Dimostrazione mirabile

Chip En Sai

DIMOSTRAZIONE MIRABILE Monologo logico-matematico in forma di saggio

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Dimostrazione mirabile Monologo logico-matematico in forma di saggio

Alla buon’anima di Pierre De Fermat, che, rimediando al margine esiguo di un testo sull’Aritmetica di Diòfanto, mi è venuto in sogno e mi ha svelato la sua “demonstrationem mirabilem”

 2006 Scritti Volanti edizione, Alghero 2

Premessa Cara lettrice o caro lettore, se già mi conosci per aver letto il mio precedente monologo, eccomi di nuovo qui a continuare e forse mettere la parola “fine” a un lungo e centenario discorso. Anche questa volta farò di tutto perché tu non debba pentirti della fiducia che vorrai accordarmi; e cercherò, almeno, di non aggravarti il malumore per le tue molteplici faccende.

In una nota a piè di pagina della mia “Confutazione semplice” ho annunciato di essere in possesso di una dimostrazione diretta o “mirabile” dell’Ultimo Teorema di Fermat e che essa mi sarebbe stata presto pubblicata; e non potevo certo disattendere un impegno così importante senza perdere la faccia.

Se, invece, non conosci quel mio precedente monologo, non ti preoccupare: potrai seguire ugualmente il presente, che si snoda in modo del tutto autonomo. Ti basterà sapere che in quell’occasione ho confutato la “celebre” dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat sostenuta dal matematico inglese Andrew Wiles.

Come ho già fatto nella premessa della “Confutazione semplice con Verifica breve e unica” (pubblicata sempre da Scritti Volanti) ti assicuro che anche questa volta non bisogna aver frequentato corsi specialistici di filosofia, logica e matematica per capire il mio discorso.

Al momento non mi sono giunte richieste di chiarimenti riguardo alle argomentazioni del mio precedente scritto: quindi, dovrei presumere di essere stato chiarissimo; ma sarebbe ancora troppo presto per giungere a una conclusione così esaltante.

Dico, infine, anche a te, nuovo lettore (e spettatore!) dei miei monologhi che se non sarai rimasto soddisfatto, potrai sempre scrivermi una mail e chiedermi di indicarti qualche nuova lettrice (e spettatrice!) soddisfatta; e viceversa.

Chip En Sai

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Personaggio

Io sottoscritto, Chip En Sai: filosofo, logico e matematico italo-cinese con inclinazione per la recitazione, fortunatissimo depositario di una dimostrazione mirabile

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Antefatto Circa quattro anni fa, di maggio, dopo un lunga notte trascorsa ad esplorare

“Il codice

dei numeri interi” (supplemento

alla “Rivista

Marittima” del febbraio 1986, ad opera di un certo Giovanni Moro), verso le quattro del mattino mi lasciai andare sul letto agevolato dal riverbero di una frase che avevo letto tra le premesse: “…cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi.

Hanc marginis exiguitas non caperet.” così tradotto: “… di questo ho trovato una dimostrazione meravigliosa.

La pochezza di questo margine non può contenerla.”

Stordito da ben ottantaquattro pagine di resoconto algebrico, articolato in centocinquantadue espressioni, tutte debitamente numerate a margine e di volta in volta commentate anche con l’ausilio a volte di tabelle illustranti dei “procedimenti di natura essenzialmente crittografica” (parole del Moro), alla fine cedetti al sonno.

La frase di Pierre De Fermat si fece strada nel mio cervello assopito e si animò in un accento transalpino.

Nel sogno era lo stesso matematico francese a pronunciarla, con serietà.

Poi, sorridendo, mi domandò: _ Savez vous… (sì va be’!…) Sai tu dirmi come mai “uno più due” fa “tre” e invece “due più tre” non fa “quattro”?… E perché “tre al quadrato più quattro al quadrato” fa “cinque al quadrato”… mentre “quattro al quadrato più cinque al quadrato” non fa “sei al quadrato”?

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_ Certamente!… – risposi – … il “due” è pari e il “tre” è dispari!… e se li sommiamo fanno un numero dispari … quindi non fanno “quattro” che è pari!… E questo vale anche per “quattro al quadrato più cinque al quadrato” che non fa “sei al quadrato”… perché “quattro al quadrato” è pari e “cinque al quadrato” è dispari … mentre “sei al quadrato” è pari? _ Bravò!… ma non facevi prima a dire che “due più tre” non fa “quattro”… perché invece fa “cinque”?! _ Certo!… questo è un caso in cui è più immediato giungere al preciso risultato … perché si tratta di numeri a una sola cifra!… ma con numeri appena maggiori si fa prima a risolverla con “pari e dispari” che a dire il risultato preciso! _ Bravissimò!… sei sulla buona strada!… allora come mai “tre al quadrato più quattro al quadrato” fa “cinque al quadrato” … mentre “cinque al cubo più sei al cubo” non fa “sette al cubo”? _ Be’ … vediamo un po’!… “cinque al cubo” è dispari … “sei al cubo” è pari e “sette al cubo” è dispari!… “dispari più pari” fa “dispari” … e va bene!…

In questo caso è evidente che il “pari e dispari” non mi dice nulla … perché io possa escludere l’uguaglianza!… quindi non mi resta che verificare attraverso il calcolo la disuguaglianza che tu sostieni! _ Mon ami … allora prova a fare un po’ di conti! _ Allora … “cinque al cubo” fa “centoventicinque” e “sei al cubo” fa “duecentosedici” … quindi la loro somma è “trecentoquarantuno”!… mentre

“sette

al

cubo”

fa

“trecentoquarantatrè”

…

accidenti

che

sfortuna!… per solo “due unità” di differenza non si verifica l’uguaglianza! _ Vous savez … sai bene che è il minimo!

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_ Hai ragione … una sola unità di differenza non sarebbe stata possibile … sempre per il discorso di “pari e dispari”!… che strano … ma no … non è per niente strano … è così e basta!… non ci sono stranezze in matematica o … se ci sono … sono tante quante i numeri!… _ Eh sì … mon ami … ogni numero è una “stranezza” per gli altri!… Sei davvero sulla buona strada!… E voilà!… _ E quello … che cos’è? _ Ma demonstration … mon ami!… non vedi?!… è la continuazione dei calcoli che hai appena cominciato!

Mi avvicinai a lui per vedere meglio il contenuto del foglio che mi stava mostrando e tutto mi apparve meravigliosamente chiaro.

Ecco cosa vidi:

Demonstratio mirabilis (Tabella di Fermat) Poniamo e verifichiamo 1+2=3

0

2

2

2

3

3

3

4

4

4

3 +4 =5 5 +6 <7 7 +8 <9 5

5

Variazione nulla Grado e minore

9 +10 <11

0 -2 -64 5

-2002

Poniamo e verifichiamo

Variazione maggiore

1°

3+4>5

2

2°

2

2

2

3

3

3

5 +6 >7

3°

7 +8 >9

4°

4

4

9 +10 >11

5°

12 126 4

5

5

38590

6

6

6

965720

7

7

7

11 +12 >13

6

6

6

7

7

7

7°

15 +16 >17

8

8

8

8°

178+188>198

179+189<199

9°

199+209>219

1910+2010<2110

10°

2110+2210>2310

11 +12 <13 13 +14 <15 15 +16 <17

-69264

6°

1920

5

13 +14 >15

A questo punto, mi svegliai di soprassalto e ricostruii immediatamente la tabella, ricavando queste formule: (2n–1)n+(2n)n<(2n+1)n per n>2 (2n+1)n+(2n+2)n>(2n+3)n per qualunque valore di n 

Formule per terne coerenti dei numeri interi consecutivi elevati per gradi successivi; le ho ricavate dall’osservazione del procedimento della Tabella di Fermat.

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Dimostrazione mirabile Le formule ricavate dalla tabella permettono di attribuire a ciascun grado superiore al 2° due terne consecutive e coerenti di numeri consecutivi, entrambe con le minime variazioni, una minore e una maggiore.

Per ogni terna così formata e ordinata, a partire dalla terza, esistono sempre e solo due gradi che ne fanno registrare il passaggio dalla variazione maggiore a quella minore: gradi perciò anch’essi consecutivi.

Secondo questo procedimento nessuna terna consecutiva e coerente può sfuggire a un rigoroso controllo di una reale e virtuale “discesa all’infinito”, tecnica dimostrativa inventata proprio da Fermat.

Dato che tutte le altre terne coerenti di numeri parzialmente consecutivi (cioè solo due numeri) o di non consecutivi, si possono ottenere attraverso quelle formate da tre numeri consecutivi presenti nella tabella, è chiaro che le stesse terne faranno registrare sempre e solo variazioni sensibilmente minori o maggiori, cioè non uguali: dunque l’enunciato dall’Ultimo Teorema di Fermat è dimostrato.

Enunciato: La seguente formula non è risolvibile con numeri interi se n>2 xn+ yn = zn con x, y, z, n numeri interi assoluti o naturali La Tabella di Controllo, che io ho elaborato, è la “prova del nove” di questa mirabile dimostrazione.



Coerenti: tali cioè che il controllo “pari e dispari” non le escluda in partenza, come lo sarebbe, ad esempio, la terna 42, 52, 62 (che lo stesso Fermat pronunciò… in sogno!)

8

Tabella di Controllo Modifica minima di x Grado

Modifichiamo x in x-2 e verifichiamo

Variazione nulla e Variazione minore

Grado

1°

1+4=5

0

1°

2°

32+62<72

-4

2°

-92

3°

3

3

3

3°

5 +8 <9

4°

4

7 +10 <11

5°

95+125<135

4

6

4

6

6

6°

11 +14 <15

7°

137+167<177

8° 9° 10°

-2240

4°

-63412

5°

-2089528

6° 7°

8

8

8

8°

9

9

9

9°

15 +18 <19 17 +20 <21 10

10

19 +22 <23

10

10°

Modifica minima di y Grado

Modifichiamo y in y-2 e verifichiamo

Variazione nulla e Variazione minore

Grado

1°

3+2=5

0

1°

2°

52+42<72

-8

2°

-170

3°

3°

3

3

7 +6 <9 4

4

3 4

4°

9 +8 <11

5°

115+105<135

-3984

4°

-110242

5°

-3577832

6°

6

6

6

7°

7

7

15 +14 <17

7

7°

8°

178+168< 198

8°

6°

9° 10°

13 +12 <15

9

9

19 +18 <21 10

9

10

21 +20 <23

9°

10

10°

Modifica minima di z Grado

Modifichiamo z in z+2 e verifichiamo

Variazione nulla e Variazione minore

Grado

1°

3+4=7

0

1°

2°

2

5 +6 <9

3°

73+83<113

4° 5°

4

2

4

2

9 +10 <13

4

2° 3°

-12000

4°

5

5

5

-349492

5°

6

6

6

-11781224

6°

11 +12 <15

6°

13 +14 <17

7°

157+167<197

8°

-20 -476

8

8

8

9

9

9

17 +18 <21

9°

19 +20 <23

10°

2110+2210<2510

7° 8° 9° 10°



Con le modifiche minime coerenti di x, y e z, la variazione maggiore della Tabella di Fermat si trasforma in un’altra minore, già a partire dal 2° grado, e progredisce sempre più negativamente dal 3° grado al 6°: quindi è chiaro che, procedendo così nei gradi successivi, nessun numero in tabella potrà far parte di una terna con variazione nulla.

E poiché la Tabella di Fermat contiene virtualmente tutti i numeri interi, essa è una prova visiva, cioè una dimostrazione diretta o “mirabile” dell’Ultimo Teorema di Fermat.

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Considerazioni conclusive Basta osservare, nella Tabella di Fermat, la prima terna di 1° grado, 1+2=3, per capire che tutte le eguaglianze possibili al grado medesimo derivano da essa e risalgono a questa fortunatissima terna.

Questo vale anche per il 2° grado, con la terna 32+42=52.

Non rimane dunque che estendere lo stesso procedimento ai gradi superiori al secondo attraverso uno scorrimento di tutte le terne coerenti e successive alle prime due e quindi direttamente collegate ad esse e tra loro tramite un comune numero, che, su tre gradi consecutivi, comparirà quattro volte (due come somma e due come differenza: ad es. il numero 5, il 7, il 9 e via via tutti i dispari).

La Tabella di Fermat è il risultato “mirabile” di questo procedimento: si tratta, infatti, di un quadro sinottico che permette di dimostrare o, meglio ancora, di “mostrare” (perciò “mirabile”!) con insuperabile evidenza la validità dell’ “Ultimo Teorema di Fermat”.

Questa evidenza (tanto inaudita quanto conclamata!) è tale da essere praticamente

a

livello

delle

evidenze

osservabili

in

una

tabellina

elementare.

Che cosa, infatti, può essere più evidente o “mirabile” di una tabellina di Pitagora?

Dove si trova, ad esempio, “dimostrato” con più evidenza che un numero intero pari moltiplicato per un altro qualsiasi numero intero grande quanto si vuole produrrà sempre un numero intero pari?

Osservando la Tabella di Fermat si vede che ogni grado superiore al secondo è “incastrato” tra due terne coerenti e consecutive di numeri 

È davvero una grande fortuna che il primo dei numeri interi sommato al secondo dia il terzo!

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consecutivi, esprimenti variazioni di segno contrario, cioè segnalanti che sarebbe pura perdita di tempo avviare ulteriori tentativi di ricerca con eventuali terne di numeri consecutivi, allo scopo di risolvere la formula di Fermat.

A questo punto si deve solo mostrare che neanche una qualunque terna di

numeri

non

consecutivi

può

risolvere

la

stessa

formula,

se

all’esponente n viene dato un valore superiore a 2.

Una simile dimostrazione o controllo non può che procedere a partire dall’attenta osservazione della stessa Tabella di Fermat, che, se si vuole provare a risolvere la formula di Fermat, può subire tentativi validi di modifica solo sull’elenco di terne che presentano il risultato della “variazione maggiore”.

La Tabella di Controllo mostra che è sufficiente controllare cosa capita alla minima modifica di una terna di numeri consecutivi o al minimo passaggio di essa verso numeri non consecutivi: capita che la variazione maggiore scompare lasciando il posto a un’altra variazione minore.

Da qui è chiaro che ogni ulteriore tentativo coerente di controllo produrrà sempre risultati di variazioni minori e mai risultati di variazioni nulle, cioè tali da risolvere la formula di Fermat.

Tutto sommato si può dire che la Tabella di Controllo è quasi superflua per confermare quanto evidenziato dalla Tabella di Fermat.

Non ho altro da aggiungere.



Ah sì … dimenticavo!… ho lasciato di proposito incompleti i valori dal 7° grado in poi, perché chi vorrà potrà trovare, per proprio conto, i dati mancanti e controllare “in diretta” la costanza delle variazioni maggiori o minori … Buon divertimento e … ciao!

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Copia n. ______ di 300

Firma dell’autore

Stampa Editoria e Stampa Zona Industriale Predda Niedda sud, str. n. 10 – Sassari Tel. Fax 079.262236 – 079.262221 Finito di stampare nell’agosto 2006 Per prendere contatto con l’autore: chipensai@tiscali.it Per prendere contatto con l’editore: tel. 347.11.90.902

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