Nando 3 D5 Module 09 Homothetie, projectie en de stelling van Thales - inkijk methode by die Keure

D-FINALITEIT 5 UUR – MEETKUNDE

09 Homothetie, projectie en de stelling van Thales

wat je al kunt

–gelijkvormige vlakke ﬁguren en gelijkvormige ruimteﬁguren herkennen

–de gelijkvormigheidsfactor berekenen bij gelijkvormige ﬁguren

–coördinaten van punten bepalen

–aanzichten van ruimteﬁguren herkennen en tekenen

–lengtes en hoeken berekenen

–in congruente en gelijkvormige driehoeken overeenkomstige lengtes en hoeken herkennen en bepalen

wat je leert in deze module

–gelijkvormige ﬁguren tekenen door gebruik te maken van homothetie

–punten projecteren op een gegeven rechte volgens willekeurige richting

–stelling van Thales voor rechten formuleren en toepassen

–vraagstukken oplossen in het vlak en de ruimte

Inhoud

Instap

1Transformaties in het vlak

2De stelling van Thales

3Bewijs van de stelling van Thales

4Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek

Signaaloefeningen

Differentiatietraject

Studiewijzer

in de kijker

Je hebt aandacht voor het abstract redeneren.

wiskundetaal

–homothetie

–homothetische ﬁguur

–middenparallel

–evenwijdige of parallelle projectie

–loodrechte of orthogonale projectie

–projectieas

–projectierichting

–singleton

–stelling van Thales

–metrische betrekkingen

Instap

Opdracht 1

De omtrek van een voetbal is maximaal 70 cm. De omtrek van een tennisbal is maximaal 22 cm. Bepaal de gelijkvormigheidsfactor.

Opdracht 2

Op een zonnige zomerdag vraag je je tijdens een partijtje basketbal af hoe hoog de ring van de basketbalkorf is. Je kan de ring niet aanraken.

Aangezien de zon zeer ver van de aarde verwijderd is, mag je veronderstellen dat de zonnestralen evenwijdig zijn. Je kan je eigen lengte, de lengte van jouw schaduw en de lengte van de schaduw van de basketbalring meten.

Als je kan bewijzen dat de gevormde driehoeken gelijkvormig zijn, dan kan je de hoogte van de ring van de basketbalkorf berekenen.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

a)Bewijs dat ∆ABC en ∆DEF gelijkvormig zijn.

b)Bepaal de hoogte van de basketbalring.

Opdracht 3

Vul aan met behulp van de tekening als je weet dat a ⫽ b.

a)Binnenhoekenaandezelfdekantvandesnijlijnzijnsupplementair.

A1 + B = 180°

b)Nevenhoekenzijnsupplementair.

A3 + A = 180°

c)Verwisselendebinnenhoekenzijnevengroot.

A = B3

d)Overstaandehoekenzijnevengroot.

B = B2

e)Overeenkomstigehoekenzijnevengroot.

A3 = B

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

1 Transformaties in het vlak

1.1 Isometrieën en congruente figuren

Je leerde in het tweede jaar al om graﬁsch het beeld te bepalen van een vlakke ﬁguur …

• door te spiegelen om een as.

• door te verschuiven over een vector.

• door te roteren over een hoek.

• door te spiegelen om een punt.

Het beeld van een vlakke figuur door één van deze transformaties, of een samenstelling van meerdere van deze transformaties, was steeds een vlakke figuur die congruent is met de oorspronkelijke figuur.

definitie Een isometrie is een transformatie die een vlakke figuur afbeeldt op een congruente vlakke figuur.

Voorbeelden spiegelen om een as verschuiven volgens een vector

roteren over een hoek spiegelen om een punt

1.2Homothetieën

1.2.1Deﬁnitie

Er bestaan nog andere transformaties van het vlak.

definitie Een homothetie is een transformatie die een vlakke figuur afbeeldt op een gelijkvormige figuur.

Je kunt met meetkundesoftware het beeld van een vlakke ﬁguur bepalen door een homothetie. Je hebt hiervoor het centrum en een factor nodig. De factor k is een reëel getal.

Voorbeelden

∆ABC wordt door een homothetie met centrum P en factor 2 afgebeeld op ∆A′B′C′

Insymbolen: h(P,2)

Insymbolen: h(R, 1 3 )

∆ABC ∼ ∆A′

∆A′B′C′ is een vergroting van ∆ABC met factor 2 .

∆ABC en ∆A′B′C′ zijn homothetische figuren

Insymbolen: h(P,2)

KLMN wordt door een homothetie met centrum R en factor 1 3 afgebeeld op K′L′M′N′

Insymbolen: h(R, 1 3 )

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

KLMN ∼ K′L′M′N′ K′L′M′N′ is een verkleining van KLMN met factor 1 3.

KLMN en K′L′M′N′ zijn homothetische figuren . Merk op

• Het beeld is een schaalmodel van de originele ﬁguur.

• De factor van een homothetie wordt bepaald ten opzichte van het centrum van de homothetie.

• Als het beeld van een vlakke figuur door een homothetie samenvalt met de originele figuur, dan is de factor 1 en zijn deze figuren samenvallend en congruent.

• De factor van een homothetie kan ook negatief zijn.

eigenschappen

1.2.2Eigenschappen van homothetieën

Wanneer je graﬁsch het beeld van een vlakke ﬁguur door een homothetie h met centrum P en factor r weergeeft, dan stel je een aantal eigenschappen vast.

Een homothetie met factor r bewaart de hoekgrootte.

Een homothetie met factor r beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.

Een homothetie met factor r beeldt een lijnstuk [AB] af op een lijnstuk A B zodat |A B | |AB| = |r| A B zodat |A B | |AB| = |r|.

Een homothetie met factor r beeldt een vlakke ﬁguur met oppervlakte A af op een gelijkvormige vlakke ﬁguur met oppervlakte A zodat A A = r2 .

De eigenschappen kun je gebruiken bij een aantal meetkundige toepassingen en om constructies uit te voeren.

1.3Projectie

In het tweede jaar bestudeerde je al enkele meetkundige transformaties: spiegelingen, verschuivingen en rotaties. In dit punt bestuderen we een nieuwe transformatie: de projectie .

1.3.1Loodrechte projectie

In een cartesiaans assenstelsel kan je punten voorstellen met coördinaten. Het eerste coördinaatgetal lees je af op de x-as en het tweede coördinaatgetal op de y-as.

Om coördinaatgetallen te bepalen maak je gebruik van loodrechte projectie.

• Om het eerste coördinaatgetal van A te bepalen, projecteren we het punt A op de rechte x volgens de richting van y

• Om het tweede coördinaatgetal van A te bepalen, projecteren we het punt A op de rechte y volgens de richting van x.

De rechte waarop men een punt projecteert (rechte a), noemt men de projectieas

De rechte b bepaalt de projectierichting . Als de projectierichting loodrecht staat op de projectieas, dan spreekt men over loodrechte projectie

notatie pa (C) = C

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Dit lees je als: 'C′ is het projectiebeeld van de loodrechte projectie van het punt C op de rechte a'.

Merk op

• Een loodrechte projectie wordt ook wel een orthogonale projectie genoemd.

• De loodrechte projectie wordt vaak gebruikt bij technische tekeningen (bovenaanzicht - vooraanzichtzijaanzicht).

methode

1.3.2Projectie

Hoe teken je het projectiebeeld van C op de rechte a ?

STAP 1: Teken een rechte c evenwijdig aan de rechte b en door het punt C.

STAP 2: Bepaal het snijpunt C′ van de rechte c met de rechte a

Hoe teken je het projectiebeeld van y op de rechte a ?

STAP 1: Teken een rechte c evenwijdig aan de rechte b en door een willekeurig punt C van de rechte y

STAP 2: Bepaal het snijpunt C′ van de rechte c met de rechte a

STAP 3: Teken een rechte d die evenwijdig is aan de rechte b en door een tweede willekeurig punt (D) van de rechte y

STAP 4: Bepaal het snijpunt D′ van de rechte d met de rechte a.

STAP 5:Teken een rechte y ′ door C′ en D′

methode

Hoe teken je het projectiebeeld van [ AB ] op de rechte a ?

STAP 1: Teken een rechte c evenwijdig aan de rechte b en door het punt A.

STAP 2: Bepaal het snijpunt A′ van de rechte c met de rechte a.

STAP 3: Teken een rechte d evenwijdig aan de rechte b en door het punt B.

STAP 4: Bepaal het snijpunt D′ van de rechte d met de rechte a

STAP 5: Teken het lijnstuk [ A′B′] .

Hoe teken je het projectiebeeld van driehoek XYZ op de rechte a ?

STAP 1: Teken een rechte c evenwijdig aan de rechte b en door het dichtste hoekpunt t.o.v. de rechte b ( = X) .

STAP 2: Bepaal het snijpunt X′ van de rechte c met de rechte a

STAP 3: Teken een rechte d evenwijdig aan de rechte b en door het verste hoekpunt t.o.v. de rechte b ( = Z) .

STAP 4: Bepaal het snijpunt Z′ van de rechte d met de rechte a

STAP 5: Teken het lijnstuk [ X′Z′] .

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Merk op De speciale gevallen kan je

Verwerkingsopdrachten

Bepaal graﬁsch (eventueel met behulp van ICT) het beeld van de vlakke ﬁguren …

a) door een homothetie met centrum P en factor 1,5. b) door een homothetie met centrum A en factor 0,25.

Bepaal het centrum en de factor van de homothetie.

Teken de gevraagde projecties graﬁsch (eventueel met behulp van ICT).

a) pb a (A) , pa b ([BC])

b) pa b (KLMN) , pb a (c)

N Vul aan.

pb a (P) = pa b (R) = pa b (P) = pb a ([KP]) =

pb a (K) = pa b ([KP]) = pa b (K) = pb a (RQ) =

pb a (R) = pa b (KL) =

2 De stelling van Thales

2.1 Rechthoekige driehoeken met even grote scherpe hoeken

Beschouw de twee rechthoekige driehoeken ∆ABC en ∆DEF uit de instapopdracht 1.

Gegeven: ∆ABCisrechthoekigin A

∆DEFisrechthoekigin D

BC ⫽ EF

Te bewijzen: ∆ABC ∼ ∆DEF

Bewijs:

In ∆ABC en ∆DEF geldt:

A = D = 90° (gegeven)

C = F (overeenkomstigehoekenbijtwee evenwijdigeneneensnijlijn)

stellingTwee rechthoekige driehoeken met één paar even grote scherpe hoeken zijn gelijkvormig.

Merk op Verticale voorwerpen werpen een schaduw die evenredig is met de hoogte van dat voorwerp.

2.2 Driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt en evenwijdige zijden

Een willekeurige ∆ABC wordt gesneden door de rechte DE en DE ⫽ BC

Te bewijzen: ∆ABC ∼ ∆AED

Bewijs:

In ∆ABC en ∆AED geldt:

C = D (overeenkomstigehoekenbijtwee evenwijdigeneneensnijlijn)

B = E (overeenkomstigehoekenbijtwee evenwijdigeneneensnijlijn)

stellingEen rechte evenwijdig met een zijde van een driehoek bepaalt met de twee andere zijden een driehoek die gelijkvormig is met de gegeven driehoek.

Bijzonder geval

P [MN] is een middenparallel van ∆PQR. Een middenparallel van een driehoek is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verbindt. eigenschapEen middenparallel van een driehoek is evenwijdig met de derde zijde en half zo lang als de derde zijde.

Deze eigenschap zullen we later nog bewijzen.

2.3De stelling van Thales

Hieronder werden drie lijnstukken getekend: [AB], [CD] en [EF].

We projecteren de drie lijnstukken: pb a ([AB]) = [A B ] pb a ([CD]) = [C D ] pb

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Vaststelling:

Evenwijdige lijnstukken

Niet evenwijdige lijnstukken

We formuleren dit in de stelling van Thales : stellingEen evenwijdige projectie bewaart de verhouding van lengtes van evenwijdige lijnstukken.

Voorbeeld c ⫽ d ⫽ e

De evenwijdige rechten geven de projectierichting weer.

De evenwijdige rechten snijden op twee snijdende rechten evenredige lijnstukken af.

2.4 Meetkundige problemen oplossen met behulp van de stelling van Thales

We kunnen vraagstukken oplossen door te steunen op projecties.

De stelling van Thales laat toe om snel onbekende lengtes van lijnstukken te bepalen.

De schaduwvorming van verticale voorwerpen op de grond kunnen we beschouwen als de projectie van deze voorwerpen volgens de richting van de zonnestralen (= projectierichting) op het aardoppervlak (= projectieas).

Hier herken je de volgende projecties:

pBC AB (C) = B

pBC AB (D) = E

pBC AB (A) = A

BC ⫽ DE AC ⫽ DB

Uit de stelling van Thales volgt:

⫽ DE AC ⫽ DB

Hier herken je de volgende projecties: pAC

(A) = C pAC CD (B) = D pAC CD (S) = S

Uit de stelling van Thales volgt:

Merk op

• Je kan ook projecteren op een andere projectieas.

• De gevormde driehoeken zijn altijd gelijkvormig.

Voorbeeld 1

We zoeken de onbekende lengte |AC|

We projecteren de lijnstukken [EC] en [CA] op de rechte b volgens de evenwijdige horizontale rechten d, e en f

Uit de stelling van Thales volgt:

EC|

FD| = |CA| |DB|

18 = x 12,6

5 9 = x 12,6

5 12,6 9 = x

7 = x

Antwoord: De lengte van het lijnstuk [CA] is 7.

We zoeken de onbekende lengte |AD|

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

We projecteren de lijnstukken [BA] en [AD] op de rechte CE volgens de richting BC.

Uit de stelling van Thales volgt:

Antwoord: De lengte van het lijnstuk [AD] is 14,4.

Voorbeeld 2

Thales van Milete was een Griekse wijsgeer (624 v. Chr. - 545 v. Chr.). Er wordt verteld dat hij tijdens een reis naar Egypte de piramides bezocht en de hoogte van de piramide van Cheops wilde berekenen. Hij deed dit op de volgende manier:

• Hij bepaalde eerst de hoogte van een paal: 1,63 m.

• Daarna bepaalde hij de lengte van de schaduw van de paal: 2 m.

• Hij was in staat om de basis van de piramide te meten: 230 m.

• Tot slot mat hij de lengte van de schaduw van de piramide: 65 m.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Wezoekendehoogtevandezepiramide. Weherkennendevolgendeprojecties:

UitdestellingvanThalesvolgt:

= |BC

x 1,63 = (230:2)+ 65 2 x = (115 + 65) ⋅ 1,63 2 = 146,7

Antwoord:Depiramideis146,7mhoog.

Merk op Dit probleem kan je ook oplossen met behulp van gelijkvormigheidskenmerken.

In∆DEFen∆ABCgeldt:

F = C = 90° (gegeven)

E = B (overeenkomstigehoekenbij tweeevenwijdigeneneensnijlijn)

Verwerkingsopdrachten

Formuleer de stelling van Thales in symbolen. Bereken de onbekende lengte |BD|

Bepaal telkens de onbekende lengte x.

3 Bewijs van de stelling van Thales

Gegeven:

AB ⫽ CD |CD| |AB| = k

pb a ([AB]) = [EF]

pb a ([CD]) = [GH]

Te bewijzen: |GH| |EF| = k

Bewijs:

• We maken een hulpconstructie: Teken een rechte evenwijdig met AB door het punt E. Noem het snijpunt met BF het punt X. Teken een rechte evenwijdig met CD door het punt G. Noem het snijpunt met HD het punt Y.

• Uit deze constructie volgt: VierhoekABXEiseenparallellogram (detweepaaroverstaandezijdenzijnevenwijdig) VierhoekCDYGiseenparallellogram (detweepaaroverstaandezijdenzijnevenwijdig)

Wekunnenbesluiten:

|AB| = |EX| en |CD|

|GY| (1)

• EX ⫽ GYwantEX ⫽ AB (hulpconstructie)

AB ⫽ CD (gegeven)

CD ⫽ GY (hulpconstructie)

• We tonen aan dat ∆EXF ∼ ∆GYH.

E = G (overeenkomstigehoekenbijEX ⫽ GYensnijlijn a)

F = H (overeenkomstigehoekenbijFX ⫽ HYensnijlijn a)

• Uit (1) en (2):

|GY| |EX| = |CD| |AB| (1) ⟸ (gegeven) |GY| |EX| = k ⟸ (2) |GH| |EF| = k

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Merk op

Ook in deze situatie kun je met gelijkvormige driehoeken de stelling van Thales bewijzen.

a ⫽ DF (hulpconstructie)

Verwerkingsopdracht

Gegeven: |AB| = |BC|

BF ⫽ CG

Gevraagd:

|AB| = |BC|

BF ⫽ CG

a)Wat kan je besluiten over

|AD| en |DE| [AB] en [BC]

|AF| en |FG|

|AD| en |DE|

[AB] en [BC]

|AF| en |FG| ?

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

b) Dit kan je aantonen met de stelling van Thales. Vul aan.

We projecteren de lijnstukken en op de rechte volgens de richting .

BF ⫽ CG

Aangezien |AB| = |BC|

|AB| = |BC|

De stelling van Thales stelt dat .

|AD| en |DE|

[AB] en [BC]

c) Wat kan je besluiten over

BF ⫽ CG

|AD| en |DE|

[AB] en [BC]

|AF| en |FG| even lang zijn, zijn ook hun projectiebeelden even lang.

|AF| en |FG|?

d) Toon dit aan met de stelling van Thales. Wees volledig.

4 Metrische betrekkingen in een rechthoekige

Gegeven: ∆ABC is rechthoekig in B. [ BD] is de hoogtelijn uit B.

We stellen vast: ∆ABC ∼ ∆ADB ∼ ∆BDC want:

In ∆ABC en ∆ADB geldt:

B = D (rechtehoeken)

A = A (gemeenschappelijke hoeken)

|AB| |AD| = |BC| |DB| = |AC| |AB|

|AB|2 = |AC| |AD|

eigenschappen

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

In ∆ABC en ∆BDC geldt:

B = D (rechtehoeken)

C = C (gemeenschappelijke hoeken)

|AB| |BD| = |BC| |DC| = |AC| |BC| |BC|2 = |AC| |DC|

In ∆ADB en ∆BDC geldt:

D = D (rechtehoeken)

A = B2 (A + B1 = 90° = B2 + B1 )

|AD| |BD| = |DB| |DC| = |AB| |BC| |BD|2 = |AD| |DC|

⟹

∼

in woorden

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van een rechthoekszijde gelijk aan het product van de lengte van de schuine zijde en de lengte van de loodrechte projectie van deze rechthoekszijde op de schuine zijde.

in symbolen

|AB|2 = |AC| ⋅ |AD| |BC|2 = |AC| |DC|

in woorden

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hoogtelijn op de schuine zijde gelijk aan het product van de lengte van de loodrechte projecties van de rechthoekszijden op de schuine zijde.

in symbolen

|BD|2 = |AD| |DC|

Deze eigenschappen noemen we de metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek.

Voorbeeld

Bepaal |AD| , |DC| en |BD|

|AB|2 = |AC| ⋅ |AD|

3,32 = 6,5 ⋅ |AD|

|AD| = 3,32 6,5

|AD| = 10,89 6,5

|AD| ≈ 1,68

|BD|2 = |AD| ⋅ |DC|

|BD|2 = 10,89 6,5 31,36 6,5 ⟸ wekiezenervooromdeexactewaardenintevullen

|BD| = 10,89 6,5 31,36 6,5 neemdepositievevierkantswortelwanteenafstandispositief |BD| ≈ 2,84

Merk op • |AD| + |DC| = |AC|

Controle: 10,89 6,5 + 31,36 6,5 = 42,25 6,5 = 6,5

• Je kunt de hoogte in deze situatie ook anders bepalen door gebruik te maken van de oppervlakte van een driehoek: A∆ABC = |

| ≈ 2,84

• In een vraagstuk kun je de lengte afronden op de gevraagde nauwkeurigheid.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Verwerkingsopdrachten

Noteer de metrische betrekkingen in onderstaande driehoek.

Jente heeft een moestuinbak. Zijn papa maakte een glazen constructie om op de bak te plaatsen.

Hoe hoog bevindt het hoogste punt van de glazen constructie zich ten opzichte van de bovenrand van de moestuinbak?

Rond je resultaat af op 1 mm nauwkeurig.

Signaaloefeningen

a)Bepaal graﬁsch het beeld door de homothetie met centrum K en factor 2.

b)Welk besluit kun je trekken in verband met de oppervlakte van de originele ﬁguur en zijn beeld?

a)Teken twee verschillende rechten c en d

zodat pb a (c)= pb a (d)= a

>>> Verder oefenen:

b)Teken een rechte f zodat pb a ( f )= {X}.

Verder oefenen:

Gegeven: a ⫽ c en b ⫽ d

Vul aan.

• ABCDiseen

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Lou speelt met een vlieger op het strand. Als het touw 32 m lang is, dan bevindt de vlieger zich op een hoogte van 21,65 m. Hij haalt het touw aan, waardoor de lengte van het touw vermindert met 12 m. Je mag veronderstellen dat de hoek die het touw maakt met de horizontale constant blijft. Bereken de hoogte van de vlieger nadat Lou het touw heeft aangehaald als je weet dat Lou 1,65 m groot is.

Bereken in elke driehoek de onbekende lengte x.

Op twee rechten die elkaar snijden in C kiest men A, B, D, E, F en G zodat AB ⫽ DE ⫽ FG.

Verder is |AC| = 3; |BC| = 2; |CE| = 4en |CG| = 10.Bepaal |EF|

>>> Verder oefenen:

Op de volgende tekening is a ⫽ c ⫽ d Zijn de gegeven verhoudingen gelijk of niet?

Vul in. Kies uit = of ≠

a) |EG| |FH| |AE| |BF|

b) |AC| |BD| |AE| |BF|

c) |AE| |BF| |AG| |BH|

d) |AB| |EF| |EF| |GH|

e) |BF| |AE| |FH| |EG|

f) |CE| |DF| |AC| |BD|

Nina is 1,68 meter lang. Haar schaduw is 42 cm lang. Op hetzelfde ogenblik is de schaduw van een gebouw 5,75 meter lang. Hoe hoog is dat gebouw?

In een trapezium ABCD zijn AD en BC de evenwijdige zijden. De diagonalen snijden elkaar in het punt S.

a)Teken een willekeurig trapezium (niet gelijkbenig of rechthoekig).

b)Bewijs met behulp van de stelling van Thales dat |AS| |SB| = |CS| |SD|

Bereken de lengte van de gevraagde lijnstukken. a) b)

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

>>> Verder oefenen: D62 t.e.m. D68

>>> Verder oefenen: D69 t.e.m. D75

Transformaties

Differentiatietraject

De gele ﬁguur is het beeld van de blauwe ﬁguur door een transformatie.

Plaats de juiste transformatie(s) bij de juiste tekening.

a)een spiegeling om een as

b)een spiegeling om een punt

c)een verschuiving volgens een vector

d)een rotatie

e)een homothetie met factor 2

f) een homothetie met factor 1 2 1 2

g)een homothetie met factor –2

h)een homothetie met factor 1 2 1 2

a)Teken de beelden van de gegeven punten B, C en D door de orthogonale projectie op de x-as en de y-as

Benoem de beelden op deze manier: px (A) = A

b)Bepaal de coördinaten van de punten B, B′ en B′′

Bepaal het projectiebeeld van de volgende rechten en lijnstukken.

a) pb a ([AB]) = … f) pa b (AB) = …

b) pb a (AC) = … g) pa b ([AC]) = …

c) pb a ([AD]) = … h) pa b (AD) = …

d) pb a (AE) = … i) pa b ([AE]) = …

e) pb a ([AF]) = … j) pa b ([AF]) = …

Teken pb a (A) = A , pa b (B) = B , pa (A) = A en pb (B) = B .

Bepaal het projectiebeeld van de volgende rechten en lijnstukken.

a) pb a ([AB]) = … g) pa b ([AB]) = …

b) pb a ([BD]) = … h) pa b ([AE]) = …

c) pb a (BD) = … i) pa b ([HO]) = …

d) pb a ([BG]) = … j) pa b (CF) = …

e) pb a ([BO]) = … k) pa b (DH) = …

f) pb a ([CG]) = … l) pa b ([BC]) = …

De rechten a en b zijn snijdend. Een derde rechte r wordt geprojecteerd. Vul aan.

pb a (r) iseenrechteals … en pb a (r) iseenpuntals …

Bepaal met ICT het beeld van rechthoek ABCD door een homothetie met centrum P en factor 4.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

∆DEF is het beeld van ∆ABC door een homothetie.

a)Bepaal de factor van deze homothetie.

b)Bepaal het centrum van deze homothetie.

c)Bereken de lengte van |DF|

Construeer met ICT het beeld door de gegeven homothetie.

a)Een homothetie met centrum P en factor –2.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

b)Een homothetie met centrum A en factor 3 4

Kleur alle punten van het vlak die door de projectie pb a op zichzelf worden afgebeeld.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Vul aan.

a) pa b (…) = [EO] f) p … (BH) = AD

b) pb a (…) = {C} g) pDE ([CF]) = [DB]

c) pb ([DF]) = [AG] h) p … ([EH]) = {O}

d) p … AB ([CD]) = [OB] i) pb ([CG]) = [DF]

e) pa ([DG]) = [BG] j) p … HF ([AC]) = [HF]

Teken een projectieas a, een projectierichting b en een lijnstuk [AB] zodat de lengte van het lijnstuk door de projectie bewaard blijft.

Het beeld van een vierkant door een homothetie heeft een oppervlakte van 256 cm2. Het oorspronkelijk vierkant heeft een omtrek van 32 cm. Bepaal de factor van deze homothetie.

Twee rechten, zoals hiernaast getekend, snijden elkaar in het punt P.

Teken de rechte PT. Verklaar je antwoord.

Vul aan.

Teken een projectieas a en een projectierichting b zodat het beeld van [AB] na projectie een lijnstuk [ A

met lengte 3 cm is.

ABCD is een parallellogram waarbij de diagonalen elkaar snijden in het punt M. Bepaal het beeld van elke zijde door de projectie op AC volgens richting AB.

a) pAB AC ([AB]) = …

b) pAB AC ([BC]) = …

c) pAB AC ([CD]) = …

d) pAB AC ([AD]) = …

Gegeven: pb a (C) = Den pb a (E) = F B = pb a (A) Gevraagd: Teken B als pb a (C) = Den pb a (E) = F

Teken een rechte b zodat: pb a (R) = pb a (S).

Zijn er meerdere oplossingen mogelijk?

De evenwijdige rechten a en b worden gesneden door de rechte s. Vul aan.

a) psa (b) = …

b) pa s (b) = …

c) pXY b (s) = …

d) pbXY (a) = …

Waar of niet waar?

a)Elke isometrie is een homothetie.

b)Een homothetie met factor 1 is een isometrie.

c)Een transformatie die een ﬁguur afbeeldt op een congruente ﬁguur is een isometrie.

d)Als je in het vlak het beeld van een homothetie spiegelt ten opzichte van een rechte, dan kun je het nieuwe beeld ook verkrijgen door een homothetie met een tegengestelde factor.

De stelling

Beschouw de rechthoekige driehoeken ∆ABC en ∆DEF in de ﬁguur met BC ⫽ EF. Bepaal |DE|.

De schaduw van een één meter hoge struik is 0,4 meter lang. De schaduw van een boom is op hetzelfde ogenblik 2 meter lang. Hoe hoog is deze boom? Werk op 0,1 m nauwkeurig.

In ∆ABE en ∆CDE is AB ⫽ CD. Bepaal de omtrek van ∆ABE.

∆ADC en ∆BEC zijn rechthoekig en AD ⫽ BE Bepaal |

a)Toon je antwoord aan met de stelling van Thales. Projecteer de lijnstukken

loodrecht op AC.

b)Toon je antwoord aan met behulp van gelijkvormige driehoeken.

• Kies twee driehoeken die gelijkvormig zijn.

• Bewijs hun gelijkvormigheid.

• Noteer in symbolen dat de lengtes van de schuine zijde zich verhouden tot de lengtes van de horizontale rechthoekszijden.

30 31

a)Bereken de onbekende lengte |EF| met behulp van de stelling van Thales.

b)Welke projectieas en welke projectierichting heb je hierbij gebruikt?

Gegeven: AD ⫽ BE ⫽ CF

∆ABC is rechthoekig in C. De lengte van de rechthoekszijde [AC]

tekent

| |BD| en omkring het juiste antwoord. a) 20 3 d) 15 2 b) 16 3 e)8 c)5 B E C A D © VWO 1994-1995 tweede ronde In ∆ABC is DE ⫽ BCen |BC| = 3 |DE|. Vul aan.

6 en de schuine zijde

Uit een gelijkzijdige ∆ABC – met zijden van lengte 3 – snijdt men een driehoekige punt weg zodat de zijden [DB] en [EB] lengte 1 hebben. Bepaal de omtrek van de overblijvende vierhoek ADEC.

Bepaal de lengte van het lijnstuk [AB] als je weet dat g ⫽ h ⫽ k . Werk op 0,01 nauwkeurig. f m g h

a)Bereken de onbekende lengte x met behulp van de stelling van Thales.

b)Welke projectieas en welke projectierichting heb je gebruikt?

Gegeven: BD ⫽ EC

Als we een veer vanuit haar rustlengte willen uitrekken, dan moeten we hiervoor een kracht uitoefenen die recht evenredig is met de toename van de lengte van de veer. Veronderstel dat de lengte van een veer met 4 cm toeneemt als we een trekkracht van 3,2 N (Newton) op de veer uitoefenen. Welke kracht moeten we uitoefenen om diezelfde veer 7 cm te laten uitrekken?

De barcode op verpakkingen bestaat uit een streepjescode. De code wordt bepaald door de dikte van de opeenvolgende zwarte en witte rechthoeken. Cijfercodes hebben als nadeel dat ze soms moeilijk te ontcijferen zijn voor een scanner (laserstraal). De code moet immers vanuit verschillende richtingen leesbaar zijn. Toon met de stelling van Thales aan dat een barcode - voor gelijk welke richting waarin de scanner leest - correct ontcijferd wordt.

Gegeven: a ⫽ b ⫽ c

AB| = 8en |BC| = 5

Gevraagd:

XY| = 6 |YZ|

a)Bereken de onbekende lengte x met behulp van de stelling van Thales.

b)Welke projectieas en welke projectierichting heb je gebruikt?

Gegeven: EB ⫽ CD

Bepaal de oppervlakte van ∆IFH.

Bepaal de gelijkvormigheidsfactor van ∆IFH t.o.v. ∆ABC.

Beschouw het rechthoekige trapezium ACDF. Men tekent een rechte EB ⫽ FAwaarbij |AB| = 3 |BC|

a)Als je weet dat |DF| = 5,berekendan |DE| en |EF|

b)Bereken |BE| en vervolgens de oppervlakte van trapezium ABEF.

Twee vierkanten met zijde 2 en 3 grenzen aan elkaar zoals in de ﬁguur. Wat is de oppervlakte van het gearceerde trapezium? a)5

TIP

Bereken in elke driehoek de onbekende lengte x met behulp van gelijkvormige driehoeken.

a) BC ⫽ DE

c) LM ⫽ NO

De stelling van Thales kan je gebruiken om een gegeven lijnstuk [AB] in twee gelijke delen te verdelen, zonder te meten. De constructie wordt hieronder uitgevoerd. Verklaar deze constructie.

Een garagepoort gaat langzaam naar beneden. Bij het sluiten van de poort schijnt het licht van een lamp tot 1 meter verder dan de poort. De lamp bevindt zich op een hoogte van 2,5 meter. De horizontale afstand tussen de garagepoort en de lamp is 4 meter. Hoe hoog bevindt de garagepoort zich dan boven de vloer?

De piramide T-ABCD wordt gesneden door een vlak α dat evenwijdig is aan het grondvlak van de piramide. De doorsnede van de piramide met het vlak α is de vierhoek PQRS.

a)Vul aan.

b) Bepaal |PQ| alsjeweetdat |AB| = 12.

c) Bepaal |CD| alsjeweetdat |RS| = 9.

Bepaal de verhouding van de inhoud van piramide T-PQRS tot de inhoud van piramide T-ABCD uit de vorige oefening als |TH | |TH| = 2 3

Je ziet een piramide met top T en grondvlak ABCD. Een vlak α is evenwijdig met het grondvlak van de piramide. Dit vlak verdeelt de piramide in twee delen met gelijke inhoud. H is het voetpunt van de loodlijn uit de top T op het grondvlak ABCD en H' is het voetpunt van de loodlijn uit T op het vlak α.

Bepaal de verhouding |TH| |TH | .

De stelling van Thales kan je gebruiken om een gegeven lijnstuk [AB] in n gelijke delen te verdelen, zonder te meten. Hieronder vind je een constructiemethode om [AB] in 5 even lange lijnstukken te verdelen.

• Teken een rechte door A (verschillend van AB).

• Pas op deze rechte vijf gelijke lijnstukken af. Zo bekom je de punten V, W, …, Z.

• Verbind Z met B.

• Construeer de beelden van de punten V, W, …, Z door projectie op de rechte AB volgens de richting ZB.

Uit de constructie volgt dat |AC| = |CD| = |DE| = |EF| = |FB|. De punten C, D, E en F verdelen het lijnstuk [AB] in vijf even lange stukken.

Verklaar op welke wijze we de stelling van Thales hebben toegepast in deze constructie.

Teken een lijnstuk [AB] met een willekeurige lengte. Construeer het punt C ∈ [AB] zodat |AC| = 1 3 |AB|.

Gebruik de methode uit oefening 49.

De constructie uit oefening 49 kan veralgemeend worden om een lijnstuk te construeren waarvan de lengte een veelvoud p/q van een gegeven lengte is. Teken een lijnstuk [AB]. Construeer vervolgens een lijnstuk [AC] zodat |AC| = 3 4 |AB|.

a)Bereken de onbekende lengte x met behulp van de stelling van Thales.

b)Welke projectieas en welke projectierichting heb je gebruikt?

Gegeven: CD ⫽ EB

Een houten blok heeft de vorm van een balk. De afmetingen van de balk vind je op de ﬁguur. Het blok wordt gefreesd volgens de richting van een diagonaal in het voorvlak zodat het volume van het houten blok met 16% gereduceerd wordt. Hoe diep moet men frezen? Werk op 0,01 nauwkeurig.

In ∆ABC worden er drie rechten evenwijdig aan BC getekend. Deze drie rechten verdelen [AB] in vier gelijke lijnstukken. Vul aan. a) |

Bepaal de oppervlakte van trapezium EFIH uit oefening 54 als je weet dat de basis en hoogte van ∆ABC respectievelijk 8 en 10 zijn.

Bepaal de verhouding |TH | |TH| uit oefening 48.

∆ABC en ∆ADE zijn rechthoekig in A. Verder is BC ⫽ DE

a)Verklaar waarom ∆ABC ∼ ∆ADE.

b)Bepaal de waarde van de onbekende x

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

In een willekeurige ∆ABC is [BD] een zwaartelijn. Op deze zwaartelijn ligt een punt E zodat

De rechten AE en BC snijden elkaar in het punt F. Bepaal de verhouding |BF| |BC|.

a)Uit de deﬁnitie van een zwaartelijn volgt dat |…| = |…|.

b)Pas de stelling van Thales toe voor de projectie volgens de richting AF ⫽ DG.

c)Volgens de stelling van Thales verhouden de lengtes van de lijnstukken op de rechte BD zich op dezelfde wijze als de lengtes van de lijnstukken op de rechte BC.

Vul aan. |BD| = 3 |BE| Thales ⟹ |…| = 3 |…|

d)Projecteer [AD] en [DC] op de rechte BC volgens de richting AF ⫽ DG. Wat kan je besluiten uit de stelling van Thales? Merk op dat [AD] en [DC] twee even lange en evenwijdige lijnstukken zijn.

e)Vul aan: |

f) We besluiten:

In de ﬁguur is AB ⫽ CEenAD ⫽ BE. Verder weet je dat |AS| |SD| = r .

Toon met behulp van de stelling van Thales aan dat |CD| |DE| = 1 r . A B S

Pas de stelling van Thales tweemaal toe. TIP

In de ﬁguur is een dubbele omwentelingskegel (vb. een zandloper) voorgesteld.

Bepaal de inhoud van deze kegel.

a) h 3 π r2 1 + r2 2

b) h 3 π r2 2 + r2 r1 + r2 1

e) h 3 π (r2 r1 )2 h

ABCD is een parallellogram waarin |AB| = 16en |BC| = 10. Verleng nu de zijde [CD] langs de kant van D tot een punt E zodat |DE| = 4. F is het snijpunt van BE met AD. Bepaal |AF|

Een projectie bewaart het midden van een lijnstuk. Dit betekent dat het midden van het lijnstuk [AB] A B wordt afgebeeld op het midden van het lijnstuk [AB] A B Verklaar dit aan de hand van de stelling van Thales.

Bewijs van de stelling

Gegeven: parallellogram ABCD

TIP

P is het midden van [AB] [CD] [AC]

Te bewijzen:a)

[AB] [CD] [AC] |MP| = |NP|

N is het midden van [AB] [CD] [AC]

M is het midden van [AB]

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

[CD] [AC]

|MP| = |NP|

b)M, N en P zijn collineair.

|MP| = |NP|

• Projecteer twee even lange lijnstukken op de rechte MN volgens de richting van AC.

• Drie punten zijn collineair als ze eenzelfde beeld na projectie hebben.

In ∆ABC trek je door het midden van [AB] [BC] een evenwijdige aan [AB] [BC] [AC] . Bewijs dat deze rechte door het midden van [AB] [BC] [AC] gaat. Maak een tekening en noteer het gegeven en hetgeen te bewijzen valt. (Dit is de omgekeerde stelling van de middenparallel in een driehoek.)

TIP

Projecteer twee even lange lijnstukken die in elkaars verlengde liggen en pas de stelling van Thales toe.

Door een willekeurig punt van de zijde [BC] |AF| ⋅ |AB| = |AE| ⋅ |AC| van ∆ABC trekt men een rechte die evenwijdig is met de zwaartelijn uit A. Deze rechte snijdt AB in E en AC in F.

Te bewijzen: [BC] |AF| |AB| = |AE| |AC|

Bewijs:

a) Maak een tekening van de situatie en benoem de punten. M is het midden van [BC] |AF| |AB| = |AE| |AC| . G is het willekeurig punt op [BC] |AF| |AB| = |AE| |AC|

b)Welke rechten zijn evenwijdig? Dit wordt de projectierichting.

c)Projecteer de vier lijnstukken waarvan de lengtes bij 'te bewijzen' staan op BC (volgens de richting AM).

d) Pas de stelling van Thales tweemaal toe. Zo krijg je twee evenredigheden waarmee je verder kan rekenen.

Het zwaartepunt verdeelt een zwaartelijn in twee stukken waarvan het ene stuk twee keer langer is dan het andere. Het langste lijnstuk ligt tussen het hoekpunt en het zwaartepunt. Het kortste lijnstuk ligt tussen het zwaartepunt en het midden van de overstaande zijde. (Deze stelling hebben we al bewezen in de module over vectoren. Je kan de stelling echter ook bewijzen met de stelling van Thales.)

Bewijs dat |AZ| = 2 |ZR| |MQ| tot |AQ| met behulp van de stelling van Thales.

b)Toon met de stelling van Thales aan dat deze rechte door het midden van [BQ] [QC] loopt. Noem dit midden M.

a)Teken een rechte door R evenwijdig aan [BQ] [QC] .

c)Bepaal de verhouding van |AZ| = 2 |ZR| |MQ| tot |AQ|.

d)Pas de stelling van Thales nogmaals toe.

stellingEen bissectrice vanuit een hoekpunt in een driehoek verdeelt de overstaande zijde in twee stukken waarvan de lengtes evenredig zijn met de aanliggende zijden.

Gegeven: ∆ABC BD is een bissectrice

Te bewijzen:

Bewijs:

a)Maak een tekening en teken een rechte door C evenwijdig aan BD. Het snijpunt van deze rechte met AB noem je E.

b)Pas de stelling van Thales toe.

c)Toon aan dat ∆BCE een gelijkbenige driehoek is.

De stelling van Thales kan je gebruiken om de gelijkvormigheidskenmerken te bewijzen zoals in het voorbeeld hieronder.

Voorbeeld

kenmerkHH

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee hoeken van de eerste driehoek even groot zijn als twee hoeken van de tweede driehoek.

Gegeven: ∆ABCen∆ADE

D = B

A = A

Te bewijzen:∆ADE ∼ ∆ABC

Bewijs:

• D = B ⟸ (overeenkomstigehoeken)

DE ⫽ BC ⟸ (overeenkomstigehoeken)

E = C

• DE ⫽ BC ⟸ (Thales)

|AE| |AD| = |EC| |DB| = |AC| |AB| ⟸ (middelstetermenvanplaatswisselen) |AE| |AC| = |AD| |AB|

• TekenFE ⫽ AB ⟸ (Thales) |AE| |EC| = |BF| |FC| = |AC| |BC| ⟸ (def.parallellogram) |AE| |EC| = |DE| |FC| = |AC| |BC|

⟸ (middelstetermenvanplaatswisselen) |AE| |DE| = |EC| |FC| = |AC| |BC|

⟸ (middelstetermenvanplaatswisselen) |AE| |AC| = |DE| |BC| • Besluit

A = A; D = B; E = C |AE| |AC| = |AD| |AB| = |DE| |BC|

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

∆ABC ∼ ∆ADE

Bewijs nu zelf de twee andere gelijkvormigheidskenmerken.

kenmerk Z Z H Z Z

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee paar zijden een evenredigheid vormen en zij een even grote ingesloten hoek hebben.

kenmerk Z Z Z Z Z Z

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als alle overeenkomstige zijden evenredig zijn.

a)Noteer de metrische betrekkingen b)Plaats de juiste letters op de tekening. in symbolen. |MP|2 = |TP| |PS|

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Duid alle formules aan die gelden in onderstaande driehoek.

In een rechthoekige driehoek ABC wordt de hoogtelijn CD op de schuine zijde getekend. De zijden van de driehoek meten 9,5 cm; 16,8 cm en 19,3 cm. Hoe lang is de hoogtelijn CD? Vermeld duidelijk je werkwijze.

Bepaal de gevraagde lengtes.

In een park staat een groot monument. Silke en Steven maken allebei een foto van dit monument. Bepaal de hoogte van dit monument op basis van de ﬁguur.

In een rechthoekige driehoek zijn de zijden respectievelijk 2,5 cm, 1,5 cm en 2 cm lang. Teken in deze driehoek de hoogte op de schuine zijde. De rechthoekige driehoek wordt verdeeld in twee kleine rechthoekige driehoeken. Bepaal de oppervlakte van elke driehoek.

In een vlieger ABCD zijn Ben D rechte hoeken. De kortste zijden van deze vlieger meten 39 cm, de langste zijden meten 80 cm. De langste diagonaal meet 89 cm. Bereken de lengte van de kortste diagonaal.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Studiewijzer

Differentiatietraject

Doelen

Ik kan isometrieën en homothetieën deﬁniëren. Ik ken de eigenschappen van homothetieën en kan met ICT het beeld bepalen van een eenvoudige ﬁguur onder een homothetie. Ik kan het beeld van een punt, rechte of lijnstuk door evenwijdige projectie bepalen.

Ik kan de lengte van lijnstukken berekenen bij gelijkvormige rechthoekige driehoeken en bij driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt waarbij de overstaande zijden evenwijdig zijn. Ik kan de stelling van Thales toepassen bij constructies en bij het berekenen van de lengte van lijnstukken. Ik kan de stelling van Thales toepassen bij vraagstukken met driehoeken uit de technische wereld.

Ik kan de stelling van Thales bewijzen en gebruiken bij het verklaren van meetkundige eigenschappen.

Ik ken de metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek en kan deze gebruiken om meetkundige problemen op te lossen.

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Doelstellingen

Leg het verband met congruentie en gelijkvormigheid. Geef een aantal voorbeelden van isometrieën. Geef de gelijkenissen tussen homothetische ﬁguren en een tekening op schaal. Maak gebruik van meetkundesoftware (bv. GeoGebra), maar probeer het ook eens gewoon ‘op papier’ en controleer je oplossing dan aan de hand van ICT. verwerking: 1, 2, 3, 4 signaal: 1, 2, 3, 4 differentiatie: 1 t.e.m. 24

Maak gebruik van de gelijkvormigheid van driehoeken bij het berekenen van afstanden. Zoek de passende projectierichting en -as. Projecteer lijnstukken en schrijf de verhouding op van de lengte van hun beeld t.o.v. hun oorspronkelijke lengte verwerking: 5, 6 signaal: 5, 6, 7, 8, 9 differentiatie: 25 t.e.m. 61

Ik kan de stelling van Thales bewijzen en gebruiken bij het verklaren van meetkundige eigenschappen.

verwerking : 7 signaal: 10 differentiatie: 62 t.e.m. 68

Ik ken de metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek en kan deze gebruiken om meetkundige problemen op te lossen.

Leer de verschillende eigenschappen door te werken met duidelijke tekeningen en eronder de eigenschappen symbolisch te noteren.

verwerking: 8, 9, 10 signaal : 11 differentiatie: 69 t.e.m. 75

INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE

Auteurs Björn Carreyn, Silke Steelandt en Claudia Van De Weghe

Met medewerking van Steven Van Geluwe

Eerste druk 2024/0223 - Bestelnummer 94 606 0106 (module 09 van 18)

ISBN 978 90 4864 972 3 - KB D/2024/0147/205 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF

Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure

Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge