Confutazione semplice con Verifica breve e unica

Chip En Sai

CONFUTAZIONE SEMPLICE con

VERIFICA BREVE E UNICA Monologo logico-matematico in forma di saggio

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Confutazione semplice con

Verifica breve e unica Monologo logico-matematico in forma di saggio

Al prof. X, ad Andrew Wiles e a Luca Ronconi

Personaggio

Io sottoscritto, Chip En Sai: filosofo, logico e matematico italo-cinese con inclinazione per la recitazione

ďƒŁ 2006 Scritti Volantiďƒ˘ edizione, Alghero 2

Premessa Cara lettrice o caro lettore, anche se non sai dove sbattere la testa, farò di tutto perché tu non debba pentirti della fiducia che vorrai accordarmi; cercherò, almeno, di alleviarti il malumore per le tue molteplici faccende.

“La Matematica non è un’opinione” è un enunciato che nessun comune mortale ha mai pensato di dimostrare o di confutare; sono, però, esistiti, esistono ed esisteranno sempre dei mortali non comuni.

Non molto tempo fa, un certo Kurt Gödel, ha messo in crisi il concetto di “dimostrazione” con una vera e propria dimostrazione, gettando nello sconforto innumerevoli esperti del settore.

Le prospettive dei Matematici (e dei loro congiunti!), da quel momento, sono sembrate poco esaltanti: in molti si sono convinti a cercare scampo tra le schiere dei maghi o dei prestigiatori. Pochi, comunque, hanno resistito e hanno dimostrato (a loro volta!) che, perseverando, si poteva campare lo stesso, anche se non tanto bene. Pochissimi, resistendo e “dimostrando”, hanno campato e campano bene!

Eh sì, purtroppo solo i più fortunati e con tanto coraggio o faccia tosta, ancora oggi, guadagnano abbastanza; e a volte vincono prestigiosi premi (anche un milione di dollari!) con qualche brillante dimostrazione, magari, di una congettura centenaria, di cui (guarda caso!) il genio di Gödel non si è curato, guardando e passando.

Uno dei più recenti e clamorosi casi di dimostrazione (cento pagine di passaggi!) si è avuto poco più di un decennio fa, quando tra i titoli più forti dei maggiori giornali del mondo è comparsa la notizia della “caduta” dell’“Ultimo Teorema di Fermat” ad opera di un certo Andrew Wiles.

Di lì a poco non è mancato qualche esperto divulgatore che ha previsto per questo matematico e per altri della sua levatura una fama perenne o senz’altro più duratura di quella dei maggiori personaggi della storia.

Io ho seguito, con scrupolosissima attenzione, i momenti cruciali della dimostrazione di Wiles, divulgati da un certo Simon Singh; e sono a mia volta giunto a una meravigliosa dimostrazione logico-matematica, che ritengo talmente semplice da poter presentare in una decina di pagine (ti assicuro, lettrice o lettore, che non bisogna aver frequentato corsi specialistici di filosofia, logica e matematica per capire i miei argomenti!).

Se tu, lettore, alla fine, non sarai rimasto soddisfatto, potrai scrivermi una mail e chiedermi di indicarti qualche lettrice soddisfatta; e viceversa.

Chip En Sai

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CONFUTAZIONE SEMPLICE della dimostrazione di Andrew Wiles sull’Ultimo Teorema di Fermat (UTF)

Antefatto

Testo di un telegramma inviato (29.08.02) a un noto collega italiano: Caro prof. X, ecco la confutazione della dimostrazione di Wiles: 1) Data la fondamentale ed essenziale valenza normativa di ogni teorema; 2) Dato il teorema di Taniyama-Shimura; 3) Deriva che non è affatto corretto concedere l’attributo “ellittica” a un’equazione in base alla forma (aspetto o somiglianza)

di

essa,

ma

solo

in

base

alla

funzione

(collocazione o collegamento) della medesima equazione.

Perciò, 1) Data la dimostrazione dell’enunciato “Tutte le equazioni ellittiche corrispondono a forme modulari”; 2) Dato che “L’equazione (…) di Frey non corrisponde in nessun caso a una forma modulare”; 3) Consegue, semplicemente, che l’equazione di Frey non può dirsi “ellittica”.

A Lei la conclusione!



Poiché l’accademico non ha risposto, è bene che non lo nomini.

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Eccezione di competenza

La dimostrazione di Wiles si articola in due fasi: una logica e una matematica.

La fase logica concerne un ragionamento schematizzabile in quattro punti, che si apre con l’ipotesi di falsità di un primo enunciato e si chiude con la conseguente certezza di falsità di un secondo enunciato; quindi lo stesso ragionamento è ripercorso in senso inverso, procedendo dall’ipotesi di verità del secondo enunciato fino alla conseguente certezza di verità del primo.

La fase matematica concerne una dimostrazione del secondo enunciato della fase logica attraverso opportune strategie di calcolo applicato a formule, che esprimono con simboli convenzionali alcuni tipi di relazioni tra i numeri.

La fase logica ha l’implicito scopo di collegare il primo enunciato al secondo in modo così inestricabile da poter permettere di dichiarare la verità del primo, se si dimostrasse la verità del secondo. Questa fase appare, pertanto, necessaria per avviare il tentativo di dimostrare la falsità/verità del primo enunciato, ma non è sufficiente, perché il ragionamento in essa espresso richiede come condizione la dimostrazione di falsità/verità del secondo.

La fase matematica ha l’esplicito scopo di dimostrare la verità del secondo enunciato, affinché si possa dichiarare l’automatica verità anche del primo. La fase matematica appare, pertanto, assolutamente indipendente dalla fase logica solo riguardo al metodo con cui si dimostra la verità del secondo enunciato.

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Quest’ultima considerazione è evidente se si pensa che la dimostrazione del secondo enunciato (la congettura di Taniyama-Shimura) avrebbe potuto essere fornita ben prima di quella di Wiles, forse, da uno degli stessi ideatori prematuramente scomparso, Taniyama.

La stessa fase matematica, d’altra parte, è totalmente condizionata dalla fase logica riguardo all’attendibilità dell’intero procedimento dimostrativo di Wiles, perché la fase logica appare anche propedeutica a quella matematica in funzione dello scopo da raggiungere.

Se è chiaro, però, che l’intero procedimento dimostrativo dell’Ultimo Teorema di Fermat da parte di Wiles si fonda sulla fase logica, allora, prima di entrare nel merito di una possibile confutazione di esso, va sollevata un’eccezione di competenza della disciplina preposta al giudizio di legittimità o di nullità della dimostrazione del matematico inglese.

La Logica e solo essa sarà, a ragione, l’unico “organo giurisdizionale” idoneo a valutare in prima istanza la base dell’impianto di Wiles.



Per “Logica” intendo il comune buon senso: perciò, non sarà necessario avere specifiche competenze logico-matematiche; e, inoltre si potrà seguire il discorso anche senza alcuna cognizione dell’Ultimo Teorema di Fermat e con il solo enunciato della congettura di Taniyama-Shimura.

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Dimostrazione indiretta dell’Ultimo Teorema di Fermat

Consideriamo il ragionamento della fase logica di Wiles, riportandone il testo, tratto da “L’Ultimo Teorema di Fermat” di Simon Singh, il giornalista che ne ha divulgato con gran successo la dimostrazione (fonte a cui mi limiterò, sia per semplicità sia perché l’autore dichiara di aver svolto studi universitari di matematica: mi fido!).

Ecco il testo (p. 226 della versione italiana): (1)

Se (e solo se) l’Ultimo Teorema di Fermat è falso, allora l’equazione ellittica di Frey esiste.

(2) L’equazione ellittica di Frey è così strana che non può in nessun caso essere modulare .

(3) La congettura di Taniyama-Shimura afferma che ogni equazione ellittica deve essere modulare.

(4) Quindi la congettura di Taniyama-Shimura deve essere falsa!

In alternativa, l’argomentazione (di Frey) può essere condotta al contrario: (1)

Se è possibile dimostrare che la congettura di Taniyama-Shimura è vera, allora ogni equazione ellittica deve essere modulare.

(2)

Se

ogni

equazione

ellittica

deve

essere

modulare,

allora

l’equazione ellittica di Frey non può esistere.

(3)

Se l’equazione ellittica di Frey non esiste, allora l’equazione di Fermat non può avere soluzioni.

(4)

Quindi l’Ultimo Teorema di Fermat è vero!



Si tratta di un’equazione ottenuta attraverso astruse alchimie tra due formule di Fermat presentate con simboli alfabetici diversi; essa risulta avere un’incognita in meno rispetto alle equazioni ellittiche. Considerando, però, uguale a zero la stessa incognita, l’equazione di Frey è stata ugualmente definita “ellittica”, anche se “strana”, perché risulterebbe “molto somigliante” (come se un mezzo a tre ruote venisse chiamato “autovettura” anziché “triciclo”!… e poiché altre eventuali incognite mancanti potevano ritenersi uguali a zero, si poteva senz’altro utilizzare qualche ellittica ancora più strana!).  L’espressione “essere modulare” è sintetica e sta per “corrispondere a una forma modulare”.

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Come è evidente, se l’argomentazione poggia su una logica stringente, basata a sua volta su dati certi (l’equazione ellittica di Frey), si dovrà soltanto dimostrare la verità della congettura di Taniyama-Shimura per cogliere senza altri sforzi quella dell’Ultimo Teorema di Fermat.

E’ noto che, nel 1995, Wiles ha dimostrato la congettura di TaniyamaShimura: la comunità scientifica, pertanto, la considera un teorema acquisito.

Allo stesso Wiles è stato anche riconosciuto, con un ambito premio, il merito di aver dimostrato finalmente l’Ultimo Teorema di Fermat.

Tutti sono d’accordo, comunque, nel ritenere che Wiles sia pervenuto a questa conclusione in modo indiretto e che la sua soluzione sia ben lontana da quella che lo stesso Fermat riferì di aver trovato: una “dimostrazione raggiungibile

meravigliosa” solo

che,

ricostruendo

una

a

credergli, strategia

dovrebbe di

tipo

essere

diretto

o

sperimentale.



Se i numeri fossero visti come enti fisici, i cui fenomeni dovessero essere oggetto di osservazione diretta senza, cioè, che, per dimostrare qualcosa su di essi, li si sostituisse con le lettere (simboli forse più nobili, ma meno matematici), con la pretesa di un adeguato rigore dimostrativo; e se, invece, le lettere fossero usate solo come simboli delle formule, cui si giungesse dopo l’osservazione e l’esperimento, secondo il metodo della ricerca in Fisica.

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Dimostrazione indiretta della ”Demonstratio mirabilis di Fermat” 

Se il risultato di Wiles è universalmente condiviso, allora il procedimento che ha condotto ad esso potrà essere esteso ad altre congetture.

Applichiamo, quindi, lo stesso metodo dimostrativo a un’altra congettura, che potrebbe suscitare un certo interesse.

(1)

Se (e solo se) la “Demonstratio mirabilis di Fermat” è falsa, allora la dimostrazione indiretta di Wiles esiste.

(2)

La dimostrazione indiretta di Wiles è così strana che non può in nessun caso essere diretta.

(3)

La congettura di Chip En Sai afferma che ogni dimostrazione indiretta deve essere diretta.

(4)

Quindi la congettura di Chip En Sai deve essere falsa!

In alternativa, l’argomentazione (di Chip En Sai) può essere condotta al contrario: (1) Se è possibile dimostrare che la congettura di Chip En Sai è vera, allora ogni dimostrazione indiretta deve essere diretta.

(2)

Se ogni dimostrazione indiretta deve essere diretta, allora la dimostrazione indiretta di Wiles non può esistere.

(3) Se la dimostrazione indiretta di Wiles non esiste, allora l’equazione di Fermat non può avere soluzioni.

(4) Quindi la ”Demonstratio mirabilis di Fermat” è vera!

Come è evidente, se l’argomentazione poggia su una logica stringente, basata a sua volta su dati certi (la dimostrazione indiretta di Wiles), si dovrà soltanto dimostrare la verità della congettura di Chip En Sai per cogliere senza altri sforzi quella della “Demonstratio mirabilis di Fermat”. 

La dimostrazione mirabile, che Fermat ritenne di aver scoperto: che si può intendere solo come risultato di un metodo diretto o sperimentale (ad es., di tipo geometrico!).  La trasposizione, qui fatta, è coerente rispetto al punto (3) della fase logica di Wiles, poiché ogni equazione ellittica e ogni corrispondente forma modulare risolvono correttamente lo stesso problema in modo diverso, quindi l’una più direttamente dell’altra o viceversa, secondo i casi.

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Dimostrazione della congettura di Chip En Sai

Richiamando l’eccezione di competenza, questa dimostrazione non può che essere di natura logica.

Enunciato: Ogni dimostrazione indiretta deve essere diretta.

Consideriamo, pertanto, il ragionamento seguente: (1) Se la congettura di Taniyama-Shimura è falsa, allora un’equazione ellittica che non sia modulare esiste.

(2) L’equazione ellittica di Frey è così strana che non può in nessun caso essere modulare.

(3) L’equazione ellittica di Frey esiste se (e solo se) l’Ultimo Teorema di Fermat è falso.

(4) Quindi l’Ultimo Teorema di Fermat è falso!

In alternativa, l’argomentazione (di Chip En Sai) può essere condotta al contrario: (1) Se è possibile dimostrare che l’Ultimo Teorema di Fermat è vero, allora l’equazione ellittica di Frey non esiste.

(2) Se l’equazione ellittica di Frey non esiste, allora non esiste un’equazione ellittica che non sia modulare.

(3) Se non esiste un’equazione ellittica che non sia modulare, allora tutte le equazioni ellittiche devono essere modulari secondo Taniyama e Shimura.

(4) Quindi la congettura di Taniyama-Shimura è vera!



Più esplicitamente: se una congettura matematica può essere dimostrata indirettamente, tramite la dimostrazione di un’altra, allora l’una deve essere dimostrata anche direttamente o in modo assolutamente indipendente dall’altra e da qualunque altra congettura, altrimenti si otterrebbe soltanto un corollario di un altro teorema e non un teorema vero e proprio.

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Come è evidente, se l’argomentazione poggia su una logica stringente, basata a sua volta su dati certi (l’equazione ellittica di Frey), si dovrà soltanto dimostrare la verità dell’Ultimo Teorema di Fermat per cogliere senza altri sforzi quella della congettura di Taniyama-Shimura.

Il confronto tra questo ragionamento e quello di Wiles, permette di rilevare senza ombra di dubbio che la congettura di Fermat (UTF) e quella di Taniyama-Shimura sono contemporaneamente l’una per l’altra, con simmetrica reciprocità, mezzo e fine per la propria dimostrazione ovvero per la promozione di esse a teoremi.

Se è possibile, dunque, dimostrare sia indirettamente sia direttamente ognuna delle due, allora la congettura di Chip En Sai diventa un teorema logico.

Tale teorema, però, dimostrerebbe solo indirettamente l’inesistenza della dimostrazione indiretta di Wiles, cioè la sua falsità; e se ciò è vero, allora è possibile e doveroso presentare anche una dimostrazione diretta della falsità o una confutazione della stessa soluzione del matematico inglese.



Non si mette, comunque, in discussione la dimostrazione diretta da parte di Wiles della congettura di Taniyama-Shimura, ma essa sola non basta a dimostrare quella di Fermat, che potrà essere dimostrata forse solo direttamente (una dimostrazione diretta o “mirabile” dell’Ultimo Teorema è già in mio possesso e sarà oggetto di una imminente pubblicazione per l’edizione Scritti Volanti).

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Dimostrazione diretta della falsità (confutazione) della fase logica di Wiles Se bastasse il solo controesempio alla fase logica di Wiles, costituito con la dimostrazione indiretta della “Demonstratio mirabilis di Fermat”, tutto il ragionamento fin lì svolto contraddirebbe di conseguenza il “teorema logico”: di qui la necessità di richiamare una dimostrazione diretta (direi, di carattere storico!) della falsità del procedimento dimostrativo di Wiles (tramite Frey), che finora è stata volutamente sottaciuta, ma che si capirà essere

precedente

(vedi

il

testo

del

telegramma)

al

medesimo

controesempio, escogitato e anteposto solo per divertimento.

Consideriamo, perciò, lo stesso testo della fase logica come dato sperimentale e ragioniamoci un po’ sopra, partendo dal seguente quesito: Se la congettura di Taniyama-Shimura fosse stata riconosciuta come teorema un discreto tempo prima della soluzione di Wiles, magari con una dimostrazione degli stessi autori, si sarebbe poi capito di aver dimostrato automaticamente e indirettamente vero l’Ultimo Teorema di Fermat?

La risposta a questa domanda è cruciale; ed è NO! Se, infatti, nell’ipotesi suddetta, gli stessi Taniyama e Shimura, per ottenere anche il riconoscimento della dimostrazione dell’UTF, avessero proposto di considerare “l’equazione ellittica di Frey” così strana che non può essere in nessun caso modulare, si sarebbero sentiti rispondere qualcosa del genere: Se la formula cui è giunto Frey non è modulare, allora semplicemente essa non corrisponde a un’equazione ellittica, perché voi avete dimostrato che tutte le ellittiche devono essere modulari.

L’obiezione non fa una grinza!

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Se, dunque, priviamo dell’attributo “ellittica” l’equazione di Frey e rileggiamo il testo della fase logica di Wiles, crolla inesorabilmente e con gran frastuono tutto il suo ragionamento, su cui finora si è retta l’inestricabilità del rapporto tra l’Ultimo Teorema di Fermat e quello (ormai riconosciuto!) di Taniyama-Shimura: il primo è ora (se non fosse per me!) così pericolante da candidarsi alla retrocessione in “congettura”.

Formulazione finale Davanti a una tale conclusione emerge fra tutte una semplice domanda: Che cosa può aver provocato questo cataclisma?

La risposta più convincente sembra essere questa: L’inversione del metodo dimostrativo, che di norma e regola non si avvia con un ragionamento per assurdo, ma con esso si conclude.

La dimostrazione di Wiles incorre in questo errore di fondo, come il testo della sua fase logica esprime a chiare lettere, quindi è nulla o illegittima.

Enunciazione definitiva Una qualunque dimostrazione di una qualunque congettura matematica può essere avviata per assurdo solo dopo una prima dimostrazione diretta o sperimentale della stessa congettura, pena l’assurdità dell’intero procedimento dimostrativo. 

È evidente che, se la dimostrazione per assurdo di un’ipotesi potesse correttamente precedere la dimostrazione vera e propria, allora l’assurdità delle conclusioni del ragionamento per assurdo non potrebbe basarsi su alcuna verità o certezza? Insomma, l’assurdità di un’ipotesi o di una congettura deve avere un fondamento in qualcosa di assolutamente contrario alla stessa ipotesi o congettura, cioè nella certezza o nel teorema della assurdità di ciò che si è ipotizzato o congetturato: e come si può essere certi di questa assurdità se la dimostrazione vera e propria o il teorema non la precede?

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VERIFICA BREVE E UNICA Metti

nel

giusto

ordine

cronologico

i

momenti

essenziali

della

dimostrazione data da Wiles sull'"Ultimo Teorema di Fermat".

1° momento Annuncio di voler dimostrare l'enunciato dell'"Ultimo Teorema di Fermat" e ne rinvio la presentazione ad un successivo momento.

2° momento Affermo che, se (e solo se) l'"Ultimo Teorema di Fermat" fosse falso, esisterebbe un'equazione (di Frey) e che essa sarebbe un'ellittica strana, perché non corrisponderebbe a una forma modulare.

3° momento Ricordo che la congettura di Taniyama-Shimura enuncia:"Tutte le equazioni ellittiche corrispondono a forme modulari". Assicuro che richiamerò le relative definizioni in un successivo momento.

4° momento Presento l'enunciato dell'"Ultimo Teorema di Fermat" e richiamo le definizioni di "equazione ellittica" e di "forma modulare"; quindi verifico con abili sequenze e complicate manovre di calcolo matematico l'origine dell'equazione di Frey e la sua assoluta stranezza di ellittica non modulare, caratteri questi attribuibili, se (e solo se) l'UTF fosse falso; conseguentemente considero questa verifica come una vera e propria dimostrazione del seguente enunciato: "Tutte le equazioni ellittiche sono modulari, meno una (quella di Frey)". 

Le frasi sono espresse in prima persona. Immagina che a parlare sia lo stesso matematico inglese: così potrai, forse, anche tu godere le forti sensazioni, provate -in attimi esaltanti e irripetibili- da una delle menti più geniali, raffinate e scaltre del nostro tempo.

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5° momento Sostengo che "l'ellittica di Frey non esiste", perché non corrisponde a nessuna forma modulare.

6° momento Dico di aver verificato con abili sequenze e complicate manovre di calcolo matematico il seguente enunciato: "Tutte le equazioni ellittiche sono modulari", che coincide con quanto afferma la congettura di Taniyama-Shimura.

7° momento.

Dal momento in cui sostengo che "l'ellittica di Frey non esiste", non suppongo più che l'"Ultimo Teorema di Fermat" sia falso, quindi è vero.

8° momento "Penso di fermarmi qui!", in attesa di un "applauso prolungato".

Disponi ora la tua sequenza cronologica sui trattini sottostanti (la soluzione è già avviata) 1°

8°

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Copia n. ______ di 200

Firma dell’autore

Stampa Editoria e Stampa Zona Industriale Predda Niedda sud, strada n. 10 – Sassari Tel. Fax 079.262236 – 079.262221 Finito di stampare nel giugno 2006 Per prendere contatto con l’autore: chipensai@tiscali.it Per prendere contatto con l’editore: tel. 347.11.90.902

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