Matematikk 3B Lærerveiledning (utdrag) by Cappelen Damm

MATEMATIKK 3B fra CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

Hanne Hafnor Dahl May–Else Nohr

Bokmål/Nynorsk

© CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2022 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverkslovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov og tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Bruk som er i strid med lov eller avtale, kan medføre erstatningsansvar og inndraging og kan straffes med bøter eller fengsel. Matematikk 3 fra Cappelen Damm er lagd til fagfornyelsen i faget matematikk og er til bruk på grunnskolens barnetrinn. Forfatterne ha fått støtte fra Det faglitterære fond. Hovedillustratør: Fredrik Rättzén Øvrige illustrasjoner: Line Mathisen Grafisk design: AIT Grafisk AS Omslagsdesign: Tank Design AS Omslagsillustrasjon: Fredrik Rättzén Forlagsredaktør: Charlotte Hestenes Undrum Historiene på side 7, 41, 71, 103 og 129 er skrevet av Axel Hellstenius Trykk og innbinding: Livonia Print Sia, Latvia Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-69333-6 www.cdu.no

Forord Til læreren Vi har skrevet et helt nytt læreverk i matematikk som forhåpentligvis vil inspirere dere lærere til å gjøre matematikkundervisningen så spennende at ALLE elevene vil elske matematikk! De matematikkdidaktiske prinsippene bygger på læreverket Radius og selvfølgelig på intensjonene fra ny læreplan (LK20).

MATEMATIKK 3 fra Cappelen Damm • fokuserer på metoder og tenkemåter, slik at elevene får dyp og varig forståelse for faget • gir elevene mange muligheter til å kommunisere hvordan de har tenkt og muligheter til å argumentere for egne tenkemåter • ønsker at elevene skal jobbe utforskende og problemløsende Vi har mange års erfaring som lærere i barneskolen. Vi jobber nå som fagkonsulenter i Utdanningsadministrasjonen i Oslo, er ressurspersoner for Matematikksenteret i Trondheim og er forfattere av læreverket Radius i tillegg til dette verket. Vi har masterstudium i grunnskoledidaktikk med fordypning i matematikk. Vi er begge svært opptatt av begynneropplæringen i matematikk og veldig inspirert av undervisningsmetoder fra blant annet Nederland og Singapore. Vi holder mange kurs om blant annet perlesnormetodikken, tom tallinje, regnestrategier og blokkmetoden (thinking blocks), og i alle temaene har vi fokus på modeller og visualisering av matematikken. Dette matematikkverket er inspirert av Singaporemodellen og Dr. Yeap Ban Har, hvor et av målene er å skape en dypere forståelse for sentrale begreper i matematikken. Elevene får mulighet til å reflektere selv og å lære av hverandre. Lærerens rolle er å stille spørsmål og oppmuntre elevene til å finne flere strategier og metoder for å løse problemer. Vi har et sterkt ønske om at elevene utvikler en helhetlig matematisk kompetanse i tråd med målene for faget. Målet med dette matematikkverket er i samsvar med Singaporemodellen å framheve den enkelte elevs tenkning og å utvikle elevenes matematikkforståelse – og selvsagt at de skal bli interessert i og like matematikkfaget. Vårt utgangspunkt er • at alle kan lære matematikk • at feil er verdifulle og et godt utgangspunkt for diskusjoner • at spørsmål er viktige • at matematikk handler om kreativitet og logisk tenking • at matematikk handler om samarbeid og kommunikasjon • at matematikk ikke handler om å prestere • at dybdeforståelse er viktigere enn å finne et svar raskt

Lykke til videre med det nye matematikkverket! Hanne Hafnor Dahl

May-Else Nohr

FORORD

III

Digital lærerressurs til bøkene Til læreboka følger rike digitale ressurser. Alle grunnbøkene finnes som interaktive tavlebøker for visning med projektor på skjerm eller på interaktiv tavle. Tavlebøkene inneholder innleste rammefortellinger. Her finner du også blant annet arbeidsark, oppgaver og fasit til bøkene.

Skolen fra Cappelen Damm I Skolen fra Cappelen Damm tilbyr vi matematikk fra 1. til 10. trinn. Her ligger aktuelle læringsstier, fortellinger til boka, ny filmserie, nivådifferensierte øveoppgaver og problemløsingsoppgaver. På tavla kan du som lærer skape gode samtaler i klassen hvor elevene kan utforske og snakke matematikk. Arbeid med bøkene Matematikk 1–4 fra Cappelen Damm, gjerne i kombinasjon med vår digitale tjeneste Skolen fra Cappelen Damm, vil gi svært gode muligheter for dybdelæring og for å nå målene i LK20.

DIGITAL LÆRERRESSURS

Innhold Om verket

8 Likheter og ulikheter

Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Matematikkdidaktiske prinsipper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Bli kjent med grunnboka . . . . . . . VIII Problemløsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI Oppbygningen av matematikkverket . . . . . . . . . . . X Kjennetegn på god matematikkundervisning. . . . . XII Multiplikasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII Eksempler på modeller vi bruker på 3. trinn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV Regnestrategier . . . . . . . . . . . . . . . . XVII Forslag til årsplan . . . . . . . . . . . . . . XIX

6 Multiplikasjon og divisjon

Introduksjon til kapittel 6 . . . . . . . Rutenett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5- og 10-gangen . . . . . . . . . . . . . . . 2- og 4-gangen . . . . . . . . . . . . . . . . 3- og 6-gangen . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikasjon og divisjon . . . . . . Problemløsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppsummering og vurdering . . .

8 8 12 20 26 32 36 38

Masse og lengde

Måle masse i kilogram. . . . . . . . . . Måle masse med kilogram og gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruke kg og g i regning . . . . . . . . . Hvordan lese tekstoppgaver? . . Måle i kilometer, meter og centimeter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruke km, m og cm i regning . . . Flervalg og ﬂerstegsoppgaver. . Hvordan lese tekstoppgaver? . . Problemløsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppsummering og vurdering . .

42 46 50 52 54 58 64 65 66 68

Likevekt og balanse . . . . . . . . . . . 72 Likhet og ulikhet . . . . . . . . . . . . . . . 78 Finne en ukjent (X) . . . . . . . . . . . . . 84 Finne en ukjent (x) med blokker 90 Tallfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Problemløsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Oppsummering og vurdering . . . 100

9 Strategier i multiplikasjon 102 Introduksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammenhengen 2-, 4- og 8-gangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammenhengen 9- og 10-gangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplisere med 7 . . . . . . . . . . . . . . Multiplikasjon og divisjon . . . . . . Problemløsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hvordan lese tekstoppgaver? . . Min stjernelogg . . . . . . . . . . . . . . . . Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppsummering og vurdering . . .

10 Overslag, blokkmodeller og tid

102 104 108 112 118 124 125 126 126 126

128

Anvende matematikk . . . . . . . . . . Avrunding og overslag. . . . . . . . . . Blokker i addisjon og subtraksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blokker i multiplikasjon og divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analog og digital klokke. . . . . . . . Regne med timer og minutter . . Problemløsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppstart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppsummering og vurdering . . .

130 130 136 140 144 150 154 154 156

Tillegg Historier nynorsk . . . . . . . . . . . . . . . Kartlegging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tips til de voksne hjemme . . . . . . Tips til dei vaksne heime . . . . . . .

158 163 165 170

INNHOLD

Matematikkdidaktiske prinsipper Matematikk fra Cappelen Damm legger til rette for at elevene skal utforske matematikken, og bli gode problemløsere, utvikle dybdeforståelse og opparbeide seg gode grunnleggende ferdigheter i matematikkfaget. Læringen skjer ved at elevene undersøker og eksperimenterer. Når elevene bruker slike gjenstander som klosser og terninger, ser en at de spontant setter i gang med bygging og telling, og gjennom slike aktiviteter finner de sammenheng og mening. Målet er at elevene • utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier • oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger • løser utforskende og sammensatte oppgaver • samarbeider og kommuniserer om oppgaver og reflekterer over metoder og løsninger

Utforske og lære Ifølge LK20 handler utforsking i matematikk om at elevene leter etter mønstre, oppdager sammenhenger og diskuterer seg fram til en felles forståelse. Elevene skal legge mer vekt på strategiene og framgangsmåtene enn på løsningene. I Matematikk 3 fra Cappelen Damm er hovedfokuset å stimulere elevene til tenking og refleksjon. Vårt ønske er at elevenes tenking blir verdsatt, og at lærerens rolle blir å legge til rette for diskusjon og refleksjon og at tankeprosessene som ligger bak de matematiske aktivitetene, kommer tydelig fram. Kjernen i undervisningen blir da å finne ut hva elevene kan eller forstår og hvordan de tenker eller resonnerer. Læreren blir viktigere enn noensinne. Læreren skal stille de gode spørsmålene, tydeliggjøre matematikken i det elevene sier, holde fokus i de matematiske samtalene og ha oversikt over og innsikt i elevenes matematikkforståelse. Dette forutsetter et godt læringsmiljø, hvor elevene kan diskutere og prøve ulike måter å løse oppgaver på, og hvor elevene blir vant til å sette ord på hvordan de tenker, lærer å argumentere for egne løsninger og lytte for å forstå andre elevers argumenter. I et utforskende klasserom får elevene mulighet til • å reflektere, diskutere og lytte til andres måter å tenke på • å utvikle kognitive evner som kritisk tenkning, kreativ tenkning og problemløsing • å trene på sosiale evner når de kommuniserer, samarbeider og lytter til hverandre • å utvikle metakognitive evner og reflektere over sin egen tenking og læring • å utforske sammen, presentere ulike løsninger for hverandre og lytte til hverandres løsninger

MATEMATIKKDIDAKTISKE PRINSIPPER

Et verktøy for å få til en dialog kan være IGP-metoden (individ – gruppe – plenum), der elevene først får tenke individuelt før de deler tankene sine i par eller i grupper, og der læreren til slutt løfter fram og tydeliggjør elevenes tanker og metoder i plenum. En måte å få til IGP-metoden på kan være å bruke læringspartnere. En læringspartner er en du sitter sammen med en viss periode (2–3 uker) og samtaler med eller jobber sammen med. Hvorfor? • Alle elevene aktiviseres. • Elevene får tenketid. • Elevene er ikke alene om svaret. • Alle elevene kan delta. • Elevene lærer av andre. • Elevene lærer bedre selv ved å forklare og diskutere. Utforsking og undring er en viktig del av matematikkfaget. Dette matematikkverket legger til rette for at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker og å utvikle gode løsningsmetoder sammen.

Tallforståelse Dybdelæring innebærer at elevene gradvis og over tid utvikler en forståelse av begreper og sammenhenger innenfor et fag. Elevenes læringsutbytte øker når de utvikler en helhetlig forståelse av fag og ser sammenhenger mellom fag, og greier å bruke det de lærer (fra Realfagsløyper utviklet av Matematikksenteret og Naturfagsenteret). Vi har fokus på at elevene utvikler en god tallforståelse tidlig. Dette danner grunnlaget for all matematikklæring senere. I bøkene legger vi derfor vekt på systematisk arbeide med tallene og hvordan tallene er bygd opp. Vi ønsker at Matematikk fra Cappelen Damm skal bidra til at elevene utvikler en god tallforståelse – ved at den bygges opp steg for steg. Først fokuserer vi på telling som basis og grunnlag for regning. Vi knytter for eksempel elevenes tellekompetanse til elevenes utvikling av hensiktsmessige regnestrategier.

Regnestrategier Vi fokuserer på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene. Læreverket definerer hva regnestrategier er og hvilke strategier som kan være hensiktsmessige. Elevene skal kunne velge hensiktsmessige strategier ut ifra tallene i oppgavene og ha et repertoar av strategier å velge fra.

Fagstoffet i dette matematikkverket bygger på Bruners modell. Illustrasjonene har alltid en hensikt: De skal gi elevene et visuelt bilde av fagstoffet og hjelpe dem til å forstå matematikken. Elever som i mindre grad trenger visuell støtte, kan løse oppgavene på abstrakt grunnlag. Slik kan alle elevene gjøre de samme oppgavene, delta i klassefellesskapet og få utbytte av en felles oppsummering mot slutten av timen.

Konkret – visuelt – abstrakt Modellen «Konkret – visuelt – abstrakt» bygger på amerikaneren Jerome Bruners undervisningsteori om prosessen fra det konkrete via det visuelle til det abstrakte. Modellen kan oppfattes som mentale kart eller bilder som gir visuell støtte for å kunne tenke abstrakt. Det visuelle blir en naturlig bro fra det konkrete til det abstrakte ved at elevene først visualiserer og forstår problemet før de går videre til det abstrakte der tall, notasjoner og symboler brukes.

3+2=5 5

Konkret

Visuelt

Abstrakt

Bruners modell – fra det konkrete, via det visuelle til det abstrakte

Representasjoner og modeller Elevene konstruerer sin kunnskap og forståelse gjennom mange ulike erfaringer og representasjoner: • konkrete erfaringer – virkelige fysiske objekter, slik som klosser, fingre, terninger og målebånd • språk – både formelt og uformelt matematisk språk, som beriker og forklarer. Elevene kan lytte og samtale, sette ord på hvordan de tenker og forstå hvordan andre tenker • bilder – for eksempel tier-rammer, tegninger som er strukturert, tallinjer, rutenett m.m.

• symboler – tallsymboler, regnetegnene og likhetstegnet • læring skjer når elevene oppdager sammenhengene mellom de ulike representasjonene I dette matematikkverket er målet at elevene skal få en helhetlig matematisk forståelse gjennom ulike representasjoner, noe som kan illustreres med modellen til Haylock og Cockburn.

Virkelighet

Konkreter

Språk

Bilder

Symboler

Basert på Haylock og Cockburn (2013)

MATEMATIKKDIDAKTISKE PRINSIPPER

VII

BƳ Aƴ;ƸJ Ʒ;Ʈ =ƼKƸDƬEƵ7 I Matematikk 3 fra Cappelen Damm vil elevene jobbe med å utforske matematikk. Sammen med lærer og klassekamerater skal de diskutere ulike måter å løse oppgavene på. Alle må være aktive i matematikktimene, fordi man lærer av å snakke sammen og diskutere.

Kapittelstart Hvert kapittel har et bilde med en fin historie til. Når elevene hører historien og samtaler om bildet, kan elevene sammen med Mattis, Mira, Jon og Olga undre seg over ulike matematiske

MÅL

KƶJƳFƶ?Ƶ7ƽ@ƹD F @ EƱ :ƳLƳIƴEƸ

Matematikk 3B.indb 6

• bruke rutenett i multiplikasjon • oppdage sammenhengen mellom

5– og 10–gangen 2– og 4–gangen 3– og 6–gangen • se sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon

25/11/2021 10:53

Matematikk 3B.indb 7

problemstillinger. Her finner de også

BEGREPER rader kolonner det dobbelte og halvparten gruppe rutenett

målene for kapittelet og begrepene elevene skal lære. 25/11/2021 10:53

Vi tenker er en utvalgt startoppgave som Kƾ;Ƹ;ƾJ

hjelper klassen med å utforske og samtale

Vi tenker Mira og Olga pynter vinduet med snøkrystaller.

om innholdet i delkapittelet.

Hvor mange snøkrystaller er det til sammen? Hvem har rett av Mira og Olga? De et er 3 · 4 snø økrystaller.

Det er 4 · 3 snøkrysta aller.

Vi lærer viser en eller flere løsninger Vi lærer

som dere kan studere og reflektere over

kolonne

Både Mira og Olga har rett. rad

4 rader er med 3 snøkrr ystaller i hv ver. 4 · 3 = 12

sammen. På denne måten kan elevene 3 kolonner med 4 snø økrystaller i hver. 3 · 4 = 12

utvikle en god forståelse av temaet dere

4·3=3·4

skal jobbe med.

Samtal om begrepene kolonne og rad. Hva skjer hvis vinduet dreies 90 grader? Samtal om kommutative egenskaper.

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

Matematikk 3B.indb 8

25/11/2021 10:53

?–oppgavene kan elevene løse sammen med klassekamerater. Her er det ofte flere

Barna deler snøballene likt. Hvor mange snøballer får • 4 barn hver? • 3 barn hver?

måter å tenke på for å løse oppgavene.

Hvordan skrives det som multiplikasjon og divisjon?

1 Hvor mange? Skriv to multiplikasjoner til hvert bilde.

Snakk sammen: Hva er likt, og hva er ·

forskjellig? Lytt til andres tenkemåter, og prøv å forstå hvordan de tenker.

2 Tegn regnestykket 5 · 3 på to ulike måter i rutenettet.

5·3=

Matematikk 3B.indb 9

VIII

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

25/11/2021 10:53

BLI KJENT MED GRUNNBOKA

Øve 1 og Øve 2 Øve 1

er oppgaver hvor

19 Skriv tallene som mangler i tallfølgen. 35 35

10 0

10 1 0

20 20

elevene kan bruke det

50 50

20 Fargelegg svarene i 5–gangen og 10–gangen.

nye de har lært. Det kan

Tegn ring rundt svarene i 10–gangen.

være lurt å gjøre Øve 1 før dere gjør Øve 2.

21 Multipliser med 5. Se på tallinja.

2·5=

8·5=

9·5=

4·5=

6·5=

1·5=

7·5=

3·5=

0·5=

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

Matematikk 3B.indb 18

25/11/2021 10:54

Problem er problemløsingsoppgaver. Disse må elevene Problem 1

kanskje jobbe mer med og prøve flere ganger før de

Olga, Mattis og Jon kaster 5 baller hver. Olga får 20 poeng, Mattis får 15 poeng, og Jon får 18 poeng.

klarer å løse dem. Noen av oppgavene har flere løsninger. Hvordan kan de ha kastet ballene? Hvor mange løsninger ﬁnner du?

Klarer elevene å finne alle? Det er lurt å samarbeide om å løse disse problemene.

Problem 2 Mira lager et armbånd med gule og rosa perler.

Sant eller usant? er en morsom quiz med påstander som

Det skal være to gule perler mellom hver rosa perle. Det er 10 rosa perler. Hvor mange gule perler trenger hun?

enten er riktige eller gale, og noen er kanskje begge 36

deler. Kanskje er elevene litt uenige om svaret? Da må de

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

Matematikk 3B.indb 36

25/11/2021 10:54

diskutere og argumentere for det de mener.

Min stjernelogg

Doble og halvere

Lag regnefortellinger til bildet. Skriv multiplikasjoner og divisjoner som passer til.

To elever spiller sammen.

Dere trenger • terning • en spillebrikke hver

1 Spillerne kaster terning etter tur. 2 Får spillerne oddetall, får de flytte spillebrikken det dobbelte. Får de partall, får de flytte halvparten. For eksempel: En spiller får 3 prikker og flytter 6 plasser fram. En spiller får 4 prikker og flytter 2 plasser fram.

3 Hvis spillerne lander på rutene med stjerne, må de multiplisere antall prikker de ﬁkk på terningen, med tallet som står på ruten. Hvis de regner feil, må de stå over et kast. 4 Spilleren som kommer først til kinoen, har vunnet. Spilleren må ha akkurat for å komme inn på kinoen.

Vi ønsker alle skikkelig morsomme og lærerike matematikktimer!

Mål

Start

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

Matematikk 3B.indb 38

25/11/2021 10:54

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

Matematikk 3B.indb 39

25/11/2021 10:54

Min stjernelogg er

Spill. På slutten av

en oppgave som gir

hvert kapittel er det

elevene mulighet til å

et morsomt spill som

vise hva de har

elevene også lærer

lært.

matematikk av.

BLI KJENT MED GRUNNBOKA

Oppbygningen av matematikkverket Grunnbok • Kapittelstart – oppslagsbilde med en fin historie til • Vi tenker – oppstartsoppgaver for utforsking, refleksjon og samarbeid • Vi lærer – oppsummering av oppstartsoppgaven og klassesamtale om dem • Differensierte øvingssider til hvert tema • Samarbeidsoppgaver merket med spørsmålstegn • Problemløsingsoppgaver – anvende det elevene har lært • Sant eller usant – quiz hvor elevene må argumentere for synspunktene sine • Min stjernelogg – elevens logg og underveisvurdering • Spill – anvende det eleven har lært Grunnbøkene har mål for hvert kapittel og en underveisvurdering av hva elevene skal kunne etter at de har jobbet med kapitlene. Kolumnetittelen nederst på sidene i grunnbøkene forteller hvilket fagstoff elevene skal jobbe med på de ulike oppslagene.

Problemløsingsoppgaver Hvert kapittel avslutter med noen problemløsingsoppgaver. Oppgavene er ment som samarbeidsoppgaver som kan gi utgangspunkt for samtale og refleksjon rundt det elevene skal lære samt samarbeid eller oppsummering. Når disse oppgavene skal løses, kan det hjelpe å tegne eller skrive. Snakk med elevene om hvordan problemløsingsoppgavene kan løses. Det vil gi deg en pekepinn om hvordan de forskjellige elevene tenker, og elevene får høre hvordan de andre elevene resonnerer. Oppmuntre elevene til å løse problemløsingsoppgavene på sin egen måte og til å presentere, forklare og diskutere de ulike framgangsmåtene og regnestrategiene for og med hverandre. Differensierte oppgaver Hvert kapittel har oppgaver med forskjellig nivå, henholdsvis Øve 1 og Øve 2. Øve 1 inneholder ofte oppgaver med mer visuell støtte. Oppgavene i Øve 2 er mer utfordrende og har ofte en mer abstrakt visualisering eller er helt uten visuell støtte.

Mosse sse og Mil Milli lli lli

Matt Mattis ttis is

OPPBYGNINGEN AV MATEMATIKKVERKET

Mira M

Spill Hvert kapittel avsluttes med et spill som er knyttet til det matematiske innholdet i kapitlet. Elevene skal jobbe to eller flere sammen. Erfaring med denne type aktiviteter og spill kan ha stor betydning for elevenes matematiske utvikling. Gjennomgangsfigurer Matematikk 3 fra Cappelen Damm har noen figurer som går igjen på mange av sidene der elevene skal jobbe med oppgaver. Hensikten med figurene er at de skal være til hjelp og forklare hva som skal gjøres, og at de skal stille undrende spørsmål til elevene. Grip tråden og reflekter sammen med elevene når figurene dukker opp med kommentarer og spørsmål.

Øvebok Øveboka følger de samme temaene som i grunnboka. Akkurat som grunnboka inneholder øveboka differensierte oppgaver, henholdsvis Øve 1 og Øve 2. I begynnelsen av hvert delkapittel er det en rute vi har gitt navnet Husker du? Disse rutene er en repetisjon av grunnbokas «Vi tenker» og «Vi lærer». Øveboka inneholder også oppgaver som ikke er differensierte, og som ofte er mer åpne. Disse oppgavene har vi gitt navnet «Finn ut». Bakerst har vi lagt inn «Tips til de voksne hjemme». Vi ønsker å gi de foresatte anledning til å følge med og bidra i barnets matematiske utvikling. Oppgavene i øveboka egner seg godt som lekser.

Lærerveiledning Lærerveiledningen følger Grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her finner læreren relevant fagstoff, metodiske tips, forslag til flere aktiviteter, forslag til flere problemløsingsoppgaver, tips til hvordan elevene kan jobbe i kladdeboka og det de trenger til den daglige planleggingen og gjennomføringen av timene. I tillegg foreslår lærerveiledningen hvordan elevene og læreren kan jobbe med fagstoffet i de forskjellige kapitlene for at elevene skal kunne utvikle de grunnleggende ferdighetene.

Jon n

Olga O

R Radius

Problemløsing Problemløsing og algoritmisk tenking Vi avslutter hvert kapittel med problemløsingsoppgaver. I matematikken handler problemløsing om at elevene helt fra første trinn blir kjent med forskjellige oppgavetyper og etter hvert utvikler metoder for å løse problemer som de ikke kjenner fra før. Problemløsing handler også om at elevene blir vant til å løse ukjente problem og samtidig kunne samtale om og vurdere om løsningene deres er riktige. Det er det viktig å tenke algoritmisk i prosessen med å utvikle strategier og framgangsmåter for å løse problemer. Det betyr at elevene på dette nivået lærer å bryte ned hverdagslige problem i delproblem som kan løses systematisk. Senere i skoleløpet skal elevene vurdere om delproblemene best kan løses med eller uten digitale verktøy.

,ǀŽƌĚĂŶ ŬĂŶ ĚƵ ǀŝƚĞ ĚĞƚ͍ &ŽƌƚĞůů ŚǀŽƌĚĂŶ ĚƵ ƚĞŶŬĞƌ͘

,ǀŽƌĚĂŶ ǀĞƚ ĚƵ Ăƚ ůƆƐŶŝŶŐĞŶ Ğƌ ;Ĩ͘ĞŬƐ͘Ϳ ϭϰ͍ ,ǀŽƌĚĂŶ ŬĂŶ ĚƵ ǀčƌĞ ƐŝŬŬĞƌ͍

Bruk av åpne spørsmål som oppmuntrer til tenkning og reﬂeksjon Andre igangsettere for matematiske samtaler kan være: • Tror du at …? • Kan du forklare …? • Kan det stemme …? • Kan du se for deg / forestille deg …? • Hvordan fikk du …? • Det ser ut som om … • Kan det være mulig at …? • Hva hvis …? Matematikk fra Cappelen Damm er utviklet for å gi elevene et solid fundament i matematikk. Dette fundamentet skal bidra til at elevene utvikler kreativ og kritisk tenkning slik at de blir gode problemløsere. Vi ønsker å gjøre matematikken mer tilgjengelig og forståelig gjennom bruken av støttende illustrasjoner og ved å vise tydelige sammenhenger. Øvesider, øveboka og innlagte aktiviteter bidrar til å forsterke og konsolidere læringen.

&ŝŶŶĞƐ ĚĞƚ ŇĞƌĞ ŵĊƚĞƌ͍ ,ǀŽƌĨŽƌ͍ ,ǀŽƌĨŽƌ ŝŬŬĞ͍

<ĂŶ ĚƵ ĨŽƌĞƐƟůůĞ ĚĞŐ Ăƚ ͙͍

PROBLEMLØSING

Kjennetegn på god matematikkundervisning Utforsking Velg oppgaver som fremmer matematisk resonnement og tenkning.

Dybdeforståelse Fokuser på sammenhengene mellom matematiske representasjoner for at elevene skal få en dypere forståelse av både begreper og prosedyrer. Bruk konkreter, bilder og tegninger, og koble disse til matematiske symboler. Presenter oppgaven i en relevant kontekst som støtter forståelse og det matematiske språket. La elevene setter ord på egen tenkning. De får da en dypere forståelse enn ved en instrumentell tilnærming.

Klassesamtaler Legg til rette for et klasseromsmiljø der elevene kan diskutere og prøve forskjellige måter å løse oppgaver på, og der de blir vant til å sette ord på hvordan de tenker og lærer å argumentere for sine løsninger.

Tenk mer Verdsett elevenes tenking og prøv å forstå hvordan de har tenkt, slik at du kan veilede og tilpasse undervisningen på måter som støtter elevenes læring.

Introduksjon til temaet Hvordan setter du elevene «i gang»? Elevene må få mulighet til å utforske og samarbeide: • Problemløsing • Hoderegningsoppgaver • Misoppfatninger: Ta utgangspunkt i kjente misoppfatninger knyttet til temaet, for eksempel «Finn feilen» (oppgaver som er regnet feil) eller «My favorite no». Søk på My favorite no, se filmen og bli inspirert.

Underveisvurdering Ta utgangspunkt i elevenes forkunnskaper. Kartlegg og finn ut hva elevene kan, og bygg videre på elevenes kompetanse. Du som lærer bør ha tenkt gjennom hvilke forkunnskaper som må være på plass, og planlegge for aktiviteter som sikrer at alle elevene har mulighet til å koble seg på temaet.

Variasjon Varier undervisningen og gi elevene varierte erfaringer med å bruke av konkreter, samtale, spille, løse problemer over tid, utforske sammen, og finne flere måter å løse oppgaver på. dette gir aktive nysgjerrige elever. • Gi elevene nok tid til læringsarbeidet og ta høyde or at de trenger ulik tid til oppgavene. • Bruk rike oppgaver.

XII

KJENNETEGN PÅ GOD MATEMATIKKUNDERVISNING

Formuler spørsmålene slik at elevene må begrunne svarene sine. Spør om hvordan elevene tenker når de løser oppgavene. Løsningsforslagene presenteres, og elevene argumenterer for løsningene sine. • Bruk konkretiseringsmateriell. • Bruk digitale verktøy. • Identifiser misoppfatninger, og hjelp elevene til selv å korrigere feiltenkningen.

Klassesamtale Hvordan legger du til rette for lærende klassesamtaler? For å kunne gjennomføre gode matematiske samtaler må det etableres et klasseromsmiljø der elevene • er vant til å diskutere forskjellige løsningsstrategier • kan sette ord på og forklare hvordan de tenker • reflekterer over hvordan de tenker Eksempel på kjennetegn ved en god matematisk klassesamtale:

Gjenta Repeter deler eller alt en elev sier, og be deretter eleven respondere og bekrefte om det er korrekt eller ikke. Repetere Be en elev om å gjenta en annen elevs resonnement. Det vil gi elevene mer tid til å fordøye en idé, og de får dessuten høre den på en annen måte. Læreren får bekreftet at andre elever virkelig hørte ideen til eleven, og elevene opplever at deres matematiske ideer er viktige og blir tatt på alvor. Resonnere Spør elevene om de kan bruke sin egen resonnering på noen andres resonnering. Det er en inngangsdør for å fram elevenes tenkning. Posisjonerer elevens ideer som viktige matematiske ideer. Dette hjelper elevene med å engasjere seg i hverandres resonnering. Tilføye Prøv å få elevene til å delta i en videre diskusjon. Oppmuntre dem til å dele sine ideer. Dette bidrar til å etablere en norm om å se sammenhenger mellom matematiske ideer og bygge på dem. Vente Vent uten å si noe. Det bringer viktige bidrag fra flere elever inn i diskusjonen. Kommuniserer en forventning om at alle elevene har viktige ideer de kan bidra med. Vi anbefaler at du leser mer om slike kjennetegn på matematikksenteret.no.

Multiplikasjon Tradisjonelt sett har undervisningen i multiplikasjon og divisjon fokusert på at elevene skal huske multiplikasjonstabellen og etter hvert, når oppgavene blir vanskeligere, kunne bruke den skriftlige algoritmen. Ofte fører det til at elevene ikke får tilstrekkelig og variert erfaring med hva multiplikasjon er. Utvikling av en dypere forståelse av multiplikasjon avhenger først og fremst av elevenes evne til å se en gruppe objekter som en enhet. Elevenes multiplikative tenkning utvikles når de etter hvert ikke trenger å telle hvert enkelt objekt. De fokuserer ikke på antallet i hver enkelt gruppe, men oppfatter gruppen som en enhet.

Eksempler på nivåer i multiplikativ tenkning:

Multiplikative strukturer Det er flere måter å klassifisere multiplikative strukturer på, for eksempel: • Like grupper: Det er 6 bord med 4 stoler ved hvert bord. Hvor mange stoler er det? • Rutenett (areal): Det er 4 rader med biler. Det er 5 biler i hver rad. Hvor mange biler er det til sammen? • Multiplikativ sammenlikning: Bonden har 7 hester. Han har 5 ganger så mange sauer som hester. Hvor mange sauer har bonden? • Forhold mellom tall: Det er 5 blå perler for 7 røde. Hvor mange blå perler er det for 14 røde? • Mengdeprodukter (kombinatorikk): Det er 4 sorter med brød og 5 sorter med pålegg. Hvor mange ulike typer smørbrød kan du lage?

Kommutative, assosiative, distributive egenskaper for multiplikasjon Nivå 1: Telling Elevene teller en og en prikk på terningene: 1, 2, 3, …, 15 Nivå 2: Addisjon Elevene adderer prikkene på de tre terningene: 5 + 5 + 5 = 15

Kommutative egenskaper (a · b = b · a): Elevene skal oppdage og utvikle forståelse for den kommutative lov for multiplikasjon, for eksempel 3 · 5 = 5 · 3. Dette kan for eksempel visualiseres ved en rutenett-modell.

Nivå 3: Multiplikasjon Elevene ser terningene som tre femmere: 3 · 5 = 15. For at elevene skal ha en helhetlig forståelse av multiplikasjon bør elevene gjøre erfaringer med ulike representasjoner og utforske med støtte i konkreter, illustrasjoner og språket. Dette kan hjelpe dem til å forstå at det handler om like grupper, for eksempel 3 femmere, og oppgavene bør knyttes til kjente kontekster. Elevenes forståelse av multiplikasjon avhenger av deres evne til å se en gruppe med objekter som en enhet. Derfor kan det være lurt å jobbe med kjente etablerte enheter, som i eksempelet over med tre terninger der hver viser fem prikker. Hvor mange prikker viser terningene til sammen? Eller: Det er tre hjul på en trehjulssykkel. Hvor mange hjul er det til sammen på fire trehjulssykler? Og så videre. Dette vil kunne hjelpe elevene fra additiv tenkning over til multiplikativ tenkning.

3 • 5 = 15 3 • 5 = 15 Distributive egenskaper a (b · c) = a · b + a · c: Elevene skal kunne forstå den distributive lov og nyttiggjøre seg av dette når de for eksempel skal løse regnstykket 13 · 4 ved å dele opp til 10 · 4 + 3 · 5, gjerne i et rutenett.

10 · 4

3·4

Assosiative egenskaper (a · b) · c = a · (b · c): Elevene skal forstå den assosiative lov for multiplikasjon og nyttiggjøre seg av dette for eksempel ved å bygge på den kunnskapen de har fra før når de skal løse nye oppgaver. For eksempel når de skal løse oppgaven 8 · 5 · 2 = 8 · (5 · 2) = 8 · 10 = 80

MULTIPLIKASJON

XIII

Noen strategier i multiplikasjon • • • • •

Bruke dobling i multiplikasjon: 3 · 4 = 12, 6 · 4 = 24. Tenke 1 mer: 3 · 6 = 2 · 6 + 6 Tenke 1 mindre: 9 · 6 = 10 · 6 – 6 Bruke den kommutative lov: 6 · 3 = 3 · 6 Dele opp multiplikasjon: 12 · 6 = 10 · 6 + 2 · 6

Sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon Elevene må også få mulighet til å utforske og oppdage sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon. En helhetlig forståelse etableres når elevene får jobbe med oppgaver i en kjent kontekst, og når symbolene knyttes til noe konkret og visuelt. Språket vil også hjelpe elevene med forståelsen. Multiplikasjon og divisjon kan ses i sammenheng med helhet og deler. I multiplikasjon blir et bestemt antall like deler til en helhet. I divisjon blir en helhet delt i et gitt antall deler. Elevene må gis mulighet til å utforske og oppdage at multiplikasjon og divisjon handler om like deler. De bør gjøre mange erfaringer med ulike typer konkretiseringsmateriell, som for eksempel brikker, klosser, … De kan for eksempel dele ut 12 epler ved å dele ut like mange epler til hver og se hvor mange epler hver får, eller fordele 12 epler i poser med tre epler i hver pose og se hvor mange poser det blir. Det er også viktig å bruke eksempler fra elevenes virkelighet der antallet ikke går opp. Snakk med elevene om hva de gjør når de for eksempel deler godteri og det blir noe til overs.

? hjerter

Tre ganger med 4 hjerter. 3 · 4 = ?

Delingsdivisjon og målingsdivisjon Divisjon kan oppleves som mer komplisert enn multiplikasjon. Det er fordi det dreier seg om to ulike typer divisjon: delingsdivisjon (fordeling) og målingsdivisjon (oppdeling) og fordi man kan få noe til overs (en rest). I delingsdivisjon vet vi hvor mange grupper det er, og vi skal finne ut hvor mange det er i hver gruppe. I målingsdivisjon vet vi antallet i hver gruppe, og vi skal finne ut hvor mange grupper det er. Vi kan da tenke gjentatt subtraksjon: Hvor mange ganger kan man trekke 4 fra 20? I delingsdivisjon deler vi helheten og finner ut hvor mange det er i hver del/gruppe. Hvor mange deler/ grupper helheten skal deles i, er kjent.

XIV

MULTIPLIKASJON

? hjerter

Tolv hjerter skal deles inn i tre grupper. Hvor mange hjerter blir det i hver gruppe? 12 · 3 = I målingsdivisjon finner vi antall deler/grupper. Det er kjent hvor mange det skal være i hver del/gruppe, men ukjent hvor mange grupper det blir.

? deler / grupper

Tolv hjerter skal deles inn i like deler/grupper. Det skal være fire hjerter i hver del/gruppe. Hvor mange deler/ grupper blir det? 12 : 4 = Øv på to spørsmålsstillinger: • Delingsdivisjon: 15 grønne epler fordeles likt på 3 fat. Hvor mange epler er det på hvert fat? • Målingsdivisjon: 15 grønne epler fordeles med 3 epler på hvert fat. Hvor mange fat trenger du? Det er en stor fordel for elevene hvis de allerede nå venner seg til å bruke og forstå begge disse måtene å stille spørsmål på. Lag gjerne regnefortellinger der det er naturlig å bruke begge spørsmålsstillingene. • Mattis, Olga og Jon deler 15 epler likt mellom seg. Hvor mange epler får de hver? (Hvor mange epler blir det i hver gruppe? – delingsdivisjon) • Mira har 15 epler. Hun legger 5 epler i hver pose. Hvor mange poser trenger Mira? (Hvor mange grupper er det? – målingsdivisjon)

Eksempler på modeller vi bruker på 3. trinn Tom tallinje En tom tallinje har ingen markeringer/tallskala og kan fungere som en støtte for elevenes hoderegning. Tallinja er fleksibel ved at elevene kan gjøre «hopp» av ulik lengde, både forover og bakover, og slik utvikle sine egne fleksible mentale strategier. Modellen er utviklet ved Freudenthal Institute i Nederland.

Eksempel addisjon: 36 + 32 = ? + 10 + 10 36

+ 10 56

+2 66 68

Eksempel subtraksjon: 56 – 28 = ?

28 30

– 20 36

Subtraksjon med tierovergang blir på denne måten enkelt; først subtraheres tierne, så alle enerne og til slutt subtraheres to fra 30. Elevene kan øve på å hoppe for langt og tilbake på tom tallinje. Denne strategien egner seg spesielt når tallet som adderes er nært hel tier. 36 + 29 = ? + 30 –1 36

Metoden gir fine muligheter til matematiske samtaler om hvordan elevene tenker.

Blokkmodellen

–2 –6

Tom tallinje: • tegn bare tierhopp, f.eks. 36 + 20 og 45 – 20 • tegn tierhopp og enerhopp, f.eks.: 34 + 23 og 47 – 23 • addisjon og subtraksjon med tierovergang; 38 + 25 og 62 – 36

Blokkmodellen stammer fra Singapore og blir brukt i land som for eksempel USA, Sverige og England. Blokkmetoden («bar model method») er utviklet i Singapore og vi bruker også de engelske ordene «model drawing», «bar models» og «thinking blocks» om dette. Blokkmodellen lærer elevene hvordan de kan bruke blokker for å visualisere innholdet i en tekstoppgave og kunne avgjøre hvilken regneoperasjon de skal bruke. Blokkene hjelper ikke elevene med hvordan de skal utføre regneoperasjonen, men de gir dem et visuelt bilde av innholdet i teksten. Elevene lærer å bruke rektangulære blokker som representerer forholdet mellom det kjente og det ukjente i teksten. Blokkmodellen er nært knyttet til tallvennoppsettet og bygger på kompetansen som elevene har om å finne del eller helhet. Eksemplet under viser hvordan elevene ved hjelp av modellmetoden kan løse en forholdsvis komplisert tekstoppgave: Mattis og Mira har 150 kroner til sammen. Mira har 20 kroner mer enn Mattis. Hvor mange kroner har hvert av barna?

65 66 Mattis

God kompetanse om følgende områder er viktig og bør repeteres før elevene introduseres for tom tallinje: • kunne tallfølgen til 100 • kunne telle med fem og ti av gangen • kunne telle videre fra f.eks. 3, 13, 23, osv. • kunne alle kombinasjoner som blir 10 til sammen; «tiervenner» • kunne addere og subtrahere med hele tiere, 36 + 10, 36 – 10 • regne via tier; 18 + 5 = 18 + 2 + 3 Telleøvelser: • tell med 10 av gangen, forlengs og baklengs, 10, 20, 30 og 30, 20, 10, 0 • tell med 10 av gangen fra 3, 13, 23 og 87, 77, 67

Mira

20 kr

150 kr

Elevene bruker også blokkmodell når de skal visualisere og løse mer komplekse problemer. Elevene lærer først å bruke blokkene for å modellere problemer som involverer de fire regneoperasjonene med hele tall. Etter hvert bruker de metoden for å løse oppgaver med brøk og algebra. Du bør først tegne blokkene på tavla og veilede elevene, trinn for trinn, mens dere gjennomgår tankeprosessen. Det gir dem mer verdifull trening enn bare å se den ferdige modellen i en bok. Elevene lærer først å tegne blokker som representerer helhet og del, for eksempel:

EKSEMPLER PÅ MODELLER VI BRUKER PÅ 3. TRINN

Olga har 17 klistremerker. Mira har 14 klistremerker. Hvor mange klistremerker har Olga og Mira til sammen? Elevene tegner en blokk som er delt inn i to deler. Den ene delen må være litt større enn den andre delen. I denne oppgaven er delene kjent og helheten ukjent. Elevene må legge sammen delene for å finne svaret (helheten): 17 klistremerker

14 klistremerker

? klistremerker Det er 21 boller på et fat. 14 av bollene er med melis. Resten av bollene er uten melis. Hvor mange boller er uten melis? I denne oppgaven er helheten og én del kjent. Oppgaven kan løses ved å finne delen som mangler, enten ved å legge til eller å trekke fra. Legg merke til om elevene forstår sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon. 14 med melis

? uten melis

21 boller Gjør gjerne et Google-søk på «thinking blocks» og les mer om modellmetoden. Vi mener at det er en svært god modell for å lære elevene å tolke tekst og å gi dem et verktøy for å danne seg et visuelt bilde av det matematiske problemet som de skal løse. Som lærer får du også et verktøy for å forklare elevene oppgaven på en ny måte, slik at ikke forklaringen bare blir nye ord.

XVI

EKSEMPLER PÅ MODELLER VI BRUKER PÅ 3. TRINN

Regnestrategier Det er viktig at elevene utvikler fleksible og hensiktsmessige regnestrategier som bygger på god forståelse av relasjonene mellom tall. Gjennom klassesamtaler og samtaler mellom læringspartnere bør det legges til rette for at elevene får utvikle, bruke og samtale om hvilke strategier de bruker på forskjellige regnestykker i addisjon og subtraksjon. I Matematikk 3 fra Cappelen Damm fokuserer vi på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i addisjon og subtraksjon. Her definerer vi hva regnestrategier er og hvilke strategier som er hensiktsmessige. Målet er at elevene skal kunne velge hensiktsmessige strategier ut fra tallene i oppgavene og ha et repertoar av strategier å velge fra.

tiervennene i tillegg til å addere og subtrahere med ti, kan de bruke dette for store tall ved å mellomregne via ti, for eksempel: 18 + 5 = 18 + 2 + 3. Tiervennene danner et grunnlag for å kunne regne effektivt med tall over 10.

8+2=? 18 + 2 = ? 18 + 5 = ? Tiere og enere

Telle videre fra det største tallet Elevene kan utforske strategien «å telle videre fra det største tallet». Å addere med en, to og tre kan sees i sammenheng med å telle videre i tallfølgen. Det er viktig at elevene oppdager sammenhengen mellom telling og regning. Det at femten kommer rett etter fjorten når du teller, betyr at femten er en mer enn fjorten, og at 14 + 1 = 15. Målet er å få elevene til å forstå at de kan telle videre ved addisjon, og at de ikke trenger å telle alle objektene.

Elevene må få god tid og mulighet til å utforske strukturen og oppbygningen av tallsystemet. De kan bruke egnede konkreter og sortere disse i tiere og enere. Elevene må også få mulighet til å utforske tallsystemet ved å bruke ulike representasjoner og etter hvert koble dette til symbolene, for eksempel: 13 – 3 = 10, 13 – 4 = ? 13 – 10 = 3, 13 – 9 = ?

10 + 3 = ?

14 + 1 = ?

13 – 3 = ?

15 – 1 = ?

13 – 10 = ?

Dobling / nær dobling Elevene kan utforske doblingene og regnestykker som ligger nært disse. Elevene kan bruke dobling når de regner med nær dobling. Nær dobling er en eller to unna doblingen. For eksempel er 15 + 15 dobling. Nær dobling er da 15 + 16 og 15 + 14 , og 15 + 17 og 15 + 13. Ofte kan elevene noen doblinger når de begynner på skolen. De kan for eksempel først prøve å løse 15 + 15 og så løse 15 + 16 for å se om de oppdager sammenhengen.

15 + 15 = ?

Trekke fra nesten alt – differanse Slike subtraksjonsoppgaver som 14 – 13 og 88 – 87 bør knyttes til telling og til tallenes plassering på tallinja. Denne sammenhengen vil hjelpe elevene med å knytte telling til regning. Slik kan for eksempel 1 mindre forbindes med det tidligere tallet i tellesekvensen og så identifiseres med å subtrahere 1. En 20-perlesnor kan være en konkret støtte for dette. Elevene kan oppdage hvorfor 14 – 13 = 1. En annen visualisering for 14 – 13 kan være å be elevene om først å regne ut 14 – 14 = 0 og så regne ut 14 – 13. De fleste elevene vet at 14 – 14 = 0 og vil på denne måten selv oppdage at da må 14 – 13 = 1.

15 + 16 = ? 15 – 15 = ? Bruke tiervenner

15 – 14 = ?

Elevene kan diskutere hvordan de kan ta utgangspunkt i tiervennene når de regner, for eksempel 7 + 3 og så 7 + 4 og oppdage sammenhengen. På denne måten blir det lettere å forstå tierovergangen. Hvis elevene kan

REGNESTRATEGIER

XVII

Addere og subtrahere via ti Elevene kan utforske hvordan det å addere via ti eller mellomregne via ti henger sammen med tiervennene. Tier-rammen kan være et godt hjelpemiddel for å gi visuell støtte til dette. Elevene kan da bruke dette for store tall ved å mellomregne via ti, for eksempel 87 + 5 = 87 + 3 + 2.

87 + 3 = ? 87 + 5 = ? Det er også viktig å diskutere hvordan man kan bruke tiervennene i subtraksjon og for eksempel oppdage sammenhengen: 10 – 2, 20 – 2, 30 – 2 og så videre. Å bruke en tier-ramme egner seg som støtte for å visualisere, både i addisjons- og subtraksjonsvariant.

10 – 2 = ? 20 – 2 = ?

XVIII REGNESTRATEGIER

Klassesamtale om hoderegningsstrategier Elevene må få mulighet til å diskutere ulike strategier med hverandre når de jobber med hoderegning i matematikk. De lærer av hverandre, de lærer å forklare hvordan de tenker og de lærer å lytte til andres løsninger. Elevene kan også diskutere og argumentere for hvilke løsninger de liker best, eller hvilke løsninger de mener er mest effektive. Å delta aktivt i klassesamtaler, argumentere og forhandle, og ha muligheter til å tenke høyt og reflektere over ulike løsninger vil gi elevene en dypere forståelse for matematikk enn man kan gjennom individuelt arbeid. Det er en nær sammenheng mellom språk og matematikk. Matematikk kan ses på som et eget språk. Elevene trenger språket for å reflektere og kommunisere med hverandre om matematiske utfordringer og ulike løsninger. I kjerneelementene (LK20) beskrives kommunikasjon i matematikk slik; «Kommunikasjon i matematikk handler om at elevene bruker matematisk språk i samtaler, argumentasjon og resonnementer. Elevene må få mulighet til å bruke matematiske representasjoner i ulike sammenhenger gjennom egne erfaringer og matematiske samtaler.»

FORSLAG TIL ÅRSPLAN MATEMATIKK 3. TRINN

XIX

2 STRATEGIER I SUBTRAKSJON Mattis og Jon spiller med monsterkort som har forskjellig verdi. De skal regne ut differansen mellom kortene. Kapittelets oppslag og historien er introduksjon til temaet «strategier i subtraksjon», og kan være utgangspunkt for samtale om egne strategier. Målet med kapittelet er at elevene skal bli kjent med flere strategier i subtraksjon. De må kunne velge hensiktsmessige strategier. Elevene må få muligheten til å reflektere over hvilke strategier de selv bruker, og hvorfor. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om temaer som vennskap, forstå andres følelser og reaksjoner.

1 TALL Olga og Jon spiller dataspillet Monsterland. De samler på diamanter som gir 1000 poeng, og rubiner som gir 100 poeng. Kapittelets oppslagsbilde og historie kan være utgangspunkt for samtale om tallene til 1000. Målet med kapittelet er at elevene utvikler forståelse for plassverdisystemet. Det gir dem et grunnlag for å utvikle god tallforståelse og fleksible strategier i addisjon og subtraksjon. Elevene skal gruppere tall i enere/tiere/hundrere og bestemme sifrenes verdi i to- og tresifrede tall. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om temaer som samarbeid, vinne og tape i spill, skjermtid og dataspill.

AUGUST/ SEPTEMBER

SEPTEMBER

Tema

Periode

Resonnering og argumentasjon Elevene må få mulighet til å utforske ulike strategier. Elevene kan reflektere over egne strategier, og øve på å forklare strategiene for andre. De kan samtidig lytte til hvordan andre tenker, og lære nye strategier av hverandre. De kan sammenlikne strategier og argumentere for hvilke strategier som er hensiktsmessige i ulike praktiske sammenhenger.

Matematiske kunnskapsområder • subtrahere enere, tiere og hundrere • subtrahere 9, 99 og 199 • differanse • utforske ulike strategier • sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon

Representasjon og kommunikasjon Elevene utvikler dybdeforståelse for temaene gjennom å utforske med hjelp av ulike representasjoner; kontekstuelle, konkrete, visuelle, verbale og symbolske. Elevene trenger konkrete erfaringer med tierbase-materiell og lekepenger, tegne tallinjer og bruke tallsymbolene.

Matematiske kunnskapsområder • utforske tallene til 1000 • hundrere, tiere og enere • plassverdisystemet • forstå sifrenes verdi • hoderegning

Kjerneelementer

Forslag til årsplan matematikk 3. trinn

• Utvikle og bruke formålstenlege strategiar for subtraksjon i praktiske situasjonar. • Utforske og forklare samanhengar mellom addisjon og subtraksjon og bruke det i hovudrekning og problemløysing.

Tallene til 1000 og arbeid med plassverdisystemet danner grunnlag for kompetansemålene: • Utvikle og bruke formålstenlege strategiar for subtraksjon i praktiske situasjonar. • Utforske og forklare samanhengar mellom addisjon og subtraksjon, og bruke det i hovudrekning og problemløysing.

Kompetansemål

FORSLAG TIL ÅRSPLAN MATEMATIKK 3. TRINN

Tema

3 ADDISJON OG SUBTRAKSJON Jon, Mira, Mattis og Olga får i lekse å lage oppgaver med addisjon og subtraksjon. Kapittelets oppslag og historien kan være en inspirasjon til å utforske og samtale om hvor vi bruker addisjon og subtraksjon i dagliglivet. I kapittelet lærer elevene om standardalgoritmene for addisjon og subtraksjon. Elevene utfordres samtidig til å bruke hensiktsmessige strategier. Målet med kapitlet er at elevene kan velge når det er hensiktsmessig å bruke algoritmer, og når det er hensiktsmessig med hoderegning. Elevene bruker ulike representasjoner når de veksler mellom enere, tiere og hundrere. Kapitelhistorien gir også mulighet til å samtale om temaer som vennskap og samarbeid.

4 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON Jon hjelper farfar i butikken. Han lager en rapp som handler om å telle opp varer. Kapittelets oppslag og historie er instruksjon til temaet multiplikasjon og divisjon, og kan være utgangspunkt for refleksjon og samtale om opptelling av mengder og innledning til multiplikasjon og divisjon. Målet med kapittelet er at elevene utforsker multiplikasjon ved hjelp av telling og gjentatt addisjon. Elevene får erfaringer med å representere multiplikasjon på ulike måter og med ulike representasjoner. Elevene utforsker kommutativitet og oppdager denne sammenhengen med rutenett som modell (4 ∙ 3 = 3 ∙ 4). Kapitelhistorien gir også mulighet til å samtale temaer som ansvarlighet og hjelpe andre.

Periode

OKTOBER

NOVEMBER

Representasjon og kommunikasjon Elevene må få mulighet til å utforske multiplikasjon i kjente kontekster og kommunisere med andre med utgangspunkt i situasjoner fra dagliglivet. De må få utforske multiplikasjon på ulike måter, og veksle mellom de ulike representasjonene som f.eks. konkreter, bilder, språk og kontekst, og så knytte disse til de matematiske symbolene for multiplikasjon.

Matematiske kunnskapsområder • addere like grupper • multiplikasjon • sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon

Generalisering i matematikk betyr at elevene må få mulighet til å oppdage sammenhenger og strukturer, og ikke bli presentert for ferdige løsninger.

Abstraksjon og generalisering Elevene må først få mulighet til å utforske tall og utregninger, og deretter formalisere ved å bruke standardalgoritmene.

Matematiske kunnskapsområder • veksle enere til ti, og tiere til hundre • veksle tier til enere, og hundrer til tiere • addisjon og subtraksjon med oppstilling • addisjon og subtraksjon med veksling

Kjerneelementer

• Utforske multiplikasjon ved teljing. • Eksperimentere med multiplikasjon og divisjon i kvardagssituasjonar. • Representere multiplikasjon på ulike måtar og omsetje mellom dei ulike representasjonane.

• Utforske og forklare samanhengar mellom addisjon og subtraksjon og bruke det i hovudrekning og problemløysing.

Kompetansemål

FORSLAG TIL ÅRSPLAN MATEMATIKK 3. TRINN

XXI

Tema

5 RUTENETT OG KOORDINATSYSTEM Sofie forteller klassen om hvorfor det kan være nyttig å lære om kart, rutenett og koordinatsystem. Kapittelets oppslagsbilde og historien gir en introduksjon til temaet, og kan være utgangspunkt for refleksjon og samtale. Målet med kapittelet er at elevene utforsker hvordan de kan beskrive plasseringer i rutenett, forflyttinger i rutenett ved hjelp av koder, å lese av koordinater, og de lærer å tegne inn punkter i et koordinatsystem. Videre får elevene erfaringer med å samle inn data og å lese og tolke informasjon i søylediagram. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om temaer som trygghet og åpenhet, å forstå hvorfor og hvordan vi bruker kart for å finne fram, og å tolke ulike diagrammer.

6 SAMMENHENGER I MULTIPLIKASJON Farfaren til Jon får barna til å utforske antall vinduer og vindusruter på husene. Kapittelets oppslag kan være utgangspunkt for samtale om multiplikasjon i rutenett med rader og kolonner, og sammenhenger mellom multiplikasjonstabellene. Målet med kapittelet er at elevene utforsker kommutativitet, og oppdager denne sammenhengen med rutenett som modell (4 ∙ 3 = 3 ∙ 4). De utforsker også sammenhenger mellom multiplikasjonene. F.eks. at produktet ved å multiplisere med 4, er det dobbelte enn ved å multiplisere med 2, osv. Kapittelhistorien gir også mulighet til samtale om temaer som samarbeid og vennskap.

Periode

DESEMBER/ JANUAR

JANUAR/FEBRUAR

Representasjon og kommunikasjon Elevene får mulighet til å utforske multiplikasjon i kjente kontekster og kommunisere med utgangspunkt i dagligdags språk. De må få utforske multiplikasjon på ulike måter og veksle mellom ulike representasjoner som f.eks. konkreter, bilder, språk og kontekst, og så knytte disse til de matematiske symbolene for multiplikasjon.

Matematiske kunnskapsområder • rutenett i multiplikasjon • kommutative egenskaper • multiplisere med 5 og 10, 2 og 4, og 3 og 6 (doble og halvere) • sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon

Elevene utforsker algoritmisk tenkning ved å bryte ned et problem i delproblem og jobbe systematisk. Elevene skal forklare sine løsninger for hverandre, og prøve å følge, vurdere og forstå andres tankerekker. Elevene oppfordres også til å tenke over om det er flere løsninger på et problem.

Utforsking og problemløsning Algoritmisk tenkning er viktig i prosessen med å utvikle strategier og framgangsmåter for å løse et problem.

Matematiske kunnskapsområder • plassere i rutenett • flytte ved hjelp av koder • koordinatsystem • søylediagram og statistikk

Kjerneelementer

• Representere multiplikasjon på ulike måtar og omsetje mellom dei ulike representasjonane. • Bruke kommutative, assosiative og distributive eigenskapar til å utforske og beskrive strategiar i multiplikasjon. • Eksperimentere med multiplikasjon og divisjon i kvardagssituasjonar.

• Eksperimentere med og forklare plasseringar i koordinatsystemet. • Lage og følgje reglar og trinnvise instruksjonar i leik og spel knytte til koordinatsystemet.

Kompetansemål

XXII

FORSLAG TIL ÅRSPLAN MATEMATIKK 3. TRINN

Tema

7 MASSE OG LENGDE Jon og farfar baker eplekake. Farfar lærer Jon om ulike måleenheter, også noen fra gamle dager. Kapittelets oppslag og historien gir en introduksjon til temaet, og kan være utgangspunkt for refleksjon og samtale om når det er hensiktsmessig å bruke ulike måleenheter. Målet med kapittelet er at elevene bruke ulike måleenheter for lengde og masse i praktiske situasjoner. Elevene skal velge hensiktsmessige måleenheter og argumentere for valgene. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om temaer som samarbeid, praktisk matematikk i matlaging og måleenheter før og nå.

8 LIKHETER OG ULIKHETER Jon og vennene hans bruker balansevekt når de utforsker likheter, ulikheter og likevekt. De bruker tegnene som viser større enn, mindre enn og er lik. Kapittelets oppslagsbilde og historien gir en introduksjon til temaene likevekt og balanse, likheter og ulikheter, og kan være utgangspunkt for refleksjon og samtale. Målet med kapittelet er at elevene får utforske balanse og likevekt, elevene skal sammenlikne størrelser og beskrive ulikheter og likheter med symbolene =, <, og >. Elevene utforsker oppgaver med en ukjent (x) og oppgaver med tallfølger. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om temaer som likheter og forskjeller og samarbeid for å løse et problem.

Periode

FEBRUAR/MARS

MARS/APRIL

Argumentere og resonnere Elevene kan diskutere og resonnere seg fram til hva som er likheter og ulikheter i f.eks. oppgaver som «hva skal ut». De kan samtidig øve på å argumentere for hvorfor de f.eks. mener at akkurat den figuren er forskjellig fra de andre.

Matematiske kunnskapsområder • likevekt og balanse • tegnene for likhet og ulikhet • ukjent verdi • tallfølger og figurtall

Utforskning og problemløsning Elevene utforsker hvordan de kan bruke de ulike måleenhetene i praktiske sammenhenger. Elevene undrer seg og løser oppgaver sammen. De utforsker og velger passende måleenheter når de utfører praktiske målinger.

Matematiske kunnskapsområder • måleenhetene kilogram og gram • måleenhetene kg og g i regning • måleenhetene kilometer, meter og centimeter • måleenhetene km, m, cm i regning

Kjerneelementer

• Beskrive likskap og ulikskap i samanlikning av storleikar, mengder, uttrykk og tal og bruke likskaps- og ulikskapsteikn. • Utforske likevekt og balanse i praktiske situasjonar, representere dette på ulike måtar og omsetje mellom dei ulike representasjonane.

• Utforske likevekt og balanse i praktiske situasjonar, representere dette på ulike måtar og omsetje mellom dei ulike representasjonane. • Bruke ulike måleiningar for lengd og masse i praktiske situasjonar og grunngi valet av måleining.

Kompetansemål

FORSLAG TIL ÅRSPLAN MATEMATIKK 3. TRINN

XXIII

10 OVERSLAG, BLOKKMODELLER OG TID Elevene planlegger fest for førskolebarna. De får i oppgave å arrangere festen. Kapittelets oppslag og historien kan være inspirasjon til å gjøre en innsats for andre og bruke matematikk i en relevant og praktisk kontekst. Målet med kapittelet er at elevene får erfaringer med å anvende matematikk i dagliglivet. Elevene planlegger, gjør overslag, bruker de fire regneartene og blokkmetoden. De må også kunne bruke analog og digital klokke, og forholde seg til tid. Kapittelhistorien gir også mulighet til samtale om temaer som å planlegge sammen, samarbeide og å glede og trøste andre.

9 STRATEGIER I MULTIPLIKASJON Klassen henger ut biehotell og planter bievennlige blomster i rekker og rader. Kapittelets oppslag og historien gir en introduksjon til temaet, og kan være utgangspunkt for refleksjon og samtale om hvordan de skal plante i rekker og rader. Målet med kapittelet er at elevene gjør erfaringer og eksperimenterer med kommutative, assosiative og distributive egenskaper for å utvikle flere strategier i multiplikasjon. Gode strategier, visuell støtte i blokkmetoden og utforsking av sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon, vil kunne gi elevene en større forståelse av multiplikasjon. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om temaer som å ta vare på naturen, og det å samarbeide for å løse et problem.

APRIL/MAI

MAI/JUNI

Tema

Periode

Utforsking og problemløsing Elevene bruker det de har lært om addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon når de utforsker avrunding og overslag. Elevene må få mulighet til å diskutere og velge hensiktsmessige strategier. De kan også bruke blokkmetoden når det er hensiktsmessig.

Matematiske kunnskapsområder • overslag • blokkmodeller i addisjon og subtraksjon • blokkmodeller i multiplikasjon og divisjon • analog og digital klokke • kvarter, timer og minutter

Representasjon og kommunikasjon Elevene lærer om og prøver ut ulike strategier i multiplikasjon. De kan øve på å fortelle om strategiene sine til hverandre, og lære av hverandres strategier. Elevene må gjøre erfaringer med å gjøre en oppgave enklere ved å dele opp multiplikasjonen: f.eks. 7 ∙ 5 = 3 ∙ 5 + 2 ∙ 5 (distributive egenskaper).

Matematiske kunnskapsområder • multiplisere med 2, 4 og 8 (doble og halvere) • multiplisere med 9 og 10 • multiplisere med 7 • regnestrategier i multiplikasjon • sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon • blokkmodellen i multiplikasjon og divisjon

Kjerneelementer

• Elevene har allerede jobbet med alle kompetansemålene for 3. trinn i kapitlene 1 – 9. I dette kapittelet skal elevene derfor bruke matematikk, både kjerneelementer og kompetansemål, i en praktisk kontekst: planlegge en fest for førskolebarna.

• Bruke kommutative, assosiative og distributive eigenskapar til å utforske og beskrive strategiar i multiplikasjon. • Eksperimentere med multiplikasjon og divisjon i kvardagssituasjonar.

Kompetansemål

KAPITTEL 6

KƶJƳFƶ?Ƶ7ƽ@ƹD EƱ :ƳLƳIƴEƸ Målene for kapittelet er at elevene skal • bruke rutenett i multiplikasjon for å utforske assosiative og distributive egenskaper ved multiplikasjon • oppdage sammenhengen mellom − 5- og 10-gangen − 2- og 4-gangen − 3- og 6-gangen • se sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon Elevene viser kompetanse i faget når de selv tar i bruk fagbegrepene • rader og rekker • kolonner • dobbelt og halvparten • gruppe

6 6

KƶJƳFƶ?Ƶ7ƽ@ƹD EƱ :ƳLƳIƴEƸ

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MÅL • bruke rutenett i multiplikasjon • oppdage sammenhengen mellom

5– og 10–gangen 2– og 4–gangen 3– og 6–gangen • se sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon

BEGREPER rader kolonner det dobbelte og halvparten gruppe rutenett

HISTORIE «Du får ikke lov til å si svaret, Jon!» Farfaren til Jon lener seg ut av et vindu to etasjer over butikken sin og roper ned til Jon, Olga, Mattis og Mira, som står på gata nedenfor. «Svaret på hva da?» spør Olga og fikler med innstillingene til høreapparatet sitt. Midt i byen, og med lyder fra alle kanter, er det vanskelig for henne å høre alt. «Farfar sier at den som først kan regne ut hvor mange vinduer det er i kinohuset, skal få en kinobillett», sier Jon. «Jeg vet det», sier Mattis. «For i det huset er det 7 etasjer. Og så er det 10 vinduer i hver etasje. 7 ganger med 10 vinduer er …» «Ikke si det!» avbryter Olga sint. «Det er skikkelig urettferdig at du skal vinne når jeg ikke hørte hva farfaren til Jon sa.» «Helt enig», sier Mira. «Olga hørte ikke hva du sa», roper Jon.

«Ok. Da skal dere få en ny oppgave», sier farfaren til Jon og lener seg litt lenger ut av vinduet. «Regn ut hvor mange vindusruter det er i huset mitt. Og husk at jeg sier vindusruter, ikke vinduer.» «9 ganger 2», sier Mattis fort. Han er rask til å regne i hodet. «Da blir det 18 vindusruter i huset hans.» «Feil», sier Mira. «For det er 3 vinduer i butikken også. Da blir det …» «21!» roper Olga. «Helt riktig», sier farfaren til Jon. Han strekker en hånd fram og lener seg enda lenger ut av vinduet. Jon blir nervøs. «Pass deg så du ikke faller ut!» «Jeg faller ikke, jeg», sier farfaren til Jon rolig. «Men det er noe annet som kommer til å falle.» Han slipper det han har hatt i hånden. Gjennom luften svever fire kinobilletter. «Kos dere med filmen!» sier han og lukker vinduet. Skrevet av Axel Hellstenius

Forslag til spørsmål: • Hvordan tror dere Jon tenker når han regner ut antall vinduer i kinohuset? Hvordan tenker dere for å finne antallet? Finnes det flere måter å finne det ut på? • Hva hvis det hadde vært én eller to etasjer til på kinohuset, hvor mange vinduer blir det da? • Forklar hvordan dere tror barna tenker for å regne ut antall ruter i huset der farfaren til Jon bor? Hvordan kan det bli 21 ruter? • Kan dere fortelle hva dere vet om multiplikasjon og divisjon? • Hvilke regnetegn bruker vi til multiplikasjon og divisjon? • Hvordan kan dere vite når dere skal bruke multiplikasjon, og når dere skal bruke divisjon? Lag gjerne en regnefortelling til hver regneart.

I Matematikk Grunnbok 3A jobbet elevene hovedsakelig med multiplikasjon som gjentatt addisjon av like grupper. I dette kapittelet bygger vi videre på det, og i tillegg introduseres rutenett som visuell modell for elevene. Spesielt er det de kommutative egenskapene i multiplikasjon som står i sentrum, og da med rutenett som representasjon. I LK20, fagfornyelsen, ligger hovedvekten på multiplikasjon på 3. trinn, og vi har derfor mange kapitler om temaet. Fra LK20: • utforske multiplikasjon ved telling • eksperimentere med multiplikasjon og divisjon i hverdagssituasjoner • representere multiplikasjon på ulike måter og oversette mellom de ulike representasjonene • bruke kommutative, assosiative og distributive egenskaper til å utforske og beskrive strategier i multiplikasjon

Elevene kan gjerne øve på å telle med 2, 3, 4, 5 osv. av gangen, forover og bakover. Spørsmålene kan tilpasses den enkelte elev. Det er viktig å bygge videre på elevenes forkunnskaper om emnet når dere jobber med kapittelet.

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

kommutative, assosiative og distributive egenskaper til å utforske og beskrive strategier i multiplikasjon.

Oppstart

Rutenett

Start timen med at elevene utforsker «Vi tenker». Elevene får tid til å tenke alene noen minutter og så diskutere og sammenlikne løsninger med en læringspartner.

Strukturer i multiplikasjon Det er flere måter å klassifisere multiplikative strukturer på, for eksempel: • Like grupper: Det er seks bord med fire stoler rundt hvert bord. Hvor mange stoler er det? • Rutenett (areal): Det er fire rader med biler. Det er fem biler i hver rad. Hvor mange biler er det til sammen? • Forstørring: Bonden har sju hester. Han har fem ganger så mange sauer som hester. Hvor mange sauer har bonden? • Forhold mellom tall: Det er fem blå perler for sju røde. Hvor mange blå perler er det for fjorten røde? • Sammenlikning: Det er fire sorter med brød og fem sorter med pålegg. Hvor mange ulike typer smørbrød kan du lage?

Lærer og elever snakker sammen om løsningene i «Vi lærer»; er noen av løsningene de samme som elevenes? Er det flere løsninger? Osv.

Introduksjon til kapittel 6 Det er viktig at elevene får mange erfaringer med å eksperimentere med multiplikasjon og divisjon i praktiske situasjoner. De må også eksperimentere med mange forskjellige representasjoner, som konkreter, bilder/tegninger, symboler og språk, og bruke multiplikasjon i kjente kontekster. De skal også kunne bruke

Vi tenker Start med at elevene tenker på hvordan de kan beskrive antallet snøkrystaller i vinduene med multiplikasjon. Målet er at elevene skal utforske de kommutative egenskapene ved multiplikasjon og bruke begrepene rad og kolonne.

Kƾ;Ƹ;ƾJ Vi tenker Mira og Olga pynter vinduet med snøkrystaller. Hvor mange snøkrystaller er det til sammen? Hvem har rett av Mira og Olga? De et er 3 · 4 snø økrystaller.

Differensiering: Elever som ikke kommer i gang, kan gjøre den samme oppgaven med brikker som representerer snøkrystallene. Elever som blir raskt ferdige, kan jobbe med «større vinduer», f.eks. 18, 24 eller 36 brikker som de kan skrive multiplikasjoner til. Se etter om elevene bruker begrepene kolonne og rad når de beskriver hvordan de løste oppgaven.

Det er 4 · 3 snøkrysta aller. r

Vi lærer

kolonne

Både Mira og Olga har rett. rad

Vi lærer Elevene kan gjerne bruke andre antall klosser/ruteark og lage andre rutenett. Hvor mange ulike rutenett kan dere lage med f.eks. 24 klosser: 12 · 2, 8 · 3, 6 · 4 osv.? Samtal gjerne om fordelen med å organisere et antall i rader og kolonner: at det er lettere å telle opp, og at de kan bruke multiplikasjon når de skal telle opp et stort antall.

4 rader er med 3 snøkrrystaller i hv ver. 4 · 3 = 12

3 kolonner med 4 snø økrystaller i hver. 3 · 4 = 12

Samtal om begrepene kolonne og rad. Hva skjer hvis vinduet dreies 90 grader? Samtal om kommutative egenskaper.

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

4·3=3·4

Rutenett er en visuell representasjon av multiplikasjon som er fin å bruke for at elevene skal bygge forståelse av de kommutative egenskapene til multiplikasjon.

Rutenett som representasjon Addisjon og subtraksjon er endimensjonale operasjoner. Når du legger sammen 3 + 3 + 3 stjerner, trenger du ikke samtidig å vite hvor mange grupper med stjerner du har. Multiplikasjon og divisjon er todimensjonale og mer komplekse operasjoner. Når du multipliserer, må du holde regnskap over hvor mange ganger du legger sammen tallene. Du må vite hvor mange grupper det er, og hvor mange det er i hver gruppe:

Kommutative egenskaper (a · b = b · a) Elevene skal oppdage og utvikle forståelse av de kommutative egenskapene til multiplikasjon, for eksempel 3 · 5 = 5 · 3. Dette kan for eksempel visualiseres ved en rutenettmodell.

Det todimensjonale ved multiplikasjon vises tydelig i et rutenett med 3 · 3 ruter:

3 · 5 = 15 5 · 3 = 15

Elevene skal utforske hvordan multiplikasjon og divisjon henger sammen. Elevene kan gjerne ha brikker og finne antall rader og kolonner. • Hva hvis det hadde vært en rad eller en kolonne til med snøballer? • Hva hvis det hadde vært fem barn, hadde det blitt noen snøballer til overs? Hvorfor?

Barna deler snøballene likt. Hvor mange snøballer får • 4 barn hver? • 3 barn hver?

3 4

Hvordan skrives det som multiplikasjon og divisjon?

4 · 3 = 12 3 · 4 = 12

12 : 4 = 3 12 : 3 = 4

1 Hvor mange? Skriv to multiplikasjoner til hvert bilde.

2 3

3 7

· ·

3 2

7 3

= =

2 Tegn regnestykket 5 · 3 på

6 6

2 4

21 21

4 7

· ·

4 2

7 4

= =

1 Hvor mange? Legg merke til hvordan elevene forstår sammenhengen mellom illustrasjon og multiplikasjon. Elevene har nå lært om kommutativitet og kan derfor selv velge om de skriver 2 · 3 eller 3 · 2. 2 · 3 kan leses på ulike måter: «to ganger med treere» eller «toere tre ganger».

8 8

28 28

2 Tegn regnestykket Elevene kan forklare kommutativitet med utgangspunkt i rutenettene, hvorfor 5 · 3 = 3 · 5. Lag gjerne flere oppgaver, for eksempel antall seter i en kinosal, antall brus i en kasse og antall sjokoladekakestykker.

f. eks.

to ulike måter i rutenettet.

5·3=

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

På grunn av de kommutative egenskapene i multiplikasjon har det ingen betydning, men i praktiske sammenhenger vil det ha betydning. Elevene kan ved hjelp av konkreter utforske forskjellen mellom 3 ∙ 5 og 5 ∙ 3. Resultatet er likt, men tankesettet og den konkrete situasjonen er forskjellig. Det er forskjell på om det er tre barn som får fem jordbær hver, eller om det er fem barn som får tre jordbær hver. Snakk sammen med elevene om dette. I oppgaver med multiplikasjon med rutenett, slik som vi har på disse sidene, kan du lett vise elevene sammenhengen mellom 4 ∙ 5 og 5 ∙ 4. Antall ruter blir det samme. Det er lurt å bruke litt tid på å bevisstgjøre elevene på dette. Hvis en skal løpe 400 meter, er det stor forskjell på om en løper fire runder hvor hver runde er 100 meter, eller om en løper 100 runder som hver er på fire meter. Forskjellen kan representeres med symboler: 4 · 100 meter eller 100 meter · 4.

Hvordan skal vi skrive multiplikasjoner – faktorenes rekkefølge Hvis en leser i ulike lærergrupper på Facebook, er det stadig diskusjoner om hvilken måte som er den riktige å skrive multiplikasjoner på. Vår erfaring er at lærere, og også foreldre, sier det på to ulike måter. Dette tok vi opp i grunnboka 3A (side 104):

Vi tenker Olga trer 5 jordbær på hvert strå. Hvor mange jordbær er det til sammen?

Hvor mange ganger har jeg 5 jordbær?

Du kan si at Olga har fem jordbær tre ganger, altså 5 · 3, eller du kan si at Olga har tre ganger med fem jordbær, altså 3 · 5. Den siste skrivemåten er nok likevel den vanligste, og det er den vi vil bruke mest i dette læreverket.

04.indd 104

3 Hvor mange er det Målet med oppgavene er at elevene skal utforske og gjøre seg erfaringer med de kommutative egenskapene til multiplikasjon, at 4 · 3 = 3 · 4. Illustrasjonene i oppgavene er tenkt som visuell støtte for elevene. Hvordan kan måten tingene er organisert på, hjelpe oss til å finne ut hvor mange det er til sammen? Hvor mange rader er det? Hvor mange er det i hver rad? Hvor mange kolonner er det? Hvor mange er det i hver kolonne?

Øve 1 3 Hvor mange er det? Skriv to multiplikasjoner til hvert bilde.

5 3

3 5

15 15

= =

Fem begre med popkorn tre ganger.

4 3

21.06.2021 10:15

Oppsummering av timen Det er fint å sette av tid til å telle med 2, 3, 4, 5, 6 og 10 av gangen mens dere jobber med kapittelet. Elevene kan f.eks. telle i kor/ par/grupper.

4 5

6 3 10

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

· ·

3 6

= =

18 18

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

· ·

3 4

5 4

12 12

= =

6 4

20 20

· ·

4 6

= =

24 24

Aktiviteter Utforske kommutativitet Elevene skal utforske den kommutative egenskapen ved multiplikasjon. Elevene kan jobbe sammen to og to. Hvert elevpar trenger konkretiseringsmateriell (klosser, bikker, store perler osv.). Det er viktig at de har flere ting av samme slag. Elevene skal vise for eksempel 3 · 4 og 4 · 3.

Elevene vil kanskje oppdage at totalen er lik. Gjenta gjerne aktiviteten med flere oppgaver, for eksempel 2 · 4, 4 · 2, 3 · 6, 6 · 3, … Elevene kan utforske med 11 eller 13 brikker, hva skjer da? Hvorfor er det vanskelig å lage like rader og kolonner nå?

4 Skriv to multiplikasjoner til hvert bilde Legg merke til om elevene forstår sammenhengen mellom illustrasjon og multiplikasjon. Utvid gjerne oppgaven sånn at elevene kan øve på sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon. • Hva hvis det er fire (eller fem) barn som skal dele de gule kulene? Hvor mange kuler får de hver? • Hva hvis det er fem (eller seks) barn som skal dele de røde kulene? Hvor mange kuler får de hver?

Øve 2 4 Skriv to multiplikasjoner til hvert bilde.

5 4 6 5

· ·

4 5 5 6

= =

Fire kuler ffem ganger.

20 20 30 30

5 Hvor mange ruter? Skriv to multiplikasjoner.

8 4

· ·

4 8

= =

10 · 3 3 · 10

32 32

= =

5 Hvor mange ruter? Elevene kan fortelle hvordan de tenker, og øve på å bruke begrepene rader og kolonner. Hva hvis det hadde vært en rad til i rutenettet? Hva hvis det hadde vært to kolonner til i rutenettet?

30 30

6 Skriv og tegn en regnefortelling til 6 · 3. 6·3=

6 Skriv og tegn en regnefortelling til 6 · 3 Legg merke til om tegninger viser «gjentatt addisjon» eller «rutenett». Elevene kan fortelle hvordan de valgte å visualisere multiplikasjonen sin, og hvorfor.

Ulike svar

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

er 0. Oppdager elevene denne sammenhengen? Det er fint å bruke begrepene dobbelt og halvparten når dere utforsker sammenhengen mellom 5- og 10-gangen. Dette kan de se tydelig på en oversikt med alle tabellene. Det er verdifullt at elevene får konkrete erfaringer og gis muligheten til å danne seg visuelle bilder av disse gode sammenhengene i multiplikasjon. Elevene kan også bruke brikker og legge 3 ∙ 5 brikker, og så doble antallet i hver rad og se at det blir 3 ∙ 10 brikker.

5- og 10-gangen Multiplikasjon Det er fint at oppgavene knyttes til kontekster: • Én blyant koster 5 kr. Hvor mange kroner koster fire blyanter? • Ett viskelær koster 5 kr. Hvor mange kroner koster fire viskelær? • Én penn koster 10 kr. Hvor mange kroner koster fire penner? Elevene kan, samtidig som de jobber med multiplikasjon, øve på å telle muntlig med 5 og 10 av gangen, både med og uten støtte av 100-rutenettet. Elevene må erfare at de for eksempel finner svaret på 5 ∙ 4 ved å telle med fem av gangen (5, 10, 15, 20) eller finner svaret på 10 · 6 ved å telle med ti av gangen (10, 20, 30, 40, 50, 60). Elevene kan utforske 5-gangen og 10-gangen i et 100-rutenett og se hvilke sifre tallene slutter på i 5-gangen og 10-gangen. Det er et mål at elevene oppdager at siste siffer i produktene er 5 eller 0 i 5-gangen, og at siste siffer i produktene i 10-gangen

Vi tenker Start med at elevene finner ut hvilken multiplikasjon som passer til bildet, enten 8 · 5 eller 4 · 10. Oppgaven handler om sammenhengen mellom 5- og 10-gangen. Elevene kan gjøre denne oppgaven praktisk med fingermaling eller ved å tegne rundt hendene på et ark.

3 · 5 = 15

3 · 10 = 30

#a EƱ a=ƫDƱ;Ƹ Hvor mange ganger teller du 5 fingre?

Vi tenker Mira maler med ﬁngermaling.

Hvilke multiplikasjoner passer til bildene hun har malt? ?

Differensiering: Elever som ikke kommer i gang, kan telle hvor mange fingre fire venner har til sammen. Elever som blir raskt ferdig, kan finne antall fingre på alle elevene i klassen til sammen. Se etter om elevene oppdager at 8 · 5 = 4 · 10, altså at det er en halvering av den første faktoren og en dobling av den andre faktoren.

Vi lærer Vi kan telle med 5 av gangen:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 8·5=4 400 5

Vi lærer Felles i klassen: Snakk sammen om at det er mulig å skrive disse multiplikasjonene også som 5 · 8 eller 10 · 4, altså omvendt rekkefølge på faktorene. Den mest brukte måten er nok likevel 8 · 5 og 4 · 10 fingre.

10 0

10 1 0

10 0

Vi kan også telle med 10 av gangen:

10, 20, 30, 40 4 · 10 = 40

Det dobbelte av 5 er 10.

Samtal om sammenhengen mellom 5– og 10–gangen, det dobbelte og halvparten.

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

Aktiviteter Multiplikasjonstabellen Elevene kan utforske en multiplikasjonstabell hvor produktene er skrevet systematisk i et rutenett. Det kan bidra til at elevene • får et helhetsbilde av alle tabellene • kan systematisere og oppdage mønstre i tabellen • kan utforske sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon • kan utforske sammenhengen mellom tabellene, f.eks. 2-og 4-gangen, 3- og 6-gangen og 5- og 10-gangen. 100-rutenett Elevene kan øve på å telle med fem og ti av gangen. Elevene kan bruke et 100-rutenett og øve på å telle med fem av gangen og med ti av gangen. De kan legge brikker på tallene:

99 100

Elevene oppdager kanskje et mønster og ser at tallene ender på 5 eller 0 når de teller med fem av gangen? Fortsett med å telle med ti av gangen til 100. Elevene

Hvor mange fingre har • 5 barn til sammen? • 10 barn til sammen?

Målet med oppgaven er at elevene oppdager og lærer hvordan de kan bruke sammenhengene mellom tabellene: Når den ene faktoren dobles, dobles produktet, for eksempel ved doblingen av 5- og 10-gangen, 3- og 6-gangen og 2-, 4- og 8-gangen.

50 100

Hvilke multiplikasjoner passer til spørsmålene?

7 Hvor mange femmere er det? Hvor mange er det til sammen?

·5=

8 Hvor mange tiere er det? Hvor mange kroner er det til sammen?

5 9

· 10 =

Halvparten

5 © Cappelen Damm. All kopiering forbudt.

· 10 =

60 Det dobbelte

7 Hvor mange femmere er det? I oppgavene er antallet grupper først og antallet i hver gruppe sist, men det er greit om elevene bytter på rekkefølgen av faktorene; det viser at de har forstått kommutativitet. 8 Hvor mange tiere er det? Oppdager elevene at det er like mange mynter i hver av oppgavene? Oppdager elevene at produktet dobles når den ene av faktorene dobles? La elevene forklare dette med egne ord. 9 Elevene skal tegne halvparten og det dobbelte antall kuler. Hva hvis det hadde vært 8, 6 eller 4 kuler, hva hvis det hadde vært 12, 14 eller 18 kuler, osv. Hva-hvis-oppgaver er gode for å la elevene tenke abstrakt, og de får øvelse i å beskrive og argumentere for sine ideer.

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

oppdager kanskje at tallene ender på 0? Etter hvert kan elevene telle med fem og ti av gangen forover og bakover uten støtte av 100-rutenettet. Senere kan de gjøre samme aktivitet med 3- og 6-gangen eller 2- og 4-gangen. Elevene kan jobbe med 100-rutenettet, diskutere med en læringspartner og fortelle hverandre hvilket mønster de ser.

Godterifabrikken 2 Sjokoladebitene er pakket inn i papir med fire ulike farger; det skal være ni sjokoladebiter av hver farge. Elevene kan ordne sjokoladebitene slik at ingen av samme farge er ved siden av hverandre. Bildet nedenfor viser at ingen av rutene merket med x kan ha røde sjokoladebiter. Det kan være lurt å starte med ni ruter og så bygge videre ut fra det.

Godterifabrikken 1 En godterifabrikk skal lage gaveesker til en ny type konfekt. Hver eske skal inneholde 36 sjokoladebiter plassert i rader og kolonner (kun én etasje). La elevene utforske løsninger ved å tegne eller bruke klosser/brikker. Kan de lage multiplikasjoner til de ulike løsningene? Hvor mange forskjellige typer esker kan de lage?

X X

a. Elevene kan prøve å lage esker med 36 sjokoladebiter i to, tre eller fire lag. b. Elevene kan prøve å lage esker med 24 eller 60 sjokoladebiter i hver eske.

10 Hvor mange femmere er det? Oppgaven er presentert med antall grupper først og antallet i hver gruppe sist, men den kan skrives både som 4 · 5 og 5 · 4. Det er derimot viktig at elevene forstår hvilken av faktorene som gjentas, altså at det er 5 kr som gjentas: 4 · 5 kr eller 5 kr · 4.

10 Hvor mange femmere er det? Hvor mange kroner er det til sammen?

Hva er det dobbelte av 2 · 5?

11 Tell med 5 og 10 av gangen Det er fint at elevene bruker forskjellig representasjoner når de jobber med multiplikasjon: telling, rutenett, bilder, symboler, konkreter og kontekst. Elevene kan gjerne lage flere enn ti hopp, altså hopp til 5 · 11, 5 · 12 osv. Klarer noen elever å si tallfølgene bakover? Aktiviteten kan gjøres med de andre tabellene også.

20 =

Hvor mange tiere er det? Hvor mange kroner er det til sammen?

10 2

Hva er halvparten av 4 · 10?

20 =

= ·

40 =

11 Tell med 5 og 10 av gangen. +5

0 + 10

10 + 10

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

15 20 25 30 35 40 45 + 10

+ 10

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

+ 10

20 30 40 50 60 70 80 90

Samtal om sammenhengen mellom 5– og 10–gangen. Ser elevene et mønster?

100

Elevene kan først presentere noen av løsningene muntlig, eller de kan tegne på minitavler eller papir. Oppmuntre elevene til å dele noen av ideene sine, først med en læringspartner og deretter med hele klassen. Dere kan sammen bestemme om det skal være noen begrensninger, for eksempel om dropsene kan ha forskjellige former eller forskjellige størrelser. Elevene trenger å ha fargeblyanter og ruteark tilgjengelig. De trenger også brikker eller klosser som representerer sjokoladene, sånn at de kan prøve seg fram med å ordne de 36 sjokoladene i rader og kolonner. Elevene kan tegne og skrive løsningene på store ark. Arkene kan henges på en vegg vertikalt. Elevene kan gå rundt å se hverandres løsninger, og én og én gruppe kan få fortelle og vise hvordan de har tenkt. Elevene kan oppfordres til å stille spørsmål til gruppen som presenterer. Eksempel på spørsmål som du kan stille mens elevene jobber med aktiviteten: • Hvordan kan dere plassere 36 sjokolader i en rektangulær eske?

• Hvordan kan dere plassere 36 sjokolader i en kvadratisk eske? • Er det flere måter? • Hva kan du si om tallet 36? Hvilke multiplikasjoner har svaret 36? • Hvordan vet du at du har funnet alle løsningene? • Hvordan kan dere fargelegge slik at ingen sjokolader av samme farge er ved siden av hverandre?

12 En kjærlighet koster 5 kr.

12 En kjærlighet koster 5 kr Det er viktig at elevene får erfare at multiplikasjonstabellene fortsetter over ti. De skal derfor finne ut hvor mange kroner elleve kjærligheter koster til sammen.

Hvor mange kroner koster

3 5 9 11

3 kjærligheter? 5 kjærligheter? 9 kjærligheter? 11 kjærligheter?

· · · ·

5 5 5 5

15 kr = 25 = 45 kr = 55 kr =

13 Et beger popkorn koster 10 kr Samtal gjerne med elevene om hvor benevningen skal skrives og hvilke av faktorene som gjentas, for eksempel: 4 · 10 kr = 10 kr + 10 kr + 10 kr + 10 kr.

13 Et beger popkorn koster 10 kr. Hvor mange kroner koster 2 begre? 4 begre? 7 begre? 12 begre?

2 4 7 12

10 · 10 · 10 · 10 ·

20 kr = 40 kr = 70 kr = 120 kr =

10 kr

14 Regn ut I oppgavene er det fint om elevene bruker sammenhengen mellom tabellene. Hvis de vet at 3 · 5 = 15, så er 4 · 5 = 20, altså en femmer mer. Hvis de vet at 4 · 5 er 20, så er 4 · 10 = 40, altså dobbelt så mange. Bruk gjerne konkreter for å vise denne sammenhengen.

3 · 5 = 15 3 · 10 = ?

14 Regn ut.

15 3 · 10 = 30 3·5=

20 4 · 10 = 40 4·5=

35 0 7 · 10 = 70 7·5=

• Kan dere telle med ti av gangen på rutenettet, forover og bakover? • Kan dere telle med fem av gangen på rutenettet, forover og bakover? • Tror dere 50 skal fargelegges? Hvorfor? Hva med 51?

Fargelegg 5– og 10–gangen i et 100–rutenett. Hvilket mønster ser dere?

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

klosser som konkretiseringsmateriell. Når klossene er gruppert, kan de sammenliknes med multiplikasjonene 3 · 8 = 24 eller 6 · 4 = 24. Gjenta aktiviteten med et ulikt antall klosser.

Like grupper Del ut et antall konkreter til elevene. Be dem om å dele konkretene opp i grupper med like mange i hver gruppe. Gi elevene for eksempel 15 klosser og be dem om å dele inn klossene i grupper med tre/fem klosser i hver gruppe.

Hvor mange multiplikasjoner? Elevene kan jobbe sammen. De trenger konkretiseringsmateriell, for eksempel klosser, knapper eller brikker. Elevene kan utforske hvor mange multiplikasjoner de kan lage med 15 klosser. Noen vil kanskje legge opp klossene i hauger med tre klosser i hver haug. Utfordre elevene ved å stille spørsmål: • Hvor mange hauger blir det? • Hvor mange klosser er det i hver haug? • Hvor mange klosser er det til sammen?

Forslag til spørsmål: • Hvor mange grupper blir det? • Hvor mange klosser blir det i hver gruppe? Del også inn 15 klosser i grupper med 4 klosser i hver gruppe. Blir det noen klosser til overs (rest)? Det er fint at elevene får erfaring med dette også. Elevene kan skrive divisjonen som passer til, slik at det de gjør praktisk, knyttes til symbolene. La gjerne elevene komme med forslag til regnefortellinger som passer til multiplikasjonene og divisjonene. Elever som trenger mer utfordring, kan gjerne få et stort antall klosser. Videre kan elevene arbeide i små grupper og diskutere på hvilke ulike måter 24 barn kan deles inn i like store grupper. Elevene kan bruke

Noen bruker kanskje begrepene gjentatt addisjon, antall grupper, antall i hver gruppe og multiplikasjon? De kan skrive regnestykket både som gjentatt addisjon, 3 + 3 + 3 + 3 + 3, og som multiplikasjon, 5 · 3. Noen vil kanskje legge fem klosser i tre hauger, mens andre kanskje legger klossene i rader og kolonner? Ser

For å finne et produkt i 9-gangen kan elevene gå veien om 10-gangen: «Jeg vet at 10 · 5 er 50, da er 9 · 5 = 45, altså en femmer mindre / trekke fra en femmer».

15 Øv på 5-gangen og 10-gangen Elevene kan bruke tellekompetansen sin: Hvis de vet at 3 · 5 = 15, så er 4 · 5 =20, altså en femmer mer. De kan også bruke kompetansen sin om doblinger: Hvis de vet at 4 · 5 er 20, så er 4 · 10 = 40 det dobbelte. Begge måtene er gode og nyttige strategier i multiplikasjon. 16 En bil har fire hjul I denne oppgaven kan elevene bruke sin kunnskap om kommutativitet og gjøre erfaringer med 4-, 5- og 10-gangen når de løser oppgavene. Elevene trenger kanskje visuell støtte, for eksempel et rutenett med 4 · 5 ruter og 4 · 10 ruter.

Hvordan kan dere finne ut hva 9 · 5 er? Hvor mange flere kuler er 10 · 5 enn 9 · 5?

10 · 5

15 Øv på 5–gangen og 10–gangen.

30 35 40 45

6·5= 7·5= 8·5= 9·5=

6 · 10 = 7 · 10 = 8 · 10 = 9 · 10 =

60 70 80 90

16 En bil har 4 hjul. Hvor mange hjul har 5 biler til sammen?

4 = 20 5 biler har 20 hjul til sammen. ·

Hvor mange hjul har 10 biler til sammen?

10 biler har

40 hjul til sammen.

Elevene kan gjerne bruke kulene i ?–oppgaven når de løser oppgave 15.

50 10 · 10 = 100 0·5= 0 10 · 0 = 0 10 · 5 =

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

elevene at det er fem brikker i hver rad og tre brikker i hver kolonne?

Samtal om hvordan dere på denne måten kan se at multiplikasjon er kommutativt. Gjenta aktiviteten med gode tall som f.eks. 24 eller 36 brikker.

Regnefortelling Elevene kan representere oppgavene med konkreter (klosser eller brikker) og med symboler (multiplikasjon). Lag ulike muntlige oppgaver som inneholder en multiplikasjonsstruktur. Eksempel: • Tre barn plukker fire epler hver. Hvor mange epler plukker barna til sammen? • Olga får 5 kr hver gang hun går tur med hunden. Hun går tur tre dager på rad. Hvor mange kroner tjener hun til sammen? • Mattis, Jon og Mira har ti klistremerker hver. Hvor mange klistremerker har de til sammen?

17 Hvor mange sprettballer er det til sammen i 10 poser?

17 Hvor mange sprettballer? I oppgavene jobber elevene med ulike representasjoner: tekst, bilder og symboler. Bruk gjerne konkreter også. Elevene skal også gjøre erfaringer med hva som er gruppen, og hva som er antallet i gruppen. Det er fint om du lager flere tilsvarende oppgaver. • Hvor mange poser er det? • Hvor mange sprettballer er det i hver pose? • Hvor mange sprettballer er det til sammen?

Det er 3 sprettballer i en pose.

Det er

sprettballer til sammen.

Det er 10 egg i en kartong. Hvor mange egg er det til sammen i 6 kartonger?

Det er

Regnestykket kan skrives 10 · 3 sprettballer eller 3 sprettballer · 10.

egg til sammen.

Hvor mange bein har 5 edderkopper til sammen? En edderkopp har 8 bein.

5 edderkopper har

bein til sammen.

18 Mira sparer 10 kr hver uke i 8 uker. Hvor mange kroner sparer hun til sammen?

Hun sparer

kr til sammen.

Jon sparer halvparten så mange kroner som Mira. Hvor mange kroner sparer han i løpet av 8 uker?

Jon sparer

kr til sammen.

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

18 Mira sparer I oppgavene jobber elevene med representasjonene tekst og symboler. Noen elever vil også trenge visuell og konkret støtte. Legg merke til om elevene bruker sammenhengen mellom 5- og 10-gangen når de løser oppgavene. Forstår de begrepet «halvparten»? Matematikk kan uttrykkes muntlig på ulike måter, for eksempel: • Fire kurver med fem pærer i hver kurv er til sammen tjue pærer. • Fire grupper med fem i hver gruppe. • Fire femmere. • 4 · 5 = 20

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

Rutenett 1 Tegn rutenett som passer til multiplikasjonsstykkene. Lag tekstoppgaver til multiplikasjonsstykkene.

6·7

9·6 8·7

Rutenett 2 Elevene trenger rutepapir med kvadratiske små ruter. Elevene kan selv tegne vilkårlige firkanter på rutepapir og ved hjelp av multiplikasjon finne ut hvor mange ruter firkantene består av.

10 · 7 6·6

19 Skriv tallene som mangler i tallfølgen Oppgavene på siden har en progresjon: først jobber elevene med å telle 5 og 10 av gangen, så teller de med støtte i et rutenett, og så finner de svarene ved å hoppe med 5 og 10 av gangen på tallinja. Det er fint hvis elevene øver på å telle med 2, 3, 4, 5, 6 og 10 av gangen.

Øve 1 19 Skriv tallene som mangler i tallfølgen. 5

10 0

15 15

20 20

25 25

300

35 5

400 45 5

50 50

10 10

20 20

300

400

50 50

6600

700

800 8

1 0 10

9900

20 Fargelegg svarene i 5–gangen og 10–gangen.

20 Fargelegg svarene i 5- og 10-gangen • Kan elevene telle muntlig med 5 og 10 av gangen, forover og bakover? • Klarer de å forutse hvilke tall som er det neste de skal fargelegge, uten å telle én og én? • Gjenkjenner de hvilke tall som er (produkter) i 5- og 10-gangen? • Gjenkjenner de hvilke tall som ikke er (produkter) i 5- og 10-gangen?

Tegn ring rundt svarene i 10–gangen.

21 Multipliser med 5. Se på tallinja.

21 Multipliser med 5 Legg merke til om elevene forstår sammenhengen mellom hoppene på tallinja og multiplikasjon: 2 · 5 er to ganger med femmere, altså 5 + 5. (Eventuelt 5 · 2, altså femmere to ganger).

2·5= 4·5= 7·5=

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

10 20 35

8·5= 6·5= 3·5=

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

40 30 15

9·5= 1·5= 0·5=

45 5 0

Festen Sofie setter ut bord til en skolefest. Det kommer 54 stykker. Det er plass til fire stykker rundt hvert bord. Hvor mange bord må Sofie sette ut? Hva hvis det kommer flere på festen? Elevene kan tegne bord og stoler og telle seg fram til løsningen, de kan tenke addisjon (4 + 4 + 4 + …), eller de kan bruke sine kunnskaper om multiplikasjon. Sofie i oppgaven kan sette ut 14 bord; da blir det 2 ledige plasser, eller hun kan sette ut 13 bord; da må 2 elever sitte sammen med noen andre.

22 Multipliser med 5 og 10 I oppgaven jobber elevene med å bruke sammenhengen mellom 5- og 10-gangen.

Øve 2 22 Multipliser med 5 og 10.

30 7 · 5 = 35 0 · 10 = 0 8 · 10 = 80

70 2 · 5 = 10 2 · 10 = 20 5 · 5 = 25

3 · 10 =

7 · 10 =

45 9 · 10 = 90 6 · 10 = 60 10 · 10 = 100 9·5=

23, 24 og 25 Tekstoppgaver I oppgavene jobber elevene med representasjoner som kontekst, tekst og symboler. Elevene kan også jobbe med konkreter eller tegne. De kan selvfølgelig velge om de vil skrive 7 · 5 eller 5 · 7. Elevene kan lage tilsvarende tekstoppgaver til hverandre og bruke ulike representasjoner: kontekst, tegninger, konkreter og symboler.

23 Det er 7 seigmenn i en pose. Hvor mange seigmenn er det i 5 poser? 10 poser?

5 · 7 10 · 7

35 seigmenn = 70 seigmenn

24 En sykkel har 2 hjul. Hvor mange hjul har 5 sykler? 10 sykler?

5 10

· ·

2 2

10 hjul = 20 hjul

25 Farfar baker 6 paier. Han deler hver pai i 10 biter. Hvor mange biter er det til sammen?

6 Det er

10 = 60 60 biter til sammen.

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

Det er fint at oppgavene knyttes til kontekster, f.eks. at en blyant koster 5 kr. Hvor mange kroner koster to blyanter? Fire blyanter? Åtte blyanter? Elevene trenger konkreter som støtte når de jobber med denne typen oppgaver. Ett viskelær koster 6 kr. Hvor mange kroner koster fire viskelær? Åtte viskelær? En penn koster 10 kr. Hvor mange kroner koster fire penner, åtte penner? Elevene kan samtidig som de jobber med multiplikasjon, øve på å telle muntlig, både med og uten støtte av 100-rutenettet. Elevene må erfare at de for eksempel finner svaret på 8 ∙ 2 ved å telle med 2 av gangen (2, 4, 6, 8,10, 12, 14, 16) og svaret på 4 ∙ 4 ved å telle med 4 av gangen (4, 8, 12, 16). Elevene kan utforske 2-gangen, 4-gangen og 8-gangen i et 100-rutenett. Det er fint å jobbe med begrepene dobbelt og halvparten når en utforsker sammenhengen mellom 2-, 4- og 8-gangen. Elevene kan tydelig se sammenhengen på en oversikt med alle tabellene. Det er verdifullt at de får konkrete erfaringer og gis muligheten til å danne seg visuelle bilder av disse gode sammenhengene i multiplikasjon. Elevene kan også bruke konkreter og legge ut f.eks. tre

2- og 4-gangen Et mål er at elevene utvikler flere strategier i multiplikasjon, og at de lærer hvordan de kan bruke sammenhengen mellom tabellene. Det vil si at de gjør sine egne erfaringer med at når den ene faktoren i en multiplikasjon dobles, så dobles produktet, for eksempel doblingen av 2-, 4- og 8-gangen. 2 · 5 = 10 4 · 5 = 20 8 · 5 = 40

2 · 5 = 10 4 · 5 = 20

8 · 5 = 40

Vi tenker Start med at elevene sammen med en læringspartner tenker over hvor mange par sko det er plass til i to hyller og i fire hyller. Oppgaven handler om sammenhengen mellom 2- og 4-gangen og denne strategien: «Når den ene faktoren i en multiplikasjon dobles, dobles også produktet.»

a EƱ "a=ƫDƱ;Ƹ Vi tenker Mira rydder skoene i gangen. Det er plass til 3 par sko i hver hylle. Hvor mange par sko er det plass til i 2 hyller? Hvordan kan hun ﬁnne ut hvor mange par ar sko det er plass til i 4 hyller?

Differensiering: Elever som ikke kommer i gang, kan bruke konkreter som representerer skoene, eller tegne skohyller og sko. Elever som er raskt ferdige, kan finne ut hvor mange skopar de tror det er plass til i åtte hyller, seksten hyller?

Et par sko har to sko. Hvor mange sko er det til sammen?

Vi lærer

Vi lærer Felles i klassen: Elevene studerer tegningen i boka og forklaringen som blir presentert, og sammenlikner med sine egne løsninger. Elevene kan bruke sammenhengene: Når de vet at 2 · 8 = 16, kan de vite at 4 · 8 = 32. Elevene kan ha 24 klosser. Da kan de sette sammen to og to klosser for å «bygge antall skopar», eller de kan tegne sko og skohyller.

2 hyller med 3 par sko i hve er:

2·3=6 Det er plass til 6 par sko. 4 hyller med 3 par sko i hve er:

4 · 3 = 12 12 Det er plass til 12 par sko.

Samtal om sammenhengen mellom 2– og 4–gangen, det dobbelte og halvparten.

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

Det er dobbelt så mange sko som det er pa ar med sko.

brikker i to rader: 2 ∙ 3. Så kan de doble antallet til fire rader: 4 ∙ 3. Deretter kan de igjen doble antall til åtte rader: 8 ∙ 3.

Aktiviteter Klosser/brikker Elevene kan starte med å legge ut to klosser/brikker av gangen og skrive ned multiplikasjonen som hører til, for eksempel:

2 rader 4 rader 2∙1=2 8 rader

2∙2=4

2∙3=6

Elevene kan gjøre samme aktivitet med fire og fire klosser/brikker.

2·3=6 4 · 3 = 12 8 · 3 = 24

Til denne oppgaven er det fint om elevene bruker konkreter. De kan også tegne/skrive. Elevene kan også øve på å forklare hva kommutativitet er, for en læringspartner. Legg merke til hvordan elevene legger brikkene i grupper, for eksempel to grupper med fire brikker i hver gruppe eller fire grupper med to brikker i hver gruppe (gjentatt addisjon). Legger noen elever klossene i et rutenett, med rader og kolonner? Få fram begge disse strukturene i oppsummeringen. Legg gjerne vekt på disse fire kombinasjonene og multiplikasjonene: 2 · 4 drops 4 · 2 drops 4 drops · 2 2 drops · 4

Mira og Jon får 4 drops hver. Jon sier at det blir samme antall drops til sammen som hvis 4 barn får 2 drops hver. Hva mener han? Tegn og skriv multiplikasjoner som passer til.

4·2=8 2·4=8

26 Hvor mange er det? Skriv som multiplikasjon.

Samtal om benevningens rolle i rekkefølgen på faktorene.

26 Hvor mange er det? Samtal gjerne med elevene om hvor en benevning skal skrives. Det er viktig at elevene forstår hvilken av faktorene som gjentas, for eksempel at det er 5 · 2 kirsebær, som er det samme som 2 kirsebær · 5.

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

klosser helt opp til 2 ∙ 10, og gjerne lenger. Det er fint at elevene får erfaringer med at multiplikasjonstabellen ikke «stopper» ved 10-gangen. De kan fortsette med samme aktivitet og fire og fire klosser.

Lage tabell Elevene kan sammen med en læringspartner lage en tabell der de skriver inn produktene i 2- og 4-gangen. Noen kan kanskje også finne produktene i 8-gangen. 1

Rektangel Elevene kan utforske videre og for eksempel sette sammen klossene til et rektangel:

2-gangen 4-gangen 8-gangen

Addisjon og multiplikasjon Elevene kan starte med å legge ut fire grupper med to klosser i hver gruppe:

Elevene kan representere rektangelet som addisjon og som multiplikasjon: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 og 5 + 5 eller 2 ∙ 5 og 5 ∙ 2. På denne måten utforsker elevene de kommutative egenskapene ved multiplikasjon og sammenhengen mellom multiplikasjonene: Når de vet at 2 ∙ 5 klosser er 10 klosser til sammen, vet de også at 5 ∙ 2 klosser er 10 klosser til sammen.

Så kan elevene representere klossene/brikkene både som addisjon og multiplikasjon: 2 + 2 + 2 + 2 og 2 ∙ 4. De kan fortsette med samme aktivitet og legge til to

27 Hvor mange firere er det? I læreverket skriver vi oftest antall grupper først og antall i hver gruppe sist, men det er helt greit at elevene bytter på å skrive for eksempel 3 · 4 og 4 · 3. Elevene har også lært den kommutative lov for multiplikasjon. Det er derimot viktig at de forstår hvilken av faktorene som gjentas, altså at det er 4 prikker · 3, eller 3 · 4 prikker.

27 Hvor mange ﬁrere er det?

2·4=

8 4

Det er fint om elevene har klosser/brikker og et ruteark tilgjengelig, gjerne med litt store kvadratiske ruter, slik at de også kan tegne ulike rutenett på arket. Mulige løsninger: Elevene kan først lage tre grupper med fire klosser i hver gruppe (3 · 4), så kan de lage én gruppe med fire klosser (gjentatt addisjon). De kan også lage fire grupper med tre klosser i hver gruppe. Elevene kan først tegne et rutenett med 3 · 4 ruter, så kan de tegne på en rad til.

7 4

Hvordan kan dere bruke 2 · 4 for å finne ut hva 4 · 4 og 8 · 4 er?

Mattis vet at 3 · 4 = 12. Hvordan kan han bruke det for å finne ut hva 4 · 4 er?

Doble Legge til 4.

Samtal om og se på illustrasjonene 2 · 4 og 4 · 4. Ser elevene sammenhengen (at det er en dobling)? Ser de mønsteret mellom 3 · 4 og 4 · 4?

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

28 =

100-rutenett Hver elev har et 100-rutenett. Dere kan også bruke 50-rutenett. Elevene kan starte med å fargelegge alle svarene i 2-gangen med samme farge. Så kan de farge alle svarene i 4-gangen med en annen farge. Hvilket mønster oppdager elevene? Oppdager noen elever at det er bare er partallene som er fargelagt? Fortsett med å farge svarene i 8-gangen med en tredje farge. Hvis det er elever som trenger en ekstra utfordring, kan de gjerne jobbe på samme måte med flere av multiplikasjonstabellene.

Lage to multiplikasjoner Elevparene trenger en bunke med kort med tallene 2, 4, 6, 8, 10, 12 og 20 skrevet på. Elevene skal trekke ett kort av gangen og lage to multiplikasjonsstykker. Hvis en elev trekker for eksempel tallet 12, så kan han/hun skrive 2 ∙ 6 og 6 ∙ 2. Aktiviteten kan også gjøres muntlig. Hvor mange egg er det? I løpet av to dager legger to høner fem egg. Hvis dette stemmer for alle høner, hvor mange egg vil da fire høner legge i løpet av fire dager? Elevene kan finne svaret ved å lage en tabell og starte med å doble dagene. La elevene se at også eggene dobles da. Deretter kan de doble hønene; det fører igjen til at eggene dobles. Dager

Høner

Egg

28 Hvor mange vinger er det til sammen? Antall fugler

Antall vinger

14 18

28 Hvor mange … Det er fint om elevene oppdager at det er effektivt å telle med 2 og med 4 av gangen. Snakk gjerne om sammenhengen mellom tabellene, for eksempel at når den ene faktoren i et multiplikasjonsstykke dobles, så dobles produktet. Ser de denne sammenhengen mellom de to tabellene?

Hvor mange bein er det til sammen? Antall hester

Antall bein

12 28 36

29 Skriv to multiplikasjoner Ut fra illustrasjonene skal elevene lage en multiplikasjon med 2-gangen og en multiplikasjon med 4-gangen. Hvilke multiplikasjoner passer til tegningen med de blå og lilla kulene?

29 Skriv to multiplikasjoner som passer til kulene.

8 4

·2= ·4=

16 16

6 3

·2= ·4=

30 Gjør ferdig tallfølgen I oppgaven øver elevene på å telle med 2 og 4 av gangen. Ha gjerne som mål mens dere jobber med kapittelet at flest mulig skal kunne telle med 2, 3, 4, 5 og 10 av gangen.

12 12

30 Gjør ferdig tallfølgen. 2

10 10

12 12

14 14

166

18 18

12 2

16 16

200 2

24 24

28 28

32 32

366 3

40 40

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

Fotballkort Mattis samler på fotballkort. Han vil finne ut hvor mange fotballkort han har samlet i permen sin. Han har fylt opp åtte sider i permen, og på hver side er det plass til fire kort. Elevene kan vise hvordan han kan finne det ut. De kan bruke mange forskjellige representasjoner når de løser oppgaven: De kan bruke konkreter, tegne et bilde, beskrive med ord hvordan de har tenkt, eller bruke symbolene (addisjon og multiplikasjon). Når de har prøvd selv, kan de vise og fortelle hverandre hvordan de har løst oppgaven.

31 Hva hører sammen? Elevene kan gjerne lage flere multiplikasjoner som kan passe til illustrasjonene. De kan tegne ring rundt de gruppene de lager, for eksempel illustrasjonen med de 16 lilla kulene: 1 · 16, 16 · 1, 4 · 4, 2 · 8, 8 · 2. 32 Hvor mange bein er det? Ser elevene sammenhengen i tabellen? Oppdager elevene mønsteret, hvordan fortsetter mønsteret? Hva hvis det er 32 ørner eller 64 ørner? Elevene kan gjerne skrive/si multiplikasjonen som «hører til» hver oppgave. 33 Tegn ring rundt svarene i 2- og 4-gangen Oppdager elevene at produktene i 4-gangen også er med i 2-gangen? De kan diskutere og begrunne hvorfor det er sånn. Elevene kan gjerne bruke konkreter eller tegne når de jobber med oppgaven.

Jeg brukte legoklosser for å finne svaret.

= 20

Gjennom denne aktiviteten viser elevene at de har dybdeforståelse av multiplikasjon. Ved å bruke forskjellige representasjoner av multiplikasjon i denne oppgaven får elevene mulighet til å oppdage den underliggende strukturen for multiplikasjon.

Øve 1 31 Hva hører sammen? Tegn strek.

4·4

2·3

32 Hvor mange bein er det? Antall ørner

Antall bein

16 6

16 32 2

33 Tegn ring rundt svarene i 2– og 4–gangen.

29 24

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

4·2

8·2

5 15

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

Du kan introdusere oppgaven uten å forklare for mye. Elevene kan få to minutter med tenketid på egen hånd, deretter tid til å jobbe i par. Legg vekt på at det ikke handler om å finne svaret raskt, men at målet er at elevene kan representere multiplikasjon på ulike måter. Når elevene har jobbet med oppgaven en stund, kan du vise hvordan oppgaven kan løses med de forskjellige representasjonene. Rekkefølgen spiller ingen rolle, men du kan velge å starte med en måte som mange av elevene har valgt. Elevene trenger tid til å studere løsningene og sammenlikne dem med sin egen. Hva er likt? Hva er forskjellig?

34 Hva hører sammen? I denne oppgaven er multiplikasjonene uttrykt på ulike måter. Oppsummer gjerne oppgaven felles i klassen. Da er det ofte lettere å få til en klassesamtale der elevene får øvelse i å bruke det matematiske språket og samtidig innsikt i hvordan andre elever tenker. Kommunikasjon og argumentasjon er viktige kjerneelementer i LK20, fagfornyelsen.

Øve 2 34 Hva hører sammen? Tegn strek.

9·4

4 gr g upppe p r med 4 med me

4 · 100

166

3 32

Forslag til flere oppgaver Elevene kan lage multiplikasjoner selv, for eksempel: • Hvilke multiplikasjoner har svaret 15? Svar: 3 · 5, 5 · 3, 1 · 15 og 15 ·1 • Lag multiplikasjoner som har svaret 12.

4·8 3 36

6 gr gru rup uppeer med me ed 4

3·4

* Ág Á ZggZ

24 4

12 2

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

3- og 6-gangen

4·7=?

Distributive egenskaper i multiplikasjon Det er et mål at elevene utvikler flere strategier i multiplikasjon, og at de kan bruke de distributive egenskapene i multiplikasjon. Elevene kan f.eks. utforske ved hjelp av konkreter hvordan de kan dele opp multiplikasjoner.

4 · 4 = 16 4 · 3 = 12 4 · 4 + 4 · 3 = 28 En annen måte å illustrere dette på er å bruke rutenett.

4·7=? 4 · 4 = 16

4 · 3 = 12

13 · 7 = 10 · 7 + 3 · 7

4 · 4 + 4 · 3 = 28

I eksempelet deles 13 i 10 + 3, og så multipliseres både 10 og 3 med 7. Dette kan forklares ved hjelp av konkreter, for eksempel penger. Vi kan tenke oss at sju barn

Vi tenker Start med at elevene tenker og snakker med en læringspartner. Elevene skal oppdage og utforske strategien «legge til en gruppe/ rad», altså (2 · 3) + (1 · 3). Elevene gjør seg da erfaringer med å bruke distributive egenskaper ved multiplikasjon.

!a EƱ $a=ƫDƱ;Ƹ Hva er 4 · 3?

Vi tenker Olga vet at 2 · 3 = 6. Hvordan kan hun da regne ut 3 · 3?

Differensiering: Elever som ikke kommer i gang, kan gjerne bruke klosser og legge dem i rader med tre og tre klosser i hver rad, eller de kan tegne på ruteark. Elever som blir raskt ferdige, kan øve på å tegne og forklare for en fantasivenn, f.eks. Mosse (som ikke har forstått dette).

Vi lærer For å regne ut 3 · 3 legger hun til 3 til.

Vi lærer Felles i klassen: Elevene kan studere tegningen og forklaringen som blir presentert, og sammenlikne den med det de selv har kommet fram til. Hva er likt/forskjellig? Prøv å forklare med egne ord hvordan Olga regner ut 3 · 3 og 4 · 3. Hvordan kan Olga bruke denne strategien for å regne 5 · 3, 6 · 3 osv.?

4 · 3 er 3 til.

2·3=6 3·3=6+3 3·3=9

3·3=9 4·3=9+3 4 · 3 = 12

Samtal om å legge til eller trekke fra en rad. Hvilke multiplikasjoner er 3 mer eller tre mindre?

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

får 13 kr hver. Hvert barn får 1 tier og 3 kronestykker. Til sammen får de 10 · 7 + 3 · 7 kr. Senere vil elevene lære at når de regner med store tall, så er det uhensiktsmessig å tegne alle rutene. Da kan de bruke et tomt rutenett:

10 · 7

3·7

Assosiative egenskaper (a · b) · c = a · (b · c)

Vi kan også se antallet prikker som fire kolonner med seks prikker i hver kolonne (tre i den ene delen og tre i den andre). Dette kan representeres med symboler: 4 · (3 + 3) = 4 · (2 · 3). Siden antallet er det samme uansett hvordan vi ser det, betyr det at (4 · 3) · 2 = 4 · (3 · 2). Kommutativitet og assosiativitet gjør at tre faktorer kan multipliseres i hvilken som helst rekkefølge, svaret blir det samme uansett: 4 · 3 · 2 = (4 · 3) · 2 = (3 · 4) · 2 = 4 · (3 · 2) = 3 · (4 · 2) = osv.

Assosiative egenskaper En måte for å dele opp en multiplikasjon og se antall prikker er å se at bildet består av to deler. I hver av delene er det fire kolonner med tre prikker i hver, altså 4 · 3 prikker. Antall prikker totalt kan da uttrykkes som multiplikasjon: (4 · 3) · 2

Illustrasjonene viser hvordan elevene kan dele opp en stor multiplikasjon i to mindre for å regne ut antall seter i kinosalen. Elevene bruker da de distributive egenskapene til multiplikasjon. Legg merke til om det er noen elever som teller én og én rute når de skal finne ut antall seter. Veiled dem til å bruke multiplikasjon. Elevene kan gjerne skrive svaret til hver enkelt delmultiplikasjon. Hvor mange seter er det totalt i kinosalen? Elevene kan gjerne få utdelt et ruteark og tegne ulike rutenett for å løse oppgaven.

Mattis synes det er lettere å finne antall seter i kinosalen når han deler kinosalen opp i 4 · 3 + 5 · 3 seter. Hvorfor tror dere han synes det? Hvordan kan han dele opp kinosalen på andre måter?

35 Hvordan er antallet seter delt opp? Regn ut.

4·3=

12 ·

4·3=

6·3=

= 24

18 ·

2·3=

35 Hvordan er antallet seter … Elevene skal nå anvende det de lærte i forrige oppgave. Legg merke til om det er noen elever som teller én og én rute for å løse oppgaven. Veiled dem til å bruke multiplikasjon. Hvor mange seter er det totalt i de ulike oppgavene? For å få fram de kommutative egenskapene kan dere samtale om hvordan elevene skriver multiplikasjonene. Skriver de den nederste oppgaven som 1 · 8, 2 · 8 og 3 · 8 = 24?

= 24

8 ·3

Hvilke andre måte er kan du dele opp p kinosalen på?

Samtal om hvordan elevene foretrekker å dele opp for å ﬁnne antall seter. Hvorfor foretrekker de sin måte?

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

Multiplisere med 0 Det kan være fint å samtale om multiplikasjon med 0. Elevene kan fundere på hva svaret på 0 ∙ 6 kan være. Hva er forskjellen mellom 0 ∙ 6 og 6 ∙ 0? Elevene kan gjerne prøve å illustrere forskjellen eller lage regnefortellinger med multiplikasjon med 0. For å forstå multiplikasjon må elevene tenke helheter, som for eksempel tre firere eller seks femmere. Forståelse av multiplikasjon avhenger for det første av elevenes evne til å se en gruppe objekter som en enhet. Uten denne evnen vil de ikke se behovet for å operere med grupper på tre, fem eller åtte objekter, og de vil ofte blande addisjon og multiplikasjon. Elevenes multiplikative tenkning utvikles når de etter hvert ikke trenger å telle hvert enkelt objekt: Elevene fokuserer ikke på antallet i hver enkelt gruppe, men gruppen oppfattes som en enhet. Lag gjerne en utstilling i klasserommet som illustrerer/ konkretiserer multiplikasjon. Elevene kan få i oppgave å ta med ulike ting hjemmefra.

36 Hvor mange treere er det? I læreverket skriver vi oftest antall grupper først og antallet i hver gruppe til sist, men det er helt greit at elevene bytter på å skrive 2 · 3 eller 3 · 2. Elevene har også lært den kommutative lov for multiplikasjon. Det er derimot viktig at elevene forstår hvilken av faktorene som gjentas, altså at det er 3 prikker · 2 eller 2 · 3 prikker.

Ruteark 10

x x x x

Hvor mye er 10 ∙ 5? Hvor mye er 4 ∙ 5? Hvor mye er 14 ∙ 5? Hvor mange ruter er det i rutenettet til sammen?

Gi gjerne elevene flere regnestykker de må løse på denne måten, altså ved å dele store rutenett opp i mindre deler, slik at de kan bruke kjente multiplikasjonsstykker for å regne ut det totale antallet ruter. Det er ofte hensiktsmessig å dele opp rutenettet slik at en kan bruke 10-gangen, fordi mange elever synes det er lett å multiplisere med 10. Elevene kan også dele opp rutenettet på andre måter.

36 Hvor mange treere er det?

1·3=

Hvilken sammenheng ser du mellom 5 · 3 og 6 · 3?

2·3=

6 3

37 Velg tall selv Elevene kan velge tall selv, de trenger ikke velge 3-gangen. Oppsummer gjerne denne oppgaven, og skriv gjerne opp alle multiplikasjonene som klassen har lagd. Forslag til ekstra aktiviteter Muntlige aktiviteter som fokuserer på sammenhengen mellom tabellene: • Du vet at 3 · 7 er 21, hvor mye er da 4 · 7? (Én sjuer mer) • Du vet at 2 · 6 er 12, hvor mye er da 4 · 6? (Dobling av 2- og 4-gangen) • Du vet at 3 · 5 er 15, hvor mye er da 3 · 10? (Dobling av 5- og 10-gangen)

Aktiviteter

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

Ulike svar =

Samtal om at du legger til 3 for hver gang.

37 Velg tall selv, og skriv multiplikasjonen.

Terningspill To og to elever spiller sammen. Hvert elevpar trenger en terning (1–6 eller 1–9). Eleven som starter, kaster terningen og tegner like mange sirkler som antall øyne terningen viser. Hvis terningen viser for eksempel fire øyne, tegner eleven fire sirkler. Så er det den andre elevens tur til å gjøre det samme. Deretter kaster den første eleven terningen igjen. Denne gangen skal han/ hun tegne inn antallet i hver gruppe. Hvis terningen viser for eksempel tre øyne, tegner han/hun tre kryss i hver sirkel:

X X X

+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

Elevene skal videre finne ut hvor mange kryss det er til sammen og skrive multiplikasjonsstykket som hører til. Den eleven som får flest kryss i en omgang, får ett poeng.

38 Fargelegg riktig antall ruter og regn ut.

3·3=

3·4=

3·5=

39 Del opp og regn ut.

3·6=

6·6=

Hoppe på tom tallinje Elevene kan telle med 2, 3, 4, 5, 6 og 10 av gangen ved å tegne hoppene på tomme tallinjer i kladdeboka eller på en minitavle. Det bør være blanke ark i kladdeboka, ikke ruter. Rutene medfører ofte at elevene teller én og én rute og ikke forholder seg til gruppene. Be elevene om å tegne hopp på tomme tallinjer. Elevene skal starte på null hver gang, og etter hvert hopp kan de skrive på hvor de langt de hoppet. Hvilket tall lander du på etter tre, fem, sju, ti, … hopp? Hvor mye er 3 + 3 + 3? Hvor mange ganger med treere er det?

Treerhopp på tom tallinje. Elevene kan gjerne hoppe mer enn ti hopp. Mange elever har ofte en misoppfatning av at multiplikasjonstabellen ikke går høyere enn ti. Det er derfor en fordel

38 Fargelegg riktig antall ruter I oppgavene på sidene bruker vi ulike representasjoner: rutenett, kuler, tekst og symboler. Det er fint om elevene i tillegg bruker konkreter og tegner eller klipper opp rutenett. Elevene kan vise rutene de har fargelagt, og forklare læringspartner hvordan de tenkte. 39 Del opp og regn ut Oppdager og bruker elevene sammenhengen mellom 3- og 6-gangen? Samtal om hvordan elevene kan bruke strategiene i multiplikasjon, for eksempel å doble 2-, 4- og 8-gangen og 3- og 6-gangen eller å dele opp multiplikasjoner i mindre deler og regne dem hver for seg.

40 Skriv og tegn en regnefortelling til 4 · 3. 4·3=

40 Skriv og tegn en regnefortelling For eksempel: Det er tre gutter som baker fire muffins hver, eller det er tre biler med fire hjul på hver bil. Legg også vekt på benevning: Hva er det som gjentas, er det tre gutter som baker fire muffins hver, eller er det fire gutter som baker tre muffins hver?

Ulike svar

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

at dere innimellom snakker om 11- og 12-gangen. La elevene si svarene i de ulike tabellene i kor, parvis og/ eller individuelt. Klarer noen elever å si tallfølgene bakover? Gjør aktiviteten med de andre tabellene også.

Multiplikasjonsspill To og to elever spiller sammen. Hver elev trenger et spillebrett med ruter. I rutene står svarene i 1- til 6-gangen (opp til 6 · 6): 1

I tillegg trenger hvert elevpar to terninger. Elevene kaster terningene annenhver gang og multipliserer antall øyne terningene viser. Deretter setter eleven som kastet terningene, et kryss i den ruta som viser svaret på multiplikasjonsstykket. Hvis svaret allerede er krysset ut, er det den neste elevens tur. Den eleven som først krysser ut alle tallene på sitt spillebrett, vinner spillet. Elever som trenger mer utfordring, kan bruke terninger med ti sider og et større spillebrett. Variasjon: Lag et spillebrett med svarene i hele multiplikasjonstabellen opp til 9 · 10. Bytt ut terningene med terninger fra 1–9.

41 En kjærlighet koster 3 kroner Utvid gjerne oppgaven med flere Hva hvis-spørsmål. Hva hvis det er fire kjærligheter, åtte kjærligheter, elleve kjærligheter? Det er viktig at elevene også får erfaringer med at multiplikasjonstabellene fortsetter over 10. 42 Multipliser tallene og fyll ut tabellen Oppsummer gjerne oppgaven, samtal med elevene og spør dem om hvordan de tenker når de løser oppgaven. • Hvilke tabeller er enkle å huske? • Hvilke strategier bruker elevene? • Hvordan teller elevene? 43 Regn ut I LK20 er hovedvekten på multiplikasjon lagt til 3. trinn, men selvfølgelig tar vi opp temaet igjen på 4. trinn også. Det er fint om elevene på sikt automatiser noen av tabellene i løpet av 3. trinn, basert på forståelse og sammenhengen mellom tabellene. I kapittel 9 skal elevene jobbe mer med ulike regnestrategier i multiplikasjon.

Øve 1 41 En kjærlighet koster 3 kr. Hvor mange kroner koster

5 7 9 10

5 kjærligheter? 7 kjærligheter? 9 kjærligheter? 10 kjærligheter?

·3=

· · ·

3 3 3

= = =

3 kkrr

21 27 30

kr kr kr

42 Multipliser tallene og fyll ut tabellen. ·

9 12 15

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 12 18 24

15 30

0 0

21 24

16 20 24 28 32 36 40 36 42 48 54 60

43 Regn ut. 5·3= 5·6=

3·3=

3 kjærligheter?

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

0·3= 0·6=

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

10 · 3 = 10 · 6 =

30 60

Hvilken multiplikasjonstabell? Målet med aktiviteten er at elevene skal begynne å gjenkjenne tallene/svarene i 2- og 3-gangen. Tegn følgende på tavla: A

B 12

Hvilket multiplikasjonsstykke passer til regnefortellingene? Lag regnefortellinger og la elevene finne ut hvilket multiplikasjonstykke som hører sammen med hver regnefortelling. Forslag til fortellinger: • Mattis har seks tikroner. Hvor mange kroner har han til sammen? • Mira har fire kartonger med egg. I hver kartong er det seks egg. Hvor mange egg har Mira til sammen? • Jon leser fire sider i en bok hver kveld i én uke. Hvor mange sider leser Jon til sammen den uka?

C 20

I A skal tallene i 3-gangen plasseres, i C skal tallene i 2-gangen plasseres, og i B skal tallene som er i både 2-gangen og 3-gangen, plasseres. Spør elevene hvor følgende tall skal plasseres: 6 (B), 27 (A), 24 (B), 18 (B), 4 (C), 16 (C)

44 En sjokolade koster 6 kroner Utvid gjerne oppgaven med flere Hva hvis-spørsmål. Hva hvis det er fem sjokolader, ti sjokolader, tolv sjokolader? Hva hvis det er 0 sjokolader, hvor mange kroner koster det da?

Øve 2 44 En sjokolade koster 6 kr. Hvor mange kroner koster 2 sjokolader? 3 sjokolader? 4 sjokolader? 9 sjokolader? 11 sjokolader?

2 3 4 9 11

6 6 6 6 6

· · · · ·

= = = = =

12 18 24 54 66

6 kr kr

kr kr

45 Regn ut Oppsummer gjerne oppgaven, samtal med elevene og spør dem om hvordan de tenker når de løser oppgavene. Ha som mål at flest mulig elever på sikt utvikler og kan bruke ulike strategier.

kr kr

45 Regn ut.

12 9 12

2·6= 3·3= 4·3=

9·3= 6·6= 1·6=

27 36 6

24 24 54

8·3= 4·6= 9·6=

46 Hvilke tall mangler Snakk gjerne med elevene om hvordan de kan tenke for å løse slike oppgaver, for eksempel: «Hva kan vi gange 2 med som gir 6 til svar?» eller «Hvilken multiplikasjon i 2-gangen blir 6?»

46 Hvilke tall mangler?

3 3

·2=6

6·

·3=9

3·

2 4

= 12

18 =

= 12

15 =

3 5

·6 ·3

47 Mira leser i et blad om katter. Hun leser 6 sider hver dag i en uke. Hvor mange sider leser hun til sammen?

6 = 42 Hun leser 42 sider til sammen. 7

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

47 Mira leser ... Kartlegg om elevene forstår hvordan de kan bruke multiplikasjon (og ikke addisjon) for å løse oppgaven. Hva er fordelen med å løse oppgaven med multiplikasjon og ikke addisjon? La gjerne elevene lage flere tekstoppgaver til hverandre, både muntlig og skriftlig.

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

målingsdivisjon (oppdeling), og fordi en kan få noe til overs / en rest ved divisjon. Øv på to spørsmålsstillinger:

Multiplikasjon og divisjon Det er et mål i LK20, fagfornyelsen, at elevene skal eksperimentere med multiplikasjon og divisjon i dagligdagse situasjoner. For elever som har fått mulighet til å utforske multiplikasjon ved hjelp av ulike representasjoner, vil det være naturlig å se multiplikasjon i sammenheng med divisjon: Når 5 ∙ 4 = 20, er 20 : 4 = 5. Elevene må få mange og varierte erfaringer med å se multiplikasjon og divisjon i sammenheng. Å dele likt er en vanlig og kjent aktivitet for elevene. En helhetlig forståelse etableres når elevene får jobbe med forskjellige representasjoner i en kjent kontekst og bruker språket og symboler som er knyttet til noe konkret og visuelt. Språket vil også hjelpe elevene til å få et metaperspektiv på sin egen forståelse. Multiplikasjon og divisjon kan sees i sammenheng med helhet og deler. I addisjon blir forskjellige deler til en helhet. I multiplikasjon blir et bestemt antall like deler til en helhet. I divisjon blir en helhet delt i et gitt antall like deler. Divisjon kan oppleves som mer komplisert enn multiplikasjon. Det er fordi divisjon kan deles i henholdsvis delingsdivisjon (fordeling) og

Vi tenker Start med at elevene sammen med læringspartner studerer illustrasjonen og kommer med forslag til multiplikasjoner og divisjoner som de synes passer til. Makronene står oppstilt i et rutemønster. Forslag til spørsmål: • Hvor mange femmere er det i 15? (fem makroner i hver av de tre radene) • Hvor mange treere er det i 15? (tre makroner i hver av de fem kolonnene)

Delingsdivisjon: 15 grønne epler fordeles likt på 3 fat. Hvor mange epler er det på hvert fat?

Målingsdivisjon: 15 grønne epler fordeles med 3 epler på hvert fat. Hvor mange fat trenger du?

Elevene har bruk for begge disse måtene å se for seg regneoperasjonen på. I Matematikk 4A Grunnbok lærer elevene mer om forskjellene mellom delingsdivisjon og målingsdivisjon. Det er en stor fordel for elevene hvis de allerede nå venner seg til å bruke/forstå

KƶJƳFƶ?Ƶ7ƽ@ƹD ƹ= Ʈ?ǀ?ƽ@ƹD Vi tenker Hvilke to multiplikasjoner og divisjoner passer til bildet? Hvordan tenker du? kolonne

rad

Differensiering: Elever som strever med å komme i gang, kan bruke konkreter. Elever som blir raskt ferdige, kan lage en kontekst som representerer både divisjon og multiplikasjon.

Vi lærer

5 · 3 = 15 3 · 5 = 15

5 barn spiser 3 makroner hver. Hvor mange makroner spiser p de til sammen?

Vi lærer Felles i klassen: La elevene sammenlikne sine egne forslag med forslagene i læreboka. Har de lagd de samme? Illustrasjonene viser at multiplikasjon og divisjon er motsatte regnearter, og at multiplikasjon er kommutativ. Elevene kan gjerne ha klosser (og et ruteark), slik at de kan gjøre oppgaven praktisk og lage små regnefortellinger til oppgavene.

15 makroner fordeles likt på 3 barn. Hvor mange makroner spiser de hver?

15 5:3=5 15 5:5=3

kolonne

rad

Samtal om at det er 3 rader med 5 makroner i hver rad, eller 5 kolonner med 3 makroner i hver rad.

Kan du lage regnefortellinger til bildet?

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

begge disse måtene å stille spørsmål på. Lag gjerne regnefortellinger der det er naturlig å bruke begge spørsmålsstillingene. Forslag til fortellinger: • Mira, Jon og Olga deler 15 epler likt mellom seg. Hvor mange epler får de hver? (Hvor mange epler blir det i hver gruppe? – delingsdivisjon) • Mattis har 15 epler. Han legger 5 epler i hver pose. Hvor mange poser trenger Mattis? (Hvor mange grupper er det? – målingsdivisjon)

I delingsdivisjon vet vi hvor mange grupper det er, og vi skal finne ut hvor mange det er i hver gruppe. I målingsdivisjon vet vi antallet i hver gruppe, og vi skal finne ut hvor mange grupper det er.

Aktiviteter Divisjonsstykket 20 : 4 kan for eksempel symbolisere 20 karameller som skal fordeles i 4 poser. Hvor mange karameller er det i hver pose? Stykket kan også symbolisere 20 karameller som skal fordeles i poser der det skal være 4 karameller i hver pose. Hvor mange poser er det? Når 20 karameller skal fordeles i 4 poser er alle objektene synlige. Når 20 karameller skal fordeles i poser med 4 karameller i hver pose, refereres det bare til én av posene. Vi kan da tenke gjentatt subtraksjon: Hvor mange ganger går 4 opp i 20?

Regnefortellinger Elevene kan sammen lage regnefortellinger som for eksempel passer til 3 ∙ 4 = 12. Etterpå kan de lage regnefortellinger til 12 : 4 = 3 og 12 : 3 = 4. Elevene kan presentere regnefortellingene for hverandre og diskutere hva som er likt/ulikt med regnefortellingene. Det er viktig at elevene får øve på å lage regnefortellinger/tekstoppgaver som passer til symbolene. På denne måten sikrer du at de forstår innholdet i regneuttrykket, samtidig som de øver på å kommu-

Det er fint om elevene bruker konkreter når de jobber med oppgaven. Hvor mange rader/kolonner er det? Hvor mange boller er det i hver rad/kolonne? Hvordan kan dere plassere bollene på andre måter (f.eks. 2 · 12, 8 · 3)?

Hvilke to multiplikasjoner og divisjoner kan dere lage til bollene? Hvordan kan dere plassere bollene på en annen måte og lage multiplikasjoner og divisjoner som hører til? Hvordan kan dere plassere 25 boller?

f. eks. 1 · 24, 2 · 12, 4 · 6, 8 · 3 og divisjonene som hører til

48 Det er 10 ballonger i en pose I oppgaven får elevene erfaring med å lese og tolke en tekstoppgave som inneholder multiplikasjon. Elevene trenger erfaringer med å avgjøre når skal de skal bruke multiplikasjon, og når skal de skal bruke divisjon.

48 Det er 10 ballonger i en pose. Jon kjøper 3 poser. Hvor mange ballonger kjøper han til sammen?

10 = 30 Jon kjøper 30 ballonger. ·

49 Mira kjøper 20 m hoppestrikk. Hun deler strikken i 4 like lengder. Hvor lang er hver av de nye strikkene?

Hver nye strikk er

5 5

m lang.

50 Lag to multiplikasjoner og to divisjoner til hjertene.

5 4

· ·

4 5

= =

20 20

: :

4 5

= =

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

5 4

49 Mira kjøper 20 m hoppestrikk Her får elevene erfaring med å lese og tolke en tekstoppgave som inneholder divisjon. Samtal gjerne om hvordan de tenkte for å forstå at de skulle dividere og ikke multiplisere. Hva er forskjellig fra forrige oppgave? Kan de lage oppgaven om til en tekstoppgave som skal løses med multiplikasjon? 50 Lag to multiplikasjoner … I oppgaven skal elevene se på illustrasjonen og skrive både multiplikasjoner og divisjoner til hjertene. Kan de lage tekstoppgaver som passer til?

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

nisere matematikk. Her jobber de med tre ulike representasjoner som støtter forståelsen: symboler, språk og kontekst. Det vil også bli lettere for elevene å forstå innholdet i tekstoppgaver og dermed kunne velge riktig regneart. Gi elevene ulike regnefortellinger der de skal avgjøre om de kan løse oppgavene med multiplikasjon, divisjon eller begge deler. Ta gjerne også noen eksempler fra 11- og 12-gangen. Da kan elevene regne seg fram til svaret ved å addere seg opp fra 10-gangen. La elevene skrive regnstykkene. Oppsummer hver oppgave, og la flere av elevene fortelle hvordan de tenker når de avgjør valg av regneart. Oppmuntre gjerne elevene til å tegne blokker for å visualisere tekstoppgaver.

• En penn koster 4 kr. Hvor mange penner kan du kjøpe for 12 kr? • Kari og Ole har 20 kr til sammen. De deler pengene likt mellom seg. Hvor mange kroner får de hver? • En is koster 10 kr. Hvor mange is kan du kjøpe for 60 kr? • Et viskelær koster 4 kr. Hvor mange viskelær kan du kjøpe for 16 kr?

Flere regnefortellinger Skriv fire regnstykker med de samme tallene på tavla, for eksempel 6 + 3, 6 – 3, 6 · 3 og 6 : 3, og be elevene om å regne ut og lage regnefortellinger til de ulike stykkene. Snakk sammen om regnefortellingene elevene har lagd. Kan de se likheter/ulikheter mellom regnefortellingen og de ulike regnestykkene? Snakk sammen om hvordan de kan finne ut hvilken regneart de kan bruke for å løse tekstoppgaver. Hva er likheter/forskjeller mellom oppgaver med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon? Hvilke typiske ord brukes i oppgaver med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon?

Hoderegning Elevene kan sammen løse regnefortellinger som inneholder multiplikasjon og divisjon. Husk eksempler som øver både delingsdivisjon og målingsdivisjon. Elevene kan også lage regnefortellinger til hverandre. Forslag til regnefortellinger:

51 Regn ut Elevene skal se på illustrasjonen og finne igjen hvilke deler av rutenettet som passer til regnestykkene. De kan gjerne ringe rundt eller legge over et ark, slik at de bare ser den delen av illustrasjonen som de jobber med. Her viser de øverste oppgavene sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon. 52 Tegn strek … Elevene bør lære seg forskjellige måter å tenke på basert på sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon, for eksempel: «Hva må jeg multiplisere 7 med for å få 21?», «Hvor mange sjuere det i 21?», «Hva kan jeg dele 21 på for å få 7?», «Hvor mange sjuere er det i 21?».

Øve 1 51 Regn ut. Tell på perlene.

15 15 : 3 = 5 5·3=

4·

9:3=

= 12

21 21 : 3 = 7 7·3=

10 · 3 = 27 : 3 =

· 8 = 24

24 : 3 =

30 : 3 =

3·

52 Tegn strek til blomsterbedet som passer til.

2·2

2 :4 20

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

4:2

6·3 2 :5 20

30 9

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

4·5 8:6 18

18 : 3 18

3·6

Multiplikasjon eller divisjon To elever jobber sammen. Hvert par trenger en tallinje fra 0 til 20: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

(De kan få en ferdig kopiert tallinje eller tegne en selv.) Den første spilleren velger to tall fra dette rutenettet og velger om han/hun vil multiplisere eller dividere tallene. 100 25

Spilleren markerer deretter svaret på tallinja med en farge. Den andre spilleren velger to tall og enten multipliserer eller dividerer tallene, før han/hun markerer dette svaret i en annen farge på tallinja. Elevene kan bruke en kalkulator til å sjekke at svarene er riktige. Hvis svaret er under 0 eller over 20, går spilleren glipp av én runde. Vinneren er spilleren som får fire

markeringer på rad på tallinja, uten noen av motstanderens markeringer imellom. Spørsmål du kan stille underveis: • Hvilke gode metoder har du for å vinne spillet? • Spiller det noen rolle om du starter eller er nummer to? • Hvor på tallinja ønsker du nå å sette markeringen? Hvordan vil du få det svaret fra tallene i rutenettet? • Hvordan vil du stoppe motstanderen fra å få fire på rad før deg? • Er det noen bra steder på tallinja hvor det er lurt å starte? Er det noen steder som kanskje ikke er så gode å starte? Hvorfor? • Hvordan bestemmer du hvilket tall du skal prøve å få neste runde? Spillet gir elevene øvelse i multiplikasjon og divisjon. I tillegg kan elevene spille strategisk, noe som innebærer at de må tenke videre og legge en plan framover. Oppmuntre elevene til å fortelle hverandre om eventuelle strategier de har utviklet. Du kan også løfte fram gode strategier eller forklaringer som du observerte mens elevene spilte spillet.

53 I kinosalen er det 24 seter Det er flere måter å løse denne oppgaven på. Noen elever vil kanskje starte med å tegne ett sete i hver rad, og så fortsette å fordele ut seter i radene. Noen elever vet kanskje at 24 : 4 er 6, og starter med å tegne 6 seter i den øverste raden.

Øve 2 53 I kinosalen er det 24 seter. Det er 4 rader med like mange seter i hver rad. Hvor mange seter er det i hver rad? Tegn kinosalen og regn ut.

f. eks.

24 Det er

: 6

54 Mattis sparer 300 kr Legg merke til om elevene forstår hvilken regneart de skal bruke ut fra konteksten i oppgaven. Hva er fordelen med å løse oppgaven med multiplikasjon og ikke addisjon?

seter i hver rad.

54 Mattis sparer 300 kr i løpet av tre uker. Han sparer like mye hver uke. Hvor mange kroner sparer Mattis hver uke?

300 : Mattis sparer

3 = 100 100 kr hver uke.

55 Lag to … Fokuser på at det er like grupper i både multiplikasjon og divisjon. • Hvor mange tiergrupper/tiere er det i 20? • Hvor mange toergrupper/toere er det i 20?

r 300 k

55 Lag to multiplikasjoner og divisjoner som passer til kulene.

10 2

· ·

2 10

= =

20 20

: :

2 10

= =

10 2

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

Del klossene inn i like grupper. Det skal være like mange klosser i hver gruppe. Del på flere måter. Skriv divisjonsstykker som passer til. (Klossene kan gjerne representere noe, for eksempel en gruppe barn.)

Problemløsing Problemløsing i matematikk handler om at elevene utvikler en metode for å løse et problem de ikke kjenner fra før. Prosessen med å utvikle strategier og framgangsmåter for å løse problemet innebærer ofte å bryte ned et problem i delproblemer som kan løses systematisk. I problemløsingsoppgaver, rike oppgaver eller åpne oppgaver får elevene erfaringer med å bruke sine matematiske ferdigheter i ulike situasjoner. Problemløsing spiller også en viktig rolle for å utvikle ferdigheter i å tenke, reflektere, analysere og resonnere. Elevene får mulighet til å jobbe mer med kognitivt stimulerende oppgaver (problemløsingsoppgaver), samtidig som de har behov for å reflektere over problemet og egen læring. Elever og du som lærer kan sammen diskutere og løse problemet og lære av hverandres måter å tenke på.

Elevene skal dele klossene inn i like grupper. Del ut tolv klosser til elevene og la dem prøve seg fram. De kan også løse oppgaven ved å tegne/skrive i kladdeboka. Klarer noen av dem å skrive divisjonsstykker? Det er mange løsninger på denne oppgaven: • to grupper med seks klosser i hver gruppe • tre grupper med fire klosser i hver gruppe • fire grupper med tre klosser i hver gruppe • seks grupper med to klosser i hver gruppe Oppsummer oppgaven, og la de ulike elevgruppene forklare hvordan de har løst oppgaven. Videre kan elevene arbeide i små grupper og diskutere på hvilke ulike måter 24 klosser kan deles inn i like store grupper. Når klossene er gruppert, kan de sammenliknes med multiplikasjonsstykkene 3 · 8 = 24 eller 6 · 4 = 24. Gjenta aktiviteten med et ulikt antall klosser både for enkeltelever og i de forskjellige gruppene.

Like grupper

Problem 1 Det er mange løsninger på denne oppgaven, for eksempel: Olga, 20 poeng: 5, 5, 5, 2, 3 eller 5, 5, 4, 4, 2 Mattis, 15 poeng: 5, 3, 3, 2, 2 eller 4, 3, 3, 3, 2 Jon, 18 poeng: 5, 5, 4, 2, 2 eller 5, 4, 4, 3, 2

Problem 1 Olga, Mattis og Jon kaster 5 baller hver. Olga får 20 poeng, Mattis får 15 poeng, og Jon får 18 poeng.

• Er det flere måter å løse dette problemet på? • Hvordan kan dere tegne eller skrive noe som kan hjelpe dere med å løse problemet? • Klarer dere å forklare hvordan dere løste problemet, til noen andre?

Hvordan kan de ha kastet ballene? Er det ﬂere løsninger?

f. eks. Olga: 5 + 5 + 5 + 2 + 3 = 20 4 + 4 + 5 + 5 + 2 = 20 Mattis: 5 + 3 + 3 + 2 + 2 = 15 4 + 3 + 3 + 3 + 2 = 15 Jon: 5 + 5 + 4 + 2 + 2 = 18 5 + 5 + 3 + 3 + 2 = 18

Problem 2 Elevene kan gjøre oppgaven med konkreter, eller de kan tegne. Oppdager elevene et mønster / en sammenheng mellom antall rosa og antall gule perler? Sett gjerne tallene inn i en tabell når dere oppsummerer oppgaven. rosa 1 2 3

Mira lager et armbånd med gule og rosa perler. Det skal være to gule perler mellom hver rosa perle. Det er 10 rosa perler. Hvor mange gule perler trenger hun?

gule 2 4 6

Hvordan tror dere tabellen fortsetter? Det er alltid dobbelt så mange gule som det er rosa perler, oppdager noen av elevene dette?

Problem 2

f. eks.

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

10 rosa 20 gule

Ha en klassesamtale og oppsummer aktiviteten i fellesskap. La elevene fortelle hvordan de kom fram til løsningene. Spør om de klarer å lage multiplikasjonsstykkene som passer til de ulike løsningene. Del også inn femten brikker i grupper med fire brikker i hver gruppe.

Dele kjeks To og to elever jobber sammen. Del ut tolv brikker til hvert elevpar. Elevene skal dele inn brikkene i like grupper og finne ut hvor mange ulike måter det kan gjøres på. De må bruke opp alle brikkene hver gang. Du kan sette dette inn i en kontekst ved å bruke kjeks. Tolv kjeks skal deles ut til et visst antall elever. Elevene skal få like mange hver, og det er ikke lov å brekke kjeksene i biter. Hvor mange elever kan få kjeks? Hvor mange kjeks kan hver elev få? Hvor mange måter kan dere dele inn kjeksene på? Hvor mange løsninger finner dere? Elevene kan tegne eller skrive regnefortellinger og skrive divisjonsstykker og multiplikasjonsstykker som passer til. Mulige løsninger: • tolv grupper med én brikke i hver gruppe • seks grupper med to brikker i hver gruppe • fire grupper med tre brikker i hver gruppe • tre grupper med fire brikker i hver gruppe • to grupper med seks brikker i hver gruppe • en gruppe med tolv brikker i hver gruppe

Sant eller usant? Elevene kan diskutere og argumentere for om de mener påstandene er sanne eller usanne. • Å multiplisere er det samme som å addere. • 2 + 2 er det samme som 2 · 2. • 4 · 4 ruter er 15 ruter til sammen. • 2 · 6 ruter er like mange ruter som 4 · 3 ruter. • 6 · 6 hjerter er dobbelt så mange som 3 · 6 hjerter. • 24 kjærligheter kan deles likt mellom 5 barn.

Problem 3 Mira og Jon baker boller. Hun deler deigen sin i 24 boller. Hvordan kan hun plassere bollene på et brett? Finn to ulike løsninger.

f. eks.

Jon deler deigen sin i 32 boller. Hvordan kan han plassere bollene på et brett? Finn to ulike løsninger.

f. eks.

Problem 3 Del ut klosser til elevene og la dem prøve seg fram. Bruk gjerne kladdebok i tillegg. Det er flere mulige løsninger enn de to vi spør etter her. Samtal om fordeler/ulemper med å plassere bollene på de ulike måtene. Hvordan er det lurt å plassere bollene hvis vi skal skrive multiplikasjoner eller divisjoner til? Finnes det flere måter å plassere bollene på som samtidig er «et rutenett»? Hvor mange ulike måter finnes det hvis bollene skal stå i rader og kolonner? Er det noen elever som plasserer bollene som på det siste løsningsforslaget? Kan de lage multiplikasjoner til denne løsningen?

Sant eller usant? 6 · 3 er det dobbelte av 3 · 3.

NEI

4 · 4 er halvparten av 8 · 8.

NEI

3 ﬁrere er det samme som 3 · 4.

NEI

5 barn får like mange ballonger hver når de deler 12 ballonger likt.

NEI

3 hester har til sammen 10 bein.

NEI

Elevene forteller hvordan de tenker, og begrunner svarene sine.

Sant eller usant? Elevene skal nå bruke det de har jobbet med i kapittelet, og krysse av for sant eller usant. Vi anbefaler at elevene jobber sammen i par og diskuterer påstandene. La dem argumentere for sine meninger og reflektere over begge alternativene. Klassen kan også gjøre oppgaven i fellesskap ved at du leser opp påstandene, og elevene diskuterer seg fram til svaret sammen.

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

• Elevene må kunne presentere et gitt regnestykke i form av en regnefortelling eller en tegning: Mattis legger 6 drops i tre poser. 3 · 6 = 18

Oppsummering av kapittel 6 Ifølge LK20, fagfornyelsen, skal • elevene utforske multiplikasjon ved telling • elevene eksperimentere med multiplikasjon og divisjon i dagligdagse situasjoner • elevene representere multiplikasjon på ulike måter og oversette mellom de ulike representasjonene • elevene bruke kommutative, assosiative og distributive egenskaper til å utforske og beskrive strategier i multiplikasjon

Det er også et mål at elevene skal kunne forklare og bruke: • kommutative egenskaper ved multiplikasjon: a·b=b·a

Oppsummert er det et mål at elevene kan representere multiplikasjon på følgende måter • 12 er et produkt av tallene 2 og 6. Det betyr at vi kan representere 12 med symboler: 2 · 6 = 12 eller 6 · 2 = 12 • Som antall ruter i et rutenett med 2 rader og 6 ruter i hver rad, eller omvendt.

2·6

6·2

• assosiative egenskaper ved multiplikasjon: a · (b · c) = (a · b) · c • Som antall drops i to poser med 6 drops i hver pose.

Min stjernelogg Elevene skal finne elementer i bildet de kan lage regnefortellinger med multiplikasjoner og divisjoner til. For eksempel: • Hvor mange seter er det i kinosal 1? • Jon kjøper 4 beger med popkorn. Hvor mange kroner betaler han? • Mira har 30 kroner. Hvor mange glass saft kan hun kjøpe? Osv.

Min stjernelogg Lag regnefortellinger til bildet. Skriv multiplikasjoner og divisjoner som passer til.

Denne siden kan gjerne gjennomføres individuelt som en liten kartlegging, eller elevene kan samarbeide om den. Oppsummer og la elevene presentere regnefortellingene sine for hverandre. Det å kommunisere i matematikk, både skriftlig og muntlig, er et av kjerneelementene i LK20. La elevene stille spørsmål til hverandre. Lytt til hvordan elevene resonnerer og argumenterer, og prøv å få en oversikt over hva elevene kan og forstår, og hvilke strategier de bruker: • Har elevene forstått regneartene, slik at de lager kontekster som passer til? • Hvordan bruker elevene begrepene de har jobbet med i kapittelet? • Forstår elevene at multiplikasjon og divisjon handler om like grupper?

Ulike svar

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM Lærerveiledning

MATEMATIKK 3B FRA CAPPELEN DAMM

8 8

• distributive egenskaper ved multiplikasjon: a·b+a·c 12 · 4 = (10 + 2) · 4

8 8

(3 · 2) · 8 = 3 · ( 2 · 8)

Underveisvurdering Du må være i dialog med elevene om utviklingen deres. Planlegg gode aktiviteter hvor elevene får vist sin kompetanse. Det er viktig å finne ut hva elevene kan for å kunne planlegge neste steg i utviklingen og tilpasse undervisningen. Se etter om elevene kan representere multiplikasjon på ulike måter. Kan de • tegne et bilde til en multiplikasjon, f.eks. 3 · 4 = ? • tegne et bilde til en divisjon, f.eks. 12 : 4 = ? • lage en regnefortelling til f.eks. 3 · 3 = ? • lage en regnefortelling til f.eks. 14 : 2 = ? • forklare hva multiplikasjons- og divisjonstegnene betyr?

• forklare sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon? Elevene viser kompetanse i faget når de • oppdager sammenhenger mellom regneartene addisjon og multiplikasjon og mellom multiplikasjon og divisjon • kan forklare og vise sammenhengene mellom multiplikasjonene: 5- og 10-gangen, 2-, 4- og 8-gangen og 3- og 6-gangen • kan forklare og vise hvordan de bruker kommutative, distributive og assosiative egenskaper ved multiplikasjon (LK20, fagfornyelsen)

Dere trenger

Doble og halvere

• terning • en spillebrikke

To elever spiller sammen. 1 Spillerne kaster terning etter tur.

hver

2 Får spillerne oddetall, får de flytte spillebrikken det dobbelte. Får de partall, får de flytte halvparten. For eksempel: En spiller får 3 prikker og flytter 6 plasser fram. En spiller får 4 prikker og flytter 2 plasser fram. 3 Hvis spillerne lander på rutene med stjerne, må de multiplisere antall prikker de fikk på terningen, med tallet som står på ruten. Hvis de regner feil, må de stå over et kast. 4 Spilleren som kommer først til kinoen, har vunnet. Spilleren må ha akkurat for å komme inn på kinoen.

Doble og halvere Elevene kan først studere spillereglene og prøve å forklare dem for en læringspartner. Legg merke til hvordan elevene regner når de spiller spillet. Lytt til elevenes samtaler og prøv å få en oversikt over om de bruker noen av strategiene de har lært i kapittelet. Stopp gjerne opp underveis og spør dem om hvordan de tenker, og hvilke strategier de bruker.

Mål

Start

6 MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

Matematikk 3B Lærerveiledning (utdrag)

Articles inside

Multiplikasjon og divisjon 6

Masse og lengde 40