Sinus FORKURS OPPGAVESAMLING Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen
Foto og grafikk:Omslagsfoto: Unsplash/Philip Myrtorp Bildet er fargemanipulert. s. 176: GettyImages/zaricm
© Cappelen Damm AS, Oslo 2022 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.
Redaktør: Bjørn-Terje Smestad Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Utgave nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN sinus.cdu.nowww.cdu.no978-82-02-75303-0
Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops
er plassert inne i delkapitlene slik at studentene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Hvert kapittel avsluttes med et sammendrag av viktige regler og metoder i kapitlet. Bak i boka finner vi fasit og et stikkordregister. Det er viktig at studentene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de er usikre på ord og uttrykk.
3 s Forord SinusForkurs er et matematikkverk for ettårig forkurs for ingeniørutdanning og maritim høgskoleutdanning utviklet etter planene fra 2021. Verket består av to bøker, SinusForkursGrunnbok og SinusForkursOppgavesamling, i tillegg til et tilhørende nettsted. Om grunnboka Matematikk er både et teorifag og et ferdighetsfag. SinusForkursGrunnbok inneholder de matematiske teoriene, ofte sammen med eksempler fra dagliglivet og fra andre fag. Boka gir en grundig innføring i tradisjonell matematikk, der bevisene har en sentral stilling. Studentene får god trening i analytiske metoder. Studentene lærer å behandle grafer digitalt ved hjelp av GeoGebra 6. De får også opplæring i å bruke en enkel kalkulator. Studentene skal lære å bruke programmering i matematikk. Boka inneholder en del eksempler der vi bruker programmeringsspråket Python. På nettsidene til boka finner vi et gratis kurs med den grunnleggende opplæringen i Python. Der finner vi også læringsmålene innen programmering. Når studentene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der studentene skal finne ut egenskaper og regler før stoffet blir behandlet i boka. Men teorien er skrevet slik at det likevel er mulig å lese den uten å gjøre de utforskende oppleggene. Utforskoppleggene er best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres enkeltvis. I teoridelen er det en del diskusjonsoppgaver der studentene får trening i å kommunisere Oppgavestoffetmatematikk.iteoriboka
4s
Om oppgavesamlingen Denne boka, SinusForkursOppgavesamling, er ei egen oppgavebok som hører til grunnboka. Den inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Den følger grunnboka kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i to deler, Øvmer og oppgaverBlandede
. Oppgavene i Øvmer er ordnet etter delkapitler som i grunnboka. I delen Blandedeoppgaver er ikke oppgavene ordnet etter delkapitler. Her må studenten finne fram til riktig stoff på egen hånd og må ofte kombinere stoff fra flere delkapitler og kapitler. I Blandedeoppgaver finner vi også tidligere eksamensoppgaver i faget. Om nettstedet Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her finner vi blant annet et introduksjonskurs i pythonprogrammering, nyttig tilleggsstoff og løsninger av oppgavene i grunnboka. På nettstedet legger vi ut eventuelle feil i fasit eller i andre deler av bøkene. Kontakt oss I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha melding om feil eller ønsker om forandringer. Ta kontakt på sinus@cappelendamm.no. Vi ønsker studentene lykke til i arbeidet med faget. ToreOldervoll–OttoSvorstøl–RobinBjørnetunJacobsen
5 s 1InnholdTall og variabler ............................................................ 6 2 Likninger og ulikheter .................................................... 16 3 Linjer og grafer ............................................................ 29 4 Faktorisering ............................................................... 42 5 Polynomer og rasjonale uttrykk ....................................... 52 6 Grenseverdier og derivasjon ........................................... 64 7 Funksjonsdrøfting ......................................................... 76 8 Logaritmer og eksponentialfunksjoner .............................. 92 9 Trigonometri og geometri ............................................... 110 10 Trigonometriske likninger ............................................... 130 11 Trigonometriske funksjoner ............................................ 143 12 Vektorer ...................................................................... 155 13 Skalarprodukt og parameter framstilling ............................ 169 14 Vektorer i rommet ......................................................... 183 15 Følger og rekker ........................................................... 203 16 Integralregning ............................................................ 220 17 Integrasjonsmetoder ..................................................... 233 Fasit ..................................................................................... 252
1.1 TALL OG TALLREGNING Oppgave 1.110 Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 b) π c) –3 Oppgave 1.111 Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 121012,,,, b) 35335,,,, Oppgave 1.112 Skriv mengdene på listeform. a) Mengden av de hele tallene som er større enn –3 og mindre enn 4. b) Mengden av de positive partallene som er større enn 4 og mindre enn 10. c) Mengden av de positive hele tallene som går opp i 18. Oppgave 1.113 Regn ut både med og uten kalkulator. a) 2 334 b) 5732 c) 4524 d) 4293 Oppgave 1.114 Regn ut både med og uten kalkulator. a) 34 5 b) 534 c) 6 5432 d) 412623: Oppgave 1.115 Regn ut uten kalkulator. a) 2 3234223 b) 325521245 c) 2 34621 d) 43172324 Oppgave 1.116 Regn ut både med og uten kalkulator. a) 6 22 b) 32322 c) 2 3252 d) 32332 Oppgave 1.117 Med ett addisjonstegn, ett subtraksjonstegn, ett multiplikasjonstegn og én parentes skal du sette sammen tallene 3, 4, 5 og 6 slik at verdien av talluttrykket blir a) 9 b) 14 c) 11 1.2 BRØKREGNING Oppgave 1.120 Forkort brøkene både uten og med kalkulator. a) 648 b) 1938 c) 6342 d) 7728 Oppgave 1.121 Forkort brøkene både uten og med kalkulator. a) 112224 b) 116348 c) 150600
6s 1 | TALL OG VARIABLER 1 ØV MER
Tall og variabler
1.3 BOKSTAVREGNING OG PARENTESER Oppgave 1.130 Trekk sammen. a) 2 3534 xxyyx b) 2 332 ababa c) 5234 xyxy d) 6 253 abab Oppgave 1.131 Trekk sammen. a) 3121 xx b) 42332 xx c) abba23 d) abbabb 122 2 Oppgave 1.132 Trekk sammen. a) 53242 xyxyx b) 423222 abcabc c) 2 23234 xyxyy d) 42233 abab Oppgave 1.133 Regn ut. a) 3132 aaaa b) xxxxxx 225123 Oppgave 1.134 Multipliser ut og trekk sammen. a) 21212121 xxxx b) 2 22xx c) 323512 xxxx d) 2 112xxx Oppgave 1.135 Multipliser ut og trekk sammen. a) 23 33aba b) 15 2510 abab c) 43 13 34 abab
7 s
Oppgave 1.122 Skriv brøkene med 18 som nevner. a) 91 b) 65 c) 23 Oppgave 1.123 Regn ut uten kalkulator. a) 53 54 25 b) 25 53 101 c) 3 23 d) 23 35 61 Oppgave 1.124 Regn ut uten kalkulator. a) 1625 5032 b) 73 1528: c) 154 165 d) 94 6: Oppgave 1.125 Regn ut både uten og med kalkulator. a) 2 74 215 b) 4 23 71 c) 25 3 21 307 Oppgave 1.126 Regn ut både uten og med kalkulator. a) 212 b) 2213 c) 10253 Oppgave 1.127 Regn ut uten kalkulator. a) 12 2113 b) 14 23 121 c) 13 65 23 125 d) 15 252 101 53
8s 1 | TALL OG VARIABLER Oppgave 1.136 I denne oppgaven er bare tallene 2, 3 og 4 brukt. Finn x, y og z når xxyzxz 21 Oppgave 1.137 Finn faktorer som kan stå i de åpne rutene. yxyxxy 22 1.4 RASJONALE UTTRYKK Oppgave 1.140 Skriv så enkelt som mulig. a) aaa 212 12 3 4 b) 25 217 3535aaa c) xxx 24 23128 d) 3 712 223xxx Oppgave 1.141 Trekk sammen. a) 21 234 xx b) 2 2 23 xxx c) 423 61xx Oppgave 1.142 Trekk sammen. a) 53 54 1 xx b) yyy 4 1 3 2 6 c) zzzzz 7 42172 Oppgave 1.143 Trekk sammen. a) aaaa 5 5 25 5 2 b) bbbbb 2213 13 2 Oppgave 1.144 Regn ut. a) 42 2362xyyx b) 52 156 2 a ba b : c) 31 21 236abb ab d) 23462 xxx Oppgave 1.145 Regn ut. a) 3 4 9122 2abab b) 25 32810xyxy : c) 1 2 242 xxxx d) yyyy 5 1015522 Oppgave 1.146 Regn ut. a) 2133322 xx xx b) 52 1 103 21 xx xx Oppgave 1.147 Regn ut de brudne brøkene. a) 43 15 14 23 xx b) 9 2 1 2 4 2 xx x
9 s 1.5 POTENSER Oppgave 1.150 Regn ut. a) 24 b) 2 4 c) 24 Oppgave 1.151 Regn ut. a) 2342 b) 2253 c) 550 d) 3334 Oppgave 1.152 Regn ut. a) 2 45722 b) 33332404 c) 2 2 4454 23 d) 22226312 Oppgave 1.153 Regn ut. a) 2323233528 b) 252525264244 Oppgave 1.154 Regn ut. a) 3232332412 b) 4244203124 Oppgave 1.155 Regn ut. a) aa aa 3532 b) aaa nn2 1 2 Oppgave 1.156 Hvilke to forskjellige positive hele tall x og y er slik at xyyx 1.6 FLERE POTENSREGLER Oppgave 1.160 Regn ut og skriv svarene enklest mulig. a) 2323 xx b) xyxy 2 2 3 c) 36 2 32y y d) 23232223 2 Oppgave 1.161 Regn ut og skriv svaret som en brøk. a) 25 3 b) 53 2 c) 23 1 x d) 54 2 x Oppgave 1.162 Sorter tallene i stigende rekkefølge. 25 25 1 25 2 25 0 25 3 25 3 Oppgave 1.163 Regn ut og skriv svaret som en brøk. a) 25 2223 b) x yyx 2 3 2 2 c) 2 21 21 142 242 Oppgave 1.164 Regn ut. a) 7732 2 b) 3 2 2 1 3 b b c) 222132 2 23 2 aa a
10s 1 | TALL OG VARIABLER Oppgave 1.165 Skriv så enkelt som mulig. a) aa aa 3 2 0 51 b) 2 23 2 2 xx x c) 3233932241 Oppgave 1.166 Skriv så enkelt som mulig. a) aab ba 22 3 3 2 b) 3 6 12311 2 ab ab Oppgave 1.167 Skriv så enkelt som mulig. xyxy xy 2 3 12 1 3 2 2 Oppgave 1.168 Regn ut og skriv svaret som et desimaltall eller et helt tall. a) 21031023 4 2 b) 31021022 3 2 c) 41022213 2 2 2 d) 310310210221320 1.7 TALL PÅ STANDARDFORM Oppgave 1.170 Hvilke tall er like store av 341034106,34 000 000034108,5 Oppgave 1.171 Regn ut uten hjelpemiddel. Skriv svaret på standardform. a) 2510310412, b) 851041028, c) 321041026, d) 84102110 39,, Oppgave 1.172 Skriv på standardform. a) Lysfarten: 300 000 000 m/s b) Elektronmassen:0,000000000000000000 000 000 000 000 911 kg c) Lengden av et lysår: 9 460 000 000 000 000 m d) 0,000Elementærladningen:000000000000 000 160 C (C = coulomb) Oppgave 1.173 a) Skriv størrelsene på standardform med SI-enheter (m, kg, s). 1) 0,0000076 mm 2) 3589 tonn 3) 8 timer 45 min 26 s b) Regn ut og skriv svaret på standardform med SI-enheter. 1) 450275tonn km 2) 25mg58940 km/s 3) 9510 12 2g15mm/s Oppgave 1.174 Regn ut med kalkulator. Skriv svaret på standardform. a) 123400034560000003421,,, b) 123489734569880869419,,,, c) 2,,,31069105910579 d) 171044106010483,,,
1.8 KVADRATRØTTER OG RØTTER AV HØYERE ORDEN Oppgave 1.180 Regn ut uten hjelpemiddel. a) 14 b) 259 c) 16981 d) 753 Oppgave 1.181 Bruk regneregler for kvadratrøtter til å vise at a) 822 b) 7262 c) 2733 d) 200102 Oppgave 1.182 Regn ut uten kalkulator. a) 164 b) 1253 c) 325 d) 13 e) 325 f) 10126 Oppgave 1.183 Bruk kalkulator og regn ut. a) 2364 , b) 1265 , c) 3295 , d) 3457 Oppgave 1.184 Regn ut uten kalkulator. a) a 33 b) 81033 c) 000014 , d) 0641083 , Oppgave 1.185 Regn ut uten kalkulator. a) 273 + 2 2 2 b) 3351624 c) 22343 3
11 s Oppgave 1.175 I et glass vann (180 g) er det 6 1024 Hvorvannmolekyler.storermassen
til et vannmolekyl? Skriv svaret på standardform. Oppgave 1.176 En bakterie har lengden 2 10 5 mm. Hvor mange bakterier er det plass til langs en fingernegl med bredden 1 cm? Skriv svaret på standardform. Oppgave 1.177 a) Et atom har radien 10 7 mm. Hvor mange slike atomer går det ved siden av hverandre på 1 m? Skriv svaret på standardform. b) Kjernen i atomet har radien 10 11 mm. Finn forholdet mellom radien i atomet og radien i kjernen. Oppgave 1.178 a) Regn ut hvor mange timer det er i 1 århundre. Vi ser bort fra skuddår. Skriv svaret på standardform. b) 1 mikroårhundre er 110 4 år. Regn ut om én undervisningstime på 60 minutter er mer eller mindre enn ett mikroårhundre. Oppgave 1.179 Solradien er r = 698 000 000 m, og solmassen er M = 2 1030 kg. a) Bruk formelen for volumet av ei kule Vr 34 3 til å regne ut volumet av sola i kubikkmeter. b) Bruk formelen MTV til å finne gjennomsnittstettheten T av sola.
Oppgave 1.186 Forenkle uttrykket så mye som mulig. abba a 2 2 3 2 Oppgave 1.187
12s 1 | TALL OG VARIABLER
1.9 POTENSER MED EN BRØK SOM EKSPONENT
Oppgave 1.190 a) Regn ut uten kalkulator. 1) 27 13 2) 263 3) 125 23 4) 43 6
M fra et himmellegeme er et mål for hvor mye energi som stråler ut fra 1 m2 av himmellegemet per sekund. Dersom vi måler overflatetemperaturen
T i kelvin og temperaturen t i celsiusgrader er gitt ved Tt 273 a) For sola er M 6421072,.W/m Finn overflatetemperaturen på sola målt i 1) kelvin 2) celsiusgrader b) For jorda uten atmosfære er M 235 W/m.2 Finn overflatetemperaturen på jorda uten atmosfære målt i 1) kelvin 2) celsiusgrader c) Drøft svaret i punkt b2. Hva kan grunnen være til at overflatetemperaturen på jorda er høyere enn dette svaret?
b) Kontroller utregningene ved å bruke kalkulator. Oppgave 1.191 Regn ut uten kalkulator. a) 16 61 23 b) 32 65 13 c) 81 13 d) 1681 21 21 Oppgave 1.192 Bruk kalkulator og regn ut. a) 355 b) 21 21 c) 258 , d) 10 53 e) 1313 f) 7 23 5 Oppgave 1.193 Regn ut uten kalkulator. a) 2 2221 23 61 b) 33336 c) 55512 21 13 23 d) 22213 14 121 5 Oppgave 1.194 Skriv så enkelt som mulig når a > 0. a) aaaa a 3 4 6 12 b) aaaa a 34 6 12 3
Overflatearealet O av ei kule med radius r er Or 4 2. Ei kule har overflatearealet 50,24 cm2. Regn ut radien r. Oppgave 1.188
T i kelvin (K), har vi MkT 4 der k 56710 8 Sammenhengen,.24W/mKmellomtemperaturen
Utstrålingstettheten
13 s Oppgave 1.195 Skriv så enkelt som mulig uten å bruke kalkulator. a) 122748 b) 18322 c) 65424 Oppgave 1.196 Løs oppgaven uten bruk av kalkulator. a) Regn ut og skriv svaret som en brøk. 1) 55523 2) 20123222 b) Regn ut. 1) 22236 2) 2224 c) Vis at5204580105 d) Regn ut. 1) 777231213 7 13 2) 39121214 21 Oppgave 1.197 Meteoroider er små legemer som kretser rundt sola. Temperaturen på meteoroidene, som måles i enheten kelvin (K), er avhengig av avstanden til sola. Avstanden x til sola er målt med avstanden mellom jorda og sola som enhet (astronomisk enhet, AE). Sammenhengen mellom T og x er gitt ved formelen Tx 276 21 a) Finn temperaturen på en meteoroide når avstanden til sola er 4 AE. b) Finn avstanden fra sola til en meteoroide når temperaturen er 92 K.
BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 1.200 Regn ut. a) 31483562 b) 3122322 abab Oppgave 1.201 Regn ut. a) 2 83 134 b) 13 21 1 21 2 15 Oppgave 1.202 Regn ut. a) 2 78 94 b) 21 13 1 15 2 13 c) 1 1 95 23 61 d) 23 2 29 aa aa Oppgave 1.203 Regn ut. a) 2 52258632 b) 2 1 13 21 1 2 xx c) aa 2 1 61 23 Oppgave 1.204 Skriv så enkelt som mulig. a) aaaa 2 13 114 2 b) bbb 2 2 4 233
VARIABLER
Oppgave 1.210 Lysfarten er 300108, m/s. Avstanden fra månen til jorda er 384 400 km. a) Hvor lang tid bruker lys på å komme fra månen til jorda? b) Avstanden fra sola til jorda er 149 600 000 km. Hvor lang tid bruker lyset på å komme fra sola til jorda? Oppgi svaret i minutter og sekunder. Oppgave 1.211 Vi har en liten kopperfilspon og finner ut at den veier 0,016 mg. Et kopperatom veier 10610 22 , g. Hvor mange kopperatomer er det i den lille sponen? Oppgave 1.212 a) Regn ut. 1) 3342 2) 222 2 3aa b) Skriv på standardform. 1) 0,,000005600007 2) 278107721039000125,, c) Skriv så enkelt som mulig. 1) xx 13 23 2) yy y 25 535 Oppgave 1.213 a) Regn ut. 1) 33 3332 20 2) 4228123 aa a b) Regn ut. 1) 1644 21 2) 22223 21 6
14s 1 | TALL OG Oppgave 1.205 Skriv så enkelt som mulig. a) xxx 1 3 349 326 b) yyy y213 22 Oppgave 1.206 Skriv så enkelt som mulig. a) 16 41 1414 2 2 xxx b) 8 8828 2 3 xx xx Oppgave 1.207 Regn ut. a) 6 22331322 b) 2 21 13 14 c) xxxxxx 225123 Oppgave 1.208 Hver av de to diagonalene på figuren har den samme summen som kolonnen i Hvilketmidten.uttrykk skal det stå i rute A, og hvilket uttrykk skal det stå i rute B? A2x – 7 x – 2y 3( y – x) 2y – x4( x – y + 2) B Oppgave 1.209 Regn ut uten kalkulator. a) 45734 b) 3426242
15 s Oppgave 1.214 a) Regn ut. 1) 222532 2) 2 23 2 xx b) Skriv på standardform og regn ut. 25000000000003600000003,, c) Regn ut. 1) 3 321 2 3 2) 22212316 Oppgave 1.215 Gjør uttrykket så enkelt som mulig. 236433233 xyy yx Oppgave 1.216 Forenkle uttrykket så mye som mulig. 2 2 2 2 4 x yx y Oppgave 1.217 Regn ut. a) 2 3 3 1 xx b) 2223 5 4 3 aa a Oppgave 1.218 Regn ut uten kalkulator. 316812 13 Oppgave 1.219 Gjør uttrykket så enkelt som mulig. 2363232 xy xyx Oppgave 1.220 Forenkle uttrykket så mye som mulig. x yxx y 2 4 3 2 Oppgave 1.221 Tre studenter har gjort et arbeid sammen. De skal dele inntekten av arbeidet etter hvor mye hver enkelt har gjort. Den ene studenten har gjort 25 av arbeidet, mens student nr. 2 har gjort 13 av jobben.
Hvor stor del av inntekten skal den tredje studenten ha? Oppgave 1.222 Tove plukket 20 000 brunsnegler i hagen sin i løpet av sommersesongen. Gå ut fra at hver brunsnegle i gjennomsnitt er 8 cm lang. Anta at Tove legger alle sneglene på rekke. a) Hvor lang blir rekka med snegler? Det sies at hver brunsnegle kan få et avkom på 400 snegler hver sesong. b) Hvor mange brunsnegler har da Tove spart hagen sin for ved å plukke de sneglene hun gjorde? Skriv svaret på standardform. Oppgave 1.223 (Eksamen 2019) Bestem x og y ut av likningen abaababxy 2 21 23 2 21 Oppgave 1.224 (Eksamen 2020) Skriv så enkelt som mulig. 5 525 2 15 1 13 3 aa aa
16s 2 | LIKNINGER OG ULIKHETER 2 ØV MER 2.1 LIKNINGER Oppgave 2.110 Løs likningene uten hjelpemiddel og sett prøve på svaret. a) 0,3x 1,7x 3,6 0,2x b) 1,5x 0,2 1,3x 0,6 c) 0,6 2 0,2x 0,3 0,1x 2,5 Oppgave 2.111 Løs likningene uten hjelpemiddel. a) 23 21 70tt b) 2 21 2 13tt c) 2 1 54 75ss Oppgave 2.112 Løs likningene uten hjelpemiddel. a) 2x 2 3 1 x 5 x b) 21 23 61 3tt c) 15 1 103 10ss d) 23 13 21 21 13sss Oppgave 2.113 Løs likningene uten hjelpemiddel. a) 21 1 13 1 61 1xx=x+x b) 1 2 13 21 3 21 1 2 xx=x
Eli-Trine gir leksehjelp hver torsdag. En måned ga hun leksehjelp fire ganger, og summen av datoene for de fire torsdagene var 58. Finn datoen for den siste søndagen denne måneden. Oppgave 2.116 Kjeld har ei flaske som rommer 13 L. Flaska er 43 fylt med vann. Kjeld heller ut noe av det slik at det er igjen 15 L vann i Hvorflaska.mye vann blir helt ut? Oppgave 2.117 En stein veier 3 kg pluss halvparten av vekten sin. Hvor mye veier steinen?
Likninger og ulikheter
I et studium kunne studentene velge mellom tre prosjektoppgaver: oppgave A, oppgave B og oppgave C. Halvparten av studentene valgte oppgave A, en femtedel valgte oppgave B, og resten av studentene valgte oppgave C. Det var 9 studenter som valgte prosjektoppgave C. Hvor mange studenter var det på dette studiet? Oppgave 2.115
Oppgave 2.114
17 s
a) Lars tar halvparten av vannet pluss en halv liter. Forklar at Lars tar x 2 21 liter vann, og at det er igjen x 2 21 liter vann. b) Gurine tar halvparten av det vannet som nå er igjen, pluss en halv liter.
Oppgave 2.118 Da Martin døde, etterlot han halvparten av formuen sin til Martine. 4000 kr gikk til undulaten, og halvparten av resten skulle hesten ha. Halvparten av resten fikk hunden. De resterende 6000 kr gikk til et veldedig formål. Hvor stor var formuen til Martin? Oppgave 2.119 Lars, Gurine og Ola er hyttenaboer, og en dag henter de vann fra en felles tank. Det er x liter vann i tanken.
Forklar at Gurine tar x 4 14 liter vann, og at det er igjen x 4 43 liter vann. c) Ola tar halvparten av det vannet som nå er igjen, pluss en halv liter.
Forklar at Ola tar x 8 81 liter vann. d) Etter at alle tre har tatt det vannet de skal ha, er det 4 liter vann igjen i Forklartanken. at xxxx 2 241 148 81 4 Bestem x. 2.2 TO LINEÆRE MED TO UKJENTELIKNINGER Oppgave 2.120 Løs likningssettene både ved innsettingsmetoden og addisjonsmetoden. a) xy 5 b) 2x 3y 21 2x 3y 5 3x 2y 1 c) 6x 2y 11 d) 6x 3y 8 x 2 0 2x 3y 4 Oppgave 2.121 Løs likningssettene ved regning. a) 2 5124xy xy b) 4247 xy xy c) yx yx 212123 d) yx yx 21 2 23 4 Oppgave 2.122 Løs likningssettene ved regning. a) 2x 3y 5 3xy 2 b) 3s 4t 2 2s 3t 7 c) 13 15 1511 14 23 1213 xy xy Oppgave 2.123 Kari og Ola er til sammen 62 år. Om to år er Ola akkurat dobbelt så gammel som HvorKari.gamle er de i dag? Oppgave 2.124 2 kg epler og 3 kg appelsiner koster til sammen 111 kr. 3 kg epler og 1 kg appelsiner koster til sammen 93 kr. Hvor mye koster 1 kg epler, og hvor mye koster 1 kg appelsiner?
2.3 FORMLER Oppgave 2.130 Tenk deg at du kjører bil med farten 20 m/s. Mobiltelefonen ringer, og du er ukonsentrert i ett sekund. a) Finn farten i kilometer per time. b) Hvor langt ruller bilen mens du er ukonsentrert? Oppgave 2.131 For bølger med frekvensen f og bølgelengden λ er bølgefarten v gitt ved vfλ Menneskeøret er normalt i stand til å oppfatte svingninger mellom ca. 20 Hz og 20 000 Hz som lyd. Vi setter lydfarten til 340 m/s. a) Hva er den korteste bølgelengden øret kan oppfatte? b) Hva er den lengste bølgelengden øret kan oppfatte?
a) En kjemiker har to syreoppløsninger. I den ene er 80 % av volumet syre, og i den andre er 50 % av volumet syre. Hun trenger 50 L oppløsning med 74 % syre. Hvor mye av hver oppløsning må hun da bruke?
Oppgave 2.126
18s 2 | LIKNINGER OG ULIKHETER
Oppgave 2.125 En studentkantine har en varmdrikkautomat for te og kaffe. En kopp te koster 12 kr, og en kopp kaffe koster 15 kr. En dag var det solgt i alt 58 kopper te og kaffe, og det var akkurat 774 kr på Hvorautomaten.mange kopper te og hvor mange kopper kaffe var det solgt den dagen?
b) I en messinglegering er 70 % av vekta kopper og 30 % av vekta sink. I en annen messinglegering er det 40 % kopper og 60 % sink. En mekaniker trenger 300 g av en legering med 60 % kopper og 40 % Hvorsink. mange gram av hver legering må han da få smeltet og blandet?
Finn Skogen selger ved. En dag har en kunde betalt i alt 420 kr for 4 sekker bjørkeved og 2 sekker granved. En annen kunde har betalt i alt 405 kr for 3 sekker bjørkeved og 3 sekker granved. Hvor mye koster 1 sekk med bjørkeved og 1 sekk med granved til sammen? Oppgave 2.128
Vibeke og Viktor bor 150 km fra hverandre. De skal møtes et sted på veien mellom der de bor. Vibeke regner med at hun kan kjøre hele strekningen på 3 timer med skuteren sin. Hun kjører hjemmefra kl. 12.00. Viktor trenger 5 timer på å kjøre 150 km. Han kjører hjemmefra kl. 13.00. Hvor langt ligger møtestedet fra der Vibeke bor? Oppgave 2.129
Gudbrand I. Lia har katter og høner. Til sammen har dyrene 12 hoder og 30 bein. Hvor mange katter og hvor mange høner har Gudbrand? Oppgave 2.127
19 s
Brystmål Kroppslengde
Oppgave 2.132 Lydfarten i luft er 340 m/s. Du ser et lyn, og 7,0 sekunder seinere hører du tordenskrallet. a) Finn lydfarten i kilometer per time. b) Hvor langt unna er lynnedslaget?
Ola kjører på en motorvei i 78 km/h. Kari kjører i 90 km/h på den samme veien. Ved et målepunkt er hun akkurat 12 km bak Ola.
a)1) Hvor mange kilometer kjører Kari i minuttet? 2) Hvor mange kilometer kjører Ola i minuttet? b) Hvor lang tid går det før Kari tar igjen Ola? Hvor langt fra målepunktet er de da? Oppgave 2.136 En bil starter fra ro og har konstant akselerasjon. Farten er 10 m/s etter 4,0 s. a) Hvor stor er akselerasjonen? b) Hvor langt kjører bilen på de første 4,0 s? c) Hvor langt kjører bilen på de neste 4,0 s? Gå ut fra at akselerasjonen er konstant. d) Hvor stor fart har bilen 8,0 s etter at den startet? Gi svaret i kilometer per time. Oppgave 2.137 En av bevegelseslikningene i fysikk er vvas 2 0 2 2 . a) Bruk formelen til å finne en formel for akselerasjonen a uttrykt med v, v0 og s. b) En bil øker farten jevnt fra v0 =18 m/s til v =25 m/s på en strekning på s Finn=50 m.akselerasjonen.
Oppgave 2.133 Ved å finne brystmålet og kroppslengden til en hest kan vi med god tilnærming regne ut hvor tung hesten er. Dersom kroppslengden er k centimeter og brystmålet er b centimeter, finner vi vekta v i kilogram ved hjelp av formelen vbk118802
a) En hest har brystmålet 180 cm og kroppslengden 160 cm. Finn vekta. b)1) Finn en formel for k uttrykt ved v og b. 2) En hest veier 475 kg og har brystmålet 185 cm. Finn kroppslengden. c)1) Finn en formel for b uttrykt ved v og k. 2) En hest veier 452 kg og har kroppslengden 162 cm. Finn brystmålet. Oppgave 2.134 Den kinetiske energien E til et legeme med massen m og farten v er gitt ved formelen Emv 21 2 . Finn v uttrykt ved E og m. Oppgave 2.135
2.4 FORMLER I PYTHON Oppgave 2.140 Lag et program i Python som kan regne ut regnestykkene. a) 1263 (Skriv svaret som et heltall.) b) 12 63 (Skriv svaret som et heltall.) c) 12638 (Skriv svaret med 3 desimaler.) d) 5 6 8 43 (Skriv svaret som et heltall.) Oppgave 2.141 Sammenhengen mellom temperatur målt i fahrenheitgrader F og i celsiusgrader C er gitt ved FC 95 32 Lag et program som regner om fra celsiusgrader til fahrenheitgrader. Programmet skal skrive svaret med 1 desimal. Oppgave 2.142 Vi har gitt denne sammenhengen: 1 knop Lag= 1,852 km/h 1 nautisk mil/timeetprogramsomregnerom en gitt fart fra knop til kilometer per time og fra knop til meter per sekund. Programmet skal skrive svarene med 1 desimal. Oppgave 2.143
20s 2 | LIKNINGER OG ULIKHETER
Formelen for volumet av ei kjegle er Vrh 32 der V er volumet, r er radien og h er Laghøyden.etprogram i Python som regner ut høyden i kjegla når volumet er gitt. Svaret skal skrives med 2 desimaler.
Oppgave 2.138 Vi har gitt disse to formlene for rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon: vvat 0 svtat 0 221 Bruk de to formlene ovenfor og vis at den tilbakelagte strekningen s er gitt ved formelen svvt 0 2 Oppgave 2.139 Effekten P til en vindturbin er gitt ved P 0,0003 v 3 A der v er vindstyrken målt i meter per sekund, og A er arealet i kvadratmeter av sirkelen rotorbladene lager når de roterer. a) Finn en formel for effekten uttrykt ved lengden r i meter av rotorbladene på vindturbinen. b) Gå ut fra at vindstyrken dobles. Hvor mange ganger større blir effekten da? c) Finn en formel for arealet A uttrykt ved P og v.
Volumet av ei kule med radius r er gitt ved Vr 34 3 Lag et program i Python som regner ut volumet av ei kule. Svaret skal skrives med 2 desimaler. Oppgave 2.144
2.5 LINEÆRE ULIKHETER Oppgave 2.150 Løs ulikhetene. a) 5422 xx b) 3 23xx c) xxx 323252 Oppgave 2.151 Løs ulikhetene. a) 2 1313xxx b) 3 21513 xxx Oppgave 2.152 Løs ulikhetene. a) 2 225 xx b) 3 8423xx c) xxx214 Oppgave 2.153 Løs ulikhetene. a) 2 1313 5xxx b) 534 132 xxx Oppgave 2.154 Løs ulikhetene. a) z+>z++ 4 3 213 1 b) 744 2 3 2 38 x+x+x c) y+>y 4 3 76 522 d) 355 1 3 2t>+t Oppgave 2.155 Løs ulikhetene. a) 21 2 4 1xx b) 21 1 13 2 65xx c) 224 1 3 0 xx d) 2134 543 xx Oppgave 2.156 Per har 28 600 kr på konto og tar ut 740 kr hver måned. Anne har 13 240 kr på konto og setter inn 540 kr hver måned. Vi ser bort fra renter. Når har Anne mer penger enn Per på kontoen? Oppgave 2.157 Det renner vann fra to kraner ned i hver sin beholder. I den første beholderen er det 20 liter vann, og det kommer 8 liter vann per minutt fra kranen. I den andre beholderen er det 50 liter vann, og det kommer 5 liter vann per minutt fra denne kranen. Når er det mest vann i den første beholderen?
21 s Oppgave 2.145 Hvis vi en slipper en stein fra h meter over bakken, er sammenhengen mellom h og falltiden t i sekunder før steinen treffer bakken hgt 21 2 Her er g 9,8 m/s2 tyngdeakselerasjonskonstanten. a) Lag et program i Python som regner ut høyden når falltiden er gitt. b) Lag et program i Python som regner ut falltiden når høyden er gitt. c) Vi slipper en stein fra to forskjellige høyder. Fra den ene høyden er falltiden det dobbelte av falltiden fra den andre. Bruk programmene du har lagd til å finne sammenhengen mellom høydene steinene ble sluppet fra.
a) Alle tall større enn eller lik 0 og mindre enn 5 b) Alle tall større enn –1 c) Alle tall mindre enn eller lik 2 d) Alle tall større enn –3 og mindre enn 2 Oppgave 2.161 Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer.
LIKNINGER
2.6 TALLINJER OG INTERVALL Oppgave 2.160 Skriv disse intervallene med matematiske symboler, og tegn dem inn på tallinjer.
22s 2 | OG ULIKHETER
a) Alle tall x mindre enn 0 b) Alle tall x større enn –3 og mindre enn eller lik 3 c) Alle tall x større enn eller lik –1 d) Alle tall x større enn 2 og mindre enn 3 Oppgave 2.162 Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [ 〉25, b) 〈 ]34, c) 〈〉 22, d) 〈〉 01, Oppgave 2.163 Marker disse intervallene på ei tallinje. a) [ 〉2, b) 〈 ]30, c) 〈 ],2 d) 〈 ]01, Oppgave 2.164 Sett inn enten eller i de tomme rutene. a) 2 12 〈〉 , b) 212〈〉 , c) 33〈〉 , d) 10001 0 101, e) 3145,,[〉 f) 〈〉 314,, 2.7 MENGDELÆRE Oppgave 2.170 Vi har gitt disse mengdene: A 01357,,,, B 23456,,,, C 456789,,,,, a) Finn AB og AB b) Finn ABC og ABC . Oppgave 2.171 Vi har gitt disse mengdene: Axyzuv ,,,, Bxzuvw ,,,, Cypq ,, a) Finn AB og AC . b) Finn AB og BC . Oppgave 2.172 La A 0, 1, 2, 3, 4, 5 , B 3, 4, 5, 6 og C 3, 5, 7 med grunnmengden S 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . a) Finn AB , BC , AB og BC . b) Finn AB \ , BA \ , AC \ og CA \ . c) Finn A og B Oppgave 2.173 Vi har gitt disse mengdene: A 01234,,,, B 210123,,,,, C 202468,,,,, a) Finn AB , AB , AC , BC , AB \ og BA \ . b) Finn ABC og ABC . c) Finn ABAC d) Finn ABAC .
23 s Oppgave 2.174 Vi har gitt disse mengdene: AB CD Undersøk012345024135,,,,,,,,,,,omnoenavmengdene er disjunkte. Oppgave 2.175 Vi har gitt disse mengdene der G er grunnmengden: G AB B BA1351234523452,,,,,,,,,\ Finn A Oppgave 2.176 Skriv enklere. a) 〈〉 [ 〉4752,\, b) 〈〉 [ 〉,,203 c) 〈 ][ 〉444,, d) [ 〉〈〉 011,\, Oppgave 2.177 La AB [ 〉〈〉 215,,, og C [ 〉 1,. a) Finn AC og BC b) Finn BC og AC . c) Finn \ B og \ C . Oppgave 2.178 Bruk symboler og skriv et uttrykk for den blå delen av venndiagrammet. AB Oppgave 2.179 Tegn av venndiagrammet og fargelegg deretter mengdene. AB C a) ABC b) ()ABC c) ABC d) (\)ABC 2.8 DOBLE ULIKHETER Oppgave 2.180 Løs de doble ulikhetene. a) 19432 x b) 8242 x c) 51 6x d) 58311 x Oppgave 2.181 Løs ulikhetene. a) xxx223 b) 2 124xxx c) yyy3628 d) 2 15334xxx Oppgave 2.182 Løs ulikheten. xxx 2 3231 Oppgave 2.183 Løs31792ulikheten. xxx
Oppgave 2.205 Løs likningssettet ved regning. x 3y 1 0 2xy 5 0 Oppgave 2.206 a) Løs likningssettet ved regning. y 2x 4 yx 5 b) Hans kjøper 3,0 kg pærer og 1,0 kg bananer og betaler 84 kr. I den samme forretningen kjøper Grete 2,0 kg pærer og 3,5 kg bananer. For dette betaler hun Finn124 kr.prisen på ett kilogram pærer og prisen på ett kilogram bananer i denne forretningen. Oppgave 2.207 3 barn og 2 voksne betaler til sammen 168 kr for bussbilletter. En voksenbillett koster dobbelt så mye som en barnebillett. Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett? Oppgave 2.208 Ekstra lett lettmelk inneholder 0,7 % fett. Lettmelk inneholder 1,5 % fett. Helmelk inneholder 3,9 % fett. En dag er kjøleskapet til Eldbjørg tomt for lettmelk, men hun har både ekstra lett lettmelk og helmelk. Hun bestemmer seg for å lage 1L lettmelk ved å blande ekstra lett lettmelk med helmelk. Eldbjørg setter opp dette likningssettet: xy 1 0,007x 0,039y 0,015 1 a) Forklar hva hver av likningene beskriver. b) Løs Hvorlikningssettet.myemelkav hver sort må Eldbjørg blande?
BLANDEDE Oppgave 2.200 Løs likningene ved regning. a) 21 2 4 1xx b) 21 1 13 2 65xx c) 13 21 21 13 13 21 3
xxx
24s 2 | LIKNINGER OG ULIKHETER
Oppgave 2.201 En student begynner å lese ei bok. Første dagen leser hun 81 av alle sidene i boka. Den neste dagen leser hun dobbelt så mange sider som den første. Den tredje dagen leser hun 25 sider, og da er det igjen 110 sider. Hvor mange sider er boka på? Oppgave 2.202 I en brøk er nevneren 6 større enn Hvistelleren.vilegger 8 til nevneren, blir verdien av brøken 13 . Hvilken brøk er dette? Oppgave 2.203 Marita har en kurv med jordbær. Først spiser hun halvparten av bærene, og så tar hun to til. Deretter spiser søsteren halvparten av resten og så to bær til. Slik fortsetter det med de to brødrene hennes. Til slutt ligger det bare ett bær igjen i kurven. Hvor mange jordbær var det i kurven fra begynnelsen av? Oppgave 2.204 Løs45ulikheten.16 2 13
xxx
OPPGAVER
Jorda går i bane rundt sola med farten v Vi kan regne ut denne farten ved å bruke formelen vM R der er en konstant, M er solmassen og R er avstanden mellom sola og jorda.
Finn et uttrykk for M. Oppgave 2.214 Vi kan regne ut omløpstida T rundt jorda for en satellitt som går rundt jorda i en sirkel med radius R. Formelen vi bruker, er gitt ved TRR M 2 der er en konstant og M er jordmassen.
Finn et uttrykk for R Oppgave 2.215 Pytagorassetningen sier at en trekant med sidelengder a, b og c, der c er den lengste siden, er rettvinklet hvis og bare hvis abc222. Lag et program som skriver ut lengden c av hypotenusen når vi kjenner lengdene a og b av katetene. Oppgave 2.216 Ohms lov gir sammenhengen mellom spenningen U, motstanden R og strømmen I i en elektrisk krets: URI a) Lag et program som regner ut strømmen I når vi kjenner U og R. For effekten P i kretsen har vi denne sammenhengen: PUI. b) Lag en formel for P uttrykt ved U og R, og bruk formelen til å lage et program som regner ut effekten P når vi kjenner U og R.
25 s Oppgave 2.209 Pelle Pirat har tre sekker med mynter, A, B og C, som han ønsker å veie. Vekta hans viser bare vekter på over 100 kg. Sekk A og B veier til sammen 124 kg. Sekk A og C veier til sammen 118 kg. Sekk B og C veier til sammen 130 kg. Hvor mye veier hver av sekkene? Oppgave 2.210 Det står 115 stoler i aulaen på Trestokken skole. Noen stoler har 3 bein, mens andre har 4 bein. Under en forestilling var 13 av de trebeinte stolene og 14 av de firbeinte stolene ledige. I alt var det da 573 bein i aulaen, medregnet både stolbeina og Hvormenneskebeina.mangemennesker satt da i aulaen? Oppgave 2.211 Arealet av et trapes er gitt ved formelen Aabh 2 Uttrykk h ved hjelp av A,a og b Oppgave 2.212 En naturfaglærer holder en ball som hun så slipper. Ballen faller fritt uten luftmotstand. Etter t sekunder har ballen falt h meter. Vi kan finne høyden ved formelen hgt 21 2 der g er tyngdeakselerasjonen.
Finn t uttrykt ved hjelp av h og g.
Oppgave 2.213
Oppgave 2.217 Diameteren i en kuleformet vanndråpe er 2,1 mm. Etter t sekunder har fordampingen gjort at diameteren d målt i millimeter er d 2,1 0,01 t a) Finn diameteren etter 60 s. b) Finn en formel for t uttrykt ved d. c) Hvor lang tid tar det for vanndråpen å fordampe helt? Oppgave 2.218 Vi fyller varm drikke på ei tekanne. Kanna holder dårlig på varmen, og etter x minutter er temperaturen T i celsiusgrader i kanna T 90 1,6x a) Hva er temperaturen i den varme drikken til å begynne med? b) Hva er temperaturen i kanna etter 20 minutter? c) Når er temperaturen i kanna 42 C? d) Finn en formel for x uttrykt ved T. e) Når er temperaturen i kanna 66 C? Oppgave 2.219 I denne oppgaven ser vi bort fra renter.
a) Kjersti har spart 6000 kr og fortsetter å spare 600 kr hver måned.
1) Hvor mye har hun spart etter 9 måneder?
2) Finn en formel for beløpet S i kroner som hun har spart etter x måneder. b) Frank har 16 800 kr og bruker 700 kr hver måned.
I et eksempel på side 59 i grunnboka regnet vi ut at dette gir en energi på 12 901 600 kWh.litertørr,godved kan gi energi som tilsvarer 1,3 kWh.
d) Svar på denne oppgaven ved bare å studere formelen for effekten. Hva skjer med effekten til vindturbinen hvis vindstyrken dobles samtidig som lengden på rotorbladene halveres?
26s 2 |
2) Finn en formel for beløpet B i kroner som han har igjen etter x måneder. Oppgave 2.220 To av likningene for bevegelse med konstant akselerasjon er: vvat svvt 0 0 2 Sett uttrykket for v fra den første likningen inn i den andre likningen og utled bevegelseslikningen svtat 0 221 Oppgave 2.221 Effekten P til en vindturbin er gitt ved P 0,0003 v 3 A der v er vindstyrken målt i meter per sekund, og A er arealet i kvadratmeter av sirkelen rotorbladene lager når de Gåroterer.utfra at turbinen går i 300 døgn på ett år, og at vindstyrken hele tida er 5 m/s. Lengden på rotorbladene er 58,5 m.
1) Hvor mye har han igjen etter 9 måneder?
LIKNINGER OG ULIKHETER
c) Hvor mange sekker ved på 60 L tilsvarer denne energien?
a) Hvor mange liter ved tilsvarer energien vi får fra vindturbinen?
b) En vedstabel på 4 m × 1 m × 60 cm kaller vi en favn ved. Hvor mange favner ved tilsvarer energien som vindturbinen da gir?
27 s Oppgave 2.222 Løsningen av ulikheten 3 3 xxa er x 1 Finn tallet a. Oppgave 2.223 Løs likningssettet ved regning. x 2y 2 x 4y 8 Oppgave 2.224 Sammenhengen mellom radien r i en satellittbane og omløpstida T for satellitten er gitt ved r Tk3224 der k er en konstant. For jorda er k 3,98 1014 m3/s2.
Hvilkenomløpstida.satellittkan
a) 1) Finn r uttrykt ved T 2) En satellitt bruker akkurat 86 400 s (24 h) på én runde rundt jorda over ekvator (synkronbanen). Hvor høyt over ekvator ligger denne banen når jordradien er 6,37 106 m? b) 1) Finn T uttrykt ved r. 2) En satellitt går i en sirkelbane rundt jorda. Radien i sirkelbanen er 3,82 108 m. Finn det være? Oppgave 2.225 Den amerikanske astronomen Edwin Hubble målte farten v til en del galakser og avstanden r fra oss til galaksene. Han oppdaget at andre galakser beveger seg raskere bort fra oss jo lenger unna de er. Dette beskrives i Hubbles lov gitt ved vHr der H blir kalt hubblekonstanten. Hvis vi forutsetter at ekspansjonsfarten har vært konstant, gir likningen rvt oss tida t for hvor lenge universets ekspansjon har vart. Sett H 23 millionkm/slysår a) Vis at 1 lysår 9,46 1012 km. b) Vis at tH 1 c) Regn ut universets alder. Gi svaret i milliarder år. Oppgave 2.226 Løs ulikhetene. a) xxx 221 b) 2 2131 xxx Oppgave 2.227 Løs ulikhetene. a) 21 2 13 1 13 21 4 xxx b) 21 1 61 1 13 21xxx Oppgave 2.228 Løs ulikhetene. a) 23 15 21 2 301xx b) 352143 xxx
28s 2 | LIKNINGER OG ULIKHETER Oppgave 2.229 Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 13 3303311,,,, b) 2 2222102,,, Oppgave 2.230 La AB[][ 〉0536,,, og C 〈〉 12, . a) Finn AB , AC og BC . b) Finn AB , AC og BC Oppgave 2.231 Vi har gitt disse mengdene der A er grunnmengden: A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 B 3, 4, 5, 6, 7, 8 C 1, 3, 5, 7, 9 a) Finn AB \ og AC \ . b) Finn BC c) Finn BC og BC . Oppgave 2.232 Vis med et venndiagram at ABCABAC Oppgave 2.233 Bruk symboler og beskriv det fargelagte området av venndiagrammet. AB C Oppgave 2.234 Bruk symboler og beskriv det fargelagte området av venndiagrammet. AB C Oppgave 2.235 Bruk et venndiagram til å forklare at ABAB Oppgave 2.236 Telefonabonnement A koster 400 kr i måneden uansett databruk. Telefonabonnement B koster 200 kr per GB Telefonabonnementdata. C koster 150 kr i måneden i tillegg til 100 kr per GB data. Ved hvilken databruk er abonnement B verken det billigste eller dyreste abonnementet? Oppgave 2.237 (Eksamen 2019) Løs den doble ulikheten xxx2217 Oppgave 2.238 (Eksamen 2020) Løs likningen ved regning. 23 54 13 9 15xx
Oppgave 3.114 Finn stigningstallet og konstantleddet for linjene. 4 3 5 2a)b) c) 1 –2 –1 –3 –4 –5 yx –3–4–212345–5–1 Oppgave 3.115
a) Tegn de to linjene yx 3 og y 2x 3 i det samme koordinatsystemet. b) Bestem likningen for ei ny linje som er parallell med x-aksen slik at arealet av området som er avgrenset av de tre linjene, blir 12. Oppgaven har to løsninger.
29 s 3 ØV MER 3.1 RETTE LINJER Oppgave 3.110 Lag tabell og tegn de rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) y 3x b) y 3x 4 c) y 3x 1 d) y 3x 3 Hvordan går linjene i forhold til hverandre? Oppgave 3.111 Lag tabell og tegn de tre rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) yx 2 b) y 2x 5 c) yx 4 Hvilket punkt går alle tre linjene gjennom? Oppgave 3.112 Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. a) yx 21 1 b) yx36 c) yx 23 25 d) yx 14 4 Oppgave 3.113 Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene. a) yx26 b) yx24 c) yx 14 1 d) yx 25 72
Linjer og grafer
a) Ei rett linje går gjennom punktene 2, 3 og 4, 9 . Finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktet 1, 3 og har stigningstallet –3. Finn likningen for linja. c) Ei annen linje er parallell med linja i oppgave b og skjærer x-aksen i x 2. Finn likningen for linja. Oppgave 3.127 Likningen for ei linje er gitt ved y 2x 4
30s 3 | LINJER OG GRAFER 3.2 Å FINNE LIKNINGEN FOR EI LINJE Oppgave 3.120 Finn likningene for linjene grafisk. 4 3 5 2 a) b) c) 1 –2 –1 –3 –4 –5 yx –21234567–3–1 Oppgave 3.121 Finn likningene for linjene grafisk. 4 3 5 2 a) b) c) 1 –2 –1 –3 –4 –5 yx –3–212345678910–4–1 Oppgave 3.122 Ei rett linje går gjennom punktene 0, 2 og 4, 0 . Finn likningen for linja grafisk. Oppgave 3.123 Regn ut stigningstallet til den rette linja som går gjennom disse punktene: a) –5, 1 og 1, –5 b) 0, 3 og 3, 6 c) 6, 3 og 4, 1 d) 7, 2 og –3, 7
Finn likningen for ei annen linje som har konstantledd 4 og er parallell med den første linja.
Oppgave 3.124 Finn likningen for linjene gjennom de to punktene uten bruk av hjelpemiddel. Tegn deretter linjene og kontroller at likningen stemmer. a) 1, 1 og 3, 5 b) –3, 2 og 0, 1 c) 3, –4 og –3, 5 d) 21 13, og 2 13, Oppgave 3.125 Løs oppgaven uten hjelpemiddel.
a) Ei rett linje går gjennom punktene 1, 4 og 3, 0 . Finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktet 2, 1 og har stigningstallet 4. Finn likningen for linja. c) Ei rett linje skjærer x-aksen i punktet 2, 0 og y-aksen i punktet 0, 2 . Finn likningen for linja. Oppgave 3.126 Løs oppgaven uten hjelpemiddel.
Oppgave 3.130 Tegn linjene digitalt. a) y 5x 4 b) yx 3 c) y 3,8x 2,5 d) yx 15 5 Oppgave 3.131 En familie leier ei hytte til 950 kr per døgn. I tillegg må de betale 350 kr for vask av hytta. Etter x døgn må de betale y kr, og beløpet er gitt ved y 950x 350 Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye de må betale for å leie hytta fra ett døgn og ei uke fram i tid.
b) Så øker Cecilie farten, slik at hun den neste timen har farten 6 km/h. Sett opp en formel som viser hvor mange kilometer y hun nå padler på t minutter. c) Tegn digitalt en kurve som viser hvor mange kilometer y Cecilie har padlet etter t minutter fra hun begynte på kanoturen. Oppgave 3.134
a) Hvilke to av punktene på figuren nedenfor må du velge for at den rette linja gjennom punktene du velger, skal få størst mulig konstantledd? Punktene skal ikke ha samme x-koordinat. b) Hva blir stigningstallet til denne linja? c) Hva blir konstantleddet til linja?
Ingvild liker å spille minigolf, og i fritidsklubben Kølla har de dette tilbudet:•30 kr per enkeltspill per person • Klippekort, 12 spill for 240 kr a) Finn en formel som viser hvor mye Ingvild må betale for x spill når hun ikke kjøper klippekort. b) Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye Ingvild må betale for inntil 12 spill når hun ikke har klippekort. c) Tegn digitalt en kurve som viser den billigste løsningen for Ingvild for inntil 12 spill.
Oppgave 3.132 Geir, Guri og Guro er på tur. På campingplassen der de bor, koster det 60 kr per time å leie en robåt. I tillegg må de betale 25 kr per person for å leie redningsvest.
a) Cecilie er på kanotur. Først padler hun en halv time med farten 3 km/h. Forklar at etter t minutter har Cecilie padlet y kilometer, der y 0,05t.
d) Hvilke to punkter må du velge for at linja gjennom de to punktene skal få minst mulig konstantledd? e) Hva blir stigningstallet til linja? f) Hva blir konstantleddet til linja? 5 4 3 2 1 yx ABCDE FGHIJ KLMNO PQRST UVWÆØ 1345 2 3.3 DIGITAL GRAFTEGNING
31 s Oppgave 3.128
a) Forklar at for t timer må de betale y kroner i leie, der y 60t 75. b) Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye de må betale i leie for inntil 8 timer. Oppgave 3.133
d) Det viste seg at utgiftene til førerkort kom på 30 800 kr. Bruk grafen til å finne ut hvor mange kjøretimer Simen hadde. Oppgave 3.145 Hans har 24 000 kr og bruker 1200 kr hver måned. Grete har 8000 kr og sparer 800 kr hver måned.
Oppgave 3.144 Simen skal ta bilsertifikat. Kjøreskolen Tutogkjør tar 600 kr per time, og i tillegg må Simen betale 14 000 kr for trafikalt grunnkurs, førstehjelpskurs, glattkjøring osv.
c) Simen håper at han skal klare seg med 15 kjøretimer. Finn av linja i oppgave b hvor mye Simen regner med at førerkortet vil koste.
Oppgave 3.143
3.4 GRAFISK LØSNING Oppgave 3.140 Løs likningene grafisk både med og uten hjelpemiddel. a) xx 3 13 7 b) 13 4 23 2xx Oppgave 3.141 Løs likningssettene grafisk både med og uten digitalt hjelpemiddel. a) 2x 5y 1 b) 4xy 2 x 2y 4 x 4y 7 Oppgave 3.142 Løs likningssettet x 5y 23 xy 1 a) ved regning b) grafisk uten digitalt hjelpemiddel c) grafisk med digitalt hjelpemiddel
b) Finn grafisk når Hans og Grete har like mye penger. Hvor mye har de da?
a) Hvor mye har Hans igjen av pengene sine etter x måneder? Hvor mye penger har Grete etter x måneder?
32s 3 | LINJER OG GRAFER
b) Tegn linja i oppgave a digitalt når x er mellom 0 og 40.
a) Finn en formel som viser hvor store de totale utgiftene y i kroner blir når Simen har x kjøretimer.
Bensintanken på bilen til Lise tar 60 liter. Ved langkjøring forbrenner motoren 0,75 liter per mil. Lise fyller tanken helt full og legger ut på en lang biltur. a) Forklar at etter x mil er det y liter bensin igjen på tanken, der y 60 0,75x b) Tegn linja i oppgave a digitalt. c) Bruk grafen til å finne ut hvor mange liter bensin det er igjen etter 50 mil. d) Bruk grafen til å finne ut hvor mange mil Lise har kjørt når det er igjen 30 liter bensin.
33 s
Oppgave 3.146 Ola kjører på en motorvei i 78 km/h. Kari kjører i 90 km/h på den samme veien. Ved et målepunkt er hun akkurat 12 km bak Ola. a) 1) Hvor mange kilometer kjører Kari i minuttet? 2) Hvor mange kilometer kjører Ola i minuttet?
I en kopp kaffe er temperaturen 68 C. Etter t minutter er temperaturen T målt i celsiusgrader i koppen T 68 3,6t a) Når er temperaturen i koppen mer enn 50 C? b) Når er temperaturen i koppen mindre enn 32
b) Forklar at t minutter etter at Kari har passert målepunktet, har de kjørt s km fra målepunktet, der Kari: s 1,5t Ola: s 12 1,3t c) Finn grafisk uten digitalt hjelpemiddel når Kari tar igjen Ola. Hvor langt fra målepunktet er de da? Oppgave 3.147 Petter selger abonnementer til mobiltelefoner. Han kan nå velge mellom to ulike lønnstilbud: I) ei fast månedslønn på 16 000 kr pluss 25 kr for hvert nytt abonnement han selger II) ei fast månedslønn på 14 000 kr pluss 50 kr for hvert nytt abonnement han selger a) Sett opp formler for månedslønna y i kroner når Petter selger x abonnementer. b) Finn grafisk hvor mange abonnementer han må selge for at lønnstilbudene skal være like gode. Hva er lønna da?
Oppgave 3.148 En familie skal på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der B 60 0,8x a) Hvor mange liter rommer bensintanken? b) Tegn ei linje digitalt som gir sammenhengen mellom x og B når x er mellom 0 og 75. c) Finn grafisk hvor mange liter bensin det er igjen etter 20 mil. d) Finn grafisk og ved regning hvor langt familien har kjørt når tanken er halvfull. e) Hvor mange mil kan de kjøre før de seinest må fylle tanken igjen? 3.5 GRAFISK LØSNING AV ULIKHETER
Oppgave 3.150 Løs ulikhetene grafisk. a) 2 42xx b) 364 xx c) 2 2210 xx d) 2()()134 xx Oppgave 3.151
34s 3 | LINJER OG GRAFER Oppgave 3.152 Løs de doble ulikhetene grafisk. a) 8242 x b) 51 6x c) 58311 x Oppgave 3.153 Løs ulikhetene grafisk. a) xxx223 b) 2 124xxx c) yyy3628 3.6 FUNKSJONSBEGREPET Oppgave 3.160 Regn ut f (2), f (0) og f ( 2) når a) fxxx () 2412 b) fxxx () 21 12 c) fxx x () 1 Oppgave 3.161 Grafen til funksjonen f er tegnet nedenfor. Df 53, . 2 –4–1–3–5–2–2 –4 4 6 8 10 12 yfx 2 13 a) Bruk grafen til å finne 1) f ()0 2) f ()2 b) Løs likningen fx() 0. c) Finn verdimengden til f Oppgave 3.162 Grafen til funksjonen f er tegnet nedenfor. Df 15, . –1 –1 –3 –2 –4 –5 1 2 3 4 yfx 12345 a) Bruk grafen til å finne 1) f (0) 2) f ( 1) b) Løs grafisk likningen f (x) 3 c) Finn verdimengden til f. Oppgave 3.163 Finn konstanten b når f (2) g (3). a) f (x) 2 gxb (x) 3x 5 b) f (x) x 2 gbx (x) bx 2 x 6 Oppgave 3.164 Bensintanken på bilen til Terje rommer 60 liter. Han fyller tanken helt full. Bilen bruker 0,50 liter bensin per mil. Etter at Terje har kjørt x mil, er antallet liter bensin som er igjen på tanken B (x) 60 0,50x a) Tegn uten digitalt hjelpemiddel grafen til B. b) Finn definisjonsmengden til funksjonen. c) Finn verdimengden. d) Er antallet liter bensin på tanken en funksjon av antallet kjørte mil?
Lorena er en kreativ lærer som har laget en funksjonsmaskin. Maskinen fungerer slik at hun kan justere funksjonsuttrykket f (x) slik hun ønsker. Deretter velger elevene noen x-verdier som maskinen setter inn i funksjonsuttrykket og regner ut funksjonsverdien til. x f (x) Dersom Lorena stiller inn maskinen slik at fxx () 31 og en elev velger x-verdien 5, regner maskinen ut at f ()535114 . Nedenfor er det vist noen tabeller med valgte x-verdier og de tilsvarende funksjonsverdiene som maskinen har regnet ut. Finn i hvert av tilfellene det funksjonsuttrykket som maskinen er innstilt på. Fins det flere løsninger av oppgavene? a) x 0137 f (x)041228 b) x 0145 f (x)353553 yxyx
Oppgave 3.165 Ei avis kommer ut en gang i måneden. Salgstallet S (x) i måned nummer x i 2022 var gitt ved S (x) 10 x 2 10x Avisa ble bare gitt ut i perioden fra og med januar til og med juni. a) Finn salgstallene i hver av månedene. b) Hva er definisjonsmengden til S? c) Finn verdimengden til S. d) Er salgstallet en funksjon av hvilken måned vi er i? Oppgave 3.166 Er noen av kurvene grafer til funksjoner? c)b)a)–4–6–2–1 1 yx 2246 –4–6–2–2 –4 –6 4 6 yx 4 226 –4–6–2–2 –4 4 6 yx 4 26 Oppgave 3.167 Er noen av kurvene grafer til funksjoner? a) b) Oppgave 3.168
35 s
a) Sett a 2. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet på grafen til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = –2. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn nullpunktene til f 3) Finn bunnpunktet på grafen til f. 4) Finn verdimengden til f. c) La a ha ulike verdier og tegn hver gang grafen til f. Finn ut hvordan bunnpunktet forskyver seg med ulike verdier av a.
Oppgave 3.170 Funksjonen f er gitt ved fxxx () 2 2 1 x –4–3–2–1012 f (x)9114
36s 3 | LINJER OG GRAFER
a) Kontroller de utregnede funksjonsverdiene i tabellen. b) Fyll ut tabellen. c) Tegn grafen til f. Oppgave 3.171 Funksjonen f er gitt ved f (x) x 2 2x 3 a) Tegn grafen til f uten bruk av hjelpemidler. Velg x 5, 4 når du tegner grafen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktet til f. d) Finn verdimengden Vf . Oppgave 3.172 Funksjonen g er gitt ved g (x) x 2 4x 5 a) Tegn grafen til g uten bruk av hjelpemidler. Velg x 2, 6 b) Finn nullpunktene til g. c) Finn ekstremalpunktet til g. d) Finn verdimengden V g. Oppgave 3.173 Funksjonen f er gitt ved f (x) x 2 4x 12 a) Tegn digitalt grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktet til f. d) Finn verdimengden Vf Oppgave 3.174 Funksjonen f er gitt ved fxaxx () 2 45 der a er en konstant.
3.7 ANDREGRADSFUNKSJONER
a) Sett a = 1. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn nullpunktene til f 3) Finn bunnpunktet på grafen til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = –1. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn toppunktet på grafen til f. 3) Finn verdimengden til f. c) La a ha forskjellige verdier og tegn hver gang grafen til f. Hvilket fortegn må konstanten a ha for at grafen til f skal ha 1) et bunnpunkt 2) et toppunkt Oppgave 3.175 En funksjon f er gitt ved fxxax () 2 8 der a er en konstant.
a) Skriv av programmet og kjør det. Kan du forklare hvordan programmet fungerer? b) Tilpass programmet slik at det skriver ut en verditabell for linja med likning yx 21 23 for x-verdiene 3, 2, , 6, 7. Oppgave 3.202 Ei rett linje har stigningstall 3.Linja skjærer x-aksen for x 13 . Bestem likningen for linja.
37 s Oppgave 3.176 Funksjonen f er gitt ved f (x) x 3 6x 2, Df 7, 2 Finn nullpunktene, ekstremalpunktene og verdimengden til f. Oppgave 3.177 I en vannrakett benytter vi oss av Newtons tredje lov, som sier at kraft og motkraft er like store, men motsatt rettet. En enkel utgave av en slik rakett er ei tom plastflaske på 1,5 L som vi fyller ca. halvfull med vann. Så setter vi i en gummipropp som vi kan pumpe luft gjennom. Når lufttrykket over vannet er høyt nok, presser lufta ut proppen og skyver vannet ut av flaska. Kraften som skyver ut vannet, har retning nedover, og motkraften får flaska til å fare oppover med stor fart. I et forsøk med en mer avansert vannrakett ble høyden som raketten nådde, målt til 534 m over bakken. I denne oppgaven ser vi bort fra luftmotstand og velger positiv retning oppover.
Vi bruker formelen vvas 2 0 2 2 , der v er farten til raketten i høyden s over bakken, v0 er startfarten og a er tyngdeakselerasjonen, som er 9,8m/s2. a) Hva er v idet raketten når sitt høyeste punkt? b) Bruk formelen ovenfor til å regne ut startfarten v0 målt i m/s. Rund av til nærmeste hele tall. c) Hva blir startfarten målt i km/h?
Oppgave 3.200 Finn likningen for linjene på figuren. 4 5 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 yx 24 –4–2–3135–5–1 Oppgave 3.201 Lucy har lagd et program for å lage tabeller med funksjonsverdier: print(" x | y") for x in range(-5, 5): y = 2*x + 1 print(f"{x} | {y}")654321
d) Forklar at den maksimale høyden over bakken er en funksjon av startfarten v0 e) Finn en formel for den maksimale høyden s, uttrykt ved v0.
BLANDEDE OPPGAVER
38s 3 | LINJER OG GRAFER Oppgave 3.203
a) Ei rett linje går gjennom punktene 0, 3 og 1, 1 . Finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktet 2, 3 og har stigningstallet 2. Finn likningen for linja. c) Ei rett linje er parallell med ei annen linje gitt ved 4x 2y 3. Linja går dessuten gjennom punktet 1, 1 . Finn likningen for linja. Oppgave 3.205 Vi har gitt 23737likningssettet xy xy Løs likningssettet både grafisk og ved regning. Oppgave 3.206 Løs likningen1452 22xx 1) grafisk 2) ved regning Oppgave 3.207 Løs likningssettet grafisk både med og uten digitalt 322hjelpemiddel.28 xy xy Oppgave 3.208 Ei rett linje l går gjennom punktene C 3, 4 og D 7, 2 Gjør beregninger og avgjør om linja l er parallell med linjestykket AB. 2 1 –1 y B A x 24 –113567 Oppgave 3.209
a) Ei rett linje går gjennom punktene 1, 3 og 1, 1 . Finn likningen for linja. b) Vis at linja går gjennom punktet 4, 2 . c) Undersøk om linja går gjennom punktet 3, 6 . Oppgave 3.204
a) Løs likningssystemet både grafisk og ved2regning. xy 5 4xy 7 b) Løs likningen grafisk. 2 43 13 xx Oppgave 3.210 a) Tegn de to linjene y 3x 5 og yx 13 5 i samme koordinatsystem. Bruk samme enhet på aksene. b) Hvor stor er vinkelen mellom linjene? c) Endre på konstantleddet til en av linjene. Endrer vinkelen mellom linjene seg? d) Endre på stigningstallet til en av linjene? Endrer vinkelen mellom linjene seg? e) Regn ut produktet av stigningstallet til de to linjene i oppgave a. f) Kan du finne likningen for ei linje som står vinkelrett på linja y 2x 4? Hva er produktet av stigningstallet til de to linjene nå? g) Undersøk om sammenhengen du har funnet også gjelder for andre linjer.
b) Hvor mange studenter må minst komme på festen for at de skal få dekket utgiftene?
d) Hvilken kinesisk skostørrelse tilsvarer norsk skostørrelse 43? Oppgave 3.214 En festkomite skal arrangere studentfest. De regner med at det vil koste 19 200 kr å arrangere festen. Inngangsbilletten koster 150 kr.
c) Bruk grafen til å finne den kinesiske skostørrelsen når skolengden er 28 cm.
c) Komiteen fikk et overskudd på over 10 000 kr. Sett opp en ulikhet og finn hvor mange studenter som minst kom på festen.
a) Tegn digitalt en graf som viser sammenhengen ovenfor.
39 s Oppgave 3.211 På en komfyr står det en kjele med vann. Temperaturen i vannet er 16 C. Vannet i kjelen får en jevn tilførsel av varme, og etter t minutter er temperaturen T målt i celsiusgrader i vannet T 16 4,2t a) Hva er temperaturen etter 7,5 minutter? b) Tegn ei linje som viser sammenhengen mellom T og t. Velg t mellom 0 og 20. c) Finn grafisk og ved regning når temperaturen i vannet er 79 C. d) Finn en formel for t uttrykt ved T. e) Hvor lenge går det før vannet koker? Oppgave 3.212 Berit fyller varm te med temperaturen 92 C på ei tekanne, mens Lars samtidig fyller varm kaffe med temperaturen 86 C på ei kaffekanne. Temperaturen i tekanna synker med 1,2 grader per minutt, mens temperaturen i kaffekanna synker med 0,8 grader per minutt. a) Hva er temperaturen T i tekanna etter x minutter? b) Hva er temperaturen K i kaffekanna etter x minutter? c) 1) Tegn ei rett linje som viser sammenhengen mellom T og x når x er mellom 0 og 30. 2) Tegn i det samme koordinatsystemet ei rett linje som viser sammenhengen mellom K og x. d) Finn grafisk og ved regning når temperaturen er den samme i tekanna og i kaffekanna. Oppgave 3.213 Kinesiske skostørrelser er annerledes enn de norske Sammenhengenskostørrelsene.ergittveduttrykket yx(),,2005215 der y er skolengden i centimeter, og x er den kinesiske skostørrelsen.
b) Bruk grafen til å finne skolengden på et par sko som har kinesisk skostørrelse 38.
a) Forklar at hvis det kommer x studenter, vil komiteen få et overskudd på O(x) kroner, der O(x) 150x 19 200
Vi har sammenhengen yx(),,320662175 der y er skolengden i centimeter, og x er den norske skostørrelsen.
Txxx () 254 165 42 , x 0, 22 T (x) er temperaturen målt i celsiusgrader x uker etter uka midt i november. a) Tegn grafen til T digitalt. b) Når har vi lavest minimumsHvatemperatur?ertemperaturen da? c) Kan modellen også gjelde for uke nr. 30 (i midten av juni)?
Minimumstemperaturen i vinterhalvåret følger ofte modellen
–3–4–5–2–1123
Bruk grafen til å finne a) 1) f (0) 2) f (2) b) nullpunktene til f c) bunnpunktet til f Oppgave 3.218 Funksjonen f er gitt ved fxxx () 2 67 a) Tegn grafen til f uten bruk av hjelpemidler. Velg x 8, 2 når du tegner grafen. b) Finn nullpunktene til f c) Finn ekstremalpunktet til f. d) Finn verdimengden V. Oppgave 3.219 En stein blir kastet opp i lufta med utgangsfarten 10 m/s fra et punkt som er 5 m over bakken. Høyden målt i meter målt over bakken er da gitt ved h (t) 5t 2 10t 5 der t er tida målt i sekunder fra kastøyeblikket. a) Tegn grafen til h i et koordinatsystem. Velg t 0, 2,5 b) Hvor høyt kommer steinen? c) Hvor lang tid bruker steinen opp til det høyeste punktet i banen? d) Finn ved regning hvor lang tid steinen bruker fra kastøyeblikket til den treffer bakken. Oppgave 3.220
40s 3 | LINJER OG GRAFER Oppgave 3.215 En dag var temperaturen i Bergen 14 C. I Oslo var temperaturen 20 C på det samme tidspunktet. I Bergen steg temperaturen med 0,8 C per time, mens den sank med 0,4 C per time i Oslo. Sett opp en ulikhet som kan gi oss svar på hvor lenge det var varmest i Oslo. Løs deretter ulikheten grafisk, og tolk svaret. Oppgave 3.216 En meteorolog fulgte med på temperaturutviklingen ved en målestasjon, og hun kom en dag fram til at mellom klokken 08.00 og kl. 18.00 fulgte temperaturen modellen T(x) 0,32x 2 8x 50, x 8, 18 T(x) er temperaturen målt i celsiusgrader x timer etter midnatt. a) Når på dagen var temperaturen 0 C? b) Når på dagen var temperaturen høyest? Hvor høy var den da? Oppgave 3.217 Grafen til funksjonen f er tegnet nedenfor. 4 2 1 –2 –3 –1 3 5 yfx
41 s
f) I hvilken måned var det totale strømforbruket lavest? Og hvor stort var det da?
I denne oppgaven er funksjonen definert i intervallet 1, 12 , men det er verdiene av f (x) for heltallige x som gir strømforbruket.
a) Tegn digitalt grafen til f. b) Hvor stort var strømforbruket i april, og hvor stort var strømforbruket i oktober? c) I hvilken måned var strømforbruket lavest? Hvor stort var forbruket da?
a) Bruk graftegner og tegn grafen til f og grafen til g i det samme koordinatsystemet. b) Finn når snødybden på Stølebu var på det laveste. c) På hvilket tidspunkt var forskjellen mellom snødybden på de to stedene minst mulig? Hvor stor var forskjellen da?
Oppgave 3.222 Snødybden på Stølebu x dager ut i mars var f (x) centimeter, der f (x) 0,4x 2 12x 150, x 0, 20 Snødybden i Revefaret x dager ut i mars var g (x) centimeter, der g (x) 0,16x 2 1,45x 40, x 0, 20
d) Hvor stor forskjell var det i strømforbruket i mai for familien Strøm og leieboerne? e) Vis at det samlede strømforbruket i kilowattimer (kWh) er gitt ved t (x) 140x 2 1953x 8760 der x 1, 12 .
Familien Strøm har en kjellerleilighet som de leier ut. Strømutgiftene i kilowattimer (kWh) for kjellerleiligheten i måned nr. x i 2019 kunne beskrives med funksjonen g (x) 53x 2 736x 3460 der x 1, 12 .
Oppgave 3.221 Strømforbruket i kilowattimer (kWh) i måned nr. x kunne for familien Strøm i 2019 beskrives med funksjonen f (x) 87x 2 1217x 5300 der x 1, 12 .
4 Oppgave 4.115 Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 27 33 b) 192 c) 16 24 d) 222 Oppgave 4.116 Vi kan bruke kvadratsetningene i hodeHvordanregning. kan vi bruke kvadratsetninger for å regne ut disse oppgavene i hodet? a) 532 b) 38 42 Det fins et triks for hvordan vi enkelt kan kvadrere tall som ender på 5. Trikset er slik: Hvis vi skal regne ut 652 kan vi regne ut 6 6 1 6 7 42 Vi setter så 25 bak dette svaret. Da får vi at 652 4225. c) Regn ut 35 35 med dette trikset. Kontroller svaret med kalkulator. d) Hvordan kan vi forklare dette regnetrikset med kvadratsetninger? Oppgave 4.117 a) Hvordan kan vi lage et geometrisk bevis for ab 2 ab 2 4ab b) Kan vi bruke dette til å lage regneregler som gjør bestemte regneoppgaver lettere å løse i hodet?
42s 4 | FAKTORISERING
ØV MER 4.1 KVADRATSETNINGENE Oppgave 4.110 Bruk kvadratsetningene og regn ut. a) x 8 2 b) xx99 c) x 5 2 d) 3131 xx Oppgave 4.111 Bruk kvadratsetningene og regn ut. a) 32 2 x b) 42 2 y c) 4224 aa d) tt 33 Oppgave 4.112 Bruk kvadratsetningene og regn ut. a) xxx4442 b) xx2222 c) tttt111122 d) 31132 2 ttt Oppgave 4.113 Regn ut uten å bruke hjelpemiddel. a) 5252 b) 3232 c) 116116 d) 259161 Oppgave 4.114 Bruk konjugatsetningen og regn ut. a) 31 29 b) 48 52
Faktorisering
43 s 4.2 FAKTORISERING Oppgave 4.120 Faktoriser uttrykkene. a) 6 32 xx b) xyyx 22 c) 2 238tt d) 27543223 abab Oppgave 4.121 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. a) 8162 x b) 315xyzxz c) 6 352 ab d) 2 42233 xzxz Oppgave 4.122 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. a) ab22 b) 2 82 x c) 253622 xy d) 10081 2 4 xy Oppgave 4.123 Faktoriser uttrykkene. a) x 242 b) y 192 c) aa3222 d) 3222 xyxy Oppgave 4.124 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x 2 16 b) x 2 16 c) 8 323 aa d) 14 1692 x 4.3 HELTALLSMETODEN Oppgave 4.130 Faktoriser uttrykkene ved å bruke heltallsmetoden. Kontroller faktoriseringen ved regning. a) xx 2 23 b) xx 2 310 c) xx 2 1236 d) yy 2 1449 Oppgave 4.131 Finn tallet c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. a) xxc 2 22 b) xxc 2 26 c) 9 302 yyc d) 4282aac Oppgave 4.132 Finn tallet b slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. a) xbx 2 25 b) 4292 yby 4.4 RASJONALE UTTRYKK Oppgave 4.140 Faktoriser og forkort. a) 36242 x xx b) 3322 x xx Oppgave 4.141 En student har forenklet et rasjonalt uttrykk på denne måten: 3 34 12 34 3 312343 44 12 36341216 1 a a a a aaa a aaa () () 22 2712 12 271 a a a a a Finn eventuelle feil studenten har gjort. Oppgave 4.142 Forkort om mulig brøkene. a) 33662 x x b) 5512 x x () c) x xx 2 2 99 d) xxx xx 322442 Oppgave 4.143 Finn fellesnevneren og trekk sammen. a) 21 1xx b) 3 1 21x c) 1 2 1 2xx d) 3 3 21 aa
44s 4 | FAKTORISERING Oppgave 4.144 Regn ut. a) xx 1 2 4 12 b) xx xx 2 2 4 3 9 2 c) 23 1 3 1xxxx d) x xxx 1 2 1 2 12 Oppgave 4.145 a) Vis at x 2 12x 36 er et fullstendig kvadrat. b) Forkort brøkene. 1) 21212362 x xx 2) x xx 2 2 123636 Oppgave 4.146 a) Bruk heltallsmetoden til å faktorisere x 2 5x 4 b) Finn fellesnevneren og trekk sammen. xxxxx xx1 2 4 6542 Oppgave 4.147 a) Vis at xxxx 2 4313 og xxxx 2 5623 b) Forenkle51uttrykket.43 4256 4322 x xxxxxx x Oppgave 4.148 Regn ut. a) xx x 1 4 41233 b) 182622 y xxx y c) aaaa393 436392 d) 3348222299xxxx () 4.5 ANDREGRADSLIKNINGER Oppgave 4.150 Løs likningene ved regning. a) xx 2 60 b) 31202 xx c) 5252xx d) xx 2 230 Oppgave 4.151 Løs likningene ved regning. a) xxx 2 16 b) 9 102 x c) 3115822 xxxx Oppgave 4.152 Løs likningene. a) xx 2 3100 b) xx 2 670 c) 3982722 xxxx Oppgave 4.153 Lag en andregradslikning der løsningene blir a) x 1, x 2 b) x 0, x 6 c) Begge løsningene er x 3. Oppgave 4.154 Vi har gitt likningen xkx 2 40 Likningen har bare én løsning. Bestem k.
Oppgave 4.160 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) xx 2 280 b) xx 2 7120 c) xx 2 51500 d) xx 2 26250 e) xx 2 7100 f) xx 2 4210 Oppgave 4.161 Funksjonen f er gitt ved f (x) 2x 2 7x 3 Bestem nullpunktene til f både ved regning og digitalt. Oppgave 4.162 Finn fire positive tall som følger etter hverandre og som er slik at produktet av det første og det fjerde tallet er lik 208. Oppgave 4.163 Harepus har lagd en rektangulær kakedeig der arealet er 1728 cm2. Lengden er 12 cm lengre enn bredden. Finn lengden og bredden av deigen. Oppgave 4.164 Revefar har lagd 24 store kvadratiske kaker og 54 små kvadratiske kaker. De store kakene er 2 cm lengre enn de minste. Kakedeigen har arealet 2526 cm2. Finn lengden av sidene i de store og i de små kakene. Oppgave 4.165 En dag var temperaturen ved en målestasjon gitt ved Txxx (),038502 der T (x) er temperaturen målt i celsiusgrader x timer etter midnatt. Temperaturen var 5,2 C da meteorolog Tempe gikk på jobb. Hvor mye var klokka da? Oppgave 4.166 Vi har gitt andregradslikningen xxc 2 20 der c er et ukjent tall. a) Finn antallet løsninger for ulike verdier av regning. b) Kontroller svaret i oppgave a i GeoGebra. Oppgave 4.167 Vi har gitt andregradslikningen axx 2 41 0 der a er et ukjent tall forskjellig fra 0. a) Finn antallet løsninger grafisk for ulike verdier av a ved regning. b) Kontroller svaret i oppgave a i GeoGebra. Oppgave 4.168 Løs likningene med Python. a) 2x 2 5x 3 0 b) 2x 2 6x 8 0 c) 6x 2 1 x d) 9x 2 12x 4
45 s Oppgave 4.155 Løs likningene ved regning. a) xx 3 250 b) xxx 32 120 c) xx42536 d) xxx53670 4.6 ANDREGRADSFORMELEN
46s 4 | FAKTORISERING
4.8 NULLPUNKTSFAKTORISERING
Oppgave 4.180 Faktoriser uttrykkene ved hjelp av Kontrollernullpunktene.faktoriseringen ved hjelp av heltallsmetoden. a) xx 2 32 b) xx 2 68 c) xx 2 23 d) xx 2 710 Oppgave 4.181 Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene. a) 2 2122 xx b) 2 322 xx c) 39122 xx d) xx 2 4 81 Oppgave 4.182 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) 22122 xx b) 3662 xx c) 5202 t d) 2 322 xx Oppgave 4.183 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) 9 322 xx b) xx 2 45 c) tt 2 34 94 d) sss 3267 Oppgave 4.184 Finn minst to andregradsuttrykk som har disse nullpunktene. a) x 2 og x 9 b) x 4 og x 5 Oppgave 4.185 Trekk sammen uten og med hjelpemiddel. a) 2 1 2122 xxxx b) x xxxx24 24422
4.7 IKKE-LINEÆRE LIKNINGSSETT Oppgave 4.170 Løs likningssettene. a) x 2 y 4 y 2x 1 b) x 2 y 2 1 yx 1 c) xy 1 x 2 y 3 d) x 2 y 3x 3xy 8 Oppgave 4.171 Løs likningssettene. a) xy xy 12 1 1 b) xy xy 2 1 1 2 Oppgave 4.172 Geir og Atle er tvillinger, og de har en bror som heter Oddvar. Til sammen er de tre brødrene 120 år. Multipliser alderen til tvillingene med hverandre. Tallet du da får, er 1400 større enn alderen til Oddvar. Finn alderen til de tre brødrene. Oppgave 4.173 To kvadrater har til sammen arealet 410. Når vi legger sammen omkretsene av de to kvadratene, får vi 104. Finn sidene i de to kvadratene.
Oppgave 4.190 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer, og kontroller løsningen grafisk. a) 2 402 xx b) xx120 c) xx 2 760 d) 44302 xx Oppgave 4.191 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) xx 2 215 b) xx 2 11100 c) 2312 xx d) 6 7302 xx e) xxx 2 51523 Oppgave 4.192 Løs ulikhetene digitalt. a) xx 2 4120 b) xx 2 60 c) 2 43002 xx d) 5413422 xxxx Oppgave 4.193 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) xx 2 780 b) 402 xx c) 1012 x Oppgave 4.194 Kristin vokser, og høyden hennes i centimeter er gitt ved f (x) 0,15x 2 6x 50, x [0,16] der x er alderen regnet i år. Hvor gammel var Kristin da hun målte mellom 100 cm og 135 cm? Oppgave 4.195 Vi har gitt 550andregradslikningen2 xbx der b er et ukjent tall. a) Finn antallet løsninger grafisk for ulike verdier av b ved regning. b) Kontroller svaret i oppgave a i GeoGebra. Oppgave 4.196 Sett opp en andregradsulikhet som har løsningen 3 x 2. BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 4.200 Trekk sammen. Bruk kvadratsetningene. a) x 1 2 x 1 2 2 x 1 x 1 b) x 2y 2 x 2y 2 4x 2y 1 Oppgave 4.201 Skriv så enkelt som mulig.Bruk kvadratsetningene. a) 314271122 aaaa b) 32233611622 aaaa Oppgave 4.202 Skriv så enkelt som mulig. Bruk konjugatsetningen.5353 2
47 s Oppgave 4.186 a) Faktoriser uttrykket både uten og med hjelpemiddel. x 2 2x 8 b) Trekk sammen. Løs oppgaven både uten og med hjelpemiddel. xxxxx xx2 2 4 6282 4.9 ANDREGRADSULIKHETER
48s 4 | FAKTORISERING
Oppgave 4.203 Bruk konjugatsetningen og regn ut. a) 51 49 b) 68 72 Oppgave 4.204 Bruk konjugatsetningen til å regne ut 7141714122 Oppgave 4.205 Bruk kvadratet nedenfor til å utlede den første kvadratsetningen. b aba Oppgave 4.206 På figuren er et stort kvadrat med sider c delt opp i fire like store rettvinklede trekanter med kateter a og b, og et kvadrat med sider ba ab b–caa Arealet av det store kvadratet er lik arealet av de fire trekantene pluss arealet av det lille kvadratet. Bruk dette til å vise pytagorassetningen a 2 b 2 c 2
Oppgave 4.207 Faktoriser uttrykket x 2 x 42 Oppgave 4.208 Bestem tallene a og b når xaxbx 2 x 12 Oppgave 4.209 Undersøk om x 2 8x 16 er et fullstendig kvadrat. Oppgave 4.210 Skriv så enkelt som mulig. Vis utregning. ()xx x2822 Oppgave 4.211 Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig.3 4 22416xx Oppgave 4.212 Skriv så enkelt som mulig. Vis utregning. 233212 x xx Oppgave 4.213 a) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig. Vis utregning. 456 1826 xx x b) Sett inn x 1 i uttrykket i oppgave a og regn ut. Sett deretter inn x 1 i svaret du fikk i oppgave a og regn ut. Kommenter svarene du får.
49 s Oppgave 4.214 Oda og Pål skal forenkle uttrykket 112 aaa De løste oppgaven slik: Oda: 21 2 1 2 21 2 3 a2 a a a a a a Pål: 2121 2 211 a a aa a aa () () a) Både Oda og Pål løste oppgaven feil. Forklar hvilke feil de gjør. b) Løs oppgaven uten og med digitalt hjelpemiddel. Oppgave 4.215 Vi lar a og b være to positive hele tall der ab Hvilket. av disse rasjonale uttrykkene er da størst? ababab ab 2222eller Oppgave 4.216 a) Løs2andregradslikningen x 2 6x 8 b) Løs ulikheten2 x 2 6x 8 Oppgave 4.217 Undersøk om en rettvinklet trekant kan ha lengder med sider x, x 1 og x 2. Hvor lange er i så fall sidene da? Oppgave 4.218 Vis at summen av løsningene av likningen x 2 2x 15 er 2, og at produktet av løsningene er 15. Oppgave 4.219 a) Løs likningen x 2 4x 12 b) Faktoriser og forkort brøken 244122 x xx c) Faktoriser og forkort brøken xx xx 2 2 67 Oppgave 4.220 a) Løs likningen x 2 10x 25 0 b) Faktoriser og forkort brøken. xx xx 2 210255 c) Faktoriser og forkort brøken. 299462 x xx Oppgave 4.221 En park har form som et rektangel med bredde 30 m og lengde 40 m. Det skal lages to gangstier i parken med samme bredde x slik figuren viser. Gangstiene krysser hverandre og har et samlet areal på 325 m2. Finn bredden x av gangstiene. x x xx3040m m
50s 4 | FAKTORISERING Oppgave 4.222 Løs likningen xxx 3 60 Oppgave 4.223 Løs likningene. a) xx422150 b) xx42340 c) xx421090 Oppgave 4.224 Løs likningen xxx 2 23620 Oppgave 4.225 Vi kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder har ballen høyden h (i meter over utgangspunktet) gitt ved htt 1049 2 , Finn når ballen befinner seg mer enn 2,0 m over utgangspunktet. Oppgave 4.226 Løs ulikheten ved å bruke fortegnslinjer. 24602 xx Oppgave 4.227 a) Vis ved regning 212232at2 xxxx b) Løs2ulikheten x 2 3x 2 0 ved å bruke fortegnslinjer. Oppgave 4.228 Sett opp en ulikhet som har løsning x 4 eller x 1 Oppgave 4.229 Grafen til funksjonen fxaxbxc () 2 skjærer y-aksen i 6. Funksjonsuttrykket til f har dessuten en konstant faktor og to lineære faktorer med disse fortegnslinjene: –3–2–101235 04 0 x a) Løs ulikheten fx().0 b) Bestem konstantene a, b og c. c) Løs ulikheten fx().8 Oppgave 4.230 Likningen xkxk 2 140 der k er et tall, har bare én løsning. Vis at k da er gitt ved kk 2 1410 Oppgave 4.231 Vi har gitt andregradslikningen ax 2 12x 4 0, der a 0 a) Finn antallet løsninger ved regning. b) Løs likningen for den verdien for a som gir nøyaktig én løsning. Oppgave 4.232 Vi har gitt andregradslikningen x 2 8xc 0, der c er et ukjent tall. a) Finn antallet løsninger ved regning. b) Løs likningen for den verdien for c som gir nøyaktig én løsning. Oppgave 4.233 Løs likningssettet. xy 1 2x 2 3y 2 5
51 s Oppgave 4.234 Løs likningssettene. a) xy xy 2737 b) xy xx244402 Oppgave 4.235 Løs likningssettet. xy 4 xy 3 Oppgave 4.236 a) Løs likningssettet ved regning. xy 12 xy 8 b) Sidene i rektanglet nedenfor har lengdene x og y. xy Arealet av rektanglet er 12 cm2, og omkretsen er 16 cm. Finn lengden av sidene. Oppgave 4.237 a) Skriv så enkelt som mulig. 2 1 4 12 xx b) Løs likningssystemet. x 2 y 4 2xy 1 Oppgave 4.238 Lag et ikke-lineært likningssett der løsningen er x 1 og y 3. Løs deretter likningssettet ved regning. Oppgave 4.239 Vi har gitt 330andregradslikningen2 xbx For hvilke verdier av b har likningen ingen løsninger, én løsning og to løsninger? Oppgave 4.240 Løs9ulikheten1 xx Oppgave 4.241 Et tog passerer en stasjon med farten v0 målt i m/s. Toget øker farten og kjører med konstant akselerasjon 2 m/s2. Etter en tid t målt i sekunder har toget kjørt 75 m, og farten er 20 m/s. a) Forklar at v0 og t må passe i likningene vt vtt 00 220275 b) Bestem v0 og t. Oppgave 4.242 (Eksamen 2020) Regn545ut3 3622 2 ttttt : Oppgave 4.243 (Eksamen 2020) Løs likningssettet ved regning. h htt 105400 2
52s 5 | POLYNOMER OG RASJONALE UTTRYKK 5 ØV MER 5.1 POLYNOMFUNKSJONER Oppgave 5.110 Grafen til funksjonen f er tegnet nedenfor. 4 2 1 –2 –3 –1 3 5 yfx–3–4–5–2–1123
Bruk grafen til å finne a)1) f (0) 2) f (1) b) nullpunktene til f c) toppunktet til f Oppgave 5.111 En dag i Oslo var temperaturen T (x) i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved T (x) 0,1x 2 2,5x 10, DT 3, 22 a) Tegn digitalt grafen til T. b) Finn grafisk når på døgnet temperaturen var høyest. c) Finn grafisk og ved regning når temperaturen var 0 C. d) Finn grafisk når T (x) 5. Oppgave 5.112 Funksjonen f er gitt ved f (x) x 4 4x 3 a) Tegn grafen til f b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktene til f. Oppgave 5.113 En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden K (x) i kroner ved produksjon av x enheter av varen er gitt ved K (x) 0,02x 2 80x 25200 Inntekten I (x) i kroner ved salget av varen er gitt ved I (x) 0,01x 2 140x Overskuddet O (x) i kroner ved salget av denne varen er gitt ved O (x) I (x) K (x) a) Regn ut K (800), I (800) og O (800). b) Vis at O (x) 0,03x 2 60x 25200 c) Tegn grafen til O når x er mellom 0 og 1600. d) Løs likningen O (x) 0 digitalt. e) Finn grafisk når overskuddet er størst. Hvor stort er overskuddet da?
Polynomer og rasjonale uttrykk
53 s Oppgave 5.114 Fra Andeby går det en buss til Antons alpinanlegg. Bussen tar 50 passasjerer, og alle betaler det samme for bussbilletten. Billettprisen avhenger av hvor mange passasjerer som reiser med bussen. Dersom x passasjerer kjører med bussen, er prisen p(x) i kroner gitt ved p(x) 0,01x 2 2,4x 144 der Dp 0, 50 . a) Finn billettprisen når antallet passasjerer er 20, og når det er 50. b) Forklar at dersom x passasjerer reiser med bussen, så er den totale billettinntekten I (x) i kroner I (x) 0,01x 3 2,4x 2 144x der DI 0, 50 . c) Tegn grafen til I. d) Finn grafisk det antallet passasjerer som gir størst billettinntekt. Hva er billettinntekten da? 5.2 POLYNOMDIVISJON Oppgave 5.120 Utfør polynomdivisjonene. a) x 2 2x 3 x 1 b) x 2 4x 5 x 2 c) x 2 6x 2 x 3 Oppgave 5.121 Utfør polynomdivisjonene. a) x 3 3x 2 2xx 1 b) x 3 x 2 4x 4 x 1 c) x 3 7x 6 x 3 d) x 3 ax 2 3x 3axa Oppgave 5.122 Utfør polynomdivisjonene. a) x 3 x 2 x 1 x 1 b) 2x 3 x 2 10x 1 x 2 c) x 4 2x 2 6 x 2 d) x 3 a x 2 axa Oppgave 5.123 Utfør polynomdivisjonene. a) x 3 4x 2 x 6 x 2 2x 3 b) 2x 3 3x 2 8x 3 2x 2 3x 1 c) 2x 3 3x 2 4x 5 x 2 4x 1 5.3 RESTEN VED POLYNOMDIVISJONEN Oppgave 5.130 Finn resten uten å dividere. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen. a) x 2 3x 1 x 1 b) x 2 2x 1 x 2 Oppgave 5.131 Finn resten uten å dividere. a) x 3 x 2 x 2 b) x 2 4x 2 x 3 c) x 2 2x 2 x 1 d) x 4 2x 3 5x 2 10x 12 x 1 Oppgave 5.132 Avgjør om divisjonen går opp, uten å utføre divisjonen. Kontroller svaret ved å utføre divisjonen. a) x 2 4x 3 x 2 b) 2x 2 4x 6 x 3 c) 4x 2 5x 1 x 1
54s 5 | POLYNOMER OG RASJONALE UTTRYKK
Oppgave 5.133 a) Vis at x 1 er en faktor i polynomet P (x) x 3 4x 2 x 6 b) Kontroller svaret i oppgave a ved å utføre en polynomdivisjon. Oppgave 5.134 a) Vis at xa er en faktor i polynomet P (x) x 3 a x 2 a xa 2 b) Utfør polynomdivisjonen P (x) xa c) Hvordan må a velges for at P (x) skal ha en faktorisering som består av 1) én faktor av grad 1 og én faktor av grad 2 2) tre faktorer av grad 1 Oppgave 5.135 Hvilken av faktorene x 1 , x 1 , x 2 og x 2 er ikke faktor i polynomet P (x) x 3 2x 2 x 2? Oppgave 5.136 Bestem tallet a slik at divisjonen går opp. a) x 2 a x 3 x 3 b) a x 3 a x 2 x 3 x 1 c) a x 3 a x 2 3xax 2 Oppgave 5.137 Polynomet P (x) er gitt ved P (x) x 3 5x 2 8xk a) Bestem k slik at P (x) er delelig med x 3 . b) Utfør divisjonen P (x) x 3 når k har den verdien du fant i oppgave a. Oppgave 5.138 Polynomet P (x) er gitt ved P (x) x 3 ax 2 bx 5 a) Bestem tallene a og b slik at P (x) er delelig med både x 1 og x 3 . b) Bruk de verdiene du fant i oppgave a, og utfør divisjonen P (x) x 3 5.4 FAKTORISERING AV POLYNOMER Oppgave 5.140 Faktoriser polynomene hvis det lar seg gjøre. a) x 2 5x 14 b) x 2 3x 18 c) x 2 2x 5 d) x 2 64 Oppgave 5.141 Et polynom er gitt ved P (x) x 3 7x 2 36 a) Vis at x 2 er en faktor i P (x). b) Faktoriser P (x) mest mulig. Oppgave 5.142 Et polynom er gitt ved P (x) x 3 x 2 10x 8 a) Vis at x 4 er en faktor i P (x). b) Faktoriser P (x) mest mulig. Oppgave 5.143 Et polynom er gitt ved P (x) x 4 5x 2 4 a) Vis at x 2 1 er en faktor i P (x), uten å utføre en polynomdivisjon. b) Faktoriser P (x) mest mulig.
55 s Oppgave 5.144 Et polynom er gitt ved P (x) x 4 8x 2 15 a) Vis at divisjonen P (x) x 2 3 går opp. b) Faktoriser P (x) i fire lineære faktorer. Oppgave 5.145 Forkort uttrykkene om mulig. a) xx xx 3 2 522 b) xxx xx 322 3244 c) x xxx39932 Oppgave 5.146 Bestem a slik at brøken kan forkortes. a) x xax 2 2 1 b) xx xxa 22 423 Oppgave 5.147 Bestem a og b slik at divisjonen x 3 axbx 2 2x 3 går opp. 5.5 LIKNINGER OG ULIKHETER AV TREDJE GRAD Oppgave 5.150 a) Vis at x 3 er en løsning av likningen x 3 3x 2 x 3 0 b) Finn alle løsningene av likningen. c) Løs ulikheten x 3 3x 2 x 3 0. Oppgave 5.151 Polynomfunksjonen P er gitt ved P (x) x 3 2x 2 9x 18 a) Vis at x 2 er en faktor i P (x). b) Finn alle nullpunktene til P. c) Faktoriser P (x) mest mulig. d) Løs ulikheten. x 3 2x 2 9x 18 0 Oppgave 5.152 Vi har gitt polynomfunksjonen P (x) x 3 3x 2 4x 12 a) Vis at x 3 er et nullpunkt for P. b) Faktoriser P (x) mest mulig. c) For hvilke verdier av x ligger grafen til P over x-aksen? Oppgave 5.153 Vi har gitt polynomet P (x) 2x 3 7x 2 19x 60 a) Vis at x 4 er en faktor i P (x), og faktoriser P (x). b) Løs likningen P (x) 0. c) Løs ulikheten P (x) 0.
Oppgave 5.154 Vi har gitt polynomfunksjonen P (x) x 3 2x 2 16x 32 Grafen til P skjærer x-aksen når x 4. Finn ved regning eventuelle andre skjæringspunkter som grafen til P har med x-aksen. 5.6 RASJONALE LIKNINGER Oppgave 5.160 Løs likningene. a) 1 1 1 1 1 xx b) x xxxxx2 11 22 Oppgave 5.161 Løs likningene. a) x xxxxx3 13 32 b) 1 2 3222xxxxxx c) 1 4 44 1682xxxx x d) 1 1 121 2212 2 2xxxxx x Oppgave 5.162 Løs likningene. a) 321 34 42432 x xxxxxx b) 6331 313 34 91322x xxxx x 5.7 DOBLE ANDREGRADSULIKHETER
| POLYNOMER OG RASJONALE UTTRYKK
56s 5
Oppgave 5.170 På en videregående skole er det 500 elever. På denne skolen er 8 % av alle elevene venstrehendte. 15 gutter er venstrehendte. 270 av elevene på skolen er jenter. Hvor mange av elevene passer til denne beskrivelsen? a) Eleven er en gutt Eleven er høyrehendt b) Eleven er en gutt Eleven er høyrehendt c) Eleven er ei jente Eleven er ikke høyrehendt d) Eleven er høyrehendt Eleven er ei jente Oppgave 5.171 Finn løsningene. a) x 2 16 0 3x 6 b) x 2 16 4x 16 c) x 2 25 2x 1 13 d) x 2 4x 3 0 x 0 e) 3xy 7 x 2y 0 Oppgave 5.172 Løs ulikhetene grafisk og ved regning. a) xxx 1236 b) 22 32 xxx c) 0 4442 xx d) xxx3122 Oppgave 5.173 Løs den doble ulikheten ved regning. 2 1332xxx Oppgave 5.174 Løs den doble ulikheten ved regning. 0 262 xxx Oppgave 5.175 Løs ulikheten grafisk og ved regning. xxxxx 222244
5.8 RASJONALE ULIKHETER Oppgave 5.180 Løs ulikhetene. a) xx 2 10 b) x x 21 1 c) 231 3 x x Oppgave 5.181 Løs ulikhetene. a) xxx 2 b) x xx 72 1 c) x xx x 123 d) 1 7 2 2 xxxx Oppgave 5.182 Løs ulikhetene. a) xx x 2 2 210 0 b) 219 02 x x c) xx 4 3 Oppgave 5.183 Et polynom P (x) er gitt ved P (x) x 3 2x 2 9x 18 a) Vis at x 2 er en faktor i polynomet. b) Løs likningen P (x) 0. c) Løs ulikheten P (x) 0. d) Forkort brøken Px x 28()2 Oppgave 5.184 Løs2332ulikheten1 0 32 xxx x 5.9 IRRASJONALE LIKNINGER Oppgave 5.190 Sett inn ett av symbolene , og i rutene der det er mulig. a) x 2 x er et partall b) Sidene i en trekant er 3 cm, 4 cm og 5 cm Trekanten er rettvinklet c) Alle vinklene i en trekant er 60 Trekanten er likesidet d) To vinkler i en trekant er 45 Trekanten er rettvinklet e) To sider i en trekant er like lange Trekanten er likebeint Oppgave 5.191 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x 11 b) 12 x c) 323 x d) 21xx Oppgave 5.192 Løs likningene. a) 212xx b) xx 2 42 Oppgave 5.193 Løs likningene. a) 2 16 xx b) xx 22 c) 21 1040 xx d) 2 245 xx Oppgave 5.194 Løs likningene. a) 1 21 510 x b) 1 21 21 xx c) xx231 d) 6721 xx
57 s
BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 5.200 Grafen til andregradsfunksjonen f er tegnet nedenfor. 4 2 1 –2 –1 3 yfx 321 –15 4 a) Finn nullpunktene til f b) Finn toppunktet til f. c) Finn verdimengden til f. d) Funksjonsuttrykket til grafen kan skrives på formen f (x) ax 2 bxc, der a, b og c er konstanter. Finn de tre konstantene. Oppgave 5.201 Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon. Funksjonsuttrykket kan skrives på formen f (x) 21 2 xaxb Bestem a og b, og skriv opp funksjonsuttrykket. 4 3 2 1 5 yfx–4–3–2–12 –1 –2 –3 –441356
58s 5 | POLYNOMER OG RASJONALE UTTRYKK
Oppgave 5.202 En funksjon f er gitt ved f (x) ax 2 bxc Grafen til f skjærer y-aksen for y 1. Funksjonen har nullpunktene x 21 og x 1. Bestem funksjonsuttrykket. Oppgave 5.203 Utfør polynomdivisjonen x 3 4x 2 x 6 x 2 Oppgave 5.204 Utfør polynomdivisjonen x 3 4x 2 3x 2 x 2 2x 3 Oppgave 5.205 Tabellen nedenfor inneholder noen polynomer. Finn i hvert tilfelle ut hvilke faktorer polynomene er delelige med. x 3 2x 2 8x Faktoren x Ja Faktoren x 2 Ja Faktoren x 3 Nei x 3 4x 2 4x Faktoren x Faktoren x 2 Faktoren x 3 2x 3 x 2 6x Faktoren x Faktoren x 2 Faktoren x 3 x 3 5x 2 7x 3 Faktoren x Faktoren x 2 Faktoren x 3
59 s Oppgave 5.206 Når vi dividerer de to polynomene x 3 ax 2x 1 og x 4 ax 3 7x 2 med x 1, får vi den samme resten. Bestem a. Hvor stor er resten? Oppgave 5.207 Bestem a slik at divisjonen går opp. 2x 3 3 ax 2 5xa 2 x 1 Oppgave 5.208 Finn hvilken verdi a må ha for at divisjonen axxxx 3232 262: skal gå opp. Utfør deretter divisjonen når a har denne verdien. Oppgave 5.209 Bestem tallene a og b slik at begge disse divisjonene går opp. ax 3 bx 2 4x 5 x 1 x 3 ax 2 bx 2 x 2 Oppgave 5.210 Vi har gitt polynomet P (x) x 3 2x 2 9xa a) Dividerer vi P (x) med x 2, får vi resten 20. Vis at a 18. I resten av oppgaven setter vi a 18. b) Vis at x 2 er en faktor i P (x). c) Faktoriser P (x) mest mulig. Oppgave 5.211 Når vi dividerer de to polynomene P (x) x 4 ax 3 3x 2 5 Q (x) x 3 4x 2 ax 9 med x 2 , får vi den samme resten. Bestem a. Hvor stor er resten? Oppgave 5.212 Polynomet P (x) er gitt ved P (x) 2x 3 x 2 2x 1 a) Vis at P (x) er delelig med 2x 1 uten å utføre divisjonen. b) Utfør divisjonen P (x) 2x 1 og faktoriser P (x) mest mulig. Oppgave 5.213 Vi har gitt polynomet P (x) x 4 4x 2 3 a) Vis at P (x) er delelig med x 2 1. b) Faktoriser P (x).
c) Bestem a slik at resten ved divisjonen P (x) xa blir 3. Oppgave 5.214 Funksjonen f er gitt ved f (x) x 3 2x 2 5x 6
a) Vis at x 2 er et nullpunkt for f. b) Finn alle nullpunktene til f Oppgave 5.215 Vi har gitt polynomet P (x) x 3 a x 2 b x 6 Bestem a og b slik at x 2 og x 3 begge er faktorer i polynomet P (x).
60s 5 | POLYNOMER OG RASJONALE UTTRYKK
Polynomfunksjonen
Polynomfunksjonen
P gitt ved P (x) a x 4 x 3 b x 2 5x 6 har nullpunktene x 1 og x 3. a) Bestem tallene a og b b) Hvor stor blir resten ved divisjonen P (x) x 4 Oppgave 5.218 For hvilke verdier av a kan vi forkorte uttrykket nedenfor? xax xa 2 32 Oppgave 5.219 For hvilke verdier av tallet a kan brøken xxax xx forkortes?3212Forkort brøken for hver av de a-verdiene du har funnet. Oppgave 5.220 a) Vis at x 2 er en løsning av likningen x 3 x 2 14x 24 0 b) Bruk dette til å løse ulikheten x 3 x 2 14x 24 0 Oppgave 5.221 Grafen til funksjonen f (x) 3x 3 4x 2 kx 18 går gjennom punktet 2, 0 a) Bestem k. b) Løs likningen f (x) 0 for denne verdien av k. Oppgave 5.222 Vi har gitt polynomet P (x) 2x 3 12x 2 2xa a) Bestem a slik at x 3 blir en faktor i P (x). b) Bruk verdien du fant for a i oppgave b. 1) Faktoriser P (x). 2) Løs ulikheten P (x) 0 ved regning. Oppgave 5.223 Vi har gitt polynomfunksjonen f (x) x 3 2x 2 xa a) Bestem a slik at f (x) blir delelig med x 2 b) Løs ulikheten f (x) 0 for denne a-verdien. Oppgave 5.224 Vi har gitt polynomfunksjonen f (x) 2x 3 8x 2 kx 12 a) Bestem k slik at f (x) blir delelig med x 1 b) Faktoriser f (x) for denne k-verdien. c) Løs ulikheten f (x) 0 for denne k-verdien.
P gitt ved P (x) x 4 a x 3 7x 2 b x 6 har nullpunktene x 1 og x 2. a) Bestem tallene a og b. b) Bestem alle nullpunktene til funksjonen. Oppgave 5.217
Oppgave 5.216
a) Vis at divisjonen x 3 4x 2 11x 30 x 3 går opp uten å utføre divisjonen. b) Løs likningen x 3 4x 2 11x 30 0 c) Løs2ulikheten x 3 2x 2 6x 25 x 3 6x 2 5x 5 Oppgave 5.227 Figuren nedenfor viser grafen til en polynomfunksjon P. 2 –2 –1 –224 13 Px y –5–4–1–3–3 4 5 1 3 a) Forklar at divisjonen P(x) x 1 går opp. b) Én av divisjonene P(x) x 3 og P(x) x 3 går opp. Hvilken? c) Hva blir resten ved divisjonen P(x) x 2 ? Oppgave 5.228 a) Vis, uten å utføre den, at divisjonen x 3 7x 2 14x 6 x 3 går opp. b) Løs likningen x 3 7x 2 14x 6 0 c) Vi har gitt polynomet P (x) x 3 ax 2 2xa 2 der a er en konstant. Bestem hvilke verdier a kan ha for at divisjonen P (x) x 2 skal gå opp. Oppgave 5.229 Løs likningene ved regning. a) 1 1 1 2 2 xxxxx b) 2 22 5242xxxx x c) x xxxxx 2 3 11 3 Oppgave 5.230 Løs likningene. a) x xxx x5 4 5 25325 02 b) x 3 x 2 36x 36 0, der x 1 er en av løsningene. Oppgave 5.231 a) Trekk sammen. xxxxx2 24 8 42 b) Løs likningen xxxxx2 24 8 42
61 s Oppgave 5.225 Vi har gitt likningen x 3 6x 2 3x 10 a) Vis at x 1 er en løsning, og finn de to andre løsningene. b) Løs ulikheten x 3 6x 2 3x 10 Oppgave 5.226
62s 5 | POLYNOMER OG RASJONALE UTTRYKK Oppgave 5.232 Funksjonen f er gitt ved f (x) 27135322 xxx xabxab Bestem tallene a og b slik at f ikke er definert for x 6 og x 4. Oppgave 5.233 På en skole er det 342 jenter og 308 gutter. På en skidag var 6 % av elevene fraværende. Av de som deltok på skidagen, var det 298 gutter. Hvor mange av elevene passer til denne beskrivelsen? a) Eleven er jente Eleven deltok på skidagen b) Eleven er gutt Eleven deltok ikke på skidagen c) Eleven er gutt Eleven deltok ikke på skidagen d) Eleven er jente Eleven deltok på skidagen Oppgave 5.234 Løs den doble ulikheten. 2 152xx Oppgave 5.235 Løs den doble ulikheten ved 733117regning.22 xxxx Oppgave 5.236 a) Løs ulikheten x x 214 0 b) Løs ulikheten x x 213 1 Oppgave 5.237 a) Løs likningen x xxxx 22 18 22 b) Løs ulikheten x xx 26 Oppgave 5.238 a) Vis at polynomfunksjonen f (x) x 3 4x 2 x 6 har nullpunktet x 2. b) Skriv f (x) som et produkt av førstegradsfaktorer. c) Løs ulikheten xxx x 322464 0 d) Bestem a slik at likningen x 3 3x 2 4xa 0 får en løsning x 2. Løs likningen for denne verdien av a. Oppgave 5.239 a) Faktoriser polynomet gitt ved P (x) x 3 2x 2 25x 50 b) Forkort det rasjonale uttrykket xxx xx 32222550210 c) Løs ulikheten xxx xx 32222550210 0 d) Løs likningen xxx xx 32222550210 2
63 s Oppgave 5.240 Et rasjonalt uttrykk f (x) er slik at f (0) Bestem2.et mulig funksjonsuttrykk f (x) når f har denne fortegnslinja: a) 02 1 b) 0 –42 Oppgave 5.241 Sett inn riktig tegn ( , eller ) i rutene. a) x 2 x 2 4 b) x 2 9 0 x 3 Oppgave 5.242 Sett inn riktig tegn ( , eller ) i ruta. Forklar hvordan du har tenkt. x 2 16 0 x 4 Oppgave 5.243 Løs den doble 2428520ulikheten.2 xxxx Oppgave 5.244 a) Løs likningen ved regning. xx2454 b) Finn hvilken verdi a må ha for at divisjonen axxxx 3232 262: skal gå opp. Utfør divisjonen når a har denne verdien. Oppgave 5.245 Vis at x 1 er en løsning av likningen xxxx256 og finn deretter eventuelle andre løsninger. Oppgave 5.246 (Eksamen 2019) Løs likningen ved regning. 1 2 112xx Oppgave 5.247 (Eksamen 2019) Løs ulikheten21 xx Oppgave 5.248 (Eksamen 2019) Vis at 5 er en løsning av likningen xxx 32219200 og faktoriser polynomet fullstendig. (Polynomet på venstre side av likningen.) Oppgave 5.249 (Eksamen 2020) a) Gjennomfør34141132polynomdivisjonen322 xxxxx : b) Sjekk at x 3 er en faktor i x 3 13x 12 c) Løs ulikheten x 3 13x 12 Oppgave 5.250 (Eksamen 2020) Løs likningen ved regning. xx223
64s 6 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON ØV MER 6.1 GRENSEVERDIER Oppgave 6.110 Regn ut grenseverdiene. a) lim xxx1 2 11 b) lim xx+x x+1 2 1 c) lim xx x2 2 24 d) lim xxxx0 2 3 2 Oppgave 6.111 Regn ut grenseverdiene. a) lim xx x1 221 b) lim xx x2 632 c) lim xx x3 5153 d) lim xxx x0 2 3 Oppgave 6.112 a) Faktoriser andregradsuttrykket 2x 2 32 b) Finnlimgrenseverdien xxx4 2322312 Oppgave 6.113 a) Vis at xxxx 2 6824 b) Finnlimgrenseverdien xxxx+4 241668 Oppgave 6.114 Om funksjonene f og g vet vi at lim() xfx 2 4 og lim() xgx 2 5 . Finn grenseverdiene. a) lim()() xfxgx 2 b) lim()() xfxgx 2 2 c) lim()() xfxgx 2 d) lim()() xfxgx 2 22 Oppgave 6.115 Regn ut grenseverdiene. a) lim xxx x3 2 4126 b) lim xxx xx0 2 2 4 4 c) lim xxx xx1 22 232 d) lim xxx x1 2 231222 Oppgave 6.116 Regn ut grenseverdiene. a) lim xxx xx0 43 4 b) lim xxxx x3 322 4366 c) lim xxxx21 231221 d) lim xxx x21 22 241 Oppgave 6.117 Bestem a slik at grenseverdien eksisterer. Finn grenseverdien for denne verdien av a. a) lim xxa x1 2 1 b) lim xxax xx1 2 2 2 c) lim x 0 xxa xx 2 2224 6 Grenseverdier og derivasjon
65 s Oppgave 6.118 Regn ut. 1) lim xxx 1 2 21 2) lim xxx1 2 24 For funksjonene f og g vet vi at lim() xfx 1 3 og lim() xgx 1 2 . Finn grenseverdiene. 1) lim()() xfxgx 1 23 2) lim () () () xfxgx gx1 2 3 1 6.2 KONTINUERLIGE Oppgave 6.120 a) Forklar hvorfor funksjonen f som du ser grafen til nedenfor, er kontinuerlig for x 2. 2 –1 –2245 13 yx –4 –5–1–34 5 6 7 1 3 f b) Forklar hvorfor funksjonen f, som du ser grafen til nedenfor, ikke er kontinuerlig for x 2. 2 –2 –1 –2245 13 fx y –5–4–1–3–4 –5 –3 1 3 Oppgave 6.121 Undersøk ved regning om funksjonen f er kontinuerlig for x 1. Tegn deretter grafen for å kontrollere utregningene. a) fxx x () 1,, 211 b) fxxx xx () , 11,31 c) fxxx xx () , 21,421 Oppgave 6.122 For hver graf skal du om mulig finne 1) f ()1 2) lim() xfx 1 3) om f er kontinuerlig for x 1 a) 224 13 yfx4 5 1 3 b) 224 1 –13 yfx4 5 1 3 c) 224 13 yfx1 3 d) 224 1 –13 yfx1 3
FUNKSJONER
a)
b)
66s 6 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON
Oppgave 6.123 Undersøk ved regning om funksjonen f er kontinuerlig i delingspunktet. fxxxx xxx () , , 22 68222 Oppgave 6.124 Undersøk ved regning om funksjonen f er kontinuerlig i delingspunktet. fxxxx xx xx () , , , 2 1123111 Oppgave 6.125 Bestem konstanten a slik at funksjonen f blir kontinuerlig i delingspunktet. Tegn grafene digitalt for disse verdiene av a. a) fxxaxx xax () , 23,2323 b) fxaxx a xx () ,, 1 2122 c) fxxx ax xx () , , 2 11 21 23 12 , Oppgave 6.126 Bestem konstantene a og b slik at funksjonen f blir kontinuerlig. fxaxbxxx bxax () , , , 2 31 20401242
Undersøk ved regning om f har en vertikal asymptote. Tegn grafen til f . a) fxx () 2 1 b) fxxx () 22 Oppgave 6.132 a) Faktoriser 2x 2 18. b) Finn alle de vertikale asymptotene til funksjonen f , der fxx x () 21852 c) Tegn grafen til f for x 55, . Oppgave 6.133
6.3 VERTIKALE ASYMPTOTER
Undersøk ved regning om f har en vertikal asymptote. Tegn grafen til f . a) fxx x () 441 b) fxx x () 2 221 Oppgave 6.131
Finn eventuelle vertikale asymptoter til funksjonen f og tegn deretter grafen til f . a) fxx x () 321 b) fxx x () 2442 c) fxx x () 9392 d) fxx xx () 2 2 431 Oppgave 6.134 Finn de vertikale asymptotene til funksjonen f a) fxxx () 25163 b) fxx x () 9482
Oppgave 6.130
67 s Oppgave 6.135 En funksjon g er gitt ved gxx xx () 66232 a) Finn nullpunktet til g b) Finn de vertikale asymptotene til g. c) Tegn grafen til g med de vertikale asymptotene. 6.4 HORISONTALE OG SKRÅ ASYMPTOTER Oppgave 6.140 Finn den horisontale asymptoten til funksjonen f . a) fxx () 2 3 b) fxx x () 211 c) fxx x () 312 d) fxx () 3 12 Oppgave 6.141 En funksjon f er gitt ved fxx x () 3 1 a) Finn ved regning nullpunktet til f . b) Finn ved regning den vertikale asymptoten. c) Finn ved regning den horisontale asymptoten. d) Tegn grafen til f og kontroller svarene i oppgaven. Oppgave 6.142 Finn asymptotene til funksjonen f . a) fxx x () 253 b) fxx () 1 2 22 c) fxx xx () 221 2 2 d) fxxx xx () 23 22 Oppgave 6.143 En funksjon g er gitt ved gxx x () 28422 a) Finn nullpunktene til g ved regning. b) Finn den horisontale asymptoten til g. c) Tegn grafen til g med den horisontale asymptoten. Oppgave 6.144 En funksjon h er gitt ved hxx x () 224 2 2 a) Finn nullpunktene til h. b) Finn de vertikale asymptotene til h. c) Finn den horisontale asymptoten til h. d) Tegn grafen til h sammen med asymptotene. Oppgave 6.145 Finn asymptotene til funksjonene. a) fxxx () 21 2 1 b) fxxx x () 2 521 c) fxxx x () 25 d) fvvv v () 2 1 1 Oppgave 6.146 Finn asymptotene til funksjonen og tegn deretter grafen og asymptotene. a) fxxxx x () 322 1 1 b) fxxx xx () 32222
68s 6 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON
a) Hvor mange meter over det normale nivået var elva etter 1) 4 døgn 2) 12 døgn b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i vannstanden i perioden 1) 0, 4 2) 4, 12 c) Bruk en grafisk metode til å anslå den momentane vekstfarten etter 2 døgn. Oppgave 6.151 Grafen viser utviklingen av vekta V i kilogram de første 100 levedagene for en hund. kg Vt 40 206080dager 30 110507090 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 a) Hvor mye veide hunden ved fødselen? b) Hvor mye veide hunden etter 60 dager? c) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i periodene fra 1) 0 til 20 dager 2) 20 til 60 dager 3) 60 til 100 dager Oppgave 6.152 Bruk definisjonen av den deriverte til å regne ut vekstfarten til fxx () 23 i punktet x 1.
Oppgave 6.147 Funksjonen f er gitt ved fxxxx x () 322344 a) Finn eventuelle nullpunkter til f . b) Finn alle asymptotene til f c) Tegn grafen til f . Oppgave 6.148 Funksjonen f er gitt ved fxxx x () 2 2228 a) Finn eventuelle nullpunkter til f . b) Finn alle asymptotene til f c) Tegn grafen til f . Oppgave 6.149 Finn nullpunktene og asymptotene og tegn grafen til f med asymptotene. a) fxxxx x () 322569 b) fxxx xx () 322 6.5 VEKSTFART Oppgave 6.150 En høst kom det mye nedbør i Storevik, og i løpet av noen få døgn var det flom i Storelva. Vannstanden steg høyt over det normale nivået. Grafen viser denne utviklingen over en periode på 12 døgn. m yx 4 268 3døgn 157910111 32 2 1
b) Hvor mye stiger temperaturen i jusen per time i løpet av de fire første timene?
c) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i tallet på nye influensaregistrerte personer fra den tredje til den sjette uka. Oppgave 6.157 Høyden i meter av et tre etter t år er gitt ved htttt (),,1450015006032
69 s
Sindre ønsker å få bedre kondisjon og driver derfor med intervalltrening. Figuren nedenfor viser hvor mange pulsslag han hadde per minutt i de siste minuttene av ei treningsøkt. Sindre løper først i fire minutter, så går han raskt i fire minutter, før han til slutt løper i fire minutter. Fra tolv til seksten minutter sitter han på en stol og hviler. 140 120 100 80 160 180 48 2610141216min
a) Hva er den høyeste pulsen Sindre får i den treningsøkta som figuren viser? b) Når øker pulsen raskest?
Oppgave 6.153 Regn ut vekstfarten til fxxx () 2 i punktet x 0. Oppgave 6.154
Når Sindre sitter på stolen, går pulsen ned fra 180 til 120 i løpet av det første minuttet. e) Hva er den gjennomsnittlige endringen per sekund i pulsslag per minutt i dette første minuttet med hvile etter treningen?
a) Tegn grafen til I. b) Finn grafisk når det ble registrert flest nye tilfeller av epidemien. Hvor mange nye registrerte tilfeller var det da?
d) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten i antallet pulsslag per minutt i de fire første minuttene av treningsøkta?
yx
a) I hvilket av intervallene nedenfor vokser treet raskest per år? 1) 020, 2) 2030, 3) 3060, b) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten til treet i hele 60-årsperioden?
c) Hvorfor øker ikke pulsen like raskt mot slutten av de periodene der Sindre løper?
Oppgave 6.155 Vi tar en kartong med jus ut av kjøleskapet og lar den stå på benken i lang tid. Temperaturen T(x) målt i celsiusgrader x timer etter at vi tok ut kartongen, er da gitt ved T(x) 19 15 0,73x a) Hva er temperaturen i kjøleskapet?
c) Hva mener du romtemperaturen kan være ut fra modellen? Oppgave 6.156 Et øysamfunn blir rammet av en influensaepidemi. Alle nye tilfeller av sykdommen blir registrert. x uker etter at de første tilfellene ble registrert, ble I(x) nye øyboere rammet av epidemien, der Ixxxx () 2018009,,32
6.6 TANGENTER Oppgave 6.160 Grafen til en funksjon f er tegnet sammen med tangenten til grafen i punktet 1, 6 . 2 –2 –3–4–2–1 –4 –6 –8 4 6 8 yx f 2413 a) Finn stigningstallet til tangenten. b) Hva forteller dette om vekstfarten til f når x 1? Oppgave 6.161 I en laboratoriekultur utvikler det seg gjærceller. Grafen viser tallet G(t)på gjærceller etter t timer. I tillegg viser den tangenten til grafen i punktet 8, G(8) 400 600 800 200 yt 8timerAntall41216 y =73,3 x –184,32 a) Finn den momentane vekstfarten etter 8 timer. b) Hva forteller den momentane vekstfarten i dette tilfellet? c) Studer grafen til G og forklar hvorfor dette er den største momentane vekstfarten til G. Oppgave 6.162 Tegn grafen til funksjonen fxxx (),,333 på et ruteark. a) Tegn tangenter i punktene 11,() f og 22,() f . b) Bruk tangentene til å finne den momentane vekstfarten til f i punktene x 1og x 2. c) Finn digitalt den momentane vekstfarten til f i punktene x 1 og x 2. 6.7 DERIVASJON Oppgave 6.170 Deriver funksjonene. a) fxx () 4 5 b) fx() 3 c) fxxx () 2 22 d) fttt () 2212 e) fsss () 12 3 f) fxxxxxx(),324 0 Oppgave 6.171 Funksjonen g er gitt ved gxx () 3 a) Finn g ()1. b) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet 11,() g . c) Tegn grafen til g og tangenten. Oppgave 6.172 Funksjonen f er gitt ved fxxx () 2 a) Finn 1) f ()1 2) f ()1 b) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet 11,() f .
70s 6 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON
xxfxf
Finn likningen for normalen til linja l med likningen y 4x 6 i punktet 2, 2 Oppgave 6.181
xxxx
15215015152
Finn likningen for normalen til linja l med likningen y 2x 5 når x 4. Oppgave 6.182
En funksjon f er gitt ved fxxx () 2 3 a) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet 11,() f . b) Finn likningen for normalen til grafen i punktet 11,() f . Oppgave 6.183
71 s Oppgave 6.173 Vi planter et lite grantre. Etter t år er treet h(t) meter, der httt (),,,,,1001802017 a) Finn høyden av treet 1) da vi plantet det 2) etter 10 år b) Finn grafisk når treet kommer til å være 21 m høyt. c) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til treet fra vi planter det til det er 10 år gammelt. d) Finn vekstfarten til treet etter 1) 2 år 2) 15 år Oppgave 6.174 Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f ()1 når fxx () 2 2 Oppgave 6.175 En student har regnet ut den deriverte for en funksjon f i punktet S og fått lim ()() lim ()() lim x xx x 0 0 x xxx0 2 0 2 296 93126 lim () 3126 00 xxxx x xx x limlim a) Bestem funksjonsuttrykket f . b) Bestem likningen for tangenten i punktet S. Oppgave 6.176 Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f ()2 når fxxx () 2 2. 6.8 NORMALER Oppgave 6.180
En funksjon f er gitt ved fxxx () 3 a) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet 11,() f . b) Finn likningen for normalen til grafen i punktet 11,() f . c) Tegn grafen til f, tangenten og normalen. Oppgave 6.184 Funksjonene f og g er gitt ved fxxx () 2 6 og gxx () 28 a) Finn likningen for tangenten til g i hvert av punktene der de to grafene skjærer hverandre. b) Finn likningen for normalen til g i hvert av de to punktene.
2333126332
181229()
Oppgave 6.191 En bil begynner å kjøre på en rett veistrekning. Etter t sekunder har bilen kjørt s(t) meter, der stt () 2 2 a) Finn farten etter 3 s. b) Hvor lang tid tar det til farten er 20 m/s? c) Finn atvt()(). Hva er akselerasjonen etter 3 s? Oppgave 6.192 En skiløper renner utfor en bakke. Etter t sekunder, målt fra han starter på toppen av bakken, har skiløperen tilbakelagt strekningen s(t) målt i meter, der sttt (),605 2 a) Finn farten etter 1) 3 s 2) 5 s b) Bakken er 80 m lang. Hva er farten nederst i bakken? Oppgave 6.193 En gjenstand har etter t sekunder forflyttet seg s(t) meter langs ei rett linje, der sttt Finn(),,0020683fartenogakselerasjonen etter 10 s. Oppgave 6.194 En bil begynner å bremse 70 m foran et veikryss. Etter t sekunder har bilen tilbakelagt strekningen sttt () 2 16 målt i meter. a) Hva er farten uttrykt i m/s idet bilen begynner å bremse? b) Finn svaret i oppgave a uttrykt i km/h. c) Klarer bilen å stoppe før veikrysset? d) Finn akselerasjonen under nedbremsingen. Oppgave 6.195 En gjenstand beveger seg med konstant akselerasjon langs ei rett linje. Grafen nedenfor viser tilbakelagt strekning s for tida t mellom 0 og 5 sekunder. 40245s 13 st80 100 120 140 m 20 60 a) Bruk grafen og finn farten etter 1 s, 2 s, 3 s og 4 s. b) Lag en graf som viser farten i perioden 05, . c) Finn akselerasjonen til gjenstanden.
72s 6 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON
6.9 FART OG AKSELERASJON Oppgave 6.190 I fysikk bruker vi ofte formlene stvtat () 0 221 og vtvat () 0 . Her er s(t) posisjonen til en gjenstand etter tida t,v0 er startfarten, a er den konstante akselerasjonen, og v(t) er farten etter tida t. a) Deriver s(t). b) Hvilken sammenheng er det mellom svaret i oppgave a og uttrykket for farten v(t)? c) Deriver v(t) d) Hvilken sammenheng er det mellom svaret i oppgave c og akselerasjonen?
Oppgave 6.204 Bestem konstantene a og b slik at funksjonen f blir kontinuerlig. fxaxbxxx xax () , , 23420,2042
Oppgave 6.200 Regn ut grenseverdiene. a) lim xx x5 210225 b) lim xxx x4 2 416224 Oppgave 6.201 En funksjon f er gitt ved fxxxx xxx () , , 3 2 312 21 592 Vis at f er kontinuerlig for x 2. Oppgave 6.202 Undersøk ved regning om funksjonen f er kontinuerlig i delingspunktet, og tegn deretter grafen. fxxxx xx () , , 2 32121 Oppgave 6.203 Bestem konstantene a og b slik at funksjonen f blir kontinuerlig. fxaxxxbxx axbxx () , , , 2 21132473232
c) Vil bilen stoppe før den når fram til hindringen, hvis akselerasjonen er 7,8m/s2?
a) Hva er farten målt i m/s? b) Hvor langt er det igjen til hindringen når oppbremsingen begynner? I fysikkfaget brukes ofte «den tidløse formelen» vvas 2 0 2 2 . Her er v0 startfarten, v er sluttfarten, a er akselerasjonen, og s er strekningen.
d) Med hvilken fart vil bilen treffe hindringen, hvis bilføreren kjører i 90 km/h, bruker like lang tid på å reagere og har den samme akselerasjonen som i oppgave c? Skriv svaret i km/h og rund det av til nærmeste hele tall. Sandra har regnet ut at å bli truffet av en bil som har farten 60 km/h, tilsvarer å falle ned fra en høyde på 14 m. e) Bruk den tidløse formelen, la akselerasjonen være 9,8m/s2 og kontroller om utregningene til Sandra stemmer. Kommenter likheter og forskjeller mellom de to situasjonene.
BLANDEDE OPPGAVER
73 s Oppgave 6.196 En bil kjører med farten 72 km/h. Så ser bilføreren en hindring i veibanen 40 meter lenger framme. Sjåføren bruker 0,7 s på å reagere før hun begynner å bremse.
Oppgave 6.210 Bensinstasjonen «Kom og fyll»fører statistikk over hvor mye drivstoff de selger. Salget D(x)i tusen liter diesel per uke var x uker etter nyttår 2022 gitt ved Dxxxx (),,164500262
Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i dieselsalget per uke fra uke 10 til uke 14. Oppgave 6.211 Det tar 6 timer å tømme en stor vanntank når vi åpner en ventil i bunnen av tanken. Volumet V(t)av vannet i tanken målt i liter t timer etter at ventilen ble åpnet, er gitt ved Vtt () 1006 2 a) Bestem vekstfarten til V når 1) t 2 2) t 4 b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til V i tidsrommet t 24, . c) Forklar med ord hva du har regnet ut i oppgave a og b. Oppgave 6.212 a) Finn den momentane vekstfarten til f når x 2. b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet x 2, 0 2 –2 –1 –11 yx –3–2–3 4 5 6 1 3 –3 61
74s 6 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON
Oppgave 6.205 To funksjoner f og g er gitt ved fxx x () 232 og gxx xx () 2 5 a) Finn asymptotene til f og g b) Tegn grafen til f og grafen til g Oppgave 6.206 En funksjon h er gitt ved hxx x () 5 12 a) Finn nullpunktet til h. b) Forklar at h ikke har noen vertikal asymptote. c) Finn den horisontale asymptoten til h. d) Tegn grafen til h. Oppgave 6.207 En funksjon g er gitt ved gxxx x () 2 31 a) Finn nullpunktene til g. b) Finn asymptotene til g. c) Tegn grafen til g. Oppgave 6.208 En funksjon f er gitt ved fxxx x () 2 1 2 a) Finn den vertikale asymptoten til f b) Finn den skrå asymptoten til f c) Tegn grafen til f Oppgave 6.209 Finn alle asymptoter til funksjonene. a) fxx xx () 71232 b) fxxxx x () 3284484
1) Den gjennomsnittlige vekstfarten på intervallet 0, 4 er 1. 2) Den gjennomsnittlige vekstfarten på intervallet 0, 8 er 3.
75 s Oppgave 6.213 Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen f er • 4 på intervallet 0, 2 • 2 på intervallet 2, 4 • 1 på intervallet 4, 8 Hvilke av påstandene er nødvendigvis sanne?
3) Den gjennomsnittlige vekstfarten på intervallet 0, 8 er 1. 4) f (2) f (8) 5) f (6) f (4) Oppgave 6.214 En funksjon f er gitt ved fxxx () 3522 a) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet 22,(). f b) Finn likningen for normalen til grafen i punktet 22,(). f Oppgave 6.215 En funksjon f er gitt ved fxxx () 2 3 Bestem alle tangentene til grafen som går gjennom punktet P 1, 3 Oppgave 6.216 En travhest har etter t sekunder tilbakelagt strekningen s(t) meter. Forklar hva s ()1611 betyr. Oppgave 6.217 En student fant f ()3 til funksjonen fxxx () 2 62 ved hjelp av definisjonen av den deriverte slik: f ()33632918272 fxxx xxx xx ()()()()(3363296186271222))2 ffxf x xxxx x x ()lim ()() lim ()() lim 3 71273300 2 0 212 1212 xx xx () Vurder løsningen. Oppgave 6.218 En skuter kjører på en rett vei med farten 5 m/s. I løpet av 10 s øker føreren farten og holder deretter farten konstant igjen. Etter t sekunder med fartsøkning har skuteren kjørt s(t) meter, der sttttt (),,,,00309501032 a) Finn farten v(t) og akselerasjonen a(t) etter t sekunder. b) Finn farten og akselerasjonen etter 5 s. c) Finn gjennomsnittsfarten de første 5 sekundene. d) Regn ut ss()() , 100 36 10 Hva forteller svaret deg? Oppgave 6.219 (Eksamen 2021) Finn de eventuelle asymptotene til fxxxx x () 32219205
252 1.124 a) 1 b) 54 c) 121 d) 272 1.125 a) 73 b) 23 c) 65 1.126 a) 4 b) 43 c) 34 1.127 a) 109 b) 11 c) 136 d) 256 1.130 a) 3x 2y b) 6a 5b c) 2x 6y d) a 5b 1.131 a) 5 5x b) 11x 14 c) 2a 2ab 3b d) 3ab 1.132 a) 5x 7y b) 2a 4b 5c c) 8xy d) 2a 2b 1.133 a) 2a 2 3 b) 5 1.134 a) 4x 2 b) 2x 2 8 c) 8 2x 2 d) 2x 3 4x 2 2x 4 1.135 a) 23 2262 aaabb b) ab224 c) 13 43 2243 aabb 1.136 x 4, y 2, z 3 1.137 y og x 1.140 a) 1214 a b) 211035 a c) 14 d) x 1 6 1.141 a) 254 xx b) 7 2 2 x x c) 206 xx 1.142 a) 315 x x b) 5812 y c) zz 1 1.143 a) 25a b) 413 b b 1.144 a) 6xy 2 b) b c) a ab 1 2 d) 926 x 1.145 a) a b b) x y2 2 c) 1 2 2 xx d) 452yy 1.146 a) 79 b) 3 1.147 a) 154530 xx b) 2 1.150 a) 16 b) 16 c) 16 1.151 a) 27 128 b) 22 4 c) 5 d) 3 131 1.152 a) 4 b) 9 c) 21 d) 4 1 1.110 a) b) c) 1.111 a) b) 1.112 a) 2, 1, 0, 1, 2, 3 b) 6, 8 c) 1, 2, 3, 6, 9, 18 1.113 a) 18 b) 80 c) 12 d) −4 1.114 a) 17 b) 17 c) 32 d) 5 1.115 a) 10 b) 16 c) 23 d) 0 1.116 a) 24 b) 9 c) 56 d) 33 1.117 a) F.eks. 3 5 4 6 b) F.eks. 4 5 3 6 c) F.eks. 5 4 3 6 1.120 a) 81 b) 21 c) 23 d) 114 1.121 a) 21 b) 13 c) 14 1.122 a) 182 b) 1815 c) 1812 1.123 a) 1 b) 101 c) 73 d) 136 FASIT
253 1.153 a) 3 b) 25 1.154 a) 23 b) 2 1.155 a) 1 a b) a n 1 1.156 2 og 4 1.160 a) 274x b) xy 4 c) y 24 d) 649 1.161 a) 1258 b) 259 c) 23x d) 2516 2 x 1.162 25 3 , 25 3 , 25 , 25 0 , 25 1 , 25 2 1.163 a) 259 b) y x 105 c) 40 1.164 a) 71 b) 9b c) 2a 9 1.165 a) 1 b) 42 xc) 12 1.166 a) a b37 b) 2 53a b 1.167 x y 554 1.168 a) 7200 b) 0,36 c) 0,01 d) 8,1 1.170 3,4 106 og 34 105 34 000 000 og 0,34 108 1.171 a) 7,5 1016 b) 3,4 107 c) 1,28 10 7 d) 4,0 10 6 1.172 a) 3 108 m/s b) 9,11 10 31 kg c) 9,46 1015 m d) 1,6 10 19 C 1.173 a) 1) 7,6 10 9 m 2) 3,589 106 kg 3) 3,153 104 s b) 1) 1,238 1011 kgm 2) 1,474 103 kgm/s 3) 1,425 10 15 kgm/s2 1.174 a) 1,2 103 b) 7,7 106 c) 9,4 1022 d) 4,5 10 8 1.175 3 10 23 g 1.176 5 105 1.177 a) 5 109 b) 10 000 1.178 a) 876 000 timer 8,76 105 timer b) Én undervisningstime er mer enn ett mikroårhundre. 1 mikroårhundre er 0,876 timer. 1.179 a) 1,42 1027 m3 b) 1,4 103 kg/m3 1.180 a) 21 b) 53 c) 139 d) 5 1.182 a) 2 b) 5 c) 2 d) 1 e) 2 f) 100 1.183 a) 1,24 b) 1,66 c) 2,01 d) 2,30 1.184 a) a b) 20 c) 0,1 d) 400 1.185 a) 7 b) 37 c) 20 1.186 a 3 b4 1.187 2,00 cm 1.188 a) 1) 5801 K 2) 5528 C b) 1) 254 K 2) 19 C 1.190 a) 1) 3 2) 4 3) 25 4) 16 1.191 a) 2 b) 4 c) 2 d) 23 1.192 a) 3 b) 0,71 c) 1,12 d) 0,25 e) 1,22 f) 656,14 1.193 a) 2 34 b) 3 c) 1 d) 2 1.194 a) a3 b) a 1.195 a) 33 b) 0 c) 2 6 1.196 a) 1) 251 2) 85 b) 1) 2 2) 84 d) 1) 777196 3 6 2) 43
254 1.197 a) 138 K b) 9 AE 1.200 a) 9 b) a 2 b 3 1.201 a) 21 b) 1511 1.202 a) 21 b) 23 c) 157 d) 247 1.203 a) 2 b) 23x c) 3614 aa 1.204 a) a 4 b) 111812 b 1.205 a) 9418 x b) 7186 yy 1.206 a) 161 b) x83 1.207 a) 0 b) 1211c) 5 1.208 Rute A: 7x 6y 1 Rute B: 5x 2y 1 1.209 a) 15 b) 17 1.210 a) 1,28 s b) 8 min 19 s 1.211 1,5 1017 1.212 a) 1) 9 2) 1 a b) 1) 3,92 10 9 2) 5,50 1013 c) 1) x 2) 1 1.213 a) 1) 13 2) a b) 1) 4 2) 1 1.214 a) 1) 1 2) 2x 5 b) 3 109 c) 1) 813 2) 2 1.215 y x 54 1.216 y x 1024 1.217 a) 24x 2 b) 4a 1.218 24 1.219 xyxy 23 13 23 13 1 1.220 x 5 y 2 1.221 154 1.222 a) 1,6 km b) 8,0 106 1.223 xy 1 23, 1.224 a 5 2 2.110 a) x 2 b) x 4 c) x 5 2.111 a) t 3 b) t 61 c) s 1 2.112 a) x 1 b) t 6 c) s 1 d) s 21 2.113 a) x 2 b) x 94 2.114 30 studenter 2.115 Den 28. i måneden 2.116 201 L 2.117 6 kg 2.118 56 000 kr 2.119 d) x 39 2.120 a) xy23og b) xy35og c) xy 2 21og d) xy 21 35og 2.121 a) xy21og b) xy12og c) xy11og d) xy 1 25og 2.122 a) x 1 og y 1 b) s 2 og t 1 c) x 1 og y 2 2.123 Kari er 20 år, og Ola er 42 år. 2.124 1 kg epler: 24 kr 1 kg appelsiner: 21 kr 2.125 Te: 32 kopper Kaffe: 26 kopper
255 2.126 3 katter og 9 høner 2.127 135 kr (1 sekk bjørkeved: 75 kr 1 sekk granved: 60 kr) 2.128 112,5 km 2.129 a) 40 L av 80 %-oppløsningen og 10 L av 50 %-oppløsningen b) 200 g av den første legeringen og 100 g av den andre 2.130 a) 72 km/h b) 20 m 2.131 a) 1,7 cm b) 17 m 2.132 a) 1224 km/h b) 2380 m 2.133 a) 436 kg b) 1) kv b 118802 2) 165 cm c) 1) bv k 11880 2) 182 cm 2.134 vE m 2 2.135 a) 1) 1,5 km 2) 1,3 km b) 1 time, 90 km 2.136 a) 2,5 m/s2 b) 20 m c) 60 m d) 72 km/h 2.137 a) avv s 2 0 2 2 b) 3,0 m/s2 2.139 a) Pvr 00003 32 , b) 8 ganger større c) APv 00003 3 , 2.150 a) x 2 b) x 23 c) x 132 2.151 a) x 2 b) x 0 2.152 a) x 3 b) x 6 c) x 1 2.153 a) x 0 b) x 1 2.154 a) z 0 b) x 34 c) y 2 d) t 1710 2.155 a) x 8 b) x 4 c) x 1 d) x 72 2.156 Etter ett år (12 måneder) 2.157 Når det har gått mer enn 10 minutter. 2.160 a) 05, b) 1, c) ,2 d) 32, 2.161 a) ,0 b) 33, c) 1, d) 23, 2.164 a) b) c) d) e) f) 2.170 a) AB 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 AB 3, 5 b) ABC 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ABC 5 2.171 a) ABx, y, z, u, v, Aw Cx, y, z, u, v, p, q b) ABx, z, u, Bv C 2.172 a) AB 3, 4, 5 , BC 3, 5 , AB 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , BC 3, 4, 5, 6, 7 b) AB\,,012 , BA \ 6 , AC\,,,0124 , CA \ 7 c) A 6789,,, , B 012789,,,,, 2.173 a) AB 0123,,, , AB 2101234,,,,,, , AC 024,, , BC 210123468,,,,,,,, , AB \ 4 , BA\,21 b) (),,,,,,, ABC 20123468 , (),,, ABC 2024 c) ()(),,,, ABAC 01234 d) ()(), ABAC 02 2.174 A og B, C og D 2.175 A 3, 4, 5 2.176 a) [2, 7 b) , 3 c) 4 d) [1, 2.177 a) AC [,2 , BC b) BCAC [,,15 c) \[,,\, BC51 2.178 AB \
ACB
256 2.179 2.180 a) 15 28x b) 21 x c) 56 x d) 11 x 2.181 a) 21 x b) 11 x c) 32 y d) 23 21x 2.182 2 4x 2.183 x 2 2.200 a) x 8 b) x 4 c) x 2 2.201 216 sider 2.202 137 2.203 76 jordbær 2.204 x 23 AB C AB ACB C 2.205 x 2 og y 1 2.206 a) x 3 og y 2 b) Pærer: 20 kr per kg Bananer: 24 kr per kg 2.207 Barnebillett: 24 kr Voksenbillett: 48 kr 2.208 b) x 0,75, y 0,25, 0,75 L lettmelk og 0,25 L helmelk 2.209 A: 56 kg, B: 68 kg, C: 62 kg 2.210 82 personer 2.211 hA ab 2 2.212 th g 2 2.213 MvR 2 2.214 RTM 2 2 3 4 2.216 b) PU R 2 2.217 a) 1,5 mm b) tdd 21001 210100, , c) 3,5 min 2.218 a) 90 C b) 58 C c) Etter 30 min d) xT 9016,e) Etter 15 min 2.219 a) 1) 11 400 kr 2) S 6000 600x b) 1) 10 500 kr 2) B 16 800 700x 2.221 a) 2 232 000 L b) 930 favner c) 37 200 d) Effekten dobles. 2.222 a 1 2.223 x 4 og y 1 2.224 a) 1) rkT223 4 2) Ca. 36 000 km (35 850 km) b) 1) Tr k 4 23 2) 2 351 437 s = 27,2 døgn, månen 2.225 c) Ca. 13 milliarder år 4,113 1017 s 2.226 a) Ingen løsning b) x 1 2.227 a) x 1 b) 3 6x 2.228 a) x 5 b) 24 x 2.229 b)a) 2.230 a) AB 35, AC 02, BC b) AB 06, AC 15, BC 1236,, 2.231 a) AB\,,,,,0123910 AC\,,,,,0246810 b) BC 0210,, c) BC 0234567810,,,,,,,, BC 19,
d)c)b)a)
257 2.233 ABC 2.234 ABC 2.236 Abonnement B er hverken det billigste eller det dyreste når databruken er mellom 1,5 GB og 2 GB. 2.237 18 x 2.238 x 4 3 3.110 Linjene er parallelle. 3.111 1, 3 3.114 a) Stigningstall konstantledd1,3 b) Stigningstall konstantledd2, 2 c) Stigningstall 2, konstantledd 4 3.115 b) y 3, y 5 3.120 a) yx 2 b) yx 21 2 c) yx 13 3 3.121 a) y 3 b) yx 14 c) x 2 3.122 yx 21 2 3.123 a) 1 b) 1 c) 1 d) 21 3.124 a) yx21 b) yx 13 1 c) yx 23 21 d) y 13 3.125 a) yx 3 b) y 4x 7 c) yx 2 3.126 a) y 3x 3 b) y 3x c) y 3x 6 3.127 y 2x 4 3.128 a) Du må velge punktene E og Æ. b) Stigningstallet blir 4. c) Konstantleddet blir 21. d) Du må velge punktene D og Ø e) Stigningstallet blir 4. f) Konstantleddet blir 15. 3.133 b) y 0,10t 3.134 a) y 30x 3.140 a) x 6 b) x 2 3.141 a) x 2 og y 1 b) x 1 og y 2 3.142 x 3 og y 4 3.143 c) 22,5 liter d) 40 mil 3.144 a) y 600x 14 000 c) 23 000 kr d) 28 timer 3.145 a) Hans: 24 000 1200x Grete: 8000 800x b) Etter 8 måneder, 14 400 kr 3.146 a) 1) 1,5 km 2) 1,3 km b) Etter 1 time, 90 km 3.147 a) I) y 25x 16 000 II) y 50x 14 000 b) 80, 18 000 kr 3.148 a) 60 L c) 44 L d) 37,5 km e) 75 mil 3.150 a) x 2 b) x 1 c) x 2 d) x 2 3.151 a) Før 5 min b) Etter 10 min 3.152 a) 21 x b) 56 x c) 11 x 3.153 a) 21 x b) 11 x c) 32 y 3.160 a) f ()21, f ()01, f ()217 b) f ()21, f ()01, f ()25 c) f ()2 23 , f ()00, f ()22 3.161 a) 1) f ()03 2) f ()25 b) xx31eller c) V f 412, 3.162 a) 1) f ()00 2) f ()15 b) xx13eller c) V f 54, 3.163 a) b 0 b) b 1 3.164 b) D B 0120, c) VB 060, d) Ja 3.165 a) 0, 20, 60, 120, 200, 300 b) DS 123456,,,,, c) VS 02060120200300,,,,, d) Ja
258 3.166 a) Funksjon b) Ikke funksjon c) Funksjon 3.167 a) Ikke funksjon b) Funksjon 3.168 a) fxx () 4 b) fxx () 232 3.170 b) f ()34 , f ()10 og f ()29 3.171 b) x 3 og x 1 c) Bunnpunkt: 1, 4 d) V f 421, 3.172 b) x 1 og x 5 c) Toppunkt: 2, 9 d) V g ,9 3.173 b) x 2 og x 6 c) Bunnpunkt: 2, 16 d) V f 16, 3.174 a) 2) xx51og 3) 29, 4) 9, b) 2) 21, 3) ,1 c) 1) a 0 2) a 0 3.175 a) 2) xx42og 3) 19, 4) 9, b) 2) xx24og 3) 19, 4) 9, 3.176 Nullpunkter: x 0, x 6 Toppunkt: 4, 32 Bunnpunkt: Verdimengde:0, 0 V f 4932, 3.177 a) 0 m/s b) 102 m/s c) 367 km/h e) svv 0 2 0 2981962,, 3.200 yx 3, yx 23 2 3.202 y 3x 1 3.203 a) yx 2 c) Linja går ikke gjennom punktet 3, 6). 3.204 a) y 2x 3 b) y 2x 7 c) y 2x 3 3.205 x 2 og y 1 3.206 x 2 3.207 x 2 og y 4 3.208 Er parallell 3.209 a) x 1 og y 3 b) x 3 3.210 b) 90 c) Nei d) Ja e) 1 f) 1 3.211 a) 47,5 C c) 15 min d) tT 4216, e) 20 min 3.212 a) T 92 1,2x b) K 86 0,8x d) Etter 15 min 3.213 b) 30,5 cm c) Skostørrelse 33 d) Skostørrelse 35 3.214 b) 128 studenter c) 195 studenter 3.215 200414085,,,, xxx etter 5 timer er det varmest i Bergen. 3.216 a) Kl. 12.30 x 12,5 b) Kl. 12.30, 0 C 3.217 a) 1) f (),01 5 2) f (),225 b) x 3 og x 1 c) Bunnpunkt: 1, 2 3.218 b) x 7 og x 1 c) Bunnpunkt: 3, 16 d) V f 16, 3.219 b) 10 m c) 1 s d) 2,4 s 3.220 b) Begynnelsen av februar (uke nr. 10), 12 C c) T(30) 52 C, lite sannsynlig 3.221 b) 1824 kWh, 1830 kWh c) I juli (måned nr. 7), 1044 kWh d) 285 kWh f) I juli, 1949 kWh 3.222 b) 15. mars c) 12. mars, 29 cm 4 4.110 a) x 2 16x 64 b) x 2 81 c) x 2 10x 25 d) 9x 2 1 4.111 a) 9x 2 12x 4 b) 16y 2 16y 4 c) 16a 2 16a 4 d) 9 t 2
259 4.112 a) 8x 32 b) 8x c) 3t 2 1 d) 12t 15 4.113 a) 1 b) 1 c) 5 d) 40 4.114 a) 899 b) 2496 4.115 a) 891 b) 361 c) 384 d) 484 4.116 a) 2809 b) 1596 c) 1225 4.120 a) 3x 2x 1 b) xyxy c) 2t 2 8t 3 2t 2 1 4t d) 27a 2b2 a 2b 4.121 a) 8 x 2 2 b) 3xzy 5 c) Kan ikke faktoriseres d) x 2 z 2 2x 2 3z 4.122 a) abab b) 2 x 2 4 2 x 2 x 2 c) Kan ikke faktoriseres d) 10 9xy 2 10 9xy 2 4.123 a) xx 4 b) y 4 y 2 c) 5 2a 1 d) 5xx 2y 4.124 a) x 4 x 4 b) Kan ikke faktoriseres c) 8aa 2 4 8aa 2 a 2 d) 21 34 21 34xx 4.130 a) x 1 x 3 b) x 2 x 5 c) x 6 2 d) y 7 2 4.131 a) c 129 b) c 169 c) c 25 d) c 49 4.132 a) b 10 eller b 10 b) b 6 eller b 6 4.140 a) 32x b) 33 x x 4.141 Feil forkorting i siste utregning, skal 2712være:12 39434 944aaaaaa 4.142 a) x x 2 211() b) 5 1x c) Kan ikke forkortes d) x 2 4.143 a) 322 x xx b) x x 225 c) 2 42 xx d) 26532 a aa 4.144 a) 2 1x b) 3x 6 c) 5 x d) xx 1 4.145 a) x 6 2 b) 1) 2 6xx 2) x x 66 4.146 a) x 1 x 4 b) 3 1xx 4.147 b) x xx3212 4.148 a) x 3 3 b) 3yx 1 c) 94 34 334 1aa d) ()() xx126 4.150 a) x 0, x 6 b) x 0, x 4 c) x 0, x 5 d) x 1, x 3 4.151 a) x 4, x 4 b) xx 13 13, c) x 1, x 4 4.152 a) x 2, x 5 b) x 1, x 7 c) x 3, x 5 4.154 k 4 4.155 a) x 5, x 0, x 5 b) x 4, x 0, x 3 c) x 3, x 3 d) x 1, x 0, x 1 4.160 a) x 4 eller x 2 x 4: V.s. = h.s. = 0 x = 2: V.s. = h.s. = 0 b) x 3 eller x 4 x = 3: V.s. = h.s. = 0 x = 4: V.s. = h.s. = 0 c) x 10 eller x 15 x 10: V.s. = h.s. = 0 x = 15: V.s. = h.s. = 0 d) x = 25 eller x = 1 x = 25: V.s. = h.s. = 0 x = 1: V.s. = h.s. = 0 e) x = 2 eller x = 5 x = 2: V.s. = h.s. = 0 x = 5: V.s. = h.s. = 0 f) x 7 eller x 3 x 7: V.s. = h.s. = 0 x = 3: V.s. = h.s. = 0 4.161 xx 21 3eller 4.162 13, 14, 15, 16
260 4.163 Lengden er 48 cm, og bredden er 36 cm. 4.164 Lengden av de store kakene er 7 cm, og lengden av de små kakene er 5 cm. 4.165 Kl. 08.00 4.166 a) 2 løsninger: c 1 1 løsning: c 1 Ingen løsning: c 1 4.167 a) 2 løsninger: a 4 1 løsning: a 4 Ingen løsning: a 4 4.168 a) x 21 eller x 3 b) x 4 eller x 1 c) x 13 eller x 21 d) x 23 4.170 a) x 1 og y 3 eller x 3 og y 5 b) x 1 og y 0 c) x 1 og y 2 eller x 2 og y 1 d) x 2 og y 2 eller x 4 og y 4 4.171 a) x 4 og y 3 eller x 3 og y 4 b) x 3 og y 8 4.172 38 år, 38 år og 44 år 4.173 7 og 19 4.180 a) x 1 x 2 b) x 2 x 4 c) x 1 x 3 d) x 2 x 5 4.181 a) 2 x 3 x 2 b) 2 221221 xxxx c) 314 xx d) xx 21 14 4.182 a) 2 x 2 x 3 b) 3 x 2 2x 2 c) 5 t 2 t 2 d) 2x 1 x 2 4.183 a) 9 323123 13 xxxx b) Kan ikke faktoriseres. c) t 23 2 d) ss 7 s 1 4.184 a) For eksempel: x 2 11x 18 og 2x 2 22x 36 b) For eksempel: x 2 x 20 og 2x 2 2x 40 4.185 a) 3212 x xx b) 2823 8 2 2 xx xx 4.186 a) x 2 x 4 b) 3 4xx 4.190 a) 0 2x b) 12 x c) 1 6x d) x 23 eller x 21 4.191 a) x 5 eller x 3 b) x 1 eller x 10 c) 21 1x d) 23 13x e) x 2 eller x 9 4.192 a) x 2 eller x 6 b) 32 x c) x 5 eller x 3 d) x 13 eller x 23 4.193 a) 18 x b) x 0 eller x 4 c) 3 3x 4.194 Kristin var mellom 7 og 11 år (7,08 år < x < 11,09 år). 4.195 a) 2 løsninger: b 10 eller b 10 1 løsning: b 10 eller b 10 Ingen løsning: 1010 b 4.200 a) 2x 2 4x 2 b) 4x 4.201 a) 10a 26 b) a 2 24a 4.202 4 4.203 a) 2499 b) 4896 4.204 112 4.207 x 6 x 7 4.208 a 3, b 4 eller a 4, b 3 4.209 Ja. Dette fordi x 2 8x 16 x 4 2 4.210 x 2 4.211 3 4x
261 4.212 331 x x 4.213 a) 22 x x b) Svaret blir 21 når vi setter inn x 1. Vi har jo bare forenklet uttrykket så svarene blir de samme når vi setter inn et bestemt tall. 4.214 b) 12 a a 4.215 ab ab 22 er størst. 4.216 a) x 1, x 4 b) x 1 eller x 4 4.217 Ja, når sidene har lengdene 3, 4 og 5. 4.219 a) x 2 og x 6 b) 2 6x c) xx 7 4.220 a) x 5 b) xx 5 c) 2 3x 4.221 5 m 4.222 x 2, x 0, x 3 4.223 a) xx33, b) x 2, x 2 c) x 3, x 1, x 1, x 3 4.224 x 6, x 2, x 6 4.225 0,,22182ss t 4.226 x 1 eller x 3 4.227 b) 21 2x 4.229 a) x 1 eller x 3 b) a 2, b 4 og c 6 c) Ingen løsning 4.231 a) 2 løsninger: a 9 1 løsning: a 9 Ingen løsning: a 9 b) x 23 4.232 a) 2 løsninger: c 16 1 løsning: c 16 Ingen løsning: c 16 b) x 4 4.233 x 2 og y 1 eller x 4 og y 3 4.234 a) x 2 og y 3 b) x 2 og y 3 4.235 x 1 og y 4 eller x 4 og y 1 4.236 a) x 2 og y 6 eller x 6 og y 2 b) Sidene er 2 cm og 6 cm. 4.237 a) 2 1x b) x 1 og y 3 eller x 3 og y 5 4.239 2 løsninger: b 6 eller b 6 1 løsning: b 6 Ingen løsning: 66 b 4.240 13 0x eller x 13 4.241 b) v0 10 m/s, t 5 s 4.242 15t 2 45t 15tt 3 4.243 t 2 og h 40 eller t 4 og h 40 5 5.110 a) 1) f ()04 2) f (),125 b) x og x 2 c) Toppunkt: 1, 4,5 5.111 b) Kl. 12.30 c) Kl. 05 og kl. 20 d) Før kl. 10 og etter kl. 15 5.112 b) x og x 4 c) Bunnpunkt 3, 27 5.113 a) K(800) 102 000 I(800) 105 600 O(800) 3600 d) x 600 eller x 1400 e) x 1000, 4800 kr 5.114 a) 100 kr, 49 kr d) 40, 2560 kr 5.120 a) xx 1 2 1 b) xx 2 1 2 c) xx 9 253 5.121 a) x 2 2x b) x 2 4 c) x 2 3x 2 d) x 2 3 5.122 a) xxx 2 23 2 1 b) 2 5 1 2 2 xxx c) xxxx 32224 2 2 d) xa xa 2
262 5.123 a) x 2 b) x 3 c) 2 11 250641xx xx 5.130 a) 5 b) 1 5.131 a) 8 b) 19 c) 1 d) 4 5.132 a) Divisjonen går ikke opp. xx 2 1 2 b) Divisjonen går opp. 2x 2 c) Divisjonen går opp. 4x 1 5.133 a) P(1) 0 b) x 2 5x 6 5.134 a) P(a) 0 b) x 2 a c) 1) a 0 2) a 0 5.135 x 2 5.136 a) a 4 b) a 2 c) a 65 5.137 a) k 6 b) x 2 2x 2 5.138 a) ab 13 193, b) xx 2 83 35 5.140 a) x 2 x 7 b) x 6 x 3 c) Kan ikke faktoriseres d) x 8 x 8 5.141 a) P( 2) 0 b) P(x) x 6 x 3 x 2 5.142 a) P( 4) 0 b) x 2 x 1 x 4 5.143 a) P(1) P( 1) 0 b) x 1 x 1 x 2 x 2 5.144 a) PP330 b) xxxx3355 5.145 a) Kan ikke forkortes b) x 2 c) 2312 xx 5.146 a) a 1 eller a 1 b) a 5 eller a 3 5.147 a 7, b 6 5.150 a) P(3) 0 b) x 1, x 1, x 3 c) 113 xx eller 5.151 a) P(2) 0 b) x 3, x 2, x 3 c) P(x) x 3 x 2 x 3 d) xx323eller 5.152 a) P(3) 0 b) P(x) x 2 x 2 x 3 c) 223 xx eller 5.153 a) P(4) 0 P(x) x 4 x 3 2x 5 b) xxx 43 25,, c) xx 3 25 4eller 5.154 x 4, x 2 5.160 a) x 3 b) x 1 eller x 3 5.161 a) x 1 b) Ingen løsning c) x 2 eller x 6 d) x 2 5.162 a) x 0 b) Ingen løsning 5.170 a) 215 elever b) 475 elever c) 25 elever d) 485 elever 5.171 a) x 4 x 2 b) x 4 c) x 5 x 6 d) Ingen løsning e) x 2 y 1 5.172 a) 2 3x b) 1003 xx eller c) 4220 xx eller d) 4313 xx eller 5.173 2 3x 5.174 20 x 5.175 10 x 5.180 a) xx12eller b) x 2 c) 10 x 5.181 a) 10 2xx eller b) xx323eller c) 2 21 3xx eller d) xx712eller
263 5.182 a) 125 xx eller b) 3 21 3xx eller c) xx134eller 5.183 a) P ()20 b) xxx323,, c) 323 xx eller d) x x 2 249 5.184 21 2x 5.190 a) b) c) d) e) 5.191 a) x 0 b) x 3 c) x 3 d) x 1 5.192 a) x 1 b) x 2 5.193 a) x 2 b) x 2, x 3 c) xx 2,21 d) x 4 5.194 a) Ingen løsning b) x 1 c) Ingen løsning d) x 23 5.200 a) x 0, x 4 b) 2, 4 c) V f , 4 d) a 1, b 4, c 0 5.201 a 2, b 8 fxxx () 21 42 5.202 fxxx () 2312 5.203 x 2 2x 3 5.204 xx xx 2 22423 5.205 x 3 4x 2 4x Faktoren x Ja Faktoren x 2 Ja Faktoren x 3 Nei 2x 3 x 2 6x Faktoren x Ja Faktoren x 2 Nei Faktoren x 3 Nei x 3 5x 2 7x 3 Faktoren x Nei Faktoren x 2 Nei Faktoren x 3 Ja 5.206 a 2, resten er 4. 5.207 a 3, a 2 5.208 axx 21 21 21 32 , 5.209 a 2, b 1 5.210 b) P( 2) 0 c) P(x) x 3 x 2 x 3 5.211 a 1, resten er 31. 5.212 a) P 21 0 b) x 2 1 Pxxxx () 2 21 11 5.213 a) P( 1) P(1) 0 b) Pxxxxx () 1133 c) a 2, a 0, a 2 5.214 a) f ()20 b) x 3, x 1, x 2 5.215 a 2, b 5 5.216 a) a 1, b 1 b) x 3, x 1, x 1, x 2 5.217 a) a 2, b 14 b) 210 5.218 a 4, a 4 5.219 a 0, a 6 ax ax xx x 0 2 6 31 22girgir . . 5.220 b) 324 xx eller 5.221 a) k 5 b) x 2 5.222 a) a 60 b) 1) P(x) 2 x 5 x 2 x 3 2) xx235eller 5.223 a) a 18 b) x 2 5.224 a) k 2 b) fxxxx ()()()()2123 c) 321 xx eller 5.225 a) xx52, b) xx521eller 5.226 b) xxx523,, c) xx523eller
264 5.227 a) P(1) 0 b) P(x) x 3 c) 2 5.228 b) xxx22322,, c) a 2, a 6 5.229 a) x 1 b) x 3 c) x 1 5.230 a) x 1 b) x 1, x 6 5.231 a) 2 2xx b) x 0 5.232 a 1, b 5 5.233 a) 313 elever b) 10 elever c) 337 elever d) 640 elever 5.234 x 3 5.235 25 x 5.236 a) 21 4x b) 21 4x 5.237 a) x 3 b) x 3 eller 22 x 5.238 b) xxx123 c) xx312eller d) a 12, x 3, x 2, x 2 5.239 a) P(x) x 5 x 2 x 5 b) xx x 2 2710 c) 0 25xx eller d) x 1, x 10 5.240 a) fxx x () 442 b) fxxx () 4 2 5.241 b)a) 5.2435.242 22 x 5.244 a) x 8 b) axx 21 21 21 32 , 5.245 x 9 5.246 a) xx5151, 5.247 x 1 eller 12 x 5.248 x 5 x 1 x 4 5.249 a) 35 51322 xx xx c) 31 x eller x 4 5.250 Ingen løsning 6 6.110 a) 2 b) 1 c) 14 d) 23 6.111 a) 2 b) 3 c) 15 d) 3 6.112 a) 2 x 4 x 4 b) 2 x 5 x 5 6.113 b) 2 6.114 a) 9 b) 3 c) 20 d) 9 6.115 a) 45 b) 1 c) 43 d) 14 6.116 a) 4 b) 85 c) 2 d) 14 6.117 a) a 1, grenseverdi 21 b) a 1, grenseverdi 13 c) a 2, grenseverdi 21 6.118 a) 1) 4 2) 5 b) 1) 12 2) 5 6.120 a) lim ()lim()() xx fxfxf 22 24 b) lim()lim() xx fxfx 22 6.121 a) Ikke kontinuerlig b) Kontinuerlig c) Kontinuerlig 6.122 a) 1) f ()12 2) lim() xfx 1 2 3) Kontinuerlig for x = 1 b) 1) f ()12 2) lim() xfx 1 4 3) Ikke kontinuerlig for x = 1 c) 1) f ()12 2) lim() xfx 1 2 3) Kontinuerlig for x = 1 d) 1) f ()12 2) lim() xfx 1 eksisterer ikke 3) Ikke kontinuerlig for x = 1 6.123 Kontinuerlig 6.124 Ikke kontinuerlig
265 6.125 a) a 9 b) a 2 eller a 4 c) a 2 6.126 a 1043 og b 61 6.130 a) Ingen vertikale asymptoter b) Ingen vertikale asymptoter 6.131 a) x 1 b) x 1 6.132 a) 2 x 3 x 3 b) x 3 og x 3 6.133 a) x 23 b) x 2 c) Ingen vertikale asymptoter d) x 3 6.134 a) x 4, x 0 og x 4 b) xx 23 23og 6.135 a) Nullpunkt: x 1 b) Vertikale asymptoter: x 1 og x 3 6.140 a) y 0 b) y 2 c) y 13 d) y 0 6.141 a) Nullpunkt: x 3 b) Vertikal asymptote: x 1 c) Horisontal asymptote: y 1 6.142 a) Vertikal asymptote: x 25 Horisontal asymptote: y 21 b) Vertikale asymptoter: x 2 , x 2 Horisontal asymptote: y 2 c) Vertikale asymptoter: x 21 , x Horisontal0 asymptote: .y 2. d) Vertikale asymptoter: x 2 , x 2 Horisontal asymptote: y 0 6.143 a) Nullpunkter: x 2 og x 2 b) Horisontal asymptote: y 2 6.144 a) Nullpunkter: x 1 og x 1 b) Vertikale asymptoter: x 2 og x 2 c) Horisontal asymptote:y 2 6.145 a) Vertikal asymptote: x 1 Skrå asymptote: y 2x 1 b) Vertikal asymptote: x 1 Skrå asymptote: yx 6 c) Vertikal asymptote: x 0 Skrå asymptote: yx 3 d) Vertikal asymptote: v 1 Skrå asymptote: yv 6.146 a) Ingen vertikal asymptote Skrå asymptote: yx 1 b) Vertikal asymptote: x 21 Skrå asymptote: yx 21 43 6.147 a) Nullpunkter: x 4 og x 0 b) Vertikale asymptoter: x 2 og x 2 Skrå asymptote: yx 3 6.148 a) Nullpunkter: x 2 og x 4 b) Vertikal asymptote: x 1 Skrå asymptote: yx 21 21 6.149 a) Nullpunkter: x 0 og x 2 Vertikal asymptote: x 3 Skrå asymptote: yx 5 b) Nullpunkt: x 1 Vertikal asymptote: x 1 Skrå asymptote: yx 2 6.150 a) 1) 2,5 m 2) 1,5 m b) 1) 0,625 m per døgn 2) 0,125 m per døgn c) Ca. 0,6 m per døgn 6.151 a) Ca. 0,5 kg b) Ca. 3 kg c) 0 dager til 20 dager: 15 g per 20dagdager til 60 dager: 55 g per dag 60 dager til 100 dager: 165 g per dag 6.152 f ()12 6.153 f ()01 6.154 a) Ca. 180 pulsslag per minutt b) I begynnelsen av hver periode med løping c) Økningen avtar når antall slag per minutt nærmer seg maksimalpulsen. d) 180125 pulsslagperminutt240s 0,23 pulsslag per min per sek e) 1 slag per min per sek 6.155 a) 4 C b) 2,7 grader c) 19 C 6.156 b) Etter 6 uker: 2160 nye tilfeller c) 360 nye registrerte per uke 6.157 a) 20, 30 b) 0,40 m/år 6.160 a) 1 b) Vekstfarten til f er 1 når x 1. 6.161 a) 73,3 gjærceller per time b) Etter nøyaktig 8 timer vokser laboratoriekulturen med 73,3 gjærceller per time. c) Stigningstallet er størst i punktet 8, G(8) 6.162 b) 3 når x 1, 12 når x 2 c) 3 når x 1, 12 når x 2
266 6.170 a) fx()4 b) fx()0 c) fxx()22 d) ftt()42 e) fss ()16 2 f) fxx()24 6.171 a) g ()13 b) yx32 6.172 a) 1) f ()13 2) f ()11 b) y 3x 1 6.173 a) 1) 1,0 m 2) 10 m b) Etter 16 år c) 0,90 m per år d) 1) 0,50 m/år 2) 2,0 m/år 6.174 f ()12 6.175 a) fxxx () 2312 b) yx1519 6.176 f ()27 6.180 yx 14 25 6.181 yx 21 5 6.182 a) yx51 b) yx 15 215 6.183 a) yx22 b) yx 21 21 6.184 a) yxyx7310, b) yxyx 5 3 103, 6.190 a) stvat () 0 b) Den deriverte av posisjonen er lik farten. c) vta () d) Den deriverte av farten er lik akselerasjonen. 6.191 a) 12 m/s b) 5 s c) a(t) 4 Etter 3 s er akselerasjonen 4 m/s2 6.192 a) 1) 9 m/s 2) 11 m/s b) 14 m/s 6.193 5,4 m/s, 1,2 m/s2 6.194 a) 16 m/s b) 57,6 km/h c) Ja (s = 64 m) d) 2 m/s2 6.195 a) 14 m/s, 21 m/s, 28 m/s, 35 m/s c) 7 m/s2 6.196 a) 20 m/s b) 26 m c) Ja, bilen stopper 0,4 m før hindringen. d) 60 km/h 6.200 a) 15 b) 25 6.202 Kontinuerlig 6.203 a 3, b 1 6.204 a 69 og b 2 6.205 a) Vertikal asymptote til f : x 23 Horisontal asymptote til f : y 1 Vertikal asymptote til g: x 5 Horisontal asymptote til g: y 0 6.206 a) Nullpunkt: x 0 b) x 2 1 0, nevneren i funksjonsuttrykket er aldri 0. c) Horisontal asymptote: y 0 6.207 a) Nullpunkter: x 0 og x 3 b) Vertikal asymptote: x 1 c) Skrå asymptote: yx 2 6.208 a) Vertikal asymptote: x 1 b) Skrå asymptote: y 2x 3 6.209 a) x 4, x 3, y 0 b) Ingen asymptoter 6.210 0 6.211 a) 1) 800 L/h 2) 400 L/h b) 600 L/h c) Etter 2 timer er det i ferd med å renne ut 800 L vann per time. Etter 4 timer 400 L vann per time. I gjennomsnitt renner det ut 600 L vann per time i perioden mellom 2 og 4 timer. 6.212 a) 2 b) 4 6.213 Påstandene 1, 3 og 4 6.214 a) y 7x 14 b) yx 71 72 6.215 y 3x og yx 4 6.216 Etter 16 s løper hesten med farten 11 m/s.
267 6.218 a) v(t) 0,09t 2 1,8t 5 a(t) 0,18t 1,8 b) 11,75 m/s, 0,9 m/s2 c) 8,75 m/s d) 39,6. Gjennomsnittsfarten de første 10 sekundene er 39,6 km/h. 6.219 Ingen asymptoter 7 7.110 b)a) 7.112 a) x 4 og x 0 b) fxx()24 f minker når x 2 f vokser når x 2. c) Bunnpunkt: 2, 4 e) y 6x 1 7.113 a) Ingen nullpunkter b) gxx()23 g minker når x 23 . g vokser når x 23 c) Bunnpunkt: 23 114, e) yx 1 f) 5 g) yx 5 h) 0, 5 og 2, 3 7.114 a) Funksjonen er voksende når 3 1x Funksjonen. er minkende når 63 x og når 15 x . 1 0 x –1010 x b) Toppunkter: 6, 17 , 1 23, Bunnpunkter: 3, 10 , 5 1583, c) Maksimumsverdi: 17 Minimumsverdi: 1583 7.115 a) fxxx Funksjonen()61042ervoksende når 2 13x og når 2 4x . Funksjonen er minkende når 13 2x . b) Toppunkt: 13 10027, og Bunnpunkter:4, 35 2, 25 og 2, 9 c) Maksimumsverdi: 35 Minimumsverdi: 25 7.117 a) x 2 og x 3 b) y 3x 10 c) f ()23 e) 21 254, 7.120 1 0f (x) 7.121 –1 0f (x) 7.122 a) x = 0 b) 7.123 a) fxx Grafen()22til f vender sin hule side opp når x 1. Grafen til f vender sin hule side ned når x 1. Vendepunkt: 1 23, 0 0 f (x) b) fxx Grafen()2til f vender sin hule side opp når x 2. Grafen til f vender sin hule side ned når x 2. Vendepunkt: 2 203, c) fxxx Grafen()48362til f vender sin hule side opp når x 0 eller x 43 Grafen til f vender sin hule side ned når 0 43x . Vendepunkter: 0, 0 og 43 6481, d) fxx Grafen()62til f vender sin hule side opp når x 13 Grafen til f vender sin hule side ned når x 13 Vendepunkt: 13 2720, 7.124 a) Funksjonen er voksende når 0 2x Funksjonen er minkende når 20 x og når 2 x 4. b) Toppunkter: 2, 18 , 2, 2 Bunnpunkter: 0, 2 , 4, 18 c) Maksimumsverdi: 18 Minimumsverdi: 18 d) Nullpunkter: xxx11313,og e) Vendepunkt: 1, 0 7.125 a) x = 0, x = 2 3 b) fxx () 2 4 c) Toppunkt: 2 163, Bunnpunkt: 2 163, d) fxx ()2 e) Grafen til f vender sin hule side opp når x 0. Grafen til f vender sin hule side ned når x 0 f) Vendepunkt: 0, 0