03 Rekenen met reële getallen
wat je al kunt
–natuurlijke, gehele en rationale getallen herkennen en gebruiken
–rekenen met rationale getallen
–rekenregels met machten toepassen met een rationaal grondtal
–de decimale vorm bepalen van een reëel getal
wat je leert in deze module
–resultaten van berekeningen schatten
–een eindresultaat afronden op een bepaalde nauwkeurigheid
–de regels voor het rekenen met machten toepassen
–de rekenmachine gebruiken bij berekeningen met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze
–problemen oplossen aan de hand van een zelf gekozen strategie
–de eigenschappen van de hoofdbewerkingen formuleren en gebruiken
–ICT gebruiken bij het uitvoeren van bewerkingen
–de regels voor het rekenen met vierkantswortels toepassen
Inhoud
Instap
1De hoofdbewerkingen in r
2Rekenregels voor het rekenen met machten
3Rekenen met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze
4Rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels
5Rekenen met ICT, schatten en afronden
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Computationeel denken
Studiewijzer
in de kijker
Je controleert met ICT jouw berekening en je rondt het eindresultaat af op een geschikte nauwkeurigheid.
wiskundetaal
–termen
–som
–factor
–product
–commutatief
–associatief
–distributief
–neutraal element
–opslorpend element
– ≈
–CAS
–afronden
–schatten
–vierkantswortel
–grondtal
–exponent
–macht
–wetenschappelijke schrijfwijze
Opdracht 1
Duid de uitdrukkingen die bij elkaar horen aan in eenzelfde kleur.
Opdracht 2
Schrijf de getallen als een product van twee factoren waarvan minstens 1 van de factoren een volkomen kwadraat is.
a)12 = f) 500 =
b) 63 = g) 275 =
c)48 = h)80 = d) 72 = i)128 = e)98 = j) 243 =
Opdracht 3
Duid de gelijksoortige eentermen aan in eenzelfde kleur.
Opdracht 4
Bereken de getalwaarde …
a) van9x voor x = 1 3 9 1 3 = 3
b) van4x voor x = √7 4√7
Als het kwadraat van een getal een natuurlijk getal is, dan noemen we dit kwadraat een volkomen kwadraat .
1 De hoofdbewerkingen in r
In de eerste graad formuleerde je eigenschappen voor onder andere het optellen en vermenigvuldigen van rationale getallen. Maar zijn die ook geldig als de getallen waarmee je rekent irrationale getallen zijn?
1.1 Eigenschappen van de hoofdbewerkingen
Bij het rekenen met reële getallen kunnen de termen zowel rationale als irrationale getallen zijn. Je kunt ICT gebruiken om het resultaat te bepalen.
A) Het optellen en aftrekken
het optellen van reële getallenhet aftrekken van reële getallen met ict
resultaat op 0,01 nauwkeurig
Merk op
We ronden enkel het eindresultaat af.
Om af te ronden bekijk je de nauwkeurigheidsfactor. Zo kom je te weten hoeveel cijfers je moet laten staan.
Bekijk het eerstvolgende cijfer dat zal wegvallen.
Is het cijfer kleiner dan 5, dan behoud je het vorige cijfer.
Is het cijfer groter dan of gelijk aan 5, tel dan bij het vorige cijfer 1 bij.
eigenschapin woorden
Het optellen van reële getallen is commutatief.
in symbolen
∀ a, b ∈ : a + b = b + a
Voorbeeld: √2 + √3 = √3 + √2
eigenschapin woorden
Het optellen van reële getallen is associatief
in symbolen
∀ a, b, c ∈ : (a + b)+ c = a +(b + c)= a + b + c
Voorbeeld: (π + 3)+ 7 = π +(3 + 7)= π + 3 + 7
2+√3
3.14626436994
3+√2 3.14626436994 (
+3) +7 13.1415926536
+3+7 13.1415926536
Merk op
• Nul is het neutraal element voor de optelling in r
Voorbeeld: √5 + 0 = √5 = 0 + √5
Ofalgemeen: ∀ a ∈ : a + 0 = a = 0 + a
• Er is een verband tussen het optellen en aftrekken: a - b = c ⟺ a = c + b
B) Het vermenigvuldigen en delen
het vermenigvuldigen van reële getallen het delen van reële getallen
eigenschapin woorden
Het vermenigvuldigen van reële getallen is commutatief in symbolen
∀ a, b ∈ : a b = b a
Voorbeeld: 3
eigenschapin woorden
Het vermenigvuldigen van reële getallen is associatief
in symbolen
∀ a, b, c ∈ : (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)= a ⋅ b ⋅ c
Voorbeeld:
Merk op
• 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in r
Voorbeeld: √10 0 = 0 = 0 √10
Ofalgemeen: ∀ a ∈ : a 0 = 0 = 0 a
• 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in r .
Voorbeeld: π 1 = π = 1 ( π)
Ofalgemeen: ∀ a ∈ : a ⋅ 1 = a = 1 ⋅ a
C) De distributiviteit
eigenschapin woorden
Het vermenigvuldigen van reële getallen is distributief ten opzichte van het optellen. in symbolen
∀ a, b, c ∈ : a (b + c)= a b + a c
Voorbeeld: 2 3 + √5 = 2 3 + 2 √5 = 6 + 2√5
Merk op
Het vermenigvuldigen is ook distributief ten opzichte van het aftrekken.
Voorbeeld:4 (2π 1)= 4 2π 4 1 = 8π 4
4.52417110281 2 × �3+√5� 10.472135955 6+2√5 10.472135955
1.2Gelijksoortige wortelvormen
Gelijksoortige wortelvormen zijn wortelvormen met hetzelfde grondtal.
Voorbeelden: √3, 5√3en2√3zijngelijksoortigewortelvormen. 2√7en √14zijngeengelijksoortigewortelvormen.
Gelijksoortige wortelvormen kunnen we (zonder ICT) optellen of aftrekken door de distributieve eigenschap toe te passen.
Voorbeelden: 4√6 + 5√6 =(4 + 5) √6
√10 √10 =(3 1) √10 = 9√6 = 2√10
Merk op
Het reëel getal π is geen wortelvorm, maar we passen hier dezelfde redenering toe om veelvouden van π met elkaar op te tellen (of af te trekken).
Voorbeeld:3
1.3Bewerkingen uitvoeren met ICT en CAS
Als je rekent met reële getallen gebruik je regelmatig ICT. Indien er een CAS-functie beschikbaar is, kun je die gebruiken.
Voorbeelden
3 √8 + √8 = 2 + 2√2 ← exactresultaatviaICTmetCAS = 4,828427… ← resultaatalsdecimalevormviaICT ≈ 4,83 ← afgerondresultaatop0,01nauwkeurig 62 52 = √11 = 3,316624… ≈ 3,32
4
Verwerkingsopdrachten
Welke eigenschap herken je aan de hand van de getallenvoorbeelden?
Formuleer de eigenschap in woorden.
a)4π + 2 = 2 + 4π
e)12π 2 ⋅ (6π) = f) √3 2√6 √3 + 3√6 = g)0,25 ⋅ (12 + 8π) = h) 1 3 ⋅ √7 ⋅ 6 = 1 2
b)1
e) √5 + 0 = √5 = 0 + √5 f) √6 ( 9) = 9 √6
Reken uit. Controleer je antwoord met ICT.
a)9√5 4√5 =
a)Noteer de lengte van de gegeven lijnstukken.
b)Bepaal de omtrek van de gegeven vlakke figuur.
c)Bepaal de oppervlakte van de gegeven vlakke figuur.
d)Bepaal het volume van de gegeven ruimtefiguur.
2 Rekenregels voor het rekenen met
2.1
Machten met een gehele exponent
Bij de macht 43 is 4 het grondtal en 3 de exponent. 43 = 64 exponent grondtal
definitie an = a a a a n factorenmet n > 1
a1 = a
a0 = 1 met (a ≠ 0)
We schrijven de machten bij voorkeur met een positieve exponent.
a 1 = 1 a (a ≠ 0) en a b m = b a m = bm am (a ≠ 0, b ≠ 0)
Voorbeelden
=
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Het grondtal van de macht kan ook een reëel getal zijn. We passen eerst de rekenregel toe om de macht met een positieve exponent te schrijven.
Daarna kun je uit het hoofd, met een wetenschappelijke rekenmachine of met CAS het eindantwoord bepalen.
Voorbeelden
2.2Rekenregels van machten
A)Het product van machten met eenzelfde grondtal
rekenregelin woorden
Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen, behoud je het grondtal en tel je de exponenten bij elkaar op. in symbolen am ap = am + p ( a ≠ 0)
Voorbeelden
B)Het quotiënt van machten met eenzelfde grondtal
rekenregelin woorden
Om machten met eenzelfde grondtal te delen, behoud je het grondtal en trek je de exponenten van elkaar af.
in symbolen
am : ap = am - p ( a ≠ 0)
Voorbeelden
C)Macht van een macht
rekenregelin woorden
Om een macht van een macht te bepalen, behoud je het grondtal en vermenigvuldig je de exponenten met elkaar. in symbolen
( am) p = am p ( a ≠ 0)
Voorbeelden
D)Macht van een product rekenregelin woorden
Om een product tot een macht te verheffen, verhef je elke factor van dat product tot die macht.
in symbolen
( a b) m = am bm ( a ≠ 0, b ≠ 0)
Voorbeelden
E)Macht van een quotiënt rekenregelin woorden
Om een quotiënt tot een macht te verheffen, verhef je het deeltal en de deler tot die macht.
in symbolen
( a : b) m = am : bm ( a ≠ 0, b ≠ 0)
rekenregelin woorden
Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht.
in symbolen
a b m = am bm (a ≠ 0, b ≠ 0)
Voorbeelden
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Verwerkingsopdrachten
Kleur de uitdrukkingen die bij elkaar horen in eenzelfde kleur.
Schrijf als een macht met een positieve exponent. De gebruikte letters verschillen van nul.
Pas de rekenregels van machten toe. Schrijf het eindresultaat als een macht met een positieve exponent. De gebruikte letters verschillen van nul.
Werk uit door gebruik te maken van de rekenregels van machten. De gebruikte letters verschillen van nul.
Kleur de rekenregel die werd toegepast in woorden en in symbolen met de bewerking in eenzelfde kleur.
Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht.
Om een product tot een macht te verheffen, verhef je elke factor van dat product tot die macht.
Om een macht van een macht te bepalen, behoud je het grondtal en vermenigvuldig je de exponenten met elkaar.
Om machten met eenzelfde grondtal te delen, behoud je het grondtal en trek je de exponenten van elkaar af.
3.1 Getallen in wetenschappelijke notatie
In de wetenschap wordt er vaak gebruik gemaakt van hele grote getallen of hele kleine getallen. De grootteorde van een getal kan met machten snel zichtbaar gemaakt worden.109 < 1010 10-20 < 1020 1010 > 10-10
We kunnen getallen anders schrijven door gebruik te maken van machten van 10.
definitie De wetenschappelijke schrijfwijze van een getal verschillend van 0 is dat getal geschreven als een product van twee factoren. –een decimaal getal met 1 cijfer, verschillend van 0, voor de komma –een macht van 10
Voorbeelden
• Het getal van Avogadro: 602 214 085 700 000000000000 mol-1 wordt afgerond 6,022140857 · 1023 mol-1
• Atomaire massa-eenheid: 0,000000000000000000000000 001 660 538 921 kg wordt afgerond 1,661 · 10-27 kg
3.2Rekenen met getallen in wetenschappelijke notatie
Bereken 3400 · 6 780 000 met je rekentoestel. Je merkt dat het resultaat te groot is voor het rekentoestel waardoor het resultaat in wetenschappelijke schrijfwijze wordt genoteerd. 3400 6 780 000 = 2,3052 1010
We kunnen ook rekenen met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze. Hiervoor pas je de rekenregels van machten toe. Je kan hier ook gebruik maken van ICT.
Verwerkingsopdrachten
Schrijf de getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.
a) 170 000000 = e)0,499 =
b)0,000000 82 = f) 1084500000 =
c)400000 = g)0,000000000000 033 2 =
d)0,000 214 = h) 430 000000000000 =
De diameter van een rode bloedcel is 7,5 μm. Hoeveel rode bloedcellen passen er naast elkaar in 1 mm? 10 11 een micrometer
Bereken met ICT. Noteer het antwoord in wetenschappelijke schrijfwijze.
a)3,8 ⋅ 107 ⋅ 4 ⋅ 105 = d) 3,3 ⋅ 10 4 2 =
b)2 106 1,9 105 = e) 4,2 10 12 6 10 4 =
c)0,0000031 421,5 = f)3,2 108 + 1,8 109 =
6, 7, 8
1 μm = 10-6 m TIP
4 Rekenregels voor het rekenen met
4.1
Rekenregels van vierkantswortels
De rekenregels voor machten zijn ook geldig als de grondtallen reële getallen zijn. Maar zijn er ook rekenregels voor vierkantswortels?
De vierkantswortel van een som
√2 + 7 = √9 = 3
√2 = 1,41421…
√7 = 2,64575…
√2 + √7 = 4,05996…
Vaststelling: √2 + 7 ≠ √2 + √7 Erkan geenrekenregel geformuleerdworden.
De vierkantswortel van een product
√12 = 3,46410…
√3 = 1,73205…
√3 = 1,73205…
12 ⋅ √3 = 6 √12 ⋅ 3 = √36 = 6
√12 √3 = 6 √12 ⋅ 3 = √36 = 6
Vaststelling:
√12 ⋅ 3 = √12 ⋅ √3
Vaststelling: √12 3 = √12 √3
∀ a, b ∈ + : √a ⋅ b = √a ⋅ √b =
De vierkantswortel van een verschil
√29 25 = √4 = 2 √29 = 5,38516… √25 = 5 √29 √25 = 0,38516…
Vaststelling: √29 25 ≠ √29 √25 Erkan geenrekenregel geformuleerdworden.
De vierkantswortel van een quotiënt √8 = 2,82842…
8 = 2,82842…
= rekenregel √12 = 3,46410…
∀ a, b ∈ + : √a ⋅ b = √a ⋅ √b
2 = 1,41421…
8
2 = 2 8 2 =
De vierkantswortel van een n-de macht van een strikt positief reëel getal
√3 = 1,73205…
√3 2 = 3
32 = √9 = 3
32 = √9 = 3
Vaststelling: 32 = √3 2
Vaststelling: 32 = √3 2
∀ a ∈ + 0 , ∀ n ∈ : an = √a n
a n = rekenregel √3 = 1,73205… √3 2 = 3
Merk op
• Bij een even exponent: 26 = 22 3 = 23
Of algemeen: a2n = an met a > 0
• Bij een oneven exponent: 23 = 22 21 = 22 √2 = 2√2
Of algemeen: a2n+1 = an √a met a > 0
• Je kan deze rekenregels in beide richtingen gebruiken.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voorbeelden
√80 √5 = 80 5 = √16 = 4 √3 √27 = √3 27 = √81 = 9 163 = √16 3 = 43 = 64 √6 4 = 64 = 62 = 36
4.2 Vierkantswortels vereenvoudigen
Je kunt het grondtal van een vierkantswortel schrijven als een product van factoren. De factoren die een volkomen kwadraat zijn kun je buiten het wortelteken brengen. √18 = √
Het is zinvol als je de eerste volkomen kwadraten uit het hoofd kent.
Herken je geen volkomen kwadraten, dan kun je het grondtal ontbinden in priemfactoren. Vooral bij grotere grondtallen is dit handig.
√288 = 25 32
24 2 32
12√2 288 ontbinden in priemfactoren:
Merk op Jekan √288vereenvoudigendoor288teschrijvenalseenproductvanfactorenwaarvanerminstenséénfactor eenvolkomenkwadraatis.
√288 = √144 2 = 12√2 2√2
Vul aan met = of ≠
a) √5 ⋅ 7 √5 ⋅ √7 b) √12 4 √8
Werk uit zonder rekenmachine.
175 √17 5
√11 + 3 √11 + √3
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
a) √4 ⋅ 36 = f) 100 121 = b) 16 25 = g) √10 √40 = c) √3 ⋅ √12 = h) √98 √2 = d) √28 √7 = i) √32 √2 = e) √9 ⋅ 81 = j) √30 √15 =
Werk uit zonder rekenmachine.
a) 362 = d) √410 = b) √3 2 = e) √94 = c) √163 = f) √63 = Vereenvoudig. De gebruikte letters zijn strikt positief.
a) a7 = d) √b b4 b3 = b) a8 b6 = e) 121a3 b7 c2 = c) 9a3 = f) 16a5 = 13 14 15 16
Vul aan zodat de opgave klopt. De gebruikte letters zijn strikt positief.
a) = a2 √b b) = b√b c) = 2a d) = 3√b e) = c3 d4 f) = 5b2 √c
Vereenvoudig de vierkantswortels.
a) √27 = d) √175 = b) √45 = e) √294 = c) √24 = f) √80 = Werk uit indien mogelijk en vereenvoudig.
a)9√5 3√5 + 5√5 + √5 c)3√14 4√7 + 2√14 + 3√7
b)3√3 √12 √3 d) √75 + √50 3√18 + √48
Bepaal de oppervlakte van dit trapezium.
5 Rekenen met ICT, schatten en afronden
5.1 Rekenen met ICT
Bij het rekenen met reële getallen kun je gebruik maken van ICT. Dat toonden we al bij de eigenschappen van reële getallen. Er bestaan rekenregels om vlot te kunnen rekenen met vierkantswortels, maar ook nu mag je gebruik maken van ICT.
Voorbeeld
Merk op
Let op dat je de resultaten die je verkrijgt door gebruik te maken van ICT niet afrondt bij tussenberekeningen. Alleen het eindresultaat rond je af.
5.2Bewerkingen bij het oplossen van problemen
Er zijn heel wat methodes om problemen op te lossen. Soms gebruik je een formule, een vergelijking, herken je een patroon, … Hierin kunnen de letters dus ook reële getallen voorstellen.
Voorbeeld 1: Bepaal de omtrek van de gegeven vlakke figuur.
Berekening:deomtrekisdesomvandelengtesvandezijden:
p = √5 + 2√7 + 2√7 + √5 + √7
p = 2√5 + 5√7
p = 17,700892… p ≈ 17,7
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voorbeeld 2: Bepaal de omtrek en de oppervlakte van de rechthoek ABCD.
Berekeningenomtrek:
p = 2l + 2b
p = 2√8 + 2√2
p
Gebruik het formularium of zoek de formules op in het vademecum.
Berekeningenoppervlakte:
A = l b
A = √8 √2
A = 4
Voorbeeld 3: Bepaal de oppervlakte van de gegeven cirkel. 1,5
Berekeningoppervlakte:
A = π r 2
A = π ⋅ 1,52
A = 2,25π
A = 7,068583…
A ≈ 7,07
Voorbeeld 4: Bepaal de omtrek van het grondvlak van een kubus met volume 20 cm 3 . z z z
Berekeninglengteribbekubus:
V = 20cm3
z3 = 20cm3
z = 3 √20cm ← Wegebruikendittussenresultaatindeverdereberekening.
Berekeningomtrekgrondvlak:
p = 4z
p = 4 3 √20cm
p = 10,857670…cm
p ≈ 10,9cm ← zinvolleafrondingopbasisvandecontext
Merk op
• Tussenresultaten ronden we niet af.
• Rond je resultaat af op de gevraagde nauwkeurigheid of bepaal die zelf op basis van de context.
5.3Schatten
Voorbeeld1: Jeleerdealdatjeeeninschattingkanmakenvandegroottevaneenvierkantswortel.Zois √26ietsgroter dan5(want √25 = 5).
Voorbeeld2: Bijeenschattingkanjegebruikmakenvanafgerondeofbenaderendewaarden.Alsjeweetdat π ≈ 3,14 dankanjeeenschattingmakenvan200π.
Schatting:200π ≈ 628
Exactewaarde:200π ≈ 628,31853...
Wanneer je bij het oplossen van een probleem een berekening moet uitvoeren, kun je het verkregen resultaat altijd aftoetsen aan een eerder gemaakte schatting.
Voorbeeld
De papa van Phebe wil een elektrische auto kopen. Hij vindt in een catalogus deze gegevens terug.
Bepaal het bedrag van de btw als je deze wagen aankoopt.
1)Je kunt een schatting maken om een grootteorde te kennen.
Inwoorden: 21% van30000isongeveer 1 5 van30000.
Wiskundetaal: 0,21 30000 ≈ 1 5 30000
0,21 30000 ≈ 6000
Deverkregenschattingzallagerliggendanhetwerkelijkeresultaat want 1 5 = 20%
Hetbedragvandebtwzalietshogerliggendan6000euro.
2)Met ICT kun je dit onmiddellijk berekenen.
In woorden : 21% van 30000
Wiskundetaal : 0,21 · 30 000 = 6300
Antwoord : Het bedrag van de btw is 6300 euro.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
30000 (exclusief 21% btw)
het symbool … ≈ … Het symbool lees je als '… is bij benadering …' of '… is ongeveer …' TIP
Je stelt vast dat het bedrag van de schatting (6000 euro) dicht bij de exact berekende waarde ligt.
Merk op Er bestaan heel veel manieren om een resultaat te schatten. We sommen er hier vier op.
• Je kan afronden op eenvoudige getallen.
2459 : 31 wordt bij schatting 2400 : 30 = 80
• Eén naar boven en één naar onder afronden
51 99 wordt bij schatting 50 100
• Schatten via halveren of verdubbelen
12 · 126 = 6 · 252 = 3 504
• Bepalen tussen welke waarden het getal ligt.
17 3 ligttussen5 = 15 3 en6 = 18 3 .
5.4 Afronden
A) Afronden op een gekozen nauwkeurigheid
Afhankelijk van de situatie kun je meestal afleiden op welke nauwkeurigheid je moet afronden. Bij het betalen in euro werken we op 2 cijfers na de komma (0,01 nauwkeurig), bij het meten van een lijnstuk werken we op 1 mm, vraagstukken in de natuurwetenschappen moeten berekend worden via de benaderingsregels , …
Hoe rond je af op een gekozen nauwkeurigheid ?
methodeSTAP 1: Kijk op welke nauwkeurigheid je moet afronden.
STAP 2:Kijk naar het cijfer dat na de gevraagde nauwkeurigheid komt.
•Is dit cijfer kleiner dan 5, dan rond je af naar beneden.
•Is dit cijfer gelijk aan of groter dan 5, dan rond je af naar boven.
notatie ≈
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Dit lees je als: ‘… is afgerond …’.
Voorbeelden :
Rond 17,354 af op 0,1 nauwkeurig:
17,354 ≈ 17,4
Rond 17,354 af op 0,01 nauwkeurig: 17,354 ≈ 17,35
Zet een stippellijn na het cijfer van de gevraagde nauwkeurigheid.
• Afronden op 0,1 nauwkeurig.
0,3 492 wordt 0,3. (naar beneden afronden)
• Afronden op 0,01 nauwkeurig.
3,75 831 wordt 3,76. (naar boven afronden)
B) Zinvol afronden op basis van de context
Voorbeeld 1
Mats wil pannenkoeken bakken voor zijn verjaardag. In het recept staat dat hij 2 eieren nodig heeft voor 16 pannenkoeken. Hij wil echter 50 pannenkoeken maken. Hoeveel eieren heeft Mats dan nodig?
Om dit probleem op te lossen maakt hij gebruik van het kenmerk van een evenredigheid.
Stel x gelijk aan het aantal eieren die nodig zijn.
2 16 = x 50 ⟺ 2 ⋅ 50 = 16x ⟺ 100 = 16x ⟺ 100 16 = x ⟺ 6,25 = x
Antwoord : Mats heeft 7 eieren nodig.
Kenmerk van een evenredigheid: a b = c d ⟺ a ⋅ d = b ⋅ c (met b ≠ 0, d ≠ 0)
TIP
TIP
Voorbeeld 2
Vorig schooljaar behaalde Lisa 68% in het eerste trimester. In het tweede trimester behaalde ze 73%. In het derde trimester behaalde ze evenveel als in het tweede trimester. Bepaal het gemiddeld jaartotaal van Lisa op 1% nauwkeurig.
Berekening : x = 68 + 73 + 73 3 = 71,333…
Afronding op 1% nauwkeurig : 71
Antwoord : Het gemiddeld jaartotaal van Lisa is 71%.
Voorbeeld 3
In de klas zijn er 21 leerlingen. Tijdens de sportdag is één van de activiteiten roeien. In een roeiboot kunnen maximaal 4 leerlingen. Hoeveel boten moeten er voorzien worden als alle leerlingen gelijktijdig roeien?
Berekening : 21 : 4 = 5,25
Afronding op één geheel, in functie van de context : 6
Antwoord : Er moeten 6 boten voorzien worden.
Het gemiddelde x –van een aantal getallen is het quotiënt van de som van deze getallen en hun aantal.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Merk op Als je wiskundig zou afronden op één geheel verkrijg je 5. In dit geval zou één persoon niet kunnen roeien. Deze afronding voldoet niet aan de context.
Verwerkingsopdrachten
10, 11, 12, 13
Om het waterverbruik te kennen moet je jaarlijks de meterstand doorgeven. Soms komt iemand van de watermaatschappij langs om dit zelf te doen. Bij het opnemen van de meterstand stelt hij vast dat het verbruik met 9% is gestegen in vergelijking met het vorige verbruik (= 142 m3).
a)Maak een schatting van het waterverbruik voor dit jaar.
b) Bereken het waterverbruik voor deze periode en rond je resultaat af op 1 m3.
c)Wat kan de oorzaak zijn van het gestegen waterverbruik?
De prijs voor een wiskundemethode (exclusief btw) is € 50,57.
a)Schat de prijs (inclusief btw) als je weet dat deze 6% bedraagt.
b)Bereken de exacte totaalprijs inclusief btw.
Reken uit met ICT. a)
Bereken met ICT. Rond de uitkomst af op de gevraagde nauwkeurigheid. op 0,1 nauwkeurigop 0,01 nauwkeurigop 0,001 nauwkeurig
Signaaloefeningen
Verbind op een gepaste wijze.
Het optellen in r is commutatief. •
Het optellen in r is associatief. •
Nul is het neutraal element bij de optelling in r .
Het vermenigvuldigen in r is commutatief.
Eén is het neutraal element bij de vermenigvuldiging in r .
Het vermenigvuldigen in r is associatief.
Nul is het opslorpend element bij de vermenigvuldiging in r
2
Reken uit. Controleer je antwoord met ICT.
Verder oefenen: D1 t.e.m. D11
Verder oefenen: D1 t.e.m. D11 3
Pas de rekenregels voor het rekenen met machten toe. De gebruikte letters zijn strikt groter dan nul.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Verder oefenen:
Pas de rekenregels voor het rekenen met machten toe. De gebruikte letters zijn strikt positief.
a) √5 3 ⋅ √5 5 = c) √2x5 2 =
b) 3 √6 2 = d) π3 π5 =
Verder oefenen: D12 t.e.m. D27 5 V = z 3 TIP
Druk met een lettervorm uit welk volume deze kubusvormige kluis inneemt. Elke ribbe van de kubusvormige kluis is 2x3 .
Plaats de getallen in wetenschappelijke schrijfwijze. a)
b) c)
Verder oefenen: D12 t.e.m. D27 bloedplaatje rode bloedcelwitte bloedcel
De zon is ongeveer 4,5 miljard jaar oud. De temperatuur aan het oppervlak bedraagt ongeveer 6000 °C, terwijl de temperatuur in de kern van de zon ongeveer 15 miljoen °C is. Daar vinden er fusiereacties plaats waarbij waterstofkernen omgezet worden tot heliumkernen. Per seconde worden ongeveer 700 miljoen ton waterstofkernen omgezet in 695 miljoen ton heliumkernen. Het verschil wordt uitgestraald onder de vorm van zonnewind.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
a)Plaats de leeftijd van de zon in wetenschappelijke schrijfwijze.
b) Hoeveel keer "kouder" is het aan de oppervlakte van de zon dan in de kern van de zon? Noteer je antwoord in wetenschappelijke schrijfwijze.
c)Bereken het verschil tussen het aantal waterstofkernen en heliumkernen en plaats je antwoord in wetenschappelijke schrijfwijze.
8
Plaats de getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.
a) Een gemiddelde menselijke cel heeft een diameter van 15 micrometer. meter
b) Een gemiddelde menselijke cel weegt ongeveer 5 nanogram. gram
c) 5G kan in theorie 800 gigabytes per seconde leveren. megabytes
d) Een normale zaadlozing bevat minimum 22 500 000 zaadcellen. zaadcellen
e) In een gemiddeld mensenleven klopt een hart 2500 miljoen keer. keer
9
Vereenvoudig de vierkantswortels.
a) √20 = b) √45 =
In een boekenwinkel staat er een box met 15 voorleesboeken voor kinderen. Deze box kost 70 euro. In de winkel staat er nog een andere box met daarin 10 van dezelfde voorleesboekjes. Er staat geen prijs vermeld bij deze box.
a)Schat hoeveel je vermoedelijk voor deze box zal betalen.
b) De verkoper laat weten dat de prijs van deze box met 10 boekjes 46,67 euro is. Toon aan met een berekening hoe de verkoper tot deze prijs kwam.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c) Flor rekende het ook na en kwam op een prijs van 46,70 euro. Wat deed Flor verkeerd bij zijn berekening?
Bepaal de omtrek en de oppervlakte van deze rechthoek.
Door de coronamaatregelen moet de klas herschikt worden.
Er moet minimaal 4 m2 per leerling en 8 m2 voor de leerkracht voorzien worden.
a)Schat de totale oppervlakte van het lokaal.
9 m
b)Bereken de totale oppervlakte van het lokaal exact. Vergelijk dit met jouw schatting.
Ruimte leerkracht
7,5 m
c)Bereken het totaal aantal personen die in het lokaal kunnen.
Bereken de zwaartekracht ( = F) op Warre als je weet dat zijn massa 65,7 kg is en de zwaarteveldsterkte (= g) 9,81 N kg is. Gebruik hiervoor de formule F = m g
Differentiatietraject
Duid de juiste combinaties aan in eenzelfde kleur.
Neutraal element voor de vermenigvuldiging in r
Neutraal element voor de optelling in r
2
Kleur de vakken die eenzelfde eigenschap voorstellen in eenzelfde kleur.
Opslorpend element voor de vermenigvuldiging in r
Het vermenigvuldigen van reële getallen is distributief ten opzichte van het optellen.
Het optellen van reële getallen is commutatief.
Het vermenigvuldigen van reële getallen is commutatief.
Het optellen van reële getallen is associatief.
Het vermenigvuldigen van reële getallen is associatief.
Reken uit met behulp van de eigenschappen van de optelling en vermenigvuldiging. Controleer je antwoord met ICT.
a) 4π + 17π
b) 8√15 10√15
c) 4 5 √2 25
d)6√2 + 4√5 7√2 + 3√5
e)4√11 + 6√3 + 9√11 + 2√3
f) 5π ( 2π) 4
Reken uit met behulp van distributiviteit. Gebruik hierbij ICT.
a) 3 4 π (2π + 16)
b) √3 4√13 √3
Bepaal de oppervlakte en omtrek van de vlakke figuren.
c)0,75√5 8√2 + 4 d) 5π (3 2π)
Noteer eerst de formule. Vul daarna de waarden in. Tot slot gebruik je ICT (CAS) en rond je af.
a)Wat is de rol van 1 bij de vermenigvuldiging in r ? Toon aan met een voorbeeld.
b)Wat is de rol van 0 bij de vermenigvuldiging in r ? Toon aan met een voorbeeld.
Reken uit. Controleer je antwoord met ICT.
a)2
Bepaal de omtrek en oppervlakte van driehoek ADC.
Reken uit met behulp van ICT.
Een cilindervormig glas met straal 2√5 cm en hoogte √180 cm wordt voor 75% gevuld met fruitsap. Bereken hoeveel cl fruitsap je nodig hebt om één glas te vullen.
Omtewetenofhetstandbeeldgoedzalstaanindenieuwezaalvanhetmuseumwillendepersoneelsleden wetenwathetvolumevandesokkelvanhetstandbeeldis.Desokkelheeftdevormvaneenafgeknottekegel enjeweetdatdehoogteexact √3meteris.Destraalvanhetgrondvlakis2,85meterendestraalvanhet bovenvlakis1,3m.Rondafop1dm3
Vul aan met de juiste exponent. Kies uit -1, 0 of 1.
a)5 = 5
b) 3… = 1 3
c)2 = 1
d) 1 5 = 5
Schrijf als een macht met een positieve exponent en reken uit.
a) 4 7 2
e) 9 5 = 5 9
f) ( 10) = 1
b) ( 2) 4 c)6 2 d) 4 6 3 e) 1 2 5 f) 5 3
Verbind met de juiste rekenregel.
Macht van een macht
Quotiënt van machten met hetzelfde grondtal
Macht van een product
AI am : bm = a b m = am bm met a ≠ 0, b ≠ 0
Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen, behoud je het grondtal en tel je de exponenten bij elkaar op.
CIII am : ap = am ap = am p met a ≠ 0
Product van machten met hetzelfde grondtalDIV am p = am p met a ≠ 0
Macht van een quotiënt EV
Om een product tot een macht te verheffen, verhef je elke factor van dat product tot die macht.
Pas de juiste rekenregel toe. Schrijf het resultaat als een macht met een positieve exponent. De gebruikte letters verschillen van nul.
a) x2 x5 b) y10 :
Pas de juiste rekenregel toe. Schrijf het resultaat als een macht met een positieve exponent. De gebruikte letters verschillen van nul. a) x5 3 b) y3 2
x6 1
y 4 2 e) x 3 3 f) y2 2
Pas de juiste rekenregel toe. Schrijf het resultaat als een macht met een positieve exponent. De gebruikte letters verschillen van nul.
a) ( 4x)2 b) x y 2
c) 2x 3 2 d) ( 5y)3 e) (2x) 4 f) x 3y 4
19 20 21
Bepaal of het resultaat positief is of negatief.
a) 5 3 2
b) 3 2 4
c) ( 11) 9
d) ( 2)6
e) ( 50)0 f) 9 4
Schrijf als een macht met een positieve exponent door de rekenregels van machten toe te passen. De gebruikte letters verschillen van nul.
a) 23 2
b) 104 10 6
c) ( 2x)4
Pas de rekenregels van machten toe. De gebruikte letters verschillen van nul. Het eindantwoord bevat geen negatieve exponenten.
a) 8x7 2x4
b) 2x3 3 c)
Druk de oppervlakte ( A) of het volume ( V ) uit met een lettervorm.
26
Pas de rekenregels van machten toe. De gebruikte letters verschillen van nul. Het eindantwoord bevat geen negatieve exponenten.
a)
b) 3
Pas de rekenregels van machten toe. De gebruikte letters verschillen van nul.
a)
Pas de rekenregels van machten toe. De gebruikte letters verschillen van nul. a)
Druk de oppervlakte ( A) of het volume ( V ) uit met een lettervorm.
Werk uit. De gebruikte letters verschillen van nul. Het eindantwoord bevat geen negatieve exponenten.
Werk uit. De gebruikte letters verschillen van nul.
a) xp 2
Rekenen met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze
Schrijf de vetgedrukte getallen als een macht van 10.
pico meter1 pm 0,000000000 001 m * De SI-eenheid is byte en niet megabyte. Om het te bevatten, vergelijken we met megabyte. Er zijn andere voorvoegsels als je binair redeneert. femto meter1 fm 0,000000000000 001 m
De gegeven getallen staan in wetenschappelijke notatie. Schrijf die getallen zonder macht van 10.
a)1,3 ⋅ 10 7
b) 4,98 105
c) 2,5 10 4
d)1,05 ⋅ 108
e)3,9 10 3
f) 8,23 1012
Schrijf de getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.
a)930000
b) 0,000000032
c) 1050000000000
d)63000000
e)0,00000000000000075
f) 0,00202
g)9 ⋅ 10 15
h)6,002 109
i)7,52 1010
g)0,000015
h)19000000000000000
i)40040
Reken uit.
a) 4,0 104 2,5 10 2
b) 8,6 103 2,0 ⋅ 104
c) 3,29 ⋅ 102 + 1,8 ⋅ 101
d) 1,242 ⋅ 108 5 ⋅ 107
e) 1,4 ⋅ 10 9 7,0 10 7
f) 2 109 4
g) 1,08 ⋅ 1012 4,19 10 19
h)5,62 ⋅ 10 6 ⋅ 2,33 ⋅ 109
i) π 2,39 10 12 2
j)4,1 10 5 8,3 10 5
k)9,81 102 1,31 5 l) 7,03 ⋅ 1016 1,5 1016
33
900 000 logins op Facebook Wat gebeurt er in 1 minuut op internet?
3,5 miljoen zoekopdrachten via Google
70 017 uur gestreamd op Netflix
$ 751 522 online uitgegeven
1,8 miljoen snaps gemaakt
15 000 GIF’s verzonden via Messenger
120 nieuwe accounts op LinkedIn
home assistants gekocht
16 miljoen sms’en 4,1 miljoen video’s bekeken
200 posts op Instagram
Noteer de gevraagde gegevens in wetenschappelijke schrijfwijze.
a) het aantal sms'en
b) het totaal aantal verzonden e-mails en tweets
c) het aantal snaps dat in 1 uur wordt verstuurd
d) het aantal zoekopdrachten per dag via Google
e) het aantal dollar dat online uitgegeven wordt in een jaar
f) het aantal apps dat gedownload wordt in 1 week
000 uur beluisterd op Spotify
Bron: twitter.com/lorilewis
Beantwoord de vragen aan de hand van deze infographic. Plaats je antwoord in wetenschappelijke schrijfwijze.
a) Hoeveel opslag heb je ongeveer nodig om 1 HD Blu-ray film af te spelen?
b)Hoeveel data wordt er ongeveer verwerkt in 1 dag bij Google?
c)Hoeveel data aan internetverkeer was er in 1993?
d)Hoeveel uur aan audio in mp3-formaat is 1 TB?
Wat betekent 1 terabyte aan opslag ?
hoeveelheid data die Google verwerkt om de 4,32 seconden
Bron: www.james-greenwood.com
20 HD Blu-ray films
Wanneer elektromagnetische straling een golflengte heeft tussen 700 nanometer en 400 nanometer, kan de mens die waarnemen. Kleur is een eigenschap van licht die bepaald wordt door die verschillende golflengtes.
a)Plaats de golflengte voor de kleur geel in wetenschappelijke schrijfwijze.
b)Hoe groot is het verschil tussen de golflengtes van de uiterste kleuren?
c)Vul aan: De golflengte bij FM-radiogolven is ongeveer … keer groter dan de golflengte bij röntgenstralen.
De ångström is een eenheid van lengte, die gelijk is aan 10-10 meter. De eenheid is genoemd naar de Zweedse natuurkundige Anders Jonas Ångström. De eenheid wordt vaak gebruikt om de afmetingen van een atoom of molecuul uit te drukken. We gebruiken als symbool 1 Å.
a)Hoeveel keer kan 1 Å in een micrometer?
b)Hoeveel picometer is 1 Å?
c) De straal van een atoom ligt tussen 0,25 Å en 3 Å . Plaats de lengte van de straal in meter, gebruik hiervoor de wetenschappelijke schrijfwijze.
aan zodat de opgave klopt.
Bereken en vereenvoudig. a)
Bereken. a)
Duid de overeenkomstige uitdrukkingen aan in eenzelfde kleur.
Verbind met de juiste oplossing.
Verbind met de juiste rekenregel.
Het kwadraat van de positieve vierkantswortel van een positief getal
De vierkantswortel van een quotiënt van twee positieve getallen waarvan de deler niet nul is
De vierkantswortel van een n-de macht van een strikt positief reëel getal
De vierkantswortel van een product van twee positieve getallen
Vereenvoudig de vierkantswortels.
Vereenvoudig en reken daarna uit. a)
Reken uit.
Bepaal de omtrek en oppervlakte van deze vlakke figuren.
Pas de rekenregels toe.
a)
b)
Reken uit.
Bepaal de oppervlakte van deze vlakke figuren.
a)Bepaaldegetalwaardevandeveelterm
Los de magische vierkanten op.
In een magisch vierkant is de som van de getallen in elke lijn (kolom, rij, diagonaal) constant.
Kleur telkens het juiste antwoord. Er zijn meerdere juiste antwoorden mogelijk.
b)Welke uitspraken hebben hetzelfde resultaat?
Degetalwaardevan
Vereenvoudig. Alle gebruikte letters zijn strikt positief.
Pas de rekenregel toe. Alle letters zijn strikt positief.
Pas de rekenregel toe. Alle letters zijn strikt positief.
Rekenen met ICT, schatten en afronden
Schat de uitkomst.
a)3 2,4 ≈
b)10,5 + 24,1 ≈
c) 18 3,2 ≈
Rond af op de gevraagde nauwkeurigheid.
c)36 14,1 ≈
d)5,2 ⋅ 3,75 ≈
e)324,3 97,8 ≈
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
op 0,1 nauwkeurigop 0,01 nauwkeurigop 0,001 nauwkeurig 3,783921… √13 9 7
Schat de uitkomst.
a)3 4,5 ≈
b) √8 ≈ c)2,13 ≈ d) 3 √65 ≈ e) 112 12 ≈ f) √5 + √10 ≈ g)15π ≈ h)7 + π ≈
Reken uit met ICT.
a) 4 (3 5π) + 10π
b) 112 102 √3 √7
c) 3√2 √8 √2 + 5√2 d) √3 2 √3 + 2 2√3 2
Marc en Christine willen de oprit en een plantenvak in grind leggen.
a)Schat hoeveel m3 grind ze nodig hebben als ze een grindlaag willen van 5 cm dik.
b)Bereken nauwkeurig hoeveel m3 grind ze nodig hebben. Komt dit overeen met jouw schatting?
c) Schat hoeveel euro de hoeveelheid grind zal kosten als je weet dat de prijs € 103,65 per ton is (1 m3 = 1,6 ton grind).
d) Bereken exact hoeveel ze zullen moeten betalen. Komt dit overeen met de schatting ?
Een staafmixer van 750 watt is aangesloten in het stopcontact en wordt voorzien van 230 volt. Hoeveel bedraagt de stroomsterkte die door het apparaat loopt?
(met P = vermogen, U = spanning en I = stroomsterkte) TIP
P = U ⋅ I
Emmierijdt15 m s methaarautoalszehetgaspedaaldieperintrapt.Haarversnellingbedraagt2 m s2 Berekenhaarsnelheidna4seconden.
(met ag = gemiddeldeversnelling, v1 = nieuwegemiddeldesnelheid, v0 = oorspronkelijkegemiddeldesnelheid enΔt = tijdsduur) TIP
ag
a)Jorantekenteenvierhoekmetvierrechtehoekenwaarbijéénzijde5√12 √75cmmeeteneenandere zijde5√3cm.Welksoortvierhoekisdit?Verklaarjeantwoordmeteenberekening.
b)Kionawileendriehoektekenenwaarvandeeerstezijde √63cmmeetendetweedezijde √28cm. Aanwelkevoorwaardemoetdederdezijdevoldoenopdatdezedriehoekgetekendzoukunnenworden?
Wat is de massa van een astronaut op de maan als je weet dat hij op de maan wordt aangetrokken met een kracht van 278,404 Newton en het pak van de astronaut 103 kg is? De gravitatieconstante op de maan bedraagt 1,63 N kg
Fz = m ⋅ g TIP
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Computationeel denken
Afronden en bewerkingen
Op jouw smartphone gebruik je regelmatig de app Calculator. Afhankelijk van het maximale aantal tekens op het scherm, wordt het resultaat van een berekening soms afgerond. Op de achtergrond wordt er dan een functie uitgevoerd.
Visueel zouden we dat in Scratch zo kunnen begrijpen:
Bij het tekstueel programmeren in programmeertalen zoals Python of Swift, krijg je een code als deze:
Begrijp je de code?
a)Wat gebeurt er op lijn 2?
b)Wat gebeurt er op lijn 3?
Jente schrijft een nieuwe code zoals hieronder:
c)Wat gebeurt er nu?
d)Wat moet je aanpassen in de code zodat het programma zou afronden op 1 decimaal?
Je kan met code ook bewerkingen uitvoeren. Noteer telkens onder de code wat er precies gebeurt als je de code uitvoert.
a)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b)
c)
d)
e)
f)
Nu je deze nieuwe concepten begrijpt, kun je verder aan de slag. Download via POLPO de oefeningen en het traject om je te verdiepen in bewerkingen.
Studiewijzer
Differentiatietraject
Doelen
Ik ken de eigenschappen van de hoofdbewerkingen in r , kan ze toepassen en noteren in woorden en symbolen.
Ik kan de rekenregels voor het rekenen met machten van reële getallen toepassen. 12
Ik kan rekenen met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.
Ik kan de rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels uitdrukken in symbolen en toepassen bij het uitvoeren van bewerkingen.
Ik kan bij rekenen met reële getallen gebruik maken van ICT en een resultaat schatten en afronden.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum
Ik ken de eigenschappen van de hoofdbewerkingen in r , kan ze toepassen en noteren in woorden en symbolen.
Noteer alle eigenschappen in woorden en symbolen. Groepeer de eigenschappen ook eens per bewerking. Als je de eigenschap begrijpt, verloopt het studeren een pak vlotter.
verwerking: 1, 2, 3, 4 signaal: 1, 2
differentiatie: 1 t.e.m. 11
3
Ik kan de rekenregels voor het rekenen met machten van reële getallen toepassen. 8
Ga voor elke opgave met machten eerst na welke rekenregel(s) je kan toepassen.
verwerking: 5, 6, 7, 8, 9 signaal: 3, 4, 5 differentiatie: 12 t.e.m. 27
Ik kan rekenen met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.
Houd rekening met de rekenregels van machten om te rekenen met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze. Controleer of je wetenschappelijke notatie uit twee stukken bestaat, een macht van 10 en een decimaal getal met 1 cijfer voor de komma, verschillend van 0.
verwerking: 10, 11, 12 signaal: 6, 7, 8 differentiatie: 28 t.e.m. 35
Ik kan de rekenregels voor het rekenen met vierkantswortels uitdrukken in symbolen en toepassen bij het uitvoeren van bewerkingen.
Leer elke rekenregel met een voorbeeld bv. √2
Leer ook welke rekenregels niet gelden
Onthoud dat exponenten halveren bij de worteltrekking. Daarom is het handig om te ontbinden in priemfactoren om een wortel te vereenvoudigen.
verwerking: 13 t.e.m. 20 signaal : 9 differentiatie: 36 t.e.m. 56
Ik kan bij rekenen met reële getallen gebruik maken van ICT en een resultaat schatten en afronden.
Hermaak in je boek een aantal oefeningen. Hermaak ook de geziene voorbeelden en controleer met ICT.
verwerking: 21, 22, 23, 24
signaal: 10, 11, 12, 13 differentiatie: 57 t.e.m. 65
13
14
19
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Auteurs Björn Carreyn, Silke Steelandt en Claudia Van De Weghe
Met medewerking van Steven Van Geluwe
Eerste druk 2024 – SO 2024/0225 – Bestelnummer 94 606 0107 (module 03 van 12)
ISBN 978 90 4864 974 7 – KB D/2024/0147/207 – NUR 128/129 – Thema YPMF
Illustrator Jona Jamart - Design en Lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge