Sinus R2 MATEMATIKK STUDIEFORBEREDENDE VG3 BOKMÅL Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen
Foto og grafikk:Bildene er Omslagsfoto:fargemanipulert.Unsplash/Joel Filipe Kapittel 1: Unsplash / Faris Mohammed Kapittel 2: Unsplash / Ricardo Gomez Angel Kapittel 3: Unsplash / CJ Dayrit Kapittel 4: AdobeStock / Sved Oliver Kapittel 5: AdobeStock / tiero Kapittel 6: AdobeStock / tawatchai1990 Oppgavedel: araho / AdobeStock Side 154: bookofproofs (CC BY-SA 4.0) Side 341: GettyImages / piola666 © Cappelen Damm AS, Oslo 2022 SinusR2 følger læreplanen (LK20) i matematikk for realfag R2 fra 2020, for vg3 studieforberedende Materialetutdanningsprogram.idennepublikasjonen
er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktører: Bjørn-Terje Smestad og Henning Vinjusveen Myhrehagen Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Utgave nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN sinus.cdu.nowww.cdu.no978-82-02-74000-9
Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2020. Læreboka Sinus R2 er skrevet for programfaget R2 i de studieforberedende utdanningsprogrammene. Boka legger vekt på den abstrakte matematikken, og elevene blir godt kjent med matematisk tankegang. De får god trening i å løse oppgaver uten og med bruk av digitale hjelpemidler. Elevene lærer å bruke programmet GeoGebra og programmeringsspråket Python. I kapittel 1 lærer elevene om følger og rekker. Det bruker vi som grunnlag for integralregningen som kommer i kapittel 2 og 3. I kapittel 4 arbeider elevene med vektorer i rommet. I kapittel 5 lærer elevene å løse trigonometriske likninger. I kapittel 6 skal elevene kombinere mye av det de har lært i faget: integralregning, vektorer og trigonometri. Når elevene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der elevene skal finne ut egenskaper og regler før det blir behandlet i boka. Men teorien er skrevet slik at det likevel er mulig å lese den uten å gjøre de utforskende oppleggene. Utforskoppleggene er best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres enkeltvis. I teoridelen er det en del diskusjonsoppgaver der elever får trening i å kommunisere matematikk. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapitlet. Der finner vi også en større prosjektoppgave. I noen av disse prosjektoppgavene får elevene bruke stoffet i kapitlet innenfor andre fagfelt. I andre oppgaver får elevene lære ny og spennende matematikk. Alle kapitlene blir avsluttet med et oppgavesett som er egnet til repetisjon av kapitlet.
I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.
ToreOldervoll–OttoSvorstøl–RobinBjørnetunJacobsen s
I boka er det i tillegg en oppgavedel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Den første delen heter «Øv mer». Her er oppgavene ordnet etter delkapitlene i teoridelen. Den andre delen heter «Blandede oppgaver». Her er det oppgaver som skal løses både uten og med digitale hjelpemidler. Noen ganger står det i oppgaven om elevene skal bruke hjelpemidler eller ikke. I andre oppgaver står eleven fritt til å velge metode. I denne delen er det lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven kan løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Den tredje delen heter «Åpne oppgaver». Her er det åpne og utforskende oppgaver som kan være mer krevende enn dem i «Blandede oppgaver».
Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ukjente ord og uttrykk.
Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle.
3
4s 1InnholdFølger og rekker 6 1.1 Tallfølger 8 1.2 Rekker 15 1.3 Aritmetiske følger 20 1.4 Aritmetiske rekker 23 1.5 Geometriske følger 27 1.6 Geometriske rekker 31 1.7 Uendelige rekker 38 1.8 Geometriske rekker med variable kvotienter 43 1.9 Induksjonsbevis 46 Sammendrag 50 Prosjektoppgave: Taylorrekker 52 Repetisjonsoppgaver 54 2 Integralregning 56 2.1 Derivasjon 57 2.2 Ubestemt integral 61 2.3 Integralet 1 xdx ............................................................. 67 2.4 Integrasjon av eksponentialfunksjoner .................................. 69 2.5 Bestemt integral som grense for en sum ................................. 75 2.6 Fundamentalsetningen ..................................................... 84 2.7 Å finne areal ved regning .................................................. 87 2.8 Å finne areal mellom to grafer ............................................ 94 Sammendrag ................................................................. 96 Prosjektoppgave: Integrasjon og derivasjon av rekker ................ 98 Repetisjonsoppgaver 100 3 Integrasjonsmetoder ..................................................... 102 3.1 Samlet resultat ............................................................... 104 3.2 Tilnærmingsmetoder for integral ........................................ 109 3.3 Trapesmetoden .............................................................. 113 3.4 Variabelskifte 120 3.5 Delvis integrasjon 123 3.6 Delbrøkoppspalting 127 3.7 Integrasjon og volum 133 3.8 Overflateareal 141 3.9 Funksjonsdrøfting 143 Sammendrag 152 Prosjektoppgave: Gini-koeffisienter 154 Repetisjonsoppgaver 156 4 Vektorer 158 4.1 Vektorer i rommet 159 4.2 Punktkoordinater og vektorkoordinater 163 4.3 Regning med vektorkoordinater 171 4.4 Skalarproduktet 176
5 s 4.5 Vektorproduktet 184 4.6 Volum 194 4.7 Likninger for plan 201 4.8 Rette linjer i rommet 205 4.9 Avstand fra punkt til linje og til plan 215 Sammendrag 219 Prosjektoppgave: Vektoranimasjoner 222 Repetisjonsoppgaver 224 5 Trigonometri 226 5.1 Vinkelmål 227 5.2 Generelle trigonometriske definisjoner 235 5.3 Sinuslikninger 242 5.4 Cosinuslikninger 247 5.5 Likninger med tangens 253 5.6 Enhetsformelen og andregradslikninger ................................ 259 5.7 Trigonometriske formler ................................................... 265 5.8 Likningen a sin(kx) + b cos(kx) = c ....................................... 268 Sammendrag ................................................................. 272 Prosjektoppgave: Sfærisk trigonometri 274 Repetisjonsoppgaver 276 6 Funksjoner og kurver 278 6.1 Sinusfunksjonen 280 6.2 Trigonometriske modeller ................................................. 291 6.3 Cosinusfunksjonen ......................................................... 296 6.4 Funksjonen f (x) = a sin(kx) + b cos(kx) + d .............................. 303 6.5 Tangensfunksjonen ......................................................... 306 6.6 Derivasjon av de trigonometriske funksjonene ........................ 310 6.7 Kurver og vektorfunksjoner 317 6.8 Derivasjon av vektorfunksjoner 325 6.9 Fartsvektor og akselerasjonsvektor 332 Sammendrag 338 Prosjektoppgave: Energi fra vindturbiner ............................... 340 Repetisjonsoppgaver ....................................................... 342 Oppgaver ............................................................................... 344 1 Følger og rekker 345 2 Integralregning 372 3 Integrasjonsmetoder 388 4 Vektorer 411 5 Trigonometri ................................................................ 436 6 Funksjoner og kurver 455 Fasit – teoridel 487 Fasit – oppgavedel 499 Stikkord ................................................................................. 525
OGFØLGERREKKER Mål for opplæringen er at eleven skal kunne •utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker •utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne •analysereframgangsmåterogforstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
a) Bruk den eksplisitte formelen for K n til å finne K5, K6 og K10.
b) Forklar at K3 K2 2 2 1, og at K4 K3 2 3 1.
Vi ser for eksempel at kvadrattall nr. 4 danner et kvadrat med 4 kuler i hver retning. Tall vi får ved å sette sammen figurer etter et system, kaller vi figurtall. Kvadrattallene ovenfor er dermed et eksempel på figurtall.
Formelen i oppgave c kaller vi en rekursiv formel for kvadrattallene. Når vi kjenner et kvadrattall, kan vi bruke det til å finne det neste. Når vi skal bruke en slik rekursiv formel, må vi kjenne ett av tallene. Her vet vi at K1 1. d) Bruk den rekursive formelen i oppgave c til å finne K5, K6 og K10. STEG 2 Nå skal vi se på noen figurtall som vi kan kalle rektangeltall. Her er de minste rektangeltallene: R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12
UTFORSK FIGURTALL STEG 1 Når vi kvadrerer et naturlig tall, får vi et kvadrattall De seks minste kvadrattallene er 1,4,9,16,25 og 36. Kvadrattall nr. n kaller vi K n.
c) Forklar at K n 1 K n 2 n 1, når n 1.
7 s
K1 = 1 K2 = 4 K3 = 9 K4 = 16
a) Finn rektangeltallene R4 og R8. b) Finn en eksplisitt formel for rektangeltallet R n. c) Tallet 870 er et rektangeltall. Hvilket nummer har det? d) Finn en rekursiv formel for R n uttrykt med R n 1 for n 1. e) Bruk den rekursive formelen til å finne R4 og R8. 1.1 TALLFØLGER
Det er gitt ved formelen Knn 2 En slik formel som gir tall nr. n direkte, kaller vi en eksplisitt formel. Kvadrattallene kan vi også framstille ved hjelp av kuler på denne måten:
132 3 | INTEGRASJONSMETODERs OPPGAVE 3.62 Finn integralene. a) 25122 xxxxdx b) 223132223 xxxxdx UTFORSK VOLUM Vi skal nå finne volumet V av en tredimensjonal figur som strekker seg fra xa til xb som vist her: ax b Først lager vi en snittflate gjennom punktet x på x-aksen slik at x-aksen står vinkelrett på snittflaten. Se figuren til venstre nedenfor. Alle punktene på denne snittflaten har da samme x-koordinat. La A(x) være arealet av denne snittflaten. La V(x) være volumet av den delen av gjenstanden som er til venstre for denne snittflaten. x axx b (x axx b Nå gjør vi et nytt snitt som er parallelt med det første slik at vi får ei skive med tykkelse x. a) Forklar at hvis x er svært liten, er volumet av denne skiva VAxx () b) Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at VxAx ()() c) Vis at volumet av gjenstanden er gitt ved VAxdx a b (). ?
3.7 Integrasjon og volum Nå skal vi vise hvordan vi kan bruke det bestemte integralet til å finne volumet av en gjenstand. Vi tegner da gjenstanden sammen med en x-akse. (( ) axx b
EKSEMPELLØSNING
Gjenstanden strekker seg fra a til b på x-aksen som vist på figuren. Vi lager et snitt gjennom gjenstanden slik at x-aksen står vinkelrett på snittflaten. Alle punktene i snittflaten får da samme koordinat x. Vi lar A(x) være arealet av snittflaten. I Utforskvolum kom dere fram til denne formelen: Vi plasserer en x-akse ved en gjenstand. Gjenstanden strekker seg fra xa til xb på aksen. Volumet av gjenstanden er da VAxdx a b () der arealet A(x) er som beskrevet ovenfor.
Denne formelen bruker vi ofte når vi skal bevise volumformler.
1333.7 INTEGRASJON OG VOLUM s
Bevis at volumet V av ei kule med radius r er gitt ved formelen Vr 34 3 Vi legger koordinataksen med origo i sentrum av kula som vist nedenfor. Kula strekker seg da fra xr til xr. Oxx–rrr R(x)
134 3 | INTEGRASJONSMETODERs Snittflaten normalt på x-aksen gjennom punktet x er en sirkel med radius R(x). Denne radien kan vi finne ved hjelp av pytagorassetningen. Rxxr Rxrxrx ()() 2 2 2 2 2 2 22 Arealet av snittflaten er AxRxrx Volumet()()()222avkulaer VAxdxrxdxrxdxrxx r rrrr r () 22 22 2313 rrrrrrrr 33333131323 23() 33343 r Nå skal vi finne volumet av omdreiningsgjenstander, altså gjenstander av det slaget som vi kan framstille i en dreiebenk. En slik gjenstand har en sentral akse. Alle snittflater som aksen står normalt på, er sirkelflater. Vi kan tenke oss at gjenstanden er blitt til på denne måten: Vi har en funksjon f og ser på flatestykket som er avgrenset av x-aksen, linja xa, linja xb og grafen til f. Dette flatestykket dreier vi 360 om x-aksen og får fram gjenstanden på figuren til høyre nedenfor. yaxxffb (x) A(x) yax b f Snittflaten vinkelrett på x-aksen gjennom punktet x er en sirkel med radius rfx(). Arealet av snittflaten er Axrfx ()()2 2 Volumet av gjenstanden blir VAxdxfxdxfxdx a baba b ()()()22
1353.7 INTEGRASJON OG VOLUM s EKSEMPELLØSNING Et flatestykke er avgrenset av x-aksen, linja xa, linja xb og grafen til en kontinuerlig funksjon f. Dersom vi dreier dette flatestykket 360 om x-aksen, får vi en omdreiningsgjenstand med volumet Vfxdx a b () 2 Et flatestykke er avgrenset av x-aksen, y-aksen, linja x 3 og grafen til funksjonen gitt ved fxx () 2 1 Vi dreier flatestykket 360 om x-aksen. Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi da får. Først tegner vi grafen og omdreiningsgjenstanden. –2–13241 yx 2 –3 413 f –4 Volumet er Vfxdxxdx xdx xx () 2 2 20303 203 3 1 1 13 30 313 9312330
Vi slår den sirkelen med sentrum i S som går gjennom A og B. En slik sirkel kaller vi en storsirkel. La c ASB. Da sier vi at AB c. Vi kan da måle c enten i grader eller i absolutt vinkelmål. Hvis c er målt i absolutt vinkelmål, blir avstanden mellom A og B lik c R, for det er lengden av buen. Hvis vi har tre punkter A, B og C på kula, kan vi trekke de tre buene AB c, ACb og BCa. De tre buene danner nå en sfærisk trekant. Legg merke til at hver bue har navn etter motstående hjørne. RB ba CAc
Vi kan vise denne regelen: cos c cos a cos b sin a sin b cos C Vi kaller denne cosinussetningen for sfæriske trekanter. Ekvator deler jordkloden i den nordlige og sørlige halvkula. De storsirklene som går gjennom Nordpolen og Sørpolen, kaller vi meridianer. Meridianen som går gjennom Greenwich utenfor London, kaller vi nullmeridianen. Den deler jordkloden i ei østlig og ei vestlig halvkule. Nå kan vi plassere alle steder på kloden ved å fortelle hvor mange grader øst eller vest for nullmeridianen og hvor mange grader nord eller sør for ekvator stedet ligger. Greenwich ligger 0 øst og 51,47 nord. Kabul i Afghanistan ligger 69,11 øst og 34,47 nord. zyN Greenwich Kabul S x 51,47° 69,11°34,47° Ved hjelp av gradtallene kan vi blant annet finne avstander mellom byer. Oslo ligger 10,75 øst og 59,92 nord. New York ligger 74,00 vest og 40,75 nord. Vi skal bruke til å finne den sfæriske avstanden mellom Oslo og New York målt i kilometer. Vi lager da en sfærisk trekant med hjørner i Oslo (A), New York (B) og Nordpolen (C). Her er C 74,00 10,75 84,75 . Buen fra Nordpolen til New York er a 90 40,75 49,25 Buen fra Nordpolen til Oslo er b 90 59,92 30,08
SFÆRISK TRIGONOMETRI
BA
s 274 5 | TRIGONOMETRI
Til vanlig bruker vi trigonometri når vi arbeider med trekanter i et plan. Nå skal vi bruke trigonometri i trekanter på ei kuleflate. Slike trekanter kan vi bruke til å finne avstander mellom steder på jordkloden målt langs kuleoverflaten. Det kaller vi sfærisk avstand. Hvordan regner vi ut sfærisk avstand? La A og B være to punkter på ei kule med radius R og sentrum i S. Sc
b) Hvor langt er det hvis flyet går den korteste veien? I hvilken retning må flyet ta av?
PROSJEKTOPPGAVE
2 Et fly skal fra Oslo til Tasmania, ei øy sør for Australia. Oslo ligger 10,75 øst og 59,92 nord. Tasmania ligger 146,5 øst og 42,0 sør. Hvor mange kilometer er den korteste flyruta mellom Oslo og Tasmania? I hvilken retning må flyet ta av?
I hvilken retning må flyet ta av?
PROSJEKTOPPGAVE
a) Hvor langt er det hvis flyet først går opp til Nordpolen og deretter til Tokyo?
c) Hvor stor betydning har det for avstandene at flyet går 10 km over bakken?
s275SFÆRISK TRIGONOMETRI C (Nordpolen) 40,75° abA Bc 74,00°Ekvator Oslo59,92° Nullmeridianen New York 10,75° Cosinussetningen gir cos c cos a cos b sin a sin b cos C cos49,25 cos30,08 sin49,25 sin30,08 cos84,75 0,600 Buen mellom Oslo og New York blir da 53,16 . I absolutt vinkelmål blir den c 0,9278 Jordradien er R 6370km. Avstanden i kilometer blir da c R 0,9260 6370 km 5910 km Et fly letter fra Oslo og skal fly den korteste veien til New York. I hvilken retning må flyet ta av? Vi må da finne A på figuren. Cosinussetningen med utgangspunkt i A gir cos a cos b cos c sin b sin c cos A coscoscos cos 0,333cos49,25cos30,08cos53,16sinsinsin30,08sin53,16 Aabc bc A 70,6 Flyet må gå mot vest i ei linje som danner vinkelen 70,6 med linja mot nord. Flyet skal sørover, men må likevel ta av nordover! Dette skjønner vi bedre hvis vi ser på en globus.
Jordradien er R 6370 km. Oslo ligger 10,75 øst og 59,92 nord. Tokyo ligger 139,75 øst og 35,75 nord. Et fly går 10 km over bakken fra Oslo til Tokyo.
PROSJEKTOPPGAVE
1
3 Et fly skal fra Oslo til Honolulu på Hawaii. Honolulu ligger 157,87 vest og 21,32 Hvornord. mange kilometer er den korteste flyruta?
342 6 | FUNKSJONER OG KURVERs REPETISJONSOPPGAVER OPPGAVE 1 Funksjonen f er gitt ved fxx ()sin23 42 , x 08, a) Finn amplituden, perioden og likevektslinja til f b) Finn nullpunktene til f. c) Finn den største verdien til f. For hvilken x-verdi har f denne verdien? d) Finn den minste verdien til f. For hvilken x-verdi har f denne verdien? e) Tegn grafen til f. f) Løs grafisk og ved regning likningen fx() 2. OPPGAVE 2 a) Vis at den geometriske cossincossincossin...rekka xxxxxx 35 er konvergent for alle x. b) Bestem summen av rekka. OPPGAVE 3 Regn ut integralene. a) 42cos xdx b) 6 2 xxdx sin OPPGAVE 4 Vi har gitt en sirkel med sentrum i S 7, 1 og radius 5. a) Finn en parameterframstilling for sirkelen. b) Vis at punktet P 10, 3 ligger på sirkelen. c) Finn en parameterframstilling for tangenten til sirkelen i punktet P. d) Tegn sirkelen og tangenten digitalt. OPPGAVE 5 Sofia og Olav studerer bølgene på fjorden. De har en målepinne der de kan lese av vannhøyden mange ganger per sekund. De måler vannhøyden h(t) i meter etter t sekunder og får denne grafen: 1 21 23 ht h a) Forklar ut fra grafen at httt ()cos,,,0451203,4 b) Finn ved regning toppunktene og bunnpunktet til h. c) Finn ved regning når vanndybden er 1,5 Bølgenem.er stabile over en tid. Men så kommer det en bølge fra en båt i tillegg. Vannhøyden g(t) i meter blir nå gttt t ()sincos,,,0,30,445451203 d) Tegn digitalt grafen til g. e) Omform funksjonsuttrykket til g slik at det er skrevet på formen gtaktbd ()sin f) Finn ved regning høydeforskjellen mellom bølgetopp og bølgebunn.
d) Finn maksimumsverdien Finn ved regning som er
, x 02, a)
OPPGAVE funksjon ()sin Finn nullpunktene til
7 En
til f digitalt.
c) Finn toppunktene og
og minimumsverdien. e)
343REPETISJONSOPPGAVER s OPPGAVE 6 Sølvi Brattbakken kjører ned ei fjellside på ski. Idet klokka blir satt i gang, er hun i et punkt S som ligger 100 m høyere enn innkomsten M. Vi legger inn et koordinatsystem med origo O som er slik at punktene S og M har koordinatene S 0, 0, 100 og M 1500, 0, 0 . Enheten langs aksene er meter. Etter t sekunder er Sølvi i et punkt P som er bestemt av OPrtttttt (),,15205100 2100 22 a) Vis ved regning at Sølvi bruker 100 s ned til innkomsten M. b) Finn fartsvektoren og farten etter t sekunder. c) Finn akselerasjonsvektoren og akselerasjonen etter t sekunder. d) Når har Sølvi lavest fart? Hvor stor er farten da? e) Hvor lang samlet strekning tilbakelegger hun på ferden fra S til M? Hvor stor er gjennomsnittsfarten?
b) Tegn grafen
f er gitt ved fxxx
bunnpunktene til f digitalt.
avgrenset av den positive x-aksen og grafen til f.
f ved regning.
og digitalt arealet av det området ligger over x-aksen, og
•De åpneoppgavene er ofte større og mer komplekse. Her får du blant annet trening i å jobbe med sammensatte tekster og uoppstilte problemer. Du må noen ganger lage problemstillinger som du undersøker ved hjelp av ulike strategier, som modellering, utforsking og programmering. Disse oppgavene legger til rette for å trene på å skrive matematiske tekster, og det er meningen at du skal bruke litt mer tid på dem. De åpne oppgavene har ikke alltid en fasit, og det kan være nyttig å diskutere både oppgavene og løsningene med andre.
•OppgaveneOPPGAVERi
ØV MER gir mer trening i grunnleggende regneteknikker fra hvert
i BLANDEDE OPPGAVER og ÅPNEOPPGAVER inneholder ofte stoff fra flere temaer. Det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver du skal kunne løse når du er ferdig med et delkapittel.
•I blandedeoppgaver er det oftest konkrete spørsmålsformuleringer, men du finner også oppgaver der du må vurdere egne og andres løsninger, samt flervalgsoppgaver.
•Oppgavenedelkapittel.
345 s1 | FØLGER OG REKKER 1 Oppgave 1.114 I en tallfølge er de to første leddene a1 2 og a2 4. Resten av leddene er gitt ved den rekursive formelen a n 2 a n 1 3 a n 2 Bruk formelen og skriv opp de fem første leddene i følgen. Oppgave 1.115 Undersøk om følgene konvergerer, og finn eventuelt grenseverdien lim. nn a a) ann n 3 1 b) ann nn32 1 c) an nn ln 2 2 1 Oppgave 1.116 Tallene i tallfølgen 1, 3, 6, 10, 15, … kaller vi trekanttallene. Trekanttallene T4 og T3 a) Finn det sjette tallet i følgen. Kall trekanttallet i ledd nr. n for T n. b) Finn uttrykk for TT nn 1 og TT nn 1 når n >1. c) Bruk svarene i oppgave b til å finne en formel for T n uttrykt ved n. Følger og rekker ØV MER 1.1 TALLFØLGER Oppgave 1.110 I en følge er ledd nr. n gitt. Finn de fem første leddene i følgen. a) ann 2 2 b) ann 2 n c) a n = nn 1 Oppgave 1.111 I en tallfølge er det første leddet a1 4. Resten av leddene er gitt ved den rekursive formelen aa nn 3 21 a) Bruk formelen og finn ved regning de åtte første leddene i følgen.
b) Lag et program som skriver ut de åtte første leddene i følgen. c) Utvid programmet slik at det også regner ut summen av de åtte første leddene. Oppgave 1.112 Finn en eksplisitt formel for ledd nr. n i tallfølgen. a) 2, 4, 8, 16, 32, … b) 1, 4, 9, 16, 25, … Oppgave 1.113 Finn en eksplisitt formel for det generelle leddet i tallfølgen. a) 1, 14 , 91 , 161 , … b) 21 , 14 , 61 , 81 , … c) 1, 3, 5, 7, … d) 2, 23 , 34 , 45 , …
d) Et flatestykke er avgrenset av x-aksen, grafen til f og linja xe. Finn arealet av flatestykket uten digitale hjelpemidler. Vi dreier flatestykket 360 om x-aksen.
e) Finn volumet av omdreiningsgjenstanden uten bruk av digitale hjelpemidler. Oppgave 3.197 Funksjonen f er gitt ved fxxex () 2 2 , x 26, Bestem maksimums- og minimumsverdien som funksjonen f har i det gitte intervallet.
d) Vis at fxxx x () 12108()3323 e) Finn vendepunktene (infleksjonspunktene) til f med og uten digitale hjelpemidler.
c) Finn toppunktet og bunnpunktet til f med og uten digitale hjelpemidler.
Oppgave 3.193 En funksjon f er gitt ved fxx x () 6 32 a) Finn nullpunktet til f. b) Finn asymptoten til f med og uten digitale hjelpemidler.
3 | INTEGRASJONSMETODER398s
f) Finn ved regning arealet av flatestykket som er avgrenset av grafen til f, x-aksen, y-aksen og linja x 1.
Oppgave 3.195 Funksjonen f er gitt ved fxeex x() 1, Df a) Finn eventuelle topp- og bunnpunkter uten bruk av digitale hjelpemidler. b) Finn asymptotene ved regning og digitalt. c) Tegn grafen til f og asymptotene. d) Finn ved regning og digitalt arealet av området som er avgrenset av koordinataksene, grafen til f og linja x ln 2. Oppgave 3.196 En funksjon f er gitt ved fxxx ()ln , x 0 a) Finn nullpunktet til f ved regning.
c) Finn digitalt og ved regning likningen for tangenten i punktet 0, f (0) . d) Tegn grafen til f, asymptotene og tangenten.
f) Tegn grafen til f digitalt.
e) Finn skjæringspunktene mellom grafen og tangenten ved regning.
g) Finn uten digitale hjelpemidler arealet av flatestykket F som er avgrenset av x-aksen, grafen til f og linja x 3. Oppgave 3.194 En funksjon f er gitt ved fxx xx () 8 22 a) Finn nullpunktet til f. b) Finn asymptotene til f med og uten digitale hjelpemidler.
b) Finn eventuelle topp- og bunnpunkter ved regning og digitalt.
c) Tegn grafen til f digitalt.
3 | INTEGRASJONSMETODER 399 s BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 3.200 Elisabeth får 250 kr i ukepenger. De neste to årene har hun en avtale med faren sin om at ukelønna skal økes med 1 % hver uke. Finn ved integrasjon omtrent hvor mye Elisabeth får i alt i ukepenger på disse to årene. Oppgave 3.201 En funksjon er gitt ved funksjonsuttrykket fxxxx () 3269, x 03, a) Finn det eksakte arealet som er avgrenset av grafen til f og x-aksen. b) Bruk kommandoen SumOver og ti rektangler i GeoGebra. Hva blir det samlede arealet av ti rektangler mellom x 0 og x 3? yfx 21 3214 3 c) Hvor mange rektangler må vi ha dersom vi bruker SumOver og forskjellen mellom det samlede arealet av rektanglene og fxdx ()03 skal være mindre enn 2 % av fxdx ()03 ? ▲3.2 Oppgave 3.202 Vi har gitt det bestemte integralet 32362 xxdx a) Bruk trapesmetoden og 5 trapeser til å finne en tilnærmingsverdi for integralet. b) Løs oppgave a ved hjelp av Python og 50 trapeser. Oppgave 3.203 En undervannsbåt går under polarisen på vei mot Nordpolen. Tabellen nedenfor viser farten v(t) i km/h for hver time t i en periode på åtte timer. t (h)012345678 v(t) tilbakelagtBruk(km/h)273435332417182227trapesmetodentilåanslåavstand svtdt ()80 i denne perioden. ▲3.3 Oppgave 3.204 Finn integralene ved regning. a) 35xdx b) 2 xxdx c) xxdx 2 Oppgave 3.205 Finn integralet ved regning xxdx 2 5 Oppgave 3.206 Finn integralet ved regning. lnln x xxdx 1
▲
I
a)
. c)
a) Vis at modellen er symmetrisk i den forstand at avstanden mellom to ulike hydrogenatomer alltid er den samme uansett hvilke to hydrogenatomer vi velger. kjemien snakker vi om vinkelentetraeder, som er vinkelen med topppunkt i karbonatomet og to vinkelbein ut til to forskjellige hydrogenatomer.
c) Vis at modellen er symmetrisk i den forstand at det ikke har noe å si hvilke to hydrogenatomer vi velger for å finne tetraedervinkelen. 4.4 4.229 Vektorene u 011,, og v 110,, er gitt. Finn vinkelen mellom u og Regn ut uv Finn arealet av trekanten som de to vektorene definerer.
Oppgave
v . b)
b) Vis at cos er et rasjonalt tall, og finn
.
4 | VEKTORER426s Oppgave 4.227 Et tetraeder er bestemt av punktene O 0, 0, 0 , A 1, 0, 0 , B 0, 1, 0 og C 0, 0, 1 . a) Tegn tetraederet digitalt. Heron-formelen sier at arealet T av en trekant med sider a,b og c er gitt ved Tssasbsc ()()(), der sabc 2 Vi kaller lengden av BC for a, lengden av AC for b, lengden av AB for c og arealet av ABC for T1. b) Finn a,b og c. c) Finn en eksakt verdi for T1 og T12 . Vi kaller arealet av OBC for T2, arealet av OAC for T3 og arealet av OAB for T4. d) Finn en eksakt verdi for TTT 2 2 3 2 4 2 . e) Hvilken sammenheng er det mellom TTT 2 2 3 2 4 2 og T12 ? Et annet tetraeder er bestemt av punktene O , Dd, 0, 0 , E 0, e, 0 og F 0, 0, f . Vi kaller arealet av DEF for S1. f) Finn lengden av DE,DF og EF uttrykt ved d,e og f. g) Bruk CAS og finn S1 og S12 uttrykt ved d,e og f. Vi kaller arealet av OEF for S2, arealet av ODF for S3 og arealet av ODE for S4. h) Finn SSS 2 2 3 2 4 2 uttrykt ved d,e og f. i) Hvilken sammenheng er det mellom SSS 2 2 3 2 4 2 og S12? Oppgave 4.228 Vi kan lage en modell av et metanmolekyl, CH4, ved å plassere karbonatomet i O 0, 0, 0 og de fire hydrogenatomene i H1 1, 1, 1 , H2 1, 1, 1 , H3 1, 1, 1 og H4 1, 1, 1 .
.
b) Finn abc . Sammenlikn med svaret i oppgave a og kommenter. Oppgave 4.233 Punktene A 1, 1, 0 , B 0, 2, 3 og C 1, 2, 2 er hjørnene i trekanten ABC.
.
b) For hvilke t-verdier har OAB areal 11?
b) Bruk formelen i oppgave a til å finne arealet til en trekant utspent av p og q der p 3, q 7 og pq 20 . Oppgave 4.237 Bruk definisjonen av vektorproduktet til å vise at for alle tall k gjelder regneregelen kabkab ▲ 4.5 Oppgave 4.238 Vis ved å tegne at dersom vi har gitt to vektorer a og b som står normalt på hverandre, så gjelder
4 | VEKTORER 427 s Oppgave 4.230 Finn vektoren ab når a) a 210,, og b 121,, b) a 121,, og b 012,, Oppgave 4.231 Punktene A 6, 2, 0 , B 3, 6, 0 og C 0, 0, t er hjørnene i en trekant. Bestem t slik at arealet av ABC blir 25.
.
Oppgave 4.232 Vi har gitt vektorene a 312,, , b 211,, og c 122,, a) Vis at abc 2475,,.
c) Bestem tallet k slik at parallellogrammet bestemt av ab og har arealet 32. d) Bestem tallet k slik at parallellepipedet bestemt av abc ,og har volumet 9. Oppgave 4.240 I ABC har hjørnene koordinatene A 1, 1, 0 , B 2, 3, 2 og C 1, 2, 2 a) Finn ABAC , cos A og ABAC b) Finn arealet av ABC c) Et punkt D har koordinatene D 2, 2, k . Bestem k slik at pyramiden ABCD får volumet 6.
. a)
c) Normalen fra hjørnet C ned på linja gjennom A og B har lengden h. Bruk svaret i oppgave b til å finne h. Oppgave 4.234 a) Gitt tre punkter A, B og C, hvor mange vektorer står normalt på både AB og AC og har lengde 1?
b) Bestem tallet k slik at ab
a) Finn ABAC. b) Finn arealet av trekanten.
b) Bestem koordinatene til alle slike vektorer når A 1, 2, 3 , B 3, 4, 3 og C 2, 1, 1 Oppgave 4.235 Vi har gitt punktene O 0, 0, 0 , A 4, 2, 3 og B 2, 2, t
c) For hvilke t-verdier ligger O, A og B på ei rett linje? Oppgave 4.236 a) Vis at for alle vektorer u og v i rommet er uvuvuv 2 222 .
a) (), abatb der t > 0
a) For hvilke t-verdier er AOB rett?
b) (), abbta der t < 0 Oppgave 4.239 Vi har gitt vektorene ak12,,, b 111,, og c 23 4, , Bestem tallet k slik at a 3.
6 | FUNKSJONEROGKURVER478s
Ballen forlater hånda 5 meter over bakken med en vinkel på 30 med x-aksen, og med en fart på 15 m/s.
(0, 0) 5 m 30°
a) Hvor lang tid tar det før ballen er i sitt høyeste punkt, og hvor høyt over bakken er den da?
d) Hvilken fart har ballen når den lander? e) Hvilken vinkel treffer ballen bakken Elisabethmed? vil gjerne kaste ballen lenger. Hun innser at hun ikke får gjort noe med farten ballen forlater hånda med, men hun kan justere kastvinkelen. Hvis vinkelen er u i stedet for 30 , vil posisjonsvektoren til ballen være rtututt (),cossin,1551549 2 .
2 .
f) Hvilken kastvinkel u bør Elisabeth velge for at ballen skal komme lengst? g) Hvor langt kommer ballen med denne kastvinkelen?
c) Hvor langt blir kastet i horisontal retning fra utgangspunktet?
Oppgave 6.250 Vi kaster en stein. Etter t sekunder er posisjonen til steinen gitt ved rttt t FinnEnheten(),,10171552påakseneermeter.posisjonen,fartsvektoren og akselerasjonsvektoren til steinen etter 1 s og etter 3 s. Oppgave 6.251 yx P Et punkt P ligger nederst på en sirkel med sentrum i 0, r og radius r. Vi ruller sirkelen med konstant fart i positiv x-retning slik at sentrum ved tidspunktet t er rt, r . Da vil også P flytte seg, og posisjonsvektoren ved tida t 0 er strt trt() sincos,1 a) Illustrer bevegelsen til sirkelen og P i GeoGebra. Velg selv verdi for r b) Finn fartsvektoren vt() og akselerasjonsvektoren at() til P ved tida t. c) Tegn inn fartsvektoren og akselerasjonsvektoren i figuren i oppgave a. d) Når er fartsvektoren parallell med en av koordinataksene? Hvor på sirkelen er P da? e) Når er farten til P størst, og når er farten minst? Hvor på sirkelen er P da?
f) Vis at akselerasjonen er konstant. g) Buelengden til kurven P følger for td c ,, er gitt ved cvtdt d () Finn lengden av kurven P følger fra tidspunktet t 0 til P igjen er på x-aksen. Oppgave 6.252 Elisabeth kaster en ball ut fra et platå.
Posisjonen til ballen t sekunder etter at den har forlatt hånda, er da gitt ved vektorfunksjonen rtttt (),cossin,15051503349
b) Hvor lang tid tar det før ballen lander?
yx
b) Studer det grafiske bildet og si noe om barnets tilstand de 40 første levedagene ut fra biorytmene.
Oppgave 6.300 I en by er 21. juni den dagen i året da sola er lengst oppe, med 19 timer og 48 minutter. Sola er oppe kortest tid 21. desember med 5 timer og 55 minutter. Med fysikk kan vi vise at antall minutter solen er oppe, som funksjon av antall dager i året, er en sinusfunksjon. Hvor mange minutter dagslys er det i byen 17. mai?
Oppgave 6.301
d) Vi kan vise at det tar 33 28 23 dager fra fødselen til alle de tre biorytmene samtidig er nøyaktig som ved fødselen. (Kan du forklare dette?) Hvor gammel er du første gang det skjer?
ÅPNE OPPGAVER
I begynnelsen av dette århundret ble det satt fram noen teorier om at mennesker er styrt av biologiske svingninger. Én slik svingning eller rytme styrer det intellektuelle, en annen det følelsesmessige og en tredje det fysiske velværet. Når disse svingningene når toppunktet omtrent samtidig, får vi en helt utmerket dag. Det motsatte skjer hvis de når bunnpunktet omtrent samtidig. Disse svingningene begynner ved fødselen og fortsetter så lenge du lever. Den intellektuelle rytmen har en periode på 33 døgn, den følelsesmessige perioden er på 28, og den fysiske er på 23 døgn. Alle biorytmene er på formen sin(kx), der x er antall dager etter fødselen.
6 | FUNKSJONEROGKURVER 479 s
a) Finn funksjonsuttrykket for disse tre biorytmene, og tegn grafene i samme koordinatsystem for de 40 første levedagene.
c) Finn ut hvor mange dager du er i dag. Tegn de tre biorytmene dine for de neste 90 dagene ved hjelp av digitale hjelpemidler.
c) Tegn turen til mauren på et Möbiusbånd av papir. Ser du det samme her?
b) En maur sitter på den ene siden av Möbiusbåndet og begynner å gå rett fram midt på båndet. Følg ferden til mauren. Hva ser du?
e) Undersøk hva som skjer hvis du vrir båndet mer enn en halv runde før du limer.
6 | FUNKSJONEROGKURVER486s
Oppgave 6.312 Et Möbiusbånd er en flate i rommet med noen spesielle egenskaper. Vi kan lage et Möbiusbånd på denne måten: 1Tegn kurven gitt ved parameterframstillingen x y ztttttt22 202 2coscoscossin,, sin .
a) Tegn kurven og flaten i GeoGebra. Du kan få fram flaten ved å bruke sporingsfunksjonen på linjestykkene i grafikkfeltet.
d) Hva tror du vil skje hvis du klipper opp båndet langs veien mauren har gått? Tenk deg om før du klipper!
2Trekk linjestykker fra punktet P (t) (punktet på kurven som tilsvarer parameterverdien t) til Pt for hver t 0, .
Du kan også lage ditt eget Möbiusband av en lang og smal papirstrimmel. Lim sammen de to kortendene av strimmelen, men før du limer, vrir du den ene enden en halv runde.
487 1.24 2000 1,05n 1 1.25 s20 590 1.26 s15 2480 1.30 a) 12, 7, 2, 3 og 8 b) 24, 22, 20, 18, 16 1.31 a) d 6 og a n 6n 1 b) d 17 og a n 98 17n 1.32 a) a n 98 2n b) 306 kr 1.33 a) 3 b) a n 4n 7 c) Ledd nr. 28 1.34 a) a1 14 og d 23 b) an n 312 23 1.40 a) 235 b) 1695 c) 510 d) 50 1.41 a) 500 500 b) 145 c) 1950 1.42 a) 49 995 000 b) 25 000 000 c) 24 995 000 1.44 Det er 20 ledd i rekka. 1.45 2675 millioner kr 1.50 a) 5, 10, 20, 40, 80 b) 16, 8, 4, 2, 1 c) 81, 54, 36, 24, 16 1.51 a) k 3 b) k 15 c) k 23 1.52 a) a n 3n 1 og a10 19 683 b) ann 625 15 1 og a10 31251 c) ann 23 23 1 og a10 6561256 1.53 a) 406 millioner b) ca. 1017 sølvmynter 1.60 a) 1023 b) 1,998 c) 720,4 1.61 a) 29 524 b) 255 c) 10 235 d) 1653,30 1.62 a) 393,4 millioner kr b) 2763 millioner kr 1.63 a) 2,5 tonn b) 670 tonn 1.64 a) 194 052 kr b) 343 916 kr c) Etter 14 år 1.65 a) 6579 kr b) 31 904 kr c) 14 år 1 1.10 a) 3, 8, 13, 18, 23 a120 598 b) a1 3 og anan 1 5 når n 1 1.11 a) 3, 7, 11, 15, 19 b) a n 4n 1 1.12 a) 16, 8, 4, 2, 1 b) a n 25 n 1.13 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 1.16 c) a an n 1 nærmer seg det gylne snittet 152 når n . 1.17 a) Følgen konvergerer og har grenseverdien 3. b) Følgen konvergerer og har grenseverdien 23 . c) Følgen divergerer. 1.18 lim nnne1 1 lim nnne1 1 3 3 1.20 s5 28, s6 41, s7 58, s8 77 1.21 a) s6 51 b) s20 590 1.22 a) s5 110 b) s15 2480 c) s101 s100 20 402 1.23 a) nn 2 2 b) n 2 n FASIT TEORIDEL
