Tema 3: Nombres i operacions
1. INTRODUCCIÓ •
Què és el nombre? Distinció entre el símbol i el concepte
Existeixen diverses definicions del que és el nombre. Podríem dir que és un ens matemàtic abstracte que indica quantitat i ordre, tot i que sovint es confon amb el símbol que representa aquesta idea. És important distingir entre el que és el concepte de nombre, el que significa i com es representa (el símbol). A lʼhora dʼensenyar els nombres als infants existeix el perill de centrar-se en lʼadquisició del llenguatge matemàtic (el símbol), deixant en un segon pla la comprensió del significat. Que un infant reconegui els nombres no vol dir pas que entengui el seu significat i els sàpiga utilitzar.
•
Tipus de nombres
Normalment, a lʼeducació infantil es consideren únicament els nombres naturals que són els primers que de forma “natural” sorgeixen a la vida quotidiana per la necessitat dʼexpressar quantitats. Cal recordar, però, que el concepte de nombre sʼha anat ampliant al llarg de la història per tal de donar solució a diverses situacions per les que els nombres naturals resultaven insuficients. Així, apareixen les fraccions per tal dʼexpressar les parts de la unitat o per relacionar el tamany de dos conjunts, donant lloc als nombres racionals. Més endavant sʼacceptaran els nombres negatius i els irracionals. •
Origen i evolució històrica.
Donat que el tema que ens ocupa es refereix als nombres naturals, convé saber alguna dada històrica que ens permeti saber com lʼhome va anar construint el concepte de nombre i la manera de representar-lo. Això ens pot ajudar a entendre la forma com els infants adquireixen aquestes nocions i les dificultats que es poden trobar. Hi ha dues hipòtesis sobre lʼorigen del nombre, una de les quals fa referència al seu aspecte ordinal (ordre) i lʼaltre a lʼaspecte cardinal (quantitat). Segons la Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions primera, el nombre va sorgir a partir de la necessitat dʼorganitzar als participants en els ritus religiosos, que debien actuar en un ordre determinat. La segona hipòtesis (la més acceptada) defensa que la idea de nombre va sorgir amb lʼagricultura i la ramaderia per tal de controlar ramats i cultius. Al principi, una forma de comprovar si faltava algun animal, consistia en agafar una pedra per cada animal, establint així una correspondència un a un entre pedres i animals. Aquesta idea és bàsica per tal de construir el concepte de nombre. Aviat va sorgir el problema de representar les quantitats de forma permanent, i més quan aquestes eren grans, per poder realitzar càlculs amb elles. Era el començament de lʼescriptura dels nombres, de la seva simbolització, el naixement dels sistemes de numeració, que cada civilització va crear per donar resposta a les seves necessitats. Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles per representar els nombres, és a dir, les diferents quantitats. Els sistemes poden ser més o menys complexos segons els principis que utilitzin. Per arribar al sistema decimal que fem servir avui dia, han estat necessaris molts segles dʼevolució. Des dels sistemes de representació simple, en els que cada objecte es representava amb un signe (correspondència un a un), fins al sistemes posicionals, en els que un nombre es composa de xifres que tenen un valor determinat segons la posició que ocupen, va caldre recòrrer un llarg camí. Va ser necessari lʼagrupament múltiple per tal de crear unitats cada cop més grans (desenes, centenes, milers...) que després calia ordenar i expressar en forma multiplicativa.
•
Aritmètica: definició i objecte
La representació de les quantitats facilita la transformació dʼunes en unes altres, és a dir, la realització de càlculs. LʼAritmètica és la part de les Matemàtiques que estudia les propietats dels nombres i les operacions que es realitzen amb ells. Lʼobjecte de lʼAritmètica és la resolució de problemes de natura quantitativa. Ens ocuparem per tant de lʼaritmètica dels nombre naturals, abordant en aquest tema el concepte de nombre natural i la seva representació per continuar amb dues de les operacions elementals: la suma i la resta. Lʼaritmètica és una disciplina que està íntimament lligada al sistema de numeració utilitzat, ja que les regles per fer els càlculs vindran condicionades per les característiques del sistema.
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions Les operacions són transformacions (relacions) numèriques que representen les accions o transformacions que es produeixen a la realitat i que són quantificables, és a dir, que es poden representar amb nombres. És important distingir entre el significat dʼuna operació i lʼalgorisme per realitzar-la, és a dir, la diferència entre saber el que és sumar i com es fa, ja que són aprenentatges diferents i complementaris. Una cosa és comprendre el concepte de lʼoperació i saber utilitzar-la en diferents situacions, i una altra cosa és efectuar correctament els càlculs usant un algorisme determinat per tal dʼobtenir el resultat.
2. EL NOMBRE I LA SEVA REPRESENTACIÓ La forma més intuitiva dʼaproximar-nos al concepte de nombre és a través dʼexemples, veient com i quan els utilitzem. Però per tal de saber si evoluciona la construcció mental del concepte abstracte de nombre en el nen, així com per poder dirigir el seu aprenentatge, necessitem conèixer detalladament aquest concepte. •
Usos del nombre: contexts numèrics
Són abundants les situacions de la vida quotidiana en les que apareixen nombres, però no sempre seʼls atribueix el mateix significat. Afirmar que en una aula hi ha 24 nens és diferent a dir que algú ocupa el lloc 24 en una llista dʼinterins, o que lʼautobús 24 és el que va a un determinat barri. És precís que el mestre o la mestra sigui conscient dʼaquesta varietat de situacions i usos del nombre, que anomenem contexts numèrics, en el moment de plantegar activitats a la classe. Per una comprensió completa del concepte de nombre, lʼinfant ha de saber aplicar-lo en tots els tipus de situacions. Podem considerar diferent contexts numèrics: a.
b. c. d. e.
Seqüència verbal: és quan es fa servir la seqüència en ordre (un, dos, tres, quatre...). Es pot usar per trobar el cardinal dʼun conjunt; la posició que ocupa un element en una ordenació; per fer operacions; per mesurar... Comptatge: quan cada nombre sʼassocia amb un element dʼun determinat conjunt. Cardinal: quan volem saber “quants nʼhi ha”. Mesura: quan són el resultat dʼuna mesura. Ordinal: quan ens diuen la posició relativa dʼun element dins dʼuna Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions f.
ordenació. Codificació (nominal): quan serveixen per etiquetar els elements dʼun conjunt.
És interessant observar com els infants van adoptant progressivament els diferents usos del nombre per anar construint el concepte. Els infants sʼintrodueixen en les matemàtiques abans de començar a llegir i a escriure els numerals 1, 2, 3 ... Lʼhabilitat de comptar es desenvolupa durant els anys preescolars. Distingim 3 etapes bàsiques:
•
- Repetició memorística de sons. Es tracta de repetir els nombres de forma inconscient. - Comptar objectes. Consisteix en recitar la sèrie dels nombres però, a més, assignar a cada paraula un objecte del conjunt. Així, el que fa el nen és una aplicació bijectiva entre el conjunt de nombres naturals i el conjunt dʼobjectes que sʼhan de comptar. - Comptar objectes i dir quants nʼhi ha. Aquí estem interessats en lʼúltim nombre que sʼha dit i no pas en lʼaplicació bijectiva establerta durant el procés. És el sentit cardinal. Estratègies per quantificar
Un cop definit el que és el nombre, com quelcom que designa de forma precisa una quantitat, ara es planteja com determinar quin és el nombre corresponent a una quantitat concreta. Existeixen diverses formes de quantificar; dʼassignar un nombre a una quantitat: a. Percepció global del nombre (subitització) Si el tamany es pot percebre amb un cop dʼull, el nombre apareix en la nostra ment de forma instantània. Aquesta forma dʼobtenir-lo sʼanomena subitització. Aquesta forma de procedir és útil quan hi ha un nombre petit dʼunitats i es veu afavorida per una disposició regular dels objectes que es volen comptar. Quan els objectes es troben distribuits de forma aleatòria, és més difícil la subitització. b. Comptatge Per conjunts nombrosos en els que la subitització no ens serveix, fem servir el procés de comptatge; el nombre amb el que es finalitza els procés de comptar ens dóna el cardinal del conjunt. Els principis que intervenen en aquest procés són: Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions - Els termes de la seqüència numèrica sʼhan de recitar en un ordre establert. - Cada paraula de la seqüència sʼha dʼassociar a un sol element del conjunt. - Cada un dels elements del conjunt sʼhan dʼassociar a un sol terme de la seqüència numèrica. - Lʼúltim terme obtingut ens dóna el cardinal. - El cardinal dʼun conjunt no depèn de lʼordre amb que es comptin els seus elements. - Qualsevol col·lecció dʼobjectes es pot comptar, siguin iguals o no.
c. Estimació Hi ha situacions en les que no es pot o no és necessari comptar. En aquest cas, podem fer una aproximació o estimació. De fet, en el procés dʼaprenentatge dels infants és bo provocar que facin estimacions prèvies al fet de comptar, ja que això els ajuda a representar-se mentalment les quantitats. d. Càlcul El cardinal dʼun conjunt també es pot trobar usant les quatre propietats elementals (suma, resta, multiplicació i divisió) i les seves propietats. •
Sistemes de numeració
Ja sabem que hi ha diferents formes de representar els nombres i per tant hi ha diferents sistemes de numeració. Als infants seʼls ha dʼensenyar el nostre sistema de numeració (el decimal) per tal que es puguin moure per la nostre societat i per comunicar-se. Pels futurs mestres/as pot resultar especialment útil lʼaprenentatge de sistemes posicionals en bases diferents a 10, amb lʼobjecte de comprendre a fons lʼestructura del sistema de numeració decimal enfrontant-se a un sistema similar, però desconegut per ells. Dʼaquesta manera, és més fàcil percebre les dificultats que poden trobar els nens amb el sistema decimal i el procés que han de seguir per construir-lo de forma significativa. En general podem distingir entre sistemes de numeració no posicionals (com lʼegipci o el romà) y sistemes posicionals (com el decimal que emprem en lʼactualitat). En els sistemes no posicionals, cada símbol representa una quantitat determinada independentment de la posició que ocupa. Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions Els sistemes posicionals es caracteritzen per tenir una base i un valor posicional. La base és el nombre segons el qual agrupem les unitats en altres dʼordre superior. El valor posicional indica els diferents ordres dʼunitats en una expressió numèrica, de forma que cada xifra tindrà un valor relatiu depenent de quina sigui la seva posició. La base i el valor posicional determinaran també la manera de realitzar les operacions, és a dir, els algorismes. Les representacions gràfiques ens ajudaran a entendre els algorismes.
3. SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL El sistema de numeració decimal es va desenvolupar a lʼÍndia (entre els segles V i VIII) i el varen introduir a Europa els àrabs cap al segle X. Avui dia aquest sistema de numeració està estès universalment ja que es tracta dʼun sistema pràctic per realitzar càlculs. Un avantatge del sistema de numeració decimal és el fet que qualsevol nombre, per gran que sigui, es pot representar amb pocs dígits. Això és degut al caràcter multiplicatiu del sistema. Pregunta: per què la base del sistema és precisament 10 i no cap altra? En el sistema de numeració decimal es fan servir 10 símbols: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Abans de continuar fixem-nos en el següent nombre:
84 935 Aquest nombre es pot desenvolupar de diverses formes: 84 935
= 8 desenes de miler + 4 milers + 9 centenes + 3 desenes + 5 unitats = 80 000 + 4 000 + 900 + 30 +5 4 3 2 1 = 8 x 10 + 4 x 10 + 9 x 10 + 3 x 10 +5
Així doncs, veiem que el nostre sistema és un sistema posicional (en funció de la posició, una xifra representa o bé el nombre dʼunitats, o bé el nombre de desenes, o de centenes...). El sistema decimal, com tots els sistemes que són posicionals, es regeix per dos principis fonamentals:
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions - El principi dʼagrupament múltiple o agrupació successiva (segons una base), que indica que 10 unitats dʼun ordre (10 desenes per exemple) constitueixen una unitat dʼordre superior (una centena en aquest cas). - El principi de valor relatiu o valor posicional, per el qual cada xifra que composa un nombre té un valor que depèn de la posició que ocupa. Exercici: Escriu de 3 formes desenvolupades els nombres a) 153 , b) 6498, c) 43621 En particular, el sistema decimal té les següents propietats:
• • • • • •
Base 10: la base dʼagrupament dʼaquest sistema és 10 Unitats dʼordre: cada 10 unitats dʼun ordre, formen una unitat dʼordre superior, que sʼescriu a lʼesquerra. Són el que anomenem potències de la base. Multiplicadors: hi ha 10 dígits que actúen com a multiplicadors de les potències de la base: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Valor de posició: les unitats dʼordre es representen per posicions ordenades en ordre ascendent de dreta a esquerra. Valor relatiu: cada xifra en un nombre té un valor relatiu que depèn de la posició que ocupa (sistema posicional). El valor dʼun nombre és la suma dels productes de les xifres pel valor de posició.
Nota: un material molt adequat per introduir el sistema de numeració decimal són els blocs multibase que hem explicat a classe.
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions
4. ALTRES REPRESENTACIONS El nostre sistema és de base 10 com ja hem comentat, però hi ha dʼaltres sistemes que tenen bases diferents (com el que fan servir els ordinadors que és de base 2). Anem a estudiar breument un sistema amb una altra base. Fàbrica de caramels base-quatre En un indret molt llunyà hi havia una fàbrica de caramels. Es donava el cas de que els treballadors només sabien comptar fins a 4. A lʼhora de fer els enviaments, i després de discutir-ho entre tots, van decidir que havien dʼempaquetar els caramels en grups de quatre. Així doncs, cada vegada que un treballador veia 4 caramels, els posava dins dʼuna “bosseta”. Quan tenia 4 bossetes, les posava totes en una “capsa” i quan tenia 4 capses les posava dins un “sac”. Així doncs, els caramels es podien vendre en les quantitats següents: unitats, bossetes, capses i sacs. Així, empaquetant dʼaquesta forma, els treballadors podien saber quants caramels havia produït la màquina, sense necessitat de comptar més enllà de 4. De fet, als clients seʼls donava el següent formulari:
Sacs
Capses
Bossetes
Unitats
I seʼls indicava que només podíen emprar el dígits: 0,1,2,3. Així doncs, un exemple de comanda seria: Sacs 2
Capses 3
Bossetes 1
Unitats 3
Al cap dʼun cert temps, lʼencarregat de les comandes llegia el formulari i escrivia a la seva llibreta “2313” sabent el que significava cada nombre segons la posició que ocupava. En aquest cas per exemple, ens podem fer la pregunta de quants caramels ens han demanat en total. Per determinar això convé recordar que: Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions - Una bosseta conté 4 caramels. - Una capsa conté 4 bossetes i, per tant, conté 4 x 4 = 42 = 16 caramels. - Un sac conté 4 capses, i, per tant, conté 4 x 4 x 4 = 43 = 64 caramels. Així doncs, el nombre 2313 en base 4, que escriurem a partir dʼara com 23134) equival a: 23134) = 2 sacs + 3 capses + 1 bosseta + 3 unitats = 2 x 43 + 2 x 42 + 1 x 41 +3 = 2 x 64 + 3 x 16 +1x4 +3 = 183 caramels Noteu que el 183 ho hem escrit en base 10! (1 centena + 8 desenes + 3 unitats).
Exercicis en base 4: - Com empaquetaríem 93 caramels? - Un determinat venedor va realitzar diverses comandes, primer va demanar 20134) i després 2314). Com ha de fer els empaquetaments per tal de fer un únic enviament? - Un altre venedor ha enviat una comanda demanant 31324) a fàbrica. Al cap dʼuna estoneta truca dient que hi ha hagut un error i que nʼhavia demanat 1134) més dels que necessita. Què li hauran dʼenviar finalment? - Escriu els 10 primers numerals en base 4. Nota: ajudeu-vos dels diagrames de caramels que vàrem explicar a classe.
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions
5. OPERACIONS ELEMENTALS Hi ha quatre operacions aritmètiques bàsiques: suma, resta, multiplicació i divisió. La suma i la resta tenen una estructura additiva mentre que la multiplicació i la divisió tenen una estructura multiplicativa. Donat que en lʼetapa de lʼeducació infantil només sʼintrodueix la suma i la resta de nombres naturals, aquí parlarem únicament dʼaquestes dues operacions.
•
La suma
La suma de nombres naturals es defineix a partir de la unió entre conjunts. “Siguin a i b dos nombres naturals, tals que a=cardinal(A) i b=cardinal(B), essent A i B dos conjunts disjunts. Aleshores, a + b = c, on c és el cardinal de la unió dels dos conjunts A i B.” La suma de nombres naturals té les següents propietats: - Commutativa: a + b = b + a - Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) - Existència dʼelement neutre: el 0, ja que a + 0 = 0 + a = a, per a qualsevol nombre natural a.
•
La resta
Aquesta operació també es pot definir a partir de la teoria de conjunts, però és més habitual definir-la com la operació inversa de la suma. “Donats dos nombres naturals a i b, es complirà a – b = c quan existeixi un nombre natural c tal que b + c = a.” Exercici: Estudia si es poden traslladar les propietats de la suma a la resta de nombres naturals. Exercici: Es verifiquen les mateixes propietats de la suma dels nombres naturals al conjunt dels nombres enters?
•
Problemes dʼestructura additiva
Els problemes aritmètics es poden classificar atenent a diversos criteris. Nosaltres farem una classificació semàntica (atenent al significat de les operacions implicades). Si lʼinfant és capaç de captar aquest significat i associarhi la operació corresponent, aleshores haurà entès realment lʼoperació i la sabrà utilitzar. Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions Hi ha 3 categories semàntiques que donen lloc a accions o siuacions de suma i resta: Situacions de canvi Situacions de combinació Situacions de comparació
Situacions de canvi Són aquelles en les que una quantitat inicial és sotmesa a una modificació. Ex: Un nen té 5 cotxes i el seu pare nʼhi regala 3. Quants cotxes té ara? Lʼestructura dʼaquest problema consisteix en una quantitat inicial donada (5 cotxes), una quantitat de canvi donada (3 cotxes) i una quantitat final que en aquest cas és la incògnita. Dins de les situacions de canvi podem distingir dos casos: - Canvi augmentant En aquestes situacions el canvi suposa un augment de la quantitat inicial (com a lʼexemple anterior). En aquests casos, el nen té dues estratègies: pot juntar la quantitat inicial i la de canvi i comptar-ho tot; o també pot comptar el total a partir de la quantitat inicial. - Canvi disminuint Ex: Un nen té 5 llapis quan comença a jugar. Durant el joc perd 3 llapis. Quants llapis té al final? En aquest cas, el nen també té dues estratègies: pot separar la quantitat de canvi de la quantitat inicial i tornar a comptar; o també pot comptar cap enrere la quantitat de canvi. Fixem-nos que en les situacions de canvi és possible relacionar cada moment (inicial, de canvi i final) del problema amb lʼestratègia a seguir i el càlcul que cal fer. En aquest cas diem que el problema permet el modelat directe. Observem, a més, que ens podem trobar amb casos on la incògnita no és pas la quantitat final sinó la quantitat de canvi o la quantitat inicial. Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions Ex: Un nen té 5 llapis quan comença a jugar. Durant el joc guanya diversos llapis. Si al final té 8 llapis, quants nʼha guanyat? Es tracta dʼun problema de canvi augmentant que es resol mitjançant la resta! Observem que aquest problema tampoc no permet un modelat directe. En aquest cas hi ha dues estratègies: comptar a partir de la quantitat inicial fins a arribar a la quantitat final; o també separar llapis de la quantitat final fins que tinguem la quantitat inicial. Finalment, considereu el següent exemple: un nen té diversos cotxes en començar el joc. Durant el joc en guanya 3 i al final en té 8. Quants cotxes tenia al principi? Situacions de combinació Són situacions que mostren dues quantitats comparables. No hi ha cap procés de canvi. Ex: En Joan té 4 còmics de Spiderman. Na Carme té 3 còmics de Spiderman. Si es reuneixen per llegir-los, quants còmics tenen en total? En aquest cas tenim dues quantitats estàtiques que formen part dʼun tot que les inclou. Les estratègies són les mateixes que les del canvi augmentant (comptarho tot o comptar a partir del primer sumand). Permet el modelat directe a partir dʼobjectes i dits. Noteu que si en comptes de desconèixer el total, es desconeix una part, la operació és la resta: en Joan té 4 còmics de Spiderman. Si na Carme té diversos còmics de Spiderman i entre els dos tenen 7 còmics en total. Quants còmics de Spiderman té na Carme?
Situacions de comparació Són situacions en què es comparen dues quantitats estàtiques donades. Les quantitats es presenten alhora (al contrari que en les situacions de canvi) i no corresponen a dos conjunts inclosos en un tot (amb això es diferencien de les situacions de combinació). Considerem el següent exemple: en Pere té 7 llapis i na Maria té 5 llapis. Quants llapis té en Pere més que na Maria?
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica
Tema 3: Nombres i operacions Quan es té el material per representar el problema, sʼassigna un llapis del conjunt dʼen Pere amb un llapis del conjunt de na Maria emparellant-los. La resposta es troba comptant els llapis que no estan emparellats. Cal dir que, quan no es disposa de material els infants tenen moltes dificultats per comprendre els termes del problema. En aquest cas, podem canviar la manera de formular el problema per facilitar la seva comprensió: en Pere té 7 llapis i na Maria té 5 llapis. Quants llapis hem de donar a na Maria per tal que tingui els mateixos llapis que en Pere? Ara lʼhem convertit en un problema dʼigualació. Notem que els dos problemes són substancialment diferents: el primer és una comparació estàtica mentre que en el segon hi ha una transformació dʼuna quantitat en una altra. Penseu en els següents exemples: Ex: En Pere té 7 llapis. En Pere té 2 llapis més que na Maria. Quants llapis té na Maria? Ex: Na Maria té 5 llapis. En Pere té 2 llapis més que na Maria. Quants llapis té en Pere?
6. BIBLIOGRAFIA - Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Enrique Castro (editor). Ed. Síntesis: capítols 6, 7 I 8.
Desenvolupament del pensament matemàtic i la seva didàctica