Tema 4: Mesura
1. INTRODUCCIÓ: MESURA I REALITAT •
Idea intuitiva de magnitud i mesura
Les paraules magnitud i mesura ens suggereixen idees com “quantitat”, “amplitud”, “mesurar” o “dimensions” entre dʼaltres. En la vida quotidiana sʼutilitzen aquests termes amb diversos significats, però sempre està la noció de “quelcom quantificable”. Anem a clarificar ara aquests conceptes per poder enfocar adequadament lʼensenyança dʼaquesta part de la matemàtica escolar. Una primera aproximació al concepte de magnitud seria “quelcom que es pugui mesurar”. I, què significa mesurar? Podríem dir que mesurar consisteix en “obtenir un nombre que representi quanta quantitat hi ha dʼuna determinada magnitud”. Tot i que sembla senzill, darrere dʼaquestes idees intuitives hi ha implícites complexes relacions amb tota una teoria matemàtica que les defineix i explica. Per una altra banda, per tal de poder realitzar moltes tasques de la vida quotidiana, és necessari lʼaprenentatge dʼaquests conceptes. Per un mestre o mestra, serà necessari un apropament a lʼestructura matemàtica abstracta que permeti fonamentar aquests continguts. També serà necessària una presa de consciència de la manera com lʼinfant ha de prendre contacte amb distintes experiències de comparació i quantificació que el portaran poc a poc a la comprensió del procés de mesura i a lʼús adequat dʼunitats i instruments de mesura lligats a diferents magnituds: longitud, superfície, capacitat-volum, massa-pes, temps y diners.
•
Origen i evolució històrica de la mesura
La mesura és una activitat molt antiga. En un principi es comparaven els objectes directament entre sí per tal dʼajustar-los i fer construccions, però en el moment en que aquestes es van fer més complicades, es va fer necessari comparar cada part amb un patró. Lʼelecció dels patrons o unitats de mesura va seguir una evolució que passa per diferents períodes: Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura a. Període antropomètric. Les unitats es basaven en les parts del cos, com per exemple els peus, les passes, les polzades. b. Període ergonomètric. Es prenen les unitats de les condicions, objectes i resultats del treball de lʼhome. Són unitats dʼaquest tipus el barril, la corda, la rova, la faneca. c. Període convencional. Les unitats estan fixades per convenis entre ciutadans i nacions. Es el naixement del Sistema Internacional de Mesures, adoptat actualment per la majoria de països. Conèixer aquesta evolució també ens permet apropar-nos al procés dʼaprenentatge dels infants per arribar a comprendre el sistema de mesures vigent dʼuna manera significativa i no com una cosa mecànica i imposada. De fet, els nens comencen per comparar les coses amb parts del seu cos; posteriorment prenen objectes de referència; i, finalment, se nʼadonen de la necessitat dʼadoptar una unitat de mesura comú per tal de comunicar-se amb la resta dʼinfants. •
Situacions en les que es fa necessari comparar i mesurar
Ara veurem alguns exemples de possibles situacions relacionades amb les magnituds i la seva mesura. o
Comparació directa. La situació més senzilla es dóna quan comparem dos objectes directament per tal de saber quin és el més gran, el que més pesa...segons la magnitud que estiguem observant. o Comparació indirecta. Pot succeir que dos objectes no es puguin coparar directament entre sí, o sigui molt difícil fer-ho. En aquest as, es pot utilitzar un objecte que faci dʼintermediari per tal dʼestablir aquesta comparació. Per exemple, si volem comparar el gruix de dos arbres, podem abarcar-los amb els nostres braços o rodejar-los amb una corda. o Necessitat de classificar i ordenar. Quan es comparen més de dos objectes respecte dʼuna determinada magnitud, a vegades és necessari organitzar-los segons aquest criteri. Per exemple, en una tenda en la que venguin estris com claus angleses, el més habitual és tenir-les classificades per tamanys, i millor encara si estan ordenades per tamanys. o Necessitat dʼuna unitat de mesura. Fins ara no hem presentat situacions en les que intervenguin nombres, però pot ocòrrer que haguem de quantificar una quantitat de magnitud (normalment en comparació amb dʼaltres), i ho fem prenent com a referència una altra quantitat que serveix com a patró i que acostuma a ser més petita que lʼobjecte a Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura mesurar. Per exemple, per saber quina és la més gran de dues aules, podem comptar rajoles, prenent la rajola com a unitat de mesura. o Necessitat dʼacord en la unitat de mesura. És clar que podem utilitzar qualsevol quantitat com a unitat, obtenint una mesura o una altra en funció de la unitat escollida. Però per tal de poder comunicar-nos amb algú, és imprescindible que la informació numèrica donada o rebuda respecte a una magnitud es refereixi a la mateixa unitat. Per exemple, tote els nens poden mesurar la llargària del seu pupitre amb pams, però a cadascú li donarà un resultat diferent, per la qual cosa serà necessari que tots es posin dʼacord en una mateixa unitat. o Necessitat de fraccionar la unitat. Cal dir que no qualsevol unitat és adequada per totes les situacions, i haurem dʼescollir la unitat més convenient en cada cas. Pot ser que la unitat escollida sigui massa gran per lʼobjecte que es vol mesurar i sigui necessari fraccionar-la o buscar unitats més petites per tal de poder donar la mesura amb millor precisió. O també por succeir que la unitat sigui massa petita i convingui usar-ne una de més gran. Exemples dʼaixò sorgirien en intentar mesurar un llapis en metres, o la llargària dʼuna classe en centímetres. Una observació importat que han de realitzar els nens es que, com més gran és la unitat, menor és la mesura. o Necessitat dʼun instrument de mesura. En moltes ocasions és difícil mesurar o comparar objectes sense usar algun instrument dissenyat per aquesta finalitat. És el cas, per exemple, de comparar el pes entre dos objectes, per la qual cosa necessitarem una balança. En general, a la vida quotidiana se solen utilitzar instruments per mesurar les diferents magnituds: rellotges, regles, cintes mètriques, balances, recipients graduats....
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura 2.
•
CONCEPTES I PROCEDIMENTS RELACIONATS AMB LES MAGNITUDS I LA SEVA MESURA Nocions de magnitud, quantitat, mesura i unitat
Com a mestres, hem de tenir ben clars els diferents conceptes relacionats amb el tema que ens ocupa. o
Magnitud: qualitat o propietat que pot ser quantificada i mesurada, és a dir, que es pot comparar emprant nombres. o Quantitat: grau que presenta un objecte respecte a una determinada magnitud. Les diferents quantitats relatives a una magnitud es poden comparar: més, menys, molt, poc... o Mesura: valor numèric assignat a una quantitat de magnitud. o Unitat (de mesura): quantitat que sʼadopta com a referència per mesurar una magnitud en un objecte. La mesura assignada serà el nombre de vegades que la quantitat de magnitud de lʼobjecte contingui la unitat. Cal esmentar que en la vida quotidiana es sol identificar el terme “quantitat” amb el terme “mesura”, però hem dʼentendre que una quantitat de magnitud (per exemple, la longitud dʼun objecte) existeix independentment de que la mesurem o no. Més encara, una mateixa quantitat pot ser “etiquetada” amb diferents valors, és a dir, se li poden assignar diferents mesures segons la unitat que prenguem com a referent a lʼhora de mesurar. Exemples: En Joan pesa 70Kg Aquesta cançó dura 3 minuts i mig La taula medeix un metre i cinc centímetres Exercici: Distingir en els exemples anteriors el que és lʼobjecte a mesurar, la magnitud, la quantitat, la mesura i la unitat de mesura. A més, buscar exemples amb les magnituds de capacitat i superfície.
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura
•
Magnituds contínues i discretes
Podem distingir dos tipus de magnituds, les magnituds discretes i les magnituds contínues. Les magnituds discretes són aquelles que només poden prendre valors sencers i es mesuren amb nombres naturals ja que consten dʼunitats aïllades i indivisibles (es compten aquestes unitats per tal de determinar la quantitat en qüestió). Les magnituds contínues són aquelles que prenen valors reals. Sovint cal lʼús de nombres decimals per mesurar aquestes magnituds ja que no necessàriament hi cabran un nombre exacte dʼunitats (com, per exemple, si mesurem en centímetres la longitud dʼun llapis). Exemple: si tenim un parcel·la de terra, el nombre de savines plantades seria una magnitud discreta, mentre que la superfície de la parcel·la seria una magnitud contínua. •
Mètodes directes i indirectes de mesura
Bàsicament hi ha dos maneres de realitzar mesures: o Mètodes directes: es basen en comptar directament les vegades que la unitat de mesura està continguda en la quantitat a mesurar. o Mètodes indirectes: aquests mètodes es basen en obtenir la mesura en qüestió a través de càlculs o raonaments en els que intervenen altres mesures relacionades que o bé són conegudes, o es poden mesurar directament. Exemple: lʼàrea dʼuna classe es pot trobar de forma directa comptant les rajoles. També es pot trobar de forma indirecta a través de les mesures de les dues dimensions (llarg i ample), emprant la fórmula que tots coneixem. Un altre exemple: podem assegurar que el costat oposat en un rectangle té la mateixa mesura, sense necessitat de comprovar-ho.
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura
3. ESTUDI DʼALGUNES MAGNITUDS En relació amb qualsevol magnitud, hem de conèixer quines són les unitats convencionals adoptades i els contexts en què sʼapliquen aquestes unitats, els diferents instruments que sʼutilitzen per mesurar una magnitud i el llenguatge associat a ella, així com les diferents tècniques o mètodes per tal de comparar i mesurar objectes.
•
Longitud - Llenguatge associat. Hi ha molts termes habituals aplicats a la longitud: llarg-curt, ample-estret, alt-baix, gran-mitjà-petit, gruixut-prim, prop-lluny, més/menys llarg que, tan llarg com, etc. Cal distingir entre longitud (dʼun objecte) i distància (entre objectes), i sʼha de presentar diverses activitats per treballar ambdós significats. - Unitats de mesura. La unitat de mesura de longitud en el S.I. és el metre, amb els seus corresponents múltiples i submúltiples (mm, dm, m, dam, hm, km). Lʼestructura dʼaquest sistema de mesura es correspon amb la del sistema de numeració decimal, el que permet que ambdós continguts es recolzin mútuament en el procés dʼaprenentatge. Notem, que depenent de la situació sʼutilitzaran unes unitats de mesura o unes altres: km per tal de mesurar la distància entre ciutats, cm per mesurar lʼalçada dʼuna taula...etc. És important que els nens se nʼadonin de quina és la unitat més convenient en cada cas. - Instruments. Els instruments utilitzats per mesurar longituds sʼadapten també al context, donant lloc a una diversitat dʼinstruments: regla, cinta mètrica, metre de fuster, peu de rei... - Procediments de mesura directes i indirectes. Els mètodes directes consisteixen en comprovar directament, normalment a través dʼun instrument de mesura, quantes vegades està continguda o es pot superposar la unitat sobre la longitud de lʼobjecte a mesurar. A vegades això no és possible i sʼutilitzen relacions geomètriques per calcular una mesura a partir dʼunes altres. Els principals procediments indirectes de mesura de longitud es basen en el Teorema de Thales, en el Teorema de Pitàgores o en el càlcul de longituds dʼarc (per superfícies corbes).
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura Superfície
•
- Llenguatge associat. Per parlar del tamany en relació amb la superfície sʼacostumen a fer servir termes com extens, ampli-reduït, gran-mitjà-petit, etc. - Unitats de mesura. Lʼàrea o superfície és una magnitud de dues dimensions, derivada de la longitud. Així és com es sol considerar, per la qual cosa, les unitats en el S.I. vénen donades en funció de les unitats de longitud: el metre quadrat (m2) es defineix com la superfície dʼun quadrat de costat 1 metre. Aquest té associat els seus múltiples i submúltiples. En algunes situacions es fan servir altres unitats com per exemple la hectàrea (un hectòmetre quadrat) o lʼàrea (un decàmetre quadrat). Reflexio: Per què les unitats de superfície augmenten de 100 en 100? -
Comparació directa i indirecta. Per tal de comparar dues superfícies de forma directa es poden superposar o, en el cas de que no tinguin una forma semblant, pavimentar lʼuna sobre lʼaltra (“tallar i enganxar”). Això es pot fer perque lʼàrea no varia amb els canvis de forma, és a dir, es conserva. En la pràctica, no acostuma a ser possible la comparació directa i es sol recòrrer a recobrir una superfície amb lʼaltra o també a quadricular les superfícies (que implica ja un procés de mesura).
-
Procediments de mesura directes i indirectes. Com ja hem dit, la mesura directa de superfícies sʼefectuaria mitjançant un recobriment o quadriculant la superfície a mesurar. Aquest mètode pot resultar llarg i tediós tot i que necessari a lʼinici de lʼaprenentatge. És per això que el més habitual és mesurar lʼàrea de forma indirecta a través de mesures de longitud (fet que dóna lloc a les conegudes fórmules per lʼàrea dʼalgunes figures).
Reflexió: Per què lʼàrea del rectangle és base per alçada? Exercici: Dedueix de forma raonada una fórmula per lʼàrea dʼun paral·lelogram qualsevol i dʼun triangle qualsevol suposant coneguda la fórmula per lʼàrea del rectangle. Exercici: Dedueix una fórmula per tal de calcular lʼàrea dʼun rombe a partir de les seves diagonals i una altra per calcular lʼàrea del trapezi en funció de les seves bases.
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura -
Relació entre àrea i perímetre. Cal incidir en aquest aspecte, ja que constitueix una font dʼerrors en el procés dʼaprenentatge. Molt sovint els nens confonen lʼàrea amb el perímetre (normalment degut a un ensenyament poc significatiu), o bé pensen que existeix entre ells una relació de proporcionalitat directa, quan no és així: en figures semblants, lʼàrea no augmenta de la mateixa forma que el perímetre. De fet, ni tan sols és cert que quan augmenta lʼàrea el perímetre també augmenta (si les figures tenen formes diferents). El tangram pot ser un material útil per apreciar aquestes relacions. Altres materials que ajuden són els mosaics i els trencaclosques.
Exercici: Dibuixa un quadrat de 6 cm de costat i un altre que tingui el doble de perímetre. Quina relació hi ha entre les àrees dʼambdós quadrats? Exercici: Dibuixa una figura que tingui el mateix perímetre que el primer quadrat que has dibuixat, però que tingui una àrea menor. •
Volum/capacitat - Distinció capacitat/volum. Matemàticament són indistingibles, però presenten matisos que els diferencien en el seu ús quotidià: sʼacostuma a entendre que el volum és el que ocupa un cos, i la capacitat és el que hi cap en un recipient o espai buit. - Llenguatge associat. Els termes més usuals són: ple-buit, hi cap més-hi cap menys, gran-mitjà-petit, espaiós-reduït,... - Unitats. La dualitat volum-capacitat dóna lloc a dos sistemes de mesura diferents. Usualment es fa servir el litre com a mesura de capacitat, amb els seus múltiples i submúltiples, mentre que pel volum es fa servir el metre cúbic (m3). Cal comentar que ambdós sistemes es poden fer servir sempre. Lʼequivalència entre els dos sistemes sʼestableix a partir de la igualtat: 1 litre = 1 decímetre cúbic (1l = 1dm3) Hem de notar que el primer sistema és decimal mentre que el segon no ho és. El metre cúbic prové de la consideració del volum com una magnitud tridimensional derivada de la longitud. Òbviament el metre cúbic presenta més dificultats pels alumnes i sʼintrodueix més tard. - Comparació i mesura. A Primària es poden realitzar comparacions directes o indirectes de volum o de capacitat, aquesta última mitjançant el trasvassament de líquids. També es poden realitzar mesures directes de capacitat amb unitats no convencionals i convencionals, mitjançant lʼús de recipients graduats o fent servir un determinat recipient com a unitat de mesura. Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura •
Massa/pes - Llenguatge associat. Els termes més usuals són pesat-lleuger i els relatius a unitats i instruments. - Diferència entre massa i pes. Són indistingibles en aquest nivell però tot i que es facin servir com sinònims, cal saber que no són la mateixa magnitud. La massa podríem dir que és la “quantitat de matèria” dʼun cos, mentre que el pes és la força amb que la terra lʼatrau. Penseu que si estiguéssim a la Lluna, el nostre pes variaria (seríem més lleugers), però la nostra massa quedaria invariant. - Unitats. En el S.I. la massa és la única magnitud que per tradició te una unitat amb prefixe, el kilogram, basada en el gram. Els múltiples i submúltiples segueixen el sistema decimal, al igual que la majoria de magnituds. - Comparació i mesura: dificultats específiques. En un primer moment, quan tenen lloc les primeres experiènces de percepció i comparació del pes, existeix el perill dʼuna associació errònia entre els conceptes de pes i de volum: els nens pensen que lʼobjecte més gran pesa més. A través de situacions dʼaprenentatge adequades els nens sʼadonaran que no és així. A més, el pes és una magnitud difícil de percebre (no es veu) i difícil de comparar, en el cas en que les diferències de pes són petites. És per això que des de pràcticament un principi es fa ús de la balança (lʼinstrument de mesura per excel·lència). Amb ella, els infants poden fer primer comparacions directes i indirectes, i després realitzar medicions amb unitats no convencionals (bossetes plenes de sorra, llaunes...) i convencionals (peses de diferents tamanys).
•
Temps - Llenguatge associat. Hi ha nombroses paraules que fan referència a algun aspecte temporal: ahir-avui-demà, abans, després, ara, durant, aviat-tard, molta-poca estona, ràpid-lent, hora, dia, setmana, any, rellotge... - Característiques diferencials i dificultats que presenta. El temps és una magnitud que presenta una gran dificultat de comprensió per als infants i, fins i tot, per als adults, ja que no pot ser observat directament, sinó a través dʼinstruments. No es pot percebre pel sentits, és una cosa totalment abstracte i la percepció que en tenim és totalment subjectiva, depèn de lʼactivitat que estiguem realitzant, de la capacitat dʼestimació de cada persona... Com a conseqüència, els nens triguen molt de temps en apreciar-lo. Per una altra banda, el fet que el seu sistema de mesura sigui sexagesimal (de procedència babilònia), i no decimal, constitueix Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura freqüentment una font dʼerrors en lʼaprenentatge. - Aspectes necessaris per a lʼelaboració de la noció del temps: ordre i durada. El nen ha de comprendre: o Que hi ha sèries de successos que ocorren en ordre temporal o Que entre successos diferents hi passen intervals de temps amb una durada determinada. Primer es va desenvolupant la idea dʼordre, i després la de durada (que donarà lloc a la mesura del temps). No obstant, des de molt petit lʼinfant es familiaritza amb paraules relatives a la durada del temps (“una estona”, “una hora”, “dos dies”, etc.) tot i que no sàpiga el que signifiquen realment. - La mesura del temps: unitats i instruments. La unitat de temps en el S.I. és el segon. Els seus múltiples immediats són el minut i lʼhora, però nʼhi ha dʼordre superior que no corresponen al sistema sexagesimal: el dia, la setmana, el mes, lʼany, el segle, el mil·leni,... Lʼinstrument usual de mesura és el rellotge, que pot ser analògic o digital, cosa que afegeix una nova dificultat a lʼaprenentatge. El model digital és el més senzill però no es correspon sempre amb el llenguatge que fem servir (per exemple, les 23:15 representa un quart de dotze). El model analògic és el més difícil dʼinterpretar, ja que requereix un domini de la lateralitat, una distinció de les dues busques i una combinació de posicions, amb el que la seva lectura és difícil. Altres instruments no convencionals que poden servir per mesurar el temps són els rellotges de sol, els de sorra, el goteig dʼuna aixeta...
•
Diners - Característiques diferencials. La seva natura és diferent de la de la resta de magnituds considerades i el seu ensenyament requereix un tractament particular. És una magnitud discreta, tot i que la unitat principal acostuma a admetre fraccionament amb un límit, cosa que no passa amb les magnituds contínues. Una altra diferència és que no requereix un procediment de mesura; en general, el preu dʼuna cosa no sʼobté mesurant, sinó llegint una etiqueta o preguntant. Per últim, el diner suposa un sistema dʼintercanvis fonamentat en símbols materials (monedes i bitllets dʼaparences diferents, segons el seu valor). - Tractament a lʼaula: el procés general dʼensenyament-aprenentatge del sistema monetari es planteja en tres passos: reconeixement de monedes, establiment dʼequivalències entre elles i, per últim, la utilització dels diners en situacions pràctiques. Els problemes que es plantegin han de ser realistes, tot i que no es treballi amb diners autèntics necessàriament.
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 4: Mesura
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica