Matematikk 7 Lærerveiledning (utdrag) by Cappelen Damm

MATEMATIKK 7 fra CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen Kristin Måleng Vibeke Saltnes Olsen

Bokmål/Nynorsk

© CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2022 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverkslovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov og tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Bruk som er i strid med lov eller avtale, kan medføre erstatningsansvar og inndraging og kan straffes med bøter eller fengsel. Matematikk 5–7 fra Cappelen Damm er lagd til fagfornyelsen i faget matematikk og er til bruk på grunnskolens barnetrinn. Forfatterne, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen, har fått støtte fra Det faglitterære fond. Hovedillustratør: Henning Skogstad Øvrige illustrasjoner: Line Mathisen Grafisk design, sats og tekniske illustrasjoner: AIT Grafisk AS Omslagsdesign: Tank Design AS Omslagsillustrasjon: Henning Skogstad Forlagsredaktør: Ingar Ebbestad Trykk og innbinding: Livonia Print Sia, Latvia Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-67244-7 www.cdu.no

Forord Til læreren Lærerveiledningen har først en generell del med innføring i hvilke matematikkdidaktiske prinsipper Matematikk 5–7 bygger på, og hvordan verket er bygget opp. I denne delen er det også generell teori om utvikling av regnestrategier, de visuelle modellene vi benytter, og metoder for gjennomføring av gode klasseromsamtaler. Videre følger Lærerveiledningen grunnboka side for side. Sidene er delt med en strek. Under streken er det faksimiler av elevboksidene, utfyllende forklaringer til oppgavene og tips til differensiering. Det er også veiledning til gjennomføring av den lærerstyrte klasseromsamtalen og tips til organisering av samarbeidsoppgaver for elevene. Over streken presenteres målene for kapitlene og hvilke begreper det er hensiktsmessig å innføre. Hvert kapittel har utfyllende matematisk og didaktisk teori til temaer som omhandles i kapitlet. Det er også mange forslag til aktiviteter og spill som hjelper elevene til forståelse. Uavhengig av kapitlets tema finner du øvingsoppgaver og hoderegningsoppgaver. Disse har til hensikt å opprettholde tabellkunnskaper og ferdigheter i regnestrategier. Bakerst i boka er det fasiter til alle komponentene. Vi som er forfattere av Matematikk 5–7, ønsker at Lærerveiledningen skal være en god håndbok som gir deg det du trenger for å gjennomføre gode matematikktimer med elevene dine. Lykke til! Jan Erik Gulbrandsen, Randi Løchsen, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen

FORORD

III

Digital lærerressurs til bøkene Til læreboka følger rike digitale ressurser. Alle grunnbøkene finnes som interaktive tavlebøker for visning med projektor på skjerm eller på interaktiv tavle. Tavlebøkene inneholder innleste rammefortellinger. Her finner du også blant annet arbeidsark, oppgaver og fasit til bøkene.

Skolen fra Cappelen Damm I Skolen fra Cappelen Damm tilbyr vi matematikk fra 1. til 10. trinn. Her ligger aktuelle læringsstier, nivådifferensierte øveoppgaver og problemløsingsoppgaver. På tavla kan du som lærer skape gode samtaler i klassen hvor elevene kan utforske og snakke matematikk. Arbeid med bøkene Matematikk 5–7 fra Cappelen Damm, i kombinasjon med vår digitale tjeneste Skolen fra Cappelen Damm, vil gi svært gode muligheter for dybdelæring og for å nå målene i LK20.

DIGITAL LÆRERRESSURS

Innhold Til læreren Matematikkdidaktiske prinsipper – Kjerneelementer . . . . . . . . . . . . . . Oppbyggingen Matematikk 5–7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grunnleggende ferdigheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utvikling av regnestrategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Visuelle modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker . . . . Velkommen til Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Tall

...............................................................

2 Addisjon og subtraksjon

VI VII IX X XI XIII XV

.................................

3 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Multiplikasjon og divisjon

................................

116

5 Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

6 Statistikk

198

.....................................................

Historier nynorsk

..............................................

244

Kapittelprøver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

Arbeidsark, kopieringsoriginaler

.........................

270

................................................

299

Fasit Grunnbok

Fasit Oppgavebok

............................................

312

INNHOLD

Matematikkdidaktiske prinsipper – Kjerneelementer Med Matematikk 5–7 fra Cappelen Damm ønsker vi at elevene skal utvikle god tallforståelse og tilegne seg solide, grunnleggende ferdigheter i matematikk. Matematikk 5–7 legger vekt på at elevene: • utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene • oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger • løser utforskende og sammensatte oppgaver • samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver

Tallforståelse Vi ønsker at Matematikk 5–7 skal bidra til at elevene utvikler god tallforståelse gjennom å • utforske egenskaper ved tall • rekketelle forlengs og baklengs med ulike sprang • dele opp tall på ulike måter • utvikle forståelse for plassverdisystemet

Regnestrategier I Matematikk 5–7 legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og gjøre erfaringer med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder. Matematikk 5–7 legger også til rette for at elevene skal kunne automatisere tabellene for addisjon og subtraksjon mellom 0 og 20 og multiplikasjonstabellen.

Sammenhenger i matematikk Med Matematikk 5–7 ønsker vi at elevene skal utvikle evne til å se sammenhenger i matematikk. Vi ønsker at de skal bruke sine kunnskaper om tallvenner til å se sammenheng med andre tall, for eksempel når 4 + 6 = 10, er 24 + 6 = 30 og 240 + 60 = 300. Når de har lært doblinger, er det lett å se sammenhenger som for eksempel at når 25 + 25 = 50, er 25 + 26 = 50 + 1= 51 og 25 + 24 = 50 – 1 = 49. Når de har automatisert multiplikasjonstabellen, kan de se sammenhenger som at når 3 · 4 = 12, er 30 · 4 = 120 osv.

Utforsking og problemløsning Utforsking og undring er viktig for å bli interessert i og forstå matematikk. Matematikk 5–7 legger opp til at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker, og til å dele dette med hverandre. Slik kan de sammen utvikle matematisk forståelse og gode strategier for å arbeide med faget.

Representasjon og kommunikasjon – Abstraksjon og generalisering I Matematikk 5–7 legger vi til rette for at elevene skal kunne arbeide med matematikken på ulike nivåer. Ved innlæring av nytt stoff kan det ofte være hensiktsmessig å arbeide med konkreter eller visuell støtte i form av halvkonkreter eller halvabstrakter. Målet er at elevene gjennom mange erfaringer med dette skal bli i stand til å løse oppgavene på abstrakt nivå. Med konkreter mener vi for eksempel tellemateriell og penger. Med halvkonkreter mener vi bilder eller tegninger av konkretene. Med halvabstrakter mener vi symboler eller modeller som for eksempel tallinje, number bonds og bar models. Med abstrakter mener vi tallsymbolene. Det er stor forskjell på i hvilken grad elever trenger visuell støtte. Matematikk 5–7 legger opp til at elevene får bruke den visuelle støtten de trenger.

Resonering og argumentasjon Matematikk 5–7 tar på alvor at matematikk også er et språk. Som andre språk læres og utvikles også det matematiske språket best muntlig. Elevene må få rik anledning til å utvikle dette språket gjennom muntlige aktiviteter, derfor står både den lærerstyrte klassesamtalen og elevsamtalene sentralt gjennom hele verket.

Tverrfaglige tema Matematikk 5–7 legger til rette for at elevene skal tilegne seg kompetanse i de matematiske verktøy som er nødvendig for å kunne gjøre ansvarlige livsvalg innen folkehelse og livsmestring (5. og 6. trinn) og demokrati og medborgerskap (7. trinn).

MATEMATIKKDIDAKTISKE PRINSIPPER – KJERNEELEMENTER

Oppbyggingen Matematikk 5–7 Matematikk 5–7 består av

Samtaleruter

Grunnbok Parallellbok Oppgavebok Lærerveiledning Digital lærerressurs Digitale utgaver på cdu.no

Multiplikasjon – oppstilling Samtale Leo skal legge heller i gartneriet. Han regner ut at han trenger 24 pakker med heller. Hvor mye må han betale for hellene når de koster 67 kr per pakke?

Matematikk 5 Grunnbok har • tydelige mål for hvert kapittel • oppgaver for refleksjon og klassesamtale • varierte oppgaver til hvert tema • problemløsningsoppgaver • visuell støtte til oppgaver

Metode 1 67 · 24 =

Mål Alle kapitlene starter med tydelige mål som er forståelige for elevene. I slutten av hvert kapittel er det en oppsummering hvor læreren samtaler med elevene om hva de har lært. Det er også en oppsummerende oppgave for kapitlet.

1200

140

240

1 2 0 0 1 4 0 2 4 0 2 8 = 1 6 0 8

Svar: Bio må betale 1608 kr for hellene. Metode 2 1 2

6 2 6 + 1 3 4 = 1 6 0 1

Reﬂeksjon og klassesamtale Hvert kapittel innledes med et samtalebilde. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I Lærerveiledningen er det en liten historie til hvert bilde med en tilhørende matematisk problemstilling. Historien er også lydsatt og publisert i tilknytning til bildet i tavleboka. I denne veiledningen det også forslag til andre spørsmål og problemstillinger som kan stilles til bildene. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. Samtaleoppgavene gir anledning til å reflektere med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer og argumentere for disse. De får øvelse i å bruke det matematiske språket, og de får innsikt i hvordan andre elever tenker.

7 · 2 4 8 0 8

Svar: Bio må betale 1608 kr for hellene.

134

MATEMATIKK 6 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Alle kapitlene har samtaleruter i ramme. Ruten er delt med en strek. Over streken presenteres et problem som skal løses gjennom samtale med elevene. Elevene skal få reflektere og argumentere for sine løsninger. Under streken presenteres ulike løsningsforslag eller metoder som kan drøftes sammen med elevene i lys av deres egne forslag.

OPPBYGGINGEN MATEMATIKK 5–7

VII

Utforsk sammen Utforsk sammen Hvor mange marihøner med 2 prikker, og hvor mange marihøner med 7 prikker kan det være hvis de har 100 prikker til sammen? Kan dere finne flere løsninger? Hvor mange kan det være av hver hvis marihønene har 3 prikker og 6 prikker, og de har 100 prikker til sammen?

Aktiviteter Alle kapitlene avsluttes med ulike aktiviteter som er knyttet til kapitlets matematiske tema. Det kan være spill eller finn-ut-oppgaver som elevene skal samarbeide om i læringspar eller i små grupper. Gjennom disse aktivitetene får elevene videre øvelse i, eller erfaring med å ta i bruk, den kunnskapen de har tilegnet seg i kapitlet.

Sant eller usant Gjennom hele boka presenterer Matematikk 5–7 varierte utforsk sammen oppgaver. Dette er oppgaver som elevene skal arbeide med i læringspar eller små grupper. Elevene skal reflektere, samtale og diskutere framgangsmåter og løsningsstrategier og finne sine egne måter å løse oppgavene på. Etterpå er det meningen at elevene skal presentere og argumentere for sine løsninger.

Alle kapitlene har en samling utsagn, sant eller usant, som elevene skal vurdere og argumentere for om er sanne eller usanne. I slike oppgaver får elevene øvelse i å se kritisk på det som står i teksten. Å samtale om disse utsagnene med utgangspunkt i elevenes svar kan gi deg som lærer innsikt i om noen elever har misoppfatninger knyttet til tema.

Oppgavebok Matematikk 5–7 har et bredt spekter av oppgaver, oppgaver som egner seg for ferdighetstrening, oppgaver med modeller, oppgaver i kontekst hvor elevene får anvende sine ferdigheter i praktiske situasjoner, oppgaver for løsning med digitale verktøy og ulike typer problemløsningsoppgaver. Hvert kapittel har et oppslag med temaoppgaver. I disse oppgavene får elevene anvende kunnskaper fra flere områder enn det kapitlet omhandler.

Matematikk 5–7 Oppgavebok følger de samme temaene som i Matematikk 5–7 Grunnbok. Oppgaveboka inneholder ulike oppgavetyper. Den har enkle øvingsoppgaver og mer utfordrende oppgaver, merket med en eller to prikker, og egne sider som heter andre utfordringer. I andre utfordringer er det oppgaver som krever kompetanse ut over målene i kapitlet, og mer krevende problemløsningsoppgaver. Oppgaveboka har gode eksempler til alle tema og egner seg derfor også godt som hjemmebok.

Differensierte oppgaver

Lærerveiledning

Hvert kapittel starter med enkle oppgaver som ligner på oppgavene de har løst gjennom klassesamtalen. Videre fins varierte oppgaver av ulik vanskegrad. Mange av emnene har oppgaver med visuell støtte, en modell som elevene kan bruke videre på flere av oppgavene. I Lærerveiledningen er det forslag til forenkling og utviding av flere av oppgavene. Oppgaveboka har oppgaver på to nivå. I tillegg har hvert kapittel «Andre utfordringer» med mer utfordrende oppgaver.

Matematikk 5–7 Lærerveiledning følger grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her finner du veiledning til klassesamtalene, forklaringer til oppgavene, enkelte løsningsforslag og tips til differensiering. Lærerveiledningen har også stoff for faglig påfyll, metodiske tips og forslag til aktiviteter. Den har også elevoppgaver for å vedlikeholde tabellkunnskap og hoderegningsstrategier, også i kapitler hvor det ikke jobbes direkte med tall. Bak i boka er det fasit til Grunnbok 5, Oppgavebok 5 og elevoppgavene i Lærerveiledningen.

Ulike oppgaver

Oppgaver med digitale verktøy Gjennom oppgaver i Matematikk 5–7 presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). Vi ønsker at elevene i løpet av mellomtrinnet skal bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene. I opplæringen av Excel legges det til rette for at dette kan brukes som verktøy for å løse problemer innen de tverrfaglige tema.

VIII

OPPBYGGINGEN MATEMATIKK 5–7

Digital lærerressurs til bøkene Innhold til lærer ligger samlet i Skolen fra Cappelen Damm. Der finner du tavlebøker, arbeidsark, lydfiler osv.

Skolen fra Cappelen Damm I Skolen fra Cappelen Damm tilbyr vi matematikk fra 1–10. trinn. Der presenteres aktuelle læringsstier, filmer, podcaster m.m. Du som lærer kan skape gode fellesopplevelser gjennom det dette. Arbeid med bøkene i Matematikk 5–7 fra Cappelen Damm i kombinasjon med Skolen fra Cappelen Damm, vil gi gode muligheter for dybdelæring og for å nå målene i LK20.

Grunnleggende ferdigheter Matematikk 5–7 ivaretar de grunnleggende ferdighetene i matematikk etter læreplanen LK20.

problemformuleringer, slik at andre elever forstår og kan løse oppgavene.

Munnlege ferdigheiter

Å kunne lese

«Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å samtale i og om matematikk. Det vil seie å kommunisere idear og drøfte matematiske problem, strategiar og løysingar med andre. Utviklinga av munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å bruke kvardagsspråk til gradvis å bruke eit meir presist matematisk språk.»

«Å kunne lese i matematikk inneber å skape meining både i tekstar frå dagleg- og samfunnslivet og i matematikkfaglege tekstar. Å kunne lese i matematikk vil seie å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon i samansette tekstar. Utviklinga av leseferdigheiter i matematikk handlar om å finne og bruke informasjon i stadig meir komplekse tekstar med avansert symbolspråk og omgrepsbruk.»

I Matematikk 5–7 innledes hvert kapittel med et samtalebilde og hvert delkapittel med en samtaleoppgave. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema og en innføring i det de skal lære. I disse samtalene introduseres også elevene for matematisk fagterminologi og begreper og får øvelse i selv å ta disse begrepene i bruk. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, og de får øvelse i å bruke det matematiske språket. Hvert kapittel inneholder utforsk sammen-oppgaver. Disse oppgavene er åpne problemløsingsoppgaver. Elevene skal arbeide med disse oppgavene i læringspar eller små grupper. Matematikk 5–7 oppfordrer elevene til å diskutere ulike framgangsmåter og regnestrategier med hverandre, løse problemløsingsoppgavene på sine egne måter og argumentere for det de er kommet fram til.

Å kunne skrive «Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare samanhengar, oppdagingar og idear ved hjelp av formålstenlege representasjonar. Å kunne skrive i matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga læring. Det inneber å kunne løyse problem og presentere løysingar som er tilpassa mottakaren og situasjonen. Utviklinga av skriveferdigheiter i matematikk går frå å bruke kvardagsspråk til gradvis å bruke eit meir presist matematisk språk.» Matematikk 5–7 legger opp til at elevene hele veien skal skrive oppgaver og løsningsforslag i egen kladdebok. I grunnboka oppfordres elevene til å vise sine løsninger på ulike måter: tegne modeller, figurer, lage tabeller, grafer og diagrammer i tillegg til å finne hensiktsmessige måter å presentere løsninger skriftlig med tall og matematiske symboler på. I tillegg har verket flere oppgaver hvor elevene skal lage tekstoppgaver til hverandre i en gitt kontekst. Da må elvene øve seg på presise

Matematikk 5–7 har oppgaver i kontekst av ulik vanskegrad slik at elevene får øvelse i å lese, tolke og forstå både enkle og sammensatte matematiske problemstillinger. Bøkene har også mange oppgaver hvor elevene lærer å lese av, tolke og forstå ulike tabeller, grafer og diagram. Matematikk 5–7 legger dessuten vekt på å innføre korrekt fagspråk for elevene i løpet av mellomtrinnet. Gjennom sant eller usant-oppgavene, som fins mot slutten av hvert kapittel, får eleven øvelse i å se kritisk på en matematisk tekst og vurdere og ta stilling til om det som står har gyldighet eller ikke.

Å kunne rekne «Å kunne rekne i matematikk vil seie å bruke matematiske representasjonar, omgrep og framgangsmåtar til å gjere utrekningar og vurdere om løysingar er gyldige. Det inneber å kjenne att konkrete problem som kan løysast ved rekning, og formulere spørsmål om desse. Matematikk har eit særleg ansvar for opplæringa i å kunne rekne. Utviklinga av rekneferdigheiter i matematikk handlar om å analysere og løyse eit spekter av stadig meir komplekse problem med effektive og formålstenlege omgrep, symbol, metodar og strategiar.» I Matematikk 5–7 legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene og utvikle evne til å se matematiske sammenhenger. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og får erfaring med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder. Matematikk 5–7 legger til rette for at eleven skal kunne framstille og presentere løsningene sine både ved hjelp av tegnede modeller og ved presis bruk av matematisk symbolspråk.

GRUNNLEGGENDE FERDIGHETER

Matematikk 5–7 vektlegger at elevene skal vurdere gyldigheten av sine løsninger gjennom utvikling av gode hoderegningsstrategier og overslagsregning. Elevene lærer også å ta i bruk ulike digitale verktøy for å beregne og presentere løsninger på ulike oppgaver både i praktiske dagligdagse situasjoner og i matematiske problemer.

Digitale ferdigheiter «Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å kunne bruke grafteiknar, rekneark, CAS, dynamisk geometriprogram og programmering til å utforske og løyse

matematiske problem. Vidare inneber det å finne, analysere, behandle og presentere informasjon ved hjelp av digitale verktøy. Utviklinga av digitale ferdigheiter inneber i aukande grad å bruke og velje formålstenlege digitale verktøy som hjelpemiddel for å utforske, løyse og presentere matematiske problem.» Gjennom oppgaver i Matematikk 5–7 presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). I løpet av mellomtrinnet skal elevene bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene og bruke dem til beregninger, presentasjoner og simuleringer.

Utvikling av regnestrategier Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. I Matematikk 5–7 jobber vi derfor med flere ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis. Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem.

Tellestrategier De aller fleste elever behersker telling som strategi. I Matematikk 5–7 jobber vi hele tiden med å utvikle denne strategien. Å kunne telle forlengs og baklengs med ulike sprang er, sammen med forståelsen av plassverdisystemet, nyttig kompetanse når elevene skal arbeide med addisjon og subtraksjon av store tall.

Automatisering For å kunne regne raskt og sikkert, og for å kunne nyttiggjøre seg gode hoderegningsstrategier, er det nødvendig at en del tabellkunnskap er automatisert. Det vil si at elevene kan det så godt at de ikke behøver å telle seg fram til svaret. I Matematikk 5–7 vektlegger vi nødvendigheten av å fortsette å jobbe med automatisering av tallvennene opp til 20, doblinger og multiplikasjonstabellen.

Strategier i addisjon og subtraksjon N10 I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) mye brukt i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57. Brukt som subtraksjon med samme tall blir det: 32 – 25; 32 – 20 = 12; 12 – 5 = 7.

UTVIKLING AV REGNESTRATEGIER

1010 I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57. Denne strategien fungerer bra på addisjon, men dersom elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18, 20 – 10, og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar. Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan eleven bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi. Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51. Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25. Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24

Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser en strategi som vi i Matematikk 5-7 kaller regning via tiere. Strategien regning via tiere kan også være hensiktsmessig i subtraksjon. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 I Matematikk 5-7 vektlegger vi at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten er den lett å finne i hodet. Dette kan du lese mer om på side 16.

Visuelle modeller Når elevene etter hvert skal regne med store tall, og når de skal forholde seg til kompliserte og sammensatte tekstoppgaver, kan det være nyttig å kunne nyttiggjøre seg gode visualiseringsmodeller. I Matematikk 5-7 viser vi eksempler på dette og oppfordrer elevene til å ta disse i bruk når de trenger det.

Å regne med tid har vist seg å være vanskelig for mange elever. Ved regning med tid er tom tallinje et godt hjelpemiddel. Hvor lang tid er det fra kl. 18.50 til kl. 20.30? +1h

+ 30 min

+ 10 min

Tom tallinje Ideen om den tomme tallinjen kommer fra Freudenthal-instituttet i Nederland. Dette er en lineær regnemåte hvor elevene bruker den kunnskapen de har om tall og telling. En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er kun en arbeidstegning for barna. En tom tallinje skal være fleksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen. Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler.

18.50 19.00

20.00

20.30

Number bonds Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. Matematikk 5-7 bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. I Matematikk 5-7 bruker vi number bonds som består av ruter. Det hele står i den øverste ruten, og de tilhørende tallene står under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker. Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner. Eksempel:

Eksempel: 450 – 302 = 148 +8

+ 40

302 310

+ 100

350

450

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend. –8

– 40

302 310

Etter hvert bruker vi number bonds til å dele opp vilkårlige tall. Elevene kan ha stor nytte av å se hensiktsmessige oppdelinger av tall på en rask måte, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon ut over multiplikasjonstabellen.

– 100

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend. – 50

Eksempel 1 54 · 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele 54 opp i tier og enere, 50 og 4. Da får vi 50 · 3 = 150 og 4 · 3 = 12; 150 + 12 = 162

54 50

– 100

+2 300 302

350

450

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

Eksempel 2 5:3= Det kan være hensiktsmessig å dele opp 54 i 30 og 24. Da får vi 30 : 3 = 10 og 24 : 3 = 8; 10 + 8 = 18

54 30

VISUELLE MODELLER

Bar models Bar models er et visualiseringsverktøy som brukes for å systematisere problemstillingen i tekstoppgaver. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever. Når vi bruker bar models i Matematikk 5-7, er det som eksempler på hvordan dette kan gjøres. Størrelsen på blokkene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på blokkene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver, de er til hjelp for å få oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut. Bar models har et større bruksområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Eksempel Tor og Atman har til sammen 250 kr i lommepenger, Atman har 30 kr mer enn Tor. Hvor mye har hver av guttene i lommepenger?

Tor

? kr

Atman

? kr

30 kr

250 kr

Når elevene møter oppgaver der et tosifret tall skal multipliseres med et annet tosifret tall, kan det være nødvendig å dele opp rutenettet i flere deler for å kunne bruke den kjente delen av multiplikasjonstabellen. 17 · 12 = 10 · 10 + 10 · 7 + 2 · 10 + 2 · 7 = 100 + 70 + 20 + 14 = 204 10

2 Etter hvert som elevene forstår hvordan multiplikasjon og areal henger sammen, kan de frigjøre seg fra det oppdelte rutenettet og gå over til tomt rutenett. Dette er også mer hensiktsmessig etter hvert som elevene møter større tall. Samme eksempel som over kan se slik ut i tomt rutenett: 10

Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett bygger på arealforståelsen av multiplikasjon. Det er nødvendig å være godt kjent med denne modellen av multiplikasjon for å forstå bruken av rutenett og tomt rutenett i multiplikasjoner som går ut over den lille gangetabellen. Eksempel: Et rutenett med fire rader og seks kolonner består av 24 ruter. Rutenettet er en modell av multiplikasjonene 4 · 6 = 24 og 6 · 4 = 24. Dette rutenettet illustrerer den kommutative loven, a · b = b · a. 6

Når elevene etter hvert møter på større tall som skal multipliseres, kan de dele opp rutenettet i kjente multiplikasjoner.

XII

VISUELLE MODELLER

2 Ved å erstatte rutenettet med tomt rutenett kan det tegnes i mer hensiktsmessig størrelse. Elevene kan multiplisere i det kjente området av multiplikasjonstabellen og addere delproduktene for å finne sluttproduktet. Det er ingen regel for hvordan man deler opp multiplikasjonene. Det er viktig at elevene får dele opp slik at de kan bruke multiplikasjoner som de behersker.

Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker I Matematikk 5-7 legger vi stor vekt på den matematiske samtalen. Både den lærerstyrte klassesamtalen og samtale elevene i mellom står sentralt gjennom hele verket. I klassesamtalene er det ofte de samme elevene som tar ordet, gjerne de som av de andre elevene blir sett på som «flinke». For å få fram alles tanker og oppklare misoppfatninger anbefaler vi en metode som vi kaller «Lappemetoden», også kjent som «My favorite no answer». Med denne metoden er det læreren som styrer hvem som snakker, men likevel kan en annerledes tanke fra en annen elev være det samtalen dreier seg om. Denne eleven får da prøvd sin tanke opp mot de andres og får mulighet til å utvide sin kunnskap eller kanskje til og med oppklare en misoppfatning.

Metoden Sørg for alltid å ha nok oppkuttede lapper tilgjengelig i klasserommet. For eksempel et A4-ark delt i 4 eller 8, alt etter hvor mye som skal skrives på lappen. Da kan du alltid ty til denne metoden når du oppdager at det er forvirring eller uklarheter rundt et problem. Spørsmålsstillingen utover i metoden blir litt forskjellig alt etter hva slags problem som belyses. Men det kan foregå omtrent som i punktene under. Vi vil også komme med et par eksempler. • Del ut en lapp til hver elev. • Be eleven skrive navnet sitt på lappen. • Skriv det du vil ha elevens tanker om på tavla. • Be elevene skrive svar eller løsning på lappen sin og legge den opp ned på pulten. • Samle inn lappene. • Sorter svarene i «riktig» og «galt» eller i ulike svaralternativer. • Ta tak i et svar eller løsningsforslag som inneholder en feil eller misoppfatning som du har lyst til å få oppklart. • Skriv løsningsforslaget på tavla. • Fortell hva du er glad for å se ved løsningen (det som er riktig), eller spør elevene hva de ser som er riktig. • Spør så hvordan de tror de elevene som har svart feil, har tenkt.

Det er viktig å understreke at ikke alt er feil. Noe er riktig, og det kan brukes til å oppklare det som ikke er riktig (eller mangler). Etter hvert som du og elevene blir trygge på metoden, kan den brukes både i forbindelse med samtalebildene, enkeltoppgaver i bøkene og til sant-eller-usant-oppgavene. For å vende elevene til metoden kan det være lurt å starte med en åpen oppgave som har mange svar. Da er nok de aller fleste svarene riktige, men det illustrerer godt for elevene at det er mange måter å tenke på, og at det andre tenker ikke nødvendigvis er feil.

Eksempel Det står mange sykler utenfor parken. Syklene har til sammen 11 hjul. Hvor mange sykler tror du det står utenfor parken? Dette er en oppgave som kan gi mange svar. Det finnes tohjulssykler, trehjulssykler, etthjulssykler og sykler med støttehjul. Sjansen for å få mange svar er absolutt til stede. Sorter lappene i bunker med like svar i hver bunke. Begynn med det svaret det er flest av, skriv det på tavla. Si for eksempel: «Jeg ser at mange tror det er seks sykler utenfor parken, og det er fullt mulig.» Spør videre for eksempel: «Hvordan kan det være 6 sykler utenfor parken når de har 11 hjul til sammen?» Selv dette svaret kan ha flere forklaringer. Det kan være fem vanlige sykler og en etthjulssykkel, eller det kan være fem hele sykler og en som mangler et hjul. Gjør det samme med de andre svaralternativene som er kommet fram. I sant-eller-usant-oppgavene på side 48 er et av utsagnene: Det største femsifrede tallet vi kan lage, er 90 000. Hvis en eller flere av elevene har skrevet dette som sant i sin besvarelse, kan du bruke denne metoden for å oppklare misoppfatningen. Be eleven skrive det største femsifrede tallet vi kan lage på lappen. Du vil da få mange lapper med 99 999 og trolig én eller flere med 90 000, og kanskje 99 000. Velg for eksempel svaret 90 000. Si at du er glad for å se at tallet har fem siffer, det er helt riktig. Spør så elevene om det er noe mer som er riktig ved dette svaret.

LAPPEMETODEN, EN METODE FOR Å FÅ TAK I HVORDAN ELEVER TENKER

XIII

Da er det bare lov å svare hva som er riktig, ikke hva som er feil! Svaret vil bli at det er 9 på titusenerplassen. Spør om noen kan forklare hvorfor det er riktig. Svaret er for eksempel at 9 er det største sifferet som kan stå på titusenerplassen. Bekreft svaret. Spør videre hva det er som gjør at dette ikke er det aller største tallet vi kan lage med fem siffer. Svaret blir kanskje at det kan stå 9 på alle plassene. Bekreft dette, og skriv 99 999 på tavla.

Spill som metode og pedagogisk virkemiddel I løpet av skoletiden regner elevene en stor mengde matematikkoppgaver fra lærebøkene. Mange elever får en opplevelse av at matematikkfaget er ensbetydende med å finne løsning på problemer andre har satt opp. Spill og lek i matematikkundervisningen, bidrar til • at tallmaterialet som elevene arbeider med, ikke er døde tall fra en bok, men opplysninger og resultater som stammer fra elevens egen arena • at elevene utvikler strategisk tenking, og de erfarer at matematikk er en oppdagelse og ikke en oppfinnelse • at elevene forstår poenget med å automatisere behandling av små tall

La elevene selv oppdage strategier Det er viktig at elevene selv får oppdage strategier. Ved å lære/fortelle elevene strategier kan de kanskje ta disse i bruk i den enkelte situasjonen, men når de ikke har oppdaget/utviklet strategien selv, vil de sannsynligvis ikke være i stand til å overføre den til andre situasjoner. De strategiene som elevene selv oppdager/ utvikler, vil de lettere kunne hente fram igjen og forsøke å bruke i liknende situasjoner. Slik vil de også bli i stand til å utvide strategiene sine. Eksempel I et spill har spillerne to treninger og to kast hver i hver runde. Av hvert kast lager de et tosifret tall. Differansen mellom tallene i de to kastene tar de med seg videre. Den som kommer først til hundre vinner. Strategi 1: For å komme først til 100 er det om å gjøre å få størst mulig differanse i hver omgang. Strategi 2: Ved å velge et stort eller lite siffer som tier i det første kastet er sannsynligheten for å få en stor differanse større. Dette er slike ting som elevene selv bør få oppdage. På den måten utvikles også tallforståelsen.

I spill og lek skjer læringen i en sosial sammenheng. Variasjon i metoder skaper engasjement i faget. Spill og lek skaper fellesskapsopplevelser også i matematikkfaget.

XIV

LAPPEMETODEN, EN METODE FOR Å FÅ TAK I HVORDAN ELEVER TENKER

Velkommen til Fermat Samtalebildene på kapitteloppslagene er hentet fra en fiktiv verden, Fermat. Gjennomgangsfigurene i denne verdenen vil elevene også møte i samtaleruter og oppgaver gjennom hele boka.

(bokmål) Byen Fermat er ikke som andre byer. I Fermat eksisterer fortid, nåtid og framtid samtidig. Det viktigste framkomstmidlet i byen er kabelbanen, men du finner også fortidens luftskip og framtidens passasjerdroner.

(nynorsk) Byen Fermat er ikkje som andre byar. I Fermat eksisterer fortid, notid og framtid på same tid. Det viktigaste framkomstmiddelet i byen er kabelbana, men du finn også fortidas luftskip og framtidas passasjerdronar.

Kabelbanen styres av Kabelbanemester Rut, en dame som nesten aldri sover. Hun har stålkontroll over både kabelbanen og alle andre fartøy i Fermat. Hun er alltid utstyrt med masse verktøy og fikser alt.

Kabelbana styrast av Kabelbanemester Rut, ei dame som nesten aldri søv. Ho har stålkontroll over både kabelbana og alle andre fartøy i Fermat. Ho er alltid utstyrt med masse verktøy og fiksar alt.

Byen styres av Borgermester Baye, en blid og rettferdig mann. Han er opptatt av at Fermat skal ha en god og bærekraftig utvikling, og at alle som bor der skal ha det bra.

Byen styrast av Borgermeister Baye, ein blid og rettferdig mann. Han er oppteken av at Fermat skal ha ei god og bærekraftig utvikling, og at alle som bur der skal ha det bra.

I et av de merkeligste husene i Fermat bor oppfinneren Plex, en fargerik og travel dame med et stort hjerte for andre. Akkurat nå driver hun og bygger på huset, så hun har det ekstra travelt.

I eit av dei merkelegaste husa i Fermat bur oppfinnaren Plex, ei fargerik og travel dame med eit stort hjarte for andre. Akkurat no driv ho og byggjer på huset, så ho har det ekstra travelt.

Henrik, Ada og Maxi er tre foreldreløse barn som bor hos Plex.

Henrik, Ada og Maxi er tre foreldrelause barn som bur hjå Plex.

Henrik er eldst og var den første som flyttet inn. Han er så interessert i matematikk at Plex har funnet opp et par magiske briller til han. Med dem kan han se mange spennende, matematiske løsninger.

Henrik er eldst og var den fyrste som flytta inn. Han er så interessert i matematikk at Plex har funne opp eit par magiske briller til han. Med dei kan han sjå mange spennande, matematiske løysingar.

Ada er ei jente som alltid ser etter praktiske løsninger. Hun er fast bestemt på at ingenting skal kastes, alt kan brukes. Plex har funnet opp en helt spesiell sekk til henne som hun kan ta med seg overalt. Der finner hun alltid det hun trenger for å løse et problem.

Ada er ei jente som alltid ser etter praktiske løysingar. Ho er fast bestemt på at ingenting må kastast, alt kan brukast. Plex har funne opp ein heilt spesiell sekk til ho som ho kan ta med seg overalt. Der finn ho alltid det ho treng for å løyse eit problem.

Maxi er den minste av barna i huset til Plex. Maxi er bevegelseshemmet, og da hun kom til Plex, kunne hun ikke gå. Men nå har Plex funnet opp et mekanisk skjelett til henne. Med det kan Maxi både gå, løpe og hoppe.

Maxi er den minste av barna i huset til Plex. Maxi er rørslehemma, og då ho kom til Plex, kunne ho ikkje gå. Men no har Plex funne opp eit mekanisk skjelett til ho. Med det kan Maxi både gå, springe og hoppe.

Plex har også to roboter, Bio og Leo, og katten Radius som slett ikke er som andre katter.

Plex har også to robotar, Bio og Leo, samt katten Radius, som slett ikkje er som andre kattar.

VELKOMMEN TIL FERMAT

KAPITTEL 1

Tall MÅL • utforske ulike matematiske sammenhenger i hele tall og desimaltall • utforske, bruke og beskrive hoderegningsstrategier i de fire regneartene med hele tall • utforske, bruke og beskrive hoderegningsstrategier i de fire regneartene med desimaltall

BEGREPER siffer, addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, differanse, plassverdi, utvidet form, overslag, partall, oddetall, primtall, avrunding

1 6

Tall

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

Hoderegningsstrategier Forskning viser at mer enn 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det varierer også hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. I dette kapitlet tar vi for oss noen av de mest kjente hoderegningsstrategiene. Flere av strategiene vil være kjente for elevene. Vi anbefaler likevel å bruke tid på dette for å sikre at alle får et bevisst forhold til valg av regnestrategi i ulike situasjoner.

Ulike strategier i addisjon I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) den mest brukte i addisjon. N10 er en lineær modell der elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25, 32 + 20 = 52, 52 + 5 = 57

mål

begreper

• utforske ulike matematiske sammenhenger i hele tall og desimaltall • utforske, bruke og beskrive hoderegningsstrategier i de fire regneartene med hele tall • utforske, bruke og beskrive hoderegningsstrategier i de fire regneartene med desimaltall

ƐŝīĞƌ͕ ĂĚĚŝƐũŽŶ͕ ƐƵďƚƌĂŬƐũŽŶ͕ ŵƵůƟƉůŝŬĂƐũŽŶ͕ ĚŝǀŝƐũŽŶ͕ ĚŝīĞƌĂŶƐĞ͕ ƉůĂƐƐǀĞƌĚŝ͕ utvidet form, overslag, ƉĂƌƚĂůů͕ ŽĚĚĞƚĂůů͕ ƉƌŝŵƚĂůů͕ ĂǀƌƵŶĚŝŶŐ

I USA bruker de oftere 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Den går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25, 30 + 20 = 50, 2 + 5 = 7, 50 + 7 = 57 Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når de møter for eksempel 23 – 18, 20 − 10 og 3 − 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur subtraksjonen til 8 − 3, som gir feil svar.

Strategier for subtraksjon I dette kapitlet har vi lagt vekt på at subtraksjon er a tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi, for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet.

Andre nyttige strategier

Det kan også være rasjonelt å tenke dobling/halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 − 25 = 25. Det kan vi bruke til å finne 50 − 26 = 50 − 25 − 1 = 24.

Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan de bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi.

Strategien regning via tiere kan også brukes i noen tilfeller. Eksempel: 84 − 9 = 84 − 10 + 1 = 75

Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51 Det er ikke meningen at elevene skal skrive denne oppstillingen, men tenke den. Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 − 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 − 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser den strategien vi her i kapitlet har kalt regning via tiere.

Strandrydding Det er strandryddeuke i Fermat, og hele familien til Plex er med. Ada nøyer seg ikke bare med å rydde stranda, hun skal også dykke ned til bunnen for å rydde søppel der. Radius har tatt på seg superkattkappa si og flyr rundt og henter søppel der de andre ikke kommer til. Akkurat nå kommer han med ei tom plastflaske som han lurer på om Henrik har plass til i sekken sin. Leo med kjempekreftene kjører søppelet bort med ei svevekjerre. Svevekjerra kan ta en last på maks 50 kg. «Har du plass til en sekk til?» spør Henrik. «Det kommer an på hva den veier», svarer Leo. Henrik slenger sekken på vekta, og lurer på hvor mye den kan veie før det blir for tungt for svevekjerra. Kan du finne en lur måte å regne ut hvor mye sekken til Henrik kan veie, uten at det blir for tungt for kjerra?

Når vi jobber med hoderegning generelt, er det nødvendig at elevene får forklare hvordan de kom fram til svaret. Denne matematiske samtalen hjelper elevene til å sette ord på matematikken, de vil lære av hverandre, og de vil også erfare at det fins mange måter å komme fram til rett svar på. Et feil svar kan også være til god hjelp i undervisningen for å avdekke vanlige misoppfatninger. Se «En metode for å få tak i hvordan elevene tenker» på side XIII.

«Da må jeg addere fire desimaltall, og jeg som har glemt de matematiske brillene mine», sier Henrik «Du kan bruke tiervenner når du adderer desimalene, så får du hele tall. Da blir det mye lettere å regne», roper den praktiske Ada ute fra holmen. Henrik ser straks at 10,4 + 9,6 = 20 og 7,7 + 8,3 = 16Altså veier sekkene på svevekjerra til sammen 36 kg. Da kan denne sekken veie maks 14 kg, tenker Henrik. «Kom igjen, Radius, jeg har nok plass til flaska di også», sier han.

Videre samtale om oppslaget Under vannet ved brua står det et skilt med –3 m. Hva tenker de at det betyr? På toppen av klippen står det et skilt med 5 moh. Hva tenker de at det betyr? Tegn en tallinje. Snakk sammen om at vi regner havets overflate som 0 m, og plasser 0 på tallinja. Hvor vil dere plassere –3, og hvor vil dere plassere 5? Hvor stor høydeforskjell er det mellom havbunnene og toppen av klippen?

TALL

Automatisering av tallvenner

Metoder for automatisering av tallvenner

Elever som har automatisert alle oppdelinger av tallene (tallvennene) fra 1 til 10, har bedre forutsetning for å lykkes og trives med matematikken. Å automatisere tallvennene til for eksempel tallet 8 innebærer å kunne alle tallpar som til sammen blir 8. Når denne kunnskapen er automatisert, går det mye raskere å regne i hodet.

Tallvenner på ukeplanen Gjennom hele mellomtrinnet bør tallvennene opp til 20 i perioder stå på ukeplanen på samme måte som øveord. For eksempel: 1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11, 3 + 8 = 11 osv.

Når de for eksempel vet at 5 + 3 = 8, vil de videre se sammenhengen til subtraksjon, 8 − 3 = 5 og 8 − 5 = 3. De vil også være i stand til å overføre dette til 50 + 30 = 80 osv. Automatisering av tallvennene er derfor grunnleggende for effektive strategier i addisjon og subtraksjon.

Spill som metode I arbeidet med å automatisere tallvenner er hoderegning og ulike spill ofte mer effektivt enn å regne på papir. Det fins mange terningspill og kortspill som er gode å bruke til dette. I Lærerveiledning 5 ga vi eksempel på et kortspill, Snapp tieren, som er fint å bruke til automatisering av tallvenner. Eksemplet vi ga, viste spillet brukt på tiervenner. Bruk det samme spillet nå, men spill med hele kortstokken, og spill om 11-venner, 12-venner og 13-venner.

De elevene som i tillegg klarer å automatisere tallvennene opp til 20, vil få det mye lettere når de skal addere og subtrahere tall med tieroverganger. Når de for eksempel har automatisert at 5 + 8 = 13, kan de bruke den kunnskapen til å regne ut 45 + 8 = 40 + 13 = 53.

Samtale Les om ulike hoderegningsstrategier både i forrige oppslag og på side X, før denne samtalen.

Hoderegning Samtale ,ǀŽƌĚĂŶ ǀŝů ĚƵ ůƆƐĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ ǀĞĚ ŚŽĚĞƌĞŐŶŝŶŐ͍

Se på en og en av oppgavene i samtaleruta og la elevene komme med forslag til løsning og hva slags hoderegningsstrategi som kan være hensiktsmessig å bruke.

2,5 + 2,6 =

300 000 + 700 000 18 + 12 =

Oppgavene 1.1–1.5 Talloppgaver der elevene oppfordres til å se etter mønster. Etter at elevene har gjort disse oppgavene, bør dere på nytt samtale om løsninger, strategier, mønster og sammenhenger.

1.1

1.2

1.3

1.4

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

1,0 – 0,2 =

12 · 5 = =

1000 – 9

97 =

99 + 15 =

28 · 0,5

Regn ut. Se etter mønster. a) 50 + 50 = b) 25 + 25 = 5,0 + 5,0 = 2,5 + 2,5 =

c) 10 + 10 = 1,0 + 1,0 =

Regn ut. Se etter mønster. b) 1 + 9 = a) 8 + 2 = 10 + 90 = 80 + 20 = 100 + 900 = 800 + 200 =

c) 5 + 5 = 50 + 50 = 500 + 500 =

Regn ut. Se etter mønster. a) 10 – 2 = b) 10 – 3 = 1,0 – 0,2 = 1,0 – 0,3 =

c) 10 – 6 = 1,0 – 0,6 =

Regn ut. Se etter mønster. a) 10 · 10 = b) 12 · 10 = 10 · 5 = 12 · 5 =

c) 15 · 10 = 15 · 5 =

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

kortene underst i sin bunke. Hvis summen ikke er 13, blir kortene liggende. • Spiller A legger så sitt øverste kort oppå sitt forrige kort. De to synlige kortene er nå spiller Bs kort og spiller As nye kort. Hvis disse kortene danner 13, kan raskeste spiller slå hånden sin over begge kortbunkene og vinne dem. Hvis ikke, går spillet videre ved at spillerne etter tur legger opp kort til de to synlige kortene danner summen 13, og en av spillerne «snapper» disse. • Hvis en spiller ute i spillet legger opp en konge, kan den som er raskest, slå på den. Da vinner han hele den bunken som kongen ligger på, mens den andre bunken blir liggende. • Hvis en spiller klarer å kjempe til seg alle kortene fra motspilleren, har han vunnet.

Bruk alle kortene i en vanlig kortstokk. Esset teller 1, tallkortene teller egen verdi, knekten teller 11, dama teller 12, og kongen teller 13. To elever spiller sammen (eksemplet er spill om 13-venner). • Spillerne deler kortbunken mellom seg i to like store deler. Kortbunken legges på bordet foran spilleren. • Spiller A snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet mellom spillerne. • Spiller B snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet ved siden av kortet til spiller A. Hvis summen av de to kortene er 13, slår den eleven som først ser det, hånden over kortene og legger begge

1.5

1.6

Regn ut. Se etter mønster. b) a) 6 + 4 = 16 + 4 = 16 + 14 = 36 + 54 = 3,6 + 5,4 =

Spillet Kasino øver tallkombinasjoner opp til 16. Det er mange regler, så lær først bort spillet til fire elever som igjen lærer det bort til medelever.

Oppgavene 1.6–1.7 Kontekstoppgaver der elevene også kan bruke ulike hoderegningsstrategier. Utforsk sammen

c) 8 + 2 = 18 + 2 = 18 + 52 = 48 + 32 = 4,8 + 3,2 =

3+7= 13 + 7 = 13 + 17 = 23 + 47 = 2,3 + 4,7 =

Disse oppgavene har vanskeligere tall enn elevene har møtt så langt i kapitlet. La dem finne ut og gjøre rede for hvordan de kan bruke de ulike regnestrategiene på oppgaver med vanskeligere tall.

DĂǆŝ ŚĂƌ ϮϬ Ŭƌ Ċ ŬũƆƉĞ ĨŽƌ͘ ,ǀŝůŬĞ ƚŽ ƚŝŶŐ ŬĂŶ ŚƵŶ ŬũƆƉĞ͍ &ŝŶŶ ĨůĞƌĞ Ċ Ŭ Ă løsninger. ger. 8 kr

7 kr

12 kr

1.7

Andre kortspill

Plex har fem skåler med bær og en tom bøtte som rommer 5,0 L. Hvilke av ƐŬĊůĞŶĞ ŬĂŶ ŚƵŶ ďƌƵŬĞ ĨŽƌ Ċ ĨǇůůĞ ŽƉƉ ďƆƚƚĂ ƐůŝŬ Ăƚ ĚĞƚ ďůŝƌ ϱ͕Ϭ > ďčƌ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͍ Ğƚ ĨŝŶŶĞƐ ĨůĞƌĞ ůƆƐŶŝŶŐĞƌ͘

3,9 L

2,3 L

2,7 L

1,6 L

1,1 L

Utforsk sammen Argumenter for hvilke hoderegningsstrategier dere vil ta i bruk, når dere skal ůƆƐĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ͘ 1452 + 190 =

1452 – 398 =

1 TALL T

TALL

Alle tallkort har samme verdi som det står på kortet, med unntak av ruter 10 og spar 2. Knekter teller 11, damer teller 12, konger teller 13.

Kortspillet kasino Spillet passer for to–fire elever. Hver gruppe trenger en vanlig kortstokk. Spillet trener automatisering av tallkombinasjoner opp til 16. I tillegg blir elevene kjent med variabler, da noen spesielle kort har ulik verdi på hånden og på bordet.

Kort som har spesiell verdi: Alle ess teller 14 på hånden og 1 når de ligger på bordet. Ruter 10 teller 16 på hånden og 10 når den ligger på bordet. Spar 2 teller 15 på hånden og 2 når den ligger på bordet.

En del spesielle regler/variasjoner er ikke tatt med her. Vær også klar over at det fins mange lokale varianter både når det gjelder poengberegning og hvilke bygg som er lovlige. Det kan derfor være nyttig å bli enige i hver enkelt klasse om hvilke regler som brukes.

Spilleregler Hver spiller får fire kort, og det legges fire kort med bildesiden opp på bordet. Spillerne bruker så ett kort etter tur.

Ved innlæring av et spill med så mange regler kan det være lurt å spille med et par av elevene (kanskje noen kan spillet allerede) og samle resten omkring som tilskuere. Etter hvert som elevene forstår spillet, danner de grupper som spiller selv. Alle elever som klarer tierovergang, kan lære seg spillet.

Samtale Repeter tiervennene, gjerne ved å bruke for eksempel spillet «Snapp tieren», se forrige oppslag.

Kortet kan brukes til å ta inn kort med lik verdi eller tallkombinasjoner som ligger på bordet, eller til å bygge til noe de selv har på hånden. Klarer ikke spilleren å finne en slik kombinasjon, må han legge et kort ut på bordet med bildesiden opp. Det er lov å kombinere flere kort, for eksempel kan en firer, en treer og en toer tas inn med en nier.

Regnestrategi – tiervenner Samtale 1+9

Samtal om hvordan vi kan bruke det vi kan om tiervenner, når vi skal regne med større tall og med desimaltall.

2+8

3+7

4+6

5+5

,ǀŽƌĚĂŶ ŬĂŶ ĚƵ ďƌƵŬĞ ĚĞƚ ĚƵ ŬĂŶ Žŵ ƚŝĞƌǀĞŶŶĞƌ ƚŝů Ċ ƌĞŐŶĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ͍ ϰϯ н ϳ сപപപϭϬ н ϵϬ сപപപϬ͕ϯ н Ϭ͕ϳ сപപപϭϱϰ н ϭϲ сപപപപϭϯ н ϴ с

Eksempel: Vi vet at 1 + 9 = 10. Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 51 + 9? Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 51 + 19?

1.8

1.9

Eksempel: Vi vet at 2 + 8 = 10. Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 0,2 + 0,8? La elevene komme med flere eksempler. Skriv eksemplene.

Regn ut. a) 8 + 2 = 8 + 12 =

b) 66 + 4 = 66 + 14 =

c) 19 + 1 = 19 + 11 =

Regn ut. a) 0,3 + 0,7 = d) 1,2 + 1,8 =

b) 0,9 + 0,1 = e) 4,4 + 1,6 =

c) 1,5 + 0,5 = f) 5,7 + 0,3 =

b) 112 + 8 =

c) 436 + 54 =

b) 10 – 8 = 1,0 – 0,8 =

c) 10 – 9 = 1,0 – 0,9 =

1.10 Regn ut. a) 23 + 17 =

1.11 Regn ut. a) 10 – 3 = 1,0 – 0,3 =

Oppgavene 1.8–1.11, 1.13–1.15 Disse oppgavene handler om å se sammenhengen med tiervenner og andre tall der tiervenner kan brukes som hoderegningsstrategi.

1.12 ,ĞŶƌŝŬ ŬũƆƌĞƌ ďƆƚƚĞƌ ĨǇůƚ ŵĞĚ ǀĂŶŶ ƉĊ ĞŶ ƚƌĂůůĞ͘ Hver bøtte inneholder 2,0 L vann. Når han kommer fram, ser han at han har sølt ut noe av vannet. Hvor mange L vann har ,ĞŶƌŝŬ ƐƆůƚ ĨƌĂ ŚǀĞƌ Ăǀ ďƆƚƚĞŶĞ͍

C B

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Dersom en spiller klarer å ta alle kortene som ligger på bordet, utgjør det en «tabbe» som gir et ekstrapoeng. For å holde styr på tabbene er det vanlig at den som får tabbe, snur et kort i bunken sin. Når de siste fire kortene til hver spiller deles ut, annonserer utdeler at dette er «slutten». Den spilleren som sist tok kort fra bordet i siste runde, får de kortene som ligger igjen på bordet. NB! Bare ett kort fra hånden kan brukes hver gang det er spillerens tur. Dersom det brukes til et bygg, må dette bygget ligge på bordet til neste gang det er denne spillerens tur, men andre spillere kan ta bygget når det er deres tur, dersom de har riktig kort.

Poengberegning Slik vi beregner, blir det totalt 10 poeng pluss eventuelle ekstrapoeng: – Hvert ess teller 1 poeng. – Ruter 10 teller 2 poeng. – Spar 2 teller 1 poeng. – Den spilleren som har flest spar, får 1 poeng. – Den spilleren som har flest kort, får 1 poeng. – Den spilleren som tar inn de siste kortene fra bordet, får 1 poeng.

Kortene som spilleren tar inn fra bordet, legges i egen bunke som hver enkelt teller opp til slutt. Når alle fire håndkortene er spilt, deles det på nytt ut fire kort til hver spiller. Kortene gis av samme person til alle kortene er delt ut.

Oppgave 1.12 Oppdeling av 2,0. De elevene som har nytte av det, kan skrive oppdelingen som «number bonds».

1.13 Regn ut. a) 23 + 17 + 25 =

b) 12 + 34 + 26 =

c) 15 + 31 + 45 =

1.14 Regn ut. a) 0,8 + 0,6 + 0,4 + 0,2 = c) 0,7 + 0,7 + 1,3 + 0,3 = e) 1,5 + 3,9 + 1,1 + 2,5 =

b) 0,5 + 1,1 + 0,5 + 0,9 = d) 2,1 + 1,8 + 4,9 + 1,2 = f) 2,4 + 1,3 + 4,7 + 2,6 =

Oppgave 1.16 Oppdeling av 1,0. De elevene som har nytte av det, kan skrive oppdelingen som «number bonds».

1.15 Summen av tallene i tre av de små sirklene står i midten. Skriv hvilke tre tall som er addert. a)

52 30

110

15 25

29 40

100

Utforsk sammen La elevene legge fram funnene sine og gjøre rede for framgangsmåten.

1.16 Ada har tre drikkeflasker som skal fylles ŽƉƉ ƚŝů ϭ͕Ϭ >͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŵĞƌ ŵĊ ŚƵŶ ĨǇůůĞ ŝ ŚǀĞƌ Ăǀ ĨůĂƐŬĞŶĞ͍

Utforsk sammen DĞůůŽŵ ŚǀŝůŬĞ ƚŽ ƚĂůů Ğƌ ĚŝĨĨĞƌĂŶƐĞŶ ƐƚƆƌƌĞ ĞŶŶ ϭ͕ϭϭ ŽŐ ŵŝŶĚƌĞ ĞŶŶ ϭ͕Ϯ͍ 14,41

15,53

8,14

7,06

5,88

16,63

1 TALL

TALL

77 + 56 =

Tom tallinje Mange elever opplever addisjon og subtraksjon av tosifrede tall som vanskelig. Å beherske hoderegningsstrategier og ha automatisert tallvenner opp til 20 er til god hjelp. Mange elever vil også ha god hjelp av å bruke en tom tallinje som støtte. Ved hjelp av tom tallinje kan elevene bruke de addisjons- og subtraksjonssprangene som de behersker. Gjennom visualiseringen som den tomme tallinja gir, blir det også lettere for elevene å finne sprang som er fornuftige.

+ 33

100

Eksempel: 65 + 9 = 65 + 10 – 1 = 74 + 10

Eleven starter ofte på den første addenden og deler opp den andre i hensiktsmessige størrelser. Ta for eksempel 77 + 56. Her kan eleven starte på 77. Avstanden mellom hoppene betyr ikke noe, det er utregningen som er viktig.

–1 65

Tenke via hel tier Samtale ĚĂ ŽŐ DĂǆŝ Ğƌ ŝ ĊŬĞƌĞŶ ŽŐ ƉůƵŬŬĞƌ ũŽƌĚďčƌ͘ A WĊ ůƆƌĚĂŐ ƉůƵŬŬĞƌ ĚĂ Ϯϰ ŬƵƌǀĞƌ͕ ŽŐ ƉĊ ƐƆŶĚĂŐ ƉůƵŬŬĞƌ ŚƵŶ Ϯϵ ŬƵƌǀĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƵƌǀĞƌ ƉůƵŬŬĞƌ ĚĂ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͍ B DĂǆŝ ŚĂƌ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ ƉůƵŬŬĞƚ ϱϯ ŬƵƌǀĞƌ ŵĞĚ ũŽƌĚďčƌ͘ ϯϵ Ăǀ kurvene har store bær, og resten av kurvene har små bær. ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬƵƌǀĞƌ ŵĞĚ ƐŵĊ ďčƌ ŚĂƌ DĂǆŝ͍

Løsning A Metode 1

+ 30

24 + 29 = 24

–1 53

Metode 2

24 + 29 = 24 + 30 – 1 = 53 Svar: ĚĂ ƉůƵŬŬĞƌ ϱϯ ŬƵƌǀĞƌ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͘ Oppgave B Metode 1

53 – 39 =

– 40

+1 13

Metode 2

53 – 39 = 53 – 40 + 1 = 14 Svar: Maxi har 14 kurver med små bær.

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

133

Tenke via hel tier Når elevene skal regne ut en addisjon med et tall som ligger nær 10, kan det være en fornuftig strategi å hoppe litt for langt på tallinja for så å gjøre et lite hopp tilbake.

En tom tallinje trenger ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er bare en arbeidstegning for elevene. En tom tallinje skal være fleksibel. Noen elever trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen.

Samtale Elevene skal bruke hoderegningsstrategien til å tenke via hel tier, se ovenfor. Strategien er her visualisert ved hjelp av tom tallinje. Bruk tom tallinje på tavla, og la elevene komme med eksempler på andre regnestykker der det er rasjonelt å tenke via hel tier.

+ 20

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Eksempel: 1,5 + 0,9 = 1,5 + 1,0 – 0,1 = 2,4

Det samme gjelder ved subtraksjon. Når elevene skal regne ut en subtraksjon med et tall som ligger nær 10, kan det være en hensiktsmessig strategi å hoppe litt for langt bakover på tallinja for så å gjøre et lite hopp fram.

+1 – 0,1

Eksempel: 48 – 9 = 48 – 10 + 1 = 39 1,5

– 10 +1 38

2,4 2,5

Eksempel: 2,4 – 1,9 = 2,4 – 2,0 + 0,1 = 0,5 39

–2

48 + 0,1

Tenke via helt tall Denne strategien kan også være hensiktsmessig å bruke ved addisjon og subtraksjon med desimaltall. Da kan elevene tenke via et helt tall.

0,4 0,5

Oppgavene 1.17–1.19 Øvingsoppgaver der det kan være rasjonelt å bruke strategien tenke via hel tier.

1.17 Petter og Olav har hver sin bunke med kort. Petter har 36 kort, og Olav har 19 kort. a) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬŽƌƚ ŚĂƌ ĚĞ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͍ Guttene legger vekk 28 kort. b) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬŽƌƚ ŚĂƌ ĚĞ ŝŐũĞŶ͍

Utforsk sammen I denne oppgaven kan elevene finne ut hvordan de kan overføre strategien tenke via hel tier til å bruke den på desimaltall og tenke via helt tall.

1.18 Regn ut. a) 32 + 19 = d) 16 + 79 =

b) 45 + 29 = e) 53 + 39 =

c) 104 + 59 = f) 22 + 49 =

b) 68 – 19 = e) 98 – 49 =

c) 376 – 59 = f) 65 – 29 =

2,4

1.19 Regn ut. a) 54 – 39 = d) 188 – 79 =

1.20 >ĂŐ ĞŶ ƚĞŬƐƚŽƉƉŐĂǀĞ ƐŽŵ ƉĂƐƐĞƌ ƚŝů ƚĂůůŝŶũĞŶ͘ a)

–1 32

+1 20

Utforsk sammen ĚĂ ƉůƵŬŬĞƌ ďčƌ͘ ,ƵŶ ƐƚŽƉƉĞƌ ǀĞĚ ƚŽ ĨŝŶĞ ďčƌďƵƐŬĞƌ͘ sĞĚ ĚĞŶ ĨƆƌƐƚĞ ďƵƐŬĞŶ ƉůƵŬŬĞƌ hun 3,6 dL bær, og ved den andre busken ƉůƵŬŬĞƌ ŚƵŶ Ϭ͕ϵ Ě> ďčƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ůŝƚĞƌ ďčƌ ƉůƵŬŬĞƌ ŚƵŶ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͍ Hvordan kan du bruke regnestrategien ͨĊ ƚĞŶŬĞ ǀŝĂ ŚĞů ƚŝĞƌͩ ƚŝů ĚĞŶŶĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶ͍

1 TALL

TALL

Noen elever foretrekker å telle oppover fordi de er tryggere på å telle forlengs enn baklengs.

Subtraksjon for å ﬁnne differanse/ forskjell Ofte blir subtraksjon forklart for elevene som å trekke fra eller ta bort. For mange elever er det vanskelig når de etter hvert skal løse tekstoppgaver der det spørres etter forskjellen eller differansen. Strategien «ta bort» holder ikke når vi skal sammenlikne to mengder. Når en elev for eksempel skal finne ut hvor mye eldre Jens er enn Lina, er det fortsatt regnearten subtraksjon som skal brukes, men det er ikke noe som skal tas bort. Tvert imot assosierer begrepet «eldre enn» til en økning. Det er derfor viktig å vektlegge subtraksjon som det å finne forskjellen eller differansen framfor det å ta bort eller trekke fra.

–3

–4

Eksempel Jens er 24 år, Lina er 17 år. Hvor mye eldre er Jens enn Lina?

At elevene har en ensidig forståelse av subtraksjon som å ta bort eller trekke fra, kan være årsaken til at elevene spør om det er pluss eller minus når de møter tekstoppgaver som spør etter en forskjell.

Ved hjelp av tom tallinje spiller det ingen rolle om du teller oppover fra 17 til 24 eller nedover fra 24 til 17.

Regnearten subtraksjon brukes også når vi skal finne ut hvor mye vi mangler. Da er det heller ikke noe som skal

Samtale Elevene skal bruke hoderegningsstrategien å tenke via hel tier. Se forrige oppslag. Her overføres strategien til desimaltall og blir til å tenke via helt tall. Strategien er her visualisert ved hjelp av tom tallinje. Bruk tom tallinje på tavla og la elevene komme med eksempler på andre regnestykker, der det er rasjonelt å tenke via hel tier.

Samtale A Henrik har to flasker med vann med ƉĊ ƐǇŬŬĞůƚƵƌ͘ / ĚĞŶ ĞŶĞ ĨůĂƐŬĂ ŚĂƌ ŚĂŶ ϭ͕ϱ > ŽŐ i den andre har han 0,9 L. Hvor mange liter vann ŚĂƌ ŚĂŶ ŵĞĚ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͍ ,ĞŶƌŝŬ ĚƌŝŬŬĞƌ ϭ͕ϵ > ǀĂŶŶ ƉĊ ƚƵƌĞŶ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ůŝƚĞƌ ǀĂŶŶ ŚĂƌ ,ĞŶƌŝŬ ŝŐũĞŶ ĞƚƚĞƌ ƐǇŬŬĞůƚƵƌĞŶ͍

Løsning A Metode 1

1,5 + 0,9 = 1,5

– 0,1 2,4 2,5

Metode 2

1,5 + 0,9 = 1,5 + 1,0 – 0,1 = 2,4 Svar: Henrik har med 2,4 L vann til sammen. Løsning B Metode 1

2,4 – 1,9 =

–2

+ 0,1 0,4

0,5

Metode 2

2,4 – 1,9 = 2,4 – 2,0 + 0,1 = 0,5 Svar: ,ĞŶƌŝŬ ŚĂƌ ŝŐũĞŶ Ϭ͕ϱ > ǀĂŶŶ͘

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

2,4

tas bort, vi må tvert imot ha mer. Det vi skal finne ut, er differansen mellom det vi skal ha, og det vi faktisk har.

Begrepene ﬂere enn og færre enn De fleste elevene behersker begrepet flere enn, for eksempel at det er flere gutter enn jenter i klassen. Men begrepet færre enn er lite i bruk blant barn. Oftest vil de si at det er mindre jenter enn gutter i klassen, i stedet for å bruke det korrekte begrepet, det er færre jenter enn gutter i klassen. Det er viktig at du som lærer er mer konsekvent i bruken av begrepet færre enn når det er snakk om antall. I en samtale om differanse kan det være lurt å lage eksempler der dette begrepet inngår.

Eksempel Vi er 19 elever som skal ha en blyant hver. Vi har 13 blyanter. Hvor mange blyanter mangler vi? I hodet bruker vi subtraksjon for å finne differansen mellom det vi skal ha, og det vi har. Problemstillingen i oppgaven kan det likevel være naturlig å sette opp som et addisjonsstykke: 13 + __ = 19 Dette er i praksis en likning der den ukjente mengden illustreres med en tom strek i stedet for x. Å ha erfaringer med slike oppstillinger som ovenfor vil gjøre det lettere for elevene å forstå hva x er.

Oppgavene 1.21–1.25 Øvingsoppgaver med og uten kontekst der det kan være hensiktsmessig å bruke hoderegningsstrategien å tenke via helt tall.

1.21 WůĞǆ ŬũƆƉĞƌ ƚŽ ƉŽƐĞƌ ŵĞĚ ƉŽƚĞƚĞƌ͘ / ĚĞŶ ĞŶĞ ƉŽƐĞŶ Ğƌ ĚĞƚ Ϯ͕ϱ ŬŐ͕ ŽŐ ŝ ĚĞŶ andre er det 3,9 kg. a) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬŝůŽŐƌĂŵ ƉŽƚĞƚĞƌ ŬũƆƉĞƌ WůĞǆ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͍ WůĞǆ ďƌƵŬĞƌ Ϭ͕ϵ ŬŐ Ăǀ ƉŽƚĞƚĞŶĞ ƚŝů en gryterett. b) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬŝůŽŐƌĂŵ ƉŽƚĞƚĞƌ ŚĂƌ ŚƵŶ ŝŐũĞŶ͍

1.22 Regn ut. a) 2,8 + 0,9 = d) 6,6 + 2,9 =

b) 4,5 + 1,9 = e) 0,4 + 8,9 =

c) 1,2 + 3,9 = f) 3,2 + 4,9 =

b) 8,1 – 3,9 = e) 5,4 – 2,9 =

c) 4,7 – 1,9 = f) 9,5 – 3,9 =

1.23 Regn ut. a) 5,6 – 0,9 = d) 8,3 – 7,9 =

1.24 WĊ ƐŬŽůĞŶ ŝ &ĞƌŵĂƚ ƐĞƌǀĞƌĞƌ ĚĞ ƐƵƉƉĞ ŝ ŵĂƚƉĂƵƐĞŶ͘ ,ǀĞƌ ŐƌƵƉƉĞ ĨĊƌ Ϯ͕ϱ > ƐƵƉƉĞ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ůŝƚĞƌ ƐƵƉƉĞ ŚĂƌ ŚǀĞƌ ŐƌƵƉƉĞ ŝŐũĞŶ ƚŝů ŶĞƐƚĞ ĚĂŐ ŶĊƌ ĚĞ ƐƉŝƐĞƌ͗ a) 0,9 L b) 1,9 L c) 0,8 L

1.25 DĂǆŝ ƉĂŬŬĞƌ ĞƉůĞƌ ŝ ŬĂƐƐĞƌ͘ ,ƵŶ ŚŚĂƌ ϱ͕ϴ ŬŐ ĞƉůĞƌ͘ / ĚĞŶ ĨƆƌƐƚĞ ŬĂƐƐĂ ƉĂŬŬĞƌ ŚƵŶ ϭ͕ϵ ϵ ŬŐ ĞƉůĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬŝůŽŐƌĂŵ ĞƉůĞƌ ŚĂƌ Ś ŚƵŶ ŝŐũĞŶ Ċ ƉĂŬŬĞ͍

1 TALL T

TALL

Dobling/halvering

Spill om dobling/halvering

Elevene har fra de første årene på skolen regnet mye med dobling og halvering og har derfor automatisert kunnskapen om å doble verdier av mange tall. Ved å utvide bruken av denne kunnskapen til å gjelde større tall vil de lettere kunne regne raskt i hodet.

Spiller passer for to–fire elever. Bruk en terning, helst en 0–9-terning, eller en kortstokk.

Eksempel: Hvis du vet at 8 + 8 = 16, vet du også at 8 + 9 = 17, og med forståelse for plassverdisystemet vet du også at 80 + 90 = 170. Denne kunnskapen kan elevene også anvende ved desimaltall. Eksempel: Hvis du vet at 25 + 25 = 50, vet du også at 2,5 + 2,5 = 5,0.

Viktige doblinger I likhet med å automatisere tallvenner er det viktig å ha automatisert en del viktige doblinger. De doblingene vi viser nedenfor, kan settes på ukeplanen på samme måte som øveord. Se neste side.

Elevene skal lære å bruke strategien dobling. Med utgangspunkt i de doblingene som elevene kan, skal de kunne regne i hodet med tall som er høyere, og med desimaltall. La elevene få komme med de doblingene de kan. Skriv på tavla. Hvor mange kan dere til sammen? Ta tak i noen av doblingene som elevene har kommet med, og bruk dem som i eksemplet.

Elevene kaster terning eller trekker kort etter tur. Hvis de får et partall, noterer de halvparten av verdien. Får de et oddetall, noterer de den doble verdien. Den som har høyest poengsum etter for eksempel 10 kast/trekk, har vunnet.

Et mer utfordrende spill om dobling/ halvering To elever spiller sammen. Bruk to terninger, helst 0–9-terninger, eller kort. Elev A kaster to terninger eller trekker to kort og velger hvilket tosifret tall han vil doble eller halvere. Velger han et partall, skal det halveres, velger han et oddetall, skal det dobles. Den som har høyest sum etter for eksempel fem kast/trekk, har vunnet. Dette er et svært strategisk spill. Alt etter hvilke tall terningene/kortene viser, må elevene for eksempel finne ut hva som vil gi mest poeng av å halvere et stort tall eller doble et lite tall.

Dobling – desimaltall Samtale 25 + 25 = 50 25 + 26 = 51

2,5 + 2,5 = 5,0 2,5 + 2,6 = 5,1

Hvilke sammenhenger ser dere mellom dobling av hele tall og dobling av ĚĞƐŝŵĂůƚĂůů͍

1.26 Regn ut.

Husk å gi nyttige doblinger som øvingsoppgaver på ukeplanen. Les om «Viktige doblinger» ovenfor.

a) 12 + 12 = 1,2 + 1,2 =

b) 75 + 75 = 7,5 + 7,5 =

c) 15 + 15 = 1,5 + 1,5 =

b) 3,5 + 3,5 = 3,5 + 3,6 =

c) 4,5 + 4,5 = 4,5 + 4,6 =

b) 3,2 + 3,2 = e) 1,5 + 1,6 =

c) 1,8 + 1,8 = f) 2,6 + 2,7 =

1.27 Regn ut. a) 2,4 + 2,4 = 2,4 + 2,5 =

Oppgavene 1.26–1.29 Øvingsoppgaver der elevene får direkte bruk for det dere snakket om i samtalen.

1.28 Regn ut. a) 4,5 + 4,5 = d) 2,4 + 2,5 =

Samtale Snakk om sammenhengen mellom doblinger og halveringer. Kan du doblingene, så kan du også halveringene. La elevene komme med eksempler som dere skiver på tavla. Bruk noen av eksemplene som elevene kommer med, og lag større tall og desimaltall som dere kan subtrahere.

1.29 ,ĊŶĚďĂůůƚƌĞŶĞƌĞŶ ƚŝů &ĞƌŵĂƚ /> ƐũĞŬŬĞƌ ŚǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ůŝƚĞƌ ǀĂŶŶ ƐƉŝůůĞƌŶĞ ĚƌŝŬŬĞƌ ŝ ůƆƉĞƚ Ăǀ ĞŶ ƚƵƌŶĞƌŝŶŐ͘ a) Hvor mange liter vann drikker Jon og Alex ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͍ b) Hvor mange liter vann drikker Per og Adil ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͍

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Navn

Antall liter

Per

2,3

Jon

1,6

Adil

2,4

Alex

1,5

Doblinger som er nyttige å kunne

10 + 10 =

20 + 20 =

30 + 30 =

40 + 40 =

35 + 35 =

1,5 + 1,5 =

50 + 50 =

45 + 45 =

2,5 + 2,5 =

60 + 60 =

55 + 55 =

3,5 + 3,5 =

70 + 70 =

65 + 65 =

4,5 + 4,5 =

80 + 80 =

75 + 75 =

5,5 + 5,5 =

90 + 90 =

85 + 85 =

6,5 + 6,5 =

100 + 100 =

95 + 95 =

7,5 + 7,5 =

15 + 15 =

125 + 125 =

8,5 + 8,5 =

25 + 25 =

0,5 + 0,5 =

9,5 + 9,5 =

Oppgavene 1.30–1.32 Øvingsoppgaver der elevene får direkte bruk for det dere snakket om i samtalen.

Halvering – desimaltall Samtale 250 – 125 = 125 250 – 126 = 124

b) 12 – 6 = 1,2 – 0,6 =

c) 50 – 25 = 5,0 – 2,5 =

Utforsk sammen Denne oppgaven kan løses ved at elevene først dobler, så halverer oppskriften og summerer (8 + 8 + 4 = 20). De møter på noen vanskeligere halveringer, for eksempel 1,5 ts kardemomme og 1/4 l melk. La elevene fortelle hvordan de tenkte da de løste oppgaven.

b) 1,6 – 0,8 = 1,6 – 0,9 = 1,6 – 0,7 =

c) 3,0 – 1,5 = 3,0 – 1,6 = 3,0 – 1,4 =

La dem komme med forslag til hvordan de i praksis ville løst problemet med 7,5 egg i oppskriften til 20 personer.

2,50 – 1,25 = 1,25 2,50 – 1,26 = 1,24

Hvilken sammenheng ser dere mellom halvering av hele tall og halvering av ĚĞƐŝŵĂůƚĂůů͍

1.30 Regn ut. a) 8 – 4 = 0,8 – 0,4 =

1.31 Regn ut. a) 5,0 – 2,5 = 5,0 – 2,6 = 5,0 – 2,4 =

1.32 ŽďůĞ ŽŐ ŚĂůǀĞƌĞ ƚĂůůĞŶĞ͘ a) 2,0 20,0 22,0

b) 10,0 5,0 15,0

c) 6,0 30,0 36,0

Utforsk sammen ,ĞŶƌŝŬ ŚĂƌ ĞŶ ŽƉƉƐŬƌŝĨƚ ƉĊ ǀĞƌĚĞŶƐ ďĞƐƚĞ ǀĂĨůĞƌ͘ KƉƉƐŬƌŝĨƚĞŶ Ğƌ ƚŝů ϴ ǀĂĨĨĞůƉůĂƚĞƌ͕ ŵĞŶ ŚĂŶ ǀŝů ůĂŐĞ ϮϬ ǀĂĨĨĞůƉůĂƚĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ƚƌĞŶŐĞƌ ŚĂŶ Ăǀ ŚǀĞƌ ŝŶŐƌĞĚŝĞŶƐ͍

d) 8,0 40,0 48,0 ste vafler Verdens be 3 egg er 1 dL sukk ¼ L melk kepulver 0,5 ts ba sukker 2 ts vanilje omme em 1,5 ts kard

1 TALL T

TALL

Dobling og halvering som regnestrategi i multiplikasjon

Likhetstegnet

En strategi som kan være svært nyttig å kunne, er at svaret blir det samme når den ene faktoren i et multiplikasjonsstykke halveres og den andre dobles.

Mange elever strever med oppgaver både av typen 62 + __ = 100 og __ · 6 = 24Noen ganger ser vi at elevene regner sammen de tallene de ser, og setter svaret på den åpne plassen.

Eksempel: 18 · 3 = 54. Ved å halvere 18 og doble 3 blir den nye multiplikasjonen 9 · 6 = 54.

Problemet bunner ofte i en forståelse av likhetstegnet som «nå kommer svaret».

Det kan være spesielt viktig å kunne denne strategien når elevene møter multiplikasjoner der en av faktorene for eksempel er 0,5 eller 2,5. Ved å doble denne faktoren og halvere den andre kan de operere med bare hele tall. Eksempel: 4 · 2,5 = 2 · 5 = 10

Det er viktig at elevene får forståelsen av likhetstegnet som «har samme verdi som». Det som står på høyre og venstre side av likhetstegnet, må alltid ha samme verdi. Denne forståelsen er grunnleggende når elevene seinere møter for eksempel likninger og forkorting av brøker.

Ved å la elevene eksperimentere med slike strategier kan de hente dem fram og bruke dem når de møter multiplikasjoner som kan se vanskelige ut ved første øyekast.

Hensikten med oppgave 1.38 er å skape bevissthet om betydningen av likhetstegnet. Det er viktig at elevene skriver hele regnestykket, ikke bare svaret. Det er for å skape bevissthet om at det som står på begge sider av likhetstegnet, har samme verdi.

Samtale Se på illustrasjonen og snakk med elevene. Skriv regnestykket 12 · 0,5 = og spør elevene hvordan de tenker når de skal regne det ut. Kan illustrasjonen være til hjelp? Skriv regnestykket 6 · 1 = . Regnestykkene har samme svar, se på faktorene og sammenlikn. Det er fint hvis elevene selv klarer å sette ord på at den ene faktoren er doblet, og den andre er halvert. Det er helt greit om de sier «det ene tallet» og «det andre tallet» hvis de ikke husker ordet faktor. Men det er viktig at du som lærer bruker disse begrepene i samtale med elevene, slik at de lærer dem.

Dobling og halvering i multiplikasjon Samtale Tina deler ut 12 flasker vann. Hver flaske inneholder 0,5 L vann. ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ůŝƚĞƌ ǀĂŶŶ ĚĞůĞƌ dŝŶĂ Ƶƚ͍ ,ǀĂ ƐŬũĞƌ ŶĊƌ ǀŝ ĚŽďůĞƌ ĚĞŶ ĞŶĞ ĨĂŬƚŽƌĞŶ ŽŐ ŚĂůǀĞƌĞƌ ĚĞŶ ĂŶĚƌĞ͍

Løsning 12 · 0,5 = 6 6·1=6

Svar: Tina deler ut 6 L vann.

1.33 >ĂŐ ƚŽ ŵƵůƚŝƉůŝŬĂƐũŽŶƐŽƉƉŐĂǀĞƌ ƐŽŵ ƉĂƐƐĞƌ ƚŝů ŚǀĞƌ Ăǀ ƚĞŐŶŝŶŐĞŶĞ͘

Oppsummer samtalen med at produktet blir det samme når den ene faktoren dobles, mens den andre faktoren halveres.

b) = =

Oppgave 1.33 En visualisert oppgave i kontekst som illustrerer og viser at oppsummeringen av samtalen stemmer. Oppgavene 1.34–1.36 Øvingsoppgaver der elevene kan bruke kunnskaper fra samtalen.

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

1.34 Regn ut. a) 12 · 3 = 6·6=

b) 16 · 3 = 8·6=

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

c) 2,5 · 8 = 5,0 · 4 =

Øvingsoppgaver i dobling/halvering Halvering

Dobling

Halvering

Oppgave 1.35 Elevene skal sortere de fargede multiplikasjonsoppgavene i par, slik at produktet er det samme når den ene faktoren dobles og den andre halveres.

1.35 ^ŽƌƚĞƌ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ƐůŝŬ Ăƚ ĚĞ ǀŝƐĞƌ ůŝŬ ǀĞƌĚŝ͘ 0,5 · 4

1·2

25 · 3

1 · 16 0,5 · 32

3·4

1,5 · 8 5·6

12,5 · 6

4 · 7,5

2,5 · 12

Oppgave 1.37 Les om likhetstegnet øverst på siden. I noen av oppgavene er det lettere å se hvilket tall som mangler, hvis de halverer eller dobler det tallet som er synlig, og gjør motsatt med det de skal finne.

2 · 15

1.36 Regn ut. a) 12 · 4 = d) 18 · 5 =

Dobling

b) 8 · 0,5 = e) 4 · 3,5 =

c) 3 · 16 = f) 2,5 · 12 =

b) · 6 = 15 e) 2,5 · = 20

c) 28 · 0,5 = f) 10 · = 25

1.37 ,ǀŝůŬĞ ƚĂůů ŵĂŶŐůĞƌ͍ a) 4 · =2 d) · 2,5 = 35

Utforsk sammen La elevene gjøre rede for hvordan de tenkte da de løste oppgaven.

1.38 ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ^Ğƌ ĚƵ ƐĂŵŵĞŶŚĞŶŐĞŶ͍ a) 2 · 4 = 4·4= 8·4= 16 · 4 =

b) 1 · 5 = 3·5= 6·5= 12 · 5 =

c) 3 · 3 = 6·3= 12 · 3 = 24 · 3 =

Utforsk sammen Hvordan kan dere bruke det dere har lært om dobling av den ene faktoren ŽŐ ŚĂůǀĞƌŝŶŐ Ăǀ ĚĞŶ ĂŶĚƌĞ͕ ƚŝů Ċ ůƆƐĞ ĚŝƐƐĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ͍

12 · 0,25

36 · 0,75

1 TALL T

TALL

Oppdeling av tall

Multiplikasjon og divisjon ved å dele opp tallene

Vi bruker number bonds for å visualisere tallvenner (oppdeling av tall). Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i flere land.

Elevene kan ha stor nytte av raskt å se hensiktsmessige oppdelinger av tall, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon utover multiplikasjonstabellen.

Matematikk 5–7 bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. Det hele står i den øverste ruta, og de tilhørende tallene nedenfor er knyttet til den øvre ruta med streker.

Multiplikasjon Eksempel 1 16 · 7 =

Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner. Eksempel:

Det kan være hensiktsmessig å dele opp 16 i tiere og enere, 10 og 6.

10 4

Da får vi: 10 · 7 = 70 6 · 7 = 42 16 · 7 = 112

På dette oppslaget bruker vi number bonds for å visualisere oppdeling av vilkårlige tall ved multiplikasjon og divisjon.

Samtale Les det vi har skrevet om oppdeling av tall ovenfor. Snakk med elevene om å dele opp i kjente multiplikasjoner. Vær åpen for at elevene har forslag til andre måter å dele opp tallene på. Drøft deres oppdelinger og diskuter om de er hensiktsmessige eller ikke.

Multiplikasjon – dele opp tallene Samtale Bio legger kaker i bokser. Han har 16 bokser med 7 kaker i hver boks. Hvor mange kaker er ĚĞƚ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͍ Løsning 1 16 · 7 = ϭϬ ͼ ϳ с മϳϬ 6 · 7 с മϰϮ = 112

Oppgavene 1.39–1.40 Multiplikasjonsoppgaver der elevene kan øve seg i å dele opp tallene slik at de ender i kjente multiplikasjoner.Utforsk sammen

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

16 8

Svar: Ğƚ Ğƌ ϭϭϮ ŬĂŬĞƌ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ͘

1.39 Regn ut.

La elevene komme med forslagene sine. Skriv dem opp på tavla, og la elevene argumentere for hvorfor de mener at oppdelingene er hensiktsmessige.

Samtale Les det vi har skrevet om oppdeling av tall ovenfor. Snakk med elevene om å dele opp i divisjoner som går opp. Vær åpen for at elevene har forslag til andre måter å dele opp tallene på. Drøft deres oppdelinger og diskuter om de er hensiktsmessige eller ikke.

Løsning 2 16 · 7 = ϴ ͼ ϳ с മϱϲ 8 · 7 с മϱϲ = 112

a) 15 · 5 = d) 12 · 6 =

b) 14 · 3 = e) 27 · 4 =

c) 16 · 8 = f) 46 · 2 =

b) 56 · 4 = e) 18 · 5 =

c) 101 · 4 = f) 16 · 3 =

1.40 Regn ut. a) 28 · 2 = d) 51 · 3 =

Utforsk sammen ,ǀŽƌĚĂŶ ǀŝů ĚĞƌĞ ĚĞůĞ ŽƉƉ ƚĂůůĞŶĞ ĨŽƌ Ċ ůƆƐĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ŝ ŚŽĚĞƚ͍ Ċ ůƆƐĞ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ŝ ŚŽĚĞƚ͍ Se etter flere løsninger.

26 · 4 16 · 7

12 · 11 25 · 5

13 · 9 20

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Eksempel 2 I tillegg kan det også være fornuftig å dele opp 16 i 8 og 8. Det gir to like og kjente multiplikasjoner fra den lille multiplikasjonstabellen: Da får vi:

8 · 7 = 56 8 · 7 = 56 16 · 7 = 112

Eksempel 2 72 : 4 = I dette tilfellet kan vi også dele opp 72 i 36 og 36, som gir to like og kjente divisjoner fra den lille multiplikasjonstabellen:

16 8

Da får vi: 36 : 4 = 9 36 : 4 = 9 72 : 4 = 18

Divisjon Eksempel 1 72 : 4 =

72 36

Her er det lurt å dele opp i to tall som begge kan deles med 4. Først undersøker vi hvor mange hele tiere det er, deretter det som blir igjen. I dette tilfellet får vi 40 og 32:

Vi får: 40 : 4 = 10 32 : 4 = 8 72 : 4 = 18

Oppgave 1.41 Elevene har hjelp av delvis utfylte number bonds, men de må gjerne finne andre oppdelinger selv.

Divisjon – dele opp tallene Samtale ϳϮ ĞůĞǀĞƌ ĚĞůĞƐ ŝŶŶ ŝ ĨŝƌĞ ŐƌƵƉƉĞƌ͘ Ğƚ Ğƌ ůŝŬĞ ŵĂŶŐĞ ŝ ŚǀĞƌ ŐƌƵƉƉĞ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ĞůĞǀĞƌ ďůŝƌ ĚĞƚ ŝ ŚǀĞƌ ŐƌƵƉƉĞ͍ Løsning 1 72 : 4 = ϯϮ ͗ ϰ с മϴ 40 : 4 = 10 = 18

72 32

Løsning 2 72 : 4 = 60 : 4 = 15 12 : 4 с മϯ = 18

Oppgavene 1.42–1.43 Divisjonsoppgaver der elevene kan øve seg i å dele opp tallene slik at de ender i kjente divisjoner.

72 60

Svar: Ğƚ Ğƌ ϭϴ ĞůĞǀĞƌ ŝ ŚǀĞƌ ŐƌƵƉƉĞ͘

1.41 Regn ut. a) 78 : 6 =

b) 51 : 3 = 78

c) 98 : 7 = 51

1.42 Regn ut. a) 54 : 3 = d) 70 : 5 =

b) 84 : 6 = e) 72 : 4 =

c) 60 : 4 = f) 112 : 8 =

1.43 ,ǀŽƌĚĂŶ ŬĂŶ ĚƵ ĚĞůĞ ŽƉƉ ƚĂůůĞŶĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ ĚĞƌƐŽŵ ĚƵ ƐŬĂů a) ĚŝǀŝĚĞƌĞ ƚĂůůĞƚ ƉĊ ϯ͍ b) ĚŝǀŝĚĞƌĞ ƚĂůůĞƚ ƉĊ ϰ͍

36 പപϳϮപപ48 പപ84പപ60

1 TALL T

TALL

Naturlige tall

Partall og oddetall

Naturlige tall er de positive hele tallene. De kalles også telletall, siden de kan brukes til opptelling: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

De hele tallene kan deles inn i to grupper, partall og oddetall. Partall er tall som er delelig med 2: ..., –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, ...

Verken 0 eller de negative tallene regnes som naturlige tall.

Alle hele tall som slutter på 0, 2, 4, 6 eller 8, er partall. Vi bruker stor N som symbol for mengden av de naturlige tallene. Vi skriver: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Oddetall er tall som ikke er delelig med 2: ..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, ...

Det er uendelig mange naturlige tall. Samme hvor stort tall vi tenker på, kan vi alltid finne et større tall ved å addere 1. Til dette nye tallet kan vi også addere 1, og slik kan vi fortsette i det uendelige.

Alle hele tall som slutter på 1, 3, 5, 7 eller 9, er oddetall.

Primtall Alle naturlige tall som bare er delelig med seg selv og 1, kaller vi primtall.

Hele tall Hvis vi i tillegg til de naturlige tallene tar med null og de negative tallene, får vi tallmengden som vi kaller hele tall.

De minste primtallene er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Legg merke til at tallet 1 ikke regnes som primtall. Alle naturlige tall som er større enn 1 og ikke er primtall, kaller vi et sammensatt tall. Alle sammensatte tall kan faktoriseres.

Vi bruker stor Z som symbol for mengden av de hele tallene. Vi skriver: Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Samtale Elevene har arbeidet mye med partall og oddetall tidligere år, men primtall er de kanskje ikke like godt kjent med. Egenskapene til primtall er heller ikke like lette å forstå som egenskapene til partall og oddetall.

Partall, oddetall og primtall

,ǀŝůŬĞ ĞŐĞŶƐŬĂƉĞƌ ŚĂƌ partall, oddetalll og primtall͍ ,ǀŝůŬĞ Ăǀ ƚĂůůĞŶĞ ǀĞĚ ƐŝĚĞŶ Ăǀ Ğƌ ƉĂƌƚĂůů͕ ŚǀŝůŬĞ Ğƌ ŽĚĚĞƚĂůů ŽŐ ŚǀŝůŬĞ Ğƌ ƉƌŝŵƚĂůů͍

Løsning Partall Ğƌ ƚĂůů ƐŽŵ ƐůƵƚƚĞƌ ƉĊ ƐŝĨƌĞŶĞ Ϭ͕ Ϯ͕ ϰ͕ ϲ͕ ϴ͘ Svar: dĂůůĞŶĞ ϰ͕ ϲ ŽŐ ϱϴ Ğƌ ƉĂƌƚĂůů͘

La elevene sitte i læringspar eller i små grupper. Kopier og del ut et hundrekart til hver gruppe (Hundrekart side 22). Klargjør først at 1 ikke er et primtall, og sett et kryss over 1 på hundrekartet. Snakk sammen om at alle partall er delelige både med 1 og 2. Det eneste partallet som bare er delelig med 1 og seg selv, er tallet 2. Derfor er 2 det eneste partallet som også er primtall. Elevene kan krysse over alle de andre partallene på brettet.

Oddetall Ğƌ ƚĂůů ƐŽŵ ƐůƵƚƚĞƌ ƉĊ ƐŝĨƌĞŶĞ ϭ͕ ϯ͕ ϱ͕ ϳ͕ ϵ͘ Svar: Tallene 5, 13 og 21 er oddetall. Primtall er tall som bare kan deles med seg selv og 1, og få et helt tall som svar. Svar: dĂůůĞƚ ϱ ŽŐ ϭϯ Ğƌ ƉƌŝŵƚĂůů͘

1.44 ƚƚ Ăǀ ƚĂůůĞŶĞ ƉĊ ŚǀĞƌ ďĂůůŽŶŐ Ğƌ ƉůĂƐƐĞƌƚ ĨĞŝů͘ ,ǀŝůŬĞƚ͍ Ăǀ ƚĂůůĞŶĞ ƉĊ ŚǀĞ Ő Ğƌ ƉůĂƐƐĞƌƚ ĨĞŝů͘ ƚ͍

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

Oddetaallll 5,, 7, 7, 13, 21,, 24 24,, 35 35, 5,, 99 99

Par Pa arrta talll tal 2 6, 14, 2, 4, 2 29 9, 30, 30 0, 11 118 A

Nå gjelder det å finne ut hvilke oddetall som er primtall. Begynn med de ensifrede tallene. Fins noen av dem i en annen multiplikasjonstabell enn sin egen? I så fall er de ikke et primtall og må krysses over. Elevene vil finne ut at tallene 3, 5 og 7 bare fins i sin egen tabell. Men tallet 9 fins også i tregangen. Altså er 9 delelig både med seg selv, 1 og med 3. Det er dermed ikke et prim-

4പപ 6 5 ϭϯപപ 58 21

Samtale

Pr mta Pri mtallll 2, 5, 7, 11 1 2 10 25, 25 1 7 C

1.45 ^Ŭƌŝǀ ƚƌĞ ƉĂƌƚĂůů ƐŽŵ ŚĂƌ ƐƵŵŵĞŶ ϯϲ͘ 1.46 Skriv tre oddetall som har summen 45. 1.47 ,ǀŝůŬĞ Ăǀ ŽƉƉŐĂǀĞŶĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ ŚĂƌ Ğƚ ƉƌŝŵƚĂůů ƚŝů ƐǀĂƌ͍ a) 100 – 98 =

b) 65 + 4 =

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

c) 6 + 6 + 1 =

Eksempler: Spiller A slår 3, 2 og 1 og kan lage 32 – 1 = 31, 13 – 2 = 11, 23 · 1 = 23, 3 · 2 + 1 = 7, 3 · 2 – 1 = 5 eller (3 + 1) : 2 = 2 osv. Spilleren kan bare velge ett tall hver gang.

Spill: Lag primtall Gjennom dette spillet blir elevene godt kjent med primtallrekka opp til 100. Hvis dere bruker vanlige 1–6-terninger, kan elevene lage alle primtall opp til 71. Hvis dere bruker 0–9-terninger, kan de lage alle primtall opp til 97.

Spiller A krysser over det primtallet han velger. Neste spiller slår terningene og lager et primtall som han krysser over.

Spillet egner seg for to–fire elever. Hver gruppe har tre terninger, og hver spiller har et brett med primtall.

Den spilleren som først kommer i den situasjonen at han ikke klarer å lage et ledig primtall, har tapt.

Kopieringsoriginal Lage primtall side 23. Spiller A slår tre terninger og prøver å kombinere dem på ulike måter, slik at han får et primtall. Han kan lage tosifrede tall av to terninger og addere, subtrahere eller dividere det tredje tallet. Han kan addere alle tre tallene, addere to og subtrahere det tredje eller multiplisere to av tallene og addere eller subtrahere det tredje tallet.

tall og må krysses ut. La elevene arbeide seg gjennom oddetallene på hundrekartet og krysse ut alle tallene som de vet fins i den lille multiplikasjonstabellen. Til slutt sitter de igjen med bare primtallene under hundre på sitt hundrekart.

1.48 ĚĂ ƚĞŶŬĞƌ ƉĊ Ğƚ ƚĂůů͘ • Tallet har to siffer. • ^ŝĨĨĞƌĞƚ ƉĊ ƚŝĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ĠŶ ŵŝŶĚƌĞ ĞŶŶ ƐŝĨĨĞƌĞƚ ƉĊ ĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ͘ • dĂůůĞƚ Ğƌ Ğƚ ƉƌŝŵƚĂůů͘ • dĂůůĞƚƐ ǀĞƌĚŝ Ğƌ ŵŝŶĚƌĞ ĞŶŶ ŚĂůǀƉĂƌƚĞŶ Ăǀ ϭϬϬ͘ ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ƚĞŶŬĞƌ ĚĂ ƉĊ͍

1.49 DĂǆŝ ƚĞŶŬĞƌ ƉĊ Ğƚ ƚĂůů͘

Oppgave 1.44 Hvis elevene har gjort aktiviteten i samtalen, finner de lett ut hvilke av tallene som er plassert i feil ballong.

• Tallet har tre siffer. • ^ŝĨĨĞƌĞƚ ƉĊ ƚŝĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ĚĞƚ ŵŝŶƐƚĞ ƉƌŝŵƚĂůůĞƚ͘ • ^ŝĨĨĞƌĞƚ ƉĊ ŚƵŶĚƌĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ƚƌĞ ŐĂŶŐĞƌ ƐĊ ƐƚŽƌƚ ƐŽŵ ƐŝĨĨĞƌĞƚ ƉĊ ƚŝĞƌƉůĂƐƐĞŶ͘ • ^ŝĨĨĞƌĞƚ ƉĊ ĞŶĞƌƉůĂƐƐĞŶ Ğƌ ŚĂůǀƉĂƌƚĞŶ Ăǀ ƐŝĨĨĞƌĞƚ ƉĊ ŚƵŶĚƌĞƌƉůĂƐƐĞŶ͘ ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ƚĞŶŬĞƌ DĂǆŝ ƉĊ͍

Oppgavene 1.48–1.49 Tallgåter der elevene får bruk for det de har lært om partall, oddetall og primtall.

1.50 WƌŝŵƚĂůůĞŶĞ ϯ ŽŐ ϱ ŬĂůůĞƐ ƉƌŝŵƚĂůůƐƚǀŝůůŝŶŐĞƌ ĨŽƌĚŝ ĚĞƚ ŝŬŬĞ Ğƌ ŶŽĞ ĂŶŶĞƚ ŽĚĚĞƚĂůů ŵĞůůŽŵ ĚĞŵ͘ &ŝŶŶ ƚƌĞ ĂŶĚƌĞ ƉƌŝŵƚĂůůƐƚǀŝůůŝŶŐĞƌ ƵŶĚĞƌ ϱϬ͘

Utforsk sammen

Oppgave 1.50 Til denne oppgaven kan elevene bruke hundrekartet med primtall som de lagde i aktiviteten i samtalen.Utforsk sammen La elevene komme med løsningene sine, og skriv dem på tavla. Da får dere mange nok eksempler til å anta at regelen dere finner, er sann.

Partall og oddetall. ƌƵŬ ƚĂůůĞŶĞ ŶĞĚĞŶĨŽƌ ŽŐ ůĂŐ ŵĂŶŐĞ ĂĚĚŝƐũŽŶƐƐƚǇŬŬĞƌ Ăǀ ƚŽ ŽŐ ƚŽ ƚĂůů͘ ^Ğ ƉĊ ƐǀĂƌĞŶĞ͘ >ĂŐ ĞŶ ƌĞŐĞů ƐŽŵ ƐŝĞƌ ŶŽĞ Žŵ ƐǀĂƌĞŶĞ ŶĊƌ ĚĞƌĞ • ĂĚĚĞƌĞƌ ƚŽ ƉĂƌƚĂůů • adderer to oddetall • ĂĚĚĞƌĞƌ Ğƚ ƉĂƌƚĂůů ŽŐ Ğƚ ŽĚĚĞƚĂůů

8 14

10 18

7 17

4 6

13 11

12 16

15 1

20 5

1 TALL T

TALL

du beveger deg mot høyre, minker verdien på plassen med en tierpotens, på begge sider av kommaet.

Plassverdisystemet for desimaltall Vi har tidligere nevnt hvor viktig det er at elevene har en grunnleggende forståelse for plassverdisystemet (posisjonssystemet). Der skrev vi om plassverdisystemet for de hele tallene. Det er viktig at elevene får utvidet sin forståelse for plassverdisystemet til også å gjelde desimaltallene. Når vi går over til desimaltall, markerer vi skillet mellom heltallsdelen og desimaldelen med et desimaltegn. I Norge bruker vi komma. De karakteristiske trekkene for desimaltall er: • Sifrene på begge sider av kommaet utgjør til sammen et tall. Dette tallet består av en heltallsdel og en desimaldel. • Sifrene til venstre for kommaet representerer heltallsdelen, og sifrene til høyre for kommaet utgjør desimaldelen. • For hver plass du beveger deg mot venstre, øker verdien på plassen med en tierpotens, og for hver plass

Samtale Det er ofte vanskelig for elever å skille siffer og tall. Sifrene er også tall når de står alene og representerer et ensifret tall. Snakk med elevene om dette. Alle flersifrede tall består av to eller flere siffer i ulike kombinasjoner, og det er hvilken plass sifferet står på, som avgjør hvilken verdi det har. Dette er illustrert i samtaleruta. Spør elevene hvilke verdier de ulike sifrene i tallet har.

Å lese desimaltall med to og ﬂere desimaler Det er vanlig å lese et desimaltall med to desimaler, for eksempel 3,14 som «tre komma fjorten». I arbeid med elever som har misoppfatninger, eller for å unngå at slike dannes, kan det også være lurt å lese desimaltall med plassverdibetegnelse på desimaldelen. I dette eksemplet vil det bli «tre hele, en tidel og fire hundredeler». I norsk skole er det også mange som leser dette forenklet som «tre komma én, fire» med elevene. Lær elevene at tallet som heter «tre komma fjorten», betyr «tre hele, én tidel og fire hundredeler». Når de skal sammenlikne to desimaltall, må de først se hvor mange hele de ulike tallene inneholder. Hvis dette er likt, må de se hvor mange tideler tallene inneholder. Hvis dette også er likt, må de se på antall hundredeler,

Plassverdisystemet Samtale ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƐŝĨĨĞƌ Ğƌ ĚĞƚ ŝ ƚĂůůĞƚ ϭϳϱ͕ϳϴϯ͍

1 7 5, 7 8 3

B Hvor mye øker tallet i verdi dersom sifrene ϳ ĞŶĚƌĞƐ ƚŝů ϵ͍

0,003 0,08 ? 5 ? 100

Løsning A Svar: / ƚĂůůĞƚ ϭϳϱ͕ϳϴϯ Ğƌ ĚĞƚ ƐĞŬƐ ƐŝĨĨĞƌ͘

Les tallet på ulike måter, se teorien øverst på siden. Prinsippet blir det samme selv om tallet her har tre desimaler.

Løsning B Svar: Tallets verdi øker med 20,2.

Vi anbefaler også at dere har en desimaltalldiktat, slik at elevene får god trening i å tolke og skrive desimaltallene.

1.51 ,ǀŝůŬĞŶ ǀĞƌĚŝ ŚĂƌ ƐŝĨĨĞƌĞƚ ƐŽŵ Ğƌ ƵŶĚĞƌƐƚƌĞŬĞƚ͍ a) 47,54 d) 15 473,65

Oppgavene 1.51–1.53 I disse oppgavene skal elevene identifisere sifferverdien etter ulike kriterier.

b) 753,478 e) 78,947

c) 2497,1 f) 57 421,371

1.52 ,ǀŝůŬĞŶ ǀĞƌĚŝ ŚĂƌ ƐŝĨĨĞƌĞƚ ϯ͍ a) 357,62 d) 45,683

b) 1361,2 e) 13 461,99

c) 4713,621 f) 30 987,1

1.53 ,ǀŝůŬĞƚ ƐŝĨĨĞƌ ƐƚĊƌ ƉĊ ŚƵŶĚƌĞĚĞůƐƉůĂƐƐĞŶ͍ a) 77,154

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

b) 97,473

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

c) 4678,421

osv. Da kan det være greit å lese tallene litt forenklet og si for eksempel «tre komma én, fire».

Telling For at elevene skal få på plass systemet med desimaltall, er det å telle en god aktivitet. Tell med ulike intervaller og start på ulike steder. Begynn med rekketelling med én desimal, og se om elevene automatisk går over til nytt heltall etter sifferet 9 som desimal, eller om de sier: «komma ti».

I USA leses desimaltall alltid med betegnelse på den plassen som den siste desimalen står på. For eksempel leses 2,4 (2.4 som de skriver i USA) som «two and four tenths», altså «to og fire tideler» på norsk. 2,45 vil da bli lest som «to og førtifem hundredeler» og 2,456 som «to og 456 tusendeler».

Eksempel: 2,7 – 2,8 – 2,9 – 3,0 – 3,1 ... Tell forlengs og baklengs til alle mestrer denne overgangen. Fortsett å telle med andre intervaller.

I USA leser de altså desimalene som om det var en brøk. I Norge kutter vi denne betegnelsen, vi leser altså bare telleren. Dette kan være en av grunnene til at norske elever ser på tallet etter komma, desimalene, som et heltall og tror at 0,254 er større enn 0,54, fordi 254 er større enn 54. Bruk gjerne litt tid på å lese desimaltall på engelsk med elevene. Det bidrar til å bevisstgjøre hva desimalene i tallene egentlig representerer.

Eksempel: 0,2 – 0,4 – 0,6 ... 8,0 – 8,5 – 9,0 – 9,5 ... 4,2 – 4,5 – 4,8 ... Ikke glem å telle baklengs.

Desimaldiktat Lag en diktat der du leser tall med en og to desimaler på ulike måter. Varier mellom «tre komma fjorten», «tre hele, en tidel og fire hundredeler» og «tre komma én, fire».

Oppgave 1.54 Dette er en mer utfordrende oppgave. Elevene vil oppleve at det er stor forskjell på hvor mye et tall øker i verdi, etter hvilken plassering sifferet som skiftes ut, har.

1.54 ,ǀŽƌ ŵǇĞ ƆŬĞƌ ƚĂůůĞƚƐ ǀĞƌĚŝ ŶĊƌ ƐŝĨĨĞƌĞƚ Ϯ ĞŶĚƌĞƐ ƚŝů ϲ͍ a) 201,14 d) 4572,42

b) 142,140 e) 21,497

c) 904,021 f) 27,5

1.55 Hvilket tall er en tidel mer enn a) d)

0,9

11,95

b) e)

19,90 99,947

? ?

c) f)

99,9

999,99

9,950

1000

Oppgavene 1.55–1.56 Oppgavene gir elevene trening i overgangen mellom heltallsdel og desimaldel eller mellom ulike desimalplasser.

1.56 Hvilket tall er en tidel mindre enn a) d)

? ?

100,10 0,1

b) e)

? ?

200,90 10,0

c) f)

Oppgave 1.57 Oppgaven gir elevene erfaring i hvordan tall som inneholder de samme sifrene, endrer verdi etter sifrenes plassering.

1.57 Bruk alle sifrene.

4പപ 9പപപ7

Oppgave 1.58 Det er viktig at elevene skriver tallene, ikke bare tegnene, i boka si.

പപϴപപ 1പപപ6 a) b) c) d)

Lag fem ulike tall med alle sifrene. Skriv tallene i stigende rekkefølge. Lag to ulike desimaltall med alle sifrene. ,ǀĂ Ğƌ ĚŝĨĨĞƌĂŶƐĞŶ ŵĞůůŽŵ ĚĞƐŝŵĂůƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ĚƵ ůĂŐĞƚ ŝ ĐͿ͍

1.58 Sett inn riktig tegn <, > eller =. a) 1,000 0,989 c) 20,071 19,987 e) 50,00 55,500

b) 99,999 100,000 d) 100 000 99,99999 f) 4,789 10

1 TALL T

TALL

Tallinje Å bruke tallinje er en god metode til å visualisere tallene mellom de hele tallene.

Eksempel: 6723 = 6000 + 700 + 20 + 3

Aktivitet Skriv ulike hele tall og desimaltall på lapper. Bruk et tau som tallinje og be elevene legge lappene på riktig plass på tallinja. Eller de kan henge opp snorer og feste lappene med klesklyper.

Når vi skriver et flersifret tall som et addisjonsstykke der leddene er produktene av de enkelte sifrene og deres plassverdi, ser vi tydelig hvordan et flersifret tall er bygd opp av siffer og plassverdier. Eksempel: 6723 = 6 · 1000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1

Du kan også la elevene få en lapp hver og be dem stille seg opp på riktig plass på en tenkt tallinje på gulvet. Utfordre dem til å finne plassene sine uten å snakke sammen.

I enkelte tilfeller skrives også tall på utvidet form ved hjelp av tierpotenser for plassverdiene. Eksempel: 6723 = 6 · 103 + 7 · 102 + 2 · 10 + 3 · 100

Desimaltall på utvidet form

Det samme systemet kan vi bruke til å skrive desimaltall på utvidet form. Eksempel: 0,4372 = 0,4 + 0,03 + 0,007 + 0,0002

Et tall som skrives på utvidet form, deles opp slik at vi skiller fra hverandre enere, tiere, hundrere, tusener osv. I Matematikk 5–7 sier vi at vi skriver et flersifret tall på utvidet form når vi skriver det som et addisjonsstykke av for eksempel hele tusener, hele hundrere, hele tiere og enere.

Oppgavene 1.59–1.60 I disse oppgavene er rekkefølgen viktigere enn nøyaktig plassering på tallinja.

1.59 dĞŐŶ ƚĂůůŝŶũĂ ŽŐ ƉůĂƐƐĞƌ ƚĂůůĞŶĞ͘ 5,75 5,70

Oppgave 1.61 Det kan være lurt å repetere desimaltall på utvidet form med elevene, før de løser denne oppgaven. Les om desimaltall på utvidet form øverst på siden.

5,94

6,15

5,80

5,90

5,87 6,00

5,95 6,10

1.60 dĞŐŶ ĞŶ ƚĂůůŝŶũĞ ĨƌĂ Ϭ ƚŝů ϭ͘ WůĂƐƐĞƌ ƚĂůůĞŶĞ ƉĊ ƚĂůůŝŶũĂ͘ 0,24

0,009

0,50

0,9

Oppgave 1.62 Oppgaven viser om eleven har forståelse for plassverdisystemet.

1.61 ^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ƉĊ ƵƚǀŝĚĞƚ ĨŽƌŵ͘ a) 47,176 c) 607,1 e) 0,785

Oppgave 1.63 Vær oppmerksom dersom noen elever for eksempel skriver 5 i stedet for 500 på den første tomme plassen i oppgave a. Sannsynligvis strever disse elevene fortsatt med å forstå plassverdisystemet fullt ut.

b) 813,971 d) 16,783 f) 37,067

23,7 , 84 4= 20 + 3 + 0, 7+ 0 08 + 0, 0, 0 004

1.62 Regn ut. a) 200 + 30 + 7 + 0,9 + 0,01 = c) 40 + 6 + 0,9 + 0,01 + 0,005 = e) 3000 + 500 + 70 + 0,9 =

b) 700 + 50 + 0,7 + 0,08 = d) 100 + 7 + 0,9 + 0,06 = f) 500 + 1 + 0,06 + 0,008 =

1.63 ^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞŶĞ ƐŽŵ ŵĂŶŐůĞƌ͘ hƚƚƌǇŬŬĞŶĞ ƐŬĂů ƐƚĊ ƉĊ ƵƚǀŝĚĞƚ ĨŽƌŵ͘ a) 4000 + + 70 + + 0,7 + 0,06 + 0,001 = 4573,761 b) 70 000 + 5000 + + 60 + + 0,7 + = 75 368,79 c) = 40 000 + 5000 + 8 + 0,7 + 0,03 + 0,005 d) 78 924,45 = 70 000 + 8000 + + + 4 + 0,4 +

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

0,750

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Skrevet som addisjonsstykke der leddene er produkter av de enkelte sifrene og deres plassverdi: 0,4372 = 4 · 0,1 + 3 · 0,01 + 7 · 0,001 + 2 · 0,0001 Skrevet med tierpotenser for plassverdi: 0,4372 = 4 · 10−1 + 3 · 10−2 + 7 · 10−3 + 2 · 10−4 Et blandet tall, for eksempel 532,489, skrevet på de tre formene blir da slik: 532,489 = 500 + 30 + 2 + 0,4 + 0,08 + 0,009 532,489 = 5 · 100 + 3 · 10 + 2 · 1 + 4 · 0,1 + 8 · 0,01 + 9 · 0,001 532,489 = 5 · 102 + 3 · 10 + 2 · 100 + 4 · 10−1 + 8 · 10−2 + 9 · 10−3 Vi ser tydelig at for hver plass vi beveger oss mot venstre, øker verdien på plassen med en tierpotens, og for hver plass vi beveger oss mot høyre, minker verdien på plassen med en tierpotens, på begge sider av kommaet.

Oppgavene 1.64–1.68 Disse oppgavene viser om elevene har full forståelse av plassverdisystemet for desimaltall.

1.64 Hvilket tall er en hundredel mer enn a)

0,01

10,00

7,99

0,02

9,999

1,0

1.65 Hvilket tall er en hundredel mindre enn a)

12,04

8,20

Utforsk sammen La elevene presentere løsningene sine og argumentere for dem.

1.66 Hvilket tall er en tusendel mer enn a)

1,021

1.67 Hvilket tall er en tusendel mindre enn a)

0,898

4,320

1.68 ŝŽ ůĂŐĞƌ ĞŶ ŬŽĚĞ ƚŝů ƐŬĂƉĞƚ Ɛŝƚƚ͘ ,ĂŶ ƐƚĂƌƚĞƌ ŵĞĚ ƚĂůůĞƚ ϭϬ ŽŐ ƐƵďƚƌĂŚĞƌĞƌ ϭ ŚĞů͕ ϭ ƚŝĚĞů͕ ϭ ŚƵŶĚƌĞĚĞů ŽŐ ϭ ƚƵƐĞŶĚĞů͘ >ƆƐ ŬŽĚĞŶ ƚŝů ƐŬĂƉĞƚ͘

Utforsk sammen Bruk sifrene ved siden av for å lage tall. Hvert siffer kan bare brukes en gang ŝ ŚǀĞƌ ŽƉƉŐĂǀĞ ŝ ŚǀĞƌ ŽƉƉŐĂǀĞ͘ >ĂŐ ĞŶ ĂĚĚŝƐũŽŶƐŽƉƉŐĂǀĞ ŵĞĚ ƚŽ ĚĞƐŝŵĂůƚĂůů hvor summen av tallene er størst mulig. • >ĂŐ ĞŶ ƐƵďƚƌĂŬƐũŽŶƐŽƉƉŐĂǀĞ ŵĞĚ ƚŽ ĚĞƐŝŵĂůƚĂůů hvor differansen mellom tallene er størst mulig.

•

പϴ

4 3

1 TALL T

TALL

I disse eksemplene er det tusendelen som bestemmer om hundredelen skal beholdes eller økes med 1. Noen ganger kan vi se at elevene blir i tvil når de for eksempel skal runde av 5,4998 til nærmeste hele tall. Men regelen gjelder også her. Det er sifferet 4 som bestemmer at heltallet beholdes, selv om tidelen ville blitt 5 om vi rundet av til et tall med en desimal først: 5,4998 ≈ 5

Avrundingsregler for desimaltall Når vi skal runde av et desimaltall til et helt tall, ser vi på tidelen. • Når tidelen er 0, 1, 2, 3 eller 4, beholder vi heltallet og sløyfer desimalene. Eksempel: 354,31 ≈ 354 • Når tidelen er 5, 6, 7, 8 eller 9, øker vi heltallet med 1 og sløyfer desimalene. Eksempel: 523,72 ≈ 524

Antall desimaler i måltall Når det gjelder måltall (tall som står foran en måleenhet), er det vanlig å oppgi disse slik at måleusikkerheten ligger i siste desimal. Hvis vi for eksempel oppgir lengden 7,5 m, ligger måleusikkerheten i tidelen (dm). Vi kan ikke si om 7,5 m er større, mindre eller lik for eksempel 7,48 m. 7,5 m som avrundet tall kan være alt fra 7,45 m til 7,54 m. Det kan altså være enten større, mindre eller lik 7,48 m. For å kunne uttale oss om størrelsesforholdet mellom måltall må de oppgis med samme antall desimaler.

Når vi skal runde av et desimaltall til et tall med færre desimaler, må vi se på sifferet på plassen til høyre for det antall desimaler vi skal runde av til. • Er sifferet på plassen til høyre 0, 1, 2, 3 eller 4, beholder vi forrige siffer. Eksempel: 42,3628 ≈ 42,36 • Er sifferet på plassen til høyre 5, 6, 7, 8 eller 9, øker vi forrige siffer med 1. Eksempel: 75,2483 ≈ 75,25

Samtale Les om avrundingsregler for desimaltall og om antall desimaler i måltall øverst på siden.

Avrunding Samtale ĚĂ ŽŐ ,ĞŶƌŝŬ ŬũƆƉĞƌ ƐŵĊŐŽĚƚ ŝ ůƆƐǀĞŬƚ͘ ĚĂ ƐŝŶ ƉŽƐĞ ǀĞŝĞƌ ϯ͕ϲϰ ŚŐ ŽŐ ,ĞŶƌŝŬ ƐŝŶ ƉŽƐĞ ǀĞŝĞƌ ϰ͕ϭϮ ŚŐ͘ ĞŐŐĞ Ğƌ ĞŶŝŐĞ Žŵ Ăƚ ĚĞ ŚĂƌ ŬũƆƉƚ ŽŵƚƌĞŶƚ ϰ ŚŐ ŚǀĞƌ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ƚĞŶŬĞƌ ĚĞ ĚĂ͍

Denne samtalen tar utgangspunkt i en praktisk situasjon. Ada og Henrik veier hver sin pose med smågodt.

Løsning Ada

Snakk om hvem som har den tyngste posen, og hvem som har den letteste. Ada og Henrik konkluderer med at de har omtrent like mye. La elevene komme med sine tanker om konklusjonen.

3,00

3,50 3,64

4,00

Svar: Ada runder av til nærmeste hele som er 4,00.

Henrik

Se på tallinjene under streken. Det er rød ring rundt de to tallene fra oppgaven, og det går tydelig fram hvilket heltall de to desimaltallene ligger nærmest på tallinja.

4,00 4,12

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

5,00

Svar: Henrik runder av til nærmeste hele som er 4,00.

Bruk avrundingsreglene og skriv avrundingene: 3,65 ≈ 4 og 4,12 ≈ 4 slik at elevene ser det.

Oppgavene 1.69–1.70 Øvingsoppgaver der elevene bruker avrundingsreglene.

4,50

1.69 ZƵŶĚ Ăǀ ƚŝů ĠŶ ĚĞƐŝŵĂů͘ a) 2,78 c) 9,08 e) 15,96

b) 6,86 d) 15,93 f) 100,09

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

For sifren e 1, 2, 3 o ogg 4 rru unndder vi v av nedo ver. r For si s fren e e 5, 6, 7, 8 og 9 ru nder e v i av oppover.

En vanlig misoppfatning hos elever om desimaltall er for eksempel at desimaltallet 3,14 er større enn 3,4. Hvis vi oppgir disse tallene med samme antall desimaler, vil de derimot se at 3,40 er større enn 3,14. Noen ganger er det nødvendig å oppgi tall med ulikt antall desimaler til sammenlikning for å avsløre om noen elever sliter med slike misoppfatninger. Til slike sammenlikninger bør vi bruke reine tallstørrelser og ikke måltall.

Oppgave 1.71 Kronebeløpene skal avrundes før de adderes. Elevene skal ikke regne ut nøyaktig svar, bare avrundet beløp.

1.70 Rund av til hele kroner. a) 97,56 kr

b) 124,45 kr

c) 1078,45 kr

d) 0,78 kr

1.71 'ũƆƌ Ğƚ ŽǀĞƌƐůĂŐ ǀĞĚ Ċ ƌƵŶĚĞ Ăǀ ƚŝů ŚĞůĞ ŬƌŽŶĞƌ͘ a) 47,80 kr + 52,30 kr = c) 245,37 kr + 300,19 kr =

b) 198,71 kr + 10,49 kr = d) 1000,49 kr + 49,72 kr =

Oppgave 1.72 Nøyaktig plassering på tallinja er ikke viktig, men tallene bør stå riktig plassert i forhold til heltallene. Utforsk sammen

1.72 KŵƚƌĞŶƚ ŚǀŽƌ ƉĊ ƚĂůůŝŶũĂ ǀŝů ĚƵ ƉůĂƐƐĞƌĞ ĚŝƐƐĞ ƚĂůůĞŶĞ͍ 1,57

1,98

2,010

0,99

En filosofisk oppgave om avrunding til hele kroner ved kontant betaling. La elevene argumentere for sine vurderinger.

1.73 WůĞǆ ďĂŬĞƌ ŬĂŬĞ͘ ,ƵŶ ďƌƵŬĞƌ ďƌŝŶŐĞďčƌ ŽŐ ďůĊďčƌ ƐŽŵ ĨǇůů ƚŝů ŬĂŬĂ͘ 'ũƆƌ Ğƚ overslag over hvor mange hele hektogram Plex har av hver sort. a)

Ved å kjøpe en og en flaske betaler hun 13 kr + 13 kr + 13 kr = 39 kr. Ved å kjøpe tre flasker på en gang betaler hun 3 · 12,80 kr = 38,40 kr ≈ 38 kr. Utforsk sammen DĂƌŝĂ Ğƌ ƉĊ ďƵƚŝŬŬĞŶ͘ ,ƵŶ ƚĞŶŬĞƌ Ċ ŬũƆƉĞ ĞŶ ĨůĂƐŬĞ med boblevann. Hun ser at en flaske koster 12,80 kr. ͨ,ǀŝƐ ũĞŐ ŬũƆƉĞƌ ƚƌĞ ĨůĂƐŬĞƌ͕ ƐƉĂƌĞƌ ũĞŐ ĞŶ ŬƌŽŶĞ͕ͩ ƐŝĞƌ DĂƌŝĂ ƚŝů ƐĞŐ ƐĞůǀ͘ ,ǀŽƌĚĂŶ ŚĂƌ DĂƌŝĂ ƚĞŶŬƚ͍ Ő ^ƚĞŵŵĞƌ ĚĞƚ ŚƵŶ ƐŝĞƌ͍

1 TALL T

TALL

Hittil på sjuende trinn har elevene bare jobbet med den positive delen av tallinja. Tegn opp en tom tallinje på tavla, start for eksempel på 5, hva skjer når vi subtraherer 1? Fortsett med: 5 − 2, 5 − 3, 5 − 4, 5 − 5, 5 − 6 ...

Negative tall At et tall kan ha mindre verdi enn null, kan være vanskelig å forstå for en del elever. Null er jo det samme som ingenting, hva kan være mindre enn ingenting? Når vi skal oppgi verdier som er mindre enn null, er det vanlig å vise til det å ha gjeld eller overtrekke bankkonto. De færreste sjuendetrinnselever har noe forhold til dette. Å vise til å låne penger blir også abstrakt og virker forvirrende for en del. Har en lånt penger, har en jo penger, og når de betales tilbake, er en tilbake på null.

Elevene vil oppleve at når de subtraherer et tall med større verdi enn utgangspunktet (subtrahenden er større enn minuenden), får de bruk for å oppgi svaret som en negativ verdi. Elevene vil også møte på negative tall i forbindelse med årstall. I vår tidsregning regner vi tiden i år før og etter Kristi fødsel. Året for Kristi fødsel angis som år null, og årene før dette angis som år med minus foran. For elevene kan det vær lurt å bruke en tom tallinje (tidslinje) når de regner med årstall før og etter Kristi fødsel (f.Kr. og e.Kr.).

Den mest nærliggende praktiske sammenhengen der vi bruker negative verdier, handler om temperatur. På celsiusskalaen, som vi bruker, definerer vi temperaturen ved vannets frysepunkt som 0 grader. Er det varmere, oppgir vi temperaturen med tall som har positiv verdi. Er det kaldere, oppgir vi temperaturen med tall som har negativ verdi. Dette kan vi direkte overføre til tallinja og er lett å forholde seg til for elevene.

Samtale Les ovenfor om negative tall og om minus som fortegn og minus som regnetegn.

Noen har begynt å bruke betegnelsen «før vår tidsregning» (fvt.) og «etter vår tidsregning» (fvt. og evt.), men dette er ennå ikke standardisert av Språkrådet. Vi

Negative tall Samtale

Se på denne tallinja sammen. Til høyre for 0 har linja tall med positiv verdi, men vi skriver vanligvis ikke pluss foran disse tallene. Til venstre for 0 har den tall med negativ verdi. Vi skriver alltid minus (−) foran disse tallene for å markere at de har negativ verdi.

EĞŐĂƟǀĞ ƚĂůů –5

–4

–3

WŽƐŝƟǀĞ ƚĂůů

–2

–1

,ǀĂ ŬĂŶ ĚƵ Ɛŝ Žŵ ŶĞŐĂƚŝǀĞ ƚĂůů͍ / ŚǀŝůŬĞ ƐĂŵŵĞŶŚĞŶŐĞƌ ďƌƵŬĞƌ ǀŝ ŶĞŐĂƚŝǀĞ ƚĂůů͍

1.74 ,ǀŝůŬĞ ƚĂůů ŵĂŶŐůĞƌ ƉĊ ƚĂůůŝŶũĂ͍ a)

De negative tallene har lavere verdi enn 0. Snakk med elevene om tall med negativ verdi.

6പപ3പപ1

1.75 dĞŐŶ ƚĂůůŝŶũĂ ŽŐ ƉůĂƐƐĞƌ ƚĂůůĞŶĞ͘

Er det noen som vet om noe som er mindre enn 0?

–12

–2 ʹϭϭപ–9

ʹϱപ

–4

1.76 ,ǀŝůŬĞƚ ƚĂůů ƐŬĂů ƐƚĊ ĚĞƌ ƉŝůĂ ƉĞŬĞƌ͍

I hvilke sammenhenger bruker vi negative tall? (Temperatur, meter under havet, år før Kristi fødsel blir brukt i oppgavene, elevene har sikkert flere forslag.)

Oppgavene 1.74–1.76 I disse oppgavene skal elevene plassere og identifisere positive og negative tall på tallinja.

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

–2

–3,5

0 C

–2,5

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

E &

–1,5

–0,5

0,5

En del av en tallinje med positive og negative tall kan se slik ut:

velger derfor å bruke den forkortelsen som er standard for norsk språk, i Matematikk 5−7.

Minus som fortegn og minus som regnetegn

–5

Elevene er godt kjent med tegnet minus (−) som regnetegn. Når vi kommer til negative tall, bruker vi minustegnet på en annen måte, vi oppgir tallets verdi ved å sette minus foran. Da kaller vi det et fortegn.

–4 –3

–2

–1

Her bruker vi minustegnet som fortegn for å angi de negative tallene. Vi kan også si at tegnet skal angi det motsatte tallet til et tall: det tallet som ligger like langt fra 0, men på motsatt side av tallinja. Vi kan si at −5 både er et negativt tall og det motsatte tallet til 5. Summen av de motsatte tallene blir alltid 0. Eksempel: −5 + 5 = 0

Eksempel: I regnestykket −7 − 5 = ser vi minustegnet brukt på begge måter. Minustegnet foran 7 er et fortegn, som viser at tallet har negativ verdi. Minustegnet mellom −7 og 5 er et regnetegn. I dette regnestykket er −7 et negativt tall og 5 et positivt tall, men vi skriver ikke fortegnet + foran positive tall. Det som egentlig står i dette regnestykket, er altså: (−7) − (+5) =

Det at vi ser på −5 og 5 som motsatte tall, gjør at det også blir mening i å skrive −(−5). Tallet −5 er både et negativt tall og det motsatte tallet til 5. Ettersom −(−5) er det motsatte tallet til −5, er −(−5) = 5, altså et positivt tall.

Oppgave 1.77 Det er viktig at elevene skriver både tallene og tegnene de skal sette inn mellom tallene, ikke bare tegnene.

1.77 Sett inn riktig tegn (<, > eller =). a) 3 –1 d) –56 –65

b) –9 –10 e) –15 7

c) 8 –9 f) –11 1

Oppgave 1.78 Oppfordre elevene til å bruke tallinje når de løser denne oppgaven. Hvis de overfører opplysningene fra tabellen til en tallinje, vil de ha god hjelp til utregningene.

1.78 / ƚĂďĞůůĞŶ ƐĞƌ ĚƵ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ŵĊůƚ ŬůŽŬŬĂ Ϭϳ͘ϬϬ ĞŶ ǀŝŶƚĞƌĚĂŐ ƉĊ ƵůŝŬĞ steder i Norge.

a) b) c) d) e)

Sted

<ƌŝƐƟĂŶƐĂŶĚ

Haugesund

Bodø

Kirkenes

dĞŵƉĞƌĂƚƵƌ

5 °C

2 °C

–3 °C

–9 °C

,ǀŝůŬĞƚ ƐƚĞĚ ŚĂƌ ůĂǀĞƐƚ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌ͍ ,ǀŝůŬĞƚ ƐƚĞĚ ŚĂƌ ŚƆǇĞƐƚ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌ͍ ^Ŭƌŝǀ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶĞ ŝ ƌĞŬŬĞĨƆůŐĞ ĨƌĂ ůĂǀĞƐƚ ƚŝů ŚƆǇĞƐƚ͘ ,ǀĂ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůůĞŶ ŵĞůůŽŵ <ƌŝƐƚŝĂŶƐĂŶĚ ŽŐ ŽĚƆ͍ dĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ŝ <ŝƌŬĞŶĞƐ ǀĂƌ ϭ Σ Ŭů͘ ϭϰ͘ϬϬ ƐĂŵŵĞ ĚĂŐ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŐƌĂĚĞƌ ŚĂĚĚĞ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ƐƚĞŐĞƚ͍

1.79 Ved siden av ser du et termometer ƐŽŵ ǀŝƐĞƌ ŚǀŝůŬĞŶ ĨĂƌŐĞ ƉĊ skismøring du trenger ut ifra hvor kaldt det er. a) Hvilken skismøring trenger du dersom det er –12 q ͍ b) Hvilken skismøring trenger du dersom det er 3 q ͍ c) / ŚǀŝůŬĞƚ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌŽŵƌĊĚĞ viser termometeret at du kan ďƌƵŬĞ ŐƌƆŶƚ ŬůŝƐĞƚĞƌ͍

1 TALL T

TALL

Å bruke tom tallinje i regning med negative tall kan være til god hjelp for elevene. De har god trening i at en addisjon eller subtraksjon begynner ved det første tallet, og at den beveger seg til høyre på tallinja når de adderer, og til venstre når de subtraherer.

Å regne med negative tall på tom tallinje Mange elever syns det er vanskelig å forholde seg til subtraksjonsstykker der subtrahenden er større enn minuenden: Eksempel: 3 − 7 =

Ved å bruke denne strategien når de regner med negative tall, er det lettere både å se og forstå hva som skjer i regneoperasjonen:

De syns også det er vanskelig når minuenden er et negativt tall: Eksempel: −7 − 5 =

Eksempel 1 3 – 5 = –2

Også addisjonstykker oppleves som vanskelige når det første leddet er negativt: Eksempel: −3 + 8 = –2

–2

–3

–2

–3

Samtale Denne samtalen viser hvordan vi kan forenkle problemstillingen når vi regner med positive og negative temperaturer ved hjelp av tallinje. Når vi skal finne en differanse, er det naturlig å bruke subtraksjon som regnemetode. I dette tilfellet ville subtraksjonen blitt 1 − (−8) = 9 Dette er en regneoperasjon som er vanskelig å forstå. Ved å bruke tallinje ser vi at 1 − (−8) blir det samme som 1 + 8, eller hvis vi beveger oss fra venstre til høyre på tallinja, 8 + 1 = 9.

Regne med negative tall Samtale / ,ĂƌƐƚĂĚ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ʹϴ Σ ŬůŽŬŬĂ Ϭϳ͘ϬϬ͘ ^ĂŵŵĞ ƚŝĚƐƉƵŶŬƚ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ŝ DŽƐƐ ϭ Σ ͘ ,ǀĂ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůůĞŶ ŵĞůůŽŵ ĚĞ ƚŽ ďǇĞŶĞ͍

Løsning

+8 +1 –8

Svar: dĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůůĞŶ Ğƌ ϵ Σ ͘

1.80 EĞĚĞŶĨŽƌ ƐĞƌ ĚƵ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ŝ ƚƌĞ ƵůŝŬĞ ďǇĞƌ͘

Oppgavene 1.80, 1.82–1.83 Oppfordre elevene til å bruke tom tallinje når de løser disse oppgavene. a) ,ǀŝůŬĞŶ ďǇ ŚĂƌ ŚƆǇĞƐƚ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌ͍ b) ,ǀĂ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůůĞŶ ŵĞůůŽŵ KƐůŽ ŽŐ ĚĞ ĂŶĚƌĞ ďǇĞŶĞ͍

Oppgave 1.81 I denne oppgaven møter elevene høydemeter over og under havets overflate. Vi regner havets overflate som 0 moh. (meter over havet). Problemstillingen i denne oppgaven er den samme som i samtalen. Oppfordre elevene til å bruke tom tallinje når de løser oppgaven.

1.81 Vi regner havets overflate som 0 m. Ğƚ ŚƆǇĞƐƚĞ ƉƵŶŬƚĞƚ ƉĊ ,ǀĂůĞƌ Ğƌ 72 meter over havet. ,ǀĂůĞƌƚƵŶŶĞůĞŶ Ğƌ ƉĊ Ɛŝƚƚ ĚǇƉĞƐƚĞ 120 meter under havet. ,ǀŽƌ ƐƚŽƌ ĨŽƌƐŬũĞůů Ğƌ ĚĞƚ ŵĞůůŽŵ ĚĞƚ ŚƆǇĞƐƚĞ ƉƵŶŬƚĞƚ ƉĊ ,ǀĂůĞƌ ŽŐ ĚĞƚ ůĂǀĞƐƚĞ ƉƵŶŬƚĞƚ ŝ ,ǀĂůĞƌƚƵŶŶĞůĞŶ͍

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

72 m

–120 m

Eksempel 2 –7 – 5 = –12

Eksempel 3 –3 + 8 = 5 +3

–5

–12

–7

–3

Sted

Hamar

Oslo

Bodø

Lillehammer

–5 °C

1 °C

–13 °C

–9 °C

Oppgave 1.84 Oppfordre elevene til å tegne en tom tallinje (tidslinje) og markere år 0 før de løser oppgaven.

1.82 dĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ Ğƌ ŵĊůƚ ŬůŽŬŬĂ Ϭϳ͘ϬϬ ƉĊ ĚĞ ƵůŝŬĞ ƐƚĞĚĞŶĞ͘ dĞŵƉĞƌĂƚƵƌ

a) ,ǀĂ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůůĞŶ ŵĞůůŽŵ ,ĂŵĂƌ ŽŐ >ŝůůĞŚĂŵŵĞƌ͍ b) ,ǀĂ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůůĞŶ ŵĞůůŽŵ ƐƚĞĚĞƚ ŵĞĚ ůĂǀĞƐƚ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌ ŽŐ ƐƚĞĚĞƚ ŵĞĚ ŚƆǇĞƐƚ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌ Ŭů͘ Ϭϳ͘ϬϬ͍

1.83 ŽƌŐĞƌŵĞƐƚĞƌ ĂǇĞ ƐŬĂů ƉĊ ĨĞƌŝĞ ƚŝů ^ǀĂůďĂƌĚ͘ ,ĂŶ ƐũĞŬŬĞƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ĨƆƌ ŚĂŶ ƉĂŬŬĞƌ͘ ^s > Z

& ZD d

Mandag

Tirsdag

Onsdag

Mandag

Tirsdag

Onsdag

–11

–9

–4

a) ,ǀŽƌ ƐƚŽƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůů Ğƌ ĚĞƚ ŵĞůůŽŵ ^ǀĂůďĂƌĚ ŽŐ &ĞƌŵĂƚ ƉĊ ƚŝƌƐĚĂŐ͍ b) ,ǀŝůŬĞŶ ĚĂŐ Ğƌ ĚĞƚ ƐƚƆƌƐƚ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůů ŵĞůůŽŵ ^ǀĂůďĂƌĚ ŽŐ &ĞƌŵĂƚ͍ c) ,ǀŝůŬĞŶ ĚĂŐ Ğƌ ĚĞƚ ŵŝŶƐƚ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĨŽƌƐŬũĞůů ŵĞůůŽŵ ^ǀĂůďĂƌĚ ŽŐ &ĞƌŵĂƚ͍

1.84 / ĊƌĞƚ ϭϵϳϴ ǀĂŶƚ 'ƌĞƚĞ tĂŝƚǌ͕ ƐŽŵ ĨƆƌƐƚĞ ŶŽƌƐŬĞ ŬǀŝŶŶĞ͕ EĞǁ zŽƌŬ ŵĂƌĂƚŽŶ͘ Ğƚ Ğƌ Ϯϰϲϴ Ċƌ ĞƚƚĞƌ ƐůĂŐĞƚ ǀĞĚ DĂƌĂƚŚŽŶ͕ ƐŽŵ ůƆƉĞƚ Ğƌ ŽƉƉŬĂůƚ ĞƚƚĞƌ͘ ,ǀŝůŬĞƚ Ċƌ ǀĂƌ ƐůĂŐĞƚ ǀĞĚ DĂƌĂƚŚŽŶ͍

Utforsk sammen Summen av tallene langs de vertikale, horisontale ŽŐ ĚŝĂŐŽŶĂůĞ ůŝŶũĞŶĞ ŝ ĚĞƚƚĞ ŵĂŐŝƐŬĞ ŬǀĂĚƌĂƚĞƚ Ğƌ ůŝŬ ʹϭϱ͘ Plasser de negative tallene fra –1 til –9 inn i kvadratet.

1 TALL T

TALL

Hvis spilleren slår eller spinner når han står på –12 eller +12, kommer han ingen vei. Ingen kommer lenger ut på tallinja enn til 12 eller –12. Spilleren blir stående stille til neste gang det er vedkommendes tur.

Et spill med positive og negative tall Elevene spiller sammen to og to. De trenger en vanlig terning og en terning med pluss (+) på tre sider og minus (–) på tre sider. Eller en vanlig terning og en spinner med like mange felt med pluss og minus. De trenger også hver sin spillebrikke.

Den som først stanser akkurat på 0, har tapt.

Bruk kopieringsoriginal Et spill med positive og negative tall, side 34–35. Alternativt kan elevene tegne en tallinje som går fra –12 til 12, gjerne med 0 i rød farge. Tallinja må være stor nok til at de kan plassere det de har valgt som spillebrikke, på tallene.

Litt utfordrende oppgaver med negative tall Hvis noen elever vil prøve seg på litt mer utfordrende oppgaver med negative tall, kan du kopiere oppgavene nedenfor og la dem prøve seg.

Spillerne starter på hver sin side av null, den ene på 12 og den andre på –12. Spiller A kaster begge terningene, eventuelt kaster terning og snurrer spinner. Spillerne beveger seg i positiv eller negativ retning på tallinja etter fortegnet de slår/spinner og flytter antall plasser som de slår.

Samtale Elevene har ikke mye erfaring med å starte på et negativt tall på tallinja i addisjon. Se sammen på tallinja under strekenAddisjonen starter på –9, og det skal adderes 15. Se på hvordan tallet 15 er delt opp i hoppene på tallinja. Lag flere oppgaver på tavla der addisjonen starter med et negativt tall. Lag også noen oppgaver der svaret blir negativt, for eksempel −8 + 3 =. For noen elever kan det være svært forvirrende at en addisjon kan få et negativt svar. Tallinja viser tydelig hvorfor det kan bli slik.

Samtale ,ĞŶƌŝŬ Ğƌ ƉĊ ĨũĞůůƚƵƌ ŽŐ ƌŝŶŐĞƌ ŚũĞŵ ƚŝů WůĞǆ͘ Henrik forteller at det er –9 q ƉĊ ƚŽƉƉĞŶ Ăǀ ĨũĞůůĞƚ͘ WůĞǆ ĨŽƌƚĞůůĞƌ Ăƚ ĚĞƚ Ğƌ ϭϱ ŐƌĂĚĞƌ ǀĂƌŵĞƌĞ ŝ &ĞƌŵĂƚ͘ ,ǀĂ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ŝ &ĞƌŵĂƚ͍

Løsning

+9 –9

+6 0

–9 + 15 = 6 Svar: dĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ Ğƌ ϲ Σ ŝ &ĞƌŵĂƚ͘

1.85 ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ƌƵŬ ƚŽŵ ƚĂůůŝŶũĞ͘ a) –5 + 3 = d) 2 – 7 =

Oppgavene 1.85–1.86 I disse oppgavene skal elevene selv prøve seg på tilsvarende oppgaver på tom tallinje.

b) –2 + 4 = e) –1 – 3 =

c) –1 + 5 = f) 1 – 5 =

b) –12 + 5 = e) –21 + 15 =

c) –8 – 4 = f) 25 – 31 =

1.86 ZĞŐŶ Ƶƚ͘ ƌƵŬ ƚŽŵ ƚĂůůŝŶũĞ͘ a) –2 + 5 = d) 7 – 12 =

Oppgave 1.87 Elevene skal identifisere hvilket regneuttrykk som svarer til oppgaveteksten, og løse oppgaven.

1.87 ĚĂ ƐĞƌ ƉĊ ŐƌĂĚĞƐƚŽŬŬĞŶ Žŵ ŵŽƌŐĞŶĞŶ͕ ĚĂ Ğƌ ĚĞƚ ʹϯ q ͘ DŝĚƚ ƉĊ ĚĂŐĞŶ ŚĂƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ƐƚĞŐĞƚ ŵĞĚ ϴ ŐƌĂĚĞƌ͘ ,ǀĂ Ğƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ŵŝĚƚ ƉĊ ĚĂŐĞŶ͍ a) ,ǀŝůŬĞƚ ƌĞŐŶĞƵƚƚƌǇŬŬ ƉĂƐƐĞƌ ƚŝů ŽƉƉŐĂǀĞŶ͍ ഩϯ н ϴ сപപപ ഩʹϯ н ϴ сപപപ ഩϯ ʹ ϴ с b) ZĞŐŶ Ƶƚ ŚǀĂ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ Ğƌ ŵŝĚƚ ƉĊ ĚĂŐĞŶ͘

MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

5 + 6 – 3 + 8 – 11 =

17,9 – 13,8 + 8 – 23 – 0,8 =

16 – 3 + 8 – 32 – 2 =

–23 + 8,5 – 6,7 + 21 =

5 + 3 – 16 + 11 – 7 =

–6,5 – 4 + 1,2 + 6 – 7,2 =

13 – 10 + 6 – 9 + 8 – 8 =

–7 – 3,9 + 4 + 7 – 2,3 =

Finn en vei fra start til mål på en slik måte at summen av tallene du passerer, blir 0. Det er bare lov å gå vannrett og loddrett, ikke tilbake.

START ї

–2

–3

–2

–7

–13

–6

–1

–5

–3

–1

ї MÅL

Oppgavene 1.88–1.93 De elevene som trenger det, kan fortsatt bruke tom tallinje.

1.88 ,ĂǀďƵŶŶĞŶ ƵŶĚĞƌ 'ĂƵƐƐďƌŽĞŶ Ğƌ ʹϰϱ ŵ ƉĊ ĚĞƚ ĚǇƉĞƐƚĞ͘ &ƌĂ ĚĞƚƚĞ ƉƵŶŬƚĞƚ ŽƉƉ ƚŝů ŬũƆƌĞďĂŶĞŶ ƉĊ ďƌŽĞŶ Ğƌ ĚĞƚ ϳϬ ŵ͘ Hvor høyt over havets overflate er dette ƉƵŶŬƚĞƚ ƉĊ ďƌŽĞŶƐ ŬũƆƌĞďĂŶĞ͍

1.89 Regn ut. a) –4 + 8 = d) 42 – 78 =

b) –14 + 8 = e) –4 – 2 =

c) –22 + 87 = f) –14 – 24 =

b) –20 – 4 + 8 = e) –18 + 11 + 3 =

c) –8 – 1 + 10 = f) 19 – 15 – 4 =

1.90 Regn ut. a) –2 + 4 – 3 = d) 7 – 9 – 4 =

1.91 Matematikeren Arkimedes ble født i Hellas i år –287. Han døde da han var ϳϱ Ċƌ͘ ,ǀŝůŬĞƚ Ċƌ ĚƆĚĞ ƌŬŝŵĞĚĞƐ͍

1.92 WůĞǆ ŚĂƌ ŬũƆƉƚ ŶǇƚƚ ĨƌǇƐĞƐŬĂƉ͘ Ă ŚƵŶ ƐĂƚƚĞ ŝ ŬŽŶƚĂŬƚĞŶ͕ ǀŝƐƚĞ ĚŝƐƉůĂǇĞƚ Ϯϭ q ͘ ƚƚĞƌ ƚƌĞ ƚŝŵĞƌ ŚĂƌ ƚĞŵƉĞƌĂƚƵƌĞŶ ƐƵŶŬĞƚ ŵĞĚ ϯϵ ŐƌĂĚĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŐƌĂĚĞƌ ǀŝƐĞƌ ĚŝƐƉůĂǇĞƚ ƉĊ ĨƌǇƐĞƐŬĂƉĞƚ ĚĂ͍

1.93 WĊ DƆďŝƵƐƐƚƌĂŶĚĂ Ğƌ ĚĞƚ Ğƚ ƐƚƵƉĞƚĊƌŶ ŵĞĚ ƚŽ ĂǀƐĂƚƐĞƌ͘ ĞŶ ŚƆǇĞƐƚĞ ĂǀƐĂƚƐĞŶ Ğƌ ϱ ŵĞƚĞƌ ŽǀĞƌ ŚĂǀĨůĂƚĞŶ͘ ƵŶŶ ŶĞŶ ƵŶĚĞƌ ƐƚƵƉĞƚĊƌŶĞƚ Ğƌ ʹϴ ŵ͘ Ğƚ Ğƌ ϭϬ ŵĞƚĞƌ ĨƌĂ ĚĞŶ lave avsatsen til bunnen. a) ,ǀŽƌ ŚƆǇƚ ŽǀĞƌ ŚĂǀĨůĂƚĞŶ Ğƌ ĚĞŶ ůĂǀĞƐƚĞ ĂǀƐĂƚƐĞŶ͍ ,ĞŶƌŝŬ ŚĂƌ ƐƚƵƉƚ ĨƌĂ ĚĞŶ ŚƆǇĞƐƚĞ ĂǀƐĂƚƐĞŶ ŽŐ befinner seg i vannet, 8 m under avsatsen. b) WĊ ŚǀŝůŬĞŶ ĚǇďĚĞ ďĞĨŝŶŶĞƌ ,ĞŶƌŝŬ ƐĞŐ͍ 1 TALL T

TALL

Fermat kjøretøymuseum

Temaopgaver Fermat kjøretøymuseum Mot slutten av hvert kapittel har vi en samling oppgaver i kontekst. Formålet med dette oppslaget er at elevene skal få prøve seg på litt ulike oppgavetyper som ikke nødvendigvis er knyttet til det kapitlet handler om. Dette gir mulighet for aktivering og bruk av innlærte kunnskaper i ulike tenkte, praktiske situasjoner. Noen av oppgavene har sammensatt problemstilling, der elevene må bruke flere regneoperasjoner for å komme fram til svaret.

ĚĂ͕ DĂǆŝ ŽŐ ,ĞŶƌŝŬ Ğƌ ƉĊ ŵƵƐĞƵŵƐďĞƐƆŬ͘ Ğ ŚĂƌ ĨƵŶŶĞƚ ŚǀĞƌ ƐŝŶ ĨĂǀŽƌŝƚƚ͕ ŽŐ ƐŶĂŬŬĞƌ ƐĂŵŵĞŶ Žŵ ŚǀŽƌĚĂŶ ĚĞƚ ǀĂƌ ŝ &ĞƌŵĂƚ ĨŽƌ ůĞŶŐĞ ƐŝĚĞŶ͘

1.94 ŝůĞŶ ƐŽŵ ,ĞŶƌŝŬ ƐĞƌ ƉĊ͕ Ğƌ ĨƌĂ ϭϵϮϵ͘ Ğƚ Ğƌ ĚĞŶ ĨƆƌƐƚĞ ďŝůĞŶ ƐŽŵ ŬŽŵ ƚŝů &ĞƌŵĂƚ͘ ĞŶ ďůĞ ďƌƵŬƚ til å frakte varer. a) Hvilket år kunne denne bilen feire 75-års ũƵďŝůĞƵŵ͍ b) Hvor mange dm3 ŵŽƚŽƌǀŽůƵŵ ŚĂƌ ďŝůĞŶ͍ c) Hvor mye kostet en full tank bensin når ƉƌŝƐĞŶ ǀĂƌ Ϭ͕ϭϴ Ŭƌ ƉĞƌ ůŝƚĞƌ͍ ŝůĞŶ ĨƌĂŬƚĞƚ ďůĂŶƚ ĂŶŶĞƚ ƐĞŬŬĞƌ ŵĞĚ ŵĞů͕ ƐƵŬŬĞƌ ŽŐ ƉŽƚĞƚĞƌ͘ Ŷ ĚĂŐ ǀĂƌ ďŝůĞŶ ůĂƐƚĞƚ ŽƉƉ ŵĞĚ ϭϮ ŵĞůƐĞŬŬĞƌ ŽŐ ϴ ƐƵŬŬĞƌƐĞŬŬĞƌ͘ d) ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƉŽƚĞƚƐĞŬŬĞƌ ŬƵŶŶĞ ĚĞ ĚĂ ƚĂ ŵĞĚ͍ EĞƐƚĞ ĚĂŐ ŚĂƌ ďŝůĞŶ ůĂƐƚĞƚ ŽƉƉ ϰϲϱ ŬŐ ĂŶĚƌĞ varer. Han skal også ha med seg både mel, ƐƵŬŬĞƌ ŽŐ ƉŽƚĞƚĞƌ͘ e) Lag et forslag til hvor mange sekker mel, ƐƵŬŬĞƌ ŽŐ ƉŽƚĞƚĞƌ ŚĂŶ ŬĂŶ ůĂƐƚĞ ŽƉƉ i tillegg.

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

1.95 DĂǆŝ ƐƚĊƌ ŽŐ ƐĞƌ ƉĊ ŚĞƐƚĞǀŽŐŶĂ ŽŐ ůĞƐĞƌ Ăƚ ĚĞŶ Ğƌ ĨƌĂ ĊƌĞƚ ϭϴϳϴ͘ Ğƚ ĞůĚƐƚĞ ĞŝŬĞŚũƵůĞƚ ƉĊ ŵƵƐĞĞƚ Ğƌ ĨƌĂ ĐĂ͘ Ċƌ ʹϳϬϬ͘ KŵƚƌĞŶƚ ŚǀŽƌ ŵĂŶŐĞ Ċƌ ĞůĚƌĞ Ğƌ ĚĞƚ ĞůĚƐƚĞ ĞŝŬĞŚũƵůĞƚ ĞŶŶ ŚũƵůĞŶĞ ƉĊ ŚĞƐƚĞǀŽŐŶĂ͍

1.96 ,ũƵůĞŶĞ ƉĊ ŚĞƐƚĞǀŽŐŶĂ ŚĂƌ ƵůŝŬ ƐƚƆƌƌĞůƐĞ͘ ĂŬŚũƵůĞŶĞ ŚĂƌ ĞŶ ĚŝĂŵĞƚĞƌ ƉĊ ϭϮϬ Đŵ͕ ŽŐ ĨƌĂŵŚũƵůĞŶĞ ŚĂƌ ĞŶ ĚŝĂŵĞƚĞƌ ƉĊ ϴϬ Đŵ͘ ZĞŐŶ Ƶƚ ŽŵŬƌĞƚƐĞŶ ƉĊ ŚǀĞƌ Ăǀ ĚĞ ƚŽ ŚũƵůƚǇƉĞŶĞ͘

Omkrets = ʋ · diamet er ʋ = 3,14

1.97 &Ɔƌ &ĞƌŵĂƚ ĨŝŬŬ ŬĂďĞůďĂŶĞŶ͕ ǀĂƌ ĚĞƚ ĞŶ ƚƆŶŶĞŚĞŝƐ ĨƌĂ WĂƌŬĞŶ ƚŝů &ĞƌŵĂƚƚŽƉƉĞŶ͘ a) Hvor mange kroner har de solgt billetter ĨŽƌ ŶĊƌ ĂůůĞ ƚƆŶŶĞŶĞ ŚĂƌ ǀčƌƚ ĨǇůƚ ŽƉƉ ĠŶ ŐĂŶŐ͍ ĂǇĞ ĨŽƌƚĞůůĞƌ Žŵ ĞŶ ƚƵƌ ŚĂŶ ĞŶ ŐĂŶŐ ŐũŽƌĚĞ ŵĞĚ ŚĞŝƐĞŶ͘ ,ĂŶ ŐŝŬŬ ƉĊ ŚĞŝƐĞŶ Ŭů͘ ϭϬ͘ϱϮ ŽŐ ŽƉƉŚŽůĚƚ ƐĞŐ Ϯ ƚŝŵĞƌ ŽŐ ϰϱ ŵŝŶ ƉĊ &ĞƌŵĂƚƚŽƉƉĞŶ͕ ĨƆƌ ŚĂŶ ƚŽŬ ŚĞŝƐĞŶ ŶĞĚ ŝŐũĞŶ͘ b) ,ǀĂ ǀĂƌ ŬůŽŬŬĂ ĚĂ ĂǇĞ ŬŽŵ ƚŝůďĂŬĞ ƚŝů WĂƌŬĞŶ͍

Fakta om Fermatheisen Lengde: 1250 m Antall tønner: 8 Antall personer per tønne: 4 Turens varighet: 14 min Billettpris: 3 kr

1.98 På museet er det også en gammel buss. Bussen har ϭϵ ƉĂƐƐĂƐũĞƌƐĞƚĞƌ ŝ ƵůŝŬĞ ĨĂƌŐĞƌ͘ Ğƚ Ğƌ ϴ ƌƆĚĞ͕ ϳ ďůĊ ŽŐ ůĊ ŽŐ 4 gule seter. Barna morer seg med å få bind for øynene, ynene, ŐĊ ŝŶŶ ŝ ďƵƐƐĞŶ ŽŐ ƐĞƚƚĞ ƐĞŐ ƉĊ Ğƚ ƚŝůĨĞůĚŝŐ ƐĞƚĞ͘ a) Hvor stor er sannsynligheten for å sette ƐĞŐ ƉĊ Ğƚ ďůĊƚƚ ƐĞƚĞ͍ b) Hvor stor er sannsynligheten for å sette ƐĞŐ ƉĊ Ğƚ ƌƆĚƚ ĞůůĞƌ ŐƵůƚ ƐĞƚĞ͍

1 TALL

36–37 MATEMATIKK FRA CAPPELEN 36 MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM DAMM

Regneark – formatere celler

Samtale Hensikten med denne samtalen er at elevene skal lære å formatere celler i regneark, bytte font, farge celler osv. Følg beskrivelsen i samtalen punkt for punkt. La elevene eksperimentere med ulike måter å formatere celler på og vurdere hva som framhever informasjonen i regnearket, og hva som kan føre til forvirring.

Samtale Henrik bruker Excel til å regne med ulike formler. Han skriver inn en formel for hver av de fire regneartene i kolonne C. Når Henrik skriver inn tall i kolonne A og kolonne B vil han få svar i kolonne C. ,ĞŶƌŝŬ ƐŬƌŝǀĞƌ ŝŶŶ ŶĂǀŶĞƚ ƉĊ ƌĞŐŶĞĂƌƚĞŶĞ ŝ ĞŶ ŶǇ ŬŽůŽŶŶĞ ĨŽƌĂŶ ŬŽůŽŶŶĞ ͘ &Žƌ Ċ ƐĞƚƚĞ ŝŶŶ ĞŶ ŶǇ ŬŽůŽŶŶĞ ŵĂƌŬĞƌĞƌ ŚĂŶ ŬŽůŽŶŶĞ ŽŐ ŬůŝŬŬĞƌ ƉĊ Sett inn, eller høyreklikker og velger Sett inn ƉĊ ŵĞŶǇĞŶ ƐŽŵ ĚƵŬŬĞƌ ŽƉƉ͘ / ͨĚĞŶ ŶǇĞͩ ŬŽůŽŶŶĞŶ ƐŽŵ ŶĊ ŚĂƌ ĨĊƚƚ ŶĂǀŶĞƚ ŬŽůŽŶŶĞ ͕ skriver han inn addisjon i A1, ƐƵďƚƌĂŬƐũŽŶ i A2, ŵƵůƚŝƉůŝŬĂƐũŽŶ i A3 og ĚŝǀŝƐũŽŶ ŝ ϰ͘ &Žƌ Ċ ũƵƐƚĞƌĞ ŬŽůŽŶŶĞďƌĞĚĚĞŶ ĚƌĂƌ ŚĂŶ ŝ ĚĞŶ ĚŽďůĞ ƉŝůĂ ŵĞůůŽŵ ƚŽ ŬŽůŽŶŶĞƌ͘ ,ĂŶ ŵĂƌŬĞƌĞƌ ĐĞůůĞŶĞ med skrift og velger fet skrift (F). Henrik bruker ŬŶĂƉƉĞŶĞ ƐŽŵ Ğƌ ŵĂƌŬĞƌƚ ŵĞĚ ƌƆĚƚ͕ ƚŝů Ċ fargelegge cellene han skal skrive tall i og til å lage ramme rundt cellene med svarene i.

Sant eller usant Elevene skal ta stilling til hvilke utsagn som er sanne, og hvilke som er usanne. Snakk sammen om utsagnene og la elevene begrunne og argumentere for hvorfor utsagnene er sanne eller usanne.

Slik ser tabellen ut når han er ferdig. Lag tabellen med formlene i et regneark, og formatere cellene slik du ønsker.

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på eksemplene i oppsummeringen og samtal om hva dere har lært.

1.99 Bruk regnearket og regn ut. a) 234 + 128 = d) 768 : 12 = g) 42,30 · 16,78 =

b) 400 – 179 = e) 12,45 + 49,73 = h) 24,3 : 2,7 =

c) 45 · 197 = f) 78,54 – 74,17 =

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Sant eller usant? Begrunn svarene

• • • • •

Hvis du dobler den ene faktoren og halverer den andre, får du likt svar. Ƶ ĨĊƌ ƐĂŵŵĞ ƐǀĂƌ Žŵ ĚƵ ŵƵůƚŝƉůŝƐĞƌĞƌ Ğƚ ƚĂůů ŵĞĚ ϱ ĞůůĞƌ ŵĞĚ ϭϬ͘

ŵƵůƚŝƉůŝƐĞƌĞ ŵĞĚ Ϭ͕ϱ Ğƌ ĚĞƚ ƐĂŵŵĞ ƐŽŵ Ċ ĚŝǀŝĚĞƌĞ ŵĞĚ Ϯ͘ :ĞŐ ƌĞŐŶĞƌ ŽǀĞƌƐůĂŐ ĨŽƌ Ċ ǀŝƚĞ ŽŵƚƌĞŶƚ ŚǀŽƌ ŵǇĞ ũĞŐ ƐŬĂů ďĞƚĂůĞ͘ :ĞŐ ƌĞŐŶĞƌ ŽǀĞƌƐůĂŐ ĨŽƌ Ċ ǀŝƚĞ ŶƆǇĂŬƚŝŐ ŚǀŽƌ ŵǇĞ ũĞŐ ƐŬĂů ďĞƚĂůĞ͘

Oppsummering Regnestrategi – tiervenn

8 + 2 = 10 18 + 2 = 20 18 + 3 = 18 + 2 + 1 = 21 Ğƚ ǀŝ ǀĞƚ Žŵ ƚŝĞƌǀĞŶŶĞƌ͕ ŬĂŶ ǀŝ ďƌƵŬĞ ƉĊ ĂŶĚƌĞ ƚĂůů͘ Tenke via hel tier

ŬƐĞŵƉĞů͗ ϯϬ н ϭϵ + 20 30

ϯϬ о ϭϵ

–1 49

ŬƐĞŵƉĞů͗ ϯ͕ϱ н ϭ͕ϵ +2 3,5

– 20

+1 10

3,5 – 1,9 – 0,1 5,4 5,5

–2

+ 0,1 1,5

1,6

3,5

1 TALL

TALL TALL

38–39 37

Dobling og halvering

25 + 25 = 50 25 + 26 = 51

250 –125 = 125 250 –126 = 124

2,5 + 2,5 = 5,0 2,5 + 2,6 = 5,1

2,5 –1,25 = 1,25 2,5 –1,26 = 1,24

Multiplikasjon – dele opp tallene

1 8 · 7 = 1 0 · 7 = 7 0 8 · 7 = 5 5 = 1 2 6

18 10

1 8 · 7 = 9 · 7 = 6 3 9 · 7 = 6 3 = 1 2 6

18 9

sĞĚ Ċ ĚĞůĞ ŽƉƉ ƚĂůůĞŶĞ ƉĊ ƵůŝŬĞ ŵĊƚĞƌ͕ ŬĂŶ ĚĞƚ ďůŝ ůĞƚƚĞƌĞ Ċ ƌĞŐŶĞ ŵƵůƚŝƉůŝŬĂƐũŽŶƐŽƉƉŐĂǀĞƌ ŵĞĚ ŚƆǇĞƌĞ ƚĂůů͘

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Divisjon – dele opp tallene

5 4 3 0 2 4

: : :

3 = 3 = 1 0 3 = 8 = 1 8

54 30

sĞĚ Ċ ĚĞůĞ ŽƉƉ ĚŝǀŝƐŽƌ ƉĊ ƵůŝŬĞ ŵĊƚĞƌ ŬĂŶ ĚĞƚ ďůŝ ůĞƚƚĞƌĞ Ċ ƌĞŐŶĞ ĚŝǀŝƐũŽŶƐŽƉƉŐĂǀĞƌ med høyere tall.

Negative tall

Tall som har lavere verdi enn 0, kaller vi negative tall. EĞŐĂƟǀĞ ƚĂůů –5

–4

–3

–2

WŽƐŝƟǀĞ ƚĂůů –1

Regne med negative tall

– 8 + 12 = 4 +8 –8

+4 0

EĊƌ ǀŝ ƌĞŐŶĞƌ ŵĞĚ ŶĞŐĂƚŝǀĞ ƚĂůů͕ ŬĂŶ ĚĞƚ ǀčƌĞ ůƵƌƚ Ċ ďƌƵŬĞ ƚĂůůŝŶũĞ ƐŽŵ ŚũĞůƉ͘

1 TALL T

40–41 MATEMATIKK FRA CAPPELEN 38 MATEMATIKK FRA CAPPELEN DAMM DAMM

Oppsummerende oppgave

Oppsummerende oppgave Helt til slutt i hvert kapittel er det en oppsummerende oppgave. Denne oppgaven kan brukes som en repetisjon på det dere har arbeidet med i kapitlet, eller den kan brukes som en sjekk på måloppnåelse for kapitlet. Spill Til dette spillet trenger elevene en kopi av et spillebrett, kopieringsoriginal Spill: Hvem når målet? side 43, eller de kan tegne det som vist nedenfor og krysse over tallene etter hvert som de blir brukt:

a) Ğ ĨĞŵ ƐĞŬŬĞŶĞ ƉĊ ŬũĞƌƌĂ ƚŝů ŝŽ ǀĞŝĞƌ ƚŝů ƐĂŵŵĞŶ ϰϭ͕ϲ ŬŐ͘ ^ǇŬŬĞůĞŶ ƐŽŵ WůĞǆ ŚĞŝƐĞƌ ŽƉƉ Ăǀ ǀĂŶŶĞƚ͕ ǀĞŝĞƌ ϳ͕ϵ ŬŐ͘ ZĞŐŶ Ƶƚ Žŵ ĚĞŶ ŬĂŶ ďůŝ ŵĞĚ ƉĊ ůĂƐƐĞƚ͘ b) ^ĞŬŬĞŶĞ ƐŽŵ ĚĞ ĨǇůůĞƌ ƐƆƉƉĞů ŝ͕ ƚĊůĞƌ Ċ ĨǇůůĞƐ ŵĞĚ ϭϬ ŬŐ ĨƆƌ ĚĞ ƌǇŬĞƌ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ŬŐ ŵĞƌ ŵĞĚ ƐƆƉƉĞů ŬĂŶ ,ĞŶƌŝŬ ĨǇůůĞ ŝ ƐĞŬŬĞŶ ƐŽŵ ŚĂŶ ƐƚĊƌ ŵĞĚ ƉĊ ƚĞŐŶŝŶŐĞŶ͍ c) ^ƵƉĞƌŬĂƚƚͲŬĂƉƉĂ ƚŝů ZĂĚŝƵƐ ŬĂŶ ďčƌĞ ϲ͕ϱ ŬŐ͘ ZĂĚŝƵƐ ǀĞŝĞƌ ϰ͕ϴ ŬŐ͕ ŽŐ ŚĂŶ ŚĂƌ ŵĞĚ ƐĞŐ Ğŝ ĨůĂƐŬĞ ƐŽŵ ǀĞŝĞƌ Ϭ͕ϯ ŬŐ͘ ,ǀŽƌ ŵǇĞ ŵĞƌ ƐƆƉƉĞů ŬĂŶ ZĂĚŝƵƐ ŚĂ ŵĞĚ ƐĞŐ ŽŐ ĨŽƌƚƐĂƚƚ ŬƵŶŶĞ ĨůǇ ŵĞĚ ŬĂƉƉĂ͍ d) Bio har en innebygget vekt som viser tre desimaler. Han veier sekken til ,ĞŶƌŝŬ ŽŐ ƐĞƌ Ăƚ ĚĞŶ ǀĞŝĞƌ ŶƆǇĂŬƚŝŐ ϲ͕ϳϰϴ ŬŐ͘ ^Ŭƌŝǀ ƚĂůůĞƚ ƉĊ ƵƚǀŝĚĞƚ ĨŽƌŵ͘ e) DĂǆŝ ƐĂŵůĞƌ ƐŵĊƐƆƉƉĞů ƐŽŵ ŚƵŶ ƐŽƌƚĞƌĞƌ ŝ ŚĂƵŐĞƌ͘ ,ƵŶ ƐŽƌƚĞƌĞƌ ĚĞŵ ŝ ĂŶƚĂůů ĞƚƚĞƌ ƉƌŝŵƚĂůůĞŶĞ͘ ,ƵŶ ŚĂƌ ŶĊ ŚĂƵŐĞƌ ŵĞĚ Ϯ͕ ϯ͕ ϱ͕ ϳ ŽŐ ϭϭ ƐŵĊƚŝŶŐ ŝ͘ ,ǀŽƌ ŵĂŶŐĞ ƐŵĊƚŝŶŐ ďůŝƌ ĚĞƚ ŝ ŚǀĞƌ Ăǀ ĚĞ ƚŽ ŶĞƐƚĞ ŚĂƵŐĞŶĞ͍ f) dĂƵĞƚ ƚŝů WůĞǆ Ğƌ ϱ ŵ͘ Ğƚ ŶĊƌ ĂŬŬƵƌĂƚ ĨƌĂ ƚŽƉƉĞŶ Ăǀ ƌĞŬŬǀĞƌŬĞƚ ŽŐ ŶĞĚ ƚŝů bunnen. Hvilket av regneuttrykkene viser hvor langt det er fra vannflaten til ƚŽƉƉĞŶ Ăǀ ƌĞŬŬǀĞƌŬĞƚ͍ ഩϯ н ϱ сപപപ ഩʹϯ н ϱ сപപപ 3 – 5 =

g) ZĞŐŶ Ƶƚ ŚǀŽƌ ůĂŶŐƚ ĚĞƚ Ğƌ ĨƌĂ ǀĂŶŶĨůĂƚĞŶ ƚŝů ƚŽƉƉĞŶ Ăǀ ƌĞŬŬǀĞƌŬĞƚ͘

Dette er et strategisk spill. La elevene spille det flere ganger.

MATEMATIKK 7 GRUNNBOK FRA CAPPELEN DAMM

Kapittelprøve, se kopieringsoriginal side 248 og 250.

Hvem når målet? Utstyr

^ƉŝůůĞƌŶĞ ŚĂƌ Ğƚƚ ƐƉŝůůĞďƌĞƚƚ ƐĂŵŵĞŶ ŽŐ ĞŶ ŚĂƵŐ ŵĞĚ ŬŶĂƉƉĞƌ͕ ůƵĚŽďƌŝŬŬĞƌ ĞůůĞƌ ůŝŬŶĞŶĚĞ ƚŝů Ċ ĚĞŬŬĞ ŽǀĞƌ ƚĂůůĞŶĞ ŵĞĚ͘ ^ƉŝůůĞďƌĞƚƚĞƚ ĨŝŶŶĞƐ ƐŽŵ ŬŽƉŝŽƌŝŐŝŶĂů͘ Antall spillere

Hva spillet går ut på

^ƉŝůůĞƌŶĞ ďůŝƌ ĞŶŝŐĞ Žŵ Ğƚ ƚĂůů ŵĞůůŽŵ Ϯϱ ŽŐ ϱϱ ƐŽŵ ƐŬĂů ǀčƌĞ ŵĊůĞƚ͘ ,ǀĞƌƚ ƚĂůů ƉĊ ƐƉŝůůĞďƌĞƚƚĞƚ ŬĂŶ ďƌƵŬĞƐ ĠŶ ŐĂŶŐ͘ EĊƌ ĨŽƌ ĞŬƐĞŵƉĞů ĂůůĞ ƚŽƚĂůůĞŶĞ Ğƌ ĚĞŬŬĞƚ ŽǀĞƌ͕ er det ikke flere totall å bruke. ^ƉŝůůĞƌ ǀĞůŐĞƌ Ğƚ ƚĂůů͕ ĚĞŬŬĞƌ ŽǀĞƌ ĚĞƚƚĞ ŽŐ ƐŝĞƌ ƚĂůůĞƚ͘ ^ƉŝůůĞƌ ǀĞůŐĞƌ Ğƚ ƚĂůů͕ ƐŝĞƌ ŐũĞůĚĞŶĚĞ ƐƵŵ ƉůƵƐƐ ĚĞƚ ǀĂůŐƚĞ ƚĂůůĞƚ ŽŐ ŶǇ ƐƵŵ͘ ŬƐ͗͘ ^ƉŝůůĞƌ ǀĞůŐĞƌ ϰ͕ ĚĞŬŬĞƌ ŽǀĞƌ ĚĞƚƚĞ ŽŐ ƐŝĞƌ ϰ͘ ^ƉŝůůĞƌ ǀĞůŐĞƌ ϯ͕ ĚĞŬŬĞƌ ŽǀĞƌ dette og sier 4 + 3 = 7. ^ƉŝůůĞƌŶĞ ǀĞůŐĞƌ ƚĂůů ĞƚƚĞƌ ƚƵƌ ŽŐ ĂĚĚĞƌĞƌ ƚĂůůĞƚ ƚŝů ŐũĞůĚĞŶĚĞ ƐƵŵ͘ Vinner

ĞŶ ƐŽŵ ŬĂŶ ǀĞůŐĞ Ğƚ ƚĂůů ƐůŝŬ Ăƚ ŵĊůĞƚ ĂŬŬƵƌĂƚ ŶĊƐ͕ ŚĂƌ ǀƵŶŶĞƚ͘ ,ǀŝƐ ĞŶ ƐƉŝůůĞƌ ŐĊƌ ŽǀĞƌ ŵĊůĞƚ͕ ŚĂƌ ƐƉŝůůĞƌĞŶ ƚĂƉƚ͘

1 TALL T

TALL TALL

42–43 39