Gelijke veeltermen hebben dezelfde graad en de coëfficiënten van de overeenkomstige machten zijn twee aan twee gelijk.
Als ax2 + bx + c = ax2 - 2apx + ap2 + q, dan:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
f(x)= a(x p)2 + q met
eigenschap Elk functievoorschrift f( x) = ax2 + bx + c ( met a ≠ 0) is te schrijven als
Als het functievoorschrift in de vorm f( x) = ax2 + bx + c staat, dan kun je met deze formules de coördinaat van de top van de grafiek en de symmetrieas van de grafiek bepalen.
Voorbeeld
f(x)= 3x2 2x + 1 (a = 3, b = 2en c = 1) p = b 2a = 2 2 ⋅ 3 = 1 3 q = b2 + 4ac 4a = ( 2)2 + 4 3 1 4 3 =
Besluit:
De top van de grafiek van f is T 1 3 , 2 3 .
De vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van f is x = 1 3 . p ap
Merk op
• Het is vaak veel eenvoudiger om de y-coördinaat van de top als functiewaarde te berekenen: f( p) = q
• Met de formules kun je de top van de grafiek van een tweedegraadsfunctie f met voorschrift f( x) = ax2 + bx + c berekenen.
• De constante term c is de y-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van de functie f met de y-as. (Je berekent de functiewaarde f( 0) , of met andere woorden f( 0) = c.)
Het snijpunt van de grafiek van f met voorschrift f( x) = 3x2 - 2x + 1 met de y-as heeft als coördinaat ( 0, 1) .
1.2 Stijgen en dalen bij
een tweedegraadsfunctie f met voorschrift f ( x ) = ax 2 + bx + c
Als je de top van de grafiek van een tweedegraadsfunctie hebt bepaald, ken je ook meteen het extremum (het minimum of het maximum ). Je kunt dan ook het verloop van de functie weergeven.
Voorbeeld 1
f( x) = 0,5x2 + 2x + 1
De top van de grafiek is T( -2, -1) want
p = 2 1 = 2
q = f( 2)= 1
De grafiek van de functie is een dalparabool.
Voorbeeld 2
f( x) = -x2 + 6x - 3
De top van de grafiek is T( 3, 6) want
p = 6 2 = 3
q = f(3)= 6
De grafiek van de functie is een bergparabool.
Verwerkingsopdrachten
Gegeven: de functie f met voorschrift f( x) = x2 - 4x + 1
a)Vorm het functievoorschrift om tot de vorm f( x) = a( x - p) 2 + q
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Bepaal de coördinaat van de top van de grafiek van de functie f
c)Geef de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van de functie f
Gegeven: f( x) = x2 + 2x + 5.
Zijn de uitspraken waar of niet waar? Omkring en verklaar.
a)De top van de grafiek van f is T( 1, 4) .
Verklaring:
b)Het snijpunt van de grafiek van f met de y-as is P( 0, 4)
Verklaring:
c)De vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van f is x = 2.
Verklaring:
Verklaring: 1 2
d)Het voorschrift van f kan omgevormd worden tot f( x) = ( x + 1) 2 + 4.
WAAR / NIET WAAR
WAAR / NIET WAAR
WAAR / NIET WAAR
WAAR / NIET WAAR
2 Functievoorschriften opstellen
2.1 De coördinaat van de top en een willekeurig punt op de parabool zijn gegeven
Voorbeeld
Gegeven:De top van de parabool is T( -3, 5) en het punt P( -1, 13) ligt op de parabool.
Gevraagd:het functievoorschrift dat hoort bij deze parabool
Oplossing:
• De top van de parabool is T( -3, 5) .
Dus p = -3 en q = 5.
f( x) = a( x - p) 2 + q wordt f( x) = a( x + 3) 2 + 5.
• Het punt P( -1, 13) ligt op de parabool. Dus f( -1) = 13.
13 = a( 1 + 3)2 + 5 13 = 4a + 5
13 5 = 4a 8 = 4a 2 = a
• Besluit: f( x) = 2( x + 3) 2 + 5
Merk op Je kan ook met behulp van de grafiek a bepalen:
• Vertrek altijd vanuit de top.
• Kijk hoe de y-waarde verandert als je de x-waarde met 1 eenheid vermeerdert.
• a = 2
2.2 De coördinaten van drie niet-collineaire punten van
Voorbeeld
Gegeven:A( 0, 3) , B( 1, 0) en C( 5, 8) liggen op de parabool.
Gevraagd:Het functievoorschrift dat hoort bij deze parabool.
Oplossing:
We vullen de punten in in de vergelijking van de parabool: y = ax
A(0,3) ligtopdeparabool:3
B(1,0) ligtopdeparabool:0 =
C(5,8) ligtopdeparabool:8
Besluit:
Verwerkingsopdrachten
Gegeven:De punten A( 0, -5) , B( 1, 0) en C( 4, 3) liggen op de parabool van de functie f Gevraagd:Bepaal het functievoorschrift dat hoort bij deze parabool.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Gegeven:T( 3, 4) is de top van de parabool en A( 2, 3) en C( 4, 3) liggen op de parabool van de functie f. Gevraagd: Bepaal het functievoorschrift dat hoort bij deze parabool.
3 Problemen oplossen
Voorbeeld 1
De som van twee getallen is 10. Wanneer is de som van hun kwadraten zo klein mogelijk? Bereken die som.
Probleem begrijpen:
We kiezen een aantal willekeurige getallen en berekenen de som.
Probleem oplossen:
Getal 1: x
Getal 2: 10 - x
Het functievoorschrift dat bij deze context hoort:
s( x) = x2 + ( 10 - x) 2
s( x) = x2 + 100 - 20x + x2
s( x)= 2x2 - 20x + 100
Om de kleinste waarde te bepalen, bepalen we het minimum.
p = b 2a = 20 4 = 5
q = f(5)= 2 52 20 5 + 100 = 50 100 + 100 = 50
Antwoord: Als de beide getallen 5 zijn, dan is de som minimaal, namelijk 50.
Voorbeeld 2
Met 40 m draad wil ik een zo groot mogelijk rechthoekig kippenhok maken. Hoe groot moeten de lengte en de breedte zijn zodat de oppervlakte maximaal is?
Probleem begrijpen: We maken een tekening: x 20 - x
Probleem oplossen: breedte: x
lengte: 20 - x
Het functievoorschrift dat bij deze context hoort:
A( x) = x · ( 20 - x)
A( x) = -x2 + 20x
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
We bepalen het extremum van deze functie. ( a = -1, b = 20 en c = 0)
p = b 2a = 20 2 = 10
q = f(10)= 102 + 20 10 = 100
Antwoord: De maximale oppervlakte is 100 m2 als zowel de lengte als de breedte 10 m is.
Wanneer is het product van twee opeenvolgende oneven getallen minimaal?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Een bedrijfsleider wil de kosten voor het maken van zonnebloemolie zo laag mogelijk houden. De kosten voor een dagproductie van x duizend eenheden kunnen benaderd worden met de functie: k(x)= 1 25 x2 42 5 x + 24000.
Bepaal het aantal geproduceerde eenheden zodat de kosten minimaal zijn.
Signaaloefeningen
a)Vorm het functievoorschrift van de functie f met voorschrift f( x) = x2 - 6x + 1 om tot de vorm f( x) = a( x - p) 2 + q.
b)Geef de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van f
c)Geef de coördinaat van de top van de grafiek van f
d)Welke samenstelling van transformaties beeldt de grafiek van de functie g met voorschrift g( x) = x2 af op de grafiek van de functie f ?
Gegeven:T( 1, 4) is de top van de parabool en A( 0, 1) ligt op de parabool van de functie f
Gevraagd:Bepaal het functievoorschrift dat hoort bij deze parabool.
Een basketbalspeler gooit een bal naar de korf volgens deze tekening. De baan van de bal benadert een parabool. Stel het functievoorschrift op dat hoort bij deze parabool.
4
Een projectiel wordt afgevuurd. De baan van het projectiel wordt beschreven door de functie h
(met t de tijd in seconden en h de hoogte in meter).
a)Na hoeveel tijd bereikt het projectiel zijn maximale hoogte?
b)Hoe hoog bevindt het projectiel zich bij maximale hoogte?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Een varkensboer wil een zo groot mogelijk rechthoekig stuk grond afspannen voor zijn varkens. Hij beschikt hiervoor over 32 meter afspanning. Bepaal de maximale oppervlakte van het afgespannen stuk als de wand van de varkensstal mee het rechthoekige stuk bepaalt.
Kenmerken van de grafiek van de functie
Differentiatietraject
Ana bepaalde de coördinaat van de top van de grafiek van de functie f met voorschrift f
- 8
+ 7 op de volgende manier.
De top van de grafiek heeft als coördinaat T(2, -1).
Bepaal telkens voor de grafiek van de functie van Brooklyn, Cobe, Eleni en Dieuwke de coördinaat van de top op dezelfde manier.
Gegeven:
a)Welke grafieken van deze tweedegraadsfuncties hebben dezelfde top?
b) Geef voor elke overblijvende functie een voorschrift van een andere functie zodat de grafieken van beide functies dezelfde top hebben.
Bepaal het snijpunt van de grafiek van de functie met de y-as.
Bepaal de coördinaat van de top van de grafiek van de gegeven functie.
Dieuwke
Bepaal de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van de gegeven tweedegraadsfunctie f.
1 (x)= x2 4x + 3
Bepaal het functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie g waarvan de grafiek een dalparabool is met dezelfde top als de grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = -3x2 + 6x - 5.
Welke transformaties zijn uitgevoerd met de grafiek van de functie g met voorschrift g( x) = x2 om de grafiek van de gegeven functies te verkrijgen? f1 (x)= 5x2 + 20x 12
Bepaal de top van de parabool die ontstaat door de grafiek van de functie f met voorschrift f
a)te spiegelen ten opzichte van de x-as.
b)te spiegelen ten opzichte van de y-as.
Geef het verloop (stijgen en dalen) voor de grafiek van de functies.
Bepaal de top van de parabool die ontstaat door de grafiek van de functie f met voorschrift
a)te spiegelen ten opzichte van de oorsprong.
b)te spiegelen ten opzichte van de rechte a met vergelijking y = -3.
c)te spiegelen ten opzichte van de rechte b met vergelijking x = 4.
De grafiek van de functie f met voorschrift f(x)= x2 2 8x + 1 wordt achtereenvolgens 3 eenheden horizontaal naar rechts verschoven en 4 eenheden verticaal naar onder verschoven.
a)Geef de vergelijking van de symmetrieas van die grafiek.
b)Geef de coördinaat van de top van die grafiek.
Toon aan dat de grafiek van f met voorschrift f( x) = -2( x + 1) 2 - 3 dezelfde top heeft als de grafiek van de functie g met voorschrift g( x) = 5x2 + 10x + 2.
Functievoorschriften opstellen
Bepaal de waarde van a zodat T 3, 31 2 de top is van de grafiek van de functie f met functievoorschrift
f( x) = ax2 + 9x - 2.
Bepaal de waarde van c zodat T( 4, -2) de top is van de grafiek van de functie f met functievoorschrift
f( x) = -1,5x2 + 12x + c.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Gegeven: T(p, q) is de top van de grafiek van een tweedegraadsfunctie f
Toon aan dat: T(p, q) ∈ f ⇒ P( p + 1, q + a) ∈ f
De parabool met vergelijking y = x2 - mx + n heeft als top ( 3, -8) . Bepaal m en n.
Gegeven: p
Toon aan dat de toppen van de parabolen collineair zijn.
Van de gegeven tweedegraadsfuncties werd de grafiek getekend. f(x)= x
Noteer het juiste functievoorschrift bij de passende parabool. Kijk hiervoor naar de bijzondere punten. x
Kleur telkens de functievoorschriften die voldoen aan de voorwaarde.
a)De top van de parabool is T( 4, 1) .
f(x)= 2(x 4)2 + 1
f(x)= 2(x 4)2 + 1
g(x)= 1 2 x2 4x + 9
h(x)= x2 + 4x + 1
f(x)= 3(x 1)2 + 2
(x)= 2(
(x)=
g(x)= x2 + 2x + 3
g(x)= 1 2 x2 4x + 9
h(x)= x2 + 4x + 1
k(x)= x2 + 8x + 1
b)De vergelijking van de symmetrieas van de parabool is x = -1.
h(x)= x2 + 4x + 1
f(x)= 3(x 1)2 + 2
k(x)= x2 +
g(x)= x2 + 2x + 3
f(x)= 3(x 1)2 + 2
k(x)= x2 + 8x + 1
g(x)= x2 + 2x + 3
h(x)=(x + 1)2
c)De parabool snijdt de y-as in het punt P( 0, 2)
h(x)=(x + 1)2
f(x)= 3 4 (x + 2)2 + 2
k(x)= 3x2 6x
g(x)= 0,25x2 + 3x + 2
h(x)= 4x2 + 2
k(x)=(x + 1)2 + 1
f(x)= 3 4 (x + 2)2 + 2
k(x)= 3x2 6x
g(x)= 0,25x2 + 3x + 2 h(x)= 4x2 + 2
k(x)=(x + 1)2 + 1
g(x)= x2 + 2x + 3
h(x)=(x + 1)2
f(x)= 3 4 (x + 2)2 + 2
k(x)= 3x2 6x f(x)= 3(x 1)2 + 2
g(x)= 0,25x2 + 3x + 2
h(x)= 4x2 + 2
k(x)=(x + 1)2 + 1
h(x)=(x + 1)2
f(x)= 3 4 (x + 2)2 + 2
k(x)= 3x2 6x
g(x)= 0,25x2 + 3x + 2
h(x)= 4x2 + 2
k(x)=(x + 1)2 + 1
Geef telkens twee mogelijke functievoorschriften.
a)De parabool snijdt de y-as in het punt ( 0, -1)
b)De vergelijking van de symmetrieas van de parabool is x = 3.
c)De top van de parabool is T( -1, 2) .
Bepaal het functievoorschrift dat hoort bij de gegeven parabool. a)
Stel de vergelijking op van de parabool die door de oorsprong gaat met top T(3, -4)
Stel het voorschrift op van de functie van de tweede graad met als nulwaarden -4 en 1 en die door P( -2, 3) gaat.
Een functie van de tweede graad heeft een extremum van 3 voor x = -2. De grafiek gaat ook door P( 2, 1) .
Stel het voorschrift op van de functie.
28 29 30
Een autoweg over het water verbindt twee stukken land met elkaar. De afstand tussen de twee steunpilaren is 1280 meter. De steunpilaren zijn 160 meter hoog. Tussen de steunpilaren is een kabel gespannen die een parabolische vorm aanneemt. Net in het midden van de twee steunpilaren raakt de kabel de autoweg. Hoe hoog bevindt de kabel zich van de autoweg als je 500 meter verwijderd bent van een steunpilaar?
m (640, 160) y x
m
De doorsnede van een rivier is parabolisch. Over welke afstand is de rivier dieper dan 1 m als de rivier 6 m breed en 2 m diep is?
De doorsnede van een schaal is parabolisch. De schaal is 20 cm breed en 10 cm diep. In de schaal staat 3 cm water. Wat is de breedte van het vloeistofoppervlak?
De gewelven van een kerk zijn parabolisch van vorm. We laten de steunpilaren buiten beschouwing.
Op 1 m horizontale afstand is het gewelf 0,5 m hoog en op 2 m horizontale afstand is het gewelf 0,9 m hoog.
a)Hoe breed is deze kerk?
b) Hoe hoog is het gewelf als je weet dat een steunpilaar 9,8 m hoog is?
De rechte a met vergelijking x = 3 is de symmetrieas van een parabool die aan de x-as raakt en door P( 6, -1) gaat. Bepaal de vergelijking van de parabool.
De parabool p raakt in zijn top aan p′ met vergelijking y = 2x2 - 4x + 1. Bovendien gaat de parabool p ook door het punt A( -1, 2). Bepaal de vergelijking van p.
Problemen
Vicky lanceert een voorwerp vanop 5 meter hoogte. Het voorwerp legt een parabolische baan af. De hoogte van het voorwerp kan beschreven worden in functie van de tijd met behulp van de functie h met voorschrift h( t) = -0,25t2 + 2t + 5. Geef de betekenis van de drie aangeduide punten.
Een dolfijn springt uit het water. Zijn sprong is parabolisch en kan beschreven worden met de functie
h( x) = -0,25( x - 3) 2 + 2,25 waarbij x de horizontale verplaatsing is (in meter) en h( x) de hoogte ten opzichte van het wateroppervlak (in meter).
a)Bepaal de maximale hoogte bij dit kunstje van de dolfijn.
b)Hoeveel verder duikt de dolfijn terug in het water?
Na t seconden bereikt een bal een hoogte van h meter. Het verband wordt weergegeven door de functie h met voorschrift h( t) = 1,44t - 16t2 .
a)Bereken de maximale hoogte van de bal. Controleer je antwoord met ICT.
b)Bereken na hoeveel seconden de bal zijn maximale hoogte bereikt. Controleer je antwoord met ICT.
Vanop een helling, 2,4 meter boven de zeespiegel, wordt vuurwerk afgeschoten. Het vuurwerk ontploft op zijn maximale hoogte. De hoogte van het vuurwerk ten opzichte van de zeespiegel (in meter) kan weergegeven worden in functie van de tijd (in seconden) door de functie h met voorschrift h( t) = -48t2 + 192t + 2,4.
a)Na hoeveel tijd bereikt het vuurwerk zijn maximale hoogte?
b)Wat is de hoogte op dat tijdstip?
In een rechthoek is de halve omtrek 80 cm. Voor welke lengte en breedte is de oppervlakte van de rechthoek maximaal?
Twee getallen hebben als som 20. Wanneer is hun product maximaal?
In een park staat een fontein waarvan de waterstralen 3 verschillende vormen hebben. De weg van elke waterstraal kan beschreven worden met de grafiek van een tweedegraadsfunctie.
f1 (d)= d2 + 1,5
f2 (d)= 3d2 + 6
f3 (d)= 5d2 + 7,5
a)Van welke waterstraal komt het water het verst?
b)Van welke waterstraal komt het water het hoogst?
Van 2 schalen op tafel kan de doorsnede beschreven worden met de grafiek van een tweedegraadsfunctie. De doorsnede komt telkens overeen met het gedeelte onder de x-as van de grafiek van de volgende functies.
Schaal1: f(x)= 1 81 (x 18)2 4
Schaal2: g(x)= 2 75 x2 4 5 x
a)Welke schaal is het diepst?
b)Welke schaal heeft de grootste diameter?
Het verschil van twee getallen is 30. Voor welke getallen is het product minimaal?
Uit een onderzoek blijkt dat de opbrengst van duizenden kilogram groenten afhangt van de hoeveelheid gebruikte mest per hectare (in ton). Het verband kan beschreven worden met de functie f met voorschrift f( x) = 1 + 1,08x - 0,3x2
Hoeveel kunstmest per hectare moet er gebruikt worden om de opbrengst te maximaliseren?
Via een website kun je T-shirts voor het goede doel kopen. Er worden op deze site maandelijks 100 T-shirts verkocht voor een prijs van 20 euro per stuk. Uit onderzoek blijkt dat telkens men het T-shirt 1 euro goedkoper zou maken, men 10 T-shirts meer zou verkopen.
a)Stel een functievoorschrift op dat de totale inkomsten uitdrukt in functie van de toegekende vermindering van 1 euro.
b)In welke situatie zijn de inkomsten maximaal?
Je hebt een omheining van 300 m. Hiermee wil je een zo groot mogelijk rechthoekig stuk grond afzetten. Wat zijn de afmetingen van dat stuk grond?
Van een rechthoek ligt een hoekpunt in de oorsprong en een hoekpunt op de rechte a met vergelijking y = -2x + 6. Voor welke lengte en breedte is de oppervlakte maximaal als de rechthoek in het eerste kwadrant moet liggen?
Een tuinarchitect legt een parallellogramvormig grasperk aan in een rechthoekige tuin van 17 m bij 7 m. Hij bepaalt een afstand x op elke zijkant en plaatst daar de hoekpunten van het grasperk. De resterende grond wordt beplant met bloemen. Voor welke afstand x is de oppervlakte van de bloembedden zo groot mogelijk?
Voor welke waarde van x bereikt f met voorschrift
x 7 een extremum? Is dit een minimum of een maximum? Maak gebruik van ICT.
Computationeel denken
De top van de grafiek van een tweedegraadsfunctie
Hieronder vind je een stuk code om te bepalen wat de coördinaat van de top van de grafiek van een gegeven tweedegraadsfunctie f is:
Begrijp je de code?
a)Verklaar waarom er op lijn 5 en 6 haakjes worden gebruikt in zowel de teller als de noemer.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Wat betekent -b**2?
Pas de code aan.
a)Wijzig de code zodat q berekend wordt door gebruik te maken van het functievoorschrift in plaats van de formule voor q
b)Schrijf extra code zodat er een extra uitvoer komt waarbij er wordt bepaald of er een minimum of maximum is.
Bijvoorbeeld: “Het minimum wordt bereikt in -3.”
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c)Schrijf extra code zodat je ook de vergelijking krijgt van de symmetrieas van de grafiek van de functie.
d)Wijzig de code zodat we enkel uitvoer krijgen als a ≠ 0.
Studiewijzer
Differentiatietraject
Doelen
Ik kan de top en de symmetrieas van de grafiek van een tweedegraadsfunctie bepalen.
Ik kan een functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie opstellen die aan bepaalde voorwaarden moet voldoen.
Ik kan extremumproblemen oplossen.
Doelstellingen
910 11 12
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Ik kan de top en de symmetrieas van de grafiek van een tweedegraadsfunctie bepalen.
Bepaal q door in het functievoorschrift p in te vullen.
verwerking: 1, 2
signaal : 1 differentiatie: 1 t.e.m. 17
Ik kan een functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie opstellen die aan bepaalde voorwaarden moet voldoen.
Als je de top gegeven hebt, kun je gebruik maken van f( x) = a( x – p) 2 + q
verwerking: 3, 4
signaal: 2, 3 differentiatie: 18 t.e.m. 30
Ik kan extremumproblemen oplossen.
Het bepalen van de top van de parabool zorgt ervoor dat je het extremum (minimum of maximum) kunt bepalen.
verwerking: 5, 6
signaal: 4, 5 differentiatie: 31 t.e.m. 45
3
6
9
Auteurs Philip Bogaert, Björn Carreyn en Roger Van Nieuwenhuyze
Eerste druk 2024 - SO 2024/0224 - Bestelnummer 94 606 0119 (module 05 van 18)
ISBN 978 90 4864 973 0 - KB D/2024/0147/206 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
