Sinus 2P-Y MATEMATIKK STUDIEFORBEREDENDE VG3 BOKMÅL Gustafsson | Osnes | Oldervoll | Svorstøl
© Cappelen Damm AS, Oslo 2022 Sinus 2P-Y følger læreplan (LK20) i matematikk fellesfag 2P-Y fra 2020 for vg3 påbygging til generell Materialetstudiekompetanse.idenne
Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktører: Bjørn-Terje Smestad og Sigurd Torp Nordby Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Utgave nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN sinus.cdu.nowww.cdu.no978-82-02-74072-6
Foto og Omslagsfoto:grafikk: Unsplash/Victor Garcia Side 6: AdobeStock/phpetrunina14, Side 10: GettyImages/nadia_bormotova, side 15: GettyImages/ TopVectors, side 16: GettyImages/Jenny On the Moon, side 17: GettyImages/IconicBestiary, side 21: GettyImages/Angela Kostell, side 22: GettyImages/baramee2554, side 23: GettyImages/PrettyVectors, side 25: GettyImages/nadia_bormotova, side 28: GettyImages/Irina_Strelnikova, side 30: GettyImages/ nadia_bormotova, side 33: GettyImages/pedrojperez, side 34: GettyImages/warrengoldswain, side 35: GettyImages/Hanna Siamashka, side 36: AdobeStock/Comel, side 59: GettyImages/matejmo, side 62: AdobeStock/besjunior, side 65: GettyImages/Veronika Karpenko, side 67: GettyImages/Medesulda, side 78: GettyImages/TopVectors, side 81: GettyImages/Vect0r0vich, side 83: GettyImages/Irina_ Strelnikova, side 86: GettyImages/sorbetto, side 88: GettyImages/Natalia Zimicheva, side 91: GettyImages/ferrantraite, Side 94: AdobeStock/Andrey Popov, side 110: GettyImages/elenabs, side 141: GettyImages/ThitareeSarmkasat, Side 144: AdobeStock/salajean, side 154: GettyImages/Aleksandr Kharitonov, side 165: GettyImages/piloL39, side 176: Aurora Gustafsson, side 181: GettyImages/ bluebearry, side 182: GettyImages/PCH-Vector, side 185: Wikimedia/Michelangelo (falt i det fri), Side 188: GettyImages/Tanawat Thipmontha, side 196: GettyImages/sabelskaya, side 204: GettyImages/ elenabs, side 221: GettyImages/Godruma, GettyImages/Alfadanz, GettyImages/PCH-Vector, side 240: AdobeStock/araho, side 256, 257, 267, 288, 316: GettyImages/Sudowoodo, side 262: Wolfgang Rattay/ Reuters/NTB, side 263: GettyImages/traveler1116, GettyImages/Tetiana Garkusha, side 264: GettyImages/ GaborBalla, side 269: GettyImages/35mmf2, side 275: GettyImages/LaserLens, side 278: GettyImages/ Chimpinski, side 279: GettyImages/AnatolyM, side 280: GettyImages/technotr, side 281: GettyImages/ monkeybusinessimages, side 285: GettyImages/rubynurbaidi, GettyImages/Denira777, side 336: Lucas Ninno, side 361: GettyImages/drogatnev Bildene er manipulerte.
publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Dette er en TROY®-innbundet bok. En TROY®-innbundet bok har forsterket omslag. Tester viser at denne innbindingen tåler vesentlig hardere bruk over tid sammenliknet med bøker uten denne forsterkningen. TROY® er et registrert varemerke og er patentert av Cappelen Damm AS.
Einar Gustafsson – Egil Reidar Osnes – Tore Oldervoll – Otto Svorstøl s
3
I andre oppgaver får elevene lære ny og spennende matematikk. Alle kapitlene blir avsluttet med et oppgavesett som er egnet til repetisjon av kapitlet. I boka er det i tillegg en oppgavedel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Den første delen heter «Øv mer». Her er oppgavene ordnet etter delkapitlene i teoridelen. Den andre delen heter «Blandede oppgaver». Her er det oppgaver som skal løses både uten og med digitale hjelpemidler. Noen ganger står det i oppgaven om elevene skal bruke hjelpemidler eller ikke. I andre oppgaver står eleven fritt til å velge metode. I denne delen er det lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven kan løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Den tredje delen heter «Åpne oppgaver». Her er det åpne og utforskende oppgaver som kan være mer krevende enn dem i «Blandede oppgaver». Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister.
Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2020. Læreboka Sinus 2P-Y er skrevet for fellesfaget matematikk 2P-Y for påbygging til generell studiekompetanse. Boka legger vekt på praktisk og relevant matematikk, og elevene får god trening i å løse oppgaver både med og uten bruk av digitale hjelpemidler. Sinus 2P-Y gir opplæring i bruk av programmene Excel og GeoGebra, samt programmeringsspråket Python. I tråd med fagfornyelsen legger boka spesielt vekt på utforskende matematikk for at elevene skal forstå lærestoffet bedre. Når elevene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der elevene selv skal finne fram til sammenhenger og egenskaper før det blir behandlet i boka. Teorien er likevel skrevet slik at det er mulig å lese den uten å gjøre de utforskende oppleggene.
Utforskoppleggene er best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres individuelt. I teoridelen er det flere diskusjonsoppgaver der elevene får trening i å kommunisere matematikk gjennom å drøfte matematiske problemer, strategier og løsninger. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder fra kapitlet. Der finner vi også en større prosjektoppgave. I noen av disse prosjektoppgavene får elevene anvende stoffet i kapitlet innenfor andre fagfelt.
Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her er det løsningsforslag, interaktive oppgaver og andre relevante tilleggsressurser for elever og lærere. Alle Python-programmene som brukes i boka, enten i eksempler eller oppgaver, ligger tilgjengelig og kan kjøres direkte på nettstedet. Dette håper vi vil gjøre terskelen lavere for å komme i gang med programmering. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.
4s 1InnholdProsent 6 1.1 Prosent og prosentdel ...................................................... 8 1.2 Finne prosenten og det hele 10 1.3 Prosentpoeng ................................................................ 14 1.4 Vekstfaktor 17 1.5 Prosentvis endring .......................................................... 21 1.6 Prosentvis endring i flere perioder 27 Sammendrag 31 Prosjektoppgave: Sparing i bank og aksjefond .......................... 32 Repetisjonsoppgaver ....................................................... 34 2 Potenser og røtter ......................................................... 36 2.1 Potenser 39 2.2 Potensene a0 og a n .......................................................... 41 2.3 Flere regneregler for potenser 44 2.4 Tall på standardform ....................................................... 46 2.5 Kvadratrøtter 50 2.6 Røtter av høyere orden 53 Sammendrag 57 Prosjektoppgave: Digital informasjon 58 Repetisjonsoppgaver 60 3 Variable størrelser 62 3.1 Variabler ...................................................................... 64 3.2 Formelregning 68 3.3 Variabler og figurer ......................................................... 75 3.4 Proporsjonale størrelser 79 3.5 Omvendt proporsjonale størrelser 85 Sammendrag 89 Prosjektoppgave: Matematisk jakt på romvesener 90 Repetisjonsoppgaver 92 4 Statistikk 94 4.1 Søyle-, sektor- og linjediagram ........................................... 96 4.2 Lage digitale diagrammer 101 4.3 Gjennomsnitt og typetall .................................................. 106 4.4 Median 110 4.5 Median i frekvenstabell 114 4.6 Variasjonsbredde og standardavvik 117 4.7 Vurdering av sentralmål og spredningsmål 123 4.8 Gruppert materiale 126 4.9 Sentralmål i gruppert materiale 134 Sammendrag 139 Prosjektoppgave: Spørreundersøkelse 140 Repetisjonsoppgaver 142
5 s 5 Lineære funksjoner ....................................................... 144 5.1 Rette linjer 146 5.2 Digital graftegning 151 5.3 Å finne likningen til ei rett linje 155 5.4 Grafisk avlesing 162 5.5 Lineære funksjoner 166 5.6 Lineær vekst 171 5.7 Lineær regresjon 178 Sammendrag ................................................................. 183 Prosjektoppgave: Armlengde og det gylne snitt ........................ 184 Repetisjonsoppgaver ....................................................... 186 6 Matematiske modeller 188 6.1 Andregradsfunksjoner 190 6.2 Polynomfunksjoner 197 6.3 Polynomregresjon 200 6.4 Eksponentialfunksjoner 205 6.5 Eksponentialregresjon 209 6.6 Potensfunksjoner og potensregresjon 216 6.7 Kjennetegn ved funksjoner ................................................ 223 6.8 Gjennomsnittlig vekstfart 228 6.9 Momentan vekstfart ........................................................ 233 Sammendrag ................................................................. 235 Prosjektoppgave: Månemodellering ...................................... 236 Repetisjonsoppgaver 238 Oppgaver 240 1 Prosent ....................................................................... 241 2 Potenser og røtter 258 3 Variable størrelser ......................................................... 268 4 Statistikk 290 5 Lineære funksjoner 320 6 Matematiske modeller 337 Fasit teoridel ........................................................................... 362 Fasit oppgavedel 370 Stikkord ................................................................................. 386
PROSENT Mål for opplæringen er at eleven skal kunne •forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjoner med digitale verktøy
1.1
c) Hva må vi dele med for å finne 10 % av noe? Finn 10 % av 250 kr. 250 kr 10 %
UTFORSK PROSENT Prosent betyr hundredel. Det betyr at 1 % er det samme som én hundredel av noe. Vi finner 1 % av et tall ved å dele tallet på 100.
d) Finn 20 % av 250 kr. Beskriv hvordan du går fram.
b) Hva må vi dele med for å finne 25 % av noe? Finn 25 % av 600 kr. 600 kr 25 %
7 s
b) Bruk svarene i oppgave a til å finne 75 % og 15 % av 320 kr.
a) Bruk metodene i steg 2 til å finne 50 %, 25 % og 10 % av 320 kr.
STEG 3
a) Hva må vi dele med for å finne 50 % av noe? Finn 50 % av 400 kr. 400 kr 50 %
a) Finn 1 % av 350 kr. Bruk det til å finne 4 % av 350 kr.
STEG 1 Vi kan bruke veien om 1 når vi vil finne p % av noe.
STEG 4 Finn 1 %, 7 % og 14 % av 800 kr uten hjelpemidler. Forklar hvordan du går fram.
PROSENT OG PROSENTDEL
c) Formuler med egne ord hvordan du kan gå veien om 1for å finne hvor mye en bestemt prosent utgjør av et tall. Hva er styrkene og svakhetene til metoden?
b) Hvorfor heter metoden veien om 1?
STEG 2 I steg 1 gikk du veien om 1 % for å finne 4 %. Nå skal vi bruke noen andre metoder.
8 1 | PROSENTs EKSEMPELLØSNING 1.1 Prosent og prosentdel I Utforsk prosent repeterte vi at 1 % er det samme som én hundredel av noe. Derfor er 15 % det samme som 15 hundredeler: 15 %,15100015 Å finne halvparten av noe er det samme som å finne 50 % av noe. Det kan vi vise slik: 21 250100150 50 50 % Vi gjør om fra desimaltall til prosent ved å gange med 100 %, slik: 0,3 0,30 100 % 30 % a) Skriv 254 og 0,455 som prosent. b) Skriv 37,5 % som desimaltall og brøk. c) Bruk brøken til å finne 37,5 % av 80. a) 254 25444 10016 16 % 0 455100455, %, % b) 375, % = 0,375 375 375100 375125100125 83, % , ,:,:, c) 37,5 % av 80 er 83 80 3808 31030 OPPGAVE 1.10 Skriv som prosent uten bruk av hjelpemidler. a) 10034 b) 203 c) 14 d) 0,4 e) 0,04 f) 81 Når vi skal finne prosentdelen av et tall, kan vi bruke denne regelen: p p% av et talltallet100 ?
91.1 PROSENT OG PROSENTDEL s EKSEMPELLØSNING Hvis vi skal finne 36 % av 3280 med hjelpemidler, kan vi derfor regne slik: 36 av ,%3280 10036 328011808 Slike utregninger kan vi enkelt gjøre på lommeregneren eller i CAS: Regn ut. a) 23 % av 432 kr b) 1,9 % av 3995 kr a) Vi regner slik: 23 % av 432 kr kr, kr10023 4329936 b) Vi regner slik: 1,9 % av 3995 kr , kr, kr10019 39957591 OPPGAVE 1.11 Regn ut. a) 3 % av 1530 kr b) 22,4 % av 9582 kr c) 103 % av 4250 kr d) 0,4 % av 1 000 000 kr OPPGAVE 1.12 a) Maya setter 5500 kr i banken og får 2,35 % rente på ett år. Hvor mange kroner får Maya i rente? b) Truls har 235 000 kr i studielån og betaler 1,579 % i rente per år. Hvor mange kroner må Truls betale i rente dette året? OPPGAVE 1.13 Hvis du skal finne 7 % av 50, får du samme svar om du regner ut 50 % av 7. a) Bruk det du kan om prosent til å forklare hvorfor dette blir riktig. b) Regn ut 7 % av 50 uten hjelpemidler. c) Lag to regneoppgaver som blir lettere å løse ved å bruke denne metoden. ?
10 1 | PROSENTs OPPGAVE 1.14 Nedenfor ser du Python-koden til et program. prosent = hele_tallet23= 432 prosentdelen = prosent/100 * hele_tallet print(prosent, "% av", hele_tallet, "er", round(prosentdelen, 2))54321 a) Forklar hver linje i programmet. b) Bruk programmet til å løse oppgave 1.11. DISKUTER Are og Bente skal regne ut 23 % av 6430 kr. Are gjør det slik: 0 ,236430147890kr, kr Bente regner slik: 6430100 23 147890 kr , kr Har de kommet fram til rett svar? Hva er forskjellen på de to metodene? 1.2 Finne prosenten og det hele I delkapittel 1.1 regnet vi ut prosentdelen av et tall. Nå skal vi finne prosenten når vi vet prosentdelen av tallet. I en klasse med 15 elever er det 6 jenter. Andelen jenter er da 156 15363 25:: Vi sier at andelen jenter er 25 , eller at 25 av elevene er jenter. Siden prosent er det samme som hundredel, kan vi finne prosenten ved å gjøre om andelen til hundredeler. Omgjort til hundredeler blir andelen jenter 25 220520 10040 40 % 40 % av elevene er jenter. Vi har utvidet brøken med 20 i telleren og nevneren for å få hundredeler. 1478,90
111.2 F INNE PROS ENTEN OG DET HELE s EKSEMPELLØSNING En klasse med 30 elever skal velge elevrådsrepresentant. Valget står mellom Naomi og Roger. 18 elever stemmer på Naomi, Roger får 9 stemmer, og resten er blanke stemmer. a) Hvor mange prosent av elevene har stemt på Naomi? b) Hvor mange prosent av elevene har stemt på Roger? c) Hvor mange prosent av elevene stemte blankt? a) Vi regner ut hvor stor del 18 utgjør av 30 ved å gjøre om til hundredeler. 183303 106 6010060:: % 60 % av elevene stemte på Naomi. b) 9 er halvparten av 18, så andelen som stemte på Roger må være halvparten av andelen som stemte på Naomi. 30 % av elevene stemte på Roger. Vi kunne også regnet slik: 309 30393 103 10030 30 : : % c) Resten av elevene stemte blankt. Det utgjør 100 % 60 % 30 % 10 % 10 % av elevene stemte blankt. OPPGAVE 1.20 a) Hvor mange prosent er 80 kr av 400 kr? b) Hvor mange prosent utgjør 12 elever av 50? OPPGAVE 1.21 I en quiz er det 30 spørsmål. Mari klarer 12 av spørsmålene, og Petter klarer 15. Hvor mange prosent av spørsmålene klarer hver av dem? Spesielt når vi har hjelpemidler tilgjengelig, er det nyttig med en formel for å regne ut prosenten direkte. Da kan vi bruke denne: Vi finner hvor mange prosent et tall er av det hele ved å regne ut dettallethele %100 ?
STEG 3
STEG 4
Har prisen på varen noen betydning for dette?
Etter en stund settes prisen ned med 10 %.
b) Hva koster varen etter den den andre, tredje, fjerde og femte økningen?
c) Sammenlikn svaret i steg b med svaret i steg 3.
26 1 | PROSENTs
STEG 2
b) Hva koster varen etter den andre økningen?
c) Sammenlikn svarene i steg a og b med svarene i steg 1.
I butikk D øker først prisen på varen med 6 % og deretter med 4 %.
STEG 6
Hvilke konklusjoner kan vi trekke etter det vi har funnet ut i steg 1–5?
Etter en stund settes prisen opp med 10 %.
UTFORSK PROSENTVIS ENDRING I FLERE PERIODER En vare koster 100 kr. STEG 1
Hvordan kan det å regne med vekstfaktor hjelpe oss å finne et mønster?
I butikk A settes først prisen på varen opp med 10 %.
Har prisen til varen noen betydning for dette?
a) Hva koster varen etter den første økningen?
a) Hva koster prisen etter den første økningen?
c) Hvorfor blir ikke den totale økningen 10 %?
c) Hva blir endringen totalt i prosent?
b) Hva blir den totale endringen i prosent?
I butikk C øker først prisen på varen med 4 % og deretter med 6 %.
b) Hva koster varen etter den andre økningen?
a) Koster varen mer, mindre eller like mye etter de to endringene? Hva tror du umiddelbart? Gjør beregninger og begrunn svaret.
I butikk B settes først prisen på varen ned med 10 %.
b) Hva blir den totale endringen i prosent?
STEG 5 I butikk E øker de prisen på varen med 2 % fem ganger.
a) Koster varen mer, mindre eller like mye etter de to endringene?
Hva tror du umiddelbart? Gjør beregninger og begrunn svaret.
Har prisen på varen noen betydning for dette?
Hvorfor blir det slik?
a) Hva koster varen etter den første økningen?
Hvorfor blir det slik?
271.6 PROSENTVIS ENDRING I FLERE PERIODER s 1.6 Prosentvis endring i flere perioder I Utforsk prosentvis endring i flere perioder regnet vi på prisen til en vare som endret seg flere ganger. Nå skal vi se hvordan vi regner når en størrelse endrer seg med en fast prosent flere ganger. I en kommune bor det 5000 innbyggere. Kommunen antar at befolkningen vil øke med 2 % per år de neste 10 årene. Vekstfaktoren1002102er 100102 102,%%% Etter ett år er antall 50001025100innbyggere, I begynnelsen av det andre året er det 5100 innbyggere i kommunen. Ved slutten av det andre året har antall innbyggere vokst til Ved51001025202,sluttenavdettredje året er antall innbyggere Legg52021025306,merketilatviogså kan regne antall innbyggere etter to år slik: NårEtter5000102102500010252022,,,treårharantallinnbyggereøkttil500010253063,viskalfinneantallinnbyggereetter 10 år, er den siste metoden raskest. Da trenger vi bare én Når50001026095utregning:10,enstørrelseendrersegmed samme prosent i flere perioder, bruker vi denne regelen for å finne størrelsen etter en tid: For en størrelse som vokser med en fast prosent i flere perioder, er verdien etter n perioder vokst til opprinnelig verdi vekstfaktorn
a) Hva var matsvinnet i desember 2021?
OPPGAVE 1.61
b) Hvor mange prosent falt matsvinnet med totalt fra desember 2020 til desember 2021?
?
OPPGAVE 1.62 Ahmed kjøpte et hus i 2015 for 2,1 millioner kroner. Huset steg med 5 % i verdi hvert av de neste tre årene for deretter å synke med 2 % i verdi de neste to årene.
Restauranten Bordets Gleder jobber for å redusere matsvinnet. I desember 2020 kastet de 800 kg mat. I 2021 klarte bedriften å redusere det gjennomsnittlige matsvinnet med 2 % per måned.
28 1 | PROSENTs EKSEMPELLØSNING Merk at vi også kan bruke denne regelen når en størrelse minker med en fast prosent. Da er vekstfaktoren mellom 0 og 1. Verdien av en elektrisk sparkesykkel minket med 7 % hvert år. Sparkesykkelen kostet 15 000 kr da den var ny. Hva var sparkesykkelen verdt etter 5 år? Her er den opprinnelige verdien 15 000 kr. Vekstfaktoren ved 7 % nedgang 100793er 10093 093,Antallet%%%perioderer5,altså er n 5. Dette setter vi inn i formelen på forrige Etter1500009310435side:5,5årvarsparkesykkelen verdt 10 435 kr. OPPGAVE 1.60 Mathea kjøpte i 2016 en spillkonsoll til 4000 kr. Hun antok at verdien ville synke med 15 % per år. a) Hvor mye kan Mathea regne med å selge spillkonsollen for i 2022? b) Hvor mange prosent har da verdien av spillkonsollen sunket med?
b) Hvor mange prosent økte verdien av huset fra 2015 til 2020?
a) Hva var huset verdt i 2020?
OPPGAVE 1.63
c)
c)
a) Ole er svømmer. Han trener 12 timer i uka og har en plan om å øke treningsmengden med 10 % per år de neste årene. Hvor mange timer i uka trener Ole om 5 år dersom han følger denne planen?
a)
I
b)
291.6 PROSENTVIS ENDRING I FLERE PERIODER s EKSEMPELLØSNING
b)
b) Mia trener styrke. Hun tar 50 kg i benkpress og har som mål å øke med 5 % per måned i et halvt år. Hvor mye tar Mia i benkpress om et halvt år dersom hun når målet sitt?
c) Fins det noen grenser for hvor lenge økningen i oppgave a og b kan fortsette? Hva må vi eventuelt vite for å bestemme det? Når vi vil regne bakover i tid, kan vi også bruke formelen opprinnelig verdi vekstfaktorn Da bruker vi negative verdier for n. En bedrift kutter plastforbruket med 2 % hvert år i perioden fra 2015 til 2030. 2020 var det årlige plastforbruket 4,6 tonn. Finn et utrykk for plastforbruket n år etter 2020. Hva var plastforbruket i 2015? Hvor mye plast vil de forbruke i 2030? Vekstfaktoren for 2 % nedgang er 0,98, og utgangsverdien i 2020 er 4,6 tonn. Da er plastforbruket i tonn n år etter 2020 gitt ved 4,6 0,98n 2015 er 5 år før 2020. Derfor setter vi inn n 5. 4,6 0,98 5 5,1 Plastforbruket i 2015 var 5,1 tonn. 2030 er 10 år etter 2020. Derfor setter vi inn n 10. 4,6 0,9810 3,8 Plastforbruket i 2030 er 3,8 tonn.
a)
30 1 | PROSENTs OPPGAVE 1.64 Cornelia har ei årslønn på 405 000 kr. For tre år siden inngikk hun en avtale om at lønna skulle øke med 2,5 % per år. Hva var lønna til Cornelia for tre år siden? OPPGAVE 1.65 Victor har 30 000 følgere på SnikkSnakk. De siste årene har antallet følgere økt med 50 % hvert år. a) Hvor mange følgere hadde Victor for to år siden? b) Hvor mange følgere hadde han for fem år siden? c) Hvis utviklingen fortsetter, hvor mange år går det før antallet følgere er over 1 million? OPPGAVE 1.66 a) Hva regner programmet nedenfor ut? folketall = 4000 verdi = whileårvekstfaktorfolketall=1.025=0verdi<folketall*2:verdi=verdi*vekstfaktorår=år+1print(round(verdi,0))print(år)121110987654321 b) Hva skrives ut i de to siste linjene? OPPGAVE 1.67 Tabellen nedenfor viser utviklingen i omsetningen til en bedrift fra 2017 til 2021.ÅrstallOmsetning20175000002018550000202160500020206655002021732050Finndenprosentviseendringen fra hvert år til det neste. ?
31 sSAMMENDRAG SAMMENDRAG Prosent Prosent betyr hundredeler. Vi gjør om andelen av tall skrevet som brøk eller desimaltall til hundredeler for å finne prosenttallet. Prosentdel p % av tallet p 100 hele tallet Å finne prosenten av det hele dettallethele %100 Å finne det hele Hvis et tall er p % av det hele (100 %), er det hele tallet p 100 Prosentpoeng Når vi regner ut differansen mellom to prosenttall, finner vi endringen i prosentpoeng. Vekstfaktor Vekstfaktoren ved p % økning er 1 100 p Vekstfaktoren ved p % nedgang er 1 100 p Prosentvis endring Skal vi finne en ny verdi etter en prosentvis endring, regner vi slik: ny verdi = opprinnelig verdi vekstfaktor Prosentvis endring i flere perioder Når en størrelse endrer seg med en fast prosent flere ganger, er verdien etter n perioderopprinnelig verdi vekstfaktorn Dersom vi skal finne verdien bakover i tid bruker vi negative verdier for n.
Konsumprisindeksen økte i årene fra 2000 til 2021 fra 75 til 118. Det er en økning på 57 %. Økningen i verdiene på Oslo Børs har altså vært betydelig større enn økningen i konsumprisindeksen. Dersom vi investerte 10 000 kr på aksjer i år 2000 og avkastningen fulgte indeksen, ville beløpet i 2021 ha vokst til over 63 000 kr. Dersom vi tar hensyn til kroneverdien, ville det ha tilsvart omtrent 40 000 kr i 2000, omtrent fire ganger det vi investerte. I samme tidsperiode var gjennomsnittlig årlig innskuddsrente under 3 %. Hvis vi satte inn 10 000 kr på kontoen i år 2000 og fikk 3 % per år i rente, ville vi hatt 18 600 kr i 2021, uten å ta hensyn til kroneverdien.
SPARING I BANK OG AKSJEFOND
20052010 2015 2020 100060040020008001200
s 32 1 | PROSENT
Det er lurt å sette av noe av inntekten til sparing, enten til uforutsette utgifter på kort sikt eller til langsiktig sparing. Slik kan det for eksempel bli lettere å kjøpe leilighet, hus eller bil. Men hvordan lønner det seg å spare pengene? Å spare i banken Å ha pengene i banken er en sikker måte å spare på. Banken gir oss renter. Renta varierer, men vanligvis lite over tid. SSB har lagd en historisk oversikt over den gjennomsnittlige renta siden 1953. Den høyeste renta hadde vi i 1987. Da var den 11,3 %. I de seneste årene har renta vært lav, for eksempel var den 0,8 % i Dette2016.betyr at dersom vi satte 10 000 kr i banken i 1987 kunne vi regne med at beløpet på kontoen ett år seinere hadde vokst til 11 130 kr. Dersom vi gjorde det samme innskuddet i 2016, ville vi ett år seinere sitte igjen med 10 080 kr. Når vi skal vurdere verdien av sparepengene, bør vi ta høyde for den generelle prisstigningen i samfunnet. Den blir beskrevet av konsumprisindeksen (KPI). I 2015 var KPI 100, i 2016 var den 103,6. Det betyr at varer som kostet 10 000 kr i 2015, kostet 10 360 kr i 2016. I 2016 tapte vi dermed på å la pengene stå i banken. De ble mindre verdt i løpet av året fordi prisene steg mer enn rentene vi fikk av beløpet vi hadde satt i banken. Å spare i fond En annen spareform er aksjefond. En aksje er en eierandel av et selskap, og fondet forvalter eierandeler i mange bedrifter. Indeksfond er aksjefond med lave kostnader som forsøker å gi deg som kunde lik avkastning som markedet i en viss periode. Avkastning er penger vi tjener ved å investere i markedet. Dersom aksjeselskapene gjør det godt, vil vi kunne få mer igjen enn om vi setter dem i banken, men vi vil også kunne tape penger dersom utviklingen er negativ.
I perioden 2000 til 2021 økte indeksen på Oslo Børs fra 190 poeng til 1200 poeng. Det tilsvarer en økning på over 500 %. Grafen nedenfor viser denne utviklingen. Vi ser at i enkelte perioder har det vært nedgang, selv om utviklingen over tid har vært positiv. Det er spesielt to tydelige nedganger de siste 20 årene. Først under finanskrisen i 2008 og siden under starten av koronapandemien i 2020. Etter finanskrisen tok det omtrent seks år før indeksen var tilbake på samme nivå.
s33SPARING I BANK OG AKSJEFOND Å finne månedlig rente Mange sparer litt hver måned. Bankene regner som regel med årlige renter, men vi kan regne ut den månedlige renta om vi kjenner den årlige.Dersom vekstfaktoren per måned er x, vil vekstfaktoren per år være x12 . Dersom den årlige renta er 1,5 %, finner vi den månedlige renta ved å løse likningen x12 = 1,015. Da blir: 12 1,0151,0012x Den månedlige renta er altså 0,12 % når den årlige renta er 1,5 %. ssb.noKilder: – Gjennomsnittlig utlånsog innskuddsrente i bankene per 31. desember, besøkt januar 2022 live.euronext.com - NO0007035327XOSL, besøkt januar 2022 PROSJEKTOPPGAVE I denne oppgaven skal du undersøke hvordan sparing i bank og sparing i indeksfond kan utvikle seg over tid. Kulepunktene nedenfor skal hjelpe deg med å komme i gang. Bruk gjerne regneark til å løse denne oppgaven. • Ta utgangspunkt i at du setter av 1000 kr hver måned i tre år. • Finn hvilke innskuddsrenter noen banker tilbyr på sparekontoer. Regn om til månedlig rente. • Finn fram til noen indeksfond. Hva har den historiske avkastningen vært i disse fondene de siste fem årene? Hvor store er gebyrene? Hvorfor kan ikke historisk avkastning garantere framtidig avkastning? • Lag en oversikt som viser hvordan utviklingen kan bli over tid. Ta utgangspunkt i ulike, men sannsynlige renter og avkastninger basert på det du har funnet ut over. • Hvordan kan vi anta at konsumprisindeksen påvirker sparingen vår?
34 1 | PROSENTs
OPPGAVE 1 En kommune hadde 12 560 innbyggere. Året etter var innbyggertallet sunket til 12 230. Finn vekstfaktoren. Hva forteller den i dette tilfellet?
REPETISJONSOPPGAVER
OPPGAVE 2 I en matforretning koster 1 kg epler normalt 24,00 kr. a) En dag var prisen på epler satt ned 15,0 %. Hva var kiloprisen på epler denne dagen? b) En annen dag var prisen på epler 29,90 kr. Hvor mange prosent var prisen på epler satt opp i forhold til normal pris denne dagen?
OPPGAVE 3 En dag var literprisen på bensin 18,20 kr på bensinstasjonen «Full tank» og 16,80 kr på bensinstasjonen «Tom tank». Den ene bensinstasjonen økte da prisen med det samme beløpet som den andre bensinstasjonen satte prisen ned med. Hvor mange prosent måtte literprisen endres på hver av bensinstasjonene for at prisen skulle bli den samme
begge steder? OPPGAVE 4 Et politisk parti øker oppslutningen fra 23 % til 26 %. a) Finn økningen i prosentpoeng. b) Finn økningen i prosent. OPPGAVE 5 Utsalgsprisen på en bil økte med 16 800 kr fra et år til det neste. Det svarer til en prisøkning på 4 %. Finn utsalgsprisen på bilen for begge årene. OPPGAVE 6 Illustrasjonen nedenfor er hentet fra Aftenposten torsdag 23. september 2021. Den viser «topp ti-lista» over mest besøkte filmer på kino helgen før. Topp 10-lista over mest besøkte filmer på kino sist helg Kilde: Film og Kino Dune Paw Shang-ChiPatrol Clue:IngentingMaltesergåtenåleavAfterWeFellCroodsFreeGuyMalignantSpaceJam 42 690 12 523 8 411 6 204 5 129 4 273 4 026 2 115 1 736 1 671 a) Hvor mange prosent høyere var besøket på «Ingenting å le av» enn på «Croods»? b) Hvor mange prosent lavere var besøket på «Space Jam» enn på «Malignant»? c) Hvor mange prosent av kinobesøket var på «Dune»?
a) Hvor mye penger hadde Sofia på kontoen på 18-årsdagen dersom de ble stående urørt? b) Hvor mye penger hadde Sofia på kontoen på 18-årsdagen dersom hun tok ut 10 000 kr på 16-årsdagen sin?
et regneark som viser både verdien av bilen og verdien av kunsten hvert år i 10 år. c) Utvid regnearket i oppgave b slik at det også viser den samlede verdien av bilen og kunsten i 10 år. OPPGAVE 11 Forklar hva som skjer når programmet nedenfor kjøres. Hva forteller de to tallene som skrives ut i linje 10 og 11? beløp = vekstfaktor5000= 1.02 år = while0beløp < 100000: år = år + 1 beløp = beløp * vekstfaktor beløp = beløp + 10000 print(round(beløp, 0)) print(år)121110987654321
b) Lag
OPPGAVE 10 VINNER! I begynnelsen av 2016 vant Anne Lise i Lotto. Hun kjøpte en ny bil til 340 000 kr og kunst for 80 000 kr. Vi regner med at bilen synker i verdi med 13 % per år, mens verdien av kunsten øker med 8 % hvert år.
OPPGAVE 9
Kåre Kubick har nettopp kjøpt en brukt skuter. Den er 4 år gammel. «Hvor mye kostet denne skuteren da den var ny?» spør Kari. «Verdien gikk ned 30 % det 1. året, 20 % det 2. året, og deretter gikk verdien ned 10 % hvert av de to neste årene», svarer Kåre. «Og jeg betale 12 700 kr. Da kan du selv regne ut hva den kostet som ny.» Hjelp Kari med å regne ut svaret.
35REPETISJONSOPPGAVER s OPPGAVE 7 En bedrift har de siste årene foretatt nedbemanninger. Tallet på ansatte er i dag 500, men det har minket med 8 % hvert Hvilketår.av disse uttrykkene kan vi bruke for å regne ut antall ansatte for 3 år siden? Forklar hvorfor hvert av de andre uttrykkene er feil. 1) A 500 1,08 3 2) A 500 0,923 3) A 500 0,92 3 4) A 500 1,083 OPPGAVE 8 Sofia fikk til sammen 25 000 kr i gaver da hun ble født. Pengene ble satt på en konto med 3,0 % fast rente per år.
a) Hvor stor var den samlede verdien av bilen og kunsten etter 5 år?
• bbruke i utforsking og til ved funk sjoner, og diskutere
• planlegge,e utføre og presenteree selvstendig arbeid kny ttet til moddellering og funk sjoner innenfor saamfunnsfagligee tema
MATEMATISKEløsningeneMODELLER
•planlegge, utføre og presentere selvstendig arbeid knyttet til modellering og
•bruke digitale verktøy i utforsking og problemløsning knyttet til egenskaper ved funksjoner, og diskutere løsningene Mål for oppplæræingen er att elevenee skal kunne
UTFORSK ANDREGRADSFUNKSJONER
c) Tegn grafen til funksjonen f (x) a x 2 b x c Når du skal skrive x 2 i GeoGebra, kan du skrive «x^2». STEG 2
En andregradsfunksjon er en funksjon på formen f (x) a x 2 b x c Her kan a, b og c være hvilke som helst tall (bortsett fra a 0). Vi skal nå utforske slike funksjoner nærmere ved å se på hva som skjer når vi endrer verdiene av konstantene a, b og c.
a) Dra i glideren og endre på verdien til c. Hvordan påvirker det grafen?
189 s6.1 ANDREGRADSFUNKSJONER
c) Dra i glideren og endre på verdien til b. Hva skjer med grafen?
b) Lag glidere for a, b og c. (Skriv inn «a» i algebrafeltet og trykk Enter. Gjenta for «b» og «c».)
b) Dra i glideren og endre på verdien til a Hva skjer når a blir negativ, og hvorfor kaller vi det ikke en andregradsfunksjon hvis a 0?
b) Undersøk om det er noen sammenheng mellom verdiene til a, b og c og x-verdien til topp- eller bunnpunktet til grafen.
STEG 1 a) Åpne algebrafeltet og grafikkfeltet i GeoGebra.
STEG 3
a) Kan du finne en sammenheng mellom a, b og c og antallet nullpunkter?
190 6 | MATEMATISKE MODELLERs 6.1 Andregradsfunksjoner Funksjonen f er gitt ved f (x) x 2 4x 3 og er et eksempel på en andregradsfunksjon. Vi velger noen verdier for x og regner ut funksjonsverdiene. Det gir denne tabellen: x 1012345 f (x)830 1038 Nedenfor har vi markert punktene i et koordinatsystem og trukket en glatt kurve gjennom dem. 108642 y f x –2 –2 46 NullpunktBunnpunktNullpunkt (2, –1) Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Punktene på x-aksen der grafen krysser aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er bestemt ved at f x () 0 Funksjonen ovenfor har dermed nullpunktene x 1 og x 3. Funksjonen har et bunnpunkt i punktet der x 2 og y 1. Bunnpunktet har koordinatene 2, 1 . I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene.
1916.1 ANDREGRADSFUNKSJONER s Funksjonen g er gitt ved g xxx() 2 65 og har denne grafen: –135421 y g x –1 4 ToppunktNullpunkter263(3,4) Denne funksjonen har to nullpunkter, x 1 og x 5. Den har et toppunkt med koordinatene 3, 4 . Et toppunkt er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle Toppunkternabopunktene.ogbunnpunkter kaller vi med et felles ord for ekstremalpunkter. Et ekstremalpunkt er dermed enten et bunnpunkt eller et toppunkt. OPPGAVE 6.10 Nedenfor ser du grafen til funksjonene f (x) x 2 6x 8 og g(x) x 2 2x 3 x f g y 1–1 –11234 23 456 a) Finn nullpunktene til f. b) Finn bunnpunktet til f. c) Finn nullpunktene til g. d) Finn toppunktet til g. ?
192 6 | MATEMATISKE MODELLERs Nå skal vi se hvordan vi kan tegne grafen til andregradsfunksjoner digitalt, og hvordan vi da kan finne funksjonsverdier, nullpunkter og ekstremalpunkter. Som eksempel bruker vi funksjonen f fra side 190, der f xxx() 2 43 Når vi skal skrive x 2 i GeoGebra, kan vi skrive «x^2». Hvis vi ikke skriver « f (x) » foran uttrykket, velger GeoGebra automatisk et navn for oss. Nå tilpasser vi koordinatsystemet og får fram denne grafen: x -1-1 1223344515 y -1-111223344004 ff Hvis vi vil finne funksjonsverdien f ()4, kan vi skrive « f (4)» i algebrafeltet. Altså er f ()43 For å finne nullpunktene skriver vi «Nullpunkt( f )» i algebrafeltet. Da får vi Funksjonendette: har nullpunktene x 1 og x 3.
1936.1 ANDREGRADSFUNKSJONER s Topp- eller bunnpunktet får vi fram på tilsvarende måte. Da bruker vi fellesnavnet ekstremalpunkt og skriver «Ekstremalpunkt( f )». Funksjonen har ekstremalpunktet 2, 1 . I grafikkfeltet ser vi at dette er et Punktenebunnpunkt.får automatisk navnene A, B og C. Vi markerer punktene, åpner menyen og velger «Verdi» i menyen under A A . Det gir dette resultatet: x -1-1 1212334455 y-1-11122334400 3 4 (1,0)(1,0) (3,0)(3,0) (2,-1)(2,-1) Noen ganger får vi bruk for å tegne grafer til funksjoner med en bestemt Fordefinisjonsmengde.åfåtegnetgrafen til f bare i definisjonsmengden x 04, skriver vi «Funksjon( f, 0, 4)». Da blir det tegnet en ny graf som starter ved x 0 og slutter ved x 4. OPPGAVE 6.11 Funksjonen f er gitt ved f xxx() 2 23 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f c) Finn bunnpunktet til f. ?
d) Hva er den størst mulige inntekten i denne bomringen med denne Hva er prisen, og hvor mange kjører gjennom bomringen
modellen?
da?
b) Vis at inntekten I kroner er gitt ved andregradsfunksjonen 50 000 400 Tegn grafen til I digitalt når x er mellom 0 og
I(x) x 30
194 6 | MATEMATISKE MODELLERs EKSEMPEL OPPGAVE 6.12 Funksjonen f er gitt ved f xxx() 2 43 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet. OPPGAVE 6.13 En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved T xxxx (),3821213522 8, 20 a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 C? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Noen ganger kan vi bruke andregradsfunksjoner til å beskrive sammenhenger i samfunnsfag. Vi skal nå se nærmere på en slik matematisk modell. I en by er det en bomring. Det er 50 000 biler som kjører gjennom bomringen hvert døgn. Hver passering gir 30 kr i inntekter til myndighetene. Politikerne vurderer å sette opp prisen per passering for å få ned biltrafikken. De hevder at for hver krone prisen går opp, går trafikken ned med 400 biler per døgn. a) Forklar at den lineære funksjonen b(x) 50 000 400x gir antallet biler som passerer bomringen hvert døgn dersom x er prisøkningen i kroner.
i
x c)
80.
1956.1 ANDREGRADSFUNKSJONER s LØSNING a) Ettersom trafikken går ned med 400 biler for hver krone vi øker prisen, går den ned med 400 x hvis vi øker prisen med x kroner. Antallet biler er nå 50 000. Da blir antallet biler hvis vi øker prisen med x kroner b(x) 50000 400x. b) Dersom prisen settes opp med x kroner, blir den nye prisen 30 x kroner. Antallet passeringer er b(x). Inntekten blir produktet av disse. Det gir: Ixxbxxx ()()303050000400 c) Nå tegner vi grafen i GeoGebra: x 10102020303040405050606070708080(kr) y (kr) 2500000250000020000002000000150000015000001000000100000050000050000000 (47.5, 2402500) d) Nå skal vi finne toppunktet. Da skriver vi «Ekstremalpunk(I )» i algebrafeltet. Den høyeste inntekten er 2402500 kr per døgn. Det er når prisen er 30kr 47,50kr 77,50 kr Antallet biler per døgn er da b(47,5) 50000 400 47,5 31 000
OPPGAVE 6.15
e) Hva blir inntekten hvis de øker prisen med 5 kr?
d) Hvilken fart gir lavest mulig utslipp, og hvor stort er utslippet da?
f) Tegn grafen til I digitalt.
e) Hvor mange kilogram karbondioksid slipper vi ut når vi kjører fra Bergen til Oslo i 75 km/h? Sett avstanden mellom Oslo og Bergen til 500 km.
En bensinbil kjører med farten v målt i kilometer per time. Utslippet av karbondioksid målt i gram per kilometer er da gitt ved Cvvvv (),,004567539301202,,
Det koster 30 kr per passering. En politiker tror at for hver krone prisen går opp, går trafikken ned med 500 biler per døgn.
a) Tegn grafen til C digitalt.
c) Hva må prisen være hvis antallet biler skal bli 40 000 per døgn?
b) Hvor stort er utslippet per kilometer når farten er 50 km/h?
c) Hvor stor er farten når utslippet er 200 g/km?
f) Bilen bruker 0,8 L bensin per mil. En liter bensin veier omtrent 0,8 kg.
196 6 | MATEMATISKE MODELLERs
OPPGAVE 6.14
Vi ser mer på byen der det daglig kjører 50 000 biler gjennom bomringen.
b) Hvor mange biler kjører gjennom bomringen hvis de øker prisen med 10 kr?
a) Lag et funksjonsuttrykk B(x) som viser antallet biler der x er prisøkningen i kroner.
g) Hva er den størst mulige inntekten i denne bomringen med denne modellen? Hva er prisen, og hvor mange kjører gjennom bomringen da?
d) Sett opp et uttrykk for inntekten I(x) når de øker prisen med x kroner.
Hvor mange kilogram bensin bruker bilen på turen fra Bergen til Oslo? Hvordan kan du forklare at utslippet veier mer enn forbruket av bensin? ?
Tegn grafen til flere forskjellige polynomfunksjoner i GeoGebra der polynomet har ulik grad. Finn en sammenheng mellom det maksimale antallet nullpunkter og graden til Finnpolynomet.ensammenheng mellom det maksimale antallet ekstremalpunkter (topp- og bunnpunkter) og graden til polynomet. Funksjonen f er gitt ved f (x) x 3 3x Tegn grafen til funksjonen digitalt og finn nullpunktene og ekstremalpunktene til f grafisk. For å tegne grafen skriver vi x 3 3x i algebrafeltet. Funksjonen får da automatisk navnet f. Vi får fram x 3 ved å skrive «x^3». Deretter skriver vi «Nullpunkt( f )» i algebrafeltet. Da får vi fram tre nullpunkter med navnene A, B og C. Deretter skriver vi «Ekstremalpunkt( f )» i algebrafeltet og får fram et toppunkt D og et bunnpunkt E. Nå markerer vi punktene i algebrafeltet, åpner menyen , trykker på A A og velger Verdi. Da får vi fram koordinatene til alle punktene i grafikkfeltet.
1976.2 POLYNOMFUNKSJONER s EKSEMPELLØSNING 6.2 Polynomfunksjoner Uttrykkene 2x 3 og x 2 3x 5 kaller vi polynomer. Uttrykket 2x 3 er et polynom av første grad, og andregradsuttrykket x 2 3x 5 er et polynom av andre grad. Den høyeste eksponenten til variabelen i et polynom kaller vi graden til polynomet. Uttrykket 2x 3 3x 2 6x 4 er dermed et tredjegradspolynom, og x 4 2x 2 4 er et fjerdegradspolynom. Nå skal vi se på egenskapene til funksjoner der funksjonsuttrykket er et polynom. Slike funksjoner kaller vi polynomfunksjoner. Alle andregradsfunksjoner er dermed eksempler på polynomfunksjoner. Funksjonen gitt ved P xxxx() 26204832 er et annet eksempel på en polynomfunksjon. Ettersom funksjonsuttrykket er et tredjegradspolynom, er dette en tredjegradsfunksjon.
DISKUTER
ØV MER gir mer trening i grunnleggende regneteknikker fra hvert
i BLANDEDE OPPGAVER og ÅPNEOPPGAVER inneholder ofte stoff fra flere temaer. Det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver du skal kunne løse når du er ferdig med et delkapittel.
•I blandede oppgaver er det oftest konkrete spørsmålsformuleringer, men du finner også oppgaver der du må vurdere egne og andres løsninger, samt flervalgsoppgaver.
•De åpne oppgavene er ofte større og mer komplekse. Her får du blant annet trening i å jobbe med sammensatte tekster og uoppstilte problemer. Du må noen ganger selv lage problemstillinger som du undersøker ved hjelp av ulike strategier, som modellering, utforsking og programmering. I disse oppgavene er det meningen at du skal bruke litt mer tid, og de legger til rette for å trene på å skrive matematiske tekster. De åpne oppgavene har ikke alltid en fasit, og det kan derfor være nyttig å diskutere både oppgavene og løsningene med andre.
•Oppgavenedelkapittel.
•OppgaveneOPPGAVERi
241 s1 | PROSENT 1 Oppgave 1.113 Gunn har to kontoer som står urørte i banken. På den ene kontoen står det 24 000 kr, og på den andre står det 106 000 kr. Hun får 0,10 % rente per år på kontoen med lavest innskudd og 0,15 % rente per år på den andre. a) Hvor mange kroner har hver av disse kontoene økt med etter ett år? b) Hvor mye har hun til sammen på disse to kontoene etter ett år? Oppgave 1.114 En liter bensin koster 17,50 kr. Prisen på bensinen blir først satt opp med 4 %. Dagen etterpå blir prisen satt ned med 4 Hvor%. mye har prisen på bensinen gått ned i alt etter disse to prisendringene? Oppgave 1.115 a) Hva gjør dette programmet? Forklar hva som skjer i hver linje. tall = whileprosent250=1prosent <= 100: utregning = tall*prosent/100 print(prosent, "% av", tall, "er", round(utregning, 2)) prosent = prosent + 187654321 b) Gjør endringer i programmet ovenfor slik at det bare skriver ut prosenten av et tall når prosentene er 10 %, 20 %, 30 %, 40 %, 50 %, 60 %, 70 %, 80 %, 90 % og 100 %. Prosent ØV MER 1.1 PROSENT OG PROSENTDEL Oppgave 1.110 a) Regn ut 10 %, 20 % og 50 % av beløpene uten å bruke hjelpemidler. 1) 80 kr 2) 150 kr 3) 1800 kr b) Regn ut med et hjelpemiddel. 1) 30 % av 120 2) 13 % av 600 3) 40 % av 800 4) 8 % av 175 Oppgave 1.111 Hvilken figur passer til prosenten? a) 80 % b) 55 % c) 25 % d) 15 % DEFABC Oppgave 1.112 a) En radio koster 1200 kr. Så blir prisen satt opp 20 %. Hvor mange kroner blir prisen på radioen satt opp med? b) Ei klokke koster 2400 kr og blir satt ned 15 %. Hvor mange kroner blir prisen på klokka satt ned med?
c) Hvorfor får vi ikke samme svar i oppgave a og b? Oppgave 1.126 Vemund kjøper en mobiltelefon på salg. Han får 700 kr i avslag på den ordinære prisen. Det svarer til 20 % avslag. Hvor mye betaler Vemund for mobiltelefonen?
1 | PROSENT242s 1.2 FINNE PROSENTEN OG DET HELE Oppgave 1.120 a) Elevtallet på en skole var et år 600. Året etter var det 15 flere elever på Hvorskolen.mange prosent gikk elevtallet opp? b) Elevtallet på en annen skole var 750. Året hadde elevtallet gått ned med 30 Hvorelever.mange prosent hadde elevtallet gått ned? Oppgave 1.121 I et glass eplesyltetøy der innholdet veier 510 g, står det på etiketten at det er tilsatt 20 g sukker per 100 g. Hvor mange prosent sukker er tilsatt dette eplesyltetøyet? Oppgave 1.122 Illustrasjonen viserhvor mange som heiet på lagene Manchester United og West Ham United under en fotballkamp. 2. omg. ManchesterUnited West Ham United 0 – 1 Manuel Lanzini 9’ Hvem heier du på? 14 964 MNU + Kampinfo WHU 5 371 82:09 0 – 1 a) Hvor mange prosent heiet på West Ham United? b) Hvor mange flere måtte ha heiet på West Ham United for at svaret i oppgave a skulle vært 50 %? Oppgave 1.123 Guro og Henrik er på et handlesenter. Begge har 500 kr å handle for.
a) Guro ser på ei bukse til 750 kr og kan få 40 % avslag i prisen. Har hun nok penger til å kjøpe buksa?
b) Henrik ser på et par sko til 1250 kr og kan få 25 % avslag i prisen.
b) Noe seinere betaler Oda 559 kr for samme type veske. Hvor mange prosent avslag får Oda på den ordinære prisen? Oppgave 1.125
a) En skulderveske koster ordinært 699 kr. Andrine kjøper en veske og får 15 % avslag. Hvor mye betaler hun for skuldervesken?
c) Hvor mange prosent avslag må Henrik få for å kunne kjøpe skoene? Oppgave 1.124
a) Ola og Ida kjøper hver sin hodetelefon. Ola betaler 570 kr for sin, og Ida betaler 790 kr for sin. Hvor mange prosent mer betalte Ida enn Ola?
Forklar Henrik at han ikke har nok penger til å kjøpe buksa.
b) Hvor mange prosent mindre betalte Ola enn Ida?
• Jonathan får 55 % av pengesummen.
a) Hvor mange prosentpoeng var økningen på? Elevtallet på skolen var 260 både i 2021 og i 2022.
Oppgave 1.127
• Jesper får 20 % av pengesummen.
a) Hva var den opprinnelige prisen på kjolen? b) Hvor mye betalte Tove for kjolen?
Hvor mange prosent avslag fikk Fredrik i alt? Oppgave 1.129 Kasper, Jesper og Jonathan skal dele en pengesum på denne måten: • Kasper får 825 kr.
b) Hvor mange elever bodde mindre enn 5 km fra skolen i 2021? c) Hvor mange elever bodde mer enn 5 km fra skolen i 2022?
1 | PROSENT 243 s
Oppgave 1.128
1.3 PROSENTPOENG
Tove har fått 25 % avslag i prisen på en kjole. Det svarer til 300 kr.
Fredrik fikk tilbud om 30 % rabatt på ei ny klokke. Det svarte til 870 kr.
a) Hva kostet klokka før den ble nedsatt? b) Fredrik hadde bare 2000 kr å bruke på ei ny klokke. Forretningen bestemte seg for at Fredrik skulle få kjøpe klokka for denne summen.
Hvor mye får Jesper og Jonathan?
I år sank deltakelsen til 21 %.
Oppgave 1.130 a) På en meningsmåling gikk oppslutningen om partiet Venstre ned fra 5,0 % til 4,1 %. Hvor mange prosentpoeng sank oppslutningen om Venstre med? b) Noe seinere oppslutningengikkom Venstre opp 1,2 prosentpoeng. Hvor mange prosent var oppslutningen om Venstre da? Oppgave 1.131 På nettsidene til Statistisk sentralbyrå stod dette å lese 14. august 2020: Renta på nye lån til husholdninger med pant i bolig falt med 0,08 prosentpoeng til 1,80 prosent i juni 2020. Renta på utestående boliglån hadde et litt mindre fall med 0,05 prosentpoeng til 1,97 prosent.
a) Hvor mange prosentpoeng er nedgangen på? De siste årene har elevtallet hele tida vært på 540 elever. b) Hvor mange elever deltok på turen for fem år siden? c) Hvor mange elever deltok nå? Oppgave 1.133 I 2021 bodde 30 % av elevene på en skole mindre enn 5 km fra skolen. I 2022 steg dette tallet til 35 %.
a) Hvor høy hadde renta på nye lån med pant i bolig vært før den ble satt ned? b) Hvor høy hadde renta på utestående boliglån vært før den ble satt ned? Oppgave 1.132 For fem år siden deltok 35 % av elevene på en skole på en dagstur til en fjelltopp.
Så langt i år er det solgt 3900 hytter, en oppgang på 27,1 % sammenliknet med samme periode i fjor. Undersøk om det ble solgt minst 3000 hytter i samme periode året før. Oppgave 1.202 En bedrift hadde en markedsandel på 25 %. Året etter hadde markedsandelen økt med 5 prosentpoeng.
Hvor mange prosent økte markedsandelen med? Oppgaver 1.203 a) Tegn en figur med 15 ruter. Fargelegg 40 % av figuren. b) Hvor mange flere ruter må du fargelegge for at 80 % av figuren skal bli fargelagt? Oppgave 1.204 Ulrik påstår at to av disse alternativene gir det samme avslaget. 1) 30 % avslag 2) Halv av halv pris 3) 75 % avslag 4) Kjøp 3, betal for 2 Har Ulrik rett?
1 | PROSENT248s BLANDEDE OPPGAVER
Oppgave 1.200 Illustrasjonen nedenfor er hentet fra Aftenposten 19. juni 2021. Den gir blant annet en oversikt over hvor mange av skoledagene som var på rødt nivå i Oslo fra januar til juni i 2021. MandagSkoledager under pandemien Rødt nivå Gult HeldigitalFerie/frinivå
Noen påstod at nærmere 40 % av skoledagene hadde vært på rødt nivå. Undersøk om påstanden stemmer. Oppgave 1.201 Illustrasjonen nedenfor er hentet fra Aftenposten 19. juni 2021.
FEBRUARJANUARMARSAPRILMAIJUNI Fredag
Oppgave 1.205 a) Hvor mye mat kaster norske forbrukere hvert år? Hent opplysninger fra teksten nedenfor.
a) Thomas kjøper tre skjorter. De koster 299 kr, 399 kr og 499 kr. Hvor mange prosent avslag får Thomas på skjortene? b) Geir kjøper fire skjorter som alle har den samme prisen. Hvor mange prosent avslag får Geir på skjortene?
Oppgave 1.206 Eli-Trine har spart 12 000 kr, og av disse pengene bruker hun 4000 kr til ergometersykkel og 1550 kr til klær.
b) Hvor mye kaster vi til sammen av bakervarer, middagsrester og frukt og https://www.melk.no/Melkekilden/Kosthold/Matsvinn/grønnsaker?Hvor-mye-mat-kaster-nordmenn-hvert-aar
1 | PROSENT 249 s
Oppgave 1.210 Forretningen «Løp og kjøp» har denne annonsen: KJØP 3 SKJORTER, og vi betaler den billigste for deg!
a) Hvor mange prosent av sparepengene bruker hun? Venninna til Eli-Trine sier: «Du har jo brukt halvparten av sparepengene dine på å kjøpe sykkel og klær.»
b) Hvor mange prosent mindre måtte Eli-Trine ha spart for at denne påstanden skal stemme? Oppgave 1.207 Prisen på en spade er satt ned til 210 kr. Da er den opprinnelige prisen redusert med 30 %. Hva var den opprinnelige prisen på spaden? Oppgave 1.208 I en bolle er det 15 grønne, 4 gule og 1 blå Hvorkule.mange prosent av kulene er ikke grønne? Oppgave 1.209 a) Hvor mange prosent av figuren er fargelagt? b) Hvor mange ruter må være fargelagt for at 60 % av figuren skal bli fargelagt? c) Hvor mange ruter er ikke fargelagt hvis 40 % av figuren er fargelagt?
1) En vennegjeng leier ei hytte. Utgiftene deles likt. Utgiftene per person og antall venner er proporsjonale størrelser.
4) Når y x er x og y proporsjonale størrelser.
4) I gjennomsnitt spiser nordmenn 6 kg frossenpizza i året. Antall nordmenn og gjennomsnittsforbruket er da proporsjonale størrelser. ▲ 3.5
3) Bensinforbruket til en bil i liter er y 0,60x der x er antall kjørte mil. Proporsjonalitetskonstanten 0,60 forteller da at farten er 60 km/h.
5) Når y x 1 er x og y omvendt proporsjonale størrelser. Oppgave 3.233 Avgjør om disse påstandene er sanne eller usanne. Begrunn svaret.
2) En butikk setter ned prisene på en del varer med 20 %. Den nye prisen er omvendt proporsjonal med den opprinnelige prisen.
3) Fredrik sitter barnevakt og får 150 kr i timelønn. Dessuten får han dekket reiseutgiftene. Lønn og antall timer er da proporsjonale størrelser.
3 | VARIABLE STØRRELSER286s Oppgave 3.231 En forretning setter opp prisene sine med en fast prosent. Tabellen viser prisen x før prisstigningen for noen varer og prisen y etter prisstigningen for disse varene. Alle prisene er uten merverdiavgift. x (kr)255075100125 y (kr)275481108135 a) Vis at y er proporsjonal med x. b) Finn proporsjonalitetskonstanten. Hva gir den uttrykk for her? c) Hvor mange prosent ble prisen på varene satt opp? d) Alle de nye prisene y skal i tillegg ha 15 % Utvidmerverdiavgift.tabellenogfinn prisene med merverdiavgift. Rund av svarene til nærmeste krone. Oppgave 3.232 Avgjør om disse påstandene er sanne eller usanne. Begrunn svaret. 1) Prisen på 1 kg appelsin er 24 kr. Pris og vekt er da proporsjonale størrelser. 2) Frida har 200 kr i timelønn. Timelønn og antall timer er da proporsjonale størrelser.
3 | VARIABLE STØRRELSER 287 s ÅPNE OPPGAVER Oppgave 3.300 «Utsikten» og «Øya» driver hytteutleie. Tabellen viser hvordan prisen for utleie blir regnet ut.«Utsikten»«Øya» Pris per døgn (kr)12001500 Vask av hytte (kr)500Gratis Ta utgangspunkt i tabellen og vis din kompetanse i proporsjonalitet. Lag problemstillinger og vis utregninger. Oppgave 3.301 Figuren viser utslippet av karbondioksid fra en bil som kjører med jevn fart. Søylene viser utslippet ved forskjellige tilbakelagte strekninger. 60003000200010004000500070008000Utslipp g 160010203040320048006400Strekning km Ta utgangspunkt i figuren og vis din kompetanse i proporsjonalitet. Lag problemstillinger og vis utregninger. Oppgave 3.302 Du har kjøpt et glass med pulverkaffe. På glasset står det at 100 g pulver er nok til 50 kopper kaffe. Bruk dette til å lage oppgaver om proporsjonalitet. Lag også løsninger til oppgavene. Legg vekt på å vise mest mulig kompetanse.
Anders Jeg sliter med å forstå hva vi mener med omvendt proporsjonalitet. Jeg husker at læreren sa at to størrelser er omvendt proporsjonale når en størrelse blir større når en annen blir mindre. Men vet ikke om jeg ble så mye klokere av det.
3 | VARIABLE STØRRELSER288s
Anders Ja, jeg skjønner at 1000 kr er mindre enn 2000 kr. Størrelsen minker. Men her er det jo ingen størrelse som øker. Summen på 2000 kr er jo den samme hele tida. Ta utgangspunkt i diskusjonen og forklar Andrine og Anders hva vi mener med at to størrelser er omvendt proporsjonale. Legg vekt på å vise mest mulig kompetanse. Oppgave 3.304 Solveig Du trenger da ikke huske alle! Ta for eksempel formelen , der v er farten, s er tilbakelagt strekning, og t er tida vi bruker på strekningen. Du bare bytter om to og to variabler innbyrdes. Preben Jeg syns formelregning er vanskelig. Det er så mange varianter av en og samme formel. Det er umulig for meg å huske alle. Preben Mener du at jeg kan bytte om v og t slik at jeg får ? Solveig Ja, nettopp! Preben Hm, nei, den forklaringen holder vel ikke. Da kan jeg jo bytte om s og v slik at jeg får , og det stemmer ikke med formlene jeg har pugget. s v t s t v v t s Ta utgangspunkt i diskusjonen og forklar hvordan vi gjør om slike formler. Vis din kompetanse i formelregning. Lag problemstillinger og vis utregninger.
Oppgave 3.303 Andrine Det gir mening. Hvis vi leier en hytte og betaler 2000 kr for den, blir det 1000 kr å betale på hver av oss.
d) Finn arealet A3 av kvadratet på figuren som er satt sammen av det lille kvadratet i midten og tre omganger med remser.
Oppgave 3.306
e) Tenk deg nå et kvadratisk tømmerkoiemotiv satt sammen av det lille kvadratet i midten og n omganger med remser, der n er et hvilket som helst naturlig tall. Kall arealet av dette kvadratet for An. Finn An uttrykt ved n.
3 | VARIABLE STØRRELSER 289 s
Oppgave 3.305
På figuren er det 12 remser, nummerert fra 2 til 13. De er sydd sammen rundt det lille kvadratet i midten. Når vi skal lage et veggteppe eller et sengeteppe, syr vi sammen mange slike kvadratiske motiver. Vi regner her med at det lille kvaratet i midten har sider som er 1 tomme, og at alle remsene har bredde lik 1 tomme.
c) Finn arealet A2 av kvadratet som er satt sammen av det lille kvadratet i midten og to omganger med remser, dvs. kvadrat nr. 1 og remse nr. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.
Figuren viser ei tømmerkoiemotiv som er sydd i lappeteknikk. Det er en av de mest kjente amerikanske lappeteknikkene. Navnet kommer av at metoden minner om lafting av tømmerhytter. Kvadratet i midten skal forestille pipa på hytta, og remsene rundt skal minne om tømmerveggene.
15913 1026 3711 1284
a) Finn arealet i kvadrattommer av remse nr. 2, 3, 4, …, 13.
Sammenhengen mellom maksimal puls M (antall slag/min) og alder A (antall år) er gitt ved formelen M 211 0,64 A Ta utgangspunkt i formelen, lag problemstillinger og vis utregninger. Vis mest mulig kompetanse i formelregning.
b) Finn arealet A1 av kvadratet som er satt sammen av det lille kvadratet i midten og én omgang remser, dvs. kvadrat nr. 1 og remse nr. 2, 3, 4 og 5.
362 1.31 a) 15 prosentpoeng b) 15 på begge 1.32 a) 2 prosentpoeng b) 6 prosentpoeng 1.33 a) 1,67 prosentpoeng økning b) 11,1 % økning 1.40 a) 1,12 b) 1,85 c) 1,03 d) 1,015 e) 1,0075 f) 3 1.41 a) 0,88 b) 0,945 c) 0,48 d) 0,9875 e) 0,9925 f) 0,635 1.43 a) 25 % b) 12,5 % c) 2,05 % d) 0,31 % e) 57 % f) 115 % 1.44 a) 25 % b) 12 % c) 1,5 % d) 7,25 % e) 75 % f) 100 % 1.46 VekstfaktorProsentvis endring 1,07 +7 % 0,92 –8 % 0,26 –74 % 2,15 +115 % 1.50 a) Dagskort: 72 kr Ukeskort: 200 kr Månedskort: 480 kr b) Dagskort: 425 Ukeskort: Månedskort:504990 1.51 a) 0,763 b) 23,7 % 1.52 a) 1,40 b) 3,2 kg 1.53 a) 7600 b) 5 % c) 0,25 % nedgang 1.54 a) 47 kr b) 84 kr 1.55 a) 600 elever b) 25 elever 1.56 a) 20 % b) 12,5 % 1.57 T-skjorter: 1800 Bukser: 900 Jakker: Gensere:360540 1.60 a) 1509 kr b) 62,3 % 1.61 a) 628 kg b) 21,5 % 1.62 a) 2,33 millioner kr b) 11,2 % 1.63 a) 19,3 timer b) 67 kg 1.64 376 083 kr 1.65 a) ca. 13 300 b) ca. 3950 c) 9 år 1.67 10 % mellom alle. 1 1.10 a) 34 % b) 15 % c) 25 % d) 40 % e) 4 % f) 12,5 % 1.11 a) 45,90 kr b) 2146,37 kr c) 4377,50 kr d) 4000 kr 1.12 a) 129,25 kr b) 3710,65 kr 1.13 a) 7 10050 50 1007 b) 3,5 1.20 a) 20 % b) 24 % 1.21 Mari: 40 % Petter: 50 % 1.22 25 % 1.23 a) 35,9 % b) 35,1 % c) 28,9 % 1.25 a) 175 kr b) 37,5 timer 1.26 a) 75 poeng b) 18 jenter 1.27 a) 125 1.30 a) 0,25 prosentpoeng b) 25 % FASIT TEORIDEL
363 REPETISJONSOPPGAVER 1 Oppgave 1 0,974, vekstfaktoren forteller at folketallet har sunket med 2,6 %. Oppgave 2 a) 20,40 kr b) 24,6 % Oppgave 3 «Full tank» måtte sette ned prisen med 3,8 %. «Tom tank» måtte sette opp prisen med 4,2 %. Oppgave 4 a) 3 prosentpoeng b) 13,0 % Oppgave 5 Pris det første året: 420 000 kr, pris det andre året: 436 800 kr. Oppgave 6 a) 27,4 % b) 3,7 % c) 48,1 % Oppgave 7 Uttrykk 3 Oppgave 8 a) 42 560,83 kr b) 31 951,83 kr Oppgave 9 27 998 kr Oppgave 10 a) 287 009 kr 2 2.10 a) 35 b) 210 c) 54 d) 1010 e) 108 2.11 a) 2 b) 100 c) 4 d) 9 e) 3000 2.12 a) 9 b) 9 c) 27 d) 27 e) 81 f) –81 2.13 a) 50 b) 40 c) 6 2.20 a) 1 b) 1 c) 15 d) 161 e) 1001 f) 1 g) 1 10 000 2.21 a) 3 b) 2 c) 43 d) 2 2.22 a) 21 b) 3 c) 1 d) 3 e) 1 f) a 2 2.30 a) 81 b) 278 c) 0,001 d) 1681 2.31 a) 54x 4 b) 273 x c) 26 36 2.32 a) 8 b) 20 c) x42 d) 3x 4 2.33 a) 1 000 000 b) 0,0004 c) 9 d) 1,5 2.34 a) a 8 b) x 2 c) x d) 1 x 2.40 a) 2,3 106 b) 1,8 108 c) 3,0 103 d) 7,81 105 2.41 a) 2300 b) 0,071 c) 8 440 000 d) 0,0000292 2.42 a) 1,53 10 4 b) 1,43 104 c) 9,37 108 d) 2,75 10 6 2.43 a) 2,4 102 b) 3,0 103 c) 2,3 1015 d) 2,0 10 14 2.44 a) 0,015 b) 0,1 c) 40 d) 1,5 2.45 a) 8 10 2 b) 2,4 105 c) 8,0 106 d) 5 1015 2.46 a) 3,4 102 m/s b) 3,0 108 m/s 2.47 a) 5,3 1023 m b) 2,4 1022 m 2.50 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289 2.51 a) 6 b) 8 c) 11 d) 14 e) 15 2.52 a) 154 b) 507 c) 14512 d) 20014 2.53 a) 15387, b) 50707, c) 1451204, d) 2001414, 2.54 a) 54 b) 78 c) 111 d) 73 2.56 a) 33 b) 53 c) 9 2 2.60 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000
228 ff, graden235til et polynom 197 grafen til funksjon 167 grafisk avlesning 162 grafisk løsning av likningssett grunntall164 39 gruppert materiale 126 ff –gjennomsnitt 134, 135 –median 136 ff –sentralmål 134 ff H histogram 128 ff, 139 digitalt –søylehøyde128-130127 I intervall 126, 166 intervallbredde 127 K kakediagram 98 kjennetegn ved funksjoner 223 ff konstantledd 148, 149 koordinater 190 kubikkrot 53, 57 kubikktall 53 kumulativ frekvens 114 kurvediagram 100 kvadratrot 50, 57 kvadrattall 50 L likningen til rett linje 146, 183 finne likningen 155 ff, 183 lineær funksjon 168, 183 lineær modell 178 lineær regresjon 178, 183 lineær vekst 171 ff, 183 linjediagram 100 ff –digitalt 104, 105 loddrett linje 149 M matematisk modell 178 lineær modell 178 median 110 ff, 139 –gruppert materiale 136 –i en sortert liste 111 –i frekvenstabell 114 ff –Python 113, 115 momentan vekstfart 233, 235 N naturlig tall 41 normalfordelt 118 nullpunkt 190 O observasjon 96 observasjonsverdi 96 omvendtstørrelserproporsjonale85ff,89 P parabel 190 polynom polynomfunksjon235 197 ff, 235 polynomregresjon 200 ff potens potensfunksjon39 216 ff, 224 potensregresjon 218 proporsjonale størrelser 79 ff, 89, 171, proporsjonalitetskonstant183 79, 85, prosent898 ff, 31
386 ASTIKKORD andel 10 andregradsfunksjon 190 ff, 223, 235 B bunnpunkt 190, 235 D datamateriale 96 ff datasett definisjonsmengden96 166 diagram –digitale139101 ff –kake- 98 –kurve–linje-100100 ff –sektor- 98 ff –stolpe- 97 –søyle- 97 ff digital graftegning 151 ff digitale diagrammer 101 ff E eksponent 39 eksponentialfunksjon 205 ff, 225, ekstremalpunkt–vekst–regresjon–modelleksponentiell235205209205ff 191, 235 F figurtall 75 fjerdegradsfunksjon 201 fjerdegradspolynom 197 fjerderot 54, formelregning5768 ff, 89 frekvens frekvenstabell96 96 funksjon 166 ff, 183 –andregrads- 190 ff, 223, 235 –eksponential- 205 ff, 225, 235 –lineær 168, 183 –polynom- 216 ff, 224, 235 –potens- 216 ff, funksjonsverdifunksjonsuttrykkfunksjonsnavnfunksjonsbegrepet235166166166166 gjennomsnitt 106 ff, 139 digitalt –gruppert108materiale 134, 135 –Python 109, gjennomsnittlig113vekstfart
G
