Sinus 2P (utdrag)

Innhold 1

Potenser og prosenter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Potensene a0 og a−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Flere regneregler for potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Tall på standardform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Regning med tid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Prosentfaktorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Vekstfaktorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.8 Prosentvis endring i flere perioder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2

Tabeller og diagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 Frekvenstabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Kumulative frekvenstabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Digitale tabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Kurvediagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 Søylediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6 Sektordiagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7 Digitale diagrammer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3

Sentralmål og spredningsmål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1 Gjennomsnitt og typetall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3 Variasjonsbredde og kvartilbredde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Varians og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5 Digitale sentralmål og spredningsmål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6 Histogram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.7 Sentralmål i et gruppert materiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.8 Gruppert materiale digitalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.9 Spørreundersøkelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5

00 Sinus 2P Titelsider.indd 5

2014-06-03 13:33:55

4

Lineære funksjoner og modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1 Lineære funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2 Matematiske modeller i dagliglivet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4 Digital graftegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5 Lineær regresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.6 Tall og figurer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5

Funksjoner og vekst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.1 Polynomfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.2 Polynomregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.4 Potensregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.5 Eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.6 Eksponentialregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.7 Kjennetegn ved funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.8 Gjennomsnittlig vekstfart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.9 Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 1

Potenser og prosenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

2

Forhold og prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3 Sentralmål og spredningsmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4 Lineære funksjoner og modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 5 Funksjoner og vekst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6

Sinus 2P

00 Sinus 2P Titelsider.indd 6

2014-06-03 13:33:55

3 64

Sinus 2P > Sentralm책l og spredningsm책l

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 64

2014-06-03 13:35:17

Sentralmål og spredningsmål MÅL

for opplæringen er at eleven skal kunne • planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser • beregne og drøfte sentralmål og spredningsmål • gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale • bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner

65

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 65

2014-06-03 13:35:17

3.1 Gjennomsnitt og typetall Skiskytteren Ole Emil Bø skjøt i alt 10 ståendeserier i noen renn han var med på. Tallene på treff var

5, 4, 5, 3, 4, 5, 5, 4, 5, 3

Ole Emil vil gjerne fram til ett tall som beskriver disse 10 seriene. Det enkleste er å bruke typetallet. Det er det tallet som forekommer flest ganger.

Det er 5. Men 5 treff er nok ikke noen god beskrivelse av disse 10 seriene.

I stedet kan Ole Emil bruke gjennomsnittet. Da må han legge sammen alle treffene og dele på antallet serier. Det er

5 + 4 + 5 + 3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 5 + 3 43 = = 4, 3 10 10

Gjennomsnittet er 4,3 treff. Det er nok en bedre beskrivelse av de 10 seriene.

OPPGAVE 3.10

?

I oktober et år spilte håndballspilleren Marit Løke 12 kamper. Antallet mål hun skåret, var

5, 2, 3, 0, 4, 1, 6, 2, 7, 2, 0, 2

a) Finn typetallet. b) Finn gjennomsnittet.

OPPGAVE 3.11

På en prøve fikk elevene disse karakterene:

3, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 3, 6, 3, 3, 2, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 5

a) Finn typetallet. b) Finn gjennomsnittet.

66

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 66

2014-06-03 13:35:17

Nå skal vi finne typetallet og gjennomsnittet i en frekvenstabell og ser på karakterene på prøven i 2P-1 fra kapittel 2.1.

Karakter x

Frekvens f

1

2

2

5

3

8

4

7

5

4

6

1 N = 27

Typetallet er den observasjonsverdien som har høyest frekvens. For gruppe 2P-1 er typetallet 3, for det er flest elever som har denne karakteren.

Når vi har lagd en frekvenstabell, kan vi bruke den til å finne summen av karakterene. Vi vet at det er 8 elever som har fått karakteren 3. Summen av karakterene for disse elevene er 8 ⋅ 3 = 24 På tilsvarende måte finner vi summen for de andre karakterene.

Karakter x

Frekvens f

f⋅x

1

2

2

2

5

10

3

8

24

4

7

28

5

4

20

6

1

6

N = 27

S = 90

Når vi summerer kolonnen til høyre, får vi summen S av alle karakterene.

Gjennomsnittskarakteren er

summen av karakterene S 90 = = = 3, 33 elevtallet N 27

Gjennomsnittskarakteren var 3,33.

67

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 67

2014-06-03 13:35:18

OPPGAVE 3.12

?

På et tidspunkt var fraværet i gruppe 2P-1 slik: Fravær (timer) 0 1 2 3 4 5 6

Frekvens 8 5 6 2 3 2 1

a) Finn typetallet. b) Finn gjennomsnittsfraværet.

OPPGAVE 3.13

To håndballspillere noterer hvor mange mål de skårer i hver kamp, og setter opp tallene i en frekvenstabell.

Mål 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Kamper Heidi Marit 3 8 5 10 8 12 11 7 9 6 7 3 4 2 0 0 1 0

a) Finn typetallet for hver av dem. b) Finn gjennomsnittet for hver av dem.

OPPGAVE 3.14

Gruppene 2P-2 og 2P-3 hadde den samme prøven som 2P-1. Tabellen viser karakterene i de to gruppene.

Karakter 1 2 3 4 5 6

2P-2 3 6 4 7 5 2

2P-3 1 3 8 10 5 0

Finn typetallet og gjennomsnittskarakteren for hver av de to gruppene.

68

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 68

2014-06-03 13:35:18

3.2 Median Et sentralmål skal fortelle noe om hvor midten i et tallmateriale er. Typetallet og gjennomsnittet er to sentralmål. Vi skal nå lære om et tredje.

En lærer sorterer besvarelsene på en prøve etter karakterene. Karakteren på den besvarelsen som da ligger i midten, kaller vi medianen.

Hvis det er 27 besvarelser i bunken, ligger besvarelse nr. 14 midt i bunken.

Da er det nemlig 13 besvarelser under og 13 over denne besvarelsen.

Nummeret til medianen kan vi finne slik:

27 + 1 28 = = 14 2 2

Hvis det er 28 besvarelser i bunken, er det ingen besvarelse i midten. Nummer 14 og nummer 15 er nærmest midten. Disse to tallene finner vi slik:

28 28 = 14 + 1 = 14 + 1 = 15 2 2

Hvis både besvarelse nummer 14 og nummer 15 har karakteren 3, er medianen lik 3. Hvis den ene har karakteren 3 og den andre har karakteren 4, sier vi at medianen er 3,5. Medianen er dermed gjennomsnittet av de to karakterene.

Medianen i et materiale med N observasjoner er verdien til observasjonen i midten når materialet er sortert etter observasjonsverdiene.

Hvis N er et oddetall, er medianen verdien til observasjon nummer N +1.

2

Hvis N er et partall, er medianen gjennomsnittsverdien av observasjon N nummer N og observasjon nummer + 1 i det sorterte materialet.

2

2

EKSEMPEL a) Skiskytteren Ole Emil Bø skjøt 10 ståendeserier. Tallene på treff var

5, 4, 5, 3, 4, 5, 5, 4, 5, 3

Finn medianen. b) Ole skjøt så en serie til og fikk 5 treff.

Hva er nå medianen?

69

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 69

2014-06-03 13:35:19

Løsning:

a) Vi sorterer seriene med det laveste resultatet først.

3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5

Antallet serier er 10, som er et partall. Ingen av resultatene er i midten. Medianen er gjennomsnittet av de midterste resultatene, nemlig nr. 5 og nr. 6.

Vi ser at resultat nr. 5 er 4 treff, og nr. 6 har 5 treff. Medianen er da

4+5 9 = = 4, 5 2 2

Medianen er 4,5 treff.

b) Med en serie til der det er 5 treff, blir det sorterte materialet

3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5

Det er nå 11 serier, og serie nr. 6 er da i midten, for det er 5 serier foran og 5 serier etter i lista ovenfor. Resultat nr. 6 er 5 treff.

Medianen er nå 5 treff.

OPPGAVE 3.20

?

Håndballspilleren Marit Løke spilte 12 kamper. Tallet på mål hun skåret, var

5, 2, 3, 0, 4, 1, 6, 2, 7, 2, 0, 2

Finn medianen.

OPPGAVE 3.21

På en prøve fikk elevene disse karakterene:

3, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 3, 6, 3, 3, 2, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 5

Finn medianen.

Vi kan finne medianen ved hjelp av en frekvenstabell og ser på karakterene i gruppen 2P-1 på nytt. Vi utvider frekvenstabellen med de kumulative frekvensene for hver karakter. Se kapittel 2.2.

70

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 70

2014-06-03 13:35:19

Karakter

Frekvens

1 2 3 4 5 6

2 5 8 7 4 1

Kumulativ frekvens 2 7 15 22 26 27

Vi har her 27 observasjoner. Det er et oddetall. Medianen er da karakter nummer

N + 1 27 + 1 28 = = = 14 2 2 2

De kumulative frekvensene i tabellen ovenfor viser at elevene fra og med nummer 8 til og med nummer 15 har karakteren 3. Elev nummer 14 har 3, og medianen er dermed lik 3.

?

OPPGAVE 3.22

Fraværet i gruppe 2P-1 er gitt i denne tabellen: Fravær (timer)

Elever

0 1 2 3 4 5 6

8 5 6 2 3 2 1

Finn medianen.

OPPGAVE 3.23

Tabellen viser antallet mål for håndballspillerne Heidi og Marit.

Mål 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Kamper Heidi 3 5 8 11 9 7 4 0 1

Marit 8 10 12 7 6 3 2 0 0

Finn medianen for hver av dem.

71

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 71

2014-06-03 13:35:19

OPPGAVE 3.24

?

Tabellen viser karakterene for gruppene 2P-2 og 2P-3.

Karakter

2P-2

2P-3

1

3

1

2

6

3

3

4

8

4

7

10

5

5

5

6

2

0

Finn medianen for hver av de to gruppene.

3.3 Variasjonsbredde og kvartilbredde Sentralmålene gjennomsnitt og median forteller noe om hvor midten i et data­materiale er. Nå skal vi se på noen spredningsmål. Det er tall som beskriver spredning i et materiale. Det enkleste spredningsmålet er variasjonsbredden.

Det er differansen mellom den største og den minste observasjonsverdien.

Sju gutter løper 60 m. Tidene i sekunder er

9,2, 8,7, 9,5, 8,2, 8,9, 8,5 og 9,3

Den korteste tida er 8,2 s, og den lengste tida er 9,5 s. Variasjonsbredden er da 9,5 s − 8,2 s = 1,3 s Dette er et mål for spredningen. Men det er ikke alltid noe egnet mål. Hvis alle resultatene er godt samlet med ett unntak, gir det stor variasjonsbredde uten at vi kan si at spredningen er stor.

Vi får et bedre mål for spredningen hvis vi går fram på denne måten: Først sorterer vi tallene etter observasjonsverdi med det laveste tallet først. halvdel nedre

8, 2 8, 5 8, 7 nedre kvartil

8, 9

median

øvre halvdel

9, 2 9, 3 9, 5 øvre kvartil

På midten finner vi da medianen, som her er 8,9. Medianen deler materialet i to deler, øvre halvdel og nedre halvdel. Når tallet på observasjoner er et oddetall slik som her, tar vi ikke med medianen i noen av to halvdelene. Midt i den nedre halvdelen finner vi nedre kvartil eller første kvartil. Vi bruker symbolet Q1 for det tallet. Her er altså Q1 = 8,5 s

72

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 72

2014-06-03 13:35:20

Midt i den øvre halvdelen finner vi øvre kvartil eller tredje kvartil, Q3. Her er Q3 = 9,3 s Medianen er andre kvartil.

Nedre kvartil er egentlig medianen i nedre halvdel, og øvre kvartil er medianen i øvre halvdel. Vi bruker regnereglene fra side 69 for å finne dem.

Halvparten av alle dataene ligger mellom nedre kvartil og øvre kvartil.

Kvartilbredden er differansen mellom øvre kvartil og nedre kvartil. I vårt eksempel er kvartilbredden Q3 − Q1 = 9,3 s − 8,5 s = 0,8 s Kvartilbredden er et bedre spredningsmål enn variasjonsbredden. Grunnen er at variasjonsbredden blir veldig stor hvis det for eksempel er ett tall som er mye større enn alle de andre, men dette endrer ikke kvartilbredden.

?

OPPGAVE 3.30

Vi måler høyden til sju jenter. Høydene er

177 cm, 164 cm, 170 cm, 168 cm, 172 cm, 161 cm, 169 cm

a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden.

OPPGAVE 3.31

Vi veier 11 rekrutter og får disse vektene i kilogram:

73, 85, 71, 75, 74, 79, 86, 70, 74, 62, 69

a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden.

OPPGAVE 3.32

På en prøve fikk elevene disse karakterene:

3, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 3, 6, 3, 3, 2, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 5, 2, 4, 5

a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden.

73

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 73

2014-06-03 13:35:20

Vi kan også finne kvartilene og kvartilbredden ut fra en frekvenstabell.

Da lager vi en tabell med kumulative frekvenser. Vi ser på tabellen med karakterene fra side 71.

Karakter

Frekvens

Kumulativ frekvens

1

2

2

2

5

7

3

8

15

4

7

22

5

4

26

6

1

27

Medianen er karakter nummer

27 + 1 2

= 14 i dette materialet. I nedre halvdel er

det da 13 karakterer. Midt i nedre halvdel finner vi karakter nummer

13 + 1 2

= 7.

Tabellen viser at 7 elever har karakteren 2 eller dårligere. Dermed er nedre kvartil Q1 = 2 Øvre kvartil er karakter nummer 14 + 7 = 21. Av tabellen ser vi at karakter nummer 21 er 4. Øvre kvartil er Q3 = 4 Kvartilbredden er da Q3 − Q1 = 4 − 2 = 2 OPPGAVE 3.33

?

Tabellen viser hvor mange mobiltelefoner elevene i en klasse har hatt.

Telefoner

Elever

0

1

1

6

2

7

3

5

4

4

5

3

6

1

a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden.

74

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 74

2014-06-03 13:35:20

?

OPPGAVE 3.34

En klasse har gjennomført en undersøkelse om søvn blant elevene i klassen.

Tabellen viser hvor mange dager i løpet av ei uke elevene la seg til å sove etter midnatt.

Dager

Elever

0

4

1

1

2

10

3

7

4

2

5

0

6

2

7

1

a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden.

3.4 Varians og standardavvik Vi skal nå finne et nytt spredningsmål som tar hensyn til alle tallene i et materiale.

Da ser vi igjen på tidene til de sju guttene som løp 60 m. Tidene i sekunder var

9,2, 8,7, 9,5, 8,2, 8,9, 8,5 og 9,3

Her er antallet observasjoner N = 7. Gjennomsnittet g er g =

9, 2 + 8, 7 + 9, 5 + 8, 2 + 8, 9 + 8, 5 + 9, 3 62, 3 = = 8, 9 7 7

Nå kunne vi ha regnet ut avviket fra gjennomsnittet for hver av de sju tidene og summert disse avvikene. For 9,2 er avviket 9,2 − 8,9 = 0,3 Men nå viser det seg at vi får et bedre spredningsmål hvis vi kvadrerer avvikene før vi summerer dem. For 9,2 gir det (9,2 − 8,9)2 = 0,32 = 0,09 Vi regner ut kvadratet av avviket for hver av tidene og summerer.

75

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 75

2014-06-03 13:35:21

Tid x

Kvadratisk avvik (x − g)2

9,2

(9,2 − 8,9)2 = 0,32

8,7

(8,7 − 8,9)2 = (−0,2)2 = 0,04

9,5

(9,5 − 8,9)2 = 0,62 2

= 0,09 = 0,36 2

8,2

(8,2 − 8,9) = (−0,7) = 0,49

8,9

(8,9 − 8,9)2 = 0,02 2

= 0,00 2

8,5

(8,5 − 8,9) = (−0,4) = 0,16

9,3

(9,3 − 8,9)2 = 0,42

= 0,16 A = 1,30

Summen av kvadratene av avvikene er A = 1,30 Når vi dividerer med antallet resultater, får vi variansen.

A 1, 3 Variansen = = = 0,186 N 7 Variansen er et spredningsmål som vi bruker en del. Når vi regner ut kvadratrota av variansen, får vi standardavviket. Det er det mest brukte spredningsmålet vi har. Her er standardavviket standardvviket =

A = variansen = N

1, 3 = 0, 43 7

Hva forteller så standardavviket oss?

Hvis svært mange gutter på 16 år løper 60 m, vil tidene bli det vi kaller normalfordelt. Når vi så regner ut gjennomsnittet og standardavviket, vil ca. 68 % av tidene være mindre enn ett standardavvik fra gjennomsnittet.

OPPGAVE 3.40

?

Vi ser igjen på høyden til de sju jentene i oppgave 3.30. Høydene var

177 cm, 164 cm, 170 cm, 168 cm, 172 cm, 161 cm, 169 cm

a) Finn variansen. b) Finn standardavviket.

OPPGAVE 3.41

De 11 rekruttene i oppgave 3.31 hadde disse vektene i kilogram:

73, 85, 71, 75, 74, 79, 86, 70, 74, 62, 69

a) Finn variansen. b) Finn standardavviket.

76

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 76

2014-06-03 13:35:21

Vi kan også finne variansen og standardavviket for et materiale i en frekvenstabell. Nå ser vi på karakterene i 2P-1. På side 67 kom vi til at gjennomsnittet var g =

S 90 = = 3, 3 N 27

For hver karakter finner vi nå avviket fra gjennomsnittet, kvadrerer avviket og ganger med frekvensen.

Karakter x

Frekvens f

f⋅x

1

2

2

2 ⋅ (3,33 − 1)2 = 10,86

2

5

10

5 ⋅ (3,33 − 2)2 = 8,84

3

8

24

8 ⋅ (3,33 − 3)2 = 0,87

4

7

28

7 ⋅ (3,33 − 4)2 = 3,14

5

4

20

4 ⋅ (3,33 − 5)2 = 11,16

6

1

6

1 ⋅ (3,33 − 6)2 = 7,13

N = 27

S = 90

f ⋅ (g − x)2

A = 42,00

Summen av kvadratene av avvikene er A = 42,00 Variansen er A 42, 00

= = 1, 56 N 27 Standardavviket er A

= N

?

42, 00 = 1, 25 27

OPPGAVE 3.42

I en undersøkelse om matvanene i en klasse ble elevene spurt hvor mange dager alle i familien hadde spist middag sammen i løpet av den siste uka. Her er resultatet: Ganger 0 1 2 3 4 5 6 7

Elever 2 0 5 1 4 5 7 3

Finn gjennomsnittet, variansen og standardavviket.

77

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 77

2014-06-03 13:35:22

OPPGAVE 3.43

?

I en undersøkelse om matvanene ble elevene på vg1 spurt hvor mange typer frukt og grønt de hadde spist det siste døgnet. Her er resultatet: Antall typer 0 1 2 3 4 5 6

Frekvens 5 12 28 42 32 8 6

Finn gjennomsnittet, variansen og standardavviket.

OPPGAVE 3.44

Karakterene for begge 2P-gruppene på en skole finner vi i denne tabellen.

Karakter 1 2 3 4 5 6

2P 5 12 18 9 6 2

Finn gjennomsnittet, variansen og standardavviket.

3.5 Digitale sentralmål og spredningsmål Vi skal nå finne sentralmålene og spredningsmålene digitalt. Her viser vi nå hvordan vi kan lage egne regneark som finner gjennomsnitt, varians og standardavvik for materialet i en frekvenstabell. Vi ser da igjen på karakterene til gruppe 2P-1.

Karakter 1 2 3 4 5 6

Frekvens 2 5 8 7 4 1

Vi skriver inn disse tekstene, karakterene og frekvensene i regnearket:

78

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 78

2014-06-03 13:35:22

Nå skriver vi formler i noen celler.

Celle

Formel

C2

= B2 * A2

D2

= B2 * (B$10 – A2)^2

B9

= summer(B2 : B7)

B10

= summer(C2 : C7)/B9

B11

= summer(D2 : D7)/B9

B12

= rot(B11)

I formelen i D2 skriver vi $ foran tallet 10 så tallet ikke skal forandre seg når vi kopierer.

Nå reduserer vi antallet desimaler i alle desimaltallene ved å trykke på

.

Formelen i C2 kopierer vi så helt ned til C7 og formelen i D2 ned til D7. Det gir dette resultatet:

79

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 79

2014-06-03 13:35:22

Gjennomsnittet er 3,33, variansen er 1,56, og standardavviket er 1,25. Det stemmer med det vi fant i kapittel 3.1 og 3.4.

OPPGAVE 3.50

?

a) Lag et regneark som du kan bruke til å finne gjennomsnittet og standardavviket for karakterene til gruppen 2P-2 i oppgave 3.24. b) Bruk regnearket i oppgave a til å finne gjennomsnittet og standardavviket for karakterene til gruppen 2P-3 i oppgave 3.24.

OPPGAVE 3.51

a) Lag et regneark som du kan bruke til å finne gjennomsnittet og standardavviket for målene til håndballspilleren Heidi i oppgave 3.23. b) Bruk regnearket i oppgave a til å finne gjennomsnittet og standardavviket for målene til Marit i oppgave 3.23.

På nettsidene til Sinus finner du regnearket «Mål i frekvenstabeller». Nå henter vi inn det regnearket og skriver inn karakterene og frekvensene for gruppen 2P-1. Det gir dette resultatet:

Vi ser at dette regnearket gir alle de tre sentralmålene vi har lært om, og det gir alle de fire spredningsmålene.

Vi har nå lært om flere sentralmål og spredningsmål. Hvilke mål er så de beste? Det er ikke noe entydig svar på det. Men her er to gode råd:

80

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 80

2014-06-03 13:35:22

Hvis frekvensene ligger noenlunde symmetrisk om et midtpunkt, er ofte gjennomsnittet et godt sentralmål og standardavviket et godt spredningsmål.

Karakterene til en matematikkgruppe er et eksempel på en slik fordeling.

Hvis frekvensene derimot øker eller minker ut fra en minste eller en største verdi, er det bedre å bruke medianen som sentralmål og kvartilbredden som spredningsmål. Antallet treff som en god skiskytter har på 10 skudd liggende, er et slikt eksempel.

?

OPPGAVE 3.52

a) Bruk regnearket «Mål i frekvenstabeller» til å finne typetallet, medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden, kvartilbredden og standardavviket for målene til håndballspilleren Heidi i oppgave 3.23. b) Bruk regnearket til å finne typetallet, medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden, kvartilbredden og standardavviket for målene til håndballspilleren Marit i oppgave 3.23. c) Hvilket sentralmål og hvilket spredningsmål syns du er det beste her?

OPPGAVE 3.53

a) Tabellen gir en oversikt over antallet barn under 18 år i norske barnefamilier 1. januar 2013.

Barn Familier

1 212 754

2 249 628

3 98 651

4 18 953

5 6 3746 1725

b) Bruk regnearket «Mål i frekvenstabeller» til å finne typetallet, medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden, kvartilbredden og standardavviket. c) Hvilket sentralmål og hvilket spredningsmål syns du er det beste her?

3.6 Histogram Det er ikke alltid praktisk med tabeller der vi setter opp frekvensen for hver observasjonsverdi. Hvis vi skal måle høyden til elevene på en skole med 218 elever, kan vi for eksempel få høyder fra 1,50 m til 2,00 m. Det gir svært mange forskjellige observasjonsverdier, og en frekvenstabell blir veldig lang.

For å gjøre frekvenstabellen mer praktisk deler vi materialet inn i intervaller og teller opp hvor mange elever det er i hvert intervall. Da får vi det vi kaller et gruppert materiale. Det kan gi tabellen på neste side.

81

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 81

2014-06-03 13:35:22

Høyde

Frekvens

[150, 160〉

28

[160, 165〉

18

[165, 170〉

43

[170, 175〉

35

[175, 180〉

48

[180, 185〉

23

[185, 190〉

15

[190, 200]

8 N = 218

Intervallet [150, 160〉 omfatter alle elever med høyde fra og med 150 cm og opp til 160 cm. En elev som er 160 cm, hører til i intervallet [160, 165〉 og ikke i intervallet [150, 160〉.

I intervallet [165, 170〉 sier vi at 165 er nedre grense, og at 170 er øvre grense.

Det kan virke naturlig å framstille tallene i tabellen på denne måten: 50 45 40 35 30 25 20

Slik skal du ikke gjøre det.

15 10 5 150

160

170

180

190

200

Dette diagrammet gir ikke noe godt inntrykk av hvordan elevene fordeler seg på de ulike høydene. Boksen for intervallet [150, 160〉 blir både høyere og bredere enn boksen for intervallet [160, 165〉. Dermed ser det ut som det er svært mange som er mindre enn 160 cm. Grunnen er at det er arealet av boksene vi først og fremst legger merke til og ikke høyden.

Hvis vi hadde delt intervallet [150, 160〉 i to deler, [150, 155〉 og [155, 160〉, måtte vi fordele de 28 elevene på hver av disse to intervallene. I gjennomsnitt ville det da ha blitt 14 elever i hvert av dem. Vi hadde da fått halve søylehøyden.

Ut fra dette ser vi at vi må ta hensyn til intervallbredden. Bredden av intervallet [150, 160〉 er 160 cm − 150 cm = 10 cm

82

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 82

2014-06-03 13:35:22

Det er 28 elever i dette intervallet. I gjennomsnitt er det dermed 28 = 2,8 10 elever per centimeter.

Bredden av intervallet [160, 165〉 er 5 cm, og det inneholder 18 elever. Altså er det 18 = 3,6 5 elever per centimeter der. Tallet på elever per centimeter gir et godt inntrykk av elevmengden i intervallet. Vi bruker det som søylehøyde. Altså er frekvensen klassebredden

søylehøyden =

Vi regner ut søylehøyden for hvert intervall og fører resultatet inn i frekvens­ tabellen.

Intervall

Frekvens

Bredde

[a, b〉

f

b−a

f b−a

28 18 43 35 48 23 15 8 N = 218

10 5 5 5 5 5 5 10

2,8 3,6 8,6 7,0 9,6 4,6 3,0 0,8

[150, 160〉 [160, 165〉 [165, 170〉 [170, 175〉 [175, 180〉 [180, 185〉 [185, 190〉 [190, 200]

Høyde

Det gir dette diagrammet: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 150

160

170

180

190

200

Et slikt diagram der vi har korrigert for intervallbredden, kaller vi et histogram.

83

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 83

2014-06-03 13:35:23

Legg merke til at vi i et histogram trekker søylene helt sammen. Vi lar hver søyle gå fra nedre til øvre grense på førsteaksen.

Hvis vi skal bruke histogrammet til å finne ut hvor mange elever det er i et intervall, gjør vi om på formelen frekvens søylehøyde = intervallbredde og får frekvens = søylehøyde ⋅ intervallbredde For intervallet [165, 170〉 er elevtallet søylehøyde ⋅ intervallbredde = 8,6 ⋅ 5 = 43 Dette er arealet av søylen. Arealet av søylene forteller hvor mange observasjoner det er i hvert intervall.

OPPGAVE 3.60

?

Vi veier elevene på en skole og får resultatet i tabellen nedenfor.

Lag et histogram som viser fordelingen.

Vekt (kg) [40, 50〉

Frekvens 18

[50, 55〉

38

[55, 60〉

33

[60, 65〉

46

[65, 70〉

35

[70, 80〉

29

[80, 90〉

11

[90, 120]

8 N = 218

OPPGAVE 3.61

Denne tabellen viser folketallet i Norge 1.1.2013 fordelt etter alder.

Alder (år) [0, 6〉

84

Folketall i tusen 375

[6, 16〉

617

[16, 20〉

263

[20, 30〉

670

[30, 40〉

681

[40, 50〉

736

[50, 67〉

1036

[67, 100]

673

a) Finn folketallet i Norge 1.1.2013. b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen.

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 84

2014-06-03 13:35:23

?

OPPGAVE 3.62

Denne tabellen viser folketallet i Botswana 1.1.2010 fordelt etter alder.

Alder (år)

Folketall i tusen

[0, 5〉

229

[5, 15〉

467

[15, 20〉

230

[20, 30〉

432

[30, 40〉

281

[40, 50〉

165

[50, 65〉

143

[65, 100]

77

a) Finn folketallet i Botswana 1.1.2010. b) Lag et histogram som viser aldersfordelingen. c) Sammenlikn histogrammene i oppgave 3.61 og oppgave 3.62.

Hvordan vil du beskrive forskjellen i alderssammensetning mellom Norge og Botswana?

3.7 Sentralmål i et gruppert materiale Når vi har en frekvenstabell med et gruppert materiale, kan vi ikke bruke tabellen til å finne en nøyaktig verdi for medianen og gjennomsnittet. Når vi har samlet høyden til elevene på en skole i en slik frekvenstabell, har vi ikke den nøyaktige høyden til hver enkelt elev. Da kan vi ikke finne medianen, og vi kan heller ikke finne summen av høydene og dermed heller ikke gjennomsnittet.

Men vi kan likevel regne ut gode tilnærmingsverdier for medianen og for gjennomsnittet.

Først finner vi en tilnærmingsverdi for medianen. Vi lager da en tabell med de kumulative frekvensene. Se tabellen på neste side.

Det er 218 elever på skolen. Det er et partall, og

218 = 109 2

Medianen skal nå være gjennomsnittet av høyden til elev nr. 109 og elev nr.

110 når elevene står oppstilt etter hvor høye de er. Men ettersom vi ikke kan finne noen nøyaktig median, kan vi si at medianeleven er elev nr. 109.

85

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 85

2014-06-03 13:35:23

Høyde

Frekvens

Kumulativ frekvens

[150, 160〉

28

28

[160, 165〉

18

28 + 18 = 46

[165, 170〉

43

46 + 43 = 89

[170, 175〉

35

89 + 35 = 124

[175, 180〉

48

124 + 48 = 172

[180, 185〉

23

172 + 23 = 195

[185, 190〉

15

195 + 15 = 210

[190, 200]

8

210 + 8 = 218

Av tabellen ser vi at det er 89 elever som er mindre enn 170 cm, og 124 som er mindre enn 175 cm. Elev nr. 109 er dermed mellom 170 cm og 175 cm.

Ettersom det er 89 elever som er lavere enn 170 cm, er medianeleven nummer 109 − 89 = 20 av dem mellom 170 cm og 175 cm. Det er i alt 35 elever med en slik høyde. Hvis høyden til disse elevene fordeler seg jevnt mellom 170 cm og 175 cm, er høyden til elev nr. 20 170 cm +

20 ⋅ 5 cm = 172,9 cm 35

Her er 170 cm nedre grense i det aktuelle intervallet, og 5 cm er intervall­ bredden.

Metoden vi bruker, er ikke helt nøyaktig. Derfor bør vi runde av svaret til hele centimeter.

Medianen er 173 cm.

Vi kan også finne medianen grafisk. Da utvider vi tabellen ovenfor slik at vi også tar med de relative kumulative frekvensene. Dem får vi fram ved å dividere de kumulative frekvensene med antallet observasjoner N = 218.

Høyde [150, 160〉

86

Frekvens

Kumulativ frekvens

Relativ kumulativ frekvens

28

28

0,128

[160, 165〉

18

46

0,211

[165, 170〉

43

89

0,422

[170, 175〉

35

124

0,569

[175, 180〉

48

172

0,789

[180, 185〉

23

195

0,894

[185, 190〉

15

210

0,963

[190, 200]

8

218

1,000

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 86

2014-06-03 13:35:23

Nå lager vi et linjediagram der vi setter av de relative kumulative frekvensene over den øvre grensen i intervallet. Vi setter for eksempel av tallet 0,128 over 160, for tallet 0,128 forteller hvor stor del som er lavere enn 160 cm.

1,0

y

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

x 150

160

170 180 173

190

200 cm

Vi tar nå utgangspunkt i 0,5 på y-aksen og leser av. Vi kommer fram til 173 på x-aksen. Medianen er dermed 173 cm.

?

OPPGAVE 3.70

Vi måler høyden til elevene i en gruppe. Høydene i centimeter er

172, 180, 160, 183, 177, 175, 180, 185, 158, 162, 179, 180, 172, 164, 162, 191, 177, 159, 178, 175, 168, 162, 188, 181, 170

a) Finn den nøyaktige verdien for medianen. b) Lag en gruppert frekvenstabell der bredden i alle intervallene er 5 cm. La intervallene være [155, 160〉, [160, 165〉, osv. c) Bruk det grupperte materialet til å finne medianen. d) Hvorfor får du ikke helt den samme verdien som i oppgave a?

OPPGAVE 3.71

Finn medianen i oppgave 3.60 grafisk og ved regning.

OPPGAVE 3.72

Finn medianen for alderen i Norge grafisk og ved regning.

Se oppgave 3.61.

OPPGAVE 3.73

Finn medianen for alderen i Botswana grafisk og ved regning.

Se oppgave 3.62.

87

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 87

2014-06-03 13:35:24

Nå skal vi finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet. Vi tenker oss da at høyden til elevene fordeler seg jevnt innenfor hvert intervall. De 28 elevene i intervallet [150, 160〉 vil da i gjennomsnitt være 155 cm høye. Summen av høydene til disse elevene vil da være 28 ⋅ 155 cm = 4340 cm Tallet 155 er midtpunktet xm i intervallet [150, 160〉. Vi kan finne det ved å regne ut xm =

150 + 160 310 = = 155 2 2

eller xm = 150 +

intervallbredden 10 = 150 + 5 = 155 = 150 + 2 2

For intervallet [a, b〉 er midtpunktet xm = eller

a+b 2

xm = a +

bredden 2

Nå regner vi ut midtpunktet for hvert intervall og bruker det til å finne en tilnærmet verdi for summen av høydene innenfor hvert intervall.

Intervall [a, b〉

Midtpunkt xm

Frekvens f

Sum f ⋅ xm

[150, 160〉

155

28

4340

[160, 165〉

162,5

18

2925

[165, 170〉

167,5

43

7202,5

[170, 175〉

172,5

35

6037,5

[175, 180〉

177,5

48

8520

[180, 185〉

182,5

23

4197,5

[185, 190〉

187,5

15

2812,5

[190, 200]

195

8 N = 218

1560 S = 37 595

Gjennomsnittet er S 37 595 g = = = 172, 5 N 218 Elevene er etter dette i gjennomsnitt 172,5 cm høye.

Vi kan ikke være sikre på at dette er en helt riktig verdi, for vi vet ikke sikkert at høyden til elevene fordeler seg jevnt innenfor hvert intervall.

88

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 88

2014-06-03 13:35:24

?

OPPGAVE 3.74

a) Finn det nøyaktige gjennomsnittet av høydene i oppgave 3.70. b) Bruk det grupperte materialet i oppgave 3.70 til å finne gjennomsnittet. c) Forklar hvorfor det ikke blir samme svar i oppgave a og b.

OPPGAVE 3.75

Finn gjennomsnittsvekten i oppgave 3.60.

OPPGAVE 3.76

Finn gjennomsnittsalderen i Norge og i Botswana. Se oppgave 3.61 og 3.62.

3.8 Gruppert materiale digitalt Vi ser nå på hvordan vi kan bruke et regneark til å finne gjennomsnittet i et gruppert materiale. Vi ser da på høyden til elevene igjen.

Høyde

Frekvens

[150, 160〉

28

[160, 165〉

18

[165, 170〉

43

[170, 175〉

35

[175, 180〉

48

[180, 185〉

23

[185, 190〉

15

[190, 200]

8

Vi legger da først inn disse tekstene og tallene i regnearket.

89

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 89

2014-06-03 13:35:24

Nå legger vi inn disse formlene: Celle

Formel

C5

= (A5 + B5)/2

E5

= C5 * D5

B1

= summer(D5 : D12)

B2

= summer(E5 : E12)/B1

Deretter kopierer vi formlene i C5 og i E5 ned til rad 12. Det gir dette resultatet etter at vi har redusert antallet desimaler til 1 i gjennomsnittet:

Vi ser at gjennomsnittet er 172,5 cm. Det stemmer med det vi fant i kapittel 3.7.

OPPGAVE 3.80

?

Lag et regneark som finner gjennomsnittsvekten i oppgave 3.60.

OPPGAVE 3.81

Lag et regneark som finner gjennomsnittsalderen i Norge.

Se oppgave 3.61.

OPPGAVE 3.82

Lag et regneark som finner gjennomsnittsalderen i Botswana.

Se oppgave 3.62.

På nettsidene til Sinus finner du regnearket «Sentralmål i gruppert materiale».

Det bestemmer både gjennomsnittet og medianen i et gruppert materiale. Her viser vi hvordan vi bruker regnearket når vi skal finne medianen og gjennomsnittet av høydene til elevene i tabellen foran.

90

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 90

2014-06-03 13:35:25

Regnearket ser slik ut når vi åpner det:

Vi begynner med å fylle ut den siste øvre grensen, 200, i celle B5. Deretter skriver vi inn alle de nedre grensene i kolonne A. Når vi i tillegg har skrevet inn alle frekvensene, får vi dette resultatet:

Vi ser at medianen er 172,9 cm og gjennomsnittet 172,5 cm. Det stemmer med det vi har regnet ut.

Nederst i regnearket finner vi en fane som viser histogrammet.

91

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 91

2014-06-03 13:35:25

OPPGAVE 3.83

?

Bruk et regneark til å finne gjennomsnittshøyden ut fra denne tabellen: Høyde (cm) [150, 160〉 [160, 170〉 [170, 180〉 [180, 200〉

Frekvens 5 12 18 15

OPPGAVE 3.84

Bruk det ferdige regnearket til å finne medianen og gjennomsnittsalderen i Norge. Se oppgave 3.61.

OPPGAVE 3.85

Bruk det ferdige regnearket til å finne medianen og gjennomsnittsalderen i Botswana. Se oppgave 3.62.

3.9 Spørreundersøkelser I våre dager er det veldig vanlig med spørreundersøkelser. Det fins mange firmaer som gjør slike undersøkelser etter oppdrag fra organisasjoner, aviser, tv, banker og næringslivet ellers. Det mest vanlige er at disse firmaene bruker telefon når de intervjuer tilfeldig valgte personer rundt om i landet. Men noen ganger blir vi også bedt om å fylle ut store hefter med svært mange spørsmål om likt og ulikt.

Vi skal nå se på noe av det vi må tenke på når vi skal lage en slik spørreunder­søkelse.

Skal vi gjennomføre en slik undersøkelse, er det viktig å vite nøyaktig hva vi vil undersøke. Det må være nøye gjennomtenkt. Vi må ha en god problemstilling.

Når vi planlegger undersøkelsen, må vi også tenke grundig over hvordan vi skal legge fram resultatene. Ønsker vi å gjøre det ved hjelp av diagrammer eller ved hjelp av sentralmål og spredningsmål? Det har betydning for hvordan vi formulerer spørsmålene våre.

Det har også betydning for resultatet hvem som står bak undersøkelsen. Når vi blir spurt om et politisk tema, kan vi gi andre svar hvis vi sympatiserer med det partiet som står bak undersøkelsen, enn hvis vi ikke liker det partiet.

Vi kan svare annerledes på et spørsmål om lekselesing når læreren spør enn når elevrådet spør.

92

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 92

2014-06-03 13:35:25

Det kan også ha betydning hvordan vi stiller spørsmålene. De bør ikke være ledende. Tenk over forskjellen på disse to spørsmålene:

Er det lurt å bruke snus?

Er det greit å bruke snus?

Det er også viktig for svarene hvilken sammenheng spørsmålene kommer i.

Vi får ganske annerledes svar hvis en miljøundersøkelse blir avsluttet med et spørsmål om bilbruk, sammenliknet med de svarene vi får hvis det samme spørsmålet blir stilt på slutten av en undersøkelse om hvilke bilmerker du liker.

Svarene våre er også avhengige av hvordan de blir levert. Det kan bli forskjellige svar alt etter om vi svarer med håndsopprekking i klassen, om vi svarer skriftlig og leverer det til læreren, eller om vi krysser av i et skjema på nettet. Det kan være viktig at de som svarer, er trygge på at de er anonyme.

Når vi har bestemt oss for hvordan skjemaene skal være, og hvordan vi skal samle inn svarene, kan det være lurt å prøve skjemaene og spørremetoden på en liten gruppe. I store vitenskapelige undersøkelser kalles dette en pilotstudie. Da får vi blant annet prøvd om folk skjønner spørsmålene våre slik de er ment, og vi får prøvd ut om vi kan legge fram resultatet på en god måte ut fra de svarene vi får inn.

Når vi er klar til å gjennomføre undersøkelsen, må vi bestemme oss for hvem og hvor mange vi skal spørre. Da er det viktig at de vi spør, er representative for dem undersøkelsen gjelder. I nasjonale undersøkelser må vi ha med representanter fra alle landsdeler, alle sosiale lag, alle aldersgrupper og begge kjønn. Vi må også passe på at antallet personer fra hver slik gruppe er noenlunde riktig. Ved skoleundersøkelser må vi passe på at vi har med elever fra alle årstrinn, fra alle programområder og begge kjønn. God representativitet kan vi også oppnå hvis vi trekker tilfeldig fra en liste med alle elevene på skolen. Vi må også intervjue mange nok slik at vi unngår at det er tilfeldigheter som er avgjørende for resultatet.

I tillegg er det viktig med høy svarprosent. Hvis svarprosenten er lav, kan vi risikere at representativiteten ikke blir god selv om vi har gjort et godt forarbeid. Noen sosiale lag og noen elevgrupper er lettere å få til å svare enn andre. For å få opp svarprosenten må vi kanskje purre. Men da må vi ha et system som er slik at vi vet hvem som har svart, uten å vite hva de har svart.

Det går ut over anonymiteten.

93

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 93

2014-06-03 13:35:25

OPPGAVE 3.90

?

Meningsmålingsinstituttet «Norske meninger» bruker bare fasttelefon når de intervjuer.

Hva tror du det betyr eller betydde for representativiteten i dag, i 1980 og i 1950?

OPPGAVE 3.91

Planlegg og gjennomfør sammen med noen andre elever en spørreunder­ søkelse på skolen. Velg selv en problemstilling. Bruk noe av det du har lært i kapittel 2 og 3 når du legger fram resultatet av undersøkelsen.

94

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 94

2014-06-03 13:35:25

SAMMENDRAG Typetall Typetallet er den observasjonsverdien som forekommer flest ganger.

Variasjonsbredde Variasjonsbredden er differansen mellom den største og den minste observasjonsverdien.

Median Medianen er verdien til observasjonen i midten når materialet er sortert etter observasjonsverdier.

Nedre og øvre kvartil Når et datamateriale er sortert etter observasjonsverdier, deler medianen materialet i to deler, øvre halvdel og nedre halvdel. Nedre kvartil ligger midt i nedre halvdel, og øvre kvartil ligger midt i øvre halvdel.

Kvartilbredde Kvartilbredden er differansen mellom øvre kvartil og nedre kvartil.

Gjennomsnitt Gjennomsnittet g i et materiale er summen S av observasjonene x1, x2, …, xN dividert med tallet på observasjoner N. g =

S x1 + x2 + ... + xN = N N

Varians Variansen til observasjonene x1, x2, …, xN med gjennomsnittet g er

( x1 − g )2 + ( x2 − g )2 + ... + ( xN − g )2 N

Standardavvik Standardavviket er kvadratrota av variansen.

Intervall [a, b〉 Intervallet [a, b〉 omfatter alle observasjonene med verdier fra og med a til b.

Tallet a er nedre grense, og b er øvre grense. Intervallbredden er b − a.

Midtpunktet i intervallet er xm =

a+b intervallbredden eller xm = a + 2 2

Gjennomsnitt i et gruppert materiale Når vi skal finne gjennomsnittet i et gruppert materiale, forutsetter vi at alle observasjonsverdiene i et intervall er jevnt fordelt i intervallet.

95

03 Sinus 2P kap3 teoridel.indd 95

2014-06-03 13:35:27

4.4 Digital graftegning Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å tegne rette linjer og andre grafer. Her viser vi hvordan vi bruker programmet GeoGebra til slik tegning.

Vi skal nå tegne linja y = 1, 5 x + 2 ved hjelp av GeoGebra. Vi åpner programmet og klikker inne i grafikkfeltet.

Hvis vi ikke får fram koordinatsystemet eller rutenettet, klikker vi på symbolene for koordinatsystem og rutenett øverst til venstre i grafikkfeltet.

Hvis vi ikke ser disse knappene, må vi klikke på den lille trekanten foran ordet Grafikkfelt.

Nå skriver vi inn likningen for linja i inntastingsfeltet. Bruk desimalpunktum og ikke desimalkomma!

Nå skal vi endre på koordinatsystemet og trykker derfor på symbolet .

Hvis vi nå plasserer musepekeren inne i koordinatsystemet og holder inne venstre musetast, kan vi flytte koordinatsystemet. Hvis vi vil endre på en av aksene, plasserer vi musepekeren på aksen og holder inne venstre musetast.

Da kan vi dra i aksen og få den slik vi vil.

Nå skal vi sette navn på aksene. Da klikker vi i grafikkfeltet og høyreklikker deretter. Nå velger vi Grafikkfelt og xAkse. Deretter skriver vi inn navnet x på x-aksen. Så klikker vi i boksen foran Avstand og setter avstanden til 1. Da blir det avstand 1 mellom tallene på aksen.

110

Sinus 2P > Lineære funksjoner og modeller

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 110

2014-06-03 13:38:08

Deretter trykker vi på fanen yAkse og skriver y som navn på aksen. Også der setter vi avstanden til 1. Nå lukker vi dette skjermbildet. Hvis vi vil endre fargen på linja, klikker vi på linja og velger farge i den lille menyen som dukker opp øverst i grafikkfeltet.

Der kan vi også velge hvor tykk linje vi vil ha. Vi kan få dette resultatet:

?

OPPGAVE 4.40

Tegn linjene digitalt. a) y = 3x − 1 b) y = −2 x + 7 c) y = 3, 7 x − 2, 4 2 1 d) y = − x + 3 3 Noen ganger kan det være vanskelig å finne ut hvilke verdier vi skal ha langs aksene. Ofte står det i oppgaven hvilke x-verdier vi skal bruke. Men vi må selv finne ut hvilke verdier vi trenger langs y-aksen. Da kan vi gå fram som i dette eksempelet. Her viser vi også hvordan vi leser av grafer digitalt.

EKSEMPEL Tanken på en bil inneholder 60 liter bensin. Bilen bruker 0,55 liter bensin per mil. Etter x mil er bensinmengden gitt ved f ( x) = 60 − 0, 55 x a) Tegn digitalt en graf som viser hvor mye bensin det er igjen på tanken helt til vi har kjørt 100 mil. b) Hvor mye bensin er det på tanken når vi har kjørt 20 mil? c) Hvor langt har vi kjørt når det er 16 liter bensin igjen på tanken?

111

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 111

2014-06-03 13:38:09

Løsning:

a) Vi bruker GeoGebra og skriver først 60 − 0.55x i inntastingsfeltet.

Bruk punktum og ikke komma! I algebrafeltet ser vi da dette funksjons­uttrykket:

Vi trenger altså ikke skrive f (x) foran funksjonsuttrykket.

en ennå kommer det sikkert ikke fram noen graf i koordinat­ M systemet. Grunnen er at vi ikke har de riktige verdiene på aksene.

Fra opplysningene i oppgaven vet vi at x skal være mellom 0 og 100. Da trykker vi på og drar i x-aksen slik at den går omtrent fra 0 til 100. Deretter stiller vi pekeren i koordinatsystemet, høyreklikker og velger Vis alle objekt. Da får vi fram linja, men vi kan gjøre figuren penere. Vi trenger for eksempel ikke de negative aksene, for både x og funksjonsverdiene er her positive tall. Derfor høyreklikker vi i grafikkfeltet, velger Grafikkfelt og går inn på fanen xAkse. Der haker vi av for Bare i positiv retning. Her kan vi velge avstand mellom tallene på x-aksen og sette navnet på aksen.

Deretter går vi inn på fanen yAkse og gjør tilsvarende valg der. Da får vi dette resultatet til venstre nedenfor:

I oppgaveteksten stod det at vi skulle tegne grafen for de 100 første milene. Grafen bør altså stoppe i x = 100. Vi skal ikke ha noen graf for negative x-verdier. Det kan vi ordne på denne måten:

112 112

Sinus 2P > Lineære funksjoner og modeller

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 112

2014-06-03 13:38:09

Først høyreklikker vi enten på grafen eller på funksjonsuttrykket i algebrafeltet og sletter funksjonen. I inntastingsfeltet skriver vi dette:

Det gir grafen til høyre på forrige side. Vi ser at den begynner i x = 0 og ender i x = 100. b) Når vi skal finne bensinmengden etter 20 mil, skriver vi f (20) i skrivefeltet. Da finner vi svaret 49 i algebrafeltet.

Det er 49 liter bensin igjen etter 20 mil.

c) Vi skal nå finne ut når det er 16 liter bensin igjen på tanken, og da skriver vi y = 16 i inntastingsfeltet. Dermed får vi fram ei horisontal linje gjennom y = 16. Deretter bruker vi verktøyet Skjæring mellom to objekt, som vi finner i rullegardinmenyen under . Da klikker vi på de to linjene og får vi fram skjæringspunktet mellom dem.

Vi ønsker å ha koordinatene på dette punktet i stedet for navnet. Vi klikker da på punktet og velger Verdi, som vi finner under i menyen øverst i grafikkfeltet. Det gir dette resultatet:

?

Det er 16 liter bensin igjen etter 80 mil.

OPPGAVE 4.41

Sigrid er fra Oslo, men hun studerer i Trondheim. Avstanden er 560 km. Hun skal hjem på ferie og kjører fra Trondheim med jevn fart. Etter x timer er avstanden fra Oslo i kilometer gitt ved f ( x) = 560 − 70 x a) Hvor lang tid bruker hun på kjøreturen til Oslo? b) Tegn digitalt en graf som viser avstanden helt til hun kommer hjem. c) Finn digitalt hvor langt hun er fra Oslo etter 4 timer. d) Finn digitalt hvor lang tid det går før hun har 140 km igjen.

113

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 113

2014-06-03 13:38:09

OPPGAVE 4.42

?

Tante Maggi har 10 000 kr i et skrin på kjøkkenet. Hun sparer fra nå av 1500 kr per måned og legger pengene i skrinet. Etter x måneder er beløpet blitt til f ( x) = 1500 x + 10 000 a) Tegn digitalt en graf som viser hvor mye penger det er i skrinet de neste 24 månedene. b) Hvor mye penger har tante Maggi etter 6 måneder? c) Hvor lang tid tar det før Maggi har 37 000 kr i skrinet?

OPPGAVE 4.43

a) Tegn grafen til f digitalt når f ( x) = 2 x + 10 der x er mellom −10 og 10. b) Tegn grafen til f digitalt når f ( x) = −0, 05 x + 10 der x er mellom 0 og 20. c) Tegn grafen til f digitalt når f ( x) = 0, 02 x + 1000 der x er mellom 0 og 100 000.

4.5 Lineær regresjon Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å finne den rette linja som passer best til et datasett. Da bruker vi en metode som vi kaller regresjon. Vi henter eksempelet fra side 107–108.

EKSEMPEL I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge 1. januar hvert år fra år 1900. Nedenfor er et utdrag av statistikken. Her er y folketallet i millioner og x antallet år etter 1900. Årstall x (år) y (millioner)

114

1900 0 2,22

1920 20 2,62

1940 40 2,96

1960 60 3,57

1980 80 4,08

2000 100 4,48

2010 110 4,86

Sinus 2P > Lineære funksjoner og modeller

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 114

2014-06-03 13:38:10

a) Finn ved regresjon den rette linja som passer best til dataene i tabellen, og tegn linja sammen med punktene i et koordinatsystem. b) Finn folketallet i 1980 ifølge modellen fra oppgave a. c) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner?

Løsning:

a) Vi åpner GeoGebra. På den øverste linja velger vi Vis og trykker på Regneark. Da får vi fram et regneark. Der legger vi inn verdiene for x og folketallet i millioner som vist her:

Nå markerer vi alle punktene i tabellen ved hjelp av musa og høyreklikker. Der velger vi Lag og Liste med punkt. Nå finner vi punktene i algebrafeltet med navnene A, B osv. Punktene finner vi også i ei liste med navnet Liste1:

Vi ser ikke punktene i koordinatsystemet. Derfor høyreklikker vi i koordinatsystemet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram alle punktene, men ennå ser vi ikke koordinataksene. Det kan vi ordne ved at vi flytter koordinatsystemet. Det gjør vi ved å trykke på symbolet og dra i koordinatsystemet og deretter i aksene slik at alle punktene og begge aksene blir synlige. Vi kan også skrive (0, 0) i inntastingsfeltet. Da får vi et punkt med koordinatene (0, 0).

Hvis vi nå høyreklikker i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt, får vi fram punktene nedenfor. I tillegg har vi høyreklikket på punktene og tatt bort navnet på dem ved å trykke på Vis navn.

115

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 115

2014-06-03 13:38:10

Nå bruker vi verktøyet Beste tilpasset linje som vi finner i rulle­ gardinmeny nr. 4 fra venstre. Deretter klikker vi på Liste1 i algebrafeltet og får tegnet den linja som passer best med punktene som vist her:

Likningen for linja finner vi i algebrafeltet:

Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge, er y = 0, 024 x + 2,136 b) Med denne modellen var folketallet i 1980 y = 0, 024 ⋅ 80 + 2,14 = 4, 06

Folketallet var 4,06 millioner i 1980.

Det stemmer godt med den riktige verdien, som er 4,08 millioner.

c) For å finne når folketallet passerer 5,5 millioner, skriver vi y = 5.5 i inntastingsfeltet. Da får vi fram ei horisontal linje. Vi bruker så Skjæring mellom to objekt og finner skjæringspunktet som vist her:

116

Vi ser at folketallet er 5,5 millioner etter vel 140 år.

Folketallet passerer 5,5 millioner i løpet av 2040.

Sinus 2P > Lineære funksjoner og modeller

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 116

2014-06-03 13:38:11

Når vi bruker regresjon for å finne den linja som passer best, tar vi hensyn til alle verdiene i datasettet, ikke bare første og siste verdi slik vi gjorde i kapittel 4.3. Legg merke til at linja i eksempelet foran ligger over noen punkter og under andre punkter.

?

OPPGAVE 4.50

Tabellen viser folketallet i verden i millioner i perioden 1970−2010. Her er x antallet år etter 1970. Årstall x (år) Folketall (millioner)

1970 0 3708

1980 10 4447

1990 20 5274

2000 30 6073

2010 40 6852

a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for folketallet y i millioner x år etter 1970. b) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9404 millioner.

Hvordan passer modellen i oppgave a med den prognosen?

OPPGAVE 4.51

Tabellen viser den gjennomsnittlige høyden y for norske guttebarn etter alderen x. x (år) y (cm)

4 104

6 118

8 131

10 142

12 153

14 167

a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for gjennomsnittshøyden y i centimeter når guttene er x år. b) Hvor høye er guttene i gjennomsnitt ved fødselen ifølge denne modellen?

Er det en rimelig verdi? c) Hvilken høyde gir modellen for gutter på 18 år?

Vurder gyldighetsområdet ved å finne ut hvilken aldersgruppe denne modellen kan passe for.

OPPGAVE 4.52

a) Bruk tabellen i oppgave 4.32 til å lage en lineær modell for ventet levealder i Botswana x år etter 1950. b) Hvor godt passer modellen for året 1975? c) Hvilken ventet levealder gir modellen for året 2000 og for året 2005?

117

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 117

2014-06-03 13:38:11

4.6 Tall og figurer Tallene

1, 2, 3, 4, 5, …

kaller vi de naturlige tallene. De naturlige tallene deler vi ofte i partall og oddetall. Partallene er de tallene vi kan dele med 2. Det er tallene

2, 4, 6, 8, 10, …

Oddetallene kan vi ikke dele med 2. Det er tallene

1, 3, 5, 7, 9, 11, …

Når vi kvadrerer et naturlig tall, får vi et kvadrattall. Her er de minste kvadrattallene: 2 K= 1= 1 1 2 K= 2= 4 2 2 K= 3= 9 3 2 K= 4= 16 4 2 K= 5= 25 5

Kvadrattall nr. n er gitt ved formelen K n = n 2 Vi sier også at for eksempel 16 er kvadratet av 4.

Kvadrattallene kan vi også framstille ved hjelp av kuler på denne måten:

K1 = 1

K2 = 4

K3 = 9

K4 = 16

Vi ser at for eksempel kvadrattall nr. 4 danner et kvadrat med 4 kuler i hver retning.

Serier av tall som vi kan få fram som ovenfor ved å sette sammen kuler på en bestemt måte, kaller vi figurtall. Kvadrattallene er dermed et eksempel på figurtall. Nå skal vi i oppgaver studere kvadrattallene og andre figurtall for å se etter sammenhenger.

118

Sinus 2P > Lineære funksjoner og modeller

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 118

2014-06-03 13:38:11

?

OPPGAVE 4.60

a) Velg to naturlige tall som følger etter hverandre.

Finn summen av tallene og differansen mellom kvadratet av tallene.

Hva ser du? b) Prøv det samme med andre naturlige tall som følger etter hverandre.

Hvilken regel ser ut til å gjelde? c) Prøv å forklare regelen ved å tegne opp kvadrattallene som figurtall.

OPPGAVE 4.61

a) Velg to naturlige tall slik at det ene er 2 større enn det andre.

Finn summen av tallene og differansen mellom kvadratet av tallene.

Prøv med flere slike tall og se etter et system. b) Velg to naturlige tall slik at det ene er 3 større enn det andre.

Finn summen av tallene og differansen mellom kvadratet av tallene.

Prøv med flere slike tall og se om du kan finne et system. c) Se på det du fant ut i oppgave a og b.

Hvilken regel ser ut til å gjelde?

Prøv regelen din ved å bruke andre tall enn 2 og 3.

OPPGAVE 4.62

a) Finn summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste oddetallene.

Hvilken regel ser ut til å gjelde? b) Prøv ut regelen din ved å summere flere oddetall. c) Finn summen av de 50 minste oddetallene.

OPPGAVE 4.63

Nå skal vi se på noen figurtall som vi kan kalle rektangeltall. Her er de minste rektangeltallene:

R1 = 2

R2 = 6

R3 = 12

a) Finn rektangeltallene R4 og R5. b) Prøv å finne et system i rektangeltallene slik at du kan regne ut rektangeltallet R50. c) Finn summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste partallene.

Hvilken regel ser ut til å gjelde?

Prøv ut regelen din ved å summere flere partall. d) Bruk dette til å finne summen av de 50 minste partallene.

119

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 119

2014-06-03 13:38:12

OPPGAVE 4.64

?

Nå skal vi se på noen tall som vi kaller trekanttall. Her er de minste trekanttallene:

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

a) Finn trekanttallene T5 og T6 . b) Vi kan vise at vi har denne formelen for trekanttall nr. n: Tn =

n ⋅ (n + 1) 2

Undersøk om denne formelen passer for trekanttallene T5 og T6 som du fant i oppgave a.

Finn trekanttallet T20 . c) Se på summen av to trekanttall som følger etter hverandre.

Hvilken regel ser ut til å gjelde?

Hvordan kan du bruke kulene til å vise at regelen din er riktig? d) Finn summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste naturlige tallene.

Hvilken regel ser ut til å gjelde?

Hvordan kan du ved hjelp av kulene se at denne regelen er riktig?

Bruk denne regelen til å finne summen av de 40 minste naturlige tallene.

OPPGAVE 4.65

Vi kan lage figurtall ved å legge kuler oppå hverandre. Figuren nedenfor viser de tre første pyramidetallene 1, 5 og 14.

a) Finn pyramidetall nr. 4 og nr. 5. b) Vi kan vise at pyramidetall nr. n er gitt ved

n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1) 6

Undersøk om denne formelen stemmer med de tallene du fant i oppgave a. c) Hvilken sammenheng er det mellom pyramidetallene og kvadrattallene?

120 120

Sinus 2P > Lineære funksjoner og modeller

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 120

2014-06-03 13:38:13

SAMMENDRAG Matematisk modell En matematisk modell er en sammenheng mellom to størrelser. Modellen kan være en formel eller en likning som knytter de to størrelsene sammen.

Matematiske modeller kan også være en beskrivelse av en framgangsmåte som gjør oss i stand til å regne om mellom to størrelser ved hjelp av hoderegning.

Rette linjer Ei rett linje har likningen

y

y = ax + b Linja skjærer y-aksen i punktet y = b.

Når x øker med én enhet, øker y med a enheter.

Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstantleddet.

b

a 1 x

Lineær modell Når sammenhengen mellom to størrelser x og y er gitt ved ei rett linje i et koordinatsystem, har vi en lineær matematisk modell. Det fins da to tall (konstanter) a og b slik at y = ax + b.

Regresjon Regresjon er en matematisk metode som gir den linja eller kurven som passer best til et datasett.

121

04 Sinus 2P kap4 teoridel.indd 121

2014-06-03 13:38:13

3 S entralmål og spredningsmål +

ØV MER

3.1 GJENNOMSNITT OG TYPETALL

Oppgave 3.110 Onkel Ole tar alltid bussen til jobben.

Ettersom bussen ofte er forsinket, noterer han hver dag hvor mange minutter bussen er forsinket. De siste 15 arbeidsdagene noterte han disse tallene:

2, 5, 4, 0, 5, 7, 4, 3, 4, 5, 8, 1, 7, 0, 5

a) Finn typetallet. b) Regn ut gjennomsnittet.

Oppgave 3.111 Tabellen viser elevfraværet i januar for en klasse på vg2.

Fraværsdager

Antall elever

0

12

1

4

2

6

3

3

4

2

5

2

6

1

a) Hva er typetallet? b) Hva er det gjennomsnittlige dag­ fraværet i denne klassen i januar? c) Hvor mange prosent av elevene hadde vært borte i minst 3 dager?

Oppgave 3.112 I en klasse ble elevene spurt om hvor mange land de hadde besøkt utenom Norge. Tabellen viser resultatet.

Land

0

1

2

3

4

Elever

2

1

4

9

7

a) Hvor mange elever ble spurt? b) Finn typetallet. c) Regn ut gjennomsnittet av antall land.

Oppgave 3.113 Tabellen viser timefraværet i en andre­ klasse i oktober og november et år.

Timer Frekvens Frekvens oktober november 0 7 4 1 5 7 2 8 3 4 5 5 5 2 8 7 2 2 10 0 1 14 1 0

a) Bestem typetallet for 1) oktober 2) november b) Bestem det gjennomsnittlige timefraværet for 1) oktober 2) november c) Bestem typetallet for oktober– november. d) Bestem det gjennomsnittlige timefraværet i perioden oktober– november.

205

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 205

2014-06-03 13:39:15

Oppgave 3.114 En tilfeldig utvalgt gruppe personer ble spurt hvor mange personbiler de hadde disponert i løpet av de siste 10 årene.

Tabellen viser resultatet.

Oppgave 3.120 Lokalavisa til tante Mari har hver dag en kviss med 10 aktuelle spørsmål.

Hver dag prøver hun seg på disse oppgavene. De siste elleve dagene hadde hun disse riktige svarene:

Biler

Frekvens

0

15

1

17

2

46

3

46

4

22

Finn medianen.

5

3

6

1

a) Hvor mange personer ble spurt? b) Hvor mange prosent av personene hadde disponert minst 3 biler? c) Finn typetallet. d) Finn gjennomsnittet.

Oppgave 3.115 10 elever løp 60 m på en idrettsdag.

Resultatene for 9 av elevene var

3.2 MEDIAN

8,6 s, 9,2 s, 9,3 s, 8,8 s, 8,1 s, 8,7 s, 8,8 s, 9,1 s og 8,4 s

Hvor fort løp den 10. eleven når gjennom­ snittstida for alle 10 elevene var 8,8 s?

Oppgave 3.116 Tabellen viser noe av karakterfordelingen på en 2P-prøve med 23 elever. Både gjennomsnittskarakteren og typetallet ble 3,0.

Karakter

Frekvens

1

4

2

4

3 4

5

5 6

1

Finn tallet på elever som fikk 3, og tallet på elever som fikk 5.

206 206

6, 7, 5, 8, 10, 7, 9, 10, 6, 9 og 9

Oppgave 3.121 En matematikkprøve i en 2P-klasse ga disse karakterene: 4, 5, 1, 2, 2, 4, 2, 3, 5, 1, 1, 2, 4, 2, 5, 6, 3, 2, 3, 1, 5, 2, 4, 1, 3 a) Finn medianen. b) Finn typetallet. c) Finn gjennomsnittskarakteren. d) Hvilket sentralmål er best egnet til å fortelle noe om resultatet på prøven?

Oppgave 3.122 I et forsøk i en naturfaggruppe skulle elevene måle vekten av en gjenstand.

Vektene i gram var: 43,2 43,4 43,3 43,3 43,1 43,5 43,3 43,4 43,4 43,4 43,4 43,2 43,3 43,0 43,4 43,4 43,1 a) Finn medianen. b) Finn gjennomsnittet. c) Finn typetallet. d) Hvilket sentralmål er best egnet til å fortelle noe om resultatet av veringen?

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 206

2014-06-03 13:39:16

Oppgave 3.123 En arbeidsplass har 43 ansatte. Bedriften har et trimrom som er åpent for alle ansatte. De ansatte ble spurt hvor ofte de brukte trimrommet i løpet av ei uke.

Tabellen viser resultatet.

Oppgave 3.125 En ny film har nettopp hatt premiere.

De som var på premieren, ble bedt om å gi filmen et «terningkast» fra 1 til 6 med 6 som best. Resultatet står i tabellen.

Terningkast

Frekvens

Antall besøk

Antall ansatte

1

2

0

16

2

15

1

10

3

53

2

7

4

50

3

5

5

78

4

1

6

41

5

4

a) Finn typetallet. b) Finn medianen. c) Finn gjennomsnittet.

Oppgave 3.124 Toppen videregående skole har fått ny elevkantine. En dag ble elevene spurt hvor godt de likte den maten som ble solgt i kantina. De skulle gi en karakter fra 1 til 6 med 6 som beste karakter.

Tabellen viser resultatet.

Karakter

Antall elever

1

24

2

20

3

45

4

34

5

20

6

8

a) Hvor mange elever svarte på undersøkelsen? b) Finn typetallet. c) Finn medianen. d) Finn gjennomsnittskarakteren.

a) Hvor mange deltok i undersøkelsen? b) Finn typetallet. c) Finn medianen. d) Finn gjennomsnittet.

Oppgave 3.126 En undersøkelse blant folk om hvor mange bøker de leser i løpet av et år, ga dette resultatet: Bøker

Frekvens

0

10

1

23

2

15

3

22

4

13

5

8

6

4

a) Hvor mange var med på under­ søkelsen? b) Finn typetallet. c) Finn medianen. d) Det viste seg at frekvensene for 1 og 3 leste bøker hadde byttet plass i tabellen.

Hvilken betydning får det for type­ tallet og medianen?

207

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 207

2014-06-03 13:39:16

Oppgave 3.127 En klasse på 30 elever fikk dette resultatet på en matematikkprøve: Karakter

Frekvens

1

2

2

11

3

7

4

4

5 6

1

a) Hvor mange elever fikk karakteren 5? b) Regn ut gjennomsnittsresultatet for klassen. c) Finn typetallet og medianen for datamaterialet. d) Utvid tabellen med en kolonne som viser de relative frekvensene i prosent. e) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 2? f) Utvid tabellen med en kolonne slik at du får regnet ut kumulative frekvenser, og en kolonne med relative kumulative frekvenser i prosent. g) Hvor mange prosent av elevene fikk høyst karakteren 4? h) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 4 eller bedre?

På den neste matematikkprøven opp­ nådde flere av elevene bedre resultater.

Lærer Per Pleks kunne da fornøyd konkludere med dette: En elev fikk endret karakteren fra 1 til 2.

Antall 4-ere og 5-ere var uendret.

Det var nå 2 seksere i klassen.

Typetallet var både karakteren 2 og karakteren 3. i) Hvor mye økte gjennomsnitts­ karakteren i klassen?

208 208

3.3 VARIASJONSBREDDE OG KVARTILBREDDE

Oppgave 3.130 Mette teller daglig opp hvor mange tekstmeldinger (SMS) hun sender. Den siste uka var tallene

6, 12, 5, 8, 10, 8, 9

a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn variasjonsbredden og kvartil­ bredden.

Oppgave 3.131 Vi måler høyden til 7 gutter. Høydene i centimeter er

185, 178, 188, 182, 177, 174, 190

a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn gjennomsnittshøyden. c) Finn variasjonsbredden og kvartil­ bredden.

Oppgave 3.132 Åtte jenter i klasse 2STA løp 60 m på en idrettsdag. Tidene i sekunder var:

8,6, 9,2, 8,8, 9,4, 8,3, 8,9, 9,7, 9,1

a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn gjennomsnittstida. c) Finn variasjonsbredden og kvartil­ bredden.

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 208

2014-06-03 13:39:17

Oppgave 3.133 Tallet på Facebook-venner kan variere mye fra person til person. For 15 elever er tallene 226, 148, 360, 235, 128, 264, 302, 175, 190, 96, 155, 140, 276, 235, 198 a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn gjennomsnittet. c) Finn variasjonsbredden og kvartil­ bredden.

Oppgave 3.134 I en idrettskonkurranse ble det hoppet lengde og kastet spyd. a) Vinneren av lengdekonkurransen hadde sju godkjente hopp. Lengden av hoppene i meter var:

7,87, 7,65, 8,02, 7,56, 7,83, 7,90, 8,03

1) Finn medianen.

2) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. b) Vinneren av spydkastkonkurransen hadde seks godkjente kast. Lengden av kastene i meter var: 82,42, 85,76, 79,56, 84,12, 87,30, 81,58 1) Finn medianen.

2) Finn variasjonsbredden.

Oppgave 3.135 På en arbeidsplass ble det en fredag loddet ut tre konfektesker. Arbeids­ takerne kunne kjøpe flere lodd. Loddene kostet 5 kr per stykk. Tabellen viser resultatet av loddsalget.

Antall lodd 0 1 2 3 4 5 6 8

Frekvens (tallet på kjøpere) 8 6 20 15 19 5 4 2

a) Hver konfekteske kostet ved innkjøp 115 kr.

Gikk loddsalget med overskudd? b) Finn medianen. c) Finn variasjonsbredden og kvartil­ bredden.

3.4 VARIANS OG STANDARDAVVIK

Oppgave 3.140 Vi ser på karakterfordelingen på en prøve i en 2P-gruppe.

Karakter x 1 2 3 4 5 6 Sum

Frekvens f 4 8 5 6 2 1 N=

f⋅x

f ⋅ (g − x)2

S=

A=

a) Hvor mange elever deltok på prøven? b) Skriv av tabellen og fyll ut de kolonnene. c) Finn gjennomsnittskarakteren g = NS . d) Finn variansen og standard­avviket.

209

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 209

2014-06-03 13:39:17

Oppgave 3.141 Vi ser på elevfraværet i en termin i en 2P-gruppe.

Fraværsdager x 0 1 2 3 4 5 Sum

Elever f 13 7 4 3 2 1 N=

f⋅x

S=

f ⋅ (x – g)2

A=

a) Skriv av og fyll ut tabellen. b) Finn gjennomsnittsfraværet. c) Finn variansen og standardavviket.

Oppgave 3.142 Vi ser igjen på i oppgave 3.134. a) Lengden i meter av de sju hoppene var: 7,87, 7,65, 8,02, 7,56, 7,83, 7,90, 8,03

Finn gjennomsnittet, variansen og standardavviket. b) Lengden i meter av de seks spyd­ kastene var:

82,42, 85,76, 79,56, 84,12, 87,30, 81,58

Finn gjennomsnittet, variansen og standardavviket.

Oppgave 3.143 I bedriften «Stabilitet» er det 12 ansatte.

De har denne aldersfordelingen: 23, 63, 66, 36, 40, 42, 48, 48, 42, 55, 31, 44 a) Regn ut 1) variasjonsbredden 2) typetallet 3) medianen 4) kvartilbredden 5) gjennomsnittet 6) standardavviket

210 210

b) Vi tenker oss at alle de ansatte fortsetter å arbeide i bedriften i mange år framover. Ingen nye arbeidere blir ansatt.

Hvilke størrelser i oppgave a vil da forandre seg? Husk å grunngi svarene dine.

Oppgave 3.144 Driva er ei god fiskeelv i Sunndal, og i løpet av juni, juli og august et år ble det rapportert at det var fisket i alt 4779,3 kg ørret og laks.

Måned

Antall kg fisk

Juni Juli

2207,9

August

1411,0

a) Hvor mange kilogram (kg) fisk ble det fisket i juni? b) Tegn et sektordiagram som viser fordelingen for de tre månedene. c) Hvor mange prosent av fangsten ble fisket i juli?

De ti første ørretene som ble fisket da sesongen begynte, hadde disse vektene i kilogram (kg): 1,0 6,6 2,4 2,1 2,3 1,0 1,0 1,7 1,4 1,2 d) Finn variasjonsbredden for vektene. e) Finn gjennomsnittet, typetallet og medianen.

Hvilket av disse sentralmålene syns du gir det beste inntrykket av vekten på ørreten? f) Finn øvre og nedre kvartil og bestem kvartilbredden. g) Finn standardavviket.

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 210

2014-06-03 13:39:17

Oppgave 3.145 I gruppe 1STA og 1STB ble det gjennom­ ført en kartleggingsprøve i matematikk.

Det er 15 elever i hver av gruppene.

Nedenfor ser du hvor mange poeng elev­ ene fikk på prøven. Maksimal poengsum på prøven er 36 poeng.

Oppgave 3.151 Det er salg i skobutikken «Skohornet».

Den første salgsdagen ble det solgt 100 par herresko. Tabellen viser salget av skoene fordelt på skostørrelsene.

Gruppe 1STA: 29, 26, 23, 19, 25, 27, 16, 28, 20, 23, 23, 30, 22, 31, 30

a) Finn typetallet. b) Lag et regneark som du kan bruke til å finne gjennomsnittsstørrelsen, variansen og standardavviket.

Gruppe 1STB: 27, 26, 32, 22, 18, 14, 29, 15, 17, 33, 19, 29, 30, 32, 29 a) Regn ut gjennomsnittet for hver av gruppene. b) Finn standardavviket. Hva forteller standardavviket om de to gruppene?

En elev var borte fra hver av gruppene da prøven ble holdt, og disse to elevene tok prøven seinere. c) I 1STA endret gjennomsnittet seg til 25 poeng etter at prøven var holdt.

Hvor mange poeng fikk denne eleven på kartleggingsprøven? d) I 1STB var variasjonsbredden 23 poeng etter at prøven var holdt.

Hvor mange poeng fikk denne eleven på kartleggingsprøven?

3.5 D IGITALE SENTRALMÅL OG SPREDNINGSMÅL

Oppgave 3.150 Tabellen viser hvor mange barn det er per familie i et boligområde.

Barn

0

3

4

5

6

Frekvens

18 12 21 12

1

2

7

5

1

a) Hvor mange barn bor det i området? b) Finn typetallet. c) Lag et regneark som du kan bruke til å finne gjennomsnittet, variansen og standardavviket.

Skostørrelse 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Antall sko

1

5 14 16 17 20 14 7

6

Oppgave 3.152 Tabellen viser karakterstatistikken for sentralgitt eksamen i 2P våren 2013.

Karakter

1

2

3

4

5

6

Relativ frekvens i 10,5 26,9 28,1 20,8 12,2 1,5 prosent

Lag et regneark som du kan bruke til å finne gjennomsnittet, variansen og standardavviket.

Oppgave 3.153 Det ble gjennomført en undersøkelse om hvor lenge pasientene lå på et sykehus før de ble sendt hjem. Tabellen viser hvor mange døgn 50 tilfeldig utvalgte pasienter var på et sykehus: 8, 9, 10, 4, 2, 1, 7, 6, 4, 5, 8, 9, 4, 3, 5, 2, 5, 5, 6, 8, 1, 4, 7, 10, 10, 4, 5, 4, 3, 10, 8, 8, 9, 10, 1, 5, 6, 8, 8, 5, 1, 2, 4, 8, 8, 7, 6, 8, 1, 7 a) Lag en frekvenstabell som viser resultatet av undersøkelsen. b) Finn typetallet. c) Finn variasjonsbredden. d) Finn medianen. e) Lag et regneark som du kan bruke til å finne gjennomsnittlig oppholdstid, variansen og standardavviket. f) Hvilket sentralmål og hvilket spredningsmål syns du er best her?

211

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 211

2014-06-03 13:39:18

Oppgave 3.154 En andreklasse på en videregående skole har nettopp hatt en prøve i norsk.

Tabellen viser resultatene.

3.6 HISTOGRAM

Oppgave 3.160 Tabellen viser timefraværet i første termin for andreklassene på en videre­ gående skole.

Karakter

Elever

1

2

2

6

3

5

4

6

[0, 5〉

14

5

7

[5, 10〉

22

1

[10, 15〉

28

[15, 25〉

44

[25, 50〉

25

6

Timer [a, b〉

Bruk regnearket «Mål i frekvenstabeller» til å finne ut hvor mange elever som deltok på prøven, typetallet, medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden, kvartilbredden og standardavviket.

Oppgave 3.155 En arbeidsplass har 50 ansatte. Noen av de ansatte har av og til noe overtid.

Den siste uka fordelte overtida blant de ansatte seg slik: Overtidstimer x

Ansatte f

0

14

3

4

4

8

5

6

6

8

8

10

Bruk regnearket «Mål i frekvenstabeller» til å finne typetallet, medianen, gjennom­ snittet, variasjonsbredden, kvartilbredden og standardavviket.

Frekvens f

Bredde b–a

Høyde f b−a

a) Skriv av og fyll ut tabellen. b) Lag et histogram over fordelingen.

Oppgave 3.161 Tabellen viser aldersfordelingen for passasjerene i et fullsatt charterfly.

Alder [a, b〉

Frekvens f

[0, 10〉

12

[10, 20〉

16

[20, 30〉

25

[30, 40〉

31

[40, 60〉

26

[60, 80〉

8

Tegn et histogram over fordelingen.

Oppgave 3.162 Tabellen viser aldersfordelingen for beboerne i en boligblokk.

Alder [a, b〉

Frekvens f

[0, 5〉

14

[5, 15〉

22

[15, 30〉

28

[30, 50〉

44

[50, 60〉

25

[60, 90〉

20

Tegn et histogram over fordelingen.

212 212

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 212

2014-06-03 13:39:19

Oppgave 3.163 En videregående skole har 12 klasser med et gjennomsnitt på 26 elever i hver klasse. En god del av disse elevene har lønnet arbeid ved siden av skolearbeidet. Tabellen gir en oversikt over tallet på arbeidstimer i november måned et år for disse elevene.

Timer

Frekvens

〈0, 10]

46

〈10, 20]

41

〈20, 30]

30

〈30, 50]

19

a) Hvor mange prosent av alle elevene hadde lønnet arbeid denne måneden? b) Vi ser på de elevene som hadde lønnet arbeid denne måneden.

Lag et histogram over fordelingen av arbeidstimer.

Oppgave 3.164 Høyden av 42 rekrutter ble målt.

Resultatet av målingene er vist nedenfor.

Alle målene er i centimeter.

191

188

196

180

182

185

175

190

169

180

194

172

181

170

169

184

175

164

171

174

181

184

188

182

173

172

179

183

166

179

163

168

178

186

189

183

178

184

177

179

180

176

a) Regn ut gjennomsnittshøyden digitalt. b) Lag et gruppert materiale.

La intervallbredden være 5, og begynn med intervallet [160, 165〉. c) Framstill det grupperte materialet i et histogram.

Oppgave 3.165 En undersøkelse blant 1200 personer om daglig reisetid fra hjemmet til arbeidsplassen ga disse resultatene: Reisetid i minutter

Frekvens

[0, 15〉

228

[15, 30〉

324

[30, 45〉

300

[45, 60〉

180

[60, 100〉

168

a) Hvor mange prosent av de spurte personene hadde en reisetid mellom en halv og en hel time? b) Tegn et histogram over fordelingen.

3.7 S ENTRALMÅL I ET GRUPPERT MATERIALE

Oppgave 3.170 Tabellen viser resultatene ved en farts­ kontroll der fartsgrensen er 60 km/h.

Fart (km/h) x

Frekvens Kumulativ Relativ f frekvens kumulativ frekvens y

[50, 56〉

35

35

0,21

[56, 60〉 [60, 64〉

45

80

0,47

50

130

[64, 70〉

25

[70, 80〉

12

[80, 100〉

3

1,00

N=

a) Hvor mange biler ble kontrollert? b) Skriv av og fyll ut hele tabellen. c) I hvilket fartsintervall ligger medianen? d) Bruk dataene fra kolonnene med fart (x) og relativ kumulativ frekvens (y) og tegn et linjediagram over fordelingen. e) Finn medianen grafisk.

213

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 213

2014-06-03 13:39:19

Oppgave 3.171 Tabellen gir en oversikt over lengden på tjenestetida til de ansatte i en bedrift.

Tjenestetid Frekvens Kumulativ Relativ (år) f frekvens kumulativ x frekvens y [0, 4〉

15

[4, 8〉

12

[8, 12〉

8

[12, 20〉

12

[20, 30〉

6

[30, 40〉

2 N=

a) Hvor mange er ansatt i denne bedriften? b) Skriv av og fyll ut hele tabellen. c) I hvilket tidsintervall ligger medianen? d) Bruk dataene fra kolonnene med tjenestetid (x) og relativ kumulativ frekvens (y) og tegn et linjediagram over fordelingen. e) Finn medianen grafisk.

Oppgave 3.172 Tabellen viser fordelingen av vekten til laks fanget et år i ei norsk elv.

Vekt i kilogram

Frekvens

[0, 2〉

44

[2, 4〉

36

[4, 8〉

22

[8, 12〉

10

[12, 20〉

3

a) Finn medianen grafisk og ved regning. b) Finn gjennomsnittsvekten.

214 214

Oppgave 3.173 Finn Skogen selger ved i sekker, og i løpet av sesongen noterte han hvor mange sekker ved hver kunde kjøpte.

Resultatet står i denne tabellen: Sekker

Frekvens

[0, 10〉

20

[10, 20〉

37

[20, 30〉

49

[30, 40〉

27

[40, 70〉

17

a) Hvor mange kunder kjøpte ved? b) Regn ut omtrent hvor mange sekker ved kundene kjøpte i gjennomsnitt. c) Veden kostet 75 kr per sekk.

Finn omtrent omsetningen av ved. d) Finn medianen på to måter. e) Tegn et histogram over fordelingen.

Oppgave 3.174 En del av elevene på Tur videregående skole vurderer å dra på skoletur i høstferien. Elevene gjennomfører en anonym undersøkelse for å finne ut hvor mye hver elev er villig til å betale for å være med. Resultatet står i tabellen.

Betaling (kr)

Frekvens

[0, 500〉

4

[500, 1000〉

12

[1000, 2000〉

18

[2000, 3000〉

30

[3000, 5000〉

12

[5000, 10 000〉

6

a) Hvor mange deltok i undersøkelsen? b) Regn ut omtrent hvor mye elevene kunne tenke seg å betale i gjennomsnitt for å delta på turen. c) Hvorfor kan vi ikke være sikre på at denne summen er den riktige? d) Finn medianen på to ulike måter. e) Tegn et histogram over fordelingen.

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 214

2014-06-03 13:39:19

Oppgave 3.175 Alle elever som begynner i den videre­ gående skolen, må ta en kartleggings­ prøve i matematikk. Resultatet for Kartlegge videregående skole ble slik som tabellen viser.

Poeng

Frekvens

[0, 15〉

9

[15, 20〉

15

[20, 25〉

33

[25, 30〉

31

[30, 36〉

20

a) Hvor mange elever deltok på kartleggingsprøven? b) Finn gjennomsnittet i det klassedelte materialet. c) Hvorfor er det usikkerhet i den verdien vi finner for gjennomsnitt i klassedelt materiale? d) Tegn et histogram over fordelingen. e) Finn medianen. f) Totalt oppnådde klassen 2585 poeng.

Sigbjørn var syk på kartleggings­ prøven og tok derfor denne prøven seinere. Etter at han hadde gjennom­ ført prøven, ble gjennomsnittet for elevene nøyaktig 24 poeng.

Hvor mange poeng fikk Sigbjørn på kartleggingsprøven?

3.8 GRUPPERT MATERIALE DIGITALT

Oppgave 3.180 En kunde klaget over at det var for lite kjøttdeig i pakningen på 400 g som hun hadde kjøpt. Butikken undersøkte dette nærmere, og tabellen øverst i høyre spalte viser resultatet av kontrollveiingene de gjorde.

Vekt (g)

Frekvens

[360, 370〉

5

[370, 380〉

12

[380, 390〉

18

[390, 410〉

25

[410, 420〉

15

[420, 430〉

8

[430, 450〉

7

a) Lag et regneark og finn gjennomsnitts­ vekten for en pakke kjøttdeig. b) Bruk regnearket «Sentralmål i gruppert materiale» til å finne gjennomsnittet og medianen for datamaterialet. c) Tegn digitalt et histogram over fordelingen.

Oppgave 3.181 Dramalinja ved en videregående skole arrangerte en kveldsforestilling på et teaterstykke. De gjennomførte da en undersøkelse for å finne alderen på de frammøtte. Tabellen viser resultatet.

Alder (år)

Frekvens

[10, 20〉

48

[20, 30〉

46

[30, 40〉

58

[40, 60〉

32

[60, 80〉

25

a) Hvor mange var det som møtte fram for å se teaterstykket? b) Lag et regneark og finn gjennomsnitts­ alderen på de frammøtte. c) Bruk regnearket «Sentralmål i gruppert materiale» til å finne gjennomsnittet og medianen for datamaterialet. d) Tegn digitalt et histogram over fordelingen.

215

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 215

2014-06-03 13:39:19

Oppgave 3.182 Et boligfelt har 142 eneboliger.

Huseierne har restlån på eneboligene, og tabellen viser hvordan restlånene fordelte seg per 1. januar 2014.

Restlån (kr)

Frekvens

[0, 300 000〉

5

[300 000, 500 000〉

18

[500 000, 600 000〉

10

[600 000, 800 000〉

25

[800 000, 1 000 000〉

30

[1 000 000, 2 000 000〉

23

[2 000 000, 3 000 000〉

31

c) Det viser seg at velet har gjort en feil i resultatet de sendte inn. Tallet på hus i intervallet [90, 110〉 er nemlig høyere enn først rapportert. Alt det andre stemmer. Gjennomsnittet for alle måleresultatene skal være 62,3 dB. Hvor mange hus er det som har et støynivå mellom 90 dB og 110 dB? d) Myndighetene lover å legge om veien hvis minst 30 % av husene har et støynivå på minst 70 dB. Må myndighetene legge om veien?

a) Lag et regneark og finn hvor stort restlån huseierne hadde i gjennomsnitt. b) Bruk regnearket «Sentralmål i gruppert materiale» til å finne gjennomsnittet og medianen for datamaterialet. c) Tegn digitalt et histogram over fordelingen.

Oppgave 3.183 Tveita velforening klager over støynivået fra motorveien. Velet har målt støy­ nivået i desibel (dB) ved boligene nær veien. Her er resultatet som de sender veimyndighetene: Støynivå (dB)

Tallet på hus

[30, 50〉

45

[50, 60〉

38

[60, 70〉

35

[70, 80〉

25

[80, 90〉

12

[90, 110〉

6

a) Finn digitalt medianen og gjennom­ snittet for måleresultatene. b) Tegn digitalt et histogram over fordelingen.

216 216

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 216

2014-06-03 13:39:20

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 3.200 Onkel Ole drikker mye kaffe. Han er litt bekymret for at det blir i meste laget etter hvert, og noterer derfor hvor mange kopper kaffe han drikker hver dag. Her er tallene for de siste 13 dagene:

6, 8, 7, 5, 3, 6, 7, 8, 3, 9, 4, 5, 7

a) Hvor mange kopper drakk Ole til sammen disse dagene? b) Finn gjennomsnittet per dag. c) Finn typetallet. d) Finn medianen.

Oppgave 3.201 I september skrev Ann Melde opp tallet på tekstmeldinger hun sendte hver dag.

Tallrekka ble seende slik ut: 4, 5, 3, 0, 6, 2, 5, 4, 6, 5, 3, 3, 4, 6, 5, 3, 1, 5, 4, 3, 2, 5, 0, 1, 4, 6, 3, 4, 1, 3 a) Lag en frekvenstabell. b) Utvid tabellen slik at du får regnet ut den kumulative frekvensen. c) Finn typetallet. d) Finn medianen. e) Tegn et søylediagram over fordelingen.

Oppgave 3.202 Trine kaster terning. Hun kaster terningen 10 ganger og får disse resultatene:

Oppgave 3.203 På en skole ble det gjort en liten undersøkelse der spørsmålet var: Hvor mange ganger har du vært på kino den siste måneden? Tabellen nedenfor skal vise resultatet for 10 av elevene, men det mangler resultat for 4 elever. Alle tallene står i stigende rekkefølge.

4, 1, 6, 3, 4, 1, 6, 4, 5, 3

a) Finn typetallet. b) Finn medianen. c) Finn gjennomsnittet. d) Trine skal kaste to ganger til.

Hva må hun få for at gjennomsnittet etter 12 kast skal bli 4?

Elev

A B C D E F G H I

J

Antall

0

5

2

3

4

4

Typetallet er 4 ganger i måneden.

Medianen er 3 ganger i måneden.

Gjennomsnittet er 2,7 ganger i måneden.

Finn hvor mange ganger denne måneden elev B, D, E og I har vært på kino. Skriv av tabellen og sett svarene inn i den. Forklar hvordan du kommer fram til svarene dine. ↑ 3.2

Oppgave 3.204 Emil er på fotballcup i ei uke. Han ringer hjem en del ganger, og tallet på samtaler fordelte seg slik på de forskjellige dagene:

4, 4, 3, 1, 2, 0, 7

a) Finn gjennomsnittet. b) Finn mediannen c) Finn nedre kvartil, øvre kvartil og kvartilbredden. d) En annen gang var Emil på leirskole hele uka. Han ringte ofte hjem, og for alle de sju dagene var antallet telefonsamtaler per dag var ulike.

For de første fem dagene var tallene 1, 6, 3, 7 og 11.

Gjennomsnittet denne uka var 5,0 telefonsamtaler hjem per dag.

Finn hvordan tallet på telefonsam­ taler fordelte seg de to siste uke­ dagene.

217

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 217

2014-06-03 13:39:20

Oppgave 3.205 Marit trener et håndballag. Hun noterer hver gang hvem som er borte. Da sesongen var slutt, hadde hun disse notatene på hvor mange dager hver spiller hadde vært borte: 0, 3, 22, 4, 0, 1, 2, 3, 12, 7, 0, 0, 0, 1, 3, 4, 5, 3, 30, 0 a) Bestem gjennomsnittet, typetallet og medianen for fraværet til spillerne. b) Bestem nedre kvartil, øvre kvartil, kvartilbredden og variasjonsbredden. c) Dersom du skulle melde videre et sentralmål for fraværet i laget, ville du da brukt gjennomsnitt, typetall eller median? Forklar.

Oppgave 3.206 Fiskebutikken «Fiskekroken» selger blant annet ferske reker for 150 kr per kg. a) Tabellen viser totalsalget i kilogram av ferske reker per dag de tre siste dagene av ei bestemt uke.

Ukedag

Torsdag

Fredag

Lørdag

6

12

18

Reker (kg)

1) Tegn et søylediagram over fordelingen.

2) Tegn et kakediagram (sektor­ diagram) over fordelingen. b) De sju første kundene på lørdagen kjøpte reker med disse vektene: 1,3 kg, 1,0 kg, 0,7 kg, 1,1 kg, 1,6 kg, 0,4 kg, 1,6 kg 1) Finn medianen.

2) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden.

3) Finn gjennomsnittsvekten.

4) Hvor mye betalte disse kundene til sammen for rekene?

Oppgave 3.207 Butikken «Vi skor oss» noterte i løpet av en time skostørrelsen på skoene de solgte. Resultatet ble:

42, 40, 35, 41, 41, 36, 38, 40, 44, 43

a) Finn medianen, nedre kvartil og øvre kvartil. b) Finn gjennomsnittet av skostørrelsene. c) Hva er den vanligste skostørrelsen i denne gruppen? Hva kaller vi dette sentralmålet? d) Finn variasjonsbredden og kvartil­ bredden.

Oppgave 3.208 Tabellen viser hvor mange fraværsdager elevene i en vg2-klasse hadde i løpet av ei uke.

Fraværs­ dager

0

1

2

3

4

5

Elever

15

8

2

3

1

1

a) Finn variasjonsbredden. b) Finn typetallet. c) Finn medianen. d) Regn ut gjennomsnittsfraværet.

Oppgave 3.209 Gard R. Moen kontrollerte hvor mange kilogram koffertene til 10 passasjerer veide. Resultatet ble: 18, 22, 19, 15, 18, 18, 22, 20, 20, 21 a) Bestem typetallet, medianen og gjennomsnittet. b) Lag en tabell som viser både frekvens og kumulativ frekvens for antallet kofferter med ulike vekter. c) Finn variasjonsbredden og kvartil­ bredden. d) Hvis vi tar med vekten av enda en koffert, blir gjennomsnittsvekten 20 kg.

Hva veier denne kofferten? ↑ 3.3

218 218

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 218

2014-06-03 13:39:20

Oppgave 3.210 I et datamateriale var variansen 4.

Hvor stort var standardavviket?

Oppgave 3.213 Tabellen nedenfor viser aldersfordel­ ingen i Kakleby.

Alder (år)

Oppgave 3.211 Tabellen viser karakterfordelingen i en matematikk-klasse.

1

2

3

4

5

6

Frekvens

3

7

6

5

4

0

a) Finn typetallet og medianen. b) Finn nedre kvartil, øvre kvartil og kvartilbredden. c) Finn gjennomsnittskarakteren. d) Finn variansen. e) Er standardavviket større enn eller mindre enn kvartilbredden?

14 000

[20, 60〉

25 000

[60, 80〉

10 000

[80, 100〉

2000

Ei lokalavis hadde framstilt aldersfordel­ ingen med dette histogrammet: 30 000 Personer

Karakter

Personer

[0, 20〉

↑ 3.4

25 000 20 000 15 000 10 000 5000 0

Oppgave 3.212 Turlaget «På ville veier» arrangerte en fjelltur, og histogrammet viser aldersfordelingen blant dem som deltok.

[0, 20〉 [20, 60〉 [60, 80〉 [80, 100〉 Alder

Gir avisa en riktig framstilling av alders­ fordelingen i Kakleby? Kommenter.

2,0

Oppgave 3.214 Diagrammet viser aldersfordelingen i en boligblokk. Finn medianen grafisk.

1,5

Aldersfordelingen i en boligblokk

3,0 2,5

1,0

1,00

0,5 10 20 30 40 50 60 70 80 Alder

a) Forklar hvordan du ut fra histogram­ met kan se i hvilken aldersgruppe det var flest som deltok. b) Hvor mange deltok i hver alders­ gruppe?

Relativ kumulativ frekvens

0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Alder ↑ 3.7

219

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 219

2014-06-03 13:39:20

Oppgave 3.215 (Eksamen V-2011) Nedenfor ser du hvor mange mål som ble scoret i fotballkampene mellom Rosenborg og Brann i Eliteserien i årene fra 2005 til 2009: 5 5 0 4 3 5 2 0 2 2 a) Finn gjennomsnittet og medianen for dette datamaterialet. b) Sett opp resultatene i en tabell.

Tabellen skal vise frekvens og kumulativ frekvens. c) Hva er den kumulative frekvensen for to mål, og hva betyr dette?

Oppgave 3.216 (Eksamen V-2011) I en 2P-gruppe er det 10 elever. Læreren har undersøkt hvor mye tid elevene bruker på matematikkleksene i løpet av en uke.

Resultatene er gitt i tabellen nedenfor.

Antall minutter

Antall elever

[0, 30〉

1

[30, 60〉

3

[60, 120〉

5

[120, 240〉

1

Finn gjennomsnittet for dette grupperte datamaterialet.

Oppgave 3.217 (Eksamen H-2011) I en klasse er det 10 elever. På en mate­ matikkprøve fikk elevene karakterene 2 1 3 4 5 5 3 6 4 3 Finn medianen, gjennomsnittet og variasjonsbredden.

Oppgave 3.218 (Eksamen H-2011) Politiet har gjennomført en fartskontroll i 30 km-sonen utenfor skolen.

Resultatene er gitt i tabellen øverst i høyre spalte.

Finn gjennomsnittsfarten.

220 220

Fart (km/h) [20, 30〉 [30, 40〉 [40, 50〉

Antall biler 20 20 10

Oppgave 3.219 (Eksamen V-2012) Antall datamaskiner 1 2 3 4 5 6

Antall elever 3 4 3 6 2 2

20 elever blir spurt om hvor mange datamaskiner de har hjemme.

Finn variasjonsbredden, typetallet, medianen og gjennomsnittet.

Oppgave 3.220 (Eksamen V-2012) Nedenfor ser du hvor mange tekst­ meldinger hver av de 20 elevene i en 2P-gruppe sendte i løpet av en uke: 4 88 69 21 66 8 16 57 86 21 37 22 78 27 28 44 42 71 82 95 a) Grupper datamaterialet i klasser med bredde 20. La den første klassen starte med 0.

I hvilken klasse ligger medianen? b) Finn gjennomsnittet i det klassedelte materialet.

Oppgave 3.221 (Eksamen H-2012) Alle som går tur til Polfjell, skriver navnet sitt i boka som ligger i post­ kassen på toppen av fjellet. Nedenfor ser du hvor mange som har skrevet seg inn i boka hver uke de 12 siste ukene.

6 12 20 4 10 15 5 12 8 12 18 10 Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 220

2014-06-03 13:39:20

Oppgave 3.222 (Eksamen H-2012) Tabellen nedenfor viser hvor mye penger hver av de 10 elevene i en 2P-gruppe bruker i kantinen i løpet av en uke.

Kroner

Antall elever

[0, 50〉

1

[50, 100〉

5

[100, 150〉

1

[150, 200〉

3

1 5 3 3 5 2 1 4 1 2

Gjør beregninger og avgjør om gjennom­ snittet er større enn medianen for dette datamaterialet.

Oppgave 3.223 (Eksempel 2012) Sommeren 2007 var 175 skoleelever på sommerleir. Etter leiren ble de spurt om hvor mye penger de hadde brukt på brus, is og godteri. Resultatet fra undersøkelsen er vist i tabellen nedenfor.

Penger brukt (kroner)

Klasse­midt- Frekvens Relativ Produkt punkt Hyppighet frekvens m ⋅ s m f s

[0, 40〉

20

21

0,12

2,40

[40, 80〉

60

70

2)

24,0

[80, 120〉

100

49

3)

28,0

[120, 160〉

140

21

0,12

16,8

[160, 200〉

180

1)

0,08

14,4

175

1,00

85,6

Totalt

Oppgave 3.224 (Eksamen V-2013) En kveld kjørte en taxisjåfør 10 turer.

Nedenfor ser du hvor mange passasjerer han hadde med seg på hver av turene.

a) Hvilke tall skal stå i feltene som ikke er fylt ut, og som er merket 1), 2) og 3)? b) Framstill dataene over penge­ forbruket i et egnet diagram. c) Hvor mye penger brukte hver av de 175 elevene i gjennomsnitt?

Kristian påstår at han med én gang kan si at for dette datamaterialet er media­ nen lavere enn gjennomsnittet. d) Forklar hvordan Kristian kan se dette direkte ut fra tabellen ovenfor.

a) Bestem medianen, gjennomsnittet og typetallet for dette datamaterialet. b) Sett opp en tabell som viser frekvens og kumulativ frekvens for antall passasjerer på turene.

Oppgave 3.225 (Eksamen V-2013) Tabellen nedenfor viser inntektene til personene i et borettslag.

Inntekt (i 1000 kroner)

Antall personer

[300, 400〉

20

[400, 500〉

20

[500, 700〉

10

Bestem gjennomsnittsinntekten til personene i borettslaget.

MED HJELPEMIDLER Oppgave 3.300 Arsène, Live og Manuela fra oppgave 2.307 vil nå bruke tabellplasseringene i alle sesongene i regnearket til å dokumentere at favorittlaget deres er det beste. Alle statistiske opplysninger i denne oppgaven går fram til og med sesongen 2013–2014. a) Hent regnearket «Tabellplasseringer» på nettsidene til Sinus for kapittel 2.4.

Finn gjennomsnittsverdien og type­ tallet for tabellplasseringen etter endt sesong for hvert av de tre lagene. b) Forklar med egne ord hva typetallet betyr her.

221

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 221

2014-06-03 13:39:21

Live mener at Liverpool er det beste laget når vi ser på hele denne perioden, for de har lavest gjennomsnitt og dermed høyest gjennomsnittlig tabellplassering.

Manuela mener at Manchester United er det beste laget, for de har flest seriemesterskap og da spesielt i de seinere årene. Arsène sier at en ikke bare kan se på gamle plasseringer i den engelske serien. Siden de ikke blir enige, ser de også på tallet på seiere i liga­ cupen, FA-cupen og UEFA Champions League. Tabellen nedenfor viser tallet på seiere i disse cupene for de tre lagene.

Ligacupen FA-cupen

UEFA Champions League

Arsenal

2

11

0

Liverpool

8

7

5

Manchester United

4

11

3

Manuela sier at det er mer prestisje i å vinne FA-cupen enn Ligacupen. Live svarer at det er enda mer prestisjefylt å vinne UEFA Champions League. c) Tenk på diskusjonen ovenfor, og forklar hva som er ment med dette sitatet: «Det finnes tre typer løgner: løgn, forbannet løgn og statistikk». ↑ 3.1

Oppgave 3.301 a) Lag ei liste med fire naturlige tall som er slik at gjennomsnittet er 6, medianen er 7 og typetallet er 8.

Finnes det flere løsninger? b) Lag ei liste med fem naturlige tall som er slik at gjennomsnittet, medi­anen og typetallet er som i oppgave a. Finnes det flere løsninger? c) Lag to forskjellige lister med ti naturlige tall som er slik at gjennomsnittet er 5, medianen er 5,5 og typetallet er 6.

222 222

d) Lag ei liste med åtte primtall som er slik at typetallet er 5, medianen er 6 og gjennomsnittet er 8. ↑ 3.2

Oppgave 3.302 Studer regnearket som du brukte i oppgave 3.300. a) Regn ut variasjonsbredden og kvartil­ bredden for tabellplasseringen til hvert av lagene Arsenal, Liverpool og Manchester United. b) Forklar hva som er ment med variasjons­ bredden i denne sammen­hengen. c) Regn ut standardavviket for tabell­ plasseringene til hvert av de tre lagene. d) Hva forteller variasjonsbredden, kvartilbredden og standardavviket om tabellplasseringene i den perioden tabellen dekker?

Oppgave 3.303 En 2P-gruppe har som prosjektoppgave å samle inn og bearbeide tall for hvor mange tekstmeldinger (SMS) som blir sendt av elever ved skolen hver uke.

De elevene som deltar, teller alle sine egne sendte tekstmeldinger i løpet av ei bestemt uke. 2P-gruppen deltar med disse egne tallene: 18, 34, 47, 16, 10, 20, 24, 52, 22, 30, 62, 44, 50, 48, 36, 22, 28, 35, 54 a) Finn variasjonsbredden. b) Hvor mange SMS-er sendte elevene i 2P-gruppen i gjennomsnitt denne uka? c) Finn medianen. d) Finn nedre kvartil, øvre kvartil og kvartilbredden. e) Regn ut standardavviket.

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 222

2014-06-03 13:39:21

Oppgave 3.304 En gårdbruker selger jordbær til 15 kr per kilogram ved selvplukk. En dag var det 15 plukkere innom gården.

Mengden de plukket i kilogram, var: 6,5, 4,7, 2,5, 7,1, 5,3, 10,4, 6,0, 8,5, 15,2, 11,8, 9,5, 3,8, 12,0, 6,0, 8,9 a) Finn variasjonsbredden. b) Finn medianen. c) Finn nedre kvartil og øvre kvartil. d) Finn kvartilbredden. e) Hvor mye plukket jordbærplukkerne i gjennomsnitt denne dagen? f) Hvor stor omsetning hadde gård­ brukeren av jordbærene denne dagen? g) Finn standardavviket. ↑ 3.4

Oppgave 3.305 Et år hadde de sju første barna som ble født etter nyttår på fødeklinikken i Lillevik, disse fødselsvektene: 3750 g, 2900 g, 3200 g, 3450 g, 2750 g, 4250 g, 3500 g a) 1) Finn medianen.

2) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden.

3) Finn gjennomsnittsvekten til disse sju barna.

4) Tar vi med det åttende barnet som ble født, blir den gjennomsnittlige fødselsvekten 3500 g.

Hva var fødselsvekten til det åttende barnet?

I løpet av dette året ble det født 250 barn på fødeklinikken. Fødselsvekten fordelte seg som vist i tabellen øverst i høyre spalte.

Vekt i kg

Frekvens

[2, 2,6〉

12

[2,6, 3,0〉

36

[3,0, 3,2〉

52

[3,2, 3,4〉

66

[3,4, 3,6〉

40

[3,6, 4,0〉

26

[4,0, 4,6〉

12

[4,6, 5,2〉

6

b) Utvid tabellen med klassebredder og histogramhøyder. c) Tegn et histogram over fordelingen. ↑ 3.6

Oppgave 3.306 En skole har flere 2P-grupper. En vårtermin hadde elevene på disse kursene en heldagsprøve i matematikk.

Prøvesettet hadde totalt 60 poeng.

Tabellen viser poenggrensene for karakterene, og hvordan karakterene og poengene til elevene fordelte seg.

Karakter

Poeng

Frekvens

1

[0, 16〉

12

2

[16, 26〉

15

3

[26, 36〉

20

4

[36, 46〉

22

5

[46, 56〉

12

6

[56, 60]

2

a) 1) Hvor mange elever hadde denne prøven?

2) Finn typetallet for karakter­ fordelingen.

3) Finn gjennomsnittskarakteren. b) Finn gjennomsnittet av prøve­ poengene. c) Finn medianen til poengene. d) Tegn et histogram over poeng­ fordelingen.

223

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 223

2014-06-03 13:39:21

Oppgave 3.307 Tabellen nedenfor gir vekten målt i kilogram (kg) til 100 nyfødte barn.

Frekvens

[2,4, 2,8〉

6

[2,8, 3,0〉

12

[3,0, 3,2〉

30

[3,2, 3,4〉

26

[3,4, 3,6〉

14

[3,6, 4,0〉

8

[4,0, 5,0〉

4

a) Finn gjennomsnittsvekten. b) Finn medianen. c) Tegn et histogram over fordelingen.

2,0 Frekvens/klassebredde

Vekt (kg)

Oppgave 3.309 En butikkeier noterte en dag hvor mange kroner hver enkelt kunde handlet for. I alt var det 520 kunder i butikken denne dagen. Resultatet er vist i histogrammet nedenfor.

Oppgave 3.308 I fiskebutikken «Fiskekroken» var i alt 36 kunder innom butikken torsdagen, fredagen og lørdagen og kjøpte ferske reker. Vekten av de rekene de kjøpte, fordelte seg slik: Vekt (kg)

Frekvens

[0, 0,8〉

11

[0,8, 1,2〉

16

[1,2, 1,6〉

5

[1,6, 2,0〉

2

[2,0, 3,0〉

2

a) Finn gjennomsnittsvekten av det klassedelte materialet. b) Rekene kostet 225 kr per kg.

Finn omtrent omsetningen av reker i butikken disse dagene. Hvorfor kan vi ikke være sikre på at tallet vi får for denne omsetningen, er det riktige? c) Finn medianen. d) Tegn et histogram over fordelingen.

1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 100

300

400

500

600

700

Beløp (kr)

a) Forklar hvordan du kan se at 40 kunder handlet for et beløp mellom 150 kr og 200 kr. b) Finn det gjennomsnittlige handle­ beløpet denne dagen.

Oppgave 3.310 I oppgave a kan det lønne seg å bruke en egen tast på lommeregneren for å gjøre beregninger med tid. Se oppgave 1.303. a) Sju venner deltok i et mosjonsløp over 5 km. Tidene de brukte var: 22 min 15 s, 19 min 24 s, 23 min 30 s, 27 min 11 s, 21 min 45 s, 18 min 36 s, 24 min 25 s

224 224

200

1) Finn medianen til de sju tidene.

2) Finn kvartilbredden.

3) Finn hvor mange sekunder det er i 22 min 15 s.

4) Finn gjennomsnittstida av de sju tidene.

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 224

2014-06-03 13:39:21

b) Det var i alt 87 deltakere i mosjons­ løpet. Tabellen viser hvordan slutt­ lidene fordelte seg.

Tidsintervall i minutter

Frekvens

Oppgave 3.312 Bestyreren for en burgerrestaurant har kartlagt ventetida for kundene.

Hun har følgende målinger i minutter: 2

3

9

2

5

11

4

7

6

4

[16, 18〉

5

5

6

7

6

3

1

3

6

8

3

[18, 20〉

22

10

5

5

4

3

8

4

2

6

6

[20, 24〉

30

4

2

8

10

4

4

6

3

7

9

[24, 28〉

20

7

3

9

4

6

12

6

5

6

5

[28, 36〉

10

1) Finn en tilnærmingsverdi for gjennomsnittstida til deltakerne.

2) Finn medianen grafisk.

3) Tegn et histogram over fordelingen.

Grupper målingene og legg fram resultatene fra kartleggingen. Du bør ha med sentralmål og grafiske framstillinger.

Timer [a, b〉

Frekvens f

[0, 2〉

12

[2, 3〉

20

[3, 3,5〉

26

[3,5, 4〉

36

[4, 4,5〉

24

Oppgave 3.313. Gruppeoppgave Det finnes mange avanserte og profe­ sjonelle verktøy for å samle inn og analysere data i en spørreundersøkelse.

I denne oppgaven skal vi bruke et enkelt verktøy som kan være nyttig når vi vil ha rask oversikt over fordelingen av svar i en klasse eller i en større samlet gruppe. Det eneste tekniske kravet her er at hver elev har tilgang til en datamaskin, et nettbrett eller en mobil­ telefon, at de har tilgang til Internett, og at det går an å kople en datamaskin eller et nettbrett fra hver gruppe til en prosjektør (videokanon).

[4,5, 5]

22

Oppgave 3.311 Ved en videregående skole har det vært heldagsprøve i norsk for andre trinn.

Tabellen viser hvor lenge elevene satt med prøven denne dagen.

a) Hvor mange elever deltok på prøven? b) Utvid tabellen med relativ kumulativ frekvens. c) Hvor mange prosent av elevene satt minst 4 timer med prøven? d) Tegn et linjediagram over de kumulative frekvensene og finn medianen grafisk. e) Finn gjennomsnittet. f) Utvid tabellen med intervallbredde og histogramhøyde. g) Tegn et histogram over fordelingen. ↑ 3.8

• Gå sammen i grupper på tre–fire elever.

• Lag et spørsmål med inntil fire svaralternativer som elevene i klassen skal svare på.

Pass på at spørsmålet ikke er provoserende eller støtende for noen av elevene, og at det er i samsvar med retningslinjene i delkapittel 3.9. Diskuter spørsmålet og svaralternativene med læreren før dere gjennomfører undersøkelsen.

• Gå til Sinus-siden for delkapittel 3.9 og hent pdf-dokumentet «Spørreundersøkelse i klassen».

225

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 225

2014-06-03 13:39:21

a) Gjennomfør den praktiske delen av datainnsamlingen slik det er beskrevet i dokumentet «Spørreundersøkelse i klassen». b) Hvilke fordeler og ulemper eller svakheter har en slik type undersøkelse? c) Vurder om en slik gjennomføring tilfredsstiller kravet om anonymitet. d) Framstill resultatet av undersøkelsen fra din gruppe i et søylediagram eller et sektordiagram. ↑ 3.9

Oppgave 3.314 (Eksamen V-2008) Lengdehopp er en gren av friidrett som går ut på å hoppe så langt man kan i et hopp. I konkurranser har man som regel tre hopp, der det beste hoppet teller.

Anna og Petra konkurrerer om å kvalifi­ sere seg til lengdehoppkonkurransen i et friidrettsstevne. De får ti hopp hver, og den beste av dem er kvalifisert til konkurransen.

Her er resultatene (oppgitt i meter) fra kvalifiseringen: Hopp

Anna

Petra

1

5,10

5,44

2

5,45

5,80

3

5,92

5,67

4

4,10

5,74

5

5,23

5,72

6

5,32

5,04

7

5,98

5,74

8

4,91

5,53

9

4,37

5,59

10

5,42

5,83

226 226

a) Finn gjennomsnitt og median for hver av de to jentenes resultater. b) Finn variasjonsbredde og standard­ avvik for hver av de to jentenes resultater. c) Foreta en vurdering av jentenes resultater og det du fant i a) og b), og argumenter for hvem du synes skal bli kvalifisert.

Oppgave 3.315 (Eksamen H-2009) Tabellen nedenfor viser karakterfordel­ ingen på en matematikkeksamen et år.

Karakter

Elever

1

12

2

47

3

49

4

57

5

13

6

3

a) Framstill dataene i tabellen ved hjelp av to ulike diagrammer. b) 1) Hvor mange prosent av elevene fikk karakteren 1?

2) Hva var gjennomsnittskarakteren? Året etter var det 234 elever som hadde eksamen. Gjennomsnittskarakteren dette året var 3,42. c) Hva var gjennomsnittskarakteren der­ som vi ser disse to årene under ett?

Forklar hvordan du kom fram til svaret.

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 226

2014-06-03 13:39:21

Oppgave 3.316 (Eksamen V-2010)

Oppgave 3.318 (Eksamen V-2011) Fartsgrense 50 km/h Fart

Tabellen ovenfor viser hvor mange laks, totalvekten av laksen og gjennom­ snittsvekten for laksen som er fanget i elva Gaula i Sør-Trøndelag de siste ti årene. a) Hvilke tall skal stå i tabellfeltene som er merket 1) og 2)? b) Lag et passende diagram som viser hvor mange laks som er fanget i Gaula per år de siste ti årene. c) Finn gjennomsnittet av og standard­ avviket for totalvekten av laksen fanget i Gaula per år de siste ti årene.

Oppgave 3.317 (Eksamen H-2010) I klasse 1A er det 12 jenter og 12 gutter.

Nedenfor ser du hvor mange timer de bruker på lekser hver uke.

Jentene: 7, 5, 5, 7, 7, 6, 8, 8, 5, 4, 6, 10 Guttene: 2, 5, 6, 7, 9, 6, 4, 9, 12, 2, 13, 3

Bruk ulike sentral- og spredningsmål og gjør rede for hva dette datamaterialet viser om jentenes og guttenes arbeidsvaner i denne klassen.

50

Antall biler

Fartsgrense 80 km/h Fart

80 Antall biler

[45, 50〉

25

[70, 75〉

7

[50, 55〉

26

[75, 80〉

43

[55, 60〉

23

[80, 85〉

17

[60, 65〉

3

[85, 90〉

8

[65, 70〉

2

[90, 95〉

0

[70, 75〉

1

[95, 125〉

5

a) Presenter dataene fra tabellene ovenfor i hvert sitt stolpediagram. b) Hvor mange prosent av bilførerne kjører 10 % eller mer over farts­ grensen i hver av de to kontrollene? c) Finn gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene. d) Hvor mange prosent over farts­ grensen er gjennomsnittsfarten til bilene i hver av de to kontrollene? e) Bruk svarene i a), b), c) og d) til å vurdere om bilførerne kjører mest lovlydig på veistrekningen med fartsgrense 50 km/h eller på vei­ strekningen med fartsgrense 80 km/h.

Oppgave 3.319 (Eksamen H-2011) a) Finn median, gjennomsnitt og standardavvik for tallmengden: 2 5 21 15 17 5 9 19 10 14 7 3 2 11 13 Vi dobler alle tallene i tallmengden og får: 4 10 42 30 34 10 18 38 20 28 14 6 4 22 26 b) Finn median, gjennomsnitt og stan­ dardavvik for denne tallmengden.

Sammenlikn med resultatene fra a) og kommenter.

227

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 227

2014-06-03 13:39:22

Berit får en idé og setter opp tabellen nedenfor.

Oppgave 3.321 (Eksamen V-2012) En dag gjorde klasse 1A et forsøk i naturfagtimen. Seks elever slapp hver sin stålkule fra 1 m høyde og målte tiden det tok før kulen traff bakken.

Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Elev

1

2

3

4

5

6

Tid 0,46 0,45 0,47 0,44 0,52 0,46 (sekunder)

Hun beregner median, gjennomsnitt og standardavvik for hver av tallmengdene og påstår at hun har funnet regler som sier noe om hvordan medianen, gjennomsnittet og standardavviket endrer seg når tallene i en tallmengde dobles, tredobles, firedobles osv. c) Formuler disse reglene, og gi en begrunnelse for at de er riktige.

Oppgave 3.320 (Eksempel 2012) Våren 2012 var klasse 2A og klasse 2B på en skole oppe til eksamen i matema­ tikk. Tabellen nedenfor viser hvordan karakterene fordelte seg i de to klassene.

Karakter

Klasse 2A (Frekvens)

Klasse 2B (Frekvens)

1

2

0

2

2

0

3

3

6

4

5

8

5

4

6

6

4

0

Sum

20

20

a) Bestem gjennomsnittet og standard­ avviket for måleresultatene.

Klassen la merke til at elev nummer 5 målte en større falltid enn de andre.

Mange mente at dette resultatet måtte skyldes målefeil, og at det derfor burde forkastes.

Da ga fysikklærer Strøm dem denne regelen: «Når vi har seks målinger, kan vi forkaste et måleresultat dersom det ligger mer enn 1,4 standardavvik fra gjennomsnittet.» b) Finn ut om måleresultatet til elev nummer 5 kan forkastes dersom vi bruker regelen ovenfor. c) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for de fem andre måleresultatene.

Hvordan har gjennomsnitt og standardavvik endret seg? Virker dette rimelig? Forklar.

a) Lag en grafisk framstilling som viser karakterfordelingen i de to klassene. b) Regn ut gjennomsnittskarakter, mediankarakter og standardavvik for karakterene i hver av de to klassene.

Hva forteller svarene om resultatene i de to klassene?

228 228

Sinus 2P > Sentralmål og spredningsmål

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 228

2014-06-03 13:39:22

Oppgave 3.322 (Eksamen V-2013) Tabellene nedenfor viser resultatene for de åtte beste utøverne på 1500 m skøyter for menn under OL i 1968 og under OL i 2010.

OL 1968 Plass Utøver

Land

Tid (sekunder)

1 Kees Verkerk

Nederland

123,4

2 Ivar Eriksen

Norge

125,0

2 Ard Schenk

Nederland

125,0

4 Magne Thomassen

Norge

125,1

5 Johnny Höglin

Sverige

125,2

5 Bjørn Tveter

Norge

125,2

7 Svein-Erik Stiansen

Norge

125,5

8 Eduard Matusevitsj

Sovjetunionen

126,1

OL 2010 Plass Utøver

Land

Tid (sekunder)

1 Mark Tuitert

Nederland

105,57

2 Shani Davis

USA

105,10

3 Håvard Bøkko

Norge

106,13

4 Ivan Skobrev

Russland

106,42

5 Mo Tae-bum

Korea

106,47

6 Chad Hedrick

USA

106,69

7 Simon Kuipers

Nederland

106,76

8 Mikael Flyind Larsen

Norge

106,77

a) Hvor mange prosent sank vinner­ tiden med fra 1968 til 2010? b) Bestem gjennomsnittstiden for de åtte beste i 1968 og for de åtte beste i 2010. c) Bestem standardavviket for de to tallmaterialene.

Hvorfor er standardavviket større i 1968 enn i 2010?

229

08 Sinus 2P kap3 oppgavedel.indd 229

2014-06-03 13:39:22