Inicios del conteo

NOSOTROS

LOSNIÑOSYLOSNÚMEROS

Virginia Ferrari

En el número de abril de Correo del Maestro iniciamos esta serie de artículos1 en torno a la numerización temprana. En él hicimos referencia a la importancia de estimular el aprendizaje del número en los niños desde muy temprana edad y de aprovechar en la enseñanza escolar el bagaje de palabras, expresiones y primeras nociones matemáticas que el pequeño adquiere en contacto con el medio familiar y cultural. En aquel texto planteamos, de manera muy general, la distinción entre saber la “cancioncilla numérica”, esto es, la serie numérica oral, y saber contar. Asimismo, hicimos un primer acercamiento a los principios (llamados de Gelman y Gallistel) que están en la base del conteo. Las actividades propuestas estuvieron dirigidas a apoyar a los colegas educadores en la tarea de despertar la conciencia en los padres de familia: hacerles ver que muchas de las primeras nociones matemáticas están incluidas en la vida y el lenguaje cotidianos, por lo que los niños las adquieren culturalmente antes de ingresar a la escuela; y destacar la ventaja que para los pequeños puede significar en su aprendizaje haber sido estimulados en el hogar.

En esta segunda entrega nos detendremos en los inicios del conteo. Haremos una descripción de las características del niño que se encuentra en esta etapa y propondremos algunas actividades de trabajo en clase.

Recitar y contar

Al poco tiempo de haber empezado a adquirir el lenguaje,los niños aprenden en el medio familiar lo que se conoce comúnmente como ‘contar’.Los investigadoresen matemática educativa y psicología educativa diferencian esta acción del ‘verdadero contar’.

A la actividad de los niños de ‘recitar’ los números: uno,dos,tres… sin que estas palabras se correspondan con una cantidad,la denominan de distintas maneras; ‘contar-numerar’,‘decir la cancioncilla numérica’,‘pronunciar las palabras-número’, ‘decir la secuencia numérica hacia delante’,son algunas de ellas.

1 Véase:Virginia Ferrari,“Los niños y los números.Cómo podemos ayudar”, Correo del Maestro,núm.143, año 12,abril de 2008,pp.5-9.

Recuadro 1

Principios de Gelman y Gallistel

1. Principio de orden constante.

El niño debe respetar el orden establecido de la secuencia numérica oral, esto es: uno, dos, tres, cuatro… sin omitir ni repetir ninguna de las palabras numéricas.

2. Principio de correspondencia biunívoca. Al contar, el niño tiene que establecer la correspondencia uno a uno entre la palabra numérica que va pronunciando y cada uno de los objetos que va a contar, sin saltarse ninguno y sin repetir ninguno (sin importar que los objetos estén ordenados en una línea o desparramados, y sin importar por cuál empieza).

3. Principio de cardinalidad. Este principio hace referencia a que la última palabra numérica enunciadaal contar, la que corresponde al último objeto contado de la colección, es la que indica la cantidad total de objetos. Es probable que este requisito sea el más difícil de lograr, pues es, a la vez, el más abstracto. Implica que la última palabra numérica pronunciada pase de correspondera un solo objeto, a designar a todos juntos, es decir, a la colección.

El verdadero hecho de contaro,simplemente,contar,es un proceso muy complejo que incluye mucho más que la simple repetición de la secuencia numérica oral.Implica,para hacerlo de manera adecuada,haber adquirido,entre otras cosas,los principios de Gelman y Gallistel,que mencionamos en el artículo anterior y que,para facilidad del lector,reiteramos en el Recuadro 1 (izquierda).

El orden constante

Pero entonces cabe preguntarse:si el niño que sabe la cancioncilla numérica en realidad no sabe contar,¿es conveniente que la aprenda desde pequeñito?,¿no sería mejor esperar a más adelante,cuando tenga las habilidades necesarias para adquirir los principios requeridos?

Como mencionamos,el niño aprende a recitar los números desde pequeño sin que haya habido una enseñanza sistematizada.Podríamos decir que este conocimiento se da de manera natural en la convivencia cotidiana. Aun cuando los adultos que rodean al niño tenganla intención de enseñar la cancioncita numérica,por lo general su propósito es el mismoque el que se tiene cuando se enseñan otras palabras o canciones.Se trata,ante todo,de un juegode memorización y pronunciación de palabras,no de una intención de enseñar las primeras nociones matemáticas.

Sin embargo,lejos de ser algo banal o inútil, se está proporcionando al niño una base de extraordinario valor para el aprendizaje de lo que hemos llamado contar,que deberá enseñársele en la escuela. ¿Por qué el recitado de las palabras-número es una base para el conteo?,¿de qué manera facilita su adquisición? Recordemos que uno de los requerimientos para contar adecuadamente

es mantener el ordenconstante.Para poder contar bien,el niño debe decir correctamente la secuencia numérica oral,peropara ello es entonces necesario que la haya memorizado.De no ser así, cometerá errores como cambiar el orden,omitir o repetir algún número.Memorizar la cancioncita numéricalleva tiempo y un gran esfuerzo por parte del niño,y si bien varía con cada uno,podemos asegurar que no es de un día para otro.Primeromemorizará,por ejemplo,del 1 al 3,luego del 1 al 5, del 5 al 10,dependiendo de su particularidad.Cuandoson pequeños, es de esperar que haya diferencias notorias entre los niños,lo que constituye una característica de los que llegan a los primeros grados de preescolar.

La tarea del maestro será,pues,ayudarlos a avanzar en esta adquisición a través de múltiples canciones,rimas y actividades que impliquen repetir la secuencia numérica oral individual y colectivamente.Y, como señalamos en el artículo anterior,apoyándose en los padres de familia para que en el hogar también se insista en esta repetición.

La correspondencia biunívoca

En la acción de contar,la correspondencia biunívocase establece cuando se hace coincidir la palabranúmero con el objeto contado.Es decir,en el mismo momento en que el niño toca un objeto debe decir, a la vez y en voz alta (para que el maestro lo oiga ypueda saber si estárepitiendo la secuencia numérica oral correctamente),la palabra numérica correspondiente.

En los inicios,los niños suelen cometer una gran cantidad de errores al contar los objetos de una colección.Por lo general,repiten la cancioncita numérica mucho más rápido de lo que coordinan el movimiento de la mano para tomar un objeto o el del dedo índice para señalarlo.Muchas veces esto va acompañado de señalar los objetos Recuadro 2

Correspondencia biunívoca

Se puede abordar la definición de este concepto desde distintos puntos de vista. Hemos elegido hacerlo a partir de las relaciones.

Supongamos que tenemos dos conjuntos (I), que llamaremos A y V, y que establecemos una relación entre sus elementos. Esto significa que formamos pares, donde el primer elemento de la pareja es del conjunto A, y el segundo elemento, del conjunto V. (II)

Esto siempre se puede hacer, eventualmente repitiendo elementos de uno u otro conjunto. Por ejemplo, si los elementos de A son a, b, c; y los de V son w, z, se pueden formar 6 parejas: (a,w); (a,z); (b,w); (b,z); (c,w); (c,z).

Es claro que estas relaciones se pueden establecer entre conjuntos con cualquier cantidad de elementos.En realidad la cantidad misma no importa, lo que importan son las parejas.

Observe que si en las parejas tomáramos en primer lugar los elementos de V y luego los de A, tendríamos otra relación, muy vinculada con la anterior, pero distinta.

En las relaciones que nos interesan, debemos prestar atención acómo vamos eligiendo los elementos de uno y otro conjunto pues puede suceder que tomando un elemento por vez del primer conjunto podamos ir eligiendo cada vez uno distinto del segundo, hasta agotar simultáneamente

(Continúa en la pág. 8)

(Viene de la pág. 7)

ambos conjuntos. Esto no es lo que sucede en el ejemplo anterior, pues luego de tomar, por ejemplo (a,w); (b,z), ya no tendremosmás elementos distintos para elegir en V, mientras que aún nos queda el elemento c en A. (III)

Si en una relación el proceso de elección anteriormente descrito agota simultáneamente ambos conjuntos, se dice que se tiene una correspondencia biunívoca o una relación uno a uno.

La propiedad característica es que se pueden formar pares en los que participantodos los elementos de ambos conjuntos, sin repetirse elementos de ninguno de los dos conjuntos.

A efectos de ejemplificar con el mismo tipo de diagramas, tomemos los conjuntos A y H. (IV)

En esta definición es claro que no importa cuál de los dos conjuntos se toma en primer lugar, pues la propiedad es claramente reversible: se puede ir de A hacia H o de H hacia A, manteniendo la propiedad característica. Es por ello que se dice que la relación o función establecida es invertible. (V)

Un ejemplo sencillo de correspondencia biunívoca es el que asigna a cada ciudadano de un país el número de su documento de identidad. Cada ciudadano tiene un único número e, inversamente, cada número corresponde a un ciudadano. Naturalmente, estamos suponiendo que impera la legalidad y no hay documentos falsificados.

Roberto Markarian

Doctor en Matemáticas desordenadamente,omitiendo alguno,contando algún otro más de una vez o,incluso,contando los espacios entre ellos.Parecería que para el niño se tratara de dos acciones independientes,una especie de juego en el que sólo tiene que repetir lo que ya sabe a la vez que mueve la mano sobre las cosas.

Por ello,para facilitar la adquisición del principio de correspondencia biunívoca, sugerimos realizar algunas actividades en las que los niños tengan que pasar por la experiencia de establecer la correspondencia uno a uno a través de la actividad motora que involucre distintas partes de su cuerpo.

Para proponer estas actividades,es necesario que los docentes tengamos claro qué es una correspondencia,y que no todas son biunívocas. Para ello,sugerimos leer cuidadosamente el Recuadro 2 con el texto del matemático Roberto Markarian (pp.7-8).

Una forma en que entre nosotros,entre maestros,solemos ilustrar este contenido matemático es mediante diagramas y flechas,como los que a continuación presentamos.2

I) Tenemos un conjunto A y un conjunto V:

A

a

b

c

V

w

z

2 Hemos añadido llamadas –números romanos I, II, III,IV y V– al texto citado en el Recuadro 2 para relacionarlo con nuestros diagramas.

II) Podemos establecer una relación formando pares entre los elementos de ambos conjuntos.Tomamos primero un elemento del conjunto A y formamos con él todos los pares posiblescon todos los elementos del conjunto V.Lo vemos claramente si usamos una flecha de un color para cada elemento del primer conjunto.De esta manera,también visualizamos las 6 parejas que se obtuvieron.

III) “En las relaciones que nos interesan,debemos prestar atención a cómo vamos eligiendo los elementos de uno y otro conjunto pues puede suceder que tomando un elemento por vez del primer conjunto podamosir eligiendo cada vez uno distinto del segundo, hasta agotar simultáneamente ambos conjuntos.” (R.M.) Esto no sucede en este ejemplo,pues nos queda el elementoc en A sin uno para elegir en V.

IV) Tomemos ahora otros dos conjuntos a los que llamamos A y H.

A

a

b

c

V

w

z

V) “Si en una relación el proceso de elección anteriormente descrito agota simultáneamente ambos conjuntos,se dice que se tiene una correspondencia biunívoca o una relación uno a uno.” (R.M.)

A

a

b

c

A

a

b

c

A

a

b

c

V

w

z

H

i

j k

H

i

j k

Teniendo presente lo anterior,pensemos actividades en las que sea sencillo para los niños establecer la correspondencia biunívoca.Es importante aclarar que no todas son igualmente esclarecedoras.Así,un ejemplo frecuente de actividad es la de flores y floreros.Si bien es cierto que en la acción de poner una flor enun florero se establece una correspondencia uno a uno,también lo es que en cada florero podemos

poner más de una flor.Por lo mismo,no es un buen ejemplo,puesun niño podría optar por esto último y no sería incorrecto a menos que la instrucción: Pon sólo una flor en cada florero, hubiese sido especificada y el maestro se hubiera cerciorado de que cada alumno la comprendió cabalmente.En tal caso, debemos tener en cuenta que nos estamos refiriendo a niños muy pequeños (de 3 a 5 años),que apenas están aprendiendo a escuchar y a seguir instrucciones.Tampoco serían buenos ejemplos los dibujos que hacen corresponder conjuntos de niños y globos o perros y personas.En estos casos estamos haciendo depender el éxito de la actividad de la comprensión de la instrucción.

Consideramos que en el trabajo con niños muy pequeños es mejor pensar situacionesen las que la correspondencia uno a uno se dé inequívocamente,es decir,que no dé lugar a ninguna otra posibilidad.Es por ello que nos resulta tan esclarecedor y fructífero el ejemplo del doctor Markarian que seencuentra en el recuadro de la página 8.A cada personale corresponde un número de documentode identidady hay un número de documento que corresponde a una sola persona.No obstante,si bien éste es un ejemplo claro para niños mayores y jóvenes,no lo es para los chiquitos que apenas están aprendiendo a contar.Preferimos tomar otroejemplo del mismo autor que sí podemos llevar como actividad al salón de clases:a cada dedo le corresponde una y sólo una huella dactilar,y viceversa,cada huella dactilar corresponde a un único dedo.3 Por eso sirve para identificar a las personas.

Otros ejemplos,quizá no tan ilustrativos como los anteriores,pero muy útiles para el trabajo con niños,serían:a cada dedo de un guante corresponde uno y sólo un dedo de la mano,y viceversa.En un saco o suéter,a cada ojal,un botón, y a cada botón un ojal. A cada cabeza corresponde una gorra.Y a cada persona un par de lentes.Dado un niño,a cada pie le corresponde un zapato y cada zapatova en un pie.A cada frasco su tapa y viceversa.Así,también,si tenemos una huevera y 12 huevos,a cada unode éstos corresponde un lugar de aquélla y en cada lugar podemos poner sólo un huevo.

Los ejemplos anteriores son muy claros,pero tengamos en cuenta que los objetos de un conjunto y otro pueden ser cualesquiera.Lo importante es que las parejasse establezcan uno a uno para que la correspondencia sea biunívoca. Precisamente esto es lo interesante,que las parejas se establezcan independientemente de las clases a las que pertenezcan los objetos de cada conjunto.Así pues, podemos establecer correspondencia biunívoca entre un conjunto de 3 perros y un conjunto de 3 bicicletas,o entre un conjuntode 5 flores y 5 zapatos. A pesar de lo extraño de estos ejemplos,se mencionan para resaltar el hecho de que la cualidad de los objetos no interesa,sino,únicamente,la posibilidad de que

3 R.Markarian, Topología explicada para maestros de primaria (en proceso de edición en Correo del Maestro).

podamos establecer parejas con ellos.Es por esta razón que los maestros podemos pensar muchísimas otras actividades de correspondencia biunívoca.

Sin embargo,reiteramos lo dicho anteriormente.Pensamos que en el trabajo con niños pequeños las actividades tienen que ser de otra índole.Las que estamos proponiendo han sido escogidas por considerar que éstas pueden ser reproducidasen el salón de clases de manera vivencialy significativa para los niños –por tratarse de contextos y objetos de índole cotidiana–,y que priorizan la actividad motora del cuerpo en acciones con material concreto sobre el trabajo con material representativo como puede ser un dibujo,lo cual se recomienda paraun etapa posterior.

Primeras estrategias de conteo

Si bien todas las actividades que sugerimos ayudan a establecer la correspondencia uno a uno entre la palabra-número y el objeto,también debemos tener en cuenta que hay otros factores que pueden entorpecer el desempeño del niño en ella.Se ha observado que resulta aún más difícil cuando los elementos de la colección están desordenados.En estos casos es más probable que el niño cuente un objeto dos veces o que omita alguno.

Para facilitar esta acción es conveniente mostrar al niño ciertas estrategias de conteo como:

1.Poner en fila los elementos que se van a contar,antes de empezar a contarlos.En esta fila,los objetos no pueden estar muy juntos (es conveniente que no se toquen),pero tampoco muy separados. 2 .Ir tomando y separando,uno a uno,los objetos de la colección e ir formando otra.Se le puede sugerir –dependiendo de la edad del niño– que coloque los elementos de la segunda colección en fila o en alguna otra disposición visualmente más ordenada.Esto ayudará a que el propio niño revise si contó bien o no en la primera ocasión,al contar la segunda colección.

Esta operación,que resulta tan fácil,simple y obvia para los adultos,implica una gran dificultad para los niños.No debemos dar por sentado que ellos la adquirirán de manera natural y espontánea,si bien puede suceder que por haber estado más expuestos a experiencias previas de este tipo,algunos la desarrollen con mayor facilidad que otros.Es,pues,el maestro quien debe enseñar a los niños estas estrategias y,de ser necesario,ayudarlos tomándole la mano y contando cada elemento junto con él.Recordemos siempre que la enseñanza-aprendizaje del conteo no es una lección de vocabulario.El niño aprenderá a contar con mayor facilidad si tiene múltiples experiencias de conteo con colecciones de distinta cantidad y variedad de objetos y,en la medida de lo posible,si hace intervenir la actividad con su cuerpo.

Actividades

Antes de comenzar…

En cada una de las siguientes actividades, el maestro debe hacer observar al niño que existe una correspondencia entre las partes del cuerpo y los objetos conlos que va a trabajar. Sin embargo, es importante tener en cuenta que las preguntasque estamos sugiriendo en cada actividad no necesariamente tienen que ser formuladas a los niños, pues las mismas podrían no ser comprendidas, o incluso crear confusión. De acuerdo con la edad de los niños y el nivel de madurez y lenguaje del grupo, el maestro deberá decidir si las plantea o sólo deja que los niños vivencien la actividad.

1. Cabeza-gorra

Sugerimos que el maestro lleve una gorra o unsombrero al salón de clases o pida a los niños que lleven el suyo. Cada niño deberá ponerse la gorra y el maestroles preguntará: ¿Cuántas gorras se pone una persona en la cabeza?, y ¿cuántas cabezas le cabena una gorra? Enseguida, el maestro formará al frente del salón dos conjuntos: uno de cuatrogorras y otro de cuatro niños. Cuando él lo indique, cada niño deberá tomar una gorra y ponérsela.

2. Rostro-anteojos

Lo primero que el maestro debe aclarar es que la expresión usada para designar los anteojos es ‘un par de lentes’, porque el objeto se compone de dos lentes o cristales unidos por un armazón. Los niños dibujarán y recortarán en papel sus propios lentes (se pueden conseguir también de plástico). Se los pondrán sobre la nariz, agarrados a las orejas, y el maestro les preguntará: ¿Cuántos lentes se pone una persona?, y ¿cuántas personas corresponden a un par de lentes? Es importante que el maestro dé prioridad a la acción. Que el niño experimente que sólo se puede poner un par de lentes y que, en este caso, va a haber sóloun par de lentes para él. Ahora el maestro formarádos conjuntos: uno de seis niños y otro de seis paresde lentes al frente del salón de clases. Cuando él lo indique, cada niño deberá tomar un par de lentes y ponérselos.

3. Ojal-botón

Cada niño usará su suéter o saco de la escuela. El maestro les indicará que, así como lo traen puesto, abotonen y desabotonen, uno por uno, todos los botones de su suéter. Entonces les preguntará: ¿Cuántos botones hay para cada ojal?, y ¿cuántos ojales hay para cada botón?

4. Zapato-pie

Los niños harán un círculo sentados en el piso, se quitarán los zapatos y los colocarán delante de ellos. Se pondrán todos de pie y darán una vuelta marchando hasta que vuelvan a llegar cada uno a sus zapatos. Sentados, el maestro les pedirá que levanten un pie y les preguntará: ¿Cuántos zapatos pueden ir en ese pie? Luego, los niños tomarán uno de sus zapatosy lo sostendrán con la mano, el maestro les preguntará: ¿Cuántos pies van en ese zapato? El maestro reforzará: Cada pie en un zapato y un zapato para cada pie, esto se llama hacer una ‘correspondencia uno a uno’.

5. Huella-dedo

El maestro llevará un cojín entintado (usar tinta no tóxica) y, para cada niño, elaborará un álbum con dos cuartos de hoja carta engrapados. Cada álbum llevará el nombre del niño en la portada. El maestro pedirá que cada pequeño entinte su dedo pulgar e imprima su huella en la primera hoja del álbum, debajo de su nombre. Los niños compararánsu huella con la de sus compañeros y verán que todas son diferentes. Enseguida, entintarán los cinco dedos de la mano y pondrán, una a una, las cinco huellas en la segunda página de su álbum. El maestro les explicará que su huella impresa funciona como ‘documento de identidad’, pues cada uno de ellos tiene una huella distinta a las demás, es única y es particular. Cada niño se llevará a casa su álbum personal.

6. Guante-mano

El maestro llevará un guante al salón de clases o pedirá a los niños que lleven su propio guante. Lo importante de este ejercicioes que los niños observen que por cada dedo de la mano hay un dedo del guante, y viceversa. Se les puede repetir a los niños que hay una correspondencia de uno a uno entre los dedos de su mano y los del guante.

7. Frasco-tapa

Llevar al salón ocho frascos iguales de plástico, cada uno con su tapa (se pueden conseguir en las farmacias). Al centro del círculo que formen los niños, el maestro formará un conjunto de ocho frascos y otro de ocho tapas. Pedirá que ocho niños pasen a establecer la correspondencia uno a uno entre frascos y tapas (el orden en que tomen el frasco o la tapa es indistinto, lo importante es que experimenten la acción de establecer la correspondencia). Otros ocho niños pasarán enseguida a destapar y volver a tapar los frascos. El maestro preguntará: ¿Cuántas tapas para cada frasco?, y ¿cuántos frascos le corresponden a cada tapa?

8. Huevos-huevera

Llevar una huevera de cartón y doce huevos de unicel (si la huevera es más grande, sugerimos cortarla y usar un número menor, dependiendo de la edad de los niños). Es importante aclarar que los niños no van a ‘contar’ los huevos, sino únicamente a colocarlos en un hueco de la huevera. Las variantes de esta actividad dependerán de lascaracterísticasde cada grupo.

9. Tazas-platos

Pedir a los niños que lleven a la clase un juego de té (de plástico). Se hará un conjunto de cuatro tacitas y otro conjunto de cuatro platitos. Los niños, a su vez, se sentarán en un grupo de cuatro. El maestro pedirá a los niños que hagan, primero, la correspondencia biunívoca plato-taza por color, y después, la correspondencia platotaza sin importar el color.

Bibliografía BRISSIAUD, Remi, El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y de la teoría de los conjuntos, Visor,

Madrid, 1993. NUNES, Terezinha y Peter Bryant, Las matemáticas y su aplicación. La perspectiva del niño, Siglo Veintiuno

Editores, México, 1997. WRIGHT, R., Ann K. Stafford et al., Enseñar el número a los niños de 4 a 8 años, Correo del Maestro/La

Vasija, México, 2008.