Sophie Germain 1r. Mostra

ÉNEZ M I J A LER O C É ERO S B O L J A U L AZTE CAÑAS G O I C A IGN ERA L O C N RAMÓ

M A T MEÀ -TIQUES DOSSIER

1 ESO

Programa

Sophie Germain

» PRESENTACIÓ I ESTRUCTURA BREU HISTÒRIA DE LES MATEMÀTIQUES Una passejada per la història de la numeració, l’àlgebra, les funcions, la geometria i l’atzar i la probabilitat.

Unitats del bloc.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Proposta de situació d'aprenentatge.

PENSEU-HI! Idees per encetar el debat i fer aflorar els coneixements previs.

Conceptes explicats de manera amena amb exemples i exercicis resolts.

Itinerari de la unitat.

FIXA IDEES Exercicis per practicar tot allò que has après.

APLICA EL QUÈ HAS APRÈS Proposta d’activitats per resoldre.

Problemes que donen pistes de com resoldre la situació d’aprenentatge.

Activitats que donen peu a reflexionar sobre els objectius de desenvolupament sostenible de l’ONU.

EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Exercicis i problemes per treballar el que has après al llarg de la unitat.

TALLER DE MATEMÀTIQUES Activitats de lògica, enginy i cultura matemàtica.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE Proposta per treballar els sabers i les competències matemàtiques dins un context social i cultural per analitzar i mirar de comprendre el món.

ANEM PAS A PAS Treball pas a pas i en grups cooperatius de la situació d’aprenentatge plantejada a l’inici.

POSA'T A PROVA Activitats per comprovar què has après.

RESOLEM Resolució de la situació proposada i altres de similars.

PENSEM-HI Activitats per debatre i reflexionar sobre la situació d’aprenentatge.

Reflexió sobre l’ODS relacionat amb la situació plantejada.

AMB ULLS DE DONA Articles, entrevistes i relats en què científiques de diversos àmbits transmeten la passió que senten per la seva professió.

» PROJECTE DIGITAL Una resposta global per a un entorn educatiu divers La proposta digital de Barcanova és EDUDYNAMIC, un projecte digital complet que dona una resposta global a un entorn educatiu divers i dinàmic. A partir d’una proposta senzilla i intuïtiva, EDUDYNAMIC és un projecte digital multidispositiu i multisuport que s’adapta i es visualitza en totes les plataformes i en tots els entorns virtuals d’aprenentatge (BlinkLearning, Moodle, Alexia, Google Classroom, Clickedu, Office 365…).

La diversitat i riquesa de recursos, des d’activitats interactives traçables a vídeos, presentacions i jocs, fan d’EDUDYNAMIC un projecte digital actualitzat i complet pensat per canviar amb tu.

Integració a totes les plataformes i entorns EVA. Compatibilitat i sincronització amb qualsevol dispositiu.

Gestió en línia de les activitats i tasques assignades als alumnes.

Amb suport paper o sense.

Continguts i eines per treballar on-line i off-line.

» ÍNDEX » BLOC I. Numeració I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 2 3

ELS NOMBRES NATURALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1. Sistemes de numeració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Tècniques de comptatge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Nombres grans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Aproximació de nombres naturals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5. Operacions bàsiques amb nombres naturals . . . . . . . . . . . . . 20 6. Expressions amb operacions combinades . . . . . . . . . . . . . . . 23 7. Potències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8. Potències de base 10. Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 9. Operacions amb potències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 10. Arrel quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 Situació d’aprenentatge. Una manera particular d’estalviar . .

38

DIVISIBILITAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1. La relació de divisibilitat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Múltiples i divisors d’un nombre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Nombres primers i nombres compostos . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Descomposició d’un nombre en factors primers . . . . . . . . .

5. Mínim comú múltiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Màxim comú divisor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. Com ens relacionem? . . . . . . . . . . . . . .

42 44 46 47 49 51 53 56 57 58

ELS NOMBRES ENTERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1. Nombres positius i nombres negatius. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. El conjunt dels nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Sumes i restes de nombres enters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Sumes i restes amb parèntesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Multiplicació i divisió de nombres enters. . . . . . . . . . . . . . . .

6. Operacions combinades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Potències i arrels de nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Situació d’aprenentatge. Som solidaris? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 64 66 68 70 71 72 73 76 77 78

» Amb ulls de dona. Aquesta nena no serveix per a les matemàtiques! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

» BLOC II. Numeració II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 5 6 7

ELS NOMBRES DECIMALS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1. Estructura dels nombres decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2. Suma, resta i multiplicació de nombres decimals . . . . . . . . 89 3. Divisió de nombres decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 4. Arrel quadrada i nombres decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Situació d’aprenentatge. Som el que mengem . . . . . . . . . . . . 100

LES FRACCIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1. El significat de les fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2. Relació entre fraccions i decimals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3. Fraccions equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4. Problemes amb fraccions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Situació d’aprenentatge. Ens movem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

OPERACIONS AMB FRACCIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1. Reducció a denominador comú. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2. Suma i resta de fraccions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3. Multiplicació i divisió de fraccions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4. Operacions combinades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5. Problemes amb fraccions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Situació d’aprenentatge. Junts i diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

PROPORCIONALITAT I PERCENTATGES . . . . . . . . . . . . . . . . 140 1. Relació de proporcionalitat entre magnituds. . . . . . . . . . . . 142 2. Problemes de proporcionalitat directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3. Problemes de proporcionalitat inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4. Percentatges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5. Augments i disminucions percentuals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Situació d’aprenentatge. Atura’t, pensa i actua . . . . . . . . . . . 156

» Amb ulls de dona. La IcàtIA, una nena amb molta intel·ligència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

» BLOC III. Espai i mesura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8 9 10

RECTES I ANGLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 1. Elements geomètrics bàsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2. Dues rectes importants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3. Angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4. Mesura d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5. Operacions amb mesures angulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6. Relacions angulars. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7. Angles en els polígons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8. Angles en la circumferència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Situació d’aprenentatge. No perdem el nord! . . . . . . . . . . . . . . 180

FIGURES I COSSOS GEOMÈTRICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 1. Polígons i altres figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 2. Simetries en les figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3. Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4. Quadrilàters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5. Polígons regulars i circumferències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6. Teorema de Pitàgores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7. Aplicacions del teorema de Pitàgores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8. Cossos geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9. Políedres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10. Cossos de revolució . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Exercita les teves competències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Taller de matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Posa’t a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Situació d’aprenentatge. Construïm matemàtiques . . . . . . . . . . 202

MESURES. ÀREES I PERÍMETRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 1. El sistema mètric decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 2. Unitats de mesura de les magnituds bàsiques. . . . . . . . . . . 207 3. Canvis d’unitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4. Quantitats complexes i incomplexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5. Mesura de la superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6. Mesures en els quadrilàters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7. Mesures en els triangles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8. Mesures en els polígons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9. Mesures en el cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Situació d’aprenentatge. El llenguatge de les matemàtiques . . . 222

» Amb ulls de dona. Un viatge per diferents cultures matemàtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

» BLOC IV. Estadística. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

11

GRÀFICS I ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 1. Coordenades cartesianes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 2. Punts que transmeten informació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3. Punts que es relacionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 4. Interpretació de gràfiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5. Estudi estadístic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6. Freqüència i taules de freqüències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7. Gràfics estadístics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 8. Paràmetres estadístics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Exercita les teves competències. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Taller de matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Posa’t a prova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Situació d’aprenentatge. Submergim-nos! . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

» Amb ulls de dona. La matemàtica de les relacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

I ó i c a r e m u N .

I C O BL

Nombres i sistemes de numeració Totes les civilitzacions han fet servir un sistema de numeració per representar quantitats. Ja des de la prehistòria, els pobles egipci, babiloni, grec, romà, xinès, indi, àrab, maia… van utilitzar sistemes de numeració molt diversos, que van passar d’uns pobles a uns altres i van evolucionar al llarg del temps.

Inicialment, els nombres s’utilitzaven per comptar quantitats naturals (ramats, fruits, monedes…), i els sistemes de numeració eren molt rudimentaris: es feien osques en un gaiato, es dibuixaven dits i mans… Però el progrés de les civilitzacions va comportar la introducció de símbols i normes que els van fer més complexos i pràctics.

Els antics matemàtics hindús, al segle vi, van fer un gran pas endavant amb la invenció del sistema de numeració decimal posicional.

Des de l’Índia es va propagar cap al Mediterrani a través del poble àrab i va arribar a Europa als segles ix i x. Els avantatges d’aquest sistema van permetre el desenvolupament de noves estratègies de càlcul, precursores de les que fem servir actualment.

Amb els nombres i les seves operacions, calculem i obtenim dades noves útils que podem fer servir en situacions quotidianes, però en cal interpretar i resoldre l’expressió escrita.

Els sistemes de numeració són útils per escriure nombres, recordar-los i transmetre’ls. Però han de servir, també, per fer operacions. Pensem en el sistema de numeració romà (que ja coneixem) i imaginem com se les devien apanyar per fer sumes. Per exemple: MCCCXLVI + DCCCXXXIV Complicat, oi? Doncs multiplicar encara havia de ser més difícil.

Els nombres negatius i el zero Encara que avui fem servir els nombres negatius amb naturalitat, va haver de passar molt de temps perquè aquests nombres fossin acceptats en el món de les matemàtiques.

Curiosament, ja al segle iii aC, els xinesos van treballar amb quantitats negatives. Utilitzaven dos conjunts de varetes, unes de vermelles per a les quantitats positives i unes altres de negres per a les negatives, amb les quals feien càlculs amb una destresa extraordinària.

Van haver de passar encara uns mil anys fins que, al segle vii, a l’Índia, es generalitzés l’ús dels nombres negatius associant-los a la categoria de deute.

De l’Índia, i gràcies als àrabs, aquests conceptes van arribar a Europa cap al segle ix. No obstant això, fins al segle xv no van aparèixer els signes + i –; primer, per designar quantitats positives i negatives i, després, per a les operacions de suma i resta. El signe = es va inventar l’any 1557.

10

1

2

3

Els nombres naturals

Divisibilitat

Els nombres enters

Pitàgores i els pitagòrics Des de l’antiguitat, les matemàtiques sempre van ser una eina per resoldre problemes quotidians. Quant mesura aquest terreny? Com hem de repartir-nos la collita? Com hem d’interpretar les estrelles per orientar-nos?

Fins al segle vi aC no van aparèixer els primers matemàtics teòrics, estudiosos interessats per la investigació i el desenvolupament de la ciència, independentment de la seva utilitat pràctica. Amb aquest esperit, Pitàgores, gran matemàtic de l’antiguitat, va fundar, a Siracusa, una secta misticocientífica que retia culte a l’astronomia i que va ser un dels primers centres del saber que va acceptar dones entre els seus membres, la més coneguda de les quals va ser Teano.

Els pitagòrics van estudiar les propietats teòriques dels nombres i les van relacionar amb la geometria. A ells els devem les paraules quadrat i cub referides als nombres.

Euclides Alexandria, fundada al segle iv aC per Alexandre Magne, al qual deu el seu nom, va esdevenir al segle iii aC el centre cultural (científic i artístic) més influent i prestigiós del món hel·lenístic.

Euclides, savi grec del segle iii aC, va viure a Alexandria, on va fundar l’escola més important de l’antiga Grècia, en la qual va exercir de professor i científic amb un extraordinari prestigi. Va recopilar i sistematitzar tot el coneixement matemàtic de la seva època, però no es va limitar només a això: va ser, a més, un gran matemàtic que va aportar importants descobriments.

Euclides és l’autor de l’obra Elements, composta per tretze llibres. La major part d’aquests estan dedicats a la geo­ metria i només quatre, a l’aritmètica. En aquesta obra va des­envolupar, entre molts altres conceptes, la teoria de la divisibilitat: nombres primers i compostos, divisors, múltiples, etc.

Els elements d’Euclides han estat estudiats i admirats en totes les èpoques.

11

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

UNITAT

1

ELS NOMBRES NATURALS

UNA MANERA PARTICULAR D’ESTALVIAR Diuen que l’economia és el que mou el món. Les revolucions socials i culturals, els canvis polítics, els desastres naturals… trastoquen l’economia i es veuen afectats per aquesta.

La planificació de la despesa i el consum responsable ens afecten significativament. El govern vetlla pels pressupostos de sanitat, educació, pensions… A casa, la família té cura dels sous, el cost de les vacances… I tu, no pares de pensar en què gastaràs els estalvis.

Cal analitzar, predir, pressupostar. I aquestes decisions, des d’un punt de vista tècnic, recolzen en eines matemàtiques que ajuden a valorar resultats i predir-ne les conseqüències.

La Laia sempre ha somiat ser astronauta i viatjar a l’espai.

Per començar, aquest estiu vol visitar algunes de les seus de l’Agència Espacial Europea (European Space Agency, ESA) i, per aconseguir els diners que li calen, s’ha proposat estalviar amb un mètode que li sembla infal·lible.

El primer dia posarà a la guardiola una moneda d’1 €.

El segon dia, dues monedes d’1 €.

El tercer dia, quatre monedes d’1 €.

El quart dia, vuit monedes d’1 €.

I, així, successivament, cada dia posarà a la guardiola el doble que el dia anterior.

PENSEU-HI!

• Si estalvia durant 10 dies, quantes seus de l’ESA creieu que podrà visitar?

• Què us sembla aquesta manera d’estalviar?

12

Sistemes de numeració

Tècniques de comptatge

Nombres grans

Aproximació de nombres naturals

Operacions bàsiques amb nombres naturals

Potències

Potències de base 10

Arrel quadrada

13

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

1. SISTEMES DE NUMERACIÓ • Sistema de numeració. És el conjunt de símbols que fem servir per representar els comptatges i les normes d’ús corresponents.

• El sistema de numeració egipci. És un sistema additiu, perquè, per escriure un nombre, es van afegint els símbols necessaris fins a completar la quantitat.

1

10

100

1.000

10.000

100.000

1.000.000

pal

nansa

corda

flor

dit

granota

home

Aquí apareix escrit el nombre 1.333.331.

• El sistema de numeració maia. Pel que fa als nombres més petits que 20, el sistema és additiu. Per escriure nombres més grans de 20, s’utilitzen els mateixos símbols, però el seu valor canvia segons la posició (sistema posicional).

Utilitza solament tres(0) símbols:

(0) (0) (1) (0)

(1) (1)

20 20

27 27

(1) (5) (5)

(5)

(5)

Segon nivell (× 20) 8 Primer nivell (× 1) 8

21 21

36 36

40 40

100 100

137 137

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Escriu d’acord amb el sistema de numeració egipci els nombres següents:

3. Tradueix al sistema decimal aquests nombres del sis­ tema maia:

19 → 65 → 3.412 →

2. En un sistema additiu s’utilitzen aquests símbols: 1

5

10

100

• Escriu, seguint aquest sistema, els nombres següents:

4. Afegeix dos elements per la dreta i dos més per l’es­ querra a aquesta sèrie de nombres del sistema maia: Segon nivell → Primer nivell → Esquerra:

7→ 12 → 126 →

14

Dreta:

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1 • Sistema de numeració decimal. El sistema de numeració que utilitzem actualment és el decimal. Consta de deu símbols o xifres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i es regeix per aquestes normes: ‒ Es defineixen ordres d’unitats: uni­ tats, desenes, centenes…

Exemple:

‒ Deu unitats d’un ordre fan una unitat de l’ordre immediat supe­rior. ‒ El valor d’una xifra depèn del lloc que ocupi (sistema de tipus posi­ cional).

UMM

CM

DM

UM

C

D

U

4

7

8

4

3

0

4

↓

↓

4.000.000 U

↓

4.000 U

4U

» FIXA IDEES

F1. Seguint el sistema de numeració decimal: a) Quantes desenes fan 3 milers?

A JUDA

CM DM UM

b) Quantes centenes fan una desena de miler?

C

× 10

1

0

D

U

× 10

1 UM = 100 D

0

c) Quantes centenes hi ha en 5 unitats de milió?

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

5. Completa: a) 500 D = b) 3.000 C =

C=

UM

UM =

c) 6 UM =

C=

d) 8 CM =

DM =

7. Un nombre té cinc xifres que sumen 5. Si intercanvies les unitats amb les unitats de miler, augmenta 999 uni­ tats. Quin nombre és?

DM

D D

6. Cert (C) o fals (F)? a) S i canvies de lloc les xifres, canvia el valor del nombre. b) S i afegeixes un zero a la dreta d’un nombre, el seu valor es multiplica per 10. c) S i afegeixes un zero a l’esquerra d’un nombre, el valor es divideix entre 10. d) Mig miler equival a 5 desenes. e) Mil milers fan un milió.

8. Un nombre es pot descompondre segons els seus

ordres d’unitats i segons el valor de posició de cada xifra. Observa l’esquema i completa’l: 2

. 4

7

DM → 20.000 7 UM → C→ D → U→ +

3

15

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

2. TÈCNIQUES DE COMPTATGE Fem servir els nombres naturals per comptar. Però sabem que els comptatges només es fan, d’un en un, en situacions molt senzilles. Quan aquestes es compli­ quen, fem servir estratègies que els fan més ràpids i eficaços. Repassem-ne algunes:

Recomptes de dades

Exemple A l’esquerra tens els resultats de la votació per a l’elecció de delegat en una classe de 1r d’ESO. Fixa’t que:

Núria

6

Cèlia

13

Martí

9

• A la classe, entre noies i nois, són 28 alumnes.

• La Cèlia ha obtingut 4 vots més que en Martí.

Taules i operacions

Exemple La taula recull dades referents a la distribució de dos grups de 1r d’ESO i de dos grups de 2n d’ESO en un centre de secundària.

1r A

1r B

2n A

2n B

♀ ♂ altres ♀ ♂ altres ♀ ♂ altres ♀ ♂ altres 14

13

0

12

13

0

11

16

1

12

12

0

Fixa’t que: • A primer hi ha 52 alumnes i a segon també 52.

• En total hi ha 49 noies, 54 nois i una persona que no vol ser comptabilitzada en cap d’aquests dos grups.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

9. La Marta s’ha col·locat a la finestra de casa seva i ha

anat anotant el color dels cotxes que hi han passat per davant durant mitja hora. Però, sense voler, el seu ger­ mà petit li ha esborrat algunes dades.

Completa les dades que falten en la taula.

verd altres

15

total

82

10. De cada branca d’un arbre cada any en surten dues i

blanc

12

de cada una en surt una flor.

negre

3

• Quantes flors noves sortiran al sisè any? I al desè?

gris

2n

vermell

n = anys

blau

10

anys

1

2

3

4

…

groc

3

flors

2

2×2

2×2×2

2×2×2×2

…

16

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1 Diagrama en arbre

Exemple En una urna hi ha tres boles de diferents colors (vermell, blau i groc) i ens pro­ posen que fem l’experiència «treure successivament dues boles».

• Suposa que fem l’experiència sis vegades. En quantes, teòricament, hauria de quedar la vermella a l’urna? I si fem l’experiència 30 vegades?

1a bola

2a bola

queda

Fem servir un diagrama d’arbre en el qual s’estudien totes les possibilitats.

Veiem que, teòricament, la bola vermella quedarà a l’urna dues de les sis vegades.

I si fem l’experiència 30 = 6 · 5 vegades, teòricament la vermella quedarà a l’urna, 2 · 5 vegades.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

11. En Lluís se’n va d’excursió i a la motxilla hi porta unes vambes, unes sabates, dos pantalons, tres camises i una samarreta.

a) Quina possibilitat hi ha que quedin a l’urna dues bo­ les de diferent color?

De quantes maneres es podrà vestir demà amb les peces de roba que porta a la motxilla?

b)

I que les dues boles que hi quedin siguin del mateix color?

Per ajudar-te a resoldre’l, pots fer un diagrama en arbre com el de l’activitat anterior.

1

12. Tenim una urna amb quatre boles, tres de blaves i

una de vermella, i ens proposen que fem l’experiència «treure successivament dues boles».

1

2

3

2

3

3

2

2

2 3

1

3

3

1

3

1 3

1

2

2

1

1

2

3

1

2

1

1

2

3

3

2

c) I si en lloc de treure dues boles en traiem tres, qui­ na possibilitat creus que hi ha que totes tres siguin blaves?

17

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

3. NOMBRES GRANS • El sistema de numeració decimal permet representar quantitats tan grans com desitgem.

1

1 0

milers

Temps de vida de l’univers → Nombre de neurones en un cervell → Volum de la Terra en km3 →

milions

…

bilions

Exemple:

milers de milions

– Un milió ↔ Un 1 seguit de 6 zeros.

– Un bilió ↔ Un milió de milions ↔ Un 1 seguit de 12 zeros.

– Un trilió ↔ Un milió de bilions ↔ Un 1 seguit de 18 zeros.

c

1

3

8

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

d

u

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

13. Escriu com es llegeixen:

e) Un bilió i mig.

a) El nombre d’habitants de la Terra, 7.000.000.000. f ) Quinze bilions tres-cents cinquanta mil milions. b) El nombre de segons d’un segle, 3.153.600.000.

15. Completa: a) Mil milers fan un c) E l nombre de quilometres que té un any llum, 9.460.800.000.000.

b) Mil milions fan un c) Un milió de milers fan un d) Un milió de milions és un

14. Escriu amb xifres: a) Vint-i-vuit milions tres-cents cinquanta mil. b) Cent quaranta-tres milions. c) Dos mil set-cents milions. d) Setze gigues.

18

16. El cos humà té entre deu i setanta milions de mi­ lions de cèl·lules. Expressa aquesta quantitat en bilions.

17. Com llegiries el nombre expressat per un 1 seguit de setze 0?

18. Les científiques i els científics calculen que els mars

i oceans de la Terra contenen tres quadrilions de quilo­ grams d’aigua. Què creus que és un quadrilió?

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

4. APROXIMACIÓ DE NOMBRES NATURALS • Quan un nombre té moltes xifres, l’acostumem a substituir per un altre, més manejable, de valor aproximat, acabat en zeros. Aquest procediment s’anomena aproximació, i la manera més freqüent i pràctica d’aproximar és mitjançant l’arrodoniment.

• Per arrodonir un nombre a un determinat ordre d’unitats: – Se substitueixen per zeros totes les xifres a la dreta d’aquest ordre.

– Si la primera xifra substituïda és igual a 5 o més gran, se suma una unitat a la xifra anterior.

Exemple: 35.326.000 són, aproximadament, trenta-cinc milions.

» FIXA IDEES

F2. Completa per aproximar el nombre 384.523 a les centenes de miler, a les desenes de miler i als milers. centenes de miler

desenes de miler

3 83 348 854 425 532 23 3

3 83 348 854 425 532 23 3

+1 +1 +1

8 ≥85≥85≥ 5

= = =

... ...0...0 00 00 00 00 0

4 <45<45< 5

A JUDA

milers

3 83 348 854 425 532 23 3 +1 +1 +1

... ...0... 0 00 00 00 0

5 ≥55≥55≥ 5

Aproximació del nombre 52.722: – A les desenes de miler → 50.000 – Als milers → 53.000

... ... ...0 0 00 00 0

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

19. Arrodoneix als milers aquests nombres: a) 24.963 →

22. Llegeix aquesta notícia i aproxima el nombre de tu­ ristes als milions i la despesa als milers de milions:

b) 7.280 →

022 L’any 2 ar it van vis ya n Catalu .187 14.803 s que turiste tar s van ga ions mil 16.461 s. d’euro

c) 99.834 →

20. Aproxima a les centenes i a les desenes de miler: a) 530.298 CM: DM:

Turistes:

b) 359.481 CM:

Despesa:

DM:

c) 29.935.236 CM:

DM:

21. Aproxima als milions per arrodoniment: a) 24.356.000 → b) 36.905.000 →

23. Fixa’t en les diverses aproximacions al preu d’un pis

en venda:

EN VENDA 138 290 € 138.290 €

138.000 € 138.300 € 140.000 €

a) Quina és més propera al preu real? b) Quina et sembla més adequada per a una informació col·loquial, si no es recorda la quantitat exacta?

c) 274.825.048 →

19

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

5. OPERACIONS BÀSIQUES AMB NOMBRES NATURALS • La suma i les seves propietats. Sumar és unir, ajuntar, afegir.

Exemple: 308 + 258 = 566 La suma compleix les propietats següents: – Propietat commutativa: El resultat de la suma no varia encara que canviem l’ordre dels sumands. a + b = b + a – Propietat associativa: El resultat de la suma és independent de la forma com s’agrupen els sumands.

(a + b) + c = a + (b + c) • La resta i les seves relacions amb la suma. Restar és treure, suprimir, trobar el que falta o el que sobra; és a dir, calcular la diferència.

M =S +D M–S=D → * S=M –D Exemple: 590 – 566 = 24

34 + 16 = 16 + 34 50

50

(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17)

21 + 17 18 + 20 38

38

590 ← Minuend (M ) – 566 ← Subtrahend (S ) 24 ← Diferència (D )

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

24. Calcula:

26. Transforma:

a) 254 + 78 + 136 =

a) Aquesta suma en una resta: 48 + 12 = 60

b) 340 + 255 – 429 = c) 1.350 – 1.107 – 58 =

b) Aquesta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14

27. Si l’Albert tingués 15 anys més, encara seria 18 anys

més jove que el seu oncle Tomàs, que té 51 anys. Quants anys té l’Albert?

25. Estima la resposta i comprova-la després: La Carme compra una bossa de 167 €, una gavardina de 235 € i un mocador de 32 €. Quant s’ha gastat? a) S’ha gastat al voltant de 350 €. b) S’ha gastat, més o menys, 450 €. c) S’ha gastat al voltant de 550 €.

20

28. Si comprés només una rentadora, em sobrarien 246 €, però si comprés també un televisor, em faltarien 204 €. Pots dir el preu d’algun d’aquests articles?

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1 • La multiplicació i les seves propietats. Multiplicar és una manera abreujada de fer una suma repetida de su­ mands iguals.

Exemple: 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 15 · 7 = 105 La multiplicació compleix les propietats següents: – Propietat commutativa: El producte no varia en canviar l’ordre dels factors. a·b=b·a – Propietat associativa: El resultat d’una multiplicació és independent de la forma com s’agrupin els factors. (a · b) · c = a · (b · c) – Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o resta) és igual a la suma (o resta) dels productes del nombre per cada sumand. a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

29. Completa: a)

×

2

5

+ 9 0 1 2 6 0

33. Quantes voltes fa en un quart d’hora una roda que

9

b)

×

+

8

gira a 1.500 revolucions per minut? I en una hora? I en una hora i mitja?

2 8 7 4 6 9 9 3 4

30. Recorda que per multiplicar per 10, per 100, per 1.000… s’afegeixen un, dos, tres… zeros. Calcula:

a) 19 · 10 =

b) 12 · 100 =

c) 15 · 1.000 =

d) 140 · 10 =

e) 230 · 100 =

f ) 460 · 1.000 =

34. Una agricultora té un hort amb 200 presseguers.

Calcula que amb cada arbre omplirà set caixes de cinc quilos de préssecs. Quin benefici obtindrà si ven tota la producció a 2 € el quilo?

31. Expressa amb una igualtat aritmètica: Multiplicar un nombre per 8 és el mateix que multiplicar-lo primer per 10 i després restar-n’hi el doble.

Quina propietat s’aplica en aquesta igualtat?

35. Al viver d’una horta es preparen 50 safates amb 100 lla­

32. Fixa’t en els exemples i multiplica mentalment per 9 i per 11:

vors cada una. En cada safata es fan malbé, de mitjana, 20 llavors. Quants plançons obtindrà el pagès?

• 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207 • 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253 a) 12 · 9 =

b) 25 · 9 =

c) 33 · 9 =

d) 12 · 11 =

e) 25 · 11 =

f ) 33 · 11 =

21

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS • La divisió. Dividir és repartir un tot en parts iguals per esbrinar quantes en toquen a cada un. Dividir també és

partir un tot en porcions iguals d’una determinada mida per esbrinar quantes porcions s’obtenen.

– Una divisió pot ser exacta o entera depenent del valor del residu.

– Divisió exacta (el residu és zero).

D 0

d q

⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient.

D=d·q

35 5 0 7

35 = 5 · 7

38 5 3 7

38 = 5 · 7 + 3

– Divisió entera (el residu és diferent de zero).

D r

d q

⎯→ El dividend és igual al divisor multiplicat pel quocient més el residu.

D=d·q+r

– Si en una divisió es multipliquen el dividend i el divisor pel mateix nombre, el quocient no varia.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

36. Esbrina el quocient i el residu de cada divisió: a) 96 : 13

b) 713 : 31

c) 5.309 : 7

d) 7.029 : 26

37. Un granger recull 1.274 ous, els envasa en safates de 30 i empaqueta les safates en capses de 10. Quants ous queden sense completar una safata? Quantes safates queden sense completar una capsa?

38. En una indústria de conserves es preparen 250 kg de melmelada de pruna, que s’envasen en pots de 200 g.

Durant el procés es rebutgen 17 pots perquè s’han tren­ cat o perquè són defectuosos. Quants pots vàlids s’obte­ nen?

e) 49.896 : 162

22

f ) 80.391 : 629

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

6. EXPRESSIONS AMB OPERACIONS COMBINADES • Ordre en què han de fer-se les operacions. En les expressions amb operacions combinades, hem de resoldre: primer, els parèntesis; després, les multiplicacions i les divisions; i, finalment, les sumes i les restes.

Exemple:

48 : 3 + 5 – 2 · 3

48 : (3 + 5) – 2 · 3

48 : 3 + (5 – 2) · 3

16 + 5 – 6

48 : 8 – 6

16 + 3 · 3

21 – 6

6–6

16 + 9

15

0

25

• Amb calculadora. No totes les calculadores tenen la mateixa lògica interna, i quan inclous una seqüència d’ope­ racions, es poden obtenir resultats diferents. Això passa perquè no totes realitzen les opera­cions amb el mateix ordre.

Exemple: Si introduïm a la calculadora aquesta seqüència 2 + 3 * 4 = la calculadora pot obtenir 20 o 14 com a solució.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

39. Fixa’t en els exemples i fes les operacions:

c) 26 – 5 · (2 + 3) + 6

⎯→ 7

d) (14 + 12) : 2 – 4 · 3

⎯→ 1

• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4 • (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4 a) 8 + 5 · 2 = b) 15 – 10 : 5 = c) 4 · 6 – 13 = d) (15 – 3) : 4 =

40. Resol mentalment i compara els resultats: a) 2 + 3 · 4 =

(2 + 3) · 4 =

b) 6 – 2 · 3 =

(6 – 2) · 3 =

41. Resol, indicant els passos seguits, i comprova la so­

lu­ció que es dona a la dreta. Si no coincideix, revisa l’exercici. a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7)

⎯→ 14

b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5

⎯→ 2

e) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11

42. Escriu una expressió amb els nombres 9, 3 i 1 el re­

sultat de la qual sigui el pes que marca cada balança: A

B

A B

23

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

7. POTÈNCIES • Potència. És una manera abreujada d’escriure un producte de factors iguals: a · a · a · a · a = a5.

Exemple: 3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Tres elevat a quatre o tres elevat a la quarta potència.

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 → Dos elevat a cinc o dos elevat a la cinquena potència.

– En les potències, el factor repetit es diu base i el nombre de vegades que es repeteix, exponent.

» FIXA IDEES

F3. Completa per calcular, amb llapis i paper, el valor de 7 .

5

75 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = (7 · 7) · (7 · 7) · 7 = 49 · 49 · 7 =

·7=

F4. Quin és el valor de x en cada cas? a) x = 125 8 x =

x

F5. Calcula i completa amb la quantitat que correspongui: 2 · (112 – 92) – 62 = 2 · (121 – =2·

–

=

F3. Completa: 52 = 5 · 5 = 25 53 = (5 · 5) · 5 = 25 · 5 = 54 = (5 · 5) · (5 · 5) =

b) 5 = 3.125 8 x =

3

A JUDA

) – 62 =

F4. 7 = 2.401 8 Quant val x ?

=

Amb la calculadora senzilla:

–

x

7*7=== {∫∫∫∫“¢≠‘}

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

43. Expressa amb una potència:

46. Calcula l’exponent en cada cas:

a) 6 · 6 =

a) 2x = 256 =

b) 7 · 7 · 7 =

b) 10x = 10.000 =

c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =

c) 7x = 2.401 =

44. Llegeix aquestes potències i expressa-les en forma

d) 13x = 2.197 =

a) 27 =

47.

de producte:

Un pelegrí arriba molt cansat a un alberg i paga una moneda per passar-hi la nit. Com que van arri­ bant més viatgers, l’hostaler dobla el preu, i el pelegrí paga dues monedes per la segona nit. La tercera nit l’hostaler torna a doblar el preu i la quarta, també. Fi­ nalment, un cop totalment recuperat, el pelegrí aban­ dona l’allotjament.

b) 93 = c) 152 = d) 106 =

45. Completa la taula: potència

a) Expressa amb potències el total pagat pel pelegrí. base

exponent

5

3

m

5

26 a4

24

b) Calcula el valor d’aquesta expressió.

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

8. POTÈNCIES DE BASE 10. APLICACIONS • Potència de base 10. És igual a la unitat seguida de tants zeros com indica l’exponent.

Exemple: 109 = 1.000.000.000 105 = 100.000

9 zeros 5 zeros • Expressió abreujada de nombres grans. Els nombres acabats en zeros poden expressar-se com a producte d’un nombre per una potència de base 10.

Exemple: 400.000 = 4 · 100.000 = 4 · 105 • Descomposició polinòmica d’un nombre. Es tracta d’expressar un nombre com una suma de nombres natu­ rals multiplicats per potències de base 10.

800.000 + 30.000 + 6.000 + 200 + 70 + 9 Exemple: 836.279 =

8 · 105 + 3 · 104 + 6 · 103 + 2 · 102 + 7 · 10 + 9

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

48. Escriu com a potències de base 10:

c) 4.528.926 =

a) Un miler = b) Un milió = c) Mil milions = d) Un bilió =

49. Expressa amb totes les xifres: a) 4 · 10 = 5

52. Escriu en forma abreujada les dades següents: a) El nombre de molècules elementals en un litre d’ai­ gua és 334.326.000.000.000.000.000.000.

b) 15 · 109 = c) 86 · 1014 =

50. Escriu el valor de x en cada cas: a) 2.936.428 ≈ 29 · 10 x →

b) L’estrella Alfa Centauri està a uns quaranta bilions de quilòmetres del Sol.

b) 3.601.294.835 ≈ 36 · 10 x →

53. Transforma com en l’exemple:

c) 19.570.000.000.000 ≈ 20 · 10 x →

• 180.000 = 18 · 104

51. Escriu la descomposició polinòmica dels nombres

a) 5.000 =

següents:

b) 1.700.000 =

a) 74.238 =

c) 4.000.000.000 =

b) 680.290 =

54. Arrodoneix a la centena de miler i escriu de manera abreujada amb el suport d’una potència de base 10 el nombre d’habitants de cada ciutat: casablanca: 5.899.000 parís: 10.858.000 san francisco: 5.929.000

25

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

9. OPERACIONS AMB POTÈNCIES • Potència d’un producte (producte de potències amb el mateix exponent). La potència d’un producte és igual al producte de les potències dels factors.

Exemple: (2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216 (a · b)n = an · bn 3 3 3

23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216 → (2 · 3) = 2 · 3 • Potència d’un quocient (quocient de potències amb el mateix exponent). La potència d’un quocient és igual al quocient de les potències del dividend i del divisor.

Exemple: (6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8 (a : b)n = an : bn → (6 : 3)3 = 63 : 33 63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8 • No et confonguis! La potència d’una suma (o una resta) no és igual a la suma de les potències dels sumands. (a + b)n ≠ an + bn Exemple: (a – b)n ≠ an – bn

(2 + 3)4 ≠ 24 + 34

» FIXA IDEES

F6. Fixa’t en els exemples resolts a la dreta i, seguint els mateixos procedi­ ments, completa: a) 25 · 55 = (

·

b) 184 : 94 = ( c) 63 · 53 = ( =

: ·

5

)4 =

= 4

)3 =

3

=

=(

· 10)3 =

3

· 103 =

5

• 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1.000.000 • 123 : 43 = (12 : 4)3 = 33 = 27 • 54 · 44 = (5 · 4)4 = 204 = (2 · 10)4 = = 24 · 104 = 16 · 10.000 = 160.000

• (66 · 56) : 156 = (6 · 5)6 : 156 =

· 1.000 =

d) (85 · 65) : 245 = ( =

)5 =

EXEMPLES

= 306 : 156 = (30 : 15)6 = 26 = 64

·

)5 : 245 =

5

: 245 = (

: 24)5 =

=

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

55. Reflexiona i calcula de la forma més senzilla:

56. Calcula i observa que els resultats no coincideixen:

a) 53 · 23 =

(5 + 2)3 =

b) 42 · 52 =

53 + 23 =

c) 252 · 42 =

57. Calcula:

d) 352 : 52 =

a) (10 – 6)2 – (10 – 8)3 =

e) 183 : 63 = f ) 214 : 74 = g) 1003 : 503 =

26

b) (13 – 3)2 · (7 + 3)2 + (15 – 5)2 · 10 =

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1 • Producte de potències amb la mateixa base. Per multiplicar dues potències amb la mateixa base, es deixa la base i es sumen els exponents.

Exemple: 54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57 ⎯→ 54 · 53 = 54 + 3 = 57 am · an = am + n

4 vegades

3 vegades

• Quocient de potències amb la mateixa base. Per dividir dues potències de la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents.

57 : 53 = 54 ⎯→ 57 : 53 = 57 – 3 = 54 57 : 54 = 53 ⎯→ 57 : 54 = 57 – 4 = 53 • Potència d’una altra potència. Per elevar una potència a una altra potència, es deixa la mateixa base i es multi­ pliquen els exponents. am : an = am – n

54 · 53 = 57 ↔

Exemple:

(an)m = an · m Exemple: (54)3 = 54 · 54 · 54 = 54 + 4 + 4 = 54 · 3 = 512 Tingues en compte. La potència zero d’un nombre (diferent de zero) és igual a 1.

a0 = 1 (a ≠ 0)

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

58. Expressa amb una única potència:

c) (45)2 : (47 : 43) =

a) 54 · 53 =

b) 86 · 23 =

c) 32 · 64 =

d) 44 · 53 =

e) 26 : 22 =

f ) 38 : 35 =

g) 107 : 106 =

h) a10 : a6 =

d) (62 · 65) : (63 · 64) =

e) (407 : 57) : (25 · 45) =

59. Redueix a una única potència: a) (52)3 =

b) (25)2 =

62. Escriu els exponents i calcula:

c) (103)3 =

d) (a5)3 =

e) (m2)6 =

f ) (x4)4 =

a) La Montse té una capsa amb molts cubs de goma d’1 cm d’aresta. Construeix tres cubs iguals de 3 cm d’aresta.

60. Substitueix cada asterisc per l’exponent que corres­ pongui:

a) 64 · 63 = 6* =

b) a5 · a3 = a* =

c) m3 · m* = m9 =

d) 26 : 24 = 2* =

e) a9 : a8 = a* =

f ) m8 : m* = m6 =

g) (42)3 = 4* =

h) (a2)2 = a* =

i) (m )* = m =

j) (x*) = x =

4

12

61. Calcula: a) 184 : (24 · 34) =

2

12

Nombre de cubs utilitzats: 3

=

b) Un pagès planta enciams al seu hort. Els distribueix en 25 solcs i en cada solc hi posa 25 en­ ciams.

Nombre d’enciams: 25

=

c) Un camió de repartiment por­ ta 6 palets de caixes de llet.

En cada palet hi ha 36 caixes i en cada caixa, 6 brics de litre.

Nombre de litres: 6

=

b) (35 · 33) : 36 =

27

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

10. ARREL QUADRADA • Arrel quadrada. És l’operació inversa d’elevar al quadrat.

— √a = b

arrel

bb22== aa ) a = b

radicand ⎯→ Es llegeix: L’arrel quadrada de a és igual a b.

2 Exemple: 4 = 16 → 16 = 4 • Arrels exactes i arrels enteres. Els quadrats dels nombres naturals s’anomenen quadrats perfectes. L’arrel qua­ drada d’un quadrat perfecte és una arrel exacta.

11 121 = 11 400 = 20 Exemple: 9 = 33

14243

• L’arrel de la majoria de nombres no coincideix amb una quantitat exacta d’unitats senceres. En aquest cas, al nombre natural que més s’aproxima, per sota, a l’arrel, l’anomenem arrel entera.

Exemple: 62 = 36 < 40 72 = 49 < 40

L’arrel quadrada de 40 és un → 6 < 40 < 7 → nombre comprès entre 6 i 7.

40 ≈ 6 → L’arrel entera de 40 és 6.

L’arrel entera de 3.900 és 62.

144424443

• Càlcul de l’arrel quadrada per tempteig. Es tracta de trobar el nombre natural el quadrat del qual és igual o s’aproxima més al radicand.

602 = 3.600 < 3.900 Exemple: 3.900 = 62 → 3.900 62 = 3.844 < 3.900 632 = 3.969 < 3.900 2

622

632

↓

3.969

3.844 62

— √3.900 ↓

63

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

63. Observa l’exemple i completa: 25 = 5 → " L’arrel de 25 és igual a 5.

•

a) 49 = 7 → "… b) 64 = … " …→ c) 81 = … " …→

64. Calcula, per tempteig, l’arrel exacta o l’entera: b) 121 = c) 1.785 =

28

65. Encercla els quadrats perfectes: 1.000

1.225

1.600

1.724

1.601

2.464

3.364

3.540

3.773

3.844

4.000

5.625

66. Una finca quadrada té 900 metres quadrats de su­ perfície. Quants metres lineals de xarxa metàl·lica cal­ dria comprar per tancar-la?

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

Els passos per calcular una arrel quadrada són els següents:

Exemple Calculem 105.674:

CÀLCUL MENTAL

1 Separem de dos en dos, des de la dreta, les xifres del radicand i calculem l’arrel del paquet de l’esquerra ` 10…j. √10 . 56 . 74 3

3 · 3 → –9

6

← A A = 10 = 3 i queda 1 de residu.

← B B: Escrivim el doble de A.

1

• En algunes calculadores, la suc­

cessió de tecles per calcular 105.674 és la següent:

105.674 $ → {«“∞…≠|∞………} • En d’altres, és la següent:

$ 105.674 = → {«“∞…≠|∞………}

2 Baixem el paquet següent (56) i busquem la xifra c , de manera que 6 c × c sigui tan proper a 156 com sigui possible, sense sobrepassar-lo. √10 . 56 . 74 3

√10 . 56 . 74 3

–9 ↓↓

–9

6 c × c c =2

1 56

62 × 2 = 124

156

6 2 × 2 = 124 → –124 032 3 Pugem el valor c = 2 al camp de la solució, baixem el paquet següent (74) i repetim el procés. √10 . 56 . 74 32

√10 . 56 . 74 32

–9

62 × 2 = 124

–9

62 × 2 = 124

156

64 d × d

156

645 × 5 = 3.225

–124 32

–124 d =5

74

3.274

64 5 × 5 = 3.225 → –3.225

0049 4 Pugem el valor d = 5 al camp de la solució.

Solució: 105.674 = 325 Prova: 3252 + 49 = 105.674

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

67. Completa les arrels següents resoltes mitjançant l’algorisme:

a) √ 1 1 5 8 4 – 6 × – 2 5 6 0 0

b) √ 2 7 3 8 5 – 102 × 2 2 3 8 –

29

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Sistemes de numeració

6.

1.

Tradueix al sistema decimal aquests nombres de l’antic Egipte:

Segons va publicar un diari, la població de la capital d’Egipte, el juny de 2022, era de 21.750.020 ha­ bitants. Si et preguntessin per aquesta xifra i no recor­ dessis la quantitat exacta, què respondries?

B

A

7.

A

B

Llegeixes, en un anunci, que un habitatge es ven per 293.528 €. Uns quants dies després ho comentes amb una amiga, però no recordes exactament el preu.

Quina de les expressions següents triaries per transme­ tre la informació? Explica per què.

C

D

a) Costa gairebé tres-cents mil euros.

D

C

2.

Escriu segons el sistema additiu egipci cada un d’aquests nombres: a) 48:

b) Costa dos-cents mil euros i escaig. c) Costa dos-cents noranta mil euros.

b) 235: c) 2.130:

3.

Utilitats dels nombres

Expressa en xifres romanes:

8.

a) 87:

Aquests són els números de diverses habitacions en un hotel de platja: 401; 235; 724; 231.

b) 425:

a) Una de les habitacions és al final del passadís. Qui­ na és?

c) 2.600:

4.

Cert o fals?

a) Un milió equival a mil centenes.

b) Una altra és a l’última planta. Quin número té?

b) Mil vegades un milió fan un giga. c) Quines habitacions són al mateix pis?

c) Un bilió té un milió de milions.

Aproximacions 5.

Operacions

Completa la taula: aproximacions nombre

2.830.554 19.270.000 399.675.000

30

a les centenes de miler

als milions

Suma i resta

9.

Calcula mentalment:

a) 5 + 7 – 3 – 4 = b) 10 – 6 + 3 – 7 = c) 12 + 13 + 8 – 23 =

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

10.

Calcula:

b) 1.345 : 29 =

a) 47 – (35 – 28) = b) 52 – (36 – 27) = c) 128 – (86 – 45 – 12) =

11.

Calcula i comprova el resultat amb les solu­ cions que hi ha a sota:

c) 7.482 : 174 =

a) 5 – [7 – (2 + 3)] = b) 3 + [8 – (4 + 3)] = c) 2 + [6 + (13 – 7)] = d) 7 – [12 – (2 + 5)] =

14.

En Raül té 65 € i està estalviant per com­ prar-se un monopatí que costa 105 €. a) Quant de temps trigarà a poder-se’l comprar, si es­ talvia 5 € a la setmana? I si estalvia 6 €?

Solucions: a) 3; b) 4; c) 14; d) 2.

Multiplicació i divisió

12.

Multiplica:

a) 128 · 10 = b) 85 · 100 =

b) Quin ha de ser l’estalvi setmanal si vol aconseguir el seu objectiu en quatre setmanes? c) Aconseguirà comprar-se’l en tres setmanes si estalvia 13 € cada setmana?

c) 134 · 1.000 =

13.

Calcula el quocient i el residu en cada cas:

a) 2.647 : 8 =

Operacions combinades 15.

Fes els càlculs següents:

a) 2 · (4 + 6) = b) 2 · 4 + 6 = c) 8 : (7 – 5) = d) 5 · 7 – 5 = e) (5 + 6) · 4 = f) 5 + 6 : 3 =

31

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

16.

Calcula:

a) 8 + 7 – 3 · 4 = b) 8 : 4 + 7 – 3 = c) 15 – 2 · 3 – 5 = d) 10 – 12 : 6 – 4 = e) 4 · 7 – 13 – 2 · 6 =

Interpreta, descriu i expressa’t 18.

Relaciona cada enunciat amb dues de les ex­ pressions de sota: I. En un autobús urbà hi anaven 50 passatgers. A la primera parada en baixen 16 i en pugen 4.

II. La classe de música té 50 estudiants matriculats, però avui n’han faltat 4 i 16 han anat a un concert.

III. L’Ernest va comprar una samarreta de 16 € i una gorra de 4 € i va pagar amb un bitllet de 50 €.

IV. A l’hotel hi ha 50 clients. Avui n’entren 16 de nous i en surten 4. a) 50 – 16 – 4

b) 50 – 16 + 4

c) 50 – (16 + 4)

d) 50 – (16 – 4)

e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4

f ) 15 : 3 + 7 + 4 : 2 = g) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5 =

17.

Quina o quines de les expressions aritmètiques responen a la solució d’aquest problema?

En un supermercat s’han venut aquest matí 24 kg de pomes a 2 €/kg, 12 melons a 4 € la peça i 13 pinyes a 2 € cada una. Quant s’ha ingressat a la caixa per la venda d’aquestes fruites?

Calcula i comprova el resultat amb les solucions:

a) 30 – 4 · (5 + 2) = b) 5 + 3 · (8 – 6) = c) 3 · (2 + 5) – 13 = d) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4) = e) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7) = f ) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) = g) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3) =

Solucions: a) 2; b) 11; c) 8; d) 9; e) 14; f) 9; g) 11

32

19.

a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2

b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2

c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4

d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)

Càlcul de potències 20.

Calcula mentalment:

a) 24 =

b) 35 =

c) 204 =

d) 300 =

21.

Resol amb la calculadora:

a) 412 =

b) 510 =

c) 453 =

d) 993 =

22. Escriu tots els quadrats perfectes compresos en­ tre 1.000 i 1.500.

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

23.

29.

Completa: a0

a1

a2

a3

a4

a5

3

a) (a7 : a) · a3 = b) (x9 : x4) : x3 =

16

c) (x3 · x7) : (x · x6) = 1.000

30.

Substitueix cada asterisc pel nombre adequat i, finalment, calcula:

16 1

Potències de base 10.

Expressió abreujada de nombres grans 24.

Redueix a una sola potència:

a) 212 : 45 = 212 : (2*)5 = 212 : 2* = 2* =

b) 36 : 92 = 36 : (3*)2 = 36 : 3* = 3* =

Escriu amb totes les xifres:

a) 10 = 2

b) 106 = c) 253 : 54 = (5*)3 : 54 = 5* : 54 = 5* =

c) 1010 =

25.

Escriu amb potències de base 10:

a) Cent =

b) Cent milions =

c) Cent bilions =

d) Cent mil bilions =

d) 164 : 45 = (4*)4 : 45 = 4* : 45 = 4* =

26.

Ordena, de la més petita a la més gran, aques­ tes quantitats: 8 · 109

17 · 107

98 · 106

1010

16 · 108

9 · 109

Arrel quadrada 31.

Operacions amb potències 27.

Calcula de la manera més senzilla:

a) 8 · 5 2

=

2

b) 2 · 5 6

6

=

c) 253 · 43 =

d) 65 : 35 =

e) 153 : 53 =

f ) 204 : 54 =

28.

Redueix aquestes expressions:

Resol amb la calculadora:

a) 655 =

b) 1.024 =

c) 1.369 =

d) 4.225 =

e) 12.664 =

f ) 33.856 =

32.

pongui:

Escriu el signe = o el signe ≠ segons corres­

a) 2 · 9

36

b) 3 · 4

12

a) x8 : x3 =

b) m4 · m2 =

c) 5 · 16

20

d) 4 · 25

10

c) (k2)4

d) x5 · x5

e) 9 · 9

18

f) 4 · 4

16

=

=

33

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

Resol problemes 33.

PROBLEMA RESOLT

Deixa clar el significat de cada pas, de cada operació i de cada resultat.

36.

Un autobús amb 54 turistes a bord pateix una avaria camí de l’aeroport. El responsable del grup deci­ deix acomodar les viatgeres i els viatgers en taxis de quatre places. Quants taxis necessiten?

Un majorista compra 150 sacs de patates de 30 kg per 2.000 €. Després, en seleccionar la mercaderia, en llença 300 kg i n’envasa la resta en bosses de 5 kg, que ven a 4 € la bossa. Quin benefici obté?

37.

– Quilos comprats (150 sacs de 30 kg): 150 · 30 = 4.500 kg – Quilos envasats (en llença 300 kg): 4.500 – 300 = 4.200 kg – Bosses de 5 kg obtingudes: 4.200 : 5 = 840 bosses – Ingressos, en euros, per la venda de 840 bosses a 4 € cada una: 840 · 4 = 3.360 € – Beneficis (ingressos, 3.360€, menys despeses, 2.000 €): 3.360 – 2.000 = 1.360 € Solució: Guanya 1.360 €.

34.

En una granja hi ha el doble de vaques que de cavalls i en total són 36 caps de bestiar. Quantes vaques i quants cavalls hi ha?

En una escola que té 450 estudiants, dos de cada cinc estudien un segon idioma i, d’aquests, un de cada tres ha triat l’alemany. Quants estudien un se­ gon idioma? Quants estudien alemany?

38.

PROBLEMA RESOLT

Decideix els passos intermedis. Quines dades encara no coneixes, però necessites, per arribar a la solució?

La Marta ha comprat cinc paquets amb quaranta adhesius cada un i ha decorat el cub petit. Li queden prou adhesius per decorar de la mateixa manera el cub gran?

• Quants adhesius ha comprat?

Ha comprat 5 · 40 = 200 adhesius.

35.

La Rosa té dos anys més que el seu germà petit, en Julià, i dos menys que l’Albert, el seu germà gran. Si entre tots tres igualen l’edat de la seva mare, la Marta, que acaba de fer 42 anys, quants anys té cada un dels germans?

• Quants n’ha utilitzat per al cub petit?

Per al cub petit ha utilitzat 6 · 32 = • Quants adhesius li queden?

Li queden 200 – =

adhesius.

• Quants en necessita per al cub gran? .

Per al cub gran necessita Escriu la solució en cada cas.

34

adhesius.

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

39.

Un cotxe triga 78 segons a travessar un tram de 2 km amb la velocitat limitada a 90 km/h. Creus que ha superat el límit permès? Per què?

És el teu torn 43.

Escriu les preguntes dels dos apartats del proble­ ma tenint en compte la seva resolució: En Raül vol completar un àlbum de cromos d’una lliga de futbol de 20 equips i 25 jugadors per equip.

L’àlbum li costa 5 € i cada paquet de 10 cromos, 1 €.

Resolució:

40.

Quines són les dimensions del terra quadrat més gran que es pot cobrir amb 200 rajoles quadrades de 20 cm de costat, sense partir-ne cap? Quantes rajoles sobren?

41. En Marc té una bossa amb 50 daus de fusta d’1 cm d’aresta. Quina és l’aresta del cub més gran que pot construir amb els daus? Quants daus sobren?

a) (20 · 25) : 10 = 50 b) [(20 · 25) : 10] · 1 + 5 = 55

44.

Planteja un problema i escriu l’enunciat i les preguntes a partir de la informació i les operacions se­ güents: – Consola de 8 gigabytes de memòria RAM – Un videojoc A ocupa 3,68 gigabytes – Un videojoc B ocupa 3,75 gigabytes

42.

Imagina’t que col·loques un granet d’arròs a la primera casella d’un tauler d’escacs, dos a la segona, quatre a la tercera, etc., i continues doblant el nombre de granets escac a escac. Expressa amb potències: a) El nombre de grans que necessitaries per completar la primera fila.

– Un videojoc C ocupa 2,48 gigabytes – 3,68 + 3,75 + 2,48 = 9,91 gigabytes – 9,91 – 8 = 1,91 gigabytes – 3,68 + 3,75 = 7,43 gigabytes – 3,68 + 2,48 = 6,16 gigabytes – 3,75 + 2,48 = 6,23 gigabytes

b) El nombre de grans que hauries de col·locar a l’úl­ tim escac de la segona fila.

c) Compara els resultats obtinguts en els dos apartats anteriors.

35

UNITAT 1 » ELS NOMBRES NATURALS

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX ordres d'unitats

Nombres en els ordinadors

ordres d'unitats

3

2

2

2

1

2

0

2

3

2

2

2

1

2

2

8

4

2

1

8

4

2

1

0

0

0

0

0

8

1

0

0

0

1

9

2

0

0

1

0

10

1

0

1

0

3

0

0

1

1

11

4

0

1

0

0

12

5

0

1

0

1

13

6

0

1

1

0

14

7

15

Ja saps que nosaltres, per escriure els nombres, fem ser­ vir el sistema decimal, amb deu signes, del 0 al 9.

0

Els ordinadors i les calculadores, en el seu llenguatge intern, escriuen els nombres en el sistema binari; és a dir, utilitzant només dos signes: el 0 i l’1.

• Estudia i completa les taules, seguint la lògica de les primeres files.

Quan hagis acabat, hauràs traduït al sistema binari els primers quinze nombres naturals.

1

1

1

La computació i, en general, les noves tecnologies, són un àmbit d’aplicació de les matemàtiquess amb molta diversitat de sortides professionals.

1

» INVESTIGA Nombres imparells, quadrats i cubs El món dels nombres presenta múltiples relacions, algunes de tan sorprenents que semblen màgia. Fixa’t en l’exemple següent:

S1 1 1

12

S2

1+3

S3

1+3+5

4

22

9

32

S4

1+3+5+7

S5

1+3+5+7+9

16

42

• Segons això, calcula la suma dels set primers nombres imparells.

S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

36

25

52

ELS NOMBRES NATURALS « UNITAT 1

POSA’T A PROVA 1. Omple els buits: a) 18 · b)

= 180 · 100 = 27.000

c) 4.000 : d)

5. En una cafeteria hi ha 60 seients. Si hi ha el tri­

ple de cadires que de banquetes, quantes n’hi ha de cada classe?

= 40

: 10 = 38

2. Calcula els termes que falten: a) 154 ·

= 462

b)

: 27 = 98

c) 30.275 :

= 35

d) 1.508 =

· 125 + 8

3. Fes les operacions combinades següents: a) 12 + 3 · 5 – 2 =

6. Calcula: a) 26 = b) 53 = c) 72 =

b) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7=

d) 106 =

7. Redueix a una sola potència: c) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 =

a) a3 · a2 = b) x5 : x4 =

d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)] =

4. Llegeix: • L’extensió del Brasil és de vuit milions cinc-cents ca­ torze mil vuit-cents setanta-set quilòmetres quadrats.

• La població mundial a finals de l’any 2022 era de 7.975.105.155 habitants.

c) (a3)4 =

8. Quants daus de fusta, d’1 cm d’aresta, hi ha en 10 paquets com el que veus en la il·lustració?

10 cm 10

cm

a) Expressa amb xifres la primera quantitat i amb lle­ tres, la segona.

m

10 c

9. Copia i completa: b) Arrodoneix-les a les desenes de miler.

a) 36 =

b) 400 =

c) 10.000 =

d)

=3

f)

= 30

e)

=8

37

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

SITUACIÓ D’APRENENTATGE 1

» UNA MANERA PARTICULAR D’ESTALVIAR La Laia sempre ha somniat ser astronauta i viatjar a l’espai. Per començar, aquest estiu vol visitar algunes de les seus de l’Agència Espacial Europea (European Space Agency, ESA) i, per aconseguir els diners que li calen, s’ha proposat estalviar amb un mètode que li sembla infal·lible.

El primer dia posarà a la guardiola una moneda d’1 €, el segon dia dues monedes d’1 €, el tercer dia quatre monedes d’1 €... i, així, successivament, cada dia posarà a la guardiola el doble que el dia anterior.

Si estalvia durant 10 dies, quantes seus de l’ESA creieu que podrà visitar?

Què us sembla aquesta manera d’estalviar?

ANEM PAS A PAS

1. Quina quantitat haurà de posar, la Laia, a la guardiola el quart dia? I quina quantitat tindrà acumula-

da després de fer-ho? Completa: expressió

22

23

24

significat

2×2

2×2×2

2×2×2×2

4

8

valor

2. Observeu i completeu l’evolució de la quantitat de diners que posa cada dia a la guardiola i l’estalvi que acumula: dia

1

2

3

4

5

6

quantitat dipositada (€)

1

2

4

8

16

32

estalvi acumulat (€)

1

1 + 2 = 3 4 + 3 = 7 8 + 7 = 15

…

31

3. Expresseu les dades de l’activitat anterior amb potències:

38

dia

1

2

3

4

quantitat dipositada (€)

20

21

22

23

estalvi acumulat (€)

21 – 1

22 – 1

…

10

10

RESOLEM

4. Quants dies han de passar fins que hagi de po-

6. Feu-vos les dues preguntes anteriors, però

5. Quant haurà estalviat en aquell moment, comp-

7. Us atreviu a respondre les preguntes ante-

sar més de 100 € a la guardiola? I més de 200 €?

tant el que hi ha posat aquell dia?

en cas que hi hagi de posar més de 1.000 €.

riors per a quantitats més grans? Quant trigaria a estalviar 1.000.000 €?

8. I si, en lloc de posar a la guardiola cada dia

el doble de diners que el dia anterior, n’hi posés el triple, quant trigaria a estalviar 1.000.000 €?

PENSEM-HI

9. Si estalvia durant 10 dies, quantes seus de l’ESA creieu que podrà visitar?

R eflexioneu sobre l’ODS 8: Treball dign Treballeu e i creixement en equip. econòmic.

Què heu apr ès?

Penseu-hi!

10. Què us sembla aquest mètode d’estalvi?

39

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

UNITAT

2

DIVISIBILITAT

COM ENS RELACIONEM? Vivim en societat i la majoria de les nostres accions, de les decisions que prenem, dels interessos que perseguim i de les emocions que sentim tenen a veure amb les persones amb qui ens relacionem. Això es reflecteix en els diferents grups del nostre dia a dia dels quals formem part: la família, la classe, els amics, les extraescolars, les activitats d’oci…

Durant la nostra vida conviurem amb grups de persones diferents i la qualitat d’aquesta convivència dependrà del nostre comportament individual. L’empatia, la inclusió, la igualtat, la tolerància, etc. definiran la societat en la qual volem viure.

La Mariona i en Marc observen les dinàmiques de grup de diferents activitats extraescolars que es duen a terme a l’institut. Han apreciat que els grups es conformen segons les edats i el gènere dels companys i les companyes.

Les monitores sempre intenten fer grups tenint en compte la inclusió i la igualtat de gènere. Busquen totes les maneres de distribuir els participants en grups equilibrats, sense que ningú en quedi exclòs.

La Mariona i en Marc decideixen fer un estudi per mirar d’establir la millor manera de distribuir els equips.

PENSEU-HI!

• Quina creieu que és la millor manera d’agrupar?

• Els resultats de l’equip dependran de com estan fets els grups?

40

La relació de divisibilitat

Múltiples i divisors d’un nombre

Nombres primers i nombres compostos

Descomposició d’un nombre en factors primers

Mínim comú múltiple

Màxim comú divisor

41

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

1. LA RELACIÓ DE DIVISIBILITAT a 0

• Dos nombres compleixen la relació de divisibilitat quan un cap en l’altre una quantitat exacta de vegades; és a dir, quan el seu quocient és exacte.

c ↓ divisió exacta

• Ser múltiple de..., ser divisor de... Quan dos nombres compleixen la relació de divisibilitat: el més gran és múltiple del més petit i el més petit és divisor del més gran.

a és divisible per b.

a és múltiple de b o, dit d’una altra manera,

si la divisió a : b és exacta.

b és divisor de a

a és múltiple de b.

• Els divisors van per parelles. Cada divisor d’un nombre en té un altre de relacionat.

Exemple: 40 8 40 5 40 ↔ 0 5 0 8 8 8 8 8 8 és divisor de 40.

5 és divisor de 40.

b

b és divisor de a.

8

5·8 5 5 5 5 5 5 5 5 8·5

» FIXA IDEES F1. Fixa’t en aquestes divisions i completa:

AJUDA

a) 35 5 0 7 35 és divisible per

b) 86 02 86

35 és múltiple de

86

múltiple de

560 40 És exacta.

160 14 0

5 és divisor de

12

divisor de

560 és divisible per 40.

12 7

F1 i F2. Observa els exemples: divisible per

F2. Comprova si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibi-

560 és múltiple de 40.

a) 63 i 9

litat. Després, completa:

40 és divisor de 560.

divisible per

78

divisible per

47 5

63 és

de

78

múltiple de

47 no és divisible per 7.

9 és

de

13

divisor de

63

b) 78 i 13

F3. Una escola contracta autobusos de 45 places per portar 294 alumnes d’excursió. a) Quants autobusos necessita? Aniran tots plens? b) I si els autobusos fossin de 42 places? c) 45 és divisor de 294? I 42?

42

7 6

47 no és múltiple de 7.

7 no és divisor de 47.

F3. Comprova si les divisions se-

güents són exactes: 294 : 45

294 : 42

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

1. Pensa i contesta de manera raonada: a) Es pot dividir una classe de 30 alumnes en grups de 7, sense que en sobri cap?

b) La Marta fa passos de 60 cm. Pot recórrer 100 metres en un nombre exacte de passos?

4. Busca tots els nombres que estan continguts una

quantitat exacta de vegades en 24.

5. Encercla de color vermell els divisors de 90 i de color blau els múltiples de 3:

c) Pot buidar-se una tina d’oli de 1.500 litres en un nombre exacte de garrafes de 5 litres?

5

10

15

20

30

35

45

60

75

90

6. Respon de manera raonada: a) Per què 522 és múltiple de 29? d) Algun mes té un nombre exacte de setmanes?

b) Per què 17 és divisor de 544?

2. Digues si els nombres de cada parella compleixen la relació de divisibilitat: 7. Encercla de color vermell els múltiples de 4 i de co-

a) 224 i 16 → b) 420 i 35 →

lor blau els múltiples de 10:

c) 613 i 13 →

8

10

20

24

30

d) 513 i 19 →

45

60

75

95

120

8.

e) 688 i 44 → f ) 2.070 i 46 →

3. Digues si les afirmacions següents són certes o falses: a) 15 està contingut exactament 4 vegades en 60.

En el grup de bàsquet d’extraescolars, s’hi han inscrit gairebé 60 nois i noies de 1r i 2n d’ESO. Per organitzar un torneig, havien pensat fer equips mixtos de cinc. S’adonen, però, que fent-ho així algú es quedaria sense equip, i decideixen fer equips de sis, incloent-hi dos reserves per equip. Quants alumnes hi ha inscrits?

b) 75 està contingut exactament 3 vegades en 225. c) 42 és divisible per 7.

d) 54 és divisible per 8.

e) 13 està contingut un nombre exacte de vegades en 65.

43

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

2. MÚLTIPLES I DIVISORS D’UN NOMBRE • Càlcul dels múltiples d’un nombre. Has de tenir en compte que: – Els múltiples d’un nombre natural, a, s’obtenen en multiplicar a per qualsevol altre nombre natural k. a · k → múltiple de a – Qualsevol nombre natural, a, és múltiple d’ell mateix i de la unitat. → a · 1 = a – Un nombre diferent de zero té una quantitat infinita de múltiples.

•

– Per referir-nos a un múltiple d’un nombre, el podem escriure amb un punt a sobre: 7 → múltiple de 7 • Càlcul dels divisors d’un nombre. Has de tenir en compte que: – Per obtenir tots els divisors d’un nombre, a, busquem les divisions exactes: a:b=c → a = b · c → Per tant, b i c són divisors de a. a:c=b – Qualsevol nombre és divisor d’ell mateix. → a : a = 1

Els divisors de 18 són aquests: 1 2 3 18

– L’1 és divisor de qualsevol nombre. → a : 1 = a

9

6

» FIXA IDEES

F4. Escriu:

A JUDA

a) Tres múltiples de 5.

F4. Múltiples de 13:

b) Tres múltiples de 12.

13 · 3 = 39

c) Tres múltiples de 19.

13 · 5 = 65

d) Tres múltiples de 30.

13 · 11 = 143

F5. Escriu els deu primers múltiples de 25.

13 ·

=

F5. Quin és el primer múltiple de

13 més gran que 150?

150 13 020 11 07

F6. Quin és el primer múltiple de 8 més gran que 100?

8

F7. Troba, mentalment, els divisors de cada un d’aquests nombres: a) 8

b) 12

c) 15

13 · 11 = 143 < 150 13 · 12 = 156 > 150

F7 i F8. Divisors de 14: d) 20

1

e) 28

F8. Quin és el nombre els divisors del qual són els següents?

1

44

2

3

4

6

8

12

24

2

7

14

DIVISIBILITAT « UNITAT 2 • Criteris de divisibilitat. Són regles que serveixen per descobrir si un nombre és divisible per 2, 3, 5 o altres nombres senzills.

– Un nombre és divisible per 2 (és múltiple de 2) si acaba en una xifra parell: 0 - 2 - 4 - 6 - 8.

Exemple: 516 → xifra parell → 516 és múltiple de 2.

371 → xifra senar 371 no és múltiple de 2.

– Un nombre és divisible per 5 (és múltiple de 5) si acaba en 0 o en 5. Un nombre és divisible per 10 (és múltiple de 10) si acaba en 0.

Exemple: 325 → és múltiple de 5.

560 → és múltiple de 5 i de 10.

703 → no és múltiple ni de 5 ni de 10.

– Un nombre és divisible per 3 (és múltiple de 3) si la suma de les seves xifres és múltiple de 3. Un nombre és divisible per 9 (és múltiple de 9) si la suma de les seves xifres és múltiple de 9.

•

Exemple: 411 → 4 + 1 + 1 = 6

3 •

9

411 és múltiple de 3, però no de 9.

– Un nombre és divisible per 11 si la suma de les xifres de lloc parell menys la suma de les xifres de lloc senar és 0 o un múltiple d’11.

Exemple: 418 → (4 + 8) – (1) = 11 → És múltiple d’11.

1.543 → (5 + 3) – (1 + 4) = 3 → No és múltiple d’11.

» FIXA IDEES

F9. Quins d’aquests nombres són parells? I divisibles per 2?

21 - 28 - 45 - 59 - 80 - 88 - 146 - 255 - 270 - 299

A JUDA

Parells:

F9. 516 → Acaba en xifra parell. És múltiple de 2.

Divisibles per 2:

F10. 325 → Acaba en 5. És múlti-

F10. Subratlla els que siguin múltiples de 5: 60 - 72 - 80 - 85 - 100 - 103 - 130 - 155 - 210 Quins dels nombres que has subratllat són també múltiples de 10?

F11. Quins d’aquests nombres són divisibles per 3? I per 9?

19 - 45 - 63 - 83 - 105 - 145 - 209 - 513 - 666 - 909

ple de 5, però no de 10.

560 → Acaba en 0. És múltiple de 5 i de 10.

F11. 411 → 4 + 1 + 1 = 6 → És múltiple de 3 però no de 9.

990 → 9 + 9 + 0 = 18 → És múltiple de 3 i de 9.

Divisibles per 3: Divisibles per 9:

F12. Recorda el criteri de divisibilitat per 11 i identifica quins dels nombres següents són múltiples d’11: a

b

c 8 a + c – b = 0 o 11

110 - 111 - 155 - 187 - 209 - 398 - 759 - 606

45

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

3. NOMBRES PRIMERS I NOMBRES COMPOSTOS • Nombres compostos. Són els nombres que es poden descompondre en factors més senzills.

→ 18 = 2 · 9

Exemple: El nombre 18 és un nombre compost perquè es pot descompondre.

→ 18 = 3 · 6

• Nombres primers. Són els nombres que no es poden descompondre en factors més senzills.

→ 18 = 2 · 3 · 3

Exemple: El nombre 13 és primer perquè només es pot dividir per 13 i 1.

• El nombre 1, com que només té un divisor, no es considera primer. Qualsevol altre nombre o bé és primer o bé és compost.

13 = 13 · 1

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

9. Classifica en nombres primers i nombres compostos: 5 11 21 31

8 15 28 33

12. Cert (C) o fals (F)? a) El nombre 1 no és ni primer ni compost. b) Un nombre, si és senar, és primer. c) Tots els nombres primers, excepte el 2, són senars.

13. Descompon el nombre 100:

Nombres primers:

a) En dos factors.

Nombres compostos:

b) En tres factors.

10. Entre aquests nombres, busca els dos que són pri-

mers i expressa els compostos com un producte de dos factors: 47 57 67 77

87

c) En tants factors com sigui possible.

14. Indica quins nombres són primers i quins són compostos:

14

17

28

29

47

53

57

63

71

79

91

99

Nombres primers: Nombres compostos:

11. Busca tots els nombres primers més petits que 60.

Són disset en total.

46

15. Esbrina si el nombre 203 és primer o compost. Justifica la teva resposta.

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

4. DESCOMPOSICIÓ D’UN NOMBRE EN FACTORS PRIMERS • Un nombre, si no és primer, es pot descompondre en factors (factoritzar), i aquests, al seu torn, en altres factors, fins que tots siguin primers.

quocients parcials

factors primers

792 2 792 : 2 → 396 2 396 : 2 → 198 2 198 : 2 → 99 3 99 : 3 → 33 3 33 : 3 → 11 11 11 : 11 → 1 792 = 23 · 32 · 11

Exemple: La descomposició de 36 en factors primers és: 36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32 – Per descompondre un nombre en factors primers, el dividim entre els seus factors primers: primer, entre 2 tantes vegades com sigui possible; després, entre 3, entre 5…, i així, successivament, fins a obtenir 1 en el quocient.

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

16. Calcula mentalment i completa la descomposició en factors d’aquests nombres: 80

×

×

4 2

100

8 × 10 ×

×

×

9 0

1 2 6 3

7

25 × ×

19. Completa i descompon en factors primers:

×

17. Descompon com en l’exemple: • 24 = 6 · 4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 23 · 3 a) 18 = b) 20 = c) 40 = d) 72 =

2 1 1

1

42 = 90 = 126 =

20. Descompon en factors primers: a) 45

b) 76

c) 88

e) 150 = f ) 240 =

18. A quins nombres corresponen aquestes descomposicions factorials?

21. Escriu com a producte de nombres primers: a) 170 = b) 350 = c) 580 =

a) 22 · 32 · 5 =

d) 888 =

b) 2 · 5 · 13 =

e) 1.024 =

c) 2 · 52 · 7 =

f ) 1.296 =

47

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT • Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus múltiples?

En la descomposició de qualsevol dels múltiples d’un nombre apareixen tots els factors primers del nombre (i, generalment, alguns més).

• Quina és la relació entre la descomposició d’un nombre i la descomposició dels seus divisors?

• En la descomposició de qualsevol dels divisors d’un nombre apareixen alguns factors primers del nombre (generalment, no tots) i no apareix cap factor més.

• Per obtenir els divisors d’un nombre es pot seguir un altre procediment: amb el nombre descompost en factors, busquem tots els productes possibles entre si.

Exemple: Calculem tots els factors primers de 40: 40 = 2 · 2 · 2 · 5 Els divisors de 40 són aquests:

1=1 2=2 5=5 2·2=4 2 · 5 = 10 2·2·2=8 2 · 2 · 5 = 20 2 · 2 · 2 · 5 = 40

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 i 40

» FIXA IDEES

F13. Contesta, sense fer cap operació, i raona les respostes:

A JUDA

a) 8 = 2 · 2 · 2 b) 15 = 3 · 5 36 = 2 · 2 · 3 · 3 90 = 2 · 3 · 3 · 8 és divisor de 36?

15 és divisor de 90?

F13 i F14.

• 18 és divisor de 90, perquè tots els factors primers de 18 apareixen en 90.

18 = 2 · 3 · 3

90 = 2 · 3 · 3 · 5

F14. Tenint en compte la descomposició en factors de 126, esbrina, a sim-

ple vista, quins dels nombres següents són divisors de 126, quins són múltiples de 126 i quins no són ni divisors ni múltiples: 126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · 32 · 7

• 210 és múltiple de 15 perquè conté tots els factors primers de 15.

210 = 2 · 3 · 5 · 7 15 = 3 · 5

F15.

• Dos múltiples de 28 = 2 · 2 · 7

a) 4 = 2

b) 14 = 2 · 7

c) 18 = 2 · 3

2· 2·2·7

d) 21 = 3 · 7

e) 28 = 22 · 7

f ) 42 = 2 · 3 · 7

56

g) 252 = 22 · 32 · 7

h) 180 = 22 · 32 · 5

i) 882 = 2 · 32 · 72

2

Divisors de 126: Múltiples de 126: Ni múltiples ni divisors:

F15. Escriu factoritzats, sense fer operacions: a) Tres divisors de 72 = 23 · 32. b) Tres múltiples de 45 = 32 · 5.

48

2

3· 2·2·7 84

• Dos divisors de 84 = 2 · 2 · 3 · 7 2·2 ·3·7 4

2· 2·3 ·7 6

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE • Mínim comú múltiple, MCM (a, b, c…). És el més petit dels múltiples comuns de dos o més nombres, a, b, c…

– Càlcul del mínim comú múltiple (mètode artesanal). És apropiat per a nombres senzills. Per obtenir el mínim comú múltiple de dos nombres: 1r Escrivim els múltiples de cada un.

múltiples de 20 → 20 40 60 80 …

2n Agafem els nombres comuns.

múltiples de 30 → 30 60 90 120 …

MCM (20, 30) = 60

3r Ens quedem amb el més petit.

– Càlcul del mínim comú múltiple (mètode òptim). S’utilitza per a nombres grans. El procediment és el següent: 1r Es descomponen els nombres en factors primers.

2n Se n’agafen tots els factors primers (comuns i no comuns) elevats a l’expo-

20 = 22 · 5 i 30 = 2 · 3 · 5 MCM (20, 30) = 22 · 3 · 5

3r Es multipliquen els factors escollits.

MCM (20, 30) = 60

nent més gran.

» FIXA IDEES

F16. Observa i completa a primer cop d’ull:

EXEMPLE

Múltiples de 6 → 6 12 18 24 30 36 42 48 54 Múltiples de 8 → 8 16 24 32 40 48 56

F17. Calcula el MCM (12, 15) com en l’activitat anterior: Múltiples de

:

Múltiples de

: ,

Múltiples comuns → 30, 60, 90…

El més petit dels múltiples comuns de 10 i 15 és 30.

MCM (10, 15) = 30

)=

F18. Completa:

EXEMPLE

18 = 2 $ 3 2 4 MCM (18, 24) = 2 24 = 2 3 $ 3

·3

=

49 = 7 2 4 MCM (49, 63) = 3 63 = 3 2 $ 7

·7

=

F19. Completa per calcular el mínim comú múltiple de 30 i 45: 3 0

10 → 10 20 30 40 50 60 70 • 15 → 15 30 45 60 75 90 105 •

MCM (6, 8) =

MCM (

Càlcul del mínim comú múltiple de 10 i de 15.

4 5

30 =

·

45 =

·

·

Càlcul del mínim comú múltiple de 28 i 42.

28 2·2·7 28 = 2 $ 2 $ 7 3 2·2·3·7 42 = 2 $ 3 $ 7 2·3·7 42 MCM (28, 42) = 22 · 3 · 7 = 84

MCM (30, 45) =

49

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

22. Observa i completa a primer cop d’ull:

26. Calcula el MCM (a, b) en cada cas: a) a = 2 . 5 . 11

•

15 → 15 30 45 60 75 90 105

b = 3 . 5 . 11

•

25 → 25 50 75 100 125 150 MCM (15, 25) =

23. Calcula com en l’activitat anterior:

b) a = 24 . 5 b = 22 . 52

a) MCM (20, 25)

b) MCM (12, 24)

27. Una fàbrica envia mercaderia a Castelló cada 6 dies i a Eivissa cada 8 dies. Avui han coincidit tots dos en­ via­ments. Quan tornaran a coincidir?

c) MCM (50, 75)

28. L’autobús de la línia vermella passa per la parada de davant de casa meva cada 20 minuts i el de la línia verda, cada 30 minuts. Si tots dos passen a les dues de la tarda, a quina hora tornaran a coincidir?

24. Calcula mentalment: a) MCM (6, 9) = b) MCM (6, 12) = c) MCM (5, 10) =

25. Observa, completa i calcula: 3 0 1 5 5 1

2 3 5

4 0 2 0

1 _ 30 = 2 · 3 · 5 b MCM (30, 40) = b MCM (30, 40) = …

40 = … ` MCM (40, (40,54) 54)==… b MCM 54 = … a

50

5 4

29. En Juli compta de 4 en 4, l’Anna de 6 en 6 i la So-

fia de 10 en 10. Quins són els tres primers nombres en els quals coincideixen?

1

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

6. MÀXIM COMÚ DIVISOR • Màxim comú divisor, MCD (a, b, c…). És el més gran dels divisors comuns de dos o més nombres, a, b, c…

– Càlcul del màxim comú divisor (mètode artesanal). És apropiat per a nombres senzills. Per obtenir el màxim comú divisor de dos nombres: 1r Escrivim els divisors de cada nombre.

2n Agafem els nombres comuns.

3r Ens quedem amb el més gran.

divisors de 8

→ 1 2 4 8

divisors de 12

→ 1 2 3 4 6 12

divisors 4→ 1 - 2 - 4 comuns MCD (8, 12) = 4

– Càlcul del màxim comú divisor (mètode òptim). S’utilitza per a nombres grans. El procediment és el següent: 1r Es descomponen els nombres en factors primers.

2n Agafem només els factors primers comuns elevats a l’exponent

40 = 22 · 5 i 60 = 22 · 3 · 5 MCD (40, 60) = 22 · 5

3r Es multipliquen els factors escollits.

MCD (40, 60) = 22 · 5 = 20

més petit.

» FIXA IDEES

F20. Observa i completa a primer cop d’ull:

EXEMPLE

Divisors de 12 → 1 2 3 4 6 12

Càlcul del màxim comú divisor de 20 i 30.

Divisors de 16 → 1 2 4 8 16 MCD (12, 16) =

Divisors de 20

F21. Calcula com en l’activitat anterior: MCD (8, 20) =

1

2

4

5

10

20

1

2

3

5

6

10

15

30

Divisors de 30 Divisors comuns → 1 - 2 - 5 - 10 El més gran dels divisors comuns és 10.

MCD (20, 30) = 10

F22. Completa:

EXEMPLE

40 = 2 $ 2 $ 2 $ 5 3 → MCD (40, 50) = 50 = 2 $ 5 $ 5

·

54 = 2 $ 3 3 4 → MCD (54, 90) = 2 · 3 90 = 2 $ 3 2 $ 5

=

=

Càlcul del màxim comú divisor de 60 i 72: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3

F23. Completa per calcular el màxim comú divisor de 90 i 315: 9 0

2

3 1 5

3

90 = 2 · 315 = 3

· ·

·

60 = 2 2 $ 3 $ 5 72 = 2 3 $ 3 2 MCD (60, 72) = 22 · 3 = 12

MCD (90, 315) = 1

1

51

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» APLICA EL QUE HAS APRÈS

30. Observa i completa a primer cop d’ull:

35. Calcula:

Div. de 24 → 1 2 3 4 6 8 12 24 Div. de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 30

a) MCD (120, 144)

MCD (24, 30) =

31. Calcula seguint el criteri de l’activitat anterior: :

Divisors de

:

MCD (

,

:

Divisors de

:

MCD (

a) MCD (10, 15) Divisors de

Divisors de ,

)=

b) MCD (140, 180)

)=

Divisors de

:

Divisors de

:

MCD (

b) MCD (12, 18)

,

)=

Divisors de

:

36. Calcula el MCD (a, b) en cada cas:

Divisors de

:

a) a = 4

b=8

b) a = 5

b = 10

MCD (

,

)=

32. Calcula mentalment: a) MCD (30, 40) =

37.

b) MCD (50, 75) =

33. Completa i calcula: 6 0 3 0

2

9 0 4 5

2

1 60 = 2 ·

1 MCD (60, 90) =

90 = 2 ·

→ MCD (60, 100) =

100 = 2 ·

MCD (90, 100) =

34. Calcula el MCD (a, b) en cada cas: a) a = 3 . 5 . 11 b = 2 . 5 . 11

b) a = 23 . 52 b = 22 . 52 . 7

52

1 0 0 5 0

2

L’Anna ha tret del forn dues safates: una amb 18 brioixos i l’altra amb 24 ulleres. Encapsa el mateix nombre d’unitats de brioixos i d’ulleres, però no els barreja en la mateixa capsa. Quantes capses creus que ha omplert?

1

38. La propietària d’un restaurant compra un bidó de 80 litres d’oli d’oliva i un altre de 60 litres d’oli de gira-sol i vol envasar-los en garrafes iguals, tan grosses com sigui possible, i sense barrejar-los. Quina serà la capacitat de les garrafes?

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

» EXERCITA LES TEVES COMPETÈNCIES Múltiples i divisors 1.

Escriu:

5.

Substitueix cada lletra per una xifra, perquè el nombre resultant sigui divisible per 3: A51

a) Els múltiples de 20 compresos entre 150 i 210.

B=

A=

b) Tots els parells de nombres el producte dels quals és 80.

32C C=

52D D=

1E8 E=

6. Busca, en cada cas, tots els valors possibles de a per tal que el nombre resultant sigui, al mateix temps, múltiple de 2 i de 3.

4 a

2.

2B8

3 2 a

2 4 a

Busca tots els divisors dels nombres següents:

a) 18: b) 20:

Nombres primers i compostos

c) 28:

7.

El nombre 899 només té quatre divisors; un és el nombre 31. Expressa el nombre 899 com a producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.

d) 39: e) 50:

3.

Busca totes les formes possibles de fer grups iguals amb 72 terrossos de sucre.

8.

a) 54 =

Criteris de divisibilitat 4.

Descompon en factors primers aquests nombres:

Escriu:

a) Un nombre de tres xifres que sigui divisible per 3. b) Un nombre de quatre xifres que sigui divisible per 5.

b) 140 = c) 200 = d) 380 =

9.

Busca el primer nombre, més gran que 160, que no es pugui expressar com el producte de dos factors diferents d’ell mateix i de la unitat.

c) Un nombre de cinc xifres que sigui divisible per 9.

53

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

Mínim comú múltiple i màxim comú divisor 10.

El mínim comú múltiple de dos nombres és 15.

Quins poden ser aquests nombres?

11.

14.

En una fruiteria de Lleida envasen sucs de taronja i de poma en caixes amb el mateix nombre d’ampolles. Quantes ampolles hi ha en cada caixa si un client ha rebut 15 ampolles de suc de taronja i 12 de suc de poma?

Calcula el MCM i el MCD:

a) 25 i 75

15.

PROBLEMA RESOLT

Estudia els casos possibles i comprova quins compleixen les condicions del problema.

b) 12, 18 i 24

Una fornada de magdalenes s’envasa en bosses de 6 unitats i una altra d’igual, en bosses de 10 unitats, sense que en sobri cap en tots dos casos. Quantes magdalenes surten en cada fornada si s’han omplert gairebé 50 bosses?

El nombre de magdalenes de cada fornada és un múltiple co­mú de 6 i de 10 i, per tant, del seu mínim comú múltiple: MCM (6, 10) = 30

Resol problemes 12.

El producte de tres nombres diferents de la unitat és 75. Quina és la seva suma?

13.

Busca el nombre més petit que en dividir-lo entre 10 i entre 12 té un residu de 5.

Els múltiples comuns de 6 i 10 són aquests: 30 - 60 - 90 - 120 - 150 Completa la taula i acaba el problema: nombre de magdalenes per fornada

nombre de bosses de 6 unitats

nombre de bosses de 10 unitats

nombre total de bosses

30

5

3

8

60

10

6

16

90

15

9

24

120 150 180

54

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

16.

En una classe de 1r d’ESO, es poden fer grups mixtos de 8 nois i noies, sense que en sobri ni en falti cap. D’altra banda, el nombre de nois és una mica més baix que el nombre de noies, encara que ambdós estan equilibrats, i ni ells ni elles no es poden dividir en grups més petits. Què en pots dir si, en total, són menys de 30 alumnes?

20.

En l’activitat anterior has completat un problema matemàtic a partir d’unes pistes. Ara et plantegem el repte d’escriure un problema matemàtic sobre múltiples i divisors des d’un inici. Segueix els passos següents: 1. En primer lloc, tingues en compte l’entorn on es desenvoluparà el problema. En aquest cas hem escollit unes classes extraescolars de bàsquet amb 18 esportistes.

17.

Volem tallar una cartolina de 48 cm × 60 cm en targetes quadrades que tinguin entre 5 i 10 cm de costat. Quina ha de ser la mida de les targetes per no desaprofitar la cartolina?

18.

Els trens a Vall de Dalt surten cada 18 min i els que vam a Vall de Baix, cada 24 min. Si són les 15 h 45 min i sur­ten alhora, quan tornaran a coincidir?

2. A continuació, pensa el context del problema per a definir la pregunta que vols fer. Per exemple: a partir d’un nombre conegut d’esportistes, formar grups de manera que es compleixi una condició determinada (que no quedi cap persona sense grup, que quedi un esportista sense grup, que els grups siguin parells, etc.).

3. Anota les dades que faràs servir per definir el problema i pensa la pregunta que vols fer.

Nombre de participants: 18 Pregunta:

4. Tot seguit, resol numèricament el problema.

És el teu torn 19.

Completa l’enunciat i la resolució del problema amb la informació que falta: Per anar a treballar, en Marcel pot agafar dos autobusos, un passa cada … minuts i l’altre, cada 10 minuts.

Si avui els dos autobusos han coincidit a les … del matí, quan tornaran a coincidir?

15 = 3 ·

5. Finalment, escriu l’enunciat: En una classe extraescolar de bàsquet amb 18 participants, el monitor vol fer grups de

=2·5 MC

(15, 10) =

· 3 · 5 = 30

Tornaran a coincidir al cap de les 9.30 h.

minuts, és a dir, a

55

UNITAT 2 » DIVISIBILITAT

» TALLER DE MATEMÀTIQUES » LLEGEIX I DESCOBREIX Els primers valen diners Els nombres primers s’utilitzen per a la construcció de les claus que protegeixen els comptes bancaris, els ordinadors, els telèfons mòbils, la informació que circula per internet, etc. De fet, per elaborar una clau, es neces­ siten dos nombres primers secrets. Els fàcils ja s’han descobert i els nous són molt difícils de trobar.

• Busca el primer nombre primer més gran que 1.000.

El 101 és el protagonista • Què li passa a un nombre de dues xifres si el multipliquem per 101?

29 × 101 = Fixa’t en altres casos i verifica que sempre passa el mateix.

• Què tenen en comú tots els nombres de quatre xifres que es formen repetint alternativament dues xifres?

4

8 7 8 7

1 3 1 3

4 3 4 3

5 4 5

» INVESTIGA Divisibilitat i geometria Ja has vist en altres ocasions com les característiques i les propietats dels nombres es reflecteixen en relacions i propietats geomètriques. Observa, ara, com la descomposició factorial d’un nombre, per exemple el 24, està relacionada amb les possibilitats de construir prismes amb un conjunt de 24 daus (cubs unitaris): 1 × 24 2×2×6 2 × 12

2×2×2

3×8

• I amb un conjunt de 60 daus?

2×3×4 4×6 2×2×2×3

56

• Quants prismes diferents es poden construir amb 12 daus unitaris?

DIVISIBILITAT « UNITAT 2

POSA’T A PROVA 1. Busca, entre els nombres següents, quatre parells

de nombres que compleixin la relació de divisibilitat: 6

15

35

80

90

6. Escriu, ordenats, tots els nombres primers més pe-

tits que 50.

240

2. Indica si les afirmacions següents són certes o falses: a) 60 és divisible per 15. b) 7 és múltiple de 21. c) 12 és divisor de 120. d) 162 és múltiple de 8.

7. Descompon en factors primers: a) 36 = b) 48 = c) 396 =

8. Calcula: a) MCM (36, 48)

3. Escriu: a) Els múltiples de 12 compresos entre 50 i 100.

b) MCM (10, 15, 25)

b) Tots els divisors de 90.

4. Troba aquests nombres:

9. De quantes maneres diferents es pot dividir una classe de 28 alumnes en equips amb el mateix nombre de membres, sense que en sobri cap?

a) El primer múltiple de 13 després de 1.000.

b) L’últim múltiple d’11 abans de 1.000.

5. Completa: a) Un nombre és múltiple de 3 quan

10. Quin és el costat del quadrat més petit que es pot formar si unim rajoles rectangulars de 15 cm de llargada per 6 cm d’amplada?

b) Un nombre és divisible per 5 quan c) Un nombre és múltiple de 9 quan

57

SITUACIÓ D’APRENENTATGE

SITUACIÓ D’APRENENTATGE 2

» COM ENS RELACIONEM? La Mariona i en Marc observen les dinàmiques de grup de diferents activitats extraescolars que es duen a terme a l’institut. Han apreciat que els grups es conformen segons les edats i el gènere dels companys i les companyes.

Les monitores sempre intenten fer grups tenint en compte la inclusió i la igualtat de gènere. Busquen totes les maneres de distribuir els participants en grups equilibrats, sense que ningú en quedi exclòs.

La Mariona i en Marc decideixen fer un estudi per mirar d’establir la millor manera de distribuir els equips.

Quina creieu que és la millor manera d’agrupar?

Els resultats de l’equip dependran de com estan fets els grups?

ANEM PAS A PAS

1. A l’extraescolar de patinatge de 1r d’ESO hi ha 28 inscrits, 12 noies i 16 nois. Busqueu totes les formes possibles de distribuir els inscrits en grups del mateix nombre, sense que ningú en quedi exclòs.

2. Es poden fer grups amb el mateix nombre d’alumnes, de manera

que en tots hi hagi el mateix nombre de noies? I el mateix nombre de nois?

Quins?

58

RESOLEM La Mariona i en Marc amplien el seu estudi als alumnes de 2n d’ESO inscrits a patinatge i creen la taula següent: 1r ESO

2n ESO

TOTAL

Noies

12

20

32

Nois

16

17

33

1

1

38

66

No binari Total inscrits

28

3. Com s’hauran de distribuir els inscrits perquè els grups siguin inclusius, és a dir, perquè ningú no quedi exclòs i tots els grups tinguin el mateix nombre de patinadors?

4. Es poden fer grups inclusius si els inscrits de 1r i de 2n d’ESO no entrenen junts?

5. Es poden fer grups amb el mateix nombre de noies i el mateix nombre de nois? Com ho faran per incloure tots els participants?

PENSEM-HI

R eflexioneu sobre l'ODS 5: Igualtat de g ènere.

6. Quina creieu que és la millor manera d’agrupar?

Treballeu en equip.

Què heu apr ès?

Penseu-hi!

7. Els resultats de l’equip dependran de com estan fets els grups?

59

a n o d e d lls

u b Am

O N A N E N QUESTA

A

E L A R E P SERVEIX

!

S E U Q I T À S MATEM Paz Morillo Bosch

m’agradava anar a Quan era petita i feia primària no dibuixos o no fer l’escola. M’agradava jugar, veure a vegada, m’havia res. Confesso que fins i tot, algun a l’escola. fet la malalta per no haver d’anar «mates». Com El pitjor de tot eren les classes de m’agradaven les a gairebé tothom, a mi tampoc mandra apren«mates». No entenia res, em feia vorrien els probledre les taules de multiplicar, m’a em servia tot allò. mes… i pensava que a mi de què per què havia Quan preguntava als més grans pondre’m que perd’estudiar «mates», a part de res eren poc convinquè eren al temari, les respostes ia no en tenien ni cents. I em sembla que la major !, quin pal això de idea, i molts deixaven anar un «uf s de medicaments les “mates”». Fins i tot, als anunci nt vaig estava estudiant tes” i vosaltres m’agradeu molt.» Òbviame per al mal de cap sortia un noi que bé del cap. Desfeia estrany. pensar que aquella noia no estava «mates» per a un examen, i no es bajanades, va s de presentar-se i de dir aquestes pré pre em I quan ho explico.

Així vaig passar tota la primària. jectar a la pissarra unes fotos. Us pro és om «N responia: guntaven què volia ser de gran, videora era d’una noia a casa fent una me oi? pri ar, La gin ima eu pod ho us ja I sé el que no vull ser.» l a l’Anb una amiga que era en un vaixel am a cad tru a l’institut a fer amb Vaig fer dotze anys i vaig entrar ona era d’un hort «intel·ligent» seg La . ida tàrt d’escola, conèixer aigua l’ESO. Em feia il·lusió canviar «parlaven» i deien que els faltava que s nte pla bé em feia molta xa de gent, anar amb els grans, però tam Una altra era d’un bebè dins la pan ts. rien nut o molt més difícils, d’un por. Segur que les «mates» serien qui estaven operant. La quarta era a re, ma la vergonya a classe ions els tenia pànic, em veia passant es instal·lant una xarxa de connex noi de p gru etint curs… Buf!, í fins a deu fotos quan el mestre em preguntés, rep en un poblat del Senegal… I aix va girar i amb un quin drama. com aquestes. Llavors la Carla es to-hi! La somriure ens va preguntar: «Què tenen en comú som s»: cur del s ate «m de sse cla Primera aquesc la Carla, tes aquestes fotos? Com s’han pogut fer totes «So : tar sen pre va es i rar ent mestra va !» licar “ma- tes coses? Doncs GRÀCIES A LES “MATES” exp nta nca m’e s”, ate “m les nen m’apassio

80

Ara sí que ja no en tenia cap dubte, la mestra de «mates» estava com un llum.

Al final de la classe tothom parlava de la Carla, del que havia dit, de les fotos, de la mare d’un com pany que era enginyera de «telecos» i que havia anat de voluntària al Senegal per fer arribar el wifi a una escola, de la cosina d’una alumna que era informàti ca i treballava en una empresa que dissenyava exoe squelets (m’havia de recordar quan arribés a casa de buscar què era això) i veïna de l’escala que treballava les “mates” que has estudiat?» Em volia morir, voa Hewlett Packard, on fabricava impressores 3D. lia desaparèixer, desmaiar-me, fondre’m… Però no Me’n vaig anar cap a casa rumiant una mica tot va passar res de tot això. Amb un fil de veu vaig plegat, semblava tot bastant xulo, però… llàstima, aconseguir dir alguna cosa semblant a «res». Ella no ho va sentir i va insistir, així que vaig respondr des de petita m’havia quedat molt clar que jo e, no amb el mateix filet de veu, evidentment: «És que servia per a les «mates», així que valia més que jo no serveixo per a les “mates”.» La Carla em deixés de pensar en els bebès operats a la panxa va de mirar sorpresa, amb cara de no entendre’m, i amb la mare, els vaixells a l’Antàrtida o els ordinado rs un gran somriure em va dir: «No sé qui t’ha ficat de les escoles d’Àfrica. aquesta idea al cap, però això és una gran mentida.

Segon dia de classe de «mates». La Carla va arri- I tant que serveixes, és més, et prometo que aquest bar, somrient, va saludar a tothom, perquè ja s’hav ia curs aprendràs “mates”, hi jugaràs i t’agradaran.» après els nostre noms i, tot seguit, va dir: «Marta, Crec que ja us he dit que a aquesta noia li faltava ens pots explicar què és el que més t’ha agradat de un cargol.

Jo no sé explicar què va passar, però aquesta mestra, amb el seu entusiasme, amb la seva alegria, amb les seves respostes quan li preguntàvem qualsevol dubte i amb els ànims que ens dona va va aconseguir que les de «mates» fossin les class es més divertides de tot el curs i, tatxan!, vaig treu re un 8! Ara sí que flipeu, oi?

Doncs encara al·lucinareu més quan us digui que vaig triar el batxillerat científic i… acabo de començar la carrera d’Enginyeria de telecomunicacions. És difícil, em costa, he d’estudiar molt , però m’agrada molt. De gran vull treballar fent aplicacions de mòbil per a temes relacionats amb la salut. I ara sé que sí que serveixo.

Paz

Morillo Bosch és llicenciada en Matemàtiques per la UB i docto ra per la UPC. Des que va acabar la carrera treballa com a professora a l’Escola Tècnica Superior d’Enginyeria de Telecomun icacions de Barcelona, on ha fet classes de totes les assignatur es de matemàtiques. Ha dirigit diversos treba lls de fi de grau, de màster i tesis doctorals. L’any 1992 va crear el grup de recerca de Matemàtica Aplicada a la Criptografia.

Ha estat responsable d’igualtat a l’ETSETB dura nt quatre anys i, des de l’any 2018, dirigeix el projecte «Una enginyera a cada escola», que té per objectiu trencar estereotips de gènere.

81