Tusen millioner7b bm blabok

A nne Ra s c h- H a lv o r s e n • Oddv a r A a s e n

Tusen millioner

Tusen millioner 5–7

Læreverket består av:

•

Grunnbok A og B Alternativ grunnbok A og B (engangsbøker) Oppgavebok Fasit Lærerens bok Nettsted: http://tusenmillioner.cdu.no

Grunnbok 7B

Et matematikkverk fra Cappelen Damm

Tusen millioner

lar elevene øve grunnleggende ferdigheter og øke sin matematiske forståelse gjennom refleksjon, samarbeid og varierte oppgavetyper. Den trygge progresjonen og tydelige differensieringen gjør at alle kan arbeide på sitt eget nivå, og i ulik hastighet innenfor hvert enkelt kapittel. Læreverket egner seg godt for veiledet matematikkundervisning.

• B okmål

ISBN 978-82-02-41342-2

www.cdu.no

Bok mål

9 788202 413422

u n n bok r G

7B

A n n e R asch-Halv or s en • Oddv ar Aas en Illustr at ør : Bjør n Eids v ik

Tusen millioner un n b o k r G

7B Bokm ål

© CAPPELEN DAMM AS, 2015 ISBN 978-82-02-41342-2 1. utgave, 1. opplag 2015 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.

Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Tusen Millioner følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er laget til bruk på grunnskolens barnetrinn.

Hovedillustratør: Bjørn Eidsvik Omslagsdesign: 07 Gruppen AS, Kristine Steen Omslagsillustrasjon: Bjørn Eidsvik Grafisk formgiving: 07 Gruppen AS, Kristine Steen Trykk og innbinding: Livonia Print SIA, Latvia Forlagets redaktør: Espen Skovdahl Redaksjonell revisjon: Anders Tangerud www.cdu.no http://tusenmillioner.cdu.no Fotografier © Vera Kuttelvaserova / NTB Scanpix s. 6, Scanpix: © Kulka/zefa/Corbis s. 36, © Tom Schandy / NN / Samfoto / NTB Scanpix s. 76, © Tom Schandy / NN s. 102, © Anna Omelchenko / NTB Scanpix s. 128, © Samfoto / Thorfinn Bekkelund s. 160, © Dale Spartas / Corbis / NTB Scanpix s. 178

2

Innledning Velkommen til Tusen millioner 7B. Hvert år fra 5. til 7. trinn vil du få arbeide med to grunnbøker og en oppgavebok.

Her ser du Matellitten, som skal følge deg gjennom alle bøkene: Kapitlene i grunnboka er delt inn i fire deler: Grunnleggende lærestoff og oppgaver Kan jeg?

Jeg regner mer Oppsummering Oppgavene i Jeg regner mer er delt inn i to deler etter vanskelighetsgrad: Litt vanskeligere oppgaver

Mer utfordrende oppgaver

Noen av oppgavene er merket med disse symbolene:

Betyr at dere skal samarbeide

x.x

Betyr at det hører et arbeidsark til oppgaven

Betyr at du kan bruke kalkulator til oppgaveløsingen

Betyr at du kan bruke pc til oppgaveløsingen

Nettsted: http://tusenmillioner.cdu.no Vi håper du vil få glede av arbeidet med Tusen millioner!

Hilsen Anne Rasch-Halvorsen og Oddvar Aasen

3

Innhold 8

Algebra 6

10

Algebraiske uttrykk 8 Formler 11 Regning med bokstavuttrykk 19 Likninger 24 Kan jeg? 26 Jeg regner mer 29 Oppsummering 34

9

4

Divisjon som gir rest 78 Noen ganger blir svaret i en divisjon mindre enn én 82 Divisjon med et flersifret tall 84 Divisjon av desimaltall med et helt tall 86 Divisjon av desimaltall med et desimaltall 88 Kan jeg? 91 Jeg regner mer 93 Oppsummering 99

Brøk og desimaltall 36 Brøk 38 Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner 44 Utviding av brøk og likeverdige brøker 47 Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner 50 Forkorting av brøk 53 Multiplikasjon av en brøk med et helt tall 55 Multiplikasjon av brøker 57 Sammenhengen mellom brøk og desimaltall 59 Kan jeg? 62 Jeg regner mer 65 Oppsummering 72

Divisjon 2 76

11

Geometri 2 102 Speiling 104 Parallellforskyving 108 Dreiing 111 Symmetri 113 Kan jeg? 117 Jeg regner mer 119 Oppsummering 126

12

Sammensatte enheter 128 Vi regner med fart 130 Vi regner med priser 138 Vi regner med lønn 143 Valuta 145 Kan jeg? 148 Jeg regner mer 150 Oppsummering 158

13

14

Regneark 178 Hva er et regneark? 180 Kan jeg? 193 Jeg regner mer 194 Oppsummering 197

Prosent og desimaltall 160 Prosentbegrepet 162 Brøk og prosent 165 Prosentvis forandring 168 Kan jeg? 170 Jeg regner mer 172 Oppsummering 176

Klar, ferdig, gĂĽ!

5

Det fins ca. fem hundre millioner gr책spurv i verden.

Kan du skrive tallet med siffer?

6

8

I algebra står en bokstav for en tallverdi!

Algebra MÅL I dette kapitlet vil vi arbeide med

• algebraiske uttrykk og formler • å sette inn tall i algebraiske uttrykk og formler • regning med bokstavuttrykk • enkle likninger Arbeidsark 8.2

Felles problemløsing

Algebra 7

?

Algebraiske uttrykk Kan vi regne ut a · b?

Jeg vet at 4 · 6 er lik 24.

Hvis vi vet hva a og b er, kan vi regne det ut!

4·6= a·b=

Kan vi velge hvilke som helst verdier for a og b, og alltid klare å regne ut a · b?

I algebra står bokstaver for tallverdi. Verdien av bokstaven kan variere. Algebraiske uttrykk kan inneholde bare bokstaver – eller bokstaver og tall.

Hvis a = 5 og b = 9, så er a + b = 5 + 9 = 14

Vi skriver vi ofte ab når vi mener a · b.

og a · b = 5 · 9 = 45 a + b og a · b er algebraiske uttrykk. a + 3 og 3 · a er også algebraiske uttrykk.

8

er, e

1

2

Finn verdien av ab når a) a = 6 og b = 2

d) a = 30 og b = 0

b) a = 10 og b = 100

e) a = 12 og b = 20

c) a = 1,5 og b = 10

f) a = 10 og b = 10

Finn verdien av a + b når a) a = 7 og b = 6

3a betyr 3 · a!

b) a = 13 og b = 9 c) a = 53 og b = 17 d) a = 169 og b = 96 e) a = 13,9 og b = 7,6 f) a = 9 og b = 21,5

3

Finn verdien av 3p når a) p = 4 b) p = 0,5 c) p = 10 d) p = 150

4

5

6

Finn verdien av 100y når a) y = 10

c) y = 12

b) y = 50

d) y = 0,5

Finn verdien av 100 + y når a) y = 10

c) y = 12

b) y = 50

d) y = 0,5

Finn verdien av x – y når a) x = 12 og y = 3

d) x = 30 og y = 20

b) x = 3 og y = 12

e) x = –6 og y = 9

c) x = 20 og y = 30

f) x = –8 og y = 3

Algebra 9

7

8

Finn verdien av t + p når a) t = –5 og p = 10

d) t = –6 og p = –19

b) t = –5 og p = –10

e) t = –100 og p = –100

c) t = 6 og p = –19

f) t = –100 og p = –200

Simen er x år og Markus er 2 år yngre.

Hvilket av de algebraiske uttrykkene viser hvor gammel Markus er? x · 2 2x x + 2

9

x–2

Patrik og søsteren hans har bursdag på samme dato. I dag er Patrik akkurat fire ganger så gammel som søsteren sin.

Hvilket av de algebraiske uttrykkene viser hvor gammel Patrik er?

Jeg er x år.

Mer får du ikke vite!

4x x + 4 4 – x

10

Regn ut. a) 3 · x og x · 3 når x = 4 b) 5x og x · 5 når x = 6

11

12

10

Faren til Henriette er 32 år eldre enn Henriette, som er a år. Skriv det algebraiske uttrykket som viser hvor gammel faren til Henriette er.

Julie får tre ganger så mye i ukepenger som Simen. Simen får p kroner. Skriv det algebraiske uttrykket som viser hvor mye Julie får.

Formler

?

Omkretsen er 30 cm fordi jeg tenker at a = 5 cm.

Det kan du ikke vite.

Du må måle a først!

Omkretsen av rektanglet er 6a.

a 2a

Hvem tenker riktig?

Vi finner omkretsen av en firkant ved å addere lengden av alle de fire sidekantene. I et rektangel er to og to sidekanter like lange.

Da får vi ­formelen: O=l+b+l+b b

O=2·l+2·b l

Hvis l = 4 cm og b = 2 cm, får vi: O = 2 · 4 cm + 2 · 2 cm = 12 cm

13

a) Tegn en firkant der vi ikke bare kan bruke formelen O = 2l + 2b når vi skal finne omkretsen. Forklar hvorfor ikke. b) Tegn en firkant, som ikke er et rektangel, der vi kan bruke formelen O = 2l + 2b når vi skal finne omkretsen. Forklar hvorfor vi kan bruke formelen til å finne omkretsen.

Algebra 11

14

Hvilket rektangel kan vi finne omkretsen av ved å bruke formelen O = 6a? Forklar.

b

A

C

3a

B

Jeg av A

a

a

2a

a

a

D 5a

15

Hvilke parallellogram kan vi finne omkretsen av hvis vi bruker ­formelen O = 6a? Forklar.

A

C

a

B

2a

D

a

2a

3a

a

a

16

Finn omkretsen av rektanglene ved å bruke formelen O = 2l + 2b. a) l = 4 cm og b = 7 cm. Tegn figur. b) l = 3,6 cm og b = 4,9 cm. Tegn figur. c) l = 14,64 cm og b = 10,7 cm d) l = 6,87 cm og b = 2,9 cm

12

a

17 Jeg tror arealet av trekanten er A = g · h.

Hvem bruker riktig formel?

Jeg tror arealet av trekanten er g·h A= 2 .

Jeg tror arealet av parallello­ grammet er A = g · h.

Jeg tror arealet av parallello­ grammet er g·h A= 2 .

h g h g

18

Bruk formelen A = g · h til å bestemme a) arealet A, når g = 4 cm og h = 10 cm. Tegn figur. b) grunnlinja g, når A = 24 cm2 og h = 8 cm. Tegn figur. c) høyden h, når A = 18 cm2 og g = 3 cm. Tegn figur.

19

g·h til å bestemme 2 a) arealet A, når g = 6 cm og h = 9 cm. Tegn figur.

Bruk formelen A =

b) grunnlinja g, når A = 14 cm2 og h = 4 cm. Tegn figur. c) høyden h, når A = 16 cm2 og g = 8 cm. Tegn figur.

20

Bruk formelen O = x + y + z til å finne a) y, når O = 32 cm, x = 8 cm og z = 12 cm b) z, når O = 19 cm og x + y = 7 cm c) x, når O = 50 cm og y + z = 36 cm

Algebra 13

Vi kan finne omkretsen av en sirkel ved å bruke formelen O = π · d, der π er et tall som vi avrunder til 3,14 og d er tegnet for diameter.

Lengden av sirkellinjen er omkretsen til sirkelen.

sentrum



>x

sirkellinje

21

>

d

Finn omkretsen av sirklene. b)

a)

d = 2,5 cm

x

d = 5 cm

x

c) d) d = 3 cm

x

d = 6 cm

x

14

22

Finn omkretsen til sirklene. a)

x

r = 5 cm

c)

b)

r = 1cm

x

r = 2 cm

x

Vi kan finne arealet av en sirkel ved å bruke denne formelen: A=π·r·r

Vi skriver r for radius!

x

radius

Algebra 15

 23

Finn arealet av sirklene. a)

x

r = 5 cm

b)

x

r = 3 cm

c) d) r = 2 cm

x x

16

r = 4 cm

 24

Finn arealet av sirklene. a)

d = 6 cm

x

b)

d = 8 cm

x

c) d = 2 cm

x

 25

Finn uttrykket for omkretsen av en sirkel med radius a) x

b) p

c) 2a

d) 5p

Algebra 17

6

x

26

radius

Finn uttrykket for omkretsen av en sirkel med diameter a) p b) 2x c) 3m

27

Finn uttrykket for arealet av en sirkel med radius a) m b) 2m c) m 2

28

Finn uttrykket for arealet av en sirkel med diameter a) 4a b) 2a c) 6a

29

Finn uttrykket for radien i en sirkel hvis arealet er a) A = π · x · x

30

Finn uttrykket for diameteren i en sirkel hvis arealet er a) A = π · x · x

18

b) A = 5a · 5a · π c) A=π·

b) A = 5a · 5a · π

c) A = π ·

y y · 2 2

y y · 2 2

3·2+5·2= 3·a+5·a= Kan vi ikke heller tenke 8 · 2 = 16?

Forklar hvordan barna tenker.

Når vi regner med bokstaver, står bokstavene alltid for en tallverdi.

8 · a kan vi skrive som 8a!

3a + 5a = a + a + a + a + a + a + a + a = 8a 3a



Dette blir 6 + 10 = 16.

Regning med bokstav­uttrykk



?

Da blir det enklere med 3 · a + 5 · a. det blir 8 · a.

5a

Når vi skriver 3a + 5a = 8a, sier vi at vi trekker sammen leddene.

Algebra 19

31

Trekk sammen. a) a + a + a = b) b + b + b + b = c) a + a + a + b + b + b + b =

Når 1 · 2 = 2, må jo 1 · a = a!

d) x + x + y + y + y = e) p + p + p + t + t + t = f) y + y + x + x + y + x + x =

x betyr 1 · x a betyr 1 · a Hvis x = 4, sier vi 1 · x = 1 · 4 = 4 Hvis a = 8, sier vi 1 · a = 1 · 8 = 8

32

Trekk sammen. a) 2x + x = b) 2x + 2x = c) 2x + 3x = d) 5a + 2a = e) 6a + 9a = f) 50a + 32a =

33

Trekk sammen. a) 5x – x = b) 5x – 2x = c) 5x – 3x = d) a – a = e) 12a – 7a = f) 40a – 35a =

20

Hvis det er subtraksjon, tenker vi på samme måte: 5x – 3x = 2x

34

Hvem av barna tenker riktig? Forklar.

Jeg tror svaret blir 2y!

Jeg tror svaret blir 3!

3y – y

35

36

37

Sett inn y = 4 og regn ut. a) 2y =

c) 12y =

b) 4y =

d) 25y =

Sett inn x = 10 og regn ut. a) 3x – x =

c) 11x – x =

b) 5x – x =

d) 10x – x =

Sett inn a = 25 og regn ut. a) 4a – 2a – a =

d) –a – a =

b) 13a – a – a =

e) –a – a – a =

c) –a + 2a =

f) –a + a =

Algebra 21

Det er derfor vi trekker dem sammen hver for seg!

Når vi bruker a og b i samme regne­ stykke, betyr det at bokstavene har ulike tallverdier.

2a + 3b + 5a + 2b = 7a + 5b

38

Trekk sammen. a) 2a + 4b + 3a + 3b = b) 4x + x + y + 5y = c) 6y + 5x + 3y + 4x = d) 5a + 2x + x + a = e) x + b + 8x + b = f) b + 4a + 5b + 2a =

39

Trekk sammen. a) 5x + 6y – x – y = b) 5x + 6y – 2x – 3y = c) 9a + 2b – 9a = d) 8x + b – 6x = e) 8x – b – 6x = f) 12y – 5b – 5y =

22

40

Løs likningene. (Hvilket tall står for x i hver likning?) a) x + 20 = 30 b) 4 + x = 30 c) 16 + x = 42 d) x + 23 = 90 e) 94 + x = 120 f) x + 89 = 120

41

Løs likningene. (Hvilket tall står for bokstaven i hver likning?) a) 1,6 + a = 2 b) a + 3,2 = 4 c) 2,3 + b = 4 d) c + 2,1 = 6 e) 1,1 + a = 12 f) 0,3 + b = 17

42

Løs likningene. (Hvilket tall står for x i hver likning?) a) 264 + x = 300 b) x + 99 = 201 c) x + 301 = 500 d) 156 + x = 215 e) 1,1 + x = 12 f) x + 54 = 250

43

Løs likningene. (Hvilket tall står for x i hver likning?) a) x – 30 = 50 b) x – 24 = 100 c) 100 – x = 51 d) 200 – x = 99 e) x – 500 = 1001 f) x – 399 = 1000

Algebra 23

?

Likninger Jeg gjetter at x er 9!

Jeg gjetter at x er 11!

Jeg gjetter at x er 10!

x + 7 = 20

Hvorfor har ingen av barna rett?

Hvilket tall kan x være?

Vi sier at x + 7 = 20 er en likning.

Hva betyr det?

Når det står et tall- eller bokstavuttrykk på begge sider av et ­likhetstegn, betyr det at uttrykkene må være like store. Da sier vi at vi har en likning.

Likningen + 7 = 20 er riktig hvis det vi setter inn i boksen, addert med 7, blir 20.

Vi skriver ofte en bokstav i stedet for x + 7 = 20 x

24

= 13

. Da får vi:

5·

= 20

5 · = 20 er også en likning. Da må 4 stå i boksen!

Hvis vi bruker for eksempel x i stedet for

, får vi

5 · x = 20 x=4

44

45

46

8.2

47

Løs likningene. (Hvilket tall står for x i hver likning?) a) 5 · x = 30

d) 6x = 36

b) 5 · x = 40

e) 32 = 4x

c) 500 = 50x

f) 9x = 27

Løs likningene. (Hvilket tall står for x i hver likning?) a) 90 = 9x

d) 7x = 63

b) 200 = 4x

e) 64 = 8x

c) 56 = 8x

f) 54 = 6x

Løs likningene. (Hvilket tall står for a i hver likning?) a) a + 10 = 63

d) 40 = 8a

b) 80 – a = 15

e) 34 – a = 12

c) 10a = 120

f) a + 63 = 104

Klart for felles problemløsing!

Klipp ut kortene på arbeidsarket.

Gå sammen i grupper og fordel kortene.

Finn løsningen sammen.

Algebra 25

Kan jeg?

Oppgave 1 Finn verdien av a) a + b når a = 2 og b = 7

d) 3a når a = 9

b) a – b når a = 13 og b = 10

e) 5b når b = 7

c) a · b når a = 7 og b = 8

Oppgave 2 Simen øver a minutter på trommer hver dag. Kaja øver 15 minutter mindre. Hvilket av de algebraiske uttrykkene viser hvor mye Kaja øver hver dag?

15a a + 15 a – 15

Oppgave 3 Bruk det uttrykket du valgte i oppgave 2 for å regne ut hvor mange minutter Kaja øver hver dag, hvis Simen øver 50 minutter hver dag.

26

Oppgave 4 Skriv en formel for å finne omkretsen av a) et parallellogram. Tegn figur. b) en likesidet trekant. Tegn figur.

Oppgave 5 Skriv en formel for å finne arealet av a) en trekant. Tegn figur. b) et rektangel. Tegn figur.

Oppgave 6 Bruk formlene fra oppgave 5 og regn ut a) arealet av en trekant med grunnlinje 8 cm og høyde 6 cm b) arealet av et rektangel med bredde 12 cm og høyde 7 cm

Oppgave 7 Skriv formelen for å finne a) omkretsen av en sirkel med radius a b) arealet av en sirkel med radius b

Oppgave 8 En sirkel har radius 5 cm. Regn ut a) arealet

r = 2 cm

x

b) omkretsen

Algebra 27

Oppgave 9 Trekk sammen. a) b + b + b + b = b) 3x + x = c) 90y – 7y = d) 5x + 3y + 6x – y = e) 4x + y + x + 6y =

Oppgave 10 Løs likningene. a) a + 12 = 20 b) 32 – a = 15 c) 1,9 + a = 3 d) a – 0,8 = 2,1

Oppgave 11 Løs likningene. a) 14 = 2x b) 3x = 60

Oppgave 12 Sant eller usant? a) 4x + 3y er en likning b) 4x + 3 er en likning c) 4x + 12 = 32 er en likning d) 4x = 28 er en likning e) x – 4 er en likning f) Hvis a = 4 og b = 7, så er 3a + b = 4 + 7 = 11 g) Hvis a = 4 og b = 7, så er 3a + b = 3 · 4 + 7 = 19

28

Jeg regner mer 48

49

50

51

52

Finn verdien av xy når a) x = 1,5 og y = 3

c) x = 9 og y = 0,8

b) x = 2,3 og y = 7

d) x = 3,4 og y = 2,1

Finn verdien av p + t når a) p = 9,7 og t = 4

c) p = 7 og t = 4,3

b) p = 10,6 og t = 0,8

d) p = 3,9 og t = 7,5

Finn verdien av 5y når a) y = 0

c) y = 2

b) y = 1

d) y = 3

Finn verdien av 5 + y når a) y = 7

c) y = 8,6

b) y = 13

d) y = 4,81

Mia tjener y kroner i løpet av sommerferien. Simen tjener 378 kroner mindre. Skriv det algebraiske uttrykket som viser hvor mye Simen tjener.

Algebra 29

53

Faren til Simen maler huset. Han trenger dobbelt så mye hvit­ maling som gulmaling. Av gulmaling trenger han g liter. Skriv et algebraisk uttrykk for hvor mye hvitmaling han trenger.

54

a) Tegn et rektangel med lengde x og bredde y. b) Lag et uttrykk for omkretsen av rektangelet du tegnet i oppgave a. c) Lag et uttrykk for arealet av det samme rektangelet.

55

På hvilke av figurene nedenfor kan vi bruke formelen O = 2l + 2b når vi skal finne omkretsen? Forklar.

C

A

D

B

56

Bruk formelen O = t + u + w til å finne a) t når O = 42 cm, u = 16 cm og w = 13 cm b) u når O = 29 cm, t = 6 cm og w = 9 cm c) w når O = 60 cm, t = 32 cm og u = 16 cm g·h til å finne h når A = 54 cm2 og g = 12 cm.

2

57

Bruk formelen A =

58

En sirkel har radius 3 cm. Finn a) arealet av sirkelen b) omkretsen av sirkelen

30

x

r

59

60

61

Trekk sammen. a) 3x + 5y + x =

c) 4x – b – x =

b) a + 4b + 6b =

d) 16x – 2x – 8a =

Trekk sammen. a) 10a – b + 6b – 5a =

c) 13c – a – 12c + a =

b) 6x – y – y – 5x =

d) 15x – 14x + y – x =

Trekk sammen. a) 4a – b – a + 5b + a = b) x – y + 12x + 12y =

Det må alltid stå like mye på begge sider av likhetstegnet.

62

63

64

Løs likningene. a) x + 9 = 37

c) 104 – x = 94

b) 54 – t = 32

d) x – 42 = 60

Løs likningene. a) 9x = 63

c) 10x = 1000

b) 80 = 4x

d) 500 = 25x

Løs likningene. a) 12x = 144

c) 1000 = 250y

b) 600 = 30x

d) 50x = 2000

Algebra 31

65

Finn verdien av xy når a) x = 9,4 og y = 3,2 b) x = 12,3 og y = 4,2 c) x = 3,21 og y = 0,6

66

Finn verdien av 3a + bc når a) a = 6, b = 3 og c = 10 b) a = 1,7 og b = 4 og c = 3,9

67

Finn verdien av 2x + 3a – c når a) x = 10, a = 8 og c = 6,5 b) x = 300, a = 75 og c = 254

68

En gressplen har form som tegningen viser.

Finn a) omkretsen av plenen b) arealet av plenen

20 m 60 m

Finn et eksempel på når det kan være interessant å vite c) omkretsen av plenen d) arealet av plenen

32

Jeg lurer på hvor lang tid det tar å klippe hekken rundt hele gressplenen!

g·h til å finne h når g er dobbelt så lang som 2 høyden og A = 81 cm2.

69

Bruk formelen A =

70

Bruk formelen O = π · d til å finne radius i sirkelen som har omkrets 62,8 cm.

71

Trekk sammen. a) 8a + 5b – 7a – 3b = b) –4a – 2b – 2a – b = c) –3x + 5y + 3x – y = d) 3p – 3p + 5q – 5q =

72

Trekk sammen. a) 4x + y – 6x – y + 4y = b) –2x + b + 3x – 2b + x =

å dt

c) –x – 5y + 8x + 4y – 3x + 7y = d) 4x – 7 + x – 5 + 3y = e) 10 – 4a + 3b – a – b + 12 = f) 84x – 32y – 60x + 54 – 8y + 9x =

73

74

Løs likningene. a) 2 + 3x = 14

c) 5x – 8 – 4x = 16

b) 4x – 9 = 31

d) 30 – x + 6 + 2x = 90

Løs likningene. x a) + 2 = 12 2

b) 5 + c)

x = 45 3

x + 6 = 30 7

Algebra 33

Oppsummering Algebraiske uttrykk I algebra står bokstaver for tallverdi.

Verdien av bokstaven kan variere.

Algebraiske uttrykk kan inneholde bare bokstaver – eller bokstaver og tall.

Vi skriver ofte ab når vi mener a · b.

Hvis a = 3 og b = 4, så er a · b = 3 · 4 = 12.

Eksempler på algebraiske uttrykk: a + b a · b a + 3 3 · a

Formler Vi finner omkretsen av en firkant ved å addere lengden av de fire sidekantene. For parallellogrammet til høyre får vi formelen: O = 2a + a + 2a + a a

O = 6a Hvis a = 2 cm, får vi omkretsen:

2a

O = 6a = 6 · 2 cm = 12 cm Vi finner omkretsen av en sirkel ved å bruke formelen O = π · d, der π er et tall som vi avrunder

Lengden av sirkel­ linjen er omkretsen til sirkelen.

til 3,14 og d er tegnet for diameter.

Hvis d = 4 cm, får vi omkretsen: O = π · d = 3,14 · 4 cm = 12,56 cm d = 4 cm

x

34

Regning med bokstavuttrykk Når vi regner med bokstaver, står bokstavene alltid for en tallverdi.





3b + 4b = b + b + b + b + b + b + b = 7b 3b

4b

Når vi skriver 3b + 4b = 7b, sier vi at vi trekker sammen leddene.

Når et bokstavuttrykk inneholder flere ulike bokstaver, trekker vi dem sammen hver for seg.

4a + 5b + 2a – 3b = 6a + 2b

Likninger Når det står et tall- eller bokstavuttrykk på begge sider av et ­likhetstegn, betyr det at uttrykkene er like store. Vi har en likning: 4x + 2 = 14 Verdien til x er det tallet som gjør uttrykkene på hver side av ­likhetstegnet like store. I denne likningen har x verdien 3.

4 · 3 + 2 = 14

Algebra 35

7 10 av jord-

overflaten er vann.

Hvordan kan du skrive det som desimaltall?

36

9

Alle disse tre har samme verdi!

Brøk og desimaltall MÅL I dette kapitlet vil vi arbeide med

• ekte brøker, uekte brøker og blandede tall • addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner • likeverdige brøker • utviding og forkorting av brøker • addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner • multiplikasjon av brøker • sammenhengen mellom brøk og desimaltall Arbeidsark 9.1

Felles problemløsing

Brøk Brøkog ogdesimaltall desimaltall 37

?

Brøk

Bra, da skal dere få en tredel av det beløpet dere har solgt for.

Jeg hadde håpet vi skulle få minst en firedel av beløpet!

I dag har vi solgt 50 bøker!

Hva er mest,

1 1 eller ?

3 4

En brøk er bygd opp slik:

3 4

teller brøkstrek nevner

1 4

1 4

1 4

1 4

Nevneren viser hvor mange like deler helheten er delt i.

Sirkelen over er delt inn i fire, så hver del utgjør en firedel.

Hele sirkelen er altså 4 firedeler: 4 4 Telleren viser oss hvor mange deler vi har med å gjøre.

Her er 3 firedeler av sirkelen fargelagt, og det kan vi skrive som 3 .

4

38

Av figurene nedenfor ser vi at 1 4

1 4 1 3

1 1 > .

3 4

1 4 1 3

1 4 1 3

Ekte brøk

3 I en ekte brøk er telleren mindre enn nevneren, for eksempel .

4 En ekte brøk er alltid mindre enn 1.

Uekte brøk

5 I en uekte brøk er telleren større enn nevneren, for eksempel .

4 En uekte brøk er alltid større enn 1.

1

Hvilke brøker viser de fargelagte områdene? a)

b)

c)

d)

Brøk og desimaltall 39

2

Hvilke brøker viser de fargelagte områdene? a)

b)

c)

d)

3

Tegn fire linjestykker på 12 cm under hverandre.

Del linjestykkene i like store deler slik at du får todeler, tredeler, firedeler og seksdeler.

1 2 og 2 4 er

Sett inn riktig tegn: >, < eller =

likeverdige brøker.

2 3 1 4 a) d) De ligger på samme 4 4 2 6

sted på tallinja.

40

1 b) 3

1 4

2 e) 4

3 6

1 c) 3

2 6

f) 2 3

4 6

4

Tegn av tallinja nedenfor. Plasser brøkene på riktig plass.

1 1 1 2 6 5 6

2 3 6 3 6 3 3 0 1 2

5

>

Hvilke av brøkene nedenfor er a) ekte brøker b) uekte brøker c) likeverdige brøker 1 5 7 3 10 1 10

3 3 4 4 4 5 5

6 3

2 6

6 8

Alle uekte brøker kan skrives som blandede tall. Et blandet tall består av et helt tall og en ekte brøk.

Omgjøring fra uekte brøk til blandet tall 5 4 1 1 = + = 1 4 4 4 4

Når vi regner med blandede tall, er det ofte lurt å gjøre om til uekte brøker!

Omgjøring fra blandet tall til uekte brøk 2

3 3 1 7 1 1 + + = = 1+1+ = 3 3 3 3 3 3

Brøk og desimaltall 41

6

a) Tegn av tallinja nedenfor. Plasser brøkene på riktig plass.

4 1 7 9 1 1

4 4 4 4 4

11 4

0 1 2 3

b) Skriv 11 som blandet tall.

4 1 c) Skriv 1 som uekte brøk.

4

7

Gjør om brøkene til blandede tall.

3 a) 2

8

f)

7 6

13 b) 2

9 c) 3

10 d) 3

5 e) 4

f)

21 5

b) 2

1 3

c) 3

1 6

13 d)

1 2

2 e)

b) 5 2 3

c) 5 1 4

2 d) 3 5

5 6

1 e) 1 7

Mia og broren hennes har til sammen åtte dataspill.

Broren eier tre av spillene. a) Hvor stor brøkdel av spillene eier Mia?

To av spillene er ødelagte.

b) Hvor stor brøkdel av spillene er ødelagt?

42

7 e) 2

f) 5

3 4

Gjør om de blandede tallene til uekte brøker. a) 4 1 2

11

13 d) 4

Gjør om de blandede tallene til uekte brøker.

4 a) 1 5

10

11 c) 5

Gjør om brøkene til blandede tall.

9 a) 2

9

5 b) 3

f) 2 5 6

>

12

Simen og moren hans reiser til byen med buss.

Billetten koster 10 kr for barn og 20 kr for voksne. a) Hvor mye betaler de til sammen for billettene én vei? b) Hvor stor brøkdel av det de betaler, utgjør Simens billett? c) Hvor stor brøkdel utgjør morens billett?

13

Patrik og Julie panter flasker.

De får 2,50 kr for en stor flaske og 1 kr for en liten flaske.

Patrik har to store og tre små flasker.

Julie har fire store og to små flasker. a) Hvor mye får de til sammen for flaskene? b) Hvor stor brøkdel av pengene skal Patrik ha? c) Hvor stor brøkdel av pengene skal Julie ha?

14

Kaja deltar i et langrenn på 15 km. a) Hvor stor brøkdel av distansen har hun tilbakelagt etter 5 km? b) Hvor stor brøkdel av distansen har hun igjen?

15

Julie, Patrik og Mia skal dele på en vaskejobb som krever sju økter.

Julie og Mia skal vaske to ganger hver, og Patrik skal vaske resten. a) Hvor stor brøkdel av lønna skal hver av de tre ha?

Til sammen får de 1400 kr for jobben.

Hvor mye får b) Julie c) Mia d) Patrik

Brøk og desimaltall 43

?

Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner Er det greit at jeg får tre femdeler av denne?

Jeg tar gjerne tre femdeler av denne kaka!

Hvor mye blir det igjen til meg, da?

Hvor mye blir det igjen til Simen?

1 5 1 5

1 5

1 5

1 5 1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

3 3 6 De røde områdene utgjør til sammen 5 + 5 = 5 .

De hvite områdene utgjør til sammen

2 2 4 + = .

5 5 5

Eller vi kan tenke slik:

10 De to sirklene utgjør til sammen 5 .

Det hvite området utgjør da:

10 – 6 = 4 5 5 5

Når vi adderer eller subtraherer brøker med like nevnere, adderer eller subtraherer vi bare tellerne, mens nevnerne ikke forandres.

44

16

Regn ut. a) 1 + 4 = 6 6

17

b) 5 – 2 = 3 3

5 2 c) – = 7 7

d) 2 + 4 = 5 5

Regn ut.

9 4 28 38 d) a) – = – = 14 14 100 100 17 9 b) e) 4 3 – 1 2 = – = 30 30 7 7 1 1 49 18 – = c) f) 8 – 3 = 4 4 70 70

18

Regn ut.

1 3 11 + 3 = = c) 1 – a) 5 5 8 8 3 1 2 1 + 13 = b) d) 2 – 1 = 6 6 6 6

19

Regn ut.

2 3 4 2 2 2 + + = + – = c) a) 5 5 5 3 3 3 1 2 3 3 3 1 + + = + – = d) b) 6 6 6 4 4 4

20

Regn ut.

3 3 3 a) c) 3 2 – 4 – 1 6 = 1 – – = 7 7 4 4 4 7 3 5 1 5 1 5 d) 4 – 2 – 1 = b) 1 +1 – = 8 6 8 8 6 6

Brøk og desimaltall 45

21

Julie og Patrik bretter servietter til en fest.

De skal brette 30 servietter i alt.

Julie har til nå brettet 8 servietter, og Patrik har brettet 10 servietter.

Hvor stor brøkdel av serviettene har a) Julie brettet b) Patrik brettet c) de igjen å brette Tre av serviettene må kastes. d) Hvor stor brøkdel av serviettene må kastes?

22

Jon og Kaja har samlet inn 860 kr til sammen.

Jon har samlet inn 420 kr.

Hvor stor brøkdel har a) Jon samlet inn b) Kaja samlet inn

23

Mia og Simen samler store skjell. Mia har funnet 24 og Simen 32.

De har som mål å finne 100 skjell.

Hvor stor brøkdel a) har Mia funnet b) har Simen funnet c) har de funnet til sammen d) mangler de

24

Regn ut. a) 9 – 2 + 5 – 12 = 13 13 13 13 b) 6 + 7 – 2 + 4 = 15 15 15 15 c) 21 – 11 + 8 = 36 36 36

46

?

Utviding av brøk og likeverdige brøker Jeg har 3 plukket 5 liter.

Jeg har 1 plukket 2 liter.

Og jeg har 2 plukket 5 liter.

Hvem har plukket mest?

Hvordan kan vi lettest sammenlikne brøkene?

Når vi skal sammenlikne brøker som ikke har samme nevner, utvider vi ofte brøkene slik at de får lik nevner.

Vi utvider en brøk ved å multiplisere telleren og nevneren med det samme tallet. Når vi utvider en brøk, får vi en ny brøk med akkurat samme verdi som den vi startet med.

Vi sier da at de to brøkene er likeverdige.

1 2

1 10

1 10

1 10

Å utvide en brøk er det samme som å dele inn helheten i flere deler!

1 2

1 10

1 10

1 10

1 10

1 10

1 10

1 10

1 1·5 5 = = 2 2·5 10 1 5 og er likeverdige brøker.

2 10

Brøk og desimaltall 47

25

Utvid brøkene til nevner 8.

1 a) 4

26

3 c) 4

2 d) 2

3 c) 2

4 d) 5

3 c) 2

4 d) 5

Utvid brøkene til nevner 10.

1 a) 2

27

1 b) 2

3 b) 5

Utvid brøkene til nevner 20.

1 a) 2

3 b) 5

Når vi skal sammenlikne to brøker som har ulike nevnere, utvider vi en av brøkene eller begge slik at de får like nevnere. Vi prøver da ofte å finne det minste tallet som kan være felles nevner. Vi sier at vi finner minste felles nevner for brøkene.

Eksempel Vi skal sammenlikne brøkene 2 og 3 .

3 4 Det minste tallet som 3 og 4 går opp i, er 12.

2 2·4 8 = =

3 3·4 12

3·3 3 9 = =

4·3 4 12

V i multipliserer telleren og nevneren med 4.

V i multipliserer telleren og nevneren med 3.

Vi ser at 3 er større enn 2 fordi 9 > 8 .

4 3 12 12

48

Da blir minste felles nevner 12.

Sammenlikn brøkene ved å finne minste felles nevner.

Bruk < eller >.

28

a) 1 og 5 8 4

1 1 b) og 4 2

1 1 c) og 6 3

d) 3 og 2 5 10

29

a) 2 og 15 18 3

8 1 b) og 27 3

5 1 c) og 16 4

d) 2 og 8 21 7

30

20 7 a) og 27 9

21 5 b) og 32 8

13 3 c) og 28 7

9 30 d) og 11 44

31

29 6 a) og 35 7

31 5 b) og 36 6

39 6 c) og 66 11

73 7 d) og 100 10

32

1 2 a) og 2 5

1 1 b) og 4 3

2 1 c) og 5 3

d)

33

3 5 a) og 4 6

2 3 b) og 3 5

8 6 c) og 9 7

5 10 d) og 6 11

34

5 7 a) og 6 9

5 5 b) og 9 6

6 7 c) og 7 8

d)

35

Skriv brøkene i riktig rekkefølge fra den minste til den største.

1 1 1 , og a) 4 2 3

d)

1 2 og 6 5

3 3 og 7 8

2 1 1 , og 5 3 4

2 1 1 1 1 2 , og b) e) , og 5 6 2 3 4 5 3 1 3 c) f) 1 , 2 og 4 , og 5 7 2 4 2 5

Brøk og desimaltall 49

?

Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner

Jeg betalte en tredel av innsatsen.

Derfor skal jeg ha en tredel av premien!

Da skal jeg ha en seksdel.

Og jeg skal ha resten. Hvor stor brøkdel blir det?

Julie, Mia og Patrik har vunnet i et lotteri. Nå skal de dele pengene etter hvor mye hver av dem kjøpte lodd for.

Hvor stor brøkdel skal Julie og Mia ha til sammen?

Hvor stor brøkdel skal Patrik ha?

Når vi skal addere eller subtrahere brøker med ulike nevnere, utvider vi først en av eller begge brøkene til minste felles nevner.

Den minste felles nevneren for 3 og 6 er 6. Da behøver vi bare å utvide den ene brøken for at brøkene skal få like nevnere.

1·2 1 2 1 3 1 1 + = + = + = 3·2 6 6 6 6 3 6 3 av premien til sammen.

6 Patrik skal da ha 6 – 3 = 3 av premien.

6 6 6 Julie og Mia skal ha

50

Finn minste felles nevner. Regn ut.

36

5 1 a) + = 6 2

5 4 b) + = 6 3

1 1 c) + = 4 2

d)

5 1 – = 8 4

37

1 5 a) + = 3 6

5 3 = b) – 4 12

1 1 c) – = 2 4

d)

5 2 – = 6 3

38

1 4 a) + = 2 3

c)

2 1 – = 3 4

1 4 b) + = 4 3

d)

1 1 – = 2 7

Noen ganger må begge brøkene utvides!

Vi gjør om blandede tall til uekte brøker før vi utvider brøkene til minste felles nevner.

Eksempel 2

39

40

1 1 1 7 · 2 1 14 1 – = – = – = 2 6 6 3 6 6 3·2 6

2 a)

1 1 – = 2 6

c) 1

1 2 + = 2 3

1 b)

2 3 + = 5 8

d) 2

1 2 –1 = 3 4

Skriv regnestykkene figurene står for. Regn ut. a)

b)

+

c)

+

+

Brøk og desimaltall 51

41

Finn minste felles nevner, og regn ut.

1 1 a) 1 + + = 2 3 4

c) 1 + 1 + 1 = 4 3 2

2 3 5 1 2 2 d) + + = b) + + = 3 4 6 6 5 3

42

Finn minste felles nevner, og regn ut.

1 2 2 + – = a) 4 3 5

c)

5 3 1 – + = 6 4 2

1 2 1 1 1 1 + – = b) d) + – = 3 3 4 7 6 3

43

Mia, Kaja og Julie har lagd en pizza.

Mia spiser 1 pizza, Kaja 1 pizza og Julie 1 pizza.

2 3 6 a) Hvor stor brøkdel av pizzaen spiser de til sammen? b) Hvor mye er det igjen til Simen, som kom etter at jentene hadde spist?

44

Patrik er på en korpstur som varer i fem dager.

1 Den første dagen bruker han av pengene sine, og den andre 4 dagen bruker han 1 av pengene.

6 a) Hvor stor brøkdel av pengene bruker han til sammen de to første dagene? b) Hvor stor brøkdel av pengene har han igjen til de tre siste dagene? c) Foreslå en fordeling av pengene til de tre siste dagene.

52

1 6

?

Forkorting av brøk Jeg har jobbet to timer og skal ha 30 kroner.

Dere får 45 kroner til sammen.

Jeg har jobbet én time og skal ha 15 kroner.

Hvor stor brøkdel av pengene fikk hvert av barna?

Skriv brøkene med så lave tall i teller Når telleren og og nevner som mulig.

Vi forkorter brøker ved å dividere med samme tall i teller og nevner: 15 15 : 5 3:3 1 = = = 45 45 : 5 9:3 3

nevneren ikke lenger kan divideres med samme tall, går det ikke an å forkorte brøken mer.

1 15 og er likeverdige brøker.

3 45 2 30 30 : 5 6 : 3 = = = 3 45 45 : 5 9 : 3 2 30 og er likeverdige brøker.

3 45

Brøk og desimaltall 53

Forkort brøkene så mye som mulig.

45

4 a) 6

2 b) 4

5 c) 10

d) 2 8

46

6 a) 8

6 b) 9

4 c) 12

6 d) 10

47

Hvilke av brøkene kan forkortes med 2?

2 6 6

4 8 9

48

8 12

Hvilke av brøkene kan forkortes med 3?

6 6 3

7 9 5

49

5 10

8 12

9 12

Hvor stor brøkdel av 30 kr er a) 10 kr b) 6 kr

c) 12 kr

d) 24 kr

e) 25 kr f) 27 kr

18 d) 27

e) 7 15

Forkort brøkene hvis det er mulig.

50

a) 3 9

51

10 a) 100

100 c) 1000

1000 e) 10 000

50 b) 100

500 d) 800

f)

52

b) 6 12

c) 6 8

3000 30 000

Skriv av, og sett inn tall som passer i rutene.

2 1 c) a) = = 1000 180 10 5 3 300 = 2 b) d) 100 = 4

54

f) 15 25

Multiplikasjon av en brøk med et helt tall Og 4 bokser

?

som hver rommer 2 liter.

3

Vi har 3 liter syltetøy!

Har Julie og Jon mange nok bokser?

Når vi multipliserer et helt tall med en brøk, multipliserer vi telleren i brøken med tallet og beholder nevneren.

2 2 4·2 8 3 3 2 = = = + + =2 3 3 3 3 3 3 3

{

4 ·

2

4 bokser rommer 2

2 liter.

3

Julie og Jon har altså ikke mange nok bokser til 3 liter syltetøy.

Regn ut.

53

1 a) · 3 = 4

1 b) · 5 = 6

1 c) · 2 = 3

1 d) · 4 = 7

54

1 a) 6· = 2

1 b) 4· = 4

3 c) 3· = 4

d) 6 · 1 = 3

Brøk og desimaltall 55

Når vi skal multiplisere et blandet tall med en brøk, gjør vi først om det blandede tallet til en uekte brøk.

4 113·2 = 3 ·2

Regn ut.

55

1 a) 1 ·2 = 3

1 b) 2 ·3 = 4

1 c) 5 ·4 = 2

d) 3

1 ·5 = 6

56

3 1 ·3 = a) 4

2 1 ·4 = b) 5

3 2 ·3 = c) 5

d) 3

2 ·2 = 3

57

1 Jon kjøper 6 bokser juice. Hver boks rommer liter.

3 Hvor mange liter juice kjøper han?

58

1 Mia kjøper 5 flasker saft. Hver flaske rommer 1 liter.

2 Hvor mange liter kjøper hun?

59

Patrik måler lengden av grupperommet med en målestav som er 3 m 4 lang. Han får 8 lengder. Hvor langt er grupperommet?

60

Et tau er 24 m langt. Hvor langt er a)

61

56

b)

1 av tauet 3

c)

2 av tauet 3

Jon har tjent 500 kr. Hvor mye sparer han når han sparer a)

62

1 av tauet 2

1 av pengene 2

b)

2 av pengene 5

Skriv en regnefortelling til: 600 · 5 = 500 6

c)

1 av pengene 4

?

Vi får godt betalt for jobben!

Multiplikasjon av brøker

Jeg skal ha en tredel av guttenes Jentene og guttene får halv- halvdel. parten hver.

Hvor stor brøkdel av hele beløpet skal Jon ha?

Når vi skal finne en tredel av en halv, må vi multiplisere brøkene: 1 1 1·1 1 = · = 3 2 3·2 6

i multipliserer to brøker ved å multiplisere V teller med teller og nevner med nevner.

1 1 Figuren viser at Jons andel er av guttenes halvdel. Det blir av 3 6 hele beløpet.

Jentene Jons andel

Guttene

Brøk og desimaltall 57

Regn ut.

63

1 3 a) · = 2 4

2 1 b) · = 3 4

2 2 c) · = 5 3

2 1 d) · = 5 4

64

1 1 a) · = 2 2

3 3 b) · = 4 4

9 9 = c) · 10 10

d)

65

1 2 a) · = 6 5

3 4 b) · = 4 5

2 2 c) · = 5 6

d) 2 · 7 = 7 9

66

Hvor mye er

1 1 · = 12 12

a) en firedel av tre sjudeler b) to femdeler av tre firedeler c) fem åttedeler av en todel d) to tredeler av tre femdeler

Vi kan gjøre litt mer med svaret: 15 3 1 =1 =1 12 12 4

Når vi skal multiplisere et blandet tall med en brøk, gjør vi først om det blandede tallet til en uekte brøk.

Eksempel 1

2 3 5 3 15 · = · = 3 4 3 4 12

Regn ut.

58

67

1 1 a) 1 · = 2 2

1 2 b) 2 · = 4 3

1 4 c) 1 · = 4 5

d) 3 1 · 1 = 3 5

68

1 2 a) 4 ·2 = 2 3

7 1 b) 1 ·2 = 8 5

1 1 c) 3 ·1 = 6 2

d) 5 1 · 2 2 = 3 3

69

Hvor mange liter er det i 6

70

Hvor mange meter tau trengs det for å få 3 taustumper på 2

1 3 flasker hvis hver flaske rommer liter?

2 4 1 m hver?

4

?

Sammenhengen mellom brøk og desimaltall Blir det mer eller mindre enn en halv liter?

Vi lager halv porsjon. Da skal det være 0,35 liter melk.

1

Hva er mest: 0,35 liter eller 2 liter?

Når vi skal sammenlikne et desimaltall med en brøk, kan vi gjøre om desimaltallet til brøk og utvide eller forkorte brøkene slik at de får samme nevner.

0,35 =

35 100

1 1 · 50 50 = = 2 2 · 50 100 35 50 er større enn , 100 100 1 altså er liter mer enn 0,35 liter.

2

Desimaltall med én desimal kan gjøres om til tideler, desimaltall med to desimaler kan gjøres om til hundredeler og så videre.

1 0,1 = 10 25 0,25 = 100 125 0,125 = 1000 Brøk og desimaltall 59

71

Skriv desimaltallene som brøker. a) 0,2 =

72

c) 0,4 =

d) 0,5 =

c) 0,75 =

d) 0,82 =

Skriv desimaltallene som brøker. a) 0,12 =

73

b) 0,3 =

b) 0,25 =

Skriv desimaltallene som brøker. a) 0,125 = b) 0,024 = c) 0,055 = d) 0,725 =

74

Patrik skal passe lillesøsteren sin i 45 minutter.

Hvor stor del av en time er dette?

75

Skriv desimaltallene som brøker. a) 0,42 = b) 0,86 = c) 0,02 = d) 0,20 =

76

77

60

Skriv desimaltallene som brøker. a) 0,9 =

c) 0,970 =

e) 0,71 =

b) 0,92 =

d) 0,7 =

f) 0,701 =

Skriv desimaltallene som blandede tall. a) 1,9 =

c) 1,970 =

e) 1,71 =

b) 1,92 =

d) 1,7 =

f) 1,701 =

78

Skriv brøkene som desimaltall. a) 3 10

79

6 10

10 10

d)

4 100

d) 125 100

1550 100

d)

5555 100

4 1000

d)

9 1000

e) 9 100

b)

1 10

c)

25 10

b) 55 100

c)

12 10

b)

320 100

c)

Skriv brøkene som desimaltall. a)

83

d) 90 100

Skriv brøkene som desimaltall. a)

82

5 100

Skriv brøkene som desimaltall. a) 10 100

81

c)

Skriv brøkene som desimaltall. a)

80

b) 12 100

375 1000

b)

463 1000

c)

Tegn av tallinja, og plasser desimaltallene så nøyaktig som mulig.

3,1 3,5 3,01 3,05 4,3 2,85 4,75 3

9.1

84

Klipp ut kortene på arbeidsarket.

Gå sammen i grupper og fordel kortene.

Finn løsningen sammen.

4

>

Klart for felles problemløsing!

Brøk og desimaltall 61

Kan jeg?

Oppgave 1 Tegn av tallinja, og plasser brøkene på riktig plass.

3 1 9 1 11 1 1 2 4 4 4 2 4 2

0 1 2 3

Oppgave 2 Utvid brøkene til 12-deler.

1 a) = 2

5 b) = 6

1 c) = 4

2 d) = 3

Oppgave 3 Forkort brøkene så mye som mulig.

3 a) = 6

b) 4 = 16

6 c) = 9

Oppgave 4 Regn ut.

3 2 a) c) 1 + 1 = – = 7 7 2 6 2 4 3 b) d) 2 – 3 = + – = 3 5 5 5 5

Oppgave 5 Regn ut.

1 2 a) c) 3 1 + 2 1 = 2 +3 = 3 5 3 2 1 5 b) d) 6 3 – 3 1 = 4 – = 8 6 6 4

62

d) 12 = 30

>

Oppgave 6 Simen spiser 1 sjokoladekake, Kaja 1 sjokoladekake og 3 4 1 Julie sjokoladekake.

4 Hvor mye er igjen til Jon?

Oppgave 7 Regn ut. a) 1 · 2 = 7 3

3 c) 1 ·5 = 4

2 2 b) · = 3 3

2 d)

e) 4 · 2 1 = 3

1 1 ·1 = 3 2

f) 2 · 3

3 = 4

Oppgave 8 Patrik og Mia skal dele ut reklameaviser. Patrik skal bruke 15 timer og Mia 10 timer. a) Hvor mange timer skal de bruke til sammen? b) Hvor stor brøkdel av den samlede lønna skal Patrik ha? c) Hvor stor brøkdel av lønna skal Mia ha?

De tjener 2500 kr. d) Hvor mye får Patrik? e) Hvor mye får Mia?

Oppgave 9 Skriv brøkene som desimaltall.

9 a) 10

11 b) 100

1 1 c) 10

41 d) 2 100

Brøk og desimaltall 63

Skriv desimaltallene som brøker.

Oppgave 10 a) 0,9 =

b) 0,09 =

c) 0,32 =

d) 1,65 =

b) 0,042 =

c) 0,379 =

d) 4,130 =

Oppgave 11 a) 0,004 =

Oppgave 12 Hvilke av brøkene kan forkortes med 2? Begrunn svaret.

4 7

8 12

13 26

9 18

12 36

14 28

Oppgave 13 Forkort brøkene mest mulig.

14 a) 28

b) 12 36

18 c) 12

d) 30 60

Oppgave 14 Sant eller usant? a) 1 > 1 3 4 b) Brøker med lik nevner kan adderes ved å legge sammen tellerne og beholde nevneren. c) Brøker med lik nevner kan adderes ved å legge sammen tellerne med tellerne og nevnerne med nevnerne. d) Når vi utvider en brøk, dividerer vi telleren og nevneren på samme tall. e) Når vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med samme tall. f) Det er åtte firedeler i to hele. g) To tideler er lik 0,2. h) To tideler er lik 0,02.

64

Jeg regner mer 85

Hvor store brøker viser de fargelagte områdene? a)

b)

c)

d)

86

Lag tegninger som viser brøkene.

3 a) 5

87

2 b) 3

4 c) 7

d)

3 4

Hvilke av brøkene er a) ekte brøker b) uekte brøker c) blandede tall

2

1 4

1 3

3

2 3

9 5

5 2

9 10

Brøk og desimaltall 65

88

Gjør om til blandet tall.

7 a) 4

89

1 4

b) 5 6

b) 3 5

6 b) 9

6 b) 7

5 6

9 10

d) 2 3

c) 9 10

d) 1 2

6 c) 8

d) 4 10

10 c) 15

d) 5 8

6 10

Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

5 2 7 4 – = a) c) – = 8 8 9 9 5 1 3 1 b) d) + = + = 6 6 5 5

66

d) 1

1 c) 2

Hvilke av brøkene er likeverdige?

3 3 1 3 6

6 4 2 5 8

95

2 c)

Forkort brøkene hvis det er mulig. a) 7 14

94

3 4

Forkort brøkene så mye som mulig.

2 a) 4

93

3 b)

Utvid brøkene til 20-deler.

3 a) 4

92

d) 15 2

Utvid brøkene til 12-deler.

1 a) 4

91

12 c) 5

Gjør om til uekte brøk.

1 a)

90

10 b) 3

96

Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

3 4 2 6 3 2 + – = a) b) – + = 5 5 5 7 7 7

97

Hvilken brøk er størst? Skriv > eller <.

2 2 3 1 eller c) eller a) 3 3 8 2 3 5 1 3 eller b) d) eller 4 6 4 8

98

Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

2 4 c) 3 + 1 = a) – = 3 9 8 2 4 1 b) d) 3 – 1 = + = 9 2 5 3

99

Patrik og fire kamerater skal dele tre like store pizzaer slik at alle får like mye.

Tegn opp hvordan de kan dele pizzaene.

00 Mia samler på bøker om dyr. Hun har seks bøker.

1 Det er til sammen femten bøker i serien. a) Hvor stor brøkdel av serien har hun? b) Hun får tre bøker til på bursdagen sin. Hvor stor brøkdel av hele serien er det? c) Hvor stor brøkdel av serien har hun til sammen etter bursdagen? d) Hvor stor brøkdel av serien mangler hun etter bursdagen?

Brøk og desimaltall 67

01 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

1 4 a) · 2 = 9

3 b) · 5 = 8

c) 3 ·

5 = 6

d) 6 ·

2 = 3

02 Regn ut, og forkort svaret hvis det er mulig.

1 2 1 a) · = 3 2

1 5 b) · = 3 6

3 3 c) · = 5 5

d) 3 · 2 = 4 3

03 Hvor mye er 1 a)

1 1 av 1 liter 3 2

1 1 av 1 liter 2 2 c) 1 av 20 kr 5 5 d) av 30 kr 6 b)

Skriv som desimaltall.

3 04 a) 1 10

2 b) 100

1 c) 10

d)

24 100

6 05 a) 1000 1

37 b) 1000

146 c) 1000

d) 3468 1000

Skriv som brøk. Forkort hvis det er mulig.

68

06 a) 0,15 = 1

b) 0,3 =

c) 0,33 =

d) 0,07 =

07 a) 0,875 = 1

b) 0,037 =

c) 0,007 =

d) 0,410 =

08 Lag tegninger som viser brøkene.

1 a) 3 8

b) 7 12

c) 1 1 5

d) 4 3 4

36 c) 7

d) 23 3

6 c) 4 7

d) 12 3 4

3 c) 15

d)

09 Gjør om til blandet tall.

1 12 a) 5

17 b) 4

10 Gjør om til uekte brøk.

1 5 a) 3 8

3 b) 5 5

11 Utvid brøkene til 30-deler.

1 1 a) 5

1 b) 6

1 2

12 Forkort brøkene så mye som mulig.

1 14 a) 20

12 b) 18

c) 9 15

d) 14 21

13 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

1 3 3 1 a) c) 1 + 3 – 1 = + – = 6 4 5 7 4 2 4 3 2 b) d) 2 – 3 + 1 = – + = 5 10 4 5 4 3

14 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

1 2 3 1 5 2 2 c) 4 – 3 + 1 = a) 2 + 3 +1 = 3 7 4 6 5 3 3 1 1 b) d) 2 5 – 1 3 – 1 = 5 – 2 +1 = 4 4 6 6 2 9

Brøk og desimaltall 69

15 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

1 6 a) ·5 = 7

5 b) · 12 = 6

3 c) · 12 = 8

d) 5 · 15 = 9

16 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

1 2 a) 1 ·6 = 3

1 b) 2 ·4 = 4

1 c) 4 · 10 = 5

d) 5 1 · 6 = 2

17 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

1 a) 1

3 2 · = 4 3

b) 2

1 5 · = 2 6

c) 4

2 3 · = 5 4

d) 3

5 2 · = 6 5

18 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

1 3 1 1 3 1 3 a) c) e) 1 ·1 = 3 ·3 = 4 ·2 = 4 2 2 4 2 4 1 1 3 1 5 7 b) d) f) 2 ·4 = 3 ·2 = 6 ·1 = 2 5 7 5 6 9

19 Mia skal selge lodd for idrettslaget.

1

Hun har tre loddbøker med 40 lodd i hver.

Et lodd koster 5 kr. Mia får en femdel av pengene hvis hun selger alt i den første loddboka.

Av den andre boka får hun en firedel av pengene, og av den tredje en tredel av pengene.

Hvor mye tjener Mia hvis hun selger ut a) én loddbok b) to loddbøker c) tre loddbøker

70

20 Julie skal sykle til besteforeldrene sine. Det er 72 km.

1 Hun klarer å sykle en tredel av veien den første timen, og en firedel av veien den andre timen. a) Hvor langt sykler Julie den første timen? b) Hvor langt sykler hun den andre timen? c) Hvor stor brøkdel av veien har hun syklet etter to timer? d) Hvor mange kilometer per time må hun sykle for å klare resten av turen på 2 timer?

21 Simen, Patrik og Kaja 1

leier film for 60 kr. Simen betaler 12 kr, Patrik 18 kr og Kaja resten.

Hvor stor brøkdel betaler hver av dem?

22 Gjør om til desimaltall.

1 4 a) 10

8 b) 10

10 c) 100

d)

25 100

23 Gjør om til desimaltall.

1 a) 53 10

1 66 25 b) c) d) 10 6 4 100 100 1000

Brøk og desimaltall 71

Oppsummering Brøk En brøk viser hvor stor del av en helhet vi har med å gjøre.

Eksempel

3 4

teller brøkstrek nevner

1 4 1 4

1 4

Nevneren viser hvor mange deler helheten er delt inn i.

Telleren viser hvor mange deler vi har med å gjøre.

Eksempel 1 av 200 kr er 200 kr : 4 = 50 kr 4 3 av 200 kr er 50 kr · 3 = 150 kr 4

Ekte brøk I en ekte brøk er telleren mindre enn nevneren.

Brøken er alltid mindre enn 1.

Eksempel

3 4

Uekte brøk I en uekte brøk er telleren større enn nevneren.

Brøken er alltid større enn 1.

Eksempel

7 4

72

En hel Når telleren og nevneren er like store, har brøken verdien 1.

2 3 4 = = osv. = 1 2 3 4

Blandet tall En uekte brøk kan gjøres om til et blandet tall slik at vi ser hvor mange hele vi har.

Eksempel

1 10 = 3 3 3

Addisjon og subtraksjon av brøker med like nevnere Hvis vi skal addere eller subtrahere brøker, må de ha samme nevner. Da beholder vi nevneren og adderer eller subtraherer telleren.

Eksempel

3 1 3+1 4 + = = 5 5 5 5

3 1 3–1 2 – = = 5 5 5 5

Likeverdige brøker To brøker som har samme verdi, kalles likeverdige brøker.

Eksempel

1 2

4 8

Brøkene 1 og 4 dekker like store deler av rektanglene.

2 8 Altså er 1 = 4 , og brøkene er likeverdige.

2 8

Brøk og desimaltall 73

Utviding av brøk Vi kan utvide en brøk ved å multiplisere både teller og nevner med samme tall. Den nye brøken får samme verdi som den opprinnelige brøken.

Eksempel

1 1·4 4 = = 2 2·4 8

Addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere Hvis brøkene har forskjellige nevnere, må vi utvide brøkene slik at de får like nevnere før vi kan addere eller subtrahere.

Eksempel

1 1 1·3 1·2 3 2 5 + = + = + = 2 3 2·3 3·2 6 6 6

Forkorting av brøk Vi kan forkorte en brøk ved å dividere teller og nevner med samme tall.

Eksempel

6:2 3 6 = = 8:2 4 8

Multiplikasjon av en brøk med et helt tall Når vi multipliserer en brøk med et helt tall, multipliserer vi det hele tallet med telleren, og beholder nevneren.

Eksempel

8 2·4 2 2 ·4 = = = 2 3 3 3 3

Multiplikasjon av to brøker Når vi multipliserer en brøk med en brøk, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren.

Eksempel

74

2 1 2·1 2 1 · = = = 3 4 3 · 4 12 6

Sammenhengen mellom brøk og desimaltall Brøker som har 10, 100 eller 1000 som nevner, kan gjøres direkte om til desimaltall.

Eksempel 7 = 0,7 10

21 = 0,21 100

34 = 0,034 1000

Hvis du skal gjøre om andre brøker til desimaltall, sjekk om du kan utvide dem til 10-, 100- eller 1000-deler først.

1 1·5 5 = = = 0,5 2 2 · 5 10 1 · 25 25 1 = = = 0,25 4 · 25 100 4 1·4 4 1 = = = 0,004 250 250 · 4 1000 Desimaltall med én, to eller tre desimaler kan alltid gjøres om til brøk slik: Eksempel 0,9 =

9 10

0,33 =

33 100

0,125 =

125 1000

Brøk og desimaltall 75

Et svartspettpar trenger et eget territorium p책 ca.

5 km2. Hvor mange svartspettpar kan leve innenfor et areal p책 60 km2?

76

10

1 =1:4 4

Divisjon 2 MÅL I dette kapitlet vil vi arbeide med

• divisjon der svaret er et desimaltall • divisjon med et flersifret tall • divisjon av desimaltall med et helt tall • divisjon av desimaltall med et desimaltall Arbeidsark

10.1

Felles problemløsing

Divisjon 2 77

?

Divisjon som gir rest Her er det ikke like mange hele boller til hver!

Nei, men vi kan dele likt likevel!

«Det blir ikkSnakkeboble Simen: Hvor mye får hvert av barna hvis de deler likt?

22 : 4=5 20 2 2 2 : 4 = 5,5 20 20 20 0 78

Hvis en divisjon ikke går opp, sier vi at vi får en rest.

Rest 2

Hvis vi vil fordele resten også, gjør vi først om de to enerne til tideler.

Det blir 20 tideler. Sett desimaltegnet etter enerne i svaret før du fordeler tidelene.

Det betyr at hver av de fire får 5 boller + 0,5 bolle = 5,5 boller.

Regn ut med én desimal i svaret.

1

a) 9 : 2 =

b) 13 : 5 =

c) 10 : 4 =

d) 12 : 8 =

2

a) 7 : 2 =

b) 14 : 4 =

c) 15 : 6 =

d) 14 : 5 =

3

Patrik og familien hans har motorbåt. På en tur som tok 5 timer, brukte de 24 liter bensin.

Hvor mye bensin brukte båten i gjennomsnitt per time?

4

Julie, Kaja, Mia og Jon pantet flasker for 56 kr.

De delte pengene likt.

Hvor mye fikk hver?

5

Simen, Patrik, Jon, Mia, Kaja og Julie høstet en dag til sammen 99 kg moreller.

Hvor mange kilogram høstet hver i gjennomsnitt?

Divisjon 2 79

Hvis et divisjonsstykke ikke går opp når vi deler ut resten heller, må vi vurdere hvor mange desimaler det er hensiktsmessig å ha i svaret.

1 3 : 7 = 1,8 5 7 1 7 60 56 40 35 50 49 10 7 30

Eksempel I dette regnestykket har vi regnet så langt at vi har fått fire desimaler i svaret, uten at stykket har gått opp.

Nedenfor ser du hvordan vi kan runde av svaret til tre, to eller én desimal:

Avrunding til tre desimaler: 1,8571 ≈ 1,857 Den fjerde desimalen er mindre enn 5.

Da runder vi av nedover.

Avrunding til to desimaler: 1,8571 ≈ 1,86 Den tredje desimalen er større enn 5.

Da runder vi av oppover.

Avrunding til én desimal: 1,8571 ≈ 1,9 Den andre desimalen er lik 5.

Da runder vi av oppover.

80

Når vi skal ha desimaler i svaret, må vi alltid regne ut én «for mye»!

6

7

Still opp, og regn ut med to desimaler i svaret. a) 13 : 3 =

c) 20 : 3 =

b) 19 : 7 =

d) 16 : 7 =

Hvor langt sykler Simen per uke hvis han på åtte uker sykler a) 148 km

c) 258 km

b) 190 km

d) 374 km

Gi svarene med én desimal.

8

Regn ut med så mange desimaler at svaret blir helt nøyaktig. a) 11 : 8 =

9

b) 27 : 6 =

c) 8 : 5 =

d) 15 : 8 =

c) 9 : 8 =

d) 15 : 8 =

Regn ut svaret med tre desimaler. a) 5 : 3 =

b) 10 : 9 =

10

Simen, Patrik, Kaia og Julie skal dele 240 kr likt. Hvor mye får hver?

11

Simen vil kjøpe en pakke med 5 tennisballer for 79 kr.

Hvor mye koster én ball?

12

Patrik tjener 150 kr på 4 timer hver lørdag. Hvor stor er timelønna?

13

Regn ut prisen per kilogram når

Hvor mange desimaler trenger a) 3 kg epler koster 42 kr vi i svaret når vi regner med b) 10 kg hvetemel koster 89,90 kr kroner? c) 2,5 kg fisk koster 100 kr d) 0,1 kg pålegg koster 22,50 kr

14

Kaja har et tau som er 150 m langt.

Hvor lang blir hver bit hvis hun deler tauet i a) 3 like biter

c) 5 like biter

b) 4 like biter

d) 8 like biter

Divisjon 2 81

?

Hvordan kan vi dele tre sjokolader på fire?

Noen ganger blir svaret i en divisjon mindre enn én

Det blir mindre enn én på hver!

Hvor mye sjokolade får hver?

Når vi skal dividere et tall med et tall som er større, blir svaret et desimaltall som er mindre enn 1.

3 : 4 = 0,7 5 0 30 28 20 20 0

Vi får først null hele i svaret. Så veksler vi tallet vi skal dele, om til 30 tideler.

Da må vi sette desimaltegn etter null i svaret og regne ut hvor mange tideler svaret skal ha. Det blir sju tideler og to tideler til rest. De to tidelene gjør vi om til 20 hundredeler for å finne ut hvor mange hundredeler svaret skal ha.

Det blir fem hundredeler.

3 sjokolader : 4 = 0,75 sjokolade

82

15

Regn ut det nøyaktige svaret. a) 1 : 4 =

b) 2 : 5 =

c) 7 : 10 =

d) 3 : 6 =

Regn ut svarene med to desimaler.

16

a) 1 : 3 =

b) 1 : 6 =

c) 1 : 7 =

d) 2 : 3 =

17

a) 1 : 8 =

b) 4 : 7 =

c) 6 : 8 =

d) 1 : 9 =

18

Regn ut svarene med én desimal. c) 8 : 7 =

d) 3 : 8 =

a) 3 : 4 =

19

b) 7 : 9 =

Fem elever skal bake boller.

De har 2 kg mel som de skal dele likt.

Hvor mye mel får hver av dem til deigen sin?

Gi svaret med én desimal.

20

Mia koker 1 liter suppe til seg selv, Julie og Kaja.

Hvor mye suppe får de hver?

Gi svaret med to desimaler.

21

2 liter saft skal fordeles på like store flasker.

Hvor mye blir det per flaske når du fordeler likt på a) 3 flasker b) 5 flasker c) 8 flasker

Her skal alle svarene ha én desimal.

d) 9 flasker

Divisjon 2 83

Divisjon med et flersifret tall

?

Oi, her var det store tall!

602 : 14 =

1 2 3 4 5 6 7

· · · · · · ·

14 14 14 14 14 14

= = = = = =

14 28 42 56 70 84

Kanskje dette kan være til hjelp?

Hvordan kan det Julie har gjort,

være til hjelp?

Hvis 14 personer skal dele 6 hundrere, er det ikke nok til at hver får én hundrer. Da veksler vi om de seks hundrerne til 60 tiere.

Det blir 4 tiere på hver, fordi 14 · 4 = 56, og en rest på 4 tiere.

Vi får denne oppstillingen:

602 : 14=43 56 42 42 0 22

84

Vi gjør om fire tiere til 40 enere og legger til de to enerne vi har fra før.

42 enere delt på 14 blir 3 enere til hver.

Still opp og regn ut. a) 132 : 12 =

c) 325 : 13 =

b) 322 : 14 =

d) 465 : 15 =

Still opp og regn ut.

23

a) 528 : 44 =

c) 825 : 25 =

b) 529 : 23 =

d) 612 : 36 =

a) 544 : 17 =

c) 882 : 21 =

b) 782 : 23 =

d) 962 : 37 =

re 24

25

I en kasse er det 912 klementiner. Kaja legger klementinene i poser.

Det er plass til 24 klementiner i hver pose. a) Hvor mange poser blir det i alt? b) Kaja skal selge hver pose for 18 kr. Hvor store blir inntektene i alt? c) Kaja tjener 4,50 kr per pose. Hvor mye tjener hun i alt?

26

Kaja betalte 195 kr for en dagsbillett til fornøyelsesparken.

Hun rakk å være med på sju aktiviteter. a) Hvor mye kostet det per aktivitet? b) Hvor mye hadde det kostet per aktivitet hvis hun hadde vært med på 10 aktiviteter?

Divisjon 2 85

?

Divisjon av desimaltall med et helt tall

Hm, planken er 4,8 m lang …

Vi skal kappe planken i tre like lange deler!

Hvor lang blir hver del?

Når vi skal dividere et desimaltall med et helt tall, må vi sette desimaltegnet etter enerne før vi deler ut tidelene.

I dette regnestykket er det resten på 1 hel som gjøres om til tideler.

Siden vi har 8 tideler fra før, blir det 18 tideler som skal deles med 3.

Det blir 6 tideler.

Hver del av planken blir 1,6 m lang.

Desimaltegnet plasseres alltid mellom enerne og tidelene.

86

4,8 : 3 = 1,6 3 18 18 0

Regn ut.

27

28

29

30

31

a) 3,6 : 2 =

d) 4,2 : 3 =

b) 7,2 : 4 =

e) 6,5 : 5 =

c) 7,2 : 6 =

f) 9,6 : 8 =

a) 14,4 : 4 =

d) 27,6 : 4 =

b) 14,4 : 6 =

e) 31,5 : 7 =

c) 12,5 : 5 =

f) 48,3 : 3 =

a) 2,55 : 5 =

c) 3,36 : 4 =

b) 1,12 : 4 =

d) 1,47 : 3 =

a) 4,44 : 6 =

c) 5,81 : 7 =

b) 3,40 : 5 =

d) 2,76 : 4 =

Når jeg deler et tall med et som er større, vet jeg at svaret blir mindre enn 1!

En kasse med 5 kg klementiner koster 53,50 kr.

Klementiner i løs vekt koster 14,50 kr per kg. a) Hva blir prisen per kilogram hvis du kjøper en kasse klementiner? b) Hvor mye dyrere per kilogram er det å kjøpe klementiner i løs vekt?

Kasse à 5 kg: 53,50 kr

Løsvekt: 14,50 kr per kg

32

En pakke med 8 kg hvetemel koster 89,60 kr.

Hvor mye er prisen per kilogram?

Divisjon 2 87

?

Divisjon av desimaltall Vi kjøper med et desimaltall de med lavest pris per kilogram!

Hm, begge sortene er gode …

Hvilken av eplesortene er billigst per kilogram?

Når vi skal dele et tall med et som har to desimaler, multipliserer vi først begge tallene med 100!

Når vi skal dividere et tall med et tall som har én desimal, multipliserer vi begge tallene med 10 før vi dividerer.

Da utvider vi divisjonen med 10.

14,60 · 10 : 0,8 · 10 = 146 : 8 10

De grønne eplene i eksemplet ovenfor koster altså 18,25 kr per kg.

Det betyr at de grønne eplene er billigst.

88

1 4 6 : 8 = 1 8,2 5 8 66 64 20 16 40 40 0

33

pris !

34

Utvid divisjonene, og regn ut. Kontroller med kalkulatoren. a) 8 : 0,4 =

c) 14 : 0,7 =

b) 12 : 0,8 =

d) 18 : 1,2 =

Er divisjonen riktig utvidet?

Skriv sant eller usant. Kontroller med kalkulatoren. a) 1,44 : 1,2 = 144 : 12 b) 1,44 : 1,2 = 14,4 : 12 c) 15,6 : 1,3 = 156 : 13 d) 15,6 : 1,3 = 15,6 : 13

35

36

Utvid divisjonene, og regn ut. Kontroller med kalkulatoren. a) 7,2 : 0,6 =

c) 6,5 : 0,5 =

b) 9,8 : 0,7 =

d) 10,2 : 0,6 =

Utvid divisjonene, og regn ut.

Kontroller med kalkulatoren. a) 1,02 : 0,3 =

c) 97,2 : 1,8 =

b) 3,22 : 1,4 =

d) 9,84 : 2,4 =

Her deler vi med et tall som har to desimaler.

Da må vi multiplisere begge tallene med 100!

1,575 : 0,25 =

Divisjon 2 89

37

38

Utvid divisjonene, og regn ut. Kontroller med kalkulatoren. a) 2,1 : 0,25 =

c) 4,25 : 1,25 =

b) 8,05 : 1,75 =

d) 6,50 : 1,25 =

Utvid divisjonene, og regn ut. Kontroller med kalkulatoren. a) 0,864 : 0,12 =

c) 1,302 : 3,1 =

b) 9,75 : 0,15 =

d) 14,5 : 0,25 =

39

Kaja vil dele en planke på 2,1 m i lengder på 0,35 m.

Hvor mange lengder får hun?

40

Julie skal lage en 2,7 m lang duk ved å sy sammen stoffbiter som hver er 0,45 m lange. Hvor mange stoffbiter trenger hun?

41

Hva blir prisen per liter når a) 2,5 liter melk koster 16,25 kr b) 0,5 liter melk koster 5,10 kr c) 0,4 liter melk koster 4,20 kr

10.1

90

42

Klipp ut kortene på arbeidsarket.

Gå sammen i grupper og fordel kortene.

Finn løsningen sammen.

Klart for felles problemløsing!

Kan jeg?

Oppgave 1 Regn ut. a) 11 : 2 =

b) 9 : 5 =

c) 20 : 8 =

Oppgave 2 Regn ut med to desimaler i svaret. a) 17 : 4 =

b) 16 : 3 =

c) 17 : 6 =

Oppgave 3 Kaja sparte 150 kr på 6 uker. Hvor mye sparte hun per uke?

Oppgave 4 Regn ut. a) 3 : 5 =

b) 3 : 8 =

c) 9 : 4 =

b) 266 : 14 =

c) 176 : 11 =

b) 13,6 : 4 =

c) 1,25 : 5 =

Oppgave 5 Still opp, og regn ut. a) 192 : 12 =

Oppgave 6 Still opp, og regn ut. a) 3,2 : 8 =

Oppgave 7 Hvor mange meter tau får du for 133 kr når én meter tau koster 7 kr?

Divisjon 2 91

Oppgave 8 Still opp, og regn ut. a) 17,5 : 2,5 = b) 37,2 : 0,6 =

Oppgave 9 Simen skal spikre planker på toppen av et gjerde som er 23,8 m langt.

Han har planker som er 1,4 m lange. a) Hvor mange planker trenger han?

Simen så også på noen andre planker.

De var 1,8 m lange. b) Hvor mange av disse plankene måtte han ha kjøpt?

Oppgave 10 Idrettslaget Bjart skal på tur. De betaler 1500 kr for buss og 800 kr i overnatting. Til mat bruker de 365 kr. I alt er det 13 personer med på turen.

Hvor mye må hver av dem betale?

Oppgave 11 Sant eller usant? a) Enkelte divisjoner går ikke opp. b) Når en divisjon går opp, får vi 0 til rest. c) 8 : 9 gir et tall som er større enn 1. d) 1,35 ≈ 1,3 med én desimal e) 1,358 ≈ 1,4 med én desimal f) 5,6 : 1,32 > 10 g) 1,575 : 0,75 = 157,5 : 75 h) 1,575 : 0,75 = 1575 : 75

92

Jeg regner mer 43

Regn ut med én desimal i svaret. a) 11 : 3 =

44

c) 17 : 2 =

d) 23 : 4 =

c) 27 : 8 =

d) 17 : 7 =

c) 20 : 3 =

d) 22 : 7 =

Regn ut med én desimal i svaret. a) 34 : 5 =

45

b) 11 : 4 =

b) 33 : 4 =

Regn ut med to desimaler i svaret. a) 15 : 4 =

b) 23 : 8 =

46

Kaja, Mia og Julie kjøper et blad sammen. Bladet koster 56,50 kr.

Hvor mye skal hver av dem betale?

47

Regn ut. Svaret skal ha to desimaler. a) 1 : 4

b) 2 : 5

c) 1 : 9

d) 1 : 6

Divisjon 2 93

48

En ost som er delt i 7 like store stykker, koster 98 kr.

Hvor mye koster hvert stykke?

49

Still opp, og regn ut.

50

a) 72 : 12 =

c) 55 : 11 =

b) 65 : 13 =

d) 90 : 15 =

Still opp, og regn ut. a) 168 : 12 =

c) 240 : 16 =

b) 182 : 14 =

d) 195 : 15 =

51

Sollia skole skal kjøpe 12 nye hullmaskiner for 768 kr.

Hvor mye koster én hullmaskin?

52

Still opp, og regn ut.

53

54

a) 8,4 : 3 =

c) 17,5 : 5 =

b) 1,26 : 7 =

d) 2,52 : 9 =

Still opp, og regn ut. a) 17,6 : 8 =

c) 2,28 : 6 =

b) 13,5 : 9 =

d) 28,8 : 6 =

En kasse med 8 kg epler koster 132,80 kr. a) Hvor mye koster eplene per kilogram?

Senere blir den samma kassa solgt på tilbud for 100 kr. b) Hva er nå prisen per kilogram? c) Hvor stor er reduksjonen i prisen per kilogram?

94

55

56

57

Still opp, og regn ut. a) 19,6 : 1,4 =

c) 1,92 : 0,8 =

b) 26,4 : 2,4 =

d) 46,4 : 1,6 =

Still opp, og regn ut. a) 14,40 : 0,32 =

c) 720 : 1,2 =

b) 87,5 : 0,25 =

d) 13,50 : 1,5 =

Julie skal ha selskap og vil kjøpe inn glass for 12,50 kr per stk.

Hvor mange glass får hun for 200 kr?

58

Simen har spart 186 kr. Han vil bruke pengene til å kjøpe et fotballblad hver uke. Bladet koster 30 kr.

Hvor mange uker har han penger til å kjøpe bladet?

59

Gruppa til Kaja skal ha felles frokost. Kaja kjøper inn yoghurt i pakker på fire til 17,20 kr. a) Hva er prisen per yoghurt? b) Hvor mye koster det å kjøpe yoghurt til hele gruppa på 26 elever? c) Hvor mange yoghurter blir til overs?

60

Hva blir prisen per kg når a) 6,2 kg koster 52,71 kr b) 1,25 kg koster 8,00 kr c) 3,25 kg koster 26,65 kr

Divisjon 2 95

61

Regn ut med to desimaler i svaret. a) 33 : 4 =

62

b) 9 : 8 =

1 b) 7

c) 33 : 6 =

1 c) 9

Familien til Simen dro på biltur.

8 Da de kom til en ferje, hadde de kjørt av veien.

9 Hele turen var 225 km.

Hvor langt var det til ferja?

96

d) 30 : 9 =

d) 99 : 4 =

Sett opp som divisjon, og regn ut verdien av brøkene.

2 a) 3

64

c) 12 : 7 =

Regn ut med så mange desimaler at stykkene går opp. a) 26 : 5 =

63

b) 78 : 8 =

d)

5 6

65

66

67

Still opp, og regn ut. a) 204 : 17 =

c) 375 : 25 =

b) 682 : 22 =

d) 286 : 13 =

Still opp, og regn ut. a) 441 : 21 =

c) 1386 : 42 =

b) 1705 : 55 =

d) 1645 : 47 =

Snekker’n AS bygde 14 redskapsboder for salg. Redskapsbodene kostet til sammen 119 000 kr. Firmaet brukte til sammen 1260 timer på arbeidet. a) Hvor mange arbeidstimer brukte firmaet per bod? b) Hvor mye fikk de for én bod?

68

Julie vil finne ut om det lønner seg å kjøpe en cd til 149 kr eller å laste ned hver av de 18 sangene fra Internett. På Internett koster hver av sangene 8,50 kr. a) Hvor mye koster det for hver sang hvis hun kjøper cd-en i butikken? b) Hvor stor blir forskjellen per sang ved å kjøpe i butikken sammenliknet med på Internett?

69

Mia vil kjøpe en pakke med tre par sokker til 58,50 kr. a) Hvor mye koster ett par sokker? b) Hvor mye får Mia tilbake på 200 kr?

70

Still opp, og regn ut. a) 55,2 : 12 =

c) 7,68 : 16 =

b) 10,20 : 15 =

d) 17,64 : 14 =

Divisjon 2 97

71

Et brett med 16 brusbokser koster 222,40 kr.

Hvor mye koster én boks?

72

Still opp, og regn ut.

73

a) 33,28 : 5,2 =

c) 51,48 : 9,9 =

b) 21,45 : 3,9 =

d) 204,6 : 3,1 =

Still opp, og regn ut. a) 17,25 : 0,25 =

c) 87,5 : 1,25 =

b) 62,72 : 0,64 =

d) 10,764 : 0,46 =

74

Hvor mange sjokolader er det i en eske som koster 322 kr, når hver sjokolade koster 4,60 kr?

75

Moren til Patrik har 1380 kr i lønn for en vanlig arbeidsdag på 7,5 timer. a) Hvor mye har hun i timelønn? b) Hvor mye tjener hun i løpet av en uke med 37,5 arbeidstimer?

76

En fagarbeider arbeider et år 1950 timer.

Han får 140 kr i lønn per time. a) Hva blir årslønna? b) Hva blir lønna per uke når en arbeidsuke er 37,5 timer?

77

12 elever kjøper inn 4 kartonger juice til 13,50 kr per stykk.

Hver kartong rommer 1,5 liter. a) Hvor mange desiliter juice får hver av elevene? b) Hvor mye må hver av de 12 elevene betale for juicen?

98

Oppsummering Divisjon som gir rest Hvis en divisjon ikke går opp, sier vi at vi får en rest.

34 : 4=8 32 2 3 4 : 4 = 8,5 32 20 20 0 2 : 8 = 0,2 5 0 20 16 40 40 0

Rest 2

Hvis vi vil dele ut resten også, gjør vi først om enerne til tideler ved å sette til sifferet null. Pass også på å sette desimaltegn etter enerne i svaret.

Når svaret i en divisjon blir mindre enn 1 Når vi skal dividere et tall med et som er større, blir svaret et desimaltall mindre enn 1. Vi får 0 hele og veksler om tallet til tideler. Det gir 20 tideler.

Divisjon 2 99

Enere

Tiere

Enere

Tiere

Enere

Tiere

Hundrere

Divisjon med et flersifret tall

624 : 13=48 52 104 104 0

Tabell 1 · 13 2 · 13 3 · 13 4 · 13 5 · 13 6 · 13 7 · 13 8 · 13

= = = = = = = =

13 26 39 52 65 76 91 104

Det er lurt å sette opp en tabell som støtte for utregningen!

Divisjon av desimaltall med et helt tall

Tideler

Enere

Enere

Tideler

Enere

Når vi skal dividere et desimaltall med et helt tall, må vi passe på å sette desimaltegn etter enerne før vi deler ut tidelene.

5,6 : 4 = 1,4 4 16 16 0

100

Desimaltegnet plasseres alltid etter enerne!

Divisjon av desimaltall med et desimaltall Når vi skal dividere et desimaltall på et desimaltall med én desimal, multipliserer vi først begge tallene med 10.

Da får vi et helt tall å dele på.

Når det er én desimal, multipliserer vi med 10. Når det er to desimaler, multipliserer vi med 100, og så videre.

Hundredeler

Tideler

Enere

Tiere

Enere

Enere

Tiere

7,3 : 0,4 = 73 : 4

7 3 : 4 = 1 8,2 5 4 33 32 10 8 20 20 0 Divisjon 2 101

Er hvitveisen speilsymmetrisk?

102

11 Geometri 2 MÅL I dette kapitlet vil vi arbeide med

• flytting av figurer ved speiling, parallellforskyving og dreining • speilingssymmetri og dreiingssymmetri Arbeidsark 11.1

Speiling av sammensatte figurer

Speilingssymmetri 11.7

11.2

Skrått speil og trekanter

11.8

11.3

Skrått speil og firkanter

Speilbilder 11.9

Felles problemløsing

Rutenett 11.4

11.10

11.5 Forskyving

Speilingslinjer 11.11

11.6

Mangekanter 11.12

Dreiing 45°, 70° og 135°

Dreiing 90° og 120°

Geometri 2 103

?

Speiling

Du har klokka på venstre arm, men på speilbildet har du den på høyre arm!

Når jeg flytter meg, flytter speilbildet seg også!

Hvordan flytter speilbildet av Kaja seg når hun beveger seg foran speilet?

Hva er det Jon legger merke til?

Når vi flytter oss fram og tilbake foran et speil, vil speilbildet vårt også flytte seg på samme måten.

Det betyr at alle punkter på kroppen får et speilbilde som hele tiden ligger like langt unna speilet på baksiden og vinkelrett på speilet.

104

A

1

Speil

B Speil

a) Hvilken av figurene viser speiling? b) Se p책 den figuren som ikke viser speiling.

Forklar hvorfor det ikke er speiling.

2

a) Hvilke av figurene viser et speilbilde av trekanten til venstre?

Begrunn svaret. b) Hvor lange er linjestykkene i den speilede trekanten sammenliknet med utgangsfiguren?

11.1

A

B

C

3

Tegn speilbilder av hver figur p책 arbeidsarket.

4

a) Tegn et kvadrat med sider 4 cm, og speil det om en av sidene. b) Hvor lange er sidene i det nye kvadratet? Begrunn svaret.

Geometri 2 105

5

a) Tegn en rettvinklet trekant der sidene som går ut fra den rette vinkelen, er 3 cm og 4 cm. Hvor lang er den tredje siden?

Bruk linjal for målingene. Speil trekanten om den siden som er 4 cm. b) Hvor lange er sidene i den nye trekanten? Begrunn svaret.

6

a) Tegn et rektangel med sider 3 cm og 6 cm. Speil rektangelet om en av sidene. b) Hvor lange er sidene i det nye rektangelet? Begrunn svaret.

7

a) Tegn en likesidet trekant der sidene er 5 cm. Speil trekanten om en av sidene. b) Hvor lange er sidene i den nye trekanten? Begrunn svaret.

3

1

Sp

ei

l

Når vi tenker oss speilet skråstilt i forhold til en figur, finner vi speilbildet på denne måten:

cm

cm

1 cm

2

Den grønne figuren er speilbilde av den røde figuren.

3

cm

cm

2

8

A

B

cm

Sidene i de to figurene er parvis like lange.

C

a) Hvilken av figurene viser speiling? b) Se på de figurene som ikke viser speiling. Forklar hvorfor figurene ikke er speilbilder av hverandre.

106

11.2

9

Tegn speilbilder av hver trekant på arbeidsarket. Merk av linjene som viser hvor det må være rette vinkler.

11.3

10

Tegn speilbilder av hver firkant på arbeidsarket. Merk av linjene som viser hvor det må være rette vinkler.

11

a) Tegn et rektangel med sider 10 cm og 4 cm.

Diagonalene i en firkant er linjestykker som går fra hjørne til hjørne inne i figuren.

b) Speil rektangelet om en av diagonalene. c) Hvor lange er sidene i det nye rektangelet? Begrunn svaret.

12

a) Tegn et kvadrat med sider 5 cm. b) Speil kvadratet om en av sidene.

Se på figuren som består av de to kvadratene som du nå har på tegningen. c) Hvilke type firkant er dette? d) Hvor lange er sidene i den nye firkanten?

13

a) Tegn en firkant der ingen vinkler er 90°. b) Speil firkanten om en av diagonalene. c) Hvor lange blir sidene i den nye firkanten?

Geometri 2 107

?

Parallellforskyving Ja, men den har ikke blitt speilet eller dreid!

Trekanten er flyttet skr책tt oppover.

Hvordan har figuren flyttet seg?

N책r en figur blir flyttet ved parallellforskyving, blir hvert punkt i figuren flyttet i en bestemt retning og like langt.

Den gule pilen viser b책de retningen til parallellforskyvingen og lengden av den.

Parallellforskyvingen er 6 ruter loddrett oppover.

Sidene i de to figurene er parvis like lange.

108

14

a) I hvilken retning er figuren parallellforskjøvet? b) Hvor mange ruter er figuren parallellforskjøvet?

15

a) I hvilken retning er figuren parallellforskjøvet? b) Hvor mange ruter er figuren parallellforskjøvet?

16

a) Beskriv retningen figuren er parallellforskjøvet i.

For å vise parallellforskyvingen, kan vi trekke opp én pil på figuren. b) Mål hvor lang denne pilen må være.

Geometri 2 109

17

a) I hvilken retning er dragen parallellforskjøvet? b) Hvor mange ruter er dragen parallellforskjøvet?

11.4

18

Tegn en figur på arbeidsarket, og parallellforskyv den fem ruter til høyre og åtte ruter nedover.

11.5

19

Parallellforskyv figurene på arbeidsarket.

20

Når vi skal vise en parallellforskyving, tegner vi alltid en pil.

Hva forteller denne pilen?

21

En av påstandene er sanne. Skriv den i kladdeboka di.

1) Når vi parallellforskyver en figur, blir den større samtidig som den flytter seg.

2) Når vi parallellforskyver en figur, blir den mindre samtidig som den flytter seg.

3) Når vi parallellforskyver en figur, forandrer den ikke størrelse, men flytter seg.

22

To av påstandene er sanne. Skriv av disse.

1) Pilen viser bare retningen figuren forskyves i.

2) Pilen viser både retningen og lengden figuren forskyves i.

3) Pilen viser bare lengden som figuren forskyves.

4) Alle linjestykker i en figur er uforandret etter en parallellforskyving.

110

?

Dreiing

Hvor stor del av en sirkel dreier Simen og Mia dersom de dreier 60°?

Hvor mange grader dreier Kaja når hun har snurret rundt seg selv én gang?

Når en figur dreies, betyr det at hvert punkt i figuren flyttes like mange grader rundt et bestemt punkt. Punktet kalles omdreiningspunktet. Det kan ligge både inne i figuren og utenfor.

P

x Omdreiningspunktet er sentrum av klokka.

Omdreiningspunktet er P. Sidene i figurene er parvis like lange.

Den lengste viseren har dreid 90° rundt midtpunktet siden klokka tolv.

Geometri 2 111

23

Hvor mange grader har den lengste viseren dreid siden klokka var tolv? a) b) c)

24

Hvor mange grader har figurene dreid? a)

b)

x

c)

x

11.6

25

x

d)

x

a) Drei figurene på arbeidsarket 45°, 70° og 135° om punktet som er avmerket. b) Hvor lange er sidene i figurene etter at de er dreid?

For hver figur skal du sammenlikne med utgangsfiguren.

112

Symmetri

?

Ja, se på trekanten. Med den kan vi få det til i tre ulike retninger!

Noen figurer kan deles i to, slik at de to halvdelene dekker hverandre når de brettes.

Hvordan kan figurene på tavla brettes slik at halvdelene dekker hverandre?

Hvis vi kan trekke en linje gjennom en figur, slik at de to delene vi får, dekker hverandre, har figuren speilingssymmetri. En figur kan ha flere speilingslinjer. En likesidet trekant har tre speilingslinjer.

eil

Sp

Speilingslinje

Sp

11.7

26

e

inj

sl ing

eil

ing

sli

nje

Gjør ferdig figurene på arbeidsarket slik at de blir symmetriske om speilingslinjene.

Geometri 2 113

27

Hvilken av figurene har a) bare én speilingslinje

c) tre speilingslinjer

b) to speilingslinjer

A

B

C

114

28

Tegn av figurene i oppgave 27, og merk av speilingslinjene.

29

Hvilke av figurene nedenfor har speilingssymmetri?

Skisser figurene med speilingslinjer.

A

B

D

E

C

F

30

Tegn en figur som har speilingssymmetri. Merk av speilingslinjene.

Hvis en figur dekker seg selv én eller flere ganger når vi dreier den 360° om et punkt inne i figuren, har figuren dreiningssymmetri.

Alle figurer dekker seg selv etter at vi har dreid dem 360°.

Derfor har alle figurer minst én dreiningssymmetri.

31

a) Hvor mange ganger vil figuren dekke seg selv i løpet av én omdreining?

Du skal regne med 360°.

Omdreiningspunktet er S.

P x

Punktet vi dreier om, kalles omdreiningspunktet.

P er et omdreiningspunkt for den likesidete trekanten.

xS

b) Hvor mange speilingslinjer har figuren?

32

a) Hvor mange ganger vil figuren dekke seg selv i løpet av én omdreining?

Du skal regne med 360°.

Omdreiningspunktet er S.

xS

b) Hvor mange speilingslinjer har figuren?

Geometri 2 115

33 P

x

a) Hvor mange ganger vil figuren dekke seg selv i løpet av én omdreining? Omdreiningspunktet er P. Du skal regne med 360°. b) Hvor mange speilingslinjer har figuren?

xK

34

a) Hvor mange ganger vil figuren, med mønster, dekke seg selv i løpet av én omdreining? Omdreiningspunktet er K. b) Hvor mange speilingslinjer har figuren?

11.8

116

35

Klart for felles problemløsing! Klipp ut kortene på arbeidsarket.

Gå sammen i grupper, og fordel kortene. Finn løsningen sammen.

Kan jeg?

Oppgave 1 Tegn en trekant og et speil utenfor trekanten.

Tegn så speilbildet av trekanten.

Oppgave 2 Tegn en trekant. Drei trekanten 90° om et av hjørnene.

Oppgave 3 Tegn av figuren, og parallellforskyv den 5 cm i pilens retning.

Oppgave 4 Hvor mange speilingslinjer har trekanten til høyre?

Vis ved tegning.

3 cm

3 cm

Oppgave 5 a) Hvilke av figurene nedenfor har speilingssymmetri?

A

B

C

D 2,5 cm 2,5 cm

2,5 cm

b) Skisser figurene som har speilingssymmetri, og tegn inn symmetrilinjene på hver figur.

Geometri 2 117

Oppgave 6 Hvilke av figurene har mer enn én dreiningssymmetri?

a)

b)

c)

d)

Oppgave 7 Hvilke av figurene har speilingssymmetri og mer enn én dreiningssymmetri? a)

b)

c)

d)

Oppgave 8 Sant eller usant? a) Ved speiling får vi en ny figur som alltid er større. b) Ved parallellforskyving blir en figur flyttet uten at den forandrer form. c) Ved dreining roteres en figur alltid 360° om et punkt. d) To speilvendte figurer har alltid samme form. e) To speilvendte figurer har alltid samme areal. f) Et rektangel har fire speilingslinjer. g) En sirkel vil dekke seg selv uendelig mange ganger hvis den dreies rundt sentrum.

118

Jeg regner mer

36

11.9

Hvilken av figurene viser et speilbilde av trekanten over speilet?

A

B

Speil

C

37

Tegn speilbilder av hver figur på arbeidsarket.

38

a) Tegn et kvadrat med sider 5 cm. Speil kvadratet om en av sidene. b) Hvor lange er sidene i det nye kvadratet? Begrunn svaret.

39

a) Tegn et rektangel med sider 2 cm og 5 cm. Speil rektangelet om en av sidene. b) Hvor lange er sidene i det nye rektangelet? Begrunn svaret.

40

Tegn en T og en M slik figuren nedenfor viser.

Tegn speilbildet av bokstavene.

Geometri 2 119

41

a) I hvilken retning er figuren til høyre parallellforskjøvet? b) Hvor mange ruter er figuren parallellforskjøvet? c) Hvor mange speilingslinjer har figuren som vi har parallellforskjøvet?

Tegn figuren med speilingslinjer.

42

a) I hvilken retning er denne figuren parallellforskjøvet? b) Hvor mange ruter er figuren parallellforskjøvet? c) Hvor mange speilingslinjer har figuren som vi har parallellforskjøvet?

Tegn figuren med speilingslinjer.

43

a) I hvilken retning er figuren nedenfor parallellforskjøvet? b) Hvor mange ruter er figuren parallellforskjøvet?

11.4

44

Tegn en figur på rutearket og parallellforskyv den 7 ruter til høyre og 10 ruter nedover.

45

a) Tegn en trekant på rutearket og parallellforskyv den slik at du får et mønster. b) Skriv hvor mange ruter og i hvilken retning trekanten er parallellforskjøvet.

120

46

Vi dreier med hendene som sentrum!

a) Hvor mange ganger må Kaja og Mia dreie 90° før de er tilbake der de begynte? b) Hvor mange ganger må de dreie 45° før de er tilbake der de begynte? c) Hvor mange ganger må de dreie 60° før de er tilbake der de begynte? d) Hvor mange ganger må de dreie 120° før de er tilbake der de begynte?

47

Hvor mange grader har bryteren dreid når plata står på a) 1

0

b) 2 c) 3 d) 4

1

5

e) 5

x 2

4

3

11.10

48

a) Drei figuren på arbeidsarket 90° og 120° om punktet som er avmerket. b) Hvor lange er sidene i figurene etter at de er dreid?

For hver figur skal du sammenlikne med utgangsfiguren.

Geometri 2 121

49

11.11

Hvor mange speilingslinjer har hver av disse figurene? a)

b)

c)

d)

50

Tegn speilingslinjene i hver av figurene på arbeidsarket.

51

Tegn en figur som har to speilingslinjer. Merk av speilingslinjene.

52

Tegn av figuren nedenfor. a) Trekk opp så mange speilingslinjer som du finner.

b) Hvor mange dreiningssymmetrier har figuren? c) Hvor mange grader er hver dreining?

122

â&#x20AC;&#x160;53

A

B

D

E

C

a) Hvor mange speilingslinjer har hver av figurene? b) Tegn figurene med speilingslinjene.

â&#x20AC;&#x160;54

Tenk deg at du dreier figurene nedenfor omkring punktet som er merket av.

Hvilke av figurene har mer enn ĂŠn dreiningssymmetri? a)

b)

x

x

c)

d)

x

x

Geometri 2 123

55

Tenk deg at du dreier figurene nedenfor omkring punktet som er merket av.

Hvor mange ganger vil hver av figurene dekke seg selv i løpet av én omdreining? a)

b) x

x

d)

c) x

Du trenger: Saks og papir

56

a) Klipp papiret slik at det får form som en sirkel eller et kvadrat.

Brett så arket flere ganger, og klipp ut hakk i sidene.

Brett ut igjen. b) Hvor mange speilingslinjer har figuren din? c) Har figuren dreiningssymmetrier? Forklar.

57

a) Tegn en regulær åttekant. b) Hvor mange ganger vil figuren dekke seg selv hvis du dreier den 360°? c) Hvor mange speilingslinjer har figuren?

124

I en regulær figur er alle sidene like lange.

58 Du trenger: Passer

a) Bruk passeren og lag en passerrose slik som vist nedenfor. b) Lag en regulær sekskant av passerrosen ved å trekke opp linjer med linjalen. c) Hvor mange ganger vil figuren dekke seg selv hvis du dreier den 360°? d) Hvor mange speilingslinjer har figuren?

11.12

59

a) Undersøk de regulære mangekantene på arbeidsarket, og finn ut om de har dreiningssymmetrier og speilingssymmetrier.

Du trenger: Saks

Ser det ut som det kan være en sammenheng mellom antall speilingssymmetrier og antall dreiningssymmetrier?

b) Hva vil du svare Matellitten?

Geometri 2 125

Oppsummering Speiling Vi kan speile en figur om en speilingslinje ved å flytte alle punktene i figuren vinkelrett, like langt og i samme retning over på motsatt side av speilingslinjen.

Speil Virkelig punkt

Virkelig punkt

x x

Speilbilde

Speilbilde

x

Parallellforskyving Vi kan parallellforskyve en figur ved å flytte hvert punkt i figuren like langt og i samme retning.

Figuren er parallellforskjøvet 5 ruter til høyre og 6 ruter opp.

Dreiing Vi kan dreie en figur om et punkt som ligger i eller utenfor figuren.

Punktet kalles omdreiingspunktet.

P x Figuren er dreid 180° om punktet P.

126

S x Figuren er dreid 90° om punktet S.

Speilingssymmetri Hvis vi kan trekke en linje gjennom en figur, slik at de to delene vi får dekker hverandre, har figuren speilingssymmetri. Linjen kalles speilingslinje. En figur kan ha flere speilingssymmetrier.

Den likesidete trekanten har tre speilingslinjer.

Kvadratet har fire speilingslinjer.

Dreiingssymmetri Hvis en figur dekker seg selv én eller flere ganger når vi dreier den 360° rundt et punkt inne i figuren, har den dreiingssymmetri.

Punktet kalles symmetripunktet.

P x

Figuren ovenfor har fire dreiingssymmetrier: 90° om punktet P 180° om punktet P 270° om punktet P 360° om punktet P (tilbake til utgangspunktet)

Geometri 2 127

Du kan bruke et regneark til å regne ut hvor mye det koster å ha et kjæledyr. Hva er egentlig et regneark?

178

12

Hm, ett britisk pund koster 11,45 kr!

Sammensatte enheter MÅL I dette kapitlet vil vi arbeide med

• fart • priser • lønn • valuta Arbeidsark 12.1

Felles problemløsing

Sammensatte enheter 129

?

Vi regner med fart Vi har tre timer på oss.

Hvilken fart må vi holde for å rekke det?

Hvilken fart må Jon og Mia sykle med?

Når vi skal regne ut farten, må vi dividere strekningen med den tiden det tar å tilbakelegge strekningen.

Fart = strekning : tid Benevninger for fart kan for eksempel være: Kilometer per time (km/t) Meter per sekund (m/s) Eksempel Jon og Mia skal sykle 54 km på 3 timer.

Farten = 54 km : 3 t = 18 km/t

130

1

2

3

Regn ut en bils fart hvis den tilbakelegger a) 200 km på 4 timer

c) 150 km på 2 timer

b) 400 km på 5 timer

d) 72 km på 3 timer

Regn ut farten din hvis du løper a) 20 m på 5 sekunder

c) 400 m på 80 sekunder

b) 60 m på 10 sekunder

d) 30 m på 4 sekunder

Regn ut farten a) til en snegl som kryper 2 m på 30 minutter b) til en gepard som løper 180 m på 5 sekunder c) til et reinsdyr som løper 10 km på 30 minutter d) til en laks som svømmer 3 km på 10 minutter

4

5

Regn ut farten til et tog som tilbakelegger a) 320 km på 4 timer

c) 60 km på 0,5 timer

b) 650 km på 5 timer

d) 180 km på 1,5 timer

Regn ut farten til et tog som tilbakelegger a) 25 km på ett kvarter

c) 40 km på ett kvarter

b) 75 km på tre kvarter

d) 120 km på tre kvarter

Sammensatte enheter 131

6

Hvilken måleenhet for fart er det naturlig å bruke hvis vi skal måle farten til a) en moped b) et fly c) en rakett som skytes opp i verdensrommet d) en snegl e) et menneske som går

7

Simen gikk 5 km på ski på 20 minutter.

Hvor stor gjennomsnittsfart hadde han?

8

Mia gikk 5 km på ski på 15 minutter.

Hvor stor gjennomsnittsfart hadde hun?

9

To biler, A og B, tilbakelegger 180 km. Bil A bruker 3 timer. Bil B starter én time etter, men begge bilene kommer fram samtidig.

Hvor mye større fart har bil B enn bil A?

132

Vi regner ut strekningen Når vi skal finne hvor lang en strekning er, må vi multiplisere farten med den tiden det tar å tilbakelegge strekningen.

Strekning = fart · tid Eksempel En bil kjøres i 80 km/t i 3 timer.

Strekningen = 80 km/t · 3 t = 240 km

10

Jeg sykler med 20 km/t.

En bil kjøres med gjennomsnittsfarten 60 km/t.

Hvor langt kjøres bilen på a) 1 time b) 4 timer c) 0,5 timer d) 4,5 timer

11

Hvor langt kommer Kaja på a) 1 time b) 0,5 timer c) 2 timer d) 2,5 timer

12

Hvis flyet har en fart på 880 km/t, hvor langt kommer det da på a) 1 time b) 0,5 timer c) 2 timer d) 2,5 timer

Sammensatte enheter 133

13

En traktor kjøres med en gjennomsnittsfart på 32 km/t.

Hvor langt kjøres traktoren på a) 1 time

14

b) 3 timer

c) 1,5 timer

d) 2,5 timer

En gepard løper med en gjennomsnittsfart på 36 m/s.

Hvor langt løper geparden på

15

a) 1 sekund

c) 0,5 sekunder

b) 3 sekunder

d) 3,5 sekunder

En snegl kryper med gjennomsnittsfart på 0,2 m/min.

Hvor langt kryper sneglen på a) 1 minutt b) 5 minutter c) 10 minutter d) 0,5 minutter

16

Hvor langt er det mulig å kjøre på én time med bil hvis farten i gjennomsnitt er a) 80 km/t

17

b) 50 km/t

c) 70 km/t

Hvor langt kommer et tog hvis det har en gjennomsnittsfart på a) 100 km/t og kjører i ett kvarter b) 90 km/t og kjører i tre kvarter c) 120 km/t og kjører i 20 minutter d) 150 km/t og kjører i 20 minutter

134

d) 60 km/t

18

Patrik bestemte seg for å gå 1 km på 5 minutter.

Han gikk med gjennomsnittsfarten 150 m/min. a) Klarte han det? Begrunn svaret.

Han prøvde på nytt, men da løp han med en gjennomsnittsfart på 190 m/min. b) Klarte han det nå? Begrunn svaret.

19

Bil A kjøres med en gjennomsnittsfart på 50 km/t i 3,5 timer. Bil B kjøres med en gjennomsnittsfart på 70 km/t i 2,5 timer.

Hvilken av bilene har tilbakelagt lengst strekning?

Vis utregningene.

Vi regner ut tiden Når vi skal regne ut tiden det tar å forflytte seg, må vi dividere strekningen med farten.

Tid = strekning : fart Eksempel En bil kjører 240 km med en fart på 80 km/t.

Tiden = 240 km : 80 km/t = 3 t

20

Moren til Simen skal kjøre 300 km. Hvor lang tid bruker hun hvis gjennomsnittsfarten er a) 60 km/t b) 30 km/t c) 50 km/t d) 75 km/t

Sammensatte enheter 135

21

Bestefaren til Julie kjører med en gjennomsnittsfart på 30 km/t.

Hvor langt tid bruker han på a) 15 km b) 60 km c) 30 km d) 9 mil

22

Et reinsdyr løper med en gjennomsnittsfart på 800 m/min.

Hvor lang tid bruker reinsdyret på a) 400 m b) 600 m c) 200 m d) 1 km

136

23

En laks svømmer 600 m.

Hvor langt tid bruker den hvis gjennomsnittsfarten er a) 5 m/s

24

b) 2 m/s

c) 4 m/s

d) 6 m/s

Kaja løper hjemmefra til Bestefars hus med en gjennomsnittsfart på 180 m/min. Strekningen er 900 m. a) Hvor lang tid bruker hun?

Kaja løper hjem igjen også. Da løper hun med gjennomsnittsfarten 150 m/min. b) Hvor lang tid bruker hun på begge løpeturene til sammen?

25

Hvor lang tid bruker Patrik på å løpe 180 m hvis han løper med en gjennomsnittsfart på a) 6 m/s b) 5 m/s c) 4 m/s

26

Hvor lang tid bruker en snegl på å krysse en vei som er 15 m bred, hvis den kryper med en hastighet på a) 6 m/t b) 5 m/t c) 3 m/t

Sammensatte enheter 137

?

Vi regner med priser

Hm, hvilken pose lønner det seg å velge …?

Hvilken pose bør Simen velge? Begrunn svaret.

Når vi skal sammenlikne priser for å se hva som lønner seg å kjøpe, må vi regne ut enhetsprisen. Enhetsprisen kan for eksempel være: Kroner Kroner Kroner Kroner

138

per per per per

kilogram (kr/kg) gram (kr/g) liter (kr/liter) meter (kr/m)

Eksempel Pris per kilogram = Det vi må betale : Antall kilogram vi betaler for Prisen per kilogram i pose A: Pris per kilogram = 40 kr : 2,5 kg = 16 kr/kg Prisen per kilogram i pose B: Pris per kilogram = 63 kr : 4,5 kg = 14 kr/kg Det lønner seg å kjøpe pose B.

27

For å kunne avgjøre om en pris er høy eller lav, må vi vite hvor mye vi betaler for!

Vi bruker enheten kr/liter til å beskrive pris per volumenhet. a) Hva betyr 7,85 kr/liter? b) Hvor mye koster 2 liter diesel? c) Faren til Julie fyller 25 liter diesel på bilen.

Hvor mye må han betale? d) Moren til Jon fyller 30 liter blyfri bensin på bilen.

Hvor mye må hun betale?

Sammensatte enheter 139

28

Vi bruker enheten kr/m til å beskrive pris per lengdeenhet. a) Hva betyr 23,80 kr/m?

Julie vil kjøpe pyntebånd til en duk hun holder på med. Hun trenger 6,5 m av en bred type og 10,5 m av en smal type. b) Hvor mye koster 2 m av det brede båndet? c) Hvor mye må Julie betale for det brede båndet? d) Hvor mye må hun betale for det smale båndet? e) Hvor mye må hun betale i alt?

29

Vi bruker enheten kr/m2 til å beskrive pris per arealenhet. a) Hva betyr 45 kr/m2?

Kaja skal legge furuplanker på gulvet i et lite kott på hytta. Kottet er kvadratisk med sider på 1,5 m. b) Hvor mange kvadratmeter er gulvet i kottet? c) Hvor mye koster 2 m2 av furuplankene? d) Hvor mye må Kaja betale for plankene til kottet?

140

30

Vi bruker enheten kr/kg til å beskrive pris per vektenhet. a) Hva betyr 35 kr/kg?

Hvor mye må Patrik betale for

31

b) 0,5 kg nøtter

d) 3 hg nøtter

c) 0,2 kg nøtter

e) 5,5 hg nøtter

a) stor flaske b) liten flaske

32

r/kg 35 k

Hvor mye må Mia betale per liter hvis hun velger å kjøpe brus på

Hm, hvilken lønner det seg å kjøpe …?

Jon bestemmer seg for å kjøpe én pose gule pærer og én pose grønne pærer. a) Hvor mange kilogram pærer kjøper han? b) Hvor mye må han betale? c) Hva blir gjennomsnittsprisen per kilogram for pærene han kjøper?

Sammensatte enheter 141

33

Gruppa til Simen skal kjøpe inn stoff som skal brukes til kulisser i et skuespill. Diagrammet nedenfor viser hva de må betale for ulike lengder av stoffet: Pris (kr) 240 210 180 150 120 90 60 30 2 4 6 8 10 12 14 16

a) Hvor mye koster 4 m av stoffet? b) Hvor mye koster 10 m av stoffet? c) Hvor mye stoff får de for 120 kr? d) Hvor mye koster stoffet per meter? e) Hvor mye stoff får de for 100 kr? f) Hvor mye koster 9 m stoff? g) Vis forskjellige måter som kan brukes for å finne ut hvor mye de må betale for 25 m stoff.

142

Lengde (m)

?

Vi regner med lønn

Jeg tjener 360 000 kroner per år.

Jeg tjener 6000 kroner per måned.

Jeg tjener 80 kroner per time.

Jeg får 200 kroner i ukelønn.

Hvordan kan vi sammenlikne lønningene?

Det er vanligst å oppgi lønn i kroner per time, måned eller år.

For at vi skal kunne sammenlikne lønningene, må vi gjøre om lønningene slik at de får samme enhet, for eksempel: Kroner per år (kr/år)

Kroner per uke (kr/uke)

Kroner per måned (kr/md)

Kroner per time (kr/t)

Sammensatte enheter 143

34

En snekker tjener 360 000 kr på ett år.

Hvor mye tjener han per måned?

35

En frisør tjener 7500 kr per uke.

Han arbeider 7,5 timer 5 dager i uka. a) Hvor mye tjener han per dag? b) Hvor mye tjener han per time?

36

To murere tjente 7500 kr til sammen på en ekstrajobb.

De jobbet 9 timer hver dag i 3 dager. a) Hvor mange timer jobbet de til sammen? b) Hvor mye tjente hver av dem i alt? c) Hvor mye tjente hver av dem per time?

37

Neste sommer skal Simen jobbe tre uker i et gartneri.

Han skal jobbe sju timer seks dager i uka. Lønna er 90 kr per time de fem første ukedagene og 120 kr per time på lørdager.

Hvor mye vil Simen tjene a) på en vanlig ukedag b) på en lørdag c) på en uke d) i alt

144

?

Hvordan skal vi finne ut hvor mye det er i norske kroner?

Valuta Svømmeføttene koster 14 euro.

Hvordan kan vi regne om fra euro til norske kroner?

Alle land har en bestemt myntenhet. I Norge er myntenheten kroner, mens den i England er pund. Mange land i Europa har nå en felles myntenhet som er euro.

Myntenhetens kurs forteller oss i Norge hvor mange norske kroner, NOK, myntenheten er verdt.

1 euro koster 8,89 kr. 14 euro koster 14 · 8,89 kr = 124,46 kr Myntenhet AUD 1 australsk dollar 100 danske kroner 1 euro 100 islandske kroner 1 kanadisk dollar 1 britisk pund 100 sveitsiske franc 100 svenske kroner 1 US-dollar

Kurs 119,32

som betyr 4,61 kr/AUD som betyr 1,1932 kr/DKK

EUR (1€) 8,89 ISK 2,92

som betyr 8,89 kr/EUR som betyr 0,0292 kr/ISK

DKK

4,61

CAD 5,58 GBP (1 £) 11,45 CHF

584,21

SEK 89,01 USD 6,75

som betyr 5,58 kr/CAD som betyr 11,45 kr/GBP

Kursen kan variere fra dag til dag. Til venstre ser du en kurstabell fra 22. oktober 2008.

som betyr 5,8421 kr/CHF som betyr 0,8901 kr/SEK som betyr 6,75 kr/USD

Sammensatte enheter 145

Når du løser oppgavene i dette kapitlet, skal du bruke kursene på forrige side.

38

39

40

Hvor mye koster a) 10 danske kroner

c) 10 svenske kroner

b) 10 sveitsiske franc

d) 10 kanadiske dollar

Hvor mye koster a) 5 euro

c) 15 US-dollar

b) 8 britiske pund

d) 50 australske dollar

På et idrettsstevne kunne deltakerne betale i kiosken med både svenske og norske kroner. Kiosken tok ikke hensyn til de forskjellige kursene. a) En svensk jente kjøpte et blad og betalte 30 svenske kroner.

Hvor mye betalte hun omregnet i norske kroner? b) En svensk gutt kjøpte et badmintonsett for 100 svenske kroner, og en norsk jente et likt sett for 100 norske kroner.

146

Hvor mye mer betalte den norske jenta i norske kroner?

41

Simen var på ferie på Island. For frokost på hotellet betalte han 1000 islandske kroner.

Senere på dagen kjøpte han et kakestykke som kostet 350 islandske kroner og et glass saft som kostet 600 islandske kroner. a) Hvor mye kostet frokosten i norske kroner? b) Hvor mye kostet saft og kake til sammen i norske kroner?

42

Hvor mye får du hvis du veksler 100 norske kroner i a) svenske kroner b) britiske pund c) sveitsiske franc d) US-dollar

43

Patrik var en tur i Sverige. I en forretning så han på en cd som kostet 180 svenske kroner. Han hadde sett den samme cd-en i Norge til 159 norske kroner.

Hvor var cd-en billigst?

Klart for felles problemløsing!

12.1

44

Klipp ut kortene på arbeidsarket.

Gå sammen i grupper og fordel kortene.

Finn løsningen sammen.

Sammensatte enheter 147

Kan jeg?

Oppgave 1 Hvor stor fart har et tog som tilbakelegger a) 176 km på 2 timer b) 80 km på 0,5 timer 1 c) 220 km på 2 time 2

Oppgave 2 Simen sykler med en gjennomsnittsfart på 24 km/t.

Hvor langt kommer han på a) 1 time

b) 0,5 timer

c) 3 timer

d) 2,5 timer

Oppgave 3 En mopedist kjører med en gjennomsnittsfart på 40 km/t.

Hvor lang tid bruker han på a) 20 km

c) 60 km

b) 40 km

d) 80 km

Oppgave 4 Julie løper med en gjennomsnittsfart på 8 km i timen. Hvor lang tid bruker hun på søndagsturen, som er 2 mil, hvis hun holder den samme farten hele tiden?

Oppgave 5 Prisen på lister er 44 kr/m.

Kaja kjøper lister og betaler 66 kr. a) Hvor mye kjøper hun?

Simen kjøper 3,5 m av de samme listene. b) Hvor mye betaler han?

148

Oppgave 6 Hva blir lønna til en person som tjener a) 600 kr på 5 timer b) 75 000 kr på 3 måneder

Oppgave 7 Hvordan vil du oppgi prisen hvis a) 1,2 kg fisk koster 90 kr 1 b) liter melk koster 6,20 kr 2 c) 12 skruer koster 36 kr

Oppgave 8 Se på valutatabellen på side 145. Hva må du betale for a) 120 svenske kroner b) 15 US-dollar c) 20 danske kroner

Oppgave 9 Se på valutatabellen på side 145. a) Hvor mange euro får du for 308 kr? b) Hvor mange britiske pund får du for 600 kr? c) Hvor mange danske kroner får du for 600 kr?

Oppgave 10 Sant eller usant? a) Det er 60 minutter i en time. b) Det er 100 minutter i en time. c) 75 km/t betyr at distansen 75 km blir tilbakelagt på 1 time. d) Hvis gjennomsnittsfarten er 75 km/t, blir distansen 150 km tilbakelagt på 1,5 timer. e) Med en eurokurs på 8,70 må du betale 870 kr for 10 euro. f) Hvis kursen på danske kroner er 120, betyr det at 100 danske kroner er like mye verdt som 120 norske kroner.

Sammensatte enheter 149

Jeg regner mer 45

Familien til Simen dro på biltur. Da de kom til ei ferge, hadde de kjørt 231 km og brukt 3 timer.

Hvor stor var gjennomsnittsfarten?

46

Kaja er med på et sykkelritt.

Hun sykler 54 km på 3 timer.

Hvor stor er gjennomsnittsfarten?

47

En snegl kryper 4 m på 30 minutter.

Hvor stor er gjennomsnittsfarten?

48

Julie besøker Mia. Hun går med en gjennomsnittsfart på 4 km/t og bruker 1,5 timer.

Hvor mange kilometer er turen?

49

Jon besøker Simen. Han går med en gjennomsnittsfart på 5 km/t og bruker 0,5 timer.

Hvor mange kilometer er turen?

50

Hvor langt kommer et tog på 2,5 timer hvis det har en gjennomsnittsfart på 140 km/t?

51

Hvor lang tid bruker et tog som holder en gjennomsnittsfart på 110 km/t på a) 66 mil

150

b) 55 km

c) 27,5 km

52

Mia jogger med en gjennomsnittsfart på 0,2 km/min.

Hvor lang tid bruker hun på a) 0,4 km

53

b) 1 km

c) 5 km

d) 1 mil

Kaja kjøper 4 kg appelsiner til 9,90 kr/kg. a) Hvor mye koster 4 kg appelsiner? b) Hvor mye får hun igjen på en 200-kroneseddel?

54

Julie kjøper en stor drueklase. Den koster 45 kr.

Hvor mye druer får hun når prisen er 18,90 kr/kg?

55

Broren til Patrik tjener 120 kr per time. Han arbeider 6 timer per dag 5 dager i uka.

Han skal ha 20 arbeidsdager per måned og 12 arbeidsmåneder per år.

Hvor mye tjener han

56

a) per dag

c) per måned

b) per uke

d) per år

Se på valutatabellen på side 147.

Hvor mye må du betale for

57

a) 100 svenske kroner

c) 100 sveitsiske franc

b) 100 britiske pund

d) 100 US-dollar

Se på valutatabellen på side 147.

Hvor mye må du betale for a) 20 svenske kroner b) 20 britiske pund c) 20 sveitsiske franc d) 20 US-dollar

Sammensatte enheter 151

58

Hver uke reiser familien til Jon til Bestemor i Fuglevik.

Avstanden er 120 km.

Under ser du hvor lang tid de har brukt på de siste turene.

Skriv av tabellen, regn ut gjennomsnittsfarten for hver tur, og skriv inn i tabellen.

59

Tur

Tid (antall timer)

1

2

2

3

3

4

4

1,5

5

2,4

Gjennomsnittsfart

Patrik og Simen drar på en lang sykkeltur. De skal først sykle en strekning på 36 km og beregner å bruke 3 timer på dette. a) Hvor stor gjennomsnittsfart må de holde? b) Hvor lang tid vil de bruke på den andre delen av turen hvis de klarer å holde samme fart i 18 km til?

Den tredje delen av turen er 12 km nedoverbakke. c) Hvor lang tid vil de bruke på den tredje delen hvis de sykler dobbelt så fort som tidligere?

De har satt av 2,5 timer til pauser. d) Hvor lang tid tar hele turen? e) Hvor stor blir gjennomsnittsfarten hvis de regner med pausene?

152

60

Det tar 40 minutter å fly fra Trondheim til Oslo hvis flyet holder en gjennomsnittsfart på 750 km/t.

Hvor lang er flyruta?

61

Moren til Jon har funnet ut at hun bruker 4,2 liter bensin på 5 mil når hun kjører langs landeveien. a) Hvor mye bensin bruker hun på 1 mil?

En dag er Jon og moren hans på kjøretur i byen.

De bruker 2,7 liter bensin på 2 mil. b) Hvor mye bensin blir dette per mil? c) Hvorfor tror du bilen bruker mer bensin på kjøring i byen enn på landeveien?

62

En dag løp Julie 400-meteren og fant ut at hun hadde holdt en fart på 8 m per sekund. a) Hvilken tid fikk hun? b) Hvis hun hadde klart å løpe like fort én runde til, hvilken tid ville hun da fått på 800 m?

63

Lysets hastighet er 300 000 km/s. Fra jorda til månen er det 384 000 km. a) Hvor lang tid bruker lyset fra månen til jorda? b) Hvor langt går lyset på ett minutt? c) Skriv opp det regnestykket du må utføre for å finne ut hvor langt lyset går på ett år.

Den strekningen lyset går på ett år, kaller vi et lysår. d) I hvilke sammenhenger tror du vi bruker måleenheten lysår?

Sammensatte enheter 153

64

Lyden beveger seg med en fart på 330 m/s. Simen ser at Bestefar slår med hammeren mot en ambolt. Han merker seg at han hører lyden av slagene litt etter at hammeren treffer bolten. Han tar tiden og ser at det tar ca. 0,5 sekunder fra slaget faller til han hører lyden. a) Er det lyden eller lyset som går raskest? b) Hvor langt står Simen fra bestefaren? c) Forklar hvordan du kan bruke dette til å finne ut hvor langt unna et tordenvær er når du ser lynet.

65

I en kiosk koster 1 hg smågodt 14,50 kr. a) Lag en tabell, og fyll inn hvor mye det koster for 2 hg, 3 hg, 4 hg og 5 hg smågodt. b) Hvor mye koster 1 kg smågodt?

Jon har lagd et diagram som viser prisen på smågodt i en annen kiosk. Her ser du diagrammet: Pris (kr) 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6 7 8

Mengde (hg)

c) Hvor mye koster 1 hg smågodt i denne kiosken? d) Hvor mye må Jon betale hvis han kjøper 5 hg smågodt?

154

66

Simen selger billetter til en skolekonsert. Han setter opp tabeller over hvor mye voksne og barn skal betale i inngangspenger: Barn: Antall

1

2

Kroner

3

4

5

6

4

5

6

150

Voksne: Antall

1

Kroner

90

2

3

a) Tegn av, og fyll ut tabellene. b) En familie kjøper billetter til to voksne og fire barn.

Hvor mye må de betale? c) En annen familie kjøper billetter til tre voksne og seks barn.

Hvor mye må de betale?

I alt kommer det 1500 mennesker på konserten, og av disse er 450 barn. d) Hvor store blir inntektene av billettsalget?

Sammensatte enheter 155

67

Julie skal arbeide tre uker i sommerferien. Hun søker på to jobber.

I den ene jobben skal hun arbeide 5 dager per uke, i den andre 6 dager per uke.

SOMMERVIKAR SNARMAT

3 uker 5 dager per uke 7 timer per dag Total lønn 8925 kr

SOMMERVIKAR MAX MAT 3 uker 6 dager per uke 5 timer per dag Timelønn 95 kr

a) Hvilken av arbeidsplassene har høyest timelønn? b) I hvilken av butikkene vil Julie tjene mest i løpet av de tre ukene?

68

Jon kjøpte 120 euro til en kurs på 8,89 kr. a) Hvor mye betalte han i norske kroner?

Han brukte 43 euro på en reise med familien til Hellas.

Da han kom hjem, vekslet han resten tilbake til norske kroner til samme kurs. b) Hvor mye fikk han tilbake i norske kroner?

156

69

Se på valutatabellen på side 145.

Før Julie dro på bilferie til England med familien sin, kjøpte hun 100 euro og 500 svenske kroner. Underveis til England brukte hun 60 euro og 140 svenske kroner. Da de kom til England, vekslet hun det hun hadde igjen, i britiske pund.

Hvor mange britiske pund fikk hun?

70

Se på valutatabellen på side 145. a) Hvor mange australske dollar får du for 1000 norske kroner? b) Hvor mange islandske kroner får du for 2000 norske kroner? c) Hvor mange britiske pund får du for 1500 norske kroner?

Sammensatte enheter 157

Oppsummering Fart Vi finner farten ved å dividere strekningen med den tiden det tar å tilbakelegge strekningen.

Fart = strekning : tid Benevninger for fart kan for eksempel være: Kilometer per time (km/time) Meter per sekund (m/s) Meter per minutt (m/min) Eksempel Farten = 54 km : 3 t = 18 km/t

Strekning Vi finner strekningen ved å multiplisere farten med den tiden det tar å tilbakelegge strekningen.

Strekning = fart · tid Benevninger for strekning kan for eksempel være: Kilometer (km) Meter (m) Centimeter (cm) Eksempel Strekningen = 80 km/t · 3 t = 240 km

158

Tid Vi finner tiden ved å dividere strekningen med farten.

Tid = strekning : fart Benevninger for tid kan for eksempel være: Timer (t)

Minutter (min)

Sekunder (sek)

Eksempel Tiden = 240 km : 80 km/t = 3 t

Priser Når vi skal sammenlikne priser, må vi regne ut enhetsprisen.

Enhetsprisen kan for eksempel være: Kroner per kilogram (kr/kg) Kroner per liter (kr/liter) Eksempel 2,5 kg epler koster 40 kr.

Prisen per kilogram for epler = 40 kr : 2,5 kg = 16 kr/kg

Valuta Alle land har en bestemt myntenhet. I Norge er myntenheten kroner, mens den for eksempel i England er pund. Mange land i Europa har nå en felles myntenhet som er euro.

Myntenhetens verdi angis i kurs, som forteller oss i Norge hvor mange norske kroner vi må betale for den.

Eksempel Hvis eurokursen er 8,89 betyr det at 1 euro er verdt 8,89 norske kroner.

Hvis kursen på danske kroner er 119,32, betyr det at 100 danske kroner er verdt 119,32 norske kroner.

1 dansk krone blir da verdt 1,1932 norske kroner.

Sammensatte enheter 159

90 % av isfjellet ligger under vann.

Hvordan kan du skrive det med desimaltall?

160

Hm, hva må jeg betale da?

13 Prosent og desimaltall MÅL I dette kapitlet vil vi arbeide med

• prosentbegrepet • brøk og prosent • prosentvis forandring Arbeidsark 13.1

Felles problemløsing

Prosent og desimaltall 161

?

Prosentbegrepet Neste uke øker prisen med 10 %!

Hm, da kommer de til å koste …

Med hvor mye vil prisen på skiene øke?

Hva blir den nye prisen?

Prosent betyr «én av hundre», det vil si at én prosent er en hundredel.

For å finne én prosent av noe, deler vi det hele på 100.

Eksempel Et par ski koster 1000 kr.

1 % av 1000 kr finner vi slik: 1000 kr : 100 = 10 kr Når prisen skal gå opp med 20 %, vil den øke med: 20 · 10 kr = 200 kr Den nye prisen blir da 1000 kr + 200 kr = 1200 kr.

162

1

2

3

4

5

6

7

8

Hvor mye er 1 % av a) 300 kr

c) 500 kr

e) 2400 kr

b) 100 kr

d) 1000 kr

f) 236 kr

a) 300 kr

c) 500 kr

e) 2400 kr

b) 100 kr

d) 1000 kr

f) 236 kr

a) 300 kr

c) 500 kr

e) 2400 kr

b) 100 kr

d) 1000 kr

f) 236 kr

a) 150 kg

c) 70 kg

e) 473 kg

b) 230 kg

d) 1050 kg

f) 24,50 kg

a) 150 kg

c) 70 kg

e) 473 kg

b) 230 kg

d) 1050 kg

f) 24,50 kg

a) 150 kg

c) 70 kg

e) 473 kg

b) 230 kg

d) 1050 kg

f) 24,50 kg

Hvor mye er 10 % av

Hvor mye er 50 % av

Hvor mye er 1 % av

Hvor mye er 10 % av

Hvor mye er 50 % av

Hvor mye er a) 15 % av 300 kr

c) 72 % av 300 kr

b) 22 % av 300 kr

d) 99 % av 300 kr

Hvor mye er a) 1 % av 1000 kr

c) 101 % av 1000 kr

b) 100 % av 1000 kr

d) 200 % av 1000 kr

Prosent og desimaltall 163

9

Kaja skal kjøpe en sykkel som før har kostet 4000 kr.

Den er nå satt ned med 20 %. a) Hvor stort er avslaget i kroner? b) Hvor mye må Kaja betale for sykkelen?

Kaja kjøper også et dekk som før har kostet 260 kr.

Prisen på dekket er satt ned med 10 %. c) Hvor mye må Kaja betale for dekket?

10

Julie skal kjøpe ei bukse som før kostet 600 kr. Hun får 40 % i avslag. a) Hvor mange kroner får hun i avslag? b) Hvor mye må hun betale for buksa? c) Hvor mange prosent av den gamle prisen må hun betale?

11

Familien til Jon reiste på ferie til Danmark. De brukte 20 000 kr på ferien. Her ser du hvor mange prosent av denne summen de brukte til ulike formål: Overnatting

25 %

Reise

24 %

Mat

18 %

Opplevelser

33 %

Hvor mange kroner brukte de til hvert formål? a) Overnatting b) Reise c) Mat d) Opplevelser

164

?

Brøk og prosent 15 elever liker musikk best.

Det er 40 elever i alt.

Hvor mange prosent av elevene liker musikk best?

Vi kan gjøre om en brøk til prosent ved å dividere telleren med nevneren. Antall hundredeler vi får er det samme som antall prosent.

15 40 = 0,375 37,5 0,375 = 100 = 37,5 %

Jeg kan bruke kalkulator når jeg dividerer telleren med nevneren her.

Hvis nevneren i en brøk kan utvides til hundredeler, kan vi lett gjøre om til prosent slik: 3 30 3 · 10 = = = 30 % 10 10 · 10 100 2 2 · 20 40 = = = 40 % 5 5 · 20 100

Prosent og desimaltall 165

12

Hvor mange prosent er 1 a) 4

13

1 b) 8

5 c) 8

2 d) 7

Hvor mange prosent av figurene er fargelagt? a)

b)

c)

d)

14

Hvor mange prosent er a) 3 av 12

15

b) 6 av 7

c) 4 av 11

d) 8 av 17

a) Lag figurer og fargelegg brøkdelene.

2 A: 5

B: 1 4

7 C: 8

D: 3 8

b) Hvor mange prosent av hver figur er fargelagt? c) Hvor mange prosent av hver figur er ikke fargelagt?

166

16

a) Tegn tre like rektangler. Fargelegg 10 % av det første, 20 % av det andre og 70 % av det tredje. b) Hvor mange prosent av hvert rektangel er ikke fargelagt?

17

Hvor mange prosent er a) 100 kr av en pris på 300 kr b) 4 kg av en sekk på 50 kg c) 3 liter av en blanding på 7 liter d) 24 elever av en gruppe på 30 elever

18

Simen har 200 kr. Han bruker 60 kr til en ny T-skjorte. a) Hvor mange prosent av pengene bruker han? b) Hvor mange prosent av pengene har han igjen?

19

Kaja kjøpte matvarer for 320 kr.

Hun kjøpte kjøtt for 130 kr, brødvarer for 40 kr, frukt for 90 kr og pålegg for 60 kr.

Hvor mange prosent av pengene brukte hun på a) kjøtt b) brødvarer c) frukt d) pålegg

20

Jon er med på en triatlonkonkurranse. Han svømmer 800 m, sykler 3 mil og løper 12 km. a) Hvor mange kilometer var hele konkurransen?

Hvor mange prosent av konkurransen utgjorde b) svømmeetappen c) sykkeletappen d) løpeetappen

Prosent og desimaltall 167

Prosentvis forandring

?

Skoene har gått opp fra 500 kr til 600 kr!

Med hvor mange prosent har prisen på skoene økt?

Når vi skal regne ut hvor stor en forandring er i prosent, må vi først finne selve forandringen.

Eksempel Selve forandringen er her: 600 kr – 500 kr = 100 kr Så dividerer vi forandringen med den opprinnelige verdien: 100 kr 20 = 0,20 = = 20 % 500 kr 100 Skoene har gått opp med 20 %.

21

En genser koster 200 kr. Hvor mange prosent er prisstigningen hvis prisen stiger med a) 100 kr

168

b) 50 kr

c) 2 kr

d) 200 kr

22

Simen tjener 50 kr per time for å passe søsteren sin.

Nå skal lønna øke til 60 kr per time. a) Hvor stor blir lønnsøkningen i kroner? b) Hvor mange prosent stiger lønna med?

23

Patrik vil kjøpe et dataspill på Internett for 350 kr.

I butikken koster spillet 400 kr. a) Hvor mange kroner sparer Patrik på å kjøpe spillet på Internett? b) Hvor mange prosent billigere er det å kjøpe spillet på Internett enn i butikken?

24

Kaja vil kjøpe et par fotballsko til 450 kr. Det er 112,5 % av prisen Patrik har betalt for de samme skoene. a) Med hvor mange prosent har prisen på skoene økt? b) Hvor mye betalte Patrik for skoene?

25

En bok er satt ned fra 300 kr til 60 kr. a) Hvor mange prosent utgjør den nye prisen av den gamle prisen? b) Hvor mange prosent utgjør prisavslaget?

13.1

26

Klart for felles problemløsing!

Klipp ut kortene på arbeidsarket.

Gå sammen i grupper og fordel kortene.

Finn løsningen sammen.

Prosent og desimaltall 169

Kan jeg?

Oppgave 1 Hvor mye er 1 % av a) 600 kr

b) 4000 kg

c) 30 liter

b) 4000 kg

c) 30 liter

b) 50 liter

c) 130 kg

Oppgave 2 Hvor mye er 15 % av a) 600 kr

Oppgave 3 Hvor mye er 22 % av a) 400 kr

Oppgave 4 Hvor mange prosent tilsvarer 1 a) 2

1 b) 5

1 c) 4

3 d) 4

Oppgave 5 Gjør om til prosent. Oppgi svaret med Ên desimal.

1 a) 3

3 b) 8

Oppgave 6 Hvor mange prosent er a) 5 av 9 b) 12 kr av 25 kr c) 130 liter av 200 liter

170

5 c) 6

d) 1 7

Oppgave 7 Julie vil kjøpe ei bukse som koster 500 kr. Prisen blir satt ned med 50 kr.

Til 50 bu 0 d: k –5 r 0 kr

Med hvor mange prosent blir prisen satt ned?

Oppgave 8 Prisen på en bok gikk ned fra 240 kr til 180 kr. a) Hvor mange kroner gikk prisen ned? b) Med hvor mange prosent gikk prisen ned?

Oppgave 9 Sant eller usant? a) Én prosent er det samme som én hundredel. b) 10 % av 200 kr er 10 kr. c) En hel = 100 % 1 = 25 % 4 e) Når prisen øker fra 400 kr til 440 kr, øker den med 10 %. d)

f) Når prisen øker fra 50 kr til 100 kr, øker den med 50 %. g) Når prisen øker fra 50 kr til 100 kr, øker den med 100 %.

Prosent og desimaltall 171

Jeg regner mer 27

Hvor mye er 1 % av a) 400 kr b) 250 kr c) 1100 kg d) 430 m

28

Hvor mye er 5 % av a) 400 kr b) 250 kr c) 1100 kg d) 430 m

29

Regn ut. a) 12 % av 500 kr b) 99 % av 400 kr c) 45 % av 1000 kr d) 8 % av 600 kr

30

Jon spilte to håndballkamper.

I den første kampen scoret han 6 mål og i den andre kampen 9 mål.

Hvor mange prosent flere mål scoret han i den andre kampen?

31

172

Moren til Simen tjener 140 kr per time. Hva vil hun tjene per time hvis lønna øker med 5 %?

32

Broren til Mia leier en hybel for 3000 kr per måned.

Husleia går opp med 15 %. a) Med hvor mange kroner vil husleia stige? b) Hva blir den nye husleia?

33

Julie vil kjøpe en vinterjakke som koster 320 kr. Hun får 20 % avslag. a) Hvor mange kroner er avslaget? b) Hva må Julie betale for jakka?

34

Patrik vil kjøpe en genser på salg for 250 kr.

Genseren har kostet 400 kr. a) Hvor mange kroner er avslaget? b) Hvor mange prosent er avslaget?

35

Kaja får 50 kr per time for å sitte barnevakt.

Hvor mange prosent er lønnsøkningen hvis lønna øker til 70 kr per time?

Prosent og desimaltall 173

36

Hvor mye er a) 1 % av 50 kr b) 1 % av 100 000 kr c) 1 % av 1 kr

37

Hvor mye er a) 50 % av 50 kr b) 200 % av 50 kr c) 1000 % av 50 kr

38

Familien til Simen skal bestille en båtreise som koster 800 kr.

Hva blir den nye prisen hvis prisen stiger med a) 20 % b) 1 % c) 100 % d) 200 %

39

174

Hvor mange prosent er a) 2 10

b) 1 3

40

1 a) 5

b)

41

a) 1

b) 3

2 5

c) 4 5

c)

1 6

c) 1

1 2

d) 7 13

d)

1 8

d) 3

1 4

42

I gruppa til Kaja er det 12 gutter og 15 jenter.

Av disse spiller 3 gutter og 5 jenter i skolekorpset. a) Hvor mange prosent av guttene spiller i korpset? b) Hvor mange prosent av jentene spiller i korpset? c) Hvor stor prosent av alle elevene spiller i korpset?

43

En enkeltbillett på bussen koster 15 kr.

Hvis du kjøper et klippekort med 10 klipp, blir hver tur 30 % billigere. a) Hvor mye koster 10 bussturer med enkeltbillett? b) Hvor mye billigere er 10 bussturer med klippekort? c) Hvor mye koster et klippekort? d) Hvor mange prosent av prisen for 10 enkeltbilletter utgjør prisen på klippekort?

44

Julie skal bestille en pizza.

Hun kan velge mellom disse pizzaene: Pizza A: 80 kr Pizza B: 100 kr Pizza C: 120 kr Hvor mange prosent mer koster a) pizza B enn pizza A b) pizza C enn pizza B c) pizza C enn pizza A

45

En LCD-tv koster 6000 kr. Prisen blir satt ned med 15 %. a) Med hvor mange kroner blir prisen satt ned? b) Hva blir den nye prisen?

46

Et månedskort på bussen koster 450 kr.

Prisen blir satt opp med 12 %.

Hva blir den nye prisen?

Prosent og desimaltall 175

Oppsummering Prosentbegrepet Én prosent er det samme som én hundredel.

1 % = 1 = 0,01 100 Prosent kommer av det latinske uttrykket «pro cent», som betyr «av hundre».

For å finne én prosent av noe, deler vi det hele med 100.

Eksempel 1 % av 450 kr = 450 kr : 100 = 4,50 kr 10 % av 450 kr blir da 10 · 4,50 kr = 45 kr

Brøk og prosent Vi kan gjøre om fra brøk til prosent på minst to måter.

Hvis brøken har en nevner som er slik at brøken kan utvides til hundredeler, kan vi finne prosenten direkte: Eksempel 7 7·5 35 = = = 35 % 20 20 · 5 100 Uavhengig av hvilken nevner brøken har, kan vi også dele telleren på nevneren. Vi finner prosenttallet som antall hundredeler.

Eksempel 7 = 7 : 20 = 0,35 = 35 % (trettifem hundredeler) 20 9 = 1,125 = 112,5 % 8

176

Prosentvis forandring Når vi skal finne prosentvis forandring, dividerer vi forandringen med den opprinnelige verdien.

Eksempel Prisen på en fotball øker fra 120 kr til 140 kr.

Prisøkningen i kroner: 140 kr – 120 kr = 20 kr Prisøkningen i prosent: 20 = 0,1666 ≈ 16,7 % 120

Den prostentvise forandringen kan noen ganger være over 100 %.

Prosent og desimaltall 177

Du kan bruke et regneark til å regne ut hvor mye det koster å ha et kjæledyr. Hva er egentlig et regneark?

178

14

Vi starter med blanke regneark!

Regneark MÅL I dette kapitlet vil vi arbeide med

• hva et regneark er • hvordan du kan gjøre enkle utregninger i et regneark • hvordan du kan redusere antall desimaler i et tall • budsjett og regnskap • hvordan du kan summere innholdet i celler

Regneark 179

?

Hva er et regneark?

Jeg vil lære å bruke formler!

Det er lett å summere mange tall i regnearket!

Hva kan vi bruke et regneark til?

Et regneark er et program som kan brukes til å lage oversiktlige oppsett, for eksempel for regnskap og budsjett. Vi kan også bruke det til avanserte matematiske beregninger og til å lage diagrammer.

Siden mange i dag bruker Microsoft Excel, har vi valgt å bruke dette programmet i Tusen millioner.

Skjermbildet av et regneark kan se slik ut:

rad formellinje kolonne

180

celle

Regnearket er delt i et rutenett av loddrette kolonner og horisontale rader. Over hver kolonne står det en bokstav og foran hver rad et tall. Hver rute i regnearket kalles en celle.

Over rutenettet ligger en linje om viser innholdet til en avmerket celle. Denne linja kalles formellinje.

I regnearket kan vi skrive tekst, tall eller regnearkformler. Når vi vil skrive i en celle, setter vi musepekeren i denne cellen og venstreklikker. Da markerer vi cellen.

Her ser du de viktigste regnetegnene vi bruker i et regneark: Addisjon + Subtraksjon – Multiplikasjon Divisjon / Når vi vil at regnearket skal gjøre en utregning, skriver vi en formel, det vil si at vi lager en slags kommando. Vi starter alltid en formel med å skrive et likhetstegn først.

Eksempel Hvis vi skal addere tallene 12 og 14, kan vi skrive tallet 12 i celle B2, og tallet 14 i celle B3. Så skriver vi formelen =B2+B3 i celle B4. Når vi nå trykker på linjeskifttasten, vises summen i celle B4.

Regneark 181

Utfør regnestykkene i et regneark.

1

a) 12 + 14 =

b) 26 + 85 =

2

a) 23 – 17 =

b) 134 – 46 =

3

a) 9 · 12 =

b) 36 · 43 =

4

a) 144 : 8 =

b) 238 : 34 =

Husk å skrive likhetstegnet foran formlene og bruke riktig regnetegn!

Justere antallet desimaler Vi kan velge hvor mange desimaler regnearket skal vise i hver celle.

Oppsettet nedenfor viser hvor mye 4 brød til 13,65 kr per stykk koster til sammen.

Vi ser at regnearket oppgir summen 54,60 kr som 54,6. Hvis vi ønsker å ha med to desimaler i summen, som er vanlig når vi regner ,0 med penger, trykker vi på knappen ,00 . For hver gang vi trykker på denne tasten, legges det til én desimal.

På samme måte kan vi trykke på knappen desimaler.

182

,00 ,0

når vi ønsker færre

5

1 kg pærer koster 13,45 kr. Lag en oppstilling i et regneark som viser hvor mye 3 kg pærer koster. Juster svaret til to desimaler.

6

En pose med fire epler koster 12,65 kr. Lag en oppstilling i et regneark som viser hvor mye ett eple koster. Juster svaret til to desimaler.

7

Skriv inn tallene nedenfor i et regneark.

Bruk knappene

,0 ,00

eller

,00 ,0

slik at tallene får to desimaler.

a) 2,1

c) 24

e) 100

b) 13,475

d) 200,1275

f) 3,178555

Budsjett og regnskap Vi kan bruke et regneark til å sette opp budsjett og regnskap.

Regnearket gjør alle utregningene for oss.

Eksempel Du skal arrangere en fest og vil kjøpe inn varene nedenfor.

8 flasker brus til 18,50 kr per stykk 12 pizzaer til 21,50 kr per stykk 2 pakker servietter til 13,80 kr per stykk 4 lys til 14,50 kr per stykk Først lager du en oppstilling i et regneark som viser hvor mye varene koster i alt.

Du bestemmer at det skal være én kolonne for vare, én kolonne for antall, én kolonne for pris og én kolonne for sum per vare. Så legger du inn overskriftene i regnearket og skriver navnet på varene, antallet varer og hva varene koster.

Regneark 183

Du skal nå regne ut summen per vare og starter med brusen.

Når du skriver =B2 C2 i celle D2 og trykker på linjeskifttasten, regner programmet ut summen.

Brusen koster 148 kr i alt.

For å regne ut summen av de andre varene, klikker du i celle D2 og plasserer markøren på den lille firkanten i nederste høyre hjørne slik at denne forandres til et kryss. Hold så venstre museknapp inne og trekk krysset nedover til alle cellene fra D2 til D5 er merket. Når du slipper museknappen, har regnearket regnet ut summen for hver enkelt vare.

Nå skal du legge sammen prisene for alle varene. Det gjør du ved å merke alle cellene som skal legges sammen, pluss en ekstra celle. Trykk på , og summen vises i den ekstra cellen.

Det går også an å klikke på celle D6 og skrive formelen =SUMMER(D2:D5) direkte i cellen.

184

Summen vises i celle D6!

En av de største Fordelene med regneark er at det er lett å gjøre forandringer.

Tenk deg at du vil kjøpe inn 6 flasker brus i stedet for 8. Du kan da forandre tallet i celle B2 fra 8 til 6 ved å dobbeltklikke i celle B2 og forandre tallet til 6.

Når du gjør forandringen og trykker linjeskifttasten, ser du at flere av tallene i oppsettet ditt forandres. Disse tallene er merket med rødt under.

Når vi gjør en forandring i oppsettet, vil programmet automatisk forandre informasjonen i de andre cellene som henger sammen med den cellen der vi gjorde forandringen. Vi ser at programmet sparer oss for mye arbeid.

Regneark 185

8

Julie skal handle mat.

På lappen hennes står følgende: 2 3 1 1 2 1

brød til 8,90 kr per stykk liter melk til 9,40 kr per liter boks leverpostei til 11,60 kr pakke ris til 22,80 kr kyllinger til 29,90 kr per stykk pakke saus til 6,90 kr

a) Før opp varene med priser i et regneark. b) Skriv inn en formel for hvor mye brødene koster til sammen. c) Kopier formelen over til de andre varene på denne måten: Plasser markøren på den lille firkanten i nederste høyre hjørne av cellen som viser hvor mye brødene koster til sammen.

Firkanten gjøres om til et kryss. Hold venstre museknapp inne og trekk krysset nedover til alle cellene er merket. Når du slipper museknappen, har programmet regnet ut summen for de andre varene. d) Varene Julie vil kjøpe, koster i alt 147,50 kr, men hun har bare med seg 120 kr. Forandre på antall varer slik at summen ikke blir høyere enn 120 kr. Ser du at summen endrer seg?

186

9

Patrik ønsker høyere ukelønn og må gjøre mer husarbeid.

Han har laget en oppstilling i et regneark som viser regnskapet for husarbeid i én uke:

a) Lag en tilsvarende oppstilling i et regneark. b) Du ønsker nå at regnearket skal regne ut lønna for en hel uke automatisk.

Forklar hva som skjer hvis du trykker på eller skriver inn formelen =SUMMER(B2:B8) i celle B9.

10

Forsøk nå å endre beløpene Patrik har tjent hver dag i oppgave 9, slik at totalsummen blir a) 40 kr

b) 27 kr

c) 36 kr

d) 54 kr

Regneark 187

11

Sett opp en arbeidsplan over husarbeid for en uke, og lag en oppstilling i et regneark som viser hvor mye du tjener i alt.

12

Du skal arrangere et bursdagsselskap og kjøper inn disse varene: 5 kg pølser til 56,50 kr per kg 15 kroneis til 12,50 kr per stykk 4 liter saft til 20,60 kr per liter a) Lag en oppstilling i et regneark som viser summen for hver enkelt vare og hvor mye varene koster til sammen. b) Endre antall kroneis til 20 og antall liter saft til 5.

Hvor mye koster varene i alt nå?

13

Li skole skal kjøpe inn følgende varer: 5 matematikkbøker til 250 kr per stykk 250 skrivebøker til 6,50 kr per stykk 8 håndballer til 380 kr per stykk 4 pulter til 920 kr per stykk Lag en oppstilling i et regneark som viser summen for hver enkelt vare og hvor mye skolen må betale i alt.

14

Simen skal handle følgende varer i bokhandelen: 2 3 1 1 2 1

tegneblokker til 15,90 kr per stykk tusjer til 12,50 kr per stykk blyantspisser til 13,90 kr kladdebok til 16,80 kr pennal til 39,90 kr per stykk linjal til 11,90 kr

Lag en oppstilling i et regneark som viser summen for hver enkelt vare og hvor mye Simen må betale i alt.

188

15

Lag en oppstilling i et regneark med seks ulike varer du vil kjøpe.

Skriv inn hvor mange du vil kjøpe av hver vare, og finn ut hvor mye varene koster til sammen.

16

Julie setter opp et regnskap i et regneark. Regnskapet viser hvilke aktiviteter og innkjøp hun planlegger i neste uke.

a) Skriv det samme regnskapet inn i et regneark. b) Hvilken formel må stå i celle D9 for at regnearket skal regne ut summen av utgiftene automatisk?

17

Du skal endre på utgiftene til Julie i oppgave 16 slik at de til ­sammen ikke blir høyere enn a) 30 kr b) 40 kr c) 50 kr

18

a) Sett opp et regnskap i et regneark over hvilke utgifter du regner med å få i neste uke. vis summen av utgiftene blir for høy, må du endre på de enkelte H utgiftene. b) Beskriv hvordan du gjør dette i et regneark.

Regneark 189

Å lage diagrammer Hvis vi skriver inn resultatene fra en undersøkelse i et regneark, kan vi lage diagrammer som viser resultatet av undersøkelsen.

Eksempel Kaja har undersøkt hvilke fritidsaktiviteter elevene i gruppa hennes liker best. Nedenfor ser du resultatet av undersøkelsen.

Nå ønsker hun å lage et diagram som viser resultatet av undersøkelsen.

Hun merker da hele tabellen og klikker på det diagrammet hun ønsker.

Hvis hun trykker på stolpediagram, får hun dette diagrammet:

190

Hvis hun klikker på sektordiagram, får hun dette diagrammet:

19

Jon har undersøkt hvordan elevene i gruppa hans kommer til skolen.

Her ser du resultatet av undersøkelsen: Til skolen

Antall elever

Går

15

Sykler

4

Tar bussen

5

Blir kjørt

2

Lagre diagrammene, og skriv dem ut på en skriver.

a) Lag en oppstilling av resultatet i et regneark. b) Lag et stolpediagram. c) Lag et sektordiagram.

Regneark 191

20

Kaja har undersøkt hvor mange av elevene i gruppa hennes som har vært i disse fem landene: Land

Antall elever

England

5

Tyskland

4

Frankrike

5

Spania

6

Italia

7

a) Lag en oppstilling av resultatet i et regneark. b) Lag et stolpediagram. c) Lag et sektordiagram.

21

Jon har undersøkt hvor mange dyr det er på gården til besteforeldrene hans. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Dyr

Antall

Hest

3

Ku

5

Gris

10

Katt

4

Hund

2

a) Lag en oppstilling av resultatet i et regneark. b) Lag et stolpediagram. c) Lag et sektordiagram.

192

Kan jeg?

Ta utskrift av oppgavene.

Oppgave 1 Før regnestykkene inn i et regneark, og lag formler for utregning av svarene. a) 24 + 38 =

c) 38 · 4 =

b) 184 – 56 =

d) 378 : 12 =

Oppgave 2 a) Skriv tallet 3,465 inn i en celle i et regneark.

Reduser antall desimaler til to. b) Skriv tallet 3,4 inn i en celle i et regneark. Øk antall desimaler til fire.

Oppgave 3 Du skal handle disse varene: 3 blader til 24,50 kr per stykk 5 penner til 9,90 kr per stykk 4 bøker til 79,50 kr per stykk a) Lag en oppstilling i et regneark som viser summen for hver vare og hva varene koster i alt. b) Juster antall blader til 6 og antall bøker til 2.

Hvor mye koster varene i alt nå?

Oppgave 4 Julie har notert fargen på bilene på en parkeringsplass. Her ser du hva hun noterte: a) Lag en oppstilling av resultatet i et regneark. b) Lag et stolpediagram.

Farge

Antall biler

Rød

10

Grønn

12

Blå

14

Andre

8

c) Lag et sektordiagram.

Regneark 193

Jeg regner mer 22

Prisliste

Julie skal handle følgende varer til middag: 1 2 1 1 3 2 1

kg seifilet kg poteter pakke fårepølse pakke margarin liter melk kneippbrød flaske ketchup

Lag en oppstilling i et regneark som viser hvor mye Julie må betale i alt.

194

Seifilet

1 kg

Pizza

32,90 kr

560 g

Corn Flakes

29,90 kr

750 g

Middagsris

29,90 kr

1 kg

Kjøttdeig

22,80 kr

500 g

Melk

32,90 kr

1 liter

Fårepølse

9,50 kr

1 pakke

Salami

23,90 kr

100 g

Kneippbrød

24,90 kr

1 stykk

Margarin

6,90 kr

1 pakke

Epler

12,90 kr

1 kg

Appelsiner

18,90 kr

1 kg

Bananer

11,80 kr

1 kg

Poteter

13,60 kr

1 kg

Ketchup

6,50 kr

1 flaske

Husk at alle formler starter med likhetstegnet.

12,50 kr

23

Tenk deg at du skal handle for familien din. Lag en oppstilling i et regneark som viser hva du vil kjøpe, og hvor mye du må betale i alt. Velg minst seks forskjellige varer fra prislisten på forrige side, og beregn hvor mye du kan kjøpe for a) 300 kr

24

b) 400 kr

Simen har undersøkt hvor mange som spiller hvert av de forskjellige instrumentene i skolekorpset. Her ser du resultatet av undersøkelsen: a) Lag en oppstilling av resultatet i et regneark.

c) 500 kr

Instrument

Antall

Trompet

6

Klarinett

8

Trombone

4

Trommer

3

By

Antall innbyggere

Oslo

617 000

Trondheim

170 000

Bergen

248 000

b) Lag et stolpediagram. c) Lag et sektordiagram.

25

I tabellen til høyre ser du hvor mange innbyggere det er i de tre største byene i Norge: a) Skriv tabellen inn i et regneark. b) Lag et stolpediagram. c) Lag et sektordiagram.

Regneark 195

26

Jon vil spare slik at han har lommepenger når han skal på ferietur. Han bestemmer seg derfor for å spare etter et visst system: 3 kr den første uka, 6 kr den andre uka, 9 kr den tredje uka, og så videre.

Målet er å spare 1000 kr.

For å finne ut hvor lang tid det vil ta, lager Jon en oppstilling i et regneark. Nå skal du lage denne oppstillingen og finne ut hvor mange uker Jon må spare for å få 1000 kr.

Skriv i celle A1: Sparing per uke Skriv i celle A2: 3 Skriv i celle A3: 6

Sparing per uke

Du har nå satt inn sparingen for de to første ukene. Klikk så på celle A2, hold venstre museknapp nede, og trekk nedover til du har merket cellene A2 og A3 samtidig. Slipp knappen. Regnearket har nå «forstått» systemet. Plasser deretter markøren over den lille firkanten nederst i celle A3, slik at den forandrer seg til et kryss, og trekk krysset ned over de neste 30 rutene. Nå får du sparebeløpene for hver uke framover.

Skriv i celle C1: Sum sparing Skriv i celle C2: =A2 Skriv i celle C3: =summer(C2+A3) Trykk på linjeskifttasten.

Nå ser du at du har fått summen av det Jon har spart etter to uker.

Regnearket har igjen «forstått» systemet. Merk derfor celle C3, plasser markøren over den lille firkanten slik at den forandrer seg til et kryss, og trekk krysset ned over de neste 30 rutene.

Nå ser du hvor mange uker Jon må spare for å få 1000 kr.

196

Oppsummering Hva er et regneark?

Et regneark er et program som kan brukes til å lage oversiktlige oppsett, for eksempel for regnskap og budsjett. Det kan også brukes til avanserte matematiske beregninger og til å lage ­diagrammer.

rad formellinje kolonne

celle

Regnearket er delt i et rutenett av loddrette kolonner og horisontale rader. Over hver kolonne står det en bokstav og foran hver rad et tall. Hver rute i regnearket kalles en celle.

Over rutenettet har vi en linje med forskjellige symboler.

Denne linja kalles formellinje og er nyttig når vi bruker regneark.

Å gjøre utregninger Her er de viktigste regnetegnene vi bruker i et regneark: Addisjon + Subtraksjon – Multiplikasjon Divisjon / Når vi vil at regnearket skal gjøre en utregning, skriver vi en formel.

Vi starter alltid en formel med likhetstegnet.

Eksempel Formelen =B2+C2 regner ut summen av celle B2 og C2.

Regneark 197

Å summere celler

Eksempel

Merk cellene du vil summere, pluss en ekstra celle, og trykk på .

Nå vil regnearket summere innholdet i cellene.

Justering av antall desimaler Vi kan justere antall desimaler i et tall ved å klikke på knappene ,00,0 og ,00,0 .

Å lage diagrammer Vi kan lage stolpediagram og sektordiagram i et regneark ved å merke cellene vi vil vise, og så klikke på symbolet for riktig diagram.

Eksempel søylediagram

Tusen millioner takk for denne gang!

198