Functies van de tweede graad
wat je al kunt
–een voorschrift van een functie van de eerste graad herkennen
–de grafiek van een functie van de eerste graad tekenen
–de nulwaarde van een eerstegraadsfunctie berekenen en bepalen
–de tekentabel, het stijgen/dalen van een functie van de eerste graad geven
wat je leert in deze module
–een voorschrift van een functie van de tweede graad herkennen
–de grafiek van een tweedegraadsfunctie tekenen
–de grafiek van een tweedegraadsfunctie opbouwen
–de nulwaarden en het extremum bepalen
–de tekentabel en het stijgen/dalen van een functie van de tweede graad geven
Inhoud
Instap
1Functies van de tweede graad
2De grafiek van f( x) = ax2
3De grafiek van f( x) = ( x - p) 2
4De grafiek van f( x) = x2 + q
5De grafiek van f( x) = a( x - p) 2 + q
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Computationeel denken
Studiewijzer
in de kijker
Je gebruikt ICT om verbanden te visualiseren en redeneringen te controleren.
wiskundetaal
–tweedegraadsfunctie
–kwadratische functie
–parabool
–dalparabool
–bergparabool
–extreme waarde(n)
–minimum
–maximum
– top
–symmetrieas
–tekentabel
–verloop (stijgen en dalen)
Instap
Opdracht 1
Een functie is een verband tussen twee veranderlijken x en y, waarbij voor elke waarde van x er hoogstens één y-waarde bestaat. Welke van onderstaande grafieken stelt een functie voor? Omcirkel het passende antwoord.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Opdracht 2
Gegeven: de grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = 4x - 3
a)Bepaal of bereken de volgende functiewaarden.
f( 1) =
f( -1) =
b)Duid op de grafiek het nulpunt aan.
c)Bereken de nulwaarde.
d)Stel de tekentabel op.
f( x)
e)Vink de juiste uitspraken aan.
□ Het plusteken in de tekentabel betekent dat de functiewaarde voor positieve x-waarden werd berekend.
□ Het plusteken in de tekentabel betekent dat, voor deze x-waarden, de functiewaarde positief is.
□ Het plusteken in de tekentabel betekent dat, voor deze x-waarden, de grafiek van de functie boven de x-as ligt.
□ Het plusteken in de tekentabel betekent dat, voor deze x-waarden, de grafiek stijgend verloopt.
Opdracht 3
Bij deze symmetrische schaal kan de doorsnede met top in ( 0, 0) beschreven worden door de tweedegraadsfunctie f met voorschrift f(x)= 1 18 x2
a)Wat is hier een zinvol domein?
b)Wat betekenen negatieve x-waarden hier?
c)Bereken de diepte van deze schaal. Controleer met ICT.
d)De schaal is egaal met kaarsvet gevuld tot op een hoogte van 8 cm. Bereken de diameter van het egale oppervlak. Controleer met ICT.
e)Waar of niet waar? Omcirkel.
“Bij de situatie van vraag d) is de schaal voor ongeveer 2 3 met kaarsvet gevuld.” WAAR / NIET WAAR x f
1 Functies van de tweede graad
1.1 Wat is een functie van de tweede graad?
definitie Een functie van de tweede graad is een functie f met voorschrift f ( x ) = ax 2 + bx + c waarbij a , b en c reële getallen zijn en a verschillend is van nul.
Voorbeelden
Merk op
• Een functie van de tweede graad noemen we ook wel tweedegraadsfunctie of kwadratische functie
• In de definitie staat er dat a verschillend is van 0. Dat is noodzakelijk, anders valt de term met x2 weg en zou je geen voorschrift van een tweedegraadsfunctie hebben.
• Als het functievoorschrift niet kan geschreven worden in de vorm f( x) = ax2 + bx + c, dan is het geen tweedegraadsfunctie.
f(x)= 3 x2 is geen voorschrift van een tweedegraadsfunctie.
(x)= x2 5x + 1 4x + 2 is geen voorschrift van een tweedegraadsfunctie.
(x)=(3x 1) (x + 2) is een voorschrift van een tweedegraadsfunctie. Je kan de distributiviteit gebruiken om het voorschrift om te vormen.
(x)=(3x 1)(x + 2)
(x)= 3x2 + 6x x 2
(x)= 3x2 + 5x 2
1.2De grafiek van een tweedegraadsfunctie tekenen
Bij het tekenen van de grafiek van een eerstegraadsfunctie had je voldoende aan het kennen van twee punten die tot de grafiek van de functie behoren. De grafiek is immers een rechte. Om de grafiek van een tweedegraadsfunctie te tekenen, bereken je best veel meer functiewaarden. We spreken af minstens 5.
Voorbeeld: functie f met voorschrift f( x) = x2 - 4x + 3
x -1 -0,500,511,522,533,544,55 f( x) 85,2531,250 -0,75 -1 -0,7501,2535,258
• We kunnen voor alle reële x-waarden de functiewaarde berekenen.
dom f =
• We stellen vast dat de functiewaarden niet alle reële y-waarden bereiken.
ber f = [ -1, +∞[
• De grafiek van een tweedegraadsfunctie noemen we een parabool . De grafiek van de functie f snijdt de x-as in 1 en 3.
Er zijn twee nulwaarden .
• Op basis van de grafiek kun je een tekentabel opstellen.
x 1 3
f( x) + 0 - 0 + grafische betekenis:
+ : Voor deze x-waarden ligt de grafiek van f boven de x-as.
0 : Je noteert een nul onder de nulwaarde.
In de x-waarde snijdt (of raakt) de grafiek van f de x-as.
- : Voor deze x-waarden ligt de grafiek van f onder de x-as.
• Ook het verloop van de functie kunnen we in een tabel weergeven.
x 2
f( x) ↘ -1 ↗
• Het hoogste (of laagste) punt van de grafiek noemen we de top . Hier kunnen we de top aflezen: T( 2, -1)
De grafiek is symmetrisch opgebouwd. Als je kijkt naar de top van de grafiek van de functie kun je de vergelijking van de symmetrieas vinden. De grafiek is symmetrisch ten opzichte van de as met vergelijking x = 2.
Merk op
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
• We kunnen de nulwaarden niet altijd exact aflezen. In een andere module zullen we leren hoe we die exact kunnen bepalen.
• We kunnen gebruik maken van de symmetrie om bepaalde functiewaarden te vinden.
• Grafieken tekenen we meestal met behulp van ICT.
• De grafiek van een tweedegraadsfunctie heeft niet altijd twee snijpunten met de x-as. De grafiek kan de x-as ook raken in de top of helemaal geen snijpunten hebben.
Verwerkingsopdrachten
1
Kleur de functievoorschriften die voorschriften zijn van een functie van de tweede graad.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
2
Van de tweedegraadsfunctie f werden een aantal punten getekend in een assenstelsel.
De top van de grafiek van de functie is T(-1, 0).
a)Teken de grafiek van deze functie in het gegeven assenstelsel.
b)Bepaal de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van deze functie.
c)Bepaal de nulwaarde(n).
Beantwoord de volgende vragen aan de hand van de grafiek van de tweedegraadsfunctie f.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
a)Bepaal het domein van deze functie f.
b)Bepaal het bereik van deze functie f
c)Geef de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van deze functie.
d)Stel de tekentabel op voor deze functie.
f( x)
Een auto heeft na 50 meter een snelheid van 10 m/s. De bestuurder versnelt daarna gedurende 5 seconden gelijkmatig naar 4 m/s2 afgelegde weg ( x) in m
Hieronder zie je drie grafieken die horen bij deze context.
a)Wat is het werkdomein voor deze context?
b)Er werd voor het werkdomein telkens een deel van een grafiek van een functie getekend. Plaats de juiste naam van die functie onder de grafiek.
c)Plaats het functievoorschrift onder elke grafiek. t: tijd in seconden; a: versnelling in m/s2; v: snelheid in m/s en x: afstand in m a( t) = 4 v( t) = 10 + 4t x( t) = 2t2 + 10t + 50
d)Welke snelheid ( v) heeft de auto na 3 seconden?
e)Wat is de afgelegde weg ( x) na 3 seconden?
2 De grafiek van f ( x ) = ax 2 (met
2.1 De elementaire tweedegraadsfunctie f met voorschrift
f ( x ) = x 2
Om de grafiek op papier te tekenen, berekenen we van een aantal punten de coördinaatgetallen. Als je weet waar de top van de grafiek van de tweedegraadsfunctie ligt, kun je gebruik maken van symmetrie.
x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,500,511,522,53 f( x) 96,2542,2510,2500,2512,2546,259
Met ICT kun je de punten in een assenstelsel plaatsen. Tik je het voorschrift van de functie in, dan wordt de grafiek volledig getekend. Je stelt vast dat de punten op de grafiek liggen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
De grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = x2 heeft de volgende kenmerken:
• Het domein van de functie f: dom f =
• Het bereik van de functie f: ber f = [0, +∞[
• nulwaarde: 0
• tekentabel:
x 0
f( x) + 0 +
: de verzameling van de reële getallen ∞: oneindig
• Extreme waarde(n) (minimum of maximum): Het minimum is 0. Deze functiewaarde wordt bereikt bij x-waarde 0
De coördinaat van de top is T( 0, 0) .
• Het verloop (stijgen/dalen):
x 0
f( x) ↘ 0 ↗
• De symmetrieas van de grafiek heeft als vergelijking x = 0. In dit geval is de symmetrieas de y-as.
f( 1) = f( -1) , f( 2) = f( -2) , f( 3) = f( -3)
We stellen vast dat voor deze functie f( x) = f( -x)
TIP
2.2De grafiek
Situatie A: a is strikt positief (a > 0)
De opening van de parabool varieert, afhankelijk van de openingscoëfficiënt a
• Als a > 0 is de grafiek van de functie een dalparabool
• Hoe groter a, hoe smaller de parabool.
• Voor dezelfde x-waarden krijgen we immers functiewaarden die a keer groter zijn.
• Om de grafiek van g( x) = ax2 te verkrijgen, wordt de grafiek van f( x) = x2 uitgerokken volgens de y-as met factor a
• Bij dit soort grafieken kun je a snel aflezen op de grafiek van de functie. Bij f( x) = ax2 is f( 1)= a · 12 = a
De grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = ax2 en a > 0 heeft de volgende kenmerken:
• De grafiek is een dalparabool omdat a > 0.
• Het domein van de functie f: dom f =
• Het bereik van de functie f: ber f = [0, +∞[
• Extreme waarde(n) (minimum of maximum):
Het minimum is 0. Deze functiewaarde wordt bereikt bij x-waarde 0
De coördinaat van de top is T(0, 0).
• Het verloop (stijgen/dalen):
x 0
f( x) ↘ 0 ↗
• De symmetrieas van de grafiek heeft als vergelijking x = 0. In dit geval is de symmetrieas de y-as.
f( 1) = f( -1) , f( 2) = f( -2) , f( 3) = f( -3) …
We stellen vast dat voor deze functie f( x) = f( -x)
Situatie B: a is strikt negatief (a < 0)
-2 -1012
De opening van de parabool varieert, afhankelijk van de openingscoëfficiënt a.
• Als a < 0 is de grafiek van de functie een bergparabool .
• De opening van de parabool varieert. Hoe groter | |, hoe smaller de parabool.
• Om de grafiek van g( x) = ax2 (met a < 0) te verkrijgen, spiegel je de grafiek van f( x) = -ax2 ten opzichte van de x-as. De grafieken van g en f liggen symmetrisch ten opzichte van de x-as
• Bij dit soort grafieken kun je a snel aflezen op de grafiek van de functie. Bij f( x) = ax2 is f( 1)= a · 12 = a
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
De grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = ax2 en a < 0 heeft de volgende kenmerken:
• De grafiek is een bergparabool omdat a < 0.
• Het domein van de functie f: dom f =
• Het bereik van de functie f: ber f = ]-∞, 0]
• Extreme waarde(n) (minimum of maximum): Het maximum is 0. Deze functiewaarde wordt bereikt bij x-waarde 0
De coördinaat van de top is T(0, 0).
• Het verloop (stijgen/dalen):
x 0 f( x) ↗ 0 ↘
• De symmetrieas van de grafiek heeft als vergelijking x = 0. In dit geval is de symmetrieas de y-as.
f( 1) = f( -1) , f( 2) = f( -2) , f( 3) = f( -3)
We stellen vast dat voor deze functie f( x) = f( -x)
Gegeven: f1 (x)= 1 4x2
2 (x)= √2x2
3 (x)= 2 3 x2 f4 (x)= 3 2 x2
5 (x)= 6x2
a)Van welke functies is de grafiek een dalparabool?
b)Welke functie heeft de smalste parabool? _____________________________________________________________
c)Welke functie heeft de breedste parabool?
d)Van welke functies zijn de grafieken even smal?
e) Geef een voorschrift van een tweedegraadsfunctie g zodat de grafiek van deze functie een bergparabool is die smaller is dan de grafiek van de functie f5.
a)Bepaal het functievoorschrift van de getekende tweedegraadsfunctie f
b)Teken in het gegeven assenstelsel de grafiek van de tweedegraadsfunctie g met voorschrift g( x) = -0,5x2 x g( x)
c)Vervolledig de waardentabel zonder de functiewaarden uit te rekenen.
vaststelling: p = 0
vaststelling: p = -3
De grafiek is horizontaal 3 eenheden naar links verschoven.
vaststelling: p = 1
De grafiek is horizontaal 1 eenheid naar rechts verschoven. x -2 -1012
( x) 41014
-2 -1012
1491625
De grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = ( x - p) 2 heeft de volgende kenmerken:
• Het domein van de functie f: dom f =
• Het bereik van de functie f: ber f = [0, +∞[
• Extreme waarde(n) (minimum of maximum):
Het minimum is 0. Deze functiewaarde wordt bereikt bij x-waarde p.
De coördinaat van de top is T(p, 0).
• Het verloop (stijgen/dalen):
x p
f( x) ↘ 0 ↗
• De symmetrieas van de grafiek heeft als vergelijking x = p.
-2 -1012
94101
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
• De grafiek van functie f met voorschrift f( x) = ( x - p) 2 is congruent met de grafiek van de functie g met voorschrift g( x) = x2 en wordt verkregen door een horizontale verschuiving volgens de x-as.
Als p > 0, dan is het een horizontale verschuiving naar rechts met p eenheden.
Als p < 0, dan is het een horizontale verschuiving naar links met | | eenheden.
Merk op
Bij tweedegraadsfuncties met een voorschrift van de vorm f( x) = ( x - p) 2 is er één nulwaarde, namelijk p.
De grafiek raakt de x-as in p.
Verwerkingsopdrachten
Vink de juiste functievoorschriften aan die horen bij de grafiek van de functies.
De grafiek van de functie f met voorschrift
a)De grafiek van de functie g ontstaat door de grafiek van de functie f naar links te verschuiven met 5 eenheden. Teken deze grafiek in het gegeven assenstelsel.
b)Bepaal het functievoorschrift van de functie g.
2 is gegeven.
c)Bepaal aan de hand van de tekentabel het functievoorschrift van de functie h als je weet dat de grafiek van de functie h ontstaat door de grafiek van de functie p met voorschrift p( x) = -x2 horizontaal te verschuiven. x 1,5
h( x) - 0 -
d)Welke transformaties moet je uitvoeren met de grafiek y = x2 om de grafiek van h( x) te verkrijgen?
e)Teken de grafiek van de functie h in het gegeven assenstelsel.
vaststelling: q = 0
-2 -1012
vaststelling: q = 2
De grafiek is verticaal 2 eenheden naar boven verschoven.
vaststelling: q = -4
De grafiek is verticaal 4 eenheden naar onder verschoven.
De grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = x2 + q heeft de volgende kenmerken:
• Het domein van de functie f: dom f =
• Het bereik van de functie f: ber f = [q, +∞[
• Extreme waarde(n) (minimum of maximum):
Het minimum is q. Deze functiewaarde wordt bereikt bij x-waarde 0.
De coördinaat van de top is T(0, q).
• Het verloop (stijgen/dalen):
x 0
f( x) ↘ q ↗
• De symmetrieas van de grafiek heeft als vergelijking x = 0.
• De grafiek van functie f met voorschrift f( x) = x2 + q is congruent met de grafiek van de functie g met voorschrift g( x) = x2 en wordt verkregen door een verticale verschuiving volgens de y-as.
Als q > 0, dan is het een verticale verschuiving naar boven met q eenheden.
Als q < 0, dan is het een verticale verschuiving naar onder met | | eenheden.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Merk op
Om de tekentabel op te stellen zul je de nulwaarden moeten aflezen van de grafiek. Afhankelijk van de functie zijn er geen nulwaarden, één nulwaarde of twee nulwaarden.
a)Verbind het juiste functievoorschrift met de juiste parabool.
f1( x) = x2 + 4 •
f2( x) = ( x + 4) 2 •
f3( x) = -x2 + 4 •
f4( x) = -( x + 4) 2 •
f5( x) = x2 - 4 •
f6( x) = ( x - 4) 2 •
f7( x) = -x2 - 4 •
f8( x) = -( x - 4) 2 •
• groene parabool
• oranje parabool
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
• blauwe parabool
b)Bepaal het functievoorschrift van de functie g die hoort bij de grafiek die je verkrijgt als je de blauwe parabool 8 eenheden naar boven verschuift.
c)Teken deze grafiek in het gegeven assenstelsel.
d)Stel de tekentabel op voor de functie g
De grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = a( x - p) 2 + q ontstaat door de volgende transformaties met de grafiek van de functie g met voorschrift g( x) = x2 uit te voeren:
• verticaal uitrekken volgens de y-as met factor | |
• spiegelen ten opzichte van de x-as als a < 0
• verschuiven volgens de x-as over een afstand van | | eenheden:
naar rechts als p > 0
naar links als p < 0
• verschuiven volgens de y-as over een afstand van | | eenheden:
naar boven als q > 0
naar onder als q < 0
Voorbeeld
Om de grafiek van de functie f met voorschrift f(
(
)2 + 3 te verkrijgen moet je de grafiek van de functie g met voorschrift g( x) = x2 …
- verticaal uitrekken met factor 1 3 ;
- om daarna te spiegelen ten opzichte van de x-as;
- vervolgens horizontaal te verschuiven met 6 eenheden naar rechts;
- om tot slot verticaal te verschuiven met 3 eenheden naar boven.
De grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = a( x - p) 2 + q heeft de volgende kenmerken:
• Het domein van de functie f: dom f =
• Het bereik van de functie f: ber f = [q, +∞[ (als a > 0) of ber f = ]-∞, q] (als a < 0)
• Extreme waarde(n) (minimum of maximum):
Het minimum (of maximum) is q. Deze functiewaarde wordt bereikt bij x-waarde p.
De coördinaat van de top is T(p, q).
• het verloop (stijgen/dalen):
Als a > 0:
x p
f( x) ↘ q ↗
Als a < 0:
x p
f( x) ↗ q ↘
• De symmetrieas van de grafiek heeft als vergelijking x = p.
Merk op
De volgorde van de transformaties is belangrijk!
• Als je de grafiek van f met f( x) = x2 eerst verticaal verschuift naar boven over een afstand 2 en vervolgens spiegelt ten opzichte van de x-as, dan wordt het voorschrift g( x) = -x2 - 2
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
• Als je de grafiek van f met f(x) = x2 eerst spiegelt ten opzichte van de x-as en vervolgens 2 eenheden verticaal naar boven verschuift, dan wordt het voorschrift g( x) = -x2 + 2.
Gegeven:functie f met voorschrift f( x) = 2( x + 3) 2 - 4
Gevraagd: Welke transformaties moet je uitvoeren met de grafiek van de functie g met voorschrift g( x) = x2 om de grafiek van de functie f te verkrijgen?
(x)= x2 1 (x)= 2 (x)= 3 (x)= f(x)= 2(x + 3)2 4
a)Bepaal het functievoorschift van de functie f waarvan de grafiek in het assenstelsel gegeven is.
b)Teken in het gegeven assenstelsel de grafiek van de functie g, als je die grafiek verkrijgt door de grafiek van de functie f verticaal uit te rekken met factor 0,5.
c)De grafiek van de tweedegraadsfunctie h verkrijg je door de grafiek van de functie p met voorschrift p( x) = x2 verticaal uit te rekken met factor twee, vijf eenheden naar links te verschuiven en vier eenheden naar onder te verschuiven. Bepaal het functievoorschrift van h
d)Teken de grafiek van de functie h in het gegeven assenstelsel.
Een tennisbalmachine kan willekeurig tennisballen afvuren. Eén van de opties is om de tennisballen verticaal kort of diep af te vuren.
Voor de eerste vier tennisballen werd een functievoorschrift opgesteld.
f1 (x)= 1(x )2 + 1 3
f2 (x)= 5(x 8 2)2 + 1 2
f3 (x)= 4(x 9)2 + 1 1
f4 (x)= 2(x 3 )2 + 8
a)Bepaal bij welke bal de vertrekpositie het hoogst was.
b)Bepaal de hoogte van de bal die het hoogst vliegt.
c)Welke bal(len) raakt(en) het net? Controleer met ICT.
d)Welke ballen zijn ‘out’? Controleer met ICT.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Signaaloefeningen
(x)=
Kleur de functievoorschriften die voorschriften zijn van een functie van de tweede graad. f1 (x)= 2x2 + 5x 1
3 (x)=
f2 (x)= 4 9 x2
x +
4 (x)= x2 + 3 f5 (x)= 4x2 + 9 f6 (x)= x ( 5x + 1)
Gegeven:de tweedegraadsfunctie f met voorschrift f( x) = x2 - 2x - 3.
a)Bereken de functiewaarden.
f( x)
f3 (x)= 1 3x2 2x + 6 f4 (x)= x2 + 3 f5 (x)= 4x2 + 9 f6 (x)= x ( 5x + 1)
x -2 -1,5 -1 -0,500,511,522,533,54
) f1 (x)= 2x2 + 5x 1 f2 (x)= 4 9 x2 f3 (x)= 1 3x2 2x + 6 f4 (x)= x2 + 3 f5 (x)= 4x2 + 9 f6 (x)= x ( 5x + 1)
b)Teken de grafiek van de functie f
c)Bepaal de nulwaarden.
d)Stel de tekentabel op.
e)Geef de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek voor deze functie.
f) Geef de coördinaat van de top van de grafiek.
g)Geef het verloop van stijgen en dalen weer.
h)Geef het domein van de functie f
i)Geef het bereik van de functie f
De grafiek van de functies f en g zijn getekend in een assenstelsel.
a)Bepaal het functievoorschrift van f.
b)Bepaal het functievoorschrift van g
c)Geef een functievoorschrift voor een functie h waarvan de grafiek smaller is dan de grafiek van f maar breder dan de grafiek van g.
Verder oefenen: D13 t.e.m. D16
De grafiek van de tweedegraadsfunctie f ontstaat door de grafiek van de functie g horizontaal te verschuiven.
a)Bepaal het functievoorschrift van de functie f door gebruik te maken van de tekentabel.
x -3
f( x) + 0 +
b)Welke transformatie(s) moet je uitvoeren met de grafiek van de functie f om de grafiek van de functie h te verkrijgen?
De grafiek van de tweedegraadsfunctie g werd verkregen door de grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = x2 verticaal te verschuiven.
a)Bepaal het functievoorschrift van de functie g als je weet dat ber g = [-2, +∞[.
b) Stel de tekentabel op voor de functie h als je weet dat de grafiek van de functie h ontstaat door de grafiek van de functie g 4 eenheden verticaal naar boven te verschuiven.
a)Stel het functievoorschrift op van de functie f.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c)Stel het functievoorschrift op van de functie g
b)Beschrijf welke transformaties je moet uitvoeren met de grafiek van de functie h met voorschrift h( x) = x2 om de grafiek van de functie f te verkrijgen.
d)Beschrijf welke transformaties je moet uitvoeren met de grafiek van de functie h met voorschrift h( x) = x2 om de grafiek van de functie g te verkrijgen.
>>> Verder oefenen: D21 t.e.m. D24 >>> Verder oefenen: D25 t.e.m. D38
Een auto heeft op 200 m een snelheid van 24 m/s en vertraagt gelijkmatig met 3 m/s2.
a)Na hoeveel seconden komt de auto tot stilstand? Schets de bijhorende grafiek in het gegeven assenstelsel.
b)Schets de grafiek van de afgelegde afstand voor het werkdomein in deze context.
c)Het functievoorschrift voor de afgelegde weg in functie van de tijd is x( t) = -1,5t2 + 24t + 200. Teken deze grafiek met ICT voor 0 ⩽ t ⩽ 8.
d)Welke afstand is er nog afgelegd tot de auto uiteindelijk tot stilstand kwam?
e)Het voorschrift van de functie x( t) kan ook geschreven worden als x( t) = -1,5( t - 8) 2 + 296.
Lees vanuit dit voorschrift de top van de grafiek af. Is de grafiek een bergparabool of een dalparabool?
f) Wat is de betekenis van de top in deze context?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
>>> Verder oefenen: D25 t.e.m. D38
Functies van de tweede
Differentiatietraject
Is het voorschrift een voorschrift van een functie van de tweede graad? a)
Is het functievoorschrift een voorschrift van een constante functie, een eerstegraadsfunctie, een tweedegraadsfunctie of geen van de vorige? a)
Gegeven: f( x) = ax2 + bx + c
a) f( x) is het voorschrift van een functie van de tweede graad als … b) f( x) is het voorschrift van een functie van de eerste graad als …
c) f( x) is het voorschrift van een constante functie als …
Welke grafieken zijn geen grafiek van een tweedegraadsfunctie?
Neem telkens de tabel over en bereken de functiewaarden voor de gegeven tweedegraadsfuncties.
x -2 -1,5 -1 -0,500,511,522,533,54
f( x)
a) f1 (x)= x2 + 1
a)Behoort het punt P( -3, -1) tot de grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = -x2 + 2x - 4?
b)Behoort het punt P( 0, -5) tot de grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = 2( x - 1) 2 - 5?
c)Behoort het punt P( 0, 2) tot de grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = x2 + 3x + 2?
a)Bepaal f(4) als f een tweedegraadsfunctie is met voorschrift f( x) = -0,6( x - 3)( x - 4) .
b)De top van de grafiek van een tweedegraadsfunctie f is T( 3, 2) en het punt P( 0, 0) behoort tot de grafiek van de functie. Bepaal f( 6)
c)8 en -10 zijn nulwaarden bij de tweedegraadsfunctie f. Geef de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van de functie f
8
Verbind de tekentabellen met de juiste uitspraak.
x 4
f( x) + 0 +
De symmetrieas van de grafiek heeft als vergelijking x = 1.
De symmetrieas van de grafiek heeft als vergelijking x = 4. g( x) x -2 4
h( x) + 0 - 0 +
De grafiek is een bergparabool.
Bespreek de functies waarvan de grafiek gegeven is.
a)Bepaal de nulwaarden.
b)Stel de tekentabel op.
c)Geef de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek voor deze functie.
d)Geef de coördinaat van de top van de grafiek.
e)Geef het verloop van stijgen en dalen weer.
f) Geef het domein van de functie.
g)Geef het bereik van de functie.
In de tuin van Marie staat een fontein. Er is een verband tussen de horizontale afstand ( x) tot de fontein en de hoogte van het water h( x) in een gekozen waterstraal. De grafiek van de functie h met voorschrift (x)= 1 2 x2 + 2x beschrijft bij benadering de waterstraal.
a)Vervolledig de waardentabel door de functiewaarden te berekenen.
x 00,511,522,533,54
h( x)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)Teken de grafiek van de functie h. Controleer met behulp van ICT. 1 2 3 4 1 2 y x hoogte (in m) horizontale afstand (in m)
c)Na hoeveel meter bereikt het water zijn hoogste punt?
d)Hoe hoog bevindt het water zich op het hoogste punt?
e)Wat is de betekenis van ( 4, 0) in deze context?
f) Marie zegt: “[ 0, 4] is het zinvolle domein.” Wat bedoelt ze hiermee?
In het spelletje Angry Birds 2 moet je boze vogeltjes katapulteren om zo de eieren terug te krijgen die de hongerige varkens gestolen hebben. De weg die het vogeltje aflegt, kan benaderd worden door de grafiek van de functie f( x) = -0,2x2 + 2x + 1. Maak gebruik van ICT om deze functie grafisch weer te geven.
a) De x-coördinaat van de beginpositie van het vogeltje is 0. Hoe hoog is dat boven de grond?
b)Wat is het hoogste punt dat het vogeltje bereikt?
c)Een van de varkentjes bevindt zich in ( 10, 2) . Zal het rode vogeltje hem raken?
d)Wat is de betekenis van ( 10, 1) in dit verband?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Een elektriciteitskabel wordt opgehangen aan palen op 20 m hoogte zoals hieronder in de tekening.
De grafiek van de functie h met voorschrift (x) = x 1 2 + benadert de ligging van de elektriciteitskabel.
a)Bepaal het zinvol domein.
b)Toon aan dat a + c = 20.
c) Bepaal de voorwaarde voor a als je weet dat de hoogte van de kabel in het midden ten opzichte van de grond tussen de 18 m en 15 m is. Controleer met ICT.
Gegeven:
a)Van welke tweedegraadsfunctie is de grafiek een bergparabool?
b)Van welke tweedegraadsfunctie is de grafiek een dalparabool?
c)Welke tweedegraadsfunctie heeft de smalste grafiek?
d)Welke tweedegraadsfunctie heeft de breedste grafiek?
p
15 16 17 De grafiek van
Geef het functievoorschrift dat hoort bij de grafieken.
–1, 4)
–2, –3)
Geef telkens een mogelijk functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie zodat voldaan wordt aan de gevraagde voorwaarde.
a)De openingscoëfficiënt is 5.
b)De grafiek van de functie g is een bergparabool die breder is dan de grafiek van de functie f met voorschrift f( x) = 0,3x2 .
Gegeven: f( x) = ax2 + 5x - 2.
Bepaal de openingscoëfficiënt a zodat P( -1, 5) tot de grafiek van de functie behoort.
Geef het functievoorschrift van de vorm f( x) = ( x - p) 2 dat hoort bij de paarse grafiek. a) b) c)
) = x 2 + q
De grafiek van f (
19 20 21
Geef voor elke grafiek van een tweedegraadsfunctie het passende functievoorschrift.
Geef telkens een mogelijk functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie zodat voldaan wordt aan de gevraagde voorwaarde.
a)De openingscoëfficiënt is 2 en de top T heeft als coördinaat T( -3, 0)
b)De grafiek van de functie g ontstaat door de grafiek van de functie f met functievoorschrift f( x) = x2 horizontaal te verschuiven. De symmetrieas van de grafiek van de functie g is x = 9 4 .
De grafiek van de functie g ontstaat door de grafiek van de functie f met functievoorschrift f( x) = x2 horizontaal te verschuiven. We stellen vast dat g( 10) = g( 2) .
a)Geef een mogelijk functievoorschrift voor g.
b)Geef het functievoorschrift als P( 4, 1) ook tot de grafiek van de functie moet behoren. Je voert hier dus nog een transformatie uit.
Bepaal het functievoorschrift van de vorm f( x) = x2 + q dat hoort bij de rode grafiek.
Bepaal voor elke grafiek van een tweedegraadsfunctie het passende functievoorschrift.
Bepaal telkens een mogelijk functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie zodat voldaan wordt aan de gevraagde voorwaarde.
a)De openingscoëfficiënt is √3 en de top T heeft coördinaat T( 0, -4) . b) be f = ∞ 9 5
De grafiek van de functie g ontstaat door de grafiek van de functie f met functievoorschrift f( x) = x2 verticaal te verschuiven.
a)We stellen vast dat g( 3) = 0. Bepaal een mogelijk functievoorschrift voor g
b) Bepaal het functievoorschrift als T( 0, -27) ook tot de grafiek van de functie moet behoren. Je voert hier dus nog een transformatie uit.
Gegeven:functie f met voorschrift f(x)= 3 4 (x 1)2 + 2
Gevraagd: Verbind de transformaties met de juiste tussenstappen zodat de grafiek van de volgende functie ontstaat.
(x)= x2
1 (x)= 3 4 x2
(x)= x2
Een horizontale verschuiving naar rechts met … eenheden.
2 (x)= 3 4 (x 1)2
1 (x)= 3 4 x2
(x)= x2
1 (x)= 3 4 x2
3 (x)= f(x)= 3 4 (x 1)2 + 2
2 (x)= 3 4 (x 1)2
Een verticale verschuiving naar boven met … eenheden. (x)= x2
1 (x)= 3 4 x2
2 (x)= 3 4 (x 1)2
3 (x)= f(x)= 3 4 (x 1)2 + 2
2 (x)= 3 4 (x 1)2
3 (x)= f(x)= 3 4 (x 1)2 + 2
3 (x)= f(x)= 3 4 (x 1)2 + 2
• Een verticale uitrekking met factor …
De grafiek van functie f met f( x) = x2 ondergaat een of meerdere transformaties. Wat wordt het nieuwe voorschrift?
a)Een horizontale verschuiving met 2 eenheden naar links.
b)Een verticale verschuiving naar onder met 1 eenheid.
c)Een verticale uitrekking met factor 4 met daarna een spiegeling ten opzichte van de x-as.
d)Een horizontale verschuiving van 3 eenheden naar rechts.
e)Een spiegeling ten opzichte van de x-as, gevolgd door een verticale verschuiving van 4 eenheden naar onder.
f) Een verticale uitrekking met factor 1,2; een horizontale verschuiving van 2 eenheden naar links; een verticale verschuiving van 5 eenheden naar boven.
g)Een verticale uitrekking met factor 1 2, een spiegeling ten opzichte van de x-as, een verticale verschuiving van 7 eenheden naar onder.
h)Een verticale uitrekking met factor 4, een spiegeling ten opzichte van de x-as, een verticale verschuiving van 4 eenheden naar onder.
Welke grafiek hoort bij welk functievoorschrift?
Bepaal de top van de grafiek van deze tweedegraadsfuncties en geef de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van de functie.
a) f1 (x)=(x 4)2 + 3
b) f2 (x)=(2 + x)2 1
c) f3 (x)= 5(x + 2)2 6
d) f4 (x)= (x + 1)2 + 1 3
Bepaal voor elke grafiek van een tweedegraadsfunctie het passende functievoorschrift.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Welke transformaties heeft de grafiek van de functie f met f( x) = x2 ondergaan om de grafiek van de gegeven functie te verkrijgen?
a) f1 (x)= 4 x2
b) f2 (x)=(x + 2)2 4
c) f3 (x)= 3x2 4
d) f4 (x)= 3 2 (x + 2)2 1 2
e) f5 (x)=
a)Teken (met ICT) de grafiek van de tweedegraadsfuncties
met gegeven voorschrift.
b)Bepaal het domein van de functie.
c)Bepaal het bereik van de functie.
d)Bepaal de nulwaarde(n).
e)Stel de tekentabel op.
f) Geef de vergelijking van de symmetrieas van de grafiek van de functie.
g)Geef het verloop van stijgen en dalen schematisch weer.
Bepaal voor elke grafiek van een tweedegraadsfunctie het passende functievoorschrift.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Astronauten oefenen op gewichtloosheid tijdens paraboolvluchten. Tijdens zo’n vluchten zijn er momenten van gewichtloosheid. Het vliegtuig stijgt in volle snelheid om dan zijn motoren even uit te schakelen. De baan die het vliegtuig dan volgt is een bergparabool.
De baan (rode stuk van de grafiek) kan benaderd worden met de grafiek van de functie f( x) =
Na 22 seconden worden de motoren terug in gang gezet om veilig te dalen en aan de volgende paraboolvlucht te starten.
a)Bij t = 0 start de gewichtloze toestand. Hoe hoog bevindt het vliegtuig zich dan?
b)Bepaal het hoogste punt.
c)Na hoeveel seconden bereikt het vliegtuig het hoogste punt?
d)Herschrijf het functievoorschrift van de functie f met behulp van de top.
e)Toon aan dat het vliegtuig na 22 seconden zich weer op dezelfde hoogte bevindt als bij de start van de gewichtloze toestand.
f) Elke minuut wordt een nieuwe paraboolvlucht gestart. Bepaal de vergelijking van de grafiek die de baan van de tweede paraboolvlucht benadert.
Om de oversteek te maken tussen twee landsdelen maakt een architect 4 tunnels waarvan het vooraanzicht een parabolische vorm heeft. Bepaal het functievoorschrift voor de grafiek die de parabolische vorm van de tunnel benadert. Doe dit voor alle vier de tunnels.
Gegeven: f( x) = 2( x - 3) 2 + 1
Gevraagd:Wat wordt het nieuwe voorschrift?
a)Een spiegeling ten opzichte van de x-as.
b)Een horizontale verschuiving van 3 eenheden naar rechts, een spiegeling ten opzichte van de y-as, een verticale verschuiving van 2 eenheden naar boven.
c)Een puntspiegeling ten opzichte van de oorsprong.
Welke transformaties heeft de grafiek van de functie f met f(x) = x2 ondergaan om de grafiek van de gegeven functie te verkrijgen?
a) f1 (x)= 2 (x + 1)2 2
Jarne gooit een basketbal naar de ring. Stel een functievoorschrift op zodat de grafiek van het functievoorschrift de baan van de basketbal benadert.
a) Voer slechts 1 transformatie uit met de grafiek waarvan de top in de oorsprong ligt, om de andere grafiek te verkrijgen.
b)Veralgemeen het verband tussen de twee toppen van de grafieken en de gebruikte transformatie.
Computationeel denken
Toepassingen tweedegraadsfuncties
Vorig jaar leerde je heel wat basiscode. Dit jaar zullen we deze code verder gebruiken en integreren in verschillende toepassingen.
Toepassing 1: functiewaarde berekenen
a)Voorzie de code van goede commentaar en leg uit wat er gebeurt.
Code voor een macht: x**2 of pow(x,2) TIP
b)Wijzig de code zodat de gebruiker de coëfficiënten kan invoeren. Maak gebruik van input(“tekst”). Vergeet niet om gebruik te maken van float() zodat de tekstinvoer omgezet wordt naar een getal in decimale vorm. Voorbeeld: getal = float(input(“Voer een getal in: “))
c)Pas de code aan zodat de functiewaarde berekend wordt van een willekeurig gegenereerd getal. Importeer hiervoor de module random en maak gebruik van random.randint(-10,10) of random.random(). Zorg ervoor dat het bij de uitvoer duidelijk is voor welke waarde van x de functiewaarde werd berekend.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Toepassing 2: functievoorschriften opbouwen
Schrijf code die het functievoorschrift opstelt op basis van de ingevoerde gegevens van de gebruiker.
a)De eerste vraag die je stelt is: “Met welke factor werd er verticaal uitgerokken?” Je verkrijgt deze code:
Voer deze code in.
b)De tweede vraag die je stelt is: “Werd de grafiek gespiegeld ten opzichte van de x-as? (ja of nee)”
Voeg bij deze code goede commentaar bij en voer deze dan zelf ook uit.
c)De volgende vragen die je stelt zijn:
“Werd de grafiek horizontaal verschoven? (ja of nee)”
Indien ja: Werd er naar links of rechts verschoven? Hoeveel eenheden werd er verschoven?
Hier zal je gebruik moeten maken van een if else-structuur. Het is nu ook handiger om het voorschrift eerst op te slaan in een variabele. Zo kan je het eventueel bij het bepalen van q verder gebruiken.
Probeer nu met dezelfde code de functie a( x - p) 2 + q te onderzoeken.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Toepassing 3: symmetrie
Laat een gebruiker twee x-waarden invoeren die dezelfde functiewaarde hebben bij een gegeven tweedegraadsfunctie. Laat het programma op basis van deze ingevoerde waarden de vergelijking van de symmetrieas bepalen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Studiewijzer
Differentiatietraject
Doelen
Ik kan een functie van de tweede graad herkennen en de grafiek tekenen.
Ik kan een functie f met voorschrift
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
f( x) = ax2 bespreken en de grafiek opbouwen.
Ik kan een functie f met voorschift
f( x) = ( x - p) 2 bespreken en de grafiek opbouwen.
Ik kan een functie f met voorschift
f( x) = x2 + q bespreken en de grafiek opbouwen.
Ik kan een functie f met voorschift
f( x) = a( x - p) 2 + q bespreken en de grafiek opbouwen.
Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum
Ik kan een functie van de tweede graad herkennen en de grafiek tekenen. 4
Maak gebruik van de symmetrie bij het tekenen van de grafiek. verwerking: 1, 2, 3, 4 signaal: 1, 2 differentiatie: 1 t.e.m. 12
Ik kan een functie f met voorschrift f( x) = ax2 bespreken en de grafiek opbouwen. 9
Als a > 0 dan is de grafiek een dalparabool, is a < 0 dan is de grafiek een bergparabool. verwerking: 5, 6 signaal : 3 differentiatie: 13 t.e.m. 16
Ik kan een functie f met voorschift f( x) = ( x - p) 2 bespreken en de grafiek opbouwen. 14
De top van de grafiek is T( p, 0) . verwerking: 7, 8 signaal : 4 differentiatie: 17 t.e.m. 20
Ik kan een functie f met voorschift f( x) = x2 + q bespreken en de grafiek opbouwen. 16
De top van de grafiek is T( 0, q) verwerking: 9 signaal : 5 differentiatie: 21 t.e.m. 24
Ik kan een functie f met voorschift f( x) = a( x - p) 2 + q bespreken en de grafiek opbouwen. 18
De top van de grafiek is T( p, q) . verwerking: 10, 11, 12 signaal: 6, 7 differentiatie: 25 t.e.m. 38
Auteurs Philip Bogaert, Björn Carreyn en Roger Van Nieuwenhuyze
Eerste druk 2024 - SO 2024/0222 - Bestelnummer 94 606 0118 (module 03 van 17)
ISBN 978 90 4864 971 6 - KB D/2024/0147/204 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge