Nando 6 D&A Financiele_wiskunde - inkijk methode by die Keure

D&A-FINALITEIT SPECIFIEKE VORMING – ALGEBRA

Financiële wiskunde

wat je al kunt

–enkelvoudige en samengestelde intrest met behulp van functies beschrijven –rekenen met machten en logaritmen –groeipercentages omzetten naar andere tijdseenheden

wat je leert in deze module

–rekenkundige rijen beschrijven –meetkundige rijen beschrijven –de som van elementen in een rij berekenen aan de hand van een formule –enkelvoudige en samengestelde intrest berekenen –de formules van enkelvoudige en samengestelde intrest aﬂeiden aan de hand van rijen –onderscheid maken tussen prenumerando en postnumerando annuïteiten

–de beginwaarde, eindwaarde, looptijd en rentevoet van annuïteiten bepalen

–aflossingstabellen opstellen voor hypothecaire leningen met vast aflossingsbedrag –aflossingstabellen opstellen voor hypothecaire leningen met vaste kapitaalaflossing

Inhoud

Instap

1Rijen

2Intrest

3Annuïteiten

4Hypothecaire leningen

Signaaloefeningen

Differentiatietraject

Studiewijzer

in de kijker

Je berekent allerhande zaken met leningen, zoals hoeveel je kan lenen voor een huis met jouw budget.

wiskundetaal

–rij

–term van een rij –rekenkundige rij

–meetkundige rij

–rentevoet –annuïteit

–beginwaarde

–eindwaarde/slotwaarde

–looptijd –periode

–termijnbedrag

–aﬂossingstabel –prenumerando –postnumerando –hypothecaire lening

Instap

Opdracht 1

Lukas zou graag de marathon van Antwerpen lopen. Hij heeft voor zichzelf een trainingsschema opgesteld. Deze week (de eerste week) loopt hij gedurende drie avonden 3 kilometer, de week daarop (de tweede week) gedurende drie avonden 5 kilometer, de week daarop gedurende drie avonden 7 kilometer, enzovoort tot hij 43 kilometer (iets meer dan een marathon) kan lopen.

a)Vul volgende tabel aan.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

weeknummer 1 2 3 4 5

aantal kilometer 3 km

b)Hoeveel kilometer loopt hij op een avond na 8 weken?

c)Stel een letterformule op die het verband tussen het aantal te lopen kilometer en het weeknummer weergeeft.

Opdracht 2

Lyssa wil als voorzitster van de leerlingenraad “complimentjesdag” invoeren op school. Zij start (fase 1) met het geven van een complimentje aan drie leerlingen via Facebook. Deze leerlingen moeten op hun beurt aan drie leerlingen een complimentje geven (fase 2), enzovoort.

a)Vul volgende tabel aan.

aantal complimentjes 3 9

b)Hoeveel complimentjes worden er gegeven bij fase 6?

c)Stel een letterformule op die het verband tussen het aantal complimentjes en de fase van "complimentjesdag" weergeeft.

Opdracht 3

Bij de geboorte van hun dochter kregen de ouders € 5000. Ze willen dit graag op een spaarrekening zetten tot haar 18e verjaardag.

Ze hebben de keuze uit twee spaarproducten. Bij het eerste product krijgen ze 3% enkelvoudige intrest per jaar. Het bedrag op de rekening voor de eerste jaren staat in onderstaande tabel:

jaar 0 1 2 3

kapitaal 5000515053005450

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Het tweede product belooft 3% samengestelde intrest per jaar. Het kapitaal op dit product groeit de eerste jaren als volgt:

jaar 0 1 2 3

kapitaal 500051505304,505463,64

a)Stel voor beide producten het functievoorschrift op die het kapitaal K na t jaren beschrijft.

b)Bereken voor beide producten het kapitaal op de 18e verjaardag.

c)Welk product kiezen de ouders het best?

Opdracht 4

De waarde van een huis stijgt jaarlijks met 4%. Wat is de maandelijkse stijging in waarde? Vul het schema aan.

groeipercentage groeifactor

maand

1 Rijen

deﬁnitie Een rij is een opeenvolging van reële getallen in een bepaalde volgorde gegeven.

In symbolen noteren we een rij (un) meestal als volgt: u1, u2, u3, ..., un, ... . De getallen in de rij noemen we de elementen of de termen van de rij. Het volgnummer van de term in de rij noteren we rechtsonder als een index. Dit volgnummer begint meestal met 1 (of 0).

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Voorbeelden

• 7, 14, 21, 28, 35, ... : rij van veelvouden van 7 (zonder 0)

• 2, 3, 5, 7, 11, ... : rij van de priemgetallen

• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...: rij van Fibonacci

• 1, 4, 9, 16, 25, ... : rij van de kwadraten

Bij sommige rijen kan je een formule vinden die je in staat stelt om un te vinden voor een willekeurige n door enkel gebruik te maken van de index van het element. De rij wordt dan bepaald door een expliciet voorschrift

Bij instapopdracht 1 over de loper (3, 5, 7, 9, ...) is het expliciet voorschrift:

un = 2n + 1 (met n het aantal weken) en voor instapopdracht 2 over complimentjesdag (3, 9, 27, ...):

un = 3n (met n de fase)

Soms kan je een term van een rij ook bepalen op basis van de vorige term (of termen). Een formule die toelaat om de term van een rij te bepalen uit de vorige term(en) noemen we een recursief voorschrift . Hiervoor heb je telkens een startwaarde (de eerste term van de rij) nodig.

Bij instapopdracht 1 over de loper is het recursief voorschrift:

un+1 = un + 2 met u1 = 3 en voor instapopdracht 2 over complimentjesdag:

un+1 = 3 ∙ un met u1 = 3

1.1 Rekenkundige rijen

We kijken nog eens terug naar de rij uit instapopdracht 1 over de loper (3, 5, 7, 9, …). Hier kan je telkens het aantal te lopen kilometers in een bepaalde week bepalen door 2 (km) op te tellen bij de afstand van de vorige week.

Dat is een voorbeeld van een rekenkundige rij met verschil v = 2 (km).

deﬁnitie Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de som van de vorige term met eenzelfde getal (het verschil v).

Voorbeelden

• 3, 10, 17, 24, 31, ... u1 = 3 en v = 7

• 8, 7, 6, 5, 4, ... u1 = 8 en v = -1

• -7, -5, -3, -1, 1, … u1 = -7 en v = 2

1.1.1 Recursief voorschrift

Uit de deﬁnitie volgt onmiddellijk het recursief voorschrift van een rekenkundige rij:

formule un+1 = un + v

1.1.2Expliciet voorschrift

Uit de recursieve formule volgt:

u2 = u1 + v

u3 = u2 + v = (u1 + v) +

u5 = u4 + v = (u1 + 3v) + v = u1 + 4v

un = un 1 + v = [u1 + (n 2) v] + v = u1 + (n 1) v

In het algemeen is het expliciet voorschrift van een rekenkundige rij:

formule un = u1 + ( n - 1) ∙ v

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Voorbeeld

We bepalen het recursief en expliciet voorschrift van de onderstaande rij en berekenen de twintigste term.

3, 10, 17, 24, 31, …

Recursief: un+1 = un + 7 met u1 = 3

Expliciet: un = 3 + ( n - 1) ∙ 7 u20 = 3 + 19 ∙ 7 = 136

eigenschap

1.1.3Eigenschap van rekenkundige rijen

uk , uk+1 en uk+2 zijn drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij als en slechts als uk+1 = uk + uk+2 2 .

We noemen uk+1 het rekenkundig gemiddelde van uk en uk+2

Bewijs

uk , uk+1 en uk+2 zijndrieopeenvolgendetermenvaneenrekenkundigerij

⇔ uk+1 = uk + v en uk+2 = uk+1 + v

⇔ uk+1 uk = v en uk+2 uk+1 = v

⇔ uk+1 uk = uk+2 uk+1

⇔ 2uk+1 = uk + uk+2

⇔ uk+1 = uk + uk+2 2

1.1.4Som van de eerste n termen van een rekenkundige rij

Vik traint ook voor de marathon, maar met een ander trainingsschema dan dat van Lukas. Hij loopt elke week 5 km extra en start in de eerste week met een totaal van 10 km. Hoeveel kilometer zal hij in totaal gelopen hebben in de 20 weken voor de wedstrijd?

We zoeken dus de som van de eerste 20 termen in de rij (10, 15, 20, ...).

De laatste term is u20 = u1 + 19 ∙ v = 10 + 19 ∙ 5 = 105

Schrijven we de rij tweemaal op, een keer gewoon en een keer achterstevoren om de som van de eerste 20 termen, s20 te vinden.

Dan is 2 · s20 = 20 · ( 10 + 105) en dus

s20 = 20 ⋅ 10 + 105 2 = 1150

Hij zal in totaal dus 1150 km gelopen hebben.

In het algemeen is de som van de eerste n termen van een rekenkundige rij:

formule sn = n u1 + un 2

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

1.2Meetkundige rijen

In de rij uit instapopdracht 2 die ontstond door het tellen van het aantal complimentjes (3, 9, 27, …) kan je steeds het aantal gegeven complimenten in een fase bepalen door het aantal complimenten uit de voorgaande fase te vermenigvuldigen met 3. Dat is een voorbeeld van een meetkundige rij met quotiënt of reden q = 3.

deﬁnitie Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan het product van de vorige term met een constant getal (het quotiënt of de reden q).

Voorbeelden

• 5, 10, 20, 40, 80, ... u1 = 5 en q = 2

• 1, 10, 100, 1000, ... u1 = 1 en q = 10

• 7, -7, 7, -7, 7, ... u1 = 7 en q = -1

1.2.1Recursief voorschrift

Uit de deﬁnitie volgt onmiddellijk het recursief voorschrift van een meetkundige rij:

formule un+1 = un · q

Voor het aantal complimenten geeft dit:

un+1 = un ∙ 3 met u1 = 3

1.2.2Expliciet voorschrift

Laten we kijken naar de rij met recursief voorschrift un+1 = un · 2 met u1 = 5: 5, 10, 20, 40, …

n kort uitgebreid

1 u1 = 5 u1 = 5

2 u2 = 10 u2 = 5 · 2

3 u3 = 20 u3 = 5 · 2 · 2

4 u4 = 40 u4 = 5 · 2 · 2 · 2

Daaruit kunnen we het expliciet voorschrift aﬂeiden:

un = u1 · 2n–1 waarbij q = 2

In het algemeen is het expliciet voorschrift van een meetkundige rij:

formule un = u1 · qn–1

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Voorbeeld

Geef het recursief en expliciet voorschrift van de onderstaande rij en bereken de achtste term.

2, 6, 18, 54, ...

Recursief: un+1 = un ∙ 3 met u1 = 2

Expliciet: un = 2 ∙ 3n–1 u8 = 2 ∙ 37 = 4374

1.2.3Som van de eerste n termen van een meetkundige rij

Gegeven is een meetkundige rij met u1 = 2 en q = 3:

2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, …

Gevraagd: bepaal s7, de som van de eerste zeven termen.

s7 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162+ 486 + 1458

q · s7 = 3 · s7 = 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 1458 + 4374

We trekken beide gelijkheden van elkaar af:

s7 3 ⋅ s7 = 2 +(6 6)+(18 18)+ +(1458 1458) 4374

⇔ s7 (1 3)= 2 4374

⇔ s7 (1 3)= 2 (1 2187)

⇔ s7 ⋅ (1 3)= 2 ⋅ 1 37

⇔ s7 = 2 1 37 1 3 = 2186

Omdesomvandeeerste n termenvaneenmeetkundigerijtebepalengaanweopdezelfdemaniertewerk:

sn = u1 + u2 + u3 + + un 2 + un 1 +

Wetrekkenbeidegelijkhedenvanelkaaraf:

sn q sn = u1 + (u2 u2 ) + (u3 u3 ) + … + (un 1 un 1 ) + (un un ) q un

⇔ (1 q) sn = u1 q un

⇔ (1 q) ⋅ sn = u1 u1 ⋅ qn

⇔ (1 q) ⋅ sn = u1 ⋅ 1 qn

⇔ sn = u1 1 qn 1 q

formule sn = u1 1 qn 1 q

Merk op

Deze formule is niet geldig als q = 1 (dan is de noemer 0). Als q = 1 dan zijn alle termen hetzelfde en geldt sn = n · u1

Deze constante rij kan je bekijken als een rekenkundige rij met verschil v = 0.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

1.3Toepassingen van rijen

1.3.1 u0 in plaats van u1

Tot hiertoe hebben we altijd als eerste term u1 genomen bij rijen ( n = 1) . In vele toepassingen is het echter aangewezen om met u0 te beginnen ( n = 0).

A)Rekenkundige rij met u 0

Een loodgieter vraagt voor elke opdracht standaard een kost van € 50 en daarbovenop € 30 per gewerkt uur.

gewerkte uren 01234

totale kostprijs (in €) 5080 110 140 170

Hier heb je initieel een kostprijs van 50 (€) zonder dat de loodgieter werk gedaan heeft, dus bij 0 uren werk ( u0 = 50) en een verschil v = 30 (€) voor elk gewerkt uur.

Het recursief voorschrift is:

un+1 = un + 30 met u0 = 50

En het expliciet voorschrift:

un = u0 + n ∙ 30

Of in het algemeen: formule un = u0 + n ∙ v

B)Meetkundige rij met u 0

Je werpt een basketbal 10 m op en dan meet je telkens de hoogte van de bots zonder de bal nog aan te raken. Elke keer botst de bal half zo hoog terug als de vorige keer.

aantal botsen 0123 hoogte van de bots (in m) 1052,51,25

Bij aanvang gooi je de bal 10 m omhoog, dit is voor een bots en wordt aangeduid met u0 = 10 (m).

Het recursief voorschrift is:

un+1 = un 2 met u0 = 10

En het expliciet voorschrift:

un = 10 ⋅ 1 2 n

Of in het algemeen: formule un = u0 · qn

1.3.2Bevolkingsaangroei

In een klein stadje in Indië groeit de populatie vrij snel aan. Momenteel telt het stadje 14260 inwoners. Elk jaar komen hier 7% meer inwoners bij.

Als deze trend zich voortzet, geef dan de evolutie van het bewonersaantal voor de komende vijf jaar.

Oplossing

We hebben hier te maken met een meetkundige rij met u0 = 14260 en q = 1,07

Evolutie gedurende de komende vijf jaar:

u0 = 14260

u1 = u0 q = 14260 1,07 ≈ 15258

u2 = u0 q2 = 14260 1,072 ≈ 16326

u3 = u0 ⋅ q3 = 14260 ⋅ 1,073 ≈ 17469

u4 = u0 q4 = 14260 1,074 ≈ 18692

u5 = u0 q5 = 14260 1,075 ≈ 20000

1.3.3Radioactief verval

Een radioactieve stof bevat instabiele atoomkernen. Tijdens het vervallen van zo'n instabiele atoomkern wordt de straling uitgezonden. Na het verval van één atoomkern, is er één instabiele kern minder. Uiteindelijk zal een radioactieve stof door verval dus zichzelf "opruimen". Maar hoelang blijft een stof nu radioactief?

Het polonium isotoop 210Po vervalt langzaam. Na één dag blijft nog steeds 99,5% van de massa van de vorige dag over. Veronderstel dat we starten met 100 mg radioactief polonium.

a)Bereken de hoeveelheid 210Po na 1, 2, 3, 4 en 5 dagen.

b)Toon aan dat er een meetkundige rij ontstaat en bepaal u0 en q

c)Hoeveel polonium blijft er nog over na een jaar (365 dagen)?

Oplossing

hoeveelheidpoloniumbijaanvang: u0 = 100mg

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

hoeveelheidpoloniumna1dag: u1 =(100 ⋅ 0,995) mg = 99,5mg hoeveelheidpoloniumna2dagen: u2 = 100 0,9952 mg = 99,0025mg hoeveelheidpoloniumna3dagen: u3 = 100 0,9953 mg = 98,5075mg hoeveelheidpoloniumna4dagen: u4 = 100 ⋅ 0,9954 mg = 98,0150mg hoeveelheidpoloniumna5dagen: u5 = 100 0,9955 mg = 97,5249mg hoeveelheidpoloniumna n dagen: un = 100 0,995n mg

Ditiseenmeetkundigerijmet:

u0 = 100 q = 0,995 un = 100 ⋅ 0,995n hoeveelheidpoloniumna365dagen:

u365 = 100 0,995365 mg ≈ 16,0481mg

1.3.4Interpolatie

Hoeveel meter hout moet Thorgan bestellen om tussen de paal u1 van 1 meter hoog en de paal u10 van 2 meter hoog acht extra palen te plaatsen? Hoe hoog is het hoogteverschil telkens? u1 u2

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Oplossing

Gegeven: u1 = 1 en u10 = 2

Hieruit kunnen we v berekenen:

u10 = u1 + 9v

⇔ 2 = 1 + 9v

⇔ v = 1 9

hoogteverschiltussentweepalen = v = 1 9 meter

We berekenen de som van de 10 palen:

s10 = (u1 + u10 ) ⋅ 10 2 = (1 + 2) ⋅ 10 2 = 15

De som van de lengtes van u2 tot en met u9 bedraagt (15 - 1 - 2) meter = 12 meter.

1.4 Grafische voorstelling van rijen

We kijken nog eens terug naar de kostprijs van een loodgieter en stellen dit graﬁsch voor.

gewerkte uren 01234

totale kostprijs (in €) 5080 110 140 170 Kostprijs loodgieter

Totale kostprijs (in

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Gewerkteuren

Dit is een rekenkundige rij met expliciet voorschrift un = u0 + n ∙ 30. Als we dit herschrijven als un = 30 ∙ n + 50 kunnen we hier de link zien met de vergelijking van een rechte y = ax + b of y = 30x + 50 waarbij 30 de richtingscoëfﬁcient is en 50 het snijpunt met de y-as.

In het algemeen zullen de elementen van een rekenkundige rij als discrete punten op een rechte liggen met richtingscoëfﬁcient v en u0 het snijpunt met de y-as.

We kunnen ook de botshoogte van de bal uit het vorige hoofdstuk graﬁsch voorstellen.

aantal botsen 0123 hoogte van de bots (in m) 1052,51,25

Botshoogte

Dit is een meetkundige rij met q = 1 2 , in de graﬁek herkennen we een exponentieel verval.

Tijdens de coronapandemie werd er regelmatig over het reproductiegetal R gesproken. Dit was het gemiddeld aantal mensen dat besmet werd door 1 besmet persoon. Stel dat elk besmet persoon gemiddeld 2 personen besmette, dan ziet de verspreiding eruit als volgt:

R = 2

Dat betekent dat na 3 overdrachten reeds 8 personen besmet zijn. Dit proces vormt een meetkundige rij: 1, 2, 4, 8 ,... met u0 = 1 en q = 2.

Elke persoon besmet 2 anderen Overdracht

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Hier is sprake van exponentiële groei: na 10 overdrachten heeft 1 originele besmetting al voor meer dan 1000 besmette personen gezorgd als elke persoon gemiddeld 2 anderen besmet.

Verwerkingsopdrachten

1 2

Gegeven: de rij 12, 2, -8, -18, ...

Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij en bereken de twintigste term.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = 3 en v = 5

Bereken u10 en s10

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = 6 en u7 = 60

Bereken v en s6

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Gegeven: de rij 5, 25, 125, 625, …

Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij en bereken de tiende term.

Gegeven: een meetkundige rij met u1 = 4 en q = 3.

Bereken u7 en s7

Een taxirit kost € 3 plus 10 cent per kilometer.

Vul de tabel aan en stel deze rij graﬁsch voor.

Op welke rechte liggen deze punten?

aantal kilometer 0123 kost rit (in €)

Een bubbelbad is gevuld met 1100 liter water. Door de hoge temperatuur verdampt er 9% van het water per uur. Hoeveel water zal er nog over zijn na 4 uur?

Een nieuwe school start met 100 leerlingen en groeit elk jaar met 25%. Geef het voorschrift van deze rij en stel graﬁsch het aantal leerlingen in de eerste 10 jaren van de school voor. Welk verloop kunnen we hierin herkennen?

2.1 Enkelvoudige en samengestelde intrest

2.1.1 Enkelvoudige intrest

deﬁnitie Bij enkelvoudige intrest wordt de rente telkens berekend op hetzelfde kapitaal, zonder rekening te houden met reeds opgebouwde intrestbedragen. Het intrestpercentage wordt ook de rentevoet genoemd.

Voorbeeld

Ella opent een spaarrekening met een jaarlijkse enkelvoudige intrest van 2% en zet er € 3000 op bij de start van haar middelbare schoolcarrière. Ze wil weten wat haar kapitaal zal zijn als ze aan haar verdere studies begint na 6 jaar.

Elk jaar krijgt ze een intrest van i = 2% op het startkapitaal K0 van € 3000.

Jaarlijkse intrest = i ⋅ K0 = 0,02 ⋅ € 3000 = € 60

Dit is een rekenkundige rij met als beginwaarde het startkapitaal (K0 = u0 = 3000) en het verschil v = 60, de jaarlijkse intrest.

Vermits v = i ⋅ K0 en de looptijd n = 6 jaar, kunnen we het verworven kapitaal na 6 jaar als volgt berekenen:

K6 = K0 + 6 ⋅ v

K6 = 3000 + 6 ⋅ 60 = 3360

ALGEMEEN

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Bij een enkelvoudige intrest kunnen we het eindkapitaal Kn na een looptijd n met een rentevoet i en startkapitaal K0 als volgt berekenen:

Kn = K0 + K0 ⋅ i ⋅ n

Merk op Eerder kwam al aan bod dat dit ook beschouwd kan worden als een lineaire toename met toenamegetal i ⋅ K0 = 60. + 60 + 60 + 60 + 60 + 60 + 60

2.1.2Rentevoet

De rentevoet bij enkelvoudige intrest wordt normaalgezien uitgedrukt in jaren. Indien de looptijd niet in volledige jaren is, pas je de looptijd n aan naar de juiste fractie van een jaar.

Voorbeeld

Gegeven: Farida zet € 2000 op een spaarrekening met een jaarlijkse enkelvoudige intrest van 3% voor 2 jaar en 6 maanden.

Gevraagd:Hoeveel bedraagt het kapitaal aan het einde van haar spaarperiode?

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Oplossing:

n = 2,5 (van een jaar)

Kn = K0 + K0 ⋅ i ⋅ n

K2,5 = 2000 + 2000 ⋅ 0,03 ⋅ 2,5 = 2150

Antwoord: Het kapitaal bedraagt na 2,5 jaar € 2150.

2.1.3Berekeningen met enkelvoudige intrest

Op basis van de algemene formule voor enkelvoudige intrest kunnen verschillende aspecten van sparen met enkelvoudige intrest berekend worden.

Voorbeeld 1: berekenen van de verworven intrest

Gegeven:Spaarproduct met jaarlijkse rentevoet van 4%, startkapitaal € 35 000

Gevraagd:Hoeveel intrest brengt het spaarproduct op over 5 jaar en 3 maanden?

Oplossing:

rentevoet i = 4%

startkapitaal K0 = € 35 000 looptijd n = 5,25 jaar

verworven intrest I = Kn - K0 = K0 ⋅ i ⋅ n I = 35 000 ⋅ 0,04 ⋅ 5,25 = 7350

Antwoord:Het spaarproduct brengt 7350 euro op.

Voorbeeld 2: berekenen van de rentevoet

Gegeven:Een startkapitaal van € 4500 is na 8 jaar aangegroeid tot € 5760.

Gevraagd:Wat was het jaarlijks enkelvoudig intrestpercentage?

Oplossing:

startkapitaal K0 = € 4500 looptijd n = 8 jaar eindkapitaal Kn = € 5760

Kn = K0 + K0 i n

Kn K0 = K0 i n

i = Kn K0 K0 n i = 5760 4500 4500 8 = 0,035

Antwoord:De rentevoet bedroeg 3,5%.

Voorbeeld 3: berekenen van het startkapitaal

Gegeven: Op haar 22e verjaardag ziet Mia dat het saldo van haar spaarrekening die ze op haar 18e verjaardag geopend had € 2640 bedraagt. De jaarlijkse enkelvoudige intrest op deze spaarrekening bedroeg 5% en sinds de opening vonden geen stortingen meer plaats.

Gevraagd:Hoeveel heeft ze op haar 18e verjaardag gestort?

Oplossing:

rentevoet i = 5%

looptijd n = 4 jaar eindkapitaal Kn = € 2640

Kn = K0 (1 + i n)

K0 = Kn 1 + i n

K0 = 2640 1 + 0,05 ⋅ 4 = 2200

Antwoord:Ze heeft € 2200 gestort.

Voorbeeld 4: berekenen van de looptijd

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Gegeven:Een spaarproduct met startkapitaal van € 540 en een enkelvoudige intrest van 2,3% groeit aan tot € 592,80.

Gevraagd:Hoelang stond het kapitaal op het spaarproduct?

Oplossing:

rentevoet i = 2,3%

startkapitaal K0 = € 540 eindkapitaal Kn = € 592,80

Kn = K0 + K0 i n

n = Kn K0 K0 i

n = 592,80 540 540 0,023 ≈ 4,25

Antwoord:Het kapitaal stond ongeveer 4 jaar en 3 maanden op het spaarproduct.

OVERZICHT FORMULES

We beschouwen het startkapitaal K0, het eindkapitaal na n tijdseenheden Kn, de looptijd n en de rentevoet i waarbij n en i in dezelfde tijdseenheid worden uitgedrukt.

Bij een enkelvoudige intrest kunnen dan volgende formules worden toegepast:

K0, i, n eindkapitaal Kn

K0, i, n verworven intrest I

K0, Kn, n rentevoet i

Kn, i, n startkapitaal K0

K0, Kn, i looptijd n

Merk op

Deze formules kunnen allemaal afgeleid worden van de eerste formule die het eindkapitaal uitdrukt in functie van het startkapitaal, de rentevoet en de looptijd.

2.1.4Samengestelde intrest

deﬁnitie Bij samengestelde intrest wordt de intrest telkens berekend op het volledige saldo, inclusief de reeds verworven intrestbedragen.

Voorbeeld

De oma van Jef opent een speciale spaarrekening voor de twaalfde verjaardag van haar kleinzoon en zet er € 3000 op met een samengestelde intrest van 2%. Hij zal er pas op zijn achttiende verjaardag geld kunnen afhalen en vraagt zich af welk bedrag er dan zal opstaan.

De intrest wordt hier telkens berekend op het volledige saldo. Hiervoor kunnen we het uitstaande bedrag telkens vermenigvuldigen met 1,02.

300030603121,203183,623247,303312,25 3378,49

Dit is een meetkundige rij met als beginwaarde het startkapitaal K0 = u0 = 3000 en de reden q = 1 + i = 1,02.

We kunnen het verworven kapitaal na 6 jaar als volgt berekenen:

K6 = K0 ⋅ q6

K6 = 3000 ⋅ ( 1 + 0,02) 6 = 3378,49

ALGEMEEN

Bij een samengestelde intrest kunnen we het eindkapitaal Kn na een looptijd n met een rentevoet i en startkapitaal K0 als volgt berekenen:

Kn = K0 ⋅ ( 1 + i ) n

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Merk op

Eerder kwam al aan bod dat dit ook beschouwd kan worden als een exponentiële toename met grondtal 1 + i en macht n

2.1.5Enkelvoudige versus samengestelde intrest

Wanneer we het eindkapitaal graﬁsch voorstellen in functie van de looptijd (in jaren), zien we duidelijk dat kapitaal met samengestelde intrest exponentieel toeneemt, terwijl kapitaal met enkelvoudige intrest (slechts) lineair toeneemt. In het begin zijn de verschillen klein, maar op lange termijn kan dit een groot verschil in eindkapitaal geven.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

2.1.6Gelijkwaardige

rentevoeten

Zoals we bij exponentiële functies reeds gezien hebben, is een groei van 12% per jaar niet gelijk aan een groei van 1% per maand. We moesten deze omzetten via de groeifactoren.

Hetzelfde principe kunnen we toepassen bij rentevoeten. We spreken over gelijkwaardige rentevoeten als ze dezelfde intrest genereren over 1 jaar.

Voorbeelden

•Een rentevoet van 0,2% per maand is gelijkwaardig aan een rentevoet van 2,43% per jaar.

rentevoet groeifactor per maand + 0,2% 1,002 per jaar + 2,43% 1,00212 ≈ 1,0243

Of algebraïsch:

1 + ijaar = 1 + imaand 12 ijaar = (1 + Imaand )12 1

Ijaar = (1 + 0,002)12 1

Ijaar ≈ 0,0243

•Een rentevoet van 2,3% per trimester (= kwartaal) is gelijkwaardig aan een rentevoet van 0,761% per maand. rentevoet groeifactor per trimester + 2,3% 1,023 per maand + 0,761% 3 1,023 ≈ 1,00761

Of algebraïsch:

1 + itrimester 4 = 1 + imaand 12

1 + itrimester = 1 + imaand 3

3 1 + itrimester 1 = imaand imaand = 3 1,023 1 ≈ 0,00761

2.1.7Berekeningen met samengestelde intrest

Net zoals bij enkelvoudige intrest kunnen we, gebaseerd op de algemene formule van samengestelde intrest, de andere veranderlijken ook berekenen.

Voorbeeld 1: berekenen van de verworven intrest

Gegeven:Een bedrag van € 3520 staat op een reguliere spaarrekening met een samengestelde intrest van 2,5%.

Gevraagd:Bereken de verworven intrest na 3 jaar.

Oplossing:

rentevoet i = 2,5% startkapitaal K0 = € 3520 looptijd n = 3 jaar

Kn = K0 ⋅ (1 + i)n

I = Kn K0 = K0 (1 + i)n K0 = 3520 ⋅ 1,0253 3520 = 270,655

Antwoord:De verworven intrest na 3 jaar is € 270,66.

Voorbeeld 2: berekenen van de rentevoet

Gegeven: Een startkapitaal van € 1200 groeide op een spaarrekening met samengestelde intrest op 9 jaar tijd aan tot € 1518,50.

Gevraagd:Wat was de rentevoet?

Oplossing:

startkapitaal K0 = € 1200 looptijd n = 9 jaar eindkapitaal Kn = € 1518,50

Kn = K0 (1 + i)n

K0 =(1 + i)n

1 + i = n Kn K0

i = n Kn K0 1

i = 9 1518,50 1200 1 ≈ 0,0265

Antwoord:De rentevoet bedroeg ongeveer 2,65%.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Voorbeeld 3: berekenen van het startkapitaal

Gegeven: Na 8 jaar sparen aan een samengestelde intrest van 2,5% is de spaarrekening van Noa en Lowie en aangegroeid tot € 35 740.

Gevraagd:Wat was het startkapitaal?

Oplossing:

rentevoet i = 2,5% looptijd n = 8 jaar

eindkapitaal Kn = € 35740

Kn = K0 (1 + i)n

K0 = Kn (1 + i)n

K0 = 35740 1,0258 = 29333,48244

Antwoord:Het startkapitaal was ongeveer € 29333,48.

Voorbeeld 4: berekenen van de looptijd

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Gegeven: Een spaarproduct met startkapitaal van € 3500 en een samengestelde intrest van 3,45% groeit aan tot € 4630,15.

Gevraagd:Hoelang stond het kapitaal op het spaarproduct?

Oplossing:

rentevoet i = 3,45% startkapitaal K0 = € 3500 eindkapitaal Kn = € 4630,15

Kn = K0 (1 + i)n

K0 =(1 + i)n

Omdat we n zoeken en deze in de macht staat, nemen we van beide leden de logaritme:

log Kn

K0 = log(1 + i)n

Dan passen we de rekenregel voor de logaritme van een macht toe (log pr = r ⋅ log p):

log Kn

K0 = n log(1 + i)

n = log Kn K0 log(1 + i)

n = log 4630,15 3500 log(1,0345) ≈ 8,25

Antwoord:Het kapitaal stond ongeveer 8 jaar en 3 maanden op het spaarproduct.

OVERZICHT FORMULES

We beschouwen het startkapitaal K0, het eindkapitaal na n tijdseenheden Kn, de looptijd n en de rentevoet i waarbij n en i in dezelfde tijdseenheid worden uitgedrukt.

Bij een samengestelde intrest kunnen dan volgende formules worden toegepast:

gegeven

K0, i, n

gevraagd

eindkapitaal Kn

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

verworven intrest I

K0, Kn, n rentevoet i

Kn, i, n

startkapitaal K0

2.2Obligaties, staatsbons en kasbons

Naast een spaarrekening waarbij het geld altijd beschikbaar is, zijn er spaarproducten waarbij je je geld voor een vooraf afgesproken tijd vastzet.

Je leent dit geld uit aan een bedrijf (obligatie ), de overheid (staatsbon ) of een ﬁnanciële instelling (kasbon ) en krijgt

hiervoor in ruil een bruto-intrest die hoger ligt dan bij een gewone spaarrekening. Je moet van de verworven bruto-intrest nog wel 30% roerende voorhefﬁng aftrekken om de netto verworven intrest te kunnen bepalen.

Er zijn verschillende soorten obligaties, staatsbons of kasbons en het is raadzaam advies te vragen over wat het beste bij jou past. Weet ook dat naast het feit dat je het geld voor een bepaalde tijd vastzet, er ook risico's aan verbonden zijn zoals bijvoorbeeld wanneer het bedrijf waarvan je de obligatie hebt failliet gaat.

Voorbeeld

Gegeven:Een staatsbon wordt uitgegeven met een bruto enkelvoudige intrest van 2,80%.

Gevraagd:Hoeveel brengt een investering van € 1000 op na 5 jaar? Met andere woorden, wat is de netto-intrest?

Oplossing:

Ibruto = 1000 ⋅ 5 ⋅ 0,028 = 140

Inetto = 140 ⋅ 0,70 = 98

Antwoord:De netto-intrest bedraagt € 98.

Verwerkingsopdrachten

Gegeven is een spaarproduct met enkelvoudige intrest. Vul de tabel aan.

Gegeven is een spaarproduct met samengestelde intrest. Vul de tabel aan.

Stel dat we € 4000 sparen aan een rentevoet van 3,5%, eenmaal met enkelvoudige intrest en eenmaal met samengestelde intrest. Bepaal graﬁsch (met behulp van ICT) hoeveel het verschil tussen de twee spaarproducten bedraagt na 25 jaar.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

2 11

Emmelien heeft de keuze tussen twee spaarproducten:

• Spaarsnel die 0,2% samengestelde intrest per maand belooft en

• Spaargoed die 3% samengestelde intrest per jaar belooft.

Wat is het verschil in verworven intrest indien ze € 1000 gedurende 4 jaar en 3 maanden zou sparen?

Felix wil een elektrische ﬁets kopen als hij naar het middelbaar gaat. Hij zet zijn verjaardagsgeld op een spaarrekening met een jaarlijkse samengestelde intrest van 4%. Hoeveel zal hij er minstens op moeten zetten om 4 jaar later een ﬁets van € 2050 te kunnen kopen?

Amélie heeft € 15 000 geërfd en denkt dit geld pas nodig te hebben voor de aankoop van een huis binnen 3 jaar. Ze investeert de erfenis in een kapitalisatiekasbon met een looptijd van 3 jaar waarbij er samengestelde intrest geldt alsook een roerende voorhefﬁng van 30%. Als ze op het einde van de looptijd € 2100 netto overhoudt, wat was dan de rentevoet?

3 Annuïteiten

Tot nu toe hebben we gekeken naar een eenmalige storting. In veel situaties gebeurt sparen of het aﬂossen van een lening echter door meerdere stortingen op vaste tijdstippen. Zo’n reeks regelmatige betalingen noemen we een annuïteit

deﬁnitie Een annuïteit is een reeks stortingen die op regelmatige tijdstippen plaatsvinden, bijvoorbeeld woonleningen (hypothecaire kredieten), bijdragen aan pensioensparen ...

Voorbeeld

Noah wil graag op reis met zijn vrienden op het einde van het middelbaar. Hij stort hiervoor gedurende twee jaar maandelijks € 100 op een afzonderlijke rekening met een jaarlijkse samengestelde intrest van 3,5%.

Het constante tijdsinterval tussen de betalingen wordt de periode genoemd. De periode in het voorbeeld is 1 maand. De looptijd n is de tijd tussen de aanvang en de einddatum van de annuïteit, uitgedrukt in dezelfde tijdseenheid als de periode. Daardoor is n dus gelijk aan het aantal stortingen, in het voorbeeld van Noah is dit 24 maanden.

Het bedrag van de storting wordt het termijnbedrag a , ook de termijn van de annuïteit of zelfs gewoon termijn genoemd. Het termijnbedrag a in het voorbeeld is € 100.

Bij een prenumerando annuïteit worden de betalingen aan het begin van elke periode gestort.

Bij een postnumerando annuïteit worden de betalingen aan het einde van elke periode gestort.

Indien Noah aan het begin van elke maand stort, is dit een prenumerando annuïteit, als hij de stortingen doet aan het einde van elke maand een postnumerando annuïteit.

A n (postnumerando) of A ′ n (prenumerando) is de eindwaarde of slotwaarde van de annuïteit, het totale kapitaal op het einde van de laatste periode. We zien verder hoe deze berekend kan worden.

De beginwaarde A 0 (postnumerando) of A ′ 0 (prenumerando) is de waarde van het bedrag dat aan het begin van de annuïteit in totaal zou moeten gestort zijn om dezelfde eindwaarde of slotwaarde te bekomen als de periodieke stortingen onder dezelfde intrestvoorwaarden en looptijd. Ook deze zullen we verderop berekenen.

deﬁnities De periode is het constante tijdsinterval tussen de betalingen.

De looptijd n is de tijd tussen de aanvang en de einddatum van de annuïteit, uitgedrukt in dezelfde tijdseenheid als de periode.

Het termijnbedrag a is het bedrag van de storting.

A n (postnumerando) of A ′ n (prenumerando) is de eindwaarde of slotwaarde van de annuïteit, het totale kapitaal op het einde van de laatste periode.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

De rentevoet bij annuïteiten wordt normaalgezien gegeven in jaren, maar is in de meeste gevallen nodig in maanden. Dat komt omdat de periode meestal in maanden is. We moeten deze jaarlijkse rentevoet dan ook omzetten naar een gelijkwaardige maandelijkse rentevoet. Bij het voorbeeld hierboven met jaarlijkse rentevoet van 3,5% geeft dit:

imaand = 12 1 + ijaar 1

imaand = 12 1,035 1 ≈ 0,00287 = 0,287%

Merk op

Bij annuïteiten wordt gebruikgemaakt van samengestelde intrest, omdat de intrest telkens wordt berekend over het resterende of opgebouwde kapitaal.

BETAAL

3.1 Postnumerando annuïteit

Voorbeeld

Noah wil graag op reis met zijn vrienden op het einde van het middelbaar. Hij stort hiervoor gedurende twee jaar maandelijks € 100 op het einde van elke maand op een afzonderlijke rekening met een jaarlijkse samengestelde intrest van 3,5%.

We berekenen voor deze en gelijkaardige postnumerando annuïteiten verschillende relevante waarden.

3.1.1 Berekenen eindkapitaal

POSTNUMERANDO

De tijdslijn toont ons de stortingen en de verworven intrest op elke storting. We kunnen hieruit aﬂeiden dat het eindkapitaal na 24 maanden ( A24) gelijk is aan:

Dit is een meetkundige rij met beginwaarde u1 = a en quotiënt q = 1 + i

We kunnen dan ook de somformule voor meetkundige rijen toepassen en verkrijgen:

sn = u1 1 qn 1 q

An = a (1 + i)n 1 (1 + i) 1

An = a ⋅ (1 + i)n 1 i

formule Postnumerando annuïteit:

An = a (1 + i)n 1 i

met An het eindbedrag, a het termijnbedrag en i de intrest

Dit is de enige formule die je best kan onthouden, de andere formules kunnen hiervan telkens afgeleid worden.

In het voorbeeld van Noah die twee jaar lang aan het eind van elke maand € 100 stort aan een maandelijkse rentevoet van 0,287% geeft dit:

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

A24 = 100 1,0028724 1 0,00287 ≈ 2480,90

Noah zal na twee jaar € 2480,90 bij elkaar gespaard hebben.

Merk op

Bij een postnumerando annuïteit gebeurt de eerste storting op het einde van de eerste periode. Dit betekent dat de eerste betaling pas op tijdstip t1 plaatsvindt, niet op t0. De eerste term in de som (de beginwaarde van de meetkundige rij) is dus de eerste storting u1 = a.

3.1.2Berekenen beginwaarde

De oma van Noah wil graag eenzelfde eindbedrag voor Noah bekomen als haar bijdrage aan de reis. Ze ziet het echter niet zitten om maandelijks te storten en zou graag bij de aanvang van de twee jaar het hele bedrag op een spaarrekening storten aan dezelfde rentevoet.

Om te weten hoeveel de oma van Noah zou moeten storten, berekenen we de beginwaarde van de annuïteit van Noah. We willen dat de beginwaarde A0 na twee jaar hetzelfde eindbedrag heeft als de annuïteit onder dezelfde rentevoorwaarden.

Na twee jaar is A0 aangegroeid tot A0 ⋅ ( 1 + i) n, want op het hele bedrag zal n maanden intrest verworven worden.

We willen dus dat:

A0 ⋅ ( 1 + i) n = An

Dat geeft:

A0 = An (1 + i)n

In het voorbeeld van Noah wordt dat:

A0 = 2480,90 1,0028724 = 2316

De beginwaarde van een annuïteit berekenen na een looptijd van n tijdseenheden kan door te delen door ( 1 + i ) n .

De oma van Noah moet dus in het begin van de twee jaar € 2316 storten. Dat is minder dan de 24 ⋅ € 100 = € 2400 die Noah in totaal zal storten omdat haar gehele storting 24 maanden intrest opbouwt, terwijl bij Noah de stortingen op het einde van de looptijd veel minder intrest opbouwen dan deze aan het begin.

3.1.3Berekenen waarde van annuïteit op een bepaald tijdstip

De beginwaarde van een annuïteit berekenen na een looptijd van n tijdseenheden kan door te delen door ( 1 + i ) n. Dit kan men ook gebruiken om de waarde van een annuïteit op een bepaald tijdstip k periodes terug van de einddatum te berekenen, gebaseerd op de eindwaarde. Je deelt de eindwaarde door ( 1 + i ) k met k het aantal tijdseenheden dat je teruggaat in de tijd.

An k = An (1 + i)k

De waarde van een annuïteit na n - k tijdseenheden, of op k tijdseenheden vóór het einde, is het bedrag dat je zou moeten storten op dat moment om met een looptijd k en eenzelfde rentevoet hetzelfde bedrag te bekomen als de annuïteit, zonder verdere stortingen.

Let op: dit is niet het bedrag dat op die tijd als balans staat bij een annuïteit.

Voorbeeld

Lotte wordt ook uitgenodigd voor de reis, maar heeft slechts 9 maand meer om te sparen. Ze besluit om in één keer geld op een rekening met dezelfde voorwaarden als Noah te plaatsen zodat ze op het einde van de 9 maanden hetzelfde totale bedrag als Noah verkrijgt.

Dit is hetzelfde als vragen wat de waarde van de annuïteit van Noah is 9 maanden voor de einddatum, dus op n - k = 24 - 9 = 15 maanden van de begindatum.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

An k = An (1 + i)k

A15 = A24 (1 + i)9

A15 = 2480,90 1,002879

A15 ≈ 2417,73

Lotte zal € 2417,73 moeten storten.

3.1.4Berekenen termijnbedrag

Emma beslist om ook mee te gaan op reis, maar heeft slechts 1,5 jaar de tijd om te sparen. Ze wil dus 18 maanden lang een bedrag storten om aan dezelfde voorwaarden als Noah hetzelfde eindbedrag te bekomen.

An = a 1 + i n 1 i a = An ⋅ i 1 + i n 1

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

In het voorbeeld van Emma:

n = 18en A18 = 2480,90

a = 2480,90 ⋅ 0,00287 1,0028718 1 ≈ 134,50

Emma zal 18 maanden lang elke maand € 134,50 moeten storten op het einde van de maand.

3.1.5Berekenen looptijd

Alex wil ook mee op reis, maar kan slechts € 75 per maand opzij zetten. Hoelang zal hij moeten sparen om hetzelfde bedrag bijeen te sparen onder dezelfde rentevoorwaarden?

We zoeken de looptijd n:

An = a 1 + i n 1 i

1 + i n = i ⋅ An a + 1

log 1 + i n = log i An a + 1

n log 1 + i = log i An a + 1

n = log i An a + 1 log 1 + i

In het voorbeeld van Alex:

n = log 0,00287 2480,90 75 + 1 log (1,00287) ≈ 31,6

Alex zal 32 maanden moeten sparen om hetzelfde bedrag (en iets meer) bijeen te sparen.

3.2Prenumerando annuïteit

Een prenumerando is gelijkaardig aan een postnumerando annuïteit, maar de bedragen worden aan het begin van elke periode gestort en verwerven dus één periode meer rente tijdens de looptijd.

Voorbeeld

Noah wil graag op reis met zijn vrienden op het einde van het middelbaar. Hij stort hiervoor gedurende twee jaar maandelijks € 100 aan het begin van elke maand op een afzonderlijke rekening met een jaarlijkse samengestelde intrest van 3,5%.

We berekenen voor deze prenumerando annuïteit het eindkapitaal en de beginwaarde.

3.2.1Berekenen eindkapitaal

PRENUMERANDO

+ ) = ( + )

De tijdslijn toont ons de stortingen en de verworven intrest op elke storting. We kunnen hieruit aﬂeiden dat het eindkapitaal van de prenumerando annuïteit na 24 maanden A24 gelijk is aan:

A24 = a ⋅ 1 + i + a ⋅ 1 + i 2 + … + a ⋅ 1 + i n 1 + a ⋅ 1 + i n

We kunnen zien dat A24 = A24 1 + i , ofwel dat er bij een prenumerando annuïteit 1 periode extra rente wordt verworven ten opzichte van een postnumerando annuïteit. We kunnen dus in het algemeen noteren:

An = An 1 + i

An = a ⋅ 1 + i ⋅ 1 + i n 1 i

formule Prenumerando annuïteit:

An = a 1 + i 1 + i n 1 i met A′ n het eindbedrag, a het termijnbedrag en i de intrest

In het voorbeeld van Noah geeft dit:

A24 = 100 ⋅ 1,00287 ⋅ 1,0028724 1 0,00287 ≈ 2488,02

Noah zal na twee jaar € 2488,02 bij elkaar gespaard hebben, iets meer dan bij een postnumerando annuïteit onder dezelfde rentevoorwaarden en looptijd.

3.2.2Berekenen beginwaarde

Net als bij de eindwaarde, zal de beginwaarde bij een prenumerando annuïteit A0 één maand meer intrest hebben opgebouwd dan bij een postnumerando annuïteit omdat de stortingen aan het begin van de maand gebeuren. We kunnen dan ook stellen dat:

A0 = A0 1 + i

A0 = A0 ⋅ 1 + i

In het voorbeeld van Noah wordt dat:

A0 = 2316 ⋅ 1,00287 ≈ 2322,65

A0 = 2316 1,00287 ≈ 2322,65

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Verwerkingsopdrachten

11, 12, 13

Zihame doet aan pensioensparen en zet aan het eind van elk jaar € 1500 opzij aan een rentevoet van 4%. Ze begon in 2020 met sparen en verwacht op pensioen te gaan in 2035.

a)Is dit een prenumerando of postnumerando annuïteit?

b)Wat is de looptijd en de periode?

c)Hoeveel bedraagt de eindwaarde van deze annuïteit?

d)Indien Zihame een eenmalige storting doet in 2020 in plaats van een jaarlijkse, hoeveel zou ze dan gestort moeten hebben om hetzelfde pensioen te bekomen?

e)Wat is het verschil in totale storting tussen een jaarlijkse en eenmalige storting?

f) Waarom zou Zihame toch een jaarlijkse storting in plaats van een eenmalige storting doen?

Tim wil een nieuwe horloge en stort daarvoor een jaar lang elke maand € 25 van zijn zakgeld op een speciale rekening met een vaste jaarlijkse rentevoet van 2,5%.

Bereken het bedrag dat hij gespaard zal hebben als hij de stortingen doet ...

a)aan het eind van elke maand.

b)aan het begin van elke maand.

Xiomara zet op het einde van elke maand een bedrag opzij voor een nieuwe auto en plant op drie jaar tijd € 15800 bij elkaar gespaard te hebben aan een jaarlijkse rentevoet van 10%.

Hoeveel zal ze elke maand moeten sparen?

Sybren wil sparen voor een spelcomputer van € 550 en zet hiervoor aan het eind van elke maand € 25 zakgeld opzij aan een jaarlijkse rentevoet van 3%. Hoelang zal hij moeten sparen om de spelcomputer te kunnen aankopen?

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Ilias wil binnen 1,5 jaar een wasmachine kopen van € 850 en wil hier aan het begin van elke maand een bedrag voor opzij zetten aan een maandelijkse rentevoet van 0,5%. Hoeveel moet Ilias elke maand opzij zetten?

4 Hypothecaire leningen

Je gaat een hypothecaire lening aan (ook wel hypothecair krediet genoemd) om een groot bedrag te lenen voor de aankoop van een woning, bouwgrond ... . Hierbij staat de woning of grond ‘borg’ zodat de kredietgever er vrij zeker van kan zijn dat hij het geld zal terugkrijgen.

Een hypothecaire lening kan beschouwd worden als een postnumerando annuïteit en wordt over het algemeen maandelijks afbetaald. Je betaalt elke maand een stuk van het geleende kapitaal af, maar ook een stuk van de rente op het nog uitstaande bedrag van de lening, de uitstaande schuld.

We kunnen dan ook twee soorten hypothecaire leningen onderscheiden, afhankelijk van het type afbetalingen:

• eenhypothecaire lening met vaste termijnen waarbij de periodieke aﬂossingen (ook termijnen genoemd) hetzelfde blijven en

• een hypothecaire lening met vaste kapitaalaﬂossing waarbij het kapitaalbestanddeel van de aﬂossing hetzelfde blijft.

Verder kan je deze leningen indelen afhankelijk van de rentevoet die zal toegepast worden:

• een hypothecaire lening met vaste rentevoet waarbij de rentevoet vastligt voor de gehele looptijd van de lening. Dit is vooral interessant indien bij het afsluiten van de lening de rentevoet laag is.

• een hypothecaire lening met variabele rentevoet waarbij de rentevoet op bepaalde tijdstippen herzien wordt. Hiervoor wordt geopteerd indien de rentevoet bij het afsluiten van de lening hoog is en je verwacht dat deze in de toekomst zal dalen.

Als vuistregel geldt dat bij de aankoop van een woning maximaal 1/3 van je inkomen naar de afbetaling mag gaan. Reken er ook op dat de bank niet het volledige bedrag zal lenen en je een deel eigen inbreng (geld dat je al gespaard hebt) nodig hebt. Dit deel bedraagt normaalgezien minstens 10% van het totaalbedrag.

4.1 Hypothecaire lening met vaste termijnen

We bekijken eerst leningen waarbij elke periode hetzelfde bedrag terugbetaald wordt: een hypothecaire lening met vaste termijnen.

Voorbeeld

Gegeven: Je wil een appartement kopen en wil hiervoor € 150000 lenen bij de bank die een lening met een vaste rentevoet van 4% aanbiedt. Je wil de lening terugbetalen op 20 jaar tijd.

Gevraagd:Wat is het vaste maandelijkse aﬂossingsbedrag?

Oplossing:

Je kan deze lening bekijken als een postnumerando annuïteit met looptijd n = 20 ⋅ 12 = 240 maanden en A0 = € 150000. Ook hier zetten we de gegeven jaarlijkse rentevoet om naar een maandelijkse gelijkwaardige rentevoet: i = 12 1,04 1 ≈ 0,327%

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

A0 = a i 1 1 1 + i n a = A0 ⋅ i 1 1 1 + i n a = 150000 0,00327 1 1 (1,00327)240 a ≈ 903

Antwoord:Het maandelijkse aﬂossingsbedrag of de termijn bedraagt ongeveer € 903.

Merk op Omdat we hier over grote bedragen en looptijden spreken, gebruik je het intrestpercentage met een vrij grote nauwkeurigheid.

Aﬂossingstabel

Om een overzicht te krijgen van de betalingen en de nog uitstaande schuld over de gehele periode van de lening, wordt vaak een aﬂossingstabel opgesteld. We bekijken dit voor het bovenstaande voorbeeld.

De maandelijkse betaling of termijn a bestaat uit een rentebestanddeel rp en een kapitaalbestanddeel kp waarbij p de maand voorstelt en a = rp + kp.

• Situatie maand 0:

Aan het begin van de hypothecaire lening hebben we een schuld s0 = € 150000 die gelijk is aan het geleende bedrag. maand p termijnbedrag a rentebestanddeel r p kapitaalbestanddeel k p uitstaande schuld s p 0 € 150000

• Berekeningen maand 1:

Na 1 maand wordt de eerste afbetaling gedaan met termijn a = € 903.

Omdat we rente betalen op onze totale uitstaande schuld, kunnen we het rentebestanddeel van deze afbetaling voor de eerste betaling berekenen als:

r1 = rentevoet ⋅ uitstaande schuld

= i ⋅ s0

= 0,327% ⋅ € 150000

= € 490,50

Omdat we altijd hetzelfde bedrag a afbetalen, is het kapitaalbestanddeel ( = het deel kapitaal dat we afbetalen) de termijn a verminderd met het rentebestanddeel van die maand:

k1 = termijn - rentebestanddeel

= a - r1

= € 903 - € 490,50

= € 412,50

De uitstaande schuld van de vorige maand kan dan verminderd worden met het kapitaalbestanddeel van de afbetaling om de nieuwe uitstaande schuld te bekomen:

s1 = s0 - k1

= € 150 000 - € 412,50

= € 149 587,50

We noteren deze bedragen in de aﬂossingstabel als volgt:

• Berekeningen maand 2:

Na 2 maanden wordt de tweede afbetaling gedaan met dezelfde termijn a = € 903.

We kunnen het rentebestanddeel voor de tweede maand berekenen als:

r2 = rentevoet ⋅ uitstaande schuld

= i ⋅ s1

= 0,327% ⋅ € 149587,50

= € 489,15

Het kapitaalbestanddeel dat we afbetalen is de termijn a verminderd met het rentebestanddeel:

k2 = termijn - rentebestanddeel

= a - r2

= € 903 - € 489,15

= € 413,85

De uitstaande schuld zal verminderd worden met het kapitaalbestanddeel van de afbetaling:

s2 = s1 - k2

= € 149 587,50 - € 413,85

= € 149 173,65

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

• Berekeningen maand p:

In het algemeen kunnen we de aﬂossingstabel voor maand p als volgt invullen:

De rente rp op de uitstaande schuld van maand p - 1: rp = i ⋅ sp-1

Het kapitaalbestanddeel van de termijn a: kp = a - rp

De uitstaande schuld na afbetaling p: sp = sp-1 - kp

Een hypothecaire lening heeft een lange looptijd en we gebruiken dan ook meestal ICT om een aﬂossingstabel op te stellen.

Als we het rentebestanddeel en kapitaalbestanddeel voor de verschillende afbetalingen van een lening met vaste termijn uitzetten tegenover de tijd, kunnen we zien dat in het begin een groot deel van de termijn bestaat uit het rentebestanddeel. Dit evolueert naar een steeds groter kapitaalbestanddeel.

Bedrag (in euro)

Looptijd Rentebestanddeel Kapitaalbestanddeel

Merk op

We kunnen de aﬂossingstabel ook anders invullen door op te merken dat het kapitaalbestanddeel van de aﬂossing telkens stijgt met ( 1 + i) . Dat wil zeggen dat kp+1 = kp ( 1 + i) .

4.2Hypothecaire lening met vaste kapitaalaflossing

Bij een hypothecaire lening met vaste kapitaalaflossing blijft het kapitaalbestanddeel van de aflossing elke maand gelijk en varieert de totale aflossing dus met het rentebestanddeel.

Voorbeeld

Daan en Julia willen een huis kopen en lenen hiervoor € 150000 bij de bank. Ze kiezen voor een hypothecaire lening met vaste kapitaalaﬂossing over 25 jaar en een jaarlijkse rentevoet van 10%.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Indien je een bedrag S leent over een looptijd van n maanden is het kapitaalbestanddeel van de maandelijkse aﬂossing gelijk aan:

k = S n

Dat betekent dat ze gedurende 25 ⋅ 12 = 300 maanden elke maand: k = e 150000 300 = e 500 afbetalen aan kapitaal. Hier komt dan elke maand nog een rentebestanddeel bij. Hiervoor gebruiken we weer de maandelijkse gelijkwaardige rentevoet:

i = 12 √i + 1 1 = 12 1,1 1 = 0,7974%

• Situatie maand 0:

De openstaande schuld s0 = € 150000, het initiële geleende bedrag.

• Berekeningen maand 1:

Het rentebestanddeel van de afbetaling wordt berekend op de uitstaande schuld:

r1 = i ⋅ s0

= 0,7974% ⋅ € 150000

= € 1196,10

Vermits het kapitaalbestanddeel constant blijft, wordt de uitstaande schuld hier telkens mee verminderd:

s1 = s0 - k

= € 150000 - € 500

= € 149500

Het aﬂossingsbedrag moet dan berekend worden als het vaste kapitaalbestanddeel vermeerderd met het rentebestanddeel van die maand:

a1 = k + r1 = € 500 + € 1196,10 = 1696,10

We noteren deze bedragen in de aﬂossingstabel als volgt:

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

• Berekeningen maand 2:

Het rentebestanddeel van de afbetaling wordt berekend op de uitstaande schuld:

r2 = i ⋅ s1

= 0,7974% ⋅ € 149500

= € 1192,11

Vermits het kapitaalbestanddeel constant blijft, wordt de uitstaande schuld hier telkens mee verminderd:

s2 = s1 - k

= € 149500 - € 500

= € 149000

Het aﬂossingsbedrag moet dan berekend worden als het vaste kapitaalbestanddeel vermeerderd met het rentebestanddeel van die maand:

a2 = k + r2 = € 500 + € 1192,11 = 1692,11

We noteren deze bedragen in de aﬂossingstabel als volgt:

• Berekeningen maand p:

Voor maand p kunnen we dan in het algemeen de aﬂossingstabel als volgt vervolledigen:

Ook hier wordt over het algemeen ICT gebruikt om de aﬂossingstabel op te stellen.

Indien we het rentebestanddeel en kapitaalbestanddeel van de afbetaling uitzetten ten opzichte van de tijd, dan zien we dat het kapitaalbestanddeel inderdaad constant blijft terwijl het rentebestanddeel daalt. In het begin van de looptijd is het aﬂossingsbedrag dan ook veel groter dan op het einde van de looptijd van de hypothecaire lening.

Bedrag (in euro)

Looptijd

Termijnbedrag Kapitaalbestanddeel

Berekenen te lenen bedrag

Omdat er wordt aangeraden om maximaal een derde van jouw inkomsten aan een lening te besteden, is het nuttig om een idee te hebben hoeveel je zou kunnen lenen met jouw budget.

Voorbeeld

Gegeven: Je besluit dat je per maand maximaal € 1000 kan spenderen aan een lening voor een appartement. Je wil graag de lening op 20 jaar afbetalen.

Gevraagd:Hoeveel kan je maximaal lenen als de vaste maandelijkse rentevoet 0,8% bedraagt?

Oplossing:We zoeken hierbij A0, het initiële kapitaal dat we kunnen lenen.

A0 = a i 1 1 1 + i n

A0 = 1000 0,008 1 1 1,008240 = 106533,60

Antwoord:Je kan iets meer dan € 100 000 lenen onder die voorwaarden.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

4.3Wijzigingen aan een hypothecaire lening

Een hypothecaire lening heeft een lange looptijd en omstandigheden kunnen veranderen. Je kan voor een lening met een variabele rentevoet hebben gekozen waardoor de rente op bepaalde tijdstippen kan veranderen. Je kan ook een lening vervroegd afbetalen na ontvangst van een grote som geld of als je wil veranderen van ﬁnanciële instelling. Hier zijn wel extra kosten aan verbonden.

4.3.1Variabele rentevoet

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Bij een lening met variabele rentevoet wordt de rentevoet op bepaalde tijdstippen herzien. Er moet dan ook een nieuw maandelijks bedrag worden afgelost.

Voorbeeld

Gegeven: Hannah en Olivia hebben al vijf jaar een lening van € 100 000 met vaste termijnen, een totale looptijd van 15 jaar en een initiële rentevoet van 5,1%. De lening wordt elke vijf jaar herzien. Na de eerste herziening bedraagt de rentevoet 4,8%.

Gevraagd:Bereken het oude en nieuwe maandelijkse termijnbedrag.

Oplossing:

We zetten eerst de originele jaarlijkse rentevoet om naar een maandelijkse rentevoet: i = 12 1,051 1 ≈ 0,415%

De maandelijkse termijn voor de eerste vijf jaar aorig is dan:

We maken gebruik van ICT om de aﬂossingstabel op te stellen:

Uit de aﬂossingstabel opgesteld met de originele rentevoet van 5,1% kunnen we zien dat na 5 jaar, of 60 maanden, de uitstaande schuld gelijk is aan:

s60 = 74 527,70

Nu kan je de volgende 10 jaar beschouwen als een ‘nieuwe’ lening met een looptijd van 10 jaar, een rentevoet van 4,8% en een initiële schuld van € 74527,70.

We zetten eerst terug de nieuwe jaarlijkse rentevoet om naar een maandelijkse rentevoet: i = 12 1,048 1 ≈ 0,391%

De maandelijkse termijn voor de volgende 10 jaren, anieuw is dan: anieuw = A0 ⋅ i 1 1 1 + i n = 74527,70 ⋅ 0,00391 1 1 1,00391120 ≈ 779,31

Door de verlaging van de rentevoet is de termijn ook lichtjes gedaald.

4.3.2Vervroegd stopzetten van een hypothecaire lening

In bepaalde gevallen overwegen mensen een overstap naar een andere hypothecaire lening onder betere voorwaarden of willen ze de lening vervroegd terugbetalen (na ontvangst van een erfenis bijvoorbeeld).

Men moet hierbij wel rekening houden met de kosten van dergelijke overstap. Deze kost komt meestal in de vorm van een herbeleggingsvergoeding die 1% van het vervroegd afgelost kapitaal omvat. Bij het opnieuw aangaan van een lening moeten er ook weer dossierkosten, notariskosten, ... betaald worden.

Voorbeeld

Gegeven: Hannah en Olivia hebben al vijf jaar een lening van € 100 000 met vaste termijnen, een totale looptijd van 15 jaar en een rentevoet van 5,1%. De lening wordt elke vijf jaar herzien. Na de eerste herziening willen ze de lening vervroegd aﬂossen en naar een andere bank overzetten.

Gevraagd:Hoeveel moeten ze aan de originele bank betalen?

Oplossing: We hebben berekend dat na 5 jaar hun openstaande schuld s60 = € 74 527,70 bedraagt. De herbeleggingsvergoeding kan dan berekend worden als 1% van hun openstaande schuld:

0,01 ⋅ € 74 527,70 = € 745,28 € 74 527,70 + € 745,28 = € 75272,98

Antwoord:Ze moeten in totaal € 75 272,98 betalen om de lening vervroegd af te lossen.

Verwerkingsopdrachten

Een lening van € 2000 wordt met vaste termijnen afbetaald over 6 maand aan een jaarlijkse rentevoet van 18,325%. Vul de aﬂossingstabel aan.

Je wil € 220 000 lenen bij de bank aan een jaarlijkse rentevoet van 5% en terugbetalen met vaste termijnen over 30 jaar. Bereken de termijn.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Xander en Yuna gaan een lening aan voor hun bouwproject aan € 330 000. Ze opteren voor een hypothecaire lening met vaste kapitaalaﬂossing over 25 jaar met een jaarlijkse rentevoet van 4%.

a)Bereken het kapitaalbestanddeel van de maandelijkse aﬂossing.

b)Vul de eerste drie lijnen van de aﬂossingstabel in.

c)Vervolledig de aﬂossingstabel met ICT.

d)Bereken met ICT de totaal betaalde intrest over de gehele looptijd.

e)Bereken met ICT het totale bedrag dat aan de bank betaald wordt over de gehele looptijd.

Je merkt dat je maandelijks een gelijkaardige som geld opzij kan zetten en wil weten hoeveel je zou kunnen lenen als je maandelijks een vast bedrag van € 1250 terugbetaalt. Je informeert naar een lening over 15 jaar met een jaarlijkse rentevoet van 5,5%. Hoeveel kan je lenen?

Erhan heeft een tienjarige renovatielening aangegaan van € 80 000 met een vaste rentevoet van 2,5% en vaste maandelijkse termijnen. Na 4 jaar krijgt hij een aanbod van een andere bank aan gunstigere voorwaarden. Wat zal de herbeleggingsvergoeding van 1% bedragen?

Bereken met ICT.

Signaaloefeningen

Verbind de volgende rijen met het juiste voorschrift.

1, 7 3 , 25 9 , 79 27 , 241 81 ,… •

5 2 ,5, 15 2 ,10, 25 2 ,… •

1,2,5,14,41,… •

1 2 ,0, 1 2 ,0, 1 2 ,… •

2,4,8,16,32,… •

6,9,12,15,18,… •

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = 9 en u5 = 65

Bereken v en s7

• un+1 = 3un 1met u1 = 1

• un = 5 2 n

• un+1 = un 3 + 2met u1 = 1

• un = 3(n + 1)

• un+1 = un + 1 2 met u1 = 1 2

• un = 2n

>>> Verder oefenen: D1

D35 2 >>> Verder oefenen: D1 t.e.m. D35 3

Gegeven: een rekenkundige rij met v = 3, n = 14 en sn = 343

Bereken u1 en un

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Verder oefenen: D1 t.e.m. D35

Gegeven: een meetkundige rij met u1 = 5 en q = 7.

Bereken u5 en s8

Gegeven: een meetkundige rij met q = 3 en s5 = 605.

Bereken u1 en s7.

Een gezin gaat op kampeervakantie en wil een tent huren. De basisprijs voor 1 dag bedraagt € 100, daarna betaal je € 20 per dag. Geef het recursief voorschrift van deze rij en stel deze graﬁsch voor met ICT. Welk verloop kunnen we hierin herkennen?

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

In een labo worden twee bacteriën onderzocht die zich vermenigvuldigen. Elke minuut verdubbelt het aantal bacteriën zich. Hoeveel bacteriën zijn er na een kwartier?

Noor wil een nieuwe laptop kopen voor haar studies aan de hogeschool. Ze zet haar spaargeld op een rekening met een samengestelde intrest van 3,5%. Hoeveel moet ze nu minstens op de rekening zetten om over 3 jaar een laptop van € 1800 te kunnen kopen?

Yassin heeft € 12 000 gespaard en wil dit geld beleggen voor later. Hij investeert het bedrag in een spaarproduct met een looptijd van 4 jaar, waarbij er samengestelde intrest geldt en een roerende voorhefﬁng van 25% wordt afgehouden. Op het einde van de looptijd houdt hij netto € 1800 aan intrest over. Wat was de rentevoet?

a)Gegeven is een spaarproduct met enkelvoudige intrest. Vul de tabel aan.

b)Gegeven is een spaarproduct met samengestelde intrest. Vul de tabel aan.

Mattis spaart elke maand op het einde van de maand een vast bedrag (jaarlijkse rentevoet 3%) om binnen 20 maanden genoeg te hebben gespaard om een ﬁtnesstoestel van € 1200 te kunnen kopen. Hoeveel zal Mattis elke maand moeten sparen?

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Hoelang moet je sparen tegen een jaarlijkse rentevoet van 2,4% om € 5380 bij elkaar te krijgen als je aan het einde van elke maand € 255 opzij zet?

Senne spaart gedurende 5 jaar aan het begin van elke maand € 15 van zijn zakgeld aan een vaste jaarlijkse rentevoet van 2,5%. Welk bedrag zal er na 5 jaar op zijn rekening staan?

Vul de ontbrekende waarden in de aﬂossingstabel aan.

maand

Vul de ontbrekende waarden in de aﬂossingstabel aan. maand

Hoeveel kan je lenen als je per maand € 850 kan aﬂossen over 20 jaar tegen een rentevoet van 2,8%?

Je wil € 130 000 lenen bij de bank aan een rentevoet van 4% en terugbetalen met maandelijkse vaste termijnen over 20 jaar. Bereken de termijn.

Ahmed gaat een lening van € 27 800 aan om zijn verwarmingsinstallatie te vernieuwen. Hij opteert voor een looptijd van 5 jaar met maandelijkse vaste termijnen en dit aan een rentevoet van 2,7%. Stel de aﬂossingstabel op voor deze lening met behulp van ICT.

Differentiatietraject

Bereken de volgende drie termen in de onderstaande rekenkundige rijen.

a)2,7,12,17,… b)9,5,1, 3,…

c)0,5;0,7;0,9;…d) 1 2 , 3 4 ,1, 5 4 ,…

Bereken de volgende drie termen in de onderstaande meetkundige rijen.

a)1,6,36,216,…

b)768,192,48,12,…c)1000,100,10,1,…d) 27 5 ,9,15,…

Stel de rij met voorschrift un = 2n + 1 graﬁsch voor. Welke functie herken je?

Bepaal het recursief voorschrift van de onderstaande rekenkundige rijen.

a)2,7,12,17,… b)9,5,1, 3,…

c)0,5;0,7;0,9;…d) 1 2 , 3 4 ,1, 5 4 ,…

Bepaal het expliciet voorschrift van de onderstaande rekenkundige rijen.

a)2,7,12,17,… b)9,5,1, 3,…

c)0,5;0,7;0,9;…d) 1 2 , 3 4 ,1, 5 4 ,…

Bepaal de gevraagde term voor de volgende rekenkundige rijen, gebruik makend van het expliciet voorschrift.

a) u1 = 6en v = 320steterm c) u1 = 6en v = 215determ

b) u1 = 6en v = 310determ d) u1 = 0,5en v = 0,112determ

Bepaal het recursief voorschrift van de onderstaande meetkundige rijen.

a)1,6,36,216,… b)768,192,48,12,…c)1000,100,10,1,…d) 27 5 ,9,15,…

Bepaal het expliciet voorschrift van de onderstaande meetkundige rijen.

a)1,6,36,216,… b)768,192,48,12,…c)1000,100,10,1,…d) 27 5 ,9,15,… 1 2 3 4 5 6 7 8

Een gsm-abonnement heeft een maandelijkse kost van € 10 plus € 2 per GB aan dataverbruik.

Vul de tabel aan en stel graﬁsch de maandelijkse kost ten opzichte van het dataverbruik voor.

dataverbruik (in GB) 01234

maandelijkse kost (in €) 10

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Gegeven: de rekenkundige rij 4, 9, 14, 19, ...

Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij en bereken de tiende term.

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = -5 en v = 8

Bereken u12 en s12.

Gegeven: de rij 1, 10, 100, 1000, ...

Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij en bereken de tiende term.

Wanneer er zich in een zoetwatermeer meer dan 550 kg zout bevindt, wordt de lokale vispopulatie bedreigd. Door de uitstroom naar zee kan de zouthoeveelheid maandelijks met 40% verminderd worden. Nu wil de lokale vispekelarij elke maand 200 kg zout in het meer storten bij het reinigen van hun machines. Zou de gemeente dit mogen toelaten?

Neem als startwaarde u1 = 200. TIP

Gegeven: een rekenkundige rij met u1 = 50 en v = -5

Bereken u6 en s6.

Gegeven: een rekenkundige rij met v = 5 en u4 = 24

Bereken u2 + u9.

Bepaal de som van de eerste 100 natuurlijke getallen.

Een rekenkundige rij heeft als eerste term 2 en als vijfde term 18. Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van deze rij.

Bepaal het aantal termen in de volgende rij: 5, 7, 9, ... , 75

Gegeven: een rekenkundige rij met v = 9 en u8 = 53

Bereken u1 en s8

Gegeven: een rekenkundige rij met u8 = 33 en v = 3

Bereken u1 en s20.

Gegeven: een meetkundige rij met u6 = 486 en q = 3.

Bereken s7.

Gegeven: een meetkundige rij met s6 = 4368 en q = 1 3

Bereken s4

Gegeven: een meetkundige rij met u2 = 15 en u5 = 1875.

Bereken u9.

Een populatie boomkevers telt momenteel 200 kevers. Elke week groeit de populatie met 8% aan. Hoeveel kevers zijn er (ongeveer) na 5 weken?

Een cultuur van bacteriën verdubbelt elke 3 uur. Als er aan het begin 100 bacteriën zijn, hoeveel bacteriën zijn er dan na 24 uur?

Rayan is samen met zijn vriend een dagje aan zee op het strand. Omdat het nogal fel waait besluit hij om het windscherm open te zetten. Zo een windscherm bestaat uit houten palen van 1m60 lang met daar tussenin een zeil. De palen worden in het zand geklopt met een houten hamer. Bij de eerste slag gaat de paal 7 cm diep het zand in. Bij elke volgende slag gaat de paal 15% minder diep het zand in. Hoe diep slaat Rayan de palen het zand in als hij twaalf maal slaat op elke paal?

Max wil sparen voor een computerspel. Hij heeft € 4 en plant elke week € 2,50 te sparen.

a)Hoeveel heeft hij gespaard na 12 weken?

b)Het spel kost € 100. Hoelang zal Max moeten sparen?

Een ﬁguur wordt als volgt opgebouwd, waarbij we vertrekken van een witte gelijkzijdige driehoek met oppervlakte 1 en die vervolgens opvullen met zwarte gelijkzijdige driehoeken waarvan de zijde telkens gehalveerd wordt.

a)Vervolledig de tabel, te beginnen met de grootste zwarte driehoek:

zwarte driehoek

oppervlakte

b)Bepaal het expliciete voorschrift van de verkregen rij. Pas de gepaste formule toe om de totale oppervlakte van de eerste vier driehoeken te bepalen.

Walid wil graag deelnemen aan de marathon van Parijs. Hiervoor heeft hij een trainingsschema opgesteld. Deze week (de eerste week) loopt hij 5 kilometer, de week daarop (de tweede week) 9 kilometer, de week daarop 13 kilometer, enzovoort. Ook Soﬁan wil de marathon lopen. Hij loopt de eerste week 11 kilometer, de tweede week 14 kilometer, de week daarop 17 kilometer, enzovoort. Is er een week waarin ze allebei evenveel kilometer lopen zodat ze samen kunnen lopen? In een dorpszaaltje dat gebruikt wordt voor toneelvoorstellingen zijn de stoelen als volgt gezet. Op de eerste rij staan 16 stoelen, op de tweede rij 20, op de derde 24, enzovoort. In totaal zijn er 15 rijen stoelen.

a)Hoeveel stoelen staan er in dit zaaltje?

b)De stoelen worden van beneden naar boven genummerd. Op welke rij bevindt zich stoel 400?

Yuna haar blokkendoos telt 197 blokjes.

Yuna wil een toren bouwen zoals op de ﬁguur.

a)Hoe hoog (hoeveel rijen hoog) kan Yuna haar toren maken?

b)Hoeveel blokjes heeft Yuna dan nog over?

c)Yuna is erin geslaagd om de rijen met een even aantal blokjes te bouwen met rode blokjes en de rijen met een oneven aantal blokjes in het geel. Hoeveel gele blokjes zijn er meer gebruikt dan rode?

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

De zitjes in een aula zijn V-vormig opgesteld. De onderste rij telt 28 zitjes en elke volgende rij telt 3 zitjes meer. Rij twee telt dus 31 zitjes, rij drie 34 enzovoort. In totaal zijn er 1309 plaatsen. Hoeveel rijen telt deze aula?

Nonkel Roger doet volgend voorstel aan zijn petekind met nieuwjaarsdag:

-ofwel krijgt hij vandaag op 1 januari 850 euro

-ofwel krijgt hij vandaag op 1 januari 20 euro, op 1 februari 30 euro, op 1 maart 40 euro, op 1 april 50 euro, enzovoort elke maand 10 euro extra en dit tot en met 1 december

-ofwel krijgt hij vandaag op 1 januari 4 euro, op 1 februari 6 euro, op 1 maart 9 euro, op 1 april 13,5 euro, enzovoort elke maand anderhalve keer het bedrag van de vorige maand en dit tot en met 1 december

Welk voorstel zou jij nemen?

Gegeven: een meetkundige rij met u1 = 3, un = 729 en sn = 1092.

Bereken q en n

Eén zomerse duik in een meer en je zwemt ze vast en zeker tegen het lijf: algen.

De meeste algen nemen in aantal toe door celdeling. Groei van algen betekent niet zozeer dat cellen groter worden, maar dat het aantal cellen toeneemt.

In een meer is momenteel 5 m2 van een algensoort aanwezig. Door celdeling verdrievoudigt deze oppervlakte wekelijks.

a)Hoeveel m2 algen telt dit meer na 4 weken?

b)Hoeveel m2 algen komen er gedurende de vijfde week bij?

Daan leent zijn vriend € 500 op Nieuwjaar en spreekt af dat hij het met 4% maandelijkse enkelvoudige intrest terugbetaald wil krijgen aan het einde van de zomervakantie. Hoeveel zal hij terugkrijgen?

Bereken telkens de gelijkwaardige rentevoet.

a) rentevoet per maand bij een jaarlijkse rentevoet van 4%

b)rentevoet per kwartaal bij een jaarlijkse rentevoet van 5%

c)rentevoet per week bij een jaarlijkse rentevoet van 20%

d)rentevoet per jaar bij een maandelijkse rentevoet van 1,5%

Stellen de volgende rijen enkelvoudige of samengestelde intrest voor? Bepaal de jaarlijkse rentevoet.

b) jaar

verworven kapitaal (in

c) jaar 0 1 2 3 verworven kapitaal (in euro) 12501287,501326,131365,91

d) jaar 0 1 2 3 verworven kapitaal (in euro) 2000205021002150

Vul de tabel aan gebaseerd op een spaarproduct met enkelvoudige intrest.

Ik wil mijn verjaardagsgeld van € 1500 op een spaarrekening zettten. Ik heb de keuze tussen 4% jaarlijkse rentevoet of 1% per kwartaal. Welke rentevoet kies ik het best?

Lars opent een termijnrekening met een jaarlijkse rentevoet van 6% en plaatst er € 2000 op. Hij ontvangt elk jaar de intrest. Hoeveel zal hij na 10 jaar in totaal ontvangen hebben?

Haal uit de beschrijvingen telkens het startkapitaal K0 en de rentevoet i.

a)Het kapitaal aan het eind van elk jaar n kan beschreven worden door een rekenkundige rij met beginwaarde 4500 en verschil 135.

b)Het kapitaal Kn aan het eind van elk jaar n kan beschreven worden door een exponentiële groei met beginwaarde 1500 en toenamegetal 1,04.

c)Het kapitaal Kn aan het eind van elk jaar n kan beschreven worden door een lineaire groei met beginwaarde 3000 en toenamegetal 72.

d)Het kapitaal aan het eind van elk jaar n kan beschreven worden door een meetkundige rij met beginwaarde 300 en reden 1,03.

Vul de tabel aan gebaseerd op een spaarproduct met samengestelde intrest.

Een spaarproduct betaalt elk jaar de enkelvoudige intrest uit. Hoelang moet je een bedrag van € 75 500 laten staan aan een rentevoet van 2,4% om € 9060 intrest te innen?

Mo leent € 1820 om een computer te kopen en betaalt na 8 weken € 1845,20 terug. Aan welke wekelijkse rentevoet heeft hij geleend?

Amira wil binnen 3 jaar haar kamer herinrichten en berekent hiervoor € 800 nodig te hebben. Ze zet haar spaargeld op een spaarrekening met samengestelde intrest van 3,5%. Hoeveel zal ze minstens op de rekening moeten zetten om het benodigde budget te bereiken?

Loïc wint op een groot tennistornooi € 15 000. Hij zet hiervan een derde op een spaarproduct tegen een samengestelde intrest van 5% en twee derde op een ander spaarproduct tegen een enkelvoudige intrest van 7,5%. Zal dit na 5 jaar sparen genoeg intrest opleveren om een professioneel tennisracket van € 5000 te kunnen kopen?

Een staatsbon wordt uitgegeven met een bruto enkelvoudige intrest van 3,2%. Hoeveel brengt een investering van € 20 000 netto op na 3 jaar (30% roerende voorhefﬁng)?

Hoelang moet je jouw geld op een spaarrekening met samengestelde intrest van 10% laten staan voor het verdubbeld is?

Een bedrag is op een spaarrekening met samengestelde intrest verdrievoudigd op 10 jaar tijd. Aan welke rentevoet is er gespaard?

Finne heeft de lotto gewonnen en spaart het bedrag aan enkelvoudige intrest van 8%. Ze gaat van de intrest elk jaar op vakantie met een budget van € 3500. Op alle verworven intrest moet ze wel 30% roerende voorhefﬁng betalen. Welk bedrag had Finne gewonnen?

Lucas opent twee rekeningen en stort op de ene rekening € 950 meer dan op de andere. Ze geven allebei enkelvoudige intrest tegen 3% per jaar. Na vijf jaar staat op beide rekeningen in totaal € 1207,50 extra intrest. Hoeveel werd oorspronkelijk op beide rekeningen gestort?

Kato wil haar spaargeld meer laten opbrengen en investeert in een klein vakantiehuisje. Ze koopt het aan voor € 145 800 en betaalt per jaar € 1540 kosten aan het vakantiepark. Als ze er zelf 7 weken op vakantie wil gaan en schat dat voor de rest van het jaar het vakantiehuis 60% van de tijd verhuurd zal zijn, hoeveel huur moet ze dan per week vragen om jaarlijks 6% rendement op haar eigen investering te ontvangen?

Aisha zet € 2100 op een spaarrekening met enkelvoudige intrest van 3%. Amina vindt een rekening met een rentevoet van 4% en berekent dat ze met haar spaargeld na 4 trimesters evenveel intrest heeft als Aisha na dezelfde tijd. Hoeveel spaargeld had Amina oorspronkelijk?

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Een eerste rekening heeft een startkapitaal van € 1200 en een rentevoet van 4% samengestelde intrest. Een tweede rekening wordt tegelijkertijd geopend met een startkapitaal van € 1000 en brengt een samengestelde intrest aan een rentevoet van 5% op. Hoelang duurt het alvorens hetzelfde bedrag op beide rekeningen zal staan? Controleer de oplossing graﬁsch met behulp van ICT.

Marie zet haar spaargeld (€ 2300) op een spaarrekening met een samengestelde intrest en een rentevoet van 4%. Na 7 maanden krijgt ze een aanbod van een andere bank met een rentevoet van 4,5%. Ze gaat erop in en stort het bedrag (inclusief intrest) van de eerste spaarrekening plus een extra bedrag op de nieuwe spaarrekening. Dat kapitaal is na 1,5 jaar aangegroeid tot € 4100,48. Hoeveel bedroeg het extra bedrag dat ze op de nieuwe spaarrekening heeft gestort?

Een bank biedt een jongerenspaarrekening ‘Dromen Kan’ aan met volgende voorwaarden:

• Basisrentevoet: 1,5% jaarlijkse rentevoet, wordt elke dag berekend als enkelvoudige intrest op basis van het saldo dat er die dag op staat

• Droompremie: 3% jaarlijkse rentevoet, wordt enkel berekend op bedragen die er het hele kalenderjaar op staan, berekend op 31 december van elk jaar

DROMEN KAN DE

NIEUWE JONGERENREKENING

Elise opent een Dromen Kan rekening en stort op 1 januari 2024 haar nieuwjaarsgeld van € 4500. Daarna vinden volgende transacties plaats:

15/02/'24: Ze gaat op reis in de krokusvakantie en neemt € 750 op.

18/04/'24: Ze werkt in de paasvakantie als begeleider op de speelpleinwerking en stort € 220 op de rekening.

01/08/'24: Ze stort haar verdiensten van het vakantiewerk (€ 1750) op de rekening.

15/08/'24: Ze neemt € 525 op om naar enkele festivals te gaan.

05/11/'24: Ze helpt op op de speelpleinwerking en stort € 100 op de rekening.

12/12/'24: Ze haalt € 240 af om cadeautjes te kopen voor haar familie.

Wat is haar saldo (inclusief intrest) op 31 december 2024?

Vul de juiste termen in.

a)een serie van stortingen op regelmatige tijdsafstand: ...

b)de tijd tussen twee stortingen bij een annuïteit: ...

c)het bedrag dat telkens gestort wordt bij een annuïteit: ...

d)de tijd tussen de starten einddatum van een annuïteit: ...

e) An ′ : ...

f) A0: ...

g)een annuïteit waarbij de stortingen aan het begin van elke periode gedaan worden: ...

Kobe spaart elke maand aan het begin van elke maand € 230 van 1 november 2023 tot 1 mei 2024.

Bepaal ...

a)de soort annuïteit.

b)de termijn.

c)de looptijd.

d)de periode.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Fien werkt in het weekend bij de bakker en stort wekelijks op zondagavond € 120 op haar spaarrekening met een jaarlijkse rentevoet van 5%. Ze doet dit 6 maanden lang.

a)Is dit een prenumerando of postnumerando annuïteit?

b)Wat is de looptijd en de periode?

c)Hoeveel bedraagt de eindwaarde van deze annuïteit?

Lotte spaart elk jaar haar nieuwjaarsgeld van € 500 aan een jaarlijkse rentevoet van 2,5% sinds 01/01/2010. Ze haalt het bedrag af op 01/01/2022 zonder een laatste storting te doen.

a)Is dit een prenumerando of postnumerando annuïteit?

b)Wat is de looptijd en de periode?

c)Hoeveel bedraagt de eindwaarde van deze annuïteit?

d)Indien haar ouders een eenmalige storting doen in plaats van een jaarlijkse en toch hetzelfde eindbedrag bekomen aan dezelfde rentevoet, hoeveel zouden ze dan moeten gestort hebben?

e)Wat is het verschil in totaal bedrag aan stortingen tussen een jaarlijkse en een eenmalige storting?

f) Waarom zou Lotte toch een jaarlijkse storting in plaats van een eenmalige storting doen?

Bereken de eindwaarde van volgende annuïteiten.

• postnumerando

• termijnbedrag: € 400 per maand

• rentevoet: 4% per jaar

• looptijd: 10 jaar

• postnumerando

• termijnbedrag: € 1700 per maand

• rentevoet: 4% per jaar

• looptijd: 25 jaar

• prenumerando

• termijnbedrag: € 1200 per maand

• rentevoet: 0,4% per maand

• looptijd: 5 jaar

• prenumerando

• termijnbedrag: € 50 per maand

• rentevoet: 2% per jaar

• looptijd: 1,5 jaar

Bereken de beginwaarde van volgende postnumerando annuïteiten.

• eindwaarde: € 23 450

• rentevoet: 5% per jaar

• looptijd: 8 jaar

• periode: 1 jaar

• termijnbedrag: € 1200 per maand

• rentevoet: 3% per jaar

• looptijd: 30 jaar

• eindwaarde: € 12860

• rentevoet: 2,5% per maand

• looptijd: 6 jaar

• periode: 1 maand

• termijnbedrag: € 75 per maand

• rentevoet: 2% per maand

• looptijd: 2 jaar

Bereken het termijnbedrag van volgende postnumerando annuïteiten.

• eindwaarde: € 258 750

• rentevoet: 4% per jaar

• looptijd: 25 jaar

• periode: 1 jaar

• beginwaarde: € 150000

• rentevoet: 2,4% per jaar

• looptijd: 20 jaar

• periode: 1 jaar

• eindwaarde: € 457560

• rentevoet: 2,5% per jaar

• looptijd: 30 jaar

• periode: 1 maand

• beginwaarde: € 1000

• rentevoet: 0,5% per maand

• looptijd: 8 maand

• periode: 1 maand

Bereken de looptijd van volgende postnumerando annuïteiten.

• termijnbedrag: € 1000 per maand

• rentevoet: 0,3% per maand

• eindwaarde: € 238 206,74

• termijnbedrag: € 540 per maand

• rentevoet: 0,5% per maand

• eindwaarde: € 307 202,95

Kobe spaart aan het einde van elke maand € 40 aan een jaarlijkse rentevoet van 1,4%.

a)Hoeveel zal hij na 3 jaar gespaard hebben?

b)Ella wil hetzelfde bedrag hebben binnen drie jaar aan dezelfde rentevoorwaarden, maar wil het bedrag in één keer storten. Hoeveel zal ze moeten storten?

c)Na drie jaar nemen ze € 500 op en zetten de rest van hun (gezamenlijk) kapitaal op een spaarrekening met samengestelde intrest van 2,3%. Hoeveel zal hun kapitaal na 7 jaar bedragen?

a)Bij een eerste postnumerando annuïteit met een jaarlijkse rentevoet van 3,5% staat er na 5 jaar € 57500 op de rekening. Hoeveel bedraagt de maandelijkse termijn?

b)Bij een tweede annuïteit wordt er gespaard met maandelijkse termijnen van € 500. Hoelang zal er gespaard moeten worden om aan dezelfde rentevoorwaarden hetzelfde bedrag te bekomen?

Lina spaart elk jaar € 500 aan een rentevoet van 2,4% om later op een grote reis te kunnen gaan. Ze is hiermee begonnen op haar 12e verjaardag en wil op haar 22e verjaardag vertrekken op reis. Haar tweelingzus Lore wil ook mee maar wil het geld in één keer storten op haar 18e verjaardag aan dezelfde rentevoorwaarden. Welk bedrag zal Lore moeten storten om op haar 22e verjaardag hetzelfde bedrag bij elkaar te hebben gespaard?

De ouders van Wout openen een speciale rekening bij zijn geboorte en zetten elk jaar (op zijn verjaardag) € 750 voor hem opzij aan een rentevoet van 4,2%. Ze doen dit tot en met zijn 18e verjaardag. Wout laat het bedrag op de rekening staan tot hij 22,5 jaar oud is. Hoeveel staat er dan in totaal op de rekening?

Noëlla wil een surfboard kopen van € 825. Ze zet hiervoor aan het einde van elke maand € 56 opzij aan een jaarlijkse rentevoet van 2,3%. Hoelang zal ze moeten sparen voor ze het surfboard kan kopen?

Jolien leent € 2000 van Marthe aan een rentevoet van 6% en belooft deze in tien maandelijkse betalingen terug te betalen, startende een half jaar na de aanvang van de lening. Hoeveel bedragen de maandelijkse betalingen van Jolien?

eerst

De jeugdbeweging van Elias wil graag binnen 5 jaar op buitenlands kamp gaan en ze zetten hier telkens aan het begin van het jaar 75% van de gemiddelde opbrengst van de barbecue voor opzij. Als ze sparen met een rentevoet van 4% en ze een eindbudget van € 6500 voor ogen hebben, hoeveel brengt een barbecue dan gemiddeld op per jaar?

Lieselotte stort elk jaar aan het begin van het jaar € 4000. Ze doet dit tien jaar lang. Bereken het kapitaal 4 jaar na de laatste storting als de rentevoet 2,75% bedraagt.

Een autohandelaar biedt een auto aan waarvoor je € 8000 voorschot betaalt op de dag van aankoop en dan 5 jaar lang maandelijks € 450 aan een rentevoet van 6,3%, startend een maand na de aankoopdatum. Hoeveel was de auto waard op de dag van de verkoop?

Alexander spaart elk jaar op het einde van het jaar € 400 gedurende 7 jaar aan een rentevoet van 3,6%. Zijn broer Matthijs stort in een keer € 2540,68 op een spaarrekening met dezelfde rentevoorwaarden en heeft op het einde hetzelfde bedrag gespaard als zijn broer. Hoelang heeft Matthijs het geld op zijn rekening laten staan?

Roger spaart tijdens het middelbaar voor zijn verdere studies en zet het geld opzij aan een rentevoet van 7%. Hij wil vijf jaar lang aan het begin van het academiejaar € 1000 kunnen opnemen.

a) Hoeveel zal er minstens op de rekening moeten staan aan het begin van het eerste academiejaar?

b)Controleer het vorige antwoord door van de beginwaarde vertrekkende elk jaar de balans op de rekening te berekenen.

c) Leid de formule af voor de looptijd van een prenumerando annuïteit.

d)Als hij in het middelbaar aan het begin van elke maand € 50 opzij zet, hoelang op voorhand zal hij moeten beginnen sparen om voldoende op de rekening te hebben staan als hij aan zijn verdere studies begint?

Louis doet aan pensioensparen en stort gedurende 20 jaar op het einde van het jaar € 4000 op een rekening met een rentevoet van 4,5%. Een jaar na de laatste storting neemt hij elk jaar € 2500 op en dit gedurende 5 jaar. Hoeveel zal er bij de laatste opname nog op de rekening beschikbaar zijn?

Lily heeft € 30000 geleend en al een gedeelte afbetaald zodat haar uitstaande schuld momenteel € 23500 bedraagt. Ze wil haar lening naar een andere bank overdragen en moet hiervoor een herbeleggingsvergoeding van 1% betalen. Bepaal het totale bedrag dat ze aan de bank moet terugbetalen.

Onderstaande stapeldiagrammen tonen het rentebestanddeel en het kapitaalbestanddeel van de termijnen van een lening. Link de stapeldiagrammen met het bijhorende aﬂossingsplan (enkel de eerste lijnen werden getoond). Geef bij beide aan of het om een lening met vaste termijnen of een lening met vaste kapitaalaﬂossingen gaat.

I II

927,50

905,00

882,50

860,00

Jules en Ella kopen een appartement voor € 345 500. Ze gebruiken hiervoor € 60500 spaargeld en lenen de rest aan 5% over een looptijd van 25 jaar met vaste maandelijkse kapitaalaﬂossingen.

a)Bereken het te lenen bedrag.

b)Bereken de maandelijkse gelijkwaardige rentevoet.

c)Bereken de vaste maandelijkse kapitaalaﬂossing.

d)Bereken het rentebestanddeel van de eerste termijn.

e)Bereken de eerste termijnbetaling.

500,00

€ 500,00

€ 10000

€ 9500,00

€ 9000,00

€ 8500,00

€ 8000,00

€ 7500,00

Bedrag (in euro)

(in maanden)

Ali leent € 25 000 met vaste maandelijkse termijnen over een looptijd van 5 jaar met een vaste rentevoet van 7%.

a)Bereken de maandelijkse gelijkwaardige rentevoet.

b)Bepaal de looptijd in maanden.

c)Bereken de maandelijkse termijn.

d)Bereken het rentebestanddeel van de eerste termijn.

e)Bereken het kapitaalbestanddeel van de eerste termijn.

Je wil € 85 000 lenen bij een ﬁnanciële instelling met vaste maandelijkse termijnen en een looptijd van 15 jaar. De rentevoet bedraagt 4,5%. Bereken het vaste termijnbedrag.

Gaston gaat een lening aan met vaste termijnen, een looptijd van 10 jaar en een vaste rentevoet van 3% om zijn dak te isoleren. Hij betaalt maandelijks € 350 terug. Bereken het ontleende bedrag.

Vul de ontbrekende waarden in de aﬂossingstabel aan.

Ines wil graag een studio kopen en wil weten hoeveel ze kan lenen als ze per maand € 1200 kan terugbetalen. De bank doet haar twee voorstellen:

• Voorstel A: lenen op 15 jaar aan een vaste rentevoet van 4%

• Voorstel B: lenen op 20 jaar aan een vaste rentevoet van 4,5% Bereken voor elk voorstel hoeveel ze maximaal zou kunnen lenen.

Max gaat een lening aan van € 74 000 met een vaste rentevoet van 6%, vaste termijnen en een looptijd van 10 jaar. Stel een aﬂossingstabel op met behulp van ICT.

Jarne en Ilse willen renoveren en lenen hiervoor € 67 800. Ze opteren voor een hypothecaire lening met vaste kapitaalaﬂossing over 10 jaar met een jaarlijkse rentevoet van 5%.

a)Bereken het kapitaalbestanddeel van de maandelijkse aﬂossing.

b)Vul de eerste drie lijnen van de aﬂossingstabel in.

maand

c)Vervolledig de aﬂossingstabel met ICT.

d)Bereken met ICT de totaal betaalde intrest over de gehele looptijd.

e)Bereken met ICT het totale bedrag dat aan de bank betaald wordt over de gehele looptijd.

Een lening van 15 jaar met vaste termijnen en een rentevoet die elke drie jaar herzien wordt, heeft een uitstaande schuld bij de derde renteherziening van € 72 350. De rentevoet daalt van 4,4% naar 4,2%. Bereken de nieuwe maandelijkse termijn na de derde herziening.

Klaas twijfelt of hij beter een studio koopt of huurt. Zijn maandelijkse huur bedraagt € 650. Als hij dit geld gebruikt om een lening af te betalen met een looptijd van 15 jaar en een rentevoet van 5,4%, hoeveel kan hij dan lenen?

Victor en Olivia willen € 175 500 lenen aan een vaste rentevoet van 6,1%. Ze kunnen kiezen tussen een looptijd van 15, 20 en 25 jaar. Stel een aﬂossingstabel op voor de drie looptijden en bepaal de totaal betaalde intrest in de drie gevallen. Maak hiervoor gebruik van ICT.

Een lening van € 225 000 met vaste termijnen, een looptijd van 25 jaar en een vaste rentevoet van 7,2% wordt vervroegd terugbetaald na 10 jaar. Indien de herbeleggingsvergoeding 1% van de openstaande schuld bedraagt, bereken dan hoeveel er in totaal na 10 jaar terugbetaald moet worden. Maak hiervoor gebruik van ICT.

Lorenzo en Julie hebben hun oog laten vallen op een huis dat in totaal € 345 000 kost. Ze hebben € 65 000 spaargeld en verdienen samen € 4500 per maand. Ze willen maximaal een derde van hun inkomen aan een lening spenderen. Als de rentevoet 5,6% bedraagt en de looptijd van de lening 25 jaar, kunnen ze zich dit huis dan veroorloven?

Stan wil € 150 000 lenen aan een rentevoet van 3% over 20 jaar met maandelijkse afbetalingen. Hij wil een lening met vaste termijnen en vaste kapitaalaﬂossing vergelijken en berekenen wat het verschil is aan intrest dat in totaal zal worden terugbetaald.

a)Bereken het verschil in intrest met ICT.

b)Bij welk soort lening betaal je minder intrest en waarom?

Alex en Seb zijn 2 jaar geleden een lening aangegaan van € 180 000 met vaste termijnen, een totale looptijd van 20 jaar en een initiële rentevoet van 6,1% die elke twee jaar herzien wordt. Na de eerste herziening bedraagt de rentevoet 5,8%. Bereken de oude en nieuwe maandelijkse termijnbedragen. Maak hiervoor gebruik van ICT.

Luna wil een woning kopen van € 235 000 en informeert bij verschillende banken. Bij bank Nova krijgt ze een hypothecaire lening met vaste termijnen aangeboden tegen 5,4% op 25 jaar. Bij bank Fortuna zou ze per maand € 161,12 minder betalen.

Bereken de intrestvoet bij de bank Fortuna met behulp van ICT.

Studiewijzer

Differentiatietraject

Doelen

Ik kan bij rekenkundige en meetkundige rijen de formule voor een algemene term en de som van de eerste n termen aﬂeiden en toepassen. Ik kan problemen oplossen in verband met rijen en rijen graﬁsch voorstellen.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Ik kan het verschil uitleggen tussen enkelvoudige en samengestelde intrest en de bijbehorende formules correct toepassen. Ik kan bij ﬁnanciële vraagstukken correct bepalen hoe de rentevoet, looptijd, het startkapitaal en het eindkapitaal zich verhouden, en de juiste formule gebruiken om ontbrekende waarden te berekenen. Ik kan de uitkomsten interpreteren in de context van het vraagstuk.

Ik weet wat een annuïteit is en ik kan de eindwaarde, beginwaarde, termijnbedrag en looptijd berekenen en correct interpreteren in functie van een ﬁnancieel vraagstuk.

Ik kan het concept van een hypothecaire lening uitleggen, de verschillende soorten leningen onderscheiden (met vaste kapitaalaﬂossingen of termijnen) en het maandbedrag berekenen inclusief renteen kapitaalaﬂossing.

Doelstellingen

4 Daag je klasgenoten uit: stel zelf een rij op en laat ze op zoek gaan naar de volgende termen in de rij. Bestaan er nog andere soorten rijen dan rekenkundige en meetkundige rijen? Waarom is het in sommige gevallen handiger om rijen te laten starten bij u0 in plaats van bij u1?

verwerking: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 signaal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 differentiatie: 1 t.e.m. 35

Bij enkelvoudige intrest wordt de rente telkens berekend op het oorspronkelijke kapitaal. Bij samengestelde intrest wordt de rente daarentegen berekend op het totale saldo, inclusief eerder opgebouwde rente, wat zorgt voor snellere groei na verloop van tijd. Let goed op welk type rente wordt toegepast bij een spaarproduct! verwerking: 9, 10, 11, 12, 13, 14 signaal: 8, 9, 10 differentiatie: 36 t.e.m. 57

Ik weet wat een annuïteit is en ik kan de eindwaarde, beginwaarde, termijnbedrag en looptijd berekenen en correct interpreteren in functie van een ﬁnancieel vraagstuk.

Voor annuïteiten is het belangrijk om te begrijpen dat de stortingen op regelmatige tijdstippen gebeuren, en de rente telkens op het geïnvesteerde bedrag wordt berekend. Onthoud de formules voor postnumerando (betalingen aan het einde van de periode) en prenumerando (betalingen aan het begin van de periode), en pas ze toe om het eindkapitaal, beginwaarde, of termijnbedrag te berekenen, afhankelijk van de situatie. verwerking: 15, 16, 17, 18, 19 signaal: 11, 12, 13 differentiatie: 58 t.e.m. 77

Bij het afsluiten van een hypothecaire lening is het belangrijk om te begrijpen dat het maandbedrag uit twee delen bestaat: het renteen het kapitaalbestanddeel. Bij een lening met vaste termijnen blijft het maandbedrag gelijk, terwijl bij een lening met vaste kapitaalaﬂossing het kapitaalbestanddeel constant blijft en de rente elke maand op een lager uitstaand bedrag wordt berekend. Gebruik ICT om de aﬂossingstabel nauwkeurig bij te houden, vooral bij lange looptijden.

verwerking: 20, 21, 22, 23, 24 signaal: 14, 15, 16, 17, 18 differentiatie: 78 t.e.m. 96

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Auteurs Tanja Bex en Sarah Eeckhaudt

Eerste editie - Bestelnummer 94 606 0143

ISBN 978 90 4865 022 4 - KB D/2024/0147/264 - NUR 128/129 - Thema YPMF

Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure

Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge

RPR 0405