Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. Ekstremalpunkt er et felles ord for bunnpunkt og toppunkt. Et ekstremalpunkt er dermed enten et bunnpunkt eller et toppunkt.
EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f (x) = x3 – 3x a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f . c) Finn ekstremalpunktene til f . Løsning:
a) Vi tegner grafen til f digitalt. y 4 Toppunkt (–1, 2)
3 2
f Nullpunkter
1 –2
–1
x 1
–1 –2 –3
2
3
Bunnpunkt (1, –2)
–4
b) Grafen viser at f har nullpunktene x = 0, x = –1,7 og x = 1,7 c) Grafen viser at funksjonen har to ekstremalpunkter, et bunnpunkt og et toppunkt. Toppunkt: (–1, 2)
Bunnpunkt: (1, –2)
Funksjonen i eksempelet ovenfor har et toppunkt i (–1, 2) og et bunnpunkt i (1, –2). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin høyeste verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner.
151