Qed 1 7 bind2 bla i bok

Boka er inndelt i følgende 12 kapitler: 1. Tallenes hemmeligheter 2. Geometri 3. Funksjonslære 4. Statistikk og kvantitativ metode 5. Kvalitative metoder i matematikkdidaktisk forskning 6. Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på 1.–7. trinn 7. Aspekter av lærerens undervisningskunnskap i matematikk 8. Internasjonale studier i matematikk – design, relevans, resultater og trender 9. Vurdering 10. Kartlegging og undervisning i dynamisk perspektiv 11. Problemløsning i matematikk 12. Utematematikk

Redaktører: Trond Stølen Gustavsen har doktorgrad i matematikk fra Universitetet i Oslo og er professor ved Institutt for matematikk og naturfag, Høgskolen i Buskerud og Vestfold.

Kristin Ran Choi Hinna er cand.scient. i matematikkdidaktikk fra Høgskolen i Agder og er førstelektor ved Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Bergen.

Inger Christin Borge har doktorgrad i matematikk fra University of Oxford og er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førsteamanuensis ved Matematisk institutt, førstelektor ved Institutt for lærerutdanning og skoleforskning og fagreferent i matematikk ved Realfagsbiblioteket.

QED 1-7

Utvalget av emner til QED 1–7-bøkene er tilpasset de nasjonale retningslinjene for grunnskolelærerutdanningen og erfaringer og synspunkter fra lærerutdanninger i Norge. Bøkene er forankret i forskning og presenterer oppdatert kunnskap om matematikk som undervisningsfag tilpasset behovene i dagens skole og samfunn.

Gustavsen, Choi Hinna, Borge og Andersen (red.)

QED 1–7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen, bind 2 er tilpasset 30 studiepoeng fordypning i matematikk og bygger videre på de 30 studiepoengene som er obligatoriske i grunnskolelærerutdanningen 1.–7. trinn.

T R O N D S T Ø L E N G U S TAV S E N KRISTIN RAN CHOI HINNA INGER CHRISTIN BORGE PEER SVERRE ANDERSEN (RED.)

QED 1-7

Peer Andersen er cand.scient. i matematikk fra Universitetet i Bergen og er førstelektor i matematikkdidaktikk ved Institutt for lærerutdanningsfag, Høgskolen i Telemark.

Bind 2 ISBN 978-82-02-42092-5

9 788202 420925 www.cda.no

MATEMATIKK FOR GRUNNSKOLELÆRERUTDANNINGEN Bind 2

Innhold

Kapittel 1

Velkommen til studiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Tallenes hemmeligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Olav Gravir Imenes

19

1.1

Innledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2

Regning med hele tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Etterfølgerprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Velordningsprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 Lukkethet under operasjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.5 Delelighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.6 Minste felles multiplum og største felles faktor . . . . . . . .

1.2.7 Euklids algoritme for å finne største felles faktor . . . . . . .

23 23 24 27 29 34 38 41

1.3

Kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Definisjon av kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Eksempler på kongruens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.3 Regning med rester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Formelle bevis for regneregler i kongruensregning. . . . . .

1.3.5 Delelighetsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.6 Feiloppdaging ved hjelp av kongruensregning . . . . . . . . . .

1.3.7 Grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47 47 51 55 59 69 72 75

1.4

Lineære kongruenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.1 Løsning med klokkemetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2 Løsning med multiplikasjonstabell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.3 Nulldivisorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.4 Løsning med diofantiske likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82 88 89 94

6

INNHOLD

1.5

1.6

Kapittel 2

Heltallsløsninger av lineære likninger (diofantiske likninger) . . . .

1.5.1 Å finne e´n løsning ved hjelp av Euklids algoritme . . . . . .

1.5.2 Å finne alle løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.3 Å finne positive løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.4 Grafisk framstilling av løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.5 Løsning av diofantiske likninger ved omforming til kongruenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.6 Tilfeller hvor den diofantiske likningen ikke har løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 97 99 100 101 103

Tallenes byggesteiner: Primtall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.1 Eratostenes’ såld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.2 Bruk av aritmetikkens fundamentalteorem til å skrive og multiplisere tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6.3 Bevis av aritmetikkens fundamentalteorem. . . . . . . . . . . . .

1.6.4 Å sjekke om et stort tall er et primtall . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 109

1.7

Kryptografi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.1 Bokstavkoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.2 Feiloppdagingskoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.3 Diffie-Hellmann nøkkelutveksling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118 119 124 128

1.8

Tallfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.1 Aritmetiske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.2 Geometriske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.3 Rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133 135 143 145

1.9

Fibonacci-tallene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.1 Historisk eksempel: Kaninoppdrett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.2 I naturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.3 Binets formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148 148 152 153

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Andrea Hofmann og Odd Tore Kaufmann

159

2.1

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Historisk tilbakeblikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Geometri i LK06/13 og kort presentasjon av kapitlene. . .

159 159 162

2.2

Geometri i norsk skole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Striden på 1800-tallet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Læreplaner (fra 1890-årene til 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164 164 164 166

2.3

Romforståelse og bruk av konkreter i geometriundervisningen . . .

2.3.1 Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Geometrisk forståelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3 Romlig resonnering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.4 Utforskning av former og figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.5 Bruk av konkreter i geometriundervisningen . . . . . . . . . . .

171 171 173 176 181 182

111 112 117

INNHOLD

2.4

7

Euklidsk geometri og ikke-euklidsk geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Euklid og hans aksiomsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2 Euklids Elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.3 Euklids katetsetning og Euklids høydesetning . . . . . . . . . . .

2.4.4 Ikke-euklidsk geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.5 En liten oversikt over noen egenskaper i euklidsk og ikke-euklidsk geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193 193 195 198 200

Geometriske steder og konstruksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1 Konstruksjoner med passer og linjal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2 Geometriske steder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.3 Konstruksjoner av firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.4 Konstruksjoner som er umulige kun med passer og linjal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209 210 210 216

2.6

Utforskning og bevis i geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1 Bevis i skolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.2 Å finne eksempler versus å bevise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3 Bevis av periferivinkelsetningen og Thales’ setning . . . . .

2.6.4 Egenskaper ved firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.5 Utforskning av geometriske sammenhenger i GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229 229 230 232 234

2.7

Romlegemer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1 Cavalieris prinsipp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.2 Polyedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245 245 249

2.8

Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.1 Symmetri i LK06/13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.2 Båndsymmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.3 Tapetsymmetri (flatesymmetri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.4 Sammensetning av symmetrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262 263 265 269 272

2.9

Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.1 Utforskning: Mot en definisjon av de trigonometriske funksjonene sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.2 Definisjon av sinus, cosinus og tangens for spisse vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.3 Sinus, cosinus og tangens til noen spesielle vinkler . . . . .

2.9.4 Sinus, cosinus og tangens for stumpe vinkler (og generelt for alle vinkler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.5 Arealet til en trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.6 Sinussetningen og cosinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.7 Radianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288

2.5

207

217

236

289 290 296 298 301 302 305

8

INNHOLD

2.10

2.11

Kapittel 3

Vektorer, kongruensavbildninger og symmetrier i koordinatsystem i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10.1 Regning med vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10.2 Kongruensavbildninger i koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . .

2.10.3 Symmetrier i koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10.4 En anvendelse av vektorregning: Å finne tyngdepunktet til en trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314 316 332 335 336

Geometri i kunst og arkitektur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.11.1 Tesselering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.11.2 M.C. Escher. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.11.3 Perspektivtegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.11.4 Det gylne snitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

342 342 351 356 360

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

376

Funksjonslære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inger Christin Borge

379

3.1

Funksjoner og reelle tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Funksjon og definisjonsmengde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3 Tallinja og intervaller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.4 Diverse funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.5 Begrepet grenseverdi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.6 abc-formelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.7 Begrepet kontinuitet og de reelle tallene . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.8 Fortegnsskjema og polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.9 Funksjonsdrøfting – definisjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

379 379 381 382 386 397 403 411 419 427

3.2

Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Gjennomsnittlig vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Momentan vekstfart – den deriverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.4 Derivasjonsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.5 Den dobbeltderiverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.6 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.7 Maksimums- og minimumsproblemer . . . . . . . . . . . . . . . . .

433 434 437 443 446 453 454 464

INNHOLD

Kapittel 4

9

Statistikk og kvantitativ metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Knut Ole Lysø

471

4.1

Stokastiske forsøk og stokastisk variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Forventet verdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Varians og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

474 475 476

4.2

Normalfordelingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 Standard normalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 Generell normalfordeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

479 482 485

4.3

Populasjon, utvalg og utvalgsfordelinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.1 Ulike typer utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.2 Hva vi skal skaffe informasjon om . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3.3 Utvalgsfordelingen til middelverdien og andeler . . . . . . . .

4.3.4 Grensefordeling og sentralgrenseteoremet . . . . . . . . . . . . .

4.3.5 Utvalgsfordeling til andeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

487 487 489 491 495 499

4.4

Estimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.1 Punktestimator og punktestimat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.2 Intervallestimat/konfidensintervall for gjennomsnittet 4.4.3 Intervallestimat/konfidensintervall for andelen p. . . . . . . .

4.4.4 Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i andeler p1 p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.5 Intervallestimat/konfidensintervall for forskjell i gjennomsnitt 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

503 503 508 514

4.5

4.6

Hypoteseprøving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5.1 Hypoteser om en binomisk p eller andelen p ¼ S=N – innledende problemstillinger . . . . . . . .

4.5.2 Hypoteser om et populasjonsgjennomsnitt . . . . . . . . . . .

517 522 527 529 544

Hypoteseprøving mellom to populasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.1 Hypoteseprøving mellom to andeler p1 og p2 . . . . . . . . . . .

4.6.2 Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt 1 og 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6.3 Hypoteseprøving mellom to populasjonsgjennomsnitt i relaterte stikkprøver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

552 553

Lineære sammenhenger mellom variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.1 Korrelasjon og korrelasjonskoeffisient . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.2 Hypoteser om korrelasjonskoeffisienten i populasjonen .

4.7.3 Enkel regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7.4 Enkel regresjon utført i Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

567 567 574 575 581

Statistiske tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

587

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

591

4.7

559 564

10

INNHOLD

Kapittel 5

Kapittel 6

Kvalitative metoder i matematikkdidaktisk forskning . . . . . . . . . . . . . . . .

Kristin Ran Choi Hinna

593

5.1

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.1 Hva er matematikkdidaktikk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2 Hva er forskning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

593 594 594

5.2

Bacheloroppgaven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2.1 Eksempler på bacheloroppgaver i matematikkdidaktikk .

596 596

5.3

Ulike tilnærminger til datainnsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Observasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2 Intervju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3 Triangulering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Dokumentanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

600 601 605 608 609

5.4

Analyse, tolkning og fortolkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

610

5.5

Validitet og reliabilitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.1 Validitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.2 Reliabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

613 613 616

5.6

Etikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

618

5.7

Bacheloroppgaven: Forberedelser og skriving. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.1 Forberedelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.7.2 Skrive en fagtekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

623 623 626

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

629

Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på 1.–7. trinn . . . . . . .

Arne Jakobsen, Janne Fauskanger, Reidar Mosvold og Raymond Bjuland

631

6.1

Episoder fra klasserommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

631

6.2

Undervisningskunnskap i matematikk – UKM . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Ulike deler av UKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

639 642

6.3

Avrunding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

652

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

654

INNHOLD

Kapittel 7

11

Aspekter av lærerens undervisningskunnskap i matematikk. . . . . . . . . .

Bodil Kleve

657

7.1

De fire 7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4

kategoriene i kvartetten – en utdypning . . . . . . . . . . . . . . . .

Foundation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Connection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contingency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

660 660 662 663 664

7.2

Kunnskapskvartetten – hvorfor og hvordan?

Eksempler fra klasserommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1 Brøk på 5. trinn – eksempel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.2 Brøk på 5. trinn – eksempel 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

665 665 673

Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

682

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

683

Internasjonale studier i matematikk – design, relevans, resultater og trender. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Liv Sissel Grønmo

685

8.1

Internasjonale komparative undersøkelser i matematikk . . . . . . . .

686

8.2

Kjennetegn på matematikk i norsk skole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.1 Utviklingen i matematikkprestasjoner i Norge fra 1995 til 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

688 691

8.3

Tilbakegang og framgang på småskoletrinnet i nordiske land . . .

694

8.4

Tilbakegang og framgang på mellomtrinn og ungdomstrinn i nordiske land . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4.1 Tall og algebra i de nordiske landene . . . . . . . . . . . . . . . . . .

695 697

8.5

Eksempler på oppgaver fra TIMSS og TEDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.5.1 Norske elevers prestasjoner i aritmetikk på barnetrinnet. . .

8.5.2 Norske elevers prestasjoner i algebra på 8. trinn . . . . . . .

8.5.3 Norske lærerstudenters prestasjoner i tall og algebra. . .

699 700 702 704

8.6

Ulike trender i Norge og Sverige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

710

8.7

Oppsummering og diskusjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

712

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

714

7.3

Kapittel 8

12

INNHOLD

Kapittel 9

Kapittel 10

Vurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Helga Kufaas Tellefsen

717

9.1

Hva er vurdering, og hvorfor skal vi vurdere? . . . . . . . . . . . . . . . . . .

717

9.2

Kontroll eller tilrettelegging for læring? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

718

9.3

Nasjonale og internasjonale tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.1 Internasjonale tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.2 Nasjonale tester – Hva forteller de? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

720 720 722

9.4

Vurdering for læring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.1 Matematisk kompetanse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.2 Undervisningskunnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.3 Vurdering for læring i klasserommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4.4 Undervisningssekvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

727 728 729 730 734

9.5

Standpunktvurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

753

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

755

Kartlegging og undervisning i dynamisk perspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Svein Aastrup og Ketil Johnsen

757

10.1

Innledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

757

10.2

Dynamisk kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.1 Utgangspunkt for kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.2 Hva forteller tradisjonelle kartleggingsprøver, og hva trenger læreren å vite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.3 Fange opp eleven som sliter i matematikk . . . . . . . . . . . . .

10.2.4 Å støtte eleven til mestring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.5 Den dynamiske kommunikasjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.6 Hvem kartlegger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.7 Første gang – forberedelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.8 Erfaringer fra dynamisk kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.9 Å lete etter elevens uformelle matematikkunnskaper. . .

10.2.10 I møte med eleven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.11 Gjennomføring av dynamisk kartlegging – Ivar, 5. trinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.12 Supplerende kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2.13 Hva vi fant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

758 760

10.3

Dynamisk undervisning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.1 Planlegging av tiltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.2 Tiltak rettet mot Ivar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.3 Oppgaveformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.4 Struktur og prosess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3.5 Samhandling og metakognisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

782 786 788 791 795 804

10.4

Betydningen av vurdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

810

10.5

Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

810

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

812

763 764 765 767 768 768 769 770 771 772 778 781

INNHOLD

Kapittel 11

13

Problemløsning i matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

George H. Hitching og Hans Wilhelm Mørch

815

11.1

Innledning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1.1 Oversikt over innhold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

815 816

11.2

Hva er problemløsning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2.1 Et relativt begrep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2.2 Ikke bare e´n løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2.3 Holdninger til matematikkfaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2.4 Utforskning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Po´lyas strategi for problemløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.1 Fire faser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.2 Eksempler på Po´lyas strategi i praksis – løste problemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.3 Po´lya om heuristikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.4 Misoppfatninger rundt Po´lyas strategi. . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3.5 Po´lya på grunnskolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

817 817 818 820 821

11.4

Problemløsning og gruppearbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4.1 Oppgaver til gruppearbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4.2 Heterogene eller homogene grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4.3 Ikke bare gruppearbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

842 842 842 843

11.5

Utfordringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5.1 Det skal være ekte problemløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5.2 Å komme gjennom pensum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5.3 Samarbeid med foresatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.5.4 Faglig kunnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

844 844 844 845 845

11.6

Noen oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

846

11.7

Kilder med problemløsningsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

849

Litteratur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

849

Utematematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dag Gulaker

851

12.1

Om matematikk ute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

860

12.2

Hva gjør vi? Aktiviteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

861

12.3

Tema 1: Måling med 1-metertauet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.1 Måling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.2 Brøk og meter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.3 Metertauet og geometriske figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.4 Metertauet, areal og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

863 863 864 865 865

12.4

Tema 2: Matematikk i en sykkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

866

12.5

Tema 3: Jakten på matematikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

867

12.6

Tema 4: Målestokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

868

11.3

Kapittel 12

822 822 825 835 839 841

14

INNHOLD

12.7

Tema 5: Tall og bevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.7.1 Del A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.7.2 Del B – «36-leken». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.7.3 Del C – Kaste 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

869 869 870 871

12.8

Tema 6: Måling av avstander og høyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

871

12.9

Tema 7: Geometriske former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

874

12.10 Tema 8: Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

876

12.11

Tema 9: Vinkler ute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

877

12.12 Tema 10: Regn med vann, is og snø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

879

12.13 Tema 11: Kuler og stabling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

880

12.14 Tema 12: Skattejakt og matematikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

882

12.15 Tema 13: «Tårnet i Hanoi» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

883

12.16 Tema 14: Statistikk ute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

884

12.17 Tema 15: Å regne i fjæra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

885

12.18 Tema 16: Den matematiske turen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

886

12.19 Tema 17: Sola, himmelretning og tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

887

Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

888

Presentasjon av redaktører og forfattere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

889

Bildeliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

895

Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

897

Velkommen til studiet Forord Det er med glede vi presenterer QED 1–7, bind 2 og dermed ferdigstiller QED 1–7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Arbeidet med QED-serien startet høsten 2009 parallelt med at ulike utvalg arbeidet med planene for grunnskolelærerutdanningens oppstart høsten 2010.

En viktig del av visjonen for QED 1–7-bøkene har vært å lage et mest mulig komplett læreverk for matematikklærere på 1.–7. trinn. Innholdet er valgt med utgangspunkt i de nasjonale retningslinjene for grunnskolelærerutdanningen og innholdet i grunnskolelærerutdanningen ved forskjellige lærerutdanninger i Norge. QED 1–7, bind 1 og bind 2 ivaretar 60 studiepoeng matematikk i grunnskolelærerutdanningen 1.–7. trinn.

Bind 1 er tilpasset de obligatoriske 30 studiepoeng matematikk i grunnskolelærerutdanningen, mens bind 2 er skrevet med tanke på studenter som ønsker 30 studiepoeng utover det obligatoriske matematikkurset.

Redaksjonsgruppen og de 16 forfatterne har sammen en omfattende og sammensatt kompetanse. Det gjør at vi tar opp mange sider ved matematikk i skolen og lærerutdanningen. Boka presenterer oppdatert kunnskap om matematikk som undervisningsfag tilpasset behovene i dagens skole og samfunn.

Blant de mange som har bidratt til utgivelsen av denne boka, vil redaksjonsgruppen særlig takke kapittelforfatterne. Uten deres spisskompetanse og formuleringsevne hadde det ikke vært mulig å lage boka.

Forfatternes kompetanse representerer denne bokas viktigste verdi, men den hadde likevel ikke blitt til uten initiativet fra forlaget. Redaksjonsgruppen vil rette en stor takk til forlagsredaktør Bjørn O. Aa. Hansen.

Uten Bjørns energi og drivkraft hadde ikke bøkene blitt realisert.

Redaksjonsgruppen ønsker også å takke fagkonsulentene, språkkonsulent Siv Rekve og typograf Vegard Brekke for fremragende arbeid med manuskriptet.

Redaksjonsgruppen, Drammen/Bergen/Oslo/Kongsberg

16

VELKOMMEN TIL STUDIET

Innledning Denne boka er nummer to i QED 1–7-serien. Sammen med QED 1–7, bind 1 er boka ment å dekke 60 studiepoeng i matematikk rettet mot undervisning på trinnene 1–7.

Hvis du har brukt QED 1–7, bind 1, vil du kjenne deg igjen. Typografi og oppsett er det samme, og du vil kjenne igjen en del av temaene som blir behandlet. Boka bygger videre på og utdyper temaer fra bind 1.

For et godt læringsutbytte må du ha arbeidet grundig med stoffet i den første boka, og forhåpentligvis vil du da se bind 2 som en naturlig fortsettelse av læringen du er i gang med.

Mens mye av bind 1 er viet dybdeforståelse av matematikken du skal undervise i, inneholder bind 2 også faglige emner som kan beskrives som horisontkunnskap, se kapittel 6. Når du tilegner deg denne kunnskapen, vil du se skolematematikken i en større sammenheng, og du vil forstå mer av matematikkens egenart. Mens matematikk som skolefag var i fokus i bind 1, vil en del av fokuset i bind 2 være på hvordan skolematematikken henger sammen med mer avanserte faglige temaer.

Det forskes mye på hvordan matematikkundervisning kan gjøres best mulig, og hva som skal til for å bli en god matematikklærer. Vi har engasjert forfattere som skriver med utgangspunkt i inngående forskningsbasert kunnskap innen utvalgte emner som er viktige for matematikklærere.

Boka har 12 kapitler. De første tre kapitlene, Tallenes hemmeligheter, Geometri og Funksjonslære tar utgangspunkt i matematikkfaglige temaer.

Gjennom disse kapitlene vil du få en dypere innsikt i sentrale temaer med tilknytning til skolematematikken. I kapittel 1 blir det fokusert på sentrale egenskaper til hele tall, og i kapittel 2 blir det arbeidet med geometri. Begge disse temaene er spesielt sentrale for grunnskolelærere på 1.–7. trinn. I kapittel 3 arbeides det med funksjoner og reelle tall.

På bokas nettside vil du finne digitale ressurser til blant annet dette kapittelet.

Kapittel 4 handler om statistikk og sannsynlighet. Dette er både et faglig og et metodisk kapittel. Du vil videreutvikle din kunnskap om statistikk som fag samtidig som du får et verktøy som kan brukes til statistiske undersøkelser. Siden algebra inngår i flere av kapitlene, vil de fire første kapitlene sammen videreutvikle dine kunnskaper innenfor alle hovedområdene i gjeldende læreplan.

Kapittel 5 markerer overgangen til kapitlene som handler om matematikkdidaktisk forskning og praksis. Det er et mål at du som matematikklærer skal kunne gjøre bruk av forskning i ditt arbeid som lærer,

INNLEDNING

17

og du skal også ha kjennskap til hvordan man kan framskaffe forskningsbasert kunnskap. Dette kapittelet handler om kvalitative forskningsmetoder og vil blant annet gi deg innsikt i og tips om hvordan du kan skrive bacheloroppgaven din. Sammen med metoder for å bearbeide kvantitative data i kapittel 4 gir dette en forståelse av hvordan man kan få forskningsbasert kunnskap om læring og undervisning av matematikk.

De neste kapitlene gir eksempler på slik kunnskap.

Kapittel 6 og 7 handler om matematikklærerens kompetanse.

Forskningen som presenteres, gir et godt bilde av hva som kjennetegner en god matematikklærer. Disse to kapitlene vil blant annet gi deg en ramme for hvordan du kan videreutvikle deg som matematikklærer.

Kapittel 8, 9 og 10 omhandler kartlegging og vurdering. PISA, TIMSS og andre internasjonale undersøkelser har blitt viktige premissleverandører for utdanningspolitikken. Kapittel 8 handler om internasjonale undersøkelser i matematikk. Kapittel 9 tar opp vurdering. Å gi tilbakemelding på elevenes arbeid er en av lærerens viktigste oppgaver, og vurdering er derfor noe du bør ha inngående kunnskap om. Kapittel 10 handler om dynamisk kartlegging og oppfølging av elever som møter utfordringer i matematikklæringen.

Kapittel 11 ser på problemløsningens plass i matematikkfaget og i matematikkundervisningen. Kapittelet utdyper og bygger på det du har lært om problemløsning i bind 1. Gjennom eksempler på problemløsningsoppgaver vil kapittelet øke din matematikkdidaktiske kompetanse.

«Utematematikk» er temaet i kapittel 12. Her vil du finne mange eksempler på hvordan det er mulig å gi elevene erfaring med praktisk bruk av matematikk.

Ditt studiested har sine egne mål for undervisningen. Sannsynligvis vil ikke alle kapitlene bli like mye vektlagt. Du kan også komme til å arbeide med artikler eller annen litteratur i tillegg til denne boka.

Det kreves mye kunnskap for å være en god matematikklærer. Du må ha kunnskap innen matematikk, matematikkdidaktikk og pedagogikk.

Læreryrket krever en matematikkforståelse som går ut over det å kunne det samme som elevene. Læreren må blant annet være i stand til å finne gode eksempler og aktiviteter, kunne begrunne og svare på spørsmål, se potensialet i og bygge videre på barns tanker om matematikk, ha et egnet ordforråd, kjenne til forklaringer som er forståelige for barn, kunne lese læreplaner, og kunne evaluere og vurdere barns matematikkforståelse, for bare å nevne noe. Du blir ikke fullt utlært i dette ved å lese QED 1–7, men målet med bøkene er at du skal få et solid fundament som du kan bygge videre på når du arbeider som lærer.

Tallenes hemmeligheter Olav Gravir Imenes

1

1.1 Innledning Tallteori er den delen av matematikken der vi undersøker relasjoner mellom hele tall, og klassifiserer dem på ulike måter. I sin snevreste form er tallteori læren om de naturlige tallene, nemlig de hele positive tallene 1, 2, 3, 4, . . ., men den utvides ofte til også å omhandle alle de hele tallene, hvilket betyr at vi også inkluderer 0 og de negative hele tallene.

Ut fra Kunnskapsdepartementets nasjonale retningslinjer for grunnskolelærerutdanningen 1.–7. trinn (Kunnskapsdepartementet, 2010, s. 35) er læringsmålene for matematikk 2 at studenten har undervisningskunnskap i og om matematisk teoridannelse knyttet til den systematiske oppbygningen av matematiske temaer, blant annet plangeometri og tallteori har kunnskap om hvordan viten i matematikk utvikles gjennom undersøkelser og eksperimenter og påfølgende bevisføring har kunnskap om ulike typer matematiske bevis, argumentasjonsformer og modeller innen blant annet algebra, funksjonslære og statistikk I tallteori har vi muligheten til å bygge opp et emne fra grunnleggende forutsetninger og bevise hvert steg. Dermed får vi vist hvordan en kan bygge opp et emne ved hjelp av logisk gyldige slutninger. Nettopp derfor er tallteorien særdeles godt egnet til å sørge for at læringsutbyttet når det gjelder kunnskap om systematisk oppbygning, bevisføring og argumentasjonsformer, blir oppfylt. Inndelingen i definisjoner, teoremer, bevis og eksempler er da essensiell for å tydeliggjøre strukturen, det vil si hvordan de matematiske begrepene henger sammen og bygger på hverandre.

Tallene kan skjule overraskende hemmeligheter. I tallteori har vi noen svært enkle grunnregler som de fleste elevene kan forstå og disse kan da

20

KAPITTEL 1 TALLENES HEMMELIGHETER

brukes til å oppdage mer avansert matematikk. Mange elever har en meget god intuisjon om hva som kan gjøres i tallteori, med andre ord finner de sanne resultater uten nødvendigvis å kunne forklare på en skikkelig måte hvorfor de er riktige. Men ofte går det også galt, og for å få et trygt grunnlag for den matematiske kunnskapen holder det ikke med intuisjon.

For å veilede elever er det viktig med et meget godt grunnlag også i bevisføring innenfor tallteori, nettopp slik Kunnskapsdepartementet foreskriver.

De dype sammenhengene i tallteori ser vi først når vi har arbeidet oss inn i emnet. Den franske matematikeren Grothendieck (udatert, s. 552– 555), har sagt at hvis du skal vise noe som du foreløpig bare tror er sant, er det to ekstreme måter å gjøre det på. Du kan se på problemet som ei nøtt, hard og glatt, og banke på nøtta med hammer og meisel så hardt du kan. Hvis ikke det går bra det første stedet du banker, så prøv et annet sted på nøtta, inntil skallet knuses. Denne metoden er spesielt fristende der du kan se at det finnes noen kanter eller framspring i skallet slik at du får tak i noe. Men noen ganger må du holde på lenge, og det er bare muskelkraft og utholdenhet som teller. Den andre måten er å bløtlegge nøtta, for eksempel i vann. Fra tid til annen gnir du på nøtta slik at vannet lettere trenger igjennom skallet. Skallet blir mykere og mykere, og i løpet av noen måneder er det så mykt at du kan presse nøtta åpen med bare hendene.

I denne framstillinga av tallteori angripes noen ganger det matematiske problemet direkte, som ved diofantiske likninger, og andre ganger indirekte, som ved delelighetsregler. I sistnevnte tilfelle utvikler vi kongruensregning og får etterpå delelighetsreglene nesten gratis. Kongruensregningen er sentral i tallteorien, og introduseres i kapittel 1.3. Den er et godt eksempel på hvordan man kan «eksperimentere» seg fram til resultater som så må bevises. Viktige anvendelser er delelighetsregler i kapittel 1.3.5, feiloppdagingstester i kapittel 1.3.6 og koder i kapittel 1.7. I kapittel 1.8 tar vi opp tallfølger, og kapittel 1.9 handler om Fibonacci-tallene, siden dette også er relevant i grunnskolen. Flere forskjellige matematiske emner har de samme strukturene; for eksempel har vi det vi kaller en matematisk gruppe både i tallteori og geometri. Derfor gir vi eksempler på grupper i kapittel 1.3.7.

Det er ikke alle begreper vi definerer. Noen sentrale begreper, som for eksempel mengde, eller naturlige tall, må introduseres ved hjelp av aksiomer, det vil si ubevisbare påstander som danner utgangspunkt for videre resonnementer.

I stedet for å ta en aksiomatisk tilnærming til de grunnleggende begrepene, er det noen begreper vi forutsetter at vi allerede kjenner definisjonen av, eller har så mye erfaring med at vi er villige til å godta

1.1 INNLEDNING

Figur 1 Progresjon gjennom tallteorien.

21

1.1 1.2 1.3.1 1.3.2

1.7.1

1.3.3

1.3.4

1.4

1.3.5

1.3.7

1.5

1.3.6

1.6

1.8

1.7.3

1.7.2

1.9

bruk av dem uten en presis definisjon. Eksempler på begreper vi vil forutsette at leseren kjenner til, er: mengde, delmengde, er inneholdt i og er element i, er lik, større enn, mindre enn, addere, multiplisere, subtrahere, dividere, ordne i rekkefølge. Det at vi forutsetter kunnskap om disse begrepene fra før, betyr ikke at det er enkle begreper. Enkelte av begrepene, for eksempel mengde, ville trenge en lengre redegjørelse enn det vi kan gå inn på her, men vi forutsetter at leseren har en viss kunnskap om dem fra før. Når vi setter et ord i kursiv, betyr det som regel at det er første gang ordet introduseres i teksten, enten som definisjon, eller med forventning om at leseren kjenner begrepet fra før. Noen ganger vil vi starte å drøfte et begrep for å gi bakgrunnsinformasjon før vi definerer det.

Da bruker vi ikke kursiv før selve definisjonen.

Hvis du ikke forstår drøftingen av et begrep, kan du prøve å gå rett til den matematiske formuleringen. Når du har sett den matematiske formuleringen, og et par eksempler, kan du gå tilbake til drøftingen og se om den nå gir mer mening. Ofte vil en oppdage at det egentlig er drøftingen som forklarer begrepet, og ikke minst motivasjonen for å innføre det. Men presiseringene skjer gjennom definisjoner. Hvis vi ser på alle definisjonene i et kapittel først, har vi det grunnleggende ordforrådet i det matematiske språket. Det er først etter at vi har dette grunnlaget at det gir mening å se på teoremene og eksemplene.

Som en introduksjon til matematisk eksperimentering og sammenhengen mellom matematisk intuisjon og matematiske bevis tar vi med en oppgave fra Fraleigh (1994, s. 7).

22

KAPITTEL 1 TALLENES HEMMELIGHETER

Oppgave

1.

Tegn en stor sirkel, og marker ett punkt på sirkelen.

Da er det ett sammenhengende område som er omringet av sirkelen.

Skriv tallet 1 under sirkelen. a) Plasser et ekstra punkt på sirkelen, og tegn korden som binder sammen de to punktene som nå er markert på sirkelen.

Hvor mange deler er nå området som omringes av sirkelen delt opp i? Skriv ned svaret ditt ved siden av tallet 1 under sirkelen. b) Plasser et tredje punkt på sirkelen, og trekk korder mellom dette punktet og alle de tidligere punktene på sirkelen.

Hvor mange deler er nå området inne i sirkelen delt opp i?

Skriv ned svaret ved siden av de andre tallene du har skrevet ned.

Hva tror du det neste tallet vil bli når du tegner et punkt til på sirkelen? c) Plasser et fjerde punkt på sirkelen, og trekk korder mellom dette punktet og alle de tidligere punktene på sirkelen.

Hvor mange deler er nå området innhyllet av sirkelen delt opp i?

Skriv ned svaret ved siden av de andre tallene du har skrevet ned.

Gjettet du riktig under b)? Foreslå hvordan følgen av tall under sirkelen vil se ut hvis du i det uendelige fortsetter med å markere et punkt på sirkelen og trekke korder mellom dette punktet og alle de punktene som er der fra før, og så telle antall områder du får. Skriv ned de første 8 tallene du foreslår. d) Plasser et femte punkt på sirkelen i generell posisjon slik at ingen av kordene treffer et snittpunkt der to andre korder snitter.

(Et slikt snitt ville redusere antallet deler som området omringet av sirkelen blir oppdelt i.) Trekk alle kordene, tell områdene, og skriv ned tallet. Stemmer dette med det du tippet i c)?

Hvis ikke gjetter du på nytt. Mener du at gjetningene dine er verifisert? Tror du at du har funnet et teorem?

Er dette i så fall bevist? e) Plasser et sjette punkt i en generell posisjon på sirkelen, trekk alle kordene, og svar på alle spørsmålene i d).

1.2 REGNING MED HELE TALL

23

1.2 Regning med hele tall Vi starter med å se nærmere på de viktigste egenskapene til de hele tallene og til de naturlige tallene. En stor del av kapittelet vil handle om relasjoner mellom hele tall.

De hele tallene ble gjennomgått i QED 1–7, bind 1, del I, kapittel 1, men vi gjentar definisjon 16, del I, kapittel 1.8, slik at vi har den lett tilgjengelig.

Definisjon 1

De hele tallene

De hele tallene ¢ består av de positive hele tallene, null og de negative hele tallene.

Vi har også de naturlige tallene, og vi repeterer definisjon 2 fra QED 1–7, bind 1, del I, kapittel 1.1.

Definisjon 2

De naturlige tallene

De naturlige tallene, •, er det samme som de positive hele tallene.

Definisjon 3

•0 Mengden •0 er de hele positive tallene samt 0.

1.2.1

Etterfølgerprinsippet

Når elever lærer å telle, starter de som oftest på 1, og teller videre 2, 3, 4 og så videre. Det er nøyaktig e´n måte å telle på. Det er med andre ord en stabil ordning av tallene. Dette kan vi formulere som et etterfølgerprinsipp eller et rekkefølgeprinsipp.

Definisjon 4

Etterfølgerprinsippet

Etterfølgerprinsippet sier at ethvert naturlig tall har en entydig etterfølger. Denne etterfølgeren er ikke 0.

2.3 ROMFORSTÅELSE OG BRUK AV KONKRETER I GEOMETRIUNDERVISNINGEN

173

ikke telle lenger enn til 29, da tallrekka etter det ble «tjueti – tjueelleve» og så videre. Et par måneder senere skulle klassen jobbe med tangram (se også kapittel Tangram). Elevene fikk utdelt de 7 tangrambrikkene, og oppgaven var å sette disse sammen til et kvadrat. Martin var lynrask til å løse denne oppgaven, mye raskere enn de andre elevene, og dette førte til at Martin følte en stor mestringsfølelse i matematikk. Han ble veldig glad og begynte å gå rundt til de andre elevene for å hjelpe dem til å sette sammen tangrambrikkene til et kvadrat. Da Martin var hos de andre elevene og hjalp dem, lå hans eget tangram igjen på pulten hans.

(Prøv selv å sette sammen de sju tangrambrikkene til et kvadrat.

Hvordan gikk det?)

2.3.2

Geometrisk forståelse

Van Hiele-modellen En teori som har hatt stor innflytelse, er ekteparet van Hieles teori fra 1957 om ulike nivåer for geometrisk forståelse. Van Hiele mente at barns forståelse utvikler seg hierarkisk fra visuell gjenkjenning via analyse, logisk ordning og deduksjon til stringens.

Senere forskning tyder på at barn kan være på flere nivåer samtidig, med et kontinuum mellom nivåene (Gutie´rrez, Jaime & Fortuny, 1991).

De første tolkningene av van Hieles nivåer, som også har vært de mest framtredende, har dreid seg om hvordan barn går gjennom disse nivåene når det gjelder todimensjonale former. En rekke forskere har derimot tatt i bruk og utviklet van Hieles nivåer til andre områder i geometri.

Et eksempel er forståelse av tredimensjonale former (Gutie´rrez et al., 1991; Gutie´rrez, 1992). Andre, som for eksempel Johnson-Gentile, Clements og Battista (1994), har analysert elevers forståelse av bevegelse/transformasjoner ved hjelp av van Hiele-nivåene. Vi skal ikke gå inn på de forskjellige nivåene i van Hieles modell her. Du kan lese en grundig beskrivelse i QED 1–7, bind 1, del I, kapittel 4.4.

Det er andre aspekter ved elevers geometriske forståelse som er verdt å fokusere på i dette kapitlet.

Romforståelse Dersom du ber om en veibeskrivelse, kan du for eksempel høre følgende: «Følg veien nedover mot sentrum. I neste kryss tar du til venstre og deretter til høyre. Hold deg til venstre for du skal rett fram i neste rundkjøring. Til slutt skal du ta tredje avkjøring til høyre.»

174

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Evnen til å kunne orientere seg brukes som et middel til å fastsette egen posisjon og andre objekter i rommet ved hjelp av begreper om orientering, som for eksempel retning, vinkel, distanse, og så videre. Orientering omfatter også det å tolke en visuell modell av en romlig situasjon fra en bestemt synsvinkel (se kapittel Romlig orientering og kapittel Romlig visualisering).

Hvorfor er romforståelse sentralt for matematikken på skolen?

I læreplanen (LK06/13) er det vektlagt at elevene skal kjenne igjen og beskrive trekk ved to- og tredimensjonale figurer, sortere og sette navn på figurene, og de skal bygge tredimensjonale modeller. I kompetansemålene i LK06/13 etter 7. trinn står det at «eleven skal kunne analysere eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og beskrive fysiske gjenstandar innanfor daglegliv og teknologi ved hjelp av geometriske omgrep» (Utdanningsdirektoratet, 2013f).

Ifølge (Føsker, 2012) er romforståelsen sentral for å utvikle en god tallforståelse. å ha evne til og utvikle gode strategier til problemløsning. å kunne tolke og forstå tabeller, grafer og visuelle framstillinger i matematikk.

La oss se litt nærmere på disse tre punktene: Tallforståelse Ifølge (Føsker, 2012) er utviklingen av en god tallforståelse hos elever avhengig av at elevene har en god romforståelse. Et vanlig møte med tall for elever på småskoletrinnet er gjennom tallinja. For at tallinja skal fungere som et tankeredskap, må elevene forstå at den er systematisk oppbygd, for eksempel må de ha en forståelse for at tallene øker mot høyre og minker mot venstre, og at avstanden mellom hvert heltall og det neste hele tallet er like stor hele veien. Dette betyr at elevene må ha en god oppfatning av begrepet avstand, som knyttes til romforståelsen, for å få en forståelse av tallinja.

Problemløsning Gjennom problemløsningsoppgaver blir elevene også utfordret på romlig forståelse. Ofte trenger elevene å lage mentale bilder eller fysiske bilder av en situasjon, slik at de kan rydde i informasjonen og løse problemet på en effektiv måte.

Nedenfor ser vi to eksempler på oppgaver (hentet fra Matematikksenteret) der elevene må lage mentale bilder eller bygge figurer med fysisk materiell for å kunne løse oppgaven.

2.3 ROMFORSTÅELSE OG BRUK AV KONKRETER I GEOMETRIUNDERVISNINGEN

Figur 3 Fra Matematikksenteret.

Figur 4 Fra Matematikksenteret.

175

176

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Visuelle framstillinger Elevene møter også tall gjennom mengder av objekter. I lærebøker er disse som oftest systematisk oppbygd. McIntosh (2007) hevder at en systematisk oppbygging av tallmengden i et ti-rutenett som vist nedenfor, vil gi elever et bedre tallbegrep. Fordelen med ti-rutenettet er at også mengder over fem kan visualiseres på en god måte. Ofte mister elevene oversikten, og de må telle en og en når mengden blir større enn rundt fire til fem objekter. Ved hjelp av romlig forståelse kan elevene enkelt «se» at antallet i ti-rutenettet nedenfor er ni. Det kan de gjøre ved at de for eksempel ser at det er en sirkel mindre i den nederste raden, eller at det mangler en sirkel på at rutenettet er fullt.

Figur 5 Matte overalt, Grunnbok 1.

2.3.3

Romlig resonnering

Romlig resonnering vil si evnen til å «se», inspisere og reflektere rundt romlige objekter, bilder, forbindelser og transformasjoner. Det inkluderer å bygge og manipulere med mentale representasjoner. For eksempel kan vi se for oss hvilke former vi får om vi deler et kvadrat langs diagonalen. En romlig resonnering og forståelse omhandler to hovedområder: romlig orientering og romlig visualisering.

Romlig orientering Romlig orientering betyr å vite hvor du er, og hvordan du beveger deg rundt i verden. Det betyr at du må forstå og operere med forskjellige posisjoner i rommet, spesielt med utgangspunkt i din egen posisjon. Det kan for eksempel være et tre du kjenner igjen på vei til skolen, eller en bakketopp du vet du skal forsere før du ser skolen. En slik romlig orientering fra elevens dagligliv danner utgangspunkt for en mer sentral orienteringskompetanse når det gjelder skolen, nemlig det å forstå og handle på bakgrunn av kart og koordinater: Et av kompetansemålene for matematikk etter 4. trinn er at «eleven skal kunne lese av, plassere og beskrive posisjonar i rutenett, på kart og i koordinatsystem, både med og utan digitale verktøy» (Utdanningsdirektoratet, 2013e).

I kroppsøving finner vi et liknende kompetansemål etter 7. trinn: «Eleven skal kunne orientere seg ved hjelp av kart og kompass i kjent terreng.» (Kunnskapsdepartementet, 2006, s. 154) Lærerne bør i denne

2.3 ROMFORSTÅELSE OG BRUK AV KONKRETER I GEOMETRIUNDERVISNINGEN

177

sammenheng gi elevene erfaringer med orienteringssituasjoner og kart som redskap for å løse problemer. Holdepunkter er viktige når det gjelder orientering. «Med holdepunkter menes ting eller steder som man husker, og som gjør det enklere å kjenne seg igjen og orientere seg videre ut fra disse.» (Føsker, 2012, s. 78) Ved hjelp av kart kan elevene lese av koordinater: Figur 6 Matte overalt, Arbeidsbok 4.

lære seg tegnforklaring: Figur 7

(Symbolene over er hentet fra http://nof-orientering.org/tegnforklaring.htm)

178

KAPITTEL 2 GEOMETRI

beskrive bevegelser i rutenett ut fra referanser: Figur 8 Matte overalt, Arbeidsbok 4.

arbeide med m책lestokk: Figur 9 (Rangnes, RaschHalvorsen & Aasen, 2008, s. 110)

2.3 ROMFORSTÅELSE OG BRUK AV KONKRETER I GEOMETRIUNDERVISNINGEN

179

Romlig visualisering Romlig visualisering handler om å forstå og utføre forestilte bevegelser av to- og tredimensjonale figurer. For å kunne gjøre det må barna/elevene kunne danne seg et mentalt bilde og manipulere det.

Nedenfor ser du to oppgaver fra TIMSS som eksemplifiserer romlig visualisering. I oppgaven for 4. trinn må elevene kunne «se for seg» formen til klossen etter at den er snudd. I den andre oppgaven, som er for 8. trinn, ser ikke elevene hele hullet og derfor ikke hvor mange terninger som skal til for å fylle hullet. De kan derfor ikke bare telle antall klosser som mangler. I stedet kan elevene ta utgangspunkt i figuren for å finne hvor mange klosser i lengden, bredden og høyden «hullet består av» og multiplisere disse tre tallene.

Figur 10 Fra TIMMS 2003, oppgaver 4. trinn.

Hentet fra http://www.timss.no/timss05_frigitte.html http://www.timss.no/oppgaver/2004_M_P1.pdf Figur 11 Fra TIMSS 2011, oppgaver 8. trinn.

Hentet fra http://www.timss.no/timss05_frigitte.html http://www.timss.no/Oppgaver%202011/Matematikk%20G8.pdf

180

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Oppgaven nedenfor er hentet fra ei lærebok på småskoletrinnet (Kaufmann, Olafsen & Rikheim, 2010b, s. 88). Her skal elevene analysere form og farge på klossene for å bestemme kameravinkelen som ble brukt for å ta bildene av objektene.

Figur 12 Matte overalt, Grunnbok 2B.

En romlig visualisering handler blant annet om å kunne se figurer fra ulike synsvinkler slik at de danner et helhetlig perspektiv. På denne måten vil elevene forberedes til å se og tolke bilder av tredimensjonale figurer. Et av kompetanseområdene etter 4. trinn er at elevene skal kunne kjenne igjen og beskrive trekk ved to- og tredimensjonale figurer. Et eksempel på et sentralt trekk ved tredimensjonale figurer er grunnflaten. For at elevene skal kunne bestemme grunnflatene til figurene nedenfor (Kaufmann, Olafsen & Rikheim, 2011, s. 76), må elevene se for seg hvordan figurene ser ut fra ulike synsvinkler – en romlig visualisering. (Se figurene øverst på neste side.)

2.3 ROMFORSTÅELSE OG BRUK AV KONKRETER I GEOMETRIUNDERVISNINGEN

181

Figur 13 Matte overalt, Grunnbok 3B

2.3.4

Utforskning av former og figurer

Det er viktig at elevene blir kjent med den dynamiske siden ved geometri, og at de lærer seg å se på former og figurer på forskjellige måter, klippe ut deler av en figur for så å sette disse et annet sted (restrukturere), og utforske former for eksempel gjennom tesselering (for tesselering se også kapittel 2.11.1). Rekonstruksjon av former er sentralt for at elevene skal kunne bestemme areal til todimensjonale figurer: Dersom en del av en figur klippes ut og deretter limes på et annet sted på figuren, så vil ikke arealet av figuren forandres. For at rekonstruksjon av figurer som klippes ut skal gjøres effektivt, må elevene se hvilken del som skal kuttes av og limes på igjen, slik at de får en form der de enkelt kan bestemme arealet.

Dette er i hovedsak en mental handling.

Arealet blir som tidligere nevnt det samme, og derfor kalles denne handlingen arealkonservering. Elever som ikke kan konservere areal, innser ikke at arealet blir det samme om man klipper en figur i ulike deler, flytter på delene, og setter dem sammen igjen. Som lærer må du være oppmerksom på dette i løpet av elevenes første skoleår. Nedenfor vises et eksempel på oppgaver der elevene enklere kan bestemme arealet dersom de endrer figuren (Lo¨wing & Kilborn, 2002, s. 321–322). Kan du se hvordan?

182

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Figur 14 Alle figurene kan etter ett klipp gjøres om til et rektangel med sidelengdene 2 cm og 4 cm.

Elevene må også aktivt få bruke materiell i geometriundervisningen (du kan lese mer om ulike konkretiseringsmaterialer i neste delkapittel).

Konkret handling og tenkning kan ikke sees på som isolerte aktiviteter.

En elev som ønsker å lage noe, må tenke over hvordan han skal lage det.

For eksempel: Før en elev lager en kube med papir eller annet materiale, må han danne seg et bilde av et slikt objekt og spesielt hvordan det er satt sammen. Et annet eksempel er hvordan elevene kan klippe ut en sirkelsektor for å lage en kjegle. En prosess der eleven tenker gjennom konstruksjonen på forhånd, er et viktig aspekt i utviklingen av romlig visualisering.

2.3.5

Bruk av konkreter i geometriundervisningen

Spesielt på småskoletrinnet bør elevene manipulere konkrete geometriske former og materialer slik at de kan undersøke og oppdage geometriske former på egen hånd. De kan gjerne sette sammen geometriske former, brette papir, lage former eller kopiere former på geobrett. Som lærer må du derimot også være klar over at bruk av konkreter kan komplisere

316

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Vi kan tenke på vektoren ½2, 3 som følger: Vi starter ved et vilkårlig punkt i planet og går 2 enheter til høyre fra dette punktet, deretter går vi 3 enheter opp.

Dersom en vektor har negative tall som koordinater, for eksempel ½ 1, 5 , går vi en enhet til venstre og 5 enheter ned.

Ofte ser vi på en vektor som en som går ut fra origo ð0, 0Þ. I vårt eksempel over vil vi «typisk nok» se på vektoren ½2, 3 som v. Når vi betrakter en vektor på denne måten, sier vi at vektoren er i standardposisjon.

Dersom vi «snur pilen» v, får vi derimot en annen vektor. Denne vektoren kaller vi for den negative vektoren til v.

Eksempel 38

Den negative vektoren

Den negative vektoren til v ¼ ½2, 3 er lik v ¼ ½ 2, 3 .

Figur 166

y 2 1 –4 –3 –2 –1 –1 –v –2

1

2

x

–3 –4

2.10.1

Regning med vektorer

Vektoraddisjon og vektorsubtraksjon Eksempel 39

Sammensetningen av to parallellforskyvninger

La oss betegne med Tu kongruensavbildningen som er parallellforskyvningen med vektoren u ¼ ½5, 2 , og la oss betegne med Tv kongruensavbildningen som er parallellforskyvningen med v ¼ ½1, 3 .

Beskriv virkningen av den sammensatte kongruensavbildningen der vi først bruker Tu og deretter Tv .

Løsning

La oss se på ett vilkårlig valgt punkt P og så parallellforskyve dette først med u og så med v. Vi velger P ¼ ð1, 2Þ. Først parallellforskyver vi P med vektoren u: Da starter vi i punktet ð1, 2Þ og går fem enheter til høyre og to enheter opp. Da havner vi i punktet ð6, 4Þ. Deretter parallellforskyver vi med vektoren v. Da starter vi i punktet ð6, 4Þ og går en enhet til høyre og tre enheter ned. Da havner vi i punktet ð7, 1Þ.

2.10 VEKTORER, KONGRUENSAVBILDNINGER OG SYMMETRIER I KOORDINATSYSTEM I PLANET

Figur 167

317

y 6 5 (6, 4)

4 u

3

v

2 1 –2 –1

P = (1, 2)

1

2

w 3

4

(7, 1) 5

6

7

8

x

Vi legger merke til at punktet P forskyves totalt seks enheter til høyre og en enhet ned. Med u gikk vi fem enheter til høyre, og med v gikk vi en enhet til høyre. Dette blir totalt seks enheter til høyre. Vi kan håndtere både x-retningen og y-retningen samtidig ved å bruke vektoraddisjon: ½5, 2 þ ½1, 3 ¼ ½5 þ 1, 2 3 ¼ ½6, 1

Den totale effekten av sammensetningen av de to parallellforskyvningene er altså parallellforskyvningen med vektoren w ¼ u þ v ¼ ½6, 1 .

Med andre ord er Tw den sammensatte avbildningen.

Generelt er addisjon og subtraksjon av vektorer definert på følgende måte: Definisjon 16

Dersom vi har gitt to vektorer u ¼ ½a, b og v ¼ ½c, d , kan vi både addere og subtrahere disse: u þ v ¼ ½a, b þ ½c, d ¼ ½a þ b, c þ d

u v ¼ ½a, b ½c, d ¼ ½a b, c d

Legg merke til: I eksempel 38 så vi på v ¼ ½2, 3 og v ¼ ½ 2, 3 .

Helt i tråd med regnereglene vi kjenner fra addisjon med tall, får vi: v v ¼ v þ ð vÞ ¼ ½2, 3 þ ½ 2, 3 ¼ ½2 þ ð 2Þ; 3 þ ð 3Þ ¼ ½2 2, 3 3 ¼ ½0, 0 , som er vektoren som verken har lengde eller retning (og som svarer til 0 når vi for eksempel regner med de reelle tall).

Vektoren ½0, 0 er identitetselementet for vektoraddisjon (se også kapittel 2.8.4 for gruppebegrepet).

318

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Eksempel 40

Bevegelsen av et fartøy

Bevegelsen til et fartøy, for eksempel en båt, kan modelleres med en vektor.

Til bevegelsen er knyttet farten (som regel et antall knop) og retningen båten beveger seg i. Disse to størrelsene kan vi representere samtidig, med e´n vektor. Vektorens lengde svarer til farten som du kan lese av på båtens speedometer, samtidig som vektorens retning viser retningen båten beveger seg i. La oss se hvordan dette kan virke gjennom et eksempel: En bilferge krysser ei elv med strøm. Strømmen i elva er på 4 knop.

Kapteinen ønsker å nærme seg fergeleiet på andre siden med en fart på 3 knop. Finn vektoren som beskriver fergens bevegelse for å oppnå dette.

Hvor lang er denne vektoren?

Løsning

Vi har en modell der fergens bevegelse og strømmen i elva er beskrevet av en vektor. Det er summen av disse vektorene som beskriver fergens bevegelse i forhold til fergeleiet. Dette er illustrert i følgende figur:

Figur 168

Fergeleie

Strømmen i elven

Netto bevegelse

Fergens bevegelse

Fergeleie

For å kunne gjøre beregninger ser vi på vektorene i et koordinatsystem.

Vi orienterer koordinatsystemet slik at fergeleiet fergen starter fra, er i origo.

Figur 169

4 Strømmen i elven u

v

3

2 Fergens bevegelse

w

Netto bevegelse

1 Fergeleie

–4

–3

–2

–1

1

2

2.10 VEKTORER, KONGRUENSAVBILDNINGER OG SYMMETRIER I KOORDINATSYSTEM I PLANET

319

I figuren har vi kalt vektoren som beskriver fergens bevegelse for v.

Vektoren som beskriver strømmen har vi kalt for u, og netto bevegelse har vi kalt for w. Vektoren w fremkommer som w ¼ u þ v. Det er v vi ønsker å finne. Vi får v ¼ w u ¼ ½0, 3 ½4, 0 ¼ ½ 4, 3

Fergens fart er altså gitt ved å styre i retningen av vektoren v som går 4 enheter i negativ x-retning. Dette er for å oppheve virkningen av strømmen. Vektoren går også 3 enheter i positiv y-retning for å oppnå den ønskede farten mot bestemmelsesstedet. Fergens fart relativt til vannet er gitt som lengden av vektoren v. Denne finner vi ved hjelp av Pytagoras’ setning: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi jvj ¼ 42 þ 32 ¼ 16 þ 9 ¼ 25 ¼ 5 Fergens bevegelse er altså 5 knop i retningen som er gitt ved vektoren v.

I eksemplet over kan vi også tenke at vi finner lengden av vektoren v qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi som jvj ¼ ð 4Þ2 þ 32 (merk at ð 4Þ2 er lik 42 ). Vi skriver alltid en strek på hver side av en vektor når vi skal referere til vektorens lengde, og vi finner lengden til enhver vektor på tilsvarende måte.

Setning 18

Lengden av en vektor

Lengden av en vektor v ¼ ½a, b er gitt ved jvj ¼

Merk

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 .

Lengden av en vektor i standardposisjon er lik avstanden fra vektorens endepunkt til origo. Dette samsvarer med avstanden fra et punkt til origo gitt i kapittel 4.17 i QED 1–7, bind 1, del I.

Vektoren mellom to punkter Vektoren som har utgangspunkt i et punkt A og endepunkt i et punkt B, ! betegner vi med AB .

Vi har allerede møtt det vi betegner som vektor mellom to punkter: Dersom vi ser på v ¼ ½2, 5 som en vektor i standardposisjon, så er v ! vektoren fra origo O til punktet A ¼ ð2, 5Þ, og vi kan også skrive v ¼ OA .

Dersom vi har gitt koordinatene til punktene A og B, kan vi finne ! koordinatene til vektoren AB . Dette gjør vi ved «å gå en omvei om origo».

320

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Eksempel 41

Vi beveger oss fra A til O og så videre til B

La A ¼ ð2, 5Þ og B ¼ ð6, 3Þ.

Figur 170

y 6

A = (2, 5)

5 4

AB OA

3

B = (6, 3)

2 OB

1 –2 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Vi har: ! ! !

AB ¼ AO þ OB Her tenker vi at vi beveger oss fra A til O og så videre til B. Vi kjenner ! ! ! ! til OA og OB på koordinatform: OA ¼ ½2, 5 og OB ¼ ½6, 3 .

Dersom vi går fra A til O, er det motsatt vei enn om vi går fra O til A. ! !

Som vektorer uttrykkes dette ved at AO ¼ OA . Vi får nå: ! ! !

AB ¼ OA þ OB ! ! ¼ OB OA ¼ ½6, 3 ½2, 5 ¼ ½6 2, 3 5 ¼ ½4, 2

Generelt, dersom punktet A er gitt ved koordinatene A ¼ ða1 , a2 Þ og ! punktet B gitt ved B ¼ ðb1 , b2 Þ, er vektoren AB gitt i koordinater som ! ! !

AB ¼ OB OA ¼ ½b1 a1 , b2 a2 .

2.10 VEKTORER, KONGRUENSAVBILDNINGER OG SYMMETRIER I KOORDINATSYSTEM I PLANET

Eksempel 42

321

Arbeid med koordinatsystem i barneskolen

Oppgaven under er hentet fra ei lærebok for 4. trinn (Kaufmann, Olafsen & Rikheim, 2012c, s. 65).

Figur 171 Matte overalt, Grunnbok 4B.

Her skal elevene jobbe med koordinater. For deg som lærer kan det være nyttig å vite at «veien» kan beskrives ved vektorer. Øverst på neste side har vi tegnet en mulig løsning.

Ved dette eksemplet kan vi snakke om begrepene «vektoren mellom to punkter», «lengden av en vektor» og «vektoraddisjon»: For eksempel ! er veien fra A til B beskrevet ved vektoren AB ¼ ½7 1, 1 1 ¼ ½6, 0 . !

Lengden til AB er lik 6, noe som altså svarer til at dersom 1 enhet i koordinatsystemet (på x-aksen eller på y-aksen) er lik 1 m, så har vi gått 6 m fra startpunktet til matta.

322

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Figur 172 Matte overalt, Grunnbok 4B.

F

E

D

C

B

A

7 1

Æ

(7, 4) Æ (6, 4) Æ (6, 6) Æ (2, 6)

Som lærer er det nyttig å ha i bakhodet at dersom vi kunne gå direkte fra punkt C til punkt E (det vil si at vi hadde lov til å gå diagonalt), hadde vi gått 1 enhet til venstre og 2 enheter opp. Denne veien er ! ! beskrevet ved vektorsummen CD þ DE ¼ ½ 1, 0 þ ½0, 2 ¼ ½ 1, 2 .

I oppgave 102 på side 338 skal du gjøre tilsvarende med et annet eksempel.

Der trenger man ikke å gå vannrett eller loddrett. I denne forstand legges det opp til at oppgaven kan bli et hakk mer komplisert, fordi det kreves en utregning for å finne lengden av en vektor som beskriver en diagonal vei.

2.10 VEKTORER, KONGRUENSAVBILDNINGER OG SYMMETRIER I KOORDINATSYSTEM I PLANET

323

Vektor gitt ved lengde og vinkel Istedenfor å angi en vektor i koordinater, som vi gjorde over, så kan vi beskrive en vektor på en annen måte: En vektor er gitt ved en lengde og en retning. Retningen kan angis som vinkelen vektoren danner med ei linje som er parallell med x-aksen.

For eksempel kan vi angi vektoren ½2, 3 også på følgende måte: Figur 173

y 5 4 13

3 2

a = 56,31°

1 –1 –1

1

2

3

4

5

x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi Lengden til vektoren er lik 22 þ 32 ¼ 13. Vinkelen som vi angir, er vinkelen mellom linja som går gjennom startpunktet til vektoren, og som er parallell med x-aksen, og vektoren. Her tar vi alltid vinkelen fra linja parallell med x-aksen til vektoren målt mot klokka.

Multiplikasjon med en skalar Videre kan vi multiplisere en vektor med et tall (en skalar). Dette gjør vi ved å multiplisere tallet inn i hver koordinat.

Eksempel 43

Multiplikasjon med en skalar

La v ¼ ½ 1, 3 . Vi beregner 2v ¼ 2 v ¼ 2 ½ 1, 3 ¼ ½2 ð 1Þ, 2 3 ¼ ½ 2, 6 . Vi har multiplisert vektoren v med 2 og fått en vektor 2v som er dobbelt så lang som v, og som har samme retning som v.

Dersom vi multipliserer vektoren v med 2, får vi: ð 2Þ v ¼ ð 2Þ ½ 1, 3 ¼ ½ð 2Þ ð 1Þ, ð 2Þ 3 ¼ ½2, 6 . Vektoren ð 2Þ v er dobbelt så lang som v og har motsatt retning av v.

324

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Parallelle vektorer To vektorer er parallelle dersom de har samme retning eller motsatt retning. For eksempel er vektorene v ¼ ½ 1, 3 , u ¼ ½ 2, 6 og w ¼ ½2, 6

parallelle vektorer.

Figur 174

u = 2v = [–2, 6]

v = [–1, 3]

w = (–2)v = [2, –6]

Generelt vil enhver vektor som er parallell med v ¼ ½ 1, 3 , være på formen k ½ 1, 3 , der k er et reelt tall. (Og dette kan generaliseres til at alle vektorer som er parallelle til en gitt vektor u, er på formen k u, der k er et vilkårlig reelt tall.)

Oppgaver

89.

Tegn vektorene u og v inn i et koordinatsystem. Regn ut a ¼ u þ v, b ¼ u v, c ¼ 2 u og d ¼ ð 3Þ v. Tegn så a, b, c og d inn i samme koordinatsystem som u og v. Finn også lengden til u, og kontroller svaret ditt i GeoGebra (her kan du bruke kommandoen «lengde», som du skriver i inntastingsfeltet). a) u ¼ ½1, 6 , v ¼ ½5, 8

h i 5 b) u ¼ ½ 2, 1 , v ¼ , 3 2 c) u ¼ ½0, 5 , v ¼ ½3, 0

2.10 VEKTORER, KONGRUENSAVBILDNINGER OG SYMMETRIER I KOORDINATSYSTEM I PLANET

325

Programvaren GeoGebra egner seg utmerket til å regne med vektorer og drive med utforskning i vektorregning. I oppgavene som følger skal du bruke GeoGebra.

90.

– Skriv inn a ¼ ð3, 7Þ i inntastingsfeltet i GeoGebra.

Hva slags vektor får du?

– Skriv så b ¼ ð 1, 5Þ i inntastingsfeltet. Hva slags vektor får du da?

– Flytt vektoren b ved å bruke verktøyet «Flytt», ta tak i vektorens startpunkt (som er origo) og plasser vektoren slik at den starter ved endepunktet til vektoren a (som er ð3, 7Þ). (For å flytte vektoren b kan du også bruke verktøyet «Vektor fra punkt» eller høyreklikke på b, gå inn på «Egenskaper», «Posisjon», og velge punktet ð3, 7Þ som startpunkt.)

– Tegn så vektoren som går fra startpunktet til vektoren a (som er origo) til endepunktet av vektoren b slik den nå ligger etter at vi har flyttet den. Til dette kan du bruke verktøyet «Vektor mellom to punkt».

Hvilken vektor har du nå fått opp i algebrafeltet?

Kan du se en sammenheng?

Forklar!

– Prøv gjerne denne framgangsmåten med flere vektorer a og b.

Formuler en påstand.

91.

a) Tegn tre (vilkårlige) punkter A, B og C (skal helst ikke ligge på linje) i GeoGebra. Bruk verktøyet «Vektor mellom to punkt» ! ! for å tegne vektorene AB og AC . Sannsynligvis heter disse to vektorene u og v i GeoGebra. Hvis de ikke gjør det, sørg for dette ved å høyreklikke på vektoren og velge «Gi nytt navn». b) Skriv følgende inn i algebrafeltet: w ¼ u þ v.

Hva slags vektor har du fått nå? c) Høyreklikk på w, gå inn på «Egenskaper», «Posisjon», og velg C som startpunkt. Hva har du fått nå?

Hvordan kan du tolke summen u þ v geometrisk?

Formuler en eller flere påstander. d) Dra til slutt i punktene A, B og C for å kontrollere at påstanden(e) din(e) fra c) stemmer for vilkårlige punkter A, B og C.

326

KAPITTEL 2 GEOMETRI

92.

I denne oppgaven skal vi se på en geometrisk tolkning av vektordifferansen. a) Tegn tre (vilkårlige) punkter A, B og C (skal helst ikke ligge på linje) i GeoGebra. Bruk verktøyet «Vektor mellom to punkt» ! ! for å tegne vektorene AB og AC . Sannsynligvis heter disse to vektorene u og v i GeoGebra. Hvis de ikke gjør det, sørg for dette ved å høyreklikke på vektoren og velge «Gi nytt navn». b) Skriv følgende inn i algebrafeltet: w ¼ u v.

Hva slags vektor har du fått nå? c) Høyreklikk på w, gå inn på «Egenskaper», «Posisjon», og velg C som startpunkt. Hva har du fått nå? Hvordan kan du tolke differansen u v geometrisk? Formuler en eller flere påstander. d) Dra til slutt i punktene A, B og C for å kontrollere at påstanden(e) din(e) fra c) stemmer for vilkårlige punkter A, B og C.

93.

! !

Skriv vektoren AB på koordinatform. Skriv deretter BA på koordinatform. Finner du et mønster? a) A ¼ ð5, 3Þ, B ¼ ð6, 2Þ b) A ¼ ð 1, 6Þ, B ¼ ð 4, 6Þ c) A ¼ ð2, 3Þ, B ¼ ð 5, 2Þ

94.

Avgjør om v og w er parallelle: a) v ¼ ½2, 2 , w ¼ ½ 2, 2

h i 1 b) v ¼ , 3 , w ¼ ½ 9, 54

2 c) v ¼ ½4, 3 , w ¼ ½2, 1

95.

a) Tegn følgende vektorer i GeoGebra: u ¼ ½2, 5 , v ¼ ½6, 15 og w ¼ ½ 4, 10 . Hva kan du si om vektorene? b) Definer en «glider» a i intervallet ½ 10, 10 .

Hva kan du si om vektorene u ¼ ½2, 5 og v ¼ ½2a, 5a ? c) Definer tre glidere a, b og c i intervallet ½ 10, 10 .

Hva kan du si om vektorene u ¼ ½a, b og v ¼ ½ac, bc ? d) Formuler en hypotese på grunnlag av dine observasjoner i a)–c).

2.10 VEKTORER, KONGRUENSAVBILDNINGER OG SYMMETRIER I KOORDINATSYSTEM I PLANET

96.

327

a) Tegn følgende vektorer i GeoGebra: v ¼ ½5, 7 og w ¼ ½7, 5 .

Finn vinkelen mellom vektorene i GeoGebra. b) Samme oppgave som i a) for vektorene v ¼ ½6, 8 og w ¼ ½ 8, 6 . c) Definer to «glidere» a og b i intervallet ½ 10, 10 .

Tegn de to vektorene v ¼ ½a, 3 og w ¼ ½3, b inn i GeoGebra.

Finn verdier for a og b slik at v og w står normalt på hverandre.

Hvor mange verdier for a og b kan du finne? d) Definer fire «glidere» a, b, c og d i intervallet ½ 10, 10 .

Tegn de to vektorene v ¼ ½a, b og w ¼ ½c, d inn i GeoGebra.

Finn verdier for a, b, c og d slik at v og w står normalt på hverandre.

Hvor mange verdier for a, b, c og d kan du finne? e) Formuler en hypotese på grunnlag av dine observasjoner i a)–d).

Skalarprodukt I avsnittet over så vi på addisjon og subtraksjon av vektorer. Legg merke til at summen og differansen av to vektorer igjen er en vektor. Vi kan også definere et produkt av to vektorer, der resultatet er et tall.

Definisjon 17

For to vektorer u ¼ ½a, b og v ¼ ½c, d definerer vi skalarproduktet u v som følger: u v ¼a cþb d

Vi multipliserer altså de to første leddene og de to andre leddene, og så tar vi summen av disse.

Eksempel 44

Skalarprodukt

Skalarproduktet mellom vektorene u ¼ ½2, 3 og v ¼ ½3, 1 er lik 2 3 þ 3 1 ¼ 9.

En motivasjon for å definere et slikt produkt kommer fra fysikken.

328

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Eksempel 45

Kraft og bevegelse

Dersom en konstant kraft k virker på et objekt som beveger seg fra et punkt A til et punkt B, så kan vi beregne arbeidet som kraften utfører på følgende måte: Figur 175

k

A

B

Både kraften k og bevegelsen fra A til B kan beskrives ved vektorer. !

Vi betegner disse her med k og AB . Arbeidet kraften k utfører, ! er gitt ved skalarproduktet k AB .

For eksempel kan vi tenke oss at en partikkel beveger seg i et plan (der en enhet er en meter) fra punktet A ¼ ð2, 3Þ til punktet B ¼ ð5, 1Þ, og at en kraft k virker på partikkelen med 5000 N (Newton) i retning av den positive y-aksen. Vi kan finne arbeidet som blir utført ved denne bevegelsen på følgende måte: Vi regner nå med kilonewton (kN). Da har vi k ¼ ½0, 5 og !

AB ¼ ½5 2, 1 ð 3Þ ¼ ½3, 4 , og dermed får vi for arbeidet a: ! a ¼ k AB ¼ 0 3 þ 5 4 ¼ 20 kilonewtonmeter (kNm).

I kapittel 2.9 definerte vi den trigonometriske funksjonen cosinus.

Denne bruker vi nå til å gi en annen definisjon av skalarproduktet mellom to vektorer: u v ¼ jujjvj cosð Þ der er vinkelen mellom de to vektorene. Med vinkelen mellom to vektorer mener vi den minste vinkelen mellom vektorene når disse er tegnet inn ut fra samme startpunkt.

2.10 VEKTORER, KONGRUENSAVBILDNINGER OG SYMMETRIER I KOORDINATSYSTEM I PLANET

Eksempel 46

329

Vektorer ut fra samme startpunkt

Nedenfor tegnet vi inn vektorene u ¼ ½2, 3 og v ¼ ½3, 1 ut fra samme startpunkt. Vi har også beregnet lengdene til disse to vektorene og målt vinkelen mellom dem.

Figur 176

y –1 –1 –2 –3 –4

1

2

4

3

5

x

u 13 a = 37,87° v 10

Skalarproduktet mellom de to vektorene u og v er lik u v ¼ jujjvj cosð Þ ¼ pffiffiffiffiffipffiffiffiffiffi 13 10 cosð37,87 Þ 9.

Når du regner ut dette selv, ser du at du får 9 når du avrunder til to desimaler, og vi ser da at det faktisk er samme svar som vi har fått over.

Vi skal nå se på et resultat som gir oss en metode for å avgjøre om to vektorer er ortogonale. Vi sier at to vektorer er ortogonale dersom de står vinkelrett på hverandre.

Følgende resultat gir oss metoden: Setning 19

Dersom to vektorer u og v er ortogonale, så er skalarproduktet u v lik 0.

Og omvendt: Dersom u og v er to vektorer, og ingen av dem er nullvektoren ½0, 0 , slik at skalarproduktet u v er lik 0, så er u og v ortogonale.

Kan du tenke på en begrunnelse av den første påstanden, altså av utsagnet: Dersom to vektorer u og v er ortogonale, er skalarproduktet u v lik 0?

Hva vil det si at to vektorer u og v er ortogonale, eller står vinkelrett på hverandre? Det betyr at vinkelen mellom dem er lik 90 . I kapittel 2.9.4 hadde vi sett at cosð90 Þ ¼ 0. Det medfører at for vektorer u og v som står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet lik u v ¼ jujjvj cosð90 Þ ¼ jujjvj 0 ¼ 0.

Tenk nå over den andre påstanden: Dersom u og v er to vektorer, og ingen av dem er nullvektoren ½0, 0 , slik at skalarproduktet u v er lik 0, er u og v ortogonale.

330

KAPITTEL 2 GEOMETRI

Det første vi kan tenke over er at dersom u og v begge ikke er nullvektoren, så er lengdene juj og jvj ulik 0. Det betyr at vi kan dele på de to lengdene. Dermed får vi for vinkelen mellom to vektorer u og v med u v ¼ 0: u v¼0 jujjvj cosð Þ ¼ 0

j : jujjvj

cosð Þ ¼ 0 Vi får dermed ¼ cos 1 ð0Þ. Dersom du regner ut cos 1 ð0Þ på kalkulatoren, skal du få 90 . Vinkelen mellom vektorene u og v er lik 90 , og det betyr per definisjon at de to vektorene står vinkelrett på hverandre.

Som illustrasjon kan vi tenke oss følgende: Om vi starter med en vektor, for eksempel v ¼ ½2, 3 , så får vi en vektor som er ortogonal til v ved å bytte om koordinatene og ta den ene koordinaten med minustegn: Vektorene w ¼ ½ 3, 2 og z ¼ ½3, 2 står ortogonalt på v.

Figur 177

y 4

3 w

v

2

1 z –2

–1

1

2

3

4

x

–1

–2

Når vi regner ut skalarproduktene, får vi v w ¼ 2 ð 3Þ þ 3 2 ¼ 6 þ 6 ¼ 0 og v z ¼ 2 3 þ 3 ð 2Þ ¼ 6 þ ð 6Þ ¼ 0.

2.10 VEKTORER, KONGRUENSAVBILDNINGER OG SYMMETRIER I KOORDINATSYSTEM I PLANET

331

Oppgaver

97.

Regn ut skalarproduktet u v: a) u ¼ ½3, 2 , v ¼ ½4, 3

b) u ¼ ½ 1, 5 , v ¼ ½ 2, 5

98.

Se på oppgave 96 på side 327 igjen.

Begrunn din hypotese du formulerte i del e) i denne oppgaven ved å bruke skalarprodukter av vektorer.

99.

Skriv inn punktene A ¼ ð 1, 2Þ og B ¼ ð3, 4Þ (i inntastingsfeltet) ! i GeoGebra. Tegn deretter inn vektoren AB ved å velge verktøyet «Vektor mellom to punkt». Hvilken vektor får du? Vis med et regnestykke hvordan du kunne regne ut koordinatene til vektoren ! som GeoGebra gir deg. Finn to vektorer som er parallelle med AB , ! og to vektorer som er ortogonale med AB . Visualiser i GeoGebra.

Regn ut de ulike skalarproduktene i GeoGebra, og kommenter resultatene. (I GeoGebra regner du ut skalarproduktet mellom to vektorer v og w ved å skrive v w i inntastingsfeltet.)

100. Avgjør om v og w står vinkelrett på hverandre: h i h i a) v ¼ 1 , 4 , w ¼ 8, 1 4 2 b) v ¼ ½ 3, 5 , w ¼ ½7, 4

101. Finn vinkelen mellom vektorene u og v: a) u ¼ ½3, 2 , v ¼ ½4, 3

b) u ¼ ½5, 5 , v ¼ ½7, 0

I b) skal du lage en tegning for å kontrollere svaret du fikk.

Sjekk også gjerne svarene dine i GeoGebra.

332

KAPITTEL 2 GEOMETRI

2.10.2 Kongruensavbildninger i koordinatsystem I QED 1–7, bind 1, del I, kapittel 4.10 arbeidet vi med kongruensavbildninger. I dette avsnittet skal vi se eksempler på hvordan vi kan arbeide med kongruensavbildninger i et koordinatsystem.

Eksempel 47

Speiling i koordinatsystem

La S betegne kongruensavbildningen som er gitt som speiling om x-aksen.

Beskriv S ved hjelp av koordinater.

Løsning

I figuren under har vi tegnet en femkant og dets speilbilde om x-aksen.

Alle hjørnene i femkanten er oppgitt i koordinater.

Figur 178

y 5 (2, 4) 4 (3, 3)

3

2

(2, 2) (1, 2)

1 (3, 1)

–1

1

2

x

(3, –1)

–1

–2

4

3

(1, –2) (2, –2)

–3 (3, –3) –4 (2, –4)

Hva er sammenhengen mellom tilsvarende hjørner i de to figurene?

For eksempel avbildes punktet ð1, 2Þ på punktet ð1, 2Þ under speilingen.

Du har kanskje allerede lagt merke til at x-koordinaten er den samme i et punkt og dets speilbilde, mens y-koordinaten til speilbildet har motsatt fortegn. Dette kan vi beskrive generelt som Sðx, yÞ ¼ ðx, yÞ.

446

KAPITTEL 3 FUNKSJONSLÆRE

Oppgaver

31.

I eksempel 45 så vi at ðx2 Þ0 ¼ 2x. Utforsk denne sammenhengen geometrisk ved å a) tegne grafene til x2 og 2x i samme koordinatsystem, b) tegne tangentene til x2 i punktene 2, 1, 0, 1 og 2, c) observere at funksjonsverdien til x2 i punktet 1 er 1, mens funksjonsverdien til 2x i punktet 1 er 2 (som er stigningstallet til tangenten til grafen til x2 i punktet 1).

Gjør tilsvarende for de andre punktene i b).

32.

Finn den deriverte funksjonen til følgende funksjoner ved å bruke definisjonen av den deriverte, dvs. likning (3.26). a) f ðxÞ ¼ x2 4x b) f ðxÞ ¼ 3x2 þ x þ 1 c) f ðxÞ ¼ x3

3.2.4

Derivasjonsregler

Vi har nå innført en ny operasjon som vi kan utføre på funksjoner, nemlig derivasjon. Vi kan utlede mange regneregler for derivasjon slik at vi slipper å bruke grenseverdidefinisjonen, definisjon 19 på side 442, når vi skal finne den deriverte til en gitt funksjon. Disse reglene kan utledes fra definisjonen og regnereglene for grenseverdier i delkapittel 3.1.5 ved hjelp av en god porsjon algebra. Vi skal nå se litt på derivasjonsreglene – noe utledning, men først og fremst bruk.

En av de viktigste derivasjonsreglene sier oss hvordan vi skal derivere et produkt av funksjoner. Den kalles produktregelen. For å utlede denne regelen bruker vi likning (3.26) på side 442 til å finne et uttrykk for

0 f ðxÞgðxÞ . Vi tar med utregningen for produktregelen for å vise algebraen som ligger bak regelen. Her kommer utregningen, og en kort forklaring om hva vi gjør for hvert likhetstegn følger nedenfor.

3.2 DERIVASJON

0 f ðxÞgðxÞ ¼ð1Þ ¼ð2Þ ¼ð3Þ ¼ð4Þ ¼ð5Þ

447

f ðx þ xÞgðx þ xÞ f ðxÞgðxÞ x x !0 lim lim

x !0

f ðx þ xÞgðx þ xÞ f ðx þ xÞgðxÞ þ f ðx þ xÞgðxÞ f ðxÞgðxÞ x

f ðx þ xÞ½gðx þ xÞ gðxÞ þ ½f ðx þ xÞ f ðxÞ gðxÞ x x !0

h gðx þ xÞ gðxÞ i h f ðx þ xÞ f ðxÞ i lim f ðx þ xÞ þ gðxÞ x x x !0 lim

lim f ðx þ xÞ lim

x !0

x !0

gðx þ xÞ gðxÞ x

f ðx þ xÞ f ðxÞ lim gðxÞ x x ! 0 x !0

þ lim

¼ð6Þ f ðxÞg 0 ðxÞ þ f 0 ðxÞgðxÞ Her har vi (1) brukt (3.26) på side 442, (2) brukt et triks ved å trekke fra og legge til det samme leddet f ðx þ xÞgðxÞ (hvorfor vi bruker akkurat dette leddet, blir klart fra de videre utregningene), (3) brukt den distributive loven, (4) brukt brøkregler, (5) brukt setning 1 på side 401, (6) latt x gå mot 0 og brukt (3.26) en gang til.

Med andre ord: vi har brukt mye matematikk, spesielt algebra, for å utlede produktregelen:

Setning 11

Produktregelen

La f og g være to deriverbare funksjoner i punktet x. Da er produktet fg en deriverbar funksjon i punktet x, og den deriverte av produktet er gitt ved produktregelen

0 f ðxÞgðxÞ ¼ f ðxÞg 0 ðxÞ þ f 0 ðxÞgðxÞ Forkortet, dvs. uten x, skriver vi ð fgÞ0 ¼ fg 0 þ f 0 g

ð3:29Þ

448

KAPITTEL 3 FUNKSJONSLÆRE

Når vi deriverer et produkt, skal vi altså summere to ledd: I det ene leddet beholder vi den første funksjonen og multipliserer med den deriverte av den andre funksjonen, og i det andre leddet multipliserer vi den deriverte av den første funksjonen med den andre funksjonen.

Vi har sett at ðxÞ0 ¼ 1 (siden vi har ei linje med stigningstall 1), og at ðx2 Þ0 ¼ 2x (eksempel 45 på side 444). Hva med ðx3 Þ0 ? Du ble bedt om å regne ut denne i oppgave 32 c) på side 446 ved hjelp av likning (3.26) på side 442. Ved hjelp av produktregelen (3.29) kan vi også regne ut at ðx3 Þ0 ¼ ðx x2 Þ0 ¼ x ðx2 Þ0 þ ðxÞ0 x2 ¼ x 2x þ 1 x2 ¼ 2x2 þ x2 ¼ 3x2 noe som tok litt kortere tid enn å løse oppgave 32 c). Vi kan også regne ut ðx4 Þ0 : ðx4 Þ0 ¼ ðx x3 Þ0 ¼ x ðx3 Þ0 þ ðxÞ0 x3 ¼ x 3x2 þ 1 x3 ¼ 3x3 þ x3 ¼ 4x3 Slik kan vi fortsette å regne ut den deriverte til potenser av x ved å bruke ðxn 1 Þ0 til å regne ut ðxn Þ0 når n er et naturlig tall. Fra det vi har regnet ut ovenfor, ser det ut til å danne seg et mønster i denne prosessen: Det ser ut til at når vi deriverer en potens av x, «flyttes eksponenten ned» og blir en koeffisient, mens eksponenten selv reduseres med 1. Å se et mønster er en veldig god start til å formulere et matematisk resultat.

Deretter må resultatet bevises. (At det holder i de tilfellene vi har tatt mønsteret fra, er ikke nok.) Det viser seg at vi har følgende regel for derivasjon av potenser av x: Setning 12

Derivasjon av potenser av x

La r være et reelt tall. Vi har: ðxr Þ0 ¼ rxr 1

ð3:30Þ

449

Ved hjelp av setning 12 kan vi for eksempel regne ut den deriverte til

pffiffiffi x:

3.2 DERIVASJON

Eksempel 47

Derivasjon av

pffiffiffi x

Fra setning 12 har vi at pffiffiffi 1 ¼ 1 p1ffiffiffi ¼ p 1 ffiffiffi ð xÞ0 ¼ ðx1=2 Þ0 ¼ 1 xð1=2Þ 1 ¼ 1 x 1=2 ¼ 1 1=2 2 2 2 x 2 x 2 x

Vi har også en regel for hvordan vi kan derivere et kvotientuttrykk

f ðxÞ , gðxÞ

der gðxÞ 6¼ 0. Ved å bruke likning (3.26) på side 442 kan vi utlede kvotientregelen (utledningen er gitt som en oppgave):

Setning 13

Kvotientregelen

La f og g være to deriverbare funksjoner i punktet x, og la gðxÞ 6¼ 0.

Da er kvotienten f =g deriverbar i punktet x, og den deriverte er gitt ved kvotientregelen

0 f ðxÞ gðxÞf 0 ðxÞ g 0 ðxÞf ðxÞ ¼ gðxÞ gðxÞ2 Forkortet, dvs. uten x, skriver vi 0 f gf 0 g 0 f ¼ g g2

ð3:31Þ

Vi har også regler for hvordan vi deriverer en sum av funksjoner, en differanse av funksjoner, og funksjoner multiplisert med en konstant.

Setning 14

Flere derivasjonsregler

La f og g være to deriverbare funksjoner (i punktet x). Da er funksjonene f þ g, f g og kf , der k er et reelt tall, deriverbare funksjoner (i punktet x). Forkortet, dvs. uten x, har vi: Regel for derivasjon av en sum: ð f þ gÞ0 ¼ f 0 þ g 0 .

Regel for derivasjon av en differanse: ð f gÞ0 ¼ f 0 g 0 .

Regel for derivasjon av en funksjon multiplisert med en konstant: ðkf Þ0 ¼ k f 0 .

450

KAPITTEL 3 FUNKSJONSLÆRE

Vi kan altså derivere ledd for ledd når det gjelder en sum eller en differanse. Å bevise disse reglene er også gitt som en oppgave.

Nå kan vi kombinere disse reglene og derivere i vei.

Eksempel 48

Derivasjon I

Derivasjon av funksjon multiplisert med en konstant, regelen for derivasjon av sum, derivasjon av en konstant og derivasjon av potenser av x gir ð2x4 þ x3 5x2 þ 6x 1Þ0 ¼ 2ðx4 Þ0 þ ðx3 Þ0 5ðx2 Þ0 þ 6ðxÞ0 0 ¼ 2 4x3 þ 3x2 5 2x þ 6 1 ¼ 8x3 þ 3x2 10x þ 6

Vi kan også endelig finne ut hva farten til bilen i eksempel 39 på side 433 er for hvert tidspunkt: Eksempel 49

Bil som øker farten IV

Hvis vi har en gjenstand som settes i bevegelse langs ei rett linje, og sðtÞ gir strekningen gjenstanden har beveget seg etter tiden t, gir s 0 ðtÞ gjenstandens fart ved tiden t.

I eksempel 39 (side 433), 42 (side 437) og 43 (side 438) har vi fulgt bilen som øker farten langs en rett vei. Strekningen bilen har kjørt, målt i meter, etter t sekunder er gitt ved sðtÞ ¼ t 2 þ 3t. Vi kan nå regne ut den deriverte til denne funksjonen og får s 0 ðtÞ ¼ 2t þ 3 For hvert tidspunkt t gir den deriverte bilens fart ved tiden t.

For eksempel har vi s 0 ð5Þ ¼ 13, dvs. bilens fart når t ¼ 5 er 13 m=s, noe som stemmer med det vi observerte i eksempel 43.

Eksempel 50

Derivasjon II

x . x 1 Kvotientregelen og derivasjon av en lineær funksjon gir

La oss regne ut den deriverte funksjonen til f ðxÞ ¼

0

0 x 0 ðx 1Þx ðx 1Þ x ðx 1Þ x 1 ¼ ¼ 2 2 ¼ x 1 ðx 1Þ2 ðx 1Þ ðx 1Þ

Vi har dermed at f 0 ðxÞ ¼

1 . ðx 1Þ2

3.2 DERIVASJON

Eksempel 51

451

Derivasjon III

Vi trener mer på derivasjonsreglene, og vil gjerne regne ut den deriverte pffiffiffi funksjonen til f ðxÞ ¼ xðx2 þ 2xÞ.

Produktregelen, regelen for derivasjon av en sum og derivasjon av potenser av x gir pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi ð xðx2 þ 2xÞÞ0 ¼ xðx2 þ 2xÞ0 þ ð xÞ0 ðx2 þ 2xÞ pffiffiffi 1 ffiffiffi ðx2 þ 2xÞ ¼ xð2x þ 2Þ þ p 2 x Vi kan rydde opp i uttrykket med litt algebra, så vi fortsetter utregningen ved å sette på felles brøkstrek: pffiffiffipffiffiffi 2 x xð2x þ 2Þ þ ðx2 þ 2xÞ 2xð2x þ 2Þ þ x2 þ 2x pffiffiffi pffiffiffi ¼ ¼ 2 x 2 x 4x2 þ 4xp þffiffiffix2 þ 2x 5x2 p þffiffiffi4x ¼ ¼ 2 x 2 x Vi har dermed at f 0 ðxÞ ¼

5x2 p þffiffiffi4x 2 x

For sammensatte funksjoner har vi også en derivasjonsregel. Siden en sammensatt funksjon har en funksjon som variabel, ofte kalt en kjerne, i en annen funksjon, vil vi i tillegg til å derivere den «ytre» funksjonen med hensyn på «kjernefunksjonen» også få et bidrag fra den deriverte til kjernefunksjonen. Derivasjonsregelen for sammensatte funksjoner kalles kjerneregelen.

Setning 15

Kjerneregelen

Anta at f er deriverbar i punktet gðxÞ, og at g er deriverbar i punktet x, og la h være den sammensatte funksjonen gitt ved

hðxÞ ¼ f gðxÞ Da er funksjonen h deriverbar i punktet x, og den deriverte til h i punktet x er gitt ved kjerneregelen

ð3:32Þ h 0 ðxÞ ¼ f 0 gðxÞ g 0 ðxÞ Ved å sette gðxÞ ¼ u kan kjerneregelen forkortes (uten x) til h 0 ¼ f 0 ðuÞu 0 Vi skal ikke bevise denne regelen her, men heller trene på å bruke den.

Uttrykket f 0 gðxÞ finner vi ved å derivere f med hensyn på gðxÞ, dvs. vi deriverer f og setter inn uttrykket for gðxÞ som variabel i f 0 .

452

KAPITTEL 3 FUNKSJONSLÆRE

Eksempel 52

Derivasjon IV

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Vi vil derivere funksjonen h gitt ved hðxÞ ¼ x2 þ 1. Som vi så

i eksempel 7 på side 393, kan vi uttrykke h som hðxÞ ¼ f gðxÞ , der pffiffiffi f ðxÞ ¼ x og gðxÞ ¼ x2 þ 1. Ved kjerneregelen (3.32) får vi h 0 ðxÞ ¼ f 0 ðgðxÞÞg 0 ðxÞ 1 Fra eksempel 47 vet vi at f 0 ðxÞ ¼ pffiffiffi , og hvis vi setter inn gðxÞ for x 2 x

1 i dette uttrykket, får vi f 0 gðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi. Videre er g 0 ðxÞ ¼ 2x, 2 x2 þ 1 så vi får 1 x h 0 ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 x þ1 x þ1 Alternativt kan vi sette x2 þ 1 ¼ u, som gir 1 ffiffiffi u 0 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ffi 2x ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ffi h 0 ðxÞ ¼ f 0 ðuÞu 0 ¼ p 2 2 2 u 2 x þ1 x þ1

Oppgaver

33.

Deriver følgende funksjoner: a) f ðxÞ ¼ 2x2 þ 4

b) f ðxÞ ¼ 3x4 4x þ 3

c) f ðxÞ ¼ 6x5 3x4 þ 2x2 þ 2x 7

d) f ðxÞ ¼ x3=2

e) f ðxÞ ¼ x 3=2 34.

Deriver funksjonen f ðxÞ ¼

1 x

ved hjelp av

a) setning 12 på side 448 b) kvotientregelen (3.31) på side 449 Deriver funksjonen gðxÞ ¼

xþ1 ved hjelp av x

c) kvotientregelen (3.31) d) svaret i a)=b) 35.

Deriver funksjonene. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) gðxÞ ¼ x x2 þ 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c) sðxÞ ¼ x3 x þ 1

b) mðxÞ ¼

x 1 x2 þ 3

842

KAPITTEL 11 PROBLEMLØSNING I MATEMATIKK

11.4 Problemløsning og gruppearbeid Gruppearbeid er historisk sett forholdsvis lite brukt i skolen (Imsen, 2005, s. 137–138). Ved å jobbe i grupper har elevene muligheter for å lære av hverandre og løse oppgaver som innebærer for store utfordringer for de fleste individene. Gruppearbeid er dessuten en naturlig måte å skape variasjon i undervisningen på. Nedenfor tar vi opp ulike aspekter ved gruppearbeid i problemløsning.

11.4.1

Oppgaver til gruppearbeid

Da en gruppe har tilgang til mer kunnskap enn de fleste individer, kan oppgaver til gruppearbeid inneholde flere elementer. For eksempel: Eksempel 10

Bilvask

To personer vasker ferdig to biler. De begynner å vaske en tredje bil.

Når de er halvveis ferdige med denne, kommer en ny person og hjelper til.

Eierne betaler til sammen kr 450,- for vasking av de tre bilene.

Hvor mye bør hver person få, basert på personens arbeid?

(Vi forutsetter at bilene er like store, og at alle tre personer jobber like fort.)

Denne oppgaven krever gode kunnskaper om posisjonssystemets egenskaper. Det er en fordel med gode kunnskaper om likninger også, særlig med tanke på å generalisere oppgaven. Det at en gruppe får til oppgaver som er for vanskelige for de enkelte i gruppen, er både motiverende og lærerikt.

11.4.2

Heterogene eller homogene grupper

Bør vi samle elever med omtrent like eller forskjellige faglige forutsetninger? Her beskriver vi aktiviteter der begge muligheter kan være hensiktsmessige.

Konkurranser, der elever jobber i grupper med problemløsningsoppgaver, kan engasjere mange. Spesielt med tanke på motivasjon er det best om alle gruppene har så like forutsetninger som mulig. Dette medfører at hver gruppes interne sammensetning oftest vil være heterogen.

Læreren kan velge en sterk elev til å lede en gruppe (uten at dette nødvendigvis blir uttalt), og supplere med andre elever som utfyller hverandres egenskaper. En elev med høy symbol- og formalismekompe-

11.4 PROBLEMLØSNING OG GRUPPEARBEID

843

tanse kan utfylle en som lettere ser helheten og har gode ideer (tankegangskompetanse). Andre elever har god resonnementskompetanse og er gode til å gjennomføre logiske argumenter og å oppdage feil. Både med tanke på læringsutbytte og oppnåelse i konkurranse er det bra å sette sammen grupper der et bredt spekter av kompetansetyper er representert.

En potensiell fare ved konkurranser er at en gruppe gjetter mer eller mindre tilfeldig på et svar, bare for å bli ferdig. Igjen kan dette forebygges gjennom gruppesammensetning ved å balansere impulsive elever med mer balanserte individer. Læreren bør dessuten kreve begrunnede svar.

Med tanke på tilpasset opplæring (se QED 1–7, bind 1, del II, kapittel 3.3.3) kan det være naturlig å legge opp til problemløsning i faglig homogene grupper, der alle medlemmer i den enkelte gruppen har omtrent like faglige forutsetninger. Slik er det lettere å sikre at alle elever får passende utfordringer. En elev som er usikker på seg selv, og tror at alle andre er flinkere enn han/henne, kan gjennom et slikt gruppearbeid få en mer realistisk oppfatning av virkeligheten. Siden gruppene kan jobbe med forskjellige problemstillinger rundt samme emne, kan det være naturlig med felles oppsummering.

Uansett faglig heterogene eller homogene grupper bør gruppene settes sammen på en slik måte at også de mer forsiktige elevene opplever det trygt å komme med sine ideer. Det er i denne sammenheng veldokumentert at gutter tiltrekker seg gjennomgående mer oppmerksomhet enn jenter (Imsen, 2005, s. 145 ff.). Kjønnssammensetningen må derfor vurderes.

(I finalen til den tidligere problemløsningskonkurransen «KappAbel» for 9.-klassinger, skulle hver gruppe bestå av to jenter og to gutter.)

11.4.3

Ikke bare gruppearbeid

Vellykket gruppearbeid kan være lærerikt og motiverende. Det er likevel nyttig, og ikke sjelden nødvendig, å kunne arbeide selvstendig. I yrkeslivet må man kunne arbeide både alene og i grupper. De mer introverte elevene vil ofte trives best med å arbeide alene. Hvis disse elevene alltid må forholde seg til en gruppe, kan det gå ut over motivasjonen. Derfor er det best å variere arbeidet med problemløsning, slik at man benytter både gruppearbeid og individuelt arbeid.

844

KAPITTEL 11 PROBLEMLØSNING I MATEMATIKK

11.5 Utfordringer 11.5.1

Det skal være ekte problemløsning

Schoenfeld (1989, s. 348 ff.) observerte at studenter i USA behersket retorikken rundt problemløsning, men at problemene de fikk, var lite omfattende40 og egnet seg best til øving av ferdigheter framfor matematisk oppdagelse.

I forordet til How to Solve it (Po´lya, 1990, s. v) leser vi: A great discovery solves a great problem but there is an element of discovery in the solution of every problem.

For at det skal være ekte problemløsning, må elevene prøve seg på problemstillinger som er forskjellige fra oppgaver de har sett før. For å kunne stimulere alle elever, må en lærer ha et stort repertoar av ulike typer oppgaver, og evnen til å differensiere på stående fot. Senere gir vi en oversikt over diverse kilder med gode problemløsningsoppgaver.

Det kan være en fordel om en lærer jevnlig gir problemer til elevene sine som han selv ikke har løst. På denne måten kan elevene erfare at problemløsning virkelig dreier seg om oppdagelser og nye ideer. Dette forutsetter faglig trygghet hos læreren, som må være forberedt på kommentaren «Vet du ikke det?!» NB: En lærer som velger denne innfallsvinkelen, der han selv blir en av problemløserne, må passe på å formidle sine tanker og spørsmål fortløpende til klassen, slik at prosessen blir synlig for elevene.

11.5.2

Å komme gjennom pensum

Å bli god i problemløsning krever tid og regelmessig arbeid. Det kan være utfordrende for en lærer å sette av tid til problemløsning hvis klassen skal gjennom mye teori. Interessante problemløsningsoppgaver vil som regel ta lengre tid enn oppgaver i ferdighetstrening. Det skal imidlertid være mulig å finne tid til problemløsning uten at undervisningen i andre temaer lider under det (Wilson, Fernandez & Hadaway, 1993). Gode rutiner er en fordel: Mange lærere har oppnådd gode resultater med bl.a. «Ukens nøtt»-opplegg.

Problemløsning kan også kombineres med ny teori i problembasert læring. For eksempel står det i kompetansemålene etter 7. trinn at elever 40

Schoenfeld bruker uttrykket «bite-sized».