Nando 4 D5 Module 06 De goniometrische cirkel en verwante hoeken - inkijk methode by die Keure

D-FINALITEIT

5 UUR – MEETKUNDE

06 De goniometrische cirkel en verwante hoeken

wat je al kunt

–de goniometrische getallen van een scherpe hoek bepalen in een rechthoekige driehoek

–de richtingscoëfﬁciënt van een rechte bepalen

wat je leert in deze module

–de goniometrische getallen sinus, cosinus, tangens en cotangens van een hoek deﬁniëren in de goniometrische cirkel

–het verband tussen de begrippen hellingshoek en richtingscoëfﬁciënt van een rechte onderzoeken en formuleren

–de verbanden tussen de goniometrische getallen van verwante hoeken formuleren en verklaren

–een hoek tekenen en berekenen op basis van een gegeven goniometrisch getal

Inhoud

Instap

1Goniometrische getallen van een hoek

2Toepassingen

3Goniometrische getallen van verwante hoeken

Signaaloefeningen

Differentiatietraject

Computationeel denken

Studiewijzer

in de kijker

Je kan vlot rekenen met hoeken in graden, minuten en seconden.

wiskundetaal

–goniometrische cirkel

–kwadranten

–grootte van een hoek

–georiënteerde hoek

–representant –hoofdwaarde

–goniometrische getallen van een hoek

–sinus

–cosinus

–tangens

–cotangens

–hellingshoek van een rechte

–verwante hoeken

–gelijke of gelijkwaardige hoeken

–tegengestelde hoeken

–supplementaire hoeken

–antisupplementaire hoeken

–complementaire hoeken

–anticomplementaire hoeken

Instap

Opdracht 1

Maak de juiste verbindingen.

α = 50°

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

α = –50°

wijzerzin

tegenwijzerzin

Opdracht 2

a)Vul aan met de juiste begrippen.

[ AB] is van C .

[ BC] is

b)Vul de tabel aan.

als verhouding van twee lengtes van zijdenmet rekenmachine op 0,00001 nauwkeurig

Opdracht 3

Gegeven is een cirkel met straal 1 en daarin een hoek van 50° waarvan het eerste been samenvalt met de positieve x-as.

Ineenrechthoekigedriehoekgeldt: cos α = aanliggenderechthoekszijde schuinezijde sin α = overstaanderechthoekszijde schuinezijde TIP

Bepaal de coördinaatgetallen van het punt A.

Opdracht 4

Vul aan.

a) α = 40° en β = . α en β zijn tegengestelde hoeken. De som α + β is gelijk aan .

b) α = 40° en β = 50°. α en β zijn hoeken. De som α + β is gelijk aan .

c) α = 40° en β = . α en β zijn hoeken. De som α + β is gelijk aan 180°.

1 Goniometrische getallen van een hoek

1.1 De hoofdwaarde van een hoek

In het tweede jaar leerde je in de module over transformaties een rotatie over een hoek in wijzerzin of tegenwijzerzin met ICT uitvoeren. Wanneer op een hoek een zin is aangeduid, dan is dat een georiënteerde hoek

Een georiënteerde hoek heeft oneindig veel waarden. Als α een waarde is van de hoek A , dan zijn α + k ∙ 360° (met k ∈ ) alle waarden voor die hoek.

We spreken af dat we bij voorkeur werken met de hoofdwaarde van een hoek. deﬁnitie α isde hoofdwaarde vaneenhoek A,als α ∈ ] 180°,180°]

Voorbeelden

A = 200° → Dehoofdwaardeis α = 160°.

B = 280° → Dehoofdwaardeis β = 80°.

C = 810° → Dehoofdwaardeis γ = 90°.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Merk op Bij een gestrekte hoek is -180° geen hoofdwaarde, 180° is dat wel. A + 180°

1.2De goniometrische cirkel

deﬁnitie Een goniometrische cirkel is een cirkel met als middelpunt O, de oorsprong van een cartesiaans assenstelsel, en met straal 1 (de eenheid).

De x-as en de y-as verdelen deze cirkel in vier gebieden, kwadranten genoemd.

Merk op Kwadranten worden met Romeinse cijfers aangeduid.

1.3Het beeldpunt van een hoek op de goniometrische cirkel

Elke georiënteerde hoek K kunnen we voorstellen door zijn representant op de goniometrische cirkel met hoekpunt O en het eerste been op de positieve x-as. Het tweede been heeft precies 1 snijpunt met de goniometrische cirkel. We noemen dat punt het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel.

Stappenplan

1)Het hoekpunt van de representant van K valt samen met het middelpunt van de goniometrische cirkel, de oorsprong O. Teken het eerste been op de positieve x-as.

2)Teken het tweede been zodat ROA de representant is van K op de goniometrische cirkel K = ROA . A is het beeldpunt van de georiënteerde hoek op de goniometrische cirkel.

beeldpunt van α op de goniometrische cirkel

deﬁnities

1.4

Grafische interpretatie van

de sinus

en

cosinus

van een hoek

1 –1 –1 1 0 O x y E(1, 0) E′(0, 1) A α cos α sin α P Q

Ineenrechthoekigedriehoekgeldt: sin α = overstaanderechthoekszijde schuinezijde cos α = aanliggenderechthoekszijde schuinezijde

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

In de rechthoekige driehoek OPA geldt: cos α = |OP| |OA| = |OP| 1 = |OP| sin α = |AP| |OA| = |AP| 1 = |AP|

We bepalen de coördinaatgetallen van A. xA = |OP| = cos α yA = |PA| = |OQ| = sin α

• De cosinus van een hoek is het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.

• De sinus van een hoek is het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt van die hoek op de goniometrische cirkel.

Besluit

Als A het beeldpunt is van een georiënteerde hoek α op de goniometrische cirkel, dan is co( A) = ( cos α, sin α) .

Als we het punt A de cirkel laten overlopen, merken we op dat de sinus en de cosinus waarden kunnen aannemen van -1 tot en met 1.

1.5 Grafische interpretatie van de tangens en cotangens van een hoek

deﬁnitie in woorden

De tangens van een hoek α is het quotiënt van de sinus van die hoek α en de cosinus van die hoek α .

in symbolen

tan α = sin α cos α metcos α ≠ 0

deﬁnitie in woorden

cot α = cos α sin α metsin α ≠ 0

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

cot α = 1 tan α mettan α ≠ 0

De cotangens van een hoek α is het quotiënt van de cosinus van die hoek α en de sinus van die hoek α

in symbolentan α = sin α cos α metcos α ≠ 0

cot α = cos α sin α metsin α ≠ 0

cot α = 1 tan α mettan α ≠ 0

Merk op

In een rechthoekige driehoek geldt:

tan α = overstaanderechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde = a b

sin α = a c encos α = b c

tan α = sin α cos α = a c b c = a b

A) Grafische interpretatie van de tangens van een hoek

Teken de raaklijn aan de goniometrische cirkel in het punt E(1, 0), dit is de rechte met vergelijking x = 1

Het snijpunt van deze raaklijn met het tweede been van de georiënteerde hoek α noemen we K.

Driehoek OEK is rechthoekig in E.

tan α = overstaanderechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde

waaruit volgt:

co( K) = ( 1, tan α)

raaklijn x = 1

Merk op

Een raaklijn aan een cirkel is een rechte die met een cirkel precies 1 punt, het raakpunt, gemeenschappelijk heeft. Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de middellijn door het raakpunt.

B) Grafische interpretatie van de cotangens van een hoek

Teken de raaklijn aan de goniometrische cirkel in het punt E′( 0, 1) , dit is de rechte met vergelijking y = 1 . Het snijpunt van deze raaklijn met het tweede been van de georiënteerde hoek α noemen we L.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Driehoek OE′L is rechthoekig in E enE LO = α want de verwisselende binnenhoeken zijn even groot E L ⫽ x,snijlijnOL .

tan E LO = tan α

tan α = overstaanderechthoekszijde aanliggenderechthoekszijde

tan α = |OE | |E L|

tan α = 1 |E L|

zodat:

1 tan α = |E L| ofcot α = |E L|

waaruitvolgt:

co(L)=(cot α,1)

raaklijn y = 1

C) Verband tussen de richtingscoëfficiënt van een rechte en de hoek die de rechte vormt met de x -as

De vergelijking van de rechte door de oorsprong O( 0, 0) en A( cos α, sin α) is:

Benadering 1

O(0,0) enA(cos α,sin α)

OA ↔ y y1 = y2 y1 x2 x1 (x x1 )

OA ↔ y = sin α cos α x OA ↔ y = tan α x richtingscoëfficiëntvanderechteOA

Benadering 2

OA = OT(eenrechtedoordeoorsprong)

Devergelijkingvaneenrechtedoordeoorsprongisvandevorm: y = a x

dehellingofde richtingscoëfficiënt vanOA a = Δ y Δ x = sin α cos α of a = Δ y Δ x = tan

α is de hellingshoek en tan α (= a) de helling van de rechte OA.

Als we het punt A de cirkel laten doorlopen, kunnen we het teken van de tangens en cotangens en de waarde ervan bij enkele bijzondere hoeken bepalen.

Verwerkingsopdrachten

Bepaal de hoofdwaarde van de georiënteerde hoek.

georiënteerde hoek

A = 340°

hoofdwaarde van de georiënteerde hoek

B = 210°

A = 340°

B = 210°

C = 970°

D = 315°

Teken het beeldpunt van P op de goniometrische cirkel.

a) P = 75° P = 200° b) P = 75° P = 200°

Bepaal de coördinaat van de beeldpunten van de georiënteerde hoeken op de goniometrische cirkel en reken uit. a)

5 6 7

a)Teken een goniometrische cirkel.

b)Teken in de goniometrische cirkel een representant van de georiënteerde hoek A = 125°.

c)Stel de sinus, cosinus, tangens en cotangens van de gegeven georiënteerde hoek graﬁsch voor.

Teken in de goniometrische cirkel het beeldpunt van een representant van de georiënteerde hoek α waarbij cos α = 0,4 en α ∈ IV.

Omkring de kwadranten waarin de sinus en de cosinus hetzelfde toestandsteken hebben.

KWADRANT I KWADRANT II KWADRANT III KWADRANT IV

De rechte r gaat door de oorsprong en maakt een hoek van 120° met de x-as. Geef een vereenvoudigde cartesiaanse vergelijking van de rechte r

2 Toepassingen

2.1 De hoofdeigenschap van de goniometrie

Gegeven is een hoek α gelegen in het eerste kwadrant.

In de rechthoekige driehoek OPA geldt:

|OP|2 + |PA|2 = |OA|2 ⇕

cos2 α + sin2 α = 1

We nemen een hoek α uit het tweede kwadrant.

In de rechthoekige driehoek OPA geldt:

|OP|2 + |PA|2 = |OA|2 ⇕

(|cos α|)2 + sin2 α = 1 ⇕

cos2 α + sin2 α = 1

Op een analoge manier kan je aantonen dat deze formule geldt voor alle georiënteerde hoeken. Dit is de hoofdeigenschap of grondformule van de goniometrie .

eigenschap cos2 α + sin2 α = 1

2.2Goniometrische getallen van een hoek berekenen

Gegeven is een hoek α gelegen in het tweede kwadrant waarvoor sin α = 8 17 . Bereken de drie overige goniometrische getallen cos α, tan α en cot α zonder eerst α te berekenen.

Oplossing

Gegeven:sin α = 8 17 en α ∈ II

cos2 α + sin2 α = 1

cos2 α = 1 sin2 α

cos2 α = 1 8 17 2

cos2 α = 225 289

cos α = 15 17 ∨ cos α = 15 17

cos α = 15 17 want α ∈ II,duscos α < 0

Nujeookcos α kent,kunjetan α encot α berekenen.

tan α = sin α

cos α = 8 17 15 17 = 8 15

cot α = 1 tan α = 15 8

2.3Goniometrische getallen van bijzondere hoeken

Toepassing 1

Bepaal de goniometrische getallen van een hoek van 45°.

Oplossing

Teken in de goniometrische cirkel een representant voor A = 45°

Driehoek OPA is rechthoekig in P en gelijkbenig want de basishoeken Oen A zijn gelijk aan 45°.

Dus: |OP| = |PA|

cos45° = sin45° (1)

Wenoterendehoofdformule:

cos2 45° + sin2 45° = 1

(1)

2cos2 45° = 1

cos2 45° = 1 2

cos45° = 1 2 = √2 2 (45° ∈ I,duscos45° > 0)

Besluit

sin45° = cos45° =

= sin45°

cot45° = 1 tan45° = 1 1 = 1

Toepassing 2

Bepaal de goniometrische getallen van een hoek van 60° en 30°.

Oplossing

Teken in de goniometrische cirkel een representant voor α = 60°.

DriehoekOEAisgelijkbenigwant |OE| = |OA| = 1.

DriekhoekOEAisgelijkzijdigwant O = A = E = 60°.

Ineengelijkbenigedriehoekisdehoogtelijnop [OE] ookdezwaartelijnen debissectriceuit A.

Dus: |OP| = 1 2 |OE|

OP| = 1 2

cos60° = 1 2

Wenoterendegrondformule:

cos2 60° + sin2 60° = 1 ⇓

sin2 60° = 1 cos2 60°

sin2 60° = 1 1 4

sin2 60° = 3 4

sin60° = √3 2

Besluit

sin60° = √3 2

cos60° = 1 2

tan60° = sin60°

cot60° = 1

Merk op

In het onderdeel over verwante hoeken zul je een link leggen tussen de goniometrische getallen van complementaire hoeken.

2.4 Hellingshoek van een rechte

Bepaal de vergelijking van de rechte r door het punt P( 2, 3) die een hoek maakt van 60° met de positieve x-as. (Werk tot op drie decimalen nauwkeurig.)

Oplossing

ar = tan60° = √3

r ↔ y yP = a(x xP )

r ↔ y 3 = √3(x 2)

r ↔ y = √3x 2√3 + 3

Merk op We werken met exacte waarden.

2.5Identiteiten

a) Toon volgende gelijkheid aan voor elke α waarvoor

beide leden zinvol zijn:

tan α + cot α = 1 cos α ⋅ sin α

Oplossing

We starten met het linkerlid (LL).

LL = tan α + cot α

= sin α cos α + cos α sin α

= sin2 α + cos2 α cos α sin α

= 1 cos α ⋅ sin α = RL

Verwerkingsopdrachten

b) Toon volgende gelijkheid aan voor elke α waarvoor

beide leden zinvol zijn: cos4 α – sin4 α = 1 – 2sin2 α

Oplossing

We starten met het linkerlid (LL).

LL = cos4 α sin4 α a2 b2 =(a + b)(a b)

= cos2 α sin2 α cos2 α + sin2 α grondformule

= cos2 α sin2 α ⋅ 1

= cos2 α sin2 α

= 1 sin2 α sin2 α

= 1 2sin2 α = RL

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

3, 4, 5

Bereken de gevraagde goniometrische getallen zonder eerst de hoek α te berekenen. 1 + tan2 α = cos2 α cos2 α + sin2 α cos2 α = 1 cos2 α

a)Gegeven: α ∈ IV cos α = 7 25

Gevraagd:sin α,tan α,cot α

TIP

b)Gegeven: α ∈ III tan α = 45 28

Gevraagd:sin α,cos α,cot α

Reken uit zonder gebruik te maken van ICT.

a)Vervolledig de tabel.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

b)Reken uit het hoofd:

2 sin30° =

sin45° + cos45° =

cot30° 3tan30° =

tan45° ⋅ sin30° sin45° ⋅ cos45° =

Bepaal de vergelijking van de rechte r door het punt P( -3, 4) die een hoek maakt van 135° met de positieve x-as.

Toon volgende gelijkheden aan voor elke α waarvoor beide leden zinvol zijn:

a)cos α cos3 α = cos α sin2 α

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

b) tan2 α 1 + tan2 α = sin2 α c) 1 1 cos α + 1 1 + cos α = 2 sin2 α

3 Goniometrische getallen van verwante hoeken

3.1 Gelijkwaardige of gelijke hoeken

Teken in een goniometrische cirkel het beeldpunt van volgende hoeken:

α1 = 35°

α2 = 395°

α3 = 755°

α4 = 325°

Blijkbaar hebben al deze hoeken hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel.

deﬁnitie in woorden

Gelijkwaardige of gelijke hoeken zijn hoeken met eenzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel.

in symbolen

β isgelijkwaardigmet α ⇔ β = α + k 360° (met k ∈ )

Omdat gelijkwaardige hoeken hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel hebben, hebben gelijkwaardige hoeken dezelfde goniometrische getallen.

formules sin (α + k ⋅ 360°) = sin α (met k ∈ )

cos (α + k 360°) = cos α (met k ∈ )

tan (α + k 360°) = tan α (met k ∈ )

cot (α + k ⋅ 360°) = cot α (met k ∈ )

Voorbeelden

sin375° = sin15°

cos ( 50°) = cos310°

tan820° = tan100°

cot456° = cot96°

3.2Tegengestelde hoeken

deﬁnitie in woorden

Tegengestelde hoeken zijn hoeken waarvan de som 0° is. in symbolen

α en β zijn tegengesteld ⇔ β = -α

A is het beeldpunt van de hoek α op de goniometrische cirkel, A′ is het beeldpunt van de hoek β = -α op de goniometrische cirkel.

Merk op

• Positieve hoeken worden steeds in tegenwijzerzin getekend en negatieve hoeken in wijzerzin.

• Tegengestelde hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. de x-as.

In∆OPAen∆OP A geldt:

|OA| = |OA | = 1

P = P = 90°

Bijgevolg:

sin( α)= sin α

tan( α)= sin( α) cos( α) = sin α cos α = tan α cot( α)= cos( α) sin( α) = cos α sin α = cot α

Besluit

formules sin ( α) = sin α cos ( α) = cos α tan ( α) = tan α cot ( α) = cot α

Voorbeelden

sin( -30°) = -sin 30°

cos( -120°) = cos 120°

tan 77° = -tan( -77°)

cot( -128°) = -cot 128°

cos( α)= cos α

3.3Supplementaire hoeken

deﬁnitie in woorden

Supplementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 180° is.

in symbolen

α en β zijnsupplementair ⇔ α + β = 180° ⇔ β = 180° α

A is het beeldpunt van de hoek α op de goniometrische cirkel, A′ is het beeldpunt van de hoek β = 180° – α op de goniometrische cirkel.

Merk op Supplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. de y-as.

In∆OPAen∆OP A geldt:

|OA| = |OA | = 1

P = P = 90° A OP = 180° β = 180° (180° α) = α = AOP

Bijgevolg:

sin(180° α)= sin

tan(180° α)= sin(180° α) cos(180° α) = sin α cos α = tan α cot(180° α)= cos(180° α) sin(180° α) = cos α sin α = cot α

Besluit

formules sin (180° α) = sin α

cos (180° α) = cos α

tan (180° α) = tan α cot (180° α) = cot α

Voorbeelden

sin 170° = sin 10°

cos 65° = -cos 115°

tan 105° = -tan 75°

cot 17° = -cot 163°

3.4 Antisupplementaire hoeken

deﬁnitie in woorden

Antisupplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 180° is. in symbolen

α en β zijnantisupplementair ⇔ β α = 180° ⇔ β = 180° + α

A is het beeldpunt van de hoek α op de goniometrische cirkel, A′ is het beeldpunt van de hoek β = 180° + α op de goniometrische cirkel.

Merk op Antisupplementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. de oorsprong.

In∆OPAen∆OP A geldt: |OA| = |OA | = 1

P = P = 90°

A OP = β 180° = (180° + α) 180° = α = AOP

Bijgevolg:

(180° + α)=

sin(180° + α)= sin

tan(180° + α)= sin(180° + α) cos(180° + α) = sin α cos α = tan α

cot(180° + α)= cos(180° + α) sin(180° + α) = cos α sin α = cot α

Besluit

formules sin (180° + α) = sin α

cos (180° + α) = cos α

tan (180° + α) = tan α cot (180° + α) = cot α

Voorbeelden

sin 200° = -sin 20° cos 240° = -cos 60°

tan 300° = tan 120° cot 190° = cot 10°

def.congruentedriehoeken

+ α)= cos

3.5Complementaire hoeken

deﬁnitie in woorden

Complementaire hoeken zijn hoeken waarvan de som 90° is.

in symbolen

α en β zijncomplementair ⇔ α + β = 90° ⇔ β = 90° α

A is het beeldpunt van de hoek α op de goniometrische cirkel, A′ is het beeldpunt van de hoek β = 90° – α op de goniometrische cirkel.

Merk op

Complementaire hoeken hebben beeldpunten die symmetrisch liggen t.o.v. de eerste bissectrice, dit is de rechte met vergelijking y = x

In∆OPAen∆OQ A geldt:

|OA| = |OA | = 1 P = Q = 90° A OQ = 90° β = 90 (90° α) =

Bijgevolg:

def.congruentedriehoeken

sin(90° α)= cos α ∧ cos(90° α)= sin α

tan(90° α)= sin(90° α) cos(90° α) = cos α sin α = cot α

cot(90° α)= cos(90° α) sin(90° α) = sin α cos α = tan α

Besluit

formules sin (90° α) = cos α

cos (90° α) = sin α tan (90° α) = cot α

cot (90° α) = tan α

Voorbeelden

sin 40° = cos 50°

tan 63° = cot 27°

3.6 Anticomplementaire hoeken

deﬁnitie in woorden

Anticomplementaire hoeken zijn hoeken waarvan het verschil 90° is.

in symbolen

α en β zijnanticomplementair ⇔ β α = 90° ⇔ β = 90° + α

A is het beeldpunt van de hoek α op de goniometrische cirkel, A′ is het beeldpunt van de hoek β = 90° + α op de goniometrische cirkel.

In∆OPAen∆OQ A geldt:

|OA| = |OA | = 1

P = Q = 90°

A OQ = 90° + α 90° = α = AOP

Bijgevolg:

sin(90° + α)= cos α

tan(90° + α)= sin(90° + α) cos(90° + α) = cos α sin α = cot α

cot(90° + α)= cos(90° + α) sin(90° + α) = sin α cos α = tan α

Besluit

formules sin (90° + α) = cos α

cos (90° + α) = sin α

tan (90° + α) = cot α

cot (90° + α) = tan α

Voorbeelden

cos 140° = -sin 50°

cot 122° = -tan 32°

(90° + α)= sin α

3.7Samenvatting

gelijkwaardige hoeken tegengestelde hoeken

hoeken

taire hoeken

hoeken

taire hoeken

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

3.8Toepassingen

A)Goniometrische getallen van bijzondere hoeken

Bepaal de goniometrische getallen van een hoek van 150°.

Oplossing

150° en 30° zijn supplementaire hoeken, zodat

sin150° = sin30° = 1 2

cos150° = cos30° = √3 2

tan150° = tan30° = √3 3

cot150° = cot30° = √3

Bepaal de goniometrische getallen van een hoek van 210°.

Oplossing

210° = 180° - ( -30°)

210° en -30° zijn supplementaire hoeken, zodat

sin210° = sin( 30°)= sin30° = 1 2

cos210° = cos( 30°)= cos30° = √3 2

tan210° = tan( 30°)= tan30° = √3 3

cot210° = cot( 30°)= cot30° = √3

Merk op Je kon ook de formules voor antisupplementaire hoeken gebruiken.

B)Toepassing 2

Vereenvoudig volgende uitdrukking zo ver mogelijk.

sin(180° α) ⋅ cos(180° + α) ⋅ tan(360° α) tan(90° α) ⋅ cot(270° α) + sin(900° α) ⋅ cos(540° α) cos(90° + α) ⋅ cos(α 180°)

Oplossing

sin(180° α)= sin α supplementairehoeken

cos(180° + α)= cos α antisupplementairehoeken

tan(360° α)= tan( α)= tan α tegengesteldehoeken

tan(90° α)= cot α complementairehoeken

cot(270° α)= cot(180° (α 90°))

= cot(α 90°) supplementairehoeken

= cot(90° α) tegengesteldehoeken

= tan α complementairehoeken

sin(900° α)= sin(180° α)= sin α supplementairehoeken

cos(540° α)= cos(180° α)= cos α supplementairehoeken

cos(90° + α)= sin α anticomplementairehoeken

cos(α 180°)= cos(180° α) tegengesteldehoeken

= cos α supplementairehoeken

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

zodat

opgave = sin α ( cos α) ( tan α) cot α tan α + sin α ( cos α) sin α ( cos α) = sin α cos α cos α sin α 1 = sin2 α 1 = cos2 α

Verwerkingsopdrachten

Vul volgende tabel aan.

α tegengestelde supplement complement

a 17°

b 85°20′

c 193°

d 147°35′

e 234°

f -69°

g 180°

h -111°11′

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Gegeven: sin α = 2 5 encos β = 3 4

Gevraagd:

a)sin( α)=

b)cos(180° β)=

c)cos(90° + α)=

d)cos( β)=

e)sin(180° + α)=

f)cos(β + 360°)=

g)sin(180° α)=

h)sin(360° α)=

i)sin(90° β)=

j)cos(180° + β)=

k)sin(90° + β)=

l)cos(90° α)=

Vereenvoudig.

a)sin(180° + α)=

b)cos(270° α)=

c)tan(540° + α)=

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

d)cot(720° α)=

e)sin(90° α)=

f)cos(90° + α)=

Gegeven: sin α = 5 13 en α ∈ I

Gevraagd: a)Bereken de cosinus van de tegengestelde hoek.

b)Bereken de tangens van de supplementaire hoek.

c)Bereken de cotangens van de anticomplementaire hoek.

Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen zo ver mogelijk. a) tan(720° α) cot(180° α) sin(180° + α) cos( α) cos(90° α) sin(270° + α)

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Signaaloefeningen

Teken een goniometrische cirkel (neem als eenheid een straal van 5 cm), teken hierin een georiënteerde hoek van -45° en stel de sinus, cosinus, tangens en cotangens van deze hoek graﬁsch voor.

Tot welk kwadrant behoort α als …

a)sin α > 0encos α < 0?

b)cos α < 0entan α > 0?

c)sin α > 0entan α > 0?

d)sin α < 0encos α > 0?

e)cos α < 0encot α < 0?

f)sin α < 0encot α > 0?

Bereken de gevraagde goniometrische getallen zonder eerst de hoek α te berekenen.

gegeven

α ∈ I

gevraagd

sin α = 35 37

sin α = 35 37 α ∈ III

α ∈ III

cos α, tan α, cot α

cos α = 16 65

cos α = 16 65 α ∈ II

α ∈ II

cot α = 55 48

sin α, tan α, cot α

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

sin α, cos α, tan α

>>> Verder oefenen: D16 t.e.m. D25

Toon volgende gelijkheden aan voor elke α waarvoor beide leden zinvol zijn.

a) sin α tan α cos α = 1

1 + tan2 α 1 sin2 α = 1 cos2 α 1 + cot2 α

cot α cot2 α 1 = sin α cos α cos2 α sin2 α

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

b) sin α tan α cos α = 1

1 + tan2 α 1 sin2 α = 1 cos2 α 1 + cot2 α

cot α cot2 α 1 = sin α cos α cos2 α sin2 α

sin α tan α cos α = 1

1 + tan2 α 1 sin2 α = 1 cos2 α 1 + cot2 α

cot α cot2 α 1 = sin α cos α cos2 α sin2 α

Bepaal de vergelijking van de rechte r door het punt P( 5, -2) die een hoek maakt van -35° met de positieve x-as. (Werk op drie decimalen nauwkeurig.)

Vereenvoudig.

a)sin(α 180°)=

b)cos(360° α)=

c)tan(270° + α)=

d)cot(α 90°)=

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

e)sin(450° + α)=

f)cos(90° α)=

>>> Verder oefenen: D16 t.e.m. D25

>>> Verder oefenen: D26 t.e.m. D40

Gegeven: cos α = 24 25 en α ∈ IV

Gevraagd: a)Bereken de sinus van de tegengestelde hoek. b)Bereken de tangens van de complementaire hoek. c)Bereken de cotangens van de supplementaire hoek.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Vereenvoudig volgende uitdrukkingen zo ver mogelijk. a) tan(270° α) sin(540° + α) cos(900° α) cos(180° + α) ⋅ sin (α 180°) ⋅ tan (90° + α)

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Verder oefenen: D26

Goniometrische getallen van

Differentiatietraject

1 2 3 4 5

Bepaal de hoofdwaarde van de georiënteerde hoek.

a) A = 67° c) C = 210° e) E = 530°

b) B = 320° d) D = 760° f) F = 1155°

Kleur de hoeken die hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel hebben in eenzelfde kleur.

a) Geef drie hoeken die hetzelfde beeldpunt hebben op de goniometrische cirkel als het beeldpunt van A = 72°

b) Waar of niet waar?

Hoeken met dezelfde hoofdwaarde hebben hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel.

Teken in een goniometrische cirkel het beeldpunt van …

a) A = 80°

c) A = 80°

b) A 80° = , noem het beeldpunt Q.

B = 150°

C = 300°, noem het beeldpunt R.

C = 300° , noem het beeldpunt P.

Bepaal de coördinaatgetallen van de punten A, B en C op 5 decimalen nauwkeurig.

7 8 9

Bepaal de coördinaatgetallen van de punten A, K en L op 5 decimalen nauwkeurig.

Bereken met ICT op 5 decimalen nauwkeurig.

a)sin 23°17 55

b)cos 86°20 30

c)tan 40°40 40

d)cot 36°12 24

= EOA = 140°

e)3 ⋅ sin 25°15 05

f)cos 110°35 53 + 2

g)tan 200°02 20 + cot 300°03 30

h)cos2 185°17 23

Teken een goniometrische cirkel (neem als eenheid een straal van 6 cm), teken hierin een georiënteerde hoek van 150° en stel de sinus, cosinus, tangens en cotangens van deze hoek graﬁsch voor.

Teken een goniometrische cirkel (neem als eenheid een straal van 6 cm), teken hierin een georiënteerde hoek van 210° en stel de sinus, cosinus, tangens en cotangens van deze hoek graﬁsch voor.

12 13 14 15

Bepaal het kwadrant waarin α ligt en bepaal het teken van de cosinus, sinus, tangens en cotangens.

bv. 170° || - +

a)290°

b)250°

c)80°

d) -65°

e) -110°

f) -280°

g) -250°

Gegeven: α = 125°45′15″ en β = 195°15′45″

Bereken met ICT op 5 decimalen nauwkeurig.

a)sin (α + β)

b)sin α + sin β c)cos (2α)

d)2 cos α

e)tan (α β) f)3 tan (2β)

Bepaal de hoek die de rechte r maakt met de positieve x-as.

a) r ↔ y = 2x + 3

b) r ↔ y = 4x + 5

c) r ↔ y = x 7

d) r ↔ y = 8

g)cot (β α)

h)cot (40° + α)

Bepaal de hoek die de rechte r maakt met de positieve x-as.

a) r ↔ 2x 5y + 7 = 0

b) r ↔ 3y + 4x 6 = 0

c) r ↔ 4x + 5y 11 = 0

Bepaal de hoek die de rechte r (= AB) maakt met de positieve x-as.

a)A( 0, 0) ; B( -2, 7) b)A( 2, 3) ; B( 5, 9) c)A( -4, -2) ; B( 0, 4)

Bepaal de kleinste hoek die de rechten p en q met elkaar maken.

a) p ↔ y = 4x en q ↔ y = √2x 1 b) p ↔ 10y + 6x = 0en q ↔ x y + 3 = 0

Gegeven: sin α = 8 17 en0° < α < 90°

a)Noteer de grondformule van de goniometrie.

b)Bepaal cos α met behulp van de grondformule.

c)Bereken tan α.

Reken uit het hoofd.

a)sin30°

b)cos45°

c)tan60°

d)cot90°

e)cot30° + sin60°

f)3cos60° 2tan45°

g)cos2 30° + sin2 30°

h)cot60° tan30°

i)sin90° cos30°

j) cot30° cos30°

Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt P die een hoek α maakt met de positieve x-as. Werk op 3 decimalen nauwkeurig.

Bereken de gevraagde goniometrische getallen zonder eerst de hoek α te berekenen.

∈ I

= 4 5

∈ II

= 4 5

= 5 13

α = 5 13

= 5 13

5 13

∈ IV

= 5 13

= 21 20

III

21 20

∈ III

= 21 20

III

= 9 40

III

= 9 40

III

∈ II

= 9 40

= 11 61

∈ IV

= 11 61

α = 33 65

= 33 65

α = 33 65

= 33 65

21 22 23 24

a)Bepaal de vergelijking van de rechte r door het punt P( 1, 0) die een hoek maakt van 40° met de positieve x-as.

b)Bepaal de vergelijking van de rechte r door het punt P( 2, 3) die een hoek maakt van 110° met de positieve x-as.

c)Bepaal de vergelijking van de rechte r door het punt P( 3, 4) die een hoek maakt van 90° met de positieve x-as.

Toon volgende gelijkheden aan voor elke α waarvoor beide leden zinvol zijn.

a) cos α cos2 α + sin2 α = cos α

b) sin α tan α cos α = 0

c)sin α cot α = cos α

d) 1 sin2 α tan2 α = sin2 α

e)2 sin2 α = 1 + cos2 α

Bereken:

5cos α 12tan α alssin α = 7 25 en α ∈ I

Bereken zonder gebruik te maken van ICT.

a)sin60° ⋅ cos30° cos60° ⋅ sin30°

b) sin30° cos30° cos30° + sin30°

c) (tan60° tan30°)2

Toon volgende gelijkheden aan voor elke α waarvoor beide leden zinvol zijn.

a)cos4 α + 2 ⋅ cos2 α ⋅ sin2 α + sin4 α = 1

b)1 + tan2 α = 1 cos2 α

c) sin α + cos α 2 + sin α cos α 2 = 2

d)sin4 α 2sin2 α = cos4 α 1

e) cos α sin α cos α = 1 tan α 1

f) 1 cos α sin α = sin α 1 + cos α

g) 1 sin2 α + 1 cos2 α = 1 sin2 α ⋅ cos2 α

h) 1 tan α cot α 1 = tan α + 1 1 + cot α

i) 1 cos α + sin α 1 + cos α + sin α = sin α cos α + 1

j) 1 + sin α + cos α 1 sin α cos α sin α cos α = 2

Goniometrische getallen van verwante hoeken

deﬁnitie

We maken kennis met nog meer goniometrische getallen: secans en cosecans.

sec α = 1 cos α (cos α ≠ 0)

csc α = 1 sin α sin α ≠ 0

a)Bepaal zonder ICT.

csc 30° = … sec 30° = …

csc 45° = … sec 45° = …

csc 60° = sec 60° =

b)Toon aan.

sec2 α = 1 + tan2 α

csc2 α = 1 + cot2 α

Geef de juiste benaming van de verwante hoeken.

a) A = 40°en B = 140°

b) C = 120°en D = 240°

c) E = 210°en F = 30°

d) G = 35°en H = 35°

e) I = 20°en J = 70°

f) K = 70°en L = 110°

Bepaal het tegengestelde, het supplement en het complement van de gegeven hoek α

a) 20°

b) 10°20′

c)30°10′20″

d) 85°20′

e) 90°

f) 45°01′59″

g)170°50′

h) 0°

i)222°33′44″

j) -66°55′

Kleur de gelijke uitdrukkingen in eenzelfde kleur.

sin 20° -sin( -40°) tan( -110°) sin 160°

tan 70°

sin 90°

cos 0° tan 45° sin 40°

cos 50° cos 70° -tan 110°

cos( -70°) -tan( -70°) cot 20° -cos 130°

Vul aan met = of ≠

a)sin 20° … sin 160°

b)tan 43° … cot 47°

c)sin 240° … sin 120°

d)sin 105° … -sin 75°

e)cos 10° … cos 180°

f) tan 45° … tan -35°

Vereenvoudig.

a)sin(180° + α)

b)cos(α 180°)

c)tan(810° α)

d)cot(α 540°)

Gegeven:sin α = 3 5 cos β = 2 7

tan γ = 4

Bereken.

a)sin(180° α)

b)cos( β)

c)cot γ

d)sin( α)

e)cos(180° β)

g)sin 200° … sin 20°

h)cot ( -40°) … -cot 40°

i)cos 110° … sin 20°

j)cos 190° … cos 170°

k)sin ( -80°) … cos ( -190°)

l)tan 50° … -tan 130°

e)sin(90° α)

f)cos(α + 900°)

g)tan(1080° α)

h)cot(270° α)

f)tan(γ 360°)

g)cos(90° α)

h)tan(180° γ)

i)sin(90° β)

j)cot(90° γ)

i)sin(90° + α)

j)cos(360° α)

k)tan(270° + α)

l)cot(720° α)

Gegeven:sin 23° = 0,39073

cos 43° = 0,73135

Bereken (zonder gebruik te maken van ICT):

a)sin 157°

b)sin 383° c)sin 337° d)sin 47°

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Vervolledig de tabellen door gebruik te maken van de formules van verwante hoeken.

Gegeven: tan α = 117 44 en α ∈ I

Gevraagd:

a)Bereken de sinus van de complementaire hoek.

b)Bereken de cosinus van de supplementaire hoek.

c)Bereken de cotangens van de tegengestelde hoek.

Gegeven: sin α = 99 101 en α ∈ II

Gevraagd:

a)Bereken de cosinus van de supplementaire hoek.

b)Bereken de tangens van de complementaire hoek.

c)Bereken de cotangens van de tegengestelde hoek.

Vereenvoudig.

cos2 15° + sin2 30° + cos 45° + sin2 60° + cos2 75°

Gegeven: sin15° = √3 1 2√2 Bereken exact sin 75°.

Vereenvoudig de uitdrukkingen zo ver mogelijk.

a) sin(180° α) ⋅ cos(180° + α) ⋅ cot(90° α) cos(90° + α) sin(360° α) cot(α 180°)

b) cos(990° α) cos(90° α) tan(360° α) sin(180° α) ⋅ sin(180° + α) ⋅ tan(90° + α)

c) sin(α + 360°) ⋅ cos(360° α) ⋅ tan(180° α) tan(α + 180°) tan(α 90°) cot(α + 270°)

d) cos(540° + α) cos(720° α) cos(900° + α) cos(α 180°) tan(270° α) tan(270° + α)

Vereenvoudig de uitdrukkingen zo ver mogelijk.

a)cos(180° + α) cot(α 180°) cos(810° α)+ sin(α 540°) cos(90° α) tan(α + 900°) cot(1080° α)

b) cos(270° α) sin(90° + α) tan(360° α) + cos(270° + α) cos(720° α) cot α

c) tan(360° α) sin(270° + α) cos(α 90°) + cot(450° + α) sin(900° α) cos(α 540°)

d) cos(180° + α) ⋅ cot(α 90°) sin(540° α) + sin(270° α) ⋅ cot(90°

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Reken uit.

a) cos60° sin120°

b) sin315° tan225° sin30°

c)4sin150° 2cos240°

d) cos300° + sin330° tan ( 135°) cot315°

Computationeel denken

Toepassing 1: De hoofdwaarde bepalen

Hieronder vind je de start van een code in Python.

Probeer de code te begrijpen aan de hand van de volgende vragen.

a)Waarom wordt er gebruik gemaakt van int() in lijn 1?

b)Waarom wordt er in lijn 3 gebruik gemaakt van de logische operator and?

Het programma kan verbeterd worden door de hoofdwaarde te laten bepalen indien de gebruiker dit niet invult.

c)Waarom wordt er zowel op lijn 7 als op lijn 9 gebruik gemaakt van een while-structuur?

d)Wat betekent hoek += 360?

e)Wat betekent hoek -= 360?

f) Voer het programma uit voor de volgende invoer en noteer telkens de uitvoer die je verkrijgt.

α = -130°

α = 740°

α = 210°

Toepassing 2: Kwadranten

Hieronder zie je de start van een code om te bepalen in welk kwadrant het beeldpunt van een georiënteerde hoek ligt. Er werd gebruik gemaakt van de code uit de vorige toepassing. De nieuwe regels code vind je dus vanaf regel 13.

a)Vul deze code aan voor kwadrant II, kwadrant III en kwadrant IV. Opgelet: indien het beeldpunt op de x-as of y-as ligt, dan vermeld je dat ook.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

b)Vul de code aan zodat uitgevoerd wordt welk toestandsteken de sinus van de hoek en de cosinus van de hoek hebben.

Toepassing 3: Verwante hoeken

Ook voor deze toepassing vertrekken we van de code uit toepassing 1.

Vul de code aan zodat ook de supplementaire hoek, de antisupplementaire hoek, de complementaire hoek en de anticomplementaire hoek worden bepaald.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Studiewijzer

Differentiatietraject

Doelen

Ik kan de goniometrische getallen sinus, cosinus, tangens en cotangens van een hoek deﬁniëren en berekenen in een goniometrische cirkel.

Ik kan de hoofdeigenschap van de goniometrie formuleren en toepassen. Ik kan de goniometrische getallen gebruiken in verschillende toepassingen.

Ik kan verbanden tussen de goniometrische getallen van tegengestelde, supplementaire, antisupplementaire, complementaire en anticomplementaire hoeken formuleren en toepassen.

Doelstellingen pagina in

Ik kan de goniometrische getallen sinus, cosinus, tangens en cotangens van een hoek deﬁniëren en berekenen in een goniometrische cirkel.

Een punt op de goniometrische cirkel komt overeen met oneindig veel hoeken, die we noteren als α + k ∙ 360° ( met k ∈ ) . We werken daarbij steeds met een representant α ∈ ] -180°, 180°]

verwerking: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 signaal: 1, 2

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

differentiatie: 1 t.e.m. 15

Ik kan de hoofdeigenschap van de goniometrie formuleren en toepassen. Ik kan de goniometrische getallen gebruiken in verschillende toepassingen.

Zie je de link tussen de stelling van Pythagoras en de hoofdeigenschap van de goniometrie? Wat is de link tussen de richtingscoëfﬁciënt van een rechte en de tangens van de bijbehorende hellingshoek?

verwerking: 8, 9, 10, 11 signaal: 3, 4, 5

differentiatie: 16 t.e.m. 25

Ik kan verbanden tussen de goniometrische getallen van tegengestelde, supplementaire, antisupplementaire, complementaire en anticomplementaire hoeken formuleren en toepassen.

Hou er steeds rekening mee dat er meer hoeken horen bij een goniometrisch getal dan deze die je verkrijgt via ICT.

verwerking: 12, 13, 14, 15, 16 signaal: 6, 7, 8

differentiatie: 26 t.e.m. 40

pagina

Auteurs Philip Bogaert, Björn Carreyn en Roger Van Nieuwenhuyze

Eerste druk 2024 - SO 2024/0224 - Bestelnummer 94 606 0119 (module 06 van 18)

ISBN 978 90 4864 973 0 - KB D/2024/0147/206 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF

Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure

Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge