07 Telproblemen
wat je al kunt
–de doorsnede, unie en het verschil van verzamelingen bepalen
wat je leert in deze module
–de juiste terminologie en symbolen uit de verzamelingenleer correct gebruiken
–de productregel toepassen om bepaalde telproblemen op te lossen
–de somregel voor al dan niet disjuncte verzamelingen toepassen
–de complementregel toepassen
–gepaste venndiagrammen tekenen bij het oplossen van problemen
Inhoud
Instap
1Terminologie uit de verzamelingenleer
2De productregel
3De somregel
4De complementregel
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Computationeel denken
Studiewijzer
in de kijker
Je leest en herleest de opgave grondig en formuleert het antwoord steeds in een volledige zin.
wiskundetaal
–doorsnede
–unie
–verschil
–complement
–kardinaalgetal
–productregel
–boomdiagram
–somregel
–productverzameling
–venndiagram
–disjuncte verzamelingen
–inclusieve of
–exclusieve of
Instap
Opdracht 1
a)Kleur telkens het juiste gebied.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Noteer de betekenis.
Opdracht 2
Hieronder vind je een afbeelding van een Europese roulettetafel.
GOKVERSLAVING
Om een casino te bezoeken moet je 21 jaar zijn. Bij de ingang moet je je laten registreren (naam, voornaam, beroep en adres, kopie van je identiteitskaart, handtekening). Ook voor de internetspelen van een casino moet je 21 zijn.
a)Hoeveel getallen op het rad hebben een zwarte kleur?
b)Hoeveel getallen op het rad zijn een veelvoud van 3, maar verschillend van 0?
c)Hoeveel getallen op het rad vallen onder “serie 0/2/3”?
d)Hoeveel getallen zijn oneven en hebben een rode kleur?
e)Hoeveel getallen zijn even of hebben een zwarte kleur?
f) Hoeveel getallen zijn een priemgetal en geen orphelins?
Opdracht 3
Gegeven:
In een klas zitten 16 leerlingen.
U is de verzameling van alle leerlingen van deze klas.
A is de verzameling van alle jongens van deze klas.
B is de verzameling van alle leerlingen die een bril dragen.
U = {Trees, Lowie, Emma, Imke, Bart, Tim, Bert, Bea, Ahmed, Naïma, Jef, Kristof, Kathy, Yassin, Paul, Hassan}
A = {Lowie, Bart, Tim, Bert, Ahmed, Jef, Kristof, Yassin, Paul, Hassan}
B = {Kathy, Ahmed, Paul, Bea, Lowie, Trees}
a)Vul de namen van de leerlingen in het volgende venndiagram op de juiste plaats in.
b)Hoeveel meisjes zijn er in de klas?
c)Hoeveel leerlingen dragen geen bril?
d)Wat betekent A ∩ B?
e)Waar of niet waar: "Emma draagt een bril."
1 Terminologie uit de verzamelingenleer
U is de verzameling van de natuurlijke getallen.
A is de verzameling van de natuurlijke delers van 24.
B is de verzameling van de natuurlijke delers van 36.
1.1 Doorsnede en unie van twee verzamelingen
doorsnede van A en B
A ∩ B is de verzameling van alle natuurlijke getallen die deler zijn van 24 en deler zijn van 36.
U = {0,1,2,3,…}
A = {1,2,3,4,6,8,12,24}
B = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
unie van A en B
A ∪ B is de verzameling van alle natuurlijke getallen die deler zijn van 24 of deler zijn van 36.
A ∩ B = {1,2,3,4,6,12} A ∪ B = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36}
∩ B = {1,2,3,4,6,12} A ∪ B = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36}
#( A ∩ B) = 6 → Het kardinaalgetal van A ∩ B is 6. #( A ∪ B) = 11 → Het kardinaalgetal van A ∪ B is 11.
definitie Het kardinaalgetal is het aantal elementen in de verzameling.
notatie#
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Merk op De gebruikte of betekent ofwel/en en wordt ook wel de inclusieve of genoemd.
• Ik ga op reis naar Parijs of Londen houdt dus ook in dat je naar Parijs kunt gaan en naar Londen.
• Ik ga op reis naar Parijs ofwel naar Londen, houdt in dat je ofwel naar Parijs gaat ofwel naar Londen, maar zeker niet naar beide.
De ofwel wordt ook de exclusieve of genoemd.
1.2 Verschil van twee verzamelingen en het complement van een verzameling
A verschil B
A⧹B is de verzameling van alle natuurlijke getallen die een deler zijn van 24, maar geen deler zijn van 36.
B verschil A
B⧹A is de verzameling van alle natuurlijke getallen die een deler zijn van 36, maar geen deler zijn van 24.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
A\B = {8,24}
#(A\B)= 2 B\A
B\A = {9,18,36}
#(B\A)= 3
U verschil A
U⧹A is de verzameling van alle natuurlijke getallen die geen deler zijn van 24.
U verschil B
U⧹B is de verzameling van alle natuurlijke getallen die geen deler zijn van 36.
U\A = {9,18,0,5,7,108,…}
U\B = {8,24,0,5,7,17,108,10805,…}
Omdat U⧹A een oneindige verzameling is, noteren we het kardinaalgetal niet.
U⧹A wordt ook het complement van A genoemd en dit noteren we zo: A B
U\A = {9,18,0,5,7,108,…}
U\B = {8,24,0,5,7,17,108,10805,…}
Omdat U⧹B een oneindige verzameling is, noteren we het kardinaalgetal niet.
U⧹B wordt ook het complement van B genoemd en dit noteren we zo: A B
Gegeven:
U is de verzameling van alle vierhoeken.
A is de verzameling van alle rechthoeken.
B is de verzameling van alle ruiten.
a)Teken een passende figuur in elk gebied en plaats de nodige drie puntjes om aan te duiden dat er oneindig veel figuren in een gebied thuishoren.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Omschrijf in woorden:
• A⧹B :
• A B:
• A ∩ B:
• A ∪ B:
• B⧹A:
• A B :
Gegeven:
U is de verzameling van de natuurlijke getallen.
P is de verzameling van de priemgetallen kleiner dan 20.
A is de verzameling van alle natuurlijke getallen kleiner dan 20.
a)Plaats de getallen in het venndiagram.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
PA
b)Omschrijf in woorden:
• P ∩ A:
• A B :
c)Bepaal …
• #( P) =
• #( A⧹P) =
U is de verzameling van alle driehoeken.
A is de verzameling van alle gelijkbenige driehoeken.
B is de verzameling van alle rechthoekige driehoeken.
Teken een figuur die een element is van:
a)A ∩ B: c) A B:
b)B⧹A: d)A ∪ B:
U is de verzameling van alle leerlingen uit de klas.
A is de verzameling van alle leerlingen met blond haar.
B is de verzameling van alle meisjes.
a)In welk gebied horen de volgende leerlingen te staan? Omcirkel.
b)Welke leerlingen zitten in gebied IV?
c)Plaats de namen van de leerlingen uit je klas ook op deze manier in een venndiagram.
2 De productregel
Voorbeeld 1
Marijke heeft 4 verschillende kleedjes en 3 verschillende pulls. Op hoeveel verschillende manier kan Marijke zich kleden met een kleedje en een pull?
We kunnen hierbij een boomdiagram tekenen.
kleedjepullkleedjeenpull
A = {k1 ,k2 ,k3 ,k4 } #A = 4
B = {p1 ,p2 ,p3 } #B = 3
C = (k1 ,p2 ) ; (k1 ,p2 ) ;…; k4 ,p3 #C = 12
C wordt de productverzameling van A en B genoemd.
notatie C = A x B
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Er geldt:
#C = #(AxB) = #A ⋅ #B 12 = 4 3
Antwoord: Marijke kan zich op 12 verschillende manieren kleden als ze de keuze heeft tussen 4 verschillende kleedjes en 3 verschillende pulls en een kleedje en een pull zal dragen.
formule Om het aantal mogelijke combinaties te bepalen, kan je gebruik maken van de productregel :
# ( A x B ) = #A · #B
Voorbeeld 2
Mats mag voor Sinterklaas een speelgoedauto en een legodoos kiezen. Hij heeft de keuze uit 2 speelgoedauto’s en uit 4 legodozen. Op hoeveel manieren kan Mats een speelgoedauto en een legodoos kiezen?
We tekenen een boomdiagram:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
C = AxB #C = #A #B
8 = 2 4
Antwoord: Mats kan op 8 verschillende manieren een auto en een legodoos kiezen als hij de keuze heeft uit 2 verschillende auto’s en 4 verschillende legodozen.
Algemeen
Het aantal mogelijke uitkomsten bij het tekenen van een boomdiagram is gelijk aan het product van de keuzemogelijkheden op de verschillende vertakkingen.
voor 1e keuze:k1 mogelijkheden
voor 2e keuze:k2 mogelijkheden
voor ne keuze: kn mogelijkheden
Aantal mogelijke uitkomsten = k1 · k2 · … · kn
Verwerkingsopdrachten
5 6
Op een sportdag kunnen de leerlingen in de voormiddag fietsen of zwemmen. In de namiddag is er keuze uit 4 balsporten. Op hoeveel verschillende manieren kan een leerling zijn sportdag samenstellen? Los op met behulp van een boomdiagram.
Op een populaire webshop wil Finn een smartphone kopen. Hoeveel keuzes heeft hij hier?
Kies het model.
Smartphone B Welkmodelpasthetbestbijjou?
Smartphone A
Kies de uitvoering.
Kies de capaciteit
Hoeveelopslagcapaciteithebjenodig?
128 GB
Vanaf€1.159
Vanaf€1.259
9
Op een bank zijn 3 zitplaatsen mogelijk.
Op hoeveel verschillende manieren kunnen Anke, Matteo en Kemir plaatsnemen? Maak een passend boomdiagram.
Op hoeveel manieren kunnen 7 personen plaatsnemen op een bank met 7 plaatsen?
Een leraar voerde in een database 25 nieuwe oefeningen in. De leerlingen kregen op hun device een reeks van 5 verschillende oefeningen uit die 25 te zien.
a)Op hoeveel manieren kan zo’n reeks worden uitgevoerd?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)De leraar koppelde ook telkens een moeilijkheidsgraad aan de oefeningen. 3 oefeningen kregen 1 peper, 7 oefeningen kregen 2 pepers, 8 oefeningen kregen 3 pepers, 4 oefeningen kregen 4 pepers en de rest van de oefeningen kreeg 5 pepers.
Op hoeveel manieren kan een reeks van vijf oefeningen worden getoond als er van elke pepercategorie één oefening moet zijn? (De oefeningen worden altijd van makkelijk naar moeilijk getoond.)
3.1 Tellen met verzamelingen
In een sportieve klas zijn 18 leerlingen aangesloten bij een voetbalclub of bij een volleybalclub. Sommigen zijn aangesloten bij beide clubs.
12 leerlingen zijn aangesloten bij een voetbalclub. 10 leerlingen zijn aangesloten bij een volleybalclub. voetbal
volleybal
Merk op
Er is geen info over het aantal leerlingen in de klas. Het gaat hier enkel over de leerlingen uit een klas die aangesloten zijn bij een voetbal- of volleybalclub.
12 + 10 = 22 > 18
Er moeten dus zeker leerlingen dubbel geteld zijn. Dat zijn er 22 - 18 = 4. Deze leerlingen zijn lid van beide clubs.
We kunnen dus volgende aantallen plaatsen in de passende gebieden. We noemen de verzamelingen A en B.
B A is de verzameling van alle leerlingen die aangesloten zijn bij een voetbalclub. B is de verzameling van alle leerlingen die aangesloten zijn bij een volleybalclub.
#(A ∪ B) = 18
#A = 8 + 4 = 12
#B = 4 + 6 = 10
Ergeldt:
#(A ∪ B) = #A + #B #(A ∩ B) 18 = 10 + 12 4
formule De somregel :
# ( A ∪ B ) = #A + #B - # ( A ∩ B )
Bijzonder geval:
AB A en B zijn disjuncte verzamelingen
Als A ∩ B = ∅ dan is:
#( A ∪ B) = #A + #B
Als een gebied leeg is, dan arceer je dit.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voorbeeld
A = { harten heer, klaveren drie}
B = { schoppen aas, ruiten dame, schoppen zeven}
#( A ∪ B) = 5
#A = 2
#B = 3
In dit geval is #( A ∪ B) = #A + #B omdat A ∩ B = ∅
Merk op
#( A ∪ B) = #A + #B - #( A ∩ B) is algemeen geldig.
Als A ∩ B = ∅ dan is #( A ∩ B) = 0
3.2Tellen met wegen in een roosterdiagram
Voorbeeld
Hiernaast zie je de schematische weergave van de plattegrond van een wijk. Karen moet van punt A naar punt R, en liefst volgens de kortste route. Hoeveel routes, zonder omwegen, zijn er van A naar R?
• Er is 1 route van A naar B.
• Er is 1 route van A naar C.
• Er is 1 route van A naar D.
• Er zijn 2 routes van A naar E.
• Er zijn 3 routes van A naar F.
Merk op
Het aantal mogelijke routes van A naar F is de som van het aantal mogelijke routes van A naar C en van A naar E.
We noteren bij elk kruispunt het aantal routes van A naar dat kruispunt.
• Er zijn 3 routes van A naar G.
• Er zijn 2 routes van A naar H.
• Er zijn 5 routes van A naar I.
Merk op
Het aantal mogelijke routes van A naar I is de som van het aantal mogelijke routes van A naar H en van A naar F.
Vaak wordt het telschema dat we gebruiken driehoekig voorgesteld. De driehoek ontstaat als volgt: het getal bovenaan is een 1, vervolgens schrijf je aan weerszijden schuin onder die 1 nog 2 enen. Ga zo verder zodat je twee schuine rijen krijgt met alleen maar enen: deze twee zijden vormen de zijden van je driehoek. De overige getallen in de driehoek verkrijg je als volgt: elk getal in het inwendige van de driehoek is de som van de twee getallen schuin erboven. Op die manier ontstaat een oneindig grote driehoek. We noemen die driehoek de driehoek van Pascal
Om de plattegrond van de wijk die Karen wil doorkruisen verder aan te vullen, gaan we op dezelfde manier te werk. We zien dat er, zonder omwegen, 76 mogelijke routes zijn van A naar R.
Verwerkingsopdrachten
In een gemeente zijn er 2 supermarkten: supermarkt A en supermarkt B. Aan 20 mensen werd gevraagd naar welke van deze twee supermarkten hun voorkeur uitgaat. Men kan ook kiezen voor beide supermarkten.
12 mensen kozen voor supermarkt A. 16 mensen kozen voor supermarkt B.
a)Teken een passend venndiagram en plaats de juiste aantallen in de verschillende gebieden.
b)Hoeveel mensen kozen voor supermarkt A, maar niet voor supermarkt B?
c)Hoeveel mensen kozen zowel voor supermarkt A als voor supermarkt B?
Ga bij het vorig voorbeeld na of de algemene somregel geldt.
In een klas zitten 22 leerlingen. 16 leerlingen hebben een abonnement op Apple Music en 11 leerlingen hebben een abonnement op Netflix. 7 leerlingen hebben een abonnement op beide diensten. a)Maak een venndiagram.
b)Hoeveel leerlingen hebben geen Apple Music?
c)Hoeveel leerlingen hebben Apple Music of Netflix?
d)Hoeveel leerlingen hebben noch Apple Music noch Netflix?
e)Hoeveel leerlingen hebben hoogstens één van deze twee onlinediensten?
f) Hoeveel leerlingen hebben alleen Netflix?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Hoeveel ‘kortste wegen’ zijn er van A naar B?
4 De complementregel
U is de verzameling van alle natuurlijke getallen die bestaan uit drie cijfers.
Geen enkel getal begint met de 0 vooraan. In totaal zijn er zo 9 · 10 · 10 = 900 getallen mogelijk. Hoeveel van die getallen bevat minstens één 5?
A is de verzameling van de natuurlijke getallen die bestaan uit 3 cijfers waarvan minstens één 5. bv. 589, 575, 555, 951, 255, …
A = U\Aisdeverzamelingvandenatuurlijkegetallendiebestaanuit3cijfersengéén5bevatten. bv.436,122,378,499,…
1e cijfer
geen 0, geen 5
8 mogelijkheden
2e cijfer
geen 5 9 mogelijkheden
3e cijfer geen 5 9 mogelijkheden
Totaal aantal mogelijke natuurlijke getallen die bestaan uit 3 cijfers en die géén 5 bevatten:
8 · 9 · 9 = 648
Antwoord: Het aantal getallen die bestaan uit 3 cijfers (geen 0 vooraan) en die minstens één 5 bevat is 900 - 648 = 252.
We gebruiken in dit geval de complementregel om het antwoord te vinden omdat de berekening eenvoudiger is.
formule De complementregel : #A = #(U\A) = #U #A
Verwerkingsopdracht
We gooien drie verschillende dobbelstenen op. Hoeveel uitkomsten bevatten minstens één 4? 15
9, 10
Signaaloefeningen
a)Kleur A⧹B.
A ∩ B. C) Kleur A = U\A.
A ∪ B.
1 >>> Verder oefenen: D1 t.e.m. D6
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In een restaurant kan je kiezen uit:
2 >>> Verder oefenen: D7 t.e.m. D16
- 3 voorgerechten
- 4 hoofdgerechten
- 2 nagerechten
Op hoeveel verschillende manieren kan je een menu samenstellen als je telkens uit de 3 gangen een keuze moet maken? Los dit op met behulp van een boomdiagram.
4
Uit een keuze van 12 voetbalploegen moet een top 3 worden samengesteld. Op hoeveel manieren kan dit gebeuren?
5
Hoeveel verschillende getallen van 4 cijfers kan je vormen als het eerste cijfer geen 0 mag zijn?
6
Hoeveel verschillende getallen van 4 cijfers kan je vormen als het eerste cijfer een 8 moet zijn en het laatste cijfer een 9?
Een klas bevat 20 leerlingen. 8 leerlingen spelen in een voetbalploeg en 5 leerlingen zijn lid van een basketbalclub. Er zijn 2 leerlingen die voetbal en basketbal spelen.
a)Teken een passend venndiagram.
b)Hoeveel leerlingen spelen geen basketbal?
c)Hoeveel leerlingen spelen voetbal of basketbal?
Een klas telt 22 leerlingen: 10 meisjes en 12 jongens. 7 leerlingen gaan met de fiets naar school: 2 meisjes en 5 jongens.
U is de verzameling van alle leerlingen van de klas.
M is de verzameling van alle meisjes van de klas.
F is de verzameling van alle leerlingen die met de fiets naar school komen.
a)Plaatsdeaantallenindepassendegebieden.
b)Bepaal#(F ∩ M)
c)Bepaal#(F\M) en#F.
d)Bepaal#(F ∪ M)
e)Ganaofdesomregelklopt.
Hoeveel ‘kortste wegen’ zijn er van A naar B?
U MF
U is de verzameling van alle natuurlijke getallen met vier cijfers. Geen enkel getal begint met 0. Hoeveel van die getallen bevatten minstens één 6?
>>> Verder oefenen: D24 t.e.m. D33
Hoeveel natuurlijke getallen met vier cijfers kan je maken met 1, 2, 3, 4, 5 waar het cijfer 3 minstens één keer voorkomt?
>>> Verder oefenen: D24 t.e.m. D33
Terminologie uit de verzamelingenleer
Differentiatietraject
d)Bepaal#(A ∪ B) 1 2 3 4 5
U is de verzameling van alle natuurlijke getallen. A is de verzameling van de natuurlijke getallen kleiner dan 6.
B is de verzameling van de natuurlijke getallen x die voldoen aan 3 < x < 11.
a)Maak een passend venndiagram.
b)Bepaal A ∩ B, A⧹B en A ∪ B.
U is de verzameling van alle driehoeken.
A is de verzameling van alle gelijkbenige driehoeken.
B is de verzameling van alle gelijkzijdige driehoeken.
a)Teken een passend venndiagram door in elk gebied minstens één figuur te tekenen.
b)Arceer de lege gebieden.
c)Bepaal A,A ∩ BenA\B.
U is de verzameling van alle natuurlijke getallen kleiner dan 25.
A = {0,7,8,11,13,21,24}
B = {0,8,13,18,20,23}
a)Tekeneenpassendvenndiagram.
b)Bepaal A.
c)BepaalB\A.
d)BepaalA ∩ BenA ∪ B.
U is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten bij het opgooien van een eerlijke dobbelsteen.
A is de verzameling van het even aantal gegooide ogen.
B is de verzameling van het aantal gegooide ogen kleiner dan 5.
a)Tekeneenpassendvenndiagram.
b)BepaalA ∩ B.
c)Bepaal B.
d)BepaalA\B.
e)OmschrijfA ∪ Binwoorden.
f)Omschrijf Ainwoorden.
U is de verzameling van de natuurlijke getallen.
A is de verzameling van de delers van 8.
B is de verzameling van de delers van 12.
a)Tekeneenpassendvenndiagram.
b)BepaalA ∩ B.
c)Bepaal B.
Gegeven: U is de verzameling van de natuurlijke getallen.
A is de verzameling van de natuurlijke getallen groter dan 50 en kleiner dan 100.
B is de verzameling van alle priemgetallen kleiner dan 100.
C is de verzameling van alle even natuurlijke getallen kleiner dan 100.
Gevraagd: Bepaal door opsomming ...
a)A ∩ B
b)A ∩ B ∩ C
c)A ∪ (B ∩ C)
d) A ∪ B ∪ C
e) C/ A
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
7 8 9 10 11 12
Voetbalclub Rapide heeft:
- rode, blauwe en witte T-shirts
- groene, gele en witte broekjes
- zwarte en gele kousen
Alle spelers beschikken tevens over 2 paar voetbalschoenen.
Op hoeveel verschillende manieren kan een volledige uitrusting worden samengesteld? Los op met behulp van een boomdiagram.
De code van een inbraakalarm bestaat uit 4 cijfers. Hoeveel mogelijkheden moet men maximaal uitproberen om zeker het alarm uit te schakelen? Op het klavier staan 10 cijfers.
Servaas heeft 2 verschillende spellen van telkens 52 kaarten. Uit het eerste spel wil hij een rode kaart trekken en uit het tweede spel een schoppen. Hoeveel combinaties zijn er mogelijk?
Op hoeveel verschillende manieren kunnen 5 studenten plaatsnemen in een lokaal met 8 plaatsen?
Gegeven zijn de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.
a)Hoeveel getallen van twee verschillende cijfers kan je hiermee vormen?
b)Hoeveel van deze getallen zijn oneven?
Het wachtwoord van de school bestaat uit 8 karakters en bestaat uit cijfers en letters. Het bevat minstens 1 cijfer en minstens 1 hoofdletter. Hoeveel mogelijke wachtwoorden zijn er?
De Belgische kentekenplaat omvat eerst het cijfer 1 of 2, gevolgd door drie letters en drie cijfers.
Hoeveel kentekenplaten kunnen er uitgereikt worden die beginnen met het cijfer 2?
Nina gooit met 3 verschillende dobbelstenen: een groene, een rode en een zwarte.
a)Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?
b)Op hoeveel manieren kan Nina in totaal 6 ogen gooien?
c)Op hoeveel manieren kan Nina in totaal 9 ogen gooien?
Je gooit 3 muntstukken op. K betekent kop en M betekent munt.
a)Stel een boomdiagram op. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?
b)In hoeveel gevallen is er precies tweemaal kop?
c)In hoeveel gevallen is er hoogstens tweemaal munt?
Korneel wil een nieuwe smartphone kopen. Hij beslist om langs te gaan in 3 winkels.
In winkel A kan hij kiezen uit 3 types smartphone.
In winkel B kan hij kiezen uit 4 andere types.
In winkel C kan hij kiezen uit 2 hoesjes om zijn smartphone veilig op te bergen.
Op hoeveel verschillende manieren kan Korneel zijn keuze maken als hij één smartphone en één hoesje kiest?
18
Hoeveel ‘kortste wegen' zijn er van A naar B?
A
In een school met 400 leerlingen spelen 72 leerlingen tennis, 30 leerlingen beoefenen atletiek en 8 leerlingen beoefenen beide sporttakken.
a)Stel deze situatie voor met een venndiagram.
b)Hoeveel leerlingen beoefenen geen van beide sporttakken?
c)Hoeveel leerlingen doen niet aan atletiek?
d)Hoeveel leerlingen beoefenen atletiek, maar spelen geen tennis?
19 20
In een gemeente zijn er 2 padelclubs: padelclub A en padelclub B. Aan 40 liefhebbers van padel werd gevraagd welke sportclub hun voorkeur geniet. Men kon ook beide sportclubs als voorkeur opgeven.
28 personen verkozen padelclub A. 22 personen verkozen padelclub B. 6 personen verkozen geen van beide clubs.
U: verzameling van de 40 liefhebbers
A: personen die padelclub A verkozen
B: personen die padelclub B verkozen
a) Stel de situatie voor in een venndiagram. Plaats de aantallen in de verschillende gebieden.
b) Bepaal #A, #B, en #( A ∪ B) en #( A ∩ B)
c) Klopt de somregel? Controleer!
d) Bepaal # A
B . e) Omschrijf in woorden: A⧹B en U⧹B.
De Belgische kentekenplaat omvat eerst het cijfer 1 of 2, gevolgd door drie letters en drie cijfers. Hoeveel Belgische kentekenplaten kunnen er uitgereikt worden die enkel klinkers bevatten of waarbij de som van de laatste 3 cijfers deelbaar is door 3?
Een stratenplan ziet er als volgt uit:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Op hoeveel manieren kan je wandelen van A naar B, zonder omwegen?
In de klas 4 Maatschappij & Welzijn zitten 25 leerlingen.
U is de verzameling van alle leerlingen in de klas.
A is de verzameling van de leerlingen die in de grote vakantie naar Spanje op reis geweest zijn.
B is de verzameling van de leerlingen die in de grote vakantie naar Frankrijk op reis geweest zijn.
12 leerlingen zijn naar Spanje geweest.
16 leerlingen zijn naar Frankrijk geweest.
7 leerlingen zijn noch naar Spanje, noch naar Frankrijk op reis geweest.
a)Steldesituatievoorineenvenndiagramenplaatsdeaantallenindeverschillendegebieden.
b)Bepaal#B,#(A ∪ B) ,#A,#(U\B)
c)Omschrijfinwoorden:A ∩ B,A ∪ B, B, A ∪ B
Aan 85 personen wordt gevraagd of ze een smartphone (S), een computer (C) en/of een tablet (T) hebben.
U is de verzameling van de 85 personen.
50 personen hebben een smartphone.
35 personen hebben een computer.
25 personen hebben een tablet.
8 personen hebben alle drie de toestellen.
10 personen hebben een smartphone en een tablet.
24 personen hebben een smartphone en een computer.
14 personen hebben een computer en een tablet.
USC
a)Plaatsdeaantallenindepassendegebieden.
b)Hoeveelpersonenhebbengeenvandedrietoestellen?
c)Hoeveelpersonenhebbenenkeleencomputer?
d)Hoeveelpersonenhebbeneensmartphoneeneentablet,maargeencomputer?
e)Hoeveelpersonenbezitteneencomputerofeentablet?
f)Is#(C ∪ T) = #C + #T #(C ∩ T) ?
Hoeveel letters uit het alfabet komen niet voor in het woord ‘wiskunde’?
Hoeveel woorden van 4 verschillende letters (met en zonder betekenis) kan men maken met het woord ‘wiskunde’ zodat er minstens één klinker in voorkomt?
Bij het merken van een product moeten getallen gevormd worden met 4 cijfers gebruik makend van de cijfers 3, 8, 9, 7 en 5. Het getal 8 moet minstens één keer voorkomen. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
Een beveiligingscode bestaat uit 4 karakters die elk een cijfer of een letter kunnen zijn, bv. C13B.
a) Hoeveel codes zijn er zo te maken?
b) Hoeveel codes bevatten minstens één 8?
In België start elk gsm-nummer met 04. Net voor een dropping krijgt Winter het gsm-nummer van de leiding. Hij ziet plots dat er een cijfer ontbreekt. Hoeveel pogingen zal Winter maximaal moeten ondernemen om de leiding te bereiken?
Hailey, Amber en Rani zitten volgend jaar in klas HWa, HWb, HWc of HWd. Rani en Amber mogen niet in dezelfde klas zitten, maar ook Amber en Hailey mogen niet in dezelfde klas zitten. Op hoeveel manieren kan je hen verdelen?
We beschouwen alle getallen met 3 cijfers (een 0 vooraan is niet toegelaten).
a)Hoeveel van deze getallen zijn niet deelbaar door 5?
b)Hoeveel van deze getallen eindigen niet op een 0?
Kenzy heeft rode, gele en blauwe knikkers. Op 24 na zijn ze allemaal rood, op 30 na zijn ze allemaal geel en op 42 na zijn ze allemaal blauw. Hoeveel rode knikkers heeft Kenzy?
*uit toelatingsexamen arts 2017
A: 20B: 24C: 28D: 32
In de studierichting verpleegkunde nemen 6 meisjes en 2 jongens deel aan een praktische sessie. De docent wil ze indelen in twee groepjes die uit 1 jongen en 3 meisjes bestaan. Hoeveel verschillende dergelijke groepsindelingen zijn er mogelijk? *uit toelatingsexamen arts 2019
A: 20B: 24C: 36D: 40
Hoeveel Belgische kentekenplaten (beginnend met het cijfer 1 of 2, gevolgd door drie letters en drie cijfers) kunnen er uitgereikt worden die geen drie keer dezelfde letter bevatten?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Computationeel denken
Toepassingen telproblemen
Toepassing 1: de complementregel
a)Wat doet deze code?
b)Wijzig de code voor de situatie waarbij #U = 52 en #A = 29.
c)Wijzig de code zodat de gebruiker #U en #A zelf kan invullen.
d)Wijzig de code zodat een melding verschijnt als de gebruiker een groter getal invult voor #A dan voor #U. Maak gebruik van een if-functie.
Toepassing 2: een uitdaging
a)Wat betekent de code range(10,100)?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Wat betekent i%4==0?
c)Wijzig de code voor de volgende situatie:
Alle getallen bestaande uit drie cijfers kleiner dan 500. De verzameling A bevat van deze getallen alle getallen die deelbaar zijn door 6. Hoeveel elementen behoren tot het complement van A?
Toepassing 3: de productregel
In deze code wordt gebruik gemaakt van arrays.
In elke array zitten de elementen die voldoen aan de omschrijving van de variabele.
a)Hoeveel T-shirts zijn er?
b)Hoeveel broeken zijn er?
c)Wat doet de code len(tshirts)?
d)Hoeveel lijnen uitvoer verkrijg je?
e)Voeg een T-shirt toe. Hoeveel lijnen uitvoer krijg je nu?
Toepassing 4: de somregel
a)Waarom staat er in de eerste drie regels int()?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Waarom wordt er een if-functie gebruikt?
c)Waarom zit er in deze if-functie een or?
d)Geef een voorbeeld van een goede invoer en maak het bijhorende vlinderdiagram.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
e)Geef een voorbeeld van een slechte invoer en leg uit welke lijnen code worden uitgevoerd.
Studiewijzer
Differentiatietraject
Doelen
Ik ken de terminologie uit de verzamelingenleer en kan deze correct toepassen. 12 34 5 6
Ik ken de productregel en kan deze regel correct toepassen. 78910 11 1213141516
Ik ken de somregel en kan deze correct toepassen. 17181920 21 22 23
Ik ken de complementregel en kan deze correct toepassen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum
Ik ken de terminologie uit de verzamelingenleer en kan deze correct toepassen.
Stel dit grafisch voor en leg het verband met de woorden 'en', 'of', 'zonder' en 'niet'.
verwerking: 1, 2, 3, 4 signaal : 1 differentiatie: 1 t.e.m. 6
Ik ken de productregel en kan deze regel correct toepassen.
4
9 Een van de uitdagingen bij het oplossen van telproblemen zit in het maken van een goede grafische voorstelling van het probleem. Maak gebruik van een boomdiagram als je het aantal combinaties moet bepalen zodat je de oplossing makkelijk kan aflezen.
verwerking: 5, 6, 7, 8, 9 signaal: 2, 3, 4, 5 differentiatie: 7 t.e.m. 16
Ik ken de somregel en kan deze correct toepassen.
Bepaal eerst met welk soort grafische voorstelling je het kansprobleem het handigst kan oplossen.
verwerking: 10, 11, 12, 13, 14 signaal: 6, 7, 8 differentiatie: 17 t.e.m. 23
Ik ken de complementregel en kan deze correct toepassen.
Soms is het makkelijker en sneller om het complement van een uitkomst te berekenen dan de uitkomst zelf. Dan maak je gebruik van de complementregel.
verwerking: 15 signaal: 9, 10 differentiatie: 24 t.e.m. 33
13
19
Auteurs Philip Bogaert, Björn Carreyn en Roger Van Nieuwenhuyze
Eerste druk 2024 - SO 2024/0224 - Bestelnummer 94 606 0119 (module 07 van 18)
ISBN 978 90 4864 973 0 - KB D/2024/0147/206 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge