Vector 1 - februari 2018

VECTOR FEBRUARI 2018 - nummer 1

© imaginarymaths.be

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

DE UITDAGING VAN FERMAT AAN TORRICELLI 3 HET REKENWONDER 34 NAAR EEN PLATFORM WISKUNDE VLAANDEREN

37

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut en Vlaamse Wiskunde Olympiade

2

3 DE UITDAGING VAN

FERMAT AAN TORRICELLI DANIËL TANT

DRIEHOEKSMETING 5 INLEIDEN VANUIT EEN HISTORISCHE CONTEXT

INHOUD

HILDE EGGERMONT, ELS VANLOMMEL, LUC VAN DEN BROECK

11 GEOGEBRA VOOR

RUIMTEMEETKUNDE IVAN DE WINNE

HOE BEWAAR JE SAMEN EEN GEHEIM 18 KOEN DE NAEGHEL

24 TOEPASSINGEN VAN

HOGERE AFGELEIDEN GERD HAUTEKIET

USOLV-IT: OEFEN- EN INSPIRATIEPLATFORM 29 MICHIEL DUMON & PAUL IGODT

BESTE LEZER

W

e heten je van harte welkom in de nieuwe Vector.

In één van de artikels lees je straks: ‘Wiskunde is alomtegenwoordig en van vitaal belang’. In Vlaanderen zetten zich al jarenlang heel wat mensen belangeloos in om deze overtuiging ook te concretiseren en te vertalen naar de klas.

O

nze educatieve uitgeverij voert als baseline ‘Onderwijs doet ertoe’. De brandstof van onze medewerkers is het besef dat wat zij doen van onderscheidend maatschappelijk belang is.

T

el 1 en 2 op en je kom uit bij een gemeenschappelijke drive die de basis vormt van deze nieuwe Vector: samen voor een

nog beter Vlaams wiskundeonderwijs. We brengen de didactische inspiratie van de mensen van ‘Uitwiskeling’, afgewisseld met de meer theoretische input van de collega’s van VVWL , en kruiden met enkele individuele bijdragen. Die Keure faciliteert deze bundeling van krachten met haar redactionele en grafische competentie. Het magazine Vector wordt zo een medium dat het Vlaamse wiskundeonderwijs vier maal per jaar een bescheiden steuntje wil geven.

W

e zijn benieuwd om te horen wat je van de nieuwe Vector vindt. Heb je opmerkingen of reacties?

Je feedback is welkom op educatief@diekeure.be.

Veel plezier en inspiratie!

N I C PA P P I J N UITGEEFDIRECTEUR DIE KEURE

32 BEGRIPPEN TELPRO-

BLEMEN EN COMBINATIELEER: POST-IT QUIZ ISABEL GOFFA

HET REKENWONDER 34 MICHEL ROELENS

37 NAAR EEN PLATFORM

WISKUNDE VLAANDEREN

VECTOR 1e jaargang - nummer 1

BART DE MOOR, ANN DOOMS, PAUL IGODT, ERIC JESPERS, SORIN POP, GIOVANNI SAMAEY, BERT SEGHERS, STEFAAN VAES, JORIS VAN DER JEUGT, WIM VANROOSE

VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge

WIN EEN BOEKENPAKKET 47

REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

REDACTIE Tom Harteel, Kathinka Steen, Maaike Spanhove - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.

VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België.

VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge

3 WISKUNDE & ONDERWIJS

DE UITDAGING VAN FERMAT AAN TORRICELLI IN DIT ARTIKEL BEHANDELT DE AUTEUR OPGAVEN DIE IN DE VORIGE EEUW ZELFS TOT NA DE TWEEDE WERELDOORLOG IN HET MIDDELBAAR ONDERWIJS IN DE LESSEN WISKUNDE ZIJN GEBRUIKT. DE HIER OPGELOSTE OPGAVEN ZOUDEN OOK DOOR DE HUIDIGE LEERLINGEN VAN DE 6-8 UREN WISKUNDE GEMAAKT MOETEN KUNNEN WORDEN, EVENTUEEL MET ENIGE HULP OF ALS KLEINE PRAKTISCHE OPDRACHT. MISSCHIEN VINDT U ZE WEL TE DOEN VOOR UZELF, MAAR ALLICHT HEBBEN UW LEERLINGEN EEN ANDERE MENING. DA N I Ë L TA N T

- TA N T. DA N I E L @T E L E N E T. B E - H O O F D R E DAC T E U R VA N ' W I S K U N D E & O N D E RW I J S '

D

e auteur van dit stuk heeft in zijn huis enkele kasten die, tot grote ergernis van zijn echtgenote, volgestouwd zijn met dergelijke opgaven en opdrachten, soms in of net voorbij de rand van de verplichte leerstof en ook gebruikt in toelatingsexamens voor universiteiten.

Indien er positieve reacties komen van geïnteresseerde lezers, dan kan de auteur van dit stuk in de volgende nummers uitpakken met zo’n pareltjes uit de oude doos. Zo kan uw rijke waaier aan onderwerpen en ideeën voor de eigen lespraktijk uitgebreid worden.

We herhalen eerst enkele begrippen en stellingen zonder bewijs, waarop misschien een laagje stof ligt, en die we nodig hebben om de volgende problemen op te lossen.

DEFINITIES Een koordenvierhoek is een vierhoek, waarvan de vier hoekpunten op een cirkel liggen.

Stelling 3 : Als in een vierhoek de som van twee overstaande hoeken 180° is, dan is die vierhoek een koordenvierhoek.

Een omtrekshoek van een cirkel is de hoek gevormd door twee koorden met een gemeenschappelijk eindpunt of gevormd door een raaklijn en een koorde die het raakpunt als eindpunt heeft.

HET PUNT VAN TORRICELLI (Evangilista Torricelli, Italiaans wis- en natuurkundige, 1608-1647) De omgeschreven cirkels van de gelijkzijdige driehoeken, buiten op de zijden van een driehoek beschreven, gaan door één punt T, het zogenaamde punt van Torricelli.

STELLINGEN Stelling 1 : Een omtrekshoek heeft hetzelfde maatgetal als de helft van de boog waar hij op staat.

Stelling 2 : In een koordenvierhoek is de som van de overstaande hoeken gelijk aan 180°.

We bewijzen dat voor een scherphoekige driehoek (zie figuur 1).

4

Dit betekent dat een punt is van de . rechte Analoog is een punt van de rechte en van de rechte .

HET PROBLEEM VAN FERMAT (Frans wiskundige en jurist, 1601-1665) Het volgende probleem werd door Fermat voorgelegd aan Torricelli en door deze laatste opgelost.

Figuur 1: het punt T is het punt van Torricelli

We nemen aan dat de omgeschreven en elkaar cirkels van snijden in . een koordenvierhoek, Dan is waaruit volgt dat = 180° − (wegens stelling 2)

= 180° − 60°

= 120° een koordenEn dan is ook vierhoek, waaruit volgt dat = 180° − (wegens stelling 2)

= 180° − 60°

= 120° = 120°, Dan is ook waaruit + = 180°.

Daaruit volgt (wegens stelling 3) dat een koordenvierhoek is.

Bijgevolg gaat de cirkel door , en đ??ľ en ook door . , We bewijzen nu dat de rechten en uit figuur 1 concurrent zijn in , het punt van Torricelli. = = 60°.

Wegens stelling 1 : = Wegens stelling 2 : = 180° − 60° = 120°.

180° − = + = Hieruit volgt 120° + 60° = 180°.

Waar ligt het punt binnen de , zo scherphoekige driehoek dat de som van de afstanden tot de drie hoekpunten zo klein mogelijk is, m.a.w. zo dat minimaal is?

Men wil drie dorpen , en door een wegennet verbinden, zo dat de totale weglengte minimaal is. Zie figuur 2.

Dit is hetzelfde probleem in een boeiende context geplaatst.

Figuur 3

Merk nu eerst en vooral op dat gelijkzijdig is, hetgeen driehoek (hier van betekent dat het punt van figuur 3) precies het punt figuur 1 is. gelijkEveneens is driehoek = . zijdig, waaruit = = .

Ook is en We tellen die drie laatste gelijkheden lid aan lid op en er komt: op ĂŠĂŠn Dit is minimaal als , en rechte liggen.

Analoog moeten , en alsook , en op ĂŠĂŠn rechte liggen.

Hierbij zijn en de punten en van figuur 1.

Als oplossing van het probleem van Fermat verschijnt hier het punt van Torricelli.

Figuur 2

Oplossing Het resultaat van de draaiing van over 60° om is driehoek đ??´â€˛đ?‘ƒâ€˛đ??ś. Zie figuur 3. driehoek

Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van VVWL

5 UITWISKELING

DRIEHOEKSMETING INLEIDEN VANUIT EEN HISTORISCHE CONTEXT BIJ DE AANBRENG VAN EEN NIEUW BEGRIP IN DE WISKUNDELES VINDEN WE HET BELANGRIJK DAT LEERLINGEN BESEFFEN HOE EN IN WELK HISTORISCH KADER DIT BEGRIP WERD INGEVOERD. BIJ DE GONIOMETRIE MOETEN WE DENKEN AAN DE STERRENKUNDE EN DE LANDMETING ALS OORSPRONG EN BELANGRIJKSTE TOEPASSINGSGEBIED. IN DE LANDMETING KUN JE DE MEESTE AFSTANDEN NOG AFPASSEN MET EEN ROLMETER OF EEN STAPPENTELLER. MAAR IN DE STERRENKUNDE ZIJN DE DRIEHOEKEN ZO GROOT EN ONBEREIKBAAR DAT HET METEN VAN ZIJDEN VAN EEN DRIEHOEK PLAATS MOET MAKEN VOOR HET METEN VAN HOEKEN. WE WERKEN HIER EEN KENNISMAKING MET DE GONIOMETRIE UIT VANUIT EEN HISTORISCH KADER. H I L D E E G G E R M O N T, E L S VA N L O M M E L , L U C VA N D E N B R O E C K

Gelijkvormige driehoeken vormen de basis van de driehoeksmeting. Ze moeten dus behandeld worden vooraleer je de sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek in de klas definieert. Ook de stelling van Pythagoras is één van de steunpilaren die je op voorhand bestudeerd moet hebben. Deze leerstof staat op het programma in het derde jaar.

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

In de volgende werktekst duiken we samen met de leerlingen terug in de tijd en berekenen we o.a. de afstand van de aarde tot de zon zoals Eratosthenes het zou gedaan hebben (Singh, 2005). In een tweede werktekst gebruiken we de verworven kennis om kleinschaligere problemen op te lossen.

L E S AC T I V I T E I T

Ook zonder de goniometrische getallen van een hoek in te voeren, kun je je volledig uit de slag trekken als je een afstand in een driehoek wil berekenen. Maar in dat geval heb je het wel wat moeilijker. Je moet dan telkens de omweg maken langs gelijkvormige driehoeken die je met elkaar vergelijkt. In de geschiedenis heeft men lange tijd op deze omslachtige manier gewerkt. De eerste ‘tafels’ met goniometrische getallen (‘tafels’ zijn een archaïsche benaming voor ‘tabellen’) zijn door Hipparchus van Nicaea gemaakt in 134 v.C. en in de tweede eeuw n.C. uitgebreid door Claudius Ptolemaeus in zijn Almagest.

AFSTAND TOT DE MAAN EN TOT DE ZON VOLGENS DE GRIEKSE FILOSOFEN In de derde eeuw voor Christus slaagde Eratosthenes (°276 v.C.) er in een schatting te maken van de omtrek van de aarde: 250000 stadiën of, in onze lengtematen uitgedrukt, 39250 km. Dit was een goede benadering, als je weet dat de aardomtrek aan de evenaar momenteel geraamd wordt op 40 075 km.

Anaxagoras van Klazomenai (°500 v.C.) was de eerste natuurfilosoof die beweerde dat de zon een grote, vlam-

6

mende vuurbol was (en niet een godheid die op een vuurwagen getrokken door paarden zijn dagelijkse ritje langs de hemelbaan trok) en dat de maan een rotsachtige bol was die het licht van de zon weerkaatste. Op deze manier kon hij een verklaring geven voor hemelse verschijnselen zoals een zonsverduistering.

Aristarchos van Samos (°310 v.C.) ging hierop verder.

Uit metingen van een maansverduistering probeerde hij de diameter van de maan te berekenen. Het was nog even wachten op de berekeningen van Eratosthenes voor de daadwerkelijke uitvoering van zijn plan. Aristarchos koppelde de diameter van de maan immers aan de diameter van de aarde. We lichten zijn denkwijze in deze werktekst toe.

Op de figuren hieronder kun je aflezen dat er ongeveer 50 minuten voorbij gaan vanaf het moment dat de maan de schaduwzone van de aarde raakt tot wanneer ze er helemaal in verdwenen is (zie de bovenste en de middelste figuur). Na nog eens 150 minuten wachten komt de rand van de maan weer voor het eerst in het volle zonlicht (zie de onderste figuur).

2. Waarom is deze redenering niet helemaal juist?

De ‘schaduwkegel’ ziet er hier uit als een ‘schaduwcilinder’. Mocht er rekening gehouden zijn met het naar elkaar toelopen van de schaduwgrenzen, zou de maandiameter minder dan één vierde van de aarddiameter zijn. Een andere modelleerfout zit in de baan van de maan. Hier hebben we aangenomen dat die recht is maar in werkelijkheid is de maanbaan een cirkelboogje. In werkelijkheid is de diameter van de maan iets meer dan een kwart van de diameter van de aarde.

3. Combineer deze verhouding met de door Eratosthenes geschatte straal van de aarde om de straal van de maan te benaderen.

De straal van de maan ligt in de buurt van 1562 km. We vinden deze benadering door 39250 km te delen door 2 en daarna door 4. De echte waarde wordt momenteel vastgelegd op 1594 km.

Voor het vervolg van zijn berekeningen had Eratosthenes eenvoudige tuin- en keukenwiskunde nodig. Op een vollemaan-dag zonder bewolking keek hij naar de maan en strekte hij zijn arm recht voor zich uit zo dat de nagel van zijn opgestoken duim de maan net overdekte.

Als bij toeval lukte dit. Waarschijnlijk was dit het geval omdat de verhouding van de lengte van de vingernagel tot die van de gestrekte arm bij benadering 1:100 was.

Hierboven zie je een symbolische voorstelling van de situatie, niet op schaal.

1. Hoe verhouden de diameter van de aarde en die van de maan zich volgens deze vaststelling?

Beide diameters verhouden zich als 4:1.

4. Kleur op deze figuur twee rechthoekige driehoeken die gelijkvormig zijn maar niet congruent. Duid ook de rechte hoeken aan. zijn gelijkvormig. Dit en De driehoeken stellen we vast door het gelijkvormigheidskenmerk ( = = 90°; valt samen). De rechthoekige driehoek is niet gelijkvormig met deze driehoeken.

7

5. Van welke zijde van deze twee driehoeken ken je een benaderende waarde? Is deze benadering te klein of te groot?

De lengte van de zijde is een klein beetje kleiner dan de straal van de maan, die hierboven berekend werd. en de straal van de maan is op Het verschil tussen deze tekening procentueel fel overdreven. We nemen .đ??ś 1562 km als benaderende waarde voor 6. Bereken met evenredigheden tussen de zijden van gelijkvormige driehoeken de afstand tussen het aardoppervlak (het oogpunt van Eratosthenes) en het middelpunt van de maan. is gelijk aan . De verhouding De verhouding is dus gelijk aan . Uit de gelijkvormigheid van de rechthoekige driehoeken leiden we af dat de verhouding ook gelijk is aan . Stellen we gelijk aan 1562 km dan vinden we voor de afstand aarde-maan 312400 km. Als we de afstand berekenen van middelpunt tot middelpunt komen we in de buurt van 318600 km.

De volgende stap in de berekening danken we weer aan een vernuftige redenering van Aristarchos van Samos. Daarbij wordt gesteund op het feit dat twee keer per maanmaand, tijdens het eerste en het laatste kwartier, de helft van de maan door de zon wordt verlicht (zie de onderstaande tekening).

Op de dagen van de ‘halve schijngestalten’ is de driehoek bepaald door het middelpunt van de aarde

De werktekst over de afstandsberekeningen in het zonnestelsel laat zien dat goniometrische problemen vaak te reduceren zijn tot evenredigheden van zijden van gelijkvormige rechthoekige driehoeken. In sommige situaties zitten de twee driehoeken duidelijk in de opgave.

In andere situaties, zoals bij de afstandsberekening

, het middelpunt van de maan en dat van de rechthoekig. De maan bevindt zich dan in de zon rechte hoek. Eratosthenes slaagde er in de hoek op te meten. De meetwaarde 87° was echter maar een slordige benadering van de werkelijkheid (89,85°).

Hoewel de redenering van Aristarchos feilloos was, was de praktische uitwerking ervan de zwakke schakel.

Kleine meetfouten bij lijnen die ongeveer evenwijdig , kunnen immers grote en zijn, zoals de zijden gevolgen hebben.

7. Teken op een groot blad papier een rechthoekige driehoek met een hoek van 87° en meet de korte rechthoekszijde en de schuine zijde. Als je het nuttiger acht, mag je dit ook in GeoGebra doen. De getekende driehoek is gelijkvormig met de driehoek bepaald door aarde, zon en maan tijdens de halve schijngestalte. Maak nu een schatting van de afstand aarde-zon met het principe van Aristarchos. Een hoeveelste deel is dit van de werkelijke waarde?

Bij een rechthoekige driehoek met een hoek van 87° is de schuine zijde ongeveer 20 keer zo lang als de korte rechthoekszijde. Je zult in de klas merken dat verschillende leerlingen erg afwijkende resultaten kunnen hebben indien ze met pen en papier werken. Dat was ook de moeilijkheid in de Griekse periode. Als je een meetkundeprogramma op de computer gebruikt, kun je het resultaat veel nauwkeuriger vinden. De schuine zijde is dan eerder 19,1 keer de korte rechthoekszijde.

Zo nauwkeurig ging de schatting natuurlijk niet in Eratosthenes’ tijd.

Door de evenredigheid van de zijden te gebruiken, vind je een afstand van 6088000 km. De werkelijke afstand is ongeveer 24 keer groter: 150000000 km.

aarde-zon, moet je de vergelijkbare driehoek zelf nog construeren. De verhouding tussen twee zijden van de oorspronkelijke driehoek kan dan nagemeten worden op het schaalmodel, dat bijvoorbeeld op papier getekend is of in de oudheid ook wel eens in een zandbak. Deze werkwijze was omslachtig en weinig nauwkeurig.

8

Vooraleer we overgaan naar de definities van sinus, cosinus en tangens in een rechthoekige driehoek, is het nodig de leerlingen te laten aanvoelen dat het niet efficiënt is om telkens verhoudingen te gaan bepalen via een nagetekende schaaldriehoek.

Stel dat je de hoogte van een windmolen wilt kennen door de schaduw op te meten. Je staat ergens in de buurt van Brussel, het is midden in de zomer en de zon staat op het middaguur te stralen vanuit haar hoogste punt aan de hemel. Dit wil zeggen dat de zonnestralen onder een hoek van 63° op de aarde invallen.

de aanliggende rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde en in de laatste kolom de overstaande rechthoekszijde gedeeld door de aanliggende. We noemen het getal in de tweede kolom de sinus van de hoek in de eerste kolom. In de derde kolom staat de cosinus en in de vierde de tangens. Achter het opstellen van zulke tabellen schuilt behoorlijk ingewikkelde wiskunde.

Tabellen zoals je in figuur 2 ziet, werden eeuwenlang gebruikt voor driehoeksmeting, tot wanneer de zakrekenmachine de markt veroverde. Het is didactisch interessant een oud tabellenboekje op te diepen uit de schoolbib of uit een tweedehandsboekenwinkel. Deze voorlopers van de zakrekenmachine worden stilaan schaars. Maar het loont de moeite om de leerlingen op deze manier te confronteren met de evolutie van de wetenschap.

Via figuur 2 kun je de verhouding van de rechthoekszijden van de windmolendriehoek vinden. Deze verhouding lees je af als de tangens van 63°. Ze is gelijk aan 1,9626.

Figuur 1

Laat de leerlingen een rechthoekige driehoek tekenen met een scherpe hoek van 63° (de driehoek die je in perspectief ziet op figuur 1) en laat ze daarna nameten met welke factor ze de lengte van de schaduw moeten vermenigvuldigen om de hoogte van de windmolen te vinden. Als het goed gaat vinden de leerlingen een factor die iets kleiner is dan 2. Een preciezere waarde is 1,96.

Misschien vinden sommigen deze verhouding eigenaardig omdat ze de indruk hebben dat je op het middaguur geen schaduw hoort te hebben. Een schaduw met lengte nul is echter alleen mogelijk als je je tussen de keerkringen bevindt, niet in onze streken. De kortste schaduw die je hier kan hebben is eentje van 51% van je lichaamslengte.

Een mogelijke systematisering voor de oplossing van problemen als het schaduwprobleem en het probleem van Eratosthenes is het aanleggen van tabellenboekjes. Voor verschillende hoeken in een rechthoekige driehoek, zou je de verhoudingen van de zijden op de volgende manier kunnen inventariseren: in de eerste kolom zet je scherpe hoeken uit van verschillende rechthoekige driehoeken, in de tweede kolom zet je de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde, daarnaast

SIN

COS

TAN

60

0,8660

0,5000

1,7321

61

0,8746

0,4848

1,8040

62

0,8829

0,4695

1,8807

63

0,8910

0,4540

1,9626

64

0,8988

0,4384

2,0503

65

0,9063

0,4226

2,1445

66

0,9135

0,4067

2,2460

67

0,9205

0,3907

2,3559

68

0,9272

0,3746

2,4751

69

0,9336

0,3584

2,6051

70

0,9397

0,3420

2,7475

71

0,9455

0,3256

2,9042

72

0,9511

0,3090

3,0777

73

0,9563

0,2924

3,2709

74

0,9613

0,2756

3,4874

75

0,9659

0,2588

3,7321

76

0,9703

0,2419

4,0108

77

0,9744

0,2250

4,3315

78

0,9781

0,2079

4,7046

79

0,9816

0,1908

5,1446

80

0,9848

0,1736

5,6713

Figuur 2

9

De tangenskolom van de goniometrische tabellen werd vaak gebruikt om afstanden tot onbereikbare punten op aarde te berekenen, bijvoorbeeld de afstand tot een piratenschip dat je vanaf de kustlijn met een verrekijker in het vizier houdt of de afstand tot een militair doelwit dat je vanuit een bepaalde linie onder vuur wil nemen. In elk van deze gevallen is het mogelijk het geobserveerde punt vanuit twee locaties te bekijken die samen met het doelwit een rechthoekige driehoek vormen. van driehoek In figuur 3 is de korte rechthoekszijde gekend. Je kan deze nameten door de afstand van tot af te passen op het strand. De lange rechthoekszijde is onbekend. In het geval van een piratenschip zou het onverstandig zijn de zee op te gaan om een afstandsmeting te doen. De enige meting die je zonder gevaar kunt doen is . Stel dat deze hoek gelijk is aan 71°. Je leest dan die van in de tangenskolom van figuur 2 af dat de verhouding van tot de korte rechthoekszijde de lange rechthoekszijde gelijk is aan 2,9. Als de waarnemingsposten 1 km van elkaar verwijderd zouden zijn, ligt het schip dus op 2,9 kan eventueel berekend km uit de kustlijn. De zijde worden met de stelling van Pythagoras.

L E S AC T I V I T E I T

HOE HOOG IS DE MAST VAN DEZE ZEILBOOT? Oude zeilschepen van de Verenigde Oost-Indische Compagnie hadden masten van meer dan 50 m hoogte. Wie de precieze hoogte hiervan wou opmeten, hoefde niet in het want te klauteren tot aan het kraaiennest maar kon zich beperken tot twee veilige metingen op het dek. We doen deze meting over voor de kleinere zeilboot hiernaast.

Vanaf het topje van de mast loopt er een strakgespannen kabel naar de voorboeg. Je kunt nameten dat de hoek die dit touw met het dek maakt 74° is. De voorsteven ligt precies 4 m verwijderd van het bevestigingspunt van de kabel. De mast staat loodrecht op het dek.

Figuur 3

Je kunt het vraagstuk van de schaduwbepaling of van het piratenschip als een sleutelfiguur beschouwen. Dit zijn basissituaties die zo regelmatig terugkomen dat je ze op het zicht herkent. In de volgende werktekst passen we deze sleutelfiguur nog een keer toe op kleinere schaal.

10

1. Gebruik een tabel waarin je de goniometrische waarden van 74° kunt opzoeken en bereken de hoogte van de mast.

De verhouding van de lange rechthoekszijde tot de korte rechthoekszijde van de aangeduide driehoek is gelijk aan de tangens van 74°. Volgens de tabel is deze tangens gelijk aan 3,4874. De hoogte van de mast is het viervoud hiervan: 13,9496 m.

Op de meting van de hoek van 74° kan er een foutje zitten. De richting van de schuine zijde wordt bepaald door een touw dat nogal dik is voor een exacte meting.

Misschien hangt het touw ook wat slap.

BRONNEN

Dit is het eerste deel van een omvangrijk artikel over goniometrie in het 3e, 4e en 5e jaar dat verscheen in het tijdschrift Uitwiskeling (jaargang 29 nummer 3). In het vervolg van het artikel worden enkele originele accenten belicht bij de leerstof over rechthoekige en willekeurige driehoeken, verwante hoeken en periodieke functies. Mét daarbij differentiatiemateriaal voor leerlingen die meer uitdaging zoeken en ook linken naar vectoren en ruimtemeetkunde.

Singh, S. (2005), De oerknal. Amsterdam-Antwerpen: De Arbeiderspers, ISBN 978-90-295-6284-3. http://martin-wagenschein.de/en/K-Kohl/Eratosth/Balss.htm http://nl.wikipedia.org/wiki/Piramide_van_het_Louvre http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Eratosthenes.html

2. Stel dat deze hoek in werkelijkheid 75° is. Hoe groot is de fout op de schatting van de masthoogte dan?

Het viervoud van de tangens van 75° is 14,9284. De fout bedraagt ongeveer een meter.

Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskunde-onderwijs. Benieuwd naar meer?

Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info. Daar kun je ook de werkteksten uit het artikel downloaden.

OEFENING

Amy Janis Kurt Jimi

A

Brian

B

Jimi

C

Janis

D

Amy

E

Kurt

Brian

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

EERSTE RONDE JWO 2018, VRAAG 3 Janis, Amy en Kurt staan in een kring zoals op de figuur hiernaast.

Ze gooien de bal telkens naar iemand die niet naast hen staat.

Ze gooien de bal nooit terug. De eerste worp is van Brian naar Janis. Bij wie komt de bal terecht na 27 keer gooien?

11 GEOGEBRA

GEOGEBRA VOOR RUIMTEMEETKUNDE HET AANSCHERPEN VAN RUIMTELIJK INZICHT BEHOORT ONGETWIJFELD TOT ÉÉN VAN DE BELANGRIJKE LEERPLANDOELSTELLINGEN VOOR WISKUNDE. DOOR MIDDEL VAN CONCRETE VOORWERPEN EN RUIMTELIJKE FIGUREN ZAL ER AANDACHT WORDEN BESTEED AAN 'ZIEN IN DE RUIMTE'. LEERLINGEN HEBBEN IMMERS VAAK DE GROOTSTE MOEITE BIJ HET INTERPRETEREN VAN DE WEERGAVE VAN EEN RUIMTELIJK VOORWERP IN EEN VLAK. DE TEKENING IN TWEE DIMENSIES IS ALS EEN FOTO VAN HET VOORWERP UIT DE DRIEDIMENSIONALE WERELD. I VA N D E W I N N E

- VO O R Z I T T E R G E O G E B R A I N S T I T U U T V L A A N D E R E N -

E - M A I L : I VA N @ M AT H E L O . N E T - J E K A N D E B I J H O R E N D E G E O G E B R A - B E S TA N D E N D OW N L OA D E N V I A W W W. M AT H E L O . N E T

De 3D-module van GeoGebra kan een grote rol spelen bij het ontdekken van ruimtelijke situaties en maakt het mogelijk om een voorwerp volgens verschillende projectiemethoden voor te stellen op het scherm. Door rotatie van het voorwerp krijgt men een erg realistische weergave.

Voor een natuurlijke aanblik van een ruimtelijk voorwerp moet vaak belangrijke informatie worden opgeofferd zoals: - De gelijkheid van lijnstukken - De grootte van hoeken - De evenwijdigheid van rechten - De snijpunten van rechten - De grootte van een doorsnede Bekijk onderstaande afbeelding die een projectie weergeeft van een

regelmatig veelvlak in de ruimte en onderzoek welk veelvlak hiermee in de ruimte kan corresponderen.

Dit blijkt in dit geval een regelmatig achtvlak te zijn.

Een nog overtuigender voorbeeld van het verlies van informatie ontdekt men bij de weergave van een regelmatige zeshoek in een vlak. Na rotatie van het voorwerp in het 3D-venster van GeoGebra wordt het vreemde effect overduidelijk.

12

Met behulp van actieknoppen en het gebruik van scripts kan dit in GeoGebra op een dynamische wijze worden gedemonstreerd.

Voor de andere veelvlakken moet je, na het tekenen van de basispunten, volgende commando’s ingeven in de invoerbalk van GeoGebra: achtvlak(M,N) twaalfvlak(P,Q) en twintigvlak(R,S)

AANZICHTEN WEERGEVEN 'Gödel, Escher, Bach; An Eternal Golden Braid' is een boek van de Amerikaanse natuurkundige Douglas Hofstadter uit 1979 waarin hij de mogelijkheid van kunstmatige intelligentie onderzoekt. Hofstadter geeft in dit boek een briljante en zeer originele interpretatie van de drie genieën: - Kurt Gödel (1906-1978), Oostenrijkse wiskundige - Maurits Cornelis Escher (1898-1972), Nederlandse graficus en kunstenaar - Johann Sebastian Bach (1685-1750), Duitse musicus en componist.

Dit ambitieuze populair wetenschappelijke boek gold van meet af aan als een klassieker en werd in 1980 bekroond met de Pulitzer-prijs.

Op de kaft van dit boek wordt een merkwaardig logo in 3D weergegeven.

Indien de 'basispunten' niet in het Oxy-vlak liggen, dan moet je ook nog de richting aangeven.

REGELMATIGE VEELVLAKKEN VOORSTELLEN MET GEOGEBRA In dit artikel bestuderen we een aantal eigenschappen van regelmatige veelvlakken. Met enige basiskennis van het programma GeoGebra en een beperkt aantal commando’s kan men veelvlakken weergeven en vervolgens manipuleren. Het gebruik van GeoGebra is erg intuïtief.

Een tetraëder en een kubus kan je tekenen met de knoppen in de 3D-knoppenbalk.

Met het commando Ontvouwing (<Veelvlak>, <Getal>) kan je de ontwikkeling van een veelvlak weergeven, waarbij het getal de waarde 1 heeft.

Door gebruik te maken van een schuifknop met een waarde tussen 0 en 1 kan je de ontwikkeling dynamisch maken.

13

PLATONISCHE VEELVLAKKEN Een ruimtefiguur die volledig begrensd wordt door platte grensvlakken noemt men een veelvlak.

Een kubus en een piramide zijn voorbeelden van veelvlakken, maar een cilinder is geen veelvlak.

Aan de regelmatige veelvlakken, ook Platonische veelvlakken genoemd, worden een aantal strengere voorwaarden opgelegd: 1. Alle zijvlakken zijn regelmatige veelhoeken.

2. Alle zijvlakken zijn congruent.

3. Alle hoekpunten zijn congruent (in elke hoek van het veelvlak komen evenveel zijvlakken samen).

4. Het veelvlak is convex.

In 550 v.C. waren de kubus (zesvlak), de tetraëder (viervlak) en de dodecaëder (twaalfvlak) al gekend door Pythagoras. Anderhalve eeuw later heeft de Griekse filosoof Plato hieraan de icosaëder (twintigvlak) en de octaëder (achtvlak) toegevoegd.

De filosoof Plato gebruikte deze vijf regelmatige veelvlakken om hieraan de vier elementen vuur (viervlak), aarde (kubus), lucht (achtvlak) en water (twintigvlak) te associëren.

De kosmos zelf werd dan door een twaalfvlak voorgesteld.

Ook Johannes Kepler beschrijft in zijn boek 'Mysterium Cosmographicum' uit 1597 dit model. Volgens het Copernicaans model waren er zes planeten, Mercurius, Venus, Aarde, Mars en Jupiter en Saturnus, waarvan de banen draaien op onzichtbare sferen.

De afstanden van de toen gekende planeten werden weergegeven in een nesteling van de vijf Platonische lichamen. Kepler schreef letterlijk: “Nu heeft u een verklaring voor het bestaan van de zes planeten”. Dit bleek later een foutieve voorstelling van ons planetenstelsel te zijn, toen in 1781 William Herschel de planeet Uranus ontdekte.

Omwille van de strikte voorwaarden, die aan regelmatige veelvlakken worden opgelegd, zijn er slechts vijf Platonische veelvlakken mogelijk. Om dit aan te tonen steunen wij onder andere op de volgende stellingen uit de vlakke meetkunde: - De som van de binnenhoeken van een driehoek is 180° - De hoekensom van een (regelmatige) n-hoek is gelijk aan ( −2)∙180°

Beschouw een gelijkzijdige vijfhoek, achthoek, veralgemeend een regelmatige n-hoek.

Indien je vanuit één hoekpunt de diagonalen van een n-hoek tekent dan wordt de veelhoek verdeeld in ( −2) driehoeken. De totale som van de binnenhoeken van deze regelmatige veelhoek is ( −2)∙180°. De grootte van elke hoek van een regelmatige veelhoek is deze totale hoekensom gedeeld door het aantal hoeken n.

Wij gaan nu na of het mogelijk is om met elke regelmatige veelhoek een regelmatig veelvlak te realiseren.

Wij houden hierbij rekening met: - In elk hoekpunt van een regelmatig veelvlak moeten evenveel zijvlakken samenkomen.

- Alle hoeken van deze zijvlakken zijn even groot omdat de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn.

- Indien er in een hoekpunt van een veelvlak m zijvlakken samenkomen dan is de som van deze hoeken gelijk aan het aantal zijvlakken m, vermenigvuldigd met de grootte van deze hoek.

14

Aangezien in ÊÊn hoekpunt van een regelmatig veelvlak minstens drie veelhoeken moeten samenkomen, maar de totale som van deze hoeken kleiner dan 360° moet zijn, is het aantal mogelijkheden bij de keuze van de regelmatige veelhoek beperkt.

factor ( â&#x2C6;&#x2019;2)=1. Dit is het geval voor een twintigvlak met =5 en =3 Op een analoge wijze kan je de vijf mogelijke gevallen van regelmatige veelvlakken vinden.

Soort zijvlak

Aantal hoeken van zijvlak (n)

Aantal Grootte van zijvlakken ĂŠĂŠn hoek van in ĂŠĂŠn een zijvlak hoekpunt (m)

Hoekensom

Regelmatig veelvlak

driehoeken

3

3

60°

180°

Viervlak = tetraĂŤder

driehoeken

3

4

60°

240°

Achtvlak = octaĂŤder

driehoeken

3

5

60°

300°

Twintigvlak = icosaĂŤder

driehoeken

3

6

60°

360°

x

vierkanten

4

3

90°

270°

Zesvlak = kubus

vierkanten

4

4

90°

360°

x

vijfhoeken

5

3

108°

324°

Twaalfvlak = dodecaĂŤder

vijfhoeken

5

4

108°

432°

x

zeshoeken

6

3

120°

360°

x

Er geldt algemeen dat voor een stel getallen n en m de hoekensom gelijk is aan:

Deze hoekensom moet kleiner zijn dan 360° omdat de veelhoeken in ÊÊn vlak liggen.

Het product van beide factoren moet kleiner zijn dan 4. De grootst mogelijke waarde voor de eerste factor is dan 3, waarbij de tweede ( â&#x2C6;&#x2019;2) đ?&#x2018;&#x161;

FORMULE VAN EULER VOOR VEELVLAKKEN De wiskundige Leonhard Euler werd op 15 april 1707 geboren in Basel, Zwitserland. Hij is ĂŠĂŠn van de meest productieve wiskundigen uit achttiende eeuw. Je vindt wel in elke tak van de wiskunde een stelling, een formule of een methode die zijn naam draagt. Hij werkte zowel in Sint-Petersburg als in Berlijn. Zijn verzameld werk beslaat zoâ&#x20AC;&#x2122;n 25000 paginaâ&#x20AC;&#x2122;s, verdeeld over 79 delen.

Overbekend is het verhaal van de doofheid van de componist Ludwig van Beethoven, die na zijn doofheid bleef componeren. Minder bekend is het verhaal van Euler die in 1766 blind werd en in de zeventien levensjaren tot aan zijn dood in 1783 wiskundige

publicaties bleef uitbrengen van een opmerkelijke complexiteit en helderheid. Noteren kon hij zijn gedachten echter niet meer, hij moest ze dicteren.

In 1983, tweehonderd jaar na Eulers sterftejaar, verscheen in OostDuitsland een postzegel waarop deze formule wordt weergegeven.

In dit artikel onderzoeken wij de formule van Euler voor (convexe) veelvlakken die een verband geeft tussen het aantal zijvlakken Z, het aantal ribben R en het aantal hoekpunten H van een veelvlak.

In de oorspronkelijke tekst 'Elementa Doctrinae Solidorum' noteert Euler deze formule als volgt:

In omni solido hedris planis incluso aggregatum ex numero angulorum solidorum (ruimtehoeken) et ex numero hedrarum binario excedit numerum acierum (ribben). numero angulorum solidorum: aantal ruimtehoeken numero hedrarum: aantal zijvlakken numero acierum: aantal ribben

GeoGebra leent zich opnieuw uitstekend bij het ontdekken van de aantal-

15

len voor H, R en Z door manipulatie in 3D van de veelvlakken.

Veelvlak

Aantal hoekpunten (H)

Aantal ribben (R)

Aantal zijvlakken (Z)

4

6

4

8

12

6

6

12

8

20

30

12

12

30

20

SCHLEGEL DIAGRAM Platonische veelvlakken worden meestal met een tekening in perspectief weergegeven. Je kan veelvlakken ook weergeven met een zogenaamd Schlegel diagram.

Hieronder wordt het Schlegel diagram van een kubus weergegeven. Om te begrijpen hoe zoâ&#x20AC;&#x2122;n Schlegel diagram ontstaat bekijk je de kubus vanuit een punt onder het grondvlak gelegen en voldoende dicht bij dit grondvlak.

Je projecteert vanuit dit punt de kubus op een vlak evenwijdig met dit grondvlak. In de figuur is het middelste kleine vierkant dan de projectie van het bovenvlak van de kubus. De van hieruit weglopende lijnstukken zijn de opstaande ribben van de kubus. Het grondvlak zelf is het grote omhullende vierkant.

DUALE VEELVLAKKEN Een andere merkwaardige eigenschap van regelmatige veelvlakken is het bestaan van dualiteit.

De zijvlakken van het regelmatig twaalfvlak zijn blijkbaar regelmatige vijfhoeken, die van een kubus vierkanten en van de overige regelmatige veelvlakken gelijkzijdige driehoeken.

Tussen de aantallen H, R en Z bestaat een vast verband dat bekend staat als de formule van Euler voor veelvlakken. of anders genoteerd đ??ť In woorden: de som van het aantal hoekpunten en zijvlakken is twee meer dan het aantal ribben.

De dodecaĂŤder heeft 12 zijvlakken, 20 hoekpunten en 30 ribben. Het Schlegeldiagram is een planaire graaf met 12 gebieden (ook ĂŠĂŠn buitengebied), 20 knopen en 30 kanten.

Onder de 'orde van een zijvlak' van een veelvlak wordt verstaan het aantal ribben dat dit zijvlak begrenst.

Voor een tetraĂŤder die opgebouwd is uit driehoeken is de orde van een zijvlak 3 en voor een kubus is de orde van een zijvlak 4.

Op het Schlegel diagram van een veelvlak kan men erg eenvoudig de aantallen hoekpunten, ribben en zijvlakken aflezen. Het Schlegel diagram van een dodecaĂŤder geeft dit resultaat.

Onder de 'orde van een hoekpunt' van een veelvlak wordt verstaan het aantal ribben dat samenkomt in een hoekpunt. Voor een twintigvlak is de orde van een hoekpunt 5 omdat in een hoekpunt van een twintigvlak 5 driehoeken samenkomen.

16

Wij kunnen deze aantallen in een tabel weergeven: Soort veelvlak

Orde van zijvlak

Orde van hoekpunt

H

R

Z

Tetraëder

3

3

4

6

4

Kubus

4

3

8

12 6

Octaëder

3

4

6

12 8

Dodecaëder

5

3

20 30 12

Icosaëder

3

5

12 30 20

Het is opvallend dat er voor elk veelvlak een ander veelvlak bestaat waarvan het aantal ribben R hetzelfde is, maar het aantal hoekpunten H en zijvlakken Z precies is omgewisseld.

Bovendien merken wij op dat de orde van de hoek en de orde van de zijden ook omgewisseld zijn. Men noemt dit dualiteit. De Platonische lichamen vormen paartjes: kubussen en octaëders zijn elkaars duale veelvlakken, net zoals dodecaëders en icosaëders.

De vijfde uit het rijtje, de tetraëder is het duale veelvlak van zichzelf.

GOOCHELEN MET VEELVLAKKEN Er bestaat een eenvoudige methode om het duale veelvlak van een veelvlak te construeren. Beschouw bijvoorbeeld een kubus. Bepaal het midden van elk zijvlak van de kubus.

Deze middens van de zes zijvlakken van de kubus vormen de hoekpunten van een octaëder, het duale veelvlak van de kubus.

Op een gelijkaardige manier kan je ontdekken dat een dodecaëder en een icosaëder duale veelvlakken zijn.

Het duale veelvlak van ene tetraëder is opnieuw een tetraëder.

HALFREGELMATIGE VEELVLAKKEN De formule van Euler voor veelvlakken is een zeer algemene formule waarbij er aan de veelvlakken weinig voorwaarden worden opgelegd. Deze formule is geldig voor alle convexe veelvlakken waaronder ook de dertien Archimedische (halfregelmatige) veelvlakken.

Dit type voetbal heeft 60 hoekpunten, 90 ribben en 32 zijvlakken (vijfhoeken en zeshoeken) waarvoor geldt

UITBREIDING VAN DE FORMULE VAN EULER Er zijn uiteraard ook veelvlakken waarvoor de formule van Euler niet geldig is.

Denk hierbij aan een kubus met een holte.

Een alledaags voorwerp zoals een voetbal kan niet ontkomen aan de formule van Euler. Het betreft hier een afgeknotte icosaëder, behorend tot de familie van de Archimedische veelvlakken, waarbij de lengten van alle ribben gelijk zijn en het veelvlak is opgebouwd uit 12 regelmatige vijfhoeken en 20 regelmatige zeshoeken. De tweede voorwaarde voor de klassieke Platonische lichamen is hier niet van toepassing.

De formule geldt ook niet voor een veelvlak met een doorboring zoals een schilderijlijst of 'Grande arche de la défense' in Parijs. Dit bouwwerk stelt de projectie in een driedimensionale ruimte voor van een vierdimensionale hyperkubus, ook wel tesseract genoemd.

17

OEFENING

Welke vorm heeft het gele puzzelstuk, dat niet volledig zichtbaar is in de aanzichten?

Als je de aantallen voor H, Z en R invult in de formule krijg je: A

B

C

D

E

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

EERSTE RONDE JWO 2018, VRAAG 9 (EERSTE RONDE VWO 2018, VRAAG 4) Met zes puzzelstukken wordt een holle 4x4x4-kubus gemaakt.

Hier zie je twee aanzichten van deze kubus.

OEFENING

A

12

B

16

C

20

D

24

E

28

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

EERSTE RONDE VWO 2018, VRAAG 6 Welk getal hoort thuis in de gekleurde cirkel?

18 WISKUNDE & ONDERWIJS

HOE BEWAAR JE SAMEN EEN GEHEIM DIT ARTIKEL GAAT OVER HOE EEN GROEP MENSEN SAMEN EEN WAARDEVOL DOCUMENT OF EEN GROTE SOM GELD IN EEN KLUIS KUNNEN BEWAREN, EN WEL OP ZO'N MANIER DAT DE KLUIS PAS OPEN KAN INDIEN VOLDOENDE SLEUTELHOUDERS SAMENWERKEN. WE LATEN ZIEN HOE EEN MEETKUNDIGE EIGENSCHAP VAN VEELTERMFUNCTIES LEIDT TOT EEN ELEGANTE, PRAKTISCHE EN VEILIGE METHODE VAN GEGEVENSVERSLEUTELING, NAAR EEN METHODE VAN SHAMIR UIT 1979 [5]. IN ONZE TEKST SLUITEN DE GEVALLEN MET EEN KLEIN AANTAL SLEUTELHOUDERS AAN BIJ DE LEERSTOF VAN DE TWEEDE GRAAD (RECHTE, PARABOOL). DE ALGEMENE BEHANDELING HOORT THUIS IN DE DERDE GRAAD (TELPROBLEMEN, LINEAIRE STELSELS) MET EEN KNIPOOG NAAR UITBREIDINGSLEERSTOF EN WISKUNDE AAN HET HOGER ONDERWIJS (MODULAIR REKENEN).

S A M E N VAT T I N G .

KO E N D E N A E G H E L

- O N Z E - L I E V E -V R O U W E C O L L E G E , C O L L E G E S T R A AT 2 4 , 8 3 1 0 B R U G G E , KO E N D E N A E G H E L @ H O T M A I L . C O M

Geheimen bewaren en veilig communiceren: het is van alle tijden. Sinds de komst van het internet en het elektronische betaalverkeer is de beveiliging van gegevens dan ook steeds belangrijker geworden. Het is bijna vanzelfsprekend dat men, voor het ontwikkelen van een moeilijk te kraken code, beroep doet op de wiskunde. Verrassend is echter hoe sommige deelgebieden van de wiskunde die op het eerste zicht niets te maken hebben met coderen van gegevens, toch aanleiding kunnen geven tot een goed codeermechanisme, zonder dat de daarvoor gebruikte wiskunde ons petje te boven gaat. Een bekend voorbeeld daarvan is getaltheorie, waar de studie van priemgetallen aanleiding gaf tot het versleutelsysteem RSA, genoemd naar Rivest, Shamir en Adleman die ze in 1978 hebben bedacht [1]. Hierbij is de achterliggende gedachte dat zelfs de meest geavanceerde computeralgoritmen bijzonder

veel tijd nodig hebben om een natuurlijk getal dat voldoende groot is te ontbinden in priemfactoren, terwijl het omgekeerde probleem, namelijk het vermenigvuldigen van grote priemgetallen, relatief gezien heel weinig computertijd kost. De afgelopen jaren hebben heel wat leerlingen uit de derde graad een onderzoeksopdracht over RSA gemaakt, een indicatie dat de wiskunde die nodig is om RSA te begrijpen best haalbaar is.

Dit artikel gaat over een ander, minder bekend beveiligingsprobleem, namelijk hoe een groep mensen die elkaar onderling wantrouwen toch samen een geheim kunnen bewaren. In de eerste paragraaf buigen we ons over zo'n concrete probleemstelling, dat gaat over een ouderwetse kluis met meerdere sloten. Met onze oplossing laten we zien waarom deze methode, zelfs voor een

Datum: 25 februari 2016. De auteur is Luc Van den Broeck erkentelijk voor het kritisch nalezen van dit artikel.

19

bescheiden aantal groepsleden, in de praktijk onhaalbaar wordt. In de tweede paragraaf gooien we het over een ander boeg. Daar pikken we het idee op om een geheime code in stukjes op te delen, om ze daarna over de groep mensen te verdelen. De methode die wij zullen uitwerken, werd in 1979 bedacht door Shamir (de \S" in RSA), zie [5, 3].

Datzelfde jaar vond ook Blakley, onafhankelijk van Shamir, zo'n werkwijze [2]. In een derde en laatste paragraaf gaan we na hoe veilig deze manier van coderen is.

1. EEN KLUIS MET MEERDERE SLEUTELS Een voor de hand liggende manier om samen een waardevol document te bewaren, is om het in een kluis te stoppen en aan elk lid van de groep een sleutel te geven.

Maar wat als er wantrouwen heerst en men wil dat de kluis enkel kan geopend worden als een meerderheid van de groep aanwezig is? In zijn boek uit 1968 [4] stelt Chung Laung Liu voor om de kluis te voorzien van meerdere sloten. Een van zijn oefeningen hebben we als volgt vertaald.

Probleem 1.

Elf ministers willen een staatsgeheim in een kluis bewaren, die enkel kan geopend worden wanneer er minstens zes van de elf ministers aanwezig zijn. Ze voorzien de kluisdeur van een aantal verschillende sloten, zodat ze enkel open kan als in elk slot de juiste sleutel steekt. Van elke sleutel maken ze meerdere kopiee n, en elke minister draagt een aantal sleutels bij zich. Volgens het rekenhof is het aantal sloten op de kluis zo klein mogelijk.

(a) Hoeveel sloten heeft de kluis? (b) Hoeveel sleutels draagt elke minister bij zich?

Een essentieel onderdeel van probleemoplossend denken is de vaardigheid om voor een probleem een passende zoekstrategie te bedenken. Het loont dan ook de moeite om dit probleem aan leerlingen of studenten voor te leggen, met de vraag: wat kan je helpen om de oplossing te vinden? Meestal komt de klas er zelf op om eerst een kleiner geval te onderzoeken. het totaal aantal ministers en k het aantal Noem ministers dat minstens aanwezig moet zijn om de kluis ). We zullen eerst het te openen (waarbij

en . Dat geval is probleem oplossen voor aanzienlijk eenvoudiger, en kan zelfs aan de eerste graad worden voorgelegd.

1.1. Het geval = 2 en = 3. Noem de drie ministers , en . We moeten ervoor zorgen dat (1) een minister de kluis niet kan openen en (2) elke groep van twee ministers de kluis wel kan openmaken. Minister kan de kluis niet openen, zodat hij minstens een sleutel mist, bijvoorbeeld de sleutel van het eerste slot. Als ministers en samenwerken, dan kunnen ze de kluis wel openen, zodat we zeker weten dat minister de sleutel van het eerste slot wel heeft. Om dezelfde reden kan ook minister het eerste slot openen. Kortom, bij elke minister hoort minstens een slot waarvan hij de sleutel niet heeft, en elke andere minister heeft die missende sleutel(s) wel. Daaruit mogen we besluiten dat de kluis minstens drie sloten heeft. Onderstaande Tabel 1 toont aan dat een kluis met precies drie sloten kan voldoen. Elke minister heeft dan twee sleutels bij zich. ministers

heeft niet sleutel

heeft wel sleutels

A

1

2, 3

B

2

1, 3

C

3

1, 2

Tabel 1 Een oplossing van Probleem 1 voor (k; n) = (2; 3)

1.2. Het geval = 3 en = 5. Dit opstapje is haalbaar voor leerlingen uit de tweede graad, omdat de redenering die daarvoor nodig is geen formules vereist die ze nog niet gezien hebben. De uitkomst is dat de kluis tien sloten heeft en dat elke minister zes sleutels bij zich draagt.

Tabel 2 toont een mogelijke oplossing. ministers

heeft niet sleutels

heeft wel sleutels

A

1, 2, 3, 4

5, 6, 7, 8, 9, 10

B

1, 5, 6, 7

2, 3, 4, 8, 9, 10

C

2, 5, 8, 9

1, 3, 4, 6, 7, 10

D

3, 6, 8, 10

1, 2, 4, 5, 7, 9

E

4, 7, 9, 10

1, 2, 3, 5, 6, 8

Tabel 2 Een oplossing van Probleem 1 voor (k; n) = (3; 5)

20

1.3. Een algemene oplossing van Probleem 1. De oplossing van het oorspronkelijke probleem waarbij ( ; ) = (6; 11) is eerder voorbehouden voor leerlingen uit de derde graad, omdat er een formule uit het leerstofonderdeel telproblemen voor nodig is. Onze redenering gaat als volgt.

We moeten ervoor zorgen dat (1) elke groep van vijf ministers de kluis niet kan openen en (2) elke groep van zes ministers dat wel kan.

Beschouw een willekeurige verzameling van vijf ministers.

Wegens voorwaarde (1) is er minstens een slot dat door geen enkele van die vijf ministers kan geopend worden.

Mocht een ander groepje van vijf ministers hetzelfde slot ook niet kunnen openen, dan zou er een groepje van zes ministers kunnen gevormd worden dat de kluis niet kan openen, zodat aan voorwaarde (2) niet voldaan zou zijn. Kortom, bij elk groepje van vijf hoort minstens een missende sleutel, en twee verschillende groepjes van vijf hebben geen missende sleutel(s) gemeen. Daaruit volgt dat het aantal sloten op de kluis minstens gelijk moet zijn aan het aantal verschillende groepjes van vijf ministers. Dat wordt het aantal combinaties van 5 uit 11 genoemd, en is gelijk aan

Om het aantal sleutels per minister te bepalen, beschouwen we een welbepaalde minister A en een groep van vijf andere ministers. Wegens voorwaarde (1) heeft die groep minstens een missende sleutel. Wil aan voorwaarde (2) voldaan zijn, dan moet minister A samen met die vijf de kluis kunnen openen. Anders gezegd, minister A heeft minstens de missende sleutels van alle groepjes van vijf waartoe A niet behoort. Dat aantal is gelijk aan We hebben dus aangetoond dat de kluis minstens 462 sloten telt. Om in te zien dat 462 sloten ook volstaan, sommen we eerst alle groepjes van vijf ministers op, zeg ; ... ; ; .

Een minister krijgt de sleutel van slot als en slechts als behoort. Zo is voldaan aan voorhij niet tot het groepje waarde (1). Om na te gaan of er ook voorwaarde (2) geldt, nemen we een willekeurig groepje van zes ministers.

tot dat groepje, dan weten we dat de Behoort minister in zijn vijf anderen samen maar een sleutel missen, die bezit heeft, zodat die zes samen toegang hebben tot de kluis. De oplossing op vraag (a) is dus 462, en onze redenering hierboven leidt ertoe dat elke minister precies 252 sleutels bij zich draagt, wat dus het antwoord op vraag (b) is.

Leerlingen die Probleem 1 met elf ministers hebben opgelost, kunnen met enkele vervolgvragen nog wat verder worden uitgedaagd. De uitgewerkte oplossingen worden overgelaten aan de lezer.

Probleem 1 (vervolg). (c) Hoeveel ministers kunnen een welbepaald slot openmaken? (d) Hoeveel sleutels hebben twee ministers gemeen?

Onze oplossing van Probleem 1 laat zich veralgemenen ): voor willekeurige waarden van en (waarbij sloten nodig en elke minister moet er zijn sleutels bij zich hebben. Een welbepaald slot kan dan ministers worden opengemaakt en twee door sleutels gemeen. Om dat laatste ministers hebben resultaat te bereiken, kan de formule van Stifel-Pascal worden aangewend.

In het bovenstaande Probleem 1 met elf ministers zou het erg onpraktisch zijn om elke minister 252 sleutels te laten dragen. Ook al vervangen we de klassieke sloten door elektronische versies waar een code moet worden ingetikt, dan nog blijft de methode om een kluis met meerdere sloten te voorzien, eerder omslachtig. In de volgende paragraaf pakken we het dan ook op een andere manier aan.

2. EEN GEHEIME CODE IN STUKJES VERDELEN In 1979 bedacht Adi Shamir een praktische manier om een groep van n mensen, die elkaar onderling wantrouwen, een geheim te laten bewaren [5]. Zijn idee was om een aantal getallen met een geheime code te associĂŤren zodat (1) kennis van of minder getallen het onmogelijk maken om de geheime code c te achterhalen, en het mogelijk maken (2) kennis van of meer getallen om het getal te bepalen.

Zo'n plan wordt in het Engels een threshold scheme

21

genoemd, wat wij hier vrij zullen vertalen als een drempelplan: zodra iemand uit de groep de kennisdrempel van getallen overschrijdt, kan die persoon de geheime code vinden.

De grote vraag is natuurlijk hoe we met het geheim getal zo'n getallen kunnen associe ren. Hieronder zullen we het elegante drempelplan van Shamir bespreken voor . Daarna geven we aan hoe dit kan veralge. meend worden voor andere waarden van en Probleem 2. Een rijke weduwnaar bewaart zijn geld in een kluis met een elektronisch slot, dat kan geopend worden door een natuurlijk getal in te toetsen. De man heeft acht kinderen, en wil dat zijn kluis enkel open kan wanneer er minstens drie van de acht kinderen samenwerken. Hoe kan de man zijn geheime code doorgeven?

Drempelplan van Shamir. Noem de geheime combinatie. Eerst kiest de weduwnaar een geheime veelterm van graad twee waarvan de coĂŤfficiĂŤnten natuurlijke getallen zijn en waarbij de constante term gelijk is aan

Daarna berekent hij het getal dat hij aan zijn dat hij aan zijn eerste kind geeft, het getal tweede kind geeft, enzovoort. Ten slotte zegt hij aan zijn kinderen dat de geheime combinatie hoort bij het van de met de parabool die door snijpunt etc. gaat. Dat de punten met coĂśrdinaten er minstens drie kinderen nodig zijn om de veelterm en dus de code c te bepalen, volgt uit de volgende meetkundige eigenschap: drie verschillende punten op een parabool leggen die parabool uniek vast, maar twee of minder punten doen dat niet. We illusteren dit met een concreet voorbeeld uit [7].

E

c5 = 4414

F

c6 = 5614

G

c7 = 7002

H

c8 = 8578

Tabel 3 Een drempelplan voor (k; n) = (3; 8)

Spannen bijvoorbeeld enkel de kinderen en samen, dan kunnen ze proberen om de tweedegraadsveelterm te achterhalen door hun kennis en te vertalen in een lineair stelsel:

Zo vinden ze meerdere mogelijkheden voor de veelterm . Zonder een andere broer of en de geheime code c niet zus zullen de kinderen kunnen achterhalen. De achterliggende, meetkundige reden is dat er meerdere parabolen zijn die door de en gaan, zie Figuur 1. punten

Figuur 1 Door de punten P en Q gaat meer dan een parabool.

Werken bijvoorbeeld de kinderen verkrijgen ze het stelsel

,

en

samen, dan

Stel bijvoorbeeld dat de kinderen de getallen uit Tabel 3 kregen. kind

heeft getal

A

c1 = 1494

B

c2 = 1942

C

c3 = 2578

D

c4 = 3402

Met wat rekenwerk vinden ze een unieke oplossing voor dit stelsel, en bepalen zo de tweedegraadsveelterm . De geheime combinatie . Een ander drietal kinderen zal dezelfde is dus oplossing vinden.

22

Leerlingen die vertrouwd zijn met determinanten, ook oplossen door de kunnen het lineair stelsel regel van Cramer toe te passen. De coëfficiëntenmatrix is, op de volgorde van de kolommen na, een Vandermonde-matrix. Nu is de determinant van te schrijven als een Vandermonde-matrix van orde

een formule die met behulp van inductie kan worden bewezen. Hieruit volgt dat de determinant van de gelijk is aan coëfficiëntenmatrix van het lineair stelsel

en die is verschillend van nul precies omdat de punten , en alle verschillende met coördinaten x-waarden hebben. De regel van Cramer impliceert dan een unieke oplossing heeft, met dat het lineair stelsel als geheime code

van liggen, maar is niet bepaald door punten die op de grafiek van liggen.

of minder

Een expliciet voorschrift van die veeltermfunctie wordt een interpolatieformule genoemd, meest bekend zijn die van Lagrange en die van Newton. Voor een bewijs van deze eigenschap met bijbehorende interpolatieformules . De eigenschap verwijzen we naar garandeert ons dat het drempelplan van Shamir ook werkt ). voor andere waarden van en (waarbij 3. MODULAIR REKENEN ZORGT VOOR MEER VEILIGHEID Om na te gaan hoe veilig het drempelplan van Shamir is, hernemen we Probleem 2 en het drempelplan uit Tabel zelfzuchtig blijft en met 3 hierboven. Zelfs als kind niemand wil samenwerken, kan het toch wat informatie over de geheime code ontrafelen. De kennis leidt immers tot het verband dat , en omdat de onbekenden , , natuurlijke getallen zijn met , volgt hieruit dat . Zo worden de op het eerste zicht oneindig veel mogelijkheden voor teruggebracht tot zelfs bevoor1494 mogelijkheden. In zekere zin is kind enkel deeld ten opzichte van de anderen: zo kan kind . besluiten dat om samen te werken met , dan kunnen Beslist kind ze het aantal mogelijkheden voor de geheime code nog verder reduceren. Hun stelsel is dan equivalent met

Dat alle 3x3-stelsels dezelfde oplossing hebben, volgt uit het feit dat de maker van de code voor elke kind dezelfde tweedegraadsfunctie heeft gebruikt.

Kinderen

en

weten dus dat

150 mogelijkheden voor Deze redenering laat zien hoe de theorie van lineaire stelsels en determinanten verklaart dat een parabool volledig bepaald is van zodra we drie verschillende punten kennen die op de parabool liggen. Bovendien veralgemeend deze werkwijze zich tot een bewijs van de volgende meetkundige eigenschap.

Elke veeltermfunctie van graad is volledig bepaald door verschillende punten die op de grafiek

waarmee nog overblijven.

Dat veiligheidsprobleem wordt verholpen door het zogenaamd modulair rekenen. Daarvoor kiest de weduwnaar een priemgetal , waarvan de grootte de veiligheid van Shamir's drempelplan zal weerspiegelen. Bij wijze van , het grootste priemgetal voorbeeld kiezen we dat vier cijfers heeft. Rekenen modulo komt erop neer dat bij het optellen en vermenigvuldigen van gehele getallen het eindresultaat vervangen wordt door de

23

rest dan

bij deling van door . In dat proces schrijven we . Zo is bijvoorbeeld

De verzameling van alle mogelijke resten bij deling door wordt genoteerd als . In deze verzameling zijn de optelling en vermenigvuldiging inwendig. Het feit dat een priemgetal is, modulo een inverse voor de zorgt ervoor dat elk element in vermenigvuldiging modulo heeft. Zo is bijvoorbeeld ) (voor

Daarom zegt men dat de verzameling , voorzien van de optelling en vermenigvuldiging modulo , een veld kan op dezelfde is. Oplossen van lineaire stelsels over manier gebeuren als over , wat we in de derde graad gewoon zijn. Er kan dus gebruik gemaakt worden van rijherleiden, inverse matrices, determinanten en de regel . Ook hier kunnen de berekeningen van Cramer met behulp van een computeralgebrapakket worden uitgevoerd.

Dankzij het modulair rekenen kunnen zelfzuchtige kinderen hun kansen niet langer beduidend verhogen door informatie bij elkaar te sprokkelen. Werkt bijvoorbeeld kind alleen, dan kan het uit niet afleiden . Zo geldt voor , en dat ook dat . Op die manier nog steeds mogelijkheden voor heeft kind . Samenwerken met kind zal enkel opleveren dat , zodat er nog steeds 9972 mogelijkheden overblijven.

We sluiten deze tekst af met een oefening op het drempelplan van Shamir en modulair rekenen. Om je het plezier van het zoeken te gunnen, zullen we het eindantwoord niet expliciet vermelden. We geven wel mee dat het kwadraat van de geheime code een getal is waarin elk cijfer tweemaal voorkomt, zodat je jouw oplossing toch kan controleren.

Oefening. De koning bewaart een staatsgeheim in een kluis, die enkel kan geopend worden wanneer er minstens zes van zijn elf ministers aanwezig zijn. Hij voorziet de kluis van een viercijferige code en geeft elke minister een natuurlijk getal . Er is bekend dat de geheime code gelijk is aan de constante term van de vijfdegraadsveelterm met coĂŤfficiĂŤnten in waarvoor de waarde . Door een gelijk is aan in slordigheid komen de getallen hieronder in het staatsblad terecht. Kun jij de geheime code vinden?

REFERENTIES [1] L. Adleman, R. Rivest, A. Shamir, A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems, Communications of the ACM, vol. 21, no. 2, p. 120-126, 1978.

[2] G.R. Blackley, Safeguarding cryptographic keys, Proc.

AFIPS 1979 NCC, Vol. 48, p. 313-317, 1979.

[3] E. Brown, Saints and scoundrels and two theorems that are really the same, The college mathematics journal, Vol. 46, no. 5, p. 326-334, 2015.

[4] C.L. Liu, Introduction to combinatorical mathematics, McGraw-Hill, New-York, 1968.

[5] A. Shamir, How to share a secret, Communications of the ACM, vol. 22, no. 11, p. 612-613, 1979.

[6] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 1, Springer-Verlag, New Tork, 1991.

[7] Website https://en.wikipedia.org/wiki/Secret sharing, geraadpleegd 25 februari 2016.

Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van VVWL

24 UITWISKELING

TOEPASSINGEN VAN HOGERE AFGELEIDEN TOEN IK ENIGE TIJD GELEDEN IN HET VIJFDE JAAR DE LESSEN OVER EERSTE EN TWEEDE AFGELEIDE EN HUN BETEKENIS GAF, KWAM DE VRAAG VAN MIJN LEERLINGEN: ‘BESTAAT ER OOK EEN DERDE AFGELEIDE EN WAT BETEKENT DIE DAN?’ IK KON UITERAARD VERTELLEN DAT JE DE AFGELEIDE VAN EEN TWEEDE AFGELEIDE KUNT NEMEN OM EEN DERDE AFGELEIDE TE BEKOMEN. WAT BETREFT DE BETEKENIS EN DE TOEPASSINGEN KWAM IK NIET VEEL VERDER DAN DE MECHANICACONTEXT: DE AFGELEIDE VAN DE VERSNELLING IS DE OGENBLIKKELIJKE VERANDERING VAN DE VERSNELLING. DAAR HAD IK OOIT IETS OVER GELEZEN IN VERBAND MET TREINEN DIE AL HORTEND EN STOTEND OP GANG KWAMEN. DEZE VRAAG EN MIJN EIGEN NIEUWSGIERIGHEID ZIJN DE AANLEIDING GEWEEST VOOR WAT MEER OPZOEKWERK OVER DIT ONDERWERP. HET RESULTAAT WIL IK GRAAG MET JULLIE UITWISKELEN. G E R D H AU T E K I E T

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

1. GRAFISCHE BETEKENIS VAN DERDE AFGELEIDE De eerste afgeleide in een bepaald punt is de helling van de raaklijn en uit het teken kun je dus afleiden of de functie er stijgt of daalt.

De tweede afgeleide zegt hoe de eerste afgeleide verandert en hieruit kun je afleiden of de functiegrafiek er hol of bol is.

De derde afgeleide zegt hoe de tweede afgeleide verandert. Die is niet meer zomaar op zicht te interpreteren via het gedrag van een grafiek in een bepaald punt. Men heeft hiervoor het begrip ’aberrancy‘ gedefinieerd. Maar dat blijkt vrij ingewikkeld te zijn en daarom ga ik hier niet verder op in.

25

2. JERK EN SNAP We zijn goed vertrouwd met de begrippen verplaatsing, snelheid en versnelling. Ons lichaam voelt geen snelheid, maar wel verandering van snelheid of versnelling. Denk maar aan een passagier in een auto die constant versnelt.

Hij zal een constante kracht voelen van de zetel op zijn rug.

We zijn vertrouwd met de constante gravitatieversnelling.

Maar ongeveer alle andere versnellingen die we dagelijks ondergaan, zijn niet constant: bij autorijden of het nemen van een lift wordt ons lichaam blootgesteld aan krachten die ons een versnelling geven. Het menselijk lichaam kan verregaande effecten ondervinden bij de verandering in beweging. Denk bijvoorbeeld aan een whiplash na een aanrijding, het op gang komen van een auto bij een eerste rijles, het daveren of schokken van tram of trein, een bus die plots remt… Bij de meeste transportmiddelen zal men dan ook proberen de veranderingen in versnelling of kracht zo comfortabel of geleidelijk mogelijk te laten verlopen. Maar bij trampolines of bij rollercoasters in pretparken is het juist de bedoeling het lichaam grote veranderingen in soorten bewegingen te laten maken.

De verandering van versnelling wordt ‘jerk’ genoemd, van het werkwoord ‘to jerk’, rukken. Denk aan een plotse ruk aan een touw. De jerk is de derde afgeleide van de plaatsvector naar de tijd en heeft zeer belangrijke toepassingen in de mechanica. Een verandering in jerk, vierde afgeleide van de plaats naar de tijd, wordt ‘snap’ of ‘jounce’ genoemd, van het werkwoord ‘to snap’, dat happen betekent. Denk aan een hond die in je enkels wil bijten!

De vijfde en zesde afgeleide worden respectievelijk ‘crackle’ en ‘pop’ genoemd.

Snelheid zet je meestal niet aan of uit maar ze wordt opgebouwd van nul. Er is dus een versnelling. Zo ook wordt de versnelling niet aangezet maar ze wordt ook opgebouwd van waarde nul. Dus moet er jerk zijn. Die wordt ook niet plots aangezet maar opgebouwd vanaf nul. Dus moet er snap zijn… De termen jerk en snap zijn niet echt bekend, zelfs niet bij fysici en ingenieurs. Jerk is telkens te voelen als een verandering in kracht, als een toenemende of afnemende kracht op je lichaam werkt.

In een auto kun je het effect van snelheid, versnelling, jerk en snap goed voelen. Een ervaren chauffeur zal zachtjes

versnellen, een beginnende chauffeur zal meer ‘jerky’ rijden. Zeker bij het met de hand schakelen naar een andere versnelling zal de wagen dikwijls met horten en stoten rijden, het gevolg van jerk en snap. Denk ook aan hoe (hogesnelheids)treinen op snelheid komen en weer vaart minderen bij het naderen van hun bestemming; meestal gebeurt dit ‘smoothly’, maar soms gaat het gepaard met hevige schokken.

Ook bij andere toepassingen moet er rekening gehouden worden met jerk en snap. Bij het opstarten en uitzetten van machines, bij het opstijgen en landen van vliegtuigen of drones, bij versnellen en vertragen. Ook trillingen gaan altijd gepaard met jerk en snap. Een constante kracht of versnelling kan immers geen trilling veroorzaken. Een frezer kan zijn frees en/of zijn werkstuk verknoeien als de installatie begint te trillen als gevolg van jerk en snap. Ik bespreek enkele voorbeelden waarbij jerk een belangrijke rol speelt.

3. MODEL VAN EEN LIFT We vonden een mooi uitgewerkte lessenreeks bij Lauwers (2013) over liften in grote flatgebouwen. Het hoogste gebouw ter wereld is momenteel de Burj Khalifa in Dubai.

Met een hoogte van 828 m is het belangrijk dat liften snel en efficiënt grote hoogten kunnen overbruggen. De topsnelheid van een lift bedraagt momenteel 18 m/s of ongeveer 65 km/h. Voor zwangere vrouwen blijkt een versnelling van 1,25 m/s² en een jerk van 2,50 m/s³ het maximale te zijn dat medisch verantwoord is.

Je kunt je afvragen hoe een lifttraject eruitziet en hoelang het duurt om boven te raken. Het materiaal uit de lessenreeks kan zelfstandig door leerlingen opgelost worden.

Er wordt eerst gevraagd uit te rekenen hoelang een lift erover zou doen als hij met de maximumsnelheid van 18 m/s heel het traject zou afleggen. Dit is natuurlijk geen realistische situatie: de lift staat eerst stil en moet dan versnellen tot zijn maximale snelheid.

Een eerste model (zie figuur 1) gaat uit van een constante versnelling van 1,25 m/s² bij het versnellen en −1,25 m/s² bij het vertragen. Tussenin blijft de lift met zijn maximale snelheid bewegen. Eerst worden er enkele vragen gesteld over het verband tussen de versnellingsgrafiek (bovenaan) en de snelheidsgrafiek (onderaan).

26

Figuur 1 Model 1 voor de lift zonder jerk

Figuur 2 Model 2 voor de lift met jerk

Dit moet volstaan om het onderstaande probleem op te lossen. Bekijk het volgende model: de maximale snelheid van de lift is 18 m/s en de versnelling is precies 1,25 m/s².

De lift gaat zonder stoppen, in één keer van het gelijkvloers naar de hoogte van 565,4 m.

We onderscheiden drie fasen:

De berekening kan gebeuren door eerst de oppervlakte te berekenen onder de snelheidsgrafiek bij het versnellen en vertragen. Dan kan berekend worden hoelang de lift op zijn maximale snelheid moet bewegen.

Fase 1: de snelheid neemt lineair toe van 0 m/s tot 18 m/s, bij een constante versnelling van 1,25 m/s².

Fase 2: de snelheid blijft zo lang mogelijk constant 18 m/s.

Fase 3: de snelheid neemt lineair af van 18 m/s tot 0 m/s, bij een constante versnelling van −1,25 m/s², totdat de snelheid op 565,4 m weer 0 m/s is.

Bereken hoelang elke fase duurt.

Vervolgens wordt het model uitgebreid omdat de versnelling niet abrupt mag beginnen of stoppen. Dat is immers niet comfortabel en ronduit slecht voor zwangere vrouwen.

De versnelling moet rustig op- of afgebouwd worden. En hier komt de jerk tevoorschijn.

We bekijken een model (zie figuur 2) waarbij de versnelling lineair stijgt tot haar maximale waarde, ze blijft op haar maximale waarde, en neemt daarna lineair af tot 0 m/s².

27

Dan is de snelheid maximaal en dit blijft zo gedurende enige tijd. Daarna vindt eenzelfde soort proces plaats maar dan omgekeerd om de snelheid weer tot 0 m/s te brengen. Het is opnieuw de bedoeling om voor elke fase te berekenen hoelang ze duurt en hoe de snelheid en de hoogte veranderen.

Bekijk het volgende model: de maximale snelheid van de lift is 18 m/s, de maximale versnelling is 1,25 m/s² en de jerk is 2,50 m/s³. De lift gaat zonder stoppen, in één keer van het gelijkvloers naar de hoogte van 565,4 m. We onderscheiden nu zeven fasen: Fase 1: de versnelling neemt lineair toe van 0 m/s² tot 1,25 m/s², bij een constante jerk van 2,50 m/s³.

Fase 2: de versnelling is constant 2,50 m/s², de jerk is 0 m/s³, de snelheid neemt lineair toe.

Fase 3: de versnelling neemt lineair af van 1,25 m/s² tot 0 m/s², bij een constante jerk van −2,50 m/s³.

Fase 4: de versnelling en jerk zijn 0 (m/s² en m/s³), de snelheid is constant 18 m/s.

Fase 5: de negatieve versnelling neemt lineair ‘toe’ van 0 m/s² tot −1,25 m/s², bij een constante jerk van −2,50 m/s³.

Fase 6: de versnelling is constant −1,25 m/s², de jerk is 0 m/s³, de snelheid neemt lineair af.

Fase 7: de negatieve versnelling neemt lineair ‘af’ van −1,25 m/s² tot 0 m/s², bij een constante jerk van 2,50 m/s³.

Bereken voor elke fase de duur en de snelheid en de hoogte van de lift.

4. ACHTBANEN, ROLLERCOASTER Bij de attracties in pretparken is het belangrijk dat men veel sensatie voelt: daarom wordt de versnelling opgevoerd. Zowel de grootte, de duur als de snelheid waarmee dit gebeurt, moeten op gecontroleerde wijze plaatsvinden zodat het veilig blijft voor de gebruikers. De biomechanische effecten van sterke versnellingen zijn niet altijd plezierig: ze kunnen minder leuke ervaringen opleveren maar ook gevaarlijk zijn voor de gezondheid. Uit experimenten (meestal voor militaire doeleinden) is gebleken welke de maximaal toegestane versnelling is. Zo is bij een lancering van een ruimtetuig een constante lineaire gedurende 12 s toegelaten maar versnelling van mag maar 1,5 s een constante lineaire versnelling van

duren. Bij rollercoasters komen zulke lange periodes van constante versnelling niet voor. Maar als je in een carrousel zit die draait met een constante hoeksnelheid, met je gezicht gericht naar het middelpunt, komen ook zulke versnellingen voor.

Rollercoasters zijn complexe systemen met combinaties van hellingen, loopings en schroefbewegingen. Het is aan de ingenieurs om te zorgen dat alle versnellingen in de verschillende dimensies binnen de grenzen van het toelaatbare blijven.

5. DESIGN VAN BOCHTEN IN SNELWEGEN EN SPOORBANEN De overgangsboog van een rechtlijnige (spoor)baan naar een bocht verloopt het best volgens een deel van de clothoïde of spiraal van Cornu. De kromtestraal wordt geleidelijk aan kleiner (of groter) als je met een constante snelheid over de clothoïde rijdt (zie figuur 3).

In dat geval is de verandering in versnelling niet abrupt en zijn de hoeveelheid jerk en snap in grote mate gereduceerd. Als de overgang tussen verschillende kromtestralen van een bocht te snel gebeurt, heeft dit vervelende gevolgen voor de passagiers en kan er zelfs toe leiden dat de trein uit de bocht vliegt of ontspoort.

Ingenieurs zullen daarom proberen te zorgen voor een lineair veranderende jerk en constante snap. Dit geeft dan een zachte toename van de normale versnelling. Nog beter is een zero snap en constante jerk. Dit betekent dat bij het doorlopen van een bocht een automobilist met constante hoeksnelheid het stuur kan verdraaien. De toename van de kromming per tijdseenheid is gelijk als je met een constante snelheid door de bocht rijdt.

Figuur 3 De clothoïde en de overgangsboog

28

Ook bij het ontwerp van rollercoasters en zelfs van hondenrenbanen kan het gebruik van de clothoĂŻde voorkomen dat er ongelukken gebeuren.

6. TRAMPOLINESPRINGEN Bij trampolinespringen heb je een combinatie van vrije val en een harmonische trilling. De maximale opwaartse kracht van de trampoline op het lichaam met massa is , met een maximale versnelling van .

Hierbij is een parameter die varieert per sprong. Als de voeten in contact zijn met de springmat, neemt de versnelling sinusoĂŻdaal toe: als de springer de evenwichtspositie passeert, is de versnelling 0 en de kracht van de , de zwaartekracht compenserend. Voor het mat is deel van de sprong waar de springer in de lucht hangt, is de versnelling constant gelijk aan en zijn de jerk en de hogere afgeleiden 0. Als de springer in contact is met de trampoline, is de jerk een cosinusfunctie, en bij elke volgende afgeleide verandert de sinus in cosinus of de cosinus in een negatieve sinus. De jerk is 0 als de versnelling maximaal is. Als de versnelling de nulwaarde passeert, is de jerk maximaal als de springer bezig is aan de neerwaartse beweging en minimaal als de springer bezig is aan zijn opwaartse beweging.

Figuur 4 Versnelling en jerk bij trampolinespringen

In figuur 4 zie je de resultaten van versnellingsmetingen met een accelerometer en de jerk gedurende 5 opeenvolgende sprongen op een trampoline. (Op de meeste tablets en smartphones kun je een app downloaden die de versnellingen meet in drie dimensies.) Merk op dat de is als de springer in de versnelling (blauwe kromme) lucht is en maximaal is als de mat in haar diepste dood punt is (waar de snelheid 0 is en van zin verandert). De rode punten tonen de ruwe jerkgegevens. Er is ook een functiegrafiek getekend die de grote schommelingen van de gegevens wat uitmiddelt.

We zien in de jerkgrafiek (rood) twee extreme waarden per sprong: een maximum onmiddellijk nadat de voeten contact maken met de mat en een minimum als de voeten de mat lossen.

Jerk is iets waar we dagelijks mee te maken hebben, maar het wordt bij mijn weten nergens besproken in het secundair onderwijs. Deze toepassingen zijn nochtans niet zo ingewikkeld om te begrijpen. Het is ook een mooi en haalbaar onderwerp voor verder onderzoek door leerlingen.

BRONNEN Eager, D., Pendrill, A.-M., Reistad, N. (2016). Beyond velocity and acceleration: jerk, snap and higher derivatives. European Journal of Physics 37. Online beschikbaar: http://iopscience.iop.org/ 0143-0807/37/6/065008 Lauwers, F. (2013). Een model voor een lift. Leergang wiskunde.

Online beschikbaar : www.leergangwiskunde.nl/docs/ lesmateriaal/Een%20model%20voor%20een%20lift-1.pdf Schot, S.H. (1978). Jerk: The time rate of change of acceleration.

American Journal of Physics 46. Online beschikbaar: http:// scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/46/11/10.1119/1.11504 Schot, S.H. (1978a). Aberrancy: Geometry of the Third Derivative.

Mathematics Magazine 51/5, 259-275. Online beschikbaar: www.jstor.org/stable/2690245 http://math.stackexchange.com/questions/14841/what-is-themeaning-of-the-third-derivative-of-afunction-at-a-point

Dit artikel verscheen in het tijdschrift Uitwiskeling (jaargang 33 nummer 2). Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskundeonderwijs. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

29 USOLV-IT

USOLV-IT: OEFEN- EN INSPIRATIEPLATFORM USOLV-IT IS EEN ZEER RIJK GEVULD1 DIGITAAL PLATFORM WAAR LEERKRACHTEN EN LEERLINGEN TERECHTKUNNEN VOOR HOOGKWALITATIEVE OEFENINGEN. OORSPRONKELIJK WAS HET GESTART ALS PLATFORM VOOR WISKUNDE, MAAR DE MOGELIJKHEDEN WERDEN DE LAATSTE JAREN STERK UITGEBREID MET NU OOK OEFENINGEN FYSICA, CHEMIE EN ECONOMIE. BINNENKORT VOLGT EEN VERDERE UITBREIDING MET AARDRIJKSKUNDE, BIOLOGIE EN TECHNOLOGIE. ALS LERAAR BOUW JE BIJVOORBEELD ONLINE OEFENREEKSEN VOOR JE LEERLINGEN, MAAR OOK EEN OFFLINE ('POTLOOD EN PAPIER') AANPAK IS MOGELIJK. DE OEFENINGEN IN HET PLATFORM BESCHIKKEN STEEDS OVER EEN UITGEWERKTE ANTWOORDREDENERING, STAPSGEWIJS OPGEBOUWD. DEZE VORM VAN FEEDBACK BIEDT LEERLINGEN DE OPPORTUNITEIT OM FOUTEN IN DE EIGEN REDENERING TE ONTDEKKEN EN EEN GOEDE AANPAK AAN TE LEREN. M I C H I E L D U M O N & PAU L I G O D T 2

Je toegang tot de Leerkrachtinterface is persoonlijk en afgeschermd. Binnen eenzelfde school kun je hierin evenwel met collega’s samenwerken. Met deze toepassing kan je o.a. oefenreeksen opstellen naar eigen keuze.

Oefenreeksen kunnen zowel formatief als summatief van aard zijn. Ben je verbonden met Smartschool dan kan je de oefenreeks digitaal met dat platform aanbieden; een eigen school-intranet biedt natuurlijk ook mogelijkheden. Verkies je een meer klassieke manier van werken? Dat kan ook!

Dan print je de opgaven van de oefenreeks – al dan niet als open vraag – en kan de oefenreeks tijdens de lestijd in de klas gemaakt worden. Veel collega’s laten blijken

1 2 3

dat ze het platform ook als enorme bron van inspiratie aanwenden: een fris idee voor een oefening is immers altijd welkom, en meestal snel gevonden. Als leraar bepaal jij het scenario en zit jij aan het stuur!

Naast alle opgaven van de Wiskunde Olympiade, de chemie-olympiade en al heel wat oefeningen van de Kangoeroewedstrijd worden ook alle oefeningen van de fysica-, biologie-, aardrijkskunde- en technologieolympiades systematisch toegevoegd. USolv-IT is hiervoor werkelijk de referentie. En dan hebben we het nog niet gehad over de duizenden oefeningen wiskunde, fysica,

Meer dan 13000 oefeningen en toenemend.

Prof. Paul Igodt, KU Leuven Kulak, is mede-oprichter en nog steeds coördinator van de Vlaamse Wiskunde Olympiade.

Ingenieur Michiel Dumon is de IT-architect van het USolv-IT-platform.

USolv-IT wordt aanbevolen op http://toelatingsexamenartstandarts.be/voorbereidende-initiatieven

30

statistiek en economie die ingevoegd werden omwille van studieoriëntering, het inoefenen van specifieke vaardigheden (zoals merkwaardige producten, volgorde van bewerkingen…) of omdat ze opgenomen waren in de Toelatingsexamens Arts en Tandarts3 of een universitaire ijkingstoets van de voorbije jaren. Jaarlijks groeit het aantal oefeningen met enkele honderden aan. Hier dragen enkele vaste organisaties structureel toe bij, maar ook individuele leerkrachten en docenten werken mee. Een oefening bevat steevast informatie over zijn (rechthebbende) auteur, die zo erkenning krijgt voor haar werk, dat door vele gebruikers kan worden opgepikt. Inzet wordt voor iedereen veelvoudig beloond met heel wat extra oefenmateriaal.

Bij de ontwikkeling van het platform ligt de focus op het gebruik in onderwijsverband en daarvoor geschikte scenario’s. Zo is het bouwen van een 'vaste oefenreeks' met precies die oefeningen die jij aan de leerlingen wil voorleggen een populair scenario. In heel korte tijd heb je eveneens een exacte vragenbundel van eender welke jaargang en ronde van een olympiade gebruiksklaar of bouw je een oefensessie met specifieke oefeningen uit een universitaire ijkingstoets of toelatingsproef. En of dit helpt om je leerlingen te gidsen bij hun voorbereiding op hoger onderwijs!

Een veelgebruikte en handige presentatievorm voor jouw favoriete oefeningen is de zogenaamde 'inhoudstafel'. In je persoonlijke Leerkrachtomgeving bouw je zo’n inhoudstafel, geef je een eigen benaming aan de onderverdelingen en verbind je daar jouw favoriete oefeningen aan. Zo kun

je aan je leerlingen thematisch gebundeld oefeningen aanbieden. Je leerlingen kunnen op basis van een inhoudstafel zelf oefenreeksen genereren, per hoofdstuk, met de opgaven die je voor hen beschikbaar stelt.

Andere oefeningen kun je voorbehouden voor specifieke toetsmomenten en maak je dus niet meteen beschikbaar voor de leerlingen. Het werken met inhoudstafels kun je binnen de school gezamenlijk met meerdere collega’s opzetten en onderhouden. Zo verdeel je het werk en maak je het makkelijker om bv. in parallelklassen met identiek of equivalent oefenmateriaal aan de slag te gaan.

Samenwerken loont!

Het platform wordt op niet-commerciële basis uitgebaat (kostendelend), als een gebruikersgroep waarbij gebruikers zowel personen, instellingen (bv. scholen) als hogescholen en universitaire faculteiten kunnen zijn. Als leerkracht kun je je aansluiten op individuele basis of met de school. Bij elk lidmaatschap dat een school aangaat, kunnen tot 20 leerkrachten een individuele account voor het platform krijgen, zonder extra kost per aangesloten collega.

Het USolv-IT-team voorziet de ontwikkeling van nieuwe toepassingen voor leerlingen die deelnemen aan een olympiade (eender welke van de hierboven genoemde).

We streven ernaar om de deelnemers aan een olympiade zelf aan het stuur te laten zitten van eigen oefengedrag en belangstelling. Specifiek voor hen zal een afzonderlijk Leerling+-account ontworpen worden, met welomlijnde inhouden.

In een notendop Wat?

Vaak uniek oefenmateriaal, kwaliteitsvol afgewerkt en educatief gericht

Waarom?

Extra lesmateriaal, differentiatie, remediëring, studieoriëntering

Hoe?

Digitaal, op papier, of louter inspiratie

Wie?

Individuele leraar of samen met collega’s in een schoollidmaatschap

Eerste graad?

Kangoeroe, volgorde van bewerkingen, getallenverzamelingen

Tweede graad?

Olympiades, ontbinden in factoren

Derde graad?

Olympiades, IJkingstoetsen, Toelatingsexamen Arts & Tandarts, Toelatingsproef Militaire School

Prijs?

100 euro / jaar voor een schoollidmaatschap (20 accounts)

Info nodig?

www.usolvit.be of usolvit@kuleuven.be

Universitaire partners

In KU Leuven, Universiteit Gent, Vrije Universiteit Brussel

31

32 POST-IT QUIZ

BEGRIPPEN TELPROBLEMEN EN COMBINATIELEER: POST-IT QUIZ IN WISKUNDE & ONDERWIJS NR 172 KON U REEDS ONZE POST-IT QUIZ TERUG VINDEN DIE WIJ MET ONZE LEERLINGEN SPELEN OM DE BEGRIPPEN VERSCHUIVING EN VERSCHALING VAN FUNCTIES BETER IN TE OEFENEN ALVORENS HEN SCHRIFTELIJK TE TOETSEN. I S A B E L G O F FA

- W I S K U N D E & O N D E RW I J S

Het concept is eenvoudig: de leerlingen krijgen vier verschillende kleuren Post-Its en de antwoorden van de vragen worden telkens in die 4 kleuren geprojecteerd.

Na een paar minuutjes bedenktijd, moeten de leerlingen op jouw signaal allemaal tegelijkertijd een gekleurde Post-It omhoog steken.

Als leraar merk je direct welke leerlingen het nog niet volledig begrepen hebben en ook de leerlingen beseffen zo of ze dit onderdeel reeds voldoende onder de knie hebben en of ze zichzelf nog moeten bijsturen voor de eventuele herhalingstoets.

In het zesde middelbaar merken wij vaak dat de begrippen die bij telproblemen en combinatieleer ingevoerd worden, niet door alle leerlingen direct volledig begrepen worden.

Om hen zo de kans te geven hun zelfkennis te testen, hebben wij een nieuwe Post-It quiz ontwikkeld.

Graag willen wij ook deze quiz met u delen. Veel succes indien u hem zelf een keertje zult proberen!

Uit: Wiskunde & Onderwijs, tijdschrift van VVWL

33 VRAAG 1

VRAAG 4

Als ik 5 kaarten trek uit een bundel van 52 kaarten, dan kan ik dat op manieren: a) Juist, al is er herhaling mogelijk b) Fout, het is een variatie van 5 uit 52 c) Juist, de volgorde waarin ik mijn kaarten trek maakt niet uit, enkel welke 5 kaarten ik heb d) Fout, het antwoord is 5!

Tien meisjes dingen mee naar het kroontje van Miss Belgique. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de miss en de twee eredames (m.a.w de top drie) te verkiezen? a) 120 b) 720 c) 3 d) 30

VRAAG 2

VRAAG 5

Als de volgorde belangrijk is en er is herhaling mogelijk, dan heb ik volgend type telprobleem: a) b) c) d) als het aantal herhalingen niet gegeven is, anders heb ik een herhalingspermutatie

Zeg over welk type telprobleem het gaat als ik 3 dwergen moet kiezen die sneeuwwitje een kus mogen geven: a) variatie b) combinatie c) permutatie d) herhalingscombinatie

Ik gooi met 5 dobbelstenen en denk zo veel mogelijke uitkomsten te hebben voor het aantal ogen: a) 6, want er staan 6 ogen op een dobbelsteen b) 5, want ik gooi met 5 dobbelstenen , dit is een herhalingsvariatie c) , dit is een herhalingsvariatie d)

VRAAG 3

VRAAG 6

VRAAG 9

Als ik het aantal mogelijkheden voor een anagram van het woord Xmoswastof wil tellen, dan kan ik dit duidelijk via een: a) herhalingspermutatie b) permutatie c) herhalingsvariatie d) combinatie

VRAAG 10

6HUWW (7 lln) besloot een avond samen naar de film La La Land te gaan kijken in de cinema. Torben hoopt stiekem naast Oona te kunnen zitten.

Hoeveel mogelijkheden heeft hij? a) 7! b) 7!.2 c) 6.7 d) 6!.2

Zeg over welk type telprobleem het gaat als ik 20 stukken van 1 euro moet verdelen over deze 3 dwergen: a) variatie b) combinatie c) permutatie d) herhalingscombinatie

VRAAG 7

Een mogelijk vraagstuk waarbij je de variatie als type telprobleem kan gebruiken is: a) een getal vormen van 4 verschillende cijfers als je alleen oneven cijfers mag gebruiken b) een getal vormen van 4 cijfers als je alleen oneven cijfers mag gebruiken c) een getal vormen van 4 cijfers als je alleen even cijfers mag gebruiken d) een getal vormen van 4 cijfers als je alle cijfers mag gebruiken

VRAAG 8

Op het huwelijksfeest van Arnaud en Olivia wordt er geklonken op hun geluk. Aan 1 bepaalde tafel klinkt 78 maal het geluid van 2 glazen. Hoeveel mensen zitten er aan deze tafel als je weet dat iedereen met iedereen heeft geklonken? a) 78 b) 77 c) 12 d) 13

ANTWOORDEN 1) c - 2) d - 3) a - 4) b - 5) b - 6) d - 7) a - 8) c - 9) d - 10) d

34 UITWISKELING

HET REKENWONDER IN DIT ARTIKELTJE BESCHRIJF IK EEN KLEINE GOOCHELTRUC DIE VERBAND HOUDT MET DE â&#x20AC;&#x2DC;PERIODEâ&#x20AC;&#x2122; IN EEN DECIMALE VORM VAN EEN RATIONAAL GETAL. EERST KOMT DE UITLEG OVER HOE JIJ DE TRUC KUNT UITVOEREN (OF HOE JE LEERLINGEN DIT KUNNEN). DAARNA GA IK IN OP EEN VERKLARING EN TOT SLOT LEG IK EEN VERBAND MET DE LEERSTOF VAN HET DERDE JAAR. MICHEL ROELENS

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

INSTRUCTIES Je schrijft het getal 5 882 352 941 176 470 op het bord. Als je geheugen dit toelaat, leer je dit getal op voorhand uit het hoofd en doe je alsof je een totaal willekeurig groot getal opschrijft. Je vraagt het publiek een getal te geven tussen 2 en 16. Je vermenigvuldigt deze twee getallen supersnel: onmiddellijk schrijf je het product op. Je laat het resultaat controleren met een computer.

Hoe vind je zo snel het product?

Noem het wondergetal dat je opgeschreven hebt en het getal van het publiek. : ga in op zoek â&#x20AC;˘ Als naar het kleinste getal van twee cijfers dat groter is dan . Schrijf vanaf daar de cijfers van op tot je â&#x20AC;&#x2DC;rond bentâ&#x20AC;&#x2122; en vul aan met een nul. , dan is . Het Bv. als kleinste getal van twee cijfers groter

dan 30 is 35. Dus

: ga in op zoek â&#x20AC;˘ Als naar het op ĂŠĂŠn na kleinste getal van twee cijfers dat groter is dan . Schrijf vanaf daar de cijfers van op tot je â&#x20AC;&#x2DC;rond bentâ&#x20AC;&#x2122; en vul aan met een nul. , dan is . Nu Bv. als moet je niet starten bij 70 maar bij 76. Dus

is het analoog â&#x20AC;˘ Voor maar ga je op zoek naar het op twee na kleinste getal van twee cijfers dat net groter is dan .đ?&#x2018;Ľ VERKLARING Deel 1 door 17. Met een rekenmachine . Met een vind je computer kun je meer cijfers zien.

Bijvoorbeeld met Wolfram Alpha:

Ons wondergetal is ĂŠĂŠn periode van de decimale voorstelling van als je deze periode niet bij 0 maar met , 5 laat beginnen. Of nog: van het geheel gedeelte van honderd biljard. Het is dus alles behalve een willekeurig getal. Om er zicht op te krijgen, voer ik even een staartdeling uit om door te delen.

35

vormen op De decimale cijfers van die manier een cyclische permutatie en het van de decimale cijfers van zesvoud van het wondergetal is dan ook een cyclische permutatie van zelf. Dit geldt natuurlijk analoog voor andere factoren dan 6. Het volstaat het begincijfer te vinden in .

Op Mathpuzzle worden deze instructies door een mooi rad gevisualiseerd.

Alle mogelijke resten 1, 2, 3,…16 komen één keer voor. Daardoor heeft het quotiënt een periode van heeft lengte 16. Voor elk getal een periode waarvan de lengte kan variëren van 1 tot ; voor heeft de periode dus de maximale lengte.

Stel dat het getal waarmee je het wondergetal wilt vermenigvuldigen, 6 is. Dit komt neer op het delen van 600 000 000 000 000 000 door 17. De opeenvolgende resten, en dus ook de opeenvolgende cijfers van het quotiënt, zijn dezelfde behalve (en dus bij dat alles start bij rest quotiëntcijfer ).

(zie staartdeling). Dit betekent dat je (of 5,8) moet nemen en 6 keer naar beneden afronden. Sterk naar beneden afgerond komt dit neer op 6 keer 5. In plaats van 5 zou 5,8 beter zijn maar dit rekent niet handig voor de goochelaar. Doordat 5 eigenlijk te klein is, moet in sommige gevallen niet gestart worden bij het kleinste maar bij getal dat groter is dan het op één na of op twee na kleinste.

Hoe groter het getal waarmee vermenigvuldigd wordt, hoe meer wordt het verschil tussen 5 en ‘opgeblazen’ zodat er meer kans is dat ook andere getallen van twee cijfers uit het wondergetal ‘ertussen raken’...

Je vraagt je wellicht af of er nog getallen zijn zoals 17, getallen zodat een maximale periode heeft. Jazeker:

(Merk op: 2 hoort er strikt genomen ... heeft ook bij want een maximale periode, namelijk van lengte 1.)

Figuur 1

Volgens de instructies vermenigvuldigt de goochelaar het getal van het publiek met 5. Wat is die 5 precies? Welnu, om het begin van de cyclische permutatie te vinden moet je in dit voorbeeld 600 delen door 17 en naar beneden afronden

De getallen 2, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167... zijn allemaal priemgetallen. Merk op: het zijn zeker niet alle priemgetallen. =0,076923 0769… heeft een Bv. periode van lengte 6. En de periode =0,090909… is nog veel korter! van Je zou dezelfde goocheltruc dus ook kunnen uitvoeren met de periode van het omgekeerde van één van die andere getallen. Het getal heeft periode 6: niet spectaculair genoeg. is zeker wel spectaculair En genoeg, vandaar dus. Maar stel dat je de truc meer dan één keer wilt uitvoeren met een overlapping in het

36

publiek, dan kun je overwegen om de of te nemen... volgende keer

VERBAND MET GETALTHEORIE Hier is nog meer over te vertellen.

Deze paragraaf is echter niet essentieel voor het begrijpen van de truc. is De lengte van de periode van zodat de het kleinste getal door gelijk is rest bij deling van aan 1, of anders gezegd zodat .đ?&#x2018;&#x203A; Dit is nog eenvoudig in te zien, want als je de staartdeling uitvoert, begint alles opnieuw zodra de rest 1 is...

Opdat een maximale periode zou . hebben, moet gelijk zijn aan Lezers die kaas gegeten hebben van getaltheorie, zullen opmerken dat voldaan is voor alle priemgetallen behalve 2 en 5. Dit is de â&#x20AC;&#x2DC;kleine stelling van Fermatâ&#x20AC;&#x2122;. Maar: de dit betekent nog niet dat kleinste exponent van 10 is waarvoor dat geldt! Dat is wat misloopt bij 11 en 13. Bovendien geldt het omgekeerde van de kleine stelling van Fermat niet;

er zijn ook â&#x20AC;&#x2DC;pseudopriemgetallenâ&#x20AC;&#x2122;, die wel voldoen aan getallen maar die niet priem zijn. Persoonlijk wist ik niet of er ook pseudopriemgetallen zijn waarvan het omgekeerde een maximale periode heeft. Maar, toegegeven, van getaltheorie heb ik enkel een beetje smeerkaas gegeten...

Een collega binnen de redactie van Uitwiskeling, die van getaltheorie wat harde Parmezaanse kaas heeft gegeten, kon er een antwoord op geven: het moeten wel degelijk priemgetallen zijn! De uitleg is te zoeken in de theorie van de groep . De elementen van deze eindige multiplicatieve groep zijn de restklassen modulo van de gehele getallen waarvoor .

Opdat de decimale vorm van een maximale periode zou hebben, moet de restklasse van 10 een voortbrenger (of â&#x20AC;&#x2DC;primitieve wortelâ&#x20AC;&#x2122;) zijn van deze groep en moet deze groep bovendien elementen hebben. Deze juist laatste voorwaarde impliceert dat een priemgetal moet zijn.

VERBAND MET DE LEERSTOF In het derde jaar ontdekken de leerlingen het bestaan van irrationale

getallen: getallen die niet als een breuk te schrijven zijn, of nog: getallen waarvan de decimale vorm geen is een â&#x20AC;&#x2DC;periodeâ&#x20AC;&#x2122; bevat. Het getal goed voorbeeld om te laten zien dat je die periode niet altijd zomaar met je rekenmachine kunt vinden. De rekenmachine geeft niet genoeg cijfers. De decimale vorm lijkt wel afkomstig van een irrationaal getal. En toch is overduidelijk een breuk. Met de hand kun je die periode wel bepalen (zie staartdeling hogerop).

Deze goocheltruc kan de interesse voor de staartdeling en de periode van een decimale vorm verhogen of opwekken!

BRONNEN Depoorter, J., Roelens, M., Verbeeck, G. (2012). Goochelen in de wiskundeles.

Uitwiskeling 28/2, 25-58.

Dufraign, H., goochelaar.

Mathpuzzle. http://www.mathpuzzle.com/ fraction.html.

Wolfram Alpha. www.wolframalpha.com.

Dit artikel verscheen in het tijdschrift Uitwiskeling (jaargang 31 nummer 4). Uitwiskeling is een tijdschrift van en voor wiskundeleraren, helemaal vanuit de praktijk van het wiskundeonderwijs. Benieuwd naar meer? Op de webstek www.uitwiskeling.be vind je alle info.

VWO, VRAAG 27 Alle symbolen in de figuur hiernaast ( , , en ) stellen verschillende strikt positieve getallen voor. Hoeveel viertallen zijn er die in dit schema passen?

A

1

B

2

C

4

D

6

E

Een oneindig aantal

Š Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING

37 PLATFORM WISKUNDE VLAANDEREN

NAAR EEN PLATFORM WISKUNDE VLAANDEREN B A R T D E M O O R , A N N D O O M S , PAU L I G O D T, E R I C J E S P E R S , S O R I N P O P, G I OVA N N I S A M A E Y, B E R T S E G H E R S , S T E FA A N VA E S , J O R I S VA N D E R J E U G T, W I M VA N R O O S E

Ook voor grote maatschappelijke uitdagingen zal wiskunde een sleutelcomponent blijken. Een paar voorbeelden?

© imaginarymaths.be

Om de groeiende mobiliteitsknoop te ontwarren, wordt gewerkt aan navigatiesystemen die niet alleen rekening houden met de huidige verkeersdrukte, maar ook de verkeersdrukte voorspellen op het moment dat je ergens zult langskomen. Zelfrijdende auto’s hebben tegelijk nood aan goede beeldverwerking en snelle beslissingsmethodes om zich veilig een weg te banen door het drukke verkeer en de vele hinderpalen.

WISKUNDE IS ALOMTEGENWOORDIG EN VAN VITAAL BELANG Wiskunde beheerst zowat alle aspecten van ons dagelijkse leven, meestal goed verborgen. Er zit wiskunde in elk digitaal toestel, en bij elke zoekactie op het internet wordt achter de schermen wiskundig geoptimaliseerd.

Ook de voorbereiding van beleidsbeslissingen is gestoeld op wiskundige optimalisatie, en ieder van ons neemt voortdurend dagdagelijkse beslissingen met de bedoeling een of andere 'kost' te minimaliseren. Elk individu beoefent dus voortdurend wiskunde, vaak zelfs onbewust.

Ook de transitie naar hernieuwbare energie biedt tal van wiskundige uitdagingen. Het ontwerp van efficiënte batterijen, duurzaam en snel oplaadbaar, wordt gedreven door een combinatie van chemische en wiskundige technologie. Het optimaal inzetten van hernieuwbare bronnen met variabel vermogen, zoals zonnecellen en windturbines, wordt mogelijk doordat we steeds beter in staat zijn de impact van onzekerheden in energieproductie en -consumptie op de stabiliteit van het elektriciteitsnetwerk in te schatten.

En dan hebben we het nog niet eens gehad over het bredere belang van wiskundige vorming: het precies formuleren van vraag en antwoord, het ordenen van gegevens, het opbouwen van een redenering. Of over de 'schoonheid' van de wiskunde: het puzzelen, het plots zien van een onvermoed patroon, of een verrassend inzicht in de samenhang.

38

Wiskunde belangt iedereen aan, los van leeftijd, beroep of opleidingsniveau. De wiskundige gemeenschap is dan ook onvermoed groot. Leerkrachten die instaan voor het onderwijs van wiskunde, op alle niveaus en in alle richtingen. Jongeren die het (niet zonder moeite) aanleren als een basisvorming. Vele jongeren die er een talent voor ontdekken. Beroepsmatige gebruikers van wiskunde: ingenieurs, wetenschappers, economen, bedrijfsleiders, bankiers, beleidsmakers, sociologen, geneeskundigen, enz. Zelfs kunsthistorici werken tegenwoordig samen met wiskundigen om schilderijen te restaureren of de echtheid van kunstwerken na te gaan.

De wiskunde is ook nooit af: er blijven steeds verbanden te ontdekken, nieuwe inzichten te verwerven, en nieuwe technieken te ontwikkelen voor nieuwe problemen die zich stellen. Nieuwe inzichten kunnen voortvloeien uit de studie van een bepaald probleem, maar zijn soms even goed het gevolg van fundamenteel wiskundig onderzoek, 'Wiskunde om de wiskunde', waarbij nieuwe, voordien onbegrepen, verbanden blootgelegd worden puur omwille van een innerlijke drang tot inzicht. Ook op dit pad wagen zich heel wat wiskundigen. Net zoals het werk

van (bijvoorbeeld) Fermat en Galois nu de hoofdrol speelt in de hedendaagse databeveiliging, blijkt ook hun werk misschien binnen honderden jaren de sleutel tot succes.

NAAR EEN 'PLATFORM WISKUNDE VLAANDEREN' Door dit universele belang van wiskunde en de vele manieren waarop het ons dagelijks leven en ons mens-zijn beïnvloedt, is de wiskundige gemeenschap in Vlaanderen zeer groot. Toch zijn grote groepen van de bevolking zich niet bewust van de wiskunde die hen omringt. De wiskundige inbreng rondom ons blijft grotendeels onzichtbaar.

Ian Stewart1 verwoordt het als volgt in zijn Brieven aan een jonge wiskundige: “Eigenlijk zouden we een rode sticker moeten kleven op dingen die ons omringen en waar wiskunde aan de basis voor ligt, met als opschrift Math Inside. Alleen zouden er dan zoveel rode stickers overal op kleven dat we niets anders meer zouden kunnen zien!” Die zeer grote wiskundige gemeenschap is helaas, behalve erg groot, ook erg versnipperd. Dat leidt ertoe dat wiskundigen die inspanningen doen om het belang van goede wiskundige vorming en van wiskundig handelen te onderlijnen, vaak geïsoleerd werken en de impact missen die een gecoördineerde aanpak zou kunnen hebben.

© imaginarymaths.be

In Nederland is de situatie de laatste jaren veranderd. Sinds 2008 bestaat daar een overkoepelend ‘Platform Wiskunde Nederland’ (PWN). Het PWN is een unieke disciplinegerichte organisatie, opgericht als centrale plaats binnen de Nederlandse wiskunde van waaruit alle zaken die voor de wiskunde van belang zijn op efficiënte wijze behartigd kunnen worden. Het PWN is er een krachtige pleitbezorger voor de discipline wiskunde naar buiten toe. In feite is het PWN zelfs breder van opzet: het verenigt alle aspecten van de beoefening van het vak: onderzoek, onderwijs, innovatie, publicaties en publiciteit. De algemene doelstelling van PWN is om te komen tot de versterking van de financiële, bestuurlijke, wetenschappelijke en publicitaire positie van het wiskundeonderzoek en wiskundeonderwijs in Nederland. Tevens streeft PWN naar coherentie en een effectieve inzet van middelen ten behoeve van het wiskundeonderzoek en wiskundeonderwijs, zowel in wetenschappelijk als in maatschappelijk opzicht. Kortom: PWN behartigt de belangen van, en fungeert als spreekbuis voor, de gehele Nederlandse wiskunde. En PWN geniet ondertussen echte nationale (en internationale) bekendheid.

1

Ian Steward is een befaamd wiskundige en wiskundecommunicator. Hij is emeritus-professor van de University of Warwick.

39

Om de Vlaamse wiskundige gemeenschap op een vergelijkbare manier te versterken, zijn de auteurs van dit artikel enige tijd geleden samen beginnen nadenken over stappen om ook in Vlaanderen tot een bundeling van krachten te komen. Een waarachtig 'Platform Wiskunde Vlaanderen' (PWV). Dit artikel heeft als doel de voortgang op dat vlak toe te lichten.

WAT ZIJN DE DOELSTELLINGEN? Het is de bedoeling dat het PWV de belangen behartigt van, en als spreekbuis fungeert voor, de gehele Vlaamse wiskundige gemeenschap. We benadrukken hierbij dat wiskunde bij uitstek een zeer 'dienende' wetenschap is, zoals hierboven al werd geïllustreerd. De hele maatschappij heeft dus een groot belang bij een bloeiend wiskundig klimaat: de belangen van de wiskundige gemeenschap lopen gelijk met de belangen van de maatschappij.

We zien daarom de volgende kerndoelstellingen: - Het uitdragen en benadrukken van het belang van de wiskunde voor de maatschappij in het algemeen, en voor innovatie in het bijzonder.

- Het ondersteunen van degelijk wiskundeonderwijs voor alle jongeren, dat ook op gepaste wijze voorbereidt op het hoger onderwijs.

- Het terugdringen van het grote tekort aan wiskundigen in onderwijs en bedrijfsleven.

- Het motiveren van een groter aantal studenten voor opleidingen in het hoger onderwijs met een belangrijke wiskundecomponent.

- Het verruimen en verstevigen van de mogelijkheden voor wiskundeonderzoek.

- Het faciliteren van valorisatie van wiskunde in innovatieve takken van bedrijfsleven, dienstverlening, technologie en overheid.

Het Platform Wiskunde Vlaanderen moet de ambitie hebben een baken voor de wiskunde in Vlaanderen te zijn, naar analogie met het Nederlandse voorbeeld.

We verwachten dat het PWV in twee richtingen zal

2 3 4

werken. Idealiter creëert het Platform een structuur waarin het discussies zal voeren op basis van bovenstaande kerndoelstellingen. Die discussies leiden dan tot het ondernemen van concrete acties of het formuleren van aanbevelingen aan derden, zoals de overheid, de media of de industrie. Daarnaast verwachten we dat het Platform een aanspreekpunt wordt voor alle mogelijke betrokkenen. Bijvoorbeeld voor de overheid om aanbevelingen te vragen met betrekking tot geplande beleidskeuzes, maar ook voor leerkrachten met interesse in onderwijsinnovatie of voor bedrijven met interesse in de valorisatie van wiskundige innovaties.

We gaan nog heel even dieper in op drie doelstellingen.

I. HET BELANG VAN WISKUNDE VOOR INNOVATIE EN VOORUITGANG Het is niet overdreven te stellen dat wiskunde tegenwoordig mee aan de basis ligt van zowat elke fundamentele innovatie, en bijgevolg van strategisch belang is voor de economie en de maatschappij als geheel. Talrijke voorbeelden hiervan, inspirerend ook voor het onderwijs, vinden we in het recente boek 'X-factor'2.

In Nederland maakte de firma Deloitte een indrukwekkende studie over de impact van wiskunde op de Nederlandse economie. Ook voor het Verenigd Koninkrijk bestaat een dergelijke studie3, met vergelijkbare conclusies. Gezien de grote gelijkenissen tussen de maatschappelijke, culturele en economische context van Nederland en ons land, gelden de conclusies van het eindrapport 'Mathematical Sciences and their value for the Dutch economy'4 ongetwijfeld ook voor Vlaanderen.

II. HET ONDERSTEUNEN VAN DEGELIJK WISKUNDEONDERWIJS De wiskunde als motor voor innovatie en bijgevolg economische groei steunt volledig op sterk en vooruitstrevend wiskundeonderwijs. Degelijk wiskundeonderwijs, op het gepaste niveau voor álle jongeren, met de juiste uitdaging en motivatie, is een absolute basisvoorwaarde.

“X-Factor”, Giovanni Samaey & Joos Vandewalle, Uitgeverij Pelckmans, 2016 Measuring the Economic Benefits of Mathematical Science Research in the UK, Deloitte report, 2012 https://www.platformwiskunde.nl/rapport-deloitte/

40

1. Wiskunde voor iedereen Geen mens kan zonder wiskunde. Al voor het basisonderwijs begint elk kind met tellen, rangschikken en eenvoudig structureren. In het basisonderwijs gaat veel aandacht naar rekenen, kunnen werken met getallen, meten, verbanden zoeken en vraagstukken (stapsgewijs) oplossen.

Getallen (en cijfers) komt iedereen dagelijks tegen.

Aantallen, prijzen, snelheden, pincodes, klassementen, bladzijden, … overal worden getallen gebruikt. Onafhankelijk van welke taal je spreekt of op welk continent je leeft, (praktisch) iedereen gebruikt dezelfde getallen. Niemand trekt het belang van getallen en rekenen in twijfel.

Wiskunde is echter meer dan rekenen. Al heel snel leren tieners dat je ook met letters kan rekenen, die je toelaten om met formules en vergelijkingen te werken. Formules laten je toe om eigenschappen van getallen te veralgemenen, of om verbanden tussen grootheden eenvoudig te vertolken. Zoals tussen tijd, afstand en snelheid; of zoals tussen rentevoeten, de looptijd van een lening en afbetalingen. Wiskunde is in staat om verbanden heel duidelijk en begrijpelijk uit te drukken – veel duidelijker dan in het dagdagelijkse taalgebruik – en dit in een taal die overal ter wereld begrepen wordt. Wiskunde is, wellicht na muziek, de meest universeel aangeleerde en begrepen taal op onze planeet.

Wiskunde creëert structuur en orde, en laat je toe om verbanden tussen grootheden beter te begrijpen. Verbanden, uitgedrukt in formules, zijn niet alleen essentieel voor de wiskunde zelf, maar ze zijn evenzeer onmisbaar bij andere vakken zoals informatica, natuurkunde, scheikunde, biologie, economie, psychologie, sociologie. Wiskunde leert je ook om correct om te gaan met gegevens en met de interpretatie van statistische informatie van die gegevens.

Maar er is veel meer voor iedereen die wiskunde leert. Bij wiskunde leer je namelijk problemen aanpakken en oplossen. Je leert nauwkeurig uitdrukken waar je van vertrekt en wat je zoekt. Op die manier oefen je permanent ook taal en logisch denken. In alle jaren krijgen leerlingen een grote en boeiende variatie (wiskundige) vraagstukken. Vraagstukken om te spelen, vraagstukken om te leren, maar ook vraagstukken uit de reële wereld. Vraagstukken los je op door

een bepaalde aanpak te gebruiken, door na te denken over de beste aanpak of de beste strategie, door creatief te zijn, door jezelf vragen te stellen. Welke informatie is gegeven?

Hoe vertaal ik die informatie naar een wiskundige context?

Wat wordt er precies gevraagd? Hoe kan ik het gevraagde bepalen of berekenen? Is er een andere aanpak? Welke aanpak is de beste in welke situatie?

Wat je leert door problemen aan te pakken is merkwaardig genoeg ook toepasbaar in vele andere situaties en probleemstellingen die op het eerste zicht niets met wiskunde te maken hebben. Wiskunde stelt je zo in staat om je probleemoplossend vermogen te ontwikkelen en aan te scherpen. Het helpt je logisch redeneren en een onafhankelijke opinie vormen. Het helpt je algoritmisch en strategisch denken.

In een maatschappij die snel verandert, zowel op het vlak van technologie als communicatie, is iedere burger best gewapend met een sterke basis redeneervermogen en een veelheid van probleemoplossende vaardigheden.

2. Wiskunde ter voorbereiding van het hoger onderwijs Vele richtingen in het secundair onderwijs bereiden je voor op een ruime waaier aan vervolgopleidingen in het hoger onderwijs. Voor een optimale voorbereiding op het hoger onderwijs is een brede basisvorming in het secundair onderwijs essentieel. Tegelijk zijn er een heleboel opleidingen in het hoger onderwijs die uitgaan van en steunen op een degelijke wiskundebasis. Dit geldt niet alleen voor de academische en professionele bacheloropleidingen in wetenschap en technologie, maar ook voor de economische en biomedische opleidingen. Daarom is de uitbouw van een sterke leerlijn wiskunde in het secundair onderwijs noodzakelijk.

Het vak wiskunde onderscheidt zich van de meeste andere vakken door haar opbouw en interne samenhang.

Wat je in het eerste jaar leert, blijf je in alle latere jaren nodig hebben en gebruiken. Een doordachte opbouw van het wiskundecurriculum is dus cruciaal. De interne logica en samenhang van de wiskunde zorgen ervoor dat onderwijs in wiskunde een langdurig en intens proces is.

Wiskunde leren vraagt tijd en inspanning en men kan er dan ook best zo vroeg mogelijk mee beginnen.

41

zijn dus niet eenvoudig: fundamentele wiskunde onderwijzen, het belang en gebruik van wiskunde in natuurwetenschappen, technologie en andere vakgebieden tonen, en een diverse groep leerlingen boeien en klaarstomen voor de uitdagingen van de 21e eeuw. Een verdere afname van het aantal lestijden wiskunde kan hierop onmogelijk het antwoord bieden.

© imaginarymaths.be

3. Academisch wiskundeonderwijs De enorm toegenomen mathematisering van de maatschappij schept hoge verwachtingen in de sectoren waar universitairen worden tewerkgesteld. Het is de plicht van universiteiten om sterk opgeleide studenten af te leveren, bij wie het zelfstandig opbouwen van logische en analytische redeneringen tot de kerncompetenties horen.

Universiteiten waken erover dat hun wetenschappelijke opleidingen van uitstekend niveau zijn. Toonaangevende universiteiten wereldwijd gelden als ijkpunt.

Het belang van de opbouw van de wiskunde gaat gepaard met verschillende uitdagingen. Een wiskundecurriculum is als de constructie van een flatgebouw waarbij de ene verdieping na de andere gebouwd moet worden. Om dit te verzoenen met de grote diversiteit aan belangstelling en talent bij de leerlingen is het noodzakelijk om voldoende vroeg in de opleiding wiskundetrajecten met een verschillende intensiteit en diepgang aan te bieden.

Hoewel het nut en de toepasbaarheid van sommige bouwstenen van de wiskunde onvermijdelijk pas later in de opleiding duidelijk worden, moet er steeds voldoende aandacht gaan naar het gebruik en de essentiële rol van wiskunde in de natuurwetenschappen, technologie, biomedische wereld, economie, enzovoort. Een goede afstemming tussen de curricula wiskunde, natuurwetenschappen en technologie is hiervoor belangrijk. Tegelijk moeten we erover waken dat deze toepassingen van wiskunde – hoe groot hun belang ook moge zijn – zich niet in de plaats stellen van het vak wiskunde zelf.

Onze maatschappij mathematiseert steeds meer en meer.

Er is een steeds groeiende nood aan hoogopgeleiden. De opdracht en de uitdagingen van het wiskundeonderwijs

Er zijn bijzonder veel universitaire opleidingen waar wiskunde of statistiek deel uitmaken van het curriculum, als kernvak of als ondersteunend vak. Wiskunde is immers de taal waarin de natuur als het ware geschreven is en die bij uitstek gebruikt wordt om patronen en fenomenen in allerlei wetenschappen te modelleren en om deze fenomenen te bestuderen. Afhankelijk van de functie van de wiskundige vakken in een opleiding zal de klemtoon en de aanpak anders zijn. De opleidingen bachelor en master Wiskunde nemen uiteraard een bijzondere plaats in, omdat hierin de studie van het vakgebied met zijn verschillende deeldomeinen centraal staat. Een aantal opleidingen sluiten hier nauw bij aan en beschouwen hun wiskundevakken als fundamentele kernvakken. Dat is bijvoorbeeld het geval voor de opleidingen Fysica, Burgerlijk ingenieur en Informatica. In andere opleidingen (zoals Industrieel ingenieur, Handelsingenieur, Bio-ingenieur, Chemie, …) staan de wiskundevakken nog steeds centraal, maar ook ter ondersteuning van andere vakken. Ten slotte zijn er ook een groot aantal opleidingen waar de wiskundevakken voornamelijk als ondersteunend vak beschouwd worden, zoals Biomedische wetenschappen, Biologie, Geologie, Toegepaste economische wetenschappen, …

Deze opsomming doet overigens afbreuk aan de realiteit: geen enkele opleiding, en de plaats van de wiskunde erin, laat zich zomaar in een hokje stoppen.

42

Š imaginarymaths.be

De centrale rol van wiskunde in veel universitaire opleidingen, vaak vanaf het eerste bachelorjaar, zorgt ervoor dat wiskunde een voortrekkersrol speelt en moet blijven spelen bij het instroom- en oriĂŤnteringsbeleid

voor toekomstige studenten. Instrumenten zoals de ijkingstoetsen moeten verder uitgebouwd worden en leiden tot ware bakens waarop ook het secundair onderwijs zich richt.

Ongeacht de grootte van de wiskundecomponent in een opleiding zal het wiskundeonderwijs altijd gekenmerkt worden door inzicht verwerven. De zogenaamde receptenwiskunde werkt niet. In opleidingen waar wiskunde een kernvak vormt, is het van belang dat de student vertrouwd is met de wiskundige denkwijze, met wiskundig redeneren en met een gepast abstractieniveau. In opleidingen waar wiskunde eerder een ondersteunend vak is, krijgt de student de wetenschappelijke basiskennis, de attitude en het probleemoplossend vermogen mee om doeltreffend wiskunde te kunnen gebruiken in andere vakken en in het latere beroepsleven. Ook hier staat wiskundig inzicht centraal. Als een vraagstuk uit een andere wetenschappelijke of maatschappelijke context komt, en zich laat vertalen naar een wiskundig probleem (wat op zich al veel inzicht vereist), dan zal het niet de ‘receptenwiskunde’ zijn die van pas komt, maar moet men kunnen terugvallen op een stevig onderbouwd wiskundig inzicht en kunnen putten uit een rugzak met concepten. Wie als onderzoeker in economische wetenschappen werkt met modellen waarin marginale functies optreden, heeft niet voldoende aan de kennis van afleidingsregels voor functies, maar moet de betekenis, eigenschappen en meetkundige interpretaties ervan begrijpen,…

Ten slotte dient het nijpend tekort aan studenten in de opleiding master wiskunde en lerarenopleiding wiskunde aangepakt te worden. De uitstroom aan wiskundeleerkrachten door pensioneringen kan momenteel niet opgevangen worden met de instroom van sterk wiskundig geschoolde masters die kiezen voor het onderwijs. Dit brengt ons naadloos bij ons volgende doel dat mee kan helpen om een kentering te brengen in deze situatie.

III. OUTREACH & PUBLIC AWARENESS Ondanks het universele belang van wiskunde en de vele manieren waarop het ons dagelijks leven en ons mens-zijn beïnvloedt, zijn grote groepen van de bevolking zich niet bewust van de wiskunde die hen omringt. Welke inspanningen ook gebeuren om goed wiskundeonderwijs te verzorgen, het wiskundig onderzoek te stimuleren of valorisatie te faciliteren, alles staat of valt met het algemene besef van de inherente meerwaarde van een degelijke wiskundekennis. Die is onontbeerlijk om voldoende jongeren te motiveren voor richtingen met een sterke wiskundecomponent, om hen aan te sporen hun

© imaginarymaths.be

43

beste beentje voor te zetten in die richtingen, om hen te doen dromen van een loopbaan waar ze zelf een actieve gebruiker van wiskunde zullen zijn (in welke betekenis dan ook) of het zelf onderwijzen.

Het doordringen van de hele maatschappij van het belang van wiskunde vraagt om specifieke, gerichte en consistente actie van de hele wiskundige gemeenschap, precies omdat de kracht van de wiskunde zo vaak onzichtbaar blijft, verborgen achter de materiële verwezenlijkingen die ze voortbrengt. Een Platform Wiskunde Vlaanderen moet dus voluit inzetten op een systematische en structurele communicatie van de schoonheid, de kracht en het nut van de wiskunde richting een breed publiek.

Niet ter zelfverheerlijking, maar ter ondersteuning van de noden van onze maatschappij. Niet alleen naar het brede publiek, maar ook naar specifieke doelgroepen en de beleidsmakers toe. Wetenschapscommunicatie wordt één van de kerntaken van een Platform Wiskunde Vlaanderen.

DE VOLGENDE STAP Een ambitieus plan voor de Vlaamse wiskunde ontstaat niet van vandaag op morgen, en niet op basis van enkele

44

gesprekken en petit comité. Het ontstaat niet zonder de steun van alle betrokkenen. Daarbij denken we in de eerste plaats aan de wiskundeleerkrachten, maar evenzeer aan vertegenwoordigers uit het bedrijfsleven, verenigingen en organisaties. Ook de media hebben een cruciale rol te spelen.

Concreet werken we op dit moment aan een visietekst die meer uitgediept zal zijn dan deze bijdrage. Die moet dienen om brede bekendheid te geven aan de intentie om een Platform Wiskunde Vlaanderen op te richten, en er steun voor te verwerven.

U kunt ons contacteren op info@platformwiskunde.be.

De wiskunde in Vlaanderen kan uw steun ten volle gebruiken!

© Rob Stevens

DE AUTEURS

PAU L I G O D T Professor Departement Wiskunde KU Leuven Campus Kulak

BERT SEGHERS Wiskundige en Beleidsmedewerker Koninklijke Vlaamse Academie van Belgie (KVAB)

S T E FA A N VA E S Laureaat Francqui Prijs 2015 Professor Departement Wiskunde KU Leuven

ERIC JESPERS Professor Wiskunde Decaan Faculteit Wetenschappen en Bio-Ingenieurswetenschappen Vrije Universiteit Brussel

SORIN POP Professor Computational Mathematics Faculteit Wetenschappen Universiteit Hasselt

G I OVA N N I S A M A E Y Lid van de Jonge Academie Professor Departement Computerwetenschappen KU Leuven

JORIS VA N D E R J E U G T Professor Vakgroep Toegepaste Wiskunde, Informatica en Statistiek Universiteit Gent

BART DE MOOR Professor Departement Elektrotechniek KU Leuven

W I M VA N R O O S E Professor Toegepaste Wiskunde Universiteit Antwerpen

© Rob Stevens

ANN DOOMS Lid van de Jonge Academie Professor Departement Wiskunde Vrije Universiteit Brussel

45

OEFENING WALLAROE 2017, VRAAG 10 Xander op eiland X raakt niet tot bij Yanina op eiland Y. Hoeveel bruggen zijn er minstens gesloten?

De Vlaamse Wiskunde Olympiade is een jaarlijkse wedstrijd voor leerlingen uit de tweede en derde graad van het secundair onderwijs, vol met uitdagende (meerkeuze-) vragen om het wiskundig inzicht van de leerlingen te prikkelen.

Hoe ziet de wedstrijd eruit? In een eerste ronde, midden januari op school georganiseerd, krijgen de leerlingen 30 meerkeuzevragen en 3 uur tijd. Een tweede ronde wordt provinciaal georganiseerd met 30 meerkeuzevragen en 2 uur tijd. De finale is landelijk met 4 open vragen.

Wie kan deelnemen? Alle leerlingen uit de tweede graad kunnen deelnemen aan de Junior Wiskunde Olympiade (JWO), alle leerlingen uit de derde graad aan de Vlaamse Wiskunde Olympiade (VWO).

Wat valt er te winnen? Iedereen die de tweede ronde haalt, krijgt een leuke attentie.

Alle finalisten krijgen een extra prijzenpakket.

Deelnemen... is belangrijker dan winnen!

Vragen van een voorbije ronde?

Op de website vind je de opgaven, in de eindrapporten (krijg je na deelname opgestuurd, met een USolv-IT lidmaatschap digitaal of kan je bestellen) staan ook de uitgewerkte antwoorden en statistieken van één jaargang.

A

1

B

2

C

3

D

E

4

5

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE

OEFENING WALLAROE 2017, VRAAG 7 In welke rij kan je het getal 2017 vormen door juist 2 kaarten met elkaar van plaats te verwisselen?

A

B

C

D

Meld een schoolverantwoordelijke aan op www.vwo.be. Inschrijven voor 2018 kan vanaf 1 oktober tot en met eind november 2018.

Meer info? Neem een kijkje op onze website www.vwo.be!

Onze coördinaten: Vlaamse Wiskunde Olympiade, KU Leuven Kulak, Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk. t 056 24 62 06; e vwo@kuleuven.be.

E

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Interesse om deel te nemen?

46

OEFENING KANGOEROEWEDSTRIJD

WALLABIE 2017, VRAAG 8 Timon vouwt een papier 2 keer. Daarna knipt hij er 1 gaatje in. Als hij het papier openvouwt, ziet hij het resultaat ernaast. Volgens welke stippellijnen heeft Timon het papier gevouwen?

Internationale partner van 'Association Kangourou sans Frontières'

Rekenen, puzzelen en denken met een aantal leuke vraagjes voor leerlingen uit het basisonderwijs en de eerste graad van het secundair onderwijs! © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Hoe ziet de wedstrijd eruit?

Leerlingen nemen deel op je school met een vragenbundel waar ze 24 denk-, reken- en puzzelmeerkeuzevragen (behalve Wombat, die heeft 16 meerkeuzevragen) moeten zien op te lossen.

Wanneer? Op de internationale datum voor alle edities (dit jaar donderdag 15 maart 2018) of tijdens een uitwijkperiode.

Wie kan deelnemen? Leerlingen uit het basisonderwijs kunnen deelnemen aan Wombat (leerjaar 1 & 2), Springmuis (leerjaar 3 & 4) of Koala (leerjaar 5 & 6); leerlingen uit de eerste graad van het secundair onderwijs aan Wallabie (A-stroom) of Wallaroe (B-stroom).

Wat valt er te winnen? Er zijn prijzen voor alle deelnemers, individueel en per klas.

Iedere deelnemer ontvangt bovendien een gepersonaliseerd certificaat, stoer!

A

B

C

D

E

OEFENING WALLABIE 2017, VRAAG 7 De 2 rechthoeken hebben evenwijdige zijden. Hoeveel verschillen de omtrekken van deze 2 rechthoeken?

Voorbeeldvragen? Via onze website en sinds kort ook in het USolv-IT-oefenplatform op www.usolvit.be.

Interesse om deel te nemen?

Meld een schoolverantwoordelijke aan op www.kangoeroe.org en ontvang alle informatie en extra Kangoeroeposters! De inschrijving voor 2019 start op 1 december 2018.

Meer info? Neem een kijkje op onze website www.kangoeroe.org!

Onze coördinaten? Vlaamse Wiskunde Olympiade, KU Leuven Kulak, Etienne Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk. t 056 24 62 06; e kangoeroe@kuleuven.be.

A

12 m

B

16 m

C

20 m

D

21 m

E

24 m

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Feest! 10 jaar Kangoeroe in 2018!

47 WEDSTRIJD

WIN EEN BOEKENPAKKET B A R T D E M O O R , A N N D O O M S , PAU L I G O D T, E R I C J E S P E R S , S O R I N P O P, G I OVA N N I S A M A E Y, B E R T S E G H E R S , S T E FA A N VA E S , J O R I S VA N D E R J E U G T, W I M VA N R O O S E

VECTOR VERLOOT DIT BOEKENPAKKET MET DRIE MOOIE WISKUNDEBOEKEN. WIL JE OOK KANS MAKEN? SURF NAAR VECTOR.DIEKEURE.BE, VUL HET WEDSTRIJDFORMULIER IN EN WAAG JE KANS!

PROFESSOR STEWART’S SCHATKAMER VOL WISKUNDIGE UITDAGINGEN I A N S T E WA R T

Ian Stewart, de schrijver van de wereldwijde bestseller 'Professor Stewart's verzameling van wiskundige raadsels' presenteert een nieuwe magische mix van spelletjes, puzzels, paradoxen, hersenkrakers en raadsels, afgewisseld met grapjes en uitstapjes naar de klassieke en de moderne wiskunde. Een schatkamer vol wiskundige breinbrekers, uitdagend én onderhoudend!

HET EXPERIMENTATOR-EFFECT

GEHEIME GEOMETRIE

H . P. V R I J DAG

STEPHEN SKINNER

Onze werkelijkheid... We ruiken, voelen, horen, zien en proeven ‘m, maar bestaat hij eigenlijk wel? Wat is écht en wat beelden we ons in? Het experimentator-effect voert ons langs de broze wanden van de realiteit die we normaal nooit zien, maar waar we iedere seconde van de dag mee te maken hebben. Natuurwetten, tijd, toeval en voorgevoel; als een chirurg legt de auteur de mechanismen achter onze werkelijkheid bloot.

Wetenschapsfilosofie tot aan het gaatje, leerzaam, onthullend en inspirerend!

Auteur Stephen Skinner toont aan hoe de schoonheid der natuur, muziek, kunst, en architectuur gebaseerd is op een onderliggende geometrie. Hij onthult hoe oude beschavingen ontdekten dat proportionele vormen niet louter toevallig voorkwamen, maar als een goddelijke verhouding werden gezien. De auteur neemt de lezer mee op reis door tijd en ruimte om de geheime code hierachter te ontcijferen.

Ontdek de vernieuwe nde wiskundeme thode van die Keure

85 0000 530

Nando

Wiskunde met pit

www.nando.diekeure.be