Isaac-fysica 3 D-finaliteit 3 uur - Module 7 (selectie)

D-finaliteit • 3 uur

FYSICA 3 MODULE

7

Statica van systemen

2

Inhoud ISAAC-moment

ISAAC-moment: Balanceren op een glas

03

1 Evenwicht

04

2 Krachtenbalans

05

2.1 Een voorwerp in rust op een schuine helling 2.2 Spankracht

3 Momentenbalans 3.1 Star lichaam 3.2 Krachtmoment 3.3 Momentenbalans

07 08 10 10 10 15

4 Hefbomen

18

5 Stabiel, labiel en onverschillig evenwicht

21

6 Verder oefenen?

24

ISAAC-actie

ISAAC-actie: Aan de slag met evenwicht

34

STUDIEWIJZER

Studiewijzer

35

3

ISAAC-moment

Balanceren op een glas Dit ziet er misschien onmogelijk uit, maar test het zelf eens uit.

BENODIGDHEDEN een glas een kurk twee vorken een naald WERKWIJZE 1 Prik de naald vast in de achterkant van de kurk.

2 Prik de twee vorken aan de zijkant van de kurk op dezelfde hoogte.

3 Plaats het uiteinde van de naald voorzichtig op het glas.

Verklaar waarom dit in stabiel evenwicht blijft.

4

1 Evenwicht

Zoals je ziet op de foto’s gaat het in deze module over het statische evenwicht, ook wel evenwichtsleer of statica genoemd.

Statica houdt zich bezig met het evenwicht van lichamen in rust die onderhevig zijn aan krachten.

Als we verder in deze module de term evenwicht gebruiken, bedoelen we hiermee het statisch evenwicht.

Statica is de leer van het evenwicht van een lichaam in rust.

Overal op aarde zijn lichamen onderhevig aan krachten. Door na te gaan welke krachten er spelen bij een lichaam wordt er bekeken wat de evenwichtsvoorwaarden zijn. We moeten hierbij kijken naar de krachten maar ook naar de momenten van deze krachten.

We bekijken in wat nu volgt dus eerst de krachten en daarna de momenten, maar beperken ons daarbij wel tot een tweedimensionaal systeem.

5

2 Krachtenbalans Uit module 2 ‘Kracht en verandering van beweging’ weten we dat op een voorwerp in rust geen resulterende kracht mag inwerken.

Als we de som van alle krachten die inwerken op dat voorwerp uitrekenen, moet dat nul zijn.

Bij evenwicht is de som van alle krachten die inwerken op een voorwerp nul. #– Fi = 0 Omdat we in een vlak werken, geeft ons dit twee voorwaarden: de som van de krachten volgens de x-richting moet nul zijn, de som van de krachten volgens de y-richting moet nul zijn.

De resulterende kracht moet nul zijn volgens de x-richting en volgens de y-richting.

#– FN

#– Fm

#– Fw #– Fz

We nemen de auto uit module 2 er terug bij. De auto wil vertrekken. Hij geeft gas, maar niet voldoende om de statische wrijvingskracht te overwinnen. Hij blijft dus in rust staan.

Hier liggen de krachten ofwel horizontaal of verticaal. In dit geval kiezen we de x-as horizontaal en de y-as verticaal, wat hier natuurlijk voor de hand ligt. Alle krachten liggen dan namelijk ofwel op de x-as ofwel op de y-as.

Om hier de resulterende kracht te berekenen, moeten we alle krachten volgens de x-richting en volgens de y-richting optellen. Die resulterende kracht moet nul zijn volgens de x-richting en volgens de y-richting.

De voorwaarde voor evenwicht wordt hier: #– Fx = 0 #– Fy = 0

In het voorbeeld van de auto wordt dat: #– Fx = 0 ⟺ Fw − Fm = 0 #– Fy = 0 ⟺ FN − Fz = 0

6

Dit is de krachtenbalans.

Als aan deze voorwaarden voldaan is, is de resulterende kracht op de auto nul. De bewegingstoestand blijft dan behouden. In dit geval was de auto in rust en blijft hij in rust aangezien de bewegingstoestand behouden blijft.

#– Fx = 0 #– Fy = 0 Dit noemen we de krachtenbalans.

Dit wordt ook wel de translationele voorwaarde voor evenwicht of translatie-evenwicht genoemd.

WIST-JE-DAT

Een translatie is een beweging waarbij alle punten van een voorwerp dezelfde beweging ondergaan in dezelfde richting. In de wiskunde noemen we dit ook een verschuiving.

Bij een translatie hebben alle punten van een voorwerp op elk tijdstip dezelfde verplaatsing ondergaan. Als een puntmassa zich verplaatst dan is dat steeds een translatie omdat alle punten van het voorwerp daarbij samenvallen met de puntmassa.

WIST-JE-DAT

Natuurkundig is ‘in rust zijn’ of ‘niet bewegen’ niet hetzelfde als ‘in evenwicht zijn’. Een lichaam dat een eenparig rechtlijnige beweging uitvoert, is in natuurkundige zin ook ‘in evenwicht’, maar dus niet in ‘statisch’ evenwicht.

Als de krachtenbalans voldaan is, dan is er translatie-evenwicht. Bij translatie-evenwicht behoudt het lichaam dus zijn bewegingstoestand. Hierbij zijn (zie module 2) twee mogelijkheden: een lichaam in rust zal in rust blijven; een lichaam in beweging zal een ERB uitvoeren.

We bekijken hieronder een aantal voorbeelden die niet zo voor de hand liggend zijn.

7

2.1 Een voorwerp in rust op een schuine helling We bekijken een blok in rust gelegen op een schuine helling. Op het blok grijpen de zwaartekracht, de wrijvingskracht en de normaalkracht aan. Zoals je op de figuur ziet, staat de normaalkracht loodrecht op het oppervlak van de helling, de wrijvingskracht wijst langs de helling schuin naar boven en de zwaartekracht wijst verticaal naar beneden.

Als het blok in evenwicht blijft liggen op de helling, dan moet de som van al deze krachten nul zijn. #– ^£ #– ^ʿ

‫ڍ‬

#– ^˔

Voor ons gemak kiezen we het assenstelstel hier volgens de helling. y

x

We ontbinden de zwaartekracht in twee componenten: een component volgens de x-as en een component volgens de y-as.

We gebruiken de goniometrische getallen van α en krijgen voor: #– de component volgens de x-as: Fz ⋅ sin α #– de component volgens de y-as: Fz ⋅ cos α

#– ^£ #– ^ʿ

#– ^˔ Ӛ ɻǩȣ ‫ڍ‬ ‫ڍ‬

#– ^˔

‫ڍ‬

#– ^˔ Ӛ Ɓȴɻ ‫ڍ‬

Op bovenstaande figuur zijn de groottes van de vectoren af te lezen. Zo zien we duidelijk dat #– #– #– Fz ⋅ sin α even groot (maar tegengesteld) moet zijn aan de wrijvingskracht Fw en dat Fz ⋅ cos α #– even groot (maar tegengesteld) moet zijn aan de normaalkracht FN. We zien dat de som van de krachten nul moet zijn volgens de x-richting en volgens de y-richting.

Met symbolen wordt dit: #– Fx = 0 #– Fy = 0

Als we dit toepassen op ons voorbeeld wordt dit: #– Fx = 0 ⟺ Fw − Fz ⋅ sin α = 0 #– Fy = 0 ⟺ FN − Fz ⋅ cos α = 0

Dit is de krachtenbalans.

Als aan deze voorwaarden voldaan wordt, is de resulterende kracht op het blok nul.

De bewegingstoestand blijft dus behouden. In dit geval was het blok in rust. Dat blijft in rust aangezien de bewegingstoestand behouden blijft.

8

2.2 Spankracht l ‫ڍ‬

Ȉ ߿

In dit voorbeeld bekijken we een bolvormige massa m die opgehangen is tussen twee vaste wanden door middel van een touw. De massa hangt exact in het midden tussen de twee vaste wanden en het touw maakt een hoek α met de horizontale.

Op de bol werkt de zwaartekracht. We tekenen in dit geval het gewicht dat aangrijpt in het ophangpunt, welke even groot is als #– de zwaartekracht. Verder werkt de spankracht ( Fspan )1 van het touw schuin naar links en schuin naar rechts op de massa.

# ^ɻ–

ɠŒ ȣ

#–^ ɻɠŒȣ

߾

߿

‫ڍ‬

#– ^ˍ

Als de massa in evenwicht blijft hangen, moet de som van de krachten nul zijn.

In dit geval kiezen we de x-as horizontaal en de y-as verticaal.

Om hier de resulterende kracht te berekenen, moeten we alle krachten volgens de x-richting en alle krachten volgens de y-richting optellen. Die resulterende kracht moet nul zijn volgens de x-richting en volgens de y-richting. De voorwaarde voor evenwicht wordt hier: #– Fx = 0

#– Fy = 0

 Fspan 1, x = Fspan 1 ⋅ cos α F

span 1, y

= Fspan 1 ⋅ sin α

 Fspan 2, x = Fspan 2 ⋅ cos α F

span 2, y

= Fspan 2 ⋅ sin α

ˈ

#– ^ɻɠŒȣ ߾ࡪ #– ^ɻɠŒȣ ߿ࡪ

ˈ

Het gewicht, en dus ook de zwaartekracht, heeft enkel een component volgens de y-richting. De twee spankrachten ontbinden we telkens in een component volgens de x-as en een component volgens de y-as. Als we deze voorwaarde uitwerken en de groottes van de componenten bekijken, krijgen we dus:  y Fz, x = 0 F = F z, y z ‫ڍ‬

#– ^ɻɠŒȣ ߾ࡪ

ˇ

#– ^ɻɠŒȣ ߿ࡪ

x ˇ

#– ^ˍ

De voorwaarde wordt: #– Fx = 0 ⟺ Fspan 2, x − Fspan 1, x = 0 #– Fy = 0 ⟺ Fspan 1, y + Fspan 2, y − Fz = Fspan 1 ⋅ sin α + Fspan 2 ⋅ sin α − Fz = 0 Aangezien de twee spankrachten even groot zijn (Fspan 1 = Fspan 2) wordt de eerste voorwaarde voor evenwicht sowieso voldaan: #– Fx = 0 #– Fy = 0 ⟺ Fspan ⋅ sin α + Fspan ⋅ sin α − Fz = 0 ⟺ 2 · F span · sin α − F z = 0 Als aan deze voorwaarde voldaan wordt, is het systeem in evenwicht.

Dit is de krachtenbalans.

9

We zien duidelijk dat we elk systeem van krachten een andere evenwichtsvoorwaarde geven na uitwerking van: #– Fx = 0 #– Fy = 0

In vorige voorbeelden stelden we het lichaam telkens voor door een punt: de puntmassa.

Voor dat punt kiezen we het massamiddelpunt, ook wel zwaartepunt genoemd. (Niet te verwarren met het geometrisch zwaartepunt uit de wiskunde.)

Ten opzichte van het massamiddelpunt van een voorwerp is de massa van het voorwerp in evenwicht, het evenwicht van een puntmassa.

Als voorwaarde van het evenwicht van een puntmassa volstaat het te voldoen aan de krachtenbalans: #– Fi = 0 of in een vlak: #– Fx = 0 #– Fy = 0

Een koperen bol van 15 kg hangt aan een touw, bevestigd aan de muur en steunt op een schuine helling. a Teken en benoem de krachten die inwerken op de bol. (Teken de krachten in verhouding.) b Bereken de spankracht en de normaalkracht.

30°

10

3 Momentenbalans 3.1 Star lichaam Een lichaam kan niet in alle omstandigheden vervangen worden door een puntmassa. Als de krachten aangrijpen op verschillende plaatsen op het lichaam is dat niet altijd mogelijk. Hieronder bespreken we enkele voorbeelden.

We bespreken onvervormbare lichamen waarop verschillende krachten aangrijpen.

In de natuurkunde noemen we een onvervormbaar lichaam een star lichaam.

Een star lichaam is onvervormbaar ook al werken er krachten in op het lichaam.

In een star lichaam zijn de afmetingen niet nul en de onderlinge afstand tussen verschillende punten van het lichaam verandert niet.

Hieronder zien we het statische evenwicht van een star lichaam.

3.2 Krachtmoment

Neem bijvoorbeeld een dominosteentje waarop, naast het gewicht en de normaalkracht, twee krachten aangrijpen.

#– ^߾

#– ^£ #– ^˔

#– ^߿

11

In dit voorbeeld werken twee horizontale krachten op het voorwerp, bovendien zijn deze krachten even groot. Je weet dat deze krachten elkaar niet gaan opheffen, maar dat het dominosteentje zal omvallen door inwerking van de krachten.

Om te begrijpen wat hier gebeurt, moeten we een nieuwe grootheid invoeren. Deze nieuwe grootheid is het krachtmoment.

Open een deur op drie verschillende punten: a via de deurknop, b door te duwen in het midden van de deur, c door zo dicht mogelijk bij de scharnieren te duwen.

Noteer wat je ervaart.

d

Wat je ervaart bij dit eenvoudig experiment is het krachtmoment. Die deurklink staat niet voor niets zo ver van het scharnierpunt.

De loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht noemen we de krachtarm en duiden we aan met d. In het voorbeeld van de deur is de krachtarm dus de loodrechte afstand van het scharnierpunt tot de deurknop.

Aan de hand van een voorbeeld, bekijken we wat de invloed is van de kracht en de krachtarm op het krachtmoment.

In onderstaand voorbeeld werken we met een onvervormbare staaf of balk, die draaibaar is om een as. Denk maar aan een wip van een speelplein.

Deze wip is in evenwicht.

12

Als we aan beide kanten van de as een massa plaatsen dan zien we dat die niet altijd in evenwicht is.

5 kg 5 kg

Pas als we de massa’s aan beide kanten even ver van de as plaatsen, hebben we evenwicht. Hier plaatsen we langs beide kanten van de as een massa van 5 kg op 1 m van de as. De balk is nu in evenwicht.

5 kg 2

1.75 1.5 1.25

1

5 kg 0.75 0.5 0.25

meters

0.25 0.5 0.75

1

1.25 1.5 1.75

meters

2

We verplaatsen nu de linkse massa en plaatsen die op 2 m van de as. De wip is niet meer in evenwicht.

5 kg

5 kg

Om de balk terug in evenwicht te krijgen, moeten we rechts een grotere massa plaatsen.

5 kg

10 kg

13

We plaatsen rechts 10 kg op 1 m van de as. Pas dan komt de wip terug in evenwicht.

Wat we zo ondervinden is het krachtmoment.

Op elk van de massa’s werkt de zwaartekracht. De zwaartekracht op het rechtse blokje is twee keer zo groot als op het linkse blokje.

Uit module 4 weten we dat we de grootte van de zwaartekracht kunnen berekenen met: Fz = m ⋅ g

Ɗ߾

#– ^ˍࡪ ߾

Ɗ߿

#– ^ˍࡪ ߿ #– ^ˍࡪ ߾

#– ^ˍࡪ ߿

Bij een verdubbeling van de afstand hebben we de helft van de kracht nodig voor een evenwicht.

Wat hier speelt voor het bekomen van het evenwicht is het krachtmoment.

M=F⋅d waarbij: M = krachtmoment F = kracht d = krachtarm: loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht.

Het krachtmoment is het product van de grootte van de kracht met de krachtarm.

Het effect van een kracht hangt niet alleen af van de grootte van de kracht, maar ook van de grootte van de krachtarm!

Het krachtmoment is een maat voor het rotatie-effect van een kracht.

Een krachtmoment is positief bij een draaiing in tegenwijzerzin.

GROOTHEID

EENHEID

NAAM

SYMBOOL

NAAM

SYMBOOL

krachtmoment

M

newton · meter

N·m

krachtarm

d

meter

m

Let wel op: dikwijls wordt het begrip ‘moment’ gebruikt waar er eigenlijk ‘krachtmoment’ bedoeld wordt.

14

We bekijken nog even hoe we het moment kunnen berekenen als de kracht schuin op een voorwerp inwerkt. Als voorbeeld nemen we een kracht die inwerkt op deze verstelbare moersleutel om een moer los te draaien.

#– ^ r α

De kracht F werkt hier onder een hoek α.

In de definitie van krachtmoment zagen we dat de krachtarm de loodrechte afstand is van het draaipunt tot de werklijn van de kracht.

Als we de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht tekenen voor dit voorbeeld dan krijgen we onderstaande figuur.

#– ^ r α

ɥ Ӛ ɻǩȣ ‫ڍ‬

We verlengen de werklijn van de kracht en bepalen de loodrechte afstand van de werklijn van de kracht tot het draaipunt. Die afstand is r ⋅ sin α . In dit voorbeeld geldt dus: d = r ⋅ sin α

Het krachtmoment berekenen we met: M = F ⋅ r ⋅ sin α

Als een kracht schuin inwerkt op een voorwerp, kunnen we het krachtmoment berekenen met:

M = F ⋅ r ⋅ sin α

15

3.3 Momentenbalans Om evenwicht te hebben, moet het krachtmoment dat een draaiing in wijzerzin veroorzaakt even groot zijn, maar tegengesteld aan het krachtmoment dat een draaiing in tegenwijzerzin veroorzaakt.

Neem nu onderstaande wip.

60 kg

30 kg

#– ^ˍࡪ ߾

Ɗ߾

Ɗ߿

#– ^ˍࡪ ߿ #– ^ˍࡪ ߾

#– ^ˍࡪ ߿

Om in evenwicht te zijn, moet het moment veroorzaakt door het meisje even groot zijn als het moment veroorzaakt door de mama.

Met andere woorden, het krachtmoment dat een draaiing in wijzerzin veroorzaakt moet even groot, maar tegengesteld zijn aan het krachtmoment dat een draaiing in tegenwijzerzin veroorzaakt. (Een krachtmoment is positief bij een draaiing in tegenwijzerzin.)

Met ander woorden:

Mi = 0

⟺

In ons voorbeeld wordt dat: Mmeisje − Mmama = 0

⟺

Mmeisje = Mmama

⟺

M1 = M 2 Fz, 1 ⋅ d1 = Fz, 2 ⋅ d2

Wat we op die manier bereken is de momentenbalans.

Mi = 0 We noemen dit de rotationele voorwaarde voor evenwicht.

16

20 kg 20 kg

60 kg

80 kg

20 kg

20 kg 20 kg

30 kg

2

1.75 1.5 1.25

1

60 kg

0.75 0.5 0.25

meters

80 kg

20 kg

0.25 0.5 0.75

1

30 kg

1.25 1.5 1.75

meters

2

Op deze wip werken heel wat krachten.

De krachtmomenten van de twee jongens en de mama veroorzaken een draaiing in tegenwijzerzin.

De krachtmomenten van de papa, de massa en het meisje veroorzaken een draaiing in wijzerzin.

De momentenbalans wordt hier dus:

Mi = 0 Mjongen 1 + Mjongen 2 + Mmama − Mpapa − Mmassa − Mmeisje = 0

Als aan deze voorwaarde voldaan wordt, is de hefboom in rotationeel evenwicht.

Reken uit of deze balans in evenwicht is. Noteer hieronder.

17

WIST-JE-DAT

De beweging van een star lichaam om een as of een punt, waarbij elk punt van dat lichaam een cirkelvormige beweging rond die as of punt uitvoeren, is een rotatie. Het punt of de as waarrond de rotatie plaatsvindt, noemt de rotatie-as. Deze rotatie-as kan zowel binnen als buiten het star lichaam liggen.

α

We kunnen nu na deze twee hoofdstukken besluiten dat:

Een lichaam is in evenwicht als de som van alle krachten die op het lichaam werken nul is en de som van alle momenten nul is.

Om te kijken of een lichaam in evenwicht is, moeten we een krachten- en momentenbalans opstellen.

Een star lichaam is in evenwicht als aan volgende evenwichtsvoorwaarden voldaan zijn: 1

Translationele evenwichtsvoorwaarden #– Fx = 0 #– Fy = 0

2

Rotationele evenwichtsvoorwaarde

Mi = 0

Dat geeft ons in totaal drie voorwaarden.

Test of je het begrepen hebt! Scan de QR-code, dubbelklik op Game en doe het spel.

Noteer hier jouw score: Level 1: Level 2: Level 3: Level 4: