Een imaginaire decatlon

32 UITWISKELING

EEN IMAGINAIRE DECATLON E L S VA N L O M M E L

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

NAAR AANLEIDING VAN DE OLYMPISCHE ZOMERSPELEN VAN 2012 IN LONDEN, MAAKTE LIEVEN SCHEIRE (O.A. GEKEND VAN DE NEVENEFFECTEN) EEN GRAPPIG FILMPJE, TE VINDEN OP YOUTUBE, WAARIN HIJ UITLEGT HOE HIJ DE MEDAILLE VOOR DE TIENKAMP IN DE WACHT ZOU KUNNEN SLEPEN. Je kunt dit filmpje bij verschillende lesonderwerpen gebruiken zoals modelleren met lineaire en exponentiële functies, machten met rationale coëfficiënten of complexe getallen. Om alles helemaal te begrijpen moeten de leerlingen iets meer dan de basisleerstof over complexe getallen kennen, maar dat belet niet om het filmpje in de klas te gebruiken. Je kunt die uitbreiding heel beknopt illustreren en verder negeren. HET PUNTENSYSTEEM BIJ DE TIENKAMP Bij de tienkamp of decatlon moeten de atleten in twee dagen tijd tien atletieknummers afleggen: 100 m hardlopen, verspringen, kogelstoten, hoogspringen, 400 m hardlopen, 110 m horden, discuswerpen, polsstokhoogspringen, speerwerpen en 1500 m hardlopen. Bij elke discipline kunnen er punten verdiend worden en diegene die na twee dagen de meeste punten heeft verzameld, wint de tienkamp. De International Association of Athletics Federations (wereldatletiekbond) legt het systeem van de puntentelling vast. En dat is niet zo eenvoudig: een tijd op de 100 m vergelijken met een hoogte gesprongen bij het polsstokhoogspringen is als appelen met peren vergelijken. De tienkamp staat sinds de zomerspelen van 1912 op het programma en sindsdien zijn al verschillende puntentellingen gebruikt. Deze systemen

kunnen mooi gebruikt worden om het modelleren met lineaire en exponentiële functies te illustreren. Vóór 1912 gebruikte men een plaatssysteem: bij elk onderdeel werd de rangorde als puntenaantal genomen. Deze punten werden opgeteld en de atleet met het laagste puntentotaal was de winnaar. Er werd dus alleen naar de volgorde van de uitslag per onderdeel gekeken. Of iemand met een honderdste van een seconde won of met een straatlengte voorsprong, speelde geen rol. Al snel had men behoefte aan een systeem waarbij de verschillen in de prestaties per onderdeel wél meegewogen worden. De eerste officiële tienkamptelling van 1912 was een lineair systeem. Voor een loopnummer werden de punten ( ) berekend waarbij de tijd in met de formule seconden is. en zijn parameters die per discipline verschillen en die door de IAAF zó werden vastgelegd dat de puntenwaarderingen zowel van de topper als van de beginneling een redelijke indruk geven van de prestaties. Bij de 100 m hardlopen zou voorbeeld gelijk kunnen zijn aan de erg zwakke tijd van 18 s (het door de IAAF gekozen nulpunt) en zou zo gekozen kunnen worden dat een goede tijd van 10,4 s een score . van 1000 punten oplevert, dus De formule voor de punten wordt dan .

33

exponentiële functies en de formules kun je vinden op de website van de IAAF. De wereldatletiekbond geeft zelf aan dat ze met dit model een scoresysteem wil dat vooral aan twee eisen voldoet: • elk onderdeel draagt ongeveer evenveel punten bij aan de totaalscore, • een goede score in één onderdeel mag niet direct bepalend zijn voor de einduitslag.

Figuur 1 Lineair model voor de 100 m hardlopen

De keuze van de parameters wordt in het filmpje heel mooi getoond. Bovendien toont het één van de nadelen van het lineaire systeem. Dit systeem houdt immers geen rekening met het feit dat het bijvoorbeeld veel moeilijker is om sneller te lopen dan een toptijd, dan sneller te lopen dan een heel zwakke tijd. Meer concreet: je krijgt evenveel punten extra, nl. (afgerond naar beneden, volgens de regels van de IAAF) 65 punten, als je bij de 100 m een halve seconde sneller loopt dan de toptijd van 10,4 s, als wanneer je een halve seconde sneller loopt dan de heel zwakke tijd van 18 s. En dat is niet correct. Daarom werden er in latere puntentellingen naast lineaire ook andere verbanden gebruikt waarop we hier niet verder ingaan. Deze verbanden kennen wat men noemt een progressief verloop: een verbetering van een resultaat op een onderdeel levert beduidend meer extra punten naarmate de prestatie beter is. Gaandeweg zijn deze systemen geëvolueerd naar het huidig puntensysteem dat in 1984 ingevoerd werd. Het gebruikt eenvoudige

De gebruikte modellen zijn van de vorm waarbij de betekenis van de variabelen en de waarden van de parameters verschillen naargelang de disciplines (zie figuur 2). Je kunt de leerlingen vragen naar de betekenis van de parameters , en . De parameter is telkens de minimumwaarde wanneer je punten krijgt. De parameter is altijd groter dan 1 om een progressief systeem te krijgen waarbij de scorefunctie steiler is in de buurt van topscores dan bij zwakke scores (zie figuur 3 verderop). Een prestatieverbetering wordt zo méér beloond naarmate de prestatie beter is. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen loopnummers, springonderdelen en werpnummers. De resultaten van de berekeningen worden steeds naar beneden afgerond op een geheel getal. Je kunt (bijvoorbeeld als toepassing bij machten met rationale exponenten) de leerlingen aan de hand van deze tabel de punten laten berekenen van de Amerikaan Ashton Eaton. Hij behaalde op de Olympische Spelen van Londen in 2012 een wereldrecord. Dit zijn de resultaten die tot dat record hebben geleid: 100 m hardlopen 10,21 s verspringen 8,23 m kogelstoten 14,2 m hoogspringen 2,05 m 400 m hardlopen 46,7 s 110 m hordenlopen 12,7 s discuswerpen 42,81 m polsstokhoogspringen 5,3 m speerwerpen 58,87 m 1500 m hardlopen 4 min 14,5 s Hij behaalde hiermee een totaal van 9039 punten.

34

zich de vraag hoe snel Usain Bolt zijn 100 m had moeten lopen om bijvoorbeeld, zoals Jürgen Schult, 1383 punten te halen. De berekening is een mooie oefening op -demachtswortels:

waaruit volgt dat 8,91 s. Analoog kun je narekenen dat Sergei Bubka maar liefst 30 cm hoger moet springen dan zijn wereldrecord om evenveel waardering te krijgen als Jürgen Schult!

Figuur 2 Formules en waarden voor het scoresysteem bij meerkampen (mannen)

Ik heb mijn leerlingen ook laten berekenen wat het aantal punten zou zijn van alle wereldrecordhouders op de aparte disciplines samen. Zij gebruikten onderstaande data. De getallen tussen haakjes zijn telkens de punten. 100 m, Usain Bolt verspringen, Mike Powell kogelstoten, Randey Barnes hoogspringen, Javier Sotomayor 400 m, Michael Johnson 110 m horden, Aries Merritt discuswerpen, Jürgen Schult polsstokspringen, Sergej Boebka speerwerpen, Jan Zelezny 1500 m, Hicham El Guerrouj

9,58 s (1202) 8.94 m (1312) 23.12 m (1295) 2,45 m (1244) 43,18 s (1156) 12.80 s (1135) 74.08 m (1383) 6.14m (1277) 98.48 m (1331) 3min26s(1218)

De totaalscore van deze wereldrecordhouders is 12553 punten, 3514 punten meer dan het wereldrecord van Ashton Eaton. Het valt in deze tabel op dat je met de werpnummers relatief gezien meer punten krijgt. Een leerling stelde

Het valt ook op dat de exponent in de formules ongeveer 1,8 is voor de loopnummers, ongeveer 1,4 voor de springnummers en 1,1 voor de werpnummers. Het is, zoals hiervoor al gezegd, interessant om aan leerlingen te vragen hoe het komt dat overal groter dan 1 is. Ook interessant is de vraag waarom de waarde voor verschillend is tussen de verschillende soorten disciplines. Een mogelijke verklaring is dat de modellen van de IAAF sterk progressief zijn voor de loopnummers, matig progressief voor de springnummers en weinig progressief voor de werpnummers. Men lijkt ervan uit te gaan dat in de loopnummers veel moeilijker nog progressie kan worden gemaakt bij de toptijden dan bij de werpnummers. Daarom is de waarde van de parameter groter bij loopnummers. Het is hier moeilijker om het wereldrecord fel te overtreffen. Bijgevolg is de waarderingsfunctie voor deze disciplines steiler rond het wereldrecord.

35

In figuur 3 zie je voor de 100 m hardlopen het verschil tussen het lineair model (figuur 1) en het progressief exponentieel model dat vandaag wordt gebruikt.

DE IMAGINAIRE SCORE VAN LIEVEN SCHEIRE Lieven Scheire daagt in het tweede deel van zijn filmpje het tienkamppuntensysteem uit. Hij kraakt het puntensysteem door in de loopnummers zo slecht te presteren dat hij trager loopt dan de minimumtijden uit de tabel van hierboven. De factoren van de vorm worden dan negatief zodat we rationale machten van negatieve getallen krijgen. Zijn scores worden hierdoor complexe getallen. En hier is, enkel ter illustratie, een beknopte extra uitleg aangewezen bovenop de basiskennis van complexe getallen. Men definieert machten van complexe getallen als volgt. Als en complexe getallen zijn met dan geldt dat waarbij men in het filmpje kiest voor waarden van 〗 tussen en . Verder moeten leerlingen weten dat .〗 〖 levert dit:

Toegepast op bijvoorbeeld 〖 〗〗

Figuur 3 Progressief exponentieel model voor de 100 m

Wat als we gelijk zouden nemen aan 2 voor alle disciplines? Dan zouden we een extreem progressief systeem krijgen dat in het voordeel is van atleten die uitzonderlijk presteren in bijvoorbeeld slechts één discipline.

En dit laatste is, afgerond op twee decimalen, gelijk . Met een (grafisch) rekentoestel kun aan je deze complexe machten onmiddellijk uitrekenen en hoef je dus niet telkens deze berekening te doen. We kunnen nu de punten van Lieven Scheire analyseren. Hij behaalt in het filmpje volgende scores:

Door allerlei vragen te stellen met betrekking tot het model en de keuze van de parameters zien de leerlingen in dat er altijd een subjectieve factor is bij de keuze van de parameters. Een andere keuze voor de parameters leidt ongetwijfeld tot een heel andere lijst met wereldrecordhouders. Een leerling stelde de vraag of er methoden zijn om de resultaten van decatlon-atleten uit verschillende perioden (sinds 1912) met elkaar te vergelijken. Dit lijkt me een mooie vraag voor een onderzoeksopdracht!

Figuur 4 Scoretabel Lieven Scheire

36

Je ziet dat hij niet voor alle sporten minder dan de prestatie van een ‘elfjarig kind’ (de nulwaarde ) heeft gescoord. Voor polsstokspringen (een hilarische kniehoge sprong) voldeed hij nog net aan deze minimumnorm. Voor speerwerpen (minder dan een stap ver) was het ook nog binnen de normen. Maar uitgerekend voor de 100 meter, de 400 meter, de 1500 meter en het hordenlopen, zit hij echt een stuk onder het toelaatbare. Waarom juist voor deze sporten? Zijn de minimumnormen voor de loopsporten zo hoog dat ze zelfs door een sportieveling als Lieven Scheire niet kunnen worden gehaald? Nee hoor. We merkten hierboven al op dat de waarde van voor de loopnummers bijna 2 is. Je kunt narekenen dat het argument van deze machten dan bijna 2 is. Wanneer je de scores voorstelt als vectoren in het complexe vlak, zoals in het filmpje, dan zullen de eindpunten van deze vectoren dicht bij de positieve -as liggen (in het vierde kwadrant). De sommen van al de scorevectoren zullen elkaar dan optimaal versterken. Mocht Lieven bovendien het onderdeel kogelstoten heel slecht doen, dan zou de scorevector die daarbij hoort in de richting van de negatieve -as wijzen en de andere vectoren dus ‘tegenwerken’. Het resultaat is een mooie totaalscore die op figuur 5 in het complexe vlak wordt voorgesteld. De scorevector van Ashton Eaton (9039 punten) is ook toegevoegd. Met wat goede wil moet je toch erkennen dat Lieven Scheire het wereldrecord verpulverd heeft? Niet alleen is het reëel deel van zijn totaalscore groter, maar ook de norm van zijn scorevector is groter.

Figuur 5 Het imaginaire record van Lieven Scheire

Uiteraard moet je hierbij opmerken dat complexe getallen niet van klein naar groot kunnen worden gerangschikt: er bestaat geen ordening op die verenigbaar is met de bewerkingen. Lieven Scheire besluit in zijn filmpje dan maar dat hij gewonnen is ‘in een andere dimensie’, het tweedimensionale vlak van de complexe getallen. BRONNEN Lieven Scheire, Imaginary decathlon. Geraadpleegd op 2 juli 2019 van http://www.youtube.com/watch?v=LHuNjHojurU John Barrow, Decathlon: the art of scoring points. Geraadpleegd op 9 juli 2019 van http://sport.maths.org/content/decathlonart-scoring-points-0 International Association of Athletics Federations. Opgehaald op 2 juli 2019 van http://www.iaaf.org/home Opgave finale-opdracht Wiskunde A-lympiade. Geraadpleegd op 9 juli 2019 van http://www.fi.uu.nl/alympiade/nl/opgaven/ opgaven2012-2013/finaleopdracht_Alymp2012_2013%20 NL%20def.pdf Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 30/1. Benieuwd naar meer? Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.