢ ≡ ACD∢. Az ABD derékszögű háromszögben az ABD és BAD szögek pótszögek, és figyelembe véve, hogy ABD∢ ≡ CAD∢, következik, hogy a CAD∢ és BAD∢ szögek is pótszögek, tehát BAC∢ derékszög.
Megjegyzés:
Egy ellenpéldával indokoljuk azt a kitételt, hogy az ABC háromszög nem lehet tompaszögű.
A CD szakaszt négy egyenlő részre osztjuk és jelöljük B-vel a D-hez legközelebb fekvő osztópontot: CD = 4 BD. A D pontban merőlegest állítunk a BC egyenesre, ezen felvesszük az A pontot úgy, hogy AD = 2 BD
Azt kapjuk, hogy BDDCBDBDBDAD 42, ahol BC és CD az AB illetve AC oldalak BC egyenesre eső vetületei.
Következtetés: Vannak olyan háromszögek, amelyek nem derékszögűek, annak ellenére, hogy A-ból húzott magassága arányos szakaszokat képez a BC-n.
Tudtátok-e, hogy... ?
Az ellenpélda egy olyan példa, amely megcáfol egy matematikai kijelentést.
Egy matematikai állítást bizonyítással szükséges igazolni.
Egy matematikai állítást egyetlen ellenpéldával meg lehet cáfolni.
2. Alkalmazás: Adott két, a és b hosszúságú szakasz. Szerkesszük meg vonalzó és körző segítségével az ab + 2 és ab ⋅ , hosszúságú szakaszokat, ezáltal igazoljuk a középarányosok egyenlőtlenségét: abab2, bármely a és b pozitív szám esetén.
Megoldás: Kimutattuk, hogy a befogók átfogóra eső vetületének mértani közepe éppen az átfogóhoz tartozó magasság hossza. Meg kell tehát szerkesztenünk egy derékszögű háromszöget, melyben a befogók átfogóra eső vetületei kongruensek az adott szakaszokkal. Emlékeztető: egy félkörbe írt kerületi szög derékszög. A keresett háromszög szerkesztésének lépései:
Az adatok meghatározása: adottak az a és b hosszúságú szakaszok
1 lépés. Meghúzzuk a d egyenest, rögzítünk rajta egy D pontot, és körző segítségével megszerkesztjük a két oldalán az a illetve b hosszúságú szakaszokat
2. lépés. Az AB szakasz O felezőpontját úgy határozzuk meg, hogy ugyanazzal a körzőnyílással megszerkesztünk két olyan pontot, amelyek az AB szakasz felezőmerőlegesén található. (A felező merőleges és az AB egyenes metszéspontja egyben az AB szakasz felezőpontja).
3. lépés. Megszerkesztjük az O középpontú, AB átmérőjű félkört. Ezután D-ben merőlegest kell állítanunk az AB-re. Körző és vonalzó segítségével megszerkesztjük egy D középpontú szakasz felezőmerőlegesét. Az így kapott, D-ben az AB átmérőre állított merőleges C-ben metszi a kört. Mivel félkörbe van írva, az ABC háromszög derékszögű C-ben és CD az átfogóhoz tartozó magassága. A magasságtétel szerint CDADBDab
A CO sugár az átmérő hosszának a fele, tehát CO ABADDBab 222 .
A DCO háromszög derékszögű, tehát DC ≤ CO, vagyis abab 2 .
Megoldott feladat:
Az ABC háromszögben A∢ = 90°, a D pont az A pont vetülete a BC oldalra, AE pedig az átfogóhoz tartozó oldalfelező. Tudva, hogy CD = 2 cm, AE = 5 cm, számítsuk ki az AD szakasz hosszát!
Megoldás: Az állításból kiderül, hogy az ABC háromszög derékszögű, és AD az átfogóhoz tartozó magasság. Tehát AD a magasságtétel segítségével kiszámítható, ha BD és CD ismert.
AE az átfogóhoz tartozó oldalfelező, tehát BC = 2 · AE = 2 · 5 = 10 (cm).
AB C D O ab
Akkor BD = BC − CD = 8 (cm). A magasságtétel alapján AD2 = BD · CD, AD2 = 16 és AD = 16 = 4 (cm). AB C
Jegyezd meg!
Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság a befogók átfogóra eső vetületeinek mértani közepe.
Ha az ABC háromszög nem tompaszögű, és az AD magasság mértani közepe az AB és AC oldalak BC-re eső vetületeinek, akkor a háromszög A-ban derékszögű.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
Az A-ban derékszögű ABC háromszögben AD az átfogóhoz tartozó magasság, D ∈ BC
30 p 1. Ha BD = 4 cm, CD = 9 cm, akkor az AD magasság hossza:
A. 13 cm; B. 5 cm; C. 6 cm; D. 12 cm.
30 p 2. Ha AD = 6 cm, BD = 12 cm, akkor a BC oldal hossza:
A. 18 cm; B. 15 cm; C. 12 cm; D. 8 cm.
30 p 3. Ha BD = 3 4 ⋅ BC = 12 cm, akkor az AD hossza:
A. 8 cm; B. 8 3 cm; C. 4 cm; D. 4 3 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Rajzolj egy ABC derékszögű háromszöget (A∢ = 90°), és húzd meg az ABC háromszög AD magasságvonalát és az ACD háromszög DE magasságvonalát.
Döntsd el a következő kijelentések logikai értékét:
p1: Az ABC háromszögben az AB befogó vetülete a BC átfogóra BD.
p2: Az ACD háromszögben CD befogó vetülete az AC átfogóra AE
p3: AD2 = BD · DC
p4: DE2 = AE + EC
2. Számítsd ki egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasságot, ha a befogók átfogóra eső vetülete:
a) 5 cm és 20 cm; d) 2,7 cm és 1,2 cm; b) x és 4 x, x > 0; e) 3 dm és 33 dm; c) 16 cm és 9 cm; f) 12 cm és 1,2 dm.
3. Az ABC háromszögben A∢ = 90 ° , AD ⊥ BC, D ∈ BC. a) Ha BD = 8 cm és CD = 18 cm, határozd meg az AD hosszát!
b) Ha AD = 12 cm és CD = 8 cm, határozd meg a BD és BC hosszát!
4. Az ABC háromszögben A∢ = 90 ° , AM ⊥ BC, M ∈ BC, BM MC = 1 4 és BC = 20 cm. Számold ki AM hosszát
és az ABC háromszög területét!
5. Az ABCD rombusz magassága 20 cm és AC ∩ BD = {O}. Az OB szakasz AB oldalra eső vetülete 5 cm. Számítsd ki a rombusz kerületét!
AD1 EB
6. A TRAP derékszögű trapézban T∢ = P∢ = 90°, TR = 30 cm, AP = 18 cm és TA ⊥ AR. Számítsd ki a trapéz magasságát!
7. Az ABCD téglalapban az A pont vetülete a BD átlóra az E pont, BE = 3 DE, és AC ∩ BD = {O}. a) Határozd meg a DE EO arány értékét!
b) Ha BD = 82 számítsd ki AE szakasz hosszát!
8. Az ABCD egyenlő szárú trapézban AB ∥ CD, AB = 10 cm, CD = 6 cm és d(C, AB) = 4 cm. I gazold, hogy AC ⊥ BC!
9. Az MNPQ téglalapban MA ⊥ NQ, A ∈ NQ és MA ∩ PQ = {B}. Ha AN = 12 cm, AQ = 27 cm számítsd ki az MA és MB szakasz hosszát!
10. Az AMN háromszögben AD magasságvonal, D ∈ MN és AD = 36 cm, MD = 9 cm, ND = 6 cm. Igazold, hogy az AMN háromszög derékszögű!
11. A DREP téglalapban DR = 16 cm és RE = 8 cm. Hosszabbítsd meg a DR szakaszt RQ RE = 2 .-vel. Igazold, hogy DE ⊥ EQ!
12. Az ABCD trapézban A∢ = D∢ = 90°, AC ⊥ BC, AB = 12 cm, CD = 9 cm.
a) Számold ki a trapéz magasságát!
b) Ha az AB szakasz meghosszabbítjuk az
AE = 3 cm szakasszal és F = prABC, igazold, hogy
ED ⊥ DF!
Emlékeztető
Ha az ABC háromszög derékszögű (BAC∢ = 90°) és az átfogóhoz tartozó magasság, akkor
BAC∢ ≡ ADB∢ ≡ ADC∢ és derékszögek.
ABD∢ ≡ DAC∢, mert mindkettőnek a BAD szög a pótszöge.
BAD∢ ≡ ACD∢, mert mindkettőnek a CAD szög a pótszöge.
Az ABD és CAD háromszögek hasonlóságát alkalmazva igazoltuk a magasságtételt. Lássuk, milyen eredményre jutunk a másik két háromszögpár, az ABC és DBA illetve az ABC és DAC háromszögek hasonlósága alapján?
Fedezzük fel, értsük meg!
1. Tétel: A befogótétel
Kijelentés
Egy derékszögű háromszögben bármelyik befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső vetületének szorzatával.
Matematikai jeleket használva
Feltevés. ABCΔ derékszögű, BAC∢ = 90°; D = prBC A
Következtetés: AB 2 = BC · BD és AC 2 = BC · CD.
Bizonyitás: Az ABC és DBA háromszögek hasonlóak, mert a BAC∢ és ADB∢ derékszög, az ABC∢ és ABD∢ pedig közös szög. Akkor AB DB BC AB AC AD == .,
valamint az AB DB BC AB = aránypárból következik, hogy AB2 = BC · BD.
Hasonló módon, az ABC és DAC háromszögek hasonlóak. Ekkor AB AD AC DC BC AC == . Az AC DC BC AC = , aránypárból következik, hogy AC 2 = BC·CD. Megjegyzés:
A befogótételben szereplő egyenlőségek ABBCBD , illetve ACBCCD , alakban is írhatók. Ezek alapján a befogótétel így is fogalmazható: Egy derékszögű háromszög bármelyik befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső vetületének mértani közepe.
Alkalmazás
1. Alkalmazás: Az ABC derékszögű háromszögben A∢ = 90°, AD az átfogóhoz tartozó magasságvonal és E a D pont B szerinti szimmetrikusa. A B pontba állított merőleges az EC átmérőjű kört F-ben metszi. Igazoljuk, hogy a BFA háromszög egyenlő szárú!
Megoldás: Mivel a BAC háromszög derékszögű, alkalmazhatjuk a befogótételt: AB 2 = BC BD. Az EFCΔ félkörbe írt háromszög, tehát derékszögű. Alkalmazzuk az FB magasságra a magasságtételt: FB 2 = BC BE. Mivel E a D pont B szerinti szimmetrikusa, BD ≡ BE. Ebből következik, hogy AB 2 = FB 2, vagyis BA ≡ BF, tehát a BFA háromszög egyenlő szárú.
2. Tétel: A befogótétel első fordított tétele
Kijelentés
Az ABC háromszögben D = prBC A
Ha a D pont a BC szakaszon helyezkedik el, és
AB2 = BC · BD vagy AC2 = BC. CD, akkor az ABC háromszög A-ban derékszögű
Matematikai jeleket használva
Feltevés: ABCΔ-ben: D = prBCA, D a B és C között található, AB2 = BC · BD vagy AC2 = BC · CD.
Következtetés: ABCΔ derékszögű és A∢ = 90°.
Bizonyitás: Megszerkesztjük az A pont vetületét a BC-re. A feltétel szerint D a BC szakaszon található. Az AB 2 = BC BD feltételt így is írhatjuk: BA BD BC BA = . A kapott
aránypárban a számlálók a BAC háromszög oldalai, a nevezők pedig a BDA háromszög oldalai. A két háromszögben ABC∢ ≡ DBA∢ és mint a két háromszög közös szöge, így az O.Sz.O. eset szerint a két háromszög hasonló. A hasonló háromszögek megfelelő szögei kongruensek: BAC∢ ≡ BDA∢. A BDA∢ derékszög, így a BAC∢ is derékszög, tehát az ABC háromszög A-ban derékszögű, amit igazolni kellett. Hasonlóan végezzük el a bizonyítást az AC 2 = BC · CD összefüggésből kiindulva is.
Feladat a portfólióba
Igazoljátok ellenpéldával, hogy a befogótétel fordított tétele nem érvényes abban az esetben, ha az A pont BC egyenesre eső vetülete kívül esik a BC szakaszon!
3. Tétel: A befogótétel második fordított tétele
Kijelentés
Ha az ABC derékszögű háromszög BC átfogóján van egy olyan D pont, hogy az AB szakasz hossza a BC és BD szakaszok hosszának mértani közepe, akkor
AD a háromszög magassága.
Matematikai jeleket használva
Feltevés: ABCΔ-ben ADB∢ = 90°, D a B és C között található, AB2 = BC · BD
Következtetés: AD ⊥ BC
Bizonyitás: A kijelentés alapján AB2 = BC·BD, ami AB CB = BD BA alakba írható.
Mivel ABD∢ ≡ CBA∢ (közös szög), az O.Sz.O. hasonlósági eset alapján ADB∢ ≡ CAB∢. De CAB∢ = 90°, tehát ADB∢ = 90°. Következésképpen, AD az ABC háromszög átfogójához tartozó magasság.
2. Alkalmazás: Az ABC derékszögű háromszögben A∢ = 90°, AD a magasságvonal, E a D pont vetülete az AB egyenesre és F az E pont vetülete a BC egyenesre. Számítsuk ki a BF szakasz hosszát, ha AB = 18 cm és BC = 27 cm!
Megoldás: Ismételten alkalmazzuk a befogótételt.
Az ABC háromszögben A∢ = 90°, D az A vetülete BC-re, AB2 = BC ∙ BD, vagyis BD AB BC === 2324 27 12 (cm). Az ABD háromszögben ADB∢ = 90°,
E = a D vetülete AB-re, BD2 = BE ∙ AB vagy BE BD AB === 2144 18 8 (cm).
A BDE háromszögben BED∢= 90°, F az E vetülete BD-re, BE2 = BD ∙ BF vagy BF BE BD === 264 12 16 3 (cm).
3. Alkalmazás: Az ABC derékszögű háromszögben A∢ = 90°, AD magasságvonal, E a D pont vetülete az AB egyenesre és F az E pont vetülete a BC egyenesre.
a) Számítsuk ki a BF szakasz hosszát, ha AB = c1 és BC = ip!
b) Határozzuk meg a BF szakasz hosszát, ha AB = 18 cm, BC = 27 cm!
Megoldás: a) BAC∢ = 90°, AD ⊥ BC, DE ⊥ AB, tehát az ABC, ABD és BDE háromszögek derékszögűek. Ezekben a háromszögekben AD, DE és EF az átfogóhoz tartozó magasságvonalak. A BF szakasz hosszát a BED, háromszögben a befogótétel alapján számoljuk ki BF BE BD = 2 .
A BE szakasz a BD befogó átfogóra eső vetülete az ADB háromszögben, tehát BE BD AB = 2 .
A BD szakasz az AB befogó átfogóra eső vetülete az ABC háromszögben, tehát BD AB BC = 2
b) c1 = 18 cm és ip = 27 cm, esetén azt kapjuk, hogy
4. Alkalmazás: Az ABC derékszögű háromszög átfogóján található a P pont. Tudjuk, hogy PB = 6 cm. P-nek az AB-re eső vetülete Q, QA = 5 cm és QB = 4 cm. Számítsuk ki az AP és BC szakasz hosszát!
Megoldás: P az ABC derékszögű háromszög átfogóján helyezkedik el, a PAB∢ és PBA∢ hegyesszög, tehát a Q pont, mint a P pont AB egyenesre eső vetülete, az AB szakasz belső pontja. Az APB háromszögben PQ ⊥ AB, Q ∈ AB, PB2 = 36 = 4 · 9 = QB · AB. A befogótétel fordított tétele szerint az ABP háromszög derékszögű: APB∢ = 90°. Az APB háromszögben alkalmazzuk a befogótételt: AP 2 = AQ · AB = 45, tehát AP = 3 5 (cm) Az ABC háromszögben a befogótétel szerint AB 2 = BC BP, tehát 81 = BC ·6, végül BC = 13,5 (cm).
Jegyezd meg!
A magasságtétel és a befogótétel két metrikus összefüggés. A háromszög magassága, befogói, átfogója és a befogók átfogóra eső vetülete közt fennálló kapcsolatokat fejezik ki.
A befogótétel és a magasságtétel fordított tételei alapján gyakran igazolható két egyenes merőlegessége.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, AD ⊥ BC, D∈BC.
30 p 1. Ha AB = 4 cm, BD = 2 cm, akkor a BC oldal hossza:
A. 8 cm; B. 6 cm; C. 2 cm; D. 16 cm.
30 p 2. Ha BD = 6 cm, CD = 2 cm, akkor az AC oldal hossza:
A. 8 cm; B. 4 cm; C. 12 cm; D. 6 cm.
30 p 3. Ha BD = DC és AC = 4 4 cm, akkor a BC hossza:
A. 16 cm; B. 8 2 cm; C. 8 cm; D. 4 2 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc
Hivatalból: 10 pont
1. Az ABC derékszögű háromszögben A∢ = 90° és
AD ⊥ BC. Állapítsd meg a következő kijelentések logikai értékét:
p1: Az AC befogó BC átfogóra eső vetülete AD.
p2: AB2 = BC · BD.
p3: ACBDDC .
2. Az ABC derékszögű háromszögben A∢ = 90°, AD magasságvonal.
Ha AD = 24 cm és DC = 18 cm, számítsd ki a BC, BD és AC szakaszok hosszát!
3. Számítsd ki egy derékszögű háromszög befogóinak hosszát, ha a befogók átfogóra eső vetülete:
a) 9 cm és 16 cm; c) 93 cm és 33 cm; b) 4 cm és 12 cm; d) x cm és 9x cm, x > 0.
4. Az ABCD téglalapban AB = 4,5 cm és BE ⊥ BD, E ∈ CD. Ha DE = 12,5 cm, számítsd ki a BE szakasz hosszát és a téglalap kerületét!
5. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC
a) Ha BC = 20 cm, BD = 7,2 cm, számold ki CD, AB és AC szakasz hosszát!
b) Ha BC = 6 cm, BD = 0,4 dm, határozd meg BC, BD és AB szakasz hosszát!
c) Ha AB = 56 m, BC = 25 m, határozd meg BD, CD és AC szakasz hosszát!
d) Ha AB = 2 x cm, BD = x cm, határozd meg BC és AC szakasz hosszát!
6. A DEF háromszög derékszögű D-ben, DG ⊥ EF, G ∈ EF. A DG egyenes L-ben metszi az F ponton keresztül, DE-vel párhuzamosan húzott egyenest. DE = 15 cm és EF = 25 cm. Számítsd ki az EG, DF és FL szakasz hosszát!
7. Az ROMB rombuszban RM ∩ OB = {A} és AC ⊥ BM, C ∈ MB. Ha az OB átló hossza 24 cm és BC = 8 cm, számítsd ki a rombusz oldalának és másik átlójának hosszát!
8. Az ABCD téglalap AB és AD oldalának a BD átlóra eső vetülete 2 cm illetve 6 cm. a) Számítsd ki a téglalap méreteit!
b) Ha AE ⊥ BD, E ∈ BD és EF ⊥ AB, F ∈ AB számítsd ki a BEF háromszög területét!
9. Az ABC derékszögű háromszögben A∢ = 90°, az AM oldalfelező és az AD magasság 30°-os szöget alkot. Számold ki:
a) a DM BC ;arány értékét;
b)
AB AC AC AB 22
10. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, AD ⊥ BC, D ∈ BC, DE ⊥ AB, E ∈ AB és DF ⊥ AC, F ∈ AC.
a) Bizonyítsd be, hogy AE AF AC AB = .
b) Igazold, hogy az AEF és ACB háromszögek hasonlóak!
c) Ha BD = 3 cm és BC = 15 cm, számítsd ki EF szakasz hosszát!
11. Az ABC háromszögben A∢ = 135° a D és E pont a BC oldalon helyezkedik el úgy, hogy AD ⊥ BC, CD = 6 cm, CE = 8 cm és AE = 4 cm. Igazold, hogy az AEC háromszög derékszögű!
12. Jelöljük a d egyenesen az A, B, C, D pontokat ebben a sorrendben, AB = 2 cm, AC = 6 cm, AD = 8 cm. Tudva, hogy P∉d, APD∢ = 90° és PD = 4 cm, igazold, hogy PC ⊥ d !
13. Adott a C(O, R) körön a D, E és F pont, DE = 25 cm, EF = 15 cm és M = prDEF a DE szakasz azon pontja, melyre DM = 16 cm. Számold ki:
a) a DFE szög mértékét;
b) a C(O, R) kör kerületét!
14. Az alábbi vázlat az A, B, C és D városokat összekötő úthálózatot mutatja. A B, C és D pontok kollineárisak, AB = 50 km, AC ⊥ BD, CB = 40 km, CD = 22,5 km. Egy teherautó árut szállít A városból
B és D városba, majd visz-
sza A városba.
a) Határozd meg a legkisebb távolságot, amelyet a teherautó egy szállítással megtesz!
b) Bizonyítsd be, hogy
BAD∢ = 90°!
c) Ha megépülne az AD út, rövidebb lenne-e a teherautó szállítási útvonala? Érvelj állításod mellett! 2 6 AFB DC E
7.2. Pitagorasz tétele • Pitagorasz tételének fordított
tétele
Emlékeztető
A befogótétel alapján kiszámítható egy derékszögű háromszög valamely befogójának hossza, mint az átfogó és a befogó átfogóra eső vetületének mértani közepe.
A magasságtétel az átfogónak megfelelő magasságot a magasság által az átfogón meghatározott szakaszok hosszának mértani közepeként fejezi ki
A derékszöghöz tartozó csúcsnak az átfogó tartóegyenesére eső vetülete az átfogó belső pontja, tehát a két befogó vetületének összege egyenlő az átfogóval.
Ezt a két megfigyelést felhasználva bizonyíthatjuk a derékszögű háromszög geometriájának egyik legszebb eredményét, a Pitagorasz-tételt, amelyet hatodik osztályból ismerünk.
Valószínűleg a matematika összes tétele közül a Pitagorasz-tételnek ismeretes a legtöbb bizonyítása.
Fedezzük fel, értsük meg!
1. Tétel: Pitagorasz tétele
Kijelentés
Egy derékszögű háromszögben az átfogó hosszának négyzete egyenlő a két befogó hosszának négyzetösszegével
Matematikai jeleket használva
Feltevés: ABCΔ derékszögű, A∢ = 90°
Következmény: BC2 = AB2 + AC2 .
Bizonyitás: Az ABC derékszögű háromszögben (A∢ = 90°), jelöljük D-vel az
A pont BC-re eső vetületét. Mivel B és C hegyesszögek, a D pont a BC oldalon található, BD és CD az AB illetve AC befogó átfogóra eső vetülete. A befogótételt
alkalmazva BD AB BC = 2 és CD AC BC = 2 .
BD + CD = BC, ide behelyettesítve: AB BC AC BC BC 22 vagy AB2 + AC 2 = BC 2 .
Megjegyzés: A Pitagorasz-tétel segítségével ki tudjuk számítani a derékszögű háromszög egyik oldalának hosszát, ha ismerjük a másik két oldalt: 1) ha ismerjük a befogók hosszát, az átfogó: BCABAC22 ; 2) ha ismerjük az egyik befogó és az átfogó hosszát, a másik befogó:
ABBCAC22 vagy ACBCAB22 .
Feladat a portfólióba
Döntsétek el, melyik igaz a következő állítások közül:
1) Egy négyzetben a két átló hosszának négyzetösszege egyenlő a négy oldal hosszának négyzetösszegével.
2) Egy téglalapban a két átló hosszának négyzetösszege egyenlő a négy oldal hosszának négyzetösszegével.
3) Egy rombuszban a két átló hosszának négyzetösszege egyenlő a négy oldal hosszának négyzetösszegével.
Alkalmazás
1. Alkalmazás:
a) Az MNP egyenlő szárú háromszögben MN = MP = 15 cm és NP = 18 cm. Számítsuk ki az alaphoz tartozó magasság hosszát!
b) Egy egyenlő szárú háromszögben a szárak hossza a és az alap hossza b. Igazoljuk, hogy az alaphoz tartozó
h magasság hossza hab 2 2 4
c) Az MNPQ egyenlő szárú trapézban MN ∥ PQ, MN = 30 cm, PQ = 16 cm és MQ = 25 cm. Számítsuk ki a trapéz magasságát!
d) Egy egyenlő szárú trapézban az alapok hossza B, illetve b, a szárak hossza l. Igazoljuk, hogy a trapéz
h magassága: hl Bb 2 2 4
Megoldás: a) Az MNP egyenlő szárú háromszög alapja NP. Jelöljük Q-val az M pont NP oldalra eső vetületét! MQ az alaphoz tartozó magasság, tehát MQ oldalfelező is:
QP = NP 2 9 = (cm).
Jelölés: MQ = h. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt az MQP derékszögű háromszögben, MQP∢ = 90°. h = MQ = MPQP22 , h = 15922 = 12 cm.
b) Hasonlóképpen az a > 0 és b > 0 úgy, hogy létezzen a háromszög. A feltevés szerint
QP = b 2 , MP = a és MQ = h. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt
az MQP derékszögű háromszögben, MQP∢ = 90°. h = MQ = MPQP b a 222 2 4
c) Az MNPQ egyenlő szárú trapézban (MN ∥ PQ) jelöljük a P és Q pont nagyalapra eső vetületét R-rel illetve
S-sel. MS = RN = MNPQ 2 = 7 cm, MQ = NP = 25 cm, h = PR = QS .
Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt a PRN derékszögű háromszögben:
h = PR = PNRN22 , vagyis h = 257576 22 = 24 (cm).
d) MS = RN = Bb 2, MQ = NP = l, h = PR = QS.
Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt a PRN derékszögű háromszögben:
h = PR = PNRNl Bb 222 2 4 .
2. Alkalmazás: Az ABC háromszögben H a magasságpont (ortocentrum). Igazoljuk, hogy AH 2 + BC 2 = BH 2 + AC 2 = CH 2 + AB 2 Megoldás: Figyeljük a mellékelt ábrát! Megrajzoltuk az ABC háromszög körüli kört és megjelöltük A1-gyel és C1-gyel az A, illetve C pontok átmérősen ellentett pontjait. Megkaptuk az AA1 és CC1 átmérőket. Az ABA1, ACA1, CAC1 és CBC1 szögek derékszögek, tehát A1B ⊥ AB, A1C ⊥ AC, C1A ⊥ AC és C1B ⊥ CB. Mivel H magasságpont, AH ⊥ BC, BH ⊥ AC és CH ⊥ AB. Ebből következik, hogy AH ∥ C1B és BH ∥ C1A, tehát BHAC1 paralelogramma.
Hasonlóan BHCA1 is paralelogramma. Következik, hogy BH ≡ A1C és CH ≡ A1B.
Az AA1C és AA1B háromszög derékszögű, tehát alkalmazható a Pitagorasz-tétel: AA1 2 = AC2 + A1C2 és AA1 2 = AB2 + A1B2, vagyis AC2 + BH2 = AB2 + CH2
Hasonlóan a BHAC1 paralelogramma esetén CC1 2 = AC2 + BH2 és CC1 2 = BC2 + AH2, vagyis
AC2 + BH2 = BC2 + AH 2
2. Tétel: Pitagorasz fordított tétele
Kijelentés
Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű, és a derékszög a legnagyobb oldallal szemben helyezkedik el.
Matematikai jeleket használva
Feltevés. Az ABC háromszögben igaz a BC2 = AB2 + AC2 összefüggés.
Következtetés: ABCΔ derékszögű, ahol A∢ = 90°.
Bizonyitás: Az A pontban merőlegest emelünk AB-re, melyen felvesszük a D pontot úgy, hogy AD ≡ AC, és D és C az AB egyenes különböző oldalán helyezkedjen el.
Az ABD derékszögű háromszögben BAD∢ = 90° (szerkesztés) Pitagorasz tétele szerint:
BD 2 = AB 2 + AD 2. A feltevésből, BC 2 = AB 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2. Következik, hogy
BD ≡ BC. Az ABD és ABC háromszögben AB ≡ AB, AD ≡ AC és BD ≡ BC, tehát az O.O.O. egybevágósági eset szerint az ABD és ABC háromszögek kongruensek.
Következik, hogy a BAC∢ és BAD∢ szögek is kongruensek. Mivel
BAD∢ = 90°, az ABC háromszög derékszögű és átfogója BC.
A Pitagorasz-tétel fordítottja módszert kínál arra, hogy igazoljuk egy háromszögről, hogy derékszögű. Ha ismerjük egy háromszög oldalhosszait, a következő eljárás szerint döntjük el, hogy derékszögű-e:
• A két rövidebb oldal hosszának négyzetét összeadjuk és összehasonlítjuk a legnagyobb oldal hosszának négyzetével.
• Értelmezzük az eredményt: ha egyenlőséget kapunk, a Pitagorasztétel fordítottja alapján a háromszög derékszögű és a derékszög a leghosszabb oldallal szemben helyezkedik el. Ellenkező esetben a háromszög nem derékszögű.
1) Az ABC háromszögben AB = 3, AC = 4 és BC = 5. A háromszög A-ban derékszögű, mert:
• 3 < 4 < 5;
• AB 2 + AC 2 = 9 + 16 = BC 2 .
2) Az MNP háromszögben MN = 4, MP = 5 és NP = 6. A háromszög nem derékszögű, mert:
• 4 < 5 < 6;
• MN2 + MP2 = 16 + 25 ≠ 36 = NP2
3. Alkalmazás: Szerkesszünk egy O1 középpontú, R1 = 21 cm sugarú és egy O2 középpontú, R2 = 20 cm sugarú kört. Tudjuk, hogy O1O2 = 29 cm, a két kör az A és B pontban metszi egymást. Igazoljuk, hogy az O1A egyenes a C(O2,R2) kör érintője és az O2B egyenes a C(O1,R1) kör érintője!
Megoldás: Ahhoz, hogy O1A az O2 középpontú kör érintője legyen, elegendő bizonyítani, hogy O1A ⊥ O2A. A Pitagorasz tételének fordítottja alapján ellenőrizzük, hogy az O1O2 A háromszög derékszögű. O1 O2 2 = 292 = 841.
O1 A2 + O2 A2 = 212 + 202 = = 841, vagyis O1O2 2 = O1B2 + O2B2 . Pitagorasz-tétel fordított tételének alapján az O1O2A háromszög derékszögű A-ban. O1AO2∢ = 90, vagyis az O1A egyenes A-ban érinti az O2 középpontú kört.
4. Alkalmazás: Az ABCD konvex négyszög AC és BD átlói merőlegesek egymásra. Bizonyítsd be, hogy a szemben fekvő oldalak négyzeteinek összege állandó! Megoldás: Jelöljük az átlók metszéspontját O-val. Mivel az átlók merőlegesek egymásra, az OAB, OBC, OCD és ODA háromszögek derékszögűek. Alkalmazva a Pitagorasz-tételt ezekben a háromszögekben, megkapjuk a szemben fekvő oldalak négyzetösszegeit: AD 2 + BC 2 = (AO 2 + DO 2) + (BO 2 + CO 2) és AB 2 + DC 2 = (AO 2 + BO 2) + (CO 2 + DO 2). Akkor AD
Lásd a digitális tankönyvet. Feladat a portfólióba
Mutassuk ki, hogy ha az ABCD konvex négyszög oldalhosszai között igaz az AB2 + CD2 = AD2 + BC2 összefüggés, akkor a négyszög átlói merőlegesek egymásra.
Kutatás
A mellékelt ábra intuitív módon bizonyítja a Pitagorasz-tétel érvényességét. Pitagorasz tételéről mondják, hogy a legtöbb bizonyítással rendelkezik.
1. Nézd meg a digitális tankönyvben a Pitagorasz-tétel dinamikus geometria segítségével történő bizonyítását.
2. Kutassatok a valós vagy virtuális könyvtárban, és keressetek két bizonyítást erre a tételre.
3. Mutassátok be osztálytársaitoknak a dokumentálódás során felfedezett érdekességeket.
Jegyezd meg!
Pitagorasz tétele: Egy derékszögű háromszögben az átfogó hosszának négyzete egyenlő a két befogó hosszának négyzetösszegével.
A Pitagorasz tételének fordított tétele: Ha egy háromszögben két oldal hosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának a négyzetével, akkor a háromszög derékszögű, és a derékszög a leghosszabb oldallal szemben helyezkedik el.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, AB = 7 cm, AC = 24 cm. A BC szakasz hossza:
A. 31 cm; B. 17 cm; C. 25 cm; D. 29 cm
30 p 2. Az ABCD téglalapban AB = 15 cm, AC = 25 cm. Az AD oldal hossza:
A. 10 cm; B. 20 cm; C. 30 cm; D. 25 cm
30 p 3. Egy háromszög oldalainak hosszát centiméterben kifejezve az a, b, c számokkal jelöljük. Egy lehetséges eset, amikor a háromszög derékszögű:
A. a = 2, b = 2, c = 2; B. a = 4, b = 4 3 , c = 4 5 ; C. a = 9, b = 12, c = 15;
D. a = 3, b = 4, c = 7.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. Elemezd a mellékelt ábrákat, rajzold le és egészítsd ki úgy, hogy igaz kijelentéseket kapj!
2. Számítsd ki a mellékelt háromszögek ismeretlen oldalainak hosszát!
3. Az ABC háromszög egyenlő szárú, AB = AC = 25 cm és BC = 40 cm. Számítsd ki a háromszög magasságainak h1 + h2 + h3 összegét!
4. Az ABC háromszögben cu AB = AC = 83 cm és BAC∢ =120°. Az A-ban AC-re merőleges egyenes a BC oldalt a D-ben metszi. Számítsd ki:
a) az ABC∢ és ACB∢ mértékét; b) a DC és a BD szakasz hosszát!
BDC
5. Számítsd ki:
a) egy 8 cm oldalhosszúságú, egyenlő oldalú háromszög magasságát; b) egy 48 cm kerületű négyzet átlójának hosszát; c) egy téglalap átlójának hosszát, ha a téglalap méretei a és 2a; d) egy rombusz kerületét, ha a rombusz átlói 2 cm és 23 cm.
6. Mária egy PARC téglalap alakú park sétányain sétál (lásd a mellékelt ábrát). A B pontban egy szökőkút található, 480 m távolságra a P ponttól. A D pontban egy szobor található, 120 m távolságra az R ponttól. Mutasd ki, hogy ha Mária az A – B –D – A útvonalat teszi meg, az általa megtett út több, mint 1,8 km!
Ha BD = 50 cm és AC = 80 cm, határozd meg az E pont távolságát a BC egyenestől!
10. Egy egyenlő szárú trapéz nagy alapja 8 cm, átlója 213 cm és szárainak hossza 23 cm. Számítsd ki a trapéz magasságát!
11. Az ABC háromszögben BC = a, AC = a 3 , AB = 2 a. Igazold, hogy C 1 2 1 3 AB .
12. Az MNPQ paralelogrammában MN = 17 cm, NQ = 16 cm és MP = 30 cm. Határozd meg a paralelogramma átlói által közrezárt szög mértékét!
13. A DEF derékszögű háromszögben a DE és DF befogók hossza 15 cm illetve 20 cm. Az M pont az EF átfogón helyezkedik el. Számítsd ki a DM szakasz hosszát a következő helyzetekben:
a) M a BC szakasz felezőpontja;
b) MF = 4 cm.
14. Az alábbi ábrán B, C és D kollineáris pontok. Bizonyítsd be kétféleképpen, hogy az ACE háromszög derékszögű:
a) Pitagorasz tételének fordított tétele alapján.
b) Pitagorasz tételének fordított tétele nélkül.
15. Az OAB, OBC, OCD és ODE háromszögek derékszögűek, OAB∢ = OBC∢ = OCD∢ = ODE∢ = 90°
és OA = AB = BC = CD = DE = 1 cm.
a) Számítsd ki az OB, OC, OD, OE szakasz hosszát!
b) Ha s = OA + OB + OC + OD + OE, igazold, hogy 7 < s < 10.
7. Az A, B és C pont a C(O,r) körön helyezkedik el, és AOB∢ = 90°. A C pont az AB kis köríven található, 82 cm távolságra az AO egyenestől és 4 cm távolságra a BO egyenestől. Számítsd ki a kör sugarát!
8. Egy derékszögű háromszög egyik szögének mértéke 60°, az átfogó hossza 6 cm. Számítsd ki a háromszög kerületét!
9. Az ABC derékszögű háromszögben A∢ = 90°, BD oldalfelező és CE az ACB∢ szögfelezője, E ∈ AB.
16. Írj le egy eljárást egy 10 cm hosszúságú szakasz szerkesztésére Pitagorasz tételének felhasználásával!
7.3. A trigonometria elemei a derékszögű háromszögben • A derékszögű háromszög megoldása
1.l. Trigonometriai elemek a derékszögű háromszögben
Emlékeztető
Egy háromszögben a nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal fekszik.
Egy derékszögű háromszögben az átfogó nagyobb, mint bármelyik befogó.
Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű, és az átfogó a leghosszabb oldal.
Ha egy derékszögű háromszög egyik szöge 30°-os, akkor a vele szemben fekvő befogó hossza egyenlő az átfogó hosszának felével.
Fedezzük fel, értsük meg!
Feladat: Az ABC derékszögű háromszögben A∢ = 90° és B∢ = 30°.
a) Számítsd ki az AC BC AB BC AC AB AB AC ,, , arányok értékét!
b) Állapítsd meg, hogy a kiszámított arányok értéke függ-e a háromszög oldalainak hosszától!
Megoldás: a) Ha A∢ = 90° és B∢ = 30°, akkor AC = BC 2 , ami aránypárként így írható: AC BC = 1 2 . (1)
Az ABC háromszögben felírjuk a Pitagorasz-tételt
AB = BCAC BC 22 32 4 , tehát AB 3 2 BC vagy AB BC = 3 2 (2)
Végül AB AC BCBC 3 2 1 2 3 2 2 1 :3 és AC AB = AB AC = 1 3 –1 . (3)
b) A fenti gondolatmenet és a számítások eredményei (az (1)-es, (2)-es és (3)-as összefüggések) nem függenek a háromszög oldalainak hosszától.
Következtetés: Minden derékszögű háromszögben, melynek van egy 30°-os szöge, a fenti négy arány értéke ugyanaz, függetlenül az oldalak hosszától.
Kérdések:
• Vajon ezek az arányok más mértékű szögek esetén is ugyanazok?
• Milyen értékeket vehetnek fel ezek az arányok?
Hogy válaszolhassunk a kérdésekre, tekintsük az ABC és MNP derékszögű háromszögeket: A∢ =M∢ = 90° és B∢ =N∢ =α°, ahol 0 <α< 90. Ebből következik, hogy az ABC és MNP hasonló háromszögek (Sz.Sz. eset). A C és P szögek hegyesszögek és kongruensek: C∢ =P∢ = 90° – α°.
Következik, hogy AC MP AB MN BC NP == és ez alapján az AC MP BC NP = ,
MN BC NP = és AC MP AB MN = aránypár, amely alapján a származtatott aránypárok: AC BC MP NP = , AB BC MN NP = , AC AB MP MN = , AB AC MN MP = . Figyeljük meg, hogy a hasonló háromszögek oldalai az alábbiak szerint vannak elrendezve:
• AC és MP az α° mértékű szöggel szemben fekvő befogók;
• AB és MN az α° mértékű szög melletti befogók;
• BC és NP a két háromszög átfogója.
Következtetés:
Ha egy derékszögű háromszög egyik szögének mértéke α°, 0 < α < 90, akkor:
• az α° mértékű szöggel szemben fekvő befogó és az átfogó aránya állandó;
• az α° mértékű szög melletti befogó és az átfogó aránya állandó;
• az α° mértékű szöggel szemben fekvő és a mellette fekvő befogó aránya állandó;
• az α° mértékű szög melletti és a vele szemben fekvő befogó aránya állandó. BA
A fenti következtetések alapján értelmezhetők a szögfüggvények (trigonometrikus függvények), mint egy derékszögű háromszög két oldalának hányadosai és valamely hegyesszöge közt fennálló metrikus összefüggések.
Értelmezés Jelentés
1. Értelmezés: Ha egy derékszögű háromszög (A∢ = 90°) B hegyesszöge α°, akkor a vele szemben levő befogó és az átfogó hosszának hányadosát az adott szög szinuszának nevezzük. Jelölése: sin B vagy sinα°.
2. Értelmezés: Ha egy derékszögű háromszög B hegyesszöge α°, akkor a mellette levő befogó és az átfogó hosszának hányadosát az adott szög koszinuszának nevezzük. Jelölése: cos B vagy cosα°.
3. Értelmezés: Ha egy derékszögű háromszög B hegyesszöge α°, akkor a vele szemben levő befogó és a mellette levő befogó hosszának hányadosát az adott szög tangensének nevezzük. Jelölése: tg B vagy tgα°.
4. Értelmezés: Ha egy derékszögű háromszög B hegyesszöge α°, akkor a mellette levő befogó és a vele szemben levő befogó hosszának hányadosát az adott szög kotangensének nevezzük. Jelölése: ctg B vagy ctgα°. ctg B = AB AC
1. Alkalmazás: Az ABC derékszögű háromszögben A∢ = 90° és B∢ = α°, 0 < α < 90. A fenti értelmezéseket használva számold ki:
a) sin cos ; b) cos sin ; c) sincos 22 ; d) tgα°·ctgα°.
Megoldás: a) sin cos :tg
AC BC AB BC AC BC BC AB AC AB , tehát sin cos tg .
b) cos sin :ctg AB BC AC BC AB BC BC AC AB AC , tehát cos sin ctg
c) sincos
222222 2 2 AC BC AB BC ACAB BC BC BC 21 , tehát sinsin 22 1
d) tgctg
Megjegyzések
AC AB AB AC 1 vagy tgctg sin cos cos sin
1
• Az 1. alkalmazásban kapott összefüggések bármely α hegyes szög mértékére érvényesek.
• A sincos 221 összefüggést a trigonometria alapképletének nevezzük.
• 01 sin és 01 cos bármely α mértékű hegyesszög esetén.
2. Alkalmazás: a) Számold ki: sinα°, cosα°, tgα°, ctgα° ahol α∈{30, 60}. b) Számold ki sinα°, cosα°, tgα°, ctgα° ha α= 45°.
Megoldás: Az ABC háromszögben BAC∢ = 90 ° és ABC∢ = 30 ° , tehát ACB = 60 ° .
Jelöljük BC = 2·x. Ekkor a befogók hossza AC BC x == 2 és AB = x 3 . BA C
• Metrikus összefüggések a derékszögű háromszögben
a) Ha α = 30°, akkor sin30°
Ha α = 60°, akkor sin60° =
b) Ha α = 45°, az ABC derékszögű, BAC∢ = 90° és ABC∢ = 45°, akkor ACB∢ = 45°. Jelöljük AB =
3. Alkalmazás: Sanyi 20 méterre áll egy épülettől, amelynek tetejét 60°-os emelkedési szögben látja. Sanyi magassága körülbelül megegyezik az épület talpazatának magasságával.
a) Milyen magas az épület?
b) Milyen távolságra álljon Sanyi az épülettől, hogy az emelkedési szög 45°-os legyen?
Megoldás: a) Sanyi a C pontban áll, CD = 20 m távolságra az épülettől, az épület magassága AD, ADC∢ = 90° és ACD∢ = 60°. Az ADC derékszögű háromszögben ismerjük a CD befogót és meg kell határozzuk az AD befogót.
tgACD∢ = AD CD , következik, hogy tg60° = AD 20 .
Tehát az épület magassága AD = 20 · tg60° = 203 ≃ 34,64 (m).
b) Jelöljük B-vel azt a pontot, amelyből az épület teteje 45°-os emelkedési szögben látszik. Az ADB derékszögű háromszög egyenlő szárú, AD = DB = 203 (m). Tehát Sanyi 2033464 ≈ , méter távolságra kell álljon az épülettől ahhoz, hogy az épület tetejét 45°-os szögben lássa.
Feladat a portfólióba
Hogyan tudná Sanyi megmérni az épület magasságát az előző feladatban megadott két pozíciót felhasználva, ha csak a BC távolságot ismerné?
4. Alkalmazás: Számítsuk ki a C szög szinuszát az
Ne kapkodj!
Nem használhatjuk a sinB = AC BC összefüggést, mert nem tudjuk, hogy az ABCΔ derékszögű-e.
Alkalmazás
Megoldás: Az oldalak hosszát kifejezzük centiméterben: AB = 10 cm, BC = 14 cm.
Megszerkesztjük AD ⊥ BC, D ∈ BC. Az ABD háromszögben ADB∢ = 90°,
sin B = AD
AB , azaz 3 510 = AD
Ebből következik, hogy AD = 6 cm. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt:
BD = ABAD2210036 = 8 (cm).
Az ADC háromszögben ADC∢ = 90°, AD = 6 cm és DC = BC – BD = 6 (cm).
Az ADC háromszög egyenlő szárú és derékszögű, tehát ACD∢ = C∢ = 45° és sinC = 2 2
Jegyezd meg!
Egy derékszögű háromszögben:
egy hegyesszög szinusza a vele szemben levő befogó és az átfogó hosszának hányadosa;
egy hegyesszög koszinusza a mellette levő befogó és az átfogó hosszának hányadosa;
egy hegyesszög tangense a vele szemben levő befogó és a mellette levő befogó hosszának hányadosa;
egy hegyesszög kotangense a mellette levő befogó és a vele szemben levő befogó hosszának hányadosa.
Feladat a portfólióba
Adott a sin 30° = 1 2 , egyenlőség. Állítsuk össze a fenti táblázatot az 1. alkalmazásban bemutatott
összefüggések segítségével.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, AB = 3 cm, BC = 5 cm. Akkor (sin B + cos C) · tg C egyenlő: A. 5 6 ; B. 6 5 ; C. 7 6 ; D. 6 7 .
30 p 2. Az ABC háromszögben B∢ = 60°, AB = 6 3 cm. Az A pontnak a BC egyenestől mért távolsága:
A. 6 cm; B. 12 cm; C. 6 2 cm; D. 9 cm.
30 p 3. Annak az ABCD téglalapnak a kerülete, amelyben AC = 15 cm, sin (ABD∢) = 3 5 egyenlő:
A. 40 cm; B. 48 cm; C. 42 cm; D. 45 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
•
összefüggések a derékszögű háromszögben
Gyakorlatok és feladatok
1. Az ABC háromszögben A∢= 90°. Másold le, majd egészítsd ki a megfelelő hányadosokkal! sin B = … tg B = … cos C = … ctg C = … C AB
2. Az ABC háromszögben A∢= 90°, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Jelöld a B szög mértékét u°-kal és a C szög mértékét v°-kal. Másold le és töltsd ki az alábbi táblázatot! u ° v ° sin cos tg ctg
3. A DEF háromszögben D∢ = 90°, DE = 8 cm és sin F = 0,8. Számítsd ki a háromszög kerületét!
4. Egy derékszögű háromszög hegyesszögének mértéke u°. Használd az 1. alkalmazást a következő követelményekhez:
a) Ha sin u° = 12 13 , számold ki cos u°
b) Ha cos u° = 1 6 , számold ki tg u° .
c) Ha tg u° = 3 4 , számold ki sin u°
5. Számítsd ki a 2. alkalmazásban meghatározott értékek felhasználásával!
a) sin30° · tg45° + cos30° · ctg60°;
b) sin60° · cos60° + sin30° · cos30° sin45°· cos45°.
6. Az ABC derékszögű háromszög, B∢ = 90°, BD ⊥ AC, D ∈ AC, AD + DC = 10 cm és
3 · AD = 2 · CD.
a) Készíts a feladat adatainak megfelelő ábrát!
b) Számítsd ki sinC∢, tgA∢ és cosCBD∢ értékét!
7. Számold ki az MNP háromszög területét és kerületét
tudva, hogy M∢ = 90°, MN = 18 cm és 3 tg4 P =
8. Az ABC háromszögben A∢ = 90° és D = prBCA. Ha AD = 8 cm és BD = 4 cm, számítsd ki sin B + sin C értékét!
9. Határozd meg az az alábbi háromszögek oldalainak hosszát és szögeinek mértékét!
10. Egy repülőgép az A pontból, 30°-os szögben emelkedik fel a kifutópályáról, és tovább egyenes vonalban halad. Mekkora h magasságban lesz 3000 m repülés után?
3000m
h
11. Az ABCD trapézban A∢ = 90°, B∢ = 60°, BC = 8 cm, CD = 12 cm.
a) Számítsd ki a trapéz magasságát!
b) Igazold, hogy AC ⊥ BC
12. A DEF egyenlő szárú háromszögben DE = DF = 18 cm és EF = 24 cm. Számítsd ki a DEF szög szinuszát!
13. Az ABC háromszögben A∢ = 90° és ctg B = 0,(3). a) Ha AC = 18 cm, számold ki az AB oldal hosszát! b) Ha AB = 7 cm, számold ki a BC oldal hosszát!
14. Határozd meg az ABC háromszög szögeinek mértékét, tudva, hogy az A-ból a BC egyenesre húzott merőleges talppontja a BC szakasz eleme és
AD = 6 cm, AC = 6 2 cm, BD = 2 3 cm.
2.l. A derékszögű háromszög megoldása
Emlékeztető
Egy derékszögű háromszög elemei: egy átfogó, két befogó, egy derékszög és két hegyesszög.
Fedezzük fel, értsük meg!
Megoldani egy derékszögű háromszöget azt jelenti, hogy meghatározzuk a háromszög minden elemét: mindhárom oldalát és mindhárom szögét. Egy logikai és számítási eljárássorozatról van szó, célunk a feladatot minél kevesebb ismert adatból megoldani.
Példák:
1) Ha ismerünk két oldalt, akkor a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítható a harmadik oldal. Ezután szögfüggvények segítségével meghatározható a két hegyesszög mértéke.
2) Ha csak egy hegyesszöget ismerünk, akkor a másik hegyesszög ennek pótszöge, tehát az is kiszámítható. Az oldalak meghatározásához viszont nem áll rendelkezésünkre elegendő adat.
Elemezzünk két esetet, melyben meg lehet oldani a derékszögű háromszöget:
E1: Adott a derékszögű háromszög két oldalának hossza.
Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítható a harmadik oldal hossza.
Kiszámítjuk egyik hegyesszög szinuszát, mint a vele szemben fekvő befogó és az átfogó arányát. Ha az így kapott érték egyike azoknak, amelyeket a 30°-os, 45°-os és 60°-os szögekre ismerünk, akkor azonosítható a hegyesszög mértéke. Ellenkező esetben, a hegyesszög közelítő értékét szögfüggvény-táblázat vagy számolóilletve számítógép segítségével határozhatjuk meg.
1. Alkalmazás: Az ABC háromszögben A∢ = 90°, AB = 4 cm,
AC = 43 cm. Határozzuk meg az átfogó hosszát és a hegyesszögek mértékét!
Megoldás: A BC átfogót Pitagorasz-tétel alapján számítjuk ki:
BC = ABAC221648648 (cm).
sin B AC BC === 43 8 3 2 , ez egy ismert érték, tehát B∢ = 60°, C∢ = 90° – 60° = 30°.
Megjegyzés: Az előbbi alkalmazásban adott volt a két befogó. Hasonlóan járunk el akkor is, ha az egyik befogó és az átfogó adott. AB C
Feladat a portfólióba
Oldd meg az MNP háromszöget, ha M∢ = 90°, MN = 12 cm és NP = 12 2 cm.
E2: Adott a derékszögű háromszög egyik oldalának hossza és két oldalának aránya (az egyik hegyesszög szinusza, koszinusza, tangense vagy kotangense)
Két esetet különböztetünk meg:
a) Az adott hosszúságú oldal az adott arány egyik tagja (számlálója vagy nevezője). Kiszámítjuk az adott arány másik tagját, ez nem más, mint a háromszög valamely oldalának hossza, majd a fentebb tárgyalt E1-es esetben ismertetett eljárást folytatva kiszámítjuk a háromszög összes elemét.
b) Az adott hosszúságú oldal nem szerepel az adott arányban.
Két alesetet különböztetünk meg:
b1) Az adott arányból és az adott oldalból kiindulva, a Pitagorasz-tétel alapján kiszámítható a másik két oldal hossza. Tovább a fent tárgyalt E1 esetre vonatkozó eljárást alkalmazzuk.
b2) Az adott arányból kiszámítunk egy újabb arányt, amelyben szerepel az adott oldal, majd az E1-ben leírt módon folytatjuk a megoldását.
2. Alkalmazás:
Az ABC háromszögben A∢ = 90°, ctgABC∢ = 3, BC = 5 cm és AD az átfogóhoz tartozó magasságvonal. Számítsuk ki a következő kifejezések értékét
a) E1 = AB · AC · 1 AD ;
b) E2 = AB · sinC + AC · sinB.
Megoldás: a) Meghatározzuk az AB, AC és AD szakasz hosszát.
Az ABC derékszögű háromszögben ctgB = AB AC = 3. Akkor AB AC 2 2 = 9, AB ABAC 2 22 9 10
vagy AB BC AB 2 2 2 25 9 10 == Azt kapjuk, hogy AB = 310 2 (cm), ACBCAB2210 2 (cm) és AD ABAC BC 310 2 10 2 1 5 3 2
b) Az E2 kifejezést megkapjuk, ha behelyettesítjük a sinC-nek és sinB-nek megfelelő hányadosokat:
AB · sinC + AC · sinB = AB AB BC AC AC BC ABAC BC BC BC BC 222 5 (cm).
Megjegyzés: A szögek pontos mértékét nem lehet meghatározni, mivel a ctgABC∢ = 3 értéke nem tartozik az ismert értékek közé (30°, 45°, 60°). Az ABC szög és a pótlószögének meghatározásához közelítő értékeket tartalmazó táblázatok vagy számológép használható.
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az ABC háromszögben A∢ = 45° , B∢ = 90° , BC = 7 cm. Az AC oldal hossza:
A. 7 cm; B. 7 2 cm; C. 14 cm; D. 14 2 cm.
30 p 2. Adott a C-ben derékszögű ABC háromszög. Ha sin A = 0,8 és BC = 12 cm, akkor a háromszög területe:
A. 54 cm2; B. 48 cm2; C. 64 cm2; D. 36 cm2.
30 p 3. Az ABCD paralelogrammában AD = BD = 8 cm, BAD∢ = 30 ° . A paralelogramma kerülete:
A. 32 cm; B. 32 3 cm; C. 16 · (1 + 3 ) cm; D. 16 · ( 3 1) cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc Hivatalból: 10 pont
1. Az ABC háromszögben A∢ = 90°.
a) Ha AB = 4 cm és B∢ = 60°, számítsd ki a C szöget, az AC és a BC oldalt!
b) Ha AC = 12 cm és sinB = 0,6, számítsd ki AB-t, BC-t és tg B-t!
c) Ha AB = 3 · AC és BC = 10 cm, számítsd ki sinB-t és az átfogóhoz tartozó magasság hosszát!
2. Az ABC derékszögű háromszögben AD az átfogóhoz tartozó magasságvonal, AD = 18 cm és tgACB∢ = 2. Számítsd ki AC-t, AB-t és sinABC∢ értékét!
3. Az ABC derékszögű háromszögben B∢ = 90°. Számítsátok ki a háromszög oldalainak hosszát, szögeinek mértékét és az átfogóhoz tartozó magasságot az alábbi esetekben:
a) A∢ = C∢ és AC = 12 2 cm;
b) AB = 8 cm és tg C = 3 ;
c) BC = 2 3 és TABC 23 cm2.
4. Az ABCD téglalapban M a CD oldal felezőpontja és N egy pont a BC oldalon, amelyre
DAM∢ = CMN∢ = u°.
a) Igazold, hogy az AMN háromszög derékszögű!
b) Ha u = 30° és AB = 2 3 cm, számítsd ki az AMN háromszög és a téglalap területének arányát!
5. A DEF, háromszögben D∢ = 45° , E∢ = 60° és
DF = 3 2 cm.
a) Számítsd ki a DE oldalhoz tartozó FM magasságot!
b) Számítsd ki a FME háromszög kerületét!
c) Mutasd ki, hogy a DE oldal hossza nagyobb, mint 4,7 cm!
6. Az ABC háromszögben AB = 30 cm, BC = 24 cm, CA = 18 cm és P az AB oldal felezőpontja. Mennyivel egyenlő n = sinACP∢ + sinBCP∢?
7. A DEF háromszögben DE = 2 cm, DF = 4 cm, EDF∢ = 60° és DP az EDF szög szögfelezője, P ∈ EF
a) Számold ki a DP szakasz hosszát!
b) Határozd meg a DEF háromszög köré írt kör sugarát!
Útmutatás. Szerkeszd meg a D pontnak az E pont szerinti S szimmetrikusát és tanulmányozd a DFS háromszög természetét!
8. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, C∢ = 15° és
AD a háromszög magassága.
a) Rajzold meg az ABC háromszög AM oldalfelezőjét és határozd meg az ADM háromszög szögeinek mértékét!
b) Ha BC = 4a, fejezd ki az AM és MD szakasz hosszát a függvényében!
c) Igazold, hogy 4· AD2 = AC · AB!
9. Az A, B, C pontok kollineárisak ebben a sorrendben, AB = 2 cm, BC = 8 cm és DB ⊥ AC, DB = 4 cm.
a) Mennyivel egyenlő sinADB∢ + sinBDC∢?
b) Számítsd ki az ADC háromszög kerületét!
10. A TRI általános háromszögben R∢ = 60°, TR = 8 cm, RI = 12 cm és TA ⊥ RI, A ∈ RI
a) Határozd meg az AR és TI szakaszok hosszát!
b) A B pont az R pontnak az AI szakasz felezőpontja szerinti szimmetrikusa. Igazold, hogy a BTR háromszög derékszögű!
11. Az ABCD rombuszban AB = 24 cm, AC ∩ BD = {O}. Ha AO BO = 3 , számítsd ki a rombusz átlóinak hosszát!
12. Az ABEF derékszögű trapézban AB ‖ EF, A∢ = 90°, B∢ = 60°, AB = 15 cm és BD az ABE∢ szögfelezője.
a) Számítsd ki a trapéz kisalapjának hosszát!
b) Ha C a BF átló felezőpontja, számítsd ki az ACE háromszög kerületét!
13. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, B∢ = 60° és az AB befogónak az átfogóra eső vetületének hossza 12 cm. Számold ki a háromszög kerületét és területét!
14. DEF egyenlő szárú derékszögű háromszög, DE ≡ DF, DM az EDF szög szögfelezője, M ∈ EF. Tudva, hogy EM = 4 2 cm, határozd meg az M pont távolságát a DF egyenestől!
15. Az MNP háromszögben M∢ = 90°, MN = 5 cm és sin P = 5 7 . Számold ki az átfogóhoz tartozó magasság hosszát!
16. Az ABCD rombuszban AB =10 cm, AC = 16 cm. Számold ki: a) sinBAC∢; b) a rombusz területét!
3.l. A derékszögű háromszög alkalmazása a szabályos sokszög elemeinek kiszámítására és más gyakorlati helyzetekben
Emlékeztető
Az olyan sokszöget, amelynek minden oldala és szöge kongruens, szabályos sokszögnek nevezzük.
Bármely szabályos sokszög körbeírható.
Alkalmazás
A. Számítások az egyenlő oldalú háromszögben, a négyzetben és a szabályos hatszögben (oldal, apotéma, terület, kerület)
A szabályos sokszögekkel kapcsolatban rendszerint a következőkre utalunk: a sokszög oldala, a sokszög szöge, a sokszög köré írt kör sugara, a sokszög átlói, a sokszög apotémája, a kerülete és a területe
Számos feladatban adott a szabályos sokszög egy vagy több eleme, és kiszámítjuk a többit. Ilyen értelemben a 3, 4 és 6-oldalú szabályos sokszöget fogjuk tanulmányozni.
L-lel jelöljük az n-oldalú szabályos sokszög oldalát, és R-rel a körülírt kör sugarát, n ∈ {3, 4, 6} esetben. A következőkben levezetünk néhány hasznos összefüggést.
A1. A szabályos sokszög oldalának hossza és a köré írt kör sugara közötti összefüggés
Az ABC egyenlő oldalú háromszögben a nevezetes vonalak egybeesnek és a háromszög köré írható kör O középpontjában metszik egymást. Az O pont az AA1 oldalfelezőt OA OA 11 2 = arányban osztja.
Az ABA1 derékszögű háromszögben AB = L, valamint BA1 = L 2
Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt: AA1 = ABBAL 2 1 23 2
AO a körülírt kör sugara: R = AO = 2 33 1AA L = , tehát LR = 3 .
Az ABCD négyzet az O középpontú körbe van írva. A négyzet átlói egyben a kör átmérői, tehát az O pont az átlók metszéspontja és felezi az átlókat. Az ADB derékszögű háromszögben AB = L. A Pitagorasz-tételt szerint DBABADL222.
A körülírt kör sugara ROBBD L === 1 22 . Azt kapujuk, hogy LR = 2
Az ABCDEF szabályos hatszög az O középpontú körbe van írva.
Az egyik oldalhoz tartozó középponti szög mértéke 360° : 6 = 60°.
Az AOB egyenlő oldalú háromszögben AB = L, és a kör sugara OA. Tehát L = R
A2. Az apotéma és a körül írható kör közötti összefüggés
Az n oldalú szabályos sokszög n darab, egymással kongruens, egyenlő szárú háromszögre bontható. A kör O középpontja közös csúcsa mindegyik háromszögnek, a háromszögek alapja a szabályos sokszög egy-egy oldala, a háromszögek szárai a kör sugarai. A háromszögek közös O csúcsához tartozó magasságvonalai kongruensek egymással, tehát a körülírt kör középpontja egyenlő távolságra található a szabályos sokszög minden oldalától.
Értelmezés: A szabályos sokszög köré írt kör középpontjától a sokszög oldaláig mért távolságot a szabályos sokszög apotémájának nevezzük.
Jelölés: egy n oldalú szabályos sokszög apotémáját a n-nel jelöljük.
d (O, AC) = a3
AzAOM háromszögben alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt:
aOMAOAM 3 22
a LR 3 3 62 ==
A3. A szabályos sokszögek szögei
d (O, BC) = a4
A BOM háromszögben alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt:
aOMBOBM 4 22
a LR 42 2 2 ==
Az alábbi összefüggések is az A2 ábráira vonatkoznak:
ABC egyenlő oldalú háromszög
Két szomszédos oldal által közrezárt szög
Egy oldalhoz tartozó középponti szög
A4. A szabályos sokszög kerülete és területe
d (O, CD) = a6
A COM háromszögben alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt:
aOMCOCM 6 22
a LR 6 3 2 3 2 ==
ABCD négyzet
ABCDEF szabályos hatszög
Az n-oldalú szabályos sokszög kerületét az oldalak hosszának összegeként értelmezzük: K n = n · L. K3 = 3 · L K4 = 4 · L K6 = 6 · L
A sokszöglapot n darab kongruens, egyenlő szárú háromszögre bontjuk, ezek egyik csúcsa közös a sokszög köré írt kör középpontjával, és a háromszögek alapja a sokszög egy-egy oldala. A háromszögek magassága egyenlő sokszög apotémájával. Következik, hogy az n oldalú szabályos sokszög területe: n La n n 2 T T L 3 23 4
4 2
L 6 23 4 6·
1. Alkalmazás: Egy egyenlő oldalú háromszög és egy négyzet csúcsai ugyanazon a körön helyezkednek el.
a) Ha az egyenlő oldalú háromszög oldala 12 cm, számítsuk ki a négyzet apotémáját!
b) Ha a négyzet területe 72 cm2, határozzuk meg a háromszög apotémáját!
Megoldás: Az ABC és AMNP szabályos sokszögek csúcsai a C(O,R) körön helyezkednek el.
a) Jelöljük R-rel a háromszög köré írt kör sugarát. Akkor 3 LR = , vagyis 3 33 LL R == . De L = 12 cm, tehát 123 43 3 R == (cm). A négyzet apotémája 4
a = , vagyis
b) A négyzet területe T4 = L2 és T4 = 72 cm2. Akkor, 7262 L == (cm).
Az 2 LR = összefüggés alapján 62 6 22 L R === (cm). A háromszög apotémája a3 = R 2 = 3 (cm)
2. Alkalmazás: Az A és B pontok a C(O, R), körön helyezkednek el, AB = 120° és AB = 243 cm. Határozzuk meg a kör sugarát, és a C(O, R) körbe írt szabályos hatszög apotémáját!
Megoldás: Ha a kisebbik AB körív mértéke 120°, AB az egyenlő oldalú háromszög oldala, tehát
ABLR===3243 cm. Az eredmény R=24, illetve a R 6 3 2 123 == cm.
3. Alkalmazás: Adott egy R sugarú körlemez. Mely esetben lesz az anyagveszteség minimális: ha 3, 4 vagy 6 oldalú szabályos sokszöget vágunk ki belőle? Fejezzük ki a veszteséget százalékos arányban!
Megoldás: Vizsgáljuk a három szabályos sokszögnek megfelelő ábrát!
A veszteség területe egyenlő körlemez területe és a szabályos sokszög területe közötti különbséggel. A veszteség területe Százalékos arány
A százalékos arányban kifejezett veszteségből látható, hogy az a hatszög esetében a legkisebb.
B. Gyakorlati alkalmazások: távolságok kiszámítása metrikus összefüggések segítségével
1. Alkalmazás:
Az ABC egyenlő oldalú háromszög oldala10 cm. A háromszöget csúsztatás nélkül gördítjük az AB egyenes mentén. Számítsuk ki az A pont által megtett körívek hosszát. Rajzoljátok le a füzetbe az A pont pályáját, amíg az ismét az AB egyenesre nem ér! Megoldás: Tekintsük az A1B1C1-et az adott háromszög kiinduló helyzetének. C1 körül 120°-kal forgatjuk el. Az A1 pont leírja az ABA112 , ívet, amelynek hossza a 10 cm sugarú kör hosszának egyharmadával egyenlő (ami a középpontban 120°-os szögnek felel meg, azaz a 360° egyharmada). Az A pont tehát az A1 helyzetből az A2 helyzetbe kerül.A háromszög tovább gördül, 120°-os szögben forog a B2 pont körül, és A2 az első ívvel kongruens ACA223 ívet írja le.
A „háromszögkerék” A pontja által bejárt ív hossza tehát 2 2 3 4 3 40 3 RR cm.
Feladat a portfólióba
Fogalmazzatok hasonló feladatot négyzetre és szabályos hatszögre vonatkozóan! Oldjátok meg őket!
2. Alkalmazás:
Egy téglalap alakú biliárdasztal méreteinek aránya 3 : 5. Mutassuk ki, hogy ha az asztal egyik sarkából ellökünk egy golyót, az asztal oldalaihoz (éleihez) képest 45°os szögben, és a golyó az asztal éleivel mindig tökéletesen rugalmasan ütközik, akkor hat ütközés után pontosan a szemben fekvő sarokba érkezik. Számítsuk ki a golyóút hosszának az asztal kerületéhez viszonyított arányát!
Megoldás: A téglalap méreteit 3L-lel és 5L-lel jelölve, kerülete 16L lesz. A golyó egy sor egyenlő szárú, derékszögű háromszög átfogója mentén halad. Az átfogók hossza Pitagorasz-tétellel számítható ki, rendre
322223222232 LL LL LL L ,,,,,, . Összeadva megkapjuk a golyó által megtett út hosszát 152 L
A golyóút hosszának az asztal kerületéhez viszonyított aránya 152 16
Miniteszt
Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
30 p 1. Az r = 6 cm sugarú C(O, r) körbe egy egyenlő oldalú háromszöget írunk. A háromszög oldalának hossza:
A. 6 3 cm; B. 9 cm; C. 12 3 cm; D. 12 cm.
30 p 2. Egy kör hossza 16π cm. A körbe írt négyzet apotémájának hossza:
A. 8 cm; B. 4 2 cm; C. 8 2 cm; D. 4 cm.
30 p 3. Ugyanabba a C(O, r) körbe egy négyzetet és egy szabályos hatszöget írunk. Ha a négyzet oldalhossza 4 cm, akkor a hatszög oldalának hossza:
A. 2 3 cm; B. 2 cm; C. 2 2 cm; D. 4 cm.
Megjegyzés: Munkaidő: 20 perc
Hivatalból: 10 pont
Gyakorlatok és feladatok
1. ABC egyenlő oldalú háromszög és O a háromszög köré írható kör középpontja. Nevezd meg azt a szakaszt, melynek a hossza:
a) a háromszög köré írható kör sugara; b) a háromszög apotémája!
AB C D O
2. Az alábbi táblázatban l, R, a, K és T egy egyenlő oldalú háromszög oldalát, a háromszög köré írható kör sugarát, apotémáját, kerületét és területét jelöli (a méretek cm-ben, illetve cm2-ben adottak).
a derékszögű háromszögben
l R a K T
a) 18 b) 4 3
c) 3 3 d) 36 3
Másold le, végezd el a szükséges számításokat, és egészítsd ki a táblázatot!
3. ABCD négyzet és O az átlók metszéspontja. Nevezd meg azt a szakaszt, melynek a hossza: a) a négyzet köré írható kör átmérője; b) a négyzet apotémája!
4. Az alábbi táblázatban l, R, a, K és T egy négyzet oldalát, a négyzet köré írható kör sugarát, apotémáját, kerületét és területét jelöli (a méretek cm-ben, illetve cm2-ben adottak). Másold le, végezd el a szükséges számításokat, és egészítsd ki a táblázatot!
l R a K T
a) 8
b) 10 2
c) 5
d) 3,24
5. ABCDEF szabályos hatszög és O a hatszög köré írható kör középpontja.
Nevezd meg azt a szakaszt melynek hossza:
a) a hatszög köré írható kör sugara; b) a hatszög apotémája.
6. Az alábbi táblázatban l, R, a, K és T egy szabályos hatszög oldalát, a hatszög köré írható kör sugarát, apotémáját, kerületét és területét jelöli. Töltsd ki az üres helyeket a szükséges számítások elvégzésével!
l R a K T
a) 36
b) 3
c) 3
d) 1443
7. Egy egyenlő oldalú háromszög magasságának hossza 9 cm. Számold ki a háromszög köré írható kör sugarát!
8. Egy 144 cm2 területű négyzet csúcsai egy körön helyezkednek el. Számold ki a kör átmérőjének hosszát!
9. Számold ki a) annak az egyenlő oldalú háromszögnek a
területét, amelynek apotémája 3 cm.
b) a négyzet a kerületét, ha a köré írható kör
sugara 8 dm.
10. MNPQRS szabályos hatszög és MP = 83 cm. Számold ki a hatszög köré írható kör sugarát!
11. Az ABCDEF szabályos hatszög oldalának hossza 24 cm. Számold ki:
a) az ACB és BDF szögek mértékét!
b) a hatszög köré írható kör sugarát!
c) az ADE háromszög kerületét!
d) az ACDF négyszög területét!
12. Számítsd ki egy egyenlő oldalú háromszög oldalának hosszát, ha a háromszög köré írható kör sugara és az apotémája közötti különbség 2 cm.
13. A C(O, R) kör sugara R = 11 cm. Írd körbe az egyenlő oldalú háromszöget, négyzetet és szabályos hatszöget, és jelöld az oldalaik hosszát l3-mal, l4-gyel illetve l6-tal! Mennyivel egyenlő 222
346 lll ++ ?
14. Az alábbi rajz egy Rubik-piramist ábrázol. Ismeretes, hogy minden oldal 9 egyenlő oldalú háromszögből áll, és az AB szakasz 4 cm hosszú. Számítsd ki a piramis azon oldalának területét, amely az AB szakaszt tartalmazza! AB
15. Három szabályos hatszögekkel határolt felületet ragasztunk össze az alábbi ábrán látható módon. Ha AB = 9,6 cm, számítsd ki a teljes területet határoló sokszög kerületét!
I. Válaszd ki a helyes válasz betűjelét! Csak egy válasz helyes.
5p 1. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, AB = 5 cm, AC =12 cm. A BC szakasz hossza:
Hivatalból: 10 pont
Munkaidő: 50 perc
A. 17 cm; B. 13 cm; C. 15 cm; D. 16 cm.
5p 2. A DEFG téglalapban DE = 8 cm, EG = 10 cm, M = prDEG.
A GM szakasz hossza:
A. 3,6 cm; B. 6,4 cm; C. 5 cm; D. 7,2 cm.
5p 3. Ha az MNP háromszögben M∢ = 90°, MN = 8 cm, sinP = 0,8, akkor a kerülete:
A. 36 cm; B. 32 cm; C. 24 cm; D. 28 cm.
5p 4. Az ABC háromszögben A∢ = 90°, C∢ = 30° és magassága AD = 6 cm. A háromszög területe:
A. 30 3 cm2; B. 36 3 cm2; C. 18 3 cm2; D. 24 3 cm2
5p 5 ABCD négyzet, AB = 2 cm. Ha ACEF szintén négyzet, akkor BE hossza:
A. 3 cm; B. 4 cm; C. 4 2 cm; D. 6 2 cm.
5p 6 Az ABCDEF szabályos hatszög DE oldalának P a felezőpontja.
A PAB szög tangense:
A. 3 ; B. 1; C. 1,5; D. 2 3 .
5p 7. ABCD trapéz, A∢ = D∢ = ACB∢ = 90°, AD = 3 cm, CD = 4 cm. A trapéz nagyalapjának hossza:
A. 6 cm; B. 6,5 cm; C. 6,25 cm; D. 6,75 cm.
5p 8. A C(O, R) kör AD húrja és BC átmérője merőleges egyeneseken helyezkednek el, AB = 20 cm, AD = 24 cm. A kör sugara:
A. 12,5 cm; B. 16 cm; C. 18 cm; D. 15 cm.
II. Írd le a teljes megoldást!
1. Az ABC háromszögben AB = 10 cm, AC = 10 3 cm, B∢ = 60°.
10p a) Számítsd ki az A pont távolságát a BC egyenestől!
10p b) Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög derékszögű!
2. Az ABCD négyzet AB, BC, CD, DA oldalain felvesszük az E, F, G, H pontokat úgy, hogy EFGH szintén négyzet legyen. Tudjuk, hogy AE = 3 cm, CF = 4 cm.
10p a) Igazold, hogy az AEH és BFE kongruens háromszögek!
10p b) Számold ki mindkét négyzet oldalainak hosszát!
10p c) Számold ki az EG szakasz hosszát!
Összefoglaló feladatok
1. Végezzétek el az alábbi számításokat a valós számok halmazában:
2. a) Igazoljátok, hogy 24,0137,21 4,8410,89 A + = + természetes szám!
b) Igazoljátok, hogy ()146,41:1,21 B =− egész szám!
3. Sorold fel azokat az x ∈ ℕ számokat, amelyekre{() } |0,(4)14,4Mxx=∈<<+ .
4. Határozzátok meg azokat az n természetes számokat, amelyekre az alábbi számok racionálisak.
a) 16 ,20 n n < ; b) 5 n n ; c) 1002 81 n ; d) 2 1 50 n
5. a) Ábrázold a számtengelyen az A(–2), B( 2 ), C( 42 ), D(5).
b) Határozd meg az AB és CD szakasz hosszát!
c) Vizsgáld meg, hogy az AB vagy a CD szakasz a nagyobb? Indokold válaszod!
6. Ha 13 11 22 a
mennyivel egyenlő 176 cab =++−⋅ ?
7. Számítsátok ki x és y mértani középarányosát, ha ()() 22 2220xy−+−≤ .
8. Oldjátok meg a következő lineáris egyenletrendszereket: a)
9. Egy papír-írószer kereskedésben eladtak egy nap 200 négyzethálós és vonalas füzetet vegyesen, 588 lej értékben. Ha egy négyzethálós füzet ára 3,60 lej, egy vonalas füzeté pedig 2,40 lej, hány négyzethálós füzetet adtak el aznap?
10. A mellékelt téglalapot az oldalaival párhuzamos egyenesek segítségével négy tartományra osztottuk, és néhány tartományba beírtuk a területét.
a) Hány téglalap látható az ábrán?
b) Mekkora a legnagyobb téglalap területe?
11. Az EFGH négyzet csúcsai a C(O, r ),körön vannak, és a kör középpontjának távolsága a négyzet oldalától 42 cm. Számítsátok ki a kör sugarát, kerületét és a körlap területét. 16cm2
2
12. Legyen ABCD egy konvex négyszög, M egy pont a négyszög AC átlóján, ME || AB, E ∈
||
, F ∈ AD
a) Igazoljátok, hogy AF · BC = BE · AD !
b) Ha AFCE FDEB = , bizonyítsátok be, hogy M az AC átló középpontja!
13. A mellékelt ábrán az ABC és EFG háromszögek egyenlő oldalúak, TABC = 1442 cm , AE ≡ EC és DG ≡ GE. Számítsátok ki a CDGF négyszög területét!
14. Az ABCD téglalap egy O középpontú körbe van írva és AC = 2 · BC.
a) Bizonyítsátok be, hogy a téglalap átlói az O pontban metszik egymást!
b) Az AOD háromszög területe 43 cm2. Számítsátok ki a kör kerületét és a körlap területét!
15. Az ABC háromszögben AB = AC = 12 cm, BC = 122 cm és BM a háromszög oldalfelező egyenese. Határozzátok meg cosAMB∢ értékét!
16. Egy egyenlő szárú trapéz nagyalapja 30 cm, középvonala 27 cm és magassága 4 cm.
a) Számítsátok ki a trapéz kerületét és átlóinak hosszát!
b) Számítsátok ki a nagyalap egyik végpontjának a távolságát a trapéz azon szárától, amelyiken nincs rajta.
17. Az ABCD derékszögű trapézban A∢ = D∢ = 90° és M a BC száron egy pont, amelyre érvényes, hogy BM = 3 · CM
a) Fejezzétek ki az M pont távolságát az AD egyenestől az alapok függvényében:
AB = x és CD = y, x > y.
b) Ha AD = 22 cm és DAM∢ = 60°, mennyivel egyenlő AM ?
18. Az ABC háromszögben AB = 6 cm, AC = 4 cm és A∢ = 60°. Számítsátok ki a háromszög területét, kerületét és az A pontból húzott magasságvonal hosszát!
19. Az ABCDEF szabályos hatszög oldala 1 dm. Az AC, BD, CE, DF, EA és FB átlók páronként metszik egymást és meghatározzák az MNPQRS hatszöget (lásd a melléket ábrát). Az AD egyenes a BF-et G-ben metszi, a CE-t pedig H-ban.
a) Bizonyítsátok be, hogy MNPQRS szabályos hatszög!
b)Számítsátok ki az AG, GH és HD szakasz hosszát!
c) Határozzátok meg a két hatszög apotémájának arányát!
20. Legyen ABCD egy konvex négyszög, M egy pont a négyszög AC átlóján, ME ‖ AB, E ∈ BC és MF ‖ CD, F ∈ AD
Igazoljátok, hogy AF AD CE BC 1.
21. Az ABCD téglalap CD oldalán felvesszük az E és F pontot úgy, hogy DE CD = 4 és CF CD = 3 Ha AE ∩ BF = {M} és MT ⊥ CD, T ∈ CD, határozzátok meg az ET TF arány értékét!
22. Egy utcában két szomszédos ház homlokzatán teleszkópos létra segítségével folynak a munkálatok. Az egyik házon végzett munkához a létrát 4,5 m-re nyitják ki. A szomszédos házon végzett munkához a létra a talajon marad ugyanott, de 7,5 m-re nyitják ki (lásd a mellékelt rajzot). Ha a létra mindkét helyzetben 60°-os szöget zár be a talajjal, számítsd ki a két épület közötti távolságot!
1. év végi felmérő
Hivatalból: 10 pont
I. Másold le az alábbi kijelentéseket! Az igaz állítások mellé írj az üres négyzetbe I jelt, a hamisak mellé pedig H jelt!
5p 1. A 204580 kifejezés értéke 5
5p 2. Az ( x + 3)2 = 25 kifejezés értéke – 4.
5p 3. Ha x > 0, y < 0 és x2 = 5, y2 = 20, akkor 1 2 5 xy .
5p 4. Ha egy trapéz alapjainak hossza 6 cm illetve 14 cm, akkor a középvonalának hossza 9 cm.
5p 5. Egy négyzet területe 64 cm2. A négyzet kerületét 32 cm-rel növelve, a területe 256 cm2 lesz.
5p 6. Az A(1, 3) és B(5, 0) pontok közötti távolság 10 (m.e.).
II. Az ABC derékszögű háromszögben BAC∢ = 90°, AB = 24 cm és sin C = 4 5 , továbbá AD és AM az átfogóhoz tartozó magasságvonal illetve oldalfelező.
Társítsd az A oszlopbeli követelmény sorszámát a B oszlopbeli helyes válasszal! A B
5p 1. BC = a. 18 cm
5p 2. AC = 5p 3. AD = 5p 4. DM =
III. Írd le az alábbi feladatok részletes megoldását!
1. Adott: a 6 1 3 1
b. 14,4 cm
c. 4,4 cm
d. 12 cm
e.
10p a) Végezd el a számításokat és állapítsd meg, hogy melyik igaz: a ∈ vagy a \ ?
10p b) Hasonlítsd össze az a számot a b = 5 6 1 számmal!
2. Egy téglalap alakú kartonlemez méretei 20 cm illetve 30 cm.
10p a) Számítsd ki a téglalap átlójának hosszát!
10p b) Határozd meg a minimális számú egyforma négyzetlapot, amelyre a kartonlemez felbontható úgy, hogy a négyzetek oldalának hossza centiméterben kifejezve egész szám legyen!
2. év végi felmérő
I. Írd ki minden feladat esetében az egyetlen helyes válasz betűjelét!
Hivatalból: 10 pont
5p 1. Adott az A 08013 25 5 ,(4123 );,();;;,() halmaz. Az A ∩ R\ℚ halmaz elemeinek száma:
A. 2 B. 1
C. 3
5p 2. Kiszámítva a 21022 10 5 : kifejezés értékét, az eredmény:
A. 10 B. 2 C. 1
5p 3. Ha n 27 és p 42 akkor:
A. n > p
B. n = p
C. n = – p
D. 4
D. 5
D. n < p
5p 4. Egy derékszögű háromszögben a befogók egyenesen arányosak 8-cal és 15-tel, az átfogó hossza pedig 17 cm. A háromszög kerülete:
A. 60 cm
B. 50 cm
C. 40 cm
D. 30 cm
5p 5 Egy egyenlő oldalú háromszög apotémája 23 cm. A háromszög oldalának hossza: A. 8 cm B. 12 cm
15 cm
6 cm
5p 6 A C( O, r ) körön az AB kis körív és nagy körív mértékének aránya 1 7 . Az AOB∢ mértéke:
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
5p 7. Az xy xy 11 11 1 egyenletrendszer megoldása:
5p 8. A C ( O, r ) kör sugara r = 5 cm, AB és CD párhuzamos húrok, AB = 8 cm, CD = 2 21 cm. Az AB és CD egyenesek közötti távolság:
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm
II. Írd le az alábbi feladatok részletes megoldását!
20p 1. Az x, y és z természetes számok teljesítik a x 23 és yz 32 egyenlőséget. Számítsátok ki x, y, z és xyz ++ értékét!
2. Az ABCD derékszögű trapézban A∢ = D∢ = 90°, a nagyalap AB = 20 cm és a középvonal MN = 14 cm, M ∈ AD, N ∈ BC. Tudjuk, hogy CN = 10 cm. Számítsátok ki:
10p a) a) a trapéz kisalapjának hosszát; 10p b) b) a trapéz területét;
10p c) a BAC∢ tangensét!
I. ÉV ELEJI FELMÉRŐK
1. év elejei felmérő
I. 1. B; 2. D; 3. C; 4. A; 5. B; 6. C; 7. D; 8. A.
b) a = 1 6 = 1,1(6) = 1,16666… . Az első három tizedesjegy összege 1 + 6 + 6 = 13.
2. a) MN ∥ AB, AC szelő ⇒
A∢ és ANM∢ kiegészítő szögek.
ABC∆ egyenlő oldalú, tehát A∢ = = 60° ⇒ ANM∢ = 180° 60° = = 120°. b) MN ∥ AB, AC szelő ⇒
A∢ = 60° = CNM∢. Mivel C∢ = 60°, CMN∆ egyenlő oldalú és KCMN = 3·CM = 3 · (BC BM). ABC∆ egyenlő oldalú K = 39 cm. Akkor, BC = 39:3 = 13(cm).
KCMN = 3 · (13 − 5) = 24 cm.
2. év eleji felmérő
I. 1. B; 2. C; 3. D; 4. A; 5. B; 6. C; 7. D; 8. A. II. 1. a)
Második nap megteszi az út 1 4 -ét, vagyis az út hossza 4 · 24 = 96 (km); b) Első nap megtesz 96 3 = 32 (km),
második nap 24 km, harmadik nap 5 12 ·96 = 40 (km). 2. a) 2. b) AC =9 cm, AB = 3 cm ⇒ BC = 6 cm.
b.b.
E a BD szakasz felezőpontja ⇒ BE = = ED = 3 cm. DB ⊥ AC, B ∈ AC ⇒ ABD∢ = = CBE∢ = 90°. AB ≡ EB, BD ≡ BC CC ⇒ ABD∆≡ EBC∆. c) ABD∆≡ EBC∆⇒ A∢ ≡ BEC∢ és D∢ ≡C∢(*).
ABD∆ derékszögű ABD∢ = 90° ⇒ A∢ + D∢ = 90° és (*) alapján A∢ + C∢ = 90°. Legyen CE ∩ AD = {F}.
Akkor az ACF∆: AFC∢ = 180° (A∢ + C∢) = 90°, tehát CE ⊥ AD.
I. 1. A; 2. D; 3. C; 4. B; 5. D; 6. A; 7. B; 8. C.
II. 1. a) M ={4}. b) M ={ 3 , 3 }.
2. x = 2 2 , y = 2 3 és M ={( 2 2 , 2 3 )}.
3. Egyenlettel: x bankjegy 5 eurós és (23 – x) bankjegy 10 eurós. Akkor x · 5 + (23 – x) · 10 = 195 és x = 7. Egyenletrendszerrel: x db 5 eurós bankjegyet és y db 10 eurós bankjegyet használnak.
Akkor, 23 510195|:(5) xy xy
⇔ 23 239 xy xy
ahol a
megoldás x = 7 és y = 16. Tehát 7 db 5 eurós és 16 db
I. 1. B; 2. D; 3. C; 4. A; 5. B; 6. C; 7. D; 8. A.
II. 1. a) CBM∢ = 45°, BCM∢ = 90°. Következik, hogy BCM∆ egyenlő szárú, tehát CM = CB = = 7,5 cm. CN⊥BM, tehát CN a BCM∢ szögfelezője. Következik, hogy BCN∢ = 45° és BCN∆ egyenlő szárú derékszögű, BC = BN = 7,5 cm. Azt kapjuk, BCMN négyzet, ahol K = 4·7,5 cm = 30 cm; b) BCMN négyzet, vagyis AMN derékszögű háromszög és befogói AN = AB BN = 2,5 cm és MN = 7,5 cm.
TAMN = 1 2 AN MN = 75 8 = 9,375 (cm2).
2. a) ADC∢ = ABC∢ = 135°, ADE∢ = 90°. ADC∢, ADE∢, EDC∢ a D pont körüli szögek. Azt kapjuk, hogy EDC∢ = 135°. b) AE a DAF∢ szögfelezője, azaz
EAD∢ = 45°. Mivel BAD∢ = 45°, BAN∢ = 90°, akkor
EAN∢ = 180°, tehát E, A, N kollineárisak.
c) EN = EA + AN = (8 2 +10) cm.
8 2 = 128 > 121 = 11. Atunci EN > 11 + 10 = 21 (cm).
I. 1. A; 2. C; 3. B. II. 1. D; 2. C; 3. B; 4. A; 5. C. III. 1.a) ABE = 288°. Vagyis AB = BC = CD = DE = AE = 72°, tehát AB = BC = CD = DE = EA. Kapjuk, hogy ABC∢ = BCD∢ = CDE∢ = DEA∢ = EAB∢ = = 472 2 = 144°, tehát ABCDE szabályos sokszög.
b) CF = ABF ABC =180° 144° = 36° és
CEF∢ = 2 CF = 18°. 2.b) T = 2 8 AC π⋅ + 2 8 AD π⋅ = 40π cm2
c) s = T 2 8 BC π⋅ = 295 8 π cm2 d) l = 2 BC π⋅ + 2 AC π⋅ + 2 AD π⋅ = 29 2 π cm.
