QED5–10: Tallogtallteori
OlavGravirImenes,TrudeSundtjønn,ReinertA.Rinvold, KristinRanChoiHinnaogTrondStølenGustavsen
QED5–10: Tallogtallteori
Matematikkforgrunnskolelærerutdanningen
©CAPPELENDAMMAS,Oslo,2025
ISBN978-82-02-80587-6
1.utgave,1.opplag2025
Materialetidennepublikasjoneneromfattetavåndsverklovensbestemmelser. UtensærskiltavtalemedCappelenDammASerenhvereksemplarfremstillingog tilgjengeliggjøringbaretillattidenutstrekningdeterhjemletilovellertillattgjennom avtalemedKopinor,interesseorganforrettighetshaveretilåndsverk.Enhverbrukav heleellerdeleravutgivelsensominputellersomtreningskorpusigenerativemodeller somkanskapetekst,bilder,film,lydellerannetinnholdoguttrykk,erikketillattuten særskiltavtalemedrettighetshaverne.
Brukavutgivelsensmaterialeistridmedlovelleravtalekanføretilinndragning, erstatningsansvarogstraffiformavbøterellerfengsel.
Omslagsdesign:MerkurGrafiskAS
Sats:MerkurGrafiskAS(VegardBrekke)
Trykkoginnbinding:LivoniaPrint,SIA,Latvia2025
PapiretiCappelenDammsbøkererhentetfrabærekraftigskogsvirke.Ingenavforlagets produkterbidrartilavskogingellerforringelseavskog.CappelenDammarbeiderforå reduseremiljøbelastningenfravårebøkersåmyesommulig.
LesmeromCappelenDammsmiljøarbeidvedåscanneQR-koden:
www.cda.no
akademisk@cappelendamm.no
Forord
DaQED5–10førstbleutgitti2012,vardetmedambisjonenomåtilby lærerutdanningenethelhetligogfagligsolidverkimatematikk.Sidenden gangharbådesamfunnet,skolenoglærerutdanningenværtikontinuerlig utvikling.Nyerammeplaner,endringeriskolenogfagligeimpulserhar aktualisertbehovetforenrevisjon–ogdadettearbeidettoktil,vokste ideenframomåomstrukturereverketifiretematiskebøker.Nåhardenne ideenblitttilvirkelighet,ogvihargledenavåpresenteredenførsteboka idennyeserien: QED5–10:Tallogtallteori
Serienviletterhvertbeståavfølgendebøker:
QED5–10:Tallogtallteori
QED5–10:Algebraogfunksjoner
QED5–10:Geometriogmåling
QED5–10:Statistikkogsannsynlighet
Tilrevisjonsarbeidetharvifåttmedflerenyeforfattereforåstyrkeog utvidedensamledekompetansen.Selvommangeavdeopprinnelige styrkeneogperspektiveneervidereført,erbøkeneistorgradnyskrevne ogtilpassetdagensbehoviskolenoglærerutdanningen.Programmering imatematikkharfåttentydeligereplass,ogdeterlagtinneksempler ogoppgaversomviserhvordandettekanintegreresiundervisningen.
Etsærtrekkved QED5–10 harværtkombinasjonenavfagliggrundighet ogdidaktiskrefleksjon.Idenyebøkeneerdettevidereførtogutviklet: Matematikkfagligebegreperoginnsikterbelysesilysavundervisningskunnskapogeleverslæring.Vimeneratdypfagforståelseoggoddidaktikk hengertettsammen,oghåperatbøkenevilbidratilårusteframtidige lærereforetlæreriktogmeningsfulltmøtemedmatematikkundervisningen.
QED5–10:Tallogtallteori erskrevetavOlavGravirImenes,Trude Sundtjønn,ReinertA.Rinvold,KristinRanChoiHinnaogTrondStølen Gustavsen.RedaktørenevilretteenstortakktilOlavogReinertforderes fagligestyrkeoggrundigearbeid.Detharværtavgjørendeforbokas fagligekvalitet.
RedaksjonsgruppaønskeråtakkeseniorredaktørBjørnOlavAasHansen, somharfulgtseriengjennommangeårmedbådetroogdrivkraft,ogsom harværtenavgjørendestøtteirevisjonsprosessen.TakkogsåtilmanusredaktørBjørgTorhildJohnsenforstødigogstrukturertoppfølging, tilspråkkonsulentSivRekveforgrundigogspråkligtrygggjennomgang ogtilVegardBrekkefordengrafiskeutformingen.Vivilogsåretteen takktilfagkonsulenter,kollegaeroglesereavdeopprinneligebøkene–ogikkeminststudentene–somhargittinnspillogtilbakemeldingersom harbidratttilåformedennenyeutgaven.
Redaksjonsgruppa,Kristiansand,DrammenogOslo
KristinRanChoiHinna,TrondStølenGustavsenogTrudeSundtjønn(red.)
1.4.4Visualiseringogkonkretisering.......................
Innledning
Igrunnskolelærerutdanningenrettetmotundervisningpå5.–10.trinnkan duvelgehvilkeskolefagduønskeråutdannedegi.Nårdunåholder dennebokaihånda,harduvalgtåhamatematikksomettavfagene,noe viergladefor.Matematikkbrukesoveraltisamfunnetogernødvendigfor åforståverdenrundtoss,forådeltaidemokratiet,foråopprettholdeet moderneteknologisksamfunn,iingeniørfag,økonomi,forskning,offentlig forvaltningogforåforståinformasjonimedia.Matematikkerogsået kunstfaghvormanmøteroverraskendesammenhenger,eleganteløsninger ognydeligemønstre.Deterenviktigdelavallmenndannelsenåha kunnskapimatematikk.Detteergrunnenetilatmatematikkeretavde mestsentraleskolefagene.Somlærerskalduværeenbrobyggermellom elevensverden,matematikkfagetogsamfunnetsbehovformatematisk kompetanse.Elevenetrengeråseatskolefagethengersammenmedden virkeligheteneleveneopplever,ogatmatematikkernyttigbådeiarbeidslivetogforåfungeregodtisamfunnet.
Godeogdyktigematematikklærereertilinspirasjonforelevene.Deter viktigatdusommatematikklærerergladifagetogharengodfaglig ballast.Mange,bådevoksneogbarn,giruttrykkforatmatematikkeret fagsomvekkermangefølelser.Berdudemfortellehvadetenkerpånårde hørerordetmatematikk,erdetpåfallendemangenegativtladedeordsom blirnevnt.Ordsomvanskelig,komplisert,kjedelig,frustrerende,avanserte tegn,abstraktogpuggingernoenordsomgårigjen.Deterikkeslikeord viønskeratelevenevåreskalassosierematematikkmed.Viønskeratdu ogelevenedineskaltenkepåordsomspennende,kreativt,givende, interessant,lekogfantasi,mønster,forståelse,vakregeometriskeformer, læreriktogviktig.
Foråforstådagensmatematikkfagiskolenerdetnyttigåvitelittom denhistoriskeutviklingen.Navnetpåfagetharikkealltidværtsomnå.
INormalplanenav1939(N39),hetdetrekning.Fagethaddetomål:Ett innenfortallogettinnenforgeometri(formerogstørrelser).Deandre skolefagenevarkristendomskunnskap,norsk,heimstadlære,geografi, naturfag,skriving,tegning,sang,handarbeid,kroppsøvingogengelsk. Ilæreplanenforforsøkmed9-årigskolefra1960blerekningerstattetmed matematikk,menførstfor7.–9.klasse.Etterdenneplanenskalelevene i1.–4.klasseharekning,mensfra5.klasseerfagetdeltinnitohovedemner:«Rekningogalgebra»og«Geometriogromlære».Idesenereår hardetblittutvikletteorieromkompetanseområderiskolefagetmatematikk somharfåttvesentliginnflytelsepålæreplanerogmatematikkfaget iskolen.Dissekompetanseområdenegjenspeilerenvidoppfatningav hvamatematikker.
Denviktigstedelenavmatematikkeneråsesammenhengerogvise hvorfordissesammenhengeneerslikdeer.Viderebrukesmatematikktil åmodellereverden,såkaltanvendtmatematikk.Detteharidesenere årenekommetmerinniskolen.Mensmatematikksomskolefagtidligere blesettpåsometfagmedspesifikkemetodermanskullelære,ernåbevis ogargumentasjon,modelleringoganvendelserkommetmyesterkereinn. Noenyttsomharkommetinnmeddensistelæreplanenigrunnskolen,er algoritmisktenkningogprogrammering.Viharderfortattmedendel smådataprogrammerdervitenkerdetkanværerelevant.
DennebokaiQED-serienhandleromtallogtallteori.Detmestgrunnleggendeerhvordantallsystemetvårterbygdopp,ogdefireregneartene. Viarbeidermedhvordanelevenelæreromtallene,hvordanmankanlære omdeulikeregneartene,oghvadusomlærerkangjøreforåprøveå gieleveneengodtallforståelseogstrategirikdomforåkunneløseulike matematiskeproblemer.Detsesogsånærmerepårasjonaletall:brøk, desimaltallogprosent.Underveisibokaprøverviåviseframulikemåter dukanundervisefagstoffetpå,ogknyttematematikkenoppmotdinrolle somlæreriskolen.
Bokafortsettersåmedeninnføringitallteori,somerdendelenav matematikkenderviundersøkerrelasjonermellomheletallog klassifisererdempåulikemåter.Isinsnevresteformertallteorilærenom denaturligetallene,nemligdehelepositivetallene1,2,3,4 ,menden utvidesoftetilåomhandlealledeheletallene,hvilketbetyratviogså inkluderer0ogdenegativeheletallene.Hererbegrepersomoddetall, partall,primtall,delelighetogfaktoriseringsværtsentrale.Oppdelingen ioddetallogpartallkangeneraliseres,ogvifårdetvikallerforkongruensregning,derviistedetforådeleoppitoklasser(oddetallogpartall),kan deleoppiflereklasser.Detteerbakgrunnenformodernekodeteori,sådet ermangeoverraskendehemmelighetertallenekanskjule.
Itallteoriharvimulighetentilåbyggeoppetemnefragrunnleggende forutsetningerogbevisehvertsteg.Dermedfårvivisthvordanenkan byggeoppetemnevedhjelpavlogiskgyldigeslutninger.Itallteoriharvi noensværtenklegrunnreglersomdeflesteelevenekanforstå,ogdissekan dabrukestilåoppdagemeravansertmatematikk.Mangeeleverharen megetgodintuisjonomhvasomkangjøresitallteori,medandreord finnerdesanneresultaterutennødvendigvisåkunneforklarepåen skikkeligmåtehvorfordeerriktige.Menoftegårdetgalt,ogforåfået trygtgrunnlagfordenmatematiskekunnskapenholderdetikkemed intuisjon.Foråveiledeelevererdetviktigmedetmegetgodtgrunnlag ibevisføringinnenfortallteori.
Viprøveråværegrundigeialledefinisjoner,slikatbokaitilleggtilå væreenlærebok,kanfungeresometoppslagsverkforspørsmåldukanskje haromgrunnleggendematematikk.Viprøverådrøftedeflestebegreper, menhvisduikkeforstårdrøftingen,kanduprøveågåretttilden matematiskeformuleringen.Nårduharsettdenmatematiskeformuleringen,ogetpareksempler,kandugåtilbaketildrøftingenogseomden någirmermening.Oftevilduoppdageatdetegentligerdrøftingensom forklarerbegrepet,ogikkeminstmotivasjonenforåinnføredet.Men presiseringeneskjergjennomdefinisjoner.Hvisviserpåalledefinisjonene ietkapittelførst,harvidetgrunnleggendeordforrådetidetmatematiske språket.Deterførstetteratvihardettegrunnlagetatdetgirmeningåse påteoremeneogeksemplene.
Medengodfagligforankringerdetlettereåimprovisere,følgeopp elevenesresonnementerogkunnetilretteleggeforalleeleveneiklassen. Somlærermåduhafagliginnsiktforåkunnegieleverpassendeutfordringerslikatdeopplevermestring,samtidigsomdestrekkersegmot nykunnskap.Detteerenbokommatematikkogmatematikklæring skrevetforåhjelpedegtilåbliengodlærerifaget.Duvilnaturlignok finnemyematematikkiboka,menvinklingenerheletidenpregetavdet yrketduutdannerdegtil.Myefagstoffvildugjenkjenne,menkanskjeer detuvantatsåmyeoppmerksomhetrettesmotforståelseavfaget.
OppbyggingavQED5–10
Foråfåenfullstendigoversiktoverogforståelseformatematikkfagetmå dukunneflereemnerinnenmatematikk,f.eks.geometriogmåling, algebraogfunksjonerogstatistikkogsannsynlighet.Dissematematiske emnenevilvitaoppiegnebøker,ogtilsammenvildeutgjørehele QED5–10.Foråoppnålæringsutbyttenenedfeltinasjonaleretningslinjer forgrunnskolelærerutdanningtrinn5–10vilmanmåttestøttesegpåalle defirebøkeneiQEDtrinn5–10.Noeavfagstoffetibøkenevilgideg kunnskap,ferdigheteroggenerellkompetansesomermåleneformate-
matikk1,mensfordypningavlærestoffvilgidegkunnskap,ferdigheter oggenerellkompetansesomermålformatematikk2.Uansetthvilkeav bøkene(tallogtallteori,geometriogmåling,algebraogfunksjonerog statistikkogsannsynlighet)dujobbermed,skaldukunnegjenkjennevårt ønskeforbøkene:etfokuspåhvordanelevenelærermatematikk,hvordan mankanlæreomdeuliketilnærmingerogløsningsmetoder,oghvadu somlærerkangjøreforåprøveågieleveneengodmatematikkforståelse ogstrategirikdomforåkunneløseulikematematiskeproblemer.Ideulike bøkenevilviprøveåvisefremulikemåterdukanundervisefagstoffetpå, ogknyttematematikkenoppmotdinrollesomlæreriskolen.
Sammenhengoghelhet
Dennebokaskalikkelesessomenromanfraførstetilsisteside.Vedførste gangslesningerdetnaturligåhoppeoverdeflestekryssreferanseneog kanskjenoenavbevisene,menetterhvertsomdukommerlengerut istudiet,kandustyrkeforståelsendinvedåslåoppstadigflereavdem. Enkeltetemagårigjenmangesteder,blantannetbrukavprogrammering ogdigitaleverktøy.Underveisibokatasdigitaleverktøyoppderdet naturliginngåridetmatematiskefagstoffetoglæringenavdet.Bakerstiboka finnesdetsymbolforklaringer(side495)ogstikkordregister(side501).
Forklaringer
Detbrukesmyeplasstilforklaringeriformavtekst,bilderogfigurer. Selvsagtvisesdethvordanutregningerskalforetas,oghvilkenbetydning ulikesymbolerhar,menlangtmerenndettemåforklares.Matematikk beståraveirekkeideerogtenkemåtersomikkekanformidlesbareved åskrivenedmatematiskesymboler.Itilleggharmatematikkeneirekke begreper,somforeksempelprimtallogkvadrat.Allematematiskebegreper harendefinisjon,mendetrengerogsåenforklaringitilleggtildefinisjonen. Historiskeeksemplereretavbokasvirkemidlerforåformidleideersom duikkeselvutenviderekansefraenformellframstillingavmatematikken. Itilleggtilmatematikkensideerforklarervihvordandukanleggetilrette foreleverslæringavdefagligeemnene.
Eksempel
Eksemplerkanviseulikeframgangsmåterogmåteråtenkepå.Ofteer eksemplerutgangspunktetforbokasforklaringavideer.Detteblirgjerne markertmed«Diskusjon».IlæreplanenLK20erprogrammeringtattmed imatematikkfaget.Derhvorvitenkeratetdataprogramkanøkeforståelsenformatematikkensomomtales,harvitattmedprogrammeringskode. Dubøralltidprøveåforståbådedetprogrammeringstekniskeogdet matematiskeinnholdetidissekodene.
Definisjon
Definisjonerklargjørdenformellebetydningenavmatematiskeeller pedagogiskebegreperogmatematiskesymboler.Viviloftedrøfte definisjonenogtrekkerdaitilleggframintuisjonogideersomer nødvendigeforåbrukeogforstådefinisjonen.
Setningerogaksiomer
Ensetningerengenerellsannmatematiskpåstand.Ensetningsomer spesieltviktig,kallesetteorem,mensenhjelpesetningkallesetlemma. Aksiomererubevisbaregrunnprinsippersomsetningerkanutledesfra. Etterfølgerprinsippetereteksempelpåetaksiom.Definisjoner,teoremer, setningerogaksiomererskiltutmedrammer.
Oppgaver
Oppgaverkommerpåsluttenavdelkapitler.Detbetyrikkenødvendigvis atduskallesealltekstenietdelkapittelførduarbeidermedoppgaver. Noenfåstederbervidegiselvetekstenåtenkeovernoe førdufortsetter, mendubørhaenreflekterendetilnærmingheletiden.Læringavmatematikkskjergjennomenvekslingmellomulikearbeidsformer,derlesning avbokastekstogarbeidmedoppgaverertoavdem.Endeloppgaverøver påteknikkerogløsningsmetoder,mendetermangeoppgaverderdualene ellersammenmedandrestudenterblirbedtomåreflektereover,åforklareellerålageegneeksempler,oppgaverellerundervisningsopplegg. Dusomstudenteretskapendeindividimøtetmedsamfunnogkultur. Duskalbådelæredegteknikkerogmetodersominngåridenmatematiske ogpedagogiskekulturen,ogselvaktivtgjørekunnskapentildinegen oganvendedenpånyesituasjoner.Oppgavererengodmåteålæreseg nyttstoffpå.
Progresjongjennomboka
Skjemaetviserhvilkekapitlersomfagligsettbyggerpåhverandreslikat underviserellerleserenkanvelgehvasomskalvektlegges.Foråforstået kapittelbørmanhaarbeidetmedkapitlenesompilenekommerfra.
Fraboka Denlilleprinsen harvihentetdetteavsnittetomtall: Devoksneelskertall.Hvisdufortellerdemomennyvenn,spørdealdriom vesentligeting.Despøraldri:«Hvordanvarstemmenhans?Hvaerdethanhelst lekermed?Samlerhanpåsommerfugler?»Nei,despør:«Hvorgammelerhan? Hvormangesøskenharhan?Hvormegetveierhan?Hvormegettjenerhansfar?» Ogførstdatrordeatdekjennerhan.Dersomdusiertilenvoksen:«Jegharsettet nydeligrødtsteinhusmedgeranierivinduetogduerpåtaket»,såkandeslettikke tenkeseghvordandetserut.Duskalsi:«Jegharsettethustilhundretusenfranc.» Ogdavilderope:«Å,sånydeligdeter!»
Saint-Exupéry(1998)
Førdufortsetter: Bruknoenminuttertilåskrivenedlittavdetduvetom tall,oglagettankekartoverbegreperknyttettiltall.
1.1Hvaertall?
Selvomtallernoedumøterihverdagenogharkjenttilistoredeleravlivet, erdetlikevelikkeheltenkeltåforklarehvataller.Dumøtertalliskolens matematikktimer,ogogsåiandrefagogutenomskolen.Mangeeleverhar dessverrevanskermedåsesammenhengenmellommatematikktimenes talloghverdagstallene.Detteersynd,fordamisterdebådegledenved åanvendematematikkogrikekildertilforståelseavfaget.Viskalse hvordanelevenekanmøtetalleneiskjæringspunktetmellomsinegen virkelighet,skolensmatematikkfagogkulturenrundtoss.
Tallharulikefunksjoneraltetterhvilkensammenhengellerkontekst deopptreri.Tellingerkanskjedetførsteduforbindermedtall.Svært mangetingkantelles,foreksempelbøkeneietbibliotek.Detsomtelles, erknyttettilspørsmålet«hvormange?».Temperaturoppgisogsåvedhjelp avtall,mentemperaturermåles.Detellesikke.Spørsmåletsomsvarertil måling,er«hvormye?».Postnummeruttrykkesogsåvedtall.Deteret systeminnførtavPostenforatbreveffektivtskalkommeditdeskal. Foreksempelharstedernærhverandreganskelikepostnummer.Vifinner imidlertidikkefremtiletstedspostnummerverkenvedåtelleellervedå måle.Allenorskestatsborgereharogsåsittegettallmedellevesifre,nemlig personnummeret.Dettenummeretbegynnermedpersonensfødselsdato, sliketallkallestallforidentifikasjon.Isitatetfra Denlilleprinsen bruker forfatterentallsomantall,foreksempel«hvormangesøsken?».Spørsmålet «hvormegetveierhan?»dreiersegderimotommåltetall.Detsommåles, kallesofte mengde.Brukervisammeslagstallforståelsenårviteller,måler ogregner?
Etinteressantfilosofiskspørsmåleromtalleroppdagetelleroppfunnet. Deterikkesikkertduhartenktgjennomdette,menspørsmåletkanvære etflottutgangspunktforåsamtalemedeleveromhvataller.Deteren vanskeligproblemstillingsomneppeharetentydigsvar.Hvabetyrdetså atettalleroppdagetelleroppfunnet?Kanvisiatforholdstalletmellom omkretsogdiameter, π,eroppdagetelleroppfunnet?Ertallet3oppdaget elleroppfunnet?Samlingeravtreobjekterfinnesutentviliverdenrundt oss,foreksempelslikdetervisttilvenstreimargen.
Kanskjeharvioppfunnettallsymbolet15ogdetabstraktebegrepet «femten»,menoppdagetkonkretesamlingeravfemtenobjekter?Imatematikkenkallervisamlingeravobjektermedsammetypefor mengder, sedefinisjon1.Nårordetbrukesientall,mengde,kandetsammenblandes medstørrelsersommåles.Somnevntovenforkallesdetogsåformengde. MengdenavvanniMjøsabetyrhvormyevanndeteridenneinnsjøen. Vannmolekylerkankanskjeiprinsippettelles,men«hvormye?»erdet naturligespørsmåletåstilleogsåidettilfellet.
Figur1
Definisjon1
Talleneharogsåideologiskellerfilosofiskbetydninginnenfornoen kulturer.Mestkjenterkanskjefilosofientildegresketallmystikerne,kjent sompytagoreerne.Fordemvaraltknyttettildetsomkantelles.Tallfor demvardetsomkantelles,ellersomeretforholdmellomtall.De godkjentealtsåpositiveheletallogbrøkerhvortellerognevnererpositive heletall.Enavderesegneoppdagetimidlertidatdetfinnessåkalte irrasjonaletall,tallsomikkevarblant«degodkjente».
Kvadratrotaav2,skrevet 2p ,erlengdenavdenlengstesidenien rettvinkletoglikebeinttrekanthvorlengdenetildetolikelangesideneer énlengdeenhet.Viskalseikapittel6.5,setning23påside370,at 2p er etirrasjonalttall,dvs.ettallsomikkekanskrivessomenbrøkelleret forholdmellomheletall.Enlegendesieratoppdagelsenavirrasjonaletall fikkkatastrofalefølgerforoppdageren,somvisstnokfikkenmøllestein rundthalsenogblekastetiMiddelhavet.
Igreskfilosofierdetikkebarepytagoreernesomerkjentforåhavært opptattavtall.Platonmenteattalleneeruniversetsharmoni,ogAristoteles hevdetatalletingsopprinnelseogsubstanseritallene.Detsammefinner viigjenihinduismen.KirkefaderAugustinerogsåkjentforåværeen avhistoriensstorefilosofer.Hanknyttetuniversetsoppbyggingtilsitt platoniskesyn,dertallertilførskapelsen.
Mengde(samlingavobjekter)
Enmengdeerensamlingavobjekter.Objektenekalleselementer.
Mengdenbeskrivesentenvedålisteoppalleelementene,ellervedå fortellehvilkekravsommåoppfyllesforåværeetelementimengden. Hvismengdenharetendeligantallelementer,erkardinalitetentilmengden antalletelementer.Idennebokavilvisepåmengderderobjektene (elementene)eravsammetype1.Mengdeteoriervanskelig,forvikommer lettoppiparadokser2,menidennebokaskalviholdedetenkelt.
1 BertrandRussell(1872–1970)innførtetypeteoriensominnebæreratalleelementerien mengdeharsammetype.Ideeneridagmestkjentiforbindelsemeddatatyperknyttettil programmering.Denmatematikkdidaktiskebegrunnelsenforåholdesegtiléntype objekterimengdererågjøretellingmeningsfull,ogatmengderskalværelettåoppfatte forbarn.Hensiktenbakåtellenoegiropphavtilendatatype,oghensiktenkreveret begrep.Eteksempelerbegrepet«kjøkkenredskap»somkanmotiveretellingavmengder sombeståravkniver,gafler,skjeerosv.
2 Eteksempelpåetparadokser:Antaatelementenetilenmengdeerdefinertsomalle mengdersomikkeharsegselvsomelement.DettekallesRussellsparadoks.
Figur2
Eksempel1
Definisjon2
Eksemplerpåulikemengder
Noeneksemplerpåulikemengderer:
� allerødebilerpåparkeringsplassenutenforskolen
� allenaturligetall
� allepartall
� eleveneiklassen
� klassenepåskolendin &
Idetsistnevntetilfelletkanmanleggemerketilatelementeneimengden selvermengder,enklasseerenmengdeavelever.
Flereforutsetningermåværeoppfyltforatnoekantelles.Enavdisseer atdetsomtelles,måkunneseessomeksemplerpåsammetypeting.
Kronestykkererutentvilsammetypeting.Figurenviserfireslike. Nedenforserdufiremynter:
Objekteneifigur4eravsammetype,fordeerallemynter.Likevelerdet langtmindrenaturligåtelledissemynteneenndefirekronestykkene. Kanskjebaremyntsamlerevilletellefireforskjelligemynttyper.
Naturligetall
Naturligetall, N,erdetsammesomdepositiveheletall,altsåde tallenevikanbruketilåtelleelementeneimengder. N0 erdehele positivetallog0.
Vivilvidereidettekapittelet,medettunntak,holdeosstildenaturlige tallene.Talletnullerspesieltogbleikkeakseptertførlengeetterdepositive heletallene.Vikannemligikketelleingenting.Nullerlikevelnyttigsom størrelsenpåentommengde.Istedetforåsi«ingenmynter»,kanvisi 0mynter.Lengeførtallet0blegodtatt,ble0tattibruksomen plassholder, detvilsisomsiffer,sekapittel1.2.4.Itallet20er0enplassholdersom betyratdeteringenenere.Førstnårvigodtar0sometsvarpåregnestykkeravtypen 17 17 ¼ 0,kanvikalle0ettall.Ogsåibarnslæringav
Figur3
Figur4