Isaac-fysica 6 D - leerboek kracht en verandering van beweging - inkijk methode

Aan de slag met ISAAC

ISAAC-fysica 6 is een methode fysica voor het zesde jaar D-finaliteit van het secundair onderwijs voor de wetenschappelijke richtingen met 2 uur fysica en de wiskundige richtingen met 1 uur fysica. De wetenschappelijke richtingen met 2 uur fysica moeten meer leerstof zien, deze extra leerstof wordt aangeduid met een specifiek icoon (zie Legende pictogrammen).

De methode kenmerkt zich door de sterke didactische aanpak en cursorische leerlijn. Met ISAACfysica verwerf je betrouwbare feitelijke kennis. Aan de hand van vele concrete voorbeelden uit de hedendaagse leefwereld en de duidelijke structuur draagt ISAAC bij tot een gemotiveerd en efficiënt leerproces.

Opbouw en aanpak

ISAAC-fysica 6 - Kracht en verandering van beweging bestaat uit drie delen. In die delen wordt de leerstof aangebracht via een gevarieerd aanbod aan thema’s.

3 delen

Doorheen het leerboek vind je het diabolomodel van die Keure terug.

1Intro

Tijdens het ISAAC-moment , intro, maak je kennis met het thema. Nieuwsgierigheid en verwondering staan hierbij centraal.

2Midden

Tijdens de instructieweken verwerk je de leerstof via impressie en verwondering, instructie en inoefening. Dit leerboek is opgesplitst in drie delen. Elk deel wordt afgesloten met een onderdeel 'Verder oefenen?' waar de leerstof van dat deel ingeoefend wordt. Daarna volgt er ook telkens een studiewijzer zodat de leerlingen weten wat ze moeten kennen en kunnen na elk deel.

Volgende onderwerpen komen aan bod:

• Klassieke newtoniaanse mechanica

• Bewegingen in één dimensie

• Bewegingen in twee dimensies

3Outro

De laatste lessen van het leerboek zijn voorbehouden voor de transferopdracht of de ISAAC-actie . Dat is een concrete en functionele opdracht die het leerboek afsluit.

Oefeningen

Elk deel wordt afgesloten met een reeks 'Verder oefenen?'. Daar kan de leerstof van dat deel ingeoefend worden via een reeks oefeningen van verschillende niveaus. De oefeningen werden opgedeeld in drie rubrieken:

• Begrijpen

Deze oefeningen helpen je om de leerstof beter onder de knie te krijgen en te begrijpen.

• Toepassen

Dit zijn concrete toepassingen uit het dagelijkse leven waarbij je leerstof verwerkt door ze toe te passen in een context. Deze oefeningen kregen een moeilijkheidsgraad:

makkelijk

gemiddeld

moeilijk

• Analyseren

Bij deze oefeningen ga je verder op zoek naar verbanden en relaties gerelateerd aan het onderwerp. Hier vallen vaak experimenten onder of uitgebreide oefeningen in een bepaalde context.

ISAAC digitaal

Doorheen het boek vind je QR-codes. Via die QR-codes kom je bij heel wat extra bronnenmateriaal.

Op POLPO vind je de uitgewerkte versie van het ISAAC-moment en de ISAAC-actie die in het leerboek opgenomen zijn. Daarnaast worden er ook extra ISAAC-momenten en -acties aangeboden.

Legende pictogrammen

Deze pictogrammen vind je in het leerboek.

doe de test

vastzettingskader

verwijskader

tip

besluit

uitbreiding wetenschappen

online experiment

Dit icoon duidt een experiment volgens de wetenschappelijke methode aan.

Dit duidt een vastzettingskader aan. Hier worden belangrijke en te kennen theorie/ formules in samengebald.

Een verwijskader verwijst naar een module of leerboek waar bepaalde theorie reeds gegeven werd of gegeven zal worden.

Dit lampje geeft een tip weer of geeft wat extra informatie.

Een besluitkader omvat een besluit of een conclusie, vaak na een experiment volgens de wetenschappelijke methode.

Een wist-je-dat is een leuk en interessant weetje, vaak komt hier ook wat extra informatie bij de theorie aan bod.

Dit icoon duidt leerstof aan die te kennen is in de wetenschappelijke richtingen met 2 uur fysica, maar niet in de wiskundige richtingen met 1 uur fysica. Deze leerstof kan natuurlijk wel optioneel aan bod komen in deze richtingen.

Dit icoon verwijst naar een experiment op POLPO waarmee aan de STEM-doelen gewerkt kan worden.

Trefwoordenregister

Newton in space

In dit filmpje bekijken we de drie wetten van Newton op aarde en in de ruimte, aan boord van het ISS. De proefjes uitgevoerd op aarde kan je zelf ook proberen, zorg wel dat je eerst met je leerkracht overlegt of ze veilig kunnen gebeuren.

Kan jij voor elke wet zelf nog een proefje bedenken?

Na het bekijken van het filmpje kan je waarschijnlijk ook de cover van dit leerboek verklaren.

Klassieke newtoniaanse mechanica

1Inleiding

Beweging verwondert ons al sinds mensenheugenis. Beweging is mooi, denk maar aan de vlucht van een groep ganzen, aan een dolfijn die uit het water springt of aan een rennend jachtluipaard.

Beweging is ook fascinerend, denk maar aan de baan van een satelliet, aan de sprong van een polstokspringer of aan Simone Biles tijdens haar wonderbaarlijke grondoefening.

In dit leerboek bestuderen we deze beweging in al zijn facetten. We gaan hierbij de klassieke mechanica onder de loep nemen. Isaac Newton verwoordde deze voor het eerst in de 17de eeuw, de klassieke mechanica wordt daarom ook wel de newtoniaanse mechanica genoemd. In deze tak van de fysica wordt de beweging van systemen onderzocht en onderzoekt men hoe de positie, snelheid en versnelling van deze systemen veranderen ten gevolge van de krachten die erop inwerken.

Tot het begin van de 20ste eeuw gingen natuurkundigen ervan uit dat deze klassieke mechanica de beweging van alle systemen accuraat beschreef. In het begin van de 20ste eeuw bleek er echter een uitbreiding van de newtoniaanse mechanica nodig. Deze kon immers niet meer alle waarnemingen verklaren. Die uitbreiding kwam er met de relativiteitstheorie en de kwantummechanica.

Ondanks deze uitbreidingen blijft de klassieke mechanica nog steeds geldig voor de meeste situaties in ons dagelijks leven (voor snelheden die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid, bij ‘normale’ gravitatiekracht en op macroscopisch niveau). In dit leerboek gaan we deze newtoniaanse mechanica dus gebruiken om een aantal één- en tweedimensionale bewegingen te bestuderen.

De klassieke mechanica wordt opgedeeld in een aantal deelgebieden, die elk een specifieke benaming krijgen: de kinematica, waarin de beweging van systemen wordt beschreven, zonder in te gaan op de oorzaken ervan; de dynamica, waarin het verband tussen kracht(en) en beweging wordt bestudeerd; in de dynamica worden dus ook de oorzaken van de bewegingen bekeken; de statica, waarin het evenwicht van systemen wordt bestudeerd.

© Agência Brasil Fotografias, CC-BY 2.0, via Wikimedia Commons

De statica zagen we reeds in het derde jaar in de module Statica van systemen.

In wat volgt bespreken we zowel de kinematica als de dynamica van een aantal één- en tweedimensionale bewegingen. Enerzijds beschrijven we deze bewegingen, anderzijds gaan we dieper in op de krachten die aan de basis liggen van deze bewegingen.

We starten echter met het bestuderen van de wetten van Newton. Deze zijn een cruciaal onderdeel van de newtoniaanse mechanica en liggen aan de basis van de dynamica.

2De wetten van Newton

Isaac Newtons bijdrage aan de natuurkunde is enorm. Hij schreef onder andere drie belangrijke wetten, die ook zijn naam kregen: de wetten van Newton. Dankzij deze wetten kunnen we de natuur en bepaalde fenomenen rondom ons beter begrijpen. Bovendien zijn Newtons wetten universele wetten. Dat wil zeggen dat ze van toepassing zijn op vergelijkbare situaties op aarde en in de ruimte.

Newton formuleerde deze drie natuurwetten in 1687 in zijn boek Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (wiskundige beginselen van de natuurfilosofie). Dit werk, dat ruim 500 pagina’s telt, beschrijft onder andere hoe krachten een systeem al dan niet in beweging krijgen. Dag en nacht zou Newton aan dit boek gewerkt hebben. Zijn werk resulteerde in één van de invloedrijkste publicaties ooit verschenen in de exacte wetenschappen.

De ontwikkeling van de wetten van Newton markeert bovendien de overgang van de renaissance naar de nieuwe tijd. Een overgang die wordt gekenmerkt door een revolutionaire verandering in de manier waarop mensen over het fysieke universum denken.

Gedurende vele eeuwen hadden natuurfilosofen gedebatteerd over de aard van het universum, maar steeds baseerden ze zich hierbij op de gedachten van klassieke filosofen zoals Aristoteles (384322 v. Chr.). Newton ging echter verder en introduceerde nieuwe concepten en ideeën.

Newtons drie bewegingswetten zijn goede benaderingen en beschrijven de realiteit voldoende accuraat bij snelheden die veel kleiner zijn dan de lichtsnelheid en voor systemen op macroscopisch niveau. In dit leerboek beperken we ons tot dergelijke systemen.

WIST-JE-DAT

Pas met de komst van de moderne natuurkunde aan het begin van de 20ste eeuw werden de beperkingen van de newtoniaanse mechanica duidelijk.

Aan het begin van de 20ste eeuw ontwikkelde Albert Einstein (1879 - 1955) de relativiteitstheorie en ontwikkelde hij, samen met vele andere wetenschappers, de kwantummechanica.

De relativiteitstheorie is van toepassing voor snelheden vergelijkbaar met de lichtsnelheid of voor systemen met een grote gravitatiekracht waar de kromming van de ruimtetijd niet meer verwaarloosd kan worden.

De kwantummechanica is van toepassing voor systemen op zeer kleine, microscopische schaal, zoals de studie van elementaire deeltjes. Beide (recentere) theorieën verkennen we in het onderdeel Moderne fysica.

Laten we deze belangrijke wetten van Newton eens van naderbij bekijken. Via de QR-code kan je in een filmpje over honkbal ook al kort kennismaken met Newtons wetten.

2.1De

eerste wet van Newton

Bekijk het filmpje via de QR-code. Wat kan je uit dit filmpje concluderen? Kan je dit verklaren? Bespreek.

De Griekse filosoof Aristoteles was ervan overtuigd dat een systeem enkel in beweging kan blijven als er gedurende heel de beweging een kracht op het systeem wordt uitgeoefend, en hij was lang niet de enige die dit dacht. Voor wel vijftien eeuwen bleef men overtuigd dat alle bewegingen een directe oorzaak (kracht) moesten hebben. Newton, en daarvoor ook Galilei, doorbraken deze theorie.

In de zestiende eeuw formuleerde Galileo Galilei zijn traagheidsbeginsel. Galilei concludeerde dat een kracht, zoals de wrijvingskracht, ervoor zorgt dat bewegende systemen tot stilstand komen. Hij concludeerde dat als je al de krachten die op een bewegend systeem inwerken, zou elimineren, het systeem in beweging zou blijven.

WIST-JE-DAT

Voor Galileo was dit traagheidsbeginsel fundamenteel voor zijn hoofddoel in de wetenschap. Galileo was er namelijk van overtuigd dat de aarde en de andere planeten rond de zon bewegen. Maar hoe komt het dan dat we die beweging niet voelen? Dat komt omdat we samen met de aarde in beweging zijn. Volgens het traagheidsbeginsel is het onze natuurlijke neiging om deze beweging vast te houden, de aarde lijkt daardoor in rust te zijn ten opzichte van ons.

Het traagheidsbeginsel impliceert namelijk dat we geen onderscheid kunnen maken tussen een systeem in rust en een systeem dat met een constante snelheid beweegt. Het was niet de aarde, maar wel Jupiter, en meer bepaald de manen van Jupiter, die Galileo overtuigden dat de aarde rond de zon draait en niet omgekeerd. Dit ontketende een ware revolutie, niet enkel in de wetenschappelijke wereld, maar ook in de religieuze en politieke wereld. Wil je meer te weten komen over Galileo’s ontdekking? Bekijk dan het filmpje via de QR-code.

Newton toonde aan dat een kracht niet zorgt voor een beweging, maar voor een verandering van een beweging. Hij formuleerde deze stelling in zijn eerste wet van Newton, ook wel de traagheidswet genoemd.

De eerste wet van Newton werd reeds behandeld in het derde jaar, module 2 Krachten.

De eerste wet van Newton

Als er op een systeem geen (resulterende) kracht wordt uitgeoefend, behoudt het zijn bewegingstoestand: is het systeem in rust, dan blijft het in rust; beweegt het systeem, dan blijft het bewegen met een constante snelheid en in dezelfde richting en zin; het voert dus een eenparig rechtlijnige beweging uit (ERB).

De eerste wet van Newton geeft ons dus twee mogelijkheden:

ofwel is het systeem in rust en blijft het in rust; ofwel beweegt het systeem en blijft het bewegen met een constante snelheid en in dezelfde richting en zin.

Op de vaas werken twee krachten: de zwaartekracht #–Fz en de normaalkracht #–FN

De krachten compenseren elkaar.

De resulterende kracht is nul. De vaas blijft in rust.

De bewegingstoestand blijft behouden.

Op de chevrolet werken vier krachten: de zwaartekracht #–Fz , de normaalkracht #–FN, de motorkracht #–Fm en de wrijvingskracht #–Fw

Deze krachten compenseren elkaar.

De resulterende kracht op de chevrolet is nul, hij rijdt dus met een constante snelheid in dezelfde richting en zin.

De bewegingstoestand blijft behouden.

Het is hierbij belangrijk dat je eerst de resulterende kracht zoekt. Je moet dus eerst kijken welke krachten op het systeem inwerken en dan de resultante van deze krachten bepalen. Als deze resultante nul is, is de eerste wet van Newton geldig.

Voorbeelden

Je voelt het effect van deze wet als je op een rijdende bus zit en de bus plots moet remmen. Aangezien jij met de bus aan het meebewegen bent en je deze bewegingstoestand wil behouden, schiet je naar voren bij het bruusk remmen. Je wil immers rechtdoor blijven bewegen.

Omgekeerd, als een stilstaande bus plots vertrekt, word je naar achteren in je zetel geduwd. Je was namelijk in rust en wil in rust, en dus op je oorspronkelijke plaats, blijven. Nu begrijp je waarschijnlijk wel waarom een auto veiligheidsgordels en hoofdsteunen heeft.

Ook de lading van een verhuiswagen wordt stevig vastgebonden. Zo vermijdt men dat de lading bij het remmen of optrekken uit de verhuiswagen zou schieten.

Bij het fietsen gebruik je best nooit enkel je voorste rem als je plots moet remmen. Je kan je waarschijnlijk wel voorstellen wat er dan zou kunnen gebeuren.

Zo zijn er tal van gebeurtenissen in het dagelijks leven die we met deze wet kunnen verklaren.

Traagheid

De eigenschap van een systeem om in een bewegingstoestand te willen blijven wordt traagheid genoemd. De eerste wet van Newton wordt vaak de traagheidswet genoemd.

De term ‘traagheid’ is hier wat ongelukkig gekozen, want de beweging hoeft niet traag te zijn. De Engelse benaming is ‘inertia’, wat misschien wat duidelijker is.

Zoals we uit ervaring weten, hebben sommige systemen meer traagheid (inertie) dan andere. Het is natuurlijk moeilijker om de beweging van een groot rotsblok te veranderen dan de beweging van een voetbal. De traagheid van een systeem wordt gemeten aan de hand van zijn massa, waarbij massa een maat is voor de hoeveelheid materie die een systeem bevat. Deze is dezelfde op aarde, in een baan om de aarde of op het oppervlak van de maan.

2.2De tweede wet van Newton

In de tweede graad bespraken we al kort wat er gebeurt als de resulterende kracht op een systeem niet nul is.

We herhalen dit even hieronder.

Als de resulterende kracht op een systeem niet nul is, verandert de bewegingstoestand van het systeem. De mogelijkheden zijn:

• van rust naar beweging

• van beweging naar rust

• versnellen of vertragen

• van richting veranderen

1 Van rust naar beweging

2 Van beweging naar rust

…

3 Versnellen of vertragen

Versnellen

toestand 1 toestand 2

Vertragen

toestand 1 toestand 2

4 Van richting veranderen

1

2

We zien dat in elk van deze gevallen de snelheid van het systeem verandert, ofwel van grootte, ofwel van richting en zin. Deze verandering van snelheid kunnen we linken aan de grootheid versnelling. De versnelling is een vectoriële grootheid, die we verder in dit leerboek nog uitvoerig bestuderen. Maar voor nu kunnen we al onthouden dat de versnelling de verandering van de snelheid van een systeem weergeeft.

Om de snelheid van een systeem te veranderen is er dus een resulterende kracht verschillend van nul nodig. Er bestaat dus een link tussen de versnelling van een systeem en de resulterende kracht die erop inwerkt. Bovendien is het effect van de kracht (dus de versnelling) evenredig met de grootte van de kracht. Deze principes worden samengebald in de tweede wet van Newton.

De tweede wet van Newton

De verandering van de snelheid (= de versnelling) is recht evenredig met de resulterende kracht.

Of in formulevorm:

waarbij:

F = de resulterende kracht die inwerkt op het systeem (N)

#–a = de versnelling groottein m s2 groottein m s2

m = de massa (kg)

toestand

toestand

De tweede wet van Newton zegt dus dat er een verband is tussen kracht, massa en versnelling.

We zien hier duidelijk dat de massa een maat is voor de traagheid van een systeem: hoe groter de massa, hoe kleiner de versnelling van het systeem bij eenzelfde resulterende kracht.

Ook de tweede wet van Newton kent heel wat toepassingen in het dagelijks leven.

Voorbeelden

Als je op je fiets rijdt en je wil dat je snelheid toeneemt, moet je harder trappen.

Je hebt een grotere kracht nodig om een zware lederen voetbal weg te schoppen dan om een lichte strandbal weg te schoppen.

In het dagelijks leven zijn er ook veel situaties waarbij een niet-constante resulterende kracht inwerkt op het systeem, zoals bij bepaalde snelheidsveranderingen tijdens het rijden met een voertuig of initieel tijdens de val van een systeem met wrijving. Volgens de tweede wet van Newton is de versnelling dan ook niet constant.

2.3De derde wet van Newton

De derde wet van Newton wordt ook wel de wet van actie en reactie genoemd.

De derde wet van Newton

Als systeem A een kracht uitoefent op systeem B, dan oefent systeem B een kracht met dezelfde grootte, maar een tegengestelde zin uit op systeem A:

Bij elke actiekracht hoort dus ook een reactiekracht. Krachten komen altijd in paren voor. Deze actie- en reactiekrachten hebben dezelfde grootte, maar een tegengestelde zin.

Merk op dat deze krachten inwerken op andere systemen! In de definitie werkt #–FAB in op systeem B, terwijl #–FBA inwerkt op systeem A.

Onbewust komen we dagelijks in aanraking met deze wet van actie en reactie.

Voorbeelden

Als je zwemt, duw je met je armen en benen het water naar achteren. Je gaat dan vooruit omdat het water een even grote, maar tegengestelde kracht op jou uitoefent.

Als je tijdens het schaatsen jouw vriendin wegduwt, ga jij ook naar achteren omdat zij een even grote, maar tegengestelde kracht op jou uitoefent.

2.4Het vrij-lichaamsdiagram

Het maken van een vrij-lichaamsdiagram is een techniek waarbij alle externe krachten die op een systeem inwerken, voorgesteld worden. In wat voorafging, kon je al dergelijke vrijlichaamsdiagrammen terugvinden.

Het systeem wordt hierbij voorgesteld door een enkel geïsoleerd punt, een puntmassa. Enkel de krachten die van buitenaf op het systeem inwerken (externe krachten) worden getoond. Het zijn immers enkel de externe krachten die op het systeem inwerken, die de beweging beïnvloeden. We kunnen dus alle interne krachten in het systeem negeren.

Voorbeeld

Het vrij-lichaamsdiagram van de chevrolet ziet er als volgt uit:

Vrij-lichaamsdiagrammen zijn zeer nuttig bij het analyseren van krachten die op een systeem inwerken en worden uitgebreid gebruikt bij de studie en toepassing van de bewegingswetten van Newton.

Het systeem dat je in beschouwing neemt, is afhankelijk van de situatie en van wat je wil bestuderen. Voor je het vrij-lichaamsdiagram opmaakt, moet je dus altijd goed nadenken over welk systeem je bestudeert.

Voorbeeld

De figuur hiernaast toont een verpleger die een kar duwt. We kunnen hierbij meerdere systemen definiëren. Afhankelijk van welk systeem we bestuderen, krijgen we een ander vrijlichaamsdiagram:

systeem 1

systeem 2

Het maken van een vrij-lichaamsdiagram van een te bestuderen systeem is een belangrijke stap bij het oplossen van dynamische problemen. Het maakt het oplossen van complexe systemen immers eenvoudiger.

Naast het bepalen van het te onderzoeken systeem moet ook het referentiestelsel slim gekozen worden. De krachten worden dan volgens de assen van dit referentiestelsel ontbonden, waarna de wetten van Newton volgens elke as toegepast worden.

De te volgen stappen bij het maken van een vrij-lichaamsdiagram zijn dus:

• Bepaal het te onderzoeken systeem.

• Vervang het systeem door een puntmassa, op die puntmassa werken alle krachten.

• Teken alle externe krachten die inwerken op het systeem.

• Kies een passend referentiestelsel, een x-y-assenstelsel.

• Projecteer elke kracht op de x-as en op de y-as.

• Pas de wetten van Newton toe volgens elke as. We noemen dit ook wel het opstellen van de nettokrachtvergelijking.

Laten we enkele voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 1

We bekijken het voorbeeld van een vaas die op tafel staat.

Op de vaas werkt de zwaartekracht #–Fz en de opwaartse normaalkracht, die de tafel op de vaas uitoefent,

FN

Het vrij-lichaamsdiagram bestaat hier dus uit twee uitwendige krachten. De volgende stap is een x-y-assenstelsel kiezen, in dit geval is het evident als we dat als volgt kiezen:

Alle krachten zijn hier verticaal. Als we de tweede wet van Newton toepassen volgens de y-richting, dan krijgen we:

De vaas is in rust, dus is de versnelling nul:

FN Fz = m ⋅ ay = 0

⟺ FN = Fz

We vinden dus terug wat we al wisten: de normaalkracht is even groot als de zwaartekracht.

Voorbeeld 2

Twee broers, Jan en Salim, trekken een slee - waar hun zus op zit - met twee touwen voort. Jan trekt met een kracht van 130 N onder een hoek van 34° ten opzichte van de bewegingsrichting van de slee. Salim trekt onder een hoek van 45°. Bereken met welke kracht Salim moet trekken opdat de resulterende kracht volgens de bewegingsrichting ligt. De wrijving mag verwaarloosd worden.

Het is belangrijk om het referentiestelsel goed te kiezen. De x-as wordt volgens de bewegingsrichting gekozen, de y-as staat daar loodrecht op.

Loodrecht op dit vlak werken nog de zwaartekracht #–Fz en de normaalkracht #–FN, welke even groot zijn en elkaar opheffen. We laten deze dus buiten beschouwing.

Het vrij-lichaamsdiagram van de slee ziet er als volgt uit:

Het projecteren van de krachten volgens de x- en de y-as geeft:

F1,x = F1 cos(34°)

F2,x = F2 ⋅ cos(45°)

F1,y = F1 ⋅ sin(34°)

F2,y = F2 sin(45°)

Als we de tweede wet van Newton toepassen volgens beide assen, krijgen we:

F1,x + F2,x = m ⋅ ax

F1,y + F2,y = m ay

De resulterende kracht ligt volgens de x-as. De resulterende kracht heeft dus geen y-component. Dat geeft:

F1,y + F2,y = m ay = 0

⟺ F1 ⋅ sin(34°)+ F2 ⋅ sin(45°)= 0

⟺ F1 sin(34°)= F2 sin(45°)

⟺ F2 = F1 sin(34°) sin(45°) = 130N sin(34°) sin(45°) = 103N

Voorbeeld 3

Twee massa’s zijn verbonden door een massaloos touw. Er wordt een externe kracht #–F uitgeoefend op de rechter massa, waardoor er een spanning in het touw tussen de twee massa’s ontstaat. Beide massa’s schuiven naar rechts over een wrijvingsloos oppervlak met eenzelfde versnelling #–a

Bepaal de formule voor de spankracht in het touw tussen de twee massa’s.

Ook hier werken opnieuw de zwaartekracht #–Fz en de normaalkracht #–FN op de massa’s. Aangezien deze elkaar opheffen, laten we die hier buiten beschouwing.

Het referentiestelsel kiezen is hier een voor de hand liggende keuze. We kiezen de x-as volgens de bewegingsrichting, naar rechts. De krachten liggen volgens de x-as, dus zijn hun projecties even groot als de krachten zelf.

We kunnen hier drie systemen beschouwen:

• enkel m2

• enkel m1

• m1 en m2 samen

We bekijken voor elk systeem het vrij-lichaamsdiagram en passen voor elk systeem de tweede wet van Newton toe. Dit geeft:

enkel m2

enkel m1

1 en m2

Nu zijn er verschillende mogelijkheden om de formule voor de spankracht te bepalen. Het meest evidente is de versnelling uit de laatste vergelijking te halen en deze te substitueren in de eerste vergelijking. We vinden dan voor de spankracht:

Fs = m2 F (m1 + m2 )

Krachtenbalans

Uit de eerste wet van Newton weten we dat een systeem zijn bewegingstoestand behoudt als er geen resulterende kracht inwerkt op het systeem. Zoals we reeds weten, zijn hierbij twee mogelijkheden: het systeem is in rust of het systeem voert een ERB uit.

Als we in dat geval een vrij-lichaamsdiagram tekenen, moet de resulterende kracht volgens elke as van het referentiestelsel nul zijn:

Fi = 0

Omdat we in een vlak werken, geeft dit ons twee voorwaarden: de som van de krachten volgens de x-as moet nul zijn, de som van de krachten volgens de y-as moet nul zijn.

De resulterende kracht moet dus nul zijn volgens de x-richting en volgens de y-richting:

#–Fx = 0 #–Fy = 0

Dit noemen we de krachtenbalans.

Deze krachtenbalans zagen we reeds in het derde jaar in de module Statica van systemen

Als op een systeem geen resulterende kracht werkt, moet voldaan worden aan de krachtenbalans:

Fi = 0

Of in een vlak:

Fx = 0

Fy = 0

3Wrijving

Op aarde is er zo goed als overal wrijving. Wrijving heeft een enorme invloed op de manier waarop we bewegen.

Het was ook de wrijving die het wetenschappers in de loop van de geschiedenis steeds bemoeilijkt heeft om bewegingen te begrijpen. Door experimenten te bedenken waarbij de wrijving minimaal of nihil is, slaagde men er uiteindelijk toch in de bewegingsleer te doorgronden. Zo bedacht Galileo zijn valgeul, die we verder in dit leerboek nog zullen bespreken, en worden tegenwoordig onder andere luchtkussenbanen en vacuümkamers gebruikt om experimenten uit te voeren.

Hier gaan we deze wrijving en de wrijvingskrachten dan ook wat nader bekijken.

We kennen wrijvingskrachten vooral als een kracht die tegenwerkt, zoals de kracht waardoor we een zware kast niet kunnen verschuiven of de kracht waardoor we vertragen als we stoppen met trappen tijdens het fietsen. Waar we echter minder bij stilstaan, is dat we wrijvingskrachten ook nodig hebben. Dankzij deze wrijvingskrachten kunnen we bijvoorbeeld lopen, fietsen en autorijden.

De kracht die ontstaat door wrijving noemen we de wrijvingskracht.

We stellen deze wrijvingskracht voor door #–Fw .

De eenheid van wrijvingskracht is de newton (N).

De wrijvingskracht is altijd tegengesteld aan de beweging of tegengesteld aan de zin waarin we het systeem proberen te bewegen.

We bespreken in wat volgt verschillende soorten wrijvingskrachten.

3.1Soorten wrijvingskrachten

3.1.1Schuifwrijving

Tijdens het bewegen schuiven oppervlakken soms over elkaar. Denk maar aan ski’s, schaatsen of sleeën die over sneeuw of ijs schuiven. Maar ook een autoband schuift tijdens het remmen over het wegdek. De wrijvingskracht die speelt bij deze glijdende wrijving is de schuifwrijvingskracht

In voorgaande voorbeelden bewegen de twee systemen ten opzichte van elkaar. Wrijving werkt echter ook tussen twee systemen die niet bewegen ten opzichte van elkaar.

Wie al eens geprobeerd heeft om een zware zetel te verschuiven, heeft die kracht zeker ervaren. Misschien krijg je de zetel in je eentje niet in beweging en heb je iemands hulp nodig. Voor je de zetel in beweging krijgt, moet je immers de wrijvingskracht overwinnen.

Om de zetel in beweging te krijgen moet je de statische wrijvingskracht overwinnen. Je moet dus een kracht uitoefenen die groter is dan de statische wrijvingskracht. Vanaf het moment dat de zetel begint te schuiven werkt de dynamische wrijvingskracht.

3.1.2Rolwrijving

Heel wat voertuigen maken gebruik van wielen. Deze wielen rollen over het wegdek. Tijdens dat contact vervormt de band rondom het wiel. Op die plaats ontstaat rolweerstand of rolwrijvingskracht

Aquaplaning doet zich voor bij een extreem nat wegdek. Tussen de autobanden en het wegdek komt er dan heel wat water te zitten. Als het profiel van de banden niet diep genoeg is, kan het water onvoldoende afgevoerd worden en ontstaat er een laagje water tussen de banden en het wegdek. Hierdoor vermindert de wrijving en verliest de auto zijn grip, waardoor deze kan slippen en stuurloos wordt. Hoe sneller je rijdt, hoe groter het risico op aquaplaning. De banden hebben dan namelijk niet voldoende tijd om het water af te voeren. Pas je snelheid dus aan bij hevige regenval.

WIST-JE-DAT

3.1.3Vloeistofwrijving: wrijving in een fluïdum

Vloeistofwrijving treedt op wanneer een systeem door een vloeibaar medium, zoals lucht of water, beweegt.

Ook deze wrijving speelt een belangrijke rol in ons dagelijks leven. Je voelt ze als je met een lepel in een kop koffie roert, als je in het zwembad zwemt, als je fietst of als je je aan een parachutesprong waagt.

Vloeistofwrijving, en dan meer specifiek luchtwrijving, is cruciaal bij het ontwerp van auto’s, vliegtuigen en zelfs ruimtetuigen. Bij hoge snelheden hangt de luchtwrijving in belangrijke mate af van de grootte van het frontaal oppervlak.

Dat verklaart waarom een pluim veel meer luchtwrijving ondervindt dan een ronde bal. Om die reden wordt het frontaal oppervlak van voertuigen best zo klein mogelijk gehouden. Snelle auto’s zijn altijd zeer laag, wielrenners maken zich zo klein mogelijk bij het sprinten en vliegtuigen zijn meestal heel gestroomlijnd. En zo zien we ook tal van voorbeelden bij vaartuigen of duikboten

WIST-JE-DAT

In de sportwereld wordt veel onderzoek gedaan om de luchtweerstand tot een minimum te beperken. Zo worden de kuiltjes op golfballen opnieuw ontworpen en wordt er veel aandacht besteed aan de kleding van atleten. Wielrenners, zwemmers en hardlopers dragen vaak volledige bodysuits. De Australische Cathy Freeman (zie foto) droeg bijvoorbeeld een full bodysuit op de Olympische Spelen van 2000 en won de gouden medaille op de 400 m. Ook veel zwemmers tijdens de Olympische Spelen van 2008 droegen een bodysuit. Bovendien scheren de meeste topzwemmers en -wielrenners hun lichaamshaar af. Al deze maatregelen zijn bedoeld om een zo klein mogelijk frontaal oppervlak te bekomen.

Dergelijke innovaties kunnen misschien slechts een verschil van milliseconden maken, maar toch kunnen ze het verschil tussen een gouden of een zilveren medaille betekenen.

© Ian@ThePaperboy.com, CC BY-SA 2.0, via Wikimedia Commons

Een gevolg hiervan is wel dat er voortdurend zorgvuldige en precieze richtlijnen moeten worden vastgelegd om de integriteit van de sport te behouden.

Vloeistofwrijving is van cruciaal belang in heel wat wetenschapsdomeinen, denk maar aan aerodynamica, hydrodynamica of vloeistofmechanica.

3.2Richting, zin en aangrijpingspunt van de wrijvingskracht

De richting, de zin en het aangrijpingspunt van de wrijvingskracht zijn afhankelijk van de situatie. We bespreken enkele voorbeelden.

Tijdens het rijden ondervindt een auto altijd wrijving van het wegdek, wat resulteert in een wrijvingskracht die werkt in de tegengestelde zin als de bewegingszin van de auto.

Op de auto werken dus vier krachten:

• de zwaartekracht #–Fz

• de normaalkracht #–FN

• de motorkracht van de auto #–Fm

• de wrijvingskracht #–Fw

Op een horizontaal oppervlak zijn de zwaartekracht en de normaalkracht altijd even groot. De wrijvingskracht en de motorkracht zijn hier ook even groot, waardoor de resulterende kracht op de auto nul is. De auto rijdt dus aan een constante snelheid.

Deze man probeert een zware rots weg te duwen. Hij krijgt de rots pas in beweging als hij een kracht uitoefent die groter is dan de statische wrijvingskracht. Deze statische wrijvingskracht heeft dezelfde richting als de kracht die de man uitoefent, maar de zin ervan is tegengesteld.

Hoe hard de man ook probeert, hij krijgt de rots niet in beweging.

Deze foto toont Einstein die een bocht neemt met zijn fiets. Einstein rijdt op een cirkel met het middelpunt rechts van hem. Zoals je kan zien aan de krachten, is het fietsen in een bocht een complex gebeuren. De wrijvingskracht verhindert hier dat Einstein zou wegschuiven. Bovendien zorgt de combinatie van de krachten voor een resulterende centripetale kracht, deze is nodig om de bocht te kunnen maken. Merk op dat de zin van de wrijvingskracht hier niet tegengesteld is aan de bewegingszin, maar wel tegengesteld aan de zin waarin het wiel van de fiets zou wegschuiven zonder wrijving.

Astronauten die terugkeren van het ISS trekken kort voor de landing op aarde hun parachute open. Hier werkt natuurlijk de zwaartekracht, maar ook een aanzienlijke wrijving van de lucht. Op de ruimtecapsule werken dus twee krachten: de zwaartekracht #–Fz en de luchtweerstand #–Fw De luchtweerstand is hierbij groter dan de zwaartekracht waardoor de ruimtecapsule afremt.

Deze afbeelding toont een parachutespringer op het moment dat deze zijn maximale valsnelheid bereikt heeft. Op dat moment zijn de wrijvingskracht ten gevolge van de luchtwrijving en de zwaartekracht even groot. De parachutespringer valt verder naar beneden met een constante snelheid, totdat deze zijn parachute opentrekt.

3.3Grootte van de wrijvingskracht

We beperken ons bij de berekening van de grootte van de wrijvingskracht tot de schuifwrijving en de vloeistofwrijving.

3.3.1Schuifwrijving

Statische wrijving

Statische wrijving ontstaat als twee oppervlakken, die tegen elkaar gedrukt worden, een kracht ondervinden langs het oppervlak voor ze in beweging komen.

We hernemen het voorbeeld van de zware zetel die we willen verschuiven. De zetel verschuift pas als je hard genoeg duwt of trekt. Bij een te kleine kracht blijft de zetel gewoon staan.

De kracht #–F wordt dan tegengewerkt door de statische wrijvingskracht #–Fw

Pas als de kracht #–F groot genoeg is, komt de zetel in beweging. Je moet dus een kracht uitoefenen die groter is dan de maximale statische wrijvingskracht:

De grootte van deze #–Fw,max is recht evenredig met de grootte van de normaalkracht #–FN :

Fw,max = μs ⋅ FN

μs is de statische wrijvingscoëfficiënt. Dit is een constante (een getal) die de mate van de wrijving tussen twee oppervlakken weergeeft. Deze constante is afhankelijk van de materialen van beide oppervlakken. Zo zal de zetel net iets makkelijker beginnen te schuiven op een houten vloer dan op een betonnen vloer.

De statische wrijvingscoëfficiënt is de evenredigheidsfactor in de formule voor de maximale statische wrijvingskracht:

Fw,max = μs ⋅ FN

⟺ μs = Fw,max FN

De waarde van de statische wrijvingscoëfficiënt hangt af van de materialen die over elkaar schuiven. Bij een lage statische wrijvingscoëfficiënt is het gemakkelijker om de materialen over elkaar te laten schuiven.

In de formule zien we ook dat deze constante geen eenheid heeft, dit is een onbenoemde constante of dimensieloze grootheid.

De zin van de statische wrijvingskracht is tegengesteld aan de zin van de uitgeoefende kracht.

In de tabel op p. 31 vind je enkele waarden voor de statische wrijvingscoëfficiënt.

WIST-JE-DAT

Het klinkt misschien raar, maar het is dankzij deze statische wrijvingscoëfficiënt dat we kunnen stappen. De statische wrijving verhindert namelijk dat we wegschuiven bij elke stap. Je hebt misschien wel al gemerkt dat je met gladde zolen minder grip hebt. Ook op een houten vloer of in de modder schuif je makkelijker weg. De statische wrijvingscoëfficiënt voor leer op hout bedraagt slechts 0,35, daarom glij je gemakkelijk uit met een leren zool op een houten vloer.

Ook op een wiel dat over een wegdek rolt, werkt de statische wrijvingskracht, zolang het wiel rolt zonder te glijden. Vanaf het moment dat het wiel begint te glijden, speelt de dynamische wrijving.

We bespreken de dynamische wrijving uitgebreid in wat volgt.

Dynamische wrijving

Dynamische wrijving ontstaat wanneer twee oppervlakken over elkaar schuiven. Uit heel wat experimenten is gebleken dat de grootte van de dynamische wrijvingskracht #–Fw recht evenredig is met de grootte van de normaalkracht #–FN

De grootte van de dynamische wrijvingskracht bereken je met deze formule:

Fw = μd FN

μd is de dynamische wrijvingscoëfficiënt. Ook dit is een constante die afhankelijk is van de materialen van beide oppervlakken.

We merken dat de grootte van de dynamische wrijvingskracht onafhankelijk is van de grootte van het contactoppervlak en van de snelheid waarmee de twee oppervlakken over elkaar schuiven. Deze factoren beïnvloeden de dynamische wrijving niet.

De dynamische wrijvingscoëfficiënt is de evenredigheidsfactor in de formule voor de dynamische wrijvingskracht:

⟺

De waarde van de dynamische wrijvingscoëfficiënt hangt af van de materialen die over elkaar schuiven. Bij een lage dynamische wrijvingscoëfficiënt schuiven de materialen gemakkelijker over elkaar.

In de formule zien we ook dat deze constante geen eenheid heeft, dit is een onbenoemde constante of dimensieloze grootheid.

De zin van de dynamische wrijvingskracht is tegengesteld aan de bewegingszin van het systeem.

w (N)

Statische en dynamische wrijvingscoëfficiënten

De grootte van de statische en de dynamische wrijvingscoëfficiënt kan je opzoeken in volgende tabel. De dynamische wrijvingscoëfficiënt is meestal kleiner dan de statische wrijvingscoëfficiënt. MATERIALEN

staal - ijs

staal - staal

hout - sneeuw 0,15 0,050

hout - hout 0,40 0,20

hout - beton 0,62ijs - ijs

0,03

rubber - ijs 0,150,10

rubber - nat asfalt 0,650,60

rubber - droog asfalt 0,950,90

rubber - nat beton 0,600,50

rubber - droog beton 0,95 0,85

glas - glas 0,94 0,40

3.3.2Vloeistofwrijving: wrijving in een fluïdum

Vloeistofwrijving treedt op wanneer een systeem door een vloeibaar medium beweegt, zoals lucht of water.

We onderscheiden hierbij twee hoofdtypen:

wrijving bij laminaire stroming: deze vindt plaats in een vloeistof die soepel beweegt in parallelle lagen. De grootte van de wrijvingskracht is hierbij recht evenredig met de snelheid van het systeem:

Fw = k v

Laminaire stroming treedt voornamelijk op bij lage snelheden en viskeuze (= 'stroperige') media.

Een stofdeeltje in de lucht ondervindt bijvoorbeeld deze vloeistofwrijving.

wrijving bij turbulente stroming: deze vindt plaats in een vloeistof waarin turbulente, chaotische bewegingen van vloeistofdeeltjes plaatsvinden. De grootte van de wrijvingskracht is hier recht evenredig met het kwadraat van de snelheid van het systeem:

Fw = k ⋅ v2

De evenredigheidsconstante k is afhankelijk van heel wat factoren: k = 1 2 ⋅ ρ ⋅ A ⋅ CD

met:

ρ = de dichtheid van het fluïdum (vloeibaar medium)

A = de dwarsdoorsnede (oppervlakte) van het systeem, loodrecht op de stroom van het vloeibaar medium

CD = de weerstandscoëfficiënt

De formule voor deze vloeistofwrijving wordt dus:

Turbulente stroming vindt eerder plaats bij hoge stroomsnelheden en minder viskeuze media.

Het is dus duidelijk dat de vloeistofwrijving groter is bij turbulente stroming (kwadratisch met snelheid) dan bij laminaire stroming (evenredig met snelheid).

laminaire stroming turbulente stroming

Onderstaande tabel bevat enkele typische waarden van de weerstandscoëfficiënt CD

4Verder oefenen?

Begrijpen

Gebruik de tweede wet van Newton om volgend fenomeen te verklaren. Welke grootheid uit de formule blijft constant? Noteer.

“Als je harder trapt op je fiets, versnel je.”

Gebruik de tweede wet van Newton om volgend fenomeen te verklaren. Welke grootheid uit de formule blijft constant? Noteer.

“Een vrachtwagen verbruikt meer brandstof per kilometer dan een personenauto en rijdt dus minder zuinig.”

Gebruik de tweede wet van Newton om volgend fenomeen te verklaren. Welke grootheid uit de formule blijft constant? Noteer.

“Een bowlingbal is lastiger om op te tillen dan een pingpongbal.”

Gebruik de tweede wet van Newton om volgend fenomeen te verklaren. Welke grootheid uit de formule blijft constant? Noteer.

“Een ruimteraket wordt tijdens zijn vlucht lichter gemaakt door ballast weg te gooien, de brandstoftoevoer tijdens de vlucht blijft constant.”

Een voor ons ogenschijnlijk glad voorwerp ondervindt op een ogenschijnlijk gladde ondergrond toch wrijving. Leg uit hoe dat komt.

De definitie van de eenheid newton is als volgt:

Een newton is gedefinieerd als de kracht die nodig is om een massa van één kilogram een versnelling van 1 m s2 te geven:

1N = 1kg m s2

Klopt deze definitie met de wetten van Newton? Leg uit.

Vanop een aanzienlijke hoogte laat men een zandzakje uit de mand van een luchtballon vallen. Na een tijdje valt het zakje met een constante snelheid naar beneden. Verklaar dit verschijnsel.

Als je met een hamer een nagel in een balk slaat, moet je de hamer stevig vasthouden. Op het moment dat je de nagel raakt, voel je een kracht op de hamer. Leg uit hoe dit komt.

Heeft onderstaande stelling iets te maken met de wetten van Newton? Leg uit.

De positieve lading Q1 trekt de negatieve lading Q2 aan en tegelijkertijd trekt de negatieve lading Q2 de positieve lading Q1 aan met een even grote kracht.

Volgens de derde wet van Newton komen krachten altijd per twee voor en treden ze nooit alleen op. Toch kan je geen resultante bepalen van een actie- en een reactiekracht. Waarom is dat? Leg uit.

Toon aan dat de weerstandscoëfficiënt CD bij turbulente vloeistofwrijving geen eenheid heeft.

Toon aan dat zowel de statische wrijvingscoëfficiënt als de dynamische wrijvingscoëfficiënt bij schuifwrijving geen eenheid hebben.

Curling is een teamsport waarbij de spelers een granieten steen over het ijs schuiven en curlingbezems gebruiken om het glijden van de steen te beïnvloeden. Bij curling spelen twee teams tegen elkaar. Elk team van vier spelers krijgt acht stenen die ze in vier concentrische cirkels moeten laten glijden. Curling wordt soms ook ‘schaken op ijs’ genoemd.

Op een bepaald moment glijdt de curlingsteen in een rechte lijn met een constante snelheid over het ijs. Hoe groot is dan de resulterende kracht die op de steen werkt? Duid het juiste antwoord aan.

Die is kleiner dan het gewicht van de steen, maar groter dan nul. Die is nul.

Die is gelijk aan het gewicht van de steen. Die hangt af van de snelheid van de curlingsteen.

Nicolas wil zijn slee voorttrekken in de woonkamer over het parket. Is het makkelijker of moeilijker om de slee in beweging te krijgen dan op sneeuw? Leg uit.

Een blokje ligt op een tafel en krijgt een duw. Wat gebeurt er met het blokje als we ervan uitgaan dat de beweging wrijvingsloos gebeurt? Duid het juiste antwoord aan.

Het blokje schuift verder met een constante versnelling.

Het blokje schuift verder met een afnemende versnelling.

Het blokje vertraagt en komt tot stilstand.

Het blokje schuift verder met een constante snelheid.

Een bol hangt op volgende manier aan een touw tegen de muur. De wrijving tussen de muur en de bol mag je verwaarlozen.

Wat is het vrij-lichaamsdiagram van de bol? Duid het juiste antwoord aan.

De horizontale componenten van de krachten die de banden van de auto op het wegdek uitoefenen, zijn weergegeven in de afbeelding hiernaast. Duid het juiste antwoord aan. We kunnen daaruit besluiten dat:

de auto achterwielaandrijving heeft en de bestuurder remt. de auto achterwielaandrijving heeft en de bestuurder gas geeft. de auto voorwielaandrijving heeft en de bestuurder remt. de auto voorwielaandrijving heeft en de bestuurder gas geeft.

Teken alle krachten die inwerken op de kubus en benoem deze krachten. Teken de nettokracht of resulterende kracht in een andere kleur.

een blok hangt stil een blok hangt stil een blok ligt stil

een blok ligt stil op een helling een blok ligt stil een blok hangt stil

Tijdens een slipcursus schuift een auto over het wegdek. Welke wrijvingskracht speelt hier een rol? Noteer.

Welke stelling is juist?

Een resulterende kracht verschillend van nul veroorzaakt een beweging. Een resulterende kracht verschillend van nul veroorzaakt een verandering van beweging.

Leg je antwoord uit en geef een voorbeeld.

Beschrijf een situatie waarin de resulterende kracht op een systeem niet nul is, maar de grootte van de snelheid constant blijft.

Geef een voorbeeld van een situatie waarbij een systeem een snelheid verschillend van nul heeft, terwijl de resulterende kracht wel nul is.

De versnelling van een systeem is nul. Wil dat zeggen dat er geen externe krachten op het systeem inwerken? Leg uit.

Bekijk de figuur hiernaast. Merk op dat de zwemmer duwt met een zin die tegengesteld is aan die waarin hij wil bewegen. De reactie op zijn duw is dus in de gewenste zin.

Welke wet van Newton is hier van toepassing? Leg uit.

Teken de krachten die inwerken op de zwemmer tijdens het afduwen in een vrij-lichaamsdiagram.

Beredeneer hoe een helikopter erin slaagt om verticaal op te stijgen. Leg uit welke wet van Newton hierbij van toepassing is.

Hoe vliegt een vogel vooruit zonder naar beneden te zakken? De zwaartekracht trekt de vogel toch naar beneden? Leg uit met behulp van de wetten van Newton.

Een papa staat met zijn zoontje van zes op de schaatsbaan. Ze staan met beide handen tegen elkaar en duwen elkaar zo in beweging. Wat kan je zeggen over de versnelling van de papa en zijn zoontje? Verklaar.

In een vliegtuig heb je het gevoel dat je bij het vertrek tegen jouw zetel gedrukt wordt. Leg uit waarom je dit zo waarneemt. Werkt er echt een kracht op jou? Leg uit.

Beschrijf een situatie waarbij een eerste systeem een kracht uitoefent op een tweede en waarbij het eerste systeem als gevolg daarvan een kracht ondervindt die even groot is, maar een tegengestelde zin heeft. Welke wet van Newton is hier van toepassing? Noteer.

Voor een experiment worden in een wagen een heliumballon en een zware bal aan een touw bevestigd, zoals in de tekening hieronder. Leg uit wat er gebeurt met de ballon en de bal op het moment dat de wagen naar rechts versnelt.

Toepassen

Een vogel vliegt met een snelheid van 15 m s door de lucht. De luchtdichtheid bedraagt 1,293 kg m3 . De weerstandscoëfficiënt van de vogel is 0,80 en de vogel heeft een frontaal oppervlak van 50 cm2. Bereken de turbulente luchtwrijvingskracht die de vogel ondervindt.

Als een skiër over de sneeuw glijdt, ondervindt hij zowel schuifwrijving als turbulente luchtwrijving. Op een bepaald moment verdubbelt de skiër zijn snelheid.

Wat gebeurt er met de luchtwrijvingskracht op dat moment? Leg uit.

Wat gebeurt er met de schuifwrijvingskracht op dat moment? Leg uit.

Een man duwt een kar van 4,50 kg, de resulterende kracht op de kar bedraagt hierbij 60,0 N. Bereken de versnelling van de kar.

Welke netto externe kracht wordt uitgeoefend op een artilleriegranaat van 1100 kg die vanaf een slagschip wordt afgevuurd met een versnelling van 2,40 104 m s2 ? Bereken. Hoe groot is de kracht die de artilleriegranaat op het schip uitoefent? Bereken en geef ook zijn richting en zin. Leg ook uit waarom het schip niet in de tegengestelde zin wegvliegt.

In hun baan rond de aarde zijn astronauten gewichtloos. Je kan hun massa dus niet bepalen door ze op een weegschaal te zetten. Het is echter belangrijk om de massa van de astronauten nauwkeurig bij te houden zodat hun diëten tijdig aangepast kunnen worden. Een manier om hun massa te bepalen is om een bekende kracht op de astronaut uit te oefenen en de daardoor ontstane versnelling te meten. Stel dat een resulterende kracht van 50,0 N op de astronaut wordt uitgeoefend. De gemeten versnelling bedraagt 0,893 m s2 Bereken de massa van de astronaut.

Een raketslee versnelt horizontaal met een versnelling van 49,0 m s2 . De passagier heeft een massa van 75,0 kg

Bereken de horizontale component van de kracht die de stoel op het lichaam van de passagier uitoefent. Vergelijk dit met zijn gewicht door een verhouding te gebruiken.

Als we een blokje op een helling van 20° leggen, dan schuift het naar beneden. Door boven op het blokje te duwen kunnen we ervoor zorgen dat het niet begint te glijden.

Bereken de wrijvingscoëfficiënt als je weet dat het blokje een massa heeft van 300 gram en dat de extra duwkracht die we moeten uitoefenen 1,00 N bedraagt. Teken alle inwerkende krachten.

Teken de krachten die inwerken op een blok dat zich in rust op een hellend vlak bevindt. Als je stelt dat het blok net niet begint te schuiven op dit hellend vlak met hellingshoek α, dan kan je uit de krachtenbalans de formule afleiden voor de wrijvingscoëfficiënt in functie van de hellingshoek. Welke formule vind je terug? Noteer.

Een zware bol hangt aan een touw zoals in de figuur weergegeven.

Teken het vrij-lichaamsdiagram van de bol. Bereken de normaalkracht en de spankracht als je weet dat de bol een massa van 10 kg heeft.

Onderstaande grafiek geeft de totale wrijvingskracht weer die inwerkt op een doos die voortgetrokken wordt over de grond. De totale wrijvingskracht bestaat uit zowel schuifwrijving als luchtwrijving.

We zien dat de punten ongeveer op een rechte lijn liggen. Welke grootheid en welke eenheid zouden er volgens jou op de horizontale as moeten staan? Leg uit.

Waarom gaat de rechte niet door de oorsprong? Leg uit.

Hoe zou de grafiek eruitzien als er alleen luchtwrijving zou zijn? Schets een grafiek.

Hoe zou de grafiek eruitzien als er alleen schuifwrijving zou zijn? Schets een grafiek.

Bepaal met behulp van de grafiek de weerstandscoëfficiënt CD van de doos. De doos heeft aan de voorzijde een rechthoek van 0,60 m op 0,89 m

ρlucht = 1,29 kg m3

Rafael Nadal slaat hard op een tennisbal (diameter 6,63 cm), waardoor de tennisbal met een snelheid van 150 km h door de lucht vliegt. De CD-waarde van de tennisbal is 0,15. Bereken de luchtwrijvingskracht die inwerkt op de tennisbal.

ρlucht = 1,29 kg m3

Twee kinderen duwen horizontaal, maar met een tegenovergestelde zin op een derde kind in een wagentje, zoals de houten mannetjes in de afbeelding hiernaast tegen de rots duwen. Het eerste kind oefent een kracht van 75,0 N uit, het tweede kind oefent een kracht van 90,0 N uit. De wrijving bedraagt 12,0 N en de massa van het derde kind plus wagentje is 23,0 kg

Teken de krachten die inwerken op het systeem (kind in wagentje) in een vrijlichaamsdiagram.

Bereken de versnelling.

Wat zou de versnelling zijn als de wrijving 15,0 N bedraagt? Bereken.

Een kaars met een massa van 400 gram wordt opgehangen aan twee touwen, zoals in de figuur weergegeven. Bepaal de grootte van de spankrachten in de touwen.

Een lampion hangt omhoog aan twee kabels. Naarmate we de kabels korter maken, wordt de hoek α groter. Hoe veranderen de spankrachten in de kabels dan? Leg uit aan de hand van een tekening.

Een regendruppel valt - als hij al een tijdje aan het vallen is - met een constante snelheid naar beneden. Toon aan dat die constante snelheid te berekenen is met volgende formule (je mag ervan uitgaan dat de regendruppel bolvormig is):

Amir wil lampen ophangen voor een feestje. Zijn tuin is rechthoekig van vorm en omringd door muren. De muren staan 5,0 m en 10 m van elkaar. Amir twijfelt tussen verschillende opstellingen, hij wil dat de spankrachten in de touwen zo klein mogelijk zijn. Op onderstaande figuren staan de verschillende mogelijkheden. Welke opstelling moet hij kiezen? Bereken.

Als je al eens gefascineerd naar een spinnenweb hebt staan kijken, dan was dat zeker terecht. Zo volgt een kruisspin een heel stappenplan bij het bouwen van haar web.

De spin laat een eerste draad met de wind meewaaien (draad 1), spant dan een tweede draad (draad 2) langs de eerste en precies in het midden van de tweede draad start de spin een derde draad (draad 3), waarmee ze richting de grond gaat. Draad 2 wordt daardoor geplooid en er vormt zich een hoek van ongeveer 110°

Door de massa van de spin (gemiddeld 75 mg), worden de draden op dat moment opgespannen.

Bereken de spankrachten in de tweede draad. De draden van het web zijn heel sterk, maar kunnen toch maximaal een spankracht van 94 10 4 N verdragen. Bereken hoe groot de hoek α maximaal mag zijn zonder dat de draad knapt.

Mara wil een zware lamp (m = 10 kg) ophangen. Ze doet dat zoals weergegeven in de figuur. Het linker touw maakt een hoek van 30° met de muur. Het rechter touw is horizontaal gespannen. Bereken de spankracht in het linker touw.

Twee identieke ijzeren bollen zijn opgehangen aan een touw dat over twee vaste katrollen hangt. Hoe groot is de spankracht in het touw? Bereken. De wrijvingskracht mag verwaarloosd worden.

Duid het juiste antwoord aan.

23

Welke van onderstaande stellingen over de grootte van de spankrachten in de figuur hiernaast is correct? Duid het juiste antwoord aan.

FAB > FBC

FBC > FAB

FAB = FBC < FBD

FAB = FBC = FBD

Twee blokken met massa’s m1 en m2 liggen tegen elkaar op een vlakke ondergrond. Blok 1 is twee keer zo zwaar als blok 2

Door langs links een kracht #–Flinks uit te oefenen, komen beide blokken in beweging. De kracht die blok 1 dan op blok 2 uitoefent, bedraagt 4,0 N

Door langs rechts een even grote kracht #–Frechts uit te oefenen, komen beide blokken ook in beweging. Duid het juiste antwoord aan. De kracht die blok 2 dan op blok 1 uitoefent, bedraagt:

2 N

4 N

8 N niet te berekenen met deze gegevens

Een blok met een massa van 2,0 kg en een tweede blok met een massa van 10,0 kg liggen tegen elkaar op een horizontaal oppervlak. Er wordt een kracht #–F van 36 N op het blok van 2,0 kg uitgeoefend, waardoor beide blokken wrijvingsloos naar rechts schuiven. Bereken de kracht die het blok van 2,0 kg uitoefent op het blok van 10,0 kg. Duid het juiste antwoord aan.

6,0 N

7,2 N

30 N

36 N

Vier identieke blokken, verbonden door een touw, worden wrijvingsloos voortgetrokken over een horizontaal oppervlak. Ze worden versneld door een resulterende kracht #–F

Sofia heeft drie houten blokken aan elkaar bevestigd door middel van een touw. De houten blokken hebben een massa van respectievelijk 300 g (m1), 400 g (m2) en 200 g (m3).

Ze trekt de blokken wrijvingsloos vooruit over een horizontaal oppervlak met een kracht van 12,0 N. Bereken de spankracht in elk stukje touw. Bereken ook de versnelling.

De spankracht in het rechter touw is 50 N. Bepaal de massa van de kubus.

Jamel trekt zijn zusje naar achteren op een schommel en houdt haar dan stil in deze positie. De richting waarin de spierkracht wordt uitgeoefend, is telkens op de figuur weergegeven. In welk van de twee onderstaande gevallen moet hij de grootste spierkracht uitoefenen? Leg uit.

Een wagentje wordt versneld door een massa van 0,500 kg die via een touw aan het wagentje bevestigd is. Het touw loopt wrijvingsloos over een katrol, de spankracht in het touw bedraagt 1,5 N. Bereken de massa en de versnelling van het wagentje.

Twee blokken met massa’s van respectievelijk 9,0 kg en 6,0 kg liggen tegen elkaar zoals op onderstaande tekening.

m1

m2

Op het linkse blok wordt een horizontale kracht van 63,0 N uitgeoefend. De wrijving is verwaarloosbaar.

Bereken de kracht die het linkse blok op het rechtse blok uitoefent. Bereken de versnelling van beide blokken.

Een schoolbord van 60,0 kg is opgehangen aan twee kabels zoals in onderstaande figuur weergegeven. De kabels maken een hoek van 30° met de horizontale. Bereken de spankracht in elk van de kabels.

Twee blokken met massa’s m1 en m2 liggen tegen elkaar op een vlakke ondergrond. Blok 1 is twee keer zo zwaar als blok 2.

Door langs links een kracht #–Flinks uit te oefenen, komen beide blokken in beweging. De kracht die blok 1 dan op blok 2 uitoefent, bedraagt 4,0 N.

Hoe groot is #–Flinks ? Bereken.

Een dappere, maar verliezende rugbyspeler wordt naar achteren geduwd door een tegenstander die een kracht van 800 N op hem uitoefent. De massa van de verliezende speler plus uitrusting bedraagt 90,0 kg en zijn versnelling is 1,20 m s2

Wat is de wrijvingskracht tussen de voeten van de verliezende speler en het gras? Bereken, maak een vrij-lichaamsdiagram en schrijf de nettokrachtvergelijking. Welke kracht oefent de winnende speler uit op de grond om vooruit te komen als zijn massa plus uitrusting 110 kg bedraagt? Bereken, maak een vrij-lichaamsdiagram en schrijf de nettokrachtvergelijking.

Een verpleger duwt een kar met materiaal. Zijn massa bedraagt 65,0 kg, de massa van de kar is 12,0 kg en de massa van het materiaal bedraagt 7,0 kg

systeem 1

2

Bereken de versnelling die wordt geproduceerd als de verpleger een achterwaartse kracht van 150 N op de vloer uitoefent. Alle krachten die de beweging tegenwerken, zoals de wrijving op de wielen van de kar en de luchtweerstand, bedragen samen in totaal 24,0 N. Bereken de kracht waarmee de verpleger tegen de kar duwt.

Via een vaste katrol is een wagentje van 5,0 kg (m1) met een massa van 7,5 kg (m2) verbonden.

Bereken de spankracht in het touw. Bereken de versnelling.

Je mag ervan uitgaan dat er geen wrijvingskrachten spelen en dat de massa van het touw verwaarloosbaar is.

Bereken de versnelling van het wagentje in de volgende figuur. De wrijving is te verwaarlozen.

Duid het juiste antwoord aan.

Een krachtige motorfiets rijdt 90 km h en kan een versnelling van 3,50 m s2 produceren. Bij die snelheid zijn de krachten die weerstand bieden aan de beweging, inclusief wrijving met het wegdek en luchtweerstand, in totaal gelijk aan 400 N. Wat is de grootte van de kracht die de motorfiets op de grond uitoefent om zijn versnelling te produceren als de massa van de motorfiets en berijder samen 245 kg is? Bereken.

Een student doet een onderzoek met onderstaande opstelling. Hij laat eerst een wagentje met massa m versnellen en neemt daarna een wagentje met massa 2m en herhaalt het experiment. Je mag ervan uitgaan dat het experiment wrijvingsloos gebeurt. Welk verband vindt hij tussen de twee versnellingen?

Duid het juiste antwoord aan.

mblokje

mblokje

Twee blokken zijn op elkaar gestapeld. Op het onderste blok wordt een kracht uitgeoefend waardoor de twee blokken wrijvingsloos over het horizontale oppervlak glijden. Op dat moment blijft het bovenste blok liggen omdat er tussen de twee blokken een wrijvingscoëfficiënt μ werkt, behalve als de versnelling te groot wordt. Hoe groot mag deze versnelling maximaal zijn?

Bereken en duid het juiste antwoord aan. a = μ ⋅

Een kracht van 8,00 N geeft aan een eerste massa een versnelling van 18,0 m s2 . Dezelfde kracht geeft aan een tweede massa een versnelling van 6,00 m s2 . De twee massa’s worden nu aan elkaar bevestigd. Welke versnelling geeft de kracht aan deze totale massa? Bereken.

Analyseren

De derde wet van Newton wordt ook wel de wet van actie en reactie genoemd. De wet gaat immers over interacties tussen twee systemen waarbij deze gelijktijdig een even grote, maar tegengestelde kracht op elkaar uitoefenen.

Voer volgend experiment uit en verklaar wat je waarneemt. Geef hierbij de richting, de zin, de grootte en het aangrijpingspunt van de krachten.

Bevestig twee verschillende dynamometers aan elkaar. Neem één van de dynamometers vast en laat de andere door een medeleerling vasthouden. Trek vervolgens elk aan jullie respectievelijke dynamometer.

Wat neem je waar? Noteer.

Wat kan je zeggen over het aangrijpingspunt van de krachten? Bespreek.

Via de QR-code vind je een filmpje waarin twee jonge kinderen hetzelfde experiment uitvoeren.

Nadat Andria Rogava, een astrofysicus uit Georgië, ontdekte dat hij bijzondere torens kon bouwen met tennisballen, werd dit zijn obsessie. Andria bouwde allerlei torens, torens die op het eerste gezicht onmogelijk te bouwen zijn.

Bekijk bijvoorbeeld via de QR-code een toren, gemaakt van 25 tennisballen.

Als je goed naar deze toren kijkt, dan zou je denken dat de buitenste ballen zouden vallen. Dit is echter niet het geval.

Rogava probeerde torens te bouwen met steeds meer tennisballen en zijn torens hielden steeds stand. Hij bouwde zo torens met 3 N + 1 tennisballen (drie tennisballen per laag en eentje bovenaan).

Probeer zelf eens dergelijke hoge toren te bouwen volgens dit principe. Hoeveel lagen bevat jouw toren?

De reden waarom dergelijke toren blijft staan, is te vinden bij de wrijvingskracht. Leg dit uit.

Je kan ook andere modellen van torens bouwen, ook daar werkt de wrijvingskracht. Via de QR-code vind je nog een indrukwekkend voorbeeld. Kan jij een toren met een nog origineler model bouwen? Probeer eens.

Jullie kennen Leonardo da Vinci vast van zijn ‘Mona Lisa’, maar da Vinci was naast schilder ook nog uitvinder, ingenieur, filosoof, natuurkundige, scheikundige, architect, anatomist, beeldhouwer en schrijver.

Op het einde van de 15de eeuw raakte hij geboeid door de wrijving. Hij deed een onderzoek waarbij hij rechthoekige blokjes van verschillende materialen over een tafel trok en telkens de benodigde kracht mat.

Zijn conclusie was de volgende:

De wrijving neemt toe naarmate de blokjes zwaarder zijn.

Het maakt voor de wrijving niet uit of het rechthoekig blokje rechtop staat of op zijn kant ligt.

Maar had dit genie uit de Italiaanse renaissance het bij het juiste eind?

Bedenk een experiment waarmee je de stellingen van Leonardo da Vinci kan testen.

Tippy top

Op deze foto kijken de natuurkundigen Niels Bohr en Wolfgang Pauli gefascineerd naar de ‘tippy top’, ook wel ‘tippe top’ genoemd, de omkeertol. Bekijk via de QR-code een filmpje als je wil zien hoe de tippe top roteert en waarom deze twee topwetenschappers er zo door gefascineerd zijn.

Kan jij het gedrag van dit tolletje verklaren? Bespreek. De wrijving speelt hierbij een belangrijke rol.

Als je graag zelf zo’n tol wil, dan kan je die 3D-printen of online kopen.

Een studente onderzoekt de wrijving van verschillende materialen met hun ondergrond. Ze heeft daarvoor drie blokken met dezelfde vorm ter beschikking. De blokken zijn vervaardigd uit een verschillend materiaal.

De studente voert volgende experimenten uit (je kan dit experiment eventueel ook zelf uitvoeren):

Ze legt blok A op blok B en duwt deze vooruit terwijl ze op een houten plank liggen. De kracht die ze daarvoor nodig heeft, is 15 N

Ze legt blok B op blok A en duwt deze vooruit terwijl ze op dezelfde houten plank liggen. De kracht die ze daarvoor nodig heeft, is 19 N

Ze legt blok A en blok C op een schuine helling (die ze maakt met dezelfde houten plank). Beide blokken blijven in eerste instantie liggen, maar als ze de hellingshoek vergroot, schuift blok A naar beneden wanneer blok C nog blijft liggen.

Op basis van deze experimenten besluit ze het volgende over de wrijvingscoëfficiënten van de blokken, duid het juiste antwoord aan:

Experimentele bepaling van de statische wrijvingscoëfficiënt

Als je een blok op een schuine helling plaatst, dan zal die ofwel blijven liggen, ofwel naar beneden schuiven.

Door de hellingshoek van de helling, waar het blok op ligt, steeds te vergroten kunnen we de hellingshoek bepalen waarbij het blok net begint te schuiven.

Bedenk op basis van dit idee een experiment waarmee je de statische wrijvingscoëfficiënt die werkzaam is tussen het blok en de helling kan bepalen.

Bij dit experiment is het belangrijk dat je over een hellend vlak beschikt waarvan de helling aanpasbaar is. Eventueel kan je zelf een opstelling bedenken waarbij je de helling kan aanpassen.

Open de applet via de QR-code. Druk op de knop rechtsonder om de bus te laten vertrekken of te doen stoppen. Met de schuifbalk onderaan kan je de snelheid van de bus aanpassen. Verklaar, zowel bij het vertrekken als bij het stoppen van de bus, wat er gebeurt met de heliumballon, de zware bal aan het touwtje en de vrouw in de bureaustoel op wieltjes.

Open de applet via de QR-code en gebruik deze om een experiment te bedenken om de wrijving te onderzoeken. Voer het experiment uit.

Open de applet via de QR-code en gebruik deze applet om het verband tussen kracht, versnelling en massa te onderzoeken.

Doe de proef zonder wrijving.

Door de massa constant te houden kan je het verband tussen kracht en versnelling onderzoeken.

Kies daarvoor een constante totale massa (massa wagen + massa aandrijfblok).

Bereken telkens de grootte van de aandrijfkracht F en lees de grootte van de versnelling a af.

Zoek het verband tussen F en a. Wat kan je besluiten? Noteer.

Door de aandrijfmassa en dus de aandrijfkracht constant te houden kan je het verband tussen de massa en de versnelling onderzoeken.

Kies daarvoor een constante massa voor het aandrijfblok.

Bereken voor verschillende massa’s van het wagentje de totale massa en lees telkens de versnelling af.

Zoek het verband tussen m en a. Wat kan je besluiten? Noteer.

Wat kan je besluiten uit a en b ? Noteer.

Open de applet via de QR-code en gebruik deze om een experiment te bedenken om de derde wet van Newton te onderzoeken. Voer het experiment uit.

Waarom is ijs glad?

Als je een fysicus vraagt naar de reden waarom ijs glad is, dan is dat zelfs voor die wetenschapper een moeilijke vraag. Tot voor kort dacht men dat ijs glad is omdat er als het ware een laagje water op het ijs zou liggen. Schaatsers zouden dankzij de druk het ijs plaatselijk laten smelten en zo wat dieper in het ijs doordringen, waardoor ze grip op het gladde ijs krijgen.

Recent onderzoek heeft echter uitgewezen dat de reden toch wat anders ligt.

Als water bevriest, dan vormt het een kristalrooster. In dit kristalrooster ligt elke watermolecule op een vaste, stabiele plaats en is hij verbonden met andere

watermoleculen rondom hem. De watermoleculen op de buitenste laag kunnen echter enkel aan de onderkant met andere watermoleculen binden. Recent onderzoek heeft uitgewezen dat er op het ijsoppervlak twee soorten watermoleculen liggen: watermoleculen die gebonden zijn aan het onderliggende ijs (gebonden met drie waterstofbruggen) en watermoleculen die slechts met twee waterstofbruggen verbonden zijn. Het zijn deze laatste watermoleculen die de gladheid van ijs verklaren, ze rollen namelijk voortdurend over het ijs; het is bijna alsof je over een vloer bezaaid met knikkers zou lopen.

Scan de QR-code als je hier meer over wil weten.

Onderzoekers bestudeerden hoe de dynamische wrijvingscoëfficiënt μd van staal op ijs afhangt van de temperatuur. Dit deden ze door een minischaats met een lengte van 5 mm voort te trekken aan een constante snelheid

van 0,38 mm s , terwijl ze er een verticale kracht van 2,5 N op uitoefenen. De gemeten dynamische wrijvingscoëfficiënt in functie van de temperatuur is voorgesteld in onderstaande grafiek.

( °C) μd,staal-ijs

Welk verband bestaat er tussen de dynamische wrijvingscoëfficiënt, de normaalkracht en de wrijvingskracht? Noteer.

Bovenstaande grafiek geeft het verband weer tussen de dynamische wrijvingscoëfficiënt van staal op ijs en de temperatuur. Wat kan je afleiden uit deze grafiek? Bespreek.

We zagen al dat er op het ijsoppervlak twee soorten watermoleculen liggen: sterk gebonden watermoleculen en mobiele watermoleculen. Deze twee soorten watermoleculen kunnen in elkaar omgezet worden. Leg aan de hand van de grafiek uit wat er gebeurt met deze watermoleculen als de temperatuur daalt. Welk type watermolecule neemt de overhand bij zeer lage temperaturen? Kan je dit verklaren? Bespreek.

Bepaal de wrijvingskracht bij –80 °C.

Als we inzoomen op het rechter deel van de grafiek, dan zien we hoe de dynamische wrijvingscoëfficiënt zich gedraagt bij temperaturen dicht bij de 0 °C

) μd,staal-ijs

Bij welke temperatuur (bij benadering) is de wrijvingskracht het kleinst? Lees af in de grafiek hierboven.

Uit deze grafiek kan je dus makkelijk inzien dat –7 °C à –8 °C de ideale temperatuur is voor ijsbanen en schaatspistes. Dan is de wrijving namelijk het kleinst en zal je dus het best glijden.

De reden waarom de wrijving opnieuw toeneemt bij toenemende temperatuur moeten we zoeken bij de hardheid van ijs. De wetenschappers onderzochten de penetratiehardheid van ijs als functie van de temperatuur. Het resultaat is te zien in onderstaande grafiek.

penetratiehardheid(MPa)

De penetratiehardheid van ijs daalt lineair met een toenemende temperatuur. Boven de –1,5°C daalt de hardheid echter plots naar nul.

f

Bij temperaturen boven de –1,5 °C neemt de wrijving dus sterk toe. Leg dit uit.

Nu weet je dus ook waarom je bij temperaturen tussen –7 °C en 0 °C minder goed glijdt op ijs: de mobiele watermoleculen op het ijsoppervlak nemen weliswaar toe, maar de hardheid van het ijs neemt ook af, waardoor glijdende voorwerpen zich dieper in het ijs graven en zo meer wrijving ondervinden.

STUDIEWIJZER

Ik kan de drie wetten van Newton beschrijven.

paginanummer

p. 11-18

Ik kan de invloed van krachten op de bewegingstoestand van een systeem analyseren en kwantificeren. p. 11-23

Ik kan de eerste wet van Newton (traagheidswet) illustreren en bespreken in enkele alledaagse situaties: het gebruik van een autogordel, vastbinden van lading in een verhuiswagen, het gebruiken van de voor- en achterrem bij een fiets …

Ik weet dat de massa van een systeem een maat is voor de traagheid (inertie) van dat systeem.

p. 12-14

Ik kan dit verduidelijken met behulp van de tweede wet van Newton. p. 14-17

Ik kan aan de hand van een vectoriële voorstelling het verband bespreken tussen de versnellingsvector en de verandering van de bewegingstoestand (snelheid) van een systeem. p. 14-17

Ik kan aan de hand van de tweede wet van Newton uitleggen dat als de resulterende kracht niet constant is, de versnelling van het systeem ook niet constant is. p. 14-17

Ik begrijp dat de derde wet van Newton gaat over krachten die op een verschillend systeem inwerken. De krachten zijn even groot, maar hebben een tegengestelde zin.

Ik begrijp dat door een verschillende massa het effect van de actie- en reactiekrachten bij de derde wet van Newton een verschillende versnelling kunnen veroorzaken.

Ik kan de derde wet van Newton gebruiken om enkele alledaagse situaties, zoals wandelen, zwemmen, de voorstuwing van een raket … te verklaren.

Ik kan krachten vectorieel samenstellen en de resulterende kracht bepalen.

Ik kan het effect van inwerkende krachten op de bewegingsverandering van een systeem verklaren en kwantificeren aan de hand van de drie wetten van Newton. Ik kan hierbij eventueel gebruik maken van een vrij-lichaamsdiagram.

Ik kan de invloed van de wrijvingskracht op een systeem beschrijven.

p. 17-18

p. 17-18

p. 17-18

p. 14-17, p. 18-23

p. 11-23

p. 24-32

Inhoud

en tijdstip

1.6.1Gemiddelde snelheid

1.6.2Ogenblikkelijke snelheid

1.7Versnelling

1.7.1Gemiddelde

1.7.2Ogenblikkelijke versnelling

3.1.1De ERB: onderzoek

3.1.2De ERB:

3.1.3De ERB: grafieken

3.1.4De ERB: krachten

3.2De eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging

3.2.1De EVRB: onderzoek

3.2.2De EVRB: formules

3.2.3De EVRB: samengevat

3.2.4De EVRB: grafieken

3.2.5De EVRB: krachten

3.3De valbeweging

3.3.1De vrije val (zonder beginsnelheid)

3.3.2De verticale worp

3.4De val met wrijving (in een fluïdum)

3.4.1De val met wrijving: grafieken

3.4.2De val met wrijving: krachten

1Kinematica in één dimensie

De kinematica beschrijft bewegingen zonder naar de oorzaak van die bewegingen te kijken. Hierbij staan de positie, snelheid en versnelling van het bewegend systeem, en hun evolutie in de tijd, centraal.

Bekijk via de QR-code hoe ééndimensionale kinematica een cruciale rol speelt in de lancering en landing van een SpaceX-raket. Je ziet er hoe positie, snelheid en versnelling worden geëvalueerd om de SpaceX-raket in staat te stellen om een zachte verticale landing te maken.

Bij een ééndimensionale beweging gebeurt de beweging langs een rechte. We kiezen de x-as volgens deze rechte, de beweging gebeurt dan volgens de x-as.

We bekijken het bewegend systeem als een bewegende puntmassa.

Eerst definiëren en herhalen we enkele begrippen. Daarna bekijken we de dynamica en enkele specifieke ééndimensionale bewegingen. Naargelang deze bewegingen een constante of veranderlijke snelheid of versnelling hebben, krijgen deze bewegingen ook een typische naam.

1.1Baan

Het systeem is in beweging en beschrijft een baan op de x-as.

De baan is de verzameling van alle opeenvolgende posities die een systeem in beweging inneemt.

1.2Positie en tijdstip

De positie is waar het systeem zich bevindt.

We kunnen een beweging beschrijven door op ieder tijdstip de positie van het systeem te geven.

De positie is een vectoriële grootheid en wordt meestal aangeduid door de plaatsvector of positievector #–r

De plaatsvector #–r geeft de positie van een systeem, ten opzichte van een gekozen oorsprong O, op tijdstip t weer.

Bij een ééndimensionale beweging ligt de positievector op de x-as en is de x-component van de positievector gelijk aan de x-coördinaat van de positie, dus is:

Een ééndimensionale beweging kunnen we beschrijven aan de hand van een (x,t)-tabel of met behulp van een x(t)-grafiek. De (x,t)-tabel geeft ons een beperkt aantal posities. Een x(t)-grafiek geeft duidelijk weer wat er tijdens een rechtlijnige beweging gebeurt.

t (s) x (m)

0,0 0,00

0,5 4,00

1,0 5,00

1,5 4,50

2,0 4,00

2,5 5,02

3,0 9,02

3,5 17,55 x (t )-grafiek

GROOTHEID EENHEID

NAAMSYMBOOLNAAMSYMBOOL positie (in één dimensie)

De positiefunctie

tijdstip t seconde s

Bovenstaande grafiek geeft de positie in functie van de tijd weer. Als we de formule geven die de grafiek beschrijft, geven we ook alle informatie over de beweging. In de wiskunde noemen we deze formule het functievoorschrift.

In dit voorbeeld is dat het functievoorschrift voor de positie: f(x) = 2 ⋅ x3 – 9 ⋅ x2 + 12 ⋅ x

In de fysica schrijven we dat dan als volgt:

We gaan er hierbij steeds vanuit dat alle grootheden die in deze functie voorkomen in hun SI-eenheden (hoofdeenheden) worden uitgedrukt. In dat geval noteren we de eenheden niet in de berekeningen. x

Met behulp van deze positiefunctie (ook wel plaatsfunctie genoemd) kunnen we op elk tijdstip de positie van het systeem bepalen:

x(0) = 2 ⋅ 03 – 9 ⋅ 02 + 12 ⋅ 0 = 0

dus de positie op t = 0 s is x = 0 m

x(2) = 2 23 – 9 22 + 12 2 = 16 – 36 + 24 = 4 dus de positie op t = 2 s is x = 4 m

Als we de grafiek bekijken, kunnen we de beweging ook beschrijven: tussen 0 s en 1 s beweegt het systeem in de positieve zin van de x-as. Op 1 s staat het even stil, tussen 1 s en 2 s beweegt het in de negatieve zin van de x-as, op 2 s staat het weer even stil en na 2 s beweegt het systeem opnieuw in de positieve zin van de x-as.

Op 1 s en 2 s verandert dus de bewegingszin. Als het systeem een auto is, kan de auto zich op die momenten draaien of de auto kan tussen 1 s en 2 s achteruit rijden.

1.3Verplaatsing

De verplaatsing in een tijdsverloop Δt is de verandering van de positie in dat tijdsverloop:

Als de puntmassa in één dimensie van positie verandert, ondergaat het een verplaatsing ten opzichte van de x-as.

In één dimensie gebeurt de verplaatsing dus volgens de x-as:

De verplaatsing in een tijdsverloop Δt in één dimensie is de verandering van de positie in dat tijdsverloop:

De grootte van de verplaatsing berekenen we als volgt: Δ

Δx is positief als het systeem beweegt in de positieve zin van de x-as.

Δx is negatief als het systeem beweegt in de negatieve zin van de x-as.

1.4Afgelegde weg

De afgelegde weg ∆s is de afstand die het systeem in een tijdsverloop ∆t langs de baan aflegt.

Δs is een scalaire grootheid en is altijd positief.

Afgelegde weg en verplaatsing zijn dus totaal verschillend.

Als je aan de kust bijvoorbeeld een stuk dijk afstapt, leg je bijvoorbeeld 1 km af. Dan is jouw afgelegde weg 1 km en is ook jouw verplaatsing 1 km

Stap je diezelfde dijk af, maar keer je daarna terug naar waar je vertrokken bent, dan heb je 2 km afgelegd. De afgelegde weg is dan 2 km, maar aangezien je weer staat waar je vertrokken bent, is jouw verplaatsing 0 km

GROOTHEID

afgelegde weg Δs meter m

1.5Tijdsverloop

Het tijdsverloop Δt is de tijd die nodig is om de afgelegde weg te doorlopen: Δt = t2

Het tijdsverloop kan nooit negatief zijn, want t1 is altijd kleiner dan t2

GROOTHEID

tijdsverloop Δt seconde s

1.6Snelheid

1.6.1Gemiddelde snelheid

De snelheid is een vectoriële grootheid en heeft een richting, grootte, zin en aangrijpingspunt.

We onderscheiden twee soorten snelheden: de gemiddelde snelheid en de ogenblikkelijke snelheid.

De gemiddelde snelheid hoort bij een tijdsduur, de ogenblikkelijke snelheid hoort bij een tijdstip.

Als een systeem in een bepaalde tijd een bepaalde verplaatsing aflegt, dan is de gemiddelde snelheid de constante snelheid die het systeem moet hebben om in die tijd die verplaatsing te maken.

De gemiddelde snelheidsvector #–vg in het tijdsinterval Δt is:

Voor een ééndimensionale beweging is de gemiddelde snelheidsvector volgens de x-as gericht:

De gemiddelde snelheidsvector #–vg,x voor een ééndimensionale beweging in het tijdsinterval Δt is:

De grootte van de gemiddelde snelheidsvector in één dimensie wordt gegeven door:

gemiddelde snelheid (in één dimensie)

De gemiddelde snelheid vg,x is positief als de beweging gebeurt in de positieve zin van de x-as.

De gemiddelde snelheid vg,x is negatief als de beweging gebeurt in de negatieve zin van de x-as.

In de x(t)-grafiek is de gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [t1, t2] gelijk aan de richtingscoëfficiënt (helling) van de verbindingslijn (hier de rode lijn) tussen de twee punten van de grafiek die overeenkomen met het tijdsinterval [t1, t2]. x (t )-grafiek

t1 , x1 )

De gemiddelde snelheid geeft ons enkel een globaal beeld van de snelheid. Naarmate we de gemiddelde snelheid berekenen over een steeds korter tijdsinterval, krijgen we een meer nauwkeurige benadering van de snelheid.

Dat doen we door de ogenblikkelijke snelheid te berekenen.

1.6.2 Ogenblikkelijke snelheid

De ogenblikkelijke snelheidsvector #–v (t) op een ogenblik t vinden we door het tijdsinterval Δt heel klein te laten worden:

De ogenblikkelijke snelheidsvector wordt vaak kortweg de snelheidsvector genoemd.

In één dimensie is de ogenblikkelijke snelheidsvector volgens de x-as gericht:

v = #–vx

De ogenblikkelijke snelheid vx is dan de grootte van de snelheid op een bepaald ogenblik. Een ogenblik is ‘een oneindig kort tijdsinterval’.

De ogenblikkelijke snelheid vx op een tijdstip t is dus de verhouding Δx Δt rond het tijdstip t, waarbij je Δt zo klein mogelijk maakt.

In één dimensie is de ogenblikkelijke snelheidsvector op het ogenblik t gelijk aan:

(t)= lim

Wat overeenkomt met de afgeleide van #–x naar t.

De grootte van de ogenblikkelijke snelheid wordt dan gegeven door: v

vx(t) is een functie die de snelheid in functie van de tijd weergeeft en wordt dan ook de snelheidsfunctie genoemd.

ogenblikkelijke snelheid (in één dimensie)

In de x(t)-grafiek is de ogenblikkelijke snelheid op het ogenblik t1 gelijk aan de helling van de raaklijn (hier de blauwe lijn) aan de x(t)-grafiek in het punt t1.

x (t )-grafiek

x (m)

De snelheidsfunctie

We kunnen de ogenblikkelijke snelheid ook grafisch voorstellen.

Het afleiden van de positiefunctie x(t) geeft de snelheidsfunctie vx(t), het functievoorschrift voor de grafische voorstelling van de ogenblikkelijke snelheid.

In ons eerdere voorbeeld van de positiefunctie geeft dat:

vx (t)= dx dt = d(2 t3 9 t2 + 12 t) dt = 6 t2 18 t + 12

Het functievoorschrift voor de snelheid in ons voorbeeld is dus:

f (x) = 6 ⋅ x2 – 18 ⋅ x + 12

In de fysica schrijven we dat dan als volgt:

vx(t) = 6 ⋅ t2 – 18 ⋅ t + 12

We noemen dit dan de snelheidsfunctie.

De snelheid van de beweging met positiefunctie x(t) = 2 ⋅ t3 – 9 ⋅ t2 + 12 ⋅ t verandert dus als volgt:

vx m s

v x (t )-grafiek t (s)

Bovenstaande grafiek geeft de snelheid van de beweging in functie van de tijd weer.

Door de snelheidsfunctie te geven, geven we alle informatie over de snelheid van de beweging.

Door een tijdstip t in te vullen, kunnen we telkens de overeenkomstige snelheid vx berekenen. De afspraak is ook hier dat we daarbij alles in hoofdeenheden noteren en deze eenheden niet noteren in berekeningen.

Dus:

vx(t) = 6 ⋅ t2 – 18 ⋅ t + 12

vx(0) = 6 ⋅ 02 – 18 ⋅ 0 + 12 = 12

vx(2) = 6 ⋅ 22 – 18 ⋅ 2 + 12 = 24 – 36 + 12 = 0

1.7Versnelling

dus de snelheid op t = 0 s is 12 m s

dus de snelheid op t = 2 s is 0 m s

We spreken van versnelling als de snelheid van een systeem verandert.

In één dimensie zijn er volgende twee mogelijkheden voor een snelheidsverandering:

1 Als de grootte van de snelheid toeneemt, dan versnelt het systeem.

2 Als de grootte van de snelheid afneemt, dan vertraagt het systeem.

De versnelling is een vectoriële grootheid: ze heeft een grootte, richting, zin en aangrijpingspunt.

We stellen de versnellingsvector voor door het symbool #–a

De grootte van de versnelling stellen we voor door a.

WIST-JE-DAT

Het symbool a van versnelling komt van het Latijn voor 'versnelling': acceleratio

We noemen a de versnelling bij een versnelde beweging, maar ook bij een vertraagde beweging.

De versnelling kan constant zijn, maar kan ook veranderen in de tijd.

In onderstaand voorbeeld is de versnelling van de auto constant.

Voorbeeld

We onderscheiden, net als bij de snelheid, twee soorten versnellingen: de gemiddelde versnelling en de ogenblikkelijke versnelling. De gemiddelde versnelling hoort bij een tijdsduur, de ogenblikkelijke versnelling hoort bij een tijdstip.

1.7.1Gemiddelde versnelling

De gemiddelde versnellingsvector #–ag in het tijdsinterval Δt is:

ag = # –Δv Δt = #–v 2 #–v 1 t2 t1

waarbij: #–v 1 = de snelheidsvector van het systeem op tijdstip t1

v 2 = de snelheidsvector van het systeem op tijdstip t2

Voor een ééndimensionale beweging is de gemiddelde versnellingsvector volgens de x-as gericht:

ag = #–ag,x

De gemiddeldeversnellingsvector #–ag = #–ag,x ten opzichte van de x-as in het tijdsinterval Δt is:

De gemiddelde versnelling in één dimensie geeft weer met hoeveel meter per seconde de snelheid gemiddeld toeneemt of afneemt per seconde.

Ze geeft dus weer welke versnelling het systeem gemiddeld had gedurende een bepaald traject.

Versnelling, en dus ook gemiddelde versnelling, worden uitgedrukt in m s2 .

De grootte van de gemiddelde versnelling wordt dan gegeven door:

gemiddelde versnelling (in één dimensie)

We bekijken dit even aan de hand van een voorbeeld.

Voorbeeld 1

Het systeem beweegt in de positieve zin van de x-as.

(m)

Het systeem versnelt in positieve zin:

a

vx,2 vx,1

= 8 m s 6 m s 5s 4s = 2 m s2

Voorbeeld 2

Het systeem vertraagt in positieve zin:

ag,x = Δvx Δt = vx,2 vx,1 t2 t1 = 6 m s 8 m s 5s 4s = 2 m s2

Het systeem beweegt in de negatieve zin van de x-as. De snelheid vx wordt in dit geval negatief.

Het systeem versnelt in negatieve zin:

ag,x =

= vx,2 vx,1 t2 t1 = 8 m s 6 m s 5s 4s

= 2 m s2

(m)

Het systeem vertraagt in negatieve zin:

= vx,2 vx,1 t2 t1 = 6 m s 8 m s 5s 4s = 2 m s2

De gemiddelde versnelling ag,x is positief als het systeem versnelt in de positieve zin van de x-as of vertraagt in de negatieve zin van de x-as.

De gemiddelde versnelling ag,x is negatief als het systeem versnelt in de negatieve zin van de x-as of vertraagt in de positieve zin van de x-as.

In de vx(t)-grafiek is de gemiddelde versnelling in het tijdsinterval [t1, t2] gelijk aan de richtingscoëfficiënt (helling) van de verbindingslijn (hier de rode lijn) tussen de twee punten van de grafiek die overeenkomen met het tijdsinterval [t1, t2].

v x (t )-grafiek

vx m s

(t1 , vx,1 ) (t2 , vx,2 )

De gemiddelde versnelling geeft ons enkel een globaal beeld van de versnelling. Naarmate we de gemiddelde versnelling berekenen over een steeds korter tijdsinterval, krijgen we een meer nauwkeurige benadering van de versnelling.

Dat doen we door de ogenblikkelijke versnelling te berekenen.

1.7.2Ogenblikkelijke versnelling

De ogenblikkelijke versnellingsvector #–a (t) op een ogenblik t vinden we door het tijdsinterval Δt heel klein te laten worden:

a (t)= lim

De ogenblikkelijke versnellingsvector wordt vaak kortweg de versnellingsvector genoemd.

In één dimensie is de ogenblikkelijke versnellingsvector volgens de x-as gericht:

De ogenblikkelijke versnelling ax is dan de grootte van de versnelling op een bepaald ogenblik. Een ogenblik is ‘een oneindig kort tijdsinterval’.

De ogenblikkelijke versnelling ax op een tijdstip t is dus de verhouding Δvx Δt rond het tijdstip t, waarbij je Δt zo klein mogelijk maakt.

De ogenblikkelijke versnellingsvector #–a = #–ax op het ogenblik t is in één dimensie gelijk aan:

ax (t)= lim

Wat overeenkomt met de afgeleide van #–vx naar t

De ogenblikkelijke versnelling in één dimensie geeft weer met hoeveel meter per seconde de snelheid op een bepaald ogenblik toeneemt of afneemt per seconde. Versnelling, en dus ook ogenblikkelijke versnelling, worden uitgedrukt in m s2 .

De grootte van de ogenblikkelijke versnelling in één dimensie wordt dan gegeven door: ax (t)= dvx dt

ogenblikkelijke versnelling (in één dimensie)

De ogenblikkelijke versnelling wordt vaak kortweg versnelling genoemd.

In de vx(t)-grafiek is de ogenblikkelijke versnelling op het ogenblik t1 gelijk aan de helling van de raaklijn (hier de blauwe lijn) aan de vx(t)-grafiek in het punt t1

v x (t )-grafiek

vx m s

De versnellingsfunctie

Ook de ogenblikkelijke versnelling kunnen we grafisch voorstellen, net zoals we met de positie en de snelheid gedaan hebben.

Het afleiden van de snelheidsfunctie vx(t) geeft de versnellingsfunctie ax(t), het functievoorschrift voor de grafische voorstelling van de ogenblikkelijke versnelling.

We bekijken opnieuw ons voorbeeld, de beweging met positiefunctie x(t) = 2 t3 – 9 t2 + 12 t

De snelheidsfunctie hiervan is:

vx(t) = 6 t2 – 18 t + 12

Dit afleiden geeft dan:

ax (t)= dvx dt

= d(6 t2 18 t + 12) dt

= 12 t 18

Het functievoorschrift voor de versnelling in ons voorbeeld is dus:

f (x) = 12 x – 18

In de fysica schrijven we dat dan als volgt:

ax(t) = 12 t – 18

ax m s2

a x (t )-grafiek

Bovenstaande grafiek geeft de versnelling van de beweging in functie van de tijd weer.

Door de versnellingsfunctie te geven, geven we alle informatie over de versnelling van de beweging.

Door een tijdstip t in te vullen, kunnen we telkens de overeenkomstige versnelling ax berekenen.

De afspraak is ook hier dat we daarbij alles in hoofdeenheden noteren en deze eenheden niet noteren in berekeningen.

Dus:

ax(t) = 12 t – 18

ax(0) = 12 ⋅ 0 – 18 = –18

dus de versnelling op t = 0s is 18 m s2

ax(2) = 12 2 – 18 = 6 dus de versnelling op t = 2s is 6 m s2

ax(3) = 12 ⋅ 3 – 18 = 18

dus de versnelling op t = 3 s is 18 m s2

1.8Interpretatie van de positie-, snelheids- en versnellingsfunctie

We kunnen heel wat informatie over een beweging halen uit de grafische voorstellingen die bij de beweging horen. We interpreteren hieronder als voorbeeld de x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafieken van een ééndimensionale (rechtlijnige) beweging met positiefunctie x(t) = 7 t2 – 20 t + 16.

Deze rechtlijnige beweging is trouwens een bijzondere beweging, het is namelijk een EVRB, een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging. Verder in dit leerboek wijden we een volledig hoofdstuk aan dit soort rechtlijnige bewegingen.

Voorbeeld

Voor de beweging van een systeem ten opzichte van de x-as geldt volgende positiefunctie:

x(t) = 7 t2 – 20 t + 16

Hierbij staat alles in hoofdeenheden.

De x(t)-grafiek van deze beweging ziet er als volgt uit: t (s)

x (m) 0,5 1 1,5

Uit deze grafiek kan je het volgende afleiden:

• Het systeem beweegt tot 1,4 s in de negatieve zin van de x-as en keert dan om.

• Vanaf 1,4 s beweegt het systeem in de positieve zin van de x-as.

Tot 1,4 s vertraagt het systeem, om dan bij 1,4 s even stil te staan en dan de andere kant (positieve zin van de x-as) uit te gaan. Als het systeem een auto zou zijn, dan zou die zich kunnen draaien op 1,4 s of hij zou vanaf 1,4 s achteruit kunnen rijden.

De snelheidsfunctie van deze beweging is:

vx (t)= dx(t) dt = d(7 t2 20 t + 16) dt = 14 ⋅ t 20

De vx(t)-grafiek is dus:

We kunnen uit de snelheidsfunctie en de grafiek afleiden dat de snelheid:

• nul is voor t = 1,4 s (als je dit niet kan aflezen van de grafiek, dan kan je dit berekenen door vx(t) = 0 te nemen).

• negatief is van 0 s tot 1,4 s. Een negatieve snelheid houdt in dat het systeem beweegt in de negatieve zin van de x-as. Dat zien we ook in de x(t)-grafiek: het systeem beweegt in de negatieve zin van de x-as tot 1,4 s. Tussen 0 s en 1,4 s neemt de snelheid ook af, het systeem vertraagt dus.

• positief is vanaf 1,4 s, de grootte van de snelheid neemt hierbij toe. Het systeem versnelt dus. Vanaf 1,4 s is de snelheid positief en beweegt het systeem in de positieve zin van de x-as.

De versnellingsfunctie van deze beweging is:

ax (t)= dvx (t) dt = d(14 t 20) dt = 14

De ax(t)-grafiek ziet er dan als volgt uit:

De versnelling is dus constant, er staat immers geen t in de versnellingsfunctie:

ax = 14 m s2

Deze beweging is dus een beweging met een constante versnelling.

Op elk moment kunnen we de positie van het systeem berekenen aan de hand van de positiefunctie:

x(0,5) = 7 0,52 – 20 0,5 + 16 = 7,75

x(3) = 7 ⋅ 32 – 20 ⋅ 3 + 16 = 19

dus de positie op t = 0,5 s is 7,75 m

dus de positie op t = 3 s is 19 m

Op elk moment kunnen we de snelheid van het systeem berekenen aan de hand van de snelheidsfunctie:

vx(0,5) = 14 0,5 – 20 = –13

dus de snelheid op t = 0,5 s is 13 m s

vx(3) = 14 3 – 20 = 22 dus de snelheid op t = 3 s is 22 m s

Op elk moment kunnen we de versnelling van het systeem berekenen aan de hand van de versnellingsfunctie:

ax(0,5) = 14 dus de versnelling op t = 0,5 s is 14 m s2

ax(3) = 14 dus de versnelling op t = 3 s is 14 m s2

2Dynamica in één dimensie

In de dynamica wordt het verband tussen kracht(en) en beweging bestudeerd. De dynamica bekijkt dus hoe krachten aan de oorzaak van een beweging liggen. We bekijken hier kort de dynamica in één dimensie. Bij de studie van specifieke ééndimensionale (rechtlijnige) bewegingen, zoals de ERB en de EVRB, gaan we hier telkens nog dieper op in.

De wetten van Newton spelen hier alweer een cruciale rol.

Volgens de eerste wet van Newton behoudt een systeem zijn bewegingstoestand als er geen resulterende kracht op het systeem wordt uitgeoefend.

De eerste wet van Newton

Als er op een systeem geen (resulterende) kracht wordt uitgeoefend, behoudt het systeem zijn bewegingstoestand:

is het systeem in rust, dan blijft het in rust; beweegt het systeem, dan blijft het bewegen met een constante snelheid en in dezelfde richting en zin; het voert dus een eenparig rechtlijnige beweging uit (ERB).

Een rechtlijnige beweging met een constante snelheid voldoet aan de eerste wet van Newton. Daar is dus geen resulterende kracht werkzaam.

Dit was ook het geval in ons voorbeeld van de chevrolet op p. 13 die aan een constante snelheid op een rechte baan rijdt en dus een eenparig rechtlijnige beweging (ERB) uitvoert. Het vrijlichaamsdiagram toont ook duidelijk welke krachten hier werkzaam zijn.

We bespreken deze eenparig rechtlijnige beweging (ERB), die reeds in de tweede graad uitgebreid aan bod kwam, nog als specifiek voorbeeld van een ééndimensionale (rechtlijnige) beweging verder in dit leerboek.

Bij alle andere ééndimensionale (rechtlijnige) bewegingen zal er dus wel een resulterende kracht verschillend van nul op het systeem inwerken.

Volgens de tweede wet van Newton verandert de bewegingstoestand van een systeem als de resulterende kracht op het systeem niet nul is.

De tweede wet van Newton

De verandering van de snelheid (= de versnelling) is recht evenredig met de resulterende kracht.

Of in formulevorm:

#–

F = m #–a

waarbij:

#–

F = de resulterende kracht die inwerkt op het systeem (N)

#–a = de versnelling groottein m s2 groottein m s2

m = de massa (kg)

Het veranderen van de bewegingstoestand bij een ééndimensionale (rechtlijnige) beweging geeft volgende opties:

• van rust naar beweging

• van beweging naar rust

• versnellen of vertragen

1 Van rust naar beweging

2 Van beweging naar rust

3 Versnellen of vertragen

Versnellen

Vertragen

Het ‘van richting veranderen’ is hier niet mogelijk aangezien de beweging op een rechte baan gebeurt.

Bij een ééndimensionale (rechtlijnige) beweging is de versnelling steeds volgens de baan gericht, ze is dus tangentieel (tangentieel komt van het Latijnse woord tangere wat 'raken' betekent).

Aangezien de beweging volgens de x-as gebeurt, is zowel de versnelling als de resulterende kracht volgens de x-as gericht. De tweede wet van Newton wordt hier dus:

#–Fx = m #–ax

Bovendien hebben de resulterende kracht en de versnelling dezelfde richting en zin (de massa is immers positief).

We bespreken verder in dit leerboek onder andere nog de eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging (EVRB) als voorbeeld van een ééndimensionale (rechtlijnige) beweging met een resulterende kracht verschillend van nul.

3Eéndimensionale bewegingen

Nu zijn we klaar om enkele ééndimensionale bewegingen in detail te bestuderen. We beginnen met de herhaling van de eenparig rechtlijnige beweging (ERB), die we reeds in het derde jaar behandelden.

3.1De eenparig rechtlijnige beweging

De eenparig rechtlijnige beweging werd reeds in het derde jaar uitvoerig bestudeerd in module 3 Rechtlijnige bewegingen

3.1.1De ERB: onderzoek

Je kan een ERB bestuderen door de beweging van een luchtbel in een buis gevuld met glycerine te onderzoeken. Een luchtbel volgt namelijk een eenparig rechtlijnige beweging als deze opstijgt in glycerine.

Door te onderzoeken hoe de beweging van deze luchtbel evolueert en daarbij het verband tussen x en t te onderzoeken, vind je dan de grafieken en formules voor een ERB terug.

In de tweede graad onderzochten we de ERB reeds experimenteel in Rechtlijnige bewegingen.

3.1.2De ERB: formules

De beweging van een systeem dat met een constante snelheid #–vx op een rechte baan beweegt, noemen we een eenparig rechtlijnige beweging (ERB).

Bij een ERB is de verplaatsing Δx recht evenredig met het overeenkomstig tijdsinterval Δt:

Δx ∼Δt

De verhouding van Δx en Δt is dus constant en gelijk aan de snelheid van het systeem:

vx = Δx Δt = constant

Bij een ERB horen ook typerende x(t)- en vx(t)-grafieken, we herhalen deze kort.

3.1.3De ERB: grafieken

x(t)-grafiek

De x(t)-grafiek beschrijft de positie in functie van de tijd.

Bij een ERB is de x(t)-grafiek altijd een schuine rechte.

We geven enkele voorbeelden.

Voorbeelden

De helling van deze rechte geeft ons informatie over de snelheid van het systeem. De richtingscoëfficiënt ervan is immers gelijk aan de constante snelheid van het systeem.

Voorbeeld

= 4,0m 2,0m 8,0s 4,0s = 2,0m 4,0s = 0,50 m s

Op een analoge manier kan je zo de snelheid uit andere x(t)-grafieken berekenen.

We zien zo gemakkelijk het volgende in:

Hoe steiler de rechte in het x(t)-diagram, hoe groter de snelheid.

Als het systeem in de tegengestelde zin van de x-as beweegt, is de snelheid negatief.

Probeer dit zelf eens aan te tonen.

vx(t)-grafiek

De vx(t)-grafiek beschrijft de snelheid in functie van de tijd.

Bij een ERB is de vx(t)-grafiek altijd een horizontale rechte.

We kunnen de snelheid van het systeem dus heel gemakkelijk aflezen uit de grafiek.

Daarnaast kunnen we ook nog andere informatie uit de vx(t)-grafiek halen.

Als we de oppervlakte onder de horizontale rechte berekenen voor een bepaald tijdsinterval, berekenen we vx ⋅ Δt. Dit komt overeen met Δx, de verplaatsing van het systeem in dat tijdsinterval: Δ

De oppervlakte onder de vx(t)-grafiek is dus een maat voor de verplaatsing.

In een vx(t)-grafiek kan de verplaatsing berekend worden door de oppervlakte onder de vx(t)-grafiek te berekenen. Dit noemen we de oppervlakte-methode.

Als het systeem beweegt in de negatieve zin van de x-as, dan is de snelheid negatief en ziet de vx(t)-grafiek er als volgt uit.

ax(t)-grafiek

Bij een ERB is de versnelling nul, de snelheid is namelijk constant. Dit resulteert in volgende ax(t)-grafiek.

3.1.4De ERB: krachten

Aangezien bij een ERB het systeem met een constante snelheid op een rechte baan beweegt, is er bij de ERB geen verandering van bewegingstoestand.

De eerste wet van Newton is hier dus van toepassing.

De eerste wet van Newton

Als er op een systeem geen (resulterende) kracht wordt uitgeoefend, behoudt het zijn bewegingstoestand:

is het systeem in rust, dan blijft het in rust; beweegt het systeem, dan blijft het bewegen met een constante snelheid en in dezelfde richting en zin; het voert dus een eenparig rechtlijnige beweging uit (ERB).

Bij een ERB is de resulterende kracht die op het systeem werkt dus gelijk aan nul, zoals in onderstaand voorbeeld.

Voorbeeld

De chevrolet rijdt met een constante snelheid.

Dit wil dus niet zeggen dat er geen krachten op het systeem mogen inwerken. De resultante van alle krachten moet echter wel gelijk zijn aan nul.

3.2De eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging

Laten we nu de eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging (EVRB) van naderbij bestuderen. We gaan de EVRB experimenteel bestuderen en de formules horende bij deze beweging experimenteel afleiden.

3.2.1De EVRB: onderzoek

Verband tussen x en t bij een EVRB

We onderzoeken de eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging door een experiment uit te voeren waarbij een wagentje wrijvingsloos een helling afrijdt. Een bewegingssensor bepaalt op elk tijdstip de positie van het wagentje.

We plaatsen de bewegingssensor bovenaan het hellend vlak en we laten het wagentje vertrekken vanuit rust.

Vaak stellen we het systeem voor door een punt, de puntmassa. Voor dat punt kiezen we meestal het zwaartepunt. Soms kunnen we echter moeilijk de beweging van het massamiddelpunt meten. In dit experiment meten we bijvoorbeeld telkens de positie van de achterkant van het wagentje. We gebruiken dat punt dus als referentiepunt om de beweging te bestuderen.

Dat is helemaal niet erg, zolang we hier maar goed over nadenken en consistent zijn. We kunnen dus niet in het begin van het experiment de achterkant van het wagentje als referentie nemen en bij het einde van het experiment de voorkant.

DOE DE TEST

In dit labo onderzoeken we de EVRB. Bij een onderzoek van een beweging meten we de positie van ons systeem op verschillende tijdstippen. We willen dan onderzoeken wat het verband is tussen die posities op verschillende tijdstippen. We willen, met andere woorden, weten hoe de beweging evolueert.

Oriëntatie

ONDERZOEKSVRAAG

Wat is het verband tussen x en t bij een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging?

HYPOTHESE

Eigen hypothese.

Voorbereiding

BENODIGDHEDEN

wagentje op wrijvingsloze schuine baan bewegingssensor computer

PROEFOPSTELLING

bewegingssensor

WERKWIJZE

We onderzoeken de eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging door een experiment uit te voeren waarbij een wagentje wrijvingsloos een schuine helling afrijdt.

Een bewegingssensor bepaalt op elk tijdstip de positie van het wagentje. We lezen deze tijdstippen en posities af op de computer.

Uitvoering

MEETRESULTATEN

Het uitvoeren van het labo levert ons volgende meetresultaten op.

t (s)

x (m)

0,00 0,0000 0,10 0,0014 0,30 0,0126 0,50 0,0350 0,70 0,0685 0,90 0,1134 1,10 0,1694 1,30 0,2366 1,50 0,3150 1,70 0,4046 1,90 0,5054 2,10 0,6174 2,30 0,7406 2,50 0,8750 2,70 1,0206 2,90 1,1774 3,10 1,3454 3,30 1,5246

We geven deze meetresultaten weer in een grafiek.

x (t )-grafiek

x (m)

We zien dat het wagentje beweegt in de positieve zin van de x-as. Bovendien lijkt het, naarmate de tijd toeneemt, grotere afstanden af te leggen. In de x(t)-grafiek zien we een parabool verschijnen. Dit doet ons dus een kwadratisch verband vermoeden.

VERWERKING

We controleren dit vermoeden door de verhouding x t2 te berekenen.

Als we een x(t2)-grafiek tekenen, krijgen we:

t 2 -grafiek

Ons vermoeden klopt, want de verhouding x t2 is constant. Dit wil zeggen dat x en t2 recht evenredig zijn.

Reflectie

We kunnen nu onze onderzoeksvraag beantwoorden.

x is recht evenredig met t2 voor een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging.

Snelheid en versnelling bij een EVRB

We bekijken ook even hoe de snelheid verandert bij een EVRB. Hiervoor berekenen we voor verschillende tijdsintervallen Δt de overeenkomstige verplaatsing Δx.

0,00 0,0000 0,10 0,0014

0,30 0,0126 0,50 0,0350 0,70 0,0685 0,90 0,1134 1,10 0,1694 1,30 0,2366 1,50 0,3150 1,70 0,4046 1,90 0,5054 2,10 0,6174

0,0224 0,112 = 0,11 0,20 0,0336 0,168 = 0,17 0,20 0,04480,224 = 0,22 0,20 0,05600,280 = 0,28 0,20 0,0672 0,336 = 0,34 0,20 0,0784 0,392 = 0,39 0,20 0,0896 0,448 = 0,45 0,20 0,10080,504 = 0,50 0,20 0,11200,560 = 0,56 0,20 0,12320,616 = 0,62 0,20 0,1344 0,672 = 0,67 0,20 0,14560,728 = 0,73 0,20 0,15680,784 = 0,78 0,20 0,16800,840 = 0,84 0,20 0,1792 0,896 = 0,90 t (s) x (m)

2,30 0,7406 2,50 0,8750 2,70 1,0206 2,90 1,1774 3,10 1,3454 3,30 1,5246

We zien dat we in de kolom vg,x geen constante vinden, zoals we wel bij een ERB zagen. Integendeel, de gemiddelde snelheid van het wagentje neemt in elk tijdsinterval toe.

We zetten deze resultaten uit in een vg,x(t)-grafiek. Voor het tijdstip t nemen we telkens het midden van het overeenkomstig tijdsinterval.

v g,x (t )-grafiek

vg,x m s

In de vg,x(t)-grafiek zien we een schuine rechte door de oorsprong. Hieruit kunnen we afleiden dat de snelheid eenparig toeneemt.

We berekenen dan ook de verhouding Δvx Δt . Dit geeft ons de gemiddelde versnelling ag,x op het tijdstip t

t (s) 0,00 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 1,10 1,30 1,50 1,70 1,90 2,10 2,30 2,50 2,70 2,90 3,10 3,30

g,x m s

0,056 0,112

0,224 0,280 0,336 0,392 0,448 0,504 0,560 0,616 0,672 0,728 0,784 0,840 0,896 a g,x Å m s 2 ã 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28

We zien duidelijk een constante in de ag,x kolom verschijnen. De verhouding Δvx Δt is dus constant.

Als we dit uitzetten in een grafiek, dan krijgen we:

a g,x (t )-grafiek

ag,x m s2

De gemiddelde versnelling van het wagentje is dus constant voor elk tijdsinterval dat we genomen hebben. Dit impliceert dat Δvx en Δt recht evenredig zijn. Hun verhouding is constant en gelijk aan 0,28 m s2 .

Dus:

ag,x = 0,28 m s2

Als de verhouding tussen twee grootheden constant is, dan zeggen we dat die twee grootheden recht evenredig zijn.

In dit geval is de snelheidsverandering Δvx recht evenredig met het overeenkomstig tijdsinterval Δt.

Als we heel kleine tijdsintervallen nemen, krijgen we eenzelfde beeld.

a g,x (t )-grafiek

ag,x m s2

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

Als de gemiddelde versnelling constant blijft gedurende al deze kleine tijdsintervallen, dan mogen we ook zeggen dat de ogenblikkelijke versnelling op elk tijdstip gelijk zal zijn aan deze constante 0,28 m s2

Het heeft hier dan ook geen zin meer om een onderscheid te maken tussen de gemiddelde versnelling ag,x en de ogenblikkelijke versnelling ax

Voor een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging is de gemiddelde versnelling gelijk aan de ogenblikkelijke versnelling.

Ons wagentje voert dus een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging uit met een constante versnelling ax van 0,28 m s2

toestand 1

toestand 2

De meetresultaten van ons experiment zijn nagenoeg perfect. Als we deze in grafieken uitzetten, dan vinden we zo goed als ideale grafieken: onze x(t)-grafiek is een perfecte parabool, onze vg,x(t)-grafiek is een perfecte rechte door de oorsprong. Dit komt omdat het experiment in ideale omstandigheden werd uitgevoerd, het wagentje reed namelijk van een ideale, wrijvingsloze baan naar beneden.

Als je zelf een dergelijk experiment zal uitvoeren, krijg je mogelijks te maken met meetfouten. Hierdoor wijken de werkelijke meetresultaten licht af van de ideale meetresultaten. Weergegeven op een grafiek zullen de resultaten ook niet perfect op een parabool (x(t)-grafiek) of op een schuine rechte door de oorsprong (vg,x(t)-grafiek) liggen. Er wordt in dat geval een beste parabool of rechte getekend. Als voorbeeld zie je hieronder een vg,x(t)-grafiek.

vg,x m s

Wij lieten in dit experiment het wagentje vanuit rust de helling afrijden.

Als het wagentje naar beneden rijdt, zal het versnellen en dus een eenparig versnelde beweging uitvoeren.

Er kan echter een soortgelijk experiment uitgevoerd worden waarbij we een wagentje met een beginsnelheid een helling laten oprijden. Ook bij dergelijk experiment bestuderen we een EVRB, maar in dit geval een eenparig vertraagde rechtlijnige beweging.

Als het wagentje naar boven rijdt, dan zal het vertragen en dus een eenparig vertraagde rechtlijnige beweging uitvoeren.

3.2.2De EVRB: formules

Theoretische afleiding

Een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging wordt beschreven door twee formules.

x = x0 + vx,0 (t t0 )+ 1 2 ax (t t0 )2 of Δx = vx,0 ⋅Δt + 1 2 ax ⋅Δt2 1 2

De eerste formule vinden we door de formule voor de versnelling om te vormen:

1 )

Nemen we voor vx,1 de beginsnelheid vx,0 op tijdstip t0 en noteren we de snelheid vx,2 op tijdstip t als vx, dan krijgen we:

vx = vx,0 +

Voor de afleiding van de tweede formule vertrekken we van de resultaten van ons experiment, waarin we een EVRB zonder beginsnelheid bestudeerden. We vonden dat:

x t2 = cte = 0,14 m s2

Deze waarde bedraagt net de helft van onze versnelling:

ax = 0,28 m s2

Hieruit volgt dat:

=

Dit geeft ons de tweede formule waarmee we een EVRB zonder beginsnelheid kunnen beschrijven.

Voor een EVRB met beginsnelheid komt er nog een term bij:

3.2.3De EVRB: samengevat

Formules EVRB

EVRB met beginsnelheid: 1 x = x0 + vx,0 ⋅ (t t0 )+ 1 2 ⋅ ax ⋅ (t t0 )2 of Δx = vx,0 ⋅Δt + 1

2 vx = vx,0 + ax ⋅ (t t0 ) of vx = vx,0 + ax ⋅Δt

EVRB zonder beginsnelheid:

1 x = x0 + 1 2 ⋅ ax ⋅ (t t0 )2 of Δx = 1 2 ⋅ ax ⋅Δt2

2 vx = ax ⋅ (t t0 ) of vx = ax ⋅Δt

Meestal nemen we t0 = 0 s door de chronometer te starten als de beweging start. Daarnaast nemen we meestal ook x0 = 0 m. De formules zien er dan als volgt uit:

EVRB met beginsnelheid:

x = vx,0 t + 1 2 ax t2

v

EVRB zonder beginsnelheid:

vx = ax t

De beweging van een systeem dat met een constante versnelling #–ax op een rechte baan beweegt, noemen we een EVRB: eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging.

Bij een EVRB is de snelheidsverandering Δvx recht evenredig met het overeenkomstig tijdsinterval Δt

De verhouding van Δvx en Δt is dus constant en gelijk aan de versnelling van het systeem:

ax = Δvx Δt = constant

Voor deze bijzondere rechtlijnige beweging kunnen we het volgende opmerken: hoe groter de versnelling, hoe hoger het tempo waarmee de snelheid van grootte verandert.

Een EVRB wordt gekenmerkt door een constante versnelling. Deze versnelling is tangentieel, ze is immers volgens de raaklijn aan de baan gericht (tangentieel komt van het Latijnse woord tangere wat 'raken' betekent). Bij een rechtlijnige beweging is deze versnelling dus volgens de baan gericht, dus volgens de x-as. Een systeem met een constante tangentiële versnelling, volgt dus een EVRB.

Deze versnelling kan positief of negatief zijn.

De versnelling ax is positief als het systeem versnelt in de positieve zin van de x-as of vertraagt in de negatieve zin van de x-as.

De versnelling ax is negatief als het systeem versnelt in de negatieve zin van de x-as of vertraagt in de positieve zin van de x-as.

3.2.4De EVRB: grafieken

Bij een EVRB horen ook typerende x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafieken. We bekijken hieronder een aantal verschillende mogelijkheden.

Voor een systeem dat versnelt in de positieve zin van de x-as, zien de x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafieken er als volgt uit. We nemen hierbij aan dat de beginsnelheid en de beginpositie nul zijn.

(s) x (m)

x m s

(s)

x m s2

(s)

Voor een systeem dat vertraagt in de positieve zin van de x-as, zien de x(t)-, vx(t)- en ax(t)grafieken er als volgt uit. We nemen hierbij aan dat de beginpositie nul is.

(s) x (m) A

x m s A

x m s2

(s)

(s)

x (m)

x m s

x m s2

(s)

Voor een systeem dat versnelt in de negatieve zin van de x-as, zien de x(t)-, vx(t)- en ax(t)grafieken er als volgt uit. We nemen hierbij aan dat de beginsnelheid nul is. t (s)

(s)

Voor een systeem dat vertraagt in de negatieve zin van de x-as, zien de x(t)-, vx(t)- en ax(t)grafieken er als volgt uit.

x (m) A t (s) vx m s A

t (s)

(s) ax m s2

Hieruit kunnen we het volgende besluiten.

Bij een EVRB is de x(t)-grafiek altijd een parabool.

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de x(t)-grafiek op een bepaald tijdstip t1 geeft ons de snelheid van het systeem op dat tijdstip.

(s) x (m)

Bij een EVRB is de vx(t)-grafiek altijd een schuine rechte.

De helling van deze rechte geeft ons informatie over de versnelling van het systeem. Als we de richtingscoëfficiënt van deze rechte bepalen, dan berekenen we de versnelling van het systeem.

Voorbeeld

vx m s

De richtingscoëfficiënt van de schuine rechte in het vx(t)-diagram is de constante versnelling van de EVRB.

Hoe steiler de rechte, hoe groter de versnelling.

Voorbeeld

Systeem 2 heeft een grotere versnelling dan systeem 1.

ax m s2

Bij een EVRB is de ax(t)-grafiek altijd een horizontale rechte. t (s)

3.2.5De EVRB: krachten

(s) vx m s

systeem1 systeem2

Een systeem dat een EVRB uitvoert, heeft een constante versnelling waardoor de snelheid van het systeem eenparig toeneemt of afneemt.

Voor een systeem dat versnelt of vertraagt, geldt de tweede wet van Newton.

De tweede wet van Newton

De verandering van de snelheid (= de versnelling) is recht evenredig met de resulterende kracht.

Of in formulevorm:

F = m ⋅ #–a waarbij:

F = de resulterende kracht die inwerkt op het systeem (N) #–a = de versnelling groottein m s2 groottein m s2 m = de massa (kg)

De resulterende kracht op het systeem is hier dus verschillend van nul.

In het geval van een EVRB is de versnelling volgens de x-as gericht en constant. Er zal dus op een systeem met een constante massa een constante resulterende kracht volgens de x-as inwerken:

ax = cte

⟹ Fx = cte (bij m = cte)

3.3De valbeweging

De valbeweging is een voorbeeld van een EVRB, we plaatsen de x-as hierbij verticaal. De versnelling ax wordt hier bepaald door de zwaarteveldsterkte of valversnelling g.

Als we de x-as verticaal naar boven richten, is ax = –g (een alternatief is dat we de x-as verticaal naar beneden richten, in dat geval is ax = g).

Galileo Galilei bedacht een vernuftig experiment om de valbeweging te bestuderen: hij gebruikte een valgeul om een bal, onder invloed van de zwaartekracht, naar beneden te laten rollen en leidde zo de formules voor een EVRB af. In het wist-je-dat hieronder lees je hier meer over.

WIST-JE-DAT

Galileo Galilei verrichtte rond 1600 baanbrekend werk op het gebied van de kinematica.

Galileo was benieuwd naar de beweging van vallende voorwerpen en wou bestuderen aan welke wetten deze beweging voldeed. Een steen of een metalen kogel valt echter zo snel dat je moeilijk met het blote oog de beweging kan volgen en onmogelijk de valtijd nauwkeurig kan opmeten.

Om die val te vertragen gebruikte hij daarom een valgeul. Dit is een licht hellend vlak waarin hij een ronde bal omlaag liet rollen. Galileo bouwde dus een goot van ongeveer vier meter lang en zette deze schuin zodat er een bal in naar beneden kon rollen.

Over de goot bracht hij kleine belletjes aan die rinkelden als ze een tik van de voorbij rollende bal kregen. Hij verschoof deze belletjes tot het rinkelen een regelmatig patroon volgde. De bal deed er dan even lang over om van elke bel naar de volgende te rollen.

Galileo vond hieruit dat de opeenvolgende afstanden tussen de bellen veelvouden waren van de eerste afstand (de afstand tussen bel 1 en bel 2). Deze afstanden verhielden zich als 3, 5, 7, 9 …, dus zoals de oneven getallen.

Dit bewees dat de bal, gemeten vanaf de oorsprong (bel 1), afstanden aflegde die waren zoals:

1 (na één tijdseenheid)

1 + 3 = 4(na twee tijdseenheden)

1 + 3 + 5 = 9(na drie tijdseenheden)

1 + 3 + 5 + 7 = 16(na vier tijdseenheden)

enz …

De bal legde dus afstanden af zoals de kwadraten van de tijden.

Zo kwam Galileo op de valwet: de valafstand is recht evenredig met het kwadraat van de tijd:

x = 1 2 g t2

waarbij g de valversnelling is g = 9,81 m s2

Strikt genomen geldt de wet enkel in vacuüm, maar voor een zwaar systeem, zoals een loden kogel, en kleine afstanden (enkele tientallen meters) is de afremming door de lucht te verwaarlozen.

Galileo sprak met zijn stelling Aristoteles tegen, die beweerde dat de snelheid van een vallend voorwerp afhangt van zijn massa. Galileo voorspelde echter dat wanneer men een veer en een hamer tegelijk zou laten vallen in het luchtledige, ze terzelfdertijd op de grond zouden terechtkomen. Dit experiment werd trouwens in 1971 door de astronaut David Scott uitgevoerd op de maan tijdens de missie van Apollo XV.

Wil je dit historisch experiment met Galileo's valgeul eens in werking zien? Scan dan de QR-code en bekijk het filmpje.

3.3.1De vrije val (zonder beginsnelheid)

Een voorbeeld van een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging dat we hier gaan bekijken, is de vrije val.

Een vrije val is een val waarbij enkel de zwaartekracht op het systeem wordt uitgeoefend. Er wordt dus geen enkele andere externe kracht op het systeem uitgeoefend. Bovendien is de uitgeoefende zwaartekracht constant, aangezien de massa van het systeem constant is. Hierdoor zal ook de versnelling van het systeem constant zijn, een vrije val is dus een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging.

Het is duidelijk dat dergelijke vrije val op aarde niet mogelijk is. Op aarde werkt immers altijd de luchtwrijving. In vacuüm kunnen we wel de luchtwrijving uitschakelen en dus een ware vrije val verkrijgen. Brian Cox, een Engelse deeltjesfysicus, testte in zo’n vacuümkamer de hypothese van Galileo. Galileo stelde namelijk dat alle voorwerpen even snel vallen, onafhankelijk van hun massa. Bekijk een filmpje hiervan via de QR-code.

Als we een vrije val op aarde (niet in vacuüm) beschouwen, dan is een theoretische vrije val slechts een benadering van de realiteit. We kunnen wel een model construeren waarbij de vrije val de realiteit goed benadert. Als we bijvoorbeeld een kleine, massieve knikker laten vallen over een niet te grote afstand (enkele meters), dan zijn de effecten van de luchtwrijving verwaarloosbaar en kunnen we de vrije val dus zeer goed benaderen. We bestuderen op deze manier een vrije val zonder beginsnelheid.

WIST-JE-DAT

Parachutisten gebruiken de term ‘vrije val’ voor het deel van hun parachutesprong dat plaatsvindt tussen het uit het vliegtuig springen en het moment waarop ze hun parachute openen. Hier bedoelen ze met het woord ‘vrij’ dat ze in die periode allerlei bewegingen kunnen maken en dus vrij in de lucht kunnen bewegen. Een natuurkundige ‘vrije val’ is het echter niet, zeker op het einde van deze periode halen de parachutisten aanzienlijke snelheden waardoor de luchtweerstand niet meer te verwaarlozen is.

De vrije val: onderzoek

Je kan een vrije val bestuderen door een experiment uit te voeren waarbij een balletje vanop een hoogte h wrijvingsloos valt. Een bewegingssensor bepaalt daarbij op elk tijdstip de positie van het balletje.

bewegings-

Door te onderzoeken hoe de beweging van dit balletje evolueert en daarbij het verband tussen x en t te onderzoeken, vind je dan de grafieken en formules voor een vrije val terug.

We kiezen de x-as daarbij verticaal omhoog en laten het balletje vallen zonder beginsnelheid. We bestuderen zo een vrije val zonder beginsnelheid.

x (m)

h v0 = 0 m s

0

Bij ‘Analyseren’ in ‘Verder oefenen?’ op het einde van dit deel vind je een opgave waarbij je dit experiment zelf kan uitvoeren.

De vrije val: samengevat

Voor de vrije val:

• is de versnelling ax constant; in dit geval is ax = 9,8 m s2 = g

• is de snelheid steeds negatief (we kozen de x-as immers verticaal naar boven)

• neemt de absolute waarde van de snelheid eenparig toe met de tijd

• is x recht evenredig met t2

De vrije val is een EVRB.

De vrije val: formules

Aangezien we hier een vrije val zonder beginsnelheid bestuderen, gelden volgende formules.

De vrije val zonder beginsnelheid voldoet aan de formules voor een EVRB zonder beginsnelheid:

x = x0 + 1 2 ⋅ ax ⋅Δt2

vx = ax ⋅Δt

In ons geval, namelijk een vrije val op aarde, is: ax = g = 9,81 m s2

De formules worden dan:

x = x0 1 2 ⋅ g ⋅Δt2

vx = g ⋅Δt

De vrije val: grafieken

Bij een vrije val versnelt het systeem in de negatieve zin van de x-as. De x(t)-, vx(t)- en ax(t)grafieken zien er dan als volgt uit. We nemen hierbij aan dat de beginsnelheid nul is.

Bij de vrije val is:

• de x(t)-grafiek een parabool

• de vx(t)-grafiek een schuine rechte

• de ax(t)-grafiek een horizontale rechte

De vrije val: krachten

Een systeem dat een vrije val uitvoert, heeft een constante versnelling. Deze constante versnelling wordt veroorzaakt door de op het systeem inwerkende zwaartekracht: #–Fz = m ⋅ #–g

Bij een vrije val wordt aangenomen dat de zwaartekracht de enige kracht is die op het systeem inwerkt. Het systeem volgt hierdoor een EVRB met een versnelling gelijk aan:

ax = g = 9,81 m s2

3.3.2De verticale worp

De vrije val die we zojuist bestudeerd hebben, is een voorbeeld van een EVRB zonder beginsnelheid. We kunnen een systeem echter ook naar boven of naar beneden gooien met een beginsnelheid. We spreken dan van een verticale worp omhoog of een vrije val met beginsnelheid (verticale worp naar beneden).

Deze verticale worp zal verder bestudeerd worden bij ‘Analyseren’ in het hoofdstuk ‘Verder oefenen?’, achteraan dit deel.

3.4Val met wrijving (in een fluïdum)

WIST-JE-DAT

31 juli 2016

Miljoenen mensen, overal ter wereld, houden hun adem in als de Amerikaanse skydiver Luke Aikins op een hoogte van 7620 m zonder parachute uit een vliegtuig springt. Gelukkig vangt een vangnet Luke op het einde van zijn val op.

Deze vrije val staat ondertussen in de geschiedenisboeken als de eerste volledige vrije val zonder parachute.

Wil je deze vrije val met eigen ogen zien? Scan dan de QR-code.

Als we geen rekening houden met de luchtwrijving, zou Luke snelheden van bijna 1400 km h bereiken.

Onderstaande tabel geeft ons een beeld van deze theoretische snelheden.

De x(t)- en vx(t)-grafiek geven ons het verwachte beeld van een EVRB.

Net voor Luke in het net valt, bedraagt zijn snelheid volgens onze berekeningen ongeveer 387 m s of 1,39 ⋅ 103 km h .

Bij deze berekeningen hebben we wel geen rekening gehouden met de luchtweerstand. De gemeten snelheid waarmee Luke in het net viel, bedroeg 241 km h . Hieruit blijkt dat de luchtweerstand Luke toch aanzienlijk heeft afgeremd.

Bij een valbeweging in een fluïdum (zoals lucht of water) speelt wrijving altijd een rol. Dit werd bijvoorbeeld al duidelijk in het wist-je-dat over de val in lucht van de Amerikaanse skydiver Luke Aikins.

We gaan hier wat dieper op in en bekijken een val in lucht vanop een hoogte van 800 m in detail. We gaan hier voornamelijk inzoomen op de grafieken die bij zo’n val horen en op de krachten die hierbij spelen.

3.4.1De val met wrijving: grafieken

x(t)-grafiek

Onderstaande x(t)-grafiek toont zowel de curve voor de val met wrijving (groene lijn) als voor dezelfde val in afwezigheid van wrijving (grijze lijn).

(0,800)

(13,7,0) (12,8,0)

We zien hier ook voor de situatie met wrijving een parabool verschijnen (wel gaat deze parabool na verloop van tijd over in een rechte, dit gebeurt vanaf het moment dat de val een constante snelheid krijgt ten gevolge van de wrijving, in dit geval is dat pas na ongeveer 40 s). Het systeem bereikt hier later de grond dan in de situatie zonder wrijving.

Het systeem bereikt bij een val met wrijving vanop 800 m na 13,7 s de grond.

vx(t)-grafiek

Onderstaande vx(t)-grafiek toont zowel de curve voor de val met wrijving (groene lijn) als voor dezelfde val in afwezigheid van wrijving (grijze lijn).

(0, 135)

We zien dat, voor de val met wrijving, de grootte van de snelheid (in absolute waarde) toeneemt. De eerste seconden gebeurt deze snelheidstoename identiek aan deze voor de val zonder wrijving. Als de tijd echter vordert, gebeurt de snelheidstoename minder snel. De wrijving remt het systeem af. Als de val lang genoeg duurt, dan zou het systeem een maximale valsnelheid bereiken.

In het geval zonder wrijving blijft de snelheid eenparig toenemen.

ax(t)-grafiek

Onderstaande ax(t)-grafiek toont zowel de curve voor de val met wrijving (groene lijn) als voor dezelfde val in afwezigheid van wrijving (grijze lijn).

We zien duidelijk dat de versnelling tijdens de val met wrijving afneemt en uiteindelijk nul wordt. Op het moment dat de versnelling nul wordt, stopt het systeem met versnellen en heeft het dus zijn maximale snelheid bereikt.

Bij deze val vanop 800 m bereikt het systeem na 13,7 s de grond. Zijn snelheid bedraagt dan (in absolute waarde) 103 m s en zijn versnelling is dan (in absolute waarde) 4,1 m s2

Bij dergelijke snelheden is deze val fataal voor een mens, de noodzaak van een parachute is hier duidelijk. Zo’n parachute verhoogt namelijk de luchtwrijving waardoor je meer afgeremd wordt en dus een lagere eindsnelheid bereikt.

Indien de val langer zou duren, zou het systeem uiteindelijk een maximale valsnelheid van 135 m s bereiken.

Bekijk via de QR-code hoe Felix Baumgartner van een hoogte van maar liefst 39 km naar beneden springt en hoe zijn valsnelheid daarbij toeneemt tot een maximale waarde van 1360 km h . Hij breekt hiermee zelfs door de geluidsmuur.

3.4.2De val met wrijving: krachten

Op het moment dat Baumgartner zijn maximale snelheid bereikt, wordt de luchtweerstand zodanig groot dat de wrijvingskracht even groot wordt als de zwaartekracht.

Op dat moment is de eerste wet van Newton geldig, de beweging is namelijk een ERB en dus moet de resulterende kracht nul zijn:

Fz = FW

⟺ m g = 1 2 ρ A CD v2

Hieruit kunnen we dan de formule voor de maximale valsnelheid halen:

vmax =   2 m g

ρ A CD

De grootte van de maximale valsnelheid is afhankelijk van heel wat factoren, zoals de massa van het vallend systeem, de luchtdichtheid, de oppervlakte van de doorsnede van het vallend systeem en de weerstandscoëfficiënt.

4Verder oefenen?

Begrijpen

Julia gooit een bal omhoog. In de eerste afbeelding beweegt de bal naar boven, in de tweede afbeelding bereikt de bal zijn hoogste punt, in de derde afbeelding daalt de bal. Teken voor elke situatie de krachten die inwerken op de bal in een vrij-lichaamsdiagram.

Bacteriën bewegen heen en weer door hun flagella (structuren die op kleine haartjes lijken) te gebruiken. Hierbij worden snelheden tot 50 μm s waargenomen. De totale afstand die een bacterie zo aflegt, is groot ten opzichte van de grootte van de bacterie, toch is zijn verplaatsing klein. Waarom is dat? Leg uit.

De afbeelding hiernaast toont een metro in een metrostation, de snelheidsvector en de versnellingsvector die op de metro inwerken, zijn weergegeven. Leg aan de hand daarvan uit wat de metro in de afbeelding doet.

Geef de eenheid van versnelling. Leg met je eigen woorden uit wat deze grootheid betekent.

Een steen wordt recht omhoog gegooid. Wat is de resulterende kracht die op de steen werkt op het moment dat die zich aan de top van zijn traject bevindt? Leg uit.

6 7 8 9 10 11

Teken een x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafiek voor een EVRB zonder beginsnelheid.

Teken een x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafiek voor een EVRB met beginsnelheid en met een negatieve versnelling.

Teken een x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafiek voor een EVRB met beginsnelheid en met een positieve versnelling.

Teken een x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafiek voor een ERB.

Onderstaande grafiek geeft de verticale beweging van een bal weer.

Beschrijf de beweging van de bal. Wat doet de bal dus? Noteer.

In onderstaande x(t)-grafieken wordt de beweging van een systeem weergegeven. Wat doet het systeem tijdens het in het rood aangegeven deel van de beweging? Bespreek.

Beschrijf de beweging van een systeem op basis van onderstaand x(t)-diagram. t (s)

Beschrijf de beweging van een systeem op basis van onderstaand x(t)-diagram.

Beschrijf de beweging van een systeem op basis van onderstaand x(t)-diagram.

t (s)

Beschrijf de beweging van een systeem op basis van onderstaand vx(t)-diagram.

Beschrijf de beweging van een systeem op basis van onderstaand vx(t)-diagram.

Beschrijf onderstaande beweging als je weet dat gedurende de eerste drie seconden een skater een helling oprijdt.

Schets hoe een vx(t)-diagram eruitziet van een bal die verticaal omhoog gegooid wordt, zijn hoogste punt bereikt en terug naar beneden valt.

Een kleine raket wordt omhooggeschoten en landt nadien terug op aarde. De beweging wordt beschreven in onderstaand vx(t)-diagram.

In welke tijdsintervallen versnelt de raket? Leg uit. In welke tijdsintervallen vertraagt de raket? Leg uit. Wanneer bereikt de raket zijn hoogste punt? Leg uit.

In 1971 landde Apollo 15 op de maan. Astronaut David Scott voerde toen de valproef van Galileo Galilei uit op de maan en liet tegelijkertijd een zware hamer en een ganzenveer van dezelfde hoogte vallen. De hamer en de veer bereikten op hetzelfde moment de grond. Hoe kan dat? Leg uit.

Open de applet via de QR-code. Druk op de groene knop, wacht even en kijk vervolgens goed naar wat er gebeurt. Een veer en een hamer worden losgelaten op aarde, in een vacuümkamer op aarde en op de maan. Leg uit wat je waarneemt.

De grafiek hiernaast hoort bij de beweging van een karretje op een achtbaan en start op het moment dat het karretje bovenaan een helling vertrekt.

Welke uitspraak is correct? Duid het juiste antwoord aan. Tijdens dit tijdsinterval:

versnelt het karretje eerst, waarna het vertraagt. heeft het karretje een constante versnelling. neemt de snelheid van het karretje eenparig toe. neemt de versnelling van het karretje eerst toe en daarna af.

Geef de twee formules die bij een EVRB horen. Hoe zien deze formules eruit als het systeem geen beginsnelheid heeft? Noteer.

Zijn volgende stellingen juist of fout? Verbeter indien nodig.

Een EVRB is altijd rechtlijnig.

Een EVRB is altijd een versnelde beweging.

EVRB staat voor ‘Eenparig Veranderlijke Rechtlijnige Beweging’. Door het woordje ‘eenparig’ weten we dat deze beweging een constante snelheid heeft.

Een EVRB kan zowel een versnelde als een vertraagde beweging op een rechte baan zijn.

Bij een EVRB is de versnelling constant.

Toepassen

De Europese en Noord-Amerikaanse continenten bewegen ten opzichte van elkaar. Ze gaan uit elkaar met een snelheid van ongeveer 3,0 cm jaar . Bereken hoelang het zal duren voordat ze aan dit tempo 500 km verder uit elkaar zullen gedreven zijn.

Op 26 mei 1934 werd door de Pioneer Zephyr, een gestroomlijnde dieseltrein uit roestvrij staal, een nieuw wereldrecord gevestigd. Het betrof een snelheidsrecord voor een nonstoptreinrit over een lange afstand. Meer dan een miljoen mensen stonden langs de route om de trein te zien voorbijrijden.

De rit ging van Denver naar Chicago en duurde 13 uur, 4 minuten en 58 seconden. De totale afgelegde afstand bedroeg 1633,8km. Wat was de gemiddelde snelheid van de Pioneer Zephyr in km h en m s ? Bereken.

Een vliegtuig landt met een beginsnelheid van 70,0 m s en vertraagt tijdens de landing met een versnelling van 1,50 m s2 gedurende 40,0s. Bereken zijn eindsnelheid net voor hij richting de terminal rijdt.

Een sprintster begint een race met een versnelling van 4,50 m s2 .

Wat is haar snelheid 2,40s later? Bereken.

Schets een grafiek van haar positie in functie van de tijd voor deze periode.

Een kogel in een geweer wordt, gedurende 8,10 ⋅ 10–4 s, vanuit de schietkamer naar het uiteinde van de loop versneld met een gemiddelde versnelling van 6,20 105 m s2 . Bereken de eindsnelheid van de kogel.

In een dragrace racen twee coureurs vanuit stilstand tegen elkaar over een korte afstand van een kwart mijl of een achtste mijl (1 mijl = 1,61 km). De winnaar gaat hierbij door naar de volgende race. Deze dragraces zijn ontstaan in de Verenigde Staten uit zogenaamde stoplichtsprintjes. De racewagens kunnen gemiddelde versnellingen van 26,0 m s2 bereiken.

Bereken de afstand die de racewagen aflegt als deze, vanuit rust, gedurende 5,56seconden met deze versnelling versnelt. Bereken de eindsnelheid van de racewagen.

Een krachtige motorfiets kan in slechts 3,90 seconden vanuit stilstand versnellen naar 26,8 m s

Wat is zijn versnelling? Bereken. Welke afstand legt de motorfiets af in die tijd? Bereken.

Aan het einde van een race vertraagt een loper op het moment dat zijn snelheid 9,00 m s bedraagt. Zijn versnelling bedraagt 2,00 m s2

Welke afstand legt hij af in de komende 3,00 s? Bereken. Wat is zijn eindsnelheid? Bereken.

Onderstaande grafieken geven eenparig rechtlijnige bewegingen weer. Bereken de snelheid van de ERB’s.

Lieselotte doet sinds een paar weken start to run. Haar doel is binnen de minuut een kwart kilometer te kunnen afleggen. Vandaag loopt Lieselotte met een gemiddelde snelheid van 10 km h . Bereken of Lieselotte haar doel bereikt heeft.

Een automobilist rijdt met een snelheid van 44 m s van Brussel naar Denderleeuw. De afstand tussen Brussel en Denderleeuw bedraagt 34 km. De automobilist verlaat Brussel om 14u52, hij wil om 15u12 in Denderleeuw aankomen. Bereken of de automobilist op tijd aankomt.

Jacob staat op een 100 m hoge toren. Hij laat een muntstuk vanuit stilstand recht naar beneden vallen. De val duurt 4,5 seconden. Bereken de eindsnelheid van het muntstuk.

Een massa van 25,3 kg beweegt eenparig rechtlijnig met een snelheid van 20,0 km h gedurende 2,0 minuten. Hoe groot is de nettokracht? Bereken.

Een jager ziet een hert en vuurt zijn geweer af. Hij mist en raakt een boom die zich 35 m van de jager bevindt. Bereken hoelang de kogel onderweg was als je weet dat de kogel het geweer met een snelheid van 1,5 103 km h verliet. Wrijvingskrachten mogen verwaarloosd worden.

Van het dak van een hoog gebouw (18,2 m hoog) valt een dakpan naar beneden. De luchtwrijving mag verwaarloosd worden.

Hoelang duurt het voordat de dakpan op de grond valt? Bereken.

Met welke snelheid valt de dakpan op de grond? Bereken.

Een raket wordt gelanceerd en bereikt een hoogte van 120 m in 2,8 s. Bereken de versnelling van de raket.

In 1971 landde Apollo 15 op de maan. Astronaut David Scott voerde toen de valproef van Galileo Galilei uit op de maan. Hij liet er tegelijkertijd een zware hamer en een ganzenveer van dezelfde hoogte vallen. De hamer en de veer bereikten op hetzelfde moment de grond. Ze vielen over een afstand van 1,6 m en raakten na 1,4 s de grond. Bereken uit deze gegevens de valversnelling op de maan.

Een fietser rijdt eenparig 130 m in 18,0 s. Daarna rijdt hij 18,0 s aan 15,0 m s . Vervolgens rijdt hij nog 250 m aan 12,5 m s

Bereken de snelheid van de fietser in het eerste deel.

Bereken de afgelegde weg in het tweede deel.

Bereken het tijdsverloop in het derde deel.

Bereken de totale afgelegde weg.

Bereken de gemiddelde snelheid.

Teken een x(t)-diagram van deze beweging.

Teken een vx(t)-diagram van deze beweging.

Malik rijdt vanuit stilstand met zijn fiets een helling van 340 m af met een constante versnelling van 0,60 m s2 . Bereken:

zijn verplaatsing na 2,0 s de totale tijd nodig om de helling af te rijden. de snelheid waarmee hij beneden aankomt. zijn gemiddelde snelheid.

Gegeven: x(t)= 2 t2 4

Bereken de positie na 3,0 s

Bereken de snelheid na 3,0 s.

Bereken de versnelling na 3,0 s

De vergelijking die de beweging van een systeem weergeeft, is:

x(t)= 6 ⋅ t3 8 ⋅ t2 + 4 ⋅ t 9

Geef de vergelijking die de snelheid van het systeem weergeeft. Geef de vergelijking die de versnelling van het systeem weergeeft.

Maak een x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafiek voor deze beweging (met de computer of met je rekenmachine).

Beschrijf op basis van deze grafieken de beweging.

De vergelijking die de beweging van een systeem weergeeft, is:

x(t)= 12 t2 4 t + 12

Geef de vergelijking die de snelheid van het systeem weergeeft.

Geef de vergelijking die de versnelling van het systeem weergeeft.

Maak een x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafiek voor deze beweging (met de computer of met je rekenmachine).

Beschrijf op basis van deze grafieken de beweging.

De vergelijking die de beweging van een systeem weergeeft, is:

x(t)= 6 t 8

Geef de vergelijking die de snelheid van het systeem weergeeft.

Geef de vergelijking die de versnelling van het systeem weergeeft.

Maak een x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafiek voor deze beweging (met de computer of met je rekenmachine).

Beschrijf op basis van deze grafieken de beweging.

Sophie houdt van fietsen en beweegt volgens volgende plaatsfunctie:

x(t)= 4 ⋅ t2 6 ⋅ t + 3

Bereken haar positie na 5,0 s

Bereken haar snelheid na 5,0 s.

Bereken haar versnelling na 5,0 s

Een bemande raket versnelt tijdens de lancering met een versnelling van 20 m s2 . Hoelang

duurt het dan voordat de raket een snelheid van 400 m s bereikt? Bereken.

Tijdens gesprekken met astronauten op het maanoppervlak werd een soort van echo waargenomen. De echo ontstond als volgt: de stem van de persoon op aarde klonk zo luid in de ruimtehelm van de astronaut dat deze werd opgepikt door de microfoon van de astronaut en werd teruggestuurd naar de aarde. We kunnen hierbij aannemen dat de echotijd gelijk is aan de tijd die de radiogolf nodig heeft om van de aarde naar de maan en terug te reizen. We verwaarlozen hierbij eventuele tijdsvertragingen in de elektronische apparatuur, wat heel redelijk is.

Gebruik deze informatie om de afstand tussen de aarde en de maan te berekenen. De echotijd bedroeg 2,56 s en de radiogolven planten zich voort met de snelheid van het licht, 3,00 108 m s

Een voetballer rent 14,0 m rechtdoor over het speelveld in 2,50 s. Vervolgens gaat de bal de andere kant uit en rent hij in 1,75 s3,00 m recht achteruit. Hij krijgt de bal te pakken en schopt hem vooruit, waarna hij nog eens 21,0 m rechtdoor loopt in 5,20 s

Bereken zijn gemiddelde snelheid voor elk van de drie tijdsintervallen. Bereken zijn gemiddelde snelheid voor de gehele beweging.

De resulterende kracht op een grasmaaier van 24 kg bedraagt 51 N.

Als de wrijvingskracht, die tegengesteld is aan de beweging, 24 N is, welke kracht F (in newton) oefent de persoon dan uit op de grasmaaier? Bereken.

Op een gegeven moment laat de tuinman de grasmaaier los. Stel dat de grasmaaier met 1,5 m s beweegt wanneer de kracht #–F wordt verwijderd. Hoe ver rijdt de grasmaaier dan nog voordat hij stopt? Bereken.

Stel dat een auto via een 200 meter lange oprit de snelweg oprijdt. Als de beginsnelheid van de auto 10,0 m s is en zijn versnelling 2,00 m s2 bedraagt, hoelang doet de auto er dan over om de snelweg op te rijden? Bereken.

Een goed gegooide bal wordt opgevangen in een handschoen. De handschoen is gevoerd en zorgt voor een vertraging van 2,10 ⋅ 104 m s2 op de bal. Er verstrijkt 1,85 ms vanaf het moment dat de bal voor het eerst de handschoen raakt totdat deze stopt. Bereken de beginsnelheid van de bal.

Een pendeltrein versnelt met een versnelling van 1,35 m s2

Hoelang heeft de trein nodig om, vanuit rust, zijn topsnelheid van 80,0 km h te bereiken? Bereken.

Dezelfde trein vertraagt gewoonlijk met een versnelling van 1,65 m s2 .Hoelang duurt het voordat de trein tot stilstand komt vanaf zijn topsnelheid? Bereken.

In noodsituaties kan de trein sneller afremmen en in 8,30 seconden tot stilstand komen vanaf 80,0 km h . Bereken de versnelling in nood in m s2

Goederentreinen hebben steeds kleine versnellingen.

Bereken de eindsnelheid van een goederentrein die, gedurende 8,00 minuten, versnelt met een versnelling van 0,0500 m s2 . De beginsnelheid bedraagt 4,00 m s .

Als de trein kan vertragen met een versnelling van 0,550 m s2 , hoelang duurt het dan om vanaf deze snelheid (berekend in puntje a ) tot stilstand te komen? Bereken.

Welke afstand legt de trein in beide gevallen (puntje a en puntje b ) af? Bereken.

Een vuurwerkgranaat wordt vanuit rust versneld tot een snelheid van 65,0 m s over een afstand van 0,250 m

Hoelang is de vuurwerkgranaat onderweg? Bereken. Bereken de versnelling.

Bloed wordt door de linkerhartkamer vanuit rust versneld tot een snelheid van 30,0 cm s en dat over een afstand van 1,80 cm. Bereken hoelang de versnelling duurt. Is het antwoord redelijk in vergelijking met de tijd voor een hartslag?

Een parachutist springt uit een vliegtuig vanop een hoogte van 4000 m. Zijn beweging wordt in onderstaand x(t)-diagram weergegeven.

Beschrijf zijn sprong.

Op een bepaald moment opent hij zijn parachute. Op welke hoogte bevindt hij zich dan? Welke snelheid heeft hij op dat moment? Bereken. Met welke snelheid komt hij uiteindelijk op de grond terecht? Bereken.

Beschrijf hoe zijn snelheid evolueert tijdens zijn sprong.

Een zwaan op een meer komt in de lucht door met zijn vleugels te klappen en over het water te rennen.

Als de zwaan een snelheid van 6,00 m s moet bereiken om op te stijgen en hij versnelt vanuit rust met een gemiddelde versnelling van 0,350 m s2 , hoe ver moet hij dan met zijn vleugels klappen en over het water rennen voordat hij de lucht ingaat? Bereken. Hoelang duurt dit? Bereken.

Ari staat op een 100 m hoge toren. Hij laat een muntstuk vanuit stilstand recht naar beneden vallen. Het muntstuk versnelt hierdoor eenparig en bereikt een snelheid van 44 m s . Hoelang duurt de val van het muntstuk? Bereken.

Bereken de afstand die afgelegd wordt tijdens de beweging, gebruik makend van de oppervlakte-methode.

Bereken de afstand die afgelegd wordt tijdens de beweging, gebruik makend van de oppervlakte-methode.

Bereken de afstand die afgelegd wordt tijdens de beweging, gebruik makend van de oppervlakte-methode.

In een actiefilm is er een scène waarin een man uit een raam van een appartementsgebouw valt en op een auto terechtkomt. Bereken de snelheid waarmee de man op de auto landt als je weet dat hij over een afstand van 65 m valt. Verwaarloos de luchtwrijving. Nu is het wel duidelijk dat deze scène niet echt gespeeld is.

Bereken de gemiddelde snelheid van deze beweging.

Bereken de gemiddelde versnelling van deze beweging.

Schets een mogelijk x(t)-diagram horende bij dit vx(t)-diagram.

Schets een mogelijk vx(t)-diagram horende bij dit x(t)-diagram.

Schets een mogelijk vx(t)-diagram horende bij dit x(t)-diagram.

Bepaal de verplaatsing voor de beweging weergegeven in het vx(t)diagram. 46

Bereken de versnelling van het systeem op basis van de grafiek.

Bereken de versnelling van het systeem, tijdens de verschillende tijdsintervallen, op basis van de grafiek.

Op Venus bedraagt de valversnelling slechts 8,9

. Met welke snelheid zou een steen die van een hoogte van 20 m omlaag valt (zonder beginsnelheid) op Venus de grond raken? Geef de snelheid in km h en in m s

Bepaal de verplaatsing voor de beweging weergegeven in het vx(t)diagram.

Bepaal de verplaatsing voor de beweging weergegeven in het vx(t)diagram.

Een systeem beweegt volgens volgende bewegingsvergelijking:

x(t)= t2 12 ⋅ t

Wanneer bevindt het systeem zich in rust? Bereken. Waar bevindt het systeem zich op dat moment? Bereken. Bereken de versnelling op dat moment.

De vergelijking die de beweging van een systeem weergeeft, is:

x(t)= 12 ⋅ t2 + 36 ⋅ t + 8

Op welk tijdstip is de snelheid nul? Bereken.

Op welk tijdstip is het systeem terug in zijn vertrekpunt? Bereken.

Op welk tijdstip bevindt het systeem zich in de oorsprong? Bereken.

Twee kinderen houden een wedstrijdje ‘om ter snelst’. Ze rijden met de fiets over een recht stuk weg waar geen auto’s mogen rijden. Simon rijdt aan 2,0 m s en Ismael rijdt aan 4,5 m s Ismael komt na 45 s dus als eerste aan. Hoelang moet Ismael wachten vooraleer Simon aankomt? Bereken.

Gegeven: x(t)= 2 t2 4

Op welk tijdstip is de snelheid 0 m s ? Bereken.

Bereken de positie en de versnelling op dat moment.

Schets een mogelijk vx(t)-diagram horende bij dit x(t)-diagram.

Stel dat een parachutespringer van 75,0 kg met zijn hoofd naar beneden springt. Hij houdt hierbij zijn armen naast zijn lichaam en zijn benen gesloten. Zijn frontale oppervlakte bedraagt dan 0,180m2. De luchtweerstandscoëfficiënt bedraagt CD = 0,70 en de luchtdichtheid is ρ = 1,21 kg m3

Bereken zijn maximale valsnelheid. Is dit ook de eindsnelheid waarmee de parachutist de grond bereikt nadat hij zijn parachute geopend heeft? Leg uit.

Een houten slee is net van een helling gegleden en glijdt nu over een vlak besneeuwd stuk. De slee komt 10,0 m verder tot stilstand na 6,4 s.

Bereken de dynamische wrijvingscoëfficiënt van de slee op sneeuw.

Bereken de snelheid die de slee had in het begin van het rechte stuk.

Mira (m = 45 kg) zit op een houten slee (m = 10 kg) en schuift over een recht stuk sneeuw. Na 3,0s komt ze tot stilstand door de wrijving tussen de slee en de sneeuw. De dynamische wrijvingscoëfficiënt tussen hout en sneeuw bedraagt 0,050.

Bereken de afstand die Mira heeft afgelegd op het rechte stuk.

Bereken haar snelheid aan het begin van het rechte stuk.

Wat was haar versnelling? Bereken.

Een sprinter van 63,0 kg start een wedstrijd met een versnelling van 4,20 m s2 . Welke resulterende kracht werkt er op de sprinter? Bereken.

De sprinter houdt deze versnelling aan gedurende de eerste 20,0 m van zijn sprint, daarna blijft hij aan een constante snelheid verder lopen. Bereken deze snelheid.

Een wielrenner sprint aan het einde van een race om de overwinning te behalen. Tijdens een sprint, net voor het einde van de wedstrijd, heeft de wielrenner een beginsnelheid van 11,5 m s en versnelt met een versnelling van 0,500 m s2 gedurende 7,00 s

Wat is zijn eindsnelheid? Bereken.

De wielrenner houdt deze snelheid aan tot aan de finishlijn. Als hij zich op 300 meter van de finishlijn bevond toen hij begon te versnellen, hoeveel tijd heeft hij dan bespaard door te versnellen? Bereken.

Een andere wielrenner had een voorsprong van 5,00 m toen de winnaar begon te versnellen, maar had geen energie meer om te versnellen en reed met een snelheid van 11,8 m s tot aan de finish. Hoe ver voor hem (in meters en in seconden) eindigde de winnaar? Bereken.

Dragsters (raceauto's in een dragrace) kunnen een topsnelheid van 145 m s bereiken in slechts 4,45 s

Bereken de gemiddelde versnelling van zo’n dragster.

Vind de eindsnelheid van deze dragster, beginnend vanuit rust en versnellend met de versnelling uit puntje a over 402 m, zonder enige informatie over de tijd te gebruiken. Waarom is de eindsnelheid groter dan die gebruikt om de gemiddelde versnelling te vinden? Bespreek.

Tip: Overweeg of de aanname van constante versnelling geldig is voor een dragster. Zo niet, bespreek dan of de versnelling aan het begin of aan het einde van de run groter zou zijn en welk effect dat zou hebben op de eindsnelheid.

De hersenen van een specht worden speciaal beschermd door peesachtige bevestigingen in de schedel. Terwijl hij in een boom pikt, komt de kop van de specht vanaf een beginsnelheid van 0,600 m s op een afstand van slechts 2,00 mm tot stilstand.

Bereken de versnelling in m s2 en in veelvouden van g g = 9,80 m s2

Bereken de tijdsduur.

Er gebeurt echter nog iets in de kop van de specht. De pezen die de hersenen omsluiten, strekken zich uit, waardoor de remafstand 4,50 mm wordt (wat dus minder vertraging betekent voor de hersenen). Bereken in dat geval de versnelling van de hersenen, in m s2 en uitgedrukt in veelvouden van g.

Een onoplettende voetballer komt in botsing met een met schokdempers omwikkelde doelpaal terwijl hij rent met een snelheid van 7,50 m s . Hij komt volledig tot stilstand nadat hij de vulling en zijn lichaam 0,350 m heeft samengedrukt.

Bereken zijn versnelling.

Hoelang duurt de botsing? Bereken.

Op droog beton kan een auto vertragen met een versnelling van 7,00 m s2 , terwijl hij op nat beton slechts met een versnelling van 5,00 m s2 kan vertragen. Bereken de afstand die nodig is om een auto, die aan een snelheid van 30,0 m s rijdt, te laten stoppen:

op droog beton op nat beton

Als een bestuurder een verkeerslicht op rood ziet springen, heeft hij een reactietijd van 0,500 s nodig om zijn voet op de rem te zetten en te beginnen remmen. Herhaal beide berekeningen en bepaal de verplaatsing vanaf het punt waar de bestuurder het verkeerslicht op rood ziet springen, rekening houdend met zijn reactietijd:

op droog beton op nat beton

Een hockeyspeler raakt de puck waardoor deze versnelt van een snelheid van 8,00 m s tot 40,0 m s in dezelfde richting. Als dit schot 3,33 ⋅ 10–2 s duurt, bereken dan de afstand waarover de puck versnelt.

Gegeven: een x(t)-diagram.

Bepaal, bij benadering, de ogenblikkelijke snelheid van het systeem na 2,0 s

Gegeven: een vx(t)-diagram.

Bepaal, bij benadering, de ogenblikkelijke versnelling van het systeem na 3,0 s

70

Gegeven: een x(t)-diagram.

Bepaal, bij benadering, de ogenblikkelijke snelheid van het systeem na 15 s.

71

Bereken, bij benadering, de maximale snelheid voor de beweging weergegeven in de x(t)-grafiek.

De grafiek geeft weer hoe de snelheid van een systeem verandert tijdens een rechtlijnige beweging. Hoe kan je, vertrekkende uit deze grafiek, de gemiddelde snelheid voor deze beweging bepalen? Bepaal de gemiddelde snelheid (bij benadering).

De grafiek geeft weer hoe de snelheid van een systeem verandert tijdens een rechtlijnige beweging. Hoe kan je, vertrekkende uit deze grafiek, de gemiddelde snelheid voor deze beweging bepalen? Bepaal de gemiddelde snelheid (bij benadering).

Mila laat vanop een toren van 350 m hoog een steentje vallen. Vier seconden later laat ze een tweede steentje vallen.

Op welke hoogte bevindt het tweede steentje zich op het moment dat het eerste steentje de grond raakt? Bereken. Welke snelheid hebben beide steentjes op dat moment? Bereken.

Een deeltje beschrijft een ééndimensionale beweging op een x-as. De positie als functie van de tijd is weergegeven in de grafiek.

Op welk ogenblik is de ogenblikkelijke snelheid 0 m s ?

Noteer.

Teken, bij benadering, de overeenkomstige vx(t)-grafiek.

Bepaal, bij benadering, de maximale snelheid en de maximale versnelling van een optrekkende motor, waarvan de beweging weergegeven is in het vx(t)-diagram hiernaast.

Een jager ziet een hert en vuurt zijn geweer af. Hij mist en raakt een boom die zich 35 m van de jager bevindt. Bereken de versnelling van de kogel in de loop van het geweer als je weet dat de kogel het geweer met een snelheid van 1,5 103 km h verliet. De loop heeft een lengte van 42 cm en wrijvingskrachten mogen verwaarloosd worden. Je mag er tevens van uitgaan dat de versnelling van de kogel eenparig gebeurt.

Tijdens een experiment wordt een kogel van 10 gram door een dikke laag piepschuim geschoten. De beginsnelheid van de kogel, bij ingang van het piepschuim, bedraagt 280 m s

Bij het verlaten van het piepschuim heeft de kogel nog een snelheid van 240 m s . Het is duidelijk dat het piepschuim de kogel afremt, de remkracht die de kogel ondervindt in het piepschuim bedraagt 104 N. Bereken de dikte van de laag piepschuim.

Een auto vertrekt vanuit stilstand en trekt in 10 s op naar 120 km h . De massa van de auto (met chauffeur) bedraagt 2660 kg. Bereken de resulterende kracht op de auto.

Een jojo beweegt op en neer. De snelheid van de jojo tijdens de beweging is weergegeven in onderstaand vx(t)-diagram.

Waar in de grafiek wordt de jojo losgelaten? Leg uit.

Waar in de grafiek is de jojo volledig uitgerold? Leg uit.

Waar in de grafiek is de jojo bijna terug boven en zal hij dus vastgenomen worden? Leg uit.

Bereken, bij benadering, de versnelling die de jojo in zijn laagste punt krijgt. Door deze versnelling kan de jojo terug naar boven bewegen.

Een automobilist (A) rijdt op een weg waar een snelheidsbeperking van 30 km h geldt. De automobilist rijdt te snel voorbij een controlepost van de politie (P), waarop de politie na 5,0 s de achtervolging inzet. Hieronder vind je de x(t)-grafiek die beide bewegingen voorstelt.

Bereken met behulp van de gegevens uit de grafiek de snelheid van de automobilist in km h Bepaal uit de grafiek de afstand die de politie moet afleggen om de automobilist in te halen. Bereken met behulp van de gegevens uit de grafiek de versnelling van de politie. De beweging is eenparig versneld.

Een voorwerp valt van een hoge toren naar beneden. De val duurt 8,0 seconden. In het vx(t)-diagram zien we duidelijk dat de snelheidstoename steeds kleiner wordt, wat een gevolg is van de luchtwrijving.

Met welke snelheid raakt het voorwerp de grond? Bepaal aan de hand van de grafiek.

Wat is de versnelling van het voorwerp aan het begin van de val? Is deze versnelling gelijk aan de valversnelling op aarde? Bepaal aan de hand van de grafiek.

Wat is, bij benadering, de afgelegde afstand? Bepaal aan de hand van de grafiek.

Hoelang zou het voorwerp gevallen zijn als er geen luchtwrijving zou zijn? Bereken.

Lou beweegt volgens volgende plaatsfunctie:

x(t)= 6 t2 25 t + 55

Hamed beweegt volgens volgende plaatsfunctie:

x(t)= 9 t2 + 12 t + 55

Op welke tijdstippen ontmoeten ze elkaar? Bepaal. Hoe groot zijn de snelheden en versnellingen van Lou en Hamed op dat ogenblik? Bereken.

Wat gebeurt er precies op die tijdstippen? Wie haalt wie in? Bepaal.

Noah houdt van fietsen en beweegt volgens volgende plaatsfunctie:

x(t)= t2 2 t 2

Noah rijdt op een rechte baan.

Hoeveel keer verandert Noah de zin van zijn beweging? Bepaal.

Wanneer verandert Noah de zin van zijn beweging? Bereken.

Wanneer komt hij terug voorbij zijn vertrekpunt? Bereken.

Vanop een 40,0 m hoge toren wordt een voorwerp verticaal omhoog geworpen met een snelheid van 40,0 m s

Bereken hoe hoog het voorwerp boven de grond is als het zijn hoogste punt bereikt.

Bereken de tijd die het voorwerp nodig heeft om de grond te bereiken.

Bereken de snelheid van het voorwerp net voor het de grond raakt.

Vanop de grond, net naast een huis, wordt een pijl verticaal omhoog geschoten met een beginsnelheid van 40,0 m s . De pijl valt 7,5 s later op het dak van het huis. Bereken de hoogte van het dak en de snelheid van de pijl net voor hij op het dak valt.

Een balkvormig voorwerp met massa m schuift met een snelheid van 6 m s over een horizontaal oppervlak. Ten gevolge van de wrijving komt het blok na 3 m in 1 s tot stilstand.

Duid het juiste antwoord aan. De wrijvingscoëfficiënt μ tussen het voorwerp en het horizontaal oppervlak bedraagt: 0,1 0,3 0,6 niet te berekenen, want m is niet gekend

Een kubus met massa m schuift over een horizontaal oppervlak met een snelheid van 5,00 m s en komt

na 1,0 s tot stilstand. De kubus heeft in die 1,0 s een afstand van 2,50 m afgelegd. Bereken de dynamische wrijvingscoëfficiënt tussen de kubus en het horizontaal oppervlak.

a

Een raketslee wordt afgeremd met een versnelling van 196 m s2 .

Bereken de kracht die hiervoor nodig is, als je weet dat het systeem een massa van 2100 kg heeft.

De raketslee heeft vier raketmotoren. Bij zijn start zorgt één raketmotor voor een stuwkracht van 2,4 ⋅ 104 N. Bereken de versnelling als één raketmotor werkt en als alle vier de raketmotoren werken (hou hierbij rekening met een wrijvingskracht van 650 N in tegengestelde zin).

Waarom is de versnelling met één raketmotor niet een vierde van de versnelling met vier raketmotoren? Leg uit.

Schets een mogelijk x(t)-diagram horende bij dit vx(t)-diagram.

91

Schets een mogelijk x(t)-diagram horende bij dit vx(t)-diagram.

92 a b

Op de Olympische Spelen van 2008 in Peking werd door de Jamaicaan Usain Bolt een wereldrecord gevestigd op de 100 meter sprint voor mannen. Bolt haalde de finishlijn in een tijd van 9,69 s. Als we aannemen dat Bolt gedurende 3,00 seconden versnelde om zijn maximale snelheid te bereiken en die snelheid daarna de rest van de race vasthield, bereken dan zijn maximale snelheid en zijn versnelling.

Tijdens dezelfde Olympische Spelen vestigde Bolt ook het wereldrecord op de 200 m sprint met een tijd van 19,30 s. Wat was zijn maximale snelheid voor deze race als Bolt ook hier gedurende de eerste drie seconden versnelde, net als voor de 100 m sprint? Bereken.

© Alan Wilson from Stilton, Peterborough, Cambs, UK, CC BY-SA 2.0, via Wikimedia Commons

Analyseren

Neem een touw van 5,0 m en bevestig om de 50 cm een moer aan het touw.

Een eerste persoon laat het touw vanop de eerste of tweede verdieping uit het raam hangen, zodat het touw zich strak spant.

Een tweede persoon staat op de grond. Persoon één laat het touw vervolgens los. Het touw valt naar beneden en de moeren raken één voor één de grond.

Bedenk een manier waarop je dit experiment kan gebruiken om de valbeweging te onderzoeken.

Tip: Hou rekening met het feit dat elke moer een andere afstand aflegt. Let goed op het tikken van de moeren op de grond, de tijd tussen twee opeenvolgende tikken is van belang.

Voer het experiment uit. Wat kan je besluiten? Noteer.

In dit practicum onderzoek je de impact van de luchtwrijving op de snelheid van een vallende conus.

De conussen maak je zelf uit papier. Je gebruikt daarvoor onderstaand ontwerp, je kiest zelf de grootte. Door verschillende conussen in elkaar te schuiven, kan je de massa van de vallende conus verdubbelen, verdrievoudigen, verviervoudigen …

wegknippen

Tijdens het experiment laat je één of meerdere in elkaar geschoven conussen vallen, met hun top naar beneden. Belangrijk is dat de valafstand groot genoeg is. Tijdens het eerste deel van de val versnelt de conus immers, zijn constante snelheid moet gemeten worden tijdens het tweede deel van de val.

conusversnelt

lijmvlak

3 4

De luchtwrijving die hier speelt, is luchtwrijving bij turbulente stroming. De formule voor deze luchtwrijving is dus:

Fw = 1 2 ρ A CD v2

met:

ρ = de dichtheid van het fluïdum (vloeibaar medium)

A = de dwarsdoorsnede (oppervlakte) van het systeem, loodrecht op de stroom van het fluïdum

CD = de weerstandscoëfficiënt

ρ is hier de dichtheid van lucht, ρlucht = 1,3 kg m3 .

De weerstandscoëfficiënt is lager naarmate het systeem gestroomlijnder is (en dus minder wrijving ondervindt) en geeft dus aan hoe gestroomlijnd het systeem is.

Onderzoek het verband tussen de constante snelheid die de conus bereikt in het tweede deel van de val en de massa van de conus.

Werk dit experiment verder uit en bepaal de weerstandscoëfficiënt CD van de conus.

Open de applet via de QR-code. In deze applet wordt een val-experiment uitgevoerd.

Gebruik de meetresultaten uit de applet om het verband tussen x en t bij een vrije val na te gaan.

De lift

In de lift kan je wel eens het gevoel hebben dat je plots lichter of zwaarder wordt. We bekijken dit even naderbij.

Stel je bevindt je in een lift, jouw massa is m

De lift kan omhoog of omlaag bewegen en kan versnellen of vertragen.

Zolang je op de vloer van de lift blijft staan, zijn jouw snelheid en versnelling dezelfde als die van de lift.

We kiezen de x-as verticaal naar boven.

De zwaartekracht die op jou inwerkt, is naar beneden gericht en dus gelijk aan –m · g

De normaalkracht die de lift op jou uitoefent, is naar boven gericht en zal dus positief zijn. Het naderbij bekijken van deze normaalkracht zal ons helpen om te begrijpen wat we voelen als we in de lift staan.

De totale kracht die op jou inwerkt, is dus:

Fres = FN m g

= m a

of:

FN = m ⋅ (a + g)

Er zijn dus een aantal verschillende mogelijkheden:

de lift staat stil

In dat geval is a = 0 en dus is:

FN = m ⋅ g

Er werkt dus dezelfde kracht op jou als wanneer je gewoon op de grond zou staan.

de lift beweegt eenparig omhoog of omlaag

In dat geval is a = 0 en dus is:

FN = m g

Er werkt dus ook hier dezelfde kracht op jou als wanneer je gewoon op de grond zou staan. Je kan dus niet het verschil voelen tussen het eenparig bewegen van de lift en het stilstaan van de lift.

De lift kan natuurlijk ook versnellen, daar zijn een aantal verschillende mogelijkheden voor. We bekijken ze hieronder.

de lift gaat omhoog en versnelt

In dat geval is a positief. De normaalkracht wordt dan groter:

FN > m ⋅ g

Je voelt je zwaarder.

de lift gaat omlaag en versnelt

In dat geval is a negatief. De normaalkracht wordt dan kleiner:

FN < m ⋅ g

Je voelt je lichter.

de lift gaat omhoog en vertraagt

In dat geval is a negatief. De normaalkracht wordt dan kleiner:

FN < m ⋅ g

Je voelt je lichter. de lift gaat omlaag en vertraagt

In dat geval is a positief. De normaalkracht wordt dan groter:

FN > m ⋅ g

Je voelt je zwaarder. de lift valt naar beneden

In dat geval is a = –g. De normaalkracht wordt dan:

FN = m (g g) = 0

Er werkt dus geen normaalkracht meer. Je valt samen met de lift naar beneden ten gevolge van de zwaartekracht. Je bent dan in vrije val.

Opmerking

Je kan de invloed van de versnelling van de lift op jouw gewicht onderzoeken door in de lift op een weegschaal te gaan staan.

Opdracht 1

Een vrouw met een massa van 65 kg staat in de lift.

De lift vertrekt, stijgt met een constante versnelling van 0,50 m s2

De lift stijgt met een constante snelheid van 1,2 m s

De lift stijgt, maar vertraagt met een constante versnelling van 0,70 m s2 .

De lift stopt en staat stil.

Bereken telkens de normaalkracht die de lift uitoefent op de vrouw.

Opdracht 2

Een man met een massa van 80 kg staat in de lift.

De lift vertrekt, daalt met een constante versnelling van 0,40 m s2

De lift daalt met een constante snelheid van 1,4 m s

De lift daalt, maar vertraagt met een constante versnelling van 0,80 m s2 .

De lift stopt en staat stil.

Bereken telkens de normaalkracht die de lift uitoefent op de man.

Opdracht 3

In een pretpark wordt een lift gebruikt om het publiek het gevoel van versnelling te laten ervaren. De lift stijgt de eerste 6,0 m eenparig versneld, waarna de snelheid even constant blijft. De laatste 6,0 m stijgt de lift tot slot eenparig vertraagd.

De grafiek hieronder toont de snelheid van de lift in functie van de hoogte. h (m) vx m s 3 6 9 12 15 18 21 1 2 3 4 5 6

Bereken de versnelling van de lift tijdens de eerste 6,0 m

Bepaal de eindsnelheid van de lift na die 6,0 m

Bereken de normaalkracht die Korneel (m = 75 kg) ondervindt van de bodem van de lift tijdens de eerste 6,0 m van de rit. Zet dit ook om naar een G-kracht. Een G-kracht is een versnelling uitgedrukt in g, de valversnelling.

Bereken de normaalkracht en de G-kracht die Korneel tijdens de rest van het traject ondervindt.

Vrije val: onderzoek

Analyseer de vrije val experimenteel. Laat hiervoor een balletje vanop een bepaalde hoogte vallen. Zorg ervoor dat je het balletje geen beginsnelheid geeft. Meet met behulp van een bewegingssensor de positie van het balletje op regelmatige tijdstippen. Onderzoek het verband tussen deze posities en tijdstippen en ga zo dus het verband tussen x en t na voor een vrije val. Maak de nodige grafieken.

Verticale worp omlaag: onderzoek

In dit experiment ga je het verband tussen x en t onderzoeken als je een balletje vanop een bepaalde hoogte met een beginsnelheid naar beneden gooit. Maak de nodige grafieken. Deze beweging wordt ook wel een vrije val met beginsnelheid genoemd.

Verticale worp omhoog: onderzoek

In dit experiment ga je het verband tussen x en t onderzoeken als je een balletje met een beginsnelheid omhoog gooit. Maak de nodige grafieken.

STUDIEWIJZER

paginanummer

Ik kan het onderscheid tussen de gemiddelde snelheid en de ogenblikkelijke snelheid bespreken.p. 59-61

Ik kan het onderscheid tussen de gemiddelde versnelling en de ogenblikkelijke versnelling bespreken. p. 63-68

Ik kan het verband tussen positie, tijdstip, snelheid en versnelling bij een EVRB analyseren en kwantificeren. p. 80-90

Ik kan de x(t)-, vx(t)- en ax(t)-grafieken bij een EVRB analyseren, kwantificeren en schetsen. p. 90-92, p. 102-123

Ik kan uitleggen dat een constante tangentiële versnelling een EVRB geeft. p. 89-90

Ik kan problemen met betrekking tot de EVRB oplossen. Ik kan hierbij gebruik maken van een formularium met de nodige formules. p. 108-123

Ik kan de vrije val bespreken als een voorbeeld van een EVRB. Ik kan hierbij uitleggen dat de constante resulterende kracht in dit geval gegeven wordt door de zwaartekracht en kan de versnelling bij een vrije val zo linken aan de zwaarteveldsterkte g.

p. 93-97, p. 128

Ik kan de val in een fluïdum (val met wrijving) bespreken aan de hand van de x(t)-, vx(t)- en ax(t)grafieken. p. 98-101

Ik weet dat een versnelling en een resulterende kracht altijd samen optreden en steeds dezelfde richting en zin hebben. Ik kan dit illustreren aan de hand van enkele voorbeelden.

Ik kan de ogenblikkelijke snelheid en de ogenblikkelijke versnelling identificeren als de limiet van respectievelijk de gemiddelde snelheid en de gemiddelde versnelling.

p. 73-75, p. 80, p. 92

p. 60-61, p. 67

Ik kan de snelheids- en versnellingsfuncties bepalen als afgeleide functies van de positiefunctie. p. 62-63, p. 68-69

Ik kan bij de val met wrijving het effect van de inwerkende krachten met behulp van de wetten van Newton bespreken. p. 101

Inhoud

1.6.1Gemiddelde snelheid

1.6.2Ogenblikkelijke snelheid

1.7Versnelling

1.7.1Gemiddelde

1.7.2Ogenblikkelijke

3.1.1Definitie

3.1.2Periodieke

3.1.3Positie

3.1.4Snelheid

3.1.5Versnelling

3.1.6Kracht bij een ECB: de centripetale kracht

3.1.7Effect van versnelling op het menselijk lichaam

3.1.8Toepassingen van de ECB

3.2De horizontale worp

3.2.1Positie

3.2.2Snelheid

3.2.3Versnelling

1Kinematica in twee dimensies

Nu we de kinematica en dynamica in één dimensie en de bijhorende begrippen onder de knie hebben, kunnen we dit makkelijk uitbreiden naar twee dimensies.

1.1Positie

Om de positie in twee dimensies weer te geven maken we gebruik van de plaatsvector, ook wel de positievector genoemd.

De plaatsvector #–r geeft de positie van een systeem, ten opzichte van een gekozen oorsprong O, op tijdstip t weer.

GROOTHEID

Op tijdstip t bevindt het systeem zich in punt A. De plaatsvector #–r heeft componenten op de x- en y-as: rx en ry, welke overeenkomen met de coördinaten x en y van het punt A. De positie van A zou dus eventueel ook door middel van deze coördinaten kunnen weergegeven worden:

Voorbeeld

In dit voorbeeld wordt dat:

r = 2 #–ex + 2 #–ey =(2,2)

1.2Baan

Het systeem is in beweging en beschrijft een baan in het (x, y)-vlak. Hierdoor verandert de richting en/of grootte van de plaatsvector #–r voortdurend.

Zo bevindt een bewegend systeem zich op tijdstip t1 op positie P1 en op tijdstip t2 op positie P2

De positievectoren #–r 1 en #–r 2 geven zo de positie van het bewegend systeem op t1 en t2 weer.

De baan is de verzameling van alle opeenvolgende posities die een systeem in beweging inneemt.

Als we de eindpunten van de plaatsvectoren verbinden, vinden we de baan.

De plaatsvector is dus eigenlijk een functie van de tijd: #–r (t).

De plaatsvector wijzigt in functie van de tijd, dus ook de coördinaten wijzigen in functie van de tijd:

(t)=(x(t), y(t))

1.3Verplaatsing

De verplaatsing in een tijdsverloop Δt is de verandering van de positie in dat tijdsverloop:

De verplaatsing # –Δr is een vector die wijst van P1 naar P2. Hij wordt daarom soms ook wel verplaatsingsvector genoemd.

De verplaatsing # –Δr komt overeen met een verplaatsing Δx volgens de x-as en een verplaatsing Δy volgens de y-as. In ons voorbeeld is Δx positief en Δy negatief.

1y ) =(x2 x1 , y2 y1 ) =(Δx, Δy)

De grootte van de verplaatsing kunnen we berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras:

1.4Afgelegde weg

De afgelegde weg Δs is de afstand die het systeem in het tijdsverloop Δt langs de baan aflegt.

Δs is een scalaire grootheid en is altijd positief.

afgelegde weg Δs meter m

1.5Tijdsverloop

Het tijdsverloop Δt is de tijd die nodig is om de afgelegde weg te doorlopen: Δt = t2 – t1 Δt t1 t2 t (s)

Het tijdsverloop kan nooit negatief zijn, want t1 is altijd kleiner dan t2.

tijdsverloop Δt seconde s

1.6Snelheid

Als een systeem in beweging is, dan geeft de snelheidsvector #–v aan hoe de beweging verloopt.

De snelheid is een vectoriële grootheid en heeft een richting, zin, grootte en aangrijpingspunt: de richting en zin van de snelheidsvector geven de richting en zin van de beweging aan; de snelheidsvector is bovendien steeds rakend aan de baan. de grootte van de snelheidsvector geeft de snelheid van de beweging weer, met andere woorden: hoeveel meter per seconde het systeem aflegt.

We onderscheiden opnieuw de gemiddelde snelheid en de ogenblikkelijke snelheid.

1.6.1Gemiddelde snelheid

Ook voor bewegingen in twee dimensies kunnen we de gemiddelde snelheidsvector invoeren, dit doen we op een analoge manier als in één dimensie.

De gemiddelde snelheidsvector #–vg in het tijdsinterval Δt is:

De gemiddelde snelheidsvector heeft dezelfde richting en zin als de verplaatsingsvector.

g,x

We kunnen de gemiddelde snelheidsvector ontbinden in een component #–vg,x volgens de x-as en een component #–vg,y volgens de y-as:

vg,x +

vg,y

De grootte van de gemiddelde snelheidsvector kunnen we berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras:

vg = »v2 g,x + v2 g,y

Deze geeft de gemiddelde afstand waarover het systeem per tijdseenheid verplaatst wordt.

1.6.2Ogenblikkelijke snelheid

Bij de meeste bewegingen verandert de snelheidsvector voortdurend. Om een beweging exact te beschrijven is het noodzakelijk om op elk moment de snelheidsvector #–v te kennen.

De ogenblikkelijke snelheidsvector #–v (t) op een ogenblik t vinden we door het tijdsinterval Δt heel klein te laten worden:

De ogenblikkelijke snelheidsvector wordt vaak kortweg de snelheidsvector genoemd.

De ogenblikkelijke snelheid wordt vaak kortweg de snelheid genoemd.

GROOTHEID

ogenblikkelijke snelheid #–v meter seconde m s

Op volgende figuren zien we dat naarmate we het tijdsinterval kleiner nemen, de richting van de verplaatsingsvector, en dus ook van de gemiddelde snelheidsvector, steeds dichter bij de baan komen te liggen. Als we de limiet voor Δt gaande naar nul nemen, dan komt de snelheidsvector #–v volgens de raaklijn aan de baan te liggen. De zin van de snelheidsvector komt overeen met de zin van de beweging.

De snelheidsvector #–v is steeds rakend aan de baan. De zin van de snelheidsvector is gelijk aan de bewegingszin.

De snelheidsvector kan ontbonden worden in een component #–vx volgens de x-as en een component #–vy volgens de y-as:

De grootte van de snelheidsvector berekenen we met behulp van de stelling van Pythagoras:

v = v2 x + v2 y

Bovendien is de snelheidsvector de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd. Dit kunnen we ook in twee dimensies toepassen, dat doen we als volgt: #–v (t)= d #–

= dx dt , dy dt =(vx , vy )

Tijdens een beweging verandert de positie van de puntmassa voortdurend. Ook de snelheidsvector verandert hierbij voortdurend.

Door de snelheidsvector te ontbinden in zijn componenten volgens de x- en de y-as kunnen we de evolutie van de snelheidsvector weergeven door twee ééndimensionale functies:

#–v (t)= vx (t) #–ex + vy (t) #–ey

1.7Versnelling

Een systeem heeft een versnelling als de snelheidsvector van het systeem verandert. Deze snelheidsverandering kan een versnelling of een vertraging zijn, waarbij de grootte van de snelheidsvector toeneemt of afneemt, maar kan ook een verandering van richting inhouden, waarbij de baan van het systeem afbuigt. Dit maakt dat het begrip ‘versnelling’ soms verwarrend klinkt.

Ook hier maken we opnieuw een onderscheid tussen de gemiddelde versnelling en de ogenblikkelijke versnelling.

1.7.1Gemiddelde versnelling

Ook voor bewegingen in twee dimensies kunnen we de gemiddelde versnellingsvector invoeren, dit doen we op een analoge manier als in één dimensie.

De gemiddelde versnellingsvector #–ag in het tijdsinterval Δt is:

waarbij: #–v 1 = de snelheidsvector van het systeem op t1 #–v 2 = de snelheidsvector van het systeem op t2 GROOTHEID

gemiddelde versnelling

ag meter seconde2 m s2

We kunnen de gemiddelde versnellingsvector ontbinden in een component #–ag,x volgens de x-as en een component #–ag,y volgens de y-as:

ag,y

De grootte van de gemiddelde versnellingsvector kunnen we berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras:

1.7.2Ogenblikkelijke versnelling

Ook de versnellingsvector kan tijdens een beweging continu veranderen. Om een beweging exact te beschrijven is het dus ook noodzakelijk om op elk moment de versnellingsvector #–a te kennen.

De ogenblikkelijke versnellingsvector #–a (t) op een ogenblik t vinden we door het tijdsinterval Δt heel klein te laten worden:

(t)= lim

De ogenblikkelijke versnellingsvector wordt vaak kortweg de versnellingsvector genoemd.

De ogenblikkelijke versnelling wordt meestal kortweg de versnelling genoemd.

Afhankelijk van de richting en zin van de versnellingsvector zal het systeem versnellen, vertragen en/of van richting veranderen.

Als de versnellingsvector dezelfde richting en zin heeft als de snelheidsvector, dan zal de grootte van de snelheidsvector toenemen en versnelt het systeem.

Als de versnellingsvector dezelfde richting, maar een tegengestelde zin heeft als de snelheidsvector, dan zal de grootte van de snelheidsvector afnemen en vertraagt het systeem.

Als de versnellingsvector een andere richting heeft dan de snelheidsvector, dan zal die zorgen voor een afbuiging van de baan. Hierdoor veranderen de richting en zin van de snelheidsvector. De grootte van de snelheidsvector kan hierbij gelijk blijven (zoals bijvoorbeeld bij een ECB) of kan veranderen (zoals bijvoorbeeld bij een schuine worp).

eenparig cirkelvormige beweging (ECB) schuine worp

De linkse figuur toont een eenparig cirkelvormige beweging (ECB), de versnellingsvector staat hierbij loodrecht op de snelheidsvector en de grootte van de snelheidsvector verandert niet.

De rechtse figuur toont een schuine worp. De versnellingsvector vormt hier een hoek met de snelheidsvector die verschillend is van 90°; de grootte van de snelheidsvector verandert hierbij. Een schuine worp wordt ook wel een projectielbeweging genoemd, omdat dit de beweging is die een projectiel beschrijft nadat deze onder een bepaalde hoek met de horizontale is weggeschoten. Denk hierbij maar aan de beweging van een bal, vuurwerk, een kogel … Het projectiel beschrijft een parabolische baan onder invloed van de zwaartekracht. De horizontale component van de snelheid blijft hierbij steeds dezelfde, maar de verticale component van de snelheid verandert, onder invloed van de inwerkende valversnelling, van grootte en zin. Aangezien de zwaartekracht hier de drijvende kracht achter de bewegingsverandering is, wordt de versnelling hier gegeven door de valversnelling of zwaarteveldsterkte #–g .

Ook de versnellingsvector kan ontbonden worden in een component #–ax volgens de x-as en een component #–ay volgens de y-as.

De grootte van de versnellingsvector berekenen we met behulp van de stelling van Pythagoras:

a = a2 x + a2 y

Bovendien is de versnellingsvector de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd. Dit kunnen we ook in twee dimensies toepassen, dat doen we als volgt:

#–a (t)= d #–v dt = d(vx ⋅ #–ex + vy ⋅ #–ey ) dt

= dvx dt ⋅ #–ex + dvy dt ⋅ #–ey

= ax ⋅ #–ex + ay ⋅ #–ey

= dvx dt , dvy dt

=(ax , ay )

Tijdens een tweedimensionale beweging verandert de positie van de puntmassa voortdurend. Ook de snelheidsvector en de versnellingsvector veranderen hierbij voortdurend.

Door de versnellingsvector te ontbinden in zijn componenten volgens de x- en de y-as kunnen we de evolutie van de versnellingsvector weergeven door twee ééndimensionale functies:

1.7.3Tangentiële en normaalversnelling

Vaak wordt de versnelling ontbonden in een tangentiële component #–at en een normaalcomponent #–an

De tangentiële component #–at heeft dezelfde richting als de snelheidsvector en raakt dus aan de baan. Deze component van de versnelling noemen we de tangentiële versnelling. De tangentiële versnelling kan enkel de grootte van de snelheidsvector veranderen; hij kan dus niet de richting van de snelheidsvector wijzigen.

De normaalcomponent #–an staat loodrecht op de snelheidsvector en dus loodrecht op de baan. Deze component van de versnelling noemen we de normale versnelling. De normale versnelling kan enkel de richting van de snelheidsvector veranderen; hij kan dus niet de grootte van de snelheidsvector wijzigen.

#–a (t)= #–at (t)+ #–an (t)

Ook in twee dimensies zijn er enkele typische bewegingen. We bespreken deze in wat volgt, maar eerst bekijken we even het onafhankelijkheidsbeginsel en de dynamica voor tweedimensionale bewegingen. x

1.8Het onafhankelijkheidsbeginsel

Een belangrijk fysisch beginsel dat speelt bij twee- en ook driedimensionale bewegingen, is het onafhankelijkheidsbeginsel.

We bekijken eerst een experiment. Open hiervoor het filmpje via de QR-code.

In dit experiment wordt een bal horizontaal weggeschoten en tegelijkertijd valt een identieke bal verticaal naar beneden.

Beide ballen bereiken tegelijkertijd de grond. Alhoewel de bal die horizontaal weggeschoten wordt een veel langere baan aflegt, raken beide ballen toch op hetzelfde moment de grond. Dit zie je ook duidelijk in de vereenvoudigde animatie van dit experiment via de QR-code.

De reden die erachter zit is de ‘onafhankelijkheid der bewegingen’, ook wel het onafhankelijkheidsbeginsel genoemd.

Het onafhankelijkheidsbeginsel van bewegingen

Als twee of meer bewegingen tegelijk plaatsvinden, behouden elk van de bewegingen hun uitwerking. De beweging van een systeem kan dus beschouwd worden als een combinatie van verschillende bewegingen die elkaar niet beïnvloeden.

De beweging van een systeem mag je dus ontbinden in loodrechte bewegingen volgens de assen.

Dit onafhankelijkheidsbeginsel geldt ook voor andere bewegingen. Neem bijvoorbeeld een boot die een rivier overvaart met een constante snelheid. De snelheid van de boot staat loodrecht op de stroming van de rivier. De boot heeft een bepaalde tijd nodig om de rivier over te varen.

Stel dat dezelfde boot de volgende dag hetzelfde wil doen, maar dat er die dag heel veel stroming op de rivier staat. We zouden dan misschien geneigd zijn om te zeggen dat de boot langer onderweg is. Het tegendeel is echter waar: de beweging van de boot bestaat uit een ERB loodrecht op de stroming van de rivier en een ERB volgens de stroming van de rivier. Beide bewegingen zijn echter onafhankelijk van elkaar. De boot zal dus even snel als de dag ervoor de overkant van de rivier bereiken.

2Dynamica in twee dimensies

In de dynamica wordt het verband tussen kracht(en) en beweging bestudeerd. De dynamica bekijkt dus hoe krachten aan de oorzaak liggen van een beweging. We bekijken hier kort de dynamica in twee dimensies. Bij de studie van specifieke tweedimensionale bewegingen, zoals de ECB en de horizontale worp, gaan we hier telkens nog dieper op in.

Zoals we weten, is kracht een vectoriële grootheid. Een kracht #–F heeft een richting, zin, aangrijpingspunt en grootte.

Bovendien kunnen er tegelijk meerdere krachten inwerken op een systeem. De resulterende kracht (ook nettokracht genoemd) is dan de vectorsom van alle krachten die op het systeem uitgeoefend worden:

De wetten van Newton spelen hier alweer een cruciale rol.

De eerste wet van Newton maakt duidelijk wat er gebeurt als de resulterende kracht op het systeem nul is.

De eerste wet van Newton

Als er op een systeem geen (resulterende) kracht wordt uitgeoefend, behoudt het zijn bewegingstoestand:

is het systeem in rust, dan blijft het in rust; beweegt het systeem, dan blijft het bewegen met een constante snelheid en in dezelfde richting en zin; het voert dus een eenparig rechtlijnige beweging uit (ERB).

Bij een resulterende kracht gelijk aan nul hebben we, wat bewegingen betreft, dus maar één mogelijkheid: de ERB.

De tweede wet van Newton maakt duidelijk wat er gebeurt als de resulterende kracht op het systeem niet nul is.

De tweede wet van Newton

De verandering van de snelheid (= de versnelling) is recht evenredig met de resulterende kracht.

Of in formulevorm:

#–

F = m #–a

waarbij: #–

F = de resulterende kracht die inwerkt op het systeem (N) #–

a = de versnelling groottein m s2 groottein m s2

m = de massa (kg)

De massa van een systeem is hierbij een scalaire grootheid, ze is een maat voor de weerstand tegen snelheidsveranderingen, met andere woorden, een maat voor de traagheid.

De resulterende kracht en de versnelling zijn vectoriële grootheden. Ze hebben dezelfde richting en zin (de massa is immers positief). De resulterende kracht geeft de massa een versnelling #–a met dezelfde richting en zin als de resulterende kracht #–F

De resulterende kracht #–F is de vectorsom van de verschillende krachten die op het systeem inwerken:

Deze vectorvergelijking zetten we om in algebraïsche vergelijkingen zodat we ermee kunnen rekenen.

We doen dit door de krachten te projecteren volgens de x- en de y-as. We krijgen zo twee vergelijkingen die de krachtcomponenten volgens respectievelijk de x- en de y-as bevatten:

Fi,x = m ax

Merk hierbij op dat de krachtcomponent volgens een bepaalde richting enkel de beweging in die richting beïnvloedt.

We bespreken verder in dit leerboek de horizontale worp en de eenparig cirkelvormige beweging als voorbeelden van tweedimensionale bewegingen met een resulterende kracht verschillend van nul.

Merk op dat bij een tweedimensionale beweging de resulterende kracht altijd verschillend is van nul. Bij tweedimensionale bewegingen speelt dus altijd een versnelling, zelfs als de grootte van de snelheid constant is. Dit komt omdat bij tweedimensionale bewegingen de richting van de snelheid voortdurend verandert, anders zou het systeem een rechtlijnige, ééndimensionale beweging uitvoeren.

3Tweedimensionale bewegingen

3.1De eenparig cirkelvormige beweging

3.1.1Definitie

We kennen ondertussen de eenparig rechtlijnige beweging (ERB). Dit is een eenparige beweging langs een rechte baan.

Een eenparige beweging kan echter ook langs een cirkelvormige baan gebeuren. We spreken dan van een eenparig cirkelvormige beweging, ook wel ECB genoemd. Deze ECB zullen we hier uitvoerig beschrijven en bestuderen.

Een eenparig cirkelvormige beweging of ECB is een eenparige beweging langs een cirkelvormige baan.

Bij een ECB is de grootte van de snelheid constant, maar veranderen de richting en zin van de snelheidsvector wel tijdens de beweging.

3.1.2Periodieke beweging

Als we een treintje op een cirkelvormige baan laten rijden, doorloopt deze steeds hetzelfde traject na elkaar. Het treintje volgt immers telkens opnieuw de baan van de cirkel. Dit is een voorbeeld van een periodieke beweging.

Rondom ons zijn er heel wat periodieke bewegingen: de planeten die rond de zon draaien, de wijzers van een uurwerk die ronddraaien, een kind op een draaimolen die steeds dezelfde cirkelvormige baan volgt, een satelliet die rond de aarde draait, schommels die heen en weer gaan, een massa aan een veer die op en neer beweegt en ga zo maar door. Dit zijn allemaal voorbeelden van periodieke bewegingen.

Bij periodieke bewegingen definiëren we volgende grootheden.

De periode T is de duur van één cyclus. Dit wordt uitgedrukt in seconden (s).

De frequentie f is het aantal cycli per tijdseenheid. Dit wordt uitgedrukt in hertz (Hz).

Hierbij geldt:

periode T seconde s frequentie f hertz Hz = 1 s

3.1.3Positie

Bij een cirkelvormige beweging gaan we gebruik maken van de hoek θ om de positie aan te duiden.

De hoek θ varieert in de tijd. In een tijdsinterval Δt = t2 – t1 wordt een hoek Δθ = θ2 – θ1 doorlopen.

De plaatsvector #–r heeft componenten #–x op de x-as en #–y op de y-as. We kunnen de plaatsvector dus schrijven als:

x #–ex + y #–ey =(x, y)

met: x = r cos θ y = r sin θ

De plaatsvector voor een ECB wordt gegeven door:

3.1.4Snelheid

Bij een ECB definiëren we twee snelheden:

De baansnelheid #–v : de baansnelheid is de snelheid zoals we die reeds kennen en die ook in voorgaande figuren werd voorgesteld. In het geval van een ECB raakt deze aan de cirkelvormige baan en is constant in grootte.

De hoeksnelheid ω: de hoeksnelheid geeft het verband tussen de doorlopen hoek en de tijd. Ze geeft weer welke hoek per tijdseenheid doorlopen wordt. De hoeksnelheid wordt soms ook wel de pulsatie genoemd.

We bespreken beide snelheden uitgebreid in wat volgt.

De hoeksnelheid

Bij een ECB varieert de hoek θ in de tijd. In een tijdsinterval Δt = t2 – t1 wordt een hoek

doorlopen.

Aangezien de ECB een eenparige beweging is, worden er gelijke afstanden (cirkelbogen) in gelijke tijden beschreven. Hierdoor worden ook gelijke hoeken in gelijke tijden doorlopen. Op basis daarvan definiëren we de hoeksnelheid:

Voor cirkelvormige bewegingen berekenen we de gemiddelde hoeksnelheid met:

De ogenblikkelijke hoeksnelheid berekenen we met:

Opmerking

In het geval van een eenparig cirkelvormige beweging (ECB) verloopt de cirkelbeweging aan een constante hoeksnelheid, in dat geval geldt:

We spreken hier dus kortweg van de hoeksnelheid ω

Bij een volledige omwenteling wordt een hoek van 2π doorlopen in een periode T, de tijd die nodig is voor een volledige omwenteling. Dus is:

De formule voor de hoeksnelheid of pulsatie wordt gegeven door:

We kunnen dit ook schrijven in functie van de frequentie, aangezien T = 1 f :

waarbij:

ω = de hoeksnelheid

T = de periode

f = de frequentie

De hoeksnelheid wordt dus uitgedrukt in graden seconde of in radialen seconde .

GROOTHEID

hoeksnelheid of pulsatie ω

graden seconde of radialen seconde ° s of rad s

De hoeksnelheid is een scalaire grootheid.

Voorbeeld

Een draaimolen doet 15 seconden over één toertje, één omwenteling dus. We berekenen even zijn hoeksnelheid:

T = duur van één omwenteling = 15 s ω = 2 ⋅ π T = 2 ⋅ π 15s = 0,42 rad s

De hoeksnelheid kan eventueel ook in graden seconde uitgedrukt worden, dat geeft in ons geval:

ω = 360° T = 360° 15s = 24° s

De hoeksnelheid geeft dus weer welke hoek per seconde doorlopen wordt. Waar je ook zit op de draaimolen, dicht bij de as of aan de buitenkant, deze is overal dezelfde.

De baansnelheid

De baansnelheid is de snelheid zoals we die kennen en is dus de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd.

Opmerking

Ook hier is de gemiddelde baansnelheid gelijk aan de ogenblikkelijke baansnelheid, aangezien de grootte van de baansnelheid constant is voor een ECB. We spreken hier dus ook enkel van baansnelheid. #–v = d #–r dt

waarbij: #–r = #–x + #–y = x ⋅ #–ex + y ⋅ #–ey

Het afleiden van deze plaatsvector geeft:

Aangezien:

krijgen we:

v

De snelheidsvector voor een ECB wordt gegeven door:

v noemen we de baansnelheid.

De grootte van de baansnelheid bedraagt dus:

Aangezien: ω = 2 ⋅ π T = 2 π f

kunnen we dit ook nog schrijven als:

v = 2 π r T = 2 π r f

De grootte van de baansnelheid kunnen we berekenen met:

v = 2 ⋅ π ⋅ r T of:

v = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ f waarbij:

v = de baansnelheid

r = de straal van de cirkel

T = de periode f = de frequentie

GROOTHEID

EENHEID

baansnelheid #–v meter seconde m s

De baansnelheid is een vectoriële grootheid die steeds rakend is aan de baan en waarvan de richting en zin dus steeds veranderen. De grootte van de baansnelheidsvector blijft echter constant gedurende heel de beweging.

Er bestaat een eenvoudig verband tussen de baansnelheid en de hoeksnelheid:

Voorbeeld

Een draaimolen doet 15 seconden over één toertje, één omwenteling dus. We berekenen zijn baansnelheid:

T = duur van één omwenteling = 15 s

v = 2 π r T = 2 ⋅ π ⋅ r 15s

We zien dat de plaats waar we op de draaimolen zitten, een invloed heeft op de baansnelheid die we daar ondervinden. Hoe verder we van het midden van de draaimolen zitten, hoe groter de baansnelheid.

Als we dicht bij de as van de draaimolen zitten, op 1,0 m van de as, dan is de baansnelheid:

r = 1,0 m

v = 2 π r T = 2 π 1,0m 15s = 0,42 m s

Als we verder van de as van de draaimolen zitten, op 4,0 m van de as, dan is de baansnelheid:

r = 4,0 m

v = 2 π r T = 2 π 4,0m 15s = 1,7 m s

3.1.5Versnelling

Ondanks dat een ECB een eenparige beweging is, wat hier inhoudt dat de snelheid in grootte constant is, is hier toch een versnelling (verschillend van nul) nodig. Deze versnelling zorgt hier voor de richtingsverandering en dus niet voor een verandering van de grootte van de snelheid.

De versnelling is de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd:

#–a = d #–v dt

waarbij: #–v = #–vx + #–vy

Het afleiden van de snelheidsvector geeft:

Aangezien: v

krijgen we:

De versnellingsvector voor een ECB wordt gegeven door:

De grootte van de versnelling bedraagt dus:

aangezien:

De straal van de eenparig cirkelvormige beweging, alsook de snelheid (baan- of hoeksnelheid) bepalen de grootte van de versnelling.

De grootte van de versnelling bij een ECB wordt gegeven door:

De versnelling is een vectoriële grootheid.

De versnelling bij een ECB is steeds naar het middelpunt van de cirkel gericht en staat loodrecht op de snelheidsvector. Dat maakt van deze versnelling een normale versnelling, die voor een richtingsverandering zorgt. De richting en zin van de snelheidsvector veranderen dus voortdurend. De grootte van de snelheid blijft echter wel constant, de tangentiële component van de versnelling is immers gelijk aan nul.

Een systeem met een constante normale versnelling voert dus een ECB uit.

De versnelling bij een ECB heeft enkel een normale component, we noemen deze de centripetaleversnelling: acp = ω2 ⋅ r = v2 r

De centripetale versnelling wordt ook wel de middelpuntzoekende versnelling genoemd.

3.1.6Kracht bij een ECB: de centripetale kracht

Bij een ECB is steeds een kracht werkzaam. Deze is immers nodig om het systeem op zijn cirkelvormige baan te houden. We noemen deze kracht de centripetale kracht. Zonder deze kracht zou het systeem verder bewegen volgens de raaklijn aan de cirkel en dus een eenparig rechtlijnige beweging, een ERB, volgen. Dit is een gevolg van de eerste wet van Newton.

Volgens de tweede wet van Newton is:

In het geval van een ECB wordt dit dus:

De grootte van de centripetale kracht bij een ECB wordt gegeven door:

De centripetale kracht is een vectoriële grootheid.

De centripetale kracht is steeds naar het middelpunt van de cirkel gericht en staat loodrecht op de snelheidsvector. De richting en zin van de centripetale kracht veranderen dus voortdurend. De grootte van de centripetale kracht blijft echter wel constant.

3.1.7Effect van versnelling op het menselijk lichaam

De mens is al eeuwen gek op achtbanen. De eerste achtbanen dateren van de 17de eeuw, in Rusland werden toen met ijs bedekte houten constructies gemaakt die als glijbaan dienden. Ze kregen de populaire naam ‘de Russische bergen’, een naam die nu nog steeds aan achtbanen wordt gegeven.

De soldaten van Napoleons leger namen het idee mee naar Frankrijk, waarna men ook in Frankrijk achtbanen begon te bouwen. Daar werd het concept uitgebreid naar wagentjes op rails en werden er zelfs loopings gebouwd. Toch werden achtbanen in Frankrijk niet echt populair.

In de Verenigde Staten daarentegen was de belangstelling enorm en die belangstelling is gebleven, jaarlijks gaan immers meer dan 300 miljoen Amerikanen naar een pretpark.

Maar vanwaar komt deze grote belangstelling? Dat bekijken we even naderbij.

Achtbaanontwerpers proberen het wagentje aan een zo hoog mogelijke snelheid te laten rijden en zorgen ervoor dat je evenwichtsorgaan voor de gek wordt gehouden.

De onverwachte bewegingen van het wagentje maken je een beetje misselijk en geven je een raar gevoel, maar achtbaanliefhebbers doen het daar natuurlijk niet voor. Zij zijn op zoek naar een kick en die krijgen ze niet door de snelheid waarmee het wagentje rijdt, maar wel door de versnelling van het wagentje.

Tijdens een ritje op een achtbaan wordt je lichaam blootgesteld aan een opeenvolging van positieve en negatieve versnellingen. Ons lichaam ervaart dit als een gevaarlijke situatie met een verhoogde adrenalineproductie tot gevolg. Door dit hormoon te produceren bereidt je lichaam zich voor op actie, je krijgt het gevoel dat je alles aankan en heel veel energie hebt. Adrenaline is dus eigenlijk een natuurlijke drug.

Bochten en loopings veroorzaken versnellingen die kunnen oplopen tot een aantal g, een aantal keer de grootte van de zwaarteveldsterkte dus.

We weten immers dat voor een looping geldt:

acp = v2 r (voor een eenparig cirkelvormige beweging)

Hoe hoger de snelheid en hoe kleiner de straal van de looping, hoe groter de versnelling in de looping.

Zo laat een achtbaan met een maximale versnelling van 2 g je voor even twee keer zo zwaar voelen als normaal. Je hebt het gevoel dat je samengedrukt wordt en je bloed stroomt naar je voeten. Aangezien er hierbij minder bloed naar je hersenen gaat, kan je het bewustzijn verliezen. Een gemiddeld persoon zou ongeveer tot 5 g aan positieve G-krachten kunnen verdragen.

Bij negatieve G-krachten word je even minder zwaar, je hebt het gevoel dat je uit je stoel vliegt. Nu stroomt het bloed uit je lichaam naar je hoofd, wat als onprettig ervaren kan worden. Onze weerstand tegen negatieve G-krachten ligt veel lager dan onze weerstand tegen positieve G-krachten. Negatieve G-krachten zijn slechts veilig tot aan –1,5 g.

In bochten werken zijdelingse G-krachten. Je lichaam wordt dan tegen de zijkant van het wagentje gedrukt. Zijdelingse G-krachten blijven best beperkt tot tussen 0,5 g en –0,5 g.

Soortgelijke ervaringen kan je ook krijgen in een voertuig of vliegtuig dat optrekt, afremt of een bocht neemt. Zelfs in een lift voel je dit effect.

Opmerking

We hebben het hier over G-krachten, maar deze benaming is niet helemaal goed gekozen. G-krachten zijn namelijk geen krachten, maar de benaming voor een versnelling uitgedrukt in g.

Bekijk via de QR-code een filmpje waarin enkele stoere kerels een zo hoog mogelijke G-kracht willen ondervinden.

3.1.8Toepassingen van de ECB

Heel wat bewegingen zijn cirkelvormig, denk maar aan een auto of een fiets in een bocht, aan een satelliet die rond de aarde draait, aan de ringen van Saturnus of aan een schaatser die een pirouette draait. Voor elk van deze cirkelvormige banen is een centripetale kracht nodig.

Vlakke bocht

We bekijken als voorbeeld een auto die op een vlak wegdek een bocht met straal r neemt. In de situatie waarbij een auto een horizontale, vlakke bocht neemt, wordt de centripetale kracht geleverd door de statische wrijvingskracht.

De maximale snelheid waarmee de auto de bocht mag nemen, is afhankelijk van de statische wrijving en dus van de statische wrijvingscoëfficiënt tussen het wegdek en de banden van de auto.

We hebben:

We zien dat de maximale snelheid waarmee de auto de bocht kan nemen, afhankelijk is van de statische wrijvingscoëfficiënt, de zwaarteveldsterkte en de straal van de bocht. Opmerkelijk is wel dat de massa van de auto geen rol speelt, de maximale snelheid is dus even groot voor een klein autootje als voor een zware vrachtwagen.

Aangezien de wrijvingscoëfficiënt tussen de banden en het wegdek afhankelijk is van de weersomstandigheden, wordt er vaak voor gekozen om het wegdek een helling te geven in een bocht. Dit merk je duidelijk bij op- en afritten van autosnelwegen, bij racecircuits, in een velodroom, zelfs bij treinsporen kan je dit opmerken.

Schuine bocht

We bekijken nu ook het voorbeeld van een auto die op een schuin wegdek een bocht met straal r neemt.

Het wegdek maakt hierbij een hoek α met de horizontale, met als bedoeling dat een auto de bocht zou kunnen nemen zonder dat er wrijving noodzakelijk is.

Als er geen wrijvingskracht op de auto inwerkt, dan zijn de normaalkracht en de zwaartekracht de enige krachten die op de auto inwerken. De centripetale kracht wordt in dat geval geleverd door de horizontale component van de normaalkracht, #–FN,x .

De hellingshoek wordt ook verkanting genoemd.

De horizontale component van #–FN levert de centripetale kracht, dus: FN,x = Fcp

⟺ FN sin α = m v2 r

De verticale component van #–FN is in grootte gelijk aan de zwaartekracht, dus: FN,y = Fz

⟺ FN cos α = m g

Als we de eerste vergelijking delen door de tweede, dan vinden we:

sin α

g

De ideale snelheid om deze bocht te nemen is dus: videaal = √tan α ⋅ r ⋅ g

Ook hier is de snelheid onafhankelijk van de massa van de auto. Enkel de hellingshoek, de zwaarteveldsterkte en de straal van de bocht bepalen de snelheid.

Opmerking

Als fietsers of motorrijders op een vlak wegdek een bocht nemen, doen ze dat door hun lichaam schuin te houden. Op die manier creëren ze immers de nodige centripetale kracht.

Hier is:

Waarbij α de hoek is die de fietser maakt met de verticale. We vinden hier dezelfde formule als bij het wegdek met verkanting terug.

Looping

Ook een looping is een cirkelvormige beweging.

Als we een stuntvliegtuig beschouwen dat in een verticaal vlak een cirkel beschrijft, dan maakt die een looping.

Tijdens deze beweging is ook een centripetale kracht nodig om de cirkel te beschrijven.

Onderaan de looping werken de normaalkracht en de zwaartekracht op de piloot. Beide krachten hebben een tegengestelde zin, waardoor:

Fcp = FN Fz

⟺ FN = m ⋅ v2 r + m g

De normaalkracht wordt dus groter naarmate de snelheid toeneemt en/of de straal van de cirkel (looping) afneemt.

Ook bovenaan de looping werken de normaalkracht en de zwaartekracht op de piloot. Beide krachten hebben nu wel dezelfde zin, waardoor:

Fcp = FN + Fz

⟺ FN = m v2 r m g

Ook hier wordt de kracht dus groter als de snelheid toeneemt en/of de straal van de cirkel (looping) afneemt.

De kracht die de piloot ondervindt, is dus afhankelijk van de positie van het vliegtuig.

FN = m v2 r m g FN = m v2 r + m g

N = m ⋅ v2

Als een looping met een bepaalde straal wordt uitgevoerd, zal de snelheid bepalen hoe de piloot in het hoogste punt de looping ervaart:

Als de snelheid te klein is en dus Fz > Fcp, dan zal de piloot in het bovenste punt van de looping loskomen uit zijn zitje en het gevoel hebben te vallen.

Als de snelheid groot genoeg is zodat Fz < Fcp, dan zal de piloot in het bovenste punt van de looping een extra kracht voelen die hem in zijn zitje duwt.

Als de snelheid net groot genoeg is en dus Fz = Fcp , dan zal de piloot in het bovenste punt van de looping geen extra kracht voelen. Deze snelheid is dan ook de kleinste snelheid waarmee de looping zou moeten uitgevoerd worden.

Deze snelheid is:

Fcp = Fz

⟺ m v2 r = m ⋅ g

⟺ v = √g r

Ook hier staat geen massa in de formule, deze speelt dan ook geen rol.

De baan van planeten of satellieten

Planeten bewegen rond de zon, manen en satellieten bewegen rond planeten. Zelfs de ringen van Saturnus, die bestaan uit steenbrokken, bewegen in hun baan rond Saturnus. Het principe van deze bewegingen is steeds hetzelfde, ze worden in hun baan gehouden doordat de gravitatiekracht die erop inwerkt, gelijk is aan de centripetale kracht:

Fg = Fcp

⟺ G m1 m2 r2 = m1 v2 r

⟺ v = G ⋅ m2 r

Wederom speelt de massa van het systeem dat de cirkelvormige baan volgt geen rol.

3.2De horizontale worp

Bij een horizontale worp wordt een projectiel, zoals een kogel, een bal of een pijl, horizontaal weggegooid of weggeschoten.

Op de figuur hiernaast geeft de beginsnelheid de richting en zin van de start van de beweging weer. Het projectiel vertrekt op een hoogte h boven het grondoppervlak. De beginhoogte van de beweging is dus h, de beginsnelheid is #–v0

Het is hier belangrijk om op te merken dat we de luchtwrijving buiten beschouwing laten.

Als we kijken naar de krachten die inwerken op het systeem, dan is - in deze omstandigheden - enkel de zwaartekracht #–Fz werkzaam. Deze is constant en naar beneden gericht.

grond

In het geval van de horizontale worp kan de beweging ontbonden worden in een verticale component volgens de y-as en een horizontale component volgens de x-as (volgens het onafhankelijkheidsbeginsel van bewegingen).

3.2.1Positie

Volgens de tweede wet van Newton is: #–F = m #–a

Door het onafhankelijkheidsbeginsel van bewegingen kunnen we deze wet toepassen op beide assen afzonderlijk. In wat volgt, bekijken we de beweging volgens de x-as en de beweging volgens de y-as afzonderlijk.

volgens de x-as

Fx = m ⋅ ax

Er is echter geen kracht werkzaam volgens de x-richting, dus:

Fx = 0N

Er is dus ook geen versnellingscomponent volgens de x-as:

ax = 0 m s2

Hieruit kunnen we afleiden dat het systeem een ERB uitvoert volgens de x-as.

Volgens de x-as geldt dus volgende bewegingsvergelijking:

x(t)= x0 + v0,x (t t0 )

waarbij:

x0 = 0 m

t0 = 0 s

v0,x = v0

De plaatsfunctie volgens de x-as is dus:

x(t) = v0 ⋅ t

volgens de y-as

Fy = m ⋅ ay

Volgens de y-as is de zwaartekracht werkzaam. Er is hier dus een constante kracht, verschillend van nul werkzaam:

Fy = Fz = cte ≠ 0

De versnellingscomponent volgens de y-as is dus constant en verschillend van nul:

ay = cte ≠ 0

Hieruit kunnen we afleiden dat het systeem een EVRB uitvoert volgens de y-as. De versnelling die werkzaam is op het systeem, is natuurlijk de valversnelling. We gaan deze valversnelling hier een negatief teken geven omdat deze tegengesteld is aan de zin van de y-as (die we naar boven hebben gekozen).

Volgens de y-as geldt dus volgende bewegingsvergelijking:

y(t)= y0 + v0,y (t t0 )+ ay 2 (t t0 )2

waarbij:

y0 = h

v0,y = 0 m s

t0 = 0s ay = g

De plaatsfunctie volgens de y-as is dus:

x(t)= v0 ⋅ t y(t)=

Voor een horizontale worp zijn dus volgende bewegingsvergelijkingen geldig:

x(t)= v0 ⋅ t

y(t)= h 1 2 ⋅ g ⋅ t2

Naast bewegingsvergelijkingen kunnen we van een beweging ook een baanvergelijking geven. Daarvoor kijken we naar de baan van de beweging.

De baanvergelijking vinden we door uit de bewegingsvergelijkingen de t te elimineren.

Uit de plaatsfunctie volgens de x-as:

x = v0 t

volgt:

t = x v0

Als we dit invullen in de plaatsfunctie volgens de y-as, krijgen we:

y = h 1 2 g t2

⟺ y = h 1 2 ⋅ g ⋅ x v0 2 = h 1 2 ⋅ g ⋅ x2 v2 0

Voor een horizontale worp is volgende baanvergelijking geldig:

y(x)= h 1 2 ⋅ g ⋅ x2 v2 0

Deze tweedegraadsvergelijking geeft weer hoe de horizontale worp verloopt. We vinden op deze manier ook een bevestiging van de parabolische baan die ons systeem volgt.

Een beetje wiskunde

In de wiskundelessen zien jullie volgende algemene vorm voor een tweedegraadsvergelijking:

y(x)= a x2 + b x + c

Als we onze baanvergelijking in deze vorm schrijven, vinden we:

y(x)= g 2 v2 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ x + h

Bij een parabool kunnen we de x-coördinaat van de top als volgt berekenen:

xtop = b 2 a = 0 2 g 2 v2 0 = 0

Het punt x = 0 is de top van de parabool, wat hier overeenkomt met de hoogte h x y #–v0 h

Bekijken we de baanvergelijking in detail, dan zien we twee termen waarbij de eerste term het hoogste punt weergeeft en de tweede term het hoogteverlies:

hoogteverlies = g x2 2 v2 0 h

y(x)= h hoogstepunt g 2 v2 0 x2 hoogteverlies x y hoogstepunt

Bij een horizontale worp is het hoogteverlies tijdens de beweging gelijk aan: hoogteverlies = g ⋅ x2 2 ⋅ v2 0

We kunnen ook bekijken waar en na hoeveel tijd het projectiel de grond bereikt. We berekenen in dat geval het bereik van de horizontale worp.

Het bereik is de horizontale afstand die het systeem aflegt tijdens de horizontale worp, voordat het de grond bereikt. Het bereik wordt ook wel de dracht genoemd, vandaar de letter d.

y d #–v0 h

Het bereik kunnen we berekenen door in de baanvergelijking y = 0 te stellen. Het systeem bereikt op dat moment immers de grond:

y = h g ⋅ x2 2 v2 0 = 0

⟺ h = g x2 2 ⋅ v2 0

⟺ x2 = 2 ⋅ h ⋅ v2 0 g

⟺ x =   2 h v2 0 g

Bij een horizontale worp is het bereik gelijk aan: d =   2 ⋅ h ⋅ v2 0 g

3.2.2Snelheid

De snelheid die het systeem tijdens een horizontale worp ondervindt, verandert voortdurend. x y

De snelheidsvector kan steeds ontbonden worden in twee componenten, een component #–vx volgens de x-as en een component #–vy volgens de y-as:

volgens de x-as

De snelheidsvector #–vx is constant en gelijk aan de beginsnelheid #–v0 . Volgens de x-as hebben we immers een ERB:

De snelheidsfunctie volgens de x-as is dus:

vx (t)= v0

volgens de y-as

De snelheidsvector #–vy is nul bij het begin van de horizontale worp, maar neemt steeds toe in grootte naarmate de beweging vordert. Volgens de y-as hebben we immers een EVRB met een beginsnelheid gelijk aan nul:

vy (t)= v0,y + ay (t t0 )

waarbij:

t0 = 0s

v0,y = 0 m s ay = g

De snelheidsfunctie volgens de y-as is dus:

vy (t)= g ⋅ t

Bij een horizontale worp wordt de snelheidsvector gegeven door:

De componenten van de snelheidsvector zijn:

vx = v0

vy = –g ⋅ t

De grootte van de snelheidsvector kunnen we als volgt berekenen:

v

Opmerking

We kunnen hier ook de wiskundige redenering toepassen en de snelheidsfunctie berekenen door de plaatsfunctie af te leiden:

volgens de x-as

vx (t)= dx(t) dt

= d(v0 ⋅ t) dt

= v0

volgens de y-as

vy (t)= dy(t) dt

= d dt h 1 2 g t2

= g ⋅ t

Dit geeft ons hetzelfde resultaat.

3.2.3Versnelling

We bekijken de versnellingsvector volgens de x-as en volgens de y-as:

volgens de x-as

Bij een horizontale worp heeft de versnelling geen component volgens de x-as. Volgens de x-as hebben we immers een ERB.

volgens de y-as

De horizontale worp heeft een constante versnelling volgens de y-as. We hebben hier immers te maken met een EVRB met een beginsnelheid gelijk aan nul:

ay = –g

Bij een horizontale worp geldt voor de versnelling:

met: ax = 0 ay = g = g ⋅

ey =(0, g)

De grootte van de versnellingsvector kunnen we als volgt berekenen:

a = a2 x + a2 y

= 02 + g2

= g

Opmerking

We kunnen hier ook de wiskundige redenering toepassen en de versnellingsfunctie berekenen door de snelheidsfunctie af te leiden:

volgens de x-as

ax (t)= dvx (t)

dt = dv0

dt = 0

volgens de y-as

ay (t)= dvy (t)

dt

= d( g t)

dt = g

Dit geeft ons hetzelfde resultaat.

Tangentiële en normale versnelling

We bekijken tot slot nog de tangentiële component #–at en de normale component #–an van de versnelling.

De snelheid van het systeem tijdens een horizontale worp verandert voortdurend van richting en zin, maar ook van grootte.

De tangentiële component van de versnelling zorgt daarbij voor de verandering van de grootte van de snelheid.

De normale component van de versnelling zorgt daarbij voor de verandering van de richting en zin van de snelheid.

4Verder oefenen?

Begrijpen

Leg het verschil uit tussen baansnelheid en hoeksnelheid bij een eenparig cirkelvormige beweging.

Kan een centripetale versnelling de snelheid van een systeem dat een ECB uitvoert, veranderen? Leg uit.

Definieer de centripetale kracht. Welke kracht is de centripetale kracht bij de beweging van de aarde rondom de zon? Noteer.

De centripetale kracht is naar het middelpunt van de cirkel gericht. Waarom voelt het dan alsof je weggeslingerd wordt uit de cirkelvormige beweging als een auto een bocht neemt? Leg uit.

Deze fietser neemt een bocht met straal r, zijn baansnelheid heeft een constante grootte.

Duid het juiste antwoord aan. De resulterende kracht die het wegdek op de fietsband uitoefent, is dan het best weergegeven in:

1.Racewagens snijden vaak hoeken af op een circuit, zoals getoond in de tekening hiernaast. Leg uit waarom ze dat doen.

Veel pretparken hebben achtbanen met een looping, zoals op de figuur hiernaast. Voor de veiligheid haken de wagentjes vast aan de rails zodat ze niet zouden vallen.

Is dit noodzakelijk? Leg uit.

Wat gebeurt er als de snelheid van de wagentjes groter is dan de snelheid horende bij een ECB? Leg uit.

Wat gebeurt er als de snelheid van de wagentjes kleiner is dan de snelheid horende bij een ECB? Leg uit.

Welke kracht levert de centripetale kracht in onderstaande voorbeelden? Noteer.

Een keitje dat aan een touw rondgezwierd wordt.

Een fiets die een bocht neemt.

De beweging van de maan rond de aarde.

Wat is de voorwaarde om van een horizontale worp te kunnen spreken? Noteer.

Bij een horizontale worp is het hoogteverlies tijdens de beweging gelijk aan: hoogteverlies = g x2 2 v2 0

We zien daarbij dat:

• bij een constante v0 geldt: hoe groter x, hoe groter het hoogteverlies

• bij een constante x geldt: hoe groter v0, hoe kleiner het hoogteverlies

Leg dit uit.

Een intercontinentale ballistische rakket (ICBM) heeft een grotere gemiddelde versnelling dan de Space Shuttle en bereikt dus een grotere snelheid in de eerste minuten van de vlucht. De Space Shuttle krijgt echter een grotere eindsnelheid, zodat hij in een baan rond de aarde kan draaien in plaats van direct weer naar beneden te komen zoals een ICBM doet. Hoe kan dat? Leg uit.

Bekijk het filmpje via de QR-code en verklaar wat je waarneemt.

Bekijk het filmpje via de QR-code en verklaar wat je waarneemt.

Bekijk het filmpje via de QR-code en verklaar wat je waarneemt.

De maan beweegt in een baan rond de aarde. De maan draait rond in 27,33 dagen. De afstand aarde-maan bedraagt 405 500 km

Welke krachten spelen een rol bij deze beweging? Noteer. Maak een tekening. Teken de krachten. Heeft de maan een versnelling? Verklaar.

Open de applet via de QR-code. Welke fysische wet toont deze applet duidelijk? Bespreek.

Toepassen

In een microgolfoven draait de glazen plaat zes keer rond per minuut. Bereken met hoeveel rotaties per seconde dit overeenkomt. Wat is de hoeksnelheid van de glazen plaat in radialen per seconde? Bereken.

Bereken de periode van de aardrotatie rond haar as in seconden. Wat is de hoeksnelheid van de aarde? Bereken.

Bereken de baansnelheid van de aarde op de evenaar. De aardstraal ter hoogte van de evenaar bedraagt 6,4 106 m

Een baseballwerper maakt tijdens een pitch een cirkelvormige beweging met zijn arm door zijn onderarm te bewegen. De snelheid van de bal in de hand van de pitcher bedraagt 35,0 m s . De bal bevindt zich op 0,300 m van de elleboog van de werper. Bereken de hoeksnelheid van de onderarm van de pitcher.

Jef speelt met zijn hond. Hij probeert een nieuwe ballenwerper uit; deze bestaat uit een plastic staaf met op het uiteinde de bal. Hij zwiert de bal rond met een hoeksnelheid van 30,0 rad s , de bal maakt op dat moment een cirkel met een straal van 1,30 m vanuit zijn elleboog. Op het moment dat hij stopt met ronddraaien, komt de bal los. Met welke snelheid vliegt de bal weg? Bereken.

Een vrachtwagen rijdt met een snelheid van 32,0 m s . Als je weet dat zijn banden een straal van 0,420 m hebben, wat is dan de hoeksnelheid van de banden in radialen per seconde?

Wat is de frequentie waarmee de banden ronddraaien in hertz en in toeren per minuut? Bereken.

Een voetballer draait zijn been vanuit zijn heup terwijl hij een bal wegschopt. Bereken de hoeksnelheid van zijn voetbalschoen als je weet dat de schoenpunt, waarmee hij de bal raakt, 1,05 m verwijderd is van zijn heupgewricht en dat de snelheid van zijn schoenpunt 35,0 m s bedraagt.

Een hardloper loopt tijdens zijn deelname aan de 200 m sprint op een cirkelvormige baan met een straal van 30 m. Hij legt de 200 m sprint af aan een constante snelheid van 10,2 m s Bereken zijn centripetale versnelling.

Bereken de frequentie en de periode van een boormachine die 600 toeren per minuut draait.

Een massa van 25,3 kg beweegt eenparig cirkelvormig (r = 70,3 m) met een constante snelheid van 20 km h . Bereken de resulterende kracht.

Als men boven op de toeristentoren in Herentals staat en een kei in horizontale richting weggooit met een snelheid van 13,0 m s , dan treft deze de grond op 28,8 m van de voet van de toren. Bereken hiermee hoe hoog de toren is.

Pipi Langkous gooit een tomaat horizontaal uit een open raam dat zich op 10 m boven de grond bevindt. De tomaat heeft een horizontale beginsnelheid van 3,0 m s . Op welke afstand van het gebouw komt de tomaat op de grond terecht en kan er dus best niemand staan? Bereken.

Een steentje dat horizontaal weggegooid wordt vanop de top van een watertoren, komt 20,0 m naast de watertoren op de grond terecht.

Bereken de hoogte van de watertoren als weet dat de beginsnelheid van het steentje 10,0 m s was.

Bereken ook de eindsnelheid van het steentje.

Sommige vrachtwagens hebben een kilometerteller die het aantal wielomwentelingen gebruikt om de afgelegde afstand te bepalen. Stel dat een wiel met een diameter van 1,15meter 200000 rotaties uitvoert. Welke afstand werd er dan afgelegd? Bereken.

Een auto kan met banden met een straal van 0,260 m 80 000 km rijden vooraleer de banden vervangen moeten worden. Hoeveel rotaties hebben de banden in totaal gemaakt? Bereken.

De aarde heeft in haar bestaan al heel wat omwentelingen rond de zon gemaakt. Als we rekening houden met de leeftijd van de aarde (4,0 109 jaar) en ervan uitgaan dat de baan van de aarde een cirkel is met een straal van 1,5 ⋅ 1011 m, dan kunnen we de totale afstand die de aarde sinds haar geboorte afgelegd heeft, berekenen. Maak deze berekening.

De propeller van een oorlogsvliegtuig uit WO II heeft een diameter van 2,30 m.

Bereken de hoeksnelheid van de propeller als je weet dat hij ronddraait aan 1200 omwentelingen per minuut.

Bereken de baansnelheid van de tip van de propeller bij deze hoeksnelheid.

Bereken de centripetale versnelling van de tip van de propeller op dat moment. Bereken met hoeveel g deze centripetale versnelling overeenkomt.

Olympische ijsschaatsers kunnen tot vijf omwentelingen per seconde maken.

Bereken hun hoeksnelheid en centripetale versnelling als je weet dat de straal van hun cirkelbeweging 0,120 m bedraagt.

Een heel getalenteerde schaatser, Dick Button, voerde in de jaren 1950 deze cirkelvormige beweging uit met een frequentie van maar liefst 9,0 Hz. Wat was zijn centripetale versnelling? Bereken.

Tijdens zijn spin (draaibeweging) sprongen bij Dick Button vaak kleine adertjes. Kan je dit verklaren? Bespreek.

Het planetaire model van het atoom beeldt elektronen af die rond de atoomkern draaien, zoals planeten rond de zon draaien. Voor het eenvoudigste atoom ziet het atoommodel eruit als een enkel elektron dat in een cirkelbaan met een diameter van 1,06 ⋅ 10–10 m rond de kern draait.

Bereken het aantal omwentelingen per seconde dat het elektron maakt als bekend is dat de gemiddelde snelheid van het elektron 2,20 ⋅ 106 m s bedraagt.

Een kanonskogel wordt horizontaal van een 15,0 m hoge toren geschoten. De beginsnelheid bedraagt 20,0 m s .

Hoelang duurt het vooraleer de kanonskogel de grond bereikt? Bereken. Wat is het bereik van de kogel? Bereken.

Het internationale ruimtestation ISS dat rond de aarde cirkelt, is gedeeltelijk geïnspireerd op de ideeën van de DuitsAmerikaanse raketgeleerde Wernher von Braun. Deze ontwierp in de jaren 50 van de vorige eeuw een wielvormig ruimtestation. We gaan er in het vervolg van deze opgave van uit dat dit ruimtewiel ook werkelijk gerealiseerd is en op 1730 km hoogte in een cirkelvormige baan rond de aarde draait. Voor de baansnelheid v van een ruimteobject dat in een cirkelbaan met straal r rond de aarde draait, geldt:

v = G maarde r

Bewijs deze formule.

Een zware, ronde steen rolt van een klif van 100 m hoog met een horizontale beginsnelheid van 6,0 m s . Bereken de duur van de beweging, alsook de dracht van de steen.

Een kind schuift van een glijbaan in een zwembad. Op het moment dat het kind de glijbaan verlaat, heeft hij een horizontale snelheid van 4,2 m s . Even later komt het kind in het water terecht dat zich 3,2 m lager bevindt.

Welke horizontale afstand heeft het kind afgelegd? Bereken. Hoelang was het kind in de lucht na het verlaten van de glijbaan? Bereken.

Een helikopter vliegt horizontaal op 82 m hoogte op het moment dat de piloot een pakje wil droppen. Zijn bedoeling is dat het pak 96 m verder (horizontale afstand) op de grond landt. De luchtwrijving is verwaarloosbaar. Bereken de beginsnelheid en de eindsnelheid van het pakje.

Een auto rijdt 75 km h , na een recht stuk neemt hij een bocht met straal 45 m. Bereken of de auto zal slippen in de bocht of niet, als je weet dat de statische wrijvingscoëfficiënt tussen het wegdek en de banden van de auto 0,80 is.

Bereken de snelheid die een voorwerp met een massa van 80 kg minstens moet hebben om een looping met een straal van 45 m uit te voeren.

De aarde voert een ECB rond de zon uit. Leid hieruit de formule af voor de baansnelheid van de aarde.

Een overzetboot vaart (loodrecht) een rivier van 300 m breed over met een snelheid van 2,50 m s .

Hoeveel tijd heeft de boot nodig om de overzijde te bereiken als de stroomsnelheid 1,50 m s bedraagt? Bereken.

Hoeveel zal hij afgedreven zijn? Bereken.

Maak een schets van de snelheidsvectoren en teken en bereken de grootte van de resulterende snelheid.

Een bocht met een kromtestraal van 50,0 m wordt zodanig geheld dat de auto’s de bocht kunnen nemen met een snelheid van 70 km h zonder beroep te moeten doen op de wrijving.

Welke hellingshoek (in volle °) heeft men dan aan die bocht gegeven? Bereken.

Een bocht die een kwartcirkel beschrijft, is ontworpen voor verkeer dat met een snelheid van 72 km h de bocht neemt. Welke hoek met de horizontale moet de bocht in het ontwerp krijgen indien hij een straal van 200 m heeft? Bereken en maak een tekening.

Een helikopter vliegt horizontaal 15 m boven de grond met een snelheid van 25 m s op het moment dat hij een postpakket dropt. Op de grond bevindt zich een postbode die het pakket moet ophalen, het postpakket moet zo dicht mogelijk bij die postbode op de grond terechtkomen. Wrijvingskrachten worden verwaarloosd.

Waar moet de helikopter het pakket lossen opdat het voor de voeten van de postbode op de grond zou terechtkomen? Bereken.

Hoeveel later raakt het postpakket de grond? Bereken.

Wat is de eindsnelheid van het postpakket? Bereken.

Een kind gooit een sneeuwbal horizontaal naar een boom. De sneeuwbal heeft een beginsnelheid van 18 m s , vliegt bij de start op 1,5 m boven de grond door de lucht en raakt 9,0 m verder de boom.

Hoelang is de sneeuwbal onderweg? Bereken. Op welke hoogte boven de grond raakt de sneeuwbal de boom? Bereken. Wat is de eindsnelheid van de sneeuwbal? Bereken.

Een steen wordt horizontaal weggegooid vanop een hoge rots met een beginsnelheid van 8,0 m s .

Bereken zijn horizontale en verticale verplaatsing na 1,0 s en na 3,0 s.

Bereken ook de totale verplaatsing van de steen na 1,0 s en na 3,0 s

Het ISS (International Space Station) vliegt rond de aarde in 91 minuten. Het vliegt op een hoogte van 320 km boven het aardoppervlak.

Bereken de snelheid van het ISS in km h en in m s . De straal van de aarde bedraagt 6,371 106 m Bereken hoelang een straalvliegtuig erover zou doen om rond de aarde te vliegen (je mag de hoogte waarop het straalvliegtuig vliegt, verwaarlozen ten opzichte van de straal van de aarde). De gemiddelde snelheid van een straalvliegtuig bedraagt 900 km h

Hoeveel keer sneller vliegt het ISS dan het straalvliegtuig? Bereken.

Een reuzenrad met een straal van 40 m doet een omwenteling in 110 seconden. Een man staat tijdens de omwenteling recht in zijn cabine. Welke kracht oefent de bodem van de cabine uit op de man in het hoogste en in het laagste punt? De man heeft een massa van 70 kg

Een leerkracht slingert een emmer gevuld met 8 liter water rond in een verticale cirkel. Bereken de minimale snelheid waarmee hij dit moet doen opdat er geen water uit de emmer zou vallen. Als straal van de cirkelvormige beweging mag je 70 cm nemen.

Een vliegtuig voert een looping met een straal van 700 m uit aan een snelheid van 550 km h

Bereken de kracht die de vliegtuigstoel op de piloot uitoefent in het bovenste en in het onderste punt van de looping. De massa van de piloot bedraagt 75 kg

Bereken ook telkens de versnelling van de piloot.

Een bocht op de autosnelweg is zodanig aangelegd dat een auto de bocht met een snelheid van 120 km h kan nemen zonder beroep te moeten doen op de wrijvingskracht. De straal van de bocht is 1700 m. Bereken de hellingshoek van de bocht.

Een ruiter rijdt, staand op een paard, rond in de piste van een circus. De snelheid van het paard is 7,00 m s , de straal van de cirkel is 25,0 m. Welke hoek maakt de ruiter met de verticale? Bereken.

Door de buitenkant van een bocht hoger te maken dan de binnenkant wordt de kans op slippen verkleind. Een auto met een massa van 1450 kg neemt een bocht met een straal van 500 m. Zijn snelheid bedraagt 88 km h , de hellingshoek van de weg is 4,7°. Bereken de wrijvingskracht.

Een overzetboot vaart een rivier over, loodrecht op de stroomrichting. De rivier is 200 m breed. De stroming op de rivier bedraagt 1,50 m s en doet de boot voortdurend afwijken van zijn vaarrichting. Om loodrecht op de oever over te steken, moet de overzetboot onder een hoek met de loodlijn op de oever varen, zijn snelheid in die richting en zin bedraagt 3,00 m s .

Bereken deze hoek.

Hoeveel tijd heeft de boot nodig om de overzijde te bereiken? Bereken.

Welke helling moet men aan een bocht met een straal van 210 m geven opdat auto’s de bocht met een snelheid van 100 km h kunnen nemen, zonder beroep te moeten doen op wrijving? Bereken.

Een auto met een massa van 1250 kg neemt een bocht, die is aangelegd voor een snelheid van 50 km h , met een snelheid van 80 km h . De straal van de bocht is 180 m. Welke wrijvingskracht moeten de wielen van de auto met het wegdek ondervinden opdat de auto niet uit de bocht zou vliegen? Bereken.

Analyseren

Open de applet via de QR-code en bekijk de eenparig cirkelvormige beweging aandachtig.

Door rechts positie, snelheid, versnelling of kracht aan te klikken, kan je duidelijk zien hoe deze tijdens de beweging veranderen. In de grafiek ernaast zie je ook telkens hoe de x– en y-componenten van deze vectoren veranderen tijdens de beweging (merk op dat hier niet de grootte van de vectoren in functie van de tijd wordt uitgezet, deze zou immers een horizontale rechte geven).

Bespreek hoe de x– en de y-component van de positie veranderen in functie van de tijd. Kan je dit verklaren? Bespreek.

Bespreek voor de snelheid hoe de grootte van vx en vy veranderen in functie van de tijd. Kan je dit verklaren? Bespreek.

Bespreek voor de versnelling hoe de grootte van ax en ay veranderen in functie van de tijd. Kan je dit verklaren? Bespreek.

Bespreek voor de centripetale kracht hoe de grootte van Fx en Fy veranderen in functie van de tijd. Kan je dit verklaren? Bespreek.

Open via de QR-code een site die live de baan van het ISS weergeeft. Klik onderaan rechts op ‘metric’. De snelheid (VEL) en de hoogte (ALT) worden dan weergegeven in respectievelijk km h en km.

Noteer op tien tijdstippen, die minstens vijf minuten uit elkaar liggen, de snelheid en de hoogte van het ISS. Je kan er bijvoorbeeld ook voor kiezen om het ISS een weekje te volgen en gedurende die week op regelmatige tijdstippen meetresultaten te noteren. Bereken telkens de hoeksnelheid. Noteer je bevindingen in een verslag.

Schuine worp 1

Open de applet via de QR-code. Kies voor de optie ‘Vectors’. Richt het kanon schuin zodat je een schuine worp krijgt. Klik ‘Velocity Vectors’ en ‘Acceleration Vectors’ aan zodat die tijdens de beweging getoond worden.

Zet de luchtwrijving (‘Air Resistance’) uit. Beschrijf wat het effect van de versnelling op de verandering van de snelheid is. Zet de luchtwrijving (‘Air Resistance’) aan. Beschrijf wat het effect van de luchtwrijving is.

Schuine worp 2

Een beweging die we niet in detail bestudeerden in de theorie, is de schuine worp. Jullie bezitten ondertussen voldoende kennis om dit probleem zelf uit te werken. Ga hierbij op een gelijkaardige manier te werk als bij de horizontale worp, hou rekening met het onafhankelijkheidsbeginsel van bewegingen.

Een kogel wordt onder een hoek van 60 graden met de horizontale en met een beginsnelheid van 200 m s weggeschoten. Bereken hoe hoog de kogel raakt en hoelang hij in de lucht is.

Het idee dat een komeet op de aarde zou botsen, boezemt de mens al eeuwen angst in. Reeds meermaals werd een mogelijk scenario verfilmd.

Aangezien zo’n scenario wel degelijk realiteit kan worden, is NASA bezig om mogelijke oplossingen te voorzien. Het ontregelen van de baan van de komeet is daarbij een mogelijke oplossing, zo blijkt uit een recent experiment van NASA.

Zo liet NASA op 26/9/2022 het ruimtevaartuig DART (Double Asteroid Redirection Test, m = 610 kg) opzettelijk op Dimorphos botsen met een inslagsnelheid van 22 103 km h

Dimorphos is een, bij benadering, bolvormige ruimterots met een diameter van 160 m en een dichtheid van 2,5 ⋅ 103 kg m3 , die in een baan rond een grotere komeet Didymos cirkelt.

Dimorphos is dus eigenlijk een maan van Didymos.

Dimorphos vormde geen enkele bedreiging voor de aarde, maar diende als proefobject bij deze testmissie. Het doel van de test bestond erin om de baan van Dimorphos te veranderen door de impact. Dit zou namelijk een mogelijke oplossing kunnen bieden indien er ooit een gevaarlijke asteroïde onze kant zou uitkomen.

DART had een massa van 610 kg. Bereken uit bovenstaande gegevens de massa van Dimorphos.

NASA liet DART op een afstand van ruim 11 miljoen kilometer van de aarde op Dimorphos botsen. NASA wist niet onmiddellijk of de botsing succesvol was. Leg uit hoe dat komt.

Enkele dagen later pas liet NASA weten dat het experiment succesvol was en dat de omlooptijd van Dimorphos om de grotere komeet Didymos 32 minuten korter was geworden.

Toon aan dat een kleinere omlooptijd overeenkomt met een kortere baan.

Uiteindelijk blijkt dat DART slechts voor een snelheidsverandering van 6,9 ⋅ 10 4 m s heeft gezorgd, maar het belangrijkste is dat het gelukt is om de baan van de komeet te veranderen.

Wil je hier meer over te weten komen? Scan dan de QR-code.

6 a b c d e f g h

The Bullet

Sommige mensen halen heel gewaagde toeren uit om een record te breken. Zo brak David Smith ‘The Bullet’ in 2018 een afstandsrecord als menselijke kogel. Nadat hij met een snelheid van 120 km h afgeschoten werd, vloog hij maar liefst 59,43 meter door de lucht alvorens te landen in een vangnet. Het vangnet hangt op dezelfde hoogte als de uitgang van de loop van het kanon. ‘The Bullet’ werd onder een hoek van 52° afgeschoten.

Bekijk een filmpje van zijn vlucht via de QR-code.

Deze tweedimensionale beweging is een combinatie van twee ééndimensionale bewegingen (volgens de x-as en de y-as). Welke bewegingen zijn dat? Leg uit.

Bereken de verticale en de horizontale component van de lanceersnelheid.

Bereken het hoogste punt dat de menselijke kogel bereikt (ten opzichte van de loop van het kanon). Verwaarloos hierbij de wrijving.

Bereken hoelang David gedurende de volledige beweging in de lucht is.

Bereken de horizontale verplaatsing van ‘The Bullet’.

Dit is natuurlijk een theoretische berekening. In werkelijkheid blijkt de horizontale afstand af te wijken van deze waarde. Hoe zou dat komen? Leg uit.

Het zou best kunnen dat David Smith zijn stunt overleeft dankzij de luchtwrijving.

Deze stunt is immers niet zonder gevaar.

De werking van het kanon is een familiegeheim, maar de krachtbron is samengeperste lucht, lucht die is samengeperst tot ruim vierhonderd keer de luchtdruk en die plots uitzet. Smith wordt zo afgevuurd en bereikt daardoor, volgens het Guinness World Records, al na 0,2 seconden een snelheid van 96 km h

Bereken de gemiddelde versnelling die hij daarbij ondervindt. Druk deze versnelling ook uit in g

David ondervindt tijdens zijn traject een enorme versnelling. Toch zegt hij zelf nooit het bewustzijn te hebben verloren. Wel zegt David dat de impact bij de landing vaak veel groter is dan bij de start. De landing voelt voor hem verpletterend voor zijn lichaam. Hij krijgt daarbij blessures, verwondingen, spiertrekkingen of blauwe plekken.

Hoe zou je kunnen verklaren dat de landing, ondanks het net, zo’n grote impact heeft? Bespreek.

© NASA/Johns Hopkins APL

Ann en James beslissen een onderzoeksproject over basketbal te doen.

Ze willen de vrije worp bij basketbal bestuderen. Bij een vrije worp is het de bedoeling om de bal door de basketbalring te gooien vanaf de ‘vrijeworplijn’.

vrijeworplijn

Voor ze van start gaan, bepalen ze de massa van de bal en meten ze een aantal afstanden:

• mbal = 600 g

• hoogte ring = 3,05 m

• diameter ring = 45 cm

• horizontale afstand van vrijeworplijn tot midden van ring = 4,6 m

• diameter bal = 24 cm

Met een videometing bestuderen ze de vrije worp. Ze verkrijgen zo een x(t)-grafiek en een y(t)-grafiek.

0,0

Met deze meetresultaten gaan ze aan de slag.

Bereken de snelheid waarmee de bal de hand van de basketbalspeler verlaat (op t = 0 s).

Ann en James doen nog een tweede experiment. Ze laten hun basketbalspeler nog een vrije worp doen en bestuderen daarbij nauwkeurig hoe hij de bal werpt. Ze merken dat de speler de bal versnelt over een afstand van 0,28 m door zijn arm te strekken. De bal verlaat hierdoor de hand van de speler met een snelheid van 7,1 m s

Bereken aan de hand van deze gegevens de gemiddelde resulterende kracht op de bal.

De achtbaan is meestal een van de spectaculairste attracties in een pretpark. Het leukste stuk van een achtbaan is natuurlijk de looping. We bekijken hier een looping waarbij het treintje met een snelheid van 27,8 m s het punt A voorbijrijdt.

Het treintje heeft net voor het in A voorbijrijdt een afdaling vanaf een hoogte h gedaan.

Bereken de hoogte h.

In het bovenste deel van de looping beweegt het treintje over een halve cirkel met een diameter van 11,0 m

Bereken de snelheid die het treintje minimaal moet hebben zodat de passagiers niet uit het wagentje zouden vallen.

Een groep leerlingen gaat op uitstap naar het pretpark en maakt een videometing van de beweging van het treintje op het moment dat het door de looping beweegt. De leerlingen bestuderen daarbij de beweging van het middelste punt van het treintje. De y-as kiezen ze verticaal omhoog, de x-as horizontaal naar rechts.

Hun videometing geeft volgend resultaat. Het punt t = 0 s komt overeen met het punt B in de looping.

Duid in de x(t)-grafiek aan wanneer het treintje in punt E is. Het treintje komt twee keer voorbij het punt B. Bereken met behulp van de grafieken de snelheid van het treintje wanneer hij de eerste keer punt B passeert.

STUDIEWIJZER

paginanummer

Ik kan het onafhankelijkheidsbeginsel van bewegingen bespreken. Ik kan dit bijvoorbeeld verduidelijken aan de hand van een voorbeeld van een boot die een rivier met stroming overvaart. p. 145

Ik begrijp dat de valtijd bij een vrije val en een horizontale worp vanaf dezelfde hoogte dezelfde is. Ik kan dit verklaren met het onafhankelijkheidsbeginsel. p. 145

Ik kan het verband tussen straal, hoeksnelheid, baansnelheid en centripetale versnelling bij een ECB analyseren en kwantificeren. p. 148-158

Ik begrijp het verschil tussen de hoeksnelheid en de baansnelheid en kan dit bijvoorbeeld illustreren aan de hand van een draaimolen. p. 150-155

Ik begrijp dat bij een ECB de grootte van de snelheid constant is, maar dat er toch een versnelling is omdat de richting van de snelheid voortdurend verandert. p. 155-158

Ik weet dat bij een ECB de tangentiële component van de versnelling nul is. p. 155-158

Ik weet dat bij een ECB de normale component van de versnelling zorgt voor de richtingsverandering en dat deze de centripetale versnelling genoemd wordt. p. 155-158

Ik kan uitleggen dat een constante normale versnelling een ECB geeft. p. 155-158

Ik begrijp dat we zonder de centripetale kracht bij een ECB rechtdoor zouden bewegen wegens de eerste wet van Newton. p. 158-159

Ik kan in enkele eenvoudige situaties de centripetale kracht bepalen: een keitje dat wordt rondgezwierd aan een touw, de baan van de aarde rond de zon, een auto die een bocht neemt … p. 158-159, p. 174-176

Ik begrijp dat een versnelling een effect heeft op een menselijk lichaam en dus fysiek voelbaar is, terwijl een constante snelheid dat niet is. Ik weet dat dit concept bijvoorbeeld in pretparken wordt gebruikt. p. 159-160

Ik kan het verband tussen positie, tijdstip, snelheid en versnelling bij een horizontale worp analyseren en kwantificeren. p. 165-173

Ik kan voor de horizontale worp de bewegingsvergelijkingen afleiden vertrekkende vanuit de zwaartekracht en de tweede wet van Newton. p. 165-169

Ik weet dat een versnelling en een resulterende kracht altijd samen optreden en steeds dezelfde richting en zin hebben. Ik kan dit illustreren aan de hand van enkele voorbeelden.

Ik kan de uitdrukkingen voor de baansnelheid, de versnelling en de kracht bij een ECB bepalen door de bewegingsvergelijkingen af te leiden.

p. 146-147, p. 158-159

p. 153-154, p. 156, p. 158

Ik kan de snelheids- en versnellingsfuncties bij een horizontale worp bepalen als afgeleide functies van de positiefunctie. p. 171, p. 172

De spaghetti-versnellingsmeter

Hoe weet een auto dat hij zijn airbags moet activeren? Hoe weet een smartphone wanneer hij zijn scherm moet roteren?

Dat komt omdat er in auto’s en smartphones een versnellingsmeter is ingebouwd. Deze meet veranderingen in beweging en meet dus de versnelling van de auto of smartphone. Ook in je Wii, camera’s, stappentellers, navigatiesystemen … kan je versnellingsmeters terugvinden.

In deze ISAAC-actie ontwerp je je eigen versnellingsmeter met, jawel, spaghetti!

TREFWOORDENREGISTER

Aachtbaan 159, 160 actiekracht 17 afgelegde weg 58, 136 aquaplaning 25 Aristoteles 11, 12, 94

Bbaan 9, 14, 55, 58, 73, 74, 75, 76, 80, 89, 134, 136, 137, 139, 141, 143, 144, 145, 148, 149, 150, 154, 158, 164, 167 baansnelheid 150, 152, 153, 154, 155 baansnelheidsvector 154 baanvergelijking 167, 168, 169 bereik 168, 169 bewegingstoestand 12, 13, 14, 22, 73, 74, 80, 146 bewegingsvergelijking 165, 166, 167 bewegingswetten 11, 18 bocht 27, 160, 161, 162, 163

Ccentripetale kracht 27, 158, 160, 162, 163, 164 centripetale versnelling 158 component (kracht-) 21, 147, 162 component (vectorcomponent) 56, 133, 138, 140, 141, 143, 144, 150, 165, 166, 170, 171, 172

Ddracht 169 dynamica 9, 10, 55, 73, 133, 144, 146 dynamische wrijving 29, 30 dynamische wrijvingscoëfficiënt 30, 31

dynamische wrijvingskracht 25, 29, 30

EECB 143, 146, 148, 150, 151, 152, 153, 155, 156, 157, 158, 160 eenparig cirkelvormige beweging 143, 147, 148, 151, 157, 160 eenparige beweging 148, 151, 155 eenparig rechtlijnige beweging 12, 73, 76, 80, 146, 148, 158 eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging 70, 75, 80, 81, 83, 87, 88, 89, 94

Einstein 11, 27 ERB 12, 22, 73, 76, 77, 79, 80, 84, 101, 145, 146, 148, 158, 165, 170, 171

EVRB 70, 73, 75, 80, 81, 84, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 96, 97, 98, 166, 170, 171

HGFfluïdum 31, 99 frequentie 149, 151, 154

Galilei (Galileo) 12, 24, 93, 94 gemiddelde snelheid 59, 60, 84, 137 gemiddelde snelheidsvector 59, 137, 138

gemiddelde versnelling 64, 65, 66, 85, 86, 87, 141 gemiddelde versnellingsvector 64, 141 gewicht 126 G-kracht 160 glijdende wrijving 24

hellingshoek 162 hoek 20, 143, 149, 150, 151, 152, 162, 163 hoeksnelheid 150, 151, 152, 154, 157 hoogteverlies 168 horizontale worp 146, 147, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172

KIinertia 14 inertie 14

kinematica 9, 10, 55, 93, 133 kracht 9, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 29, 73, 80, 94, 97, 143, 146, 158, 163, 164, 165, 166 kracht (centripetale -) 158 kracht (wrijvings-, weerstands-) 24, 25, 28 krachtenbalans 22, 23 kwantummechanica 9, 11

Llaminaire stroming 31, 32 lift 125, 126, 160 looping 160, 163, 164 luchtweerstand 26, 28, 95, 98, 101 luchtwrijving 26, 28, 94, 98, 101, 165

Mmechanica 9, 10, 11 meetfouten 87 middelpuntzoekende versnelling 158

Nnewton (eenheid) 24, 158

Newton (Isaac) 5, 9, 10, 11, 12, 18, 19, 73, 146 normaalcomponent 144 normale component 158, 173 normale versnelling 144, 157, 173

Oogenblikkelijke snelheid 59, 60, 61, 62, 137, 139 ogenblikkelijke snelheidsvector 60, 61, 138 ogenblikkelijke versnelling 64, 66, 67, 68, 86, 87, 141, 142 ogenblikkelijke versnellingsvector 67, 142

onafhankelijkheidsbeginsel 145, 165 oppervlakte-methode 79

Pperiode 149, 151, 154 periodieke beweging 149

plaatsfunctie 57, 165, 167, 171 plaatsvector 55, 133, 134, 140, 150, 152, 153

positie 9, 55, 56, 57, 68, 72, 77, 80, 81, 95, 133, 134, 135, 140, 144, 149, 164 positiefunctie 56, 57, 62, 68, 70, 72 positievector 55, 56, 133, 134 projectiel 143, 165, 168 projectielbeweging 143 pulsatie 150, 151, 152 puntmassa 18, 19, 55, 81, 140, 144

Rraaklijn 61, 68, 89, 91, 139, 158 reactiekracht 17 rechtlijnige beweging 56, 70, 73, 74, 75, 89 referentiestelsel 19, 20, 21, 22 relativiteitstheorie 9, 11 resultante 13, 80 resulterende kracht 12, 13, 14, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 27, 73, 74, 75, 80, 92, 101, 146, 147 richtingsverandering 155, 157 rolweerstand 25

Srolwrijvingskracht 25

schuifwrijving 28

schuifwrijvingskracht 24 schuine worp 143, 181 snelheid (baan-) 150, 152, 155, 157 snelheidsfunctie 61, 62, 68, 70, 71, 72, 170, 171, 172 snelheidsvector 60, 64, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 148, 153, 155, 156, 157, 158, 170 snelheidsverandering 17, 63, 86, 89, 141, 147 spankracht 21, 22 statica 9 statische wrijving 28, 29, 160 statische wrijvingscoëfficiënt 29, 31, 160, 161 statische wrijvingskracht 25, 27, 28, 29, 160

Ttangentiële component 144, 157, 173 tangentiële versnelling 89, 144 tijdstip 55, 56, 59, 61, 63, 64, 67, 69, 80, 81, 84, 85, 86, 88, 91, 95, 133, 134 tijdsverloop 57, 58, 135, 136 traagheid 14, 17, 147 traagheidsbeginsel 12 traagheidswet 12, 14 turbulente stroming 31, 32

Vvacuümkamer 24, 94 valbeweging 93, 99 valgeul 24, 93, 94 valversnelling 93, 94, 143, 166 vectorvergelijking 147 verkanting 162, 163 verplaatsing 57, 58, 59, 76, 79, 84, 135 verplaatsingsvector 135, 138, 139 versnelling (centripetale -) 155, 157, 158, 160 versnellingsfunctie 68, 69, 71, 72, 172 versnellingsvector 63, 67, 142, 143, 144, 156, 171 verticale worp 97 vloeistofwrijving 26, 27, 28, 31, 32 vrije val 94, 95, 96, 97, 98 vrij-lichaamsdiagram 18, 19, 20, 21, 22

Wweerstand 147, 160

weerstandscoëfficiënt 31, 32, 101 wet (derde – van Newton) 17 wet (eerste – van Newton) 12, 13, 14, 22, 73, 80, 101, 146, 158 wet (tweede – van Newton) 16, 17, 19, 21, 73, 74, 75, 92, 146, 147, 158, 165 wrijving 17, 20, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 99, 100, 101, 162 wrijvingscoëfficiënt 161 wrijvingskracht 12, 13, 24, 25, 27, 28, 31, 101, 162

Zzwaartekracht 13, 19, 20, 21, 27, 28, 93, 94, 97, 101, 143, 162, 163, 165, 166 zwaarteveldsterkte 93, 143, 160, 161, 162