Cap a 2n d'ESO. Matemàtiques

Cap a 2n d’ESO

Refresca

el que has ap r è s a 1r

d’ESO

MATEMÀTIQUES

Què trobaràs en aquest quadern?

Refresca els teus coneixements de càlcul, àlgebra, geometria, mesura, estadística i probabilitat d’una manera pràctica i amena per començar el pròxim curs amb bon peu.

Els continguts s’agrupen en sis setmane s de cinc dies . Per facilitar-te la gestió del temps , cada setmana s’especifiquen les pàgines que pots fer diàriament.

Cada setmana comença amb un enigma . El sabràs resoldre?

I, per saber com vas de matemàtiques, resol les activitats de les pàgines següents.

I, a més a més, practica una mica més amb les seccions El Repte , Crea el teu propi problema! i Sense calculadora .

I, si algun contingut et costa una mica, no et preocupis: et donem pistes !

Experimenta cada setmana el desafiament de noves situacions d’aprenentatge !

El solucionari és al final del quadern. Utilitza’l correctament i procura de no mirar-lo fins que no hagis fet les activitats.

I, quan et vingui de gust, pots llegir les curiositats o fer els passatemps que trobaràs en el Calaix de sastre (en les últimes dues pàgines de cada setmana).

2 4 5 3DIA

ELS 4 QUATRES

Recorda la prioritat de les operacions!

Usa els parèntesis!

En algun cas hi ha més d’una solució!

HO RESOLS?

Amb 4 quatres, la suma, la resta, la multiplicació i la divisió, sabries trobar els nombres de l’1 al 9?

∞ 0 = 4 + 4 – 4 – 4 = 44 – 44 = (4 – 4) · 4 · 4

∞ 1 =

∞ 2 =

∞ 3 =

∞ 4 =

∞ 5 =

∞ 6 = 4! : 4 + 4 – 4

∞ 7 =

∞ 8 =

∞ 9 =

T’atreveixes a arribar fins al 20?

NOMBRES NATURALS I DIVISIBILITAT

1. Aplica les propietats de les operacions i omple els espais buits:

a) 2 + = 3 + 2 = 5

b) (2 + 3) + = + (3 + 5)

c) 3 + = 3

d) · 5 = · 3 = 15

e) (2 · 4) · = · (4 · ) = · 3 = 2 · 12 =

f) 5 · = 5

g) 9 · ( + 3) = · 2 + · 3 = 18 + =

PISTA!

Commutativa de la suma

Associativa de la suma

Existència d’element neutre de la suma

Commutativa del producte

Associativa del producte

Existència d’element neutre del producte

Distributiva de la suma respecte al producte

2. Omple els espais buits i escriu quina propietat apliques:

a) 5 + 2 = 2 + =

Propietat

b) 2 + ( + 4 ) = ( 2 + 3) + Propietat

c) 3 · ( + 4 ) = ( 3 · 4 ) + ( · 5 ) = 12 + =

d) 4 + = 5 +

3. Aplica la propietat distributiva i resol:

a) 2 · (6 + 5) = + =

b) 3 · (1 + 4) = + =

c) 3 · (3 + 4) = + =

Propietat

Propietat

d) 4 · (1 + 2) = + = e) 1 · (2 + 5) = + = f) 5 · (3 + 4) = + = g) 2 · (1 + 1) = + = h) 3 · (5 + 2) = + =

4. Fes aquestes operacions amb nombres naturals:

a) 16 – 4 · 3 =

b) 83 + 12 · 4 – 9 = c) (15 – 9) · 8 : 6 = d) (3 + 4) · 25 – (32 + 28) =

5. Afegeix els parèntesis que calgui perquè aquestes operacions siguin correctes:

a) 5 + 2 · 3 = 21 b) 5 · 4 – 2 · 3 = 30 c) 15 – 6 · 8 = 72 d) 8 + 10 : 7 +

6. A la piscina de nens hi caben 7 grups de 4 gandules i a la piscina de grans, 8 grups de 4 gandules. Quantes gandules hi ha entre les dues piscines?

2 4 5 3

7. Tria l’expressió numèrica que correspon a cada enunciat: (33 – 12) · 2 33 + 12 – 2

a) Per al juliol es van inscriure a les colònies d’estiu 33 alumnes d’un institut i per a l’agost, 12 més. A l’agost, però, n’hi va haver 2 que van anul·lar la inscripció. Quants alumnes van anar de colònies finalment?

b) 33 nois s’han inscrit en un curs d’estiu d’anglès. Al maig s’hi ha vien inscrit 12 noies, però al mes de juny ja s’havia doblat aquesta xifra. Quants nois i noies s’han inscrit en el curs d’anglès en total?

c) En unes colònies s’hi han apuntat 33 nois i 33 noies d’entre 12 i 13 anys. De nois, n’hi ha 12 que tenen 12 anys i, de noies, el doble. Quantes noies tenen 13 anys?

d) En un curs d’estiu de francès bàsic s’hi han apuntat 33 nois i noies en total i en el nivell intermedi, 33 més. En els dos cursos hi ha la mateixa proporció de nois que de noies. Si en el nivell bàsic hi ha 12 nois, quantes noies hi ha entre els dos grups de francès?

8. Un pagès ha venut 75 kg de tomàquets, a 2 €/kg, i 38 kg de pebrots, a 3 €/kg. Quant ha obtingut per la venda de la mercaderia? Tria la resposta correcta:

(75 + 38) · 2 + 3

(75 + 38) · (2 + 3)

9. Disposem de dos camps de conreu amb 15 i 20 pomeres, respectivament. Esperem obtenir 35 kg de pomes per arbre. Envasarem la producció en caixes de 10 kg cadascuna i les vendrem per 4 €. Quants diners esperem ingressar per la producció dels dos camps? Tria la resposta correcta:

15 + 20 · (35 : 10 · 4)

(15 + 20) · 35 : 10 · 4

15 + 20 · 35 : 10 · 4

75 · 2 + 38 · 3

1. En un laboratori farmacèutic s’emmagatzemen les capses de medecines en 100 calaixos. A dins de cada calaix hi ha 20 separadors i en cada separador hi ha 20 capsetes, que contenen 20 pastilles cada una. Quantes pastilles hi ha en aquest laboratori?

PISTA!

ba base exponent

2. Expressa en forma d’una única potència:

a) 44 · 45 : 43 =

b) (62 · 63) / 30 =

PISTA!

c) 86 : 82 · 84 =

d) 74 · 75 · 72 · 73 =

N · 10a exponent enter potència de 10 decimal amb la part entera de l’1 al 9

e) (52 · 53 · 52 · 5) / 57 = f) 86 : 82 · 34 =

3. Expressa aquests nombres en notació científica:

∞ 1.000.000 = 1 · 106 ∞ 220.000 = 2,2 · 105

a) 90.000.000 = c) 453.000.000 =

b) 257 = d) 2.235,4 =

4. Saps quina és la distància entre la Terra i el Sol?

Esbrina-ho i expressa-la en quilòmetres. Després, escriu-la en notació científica.

5. Investiga la superfície que ocupa l’Antàrtida i expressa-la en quilòmetres quadrats. Després, escriu-la en notació científica.

∞ Quina és la superfície de Catalunya? Expressa-la en quilòmetres quadrats. i en notació científica.

∞ Ara, compara les àrees de l’Antàrtida i Catalunya. Quantes Catalunyes caben a l’Antàrtida?

2 4 5 3

SISTEMA DE NUMERACIÓ ROMÀ

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1.000

• No es poden escriure més de tres lletres iguals seguides.

• Quan les lletres I, X i C estan situades a l’esquerra d’una altra lletra de més valor, el valor d’aquelles es resta del valor d’aquesta.

6. Expressa en nombres romans la teva data de naixement:

7. Escriu en nombres romans l’any corresponent als invents o descobriments següents:

James Watt màquina de vapor

Alessandro Volta pila (bateria elèctrica)

SENSE CALCULADORA

Antonio Meucci telèfon

Alexander Fleming penicil·lina

8. Escriu els nombres següents en el sistema de numeració romà:

a) 254

b) 3.250

c) 459

d) 89

Resol mentalment aquestes qüestions i anota el temps que hi has dedicat. Si tens un cronòmetre, el pots posar en marxa abans de començar.

a) La Marina ha arribat a casa 3 hores després que en Joan. En Joan ha arribat 2 hores després de les 9. A quina hora ha arribat la Marina?

b) Un pagès ha planta t tomaqueres en 3 terrenys. En cada terreny hi ha plantat 10 files, amb 8 tomaqueres en cada una. Quantes tomaqueres ha plantat?

c) Tenim 150 botons distribuïts en 5 capses iguals que contenen 3 bosses de botons cada una. Quants botons hi ha en cada bossa?

9. Descompon aquests nombres en factors primers i calcula’n el mínim comú múltiple i el màxim comú divisor:

∞ 60 i 42

60 = 22 · 3 · 5

MCM (60, 42) = 22 · 3 · 5 · 7 = 420

a) 30 i 25

42 = 2 · 3 · 7

(60, 42) = 2 · 3 = 6

b) 36 i 81

10. Aplica els criteris de divisibilitat i indica si els nombres següents són divisibles per 2, 3, 5 i 10:

a) 1.324 b) 3.300 c) 945

11. L’Ajuntament de Banyoles està rehabilitant un passeig i hi vol posar papereres cada 90 m i fanals amb leds cada 70 m. Si a l’inici del passeig hi posa una paperera i un fanal, al cap de quants metres tornaran a coincidir una paperera i un fanal?

12. El menjador d’una pizzeria fa 5 m de llarg i 6 m d’ample. Les rajoles del terra són quadrades. Si no han tallat cap rajola, creus que les rajoles poden fer 20 cm de costat? I 30 cm? Quant mesuraran les rajoles més grans que hi podran posar sense haver-les de tallar?

Quants centímetres de cinta es necessiten per empaquetar una capsa de 15 cm × 15 cm × 30 cm com la de la figura?

NOMBRES ENTERS

1. Expressa les situacions següents amb un nombre enter:

a) La temperatura a Sant Petersburg el 5 de gener va arribar a 25 °C sota zero. °C

Nombres enters

Nombres negatius

Nombres naturals (positius)

b) La Carla deu a en Víctor 250 €. Està en números vermells. €

c) Euclides, el pare de la geometria, va néixer 325 anys abans que Jesucrist. aC

d) Bill Gates, el creador del sistema operatiu Windows, va néixer 1.955 anys després que Jesucrist.

2. En un videojoc d’estratègia els jugadors guanyen i perden una moneda anomenada indi. Si la Carla la setmana passada va guanyar 35 indis i aquesta n’ha perdut 40, quants indis té?

3. El deute d’un poble de 1.200 habitants és tan elevat que es calcula que cada ciutadà deu 400 €. Quin és el deute total? Expressa el resultat amb un nombre enter.

4. Resol les qüestions següents:

a) Escriu un nombre enter que sigui més gran que –2 i més petit que 3.

b) Ordena del més petit al més gran els nombres –12, 4, 6, –6, 14 i –17.

c) Representa en aquesta recta real els nombres de l’apartat anterior.

5. L’any passat la temperatura més baixa a l’Antàrtida va ser de –89 °C, mentre que a l’Àrtic la mínima absoluta registrada va ser de –67 °C. A quina de les dues zones es va arribar a una temperatura més baixa?

6. La Laia fa volar un estel vora la platja. L’estel està a 50 m per sobre de la superfície del mar. De cop i volta, la Laia es fica a l’aigua i decideix submergir-se 15 m amb l’estel ben agafat. A quina altura sobre el nivell del mar es trobarà ara l’estel si la longitud del cordill no varia?

7. Resol aquestes situacions:

∞ Tinc 5 € i me’n donen 3. Per tant, +5 + (+3) = +8; tinc 8 €.

Dec 5 € a en Pau i 3 € a en Jordi. Per tant, –5 + (–3) = –8; dec 8 €.

a) Tinc 5 € i en dec 3: +5 + (–3) = +2. Quan pagui el deute, tindr é €.

b) Tinc 3 € i en dec 5: +3 + (–5) = –2. Quan hagi pagat una part del deute, encara deuré €.

8. La Paula estiueja a la Costa Brava i ha estalviat durant tot l’any per poder pagar-se les seves despeses a l’estiu. Per controlar els seus ingressos i les seves despeses, vol omplir la taula següent.

Ajuda-la a completar-la.

Concepte

Valor (€) Diners disponibles

Estalvi acumulat durant l’any +580 +580

Patins en línia –125 +455

Quadern d’estiu per repassar –12

Decoració i menjar per a la festa d’aniversari –283

Regal de la tieta Maria +100

Excursió amb els amics –50

Regal dels pares +125

9. Dues avionetes sobrevolen una platja on es practiquen diferents tipus d’esports aquàtics: navegació en caiac, esquí i busseig.

a) Una avioneta es troba a 750 m sobre el nivell del mar i l’altra a 450 m. Quina diferència d’altitud hi ha entre l’avioneta que vola més alt i el caiac?

b) Dos bussejadors es troben a 16 m i a 25 m, respectivament, sota el nivell del mar. Indica amb nombres enters l’altitud de cada un.

c) Quina és la diferència entre l’altitud de l’avioneta que vola més baix i la del bussejador que es troba més a prop de la superfície?

10. Resol aquestes operacions combinades amb nombres enters:

a) 9 : (–7 + 10) −2 · (–5) =

b) –14 : (–2) + (–2) · (5 − 7) =

c) 9 : (–3) – 3 · [–8 − (–10)] =

2

4 5 3

d) [–91− (–1)] : [8 + (–10)] · (–2) =

11. Un submarí que es troba a la superfície de l’oceà Índic s’immergeix a una velocitat de 8 m per minut. Expressa amb un nombre enter l’altitud del submarí 5 minuts després d’iniciar la immersió. Expressa, també, l’altitud del submarí mitja hora després d’iniciar la immersió.

12. Escriu i resol l’operació combinada que expressa aquesta situació:

SENSE CALCULADORA

La Irene compra cada dia de la setmana (de dilluns a divendres)

4 diaris, que costen 1,3 € cadascun, i 10 entrepans per als monitors del gimnàs, que costen 3 € cadascun. La Irene es pregunta quants diners gasta cada setmana en aquestes compres.

Resol les qüestions següents:

a) Un submarinista es troba a 14 m sota el nivell del mar i vol baixar fins a 53 m. Explica quina operació amb nombres enters cal fer per determinar quants metres més ha de submergir-se i escriu el resultat.

b) Un avió que es troba a 9.500 m de terra vol estabilitzar-se a 3.650 m. Explica quina operació cal fer per determinar els metres que haurà de baixar l’avió i escriu el resultat.

1. Un conegut youtuber ha penjat aquesta setmana 6 vídeos cada dia, els quals han rebut, de mitjana, 3.000 «likes» i 1.200 «dislikes». La plataforma li paga 5 cèntims per cada «like» i n’hi descompta 2 per cada «dislike».

a) Quant cobrarà pels vídeos d’aquesta setmana en concepte de «likes-dislikes»? Fes els càlculs en cèntims i després passa’ls a euros.

b) A més, cobra 20 cèntims per cada 10.000 visualitzacions dels seus vídeos. Si aquesta setmana han visualitzat els seus vídeos 10 milions de persones, quant cobrarà per aquestes visualitzacions?

2. A la mar Mediterrània hi ha un vaixell enfonsat situat a 242 m de profunditat. Un avió que vola a 8.145 m sobre el nivell del mar passa per damunt del lloc on hi ha el vaixell. Quina distància hi ha entre l’avió i el vaixell?

REPTE!

Completa la piràmide següent tenint en compte que cal operar amb els nombres contigus. Comença per les files inferiors i ves escrivint els resultats en les files superiors successives.

2 4 5 3

ORGANITZEM UNES VACANCES

Aquest estiu, en Víctor i en Marc faran un viatge de 8 dies a Polònia. Per fer una estimació dels diners que es gastaran, cada un ha elaborat un pressupost:

Concepte

Víctor Marc

Bitllets d’avió 550 €/persona

Despeses totals en benzina i en peatges 380 €

Despeses en activitats i compres 70 € diaris/persona 80 € diaris/persona

Hotel *** (1 habitació per 2) 60 € diaris

Apartament amb cuina 80 € diaris

Despeses en alimentació (dinar i sopar) 50 € diaris 25 € diaris

Despeses en targetes de transport públic 25 €/persona 25 €/persona

1. Quant suma el pressupost per persona de cada amic? Quin és el pressupost més baix? Quina és la diferència entre els dos pressupostos?

2. A partir dels dos pressupostos, indica breument quines són les diferències principals entre el viatge que ha planificat en Víctor i el que ha planificat en Marc; per exemple: on dinaran, on dormiran, etc.

3. Polònia, tot i ser un país de la Unió Europea, té la seva pròpia moneda: l’zloty. El canvi fa que, per cada euro, et donin, aproximadament, 4 zlotys. Quin és el preu en zlotys de la targeta de transport públic durant 8 dies?

4. Finalment, els dos amics han decidit fer la modalitat de viatge que ha planificat en Marc. Cada un porta els diners calculats segons aquest pressupost i 150 € més per a imprevistos. Quants zlotys ha de portar cada un?

5. Han planificat la ruta amb cotxe per tal de trobar una àrea de descans amb restaurant cada 30 km i una benzinera cada 50 km. Cada quants quilòmetres trobaran una àrea de descans amb restaurant i benzinera?

6. A Varsòvia, en Marc i en Víctor han comprat diversos regals:

Samarreta: 72 zlotys

Sabates: 120 zlotys

Llibre de fotografies: 60 zlotys

Embotit tradicional: 48 zlotys

• Quants euros s’han gastat en regals entre tots dos?

7. Durant la visita a Varsòvia han visitat el centre Copernicus, dedicat a la difusió de la cultura científica. A l’entrada hi ha un missatge molt curiós; per llegir-lo, cal resoldre diferents operacions i substituir el resultat per la lletra corresponent.

1. 43 – 5 · 4

2. 70 : (8 + 2 · 3)

3. 68 – (7 · 8)

4. 3 · (2 – 1 + 3) · (4 + 3 – 6)

5. (9 – 4 · 2) · (36 : 12)

6. 5 · 3 + (54 – 6 · 9)

7. 25 : 5 + 2 · 4

8. 24 : (5 + 3 – 2) + 1

8. A la façana de diversos edificis històrics de Cracòvia hi ha inscripcions en nombres romans amb l’any de construcció. Ajuda en Marc i en Víctor a interpretar aquestes inscripcions:

a) Castell de Wawel: MXXXVIII

b) Catedral de Wawel: MCLIV

c) Església de Santa Anna: MCCCLXXIX

d) Sukiennice (mercat d’artesans renaixentista): MDLV

2 4 5 3DIA

EL ROBOT

Al casal d’estiu estem construint un robot que és capaç d’avançar per un laberint. El monitor ens ha explicat que farem servir un llenguatge de programació molt senzill: només cal indicar al robot les coordenades cartesianes. Sembla fàcil; de fet, és gairebé com jugar al joc d’enfonsar vaixells.

1. Per practicar amb aquest llenguatge de programació, hem construït un plànol en què hem representat dos pobles, unes piscines públiques i una zona d’oci amb cinemes. Tambe hi hem representat un riu que es pot travessar per dos ponts i una serie de camins.

Pont

Camí Rius

a) Indica les coordenades del punt taronja, del blau, del vermell i del verd.

b) Quines indicacions cal donar a una persona que vulgui anar des del punt blau (la piscina) fins al verd (el cinema)?

c) Completa aquestes indicacions fent servir les direccions N, S, E i O per guiar la Carla fins als cinemes:

Surt de la piscina i pren la direcció . Avança 200 m i gira en direcció . Avança 500 m i tomba en direcció . Avança 200 m i gira en direcció . Avança 200 m més i gira en direcció . Seguidament, avança 1.200 m, travessa el pont i ves en direcció i avança 300 m.

2. Una manera molt útil d’indicar rutes al robot consisteix a utilitzar nombres enters i una quadrícula. Es tracta de situar-se en el punt de partida i expressar el desplaçament mitjançant el codi següent:

1r 2n

Indicar quants quadradets cal avançar horitzontalment. Quan s’avança cap a la dreta (l’est), es fa servir el signe positiu, i quan s’avança cap a l’esquerra (l’oest), el signe negatiu.

Indicar quants quadradets cal avançar en vertical. Quan s’avança cap amunt (el nord), es fa servir el signe positiu, i quan s’avança cap avall (el sud), el signe negatiu.

a) Observa el gràfic de la dreta i completa la frase següent:

Per anar del punt blau (+3, +1) al punt vermell ( , ) cal avançar 5 quadradets cap a l’esquerra i quadradets cap amunt. Per tant, el desplaçament és (–5, ).

b) Indica el desplaçament que cal fer per anar del punt vermell al verd.

3. Situa en els eixos de coordenades anteriors el punt A (+2, –2). Després, situa-hi el punt B. Per fer-ho segueix aquestes instruccions:

• Des del punt A, desplaça’t 2 unitats cap al sud i després 3 unitats cap a l’est.

• Codifica el punt B en relació amb els eixos de coordenades.

4. Com indicaries amb aquest sistema de codificació el desplaçament que cal fer, en la primera activitat, per anar del punt blau al punt verd?

SASTRE

EL QUADRAT MÀGIC DE LA FAÇANA DE LA PASSIÓ DE LA SAGRADA FAMÍLIA

Mentre es contempla la façana de la Passió i tot el conjunt escultòric de Subirachs, més d’una vegada, el visitant se sorprèn en descobrir uns nombres encreuats dins d’un quadrat i es pregunta: «Què signifiquen aquests nombres?».

En realitat, es tracta d’un quadrat màgic, però un de força especial.

Un quadrat màgic és la disposició d’una sèrie de nombres situats dins d’una graella quadrada de tal manera que la suma dels nombres per files, columnes o diagonals és la mateixa. Aquesta xifra resultant és el que s’anomena constant màgica del quadrat.

Els quadrats màgics possibles comencen amb el de 3 x 3, ja que el de 2 x 2 no té solució possible i el d’1 x 1 no té sentit.

Normalment, es tracta de col·locar els nombres enters i correlatius fins a completar la graella; és a dir, en un quadrat de 3 x 3 hi hauria els nombres des de l’1 fins al 9, i en un quadrat de 4 x 4 hi hauria els nombres des de l’1 fins al 16. Amb aquestes regles de partida, la constant màgica no es pot triar i depèn de la suma de tots els nombres utilitzats. Per exemple, en un quadrat màgic de 3 x 3, en què la suma «1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45», cada fila, columna o diagonal suma 45/3 = 15; en un quadrat màgic de 4 x 4, en què la suma de tots els nombres de l’1 al 16 és 136, la constant màgica és 136/4 = 34. D’aquesta mateixa manera, en un quadrat de 5 x 5, la constant seria 65; en un de 6 x 6, 111, i en un de 7 x 7, 175.

Blog de la Sagrada Família: https://blog.sagradafamilia.org/divulgacio/quadrat-magic-facana-passio-totes-claus-entendrel/

1

Fixa’t en aquest quadrat màgic!

En sabries fer un tu?

Constant màgica! 2 + 7 + 6 = 15 15 15 2 7 6 9 5 1 4 3 8 15 15 15

2 I d’ordre 4, t’hi atreveixes?

EL ROMANESCO ÉS FRACTAL!

Parlant de quadrats, vols fer una fractal?

a) Agafa un full quadriculat i pinta-hi una figura com aquesta (fes-ho 8 vegades).

b) Retalla les figures i enganxa-les d’aquesta manera. Obtens la primera iteració.

c) Vols fer la segona iteració? Vinga! Som-hi!

SOLUCIONARI

Refresca el que has après a 1r

ELS NOMBRES I EL CÀLCUL DEIXARAN DE SER UN PROBLEMA PER A TU.

En aquest quadern trobaràs activitats ben diverses que et serviran per practicar, repassar i millorar tot allò que has après i preparar - te per al curs vinent.

Altres propostes per continuar repassant: