08 Algebraïsche verbanden en ongelijkheden
wat je al kunt
–de eigenschappen van gelijkheden toepassen –vergelijkingen algebraïsch toepassen in r –formules omvormen naar één onbekende –vergelijkingen met één parameter oplossen en bespreken –de coördinaat van een punt aflezen in een cartesiaans assenstelsel
–informatie aflezen uit tabellen van eenvoudige verbanden –de grafiek tekenen van recht evenredige grootheden –een formule opstellen bij het vaststellen van een patroon of regelmaat
wat je leert in deze module
–het verband tussen twee veranderlijke grootheden door middel van een tabel, grafiek of formule weergeven –basisbegrippen in verband met functies gebruiken
–de onderlinge ligging van twee grafieken vergelijken en interpreteren
–ongelijkheden algebraïsch oplossen in r –problemen oplossen met ongelijkheden –ongelijkheden met één parameter oplossen en bespreken
Inhoud
Instap
1Het verband tussen 2 grootheden weergeven
2Reële functies
3Ongelijkheden
4Problemen oplossen
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Studiewijzer
in de kijker
Je neemt een kritische houding aan bij het interpreteren en veralgemenen van gegevens.
wiskundetaal
–grootheid
–interpoleren
–extrapoleren
–grafiek
–onafhankelijke veranderlijke
–afhankelijke veranderlijke
–functievoorschrift
–functiewaarde
–origineel
–beeld
–nulwaarde
–domein
–bereik
– <, >, ⩽, ⩾
–ongelijkheid
–referentieverzameling
–valse ongelijkheid
Opdracht 1
Een vliegtuig vliegt met een constante snelheid van 1000 km/h.
a) Vul onderstaande tabel aan.
tijd t ( in minuten ) 30 60 90 120 150 180 210 afgelegde weg s ( in km )
b) Plaats de gegevens uit de tabel in een grafiek. ( De tijd is de horizontale as en de afgelegde weg is de verticale as.)
c) Het verband tussen de tijd ( in minuten) en de afgelegde weg ( in kilometer) is een recht / omgekeerd / niet evenredigverband.
Hoe kun je dit verband herkennen in de tabel?
Hoe kun je dit verband herkennen in de grafiek?
d) Stel de letterformule op die het verband tussen de tijd t en de afgelegde weg s voorstelt:
e) Om je droomreis naar Zuid-Afrika te maken, moet je het vliegtuig nemen om 13 419,67 km te vliegen. Hoelang zal je in het vliegtuig zitten tijdens een rechtstreekse vlucht? Maak gebruik van de letterformule uit d).
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Opdracht 2: Patronen en formules
Een fabrikant produceert afsluitingen volgens dit patroon.
figuur 1 figuur 2 figuur 3 figuur 4
a)Vervolledig de tabel. nummer van de figuur 1 2 3 4 5 aantal houten balkjes
b) Stel een formule op die het aantal houten balkjes ( = b) weergeeft in functie van het nummer ( = n) van de figuur.
c)Hoeveel balkjes bevat de afsluiting bij de twaalfde figuur?
d) Wat is het nummer (= n) van de figuur als je 82 houten balkjes (= b) telt?
Opdracht 3: Intervallen en ongelijkheden
Stel de volgende intervallen of ongelijkheden voor op de getallenas.
Noteer de onderstaande zin als een ongelijkheid.
Alle reële getallen die groter dan of gelijk zijn aan -2π en kleiner zijn dan 8π
1 Het verband tussen 2 grootheden weergeven
1.1 In een tabel
Als je een bergwandeling maakt, merk je dat hoe hoger je gaat, hoe kouder het wordt. In de tabel vind je de buitentemperatuur bij een welbepaalde hoogte.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
In de tabel lezen we twee grootheden af. De hoogte in meter en de temperatuur in graden Celsius. Uit de tabel kun je afleiden dat de buitentemperatuur 8,5°C bedraagt op een hoogte van 1000 m .
Voor- en nadelen van het voorstellen van grootheden in een tabel:
• Het is overzichtelijk, maar een verband afleiden is moeilijk.
• Gegeven waarden kunnen exact afgelezen worden.
• Er zijn maar een beperkt aantal waarden gegeven.
• We moeten kritisch zijn bij het veralgemenen en het berekenen van tussenliggende of verderliggende waarden.
We kunnen ons nu een aantal vragen stellen:
• Is er een verband tussen de grootheden "hoogte" en "temperatuur"?
• Kunnen we de buitentemperatuur bepalen voor een hoogte die tussen twee hoogtes uit de tabel ligt?
We noemen dit interpoleren
Voorbeeld : Wat is de buitentemperatuur bij een hoogte van 1500 m?
• Kunnen we de buitentemperatur bepalen voor een hoogte die kleiner of groter is dan de hoogtes uit de tabel?
We noemen dit extrapoleren
Voorbeeld : Wat is de buitentemperatuur bij een hoogte van 8000 m?
1.2In een grafiek
We bekijken even verschillende grafieken over het verband tussen de hoogte en de temperatuur.
Grafiek 1: temperatuur en hoogte tot 100 m
hoogte(inm) temperatuur(in°C)
AANDACHT
We verspringen op de x-as per 10 m.
Vaststellingen
• Je merkt volgens de grafiek zichtbaar (en voelbaar) nauwelijks een temperatuurverschil als je een paar meter stijgt.
• Je zou kunnen vermoeden dat de temperatuur constant blijft.
Grafiek 2: temperatuur en hoogte met de gegevens uit de tabel bij 1.1
temperatuur(in°C)
hoogte(inm)
AANDACHT
We verspringen op de x-as per 1000 m.
Vaststellingen
• Het vermoeden dat de temperatuur constant blijft wordt ontkracht.
• We stellen vast dat de temperatuur daalt als we ons op een hoger punt bevinden. Maar mogen we dit veralgemenen?
Grafiek 3: temperatuur en hoogte zoals onderzocht door wetenschappers
Deze grafische voorstelling vonden we terug in een wetenschappelijk onderzoek.
Exosfeer
AANDACHT
-Hier wordt de hoogte weergegeven op de verticale as en de temperatuur op de horizontale as.
Thermosfeer
Mesosfeer
Stratosfeer
Ozonlaag
Troposfeer
-De verdeling op de verticale as is voor een stuk vertekend. Men heeft niet overal dezelfde schaal gebruikt. Op die manier zijn de grote hoogtes ook weergegeven en krijg je toch een goed beeld van de temperatuur in elke laag.
-Toch moet je opletten voor misleiding.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
We stellen vast dat de temperatuur in bepaalde hoogte-intervallen daalt, maar in andere stijgt of zelfs constant blijft. Deze informatie haalden we niet uit de tabel en ontkracht ook de indruk die we hadden bij de tweede grafiek. Voor- en nadelen van grafische voorstellingen (lijngrafieken):
• Grafieken kunnen een beeld geven, maar enkel voor een bepaald interval.
• Exacte waarden aflezen uit de grafiek is niet altijd eenvoudig en dus vaak benaderend.
• We moeten voorzichtig zijn met het veralgemenen van vaststellingen.
• Het is overzichtelijk en visueel.
• Bijzondere waarden (snijpunten met assen, minimum, maximum) vallen onmiddellijk op.
• Afhankelijk van de gebruikte schaal kun je andere indrukken hebben. Je moet oppassen voor misleiding.
1.3In een algebraïsch verband of formule
Je kunt een formule opstellen om de temperatuur benaderend te berekenen als je de hoogte kent. In de troposfeer daalt de temperatuur met ongeveer 6,5 °C per 1000 m.
Bij een grondtemperatuur van 15 °C kun je de volgende formule gebruiken:
t = 15 - 0,0065 · h h:de hoogte in m
t:de temperatuur in °C
Om de temperatuur te berekenen of de hoogte te bepalen kun je gebruik maken van de formule.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voorbeeld 1
Je kunt de grondtemperatuur (hoogte = 0 m) controleren met de formule.
t = 15 - 0,0065 0
t = 15
Antwoord: De grondtemperatuur is inderdaad 15°C.
Voorbeeld 2
Je kunt de temperatuur bepalen bij een hoogte van 1500 m.
t = 15 - 0,0065 1500
t = 15 - 9,75
t = 5,25
Antwoord: Op een hoogte van 1500 m bedraagt de temperatuur 5,25°C.
Voor- en nadelen van het voorstellen van grootheden in een formule:
• Je kunt eenvoudig waarden berekenen aan de hand van de formule.
• Je zult de resultaten soms afronden tot op een bepaalde nauwkeurigheid.
Verwerkingsopdrachten
Bitcoin (BTC) is een cryptomunt en wordt ook als betaalmiddel gebruikt (zonder tussenpersoon). Hieronder zie je gegevens in verband met de waarde van 1 BTC in euro.
Bitcoin waarde in €: 2010 - 2023
Jaar Waarde start Waarde einde % Verandering
a)Welke grootheden komen hier aan bod?
b)Welke voorstellingswijze geniet jouw voorkeur?
c)Welke informatie vind jij het meest waardevol?
d)Waarom is de grafiek misleidend? Maak met ICT een betere grafiek.
e)Zoek de actuele koers op van bitcoin.
f) Waarom is een formule hier niet mogelijk?
g)Formuleer twee vaststellingen in verband met de bitcoin.
De scouts verkopen koekjes om hun zomerkamp te sponsoren. De formule die de winst ( W) in euro uitdrukt in functie van het aantal verkochte zakjes ( z) is : W = 5 · z - 150.
a)Hoeveel zakjes moeten ze verkopen om geen verlies en geen winst te maken?
b)De scouts hadden graag €2000 winst gemaakt. Bereken hoeveel zakjes ze daarvoor moeten verkopen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c)Hoeveel winst maken de scouts als ze 500 zakjes kunnen verkopen?
3
Voor 200 gram gemalen kaas betaal je 2,20 euro.
a) De prijs die je betaalt voor de kaas is recht / omgekeerd / niet evenredig met de hoeveelheid gemalen kaas.
b) Welke grootheden worden in deze oefening gebruikt?
c) Vervolledig de tabel. hoeveelheid (in g ) 100200300400500 prijs (in € )
d) Maak een grafiek die het verband weergeeft tussen de prijs in euro en de hoeveelheid gemalen kaas in gram.
definitie
2 Reële functies
Bij sommige verbanden bestaat er voor elke invoerwaarde maximaal één uitvoerwaarde. Deze bijzondere verbanden noemen we functies.
2.1 Wat is een functie ?
Voorbeeld: Er is een verband tussen de lengte van een zijde van een vierkant en de omtrek van dat vierkant.
De invoer : de waarden die je zelf kiest. We noemen dit de onafhankelijke veranderlijke
Op de grafiek vind je die op de horizontale as, de x-as. lengte zijde vierkant (in cm )
omtrek vierkant (in cm )
De uitvoer : de waarden die je berekent. We noemen dit de afhankelijke veranderlijke .
Op de grafiek vind je die op de verticale as, de y-as.
De verzameling van alle mogelijke ingevoerde x-waarden
We stellen vast dat met elke ingevoerde x-waarde er precies één uitgevoerde y-waarde overeenkomt.
De verzameling van alle mogelijke berekende y-waarden
Een functie is een verband tussen twee veranderlijken x en y, waarbij voor elke x-waarde er hoogstens één y-waarde bestaat.
Bij een verband hoort een grafiek en een formule.
De formule van een functie noemen we het functievoorschrift .
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Een functie duiden we aan met een kleine letter: f, g, h, …
Voorbeeld
f( x) = 4x
We lezen dit als ‘de functie f heeft als functievoorschrift f( x) = 4x’.
Tegenvoorbeeld
Dit verband is geen functie . Er zijn x-waarden waarmee er meerdere y-waarden overeenkomen.
• De x-waarde -4 heeft twee verschillende y-waarden als beeld!
• De x-waarde -3 heeft twee verschillende y-waarden als beeld!
• … Merk op Om snel te controleren of een verband een functie is, leg je een lat evenwijdig met de y-as en verschuif je die van links naar rechts. Controleer of je telkens maximaal 1 snijpunt ziet met de grafiek. Indien er voor een bepaalde x-waarde meer dan één snijpunt is, is het verband geen functie.
Voorbeelden
Met elke x-waarde komt er precies één y-waarde overeen.
Het verband is een functie.
Met sommige x-waarden komen er meerdere (twee) y-waarden overeen.Als x = 4 dan kun je als y-waarde zowel 2 als -2 aflezen.
Het verband is geen functie.
Met sommige x-waarden komt er precies één y-waarde overeen. Voor x ∈ ] 8, 14[ zijn er geen y-waarden.
Besluit: met elke x-waarde komt er hoogstens één y-waarde overeen.
Het verband is een functie.
2.2Functiewaarde
Als het functievoorschrift gegeven is, kun je van elk reëel getal de functiewaarde bepalen. De functiewaarde kunnen we aflezen of berekenen.
Voorbeeld: De functie met functievoorschrift f( x) = x2 - 3
• De functiewaarde van 2 of f( 2) kan nauwkeurig afgelezen worden op de grafiek.
f( 2) = 1
1 is de functiewaarde van 2. 1 is het beeld (output). 2 is het origineel (input).
• De functiewaarde van 3 2 of f 3 2 kan minder goed afgelezen worden op de grafiek, maar kunnen we wel exact berekenen.
f(x)= x2 3,daarinwordt x vervangendoor 3 2 : f 3 2 = 3 2
2.3Nulwaarde van een functie
definitie Een nulwaarde van een functie is een x-waarde waarvoor de functiewaarde gelijk is aan nul.
• Als de grafiek van een functie gegeven is, kun je de nulwaarde(n) gemakkelijk aflezen.
Nulwaarden lees je af door te kijken bij welke x-waarden de grafiek de x-as snijdt.
Voorbeeld
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
in woorden:De nulwaarden zijn -1 en 3. in symbolen: f( -1) = 0 en f( 3) = 0
• Als alleen het functievoorschrift gegeven is, kun je de nulwaarden berekenen. Je lost een vergelijking op door te bepalen voor welke x-waarden f( x) = 0.
Voorbeeld
Bepaal de nulwaarde(n) voor de functie f met voorschrift f( x) = -3x + 5. f(x)= 0
3x + 5 = 0
3x = 5 x = 5 3 x = 5 3
Denulwaardevoordezefunctieis 5 3
Het nulpunt is 5 3 ,0
2.4 Domein van een functie
definitie Het domein van een functie f is de verzameling van alle x-waarden waarvoor er een functiewaarde bestaat.
in woorden:het domein van de functie f in symbolen:dom f
Voor alle reële getallen kan een functiewaarde berekend worden. dom f = r
Op de grafiek zien we duidelijk de begrenzing van de x-waarden. De functiewaarden zijn bepaald voor x ∈ [ -4, 10] dom g = [ -4, 10]
Merk op Je kunt het domein van een functie f grafisch bepalen door de grafiek van de functie f loodrecht te projecteren op de x-as (zie blauwe stippellijnen).
2.5Bereik van een functie
definitie Het bereik van een functie f is de verzameling van alle mogelijke berekende functiewaarden.
in woorden:het bereik van de functie f in symbolen:ber f
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Alle reële getallen zijn mogelijke functiewaarden. ber f = r
We zien duidelijk dat een aantal y-waarden geen mogelijke functiewaarde kunnen zijn, nl. y > 4. ber g = ] -∞, 4]
Merk op Je kunt het bereik van een functie f grafisch bepalen door de grafiek van de functie f loodrecht te projecteren op de y-as (zie blauwe stippellijnen).
Verwerkingsopdrachten
Welke grafieken zijn grafieken van functies?
a)Hoe lees je f( x) = x2 + 3 ?
b)Noteer in symbolen: de functiewaarde voor x = 1.
c)Bereken de functiewaarden.
( -3) =
( 0) =
Bereken de nulwaarde voor de functie f met voorschrift f( x) = -2x + 7.
( 2) =
a)Bepaal het domein van elke functie.
b)Bepaal het bereik van elke functie.
c)Geef indien mogelijk de nulwaarde(n) en nulpunt(en).
3 Ongelijkheden
3.1 Wat is een ongelijkheid?
Voorbeelden
x < 5
6 + x ⩾ 2x - 3
Voor deze uitspraken die we ongelijkheden noemen, kunnen we op zoek gaan naar mogelijkheden voor de onbekende x
Voorbeeld
Om de eindejaarsreis van de zesdejaars te sponsoren, verkopen de leerlingen chocoladedoosjes voor 7 euro per stuk. De kost voor één doosje is 4 euro en voor het verpakkingsmateriaal en de marketing is er een éénmalige kost van 180 euro.
We kunnen het verband tussen de winst of verlies weergeven in functie van het aantal chocoladedoosjes op de volgende grafiek.
winstofverlies(ineuro)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
aantaldoosjes
• Hoeveel doosjes moeten ze verkopen om geen winst of verlies te hebben?
Wanneer ze 60 doosjes verkopen, hebben ze geen winst of verlies.
We kunnen dit noteren met een algebraïsch verband: 3x - 180 = 0
Dit verband noemen we een vergelijking .
We lezen dit op de grafiek af op het snijpunt met de x-as.
• Hoeveel doosjes moeten ze minstens verkopen om winst te hebben?
Wanneer ze meer dan 60 doosjes verkopen, hebben ze winst.
We kunnen dit noteren met een algebraïsch verband: 3x - 180 > 0
Dit verband noemen we een ongelijkheid .
We lezen dit op de grafiek af op het groen gekleurde deel, m.a.w. waar de grafiek boven de x-as ligt.
3.2Eigenschappen van de orde in r
Net zoals bij een gelijkheid heb je bij een ongelijkheid een linkerlid en een rechterlid. Bij een ongelijkheid maak je gebruik van “<” , “⩽” , “>” of “⩾”.
We onderzoeken welke eigenschappen er gelden.
Onderzoek 1: Beschouw de ongelijkheid –5 < 2.
< 2
5 + 10 < 2 + 10
< 12
< 2
Als we bij de beide leden van een ongelijkheid hetzelfde reëel getal optellen (of aftrekken), dan verkrijg je opnieuw een ongelijkheid in dezelfde zin.
5 < 2
eigenschapin woorden
+ 10 < 2 + 10
5 3 < 2 3
De optelling in bewaart de orde. in symbolen ∀ a,
Onderzoek 2: Beschouw de ongelijkheid
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Als we beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigen met (of delen door) hetzelfde strikt positief reëel getal, dan verkrijg je opnieuw een ongelijkheid in dezelfde zin. eigenschapin woorden
De vermenigvuldiging in met strikt positieve getallen bewaart de orde. in symbolen
Onderzoek 3: Beschouw de ongelijkheid –5 < 2.
Als we beide leden van een ongelijkheid vermenigvuldigen met (of delen door) hetzelfde strikt negatief reëel getal, dan verkrijg je een ongelijkheid in tegengestelde zin.
eigenschapin woorden
De vermenigvuldiging in met strikt negatieve getallen keert de orde om. in symbolen
3.3Ongelijkheden van de eerste graad algebraïsch
Om te bepalen voor welke x-waarden de ongelijkheid 3 ∙ ( x + 1) < 4 - ( -5x + 6) geldt, moeten we deze ongelijkheid algebraïsch oplossen, omdat we dit grafisch niet exact kunnen aflezen.
Hoe los je een ongelijkheid op ?
methodeSTAP 1:Als er haakjes voorkomen, werk je die eerst weg.
STAP 2: Door bij beide leden eenzelfde getal op te tellen of van beide leden eenzelfde getal af te trekken, breng je alle termen waarin de onbekende voorkomt samen in één lid en alle overige termen in het andere lid.
STAP 3:Schrijf beide leden eenvoudiger door de optellingen en/of aftrekkingen uit te voeren.
STAP 4:Zodoende heb je de ongelijkheid herleid tot de vorm ax < b, ax ⩽ b, ax > b of ax ⩾ b
STAP 5:Deel beide leden door a. Als a een strikt negatief getal is, keert de zin van de ongelijkheid om.
3 (x + 1) < 4 ( 5x + 6)
3x + 3 < 4 + 5x 6
3x 5x < 4 6 3
2x < 5 x > 5 2 x > 5 2
De oplossingenverzameling is V = 5 2 , +∞ . Dit kunnen we grafisch voorstellen op een getallenas.
r
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Controle:
• Vervang x door een willekeurig getal uit V, bijvoorbeeld 4.
Als x = 4, dan(LL)3 ∙ ( 4 + 1) = 3 ∙ 5 = 15 (RL)4 - ( -5 ∙ 4 + 6) = 4 - (-20 + 6) = 4 - ( -14) = 18
LL < RL
• Vervang x door een getal dat niet tot V behoort, bijvoorbeeld -10.
Als x = -10, dan(LL)3 ∙ ( -10 + 1) = 3 ∙ ( -9) = -27
(RL)4 - [ -5 ∙ ( -10) + 6] = 4 - ( 50 + 6) = 4 - 56 = -52
LL > RL
3.4 Soorten ongelijkheden
Voorbeelden
3x + 2 > 6x 7
3x 6x > 7 2
3x > 9 x < 9 3 x < 3
V = ] ∞,3[ 5x 6 > 5x + 2 5x 5x > 2 + 6 0x > 8 V = {}
Dit is een valse ongelijkheid . De ongelijkheid heeft geen oplossingen.
3.5Ongelijkheden met één parameter
A)Een ongelijkheid van de eerste graad met één parameter oplossen
Voorbeeld 1
Neem bijvoorbeeld de parameterongelijkheid ( m - 2) x ⩽ 4
=
Dit is een onbepaalde ongelijkheid . De ongelijkheid heeft oneindig veel oplossingen.
Voor verschillende waarden van m krijg je een andere ongelijkheid. De oplossingenverzameling van deze ongelijkheid zal veranderen als de waarde van m wijzigt.
We zullen alle mogelijke gevallen moeten exploreren. Dit noemt men de bespreking van een ongelijkheid met een parameter.
Er kunnen zich verschillende gevallen voordoen:
Geval1: m 2 > 0 (m.a.w. m > 2)
(m 2)x ⩽ 4 ⟹ x ⩽ 4 m 2
V = ∞, 4 m 2
Geval2: m 2 < 0 (m.a.w. m < 2)
(m 2)x ⩽ 4 ⟹ x ⩾ 4 m 2
V = 4 m 2 , +∞
Leteropdatdezinvanhetongelijkheidstekenomkeertomdatwebeideledendooreenstriktnegatief getaldelen.
Geval3: m 2 = 0 (m.a.w. m = 2)
Jemagnietdelendoor0.Wekennenechterdewaardevan m,nl. m = 2.
Vuldezewaardeindeongelijkheidin.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
0 x ⩽ 4 ⟹ 0 ⩽ 4
V =
Deparametervaltweg.Deuitspraak0 ⩽ 4isaltijdwaar,watdewaardevandeonbekende x ookmagzijn. Deoplossingenverzamelingisdus
Voorbeeld 2
We bespreken de ongelijkheid 5 - mx ⩾ 2 · (m - 3x) met onbekende x en parameter m.
Oplossing : 5 mx ⩾ 2 ⋅ (m 3x)
5 mx ⩾ 2m 6x
6x mx ⩾ 2m 5
(6 m)x ⩾ 2m 5
We onderscheiden drie gevallen:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Geval 1 : 6 - m > 0 (m.a.w. m < 6)
x ⩾ 2m 5 6 m
V = 2m 5 6 m , +∞
Geval 2 : 6 - m < 0 (m.a.w. m > 6)
x ⩽ 2m 5 6 m
V = ∞, 2m 5 6 m
Geval 3 : 6 - m = 0 (m.a.w. m = 6)
0 x ⩾ 2 6 5 0 ⩾ 7
Dit is een valse ongelijkheid. V = ∅
B)Algemene werkwijze bij ongelijkheden met een parameter
Als je een ongelijkheid met een parameter moet bespreken, volg dan de volgende strategie:
De eerste drie stappen zijn hetzelfde als bij het oplossen van een gewone ongelijkheid. Hierbij herleid je de ongelijkheid tot de vorm ax < b, ax ⩽ b, ax > b of ax ⩾ b.
Deel beide leden door a. Splits op in drie mogelijke gevallen:
Geval 1 : a > 0
ax < b ⟹ x < b a
De oplossingenverzameling hangt van de waarde van de parameter af.
Geval 2 : a < 0
ax < b ⟹ x > b a
De oplossingenverzameling hangt van de waarde van de parameter af.
Geval 3 : a = 0
Dit is een eenvoudig geval. Vul de gekende waarde van de parameter in de ongelijkheid in.
Los deze ongelijkheid zonder parameter op. Bekom je een valse of een identieke ongelijkheid?
Onderzoek telkens of het gegeven reëel getal een oplossing is van de gegeven ongelijkheid.
a)Is x = 2 een oplossing van de ongelijkheid 6x ⩽ 10 ?
b)Is x = 4 een oplossing van de ongelijkheid √3x < 8?
c)Is x = π een oplossing van de ongelijkheid 2x 4 > √9?
Behoort -3 tot de oplossingenverzameling V van de ongelijkheid x2 - 5 < -2x ?
Welke van de volgende uitdrukkingen zijn ongelijkheden van de eerste graad? Omcirkel.
a)3x2 5x + 12 > 0
b)5 ⋅ (x + 3) ⩽ 20
x 12 = 9
Vul aan met ⩽ of ⩾ zodat je telkens een ware uitspraak krijgt.
a) 3 5 ⩾ 1 4 ⟹ 3 5 + 11 6 1 4 + 11 6 b) √8 ⩽ √10 ⟹ √8 4 √10 4 c)0,4 ⩽ 1,2 ⟹
Los de volgende ongelijkheden op naar de onbekende x ∈ r . Stel de oplossingenverzameling V grafisch voor op een getallenas.
a)5x - 4 > 11
b) -2x ⩽ 0,8
c)7x + 9 < -2 · ( 3 - x)
d)3 - x ⩾ 7
e) -x ⩾ 2
f) 5x - 12 > 4 - 3x
Los de ongelijkheden algebraïsch op.
a) 4x 2√6 ⩽ 5 ⋅ √6 x
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b) 8m + 5 > 4 ⋅ (1 m)+ 4m
c) 3x 2 5 < 2 5 x + 2 5
d)4x 3 5x 2 ⩾ 13x 2 1
Welke van de volgende ongelijkheden zijn identieke ongelijkheden? Welke van de volgende ongelijkheden zijn valse ongelijkheden?
a)9x - 6 < 9x + 15
b) -4x + 3 ⩾ 10 - 4x
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c)5x - 8 ⩽ 5x - 8
d)5x - 8 < 5x - 8
e)3x + 2 - 2x ⩾ x
f) 5x - 3 · ( x + 1) > 4x - 2 · ( x + 3)
Bespreek de volgende ongelijkheid in r met onbekende x en parameter m.
( m + 3) x > 4m - 1
Maak een onderscheid tussen de volgende gevallen:
Geval 1 : m + 3 > 0 (m.a.w. m > -3)
Geval 2 : m + 3 < 0 (m.a.w. m < -3)
Geval 3 : m + 3 = 0 (m.a.w. m = -3)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
4 Problemen oplossen
4.1 Onderlinge ligging van 2 grafieken
We kunnen grafieken met eenzelfde of verschillend verband met elkaar vergelijken door te kijken naar de voorstelling, de gebruikte verdeling op de assen, … In een andere module gaan we dieper in op hoe je dat ook algebraïsch kunt doen.
Voorbeeld: 1000 km fietsen
Het hemelvaartweekend is al enkele jaren het 1000 km-weekend. De deelnemers fietsen 4 dagen lang voor Kom op tegen Kanker. Elke dag leggen de deelnemers gemiddeld 250 km af. Liam en Amir besluiten om alvast eens 250 km te trainen. Liam vertrekt 's morgens om 7 uur aan een gemiddelde snelheid van 20 km/h. Amir vertrekt om 8 uur aan een gemiddelde snelheid van 25 km/h.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
• We lezen op de horizontale as af dat Liam om 7 uur vertrekt en Amir om 8 uur.
• Voor 12 uur ligt de groene grafiek boven de blauwe grafiek. Dat wil zeggen dat Liam in die periode meer kilometers heeft afgelegd dan Amir.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
tijdstip(inh) afgelegdeweg(inkm)
• De grafieken snijden elkaar. Om 12 uur hebben ze beiden 100 km afgelegd. Liam had hier 5 uur voor nodig en Amir slechts 4 uur.
• Tussen 12 uur en 18 uur ligt de blauwe grafiek boven de groene grafiek. Amir legde in die periode in totaal meer kilometers af dan Liam.
• Om 18 uur stopt de blauwe grafiek. Amir zijn 250 km zitten erop.
• Amir komt aan om 18 uur. Hij legt de afstand af in 10 uur. Liam komt aan om 19.30 uur. Hij legt de afstand af in 12,5 uur.
• We kunnen uit de grafiek een tabel opstellen die het verband weergeeft tussen de afgelegde weg ( x) en de tijd ( t) die nodig is om die weg af te leggen.
nodige tijd t ( in h ) 0,02,04,05,06,08,0 10,012,012,5
4.2Vraagstukken oplossen met ongelijkheden
Bij het oplossen van vraagstukken volgen we deze strategie:
Probleem begrijpen : Voer een nieuwe onbekende x in. Schrijf duidelijk op wat de betekenis van x is.
Stel een ongelijkheid op. Hierbij vertaal je de woorden in het vraagstuk naar formulevorm.
Probleem oplossen : Los de ongelijkheid op.
Controle : ① Vervang x door een getal dat tot V behoort en vervolgens door een getal dat niet tot V behoort.
② Interpreteer de gevonden uitkomst.
③ In sommige vraagstukken kunnen fysische of praktische overwegingen beperkingen opleggen aan de mogelijke waarden van x. De relevante waarden van de onbekende x vormen samen de referentieverzameling . Meestal is de referentieverzameling gelijk aan
• r + als x enkel positieve waarden kan aannemen (bv. x is een lengte, oppervlakte, volume, massa, druk, kostprijs, …)
• n als x met zekerheid een natuurlijk getal is (bv. x is een leeftijd, aantal stuks, …)
Ga na welke reële getallen zowel tot de oplossingenverzameling als tot de referentieverzameling van de ongelijkheid behoren.
Antwoord : Schrijf een antwoordzin.
Voorbeeld
Camille koopt een nieuwe iPhone voor 920 euro. Maandelijks betaalt ze 15 euro voor haar gsm-abonnement. Pim koopt in die winkel dezelfde iPhone via een koppelverkoop. Hij moet minstens 12 maanden klant blijven. Hij betaalt dan voor de iPhone slechts 820 euro en maandelijks 20 euro abonnement. Na hoeveel maanden valt de keuze voor de koppelverkoop duurder uit?
Probleem begrijpen: x is het aantal maanden.
Probleem oplossen: De ongelijkheid die moet worden opgelost is:
820 + 20x > 920 + 15x 20x 15x > 920 820 5x > 100 x > 20 V = ]20, +∞[
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Controle:
• Vervang x door een getal dat tot V behoort, bijvoorbeeld 30.
Als x = 30, dan 820 + 20 ∙ 30 > 920 + 15 ∙ 30 wordt 1420 > 1370 klopt.
• Vervang x door een getal dat niet tot V behoort, bijvoorbeeld 10.
Als x = 10, dan 820 + 20 ∙ 10 > 920 + 15 ∙ 10 wordt 1020 > 1070 klopt niet.
De referentieverzameling is
Antwoord: De koppelverkoop valt duurder uit na meer dan 20 maanden.
Verwerkingsopdracht
Vanop de grond wordt er een basketbal in de lucht geworpen. Er is een verband tussen de horizontale verplaatsing in meter en de hoogte in meter. De blauwe grafiek stelt dit verband voor.
a)Welke grootheden komen voor in dit verband?
b)Na hoeveel meter raakt de basketbal opnieuw de grond?
c)Na hoeveel meter bereikt de basketbal zijn hoogste punt?
d)Over welke horizontale afstand bevindt de basketbal zich hoger dan 2 meter?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
horizontaleverplaatsing(inm)
Op fuif A moet je 8 euro inkom betalen en 3 euro per consumptie. Op fuif B moet je 20 euro inkom betalen en 1 euro per consumptie. Vanaf hoeveel consumpties is het goedkoper vertoeven op fuif B?
• Welke ongelijkheid moet je oplossen? Wat stelt de onbekende x voor?
De onbekende x is gelijk aan
De ongelijkheid die je moet oplossen is
• Los de ongelijkheid op.
• De oplossingenverzameling van deze ongelijkheid is
• De referentieverzameling is .
• Antwoord: Het is goedkoper vertoeven op fuif B als het aantal consumpties
Een driehoek is 8 cm hoog. Bepaal de mogelijke lengte van de basis als je weet dat de oppervlakte van de driehoek minstens 44 cm2 bedraagt.
Een suikeroplossing bestaat uit 60 gram suiker en 340 gram water. Hoeveel milliliter water moet ik toevoegen om deze suikeroplossing te verdunnen totdat het hoogstens 8% suiker bevat?
• De onbekende x is gelijk aan
De concentratie suiker is gelijk aan het aantal gram suiker gedeeld door de totale massa van de oplossing.
csuiker =
msuiker
mtotaal = msuiker
msuiker + mwater
De massa suiker blijft constant: msuiker =
De massa water neemt toe als we de oplossing verdunnen: mwater =
De oplossing mag hoogstens 8% suiker bevatten:
De ongelijkheid die moet opgelost worden is:
• Los de ongelijkheid op. Noteer de oplossingenverzameling en de referentieverzameling.
• Antwoord:
Signaaloefeningen
Een frisdrankproducent beschikt over een volautomatische flessenvuller. Deze machine kan elke drie seconden één flesje vullen. De functie f geeft het aantal flesjes weer die door de machine gevuld worden in functie van het aantal uur dat de machine werkt.
a) Wat is de afhankelijke variabele (weergegeven op de y-as) en wat is de onafhankelijke variabele (weergegeven op de x-as)?
b)Hoeveel flesjes worden er gevuld in een minuut?
c)Hoeveel flesjes worden er gevuld in een uur?
d) Vul de woordformule aan. Het aantal gevulde flesjes is gelijk aan keer het aantal uur.
e)Stel het functievoorschrift van f op.
x en y zijn recht evenredige grootheden; de grafiek van f is een rechte door de oorsprong.
>>> Verder oefenen: D1 t.e.m. D26
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Bepaal de functiewaarden door af te lezen of te berekenen.
a)Gegeven: de reële functie f met als voorschrift f( x) = 2x + 1 Bereken.
f( 2)= f(3)=
b)De volgende tabel en grafiek horen bij een reële functie. x 01234
f( x) -3 -1135
Vul aan:
(0)=
( 4)=
(1)=
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
>>> Verder oefenen: D27 t.e.m. D44
Bepaal het domein van de functie, het bereik van de functie en de nulwaarden.
a)
b)
Domein van de functie:
Bereik van de functie:
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
c)
Nulwaarden:
Domein van de functie:
Bereik van de functie:
Nulwaarden:
Domein van de functie:
Bereik van de functie:
Nulwaarden:
Gegeven: de reële functie f met als voorschrift f( x) = 3x + 1
Bereken de nulwaarde en geef het nulpunt.
5 >>> Verder oefenen: D27 t.e.m. D44
Voor welke reële waarden van x is 6x + 3 · ( 2 - 4x) ⩾ 4 - x ? Stel de oplossingenverzameling grafisch voor op een getallenas en noteer als een interval.
6 >>> Verder oefenen: D45 t.e.m. D81
mx + 12 > m + 4x
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
>>> Verder oefenen: D45 t.e.m. D81
De meeste ondernemingen hebben als doelstelling winst te maken. Het resultaat (winst of verlies) bereken je door de totale opbrengsten te verminderen met de totale kosten. Het resultaat is afhankelijk van het aantal verkochte producten, de hoeveelheid Q. In de grafiek hieronder worden de totale kosten (TK) en de totale opbrengsten (TO) weergegeven.
a)Druk met een interval uit voor welke hoeveelheden de totale kosten kleiner zijn dan 3000 euro.
Q
b)In welk interval zijn de totale kosten groter dan de totale opbrengsten?
c)Bij welke hoeveelheid is TK gelijk aan TO ?
d)In welk interval zijn de totale kosten kleiner dan de totale opbrengsten?
e)Hoeveel winst maak je als je 600 goederen verkoopt?
hoeveelheid
Een rechthoek heeft als basis 2x + 4 en als hoogte 5. Voor welke waarden van x is de oppervlakte van de rechthoek groter dan of gelijk aan 30?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Verder oefenen:
Differentiatietraject
Een boer houdt per week bij hoeveel eieren zijn kippen elke dag gelegd hebben.
Aantal eieren per dag (week 24)
Aantal eieren per dag (week 25)
a)Hoe noemen we de voorstelling bij week 26?
b)Op welke dag van week 24 werden er het minst eieren gelegd?
c)Op welke dag van week 25 werden er dubbel zoveel eieren gelegd als op vrijdag?
d)Op welke dagen werden er in week 26 minder dan 10 eieren gelegd?
Bekijk de grafiek. Vul de ontbrekende waarden in de tabel aan.
temperatuur(in°C)
tijdstip(inuur)
a)Vul de ontbrekende grootheden en (SI-)eenheden in de tabel aan.
grootheid eenheid massa
dichtheid afstand
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
b) Zoek in de volgende zinnen de grootheden en noteer de bijhorende eenheid.
• Een aluminium staaf van 1 meter zal bij een temperatuurstijging van 1 graad 0,023 mm langer worden.
• Een kubus van 1 dm3 kan ik volledig vullen met een fles water van 1 liter.
• Usain Bolt loopt de honderd meter in 9,58 seconden, met een topsnelheid van ruim 44 km/h.
Verbind het verband tussen x en y met de juiste formule.
a)een getal is het tweevoud van een ander getal
b)een getal is 2 minder dan een ander getal
c)een getal is het kwadraat van een ander getal
a)Welke informatie vind je in dit klimatogram?
b) Met welke voorstelling (grafiek of tabel) kun je het gemakkelijkst een antwoord geven op de volgende vragen ?
–Wat is de droogste maand?
–In welke maand wordt de hoogste temperatuur gemeten?
–Wat is de laagste temperatuur die bereikt wordt?
–In hoeveel maanden is de temperatuur minder dan 5 °C?
Stefanie rijdt met de auto. Haar snelheid en tijd worden weergegeven in de volgende grafiek.
a)Hoelang werd de snelheid bijgehouden?
b)Wat is de hoogste snelheid die Stefanie reed tijdens dit traject?
c)Wat is de betekenis van de grafiek tussen 90 seconden en 150 seconden?
d)Hoeveel seconden reed Stefanie aan een constante snelheid van 50 km/h?
e)Wanneer moest Stefanie het hardst remmen?
snelheid(inkm/h)
tijd(ins)
Ferre kan via een app het rendement van zijn zonnepanelen raadplegen.
Beantwoord de vragen aan de hand van de grafiek en de tabel.
Installatie productie 15,67 kWh
week 25/03 – 31/03
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
a)Welke informatie lees je af op de verticale as?
b)Voor welke dag werden de gegevens in de grafiek weergegeven?
c)Wanneer is het vermogen van de zonnepanelen voor die dag maximaal?
d)Wat was het maximale vermogen van de zonnepanelen op die dag?
e)Omkring uit welke voorstelling je die informatie haalde: de grafiek – de tabel.
f) Waarom gebruikte je niet de andere voorstelling?
g)Wat is de betekenis van de snijpunten van de grafiek met de horizontale as?
h)Hoeveel is het gemiddelde piekvermogen in deze week?
Zoek een formule die het verband uitdrukt tussen x en y.
3,33
2,84
Beantwoord de vragen die horen bij onderstaande grafiek.
Groeicurvekind0,5–4jaar
Gemiddeldelengte(incm)
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Bron:TNO jongen meisje
Tijd(inmaanden)
a)Welke informatie wordt er weergegeven in deze grafiek?
b)Wat is de gemiddelde lengte (ongeveer) van een meisje van 1,5 jaar?
c)Wat is de gemiddelde lengte (ongeveer) van een jongen van 3,5 jaar?
d)Beoordeel de volgende uitspraak: "Jongens zijn altijd groter dan meisjes van dezelfde leeftijd."
10 beschikbaarheid van internet in het huishouden
a) Maak met ICT voor elk gewest een lijngrafiek door gebruik te maken van de informatie uit de tabel.
b) Hoeveel procent van de Vlamingen beschikte in 2010 over internet thuis?
c) Hoe evolueert het aantal gebruikers van het vaste internet tussen 2019 en 2020?
d) In welk gewest stel je de sterkste stijging vast tussen 2006 en 2020?
e) In welke periode was de stijging het sterkst?
Bron: Statbel
Een gezin kiest bij een energieleverancier voor een vaste formule met enkelvoudige elektriciteitsmeter.
Uit een tariefkaart kan volgende informatie gehaald worden.
euro
a)Hoe groot is de energiekost als je geen verbruik van elektriciteit hebt?
b)Bereken de energiekost als je in een jaar een verbruik hebt van 1000 kWh.
c)Noteer een formule om de energiekost ( e) in functie van het verbruik ( v) weer te geven.
d) Hoeveel elektriciteit werd er door dit gezin verbruikt als de energiekost voor elektriciteit op jaarbasis 385,44 euro is?
Waterverbruik voor en tijdens de coronaperiode
20 000 30 000
voor corona (3 maart)
tijdens corona (31 maart met persconferentie)
tijdens corona (7 april met persconferentie en warme dag)
Bron: Vitens – waterverbruik in Nederland in 2021
a)Tussen welke twee grootheden wordt er een verband grafisch voorgesteld?
b)Wat is de betekenis van I?
c)Wat is de betekenis van II?
d)Wat is de betekenis van III?
e)Wat is de betekenis van IV?
f) Hoe verklaar je dat de blauwe grafiek hoger ligt dan de rode, maar ongeveer een gelijk verloop kent?
Amin heeft bij zijn geboorte een massa van 3,1 kg. Eerst wordt hij elke week gewogen, daarna om de twee weken. De resultaten staan in de tabel.
leeftijd (in weken ) 123456810121416182022 24 26
massa (in kg )
a)Wat betekent het koppel (16; 5,6) in de tabel?
b)In welke periode is Amin het meest bijgekomen?
c) Tussendoor hebben de ouders Amin ook af en toe gewogen. Beoordeel de uitspraak van Lore: "Als Amin in week 11 werd gewogen, dan lazen de ouders op de weegschaal 4,3 kg af."
d) Maak een grafische voorstelling van de gegevens uit de tabel.
Druk het aantal stipjes ( a) uit in functie van het nummer van de figuur ( n) .
We plaatsen een lasagne voor 25 minuten in een voorverwarmde oven. In de grafiek vind je de temperatuurschommelingen binnen in de oven.
temperatuur (in
a) Tot hoeveel graden werd de oven voorverwarmd?
b) Hoelang duurde het vooraleer de oven deze temperatuur bereikte?
c) Hoe verklaar je de eerste sterke daling?
d) Hoe verklaar je de kleinere dalingen?
e) Wat zou een verklaring kunnen zijn voor de tweede sterke daling?
f) Hoeveel graden zal de oven binnenin uiteindelijk aannemen na de laatste temperatuursdaling?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Een fietser rijdt met een constante snelheid van 25 km/h.
a)Vul bovenstaande tabel aan.
b)Plaats de gegevens uit de tabel op een grafiek.
c)Welk verband is er tussen de tijd (in minuten) en de afstand (in kilometer)?
d)Hoe kun je dit verband herkennen in de tabel?
e)Hoe kun je dit verband herkennen in de grafiek?
f) Stel de letterformule op die het verband tussen de tijd (t) en afstand (d) voorstelt.
Je geeft een feestje en je bakte hiervoor één grote taart die je in 20 stukken verdeelt.
aantal personen 12451020
aantal stukken taart per persoon
a)Vul bovenstaande tabel aan.
b)Plaats de gegevens uit de tabel op een grafiek.
c)Welk verband is er tussen het aantal personen ( p) en het aantal stukken taart ( t) ?
d)Druk dit verband met een formule uit.
Uit het mediaconcentratierapport van 2020 halen we volgende grafiek.
Evolutievanhetaantalkabelabonnees(coaxeniptv)
Telenet nv-totaal
Telenet nv-analoog
Telenet nv-digitaal
Proximus België
Base Company
Billi
Orange Belgium
Bron: VRMopbasisvaninformatieuitjaarverslagen
a)Beschrijf de evolutie bij Proximus België.
b)Verklaar waarom de grafiek voor Base Company plots stopt.
c) Jarne zegt: "De grafiek van Telenet nv (analoog) blijft maar verder dalen. Telenet heeft na 2012 een pak minder klanten dan Proximus." Beoordeel deze uitspraak.
d) Welke dienstverdeler kende de sterkste stijging? Hoe zie je dat op de grafiek?
Mag Imani deze informatie gebruiken om de opwarming van de aarde aan te tonen?
Verklaar jouw antwoord.
maandtemperatuur voor 2018
maandtemperatuur (in °C) januari -3,1
Een zwembad zoals op de tekening wordt tot aan de rand gevuld. Welk van onderstaande grafieken drukt de hoogte van het water uit in functie van de tijd die nodig is om het zwembad te vullen?
4 bloemvazen worden gevuld met water. De grafieken geven het verband weer tussen de hoogte ( h) van het water in de vaas in functie van de tijd ( t) . Welke grafiek hoort bij welke vaas?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
22
Bij het opeten van een hamburger doe je heel wat calorieën op.
Burger
Calorieën: 490
aanbevolen dagelijkse hoeveelheid
Vet : 24 g
aanbevolen dagelijkse hoeveelheid Gewichtheffen
Bron: www.buddyloans.com
a) Stel een formule op die uitdrukt hoeveel minuten een man aan cardiotraining moet doen om n calorieën te verbranden.
b) Stel een formule op die uitdrukt hoeveel minuten een man aan krachttraining moet doen om n calorieën te verbranden.
c)Doe nu hetzelfde voor een vrouw.
d) Louis eet een andere hamburger met maar 400 calorieën. Hoeveel minuten moet hij aan krachttraining doen ?
e) Hoeveel calorieën worden er ongeveer verbrand als een vrouw 1 uur aan cardiotraining doet?
Vrouw
Noteer een formule die het verband uitdrukt tussen x en y.
a)Een getal is het omgekeerde van een ander getal.
b)Een getal is het tegengestelde van een ander getal.
c)Een getal is het andere getal zonder toestandsteken.
Hieronder vind je de evolutie van het aantal fietsdiefstallen in de stad.
a)Welke grafiek is volgens jou de beste weergave van de informatie? Verklaar je antwoord.
b)Welke informatie zou jij in de krant laten plaatsen?
c)Hoeveel fietsdiefstallen waren er in 2019?
d)Met hoeveel procent is het aantal fietsdiefstallen gedaald sinds 2010?
e) In welke periode was de daling het sterkst?
f) Volgens de verwachtingen zullen er in 2024 maar 300 fietsdiefstallen meer zijn. Is dat realistisch?
Hoeveel energie haalt Nederland uit hernieuwbare bronnen ? Energieverbruik in petajoule (1 petajoule = 278 miljoen
Ramingen
Bodemenergie (minder diepe aardlaag) Aardwarmte (diepe aardlaag)
Bron: nrc.next, 12 oktober 2015
a)Welke informatie vind je in dit diagram?
b)Wat is de betekenis van petajoule in de grafiek?
c)Welke vorm van energie kent de sterkste toename?
d)Plaats de verwachtingen voor 2030 in een tabel.
e)Bereken het procentueel aandeel voor elke energiebron voor het jaartal 2030.
Duid het snijpunt van de functie met de x-as aan op de grafiek. Bepaal de nulwaarde(n).
Gebruik de grafiek van de functie om te bepalen of -2 een nulwaarde is van deze functie.
Jente bedenkt een systeem om te coderen. Hij gebruikt volgend schema.
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
1ABC2DEF3GHIJK4LMNOP5QRSTU
Voorbeeld : FUNCTIE wordt dan D5KBP32.
a)Is het verband tussen het originele woord en het gecodeerde woord een functie?
b)Codeer het woord NULWAARDE.
c)Wat was het originele woord als het gecodeerde woord C4J23K is?
Loric bedenkt een ander systeem om te coderen. Hij gebruikt volgend schema.
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
d) Is dit verband tussen het originele woord en het gecodeerde woord een functie? Verklaar je antwoord aan de hand van een voorbeeld.
30
Verbind met het juiste begrip.
a) f( x) = -2x + 4
b)dom f = r
c)ber f = r
d) f( 2) = 0
1)Het domein van de functie f is de verzameling van alle reële getallen.
2)2 is een (de) nulwaarde van de functie f
3)De functie f heeft als functievoorschrift f( x) = -2x + 4.
4)Het bereik van de functie f is de verzameling van alle reële getallen.
a)Bepaal de gevraagde nulwaarden.
x -2 -1012
f( x) 01234 f( …) = 0
b)Horen de volgende waardentabellen bij een functie of niet? Kruis aan.
= 0
functiegeen functie
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
x 012 y 024 x 014
y 0 -1 of 1 -2 of 2
x -113 y 4|7
c)Onderzoek met de verticale lijntest of de grafieken een grafiek zijn van een functie.
Welke grafieken zijn grafieken van functies?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Gegeven : drie grafieken van functies
a)Vul in.
b)Vervolledig de tabel.
g( x)
c)Wat stel je vast als je alle functiewaarden hieronder invult?
Bepaal aan de hand van de grafiek van de functie het domein van de functie en het bereik van de functie.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Bepaal de nulwaarde voor de volgende functies.
a) f(x)= 3x + 9
b) g(x)= 5x 4 c) h(x)= 3 5 x + 2 d) k(x)= 0,25x 1
a)Teken de grafiek van een functie f waarbij f( 5) = 0.
b)Teken de grafiek van een functie f waarbij dom f = r
c)Teken de grafiek van een functie f waarbij ber f = [ -2, +∞[
d)Teken de grafiek van een functie f waarbij f( -2) = 0 en f( 4) = 0.
e)Teken de grafiek van een functie f waarbij dom f = ] 0, +∞[ en ber f = r .
f) Teken de grafiek van een functie f waarbij ber f = r en f( 3) = 0.
a) f( 2) = … f) h( … ) = 0
b) f( … ) = 2 g) f( -1) = …
c) g( 2) = … h) g( 0) = …
d) g( … ) = 0 i) h( -1) = …
e) h( 1) = … j) f( … ) = -2
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Gegeven: g( x) = 3x - 5
a)Bereken de functiewaarden.
b)Teken de grafiek van de functie g
c)Bepaal het domein van de functie g en het bereik van de functie g d)Bereken de nulwaarde.
e)Duid de nulwaarde aan op de grafiek van de functie g.
Van welke functie(s) is 4 een nulwaarde?
a) x -2
Gegeven : functie f met als voorschrift f( x) = x2 - 4x
Welke uitspraken zijn juist?
a) f( 4) is een origineel.
b) f( 10) = 60 betekent dat het punt ( 60, 10) op de grafiek van f ligt.
c)De vergelijking f( x) = -3 heeft twee oplossingen.
d)Bij elke waarde van x hoort precies één waarde van y
e)De grafiek van f gaat door de oorsprong.
Bepaal de onafhankelijke grootheid en de afhankelijke veranderlijke.
a)De omtrek van een vierkant hangt af van de lengte van de zijde van het vierkant.
b)De snelheid waarmee je fietst is bepalend voor de afstand die je aflegt in 1 uur.
c)Een elektriciteitskabel krimpt naarmate de temperatuur daalt.
d)De temperatuur is afhankelijk van de hoogte boven de zeespiegel.
a)Is de grafiek een grafiek van een functie?
b)Indien ja, bepaal het domein van de functie en het bereik van de functie.
Op de Thorntonbank voor de Belgische kust werd een windmolenpark aangelegd om electriciteit op te wekken. Het vermogen van zo'n windturbine wordt uitgedrukt met volgende formule:
P = 0,00013 v3 D2
met P : het vermogen in kW
v :de windsnelheid in m/s
D : 2 keer de wieklengte in m
a)Hoeveel wekt een windturbine op met een wiek van 60 m en een windsnelheid van 5 m/s?
b) Een computer heeft een vermogen nodig van 600 kW. Welke windsnelheid heb je nodig om dit vermogen te kunnen opwekken als de wiek 60 m lang is?
c) Aan de Belgische kust komen windsnelheden van 0 to 15 m/s voor. De wieken hebben een lengte van 40 m. Vul de tabel verder aan.
windsnelheid 051015 vermogen
d)Maak een schets van de grafiek waarin het vermogen wordt uitgedrukt in functie van de windsnelheid.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voor het versturen van brieven buiten het gewone formaat hanteert bpost volgende tarieven uitgedrukt in het aantal postzegels (€ 0,84):
a)Bereken voor elke massacategorie de bijhorende kostprijs.
b) Is het tarief een functie van de massa? Zo ja, teken de grafiek.
c) Is de massa een functie van het tarief? Zo ja, teken de grafiek.
Onderzoek of het gegeven reëel getal een oplossing van de ongelijkheid is.
a)Is x = 4 een oplossing van de ongelijkheid x + 3 < 7 ?
b)Is y = 10 een oplossing van de ongelijkheid y - 6 ⩾ 2 ?
c)Is z = 3 een oplossing van de ongelijkheid -4z ⩽ 0 ?
d)Is t = 8 een oplossing van de ongelijkheid -4 + t < 3 ?
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r .
a) x + 5 > 8
b) x 2 ⩽ 6
c)3 + x < 9
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r .
a)5x ⩽ 30
b) 4x ⩽ 20
c) 3x > 15
d)12 ⩽ 6x
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r
a) x + 3 ⩽ 7
b) y + 6 ⩾ 2
d) t 3 ⩾ 6
e) y + 5 ⩽ 0
f) z 4 > 2
e) 6y > 24
f) 16 ⩾ 8z
g)4s < 12
h)28 > 7t
c)4 z < 1
d)5 > 9 t
Onderzoek of het gegeven reëel getal een oplossing van de ongelijkheid is.
a)Is x = 4eenoplossingvandeongelijkheid √2x ⩾ 6?
b)Is y = π eenoplossingvandeongelijkheid4y ⩽ 12?
c)Is z = 2eenoplossingvandeongelijkheid 3z > 6?
d)Is t = 3 4 eenoplossingvandeongelijkheid3 > 7 2 t ?
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r
a) x 2,4 ⩾ 3,8
b)0,88 y ⩽ 1,12
c)1,7 < z + 2,5
d) 5x < 8
e)1 ⩾ 3y f) 0 ⩽ 4z
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r .
a) 3x ⩽ 9 4
b) 2y > 8 5
c) 4 ⩾ 7z
d)0,2t > 10
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r .
a) √3x ⩾ √12
b) √2y < √8
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r
a)14 ⩾ 5x 6
b) 8 ⩽ 12 2y
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r
a) x 9 < 5x + 9
b) 4y + 3 2y 8 ⩾ 7
c)3z 2 ⩾ 7z + 6
e) 6x > 9 2
f) 5y ⩽ 7 5
g)13 < 4z h) 8 ⩾ 0,5t
c) √20 ⩽ √5z d) √2t > √32
c)3z 6 < 12 d) 4t + 9 > 21
d)4 r ⩽ 3 2r e)15 4s ⩽ s f) 2t 14 > 5t + 6 8t
Welke rekenregel werd er toegepast bij de volgende omzetting? Formuleer deze rekenregel in woorden én symbolen.
3,2 ⩾ -1,4 ⟹ -3,2 ⩽ 1,4
Omcirkel telkens de juiste bewering.
a)Als 4 > x danA) x < 4 B) x > 4 C) x < -4D) x > -4
b)Als -x ⩽ 3 danA) x ⩽ 3 B) x ⩾ 3 C) x ⩽ -3D) x ⩾ -3
c)Als -x > -4danA) x < 4 B) x > 4 C) x < -4D) x > -4
d)Als -x ⩾ 2 danA) x ⩽ 2 B) x ⩾ 2 C) x ⩽ -2D) x ⩾ -2
Bepaal de waarde van a zodat de vergelijking geen oplossingen heeft.
a) ax = 5
b) (3 a)x = 9
c) (4a 12)x = 4
Bepaal de waarde van a zodat de vergelijking oneindig veel oplossingen heeft.
a) ax = 0
b) (5 a)x = 0
c) ax + 3 = 5x + 3
Los de volgende ongelijkheid met onbekende x op in r als je weet dat m = -3.
( 2m + 3) x - 4 ⩽ 5 - m
Los de volgende ongelijkheden op in r met onbekende x en parameter a
a) a + x ⩽ 2
b) x a < 0
c) x + 4 ⩾ a
d) x 5 ⩽ 5a
e) x 6a > 2a
f) x + a ⩾ 3a
g) a ⩾ x 2a
h) 3 > x a
Los de volgende ongelijkheden op in r met onbekende x en parameter b
a)3x < b
b) 2x ⩽ 4b
Als -2x ⩾ 6m dan kunnen we besluiten dat…
□ x ⩽ -3
□ x ⩾ 3m
Als ax ⩽ 10a, wat kan je dan besluiten als…
a) a ∈ r + 0 (a is strikt positief)?
b) a ∈ r0 (a is strikt negatief)?
Is de ongelijkheid identiek of vals als a = 0 ?
c)10b ⩾ 5x
d)12b > 3x
□ x ⩾ -3m
□ x ⩽ -3m
Onderzoek of het gegeven reëel getal een oplossing van de ongelijkheid is.
a)Is x = 2eenoplossingvandeongelijkheid √3x ⩾ √10?
b)Is y = 10eenoplossingvandeongelijkheid 1 3 y > √8?
c)Is z = π eenoplossingvandeongelijkheid 3z ⩽ 5π ?
d)Is t = 5 3 eenoplossingvandeongelijkheid6t < 3 ⋅ 7 2 ?
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r .
a)3x +(5 8x) < 9
b) 8y (10y 4) ⩾ 10
c)6 + 3(2z 5) ⩽ 7 + 10z
d) ( 3) (2 r) 8 > 4
e)6 3s ⩾ 9s +( 5)(4s + 2) f) 3(t 5)+ t ⩽ 4(2 t) 1
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r .
Voorbeeld: 3 5 x ⩽ 9 4 x ⩽ 9 4 3 5 x ⩽ 9 4 5 3 x ⩽ 9 5 4 3 x ⩽ 45 12 x ⩽ 15 4
a) 1 3 x > 4π
b) 7 2 y ⩽ 3 4 c) 4 5 z ⩽ 2 d) 3 8 t > 1 2
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r . Zet de decimale cijfers eerst om naar breukvorm. Kijk naar het voorbeeld uit de vorige oefening.
a)0,8x > 2,4 b) 1,2y ⩽ 2 3
c)3,6 ⩾ 0,5z
d)0,6t < 1,75
Indien a, b, c ∈ met b < c en a < 0geldtdan b a < c a ?Waaromwel/niet?
Bespreek de volgende ongelijkheden in r met onbekende x en parameter a.
a)2x + 4a ⩽ 6a
b)3ax ⩾ 6a
c) ax < 0
d) 5x > 45a
Bespreek de volgende ongelijkheden in r met onbekende x en parameter a.
a) ax + 3 < 2x + 5
b)5x + 2 ⩾ 4 3a
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r
a) 5 3 x 1 6 > 3 4 x + 7 2
b) 3 [2y (2 + 4y) 1] ⩾ 3(y 4)
c)3x 6 > 12a
d) ax 2a + 5 > a
c)4z + 5 2 ⩽ 2 z 1 3 + 3
d) (t + 4)2 9 > t2 + 5t 2
Als2 ⩽ a ⩽ 5en4 ⩽ b ⩽ 6,tussenwelkegetallenligtdan 1 a + 1 b ?
Bespreek de volgende ongelijkheden in r met onbekende x en parameter a
a) (3a 4)x 4(x + 2)+ 8 ⩽ 0
b)5x 2 > ax + 8
Bepaal alle waarden van m zodat …
a) mx + 4 ⩽ 6( x - 1) een valse ongelijkheid is.
b) ( 3m - 4) x ⩽ 6 een identieke ongelijkheid is.
c) -2 + 5mx > 8x een valse ongelijkheid is.
c)6a(x 4) < 2ax
d)2(4a 3x) 4 ⩾ 12 3ax
Bepaal a ∈ opdatV = ] ∞,6[ deoplossingenverzamelingisvandeongelijkheid
3x 1 2 1 2 x + a < 10 + 2 3 x
Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op in r .
a) 3 2 x + 5 6 < 1 2 2 5 6 x
b) y + 5 y 8 5 ⩾ 4 3 2 3 (y 3)
Bewijsdat ∀ x, y ∈ :2xy ⩽ x2 + y2
Bewijsdat ∀ a, b ∈ met0 < a < b : 1 a > 1 b
Bewijsdat ∀ a ∈ + 0 : a + 1 a ⩾ 2
Waarom werd de mogelijkheid a = 0 uitgesloten?
Bespreek de volgende ongelijkheden in r met onbekende x en parameter m
a) 6 mx ⩾ 2(1 3m)
b) (m 2)x + 4 ⩽ 2m x c)
a) Voor welke waarde(n) van de parameter m heeft de ongelijkheid mx ⩽ 0 met onbekende x als oplossingenverzameling r + ?
b) Bepaal de waarden van de parameters a en b zodat de ongelijkheid ax - 4 ⩽ 3x + b + 5 met onbekende x als oplossingenverzameling r + heeft.
Gebruik hiervoor de informatie afgeleid in vraag a.
Problemen
Ligt het punt onder, boven of op de x-as ?
a)A( -3, 1) b)B( 2, -4) c)C( -2, 0) d)D( 0, 5) e)E( -1, -2) f) F( 3, 2)
Het drievoud van een getal is groter dan 15. Bepaal alle reële getallen die aan deze voorwaarde voldoen.
Aan een boom groeien elke dag 5 peren.
Momenteel hangen er 90 peren aan de boom.
Binnen hoeveel dagen hangen er meer dan 135 peren aan de boom?
Hieronder worden de vraag en het aanbod voor een product grafisch voorgesteld op basis van de tabel.
a)Welke grafiek is de vraagcurve en welke is de aanbodcurve?
b)Bepaal de gevraagde hoeveelheid en de aangeboden hoeveelheid bij een prijs van 2,5 euro.
c)Wanneer is de aangeboden hoeveelheid gelijk aan de gevraagde hoeveelheid?
d)Wanneer is de aangeboden hoeveelheid groter dan de gevraagde hoeveelheid?
Jolien is 15 jaar oud. Haar vader is 39 jaar. Binnen hoeveel jaar is de vader van Jolien nog hoogstens twee keer zo oud als zijn dochter?
Voor welke reële getallen is het zesvoud minstens gelijk aan het dubbel van dat getal vermeerderd met 100?
Bepaal de lengte van de zijden van een gelijkzijdige driehoek als je weet dat haar omtrek hoogstens 48 cm bedraagt.
Hoeveel moet ik minstens in kasbons sparen om één jaar later met de intrest voldoende over te houden om een fiets van 900 euro te kunnen kopen? De kasbons hebben een netto-intrestvoet van 2%.
Elk jaar kun je als wielerliefhebber in Nederland meedoen aan Boogie's Extreme, de officiële toertocht van Michael Boogerd. Je kunt er kiezen uit een parcours van 30, 60, 100, 160 of 225 km.
: 2215 meter
a)Op welk punt van de tocht bereikt men de maximale hoogte?
b)Schat over welke afstand je 200 m boven de zeespiegel fietst.
c)Schat over welke afstand je onder 100 m boven de zeespiegel fietst.
Hieronder zie je temperatuurgegevens uit Ukkel.
Gemiddelde maandtemperatuur, Ukkel recente waarden, normaalwaarden (1991–2020) en extreme waarden (1991–2020)
temperatuur (in °C)
a)In welke maanden lagen de waarden van maart 2020 tot maart 2021 hoger dan de normale waarden?
b)Wat betekent de groene lijn?
c)In welk jaar lag de extreme waarde onder 0°C?
d)In welke jaren lag de extreme waarde boven 15°C?
e)Beoordeel de volgende uitspraak: “In 2020 was het warmer dan normaal.”
Hoe luid is een windturbine ?
Windturbines in woonwijken worden op minstens 300 meter van het dichtstbijzijnde huis gebouwd
a)Welke grootheden worden hier in dit diagram weergegeven?
b)Hoe ver ben je van een windturbine als je meer dan 50 dB(A) geluid opvangt?
c)Hoeveel dB(A) vangen de dichtste huizen op?
d) Hoe ver woon je minstens van een windturbine als je minder geluidshinder hebt dan van het geluid van een normale koelkast?
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Voor welke positieve reële getallen is één derde van dat getal hoogstens 10 meer dan één vijfde van dat getal ?
Op een meerkeuzetoets worden 20 vragen gesteld. Bij elke vraag kan je uit 4 mogelijke antwoorden kiezen. Voor elk juist antwoord krijg je 3 punten. Voor elk fout antwoord -1 punt (giscorrectie). Veronderstel dat je alle vragen beantwoordt (geen blanco's).
Hoeveel vragen moet je minstens juist hebben om voor deze toets te slagen?
Een trapezium is 4 cm hoog en heeft een kleine basis van 8 cm. Bepaal de mogelijke lengte van de grote basis als je weet dat de oppervlakte van het trapezium minstens 42 cm2 bedraagt.
Bekijk de grafische voorstelling en de tabellen.
Aantalfaillissementenpergewest:eerstetrimester
a)Welke informatie vind je in bovenstaand diagram?
Aantal faillissementen per maand feb/20mrt/20apr/20mei/20jun/20jul/20aug/20sep/20okt/20nov/20dec/20jan/21feb/21
b)Maak met ICT een lijndiagram voor beide tabellen.
c)Hoeveel faillissementen waren er in het tweede trimester van 2020 voor het Vlaamse gewest?
d)Formuleer een vaststelling voor 2020 en een vaststelling voor begin 2021.
Een auto heeft een brandstoftank van 60 liter. In het stadsverkeer verbruikt de auto gemiddeld 6 liter per 100 km en op de autosnelwegen verbruikt hij 4 liter per 100 km. Hoeveel kilometer kan je met deze auto maximaal rijden als je weet dat 40% van de afgelegde weg in de stad gereden wordt?
Een cilinder heeft een straal van 4 cm en een totale oppervlakte van hoogstens 420 cm2. Bepaal de mogelijke hoogtes van deze cilinder. Rond je uitkomst af op 0,1 cm.
De noemer van een breuk is 10 groter dan de teller. Veronderstel dat de teller en de noemer van de breuk positief zijn. Bovendien zijn de teller en de noemer onderling ondeelbaar. Trekt men van zowel de teller als de noemer zes af, dan is de waarde van de breuk kleiner dan 0,5. Bepaal alle mogelijke breuken die aan deze voorwaarden voldoen.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Sinds 1973 zijn de gegevens van alle aardbevingen wereldwijd online beschikbaar. In de grafieken is de zwarte lijn steeds de trendlijn.
a) Formuleer een algemeen besluit voor het aantal geregistreerde aardbevingen wereldwijd.
b) Welke categorie aardbevingen kent de sterkste stijging?
c) In welke jaren zijn er uitzonderlijk veel aardbevingen geregistreerd?
d)Welk besluit kun je formuleren voor 2019?
e) Zoek de informatie op voor dit jaar. Wat stel je vast?
: earthquake.usgs.gov
Aantal aardbevingen 6.0+
Twee klassen maken een busreis voor een schooluitstap. Er zitten 36 leerlingen in de twee klassen samen. Als er een derde klas met 12 leerlingen zou meereizen, dan kost de reis minstens 9 euro per leerling minder. Hoeveel bedraagt de totale kostprijs van de busreis?
Studiewijzer
Differentiatietraject
Doelen
Ik kan informatie verwerken met behulp van een tabel, grafiek of formule en het verband herkennen en interpreteren.
Ik ken de begrippen functie, domein, bereik en nulwaarde en kan deze begrippen toepassen.
Ik kan ongelijkheden algebraïsch oplossen in r , en ik kan ongelijkheden met één parameter oplossen en bespreken.
Ik kan de onderlinge ligging van twee grafieken vergelijken en interpreteren, en ik kan problemen oplossen met ongelijkheden.
INKIJKEXEMPLAARDIEKEURE
Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum
Ik kan informatie verwerken met behulp van een tabel, grafiek of formule en het verband herkennen en interpreteren.
Ga na of alle gegevens uit de tabel goed weergegeven zijn op de grafiek. Zie je al een verband tussen de formule en de grafiek?
verwerking: 1, 2, 3 signaal: 1, 2 differentiatie: 1 t.e.m. 26
Ik ken de begrippen functie, domein, bereik en nulwaarde en kan deze begrippen toepassen.
Voor elke functie kun je een tabel opstellen door de y-waarde te berekenen voor enkele x-waarden. Daarna kun je de tabel gebruiken om de functie grafisch weer te geven in een grafiek.
verwerking: 4, 5, 6, 7 signaal: 3, 4, 5
differentiatie: 27 t.e.m. 44
Ik kan ongelijkheden algebraïsch oplossen in r , en ik kan ongelijkheden met één parameter oplossen en bespreken.
De rekenregels voor het oplossen van gelijkheden en ongelijkheden zijn dezelfde, maar vergeet niet dat de zin van het ongelijkheidsteken omkeert als je vermenigvuldigt met of deelt door een strikt negatief getal.
verwerking: 8 t.e.m. 15 signaal: 6, 7
differentiatie: 45 t.e.m. 81
Ik kan de onderlinge ligging van twee grafieken vergelijken en interpreteren, en ik kan problemen oplossen met ongelijkheden.
Zoek een gepaste onbekende zodat je de gegevens van het probleem gemakkelijk kunt vertalen naar formulevorm. Los de ongelijkheid op en interpreteer je resultaat.
verwerking: 16, 17, 18, 19 signaal: 8, 9
differentiatie: 82 t.e.m. 101
Auteurs Björn Carreyn, Silke Steelandt en Claudia Van De Weghe
Met medewerking van Steven Van Geluwe
Eerste druk 2024 - SO 2024/0223 - Bestelnummer 94 606 0106 (module 08 van 18)
ISBN 978 90 4864 972 3 - KB D/2024/0147/205 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge
4
10
17
27