01 Inzicht in getallen Proef exemplaar
Modules Nando 1
Diagnostische module
1 Inzicht in getallen
2 Meetkundige objecten in het vlak
3 Data en onzekerheid
4 Consolidatie
5 Hoofdbewerkingen met gehele getallen
6 Onderlinge ligging van rechten
7 Machten en vierkantswortels van gehele getallen
8 Consolidatie
9 Vlakke figuren
10 Rationale getallen
11 Problemen oplossen deel 1
12 Ruimtefiguren
13 Consolidatie
14 Bewerkingen met rationale getallen
15 Meetkundige tekeningen en constructies
16 Problemen oplossen deel 2
17 Consolidatie
wat je al kunt
–enkele voorbeelden opsommen van natuurlijke getallen, decimale getallen en breuken
–natuurlijke getallen, kommagetallen en eenvoudige breuken lezen
–natuurlijke getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
–de begrippen term, factor, som, verschil, deeltal, deler en quotiënt gebruiken
wat je leert in deze module
–kennismaken met verschillende soorten talstelsels en hun ontstaan op een tijdlijn aanduiden –de voorstelling en benaming van de verschillende getallenverzamelingen gebruiken
–getallen onderling vergelijken
–de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen uitvoeren –veelvouden van een natuurlijk getal noteren
–nagaan of een getal een deler of een veelvoud van een ander getal is
–nagaan of een deling opgaand is
–de grootste gemeenschappelijke deler van natuurlijke getallen bepalen door opsomming of priemfactorisatie
–het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van natuurlijke getallen bepalen door opsomming of priemfactorisatie
–breuken gelijknamig maken en ordenen
–positieve breuken optellen en aftrekken
Inhoud
Instap
1 Talstelsels
2 Soorten getallen
3 Hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen
4 Veelvouden en delers
5 Werken met symbolen en verzamelingen
6 Eenvoudige breuken optellen en aftrekken
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Studiewijzer
in de kijker
Je kunt getallen uit getallenverzamelingen ordenen.
wiskundetaal
–additief talstelsel
–cijfers
–tiendelig stelsel
–positiestelsel
–symbolen = , ≠, <, >, ⩾ en ⩽
–natuurlijke getallen
–gehele getallen
–rationale getallen
–opsomming
–venndiagram
–vlinderdiagram
–symbolen � , z , q
–toestandsteken
–element
–deelverzameling
–symbolen ∈, ∉, ⊂, ⊄
–term
–som
–aftrekker
–aftrektal
–verschil
–product –factor
–quotiënt –rest –deler –veelvoud –opgaande deling –niet-opgaande deling –priemgetal
–priemfactorisatie – kgv – ggd –unie ∪ –doorsnede ∩ –verschil \ –implicatiepijl ⇒
–equivalentiepijl ⇔ –gelijknamig –vereenvoudigen
Instap
Opdracht
Bekijk de collage aandachtig en beantwoord de vragen.
Rollercoaster: Formula Rossa
max. snelheid: 240 km/h in 4,9 s
max. hoogte: 52 m
duur: 1:32 min lengte: 2074 m
max: 4,8 G
13:50
(€ 0,80/l)
natuurlijk mineraalwater 8 l -25% op 2 flessen -33,34% vanaf 3 flessen
Wisselkoers 1 euro
Tiramisuglaasje met aardbeien (recept voor 4 personen)
ricotta: 100 g
eieren: 1
vanillestokjes: 1/2
plattekaas: 100 g
aardbeien: 250 g
acaciahoning: 1 el
koekjes: 10
a) Verzamel de getallen uit de collage die bij elkaar horen in groepen.
• Bedenk een naam voor de groep.
• Geef enkele voorbeelden van getallen die tot deze groep behoren.
groep 1
groep 2
groep 3
groep 4
Naam : Voorbeelden :
Naam : Voorbeelden :
Naam : Voorbeelden :
Naam : Voorbeelden :
b) Wat is het grootste getal uit de collage?
c) Noteer hier het recept uit de collage voor 6 personen. Vergeet de eenheden niet.
ricotta:
eieren:
vanillestokjes: plattekaas: aardbeien: acaciahoning: koekjes:
d) Schat hoeveel verdiepingen een flatgebouw heeft dat even hoog is als het hoogste punt van de attractie Formula Rossa.
e) Geef een mogelijke lengte van een persoon die niet op de attractie Formula Rossa mag:
f) Noteer uit de collage drie grootheden met de bijhorende eenheid. voorbeeld uit collage grootheid eenheid
g) In de collage vind je een promotie voor water uit een supermarkt. Toon aan met een berekening hoe men aan de eenheidsprijs voor 1 liter kwam.
h) Hoeveel betaal je voor 2 flessen water van 8 liter?
i) Hoeveel kost 1 liter water als je drie flessen van 8 liter koopt?
1 Talstelsels
1.1 Geschiedenis van de getallen
Onze cijfers en getallen hebben niet altijd bestaan. Er waren vroeger verschillende andere telsystemen. Het oudste talstelsel dateert van meer dan 4000 jaar geleden. In het Oude Egypte werd meer dan duizend jaar gebruik gemaakt van hiëroglyfen. Ze maakten gebruik van volgende symbolen :
Om te achterhalen welk getal de Egyptenaren bedoelden, moet je gewoon de som maken van alle symbolen die je ziet. De plaats waar de symbolen staan, is niet belangrijk. Daarom is dit talstelsel een additief talstelsel.
TIJDSBALK
Voorbeelden = 1432
Maak kennis met een erg bijzonder getal : de nul. In de tijdsbalk onderaan zou je nul mogen schrappen, want het jaar nul heeft nooit bestaan. Het getal nul was al bekend in de vijfde eeuw, maar werd pas effectief ingevoerd in de zeventiende eeuw. Dat gebeurde van zodra het Romeins talstelsel vervangen werd door ons tiendelig stelsel.
Vanaf het jaar 200 voor Christus begon men Romeinse cijfers te gebruiken. Het duurde tot de 18de eeuw alvorens ze verdrongen werden door onze huidige Arabische cijfers.
Voorbeelden
De Maya’s hadden een vrij ingewikkeld talstelsel. Er worden drie symbolen gebruikt in hun twintigdelig stelsel. Het symbool onderaan tel je op met het twintigvoud van het symbool erboven. Het symbool daarboven wordt vermenigvuldigd met 360 (en niet met 400 !). De Maya’s hadden een positiestelsel. Net als bij ons talstelsel is de plaats van de symbolen erg belangrijk.
Onze huidige cijfers zijn met 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Hiermee kunnen oneindig veel getallen gemaakt worden. Deze cijfers waren er al vanaf de tiende eeuw, maar konden de Romeinse cijfers pas in de 18de eeuw verdringen.
Het tijdperk van de vernieuwing startte met het invoeren van de West-Arabische cijfers.
TIJDSBALK
Voorbeelden
× 360
× 20
De Brugse wiskundige Simon Stevin voerde de kommagetallen in, evenals de woorden wiskunde, meetkunde en sterrenkunde. Je vindt zijn standbeeld op het Simon Stevinplein in Brugge.
Computers rekenen niet in ons tiendelig stelsel, maar in het veel eenvoudigere tweedelig stelsel of binair stelsel. Daar worden enkel de symbolen 0 en 1 gebruikt. Ons getal 2 komt overeen met het binaire getal 10. Ons getal 3 is in de binaire wereld 11. Ons getal 4 komt overeen met het binaire 100.
1.2 Ons talstelsel
Bij het tellen gebruiken we getallen. Elk getal bestaat uit één of meerdere cijfers . Om oneindig veel getallen te kunnen maken, gebruiken wij 10 cijfers : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.
Voorbeeld
Het getal 2058 bestaat uit de cijfers 2, 0, 5 en 8.
We noemen ons talstelsel het tiendelig stelsel of decimaal stelsel. De plaats of positie van een cijfer in een getal is van belang. Ons talstelsel wordt daarom een positiestelsel genoemd.
Voorbeeld
1.3 Ordenen
Deze symbolen ken je nog uit de basisschool : notatie = ‘is gelijk aan’
≠ ‘is niet gelijk aan’ of ‘is verschillend van’
< ‘is kleiner dan’
> ‘is groter dan’
De volgende symbolen zijn nieuw : notatie ⩽ ‘is kleiner dan of gelijk aan’ ⩾ ‘is groter dan of gelijk aan’
Voorbeelden
We zeggen : We noteren : Uitleg :
0,5 is kleiner dan 1. 0,5 < 1
7 is groter dan 3. 7 > 3
3 is kleiner dan of gelijk aan 8. 3 ⩽ 8
4 is groter dan of gelijk aan 4. 4 ⩾ 4
Merk op 2 < 6 is een ware uitspraak.
36 ⩾ 101 is een onware of valse uitspraak.
want 3 < 8
want 4 = 4
Als je voor het symbool < een verticaal streepje plaatst, krijg je |< Dat lijkt op de ‘K’ van ‘Kleiner dan’. TIP
Verwerkingsopdrachten
Wat is de code van de smartphone? 1 2 2 4 5
Schrijf de cijfers van het getal 846,27 op een correcte manier in de tabel. honderdtallen (H) tientallen (T) eenheden (E) tienden ( t ) honderdsten ( h )
Noteer het kleinste en het grootste positief getal dat je kunt vormen met 3 verschillende cijfers.
Kleinste : Grootste :
Vul aan.
In 640 791 is 4 het cijfer van de is 1 het cijfer van de is 0 het cijfer van de is 6 het cijfer van de is 9 het cijfer van de is 7 het cijfer van de
Omkring de letters bij de ware uitspraken. Welk woord vormen ze ? a) 5 < 9 a f) 23 ⩾ 24 b b) 12 ⩽ 18 o
d) 65,54 > 6,545 d i) 700 ⩾ 700 n e) 3 4 ⩽ 4 3 n j) 0,12 < 0,012 e
Gevonden letters :
Gevormd woord : Balsam beveiligt haar smartphone met een zescijferige code. Geen enkel cijfer komt meer dan twee keer voor en de som van de cijfers is 13. Als ze de code van links naar rechts leest is het getal, van precies 6 cijfers, kleiner dan het getal dat zou ontstaan mocht ze het van rechts naar links lezen. Zowel het cijfer van de duizendtallen als de honderdtallen is 5.
2 Soorten getallen
2.1 Natuurlijke getallen
Bekijk de foto gedurende één seconde en bedek ze dan. Kun je in deze zeer korte tijd zien hoeveel puzzelstukjes er gebruikt werden om de peper te vormen? Om het exacte aantal te bepalen, zul je het aantal gebruikte puzzelstukjes moeten tellen.
definitie Een natuurlijk getal is een telresultaat.
De verzameling van de natuurlijke getallen kan worden weergegeven door volgende opsomming:
n = {0, 1, 2, 3, …}
symbool lees je als
n de verzameling van de natuurlijke getallen
n 0 de verzameling van de natuurlijke getallen zonder nul
Merk op
• Ook het getal 0 is een natuurlijk getal.
• Tussen de accolades vind je alle elementen van de verzameling. Er zijn oneindig veel natuurlijke getallen. Je noteert achteraan in de opsomming “...”.
Je kan de natuurlijke getallen ook voorstellen op een getallenas :
0 1
de ijk
Je kan ook gebruik maken van een venndiagram .
Noteer het symbool van de gebruikte verzameling bij de pijl.
In het venndiagram plaats je de getallen die behoren tot de verzameling. We noemen dit elementen
2 is een natuurlijk getal.
2 is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen.
0
4
We noteren: 2 ∈ �
0 is ook een natuurlijk getal.
0 is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen.
We noteren: 0 ∈ �
-3 is geen natuurlijk getal.
-3 is geen element van de verzameling van de natuurlijke getallen.
We noteren: -3 ∉ �
symbool lees je als ∈ … is een element van ... of ... behoort tot ...
... is geen element van ... of ... behoort niet tot ...
2.2 Gehele getallen
In het dagelijkse leven heb je vaak nog andere getallen dan natuurlijke getallen nodig.
• De boot bevindt zich op het zeeniveau. Op de tekening komt dit overeen met 0 meter.
• Voor de parachutist lezen we een op de getallenas een hoogte van 16 m af. Dat betekent dat de parachutist zich op 16 m boven het zeeniveau bevindt.
• Voor de duiker lezen we op de getallenas -24 m af. Dat betekent dat de duiker zich 24 m onder het zeeniveau bevindt.
De maatgetallen 0, 16 en -24 zijn voorbeelden van gehele getallen . - 24
toestandsteken
-24 is een negatief geheel getal . Het toestandsteken is ‘-‘. 16 is een positief geheel getal . Het toestandsteken is ‘+’.
Bij positieve getallen mogen we het toestandsteken weglaten: +16 = 16. Het getal 0 is een bijzonder getal, het is zowel positief als negatief: +0 = 0 = -0
De verzameling van de gehele getallen kan worden weergegeven door opsomming: z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
symbool lees je als
z de verzameling van de gehele getallen
z 0 de verzameling van de gehele getallen zonder nul
z + de verzameling van de positieve gehele getallen
z – de verzameling van de negatieve gehele getallen
Je kan de gehele getallen ook voorstellen op een getallenas: -3 -4 -2 -1 0 1 2 3 4 z
Hieronder vind je de voorstelling in een venndiagram.
De verzameling van de natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verzameling van de gehele getallen.
We noteren: � ⊂ z
De verzameling van de gehele getallen is geen deelverzameling van de verzameling van de natuurlijke getallen.
We noteren: z ⊄ �
symbool lees je als
2.3 Rationale getallen
Naast gehele getallen komen we in ons dagelijks leven ook nog decimale vormen, procenten, verhoudingen, … tegen.
Ook in de lagere school leerde je al werken met deze getallen.
1 4 = 1:4 = 0,25 = 25% isgeengeheelgetal.
Een rationaal getal is een getal dat je kunt noteren als een breuk met in de teller een geheel getal en in de noemer een geheel getal dat niet nul is.
Ieder rationaal getal kan je zowel in breuknotatie schrijven als in decimale vorm. Om de decimale vorm te bepalen, kan je eventueel ICT gebruiken.
De verzameling van de rationale getallen kunnen we omschrijven als de verzameling van alle breuken waarbij de teller een geheel getal is en de noemer een geheel getal is verschillend van 0. Om dit in symbolen te noteren, maken we gebruik van letters:
a b | a ∈ en b ∈ 0 symbool lees je als q de verzameling van de rationale getallen
Je kan de rationale getallen ook voorstellen op een getallenas:
Net zoals gehele getallen kan je de rationale getallen in een venndiagram plaatsen.
Elknatuurlijkgetaliseengeheelgetal. iseendeelverzamelingvan
Insymbolen: ⊂
Elkgeheelgetaliseenrationaalgetal. iseendeelverzamelingvan
Insymbolen: ⊂ .
Elknatuurlijkgetaliseenrationaalgetal. iseendeelverzamelingvan .
Insymbolen: ⊂
Wenoterenkortweg: ⊂ ⊂
op
Verwerkingsopdrachten
Plaats onderstaande getallen in het diagram.
Zet een kruisje bij elke ware uitspraak.
Waar of niet waar? Omkring.
a) Alle getallen met als toestandsteken ‘–‘ zijn gehele getallen.
b) Alle natuurlijke getallen zijn rationale getallen.
c) 1 op 5 komt overeen met 15%.
WAAR NIET WAAR
WAAR NIET WAAR
WAAR NIET WAAR
d) De verzameling positieve getallen is hetzelfde als � . WAAR NIET WAAR
e) Een breuk die je kan vereenvoudigen is een geheel getal.
f) Als een getal niet negatief is, dan is het positief.
WAAR NIET WAAR
WAAR NIET WAAR
3.1 Optellen van natuurlijke getallen
Terminologie
36 + 52 = 88 plusteken termen som
Uitvoering
• Bij eenvoudige optellingen bereken je de som uit het hoofd.
15 + 23 = 38
168 + 22 = 190
• Kun je de optelling niet uit het hoofd berekenen, dan kun je cijferen of ICT gebruiken.
5738 + 1468 5738 1468 + 7206
3.2 Aftrekken van natuurlijke getallen
Terminologie
92 – 19 = 73 minteken aftrektal aftrekker verschil
Uitvoering
• Bij eenvoudige aftrekkingen bereken je het verschil uit het hoofd.
27 - 15 = 12
109 - 26 = 83
• Kun je de aftrekking niet uit het hoofd berekenen, dan kun je cijferen of ICT gebruiken.
1598 - 659 1598 659939
3.3 Vermenigvuldigen van natuurlijke getallen
Een vermenigvuldiging is een verkorte schrijfwijze van de optelling.
Voorbeeld
Vier kinderen hebben elk 6 knikkers.
Hoeveel knikkers hebben de kinderen in totaal?
Methode 1: 6 + 6 + 6 + 6 = 24
Methode 2: 4 x 6 = 24
In de lagere school gebruikte je het symbool x als maalteken. Vanaf nu gebruik je als maalteken een gecentreerd punt: ⋅
We schrijven dus: 4 ⋅ 6 = 24
Terminologie
6 · 12 = 72 maalteken factoren product
Uitvoering
• Bij eenvoudige vermenigvuldigingen bereken je het product uit het hoofd.
9 4 = 36
7 · 8 = 56
• Kun je de vermenigvuldiging niet uit het hoofd berekenen, dan kun je cijferen of ICT gebruiken.
47 16 47 16 · 282 470 + 752
3.4 Delen van natuurlijke getallen
Terminologie
126 : 3 = 42
deelteken
deeltal deler quotiënt
Uitvoering
• Bij eenvoudige delingen bereken je het quotiënt uit het hoofd. Bij een deling mag de deler niet nul zijn !
48 : 6 = 8
144 : 4 = 36
• Kun je de deling niet uit het hoofd berekenen, dan kun je cijferen (staartdeling) of ICT gebruiken.
3 7 2 3 - 3 1 2 4 0 7 - 6 1 2 - 1 2 0
controle : 3 124 = 372
372 is het deeltal
3 is de deler
124 is het quotiënt .
0 is de rest
370 is het deeltal
3 is de deler
123 is het quotiënt .
1 is de rest
controle : 3 123 + 1 = 370
Als bij een deling van twee natuurlijke getallen (waarvan het tweede getal niet nul is) :
• de rest nul is, dan noemen we deze deling een opgaande deling
• de rest niet nul is, dan noemen we deze deling een niet-opgaande deling .
Merk op
De rest is steeds kleiner dan de deler.
Als je bij het product van quotiënt en deler de rest bijtelt, bekom je het deeltal.
definitie in woorden
Een opgaande deling is een deling waarbij de rest nul is. in woorden
D = d q
definitie in woorden
Een niet-opgaande deling is een deling waarbij de rest groter dan nul is en kleiner dan de deler. in symbolen
D = d · q + r met 0 < r < d
In wiskunde gebruiken we vaak letters als plaatsvervanger voor een getal. In de formule hierboven is:
• D het deeltal,
• d de deler (d ≠ 0),
• q het quotiënt,
• r de rest (r < d en d ≠ 0).
Door gebruik te maken van letters kun je definities en eigenschappen in symbolen noteren.
Merk op als r = 0 opgaande deling
als 0 < r < d niet-opgaande deling
Verwerkingsopdrachten
Noteer telkens de bewerking en daarna het resultaat.
a) Ellie spaart acht weken lang elke week € 6. Hoeveel euro heeft Ellie gespaard?
b) De weg die Sara moet afleggen van thuis naar school is 11 km lang. Sara fietste al 4 km. Hoeveel kilometer moet ze nog fietsen voor ze op school is?
c) Er werden 15 identieke kubusblokken op elkaar gestapeld. De stapel is 75 cm hoog. Hoe hoog is 1 kubus?
d) Bij een actie kan je zegels sparen om 10 euro vermindering te krijgen bij een pretpark. Een volle spaarkaart telt 25 zegels. Babette heeft er al 17. Hoeveel zegels heeft ze nog tekort?
e) Tijdens een verjaardagsfeest drinken 8 kinderen elk drie drankjes. Hoeveel drankjes worden er door de kinderen in totaal gedronken?
f) Cas verwijderde onkruid in zijn tuin en reed daarna het gras af. Hij had hiervoor respectievelijk 36 minuten en 28 minuten nodig. Hoelang duurde het om deze twee klusjes uit te voeren?
Vul het juiste begrip in. Kies uit : de termen, de som, het aftrektal, de aftrekker, het verschil, de factoren, het product, het deeltal, de deler en het quotiënt.
38 is van de aftrekking.
17 en 3 zijn van de vermenigvuldiging.
3 is van 18 en 6. 13 en 37 zijn van de optelling.
a) Laat een medeleerling het algoritme uitvoeren. Noteer het resultaat hier:
b) Bepaal de som van het resultaat uit a) met 115. De som is .
Met deze som ken je de leeftijd en de geboortemaand van jouw medeleerling. De cijfers van de tientallen en eenheden bepalen de leeftijd:
• Is het verschil een getal van vier cijfers, dan is de geboortemaand gelijk aan het getal gevormd door de cijfers van de duizendtallen en de honderdtallen.
• Is het verschil een getal van drie cijfers, dan is de geboortemaand gelijk aan het cijfer van de honderdtallen.
Noteer hier de leeftijd en de geboortemaand van jouw medeleerling:
c) Bij stap a) werd een algoritme uitgevoerd. Leg in eigen woorden uit wat een algoritme is.
d) Waar gebruiken we algoritmes in het dagelijkse leven?
e) Ga op zoek naar een ander getallentrucje en giet het in een algoritme.
4 Veelvouden en delers
4.1
Veelvouden van een natuurlijk getal
Probleemstelling:
Welke natuurlijke getallen zijn zowel een veelvoud van 4 als een veelvoud van 3?
Oplossing:
We kunnen dit bepalen door de veelvouden van 3 en 4 op te sommen. veelvouden van 3: 3� = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, …} veelvouden van 4: 4� = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …}
In dit vlinderdiagram krijg je volgende voorstelling:
Dit gebied noemen we de doorsnede. Het is de doorsnede van de verzameling van de drievouden en de verzameling van de viervouden: 3� ∩ 4�
definitie Een natuurlijk veelvoud van een natuurlijk getal is een product van dat getal met 0, 1, 2, 3, 4, …
eigenschap
0 is een veelvoud van elk natuurlijk getal.
Merk op
Alle natuurlijke veelvouden van 5 kan je ook korter noteren als 5� .
∩ ... doorsnede ...
a� De verzameling van alle veelvouden van natuurlijk getal a.
symbool lees je als
4.2 Delers van een natuurlijk getal
Voorbeelden
delers van 10
1, 2, 5 en 10 zijn delers van 10 want
10 : 1 = 10
10 : 2 = 5
10 : 5 = 2
10 : 10 = 1
We zeggen ook : 10 is deelbaar door 2. 2 is een deler van 10.
delers van 24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 en 24 zijn delers van 24 want
We zeggen ook : 24 is deelbaar door 8. 8 is een deler van 24.
Je kunt de delers van een getal noteren door opsomming, je gebruikt hiervoor accolades.
del 10 = { 1, 2, 5, 10}
del 24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
symbool lees je als … | … ... is deler van ...
Voorbeelden
2 | 10 lees je als 2 is een deler van 10 8 | 24 lees je als 8 is een deler van 24 eigenschap 1 is een deler van elk natuurlijk getal.
Merk op Elk getal (verschillend van nul) heeft zichzelf als deler. Elk getal is ook een veelvoud van zichzelf.
Er bestaan natuurlijke getallen die precies twee verschillende delers hebben. definitie Een priemgetal is een natuurlijk getal dat exact twee verschillende delers heeft : één en zichzelf.
Voorbeelden
3 is een priemgetal, want de enige delers van 3 zijn 1 en 3. 17 is een priemgetal, want de enige delers van 17 zijn 1 en 17. 9 is geen priemgetal, want er zijn meer dan 2 delers, namelijk 1, 3 en 9. 2 is het enige even priemgetal.
De priemgetallen kleiner dan 30 zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en 29
In het differentiatietraject gebruik je onder andere de zeef van Eratosthenes om priemgetallen te bepalen. eigenschap Elk getal dat geen priemgetal is, kun je noteren als een product van priemgetallen. Men noemt dit priemfactorisatie of het getal ontbinden in priemfactoren
Voorbeelden
6 = 2 ·
methode
4.3 Priemfactorisatie
Om grotere getallen te ontbinden in priemfactoren gebruik je deze praktische werkwijze van priemfactorisatie .
Hoe ontbind je een getal in priemfactoren ?
STAP 1 : Als het getal deelbaar is door het eerste natuurlijk priemgetal 2, dan noteer je rechts het getal 2 en noteer je onder het getal het quotiënt. Als dit quotiënt ook deelbaar is door 2, herhaal je stap 1. Herhaal dit tot het quotiënt niet meer deelbaar is door 2.
STAP 2 : Controleer de deelbaarheid door (het volgende priemgetal) 3. Als het getal deelbaar is door 3, noteer je rechts het getal 3 en noteer je onder het getal het quotiënt. Als dit quotiënt ook deelbaar is door 3, herhaal je stap 2. Herhaal dit tot het quotiënt niet meer deelbaar is door 3.
STAP 3 : Controleer dan, op dezelfde manier, de deelbaarheid door (steeds het volgende priemgetal) 5, 7, 11, 13, …
STAP 4 : Is het quotiënt 1, dan stop je. Schrijf nu het getal als het product van alle priemgetallen die je rechts noteerde.
Voorbeelden
Vandaag wordt er nog altijd gezocht naar priemgetallen. Ze worden gebruikt bij signaalverwerking, cryptografie en coderingen ...
Zoek even op het internet wat op dit moment het grootste priemgetal is en uit hoeveel cijfers het bestaat. Met de komst
4.4 Kleinste gemeenschappelijk veelvoud
Probleemstelling:
Welk natuurlijk getal, niet 0, is het kleinst mogelijke gemeenschappelijk veelvoud van 20 en 24?
Oplossing:
Er zijn verschillende manieren om dit te bepalen.
Methode 1: door opsomming
• Som de veelvouden op.
20 � = { 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, …} 24 � = { 0, 24, 48, 72, 96, 120, …}
• Zoek de gemeenschappelijke veelvouden. 0 , 120 , ...
• We noteren : 20n ∩ 24n = {0, 120, 240, …}.
• Neem van de gemeenschappelijke veelvouden het kleinste dat niet nul is.
notatie kgv (20, 24) = 120
methode
Voorgesteld in een vlinderdiagram :
n 24 n gemeenschappelijke veelvouden
Methode 2: door priemfactorisatie
Hoe bepaal je het kgv door priemfactorisatie?
STAP 1 : Ontbind de getallen in priemfactoren.
STAP 2 : Bepaal het product van alle voorkomende priemfactoren, elk priemgetal in het hoogst voorkomende aantal factoren.
STAP 3 : Werk uit.
Voorbeeld 1: kgv(20, 24)
Voorbeeld 2: kgv(120, 252)
4.5 Grootste gemeenschappelijke deler
Probleemstelling:
Welk natuurlijk getal is de grootst mogelijke gemeenschappelijke deler van 20 en 24?
Oplossing:
Er zijn verschillende manieren om dit te bepalen.
Methode 1: door opsomming
• Som de delers op. del 20 = { 1, 2, 4, 5, 10, 20} del 24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
• Zoek de gemeenschappelijke delers. 1 , 2 , 4
• We noteren : del 20 ∩ del 24 = {1, 2, 4}.
• Neem van de gemeenschappelijke delers de grootste.
notatie ggd (20, 24) = 4
Methode 2: door priemfactorisatie
Hoe bepaal je de ggd door priemfactorisatie ? methode STAP 1 : Ontbind de getallen in priemfactoren.
Voorgesteld in een vlinderdiagram :
20
gemeenschappelijke delers
STAP 2 : Bepaal het product van de gemeenschappelijke priemfactoren, elk gemeenschappelijk priemgetal in het laagst voorkomende aantal factoren.
STAP 3 : Werk uit.
Voorbeeld 1: ggd(20, 24)
Voorbeeld 2: ggd(120, 252)
Verwerkingsopdrachten
a) Noteer door opsomming de eerste zes natuurlijke veelvouden van 4.
b) Geef de verzameling 9� weer door opsomming.
c) Geef door opsomming de delers van 48.
16
Markeer de ware uitspraken.
a) 90 is een veelvoud van 6.
b) 7 is deelbaar door 35.
c) 28 is deelbaar door 14.
d) 0 is een deler van 17.
f) 80 is een veelvoud van 160.
g) 33 is niet deelbaar door 11.
h) 0 is een veelvoud van 17.
i) Elk natuurlijk getal is een veelvoud van zichzelf.
e) 4 | 28 j) 1 is een deler van elk natuurlijk getal.
17
a) Omkring de getallen die deelbaar zijn door 2 in het rood.
b) Omkring de getallen die 3 als deler hebben in het groen.
c) Onderlijn de getallen die een veelvoud zijn van 5.
d) Wat kun je zeggen van getallen die zowel in het rood als in het groen omkringd zijn ?
e) Wat kun je zeggen van getallen die rood en groen omkringd zijn en ook onderlijnd werden ?
2 19
Je hebt een priemverjaardagsdag als zowel de dag van de maand als de maand zelf een priemgetal is. Hoeveel zo’n priemverjaardagsdagen zijn er in totaal in één kalenderjaar?
Kies een even natuurlijk getal.
Deel door 2.
Vermenigvuldig met 4.
Het quotiënt is …
Het product is …
a) Voer het algoritme uit. Trek het quotiënt af van het product en vergelijk jouw antwoord met dat van je medeleerlingen.
b) Verklaar waarom je allemaal een veelvoud van 7 uitkomt.
2 20
Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud of de grootste gemeenschappelijke deler van de gegeven getallen.
a) ggd (12, 20) = e) kgv (10, 15) =
b) ggd (15, 25) = f) kgv (12, 18) =
c) ggd (14, 15) = g) kgv (20, 30) =
d) ggd (12, 18, 36) = h) kgv (2, 3, 5) =
Bepaal door priemfactorisatie.
a) ggd (440, 700)
c) kgv (440, 700)
b) kgv (48, 63)
d) ggd (84, 120)
In een zaal staan er een aantal stoelen. Je kunt ze zowel in rijen van 12 stoelen plaatsen als in rijen van 30 stoelen. In beide situaties heb je geen stoelen over. Hoeveel stoelen staan er minstens in de zaal?
5 Bewerkingen met symbolen en verzamelingen
5.1 Bewerkingen met verzamelingen
Op school kun je deelnemen aan verschillende projecten.
A: de verzameling van de leerlingen uit klas 1Aa die coderen met robots B: de verzameling van de leerlingen uit klas 1Aa die een vulkaanuitbarsting simuleren.
A = { Noah, Olivia, Emma, Lucas, Sophia, Ava }
B = { Yara, Lina, Noah, Liam, Lucas, Ethan, Ava }
Je kan deze informatie in een venndiagram plaatsen om eenvoudig een probleem op te lossen.
Voorbeeld 1: de unie
Welke leerlingen uit 1Aa nemen deel aan het project coderen met robots of aan de simulatie van een vulkaanuitbarsting?
In wiskunde spreken we in dit geval over de unie .
A ∪ B = {Olivia , Sophia, Emma, Noah, Lucas, Ava, Yara, Lina, Liam, Ethan}
Voorbeeld 2: de doorsnede
Welke leerlingen uit 1Aa nemen deel aan het project coderen met robots en aan de simulatie van een vulkaanuitbarsting?
In wiskunde spreken we in dit geval over de doorsnede .
A ∩ B = {Noah, Lucas, Ava}
Voorbeeld 3: het verschil
Welke leerlingen uit 1Aa nemen deel aan het project coderen met robots, maar niet aan de simulatie van een vulkaanuitbarsting?
In wiskunde spreken we in dit geval over het verschil
A \ B = { Olivia, Sophia, Emma}
∩ ... doorsnede ...
∪ ... unie ...
\ ... verschil ...
Merk op
B \ A is de verzameling van de leerlingen uit 1Aa die deelnemen aan de simulatie van de vulkaanuitbarsting, maar niet aan het project coderen.
symbool lees je als
5.2 De implicatiepijl en equivalentiepijl
Voorbeeld
Als ik mijn smartphone via het stopcontact oplaad dan verbruik ik elektriciteit.
Er zijn hier twee uitspraken:
Uitspraak a: Ik laad mijn smartphone via het stopcontact op.
Uitspraak b: Ik verbruik elektriciteit.
Uit de eerste ware uitspraak volgt de tweede uitspraak. Je kunt dit korter noteren door gebruik te maken van de implicatiepijl (of enkele pijl): a ⇒ b
Omgekeerd is dit niet noodzakelijk waar. Het is niet omdat je elektriciteit verbruikt, dat je je smartphone aan het opladen bent.
symbool lees je als
⇒ als … dan …
Ook in wiskunde maken we gebruik van de implicatiepijl.
Voorbeeld
Uitspraak c: Een getal is een natuurlijk getal.
Uitspraak d: Een getal is een geheel getal.
De implicatie “Als een getal een natuurlijk getal is, dan is het getal een geheel getal.” is waar.
WAAR
NIET WAAR
Voorbeeld
Je kunt noteren: c ⇒ d of in symbolen: x ∈ � ⇒ x ∈ z
Omgekeerd klopt de implicatie niet.
We verklaren dit met een tegenvoorbeeld.
Tegenvoorbeeld: -3 is een geheel getal, maar -3 is geen natuurlijk getal.
Uitspraak e: Een getal is even.
Uitspraak f: Een getal is een veelvoud van 2.
De implicatie “Als een getal even is, dan is het getal een veelvoud van 2.” is waar.
WAAR
WAAR
Je kunt noteren: e ⇒ f
De implicatie “Als een getal een veelvoud is van 2, dan is het getal even.” is waar.
Je kunt noteren: f ⇒ e
Beide implicaties zijn waar.
We kunnen zeggen: “Een getal is even als en slechts als een getal een veelvoud is van 2.”
We noteren dit korter met een equivalentiepijl (of dubbele pijl): e ⇔ f
⇔ ... als en slechts als …
symbool lees je als
Verwerkingsopdrachten
Gegeven: S is de verzameling van jongeren die elke week sporten. B is de verzameling van jongeren die babysitten.
Gevraagd: Welke uitspraak is correct? Vink aan.
□ S ∩ B is de verzameling van jongeren die elke week sporten of babysitten.
□ S ∩ B is de verzameling van jongeren die elke week sporten en babysitten.
□ S ∩ B is de verzameling van jongeren die elke week sporten maar niet babysitten.
□ S ∩ B is de verzameling van jongeren die niet elke week sporten maar wel babysitten.
2 24
A: verzameling van de zwemmers die de finale van de 100 m schoolslag zwommen
B: verzameling van de zwemmers die de finale van de 200 m schoolslag zwommen
a) Is de uitspraak waar of niet waar?
• { Caspar, Adam, Jasper} ⊂ B
• Qin zwom de 100 m schoolslag niet.
• Adam zwom zowel de finale van de 100 m schoolslag als de finale van de 200 m schoolslag
b) Geef door opsomming ( A ∪ B) \ ( A ∩ B)
Lija
Melvin
Jasper
Arno
Nic
Casper
Adam
Jasper
Ron
Sam
Nicolò
WAAR NIET WAAR
WAAR NIET WAAR
WAAR NIET WAAR
Qin
Denis
c) Geef een omschrijving van de elementen die behoren tot ( A ∪ B) \ ( A ∩ B).
2 25
Kleur telkens het gevraagde gebied.
Volgt uit de eerste ware uitspraak de tweede ware uitspraak ?
Zo ja, noteer het verband met de implicatiepijl.
Zo nee, noteer een tegenvoorbeeld.
eerste uitspraak tweede uitspraak
Voorbeeld 1 x = -2 x < 0 ja : x = -2 ⇒ x < 0
Voorbeeld 2 x > 0 x = 5 neen : x zou ook 4 kunnen zijn
eerste uitspraak tweede uitspraak
a) x > 27 x > 0
b) x < 14 x < 11
c) x ∈ q x ∈ z
d) x > 5 x > 10
e) x = 0 x ∈ q
f) x ∈ n x ∈ q
g) x ∈ 4n x ∈ 2n
h) x ∈ del 6 x ∈ del 12
i) x ∈ z + x ∈ z
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
6 Eenvoudige breuken optellen en aftrekken
6.1 Breuken vereenvoudigen
Om breuken te vereenvoudigen ga je op zoek naar een, bij voorkeur grootste, gemeenschappelijke deler van de teller en de noemer.
Voorbeelden
36 48 :12 = :12 3 4 ofook: 36 48 :2 = :2 18 24 :2 = :2 9 12 :3 = :3 3 4
21 49 :7 = :7 3 7
200
600 :200 = :200 1 3
definitie Een onvereenvoudigbare breuk is een breuk waarbij de teller en noemer onderling ondeelbaar zijn.
6.2 Breuken gelijknamig maken
definitie Gelijknamige breuken zijn breuken met dezelfde noemer.
Voorbeelden
3 4 en 1 4 zijngelijknamigebreuken.
2 7 en 4 7 zijngelijknamigebreuken.
Als breuken niet gelijknamig zijn, dan is het toch mogelijk ze gelijknamig te maken. Dat doe je als volgt.
Hoe maak je breuken gelijknamig ?
methode STAP 1 : Vereenvoudig de breuken.
STAP 2 : Bepaal het kgv van beide noemers. Pas de tellers aan zodat je gelijkwaardige breuken bekomt.
Voorbeeld
Maakdebreuken 1 2 en 1 3 gelijknamig.
kgv (2, 3) = 6
1 2 = 3 6
1 3 = 2 6 3 6 en 2 6 zijngelijknamigebreuken.
methode
6.3 Breuken optellen en aftrekken
In de lagere school leerde je al breuken optellen en aftrekken. Je kan hiervoor volgende stappenplannen gebruiken:
Hoe tel je breuken op ?
STAP 1 : Vereenvoudig de breuken, indien nuttig.
STAP 2 : Maak de breuken gelijknamig.
STAP 3 : Plaats in de teller de som van de tellers.
Behoud de noemer.
STAP 4 : Vereenvoudig indien mogelijk je resultaat tot een onvereenvoudigbare breuk.
Voorbeelden
methode
Hoe trek je breuken af ?
STAP 1 : Vereenvoudig de breuken, indien nuttig.
STAP 2 : Maak de breuken gelijknamig.
STAP 3 : Plaats in de teller het verschil van de tellers.
Behoud de noemer.
STAP 4 : Vereenvoudig indien mogelijk je resultaat tot een onvereenvoudigbare breuk.
Voorbeelden
Toepassing
Van een plank wordt er eerst een vierde afgezaagd. Daarna wordt er nog eens een derde van de oorspronkelijke plank afgezaagd. Welk deel van de plank blijft er over?
Vraagstukbegrijpen: Eenvolledigeplankwordtvoorgesteldals1geheel. Erwordttweekeergezaagd.
Vraagstukoplossen:
1 geheel
Antwoord: Erblijftnog 5 12 vandeplankover.
Verwerkingsopdrachten
a) Vereenvoudig volgende breuken tot een onvereenvoudigbare breuk.
b) Maak volgende breuken gelijknamig. 3 9 en 1 4
28 2 29
Bepaal de som of het verschil van deze breuken.
Giovanni eet de helft van een pizza op, zijn zus eet een derde van diezelfde pizza op. Welk deel van de pizza blijft over?
Signaaloefeningen
Vul aan.
In het getal 137 402 …
a) is 3 het cijfer van de b) is 4 het cijfer van de
c) heeft 1 de waarde van
d) heeft 7 de waarde van Bepaal in het tiendelig talstelsel …
a) het kleinste natuurlijk getal dat uit 2 cijfers bestaat.
b) het grootste natuurlijk getal dat uit 3 verschillende cijfers bestaat.
c) het grootste oneven natuurlijk getal dat uit 4 verschillende cijfers bestaat.
Vink de ware uitspraken aan.
a) 7 9 < 5 9 f) -5 < -4
b) 16,52 > 16,53 g) 99 ⩽ 100
c) 222 > 22 h) 0,94 ⩾ 0,49
d) -72 < 80 i) 18 656 ⩽ 18 565
e) 1 2 = 0,5 j) 2 3 = 2,3
a) Plaats de getallen in het venndiagram.
120,514 5 3 65 9 17 3,7 8 4 0 1
b) Duid de ware uitspraken aan.
15 3 ∈
4
Plaats volgende wiskundige begrippen op de juiste plaats : term, som, aftrektal, aftrekker, verschil, factor, product, deler, deeltal en quotiënt.
- 5 = 13
6
Noteer telkens de bewerking en daarna het resultaat.
a) Bij een bio-plukboer worden op 50 hectare biologische bessen geteeld. Afgelopen weekend werden 160 kg bessen geplukt, met een totale omzet van 1920 euro. Wat is de prijs van 1 kg bessen?
b) Voor een braderie werden 420 broodjes besteld om hotdogs te maken. Er werden 380 hotdogs verkocht aan 7 euro per stuk. Hoeveel broodjes zijn er nog over?
c) Fleur telt het aantal juwelen in haar juwelenkistje. Elk paar oorbellen telt ze als 1 juweel. In haar kistje zitten 19 paar oorbellen en in totaal zijn er 43 juwelen. Hoeveel juwelen zijn geen paar oorbellen?
7
Noteer door opsomming.
a)del10 = d)2 =
b)del18 = e)4 =
c)del36 = f)10 =
+ 14 = 48
: 5 = 4
8
Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud of de grootste gemeenschappelijke deler van de gegeven getallen.
a) kgv (24, 36) b) ggd (400, 75)
Twee lichten knipperen in verschillende intervallen, één elke 15 seconden en de andere elke 25 seconden. Bepaal om de hoeveel seconden beide lichten tegelijkertijd knipperen.
Plaats de delers van 24 en 36 in het venndiagram en vul aan.
a) del 24 = { } del 36 = { }
b) del 24 ∩ del 36 = { } del 24 \ del 36 = { } del 36 \ del 24 = { }
Volgt uit de eerste ware uitspraak de tweede ware uitspraak ?
Zo ja, noteer het verband met de implicatiepijl.
Zo nee, noteer een tegenvoorbeeld.
eerste uitspraak tweede uitspraak
a) x < -5 x < 0
b) x > 0 x ∈ n
c) x > 15 x > 10
d) x > 100
x is een getal dat bestaat uit 3 cijfers.
e) x ∈ n x ∈ z
f) x ∈ 5n x ∈ 10n
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
JA / NEEN
24 del 36
Verder oefenen : D27
D48
>>> Verder oefenen : D49 t.e.m. D60
Maak volgende breuken gelijknamig.
a) 11 8 en 3 4
d) 5 7 en 8 9
b) 7 24 en 5 6
e) 5 36 en 12 24
c) 4 9 en 5 6
f) 13 30 en 11 20
Een landbouwbedrijf gebruikt de helft van zijn velden voor het telen van maïs. Eén vijfde van hun velden wordt gebruikt voor aardappelen. Welk deel blijft over voor andere gewassen?
a) 10 12 + 6 18 =
b) 5 8 + 10 4 =
c) 1 2 + 1 6 =
d) 7 10 1 5 =
e) 5 14 8 49 =
f) 6 15 + 2 3 =
g) 2 3 1 6 =
h) 7 5 3 10 =
i) 16 24 3 9 =
j) 13 26 4 16 =
k) 13 20 + 1 4 =
l) 26 32 + 6 16 =
>>> Verder oefenen : D61 t.e.m. D73
Differentiatietraject
In het getal 91 375 …
a) is 3 het cijfer van de …
b) is 7 het cijfer van de … .
c) heeft 1 de waarde van …
d) heeft 5 de waarde van … .
Noteer in symbolen.
a) 5 is kleiner dan 8.
b) 0 is kleiner dan 3.
c) 5,8 is groter dan 5,78.
d) 1 2 is gelijk aan 2 4
Er gebeurde heel wat vandaag. Iemand won met EuroMillions 15 000 000 euro.
De prijs van frisdranken stijgt met 5 %. De voetbalwedstrijd Club Brugge – Anderlecht eindigde op 2 – 1.
Maak van deze drie feiten een mini-journaaluitzending zonder gebruik te maken van getallen.
Eindig met een creatief weerbericht.
Bepaal in het tiendelig talstelsel …
a) het kleinste even natuurlijk getal dat uit 4 cijfers bestaat.
b) het grootste even natuurlijk getal dat uit vier verschillende cijfers bestaat.
c) het kleinste even natuurlijk getal van 4 cijfers dat uit de cijfers 6, 7, 8 en 9 bestaat.
d) het grootste even natuurlijk getal van 4 cijfers dat uit de cijfers 6, 7, 8 en 9 bestaat.
e) het grootste natuurlijk getal van 3 cijfers dat uit de cijfers 3, 5 en 8 bestaat.
Welke uitspraken zijn waar ?
a) 2 3 = 4 6
b) 16,5252 < 16,53
c) 11989 > 11998
d) 16656 ⩽ 16565
e) 1 8 = 0,125
f) 6 < 7
g) 99 ⩽ 99
h) 0,454 ⩾ 0,455
i) 85 < 80 j) 14 7 < 17 9 ⩽ 16 8 k) 1 3 ⩽ 2 5
l) 17 > 18 > 19
Noteer het kleinste en het grootste natuurlijk getal dat je kunt vormen door de volgende 3 cijfers precies één keer te gebruiken.
a) 3 en 5 en 7
b) 0 en 2 en 9
Lena schrijft 4 natuurlijke getallen van drie cijfers van klein naar groot op een blad papier. De getallen werden gevormd met de cijfers 0, 1 en 2 die elk maar één keer voorkomen. Welke getallen schreef Lena op het blad?
Talstelsels kennen een lange geschiedenis. Hieronder vind je het getal 64 voorgesteld in verschillende talstelsels. Kleur het getal in de overeenkomstige kleur.
MAYA TALSTELSEL LXIV
ROMEINS TALSTELSEL
TIENDELIG TALSTELSEL
1 0 0 0 0 0 0
BINAIR TALSTELSEL 64
Op sommige gebouwen wordt het bouwjaar aangegeven in Romeinse cijfers.
Noteer telkens in welk jaar het gebouw werd afgewerkt.
Op de getallenas rechts werd telkens een aantal getallen aangeduid. Met welke opgave links komt deze overeen ? Maak de passende verbinding.
Welke getallen worden hier als hiëroglyfen weergegeven ?
a) b) c) d)
a) Welke getallen worden hier in het talstelsel van de Maya’s weergegeven ? I) II) III)
b) Hoe noteer je twintig volgens de Maya’s ?
Noteer alle natuurlijke getallen die voldoen aan de volgende voorwaarden.
a) x < 4
b) x > 12
c) x ⩽ 7
d) 0 < x < 2
e) 0 ⩽ x ⩽ 5
f) 12 ⩾ x > 6
Groepsopdracht
Het binair talstelsel, het Griekse talstelsel en het hexadecimaal talstelsel zijn nog drie andere voorbeelden van hoe getallen opgebouwd kunnen worden. Kies als groep één van deze talstelsels.
Zoek hoe ze opgebouwd zijn. Leg aan je medeleerlingen uit hoe je onze getallen omzet naar dit talstelsel.
Een natuurlijk getal bestaat uit 5 verschillende cijfers. Als er drie cijfers uit de rij 4, 6, 8 en 3 in het getal verwerkt zijn, wat is dan het verschil van het grootste en het kleinste getal dat je kan vormen ?
Soorten
Omkring alle natuurlijke getallen.
Onderlijn alle gehele getallen. Kleur alle rationale getallen groen.
Plaats in elk gebied van het venndiagram drie getallen.
Plaats de getallen op de juiste plaats in het venndiagram.
8;0,3;15; 2 1 ; 2; 4;0; 8 16 ;3,33; 6 3
Markeer de juiste uitspraken.
Waar of niet waar? Verklaar je antwoord of geef een tegenvoorbeeld.
a) Als je twee natuurlijke getallen door elkaar deelt, dan is het resultaat een positief rationaal getal.
b) De decimale vorm van een rationaal getal heeft een eindig aantal cijfers na de komma.
c) Als een rationaal getal geschreven is als een breuk en de teller is groter dan de noemer, dan is het rationaal getal groter dan 1.
Geef door opsomming alle rationale getallen die gelijktijdig voldoen aan deze drie voorwaarden:
en
Vul aan met het juiste begrip.
a) 8 + 7 = 15 b) 5 · 3 = 15
8 is een …
7 is een
15 is de … van 8 en 7.
Hoofdbewerkingen
5 is een …
3 is een
15 is het … van 5 en 3.
Noteer telkens de bewerking en daarna het resultaat.
a) De schoolbibliotheek telt 532 boeken. Hiervan werden er 79 uitgeleend. Hoeveel boeken staan er nog in de schoolbibliotheek?
b) Een fabrikant maakt 12 000 schroeven per dag. Hij verpakt ze in dozen van 125 schroeven. Hoeveel dozen kan hij per dag vullen?
c) Lowie legt van een puzzel twaalf dagen lang elke dag 53 stukjes. Hoeveel stukjes bevat de puzzel “Christmas Eve at the Station”?
d) Loïc zette deze ochtend tijden een wandeling 4958 stappen. In de namiddag deed hij een tweede wandeling, dit keer van 6086 stappen. Hoeveel stappen zette Loïc tijdens deze twee wandelingen?
In een zaal staan 385 stoelen die men van meubeldoppen voorziet. Deze doppen kosten 2 euro per stuk. Hoeveel kost het om alle stoelen van meubeldoppen te voorzien ?
Bereken uit het hoofd en vul aan.
a) Als de som van twee getallen 124 is en de eerste term is 24, dan is de tweede term …
b) Het product is gelijk aan de eerste factor, dan is de tweede factor …
c) Als de deler de helft is van het deeltal, dan is het quotiënt …
d) Als het quotiënt gelijk is aan het deeltal, dan is de deler … .
e) Als het product gelijk is aan de som van 2 en 16 en de eerste factor is 2, dan is de tweede factor … .
f) Als het verschil gelijk is aan het aftrektal, dan is de aftrekker gelijk aan … .
g) Als de twee termen gelijk zijn aan hun som, dan is de eerste term … .
h) Als de twee factoren gelijk zijn aan hun product, dan is de eerste factor … .
Een volwassene ademt gemiddeld 18 keer per minuut. Hoe dikwijls ademt hij per dag ?
Veelvouden en delers
a) Geef de eerste vijf natuurlijke veelvouden van 4.
b) Geef de eerste vijf natuurlijke veelvouden van 7.
c) Geef de delers van 96.
d) Geef de delers van 17.
Duid de ware uitspraken aan.
4 is een veelvoud van 16 5 is een veelvoud van 0 8 is een veelvoud van 1 60 is een veelvoud van 15 1 is een veelvoud van 10 15 is een veelvoud van 3 0 is een veelvoud van 22 16 is een veelvoud van 4 7 is deelbaar door 35 169 is deelbaar door 13 30 | 5 0 is een deler van 25 28 is een deler van 14 6 | 540 80 is een deler van 8000 9 is een deler van 118
Welke natuurlijke getallen zijn zowel delers van 12, 16, 100 en 88 ?
Waarom is 999 999 zeker geen priemgetal ?
Markeer wat bij elkaar hoort in dezelfde kleur.
Een opgaande deling is … D = d · q + r
… een deling waarvan de rest 0 is.
Een niet-opgaande deling is …
… een deling waarbij de rest niet nul is en kleiner dan de deler.
D = d q
Bepaal telkens de ggd of kgv van de gegeven getallen door opsomming.
a) ggd (18, 27)
b) ggd (60, 180)
c) ggd (30, 45)
d) kgv (18, 27)
Bepaal door priemfactorisatie.
a) ggd (12, 30)
kgv (12, 30)
Geef door opsomming.
a) 2n
b) 3n
D = deeltal
q = quotiënt
d = deler
r = rest
e) kgv (60, 180)
f) kgv (30, 45)
b) ggd (4, 14)
c) ggd (48, 72)
kgv (4, 14) kgv (48, 72)
c) 10n d) del 18
e) del 20 f) del 36
Je kunt aan een getal gemakkelijk zien of het deelbaar is door een bepaald getal of niet. Hiervoor kun je kenmerken van deelbaarheid gebruiken.
kenmerken DEELBAARHEID DOOR 2
Een natuurlijk getal is deelbaar door 2 als en slechts als het laatste cijfer van dat getal deelbaar is door twee.
DEELBAARHEID DOOR 5
Een natuurlijk getal is deelbaar door 5 als en slechts als het laatste cijfer van dat getal deelbaar is door vijf.
DEELBAARHEID DOOR 10
Een natuurlijk getal is deelbaar door 10 als en slechts als het laatste cijfer van dat getal nul is.
DEELBAARHEID DOOR 100
Een natuurlijk getal is deelbaar door 100 als en slechts als de laatste twee cijfers van dat getal nullen zijn.
DEELBAARHEID DOOR 3
Een natuurlijk getal is deelbaar door 3 als en slechts als de som van de cijfers deelbaar is door 3.
DEELBAARHEID DOOR 9
Een natuurlijk getal is deelbaar door 9 als en slechts als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
a) Is dit getal deelbaar ? Zet een kruisje als het deelbaar is door het gegeven getal.
Het laatste getal ontbreekt, maar alles is aangekruist.
Noteer een van nul verschillend getal dat al deze getallen als deler heeft.
b) Vul het laatste cijfer zo in dat het getal deelbaar wordt.
Geef steeds alle mogelijke oplossingen.
Waar of niet waar ?
a) De grootste gemeenschappelijke deler van twee verschillende priemgetallen is steeds 1.
b) Als ggd (a, b) = 1, dan is ggd (2a, 2b) = 1.
c) Als ggd ( a, b) = 1, dan is kgv ( a, b) = a · b
a) Wat doet deze code? Leg elke stap uit met een voorbeeld.
b) Kies een priemgetal kleiner dan 100 en gebruik de code om te controleren of ze daadwerkelijk priemgetallen zijn.
Algoritme van Euclides
Hoe bepaal je de ggd van twee getallen via het algoritme van Euclides ? methode
STAP 1 : Noem het grootste getal a en het kleinste b.
STAP 2 : Bepaal de rest r als je a deelt door b
STAP 3 : Als r = 0, dan is ggd (a, b) = b
STAP 4 : Als r ≠ 0, dan is ggd (a, b) = ggd (b, r) en herneem je het algoritme voor ggd (b, r).
Voorbeeld
ggd (252, 120) = ggd (120, 12) rest van 252 gedeeld door 120 = ggd (12, 0) rest van 120 gedeeld door 12 = 12
Zoek de grootste gemeenschappelijke deler door het algoritme van Euclides toe te passen. ggd (22, 150) = …
De zeef van Eratosthenes
In onderstaand schema zullen we alle priemgetallen kleiner dan 100 markeren.
NUL ?
In het honderdveld komt nul niet voor. Nul heeft oneindig veel delers en is dus zeker geen priemgetal.
ÉÉN ?
Het getal één is geen priemgetal. In de definitie lees je dat er twee verschillende delers moeten zijn.
TWEE ?
Het getal twee is het eerste priemgetal. Markeer het. Elk ander veelvoud van twee is geen priemgetal, aangezien dit veelvoud naast zichzelf zeker ook twee als deler heeft. Doorkruis alle veelvouden van twee.
DRIE ?
Ook drie is een priemgetal. Markeer het. Doorkruis alle veelvouden van drie.
EN ?
Werk op dezelfde manier verder. Uiteindelijk staan alle priemgetallen uit dit honderdveld in kleur.
Noteer alle verkregen priemgetallen. Hoeveel zijn er tussen 0 en 100 ?
Los volgende vraagstukken op met behulp van kgv en ggd.
a) Een loper loopt één ronde in 8 minuten. Een tweede loper loopt dezelfde ronde in 12 minuten. Wanneer zal de eerste loper de tweede inhalen als ze gelijktijdig starten en aan een constante snelheid lopen ?
b) Miel wil zijn garage vloeren met zo groot mogelijke vierkante tegels. De lengte van de garage is 495 cm en de breedte 315 cm. Welke tegels zal hij kopen ?
c) De versnellingen aan je fiets worden mogelijk gemaakt door verschillende tandwielen die op elkaar ingrijpen. Stel dat een tandwiel 70 tanden heeft en een kleiner tandwiel 42 tanden. Hoeveel keer zal het kleine tandwiel moeten draaien voordat de tandwielen weer in de oorspronkelijke positie staan ?
d) Om de 300 dagen gaat je hond op tandcontrole bij de dierenarts. Om de 180 dagen gaat hij langs bij de hondenkapper. Vandaag ging hij zowel bij de dierenarts als bij de kapper langs. Wanneer zal dat opnieuw zo zijn ?
Kies in Scratch bij code voor variabelen.
• Maak een eerste variabele en geef het de naam ‘getal’.
• Maak een tweede variabele en geef het de naam ‘factor’.
• Maak een derde variabele en geef het de naam ‘product’.
Een variabele is een ‘container’ waarin een waarde wordt opgeslagen. Deze waarde is bij het opstellen van de code niet gegeven en wordt vrij bepaald door de gebruiker van de code. Je kunt containers dus gebruiken wanneer de waarden in een programma veranderlijk zijn. Containers zijn nuttig voor programmeurs als ze een code willen schrijven met veranderlijke waarden. Gebruik vervolgens deze code.
a) Wat doet deze code? Leg uit met een voorbeeld.
b) Wat moet je aan deze code veranderen om de eerste twintig veelvouden te krijgen.
Voer in Scratch de volgende code in :
a) Wat betekent modulo?
b) Wijzig de code zodat het programma bepaalt of het getal een drievoud is.
c) In het dagelijkse leven doe je regelmatig aan modulorekenen. Zo zeggen we bijvoorbeeld als het 14:00 uur is, dat het 2 uur ’s middags is.
Maak een code zodat de tijd passend wordt omgezet. Let op, je hoeft enkel uren in te geven en geen minuten.
a) Voer deze code enkele malen uit met verschillende getallenvoorbeelden.
b) Pas de code aan zodat er automatisch willekeurige getallen gekozen worden. Houd rekening met het feit dat het grootste en kleinste getal een rol spelen in het algoritme.
Waar of niet waar ?
a) 2 | 4 en 3 | 9 ⇒ 2 | 13
b) 15 | 30 en 15 | 75 ⇒ 15 | 105
c) a | 16 en a | 56 ⇒ a | 72
d) 9 | b ⇒ 9 | 2b en 9 | 7b
e) 10 | r ⇒ 10 | r + 10 en 10 | r + 20
f) 3 | 15 ⇒ 3 | 3 en 3 | 5
3 | 6 ⇒ 3 | 12
Je zegt:
Als 3 een deler is van 6, dan is 3 een deler van 12. TIP
a) Kleur de correcte antwoorden blauw.
Bij elke vraag staan 5 mogelijke antwoorden. Neem een kleurstift of potlood en kleur de vakjes met alle juiste antwoorden in. Er kunnen meerdere antwoorden mogelijk zijn (of ook helemaal geen).
Het getal 12 45x moet deelbaar zijn door 2.
Het verschil van 1234 en 4321 is deelbaar door :
Dit getal is een veelvoud van 3 én een veelvoud van 5. ⇒
Het getal 901x moet deelbaar zijn door 3.
Als je een getal deelt door 4 kan dit de
Een bepaald getal wordt gedeeld door 6.
Het is een opgaande deling. De rest kan zijn :
Het getal 12 06x moet deelbaar zijn door 3.
b) Zijn wij priemgetallen ?
Als je alle vragen correct oplost (en de vakjes ingekleurd hebt), lees je een getal.
Als je je blad omkeert, heb je een ander getal.
Noteer beide getallen en geef voor beide het antwoord op de vraag : is dit een priemgetal ?
Nadat je een getal b hebt ontbonden in priemfactoren, is dit het resultaat : b = x y z
Bepaal nu alle delers van het getal b.
Als a, b, c en d behoren tot z , klopt dan deze uitspraak ?
a | b en b | c ⇒ a | c
Onderzoek dit aan de hand van 4 voorbeelden.
Bepaal door te ontbinden in priemfactoren. a) ggd (210, 525, 1155) b) kgv (84, 154, 182)
Werken met symbolen en verzamelingen
Gegeven:
A: de verzameling van de leerlingen die naar jouw verjaardagsfeest kunnen komen
B: de verzameling van jouw vrienden uit de klas
A = { Nanne, Arthur, Geike, Tibault, Rozanne, Estéban}
B = { Amélie, Arthur, Liam, Janne, Mariama, Estéban}
Gevraagd:
a) Plaats de elementen in een vlinderdiagram.
b) Welke leerlingen zitten in de doorsnede?
c) Wat is de betekenis van de doorsnede in deze oefening?
2 50
Welke afbeelding komt overeen met de gegeven bewerking ?
2 51
Gegeven:
A: de verzameling van de kinderen die atletiek doen
B: de verzameling van de kinderen die zwemmen
Gevraagd:
a) Welke uitspraken zijn waar?
• A = { Zoë, Bilal, Lucas, Yasmina}
• Liv ∉ B
• Max ∈ B
• { Ella, Liv} ⊂ A
b) Geef de betekenis van A ∩ B.
c) Geef de betekenis van B \ A.
d) Geef de betekenis van A ∪ B.
• Zoë
• Bilal
• Lucas
• Yasmina
e) Waarom worden Ayaan en Jules buiten het vlinderdiagram geplaatst?
• Ella
• Liv
• Lina
• Sam
• Max
• Malik
• Mauro
• Ayaan
• Jules
a) Als A de verzameling is van alle even natuurlijke getallen en B de verzameling van alle oneven natuurlijke getallen, welke getallen zitten dan in A ∪ B ?
b) Als A de verzameling is van alle vijfvouden en B de verzameling van alle tienvouden, welke getallen zitten dan in A ∩ B ?
c) Als A de verzameling is van alle vlakke figuren en B de verzameling van alle driehoeken, welke figuren zitten dan in A \ B ?
a) Hoe lees je deze implicatie ? x < 10 ⇒ x < 20
b) Hoe lees je deze implicatie ? y ⩾ 0 ⇒ y is een positief getal
c) Schrijf in symbolen door gebruik te maken van de implicatiepijl.
‘Als x kleiner is dan -9, dan is x kleiner dan -7’.
d) Schrijf in symbolen door gebruik te maken van de implicatiepijl.
‘Als y groter is dan 20, dan is y - 2 groter dan 18’.
Volgt uit de eerste ware uitspraak de tweede ware uitspraak ?
Zo ja, noteer het verband met de implicatiepijl. Zo nee, noteer een tegenvoorbeeld.
eerste uitspraak tweede uitspraak
a) x ∈ z x ∈ q
b) x ∈ n x - 4 is een negatief getal.
c) x > -100 x ∈ z
d) 11 > 9 en 9 > 3 11 > 3
Bepaal door opsomming.
a) del 12 ∩ del 36 f) del 20 \ del 10
b) del 4 ∩ del 9 g) del 10 ∪ del 20
c) del 32 \ del 56 h) del 48 ∩ 2n
d) del 2 ∪ del 3 i) { 2, 4, 6, 8, 10} ∩ { 6, 8, 10, 12, 14}
e) del 4 ∪ del 8 j) { 6, 8, 10, 12, 14} \ { 2, 4, 6, 8, 10}
Onderzoeksopdracht
Binnen welke getallenverzameling(-en)
kunnen we een implicatiepijl plaatsen tussen volgende uitspraken ?
eerste uitspraak tweede uitspraak x < 1000 x ⩽ 999
Bepaal door opsomming.
a)3 ∪ 4 f)del48 \ 2
b)6 \ 2 g)3 ∪ 3
c)6 ∪ 5
h)6 ∩ del6
d)10 ∩ 20 i)del6 ∪ del18
e)10 ∪ 20 j)del6 ∩ del18
Eenvoudige breuken optellen en aftrekken
61 2 62 2 63
Gegeven:
A: de verzameling van de veelvouden van 4 die kleiner zijn dan 30
B: de verzameling van alle getallen die 1 kleiner zijn dan een priemgetal kleiner dan 30
C: de veelvouden van de veelvouden van 3 die kleiner zijn dan 30
Gevraagd: Bepaal door opsomming ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) .
Gegeven:B \ A = {3,4,5}
A ∪ B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B \ A = {6,7,8,9}
GeefdeverzamelingAenBdooropsomming.
Gegeven:A = {x ∈ | 3 ⩽ x < 9} B = {x ∈ 0 |− 3 < x < 5}
Gevraagd:a)A ∪ B
b)A ∩ B
c)A \ B d)B \ A
Vul aan zodat de gelijkheden kloppen.
Bereken.
Bereken en noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk.
Van een halve kg bloem wordt een vierde gebruikt bij het bakken. Hoeveel bloem blijft er nog over?
Vul in met <, > of =.
a) 8 12 … 3 4
b) 5 7 … 5 6
Bereken en noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk.
a) 7 18 + 4 9
b) 15 20 3 5
Voor een optreden kun je verschillende tickets kopen. Je hebt categorie 1, categorie 2 en droomstoelen. 3 op 4 tickets zijn van categorie 1. 1 op 5 tickets zijn van categorie 2.
Welk deel van de tickets zijn geen droomstoelen?
Noteer telkens met een breuk.
a) Tom is een jongen uit klas 1A. In die klas zitten alle leerlingen per twee. De klas bestaat uit 13 jongens en 11 meisjes. Hoe groot is de kans dat Tom naast een jongen zit ?
b) In je klas zitten 20 leerlingen. De juf duidt willekeurig iemand aan. Hoe groot is de kans dat jij dat bent ?
c) In je klas zitten 20 leerlingen. De juf duidt (voor een mondelinge proef) vier leerlingen aan. Hoe groot is de kans dat jij daarbij bent ?
d) Je moet één cijfer raden. Hoe groot is de kans dat je dit cijfer juist raadt ?
e) Geert verzamelt één exemplaar van elk euromuntstuk. Hij neemt één willekeurig muntstuk uit zijn verzameling. Hoe groot is de kans dat dit een muntstuk van 2 euro is ?
a) Zoek twee getallen die zich verhouden als 3 tot 4 en waarvan de som 70 is.
b) Zoek twee getallen die zich verhouden als 3 tot 4 en waarvan de som 280 is.
Bereken en noteer je antwoord als een onvereenvoudigbare breuk. a)
Druk volgende kansen uit als een breuk. Je gooit met twee dobbelstenen. Hoe groot is de kans dat het totaal aantal ogen gelijk is aan …
a) 2 ?
b) 6 ?
c) 12 ?
d) 18 ?
Bepaaleenrationaalgetal…
a) a zodat 7 15 < a < 8 15 . b) b zodat0,387 < b < 0,388.
Zoek a als 3 5 4 9 = 3 15 a
Studiewijzer
Differentiatietraject
Doelen
Ik kan werken met getallen in het tiendelig positiestelsel.
Ik ken natuurlijke, gehele en rationale getallen en de daarbij horende verzamelingen: � , z en q
Ik kan hoofdbewerkingen uitvoeren op natuurlijke getallen en ken de terminologie.
Ik kan de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van twee of meer getallen berekenen en ken het begrip priemgetal.
Ik kan bewerkingen uitvoeren met verzamelingen en kan werken met de implicatie en equivalentiepijl.
Ik kan eenvoudige breuken optellen en aftrekken.
Doelstellingen
Ik kan werken met getallen in het tiendelig positiestelsel. 6
Vergelijk cijfers met letters en getallen met woorden. verwerking : 1, 2, 3, 4, 5 signaal : 1, 2, 3 differentiatie : 1 t.e.m. 15
Ik ken natuurlijke, gehele en rationale getallen en de daarbij horende verzamelingen: � , z en q
Maak een overzichtstabel met voorbeelden van elk type getal (natuurlijk, geheel, rationaal) en oefen door getallen correct in de verzamelingen � , z en q te plaatsen. Let daarbij op inclusies: elk natuurlijk getal is ook een geheel en een rationaal getal. verwerking : 6, 7, 8, 9, 10 signaal : 4 differentiatie : 16 t.e.m. 21
Ik kan hoofdbewerkingen uitvoeren op natuurlijke getallen en ken de terminologie.
8
13 Oefen de hoofdbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) door eenvoudige rekenoefeningen te maken en de juiste termen zoals som, verschil, product en quotiënt erbij te noteren. Controleer steeds je antwoorden om nauwkeurigheid te verbeteren.
verwerking : 11, 12, 13, 14 signaal : 5, 6
differentiatie : 22 t.e.m. 26
Ik kan de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van twee of meer getallen berekenen en ken het begrip priemgetal.
Gebruik priemfactorisatie om zowel de grootste gemeenschappelijke deler als het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van getallen te berekenen. Maak een overzicht van priemgetallen tot 100 om snel te herkennen. Oefen met verschillende combinaties van getallen om de stappen te automatiseren. Controleer met ICT.
verwerking : 15 t.e.m. 22 signaal : 7, 8, 9, 10 differentiatie : 27 t.e.m. 48
Ik kan bewerkingen uitvoeren met verzamelingen en kan werken met de implicatie en equivalentiepijl.
Teken venndiagrammen om de bewerkingen tussen verzamelingen (unie, doorsnede, verschil) visueel te begrijpen en oefen met voorbeelden.
verwerking : 23, 24, 25, 26 signaal : 11 differentiatie : 49 t.e.m. 60
Ik kan eenvoudige breuken optellen en aftrekken.
Zorg dat je breuken steeds naar hetzelfde noemer brengt voordat je ze optelt of aftrekt. Vereenvoudig indien mogelijk het resultaat.
verwerking : 27, 28, 29 signaal : 12, 13, 14 differentiatie : 61 t.e.m. 73
18
Auteurs Björn Carreyn, Filip Geeurickx en Roger Van Nieuwenhuyze Coverfoto Debu55y - stock.adobe.com
Eerste editie - Bestelnummer 94 606 0012 (module 01 van 17)
ISBN 978 90 4865 054 5 - KB D/2025/0147/5 - NUR 126 - Thema YPMF
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge
26
30