–de grafiek van een willekeurige functie vanuit een functievoorschrift of vanuit een tabel schetsen met en zonder ICT
–een functie voorstellen door een verwoording, tabel, grafiek en voorschrift
–functiekenmerken bepalen aan de hand van de grafiek van een functie en gebruiken om realistische problemen op te lossen met behulp van ICT
wat je leert in deze module
–het verloop bepalen van de grafiek van een functie, rekening houdend met de kromming
–het gedrag op oneindig van een functie onderzoeken
–de symmetrie en periode onderzoeken aan de hand van de grafiek van een functie
–nieuwe inzichten betreffende de grafiek van een functie gebruiken om realistische problemen op te lossen met behulp van ICT
Inhoud
Instap
1Even herhalen
2Verloop van functies
3Symmetrie
4Periode
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Studiewijzer
in de kijker
Je gebruikt wiskundige modellen als vereenvoudiging van de werkelijkheid.
wiskundetaal
–domein
–bereik
–nulwaarde
–nulpunt
–tekentabel
–verloop (stijgen/dalen)
–relatief (of lokaal)
minimum/maximum
–absoluut (of globaal) minimum/maximum
–extrema
–hol
–bol
–buigpunt
–limiet
–verticale asymptoot
–horizontale asymptoot
–schuine asymptoot
–convergeren
–divergeren
–symmetrie
–even functie
–oneven functie
–lijnsymmetrie
–puntsymmetrie
–periode
Instap
Opdracht 1
Een auto rijdt over een recht stuk weg. Zijn snelheid v( t) in m/s ten opzichte van de tijd t in seconden wordt gemodelleerd door de grafiek hiernaast.
a)Vul de waardentabel aan. x 012345 f ( x )
b)In welk(e) interval(len) neemt de snelheid toe? En wanneer neemt de snelheid af?
Opdracht 2
Bekijk de grafiek.
a)Bepaal het domein en bereik.
dom f = ber f =
b)Bepaal de nulwaarden.
c)Maak een tekentabel.
d)Teken het verloop (stijgen/dalen).
Opdracht 3
Men meet het waterniveau in een tank. Het niveau h( t) in meter ten opzichte van de tijd t in uren kan gemodelleerd worden door de functie h( t) = -0,025t3 + 0,15t2 + 0,375t + 0,21.
a)Teken de grafiek met ICT. Wat is het praktisch domein en praktisch bereik in deze situatie?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Wat was het waterniveau bij het begin van de meting?
c)Wanneer is het waterniveau maximaal?
d)Op welk tijdstip is de tank leeg?
e)Bepaal het waterniveau na 1 uur en na 3 uren.
1 Even herhalen
Voorbeeld
Je werkt voor een pretpark en je bent gevraagd om een nieuwe achtbaan te ontwerpen. De achtbaan heeft een unieke baan die bestaat uit 2 delen: een lineair stijgend stuk en een parabolisch dalend stuk.
De achtbaan start op 3 meter hoogte (de rechte snijdt de y-as in het punt (0, 3)) en stijgt lineair tot het hoogste punt op 11 meter. We kunnen het lineair stuk uitdrukken met een functievoorschrift:
f( x) = 2x + 3
We noteren een eerstegraadsfunctie f algebraïsch als volgt:
(onafhankelijke veranderlijke)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Vanaf het hoogste punt daalt de achtbaan volgens een parabool tot het eindpunt (snijpunt x-as bij x = 10). We kunnen de parabool met de volgende vergelijking weergeven:
g(x)= 11 36 x2 + 22 9 x + 55 9
We bepalen het domein, bereik, praktisch domein, praktisch bereik, nulwaarden, tekentabel en het verloop (stijgen/dalen) voor beide grafieken:
Verwerkingsopdrachten
We kunnen de levensverwachting voor Belgische vrouwen ( f ) en mannen ( g) van 1855 tot 2022 modelleren met een tweedegraadsfunctie.
g f
a)Wat is het praktisch domein voor deze functies?
b)Wat is het praktisch bereik voor deze functies?
c)Komt het bereik van de modellen overeen met het bereik van de data? Omcirkel.
JA / NEEN
d)Wat is de trend van de levensverwachting? Vink aan.
◯ dalend en de daling neemt toe
◯ dalend en de daling neemt af
◯ stijgend en de stijging neemt af
◯ stijgend en de stijging neemt toe
Als je wiskundige modellen foutief gebruikt, kan dat leiden tot vreemde conclusies. Bekijk de grafische voorstelling uit oefening 1 en controleer het zelf aan de hand van de volgende deelvragen, waarbij we alleen nog aannemen dat de levensverwachting positief moet zijn.
a)Stel een tekentabel op voor beide functies. Je zult hierbij benaderend moeten werken.
b)Vergelijk de nulwaarden van beide functies. Wat betekent het verschil tussen de kleinste nulwaarden? En tussen de grootste nulwaarden?
c)Teken het verloop (stijgen/dalen) voor beide functies. Je zult hierbij benaderend moeten werken.
d)Vergelijk de extreme waarden van beide functies. Wat betekent het verschil tussen de maxima van beide modellen?
e)Wanneer bereiken we de maximale levensverwachting voor mannen en vrouwen?
f) Wat is de oorzaak van deze vreemde conclusies?
2 Verloop van functies
2.1 Waardenverloop (stijgen/dalen)
(x1 , f(x1 ))
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
x2 , f(x2 ))
x3 , f(x3 )) (x4 , f(x4 )) dom f = ber f = [ f (x2 ) , f (x1 )]
tekentabel: verloop (stijgen/dalen): x -1014 f( x) + 0 - 0 + 0 - 0 + xx
Uit de grafiek lezen we af:
• f heeft een lokaal maximum in x1, want we vinden een interval I1 rond x1 waarvoor geldt ∀ x ∈ I1 : f(x) ⩽ f(x1 ) ∀
x ∈ I4 : f(x) ⩾ f(x4 ) f heeft tevens een globaal maximum in x1, want ∀ x ∈ dom f : f(x) ⩽ f(x1 ) ∀ x ∈ dom f : f(x) ⩾ f(x2 ) • f heeft een lokaal maximum in x3, want we vinden een interval I3 rond x3 waarvoor geldt
f heeft tevens een globaal minimum in x2, want
∀ x ∈ dom f : f(x) ⩽ f(x1 ) ∀ x ∈ dom f : f(x) ⩾ f(x2 )
• f heeft een lokaal minimum in x4, want we vinden een interval I4 rond x4 waarvoor geldt
⩾
) • f heeft een lokaal minimum in x2, want we vinden een interval I2 rond x2 waarvoor geldt
definities f heeft een absoluut (of globaal) maximum in x = c als ∀ x ∈ dom f : f(x) ⩽ f(c)
∀ x ∈ dom f : f(x) ⩽ f(c)
∀ x ∈ dom f : f(x) ⩽ f(c)
∀ x ∈ dom f : f(x) ⩽ f(c)
∀ x ∈ I ∩ dom f : f(x) ⩽ f(c)
∀ x ∈ I ∩ dom f : f(x) ⩽ f(c)
∀ x ∈ dom f : f(x) ⩾ f(c)
∀ x ∈ dom f : f(x) ⩾ f(c)
∀ x ∈ I ∩ dom f : f(x) ⩾ f(c) f heeft een relatief (of lokaal) maximum in x = c als er een open interval I rond x = c bestaat zodat
∀ x ∈ I ∩ dom f : f(x) ⩽ f(c)
∀ x ∈ I ∩ dom f : f(x) ⩽ f(c)
∀ x ∈ I ∩ dom f : f(x) ⩾ f(c) f heeft een absoluut (of globaal) minimum in x = c als
∀ x ∈ dom f : f(x) ⩾ f(c)
∀ x ∈ dom f : f(x) ⩾ f(c)
∀ x ∈ I ∩ dom f : f(x) ⩾ f(c) . f heeft een relatief (of lokaal) minimum in x = c als er een open interval I rond x = c bestaat zodat
∀ x ∈ I ∩ dom f : f(x) ⩾ f(c).
Merk op
• Absolute en relatieve minima en maxima noemen we de extrema van de functie f.
• Elk absoluut extremum is terzelfdertijd een relatief extremum. Het omgekeerde is niet altijd waar.
• Absolute extrema helpen je bij het bepalen van het bereik.
2.2Verloop (hol/bol)
Voorbeeld
Wetenschappers zetten een kweek op van bacteriën. Ze bestuderen hoe het aantal bacteriën evolueert in functie van de tijd. Op de grafiek zie je hoe de verandering van de vorm van de grafiek telkens een nieuwe fase aankondigt.
We overlopen:
1)De grafiek is constant: de exponentiële fase is nog niet gestart. Als je bacteriën in een nieuwe voedselrijke omgeving zet, dan zal er in het begin geen groei zijn. Ze passen zich aan aan de nieuwe omstandigheden.
2)De grafiek stijgt en die stijging neemt toe: begin van de exponentiële fase. Omdat de leefomstandigheden ideaal zijn, neemt het aantal bacteriën exponentieel toe.
Aantal bacteriën
3)De grafiek stijgt, maar de stijging neemt af: de stationaire fase wordt stilaan bereikt. Door bijvoorbeeld afvalproducten, uitputting van voedingsstoffen ... zal de groei geremd worden en vervolgens stagneren. Deze stagnering kan langere tijd duren, maar in ons voorbeeld treedt de volgende fase vrijwel onmiddellijk in werking.
4)De grafiek daalt en de daling neemt toe. De leefomstandigheden zijn moeilijk voor de bacteriën, de populatie is aan het uitsterven.
5)De grafiek daalt, maar de daling neemt af. In ons voorbeeld neemt de daling af en lijkt de populatie naar een evenwicht te groeien. Dat kan bijvoorbeeld door het cyclisch aanbieden van nieuwe voedingsstoffen. Afhankelijk van het experiment kan de populatie ook volledig afsterven, bijvoorbeeld als alle voedingsstoffen volledig zijn uitgeput.
12345
Tijd
In elke fase heeft de vorm van de grafiek specifieke kenmerken. Met behulp van de wiskundige concepten stijgen, dalen, hol en bol kunnen we de vorm van de grafiek nauwkeurig beschrijven. Stijgen en dalen herhaalden we al kort in het vorige paragraafje. De begrippen hol en bol verdiepen we hier.
De grafiek van een functie is hol als de grafiek open lijkt te staan naar boven, en bol als de grafiek open lijkt te staan naar onder. Het hol of bol staan van de grafiek heeft niets te maken met het stijgen of dalen. De grafiek van een functie kan hol zijn en tegelijkertijd toenemen of afnemen. Evenzo kan de grafiek bol staan en toenemen of afnemen. Wiskundig definiëren we ‘openen naar boven’ en ‘openen naar beneden’ als volgt:
definities De grafiek van de functie f staat hol op een interval I als alle raaklijnen aan de grafiek op I onder de grafiek van f liggen.
De grafiek van de functie f staat bol op een interval I als alle raaklijnen aan de grafiek op I boven de grafiek van f liggen.
Punten waarin de grafiek van kromming verandert, noemen we buigpunten (BP)
Zo kunnen we de vorm van de grafiek nauwkeurig beschrijven.
B
Merk op dat we de tabel van het waardenverloop kunnen combineren met de tabel van de kromming. In deze samenvattende tabel beschrijven we de vorm van de grafiek. Nulwaarden en tekenverloop nemen we hier niet op, daarmee beschrijven we de ligging van de grafiek.
2.3Gedrag op oneindig
In een proefproject krijgt een landelijk stadje recyclingbakken om afval te scheiden en op te slaan. De kosten K (in euro) voor de levering van de bakken aan p procent van de inwoners, modelleren we met de formule:
K(p)= 30000p 100 p
Kosten( 107 ,ineuro)
Percentagevandebevolking(in%)
We kunnen de leveringskost voor een bediening van 15%, 50% en 90% van de bevolking eenvoudig berekenen. Volgens het model is dat respectievelijk € 5294,12; € 30000 en € 270000.
De kosten lijken oneindig groot te worden, want de grafiek lijkt zelfs op een verticale rechte. De kostengrafiek lijkt op een verticale rechte voor p → < 100. We noteren dit als volgt: lim p → < 100 K(p)=+∞
De rechte met vergelijking p = 100 noemen we een verticale asymptoot . Merk op dat de grafiek van K de verticale asymptoot nooit snijdt of raakt. In dat geval zou je immers delen door 0 en dat kan niet.
2.3.1Bespreking
Merk op dat +∞ en -∞ geen reële getallen zijn: ±∞∉ . Immers = ] ∞, +∞[. We kunnen dus nooit x of f( x) gelijkstellen aan ±∞, wel kunnen we uitspraken doen over het gedrag van de functie f als x →±∞ of f(x) →±∞ . We proberen met andere woorden ±∞ steeds te benaderen en nooit te bereiken. In de wiskunde gebruiken we hiervoor het limietbegrip
We onderscheiden 4 gevallen.
• GEVAL 1: x-waarden naar oneindig, functiewaarden eindig
Als x → +∞ dan f(x) → 1. De functiewaarden gaan naar een eindig reëel getal, namelijk 1. Anders gezegd, de functiewaarden convergeren naar 1. Op de grafiek lees je af dat de grafiek van f voor grote waarden van x de horizontale rechte met vergelijking y = 1 benadert. Deze rechte noemen we een horizontale asymptoot van f voor x → +∞. We noteren:
lim x → +∞ f(x)= 1
HA ↔ y = 1
Analoog, als x → ∞ dan f(x) → 0. De functiewaarden gaan naar een eindig reëel getal, namelijk 0. Anders gezegd, de functiewaarden convergeren naar 0. Op de grafiek lees je af dat de grafiek van f voor kleine waarden van x de horizontale rechte met vergelijking y = 0 benadert. Deze rechte noemen we een horizontale asymptoot van f voor x → ∞. We noteren:
lim x → ∞ f(x)= 0
HA ↔ y = 0
Voorbeeld 2: x →±∞ en
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Als x → +∞ dan gaan de functiewaarden niet naar een eindig getal. Anders gezegd, de functiewaarden convergeren niet, ze divergeren . Op de grafiek lees je af dat ze steeds schommelen tussen -2 en 4. We noteren: lim x → +∞ f(x)= /ofbestaatniet
Als x → -1 en x < -1 dan f( x) → +∞, maar ook: als x → -1 en x > -1 dan f( x) → +∞
In het eerste geval nadert x langs links, in het tweede geval langs rechts. Er is geen verschil tussen beide, we kunnen besluiten dat:
Als x → -1 dan f( x) → +∞. De functiewaarden gaan naar +∞. Ze gaan dus niet naar een eindig getal, we zeggen dat de functiewaarden divergeren naar +∞.
Op de grafiek lees je af dat de grafiek van f in de buurt van x = -1 de verticale rechte met vergelijking x = -1 benadert. Deze rechte noemen we een verticale asymptoot van f voor x → -1. We noteren:
Als x → 2 en x < 2 dan g( x) → -∞, maar ook: als x → 2 en x > 2 dan g( x) → +∞
In het eerste geval nadert x langs links en gaan de functiewaarden naar -∞
In het tweede geval nadert x langs rechts en gaan de functiewaarden naar +∞
Het gedrag links en rechts van 2 is verschillend, we moeten besluiten dat als x → 2 we geen uitspraak kunnen doen over het gedrag van de functiewaarden. Anders gezegd, de functiewaarden divergeren.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Rechterlimiet:lim x → 1 > f(x)=+∞ ⇓ lim x → 1 f(x)=+∞
VA ↔ x = 1
Op de grafiek lees je af dat de grafiek van g in de buurt van x = 2 de verticale rechte met vergelijking x = 2 benadert. Deze rechte noemen we een verticale asymptoot van g voor x → 2. Merk op dat de locatie van de grafiek verschilt naargelang we 2 langs links of langs rechts naderen. We noteren:
Anders gezegd, als x → +∞, dan divergeren de functiewaarden naar +∞, als x → -∞, dan divergeren de functiewaarden naar -∞.
Op de linkse grafiek lees je af dat de grafiek van f zich voor grote waarden van x de rechte met vergelijking y = x 3 benadert. Deze rechte noemen we een schuine asymptoot van f, zowel voor x → +∞ als x → -∞
Beide grafieken zien er op het eerste gezicht hetzelfde uit, maar dat is echter niet zo. Het domein van beide functies is verschillend.
dom f = \{2} g = , we kunnen immers niet delen door 0, we zien dit aan het gaatje in de grafiek.
dom f = \{2} g = , dit is een rechte.
We kunnen limieten gebruiken om te tonen dat het gedrag van beide functies in de buurt van 2 hetzelfde is.
lim x → 2 f(x)= lim x → 2 g(x)= 4
2.3.2Conclusie
A)Limieten
Limieten laten ons toe om het gedrag van functiewaarden te bestuderen in de randpunten van het domein. Voorlopig volstaat het om limieten af te lezen op de grafiek of uit een tabel van functiewaarden. De rekenregels en de formele definitie vallen buiten het bestek van dit hoofdstuk.
De limiet voor x gaande naar a van f( x) is gelijk aan
De linkerlimiet voor x gaande naar a van f( x) is gelijk aan b
De rechterlimiet voor x gaande naar a van f( x) is gelijk aan
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Merk op
• b ∈ of b =
of b = /(bestaatniet)
• x → < a: x nadert a langs de linkerkant en blijft dus steeds strikt kleiner dan a
• x → > a: x nadert a langs de rechterkant en blijft dus steeds strikt groter dan a
• Als lim x → a < f(x)= lim x → a > f
,danlim
• Als lim x → a f(x)= / onderzoek dan steeds, indien mogelijk, de linker- en rechterlimiet.
B)Asymptoten
Asymptoten zijn rechten die de grafiek heel dicht zal naderen, zonder ze ooit te raken of snijden. We leggen het verband tussen het gedrag op oneindig van de grafiek van een functie met behulp van limieten en asymptoten. Als lim x → a f(x)= b
a f(x)= b lim x → > a f(x)= b , dan zijn er 4 mogelijkheden: soort ab gedrag van f vergelijking
Verticaal
Horizontaal
Schuin ±∞±∞
De grafiek van f benadert een verticale rechte. voor x
De grafiek van f benadert een horizontale rechte. voor
De grafiek van f benadert een schuine rechte voor
De grafiek van f gaat naar oneindig, maar niet zoals een rechte. /
Let op! a = ±∞ en b = ±∞ is nodig, maar niet voldoende om een schuine asymptoot te krijgen!
C)Convergeren en divergeren
Als b ∈ , dan zeggen we dat de functie convergeert naar b voor x → a, anders divergeert de functie voor x → a.
Er zijn 3 mogelijkheden:
• f convergeert naar een getal.
• f divergeert naar ±∞
• f divergeert, maar we kunnen niets zeggen over de manier waarop.
Merk op
De verzameling is de vervollediging van de verzameling van de reële getallen:
Verwerkingsopdrachten
Bekijk de grafiek.
a)Waar is de grafiek hol? Waar is ze bol? Duid aan op de grafiek.
b)Teken het verloop en geef de buigpunten en extrema weer.
Los onderstaande vragen over het limietbegrip op.
a)Leguitwatlim x → 1 f(x)= 4betekent.
b)Leguitwatlim x → 3 > f(x)= 1betekent.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c)Watweetjeover f(x) alslim x → 7 f(x)= 3?
d)Watweetjeoverlim x → 5 f(x) als f(5)= 2?
e)Watweetjeoverlim
f)Watweetjeover f( 4) alslim x → 4 > f(x)= 1enlim x → 4 < f(x)= 2?
5
Teken met ICT de grafiek van volgende functies en bespreek:
• Bepaal het domein en bereik.
• Teken een tekentabel.
• Teken het verloop.
• Lees de kromming en (bij benadering) eventuele buigpunten af.
• Maak een samenvattende tabel.
• Bepaal het gedrag op oneindig. Maak indien nodig een onderscheid tussen de linker- en rechterlimiet.
• Geef de vergelijking van de asymptoten.
a) f(x)= 2x + 1 3x + 2 e) j(x)= … x 2x + 3
b) g(x)= 6x + 4 2x 5 f) k(x)= »4x3 + x2 2x √2x 1
c) h(x)= 7x 2 x + 3 g) l(x)= 3 »x3 4x2 + 3x + 2 3x
d) i(x)= 3x2 + 2x + 1
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
definities
3 Symmetrie
Herken je symmetrie in deze grafieken?
4,4)
8, 2)
2,2) (2,2)
4,4)
De y-as is een symmetrieas van de grafiek van f Je vindt het rechterdeel van de grafiek door het linkerdeel te spiegelen t.o.v. de y-as.
1, 1)
1,1)
De oorsprong is het symmetriemiddelpunt van de grafiek van g. Je vindt het deel van de grafiek in kwadrant III door het deel uit kwadrant I te puntspiegelen t.o.v. de oorsprong.
Een grafiek is symmetrisch ten opzichte van de y-as als voor elk punt ( x, y) op de grafiek geldt dat ( -x, y) ook op de grafiek ligt. Functies met dit kenmerk noemen we even functies
Een grafiek is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong als voor elk punt ( x, y) op de grafiek geldt dat ( -x, -y) ook op de grafiek ligt. Functies met dit kenmerk noemen we oneven functies.
De grafiek van een even functie is een bijzonder geval van lijnsymmetrie . Herinner je de parabool met vergelijking y = a( x - p) 2 + q, deze grafiek is symmetrisch rond x = p
Voorbeeld
lijnsymmetrisch met s ↔ x = 2
De grafiek van een oneven functie is een bijzonder geval van puntsymmetrie .
Voorbeeld
puntsymmetrisch met symmetriemiddelpunt P( -1, -2)
Opgelet, dit is geen oneven functie!
Verwerkingsopdracht
Is de functie even, oneven of geen van beide? Omcirkel.
/ ONEVEN / GEEN VAN BEIDE
/ ONEVEN / GEEN VAN BEIDE
EVEN / ONEVEN / GEEN VAN BEIDE
EVEN / ONEVEN / GEEN VAN BEIDE
/ ONEVEN / GEEN VAN BEIDE
/ ONEVEN / GEEN VAN BEIDE
EVEN / ONEVEN / GEEN VAN BEIDE EVEN / ONEVEN / GEEN VAN BEIDE
definitie
4 Periode
Als je een punt markeert op een trede van deze roltrap, dan kan je de hoogte van dat punt uitzetten in functie van de tijd. Je krijgt onderstaande grafiek.
Merk je het vaste patroon op? Eigenlijk hebben we maar een stukje van de grafiek nodig om de hele grafiek te kennen. Immers, na 44 s herhaalt de cyclus zich. Het punt heeft dan 1x het volledige traject afgelegd.
Zo kunnen we uit de grafiek afleiden dat f( 9,8) = f( 9,8 + 44) = f( 9,8 + 44 + 44) = 2.
Functies die deze eigenschap bezitten, noemen we periodieke functies . Neem je het deel van de grafiek over 44 s, dan teken je de volledige grafiek door dit deel telkens te dupliceren.
Wiskundige modellen die een cyclisch proces beschrijven, geven aanleiding tot periodieke functies.
Hoogte(inm)
Bestudeer het model! Waarom is de snelheid waarmee het punt stijgt en daalt verschillend? En welke vereenvoudiging werd er gemaakt in dit model?
Tijd(ins)
Een functie f is periodiek als er een positief reëel getal c bestaat zodat f( x) = f( x + c) voor alle x in het domein van f Het kleinst mogelijke positief getal c waarvoor f periodiek is, noemen we de periode ( P) .
TIP
Voorbeeld
Als je de baan omschrijft van een stip op je fietswiel, dan krijg je een grafiek zoals hieronder. De stip raakt de grond in elk keerpunt van de grafiek. Uit de afstand tussen 2 opeenvolgende raakpunten zou je de omtrek van je wiel kunnen berekenen. Ook zou je de afgelegde afstand die weergegeven wordt door je fietscomputer kunnen nameten.
De grafiek geeft de hoogte van de stip boven de grond weer. De bijhorende functiewaarde is dan ook nooit negatief in de getoonde situatie.
Hoogte(indm)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
omtrek fietswiel ≈ 22 dm
We kunnen het gedrag van de grafiek weergeven in de volgende tekentabel:
f( x) 0 + 0 + 0 +
Verwerkingsopdracht
Stelt de grafiek een functie voor? Zo ja, is de functie periodiek? Bepaal de periode indien mogelijk.
Signaaloefeningen
f( x) = ex 1
Teken de grafiek van de gegeven functies met ICT.
• Bepaal het domein, bereik en de nulwaarden.
• Maak een tekentabel en teken het waardenverloop.
a)
b)
c)
d)
e)
f( x) = 2x - 3
f( x) = x2 - 4x + 3
f( x) = x3 - 3x2 + 2x
f( x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1
Een fabriek produceert smartphones, waarbij de dagelijkse productie P( x) (in eenheden) afhankelijk is van het aantal werknemers x. De productie wordt gemodelleerd door de functie:
P(x)= 2x4 + 20x3 60x2 + 70x
a)Gebruik ICT om de grafiek van P( x) te tekenen.
b)Bepaal het praktisch domein en praktisch bereik.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c)Bepaal de nulwaarden. Wat betekenen de nulwaarden in deze context?
d)Teken het waardenverloop.
e)Gebruik de grafiek en de kenmerken die je hebt gevonden om te bepalen hoeveel werknemers ingezet moeten worden om de productie te maximaliseren.
Emma en Sarah zijn een drukbedrijf opgestart in hun garage om T-shirts voor surfers te ontwerpen. Ze verwachten dat het opzetten van de installatie € 450 zal kosten en ze schatten dat het € 5,50 zal kosten om een T-shirt te bedrukken.
a)Stel een formule op die de kosten K in euro weergeeft voor x T-shirts. Hou daarbij rekening met de opstartkost.
b)Stel een formule op die de gemiddelde kost A weergeeft per T-shirt bij het produceren van x stuks.
c)Teken de grafiek van A met ICT.
d)Wat is het praktisch domein van A?
e)Wat is de vergelijking van de verticale en horizontale asymptoot?
f) Leg, indien mogelijk, de betekenis van de asymptoten uit.
Gegeven zijn onderstaande grafieken van functies.
a)Lees de limieten af van de grafiek en vul aan.
b)Lees, als ze bestaan, de vergelijking af van elke asymptoot.
Asymptoten:
Asymptoten:
Asymptoten:
Asymptoten:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Asymptoten:
Teken de grafiek met ICT en bespreek de symmetrie. Is de functie even, oneven of geen van beide?
a) f(x)= x2 4
b) f(x)= x3 3x
c) f(x)= sin x
d) f(x)= √x
e) f(x)= x4 2x2 + 1
f) f(x)= 1 x
g) f(x)= ex
h) f(x)= ln x
i)
f(x)= x2 1 x2 + 1
De waterstand in een kuststad op 4-5 januari 2022 kunnen we beschrijven met een functie f. Gebruik de grafiek om onderstaande vragen te beantwoorden.
Hoogte(inm) 1
a)Wat is het bereik van f?
b) Je wil op 5 januari gaan zwemmen. Gezien de weersomstandigheden wil je enkel de zee in bij opkomend water. Leid uit het verloop van 5 januari de dagdelen af wanneer je wel/niet kan gaan zwemmen.
c)Wat is de gemiddelde snelheid (in centimeter per minuut) waarmee de waterstand verandert op 4 januari tussen 00.12u en 06.22u? Voor opkomend water is deze snelheid positief, voor terugtrekkend water negatief.
d)Bespreek de periodiciteit van dit model.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
>>> Verder oefenen: D22 t.e.m. D29
Differentiatietraject
Combineer de gegeven grafiek met het bijhorende domein en bereik.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
2
• Teken de grafiek van de gegeven functies met ICT.
• Bepaal het domein, bereik en de nulwaarden.
• Maak een tekentabel en teken het waardenverloop.
a) f(x)= x2 + 7x + 8
b) f(x)= 5(x + 2)(x 6)
c) f(x)= 5 x 6
d) f(x)= 3 8 + x
e) f(x)= 4 x 2 + 6
De hoogte h in meter boven het water van een steen die vanaf een brug wordt geworpen, wordt gemodelleerd door de functie h( t) = 25t + 35 - 5t2 waarbij t de tijd in seconden is vanaf het moment van de worp. Los op met ICT:
a)Vanop welke hoogte werd de steen naar beneden geworpen?
b)Wat is de maximale hoogte die de steen bereikt?
c)Hoelang bevindt de steen zich hoger dan 35 meter?
d)Hoelang duurt het voordat de steen het water onder de brug raakt?
e)Als de rivierbedding 10 m diep is, wat is dan het praktisch domein van deze functie?
f) Welke hoogtes worden bereikt door de steen?
• Bepaal met behulp van de grafiek het domein, bereik en de nulwaarden.
• Maak een tekentabel en teken het waardenverloop.
• Maak een tabel met gebogen pijlen, waarbij bv. ⤴ staat voor ‘de functie stijgt en de stijging neemt toe’. Punten waar de grafiek van kromming verandert, neem je in de tabel op als buigpunt (BP).
Verandering in kromming vindt plaats als je overgaat van ‘stijgen en de stijging neemt toe’ naar ‘stijgen en de stijging neemt af’ of van ‘dalen en de daling neemt af’ naar ‘dalen en de daling neemt toe’.
Verloop
Bij welke grafiek hoort het gegeven verloop?
a) x -101 f( x) ⤵ max ⤵ BP ⤷ min ⤴
b) x -101
g( x) ⤷ min ⤴ BP ⤵ max ⤵
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c) x 1
h( x) ⤷ min ⤴
d) x -1 -0,500,51 i( x) ⤵ max ⤵ BP ⤷ min ⤴ BP ⤵ max ⤵
Wanneer de bliksem inslaat, bereikt het licht je ogen vrijwel direct. Het geluid van de donder reist met ongeveer 340 m/s en bereikt je dus wat later. Geluidsgolven worden beïnvloed door de temperatuur van de omringende lucht. De tijd die geluid nodig heeft om 1 km te reizen, wordt gemodelleerd door t = 1000 0,6c + 340 waarbij t de tijd in seconden en c de temperatuur in °C is.
a)Teken met ICT de grafiek van t voor de temperaturen van -20 °C tot 40 °C.
b)Als je op 1 km afstand bent en het duurt ongeveer 3 seconden voordat je de donder hoort, wat is dan de temperatuur van de omringende lucht?
De kosten K (in miljoen euro) voor het verwijderen van industrieel en gemeentelijk afval dat in een rivier wordt geloosd, kunnen we berekenen met de formule K = 250p 100 p met p het percentage verwijderde vervuiling.
a)Teken met ICT de grafiek van K.
b)Bereken de kosten voor het verwijderen van 10%, 20% en 80% van de vervuiling.
c)Kan je volgens dit model 100% vervuiling verwijderen? Leg uit en koppel aan een wiskundig concept.
We beschrijven de fotosynthesesnelheid van een tomatenplant met de Michaelis-Menten vergelijking:
P = 90000 I 300 + I waarbij:
• P de fotosynthesesnelheid in μmol CO2 m–2h–1
• de lichtintensiteit inµmol fotonen m–2s–1
Deze vergelijking geeft bij benadering weer hoeveel CO2 door de plant uit de lucht wordt gehaald bij een gegeven lichtintensiteit.
Gebruik de grafiek van de fotosynthesesnelheid P in functie van de lichtintensiteit I om onderstaande vragen op te lossen.
a)Op een zonnige dag is de lichtintensiteit ongeveer 2000 µmol fotonen per m2 per s. Wat is de betekenis van P( 2000) ?
b)Bij welke waarde van I is de fotosynthesesnelheid nul? Hoe kan je dat praktisch interpreteren? Maak eerst een tekentabel.
c)Teken het verloop (stijgen/dalen). Voor welke waarden van I stijgt de fotosynthesesnelheid P?
d)Beschrijf het waardenverloop van de fotosynthesesnelheid P als de lichtsnelheid I toeneemt van 0 tot 2000 µmol fotonen m–2s–1 en verklaar dit vanuit de realiteit.
e)Wat is de theoretisch maximale fotosynthesesnelheid P?
Teken met ICT de grafiek van volgende functies.
• Bepaal het domein en bereik.
• Teken een tekentabel.
• Teken het verloop.
• Lees de kromming en (bij benadering) eventuele buigpunten af.
• Maak een samenvattende tabel.
• Bepaal het gedrag op oneindig. Maak indien nodig een onderscheid tussen de linker- en rechterlimiet.
Waar of niet waar? Indien waar, maak een schets van de grafiek van een functie die de uitspraak illustreert. Indien niet waar, geef een tegenvoorbeeld.
a)Een functie kan zowel een horizontale als een schuine asymptoot bezitten voor x → + ∞.
b)Een functie kan haar verticale asymptoten snijden.
c)Een functie kan haar horizontale asymptoot nooit snijden.
De regel van Young is een handige manier om doseringen van medicijnen te berekenen voor kinderen boven de 2 jaar, gebaseerd op de volwassen dosis.
“Neem de leeftijd van het kind in jaren en deel dit door hun leeftijd plus 12. Vermenigvuldig dat getal met de volwassen dosis.”
De regel wordt gemodelleerd door de functie c = a t t + 12 met c de dosis voor het kind in mg, a de volwassen dosis in mg en t de leeftijd van het kind in jaren.
a)Maak een tabel met waarden voor leeftijden van 2 tot 12 jaar, met een volwassen dosis van 100 mg.
b)Gebruik de waarden uit a) om een grafiek van de functie te tekenen.
c)Gebruik de grafiek om de dosis te schatten voor een 7-jarige.
d)Bepaal de vergelijking van de horizontale asymptoot.
e)Wat betekent de waarde van de horizontale asymptoot voor de regel van Young?
f) Waarom pas je de regel best NIET toe?
Aisha runt een kleine winkel en biedt momenteel een geweldige deal aan op haar handgemaakte zepen. Als je 1 stuk zeep koopt voor € 2,50 dan kosten extra stukken zeep slechts € 1,50 per stuk.
a)Stel een formule op die de gemiddelde kostprijs K per stuk weergeeft in functie van het aantal gekochte stuks zeep x.
b)Teken met ICT de kostenfunctie.
c)Wat wordt de gemiddelde kost per stuk zeep als een klant meer en meer stuks koopt?
Waar of niet waar? Verbeter indien nodig.
a)lim x → 1 > f(x)= 1 2
b)lim x → 1 f(x)= 17 10
c)lim x → 0 f(x)= 4 5
d)lim x → 4 < f(x)= 3
e)lim x → 4 > f(x)= /
f)lim x → 4 f(x)= 0
Gegeven is onderstaande functie: f(x)=
x als 1 ⩽ x < 2 (x 1)2 als x ⩾ 2
a)Schetszogoedmogelijkdegrafiekvandefunctie.
b)Leiduitdezegrafiekdepunten a afwaarinlim x → a f(x) bestaat.
c)Bepaaldelinker-enrechterlimietindepuntenwaarinlim x → a f(x) nietbestaat.
Heb je wel eens opgemerkt hoe het geluid van een sirene verandert wanneer een brandweer- of politiewagen langs je rijdt? De waargenomen toonhoogte is hoger dan de uitgezonden toonhoogte wanneer het voertuig nadert, identiek op het moment van passeren en lager als het voertuig van je weg rijdt. Dit fenomeen staat bekend als het Dopplereffect. De formule voor de waargenomen frequentie van geluid wanneer de bron naar je toe beweegt is f1 = 340f 340 v
Hierbij zijn:
• 340 de snelheid van geluid in m/s,
• f1 de waargenomen frequentie in Hz,
• f de uitgezonden frequentie en
• v de snelheid van de bron die naar je toe rijdt, in m/s.
Stel dat je op een perron staat en een trein nadert met een snelheid van v m/s. De frequentie van het treingeluid f1 dat je hoort, wordt gegeven door de formule f1 = 340f 340 v , waarbij f de oorspronkelijke frequentie van het treingeluid is.
a)Als de trein met een snelheid van 20 m/s nadert en de oorspronkelijke frequentie f 400 Hz is, bereken dan de waargenomen frequentie f1
b)Wat gebeurt er met de waargenomen frequentie als de trein zich van je verwijdert met een snelheid van 15 m/s?
c)Als de trein zich met een constante snelheid van 25 m/s van je verwijdert en de waargenomen frequentie f1 gelijk is aan 340 Hz, wat is dan de oorspronkelijke frequentie f van het treingeluid?
d)Teken met ICT de grafiek van de situatie hierboven, met v als onafhankelijke veranderlijke, en lees af: domein, bereik, nulwaarden, tekenverloop, praktisch domein, praktisch bereik, stijgen en dalen, hol, bol, extreme waarden en buigpunten.
e)Wat is de betekenis van de asymptoten?
Waar of niet waar? Verklaar of geef een tegenvoorbeeld.
a)alslim x → a f(x)= b,dan f(a)= b
b)Als a ∈ dom f,danbestaatlim x → a f(x).
c)Alslim x → a f(x)= lim x → a g(x),dan f(a)= g(a).
d)Alslim x
< f(x) enlim x
> f(x) bestaan,danbestaatlim
f(x)
Zijn onderstaande uitspraken juist of fout?
a)Als de grafiek van een oneven functie stijgt over [ 2, 3] , dan stijgt de grafiek ook over [ -3, -2]
b)Als ( -3, 7) op de grafiek van een even functie ligt, dan ligt ( 3, -7) er ook op.
c)Als de functiewaarden van een even functie negatief zijn voor alle x ∈ [ 1, 2] , dan zijn ze ook negatief voor alle x ∈ [ -2, -1] .
d)Als de grafiek van een oneven functie de y-as snijdt, dan kan dat enkel in ( 0, 0)
e)Als de grafiek van een oneven functie hol ( ∪) staat over [ -5, -1] , dan staat de grafiek bol ( ∩) over [ 1, 5]
Waar of niet waar? Indien waar, maak een schets van de grafiek van een functie die de uitspraak illustreert. Indien niet waar, geef een tegenvoorbeeld.
a)Een even functie kan nooit precies één verticale asymptoot bezitten.
b)Een oneven functie kan nooit precies één verticale asymptoot bezitten.
c)Als een even functie een lokaal maximum bezit, dan bezit ze ook een lokaal minimum.
d)Een even functie kan haar verticale asymptoten snijden.
e)Een even functie kan meer dan één horizontale asymptoot hebben (verschillende).
Vervolledig indien mogelijk de tabel van de gegeven functies zodat ...
• een even functie ontstaat.
• een oneven functie ontstaat.
Indien niet mogelijk, leg dan uit waarom. Schets telkens een bijpassende grafiek.
a) x -3 -2 … … f( x) - | + | + ………… b) x -3 0 3 f( x) + | … |
c) x -3 -2 … …
( x) ↘ min ↗
d) x … … … 1 2 3 f( x) ………………… |↗ max …… ↘ e) x -4 -3 -1
f( x) ⤴ | ⤷ min BP f) x -3 0 3 f( x) …… ⤴ BP … |
Vul aan en illustreer met een voorbeeld.
a)De enige functie waarvan het domein alle reële getallen bevat en die zowel oneven als even is, is ...
b)De som van twee even functies is ... en de som van twee oneven functies is ...
c)Het verschil van twee even functies is ... en het verschil van twee oneven functies is ....
d)Het product van twee even functies is ... en het product van twee oneven functies is ....
e)Het product van een even functie en een oneven functie is een ... functie.
f) Het quotiënt van twee even functies is ... en het quotiënt van twee oneven functies is ...
g)Het quotiënt van een even functie en een oneven functie is een ... functie.
h)De samenstelling van twee even functies is ... en de samenstelling van twee oneven functies is ... .
i)De samenstelling van een even functie en een oneven functie is ... .
Als we functies samenstellen, dan laten we de ene functie inwerken op het resultaat van de andere. Neem bv. f(x)= x2 + 1en g(x)= 1
dan krijgen we :
◦ is de operator voor samenstelling en lees je als “na”.
Schematisch:
bal
kubus
Bij springtij komt er meer voedsel los in het water. De vissen zijn dan aasgevoeliger en de kans op visvangst is groter. Vissersclub Neptunus geeft haar leden daarom de getijdentabel. Om de hoeveel weken is het springtij?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
24
Bekijk de grafiek en bepaal de volgende kenmerken en functiewaarden.
a)dom f b)ber f c)periode
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
De periode voor de getijden in Arbutus Bay (Canada) is bij benadering 12u35 min. Vul de tijdstippen aan waar er de volgende keer hoog- en laagwater zal zijn.
Getijden in Arbutus Bay van 4 Jan - 5 Jan 5 4 3
Op de maankalender vind je hoeveel procent van de maan zichtbaar is op een specifieke dag van het jaar.
Hierbij houdt men geen rekening met eventuele bewolking.
Uit de tabel kan je afleiden dat de zichtbaarheid een periodiek verschijnsel is. dag van het jaarzichtbaarheid van de maan (in
a)Wat is de periode, gemeten in dagen?
b)Welke grafiek past bij deze tabel?
Bekijk de grafiek van de functie f.
a)Bepaal dom f, ber f, eventuele periode, nulwaarden, f( 1) , f( 3) en f( 7)
b)Vul aan. f( a) = 1 ⇔ a ∈ …
Een dokter stelt het Cheyne-Stokes-ademhalingspatroon vast bij een patiënt. Dat wijkt af van het gewone ademhalingspatroon. De grafiek geeft de hoeveelheid in- en uitgeademde lucht (in l) weer in functie van de tijd (in s).
Normale ademhaling:
In- en uitgeademde lucht (in l)
2 -2
Tijd (in s)
-5510152025303540
Cheyne-Stokes :
In- en uitgeademde lucht (in l)
a)Beschrijf de drie fasen waaruit het Cheyne-Stokes-patroon bestaat.
b)Hoeveel tijd zit er tussen twee opeenvolgende patronen?
Tijd (in s)
Vervolledig indien mogelijk de tabel van de gegeven periodieke functies. Indien niet mogelijk, leg dan uit waarom. Schets telkens een bijpassende grafiek over 2 periodes.
a)Periode P = 3 x 0 1 2 3
b)Periode P = 2
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c)Periode P = 2
d)Periode P = 4
-1 … 1 2 3 4
e)Periode P = 6
a)Schets zo nauwkeurig mogelijk één periode van de grafiek van een functie die voldoet aan alle onderstaande voorwaarden.
• Deperiodevandefunctieis π.
• Deverticaleasymptotenhebbenalsvergelijking x = π 2 + kπ met k ∈ .
• Derechte t metvergelijking t ↔ y = x iseenraaklijnaandegrafiekvan f inhetbuigpunt (0, f(0)).
b)Maak een samenvattende tabel over hetzelfde periode-interval. x 0 π 2
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Studiewijzer
Differentiatietraject
Doelen
Ik kan aan de hand van de grafiek functiekenmerken bepalen in verband met domein en bereik, nulwaarden, teken- en waardenverloop.
Ik kan aan de hand van de grafiek functiekenmerken bepalen in verband met waardenverloop en gedrag op oneindig. Ik kan deze kenmerken gebruiken om realistische problemen op te lossen.
Ik kan de symmetrie onderzoeken aan de hand van de grafiek van een functie.
Ik kan de periode bepalen aan de hand van de grafiek van een functie.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum
Ik kan aan de hand van de grafiek functiekenmerken bepalen in verband met domein en bereik, nulwaarden, teken- en waardenverloop.
Begin met het schetsen van de grafiek (eventueel met ICT) en identificeer duidelijke punten zoals snijpunten met de x-as en extrema.
Ik kan aan de hand van de grafiek functiekenmerken bepalen in verband met waardenverloop en gedrag op oneindig. Ik kan deze kenmerken gebruiken om realistische problemen op te lossen.
Analyseer eerst de grafiek om stijgende en dalende trends te identificeren, evenals eventueel asymptotisch gedrag. Bekijk vervolgens de limieten van de functie als x naar +∞ en -∞ nadert om het gedrag op oneindig te beschrijven.
Ik kan de symmetrie onderzoeken aan de hand van de grafiek van een functie.
Bekijk of de grafiek spiegelsymmetrie vertoont ten op zichte van de y-as (even functie) of puntsymmetrie ten opzichte van de oorsprong (oneven functie). Test dit door te controleren of f( x) = f( -x) voor even functies en f( -x) = -f( x) voor oneven functies. verwerking : 6 signaal : 5 differentiatie: 17 t.e.m. 21
Ik kan de periode bepalen aan de hand van de grafiek van een functie.
4
7
18
21 Identificeer een volledige cyclus van de grafiek waar het patroon zich begint te herhalen. Meet de afstand tussen twee identieke punten in opeenvolgende cycli op de x-as zoals pieken of dalen, om de periode te bepalen.
