Faktor Eksamensforberedende hefte

Tekstfarge plate (1,1)

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner

Cappelens matematikkverk for ungdomstrinnet

Faktor Eksamensforberedende hefte

Tekstfarge plate (2,1)

# Cappelen Damm AS, Oslo 2008 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av a˚ndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk.

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Faktor følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er lagd til bruk pa˚ grunnskolens ungdomstrinn.

Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness Ombrekking: Prepress AS Sats og repro: PrePress AS Forlagsredaktør: Espen Skovdahl Trykking/innbinding: AIT Trykk Otta AS, 2008 Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-28562-3

www.cappelendamm.no http://faktor.cappelen.no

Fotografier: Fotografier GVPress: # SPL s. 17, # alessandro villa s. 21, # NASA/SPL s. 22, # Gary Crabbe s. 33, # Nils-Johan Norenlind s. 25, # Science photo library s. 31 Samfoto: # Per Eide s. 11, # Annelise Jackbo s. 30 Scanpix: #PoodlesRock/Corbis s. 6, # 2000 Credit: Topham/PA s. 24, # Reuters/Corbis s. 29

Tekstfarge plate (3,1)

Innledning Dette heftet inneholder repetisjonsoppgaver fra Faktor 1–3 i tre kategorier og en samlet oppsummering av lærestoffet fra 8. til 10. trinn. Innenfor hver kategori er det ogsa˚ tatt med et utvalg av tidligere eksamensoppgaver.

Kategori 1 Oppgaver som gir trening i det grunnleggende lærestoffet Kategori 2 Sammensatte og varierte oppgaver Kategori 3 Oppgaver som byr pa˚ større utfordringer Oppgaver der du kan bruke pc er merket med dette symbolet: Heftet kan brukes til repetisjon, eksamensforberedelse og som oppslagsverk over emner som har blitt behandlet pa˚ ungdomstrinnet.

Fra venstre: Lotte, Hanna, Simen, Herman, Martin, Platon og Sara

Lykke til med arbeidet!

Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innledning

3

Tekstfarge plate (4,1)

Innhold Repetisjonsoppgaver Faktor 1–3 Kategori 1.................................. 6 Kategori 2.................................. 14 Kategori 3.................................. 25 Fasit ............................................... 37

Innhold

Oppsummering Faktor 1–3

4

Tall og algebra ............................. 46 Naturlige tall ............................. 46 Partall og oddetall .................... 46 Primtall og sammensatte tall ... 46 Faktorisering.............................. 46 Desimaltall................................. 47 De fire regneartene .................. 47 Potenser .................................... 47 Tall pa˚ standardform og pa˚ utvidet form ......................... 48 Kvadrattall ................................. 48 Kvadratrot ................................. 48 Trekanttall ................................. 48 Negative tall.............................. 49 Regning med fortegnstall......... 49 Romertall ................................... 49 Totallssystemet ......................... 50 Brøk ........................................... 50 Uekte brøk og blandet tall....... 50 Utviding og forkorting av brøk.. 51 Addisjon og subtraksjon av brøker .............................. 51 Brøk og desimaltall ................... 51 Brøk og multiplikasjon.............. 52 Brøk og divisjon........................ 52 Forhold ...................................... 52 Prosent ...................................... 52

Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall....................... 52 Prosenten av et tall .................. 53 ˚ finne prosenten..................... 53 A Promille ..................................... 53 Utregning av talluttrykk ........... 53 Bokstavuttrykk........................... 53 Sette inn tall i bokstavuttrykk .. 54 Regning med bokstavuttrykk ... 54 Bokstavuttrykk og parenteser .. 54 Multiplikasjon av to parentesuttrykk .................... 55 Faktorisering.............................. 55 Sammentrekking av brøkuttrykk........................... 55 Likninger og ulikheter.................. 55 Løsing av likninger ................... 55 Regneregler for likninger.......... 56 ˚ sette prøve pa˚ likninger........ 56 A Kvadratiske likninger................. 57 Likninger med brøk .................. 57 Grafisk løsing av likninger ........ 57 Likninger med to ukjente......... 58 Ulikheter .................................... 59 Omforming av formler.............. 60 Økomomi ....................................... 60 Merverdiavgift ........................... 60 Rabatt ........................................ 60 Rente ......................................... 60 Avbetaling ................................. 61 Lønn .......................................... 61 Skatt .......................................... 61 Seriela˚n...................................... 61 Annuitetsla˚n .............................. 61 Forsikringer ............................... 61 Budsjett og regnskap ............... 61

Tekstfarge plate (5,1)

Geometri........................................ 62 Linjer og punkter ...................... 62 Vinkler ....................................... 62 Konstruksjon ............................. 63 Trekanter ................................... 64 Firkanter .................................... 64 Sirkelen...................................... 65 Vinkelsummen i mangekanter.. 65 Regulær mangekant ................. 65 Figurer og mønstre................... 65 Det gylne snitt og det gylne rektangel .................... 66 Pytagoras-setningen ................. 66 Spesielle trekanter og Pytagoras-setningen ............ 66 Formlikhet ................................. 67 Kongruens ................................. 68 Kongruensavbildninger............. 68 Perspektivtegning med ett eller to forsvinningspunkter ............. 70 Ma˚ling og enheter ........................ 70 Omkretsen og arealet til mangekanter.................... 70 Omkretsen og arealet til en sirkel............................ 71 Enheter for lengde.................... 71 Ma˚lestokk .................................. 71 Enheter for areal ....................... 72 Enheter for volum..................... 72 Vei, fart og tid........................... 72

Masse......................................... 74 Massetetthet ............................. 74 Statistikk........................................ 75 Frekvens og relativ frekvens..... 75 Gjennomsnitt ............................ 75 Median ...................................... 76 Typetall...................................... 76 Variasjonsbredde....................... 76 Søylediagram ............................ 76 Stolpediagram........................... 77 Linjediagram ............................. 77 Sektordiagram........................... 78 Sannsynlighet................................ 78 Kombinatorikk........................... 78 Sannsynlighet............................ 79 Sannsynlighet ved flere utfall... 79 Sannsynlighet bestemt ved forsøk ............................ 79 Funksjoner..................................... 80 Koordinatsystem ....................... 80 Koordinater ............................... 80 Funksjon.................................... 80 Grafen til en funksjon............... 81 Lineære funksjoner ................... 82 Kvadratiske funksjoner.............. 82 Proporsjonale størrelser............ 83 Omvendt proporsjonale størrelser............................... 83

Romgeometri og massetetthet.................................. 73 Volumet og arealet av overflaten til et prisme ........73 Volumet og arealet av overflaten til en sylinder...... 73 Volumet til en pyramide .......... 73 Volumet til en kjegle ................ 73 Volumet og arealet av overflaten til en kule ........... 74

Innhold

5

Tekstfarge plate (6,1)

Repetisjonsoppgaver Faktor 1–3 Kategori 1

Repetisjonsoppgaver kategori 1

101

6

Rund av tallene til e´n desimal. a) 3,39 b) 2,05 c) 0,15

d) 5,94

e) 0,04

102

Skriv tallene pa˚ vanlig ma˚te. a) 5 1000 + 3 100 + 7 10 + 4 1 b) 9 1000 + 3 100 + 8 1 c) 8 1000 + 2 10 + 9 1 d) 5 10 000 + 3 1000 + 9 100 + 4 10 + 3 1

103

Den britiske vitenskapsmannen Isaac Newton er blant annet er kjent for teorien om tyngdekraften og oppdagelsen av at hvitt lys er satt sammen av mange farger. Han ble født i 1642 og døde i 1727.

Hvor gammel ble Isaac Newton?

Newton kom blant annet fram til loven om tyngdekraften.

104

Gjør om til brøk. Skriv brøkene sa˚ enkelt som mulig. a) 0,5 c) 0,80 e) 0,24 b) 0,6 d) 0,55 f) 0,12

Tekstfarge plate (7,1)

105

Formelen for arealet A til et rektangel med lengde a og bredde b er A = a b.

b

a

Regn ut arealet na˚r a) a = 8 cm og b = 5 cm

b) a = 12 cm og b = 8,5 cm

106

a) Konstruer ABC na˚r AB = 6 cm, A = 90 og AC = 4,5 cm. b) Regn ut lengden til BC. c) Regn ut omkretsen til trekanten. d) Regn ut arealet til trekanten.

107

En dørmatte har form som en sirkel med radius 80 cm. a) Regn ut omkretsen til matten. b) Regn ut arealet til matten.

108

Hvor mange prosent er a) 50 kr av 100 kr b) 30 kg av 200 kg c) 8 dm av 25 dm

109

Løs likningene og sett prøve pa˚ svaret. a) 3x – 2 = 10 c) 4x + 1 = 2x + 9 b) 5x – 1 = 4x + 2 d) 2(x – 1) = 6

Repetisjonsoppgaver kategori 1

7

Repetisjonsoppgaver kategori 1

Tekstfarge plate (8,1)

8

110

En firkantet eske har lengden 20 cm, bredden 12 cm og høyden 6 cm. a) Regn ut volumet til esken. b) Regn ut arealet av overflaten til esken.

111

Regn ut uten a˚ bruke kalkulator. a) 7,3 + 0,44 c) 4 2,4 e) 32 : 2 b) 5,6 – 0,73 d) 42 : 3 f) 5,7 4,9

g) 3 : 1,5 h) 12,8 : 64

112

En vanntank har form som en sylinder. Radien i grunnflaten er 50 cm, og høyden er 120 cm. a) Hvor mange desimeter er 50 cm? b) Hvor mange desimeter er 120 cm? c) Hvor mange liter (kubikkdesimeter) rommer tanken?

113

Sara undersøkte hvilken farge de bilene som kjørte forbi pa˚ veien i løpet av en time, hadde. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Farge

Antall

Gra˚

8

Rød

2

Sort

4

Bla˚

3

Andre farger

3

Sum Vis fordelingen av fargene i et a) søylediagram b) sektordiagram

20

Tekstfarge plate (9,1)

114

Martin skal bestille en treretters middag. Menyen besta˚r av: Forrett Rekecocktail Fiskesuppe Salat

Hovedrett Pepperbiff Grillet laks Lammestek

Dessert Is Eplekake

Hvor mange mulige treretters middager kan Martin bestille?

115

Regn ut. Skriv svaret sa˚ enkelt som mulig.

3 1 7 3 1 3 b) -c) + a) + 6 6 8 8 3 9

d)

116

Lotte skal trekke en kule fra hver ska˚l uten a˚ se.

Hva er sannsynligheten for at hun trekker a) to røde kuler b) to bla˚ kuler

117

Skriv tallene som produkt av primtall. a) 6 c) 12 b) 8 d) 16

10 2 -12 3

e) 24 f) 36

Repetisjonsoppgaver kategori 1

9

Tekstfarge plate (10,1)

119

Repetisjonsoppgaver kategori 1

120

10

Skriv som desimaltall. a) 13 % c) 80 % b) 75 % d) 8 % Herman selger aviser hver søndag. Han fa˚r 3,50 kr for hver avis han selger. En søndag selger han 60 aviser.

Hvor mye tjener han den søndagen?

«Platons tidende», kun kr 10,–!

n rde i ve kattikum ste Førd Jurid me

Regn ut. Skriv svaret sa˚ enkelt som mulig.

1 4

2 6 3 5 b) 5 10

a)

121

e) 100 % f) 25 %

1 3 : 4 4 8 2 d) : 14 3

c)

Første kat t med Juridi i verden kum

˚ lesund Hvor langt er det i luftlinje fra Ny A til Pyramiden pa˚ Svalbard?

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

118

Tekstfarge plate (11,1)

122

123

Regn ut. a) 5 -- ð--3Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b) 56,25

c) --7 8

d) 32 : ð--4Þ C

a) Bruk hjelpefiguren til a˚ konstruere trekanten. b) Hvor lang er AC? c) Regn ut BC.

45° A

124

5 cm

B

Martin har undersøkt hvor mange kroner elevene i gruppa hans hadde med seg under en skoletur til Prekestolen. Her ser du resultatet av undersøkelsen i kroner: 80 150 100

100 100 120

130 120 150

120 100

a) Regn ut variasjonsbredden. b) Regn ut gjennomsnittsverdien. c) Hva er typetallet? d) Finn medianen.

125

Trekk sammen. a) 4y + y – 2y + 1y b) a + 3b – 4a + 2b c) x + 3x – 2x + 2x

126

Tante Sofie la˚ner 50 000 kr i banken.

Renten er 5 % per a˚r.

Hvor mange kroner ma˚ tante Sofie betale i renter pa˚ a) ett a˚r b) 6 ma˚neder c) 100 dager

Prekestolen i Lysefjorden

Repetisjonsoppgaver kategori 1

11

Tekstfarge plate (14,1)

Kategori 2 201

Repetisjonsoppgaver kategori 2

202

14

Skriv tallene som produkt av primtall. a) 12 c) 28 b) 18 d) 42

e) 100 f) 124

Pinatubo-vulkanen pa˚ Filippinene slapp ut ca. 8000 millioner tonn partikler og ca. 20 millioner tonn svoveldioksid (SO2) under sitt utbrudd i 1991.

Hvor mange kilogram (kg) partikler slapp Pinatubo ut totalt?

Skriv svaret pa˚ standardform.

I 1991 hadde vulkanen Pinatubo pa˚ Filippinene et kjempeutbrudd.

203

I kantina ble det solgt mat for 1420 kr pa˚ torsdag. Dagen etter ble det solgt mat for 1560 kr. a) Hvor mye mer ble det solgt mat for pa˚ fredag? b) Hvor mange prosent mer ble det solgt mat for pa˚ fredag?

204

Regn ut.

2 5 1 + a) -3 12 4

205

b)

5 3 1 -- + 6 4 2

c) 2

2 3 2 -- -- 1 5 4 3

I trekanten ABC er AB = 7,0 cm og A = a) Konstruer trekanten. b) Skriv forklaring til konstruksjonen. c) Hva slags trekant er ABC?

d) 2 -- 1

B = 75 .

5 1 +1 6 4

Tekstfarge plate (15,1)

206

Martin noterte snødybden pa˚ et bestemt sted i slutten av februar hvert a˚r i 10 a˚r. Resultatet ser du her i centimeter: 75 120 80 90 150 120 50 120 95 105 a) Regn ut den gjennomsnittlige snødybden i de ti a˚rene. b) Hva er medianen og typetallet? c) Regn ut variasjonsbredden. d) Lag et linjediagram som viser snødybden disse 10 a˚rene.

Hm, i a˚r er snødybden større enn gjennomsnittet!

207

Løs likningene og sett prøve pa˚ svaret. a) 6x + 2 = 32 c) 9 = 3x + 15 b) 4x -- 15 = 3 -- 10

208

d)

x + 9 = 14 4

Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete trekantene. a) b) F

C 60°

8,0 cm

45°

30° A

B

D

45° 12,0 cm

E

Repetisjonsoppgaver kategori 2

15

Tekstfarge plate (16,1)

209

En metallbit har form som et rett firkantet prisme. Det er 12 cm langt, 8 cm bredt og 4 cm høyt. Prismet er lagd av et metall med massetetthet 2,7 g/cm3 . a) Regn ut volumet til metallbiten. b) Hvor mye veier metallbiten?

210

Regn ut volumet til figurene. a) b)

Repetisjonsoppgaver kategori 2

5 cm

16

c)

6 cm

3,5 cm

3 cm 4 cm

4 cm

211

Det er omtrent 24 mil fra Tønsberg til Kristiansand. S. U. Baru starter i Tønsberg kl. 09.15. Hun kjører til Kristiansand med en gjennomsnittsfart pa˚ 72 km/h.

Na˚r kommer hun fram til Kristiansand?

212

Trekk sammen. Sett deretter x = 2 og y = 1 inn i svaret og regn ut. a) 3x – y – 5x + 3y c) x – 3x – 2y + x – 2y b) 3x – 2y – x + 5y d) 2y – x – y + 4x – 2y

213

Hanna leste av temperaturen hver morgen i 20 dager. Avlesningene fordelte seg slik i grader celsius: 5 9 7 5

6 9 4 10

5 5 6

7 6 9

5 6 9

8 5 5

a) Regn ut gjennomsnittstemperaturen. b) Lag en frekvenstabell. c) Lag et stolpediagram.

214

Et sirkelformet teppe har radius 1,2 m. Herman skal sy et ba˚nd langs kanten av teppet.

Hvor langt ma˚ ba˚ndet være?

Tekstfarge plate (17,1)

215

Sara trener turn to timer hver onsdag. Det koster 75 kr per time. Bussturen til og fra treningen koster 50 kr hver gang. a) Sett opp en formel for kostnadene K i kroner na˚r Sara er pa˚ trening x dager. b) Tegn en graf som viser kostnadene til treningen inntil 7 dager. c) Hvor mye koster det for Sara a˚ trene i 10 dager?

216

Simen har vært pa˚ kjøpesenteret og handlet klær. Han kjøpte ei bukse til 850 kr, ei skjorte til 180 kr og et par sokker til 45 kr.

Kjøpesenteret gav litt rabatt, og Simen betalte i alt 950 kr. a) Hvor mange kroner fikk Simen i rabatt? b) Hvor mange prosent fikk han i rabatt?

217

Regn ut og skriv svaret sa˚ enkelt som mulig.

4 3 1 3 5 10 b) 1 c) : a) 5 2 2 8 2 3

218

3 1 d) 5 : 3 4 8

Sara handler disse varene i butikken: 2 kg poteter til 4,80 kr per kg 0,5 kg tomater til 12,50 kr per kg 1 salathode til 14,50 kr 2 agurker til 8,90 kr per stk.

Lag et overslag, og finn ut omtrent hvor mye Sara skal betale.

219

I kroppen fins det omtrent 60 000 000 000 000 celler, og i hjernen va˚r omtrent 500 000 km nervetra˚der. a) Skriv antall celler i kroppen pa˚ standardform. b) Skriv lengden til nervetra˚dene i meter pa˚ standardform.

Modell av nervecelle

Repetisjonsoppgaver kategori 2

17

Tekstfarge plate (18,1)

220

Tegn grafen til funksjonene.

Repetisjonsoppgaver kategori 2

a) y = -- 3x + 2 x b) y = + 2 4

18

10 -- 5 x d) y = 2x 2 -- 2

c) y =

221

Lotte, Simen og Hanna malte et hus sammen. Lotte arbeidet i 8 timer, Simen i 12 timer og Hanna i 20 timer. De fikk betaling for antallet timer de arbeidet. Simen fikk 1020 kr for arbeidet.

Hvor mange kroner fikk Lotte og Hanna?

222

Regn ut. a) 10 -- ð--5Þ + ð--8Þ b) --4 -- ð--5Þ + ð--5Þ

223

c) --ð--10Þ -- ð+10Þ -- ð10 -- 2Þ d) 3 -- ð--3Þ -- ð--3Þ -- 9

Regn ut arealet av sirkelsektorene. a) b)

55° 3 cm

224

Løs ulikhetene. a) 2x + 3 > 5

6,5 cm

b) 4x -- 2 < 2x + 5

c) 4 -- x > -- 2x + 7

225

M. Urer setter opp en rektangelformet grunnmur. Hun ma˚ler diagonalen i grunnmuren til 20,5 m. Den lengste siden av muren er 16,5 m.

Hvor lang er den korteste siden av muren?

226

Løs likningssettene. a) I: 2x + y = 2 II: –2x + y = 2

b) I: 3x + y = 3 II: 3x – y = – 4

Tekstfarge plate (19,1)

227

Tegn av, og speil figurene om linja l ved hjelp av konstruksjon. a) b) l

l

228

Herman undersøker hvor gamle elevene pa˚ skolen er. Alderen fordeler seg slik: Alder (a˚r)

Antall elever

13

18

14

65

15

82

16

55

a) Sett opp resultatet i en frekvenstabell med ba˚de frekvens og relativ frekvens. b) Regn ut hvor mange prosent av elevene som er 16 a˚r. c) Lag et sektordiagram som viser aldersfordelingen.

229

Løs opp parentesene og regn ut. a) 2ð3x -- 2Þ -- 3ðx -- 3Þ c) 2aða -- 2bÞ -- aða + 3bÞ + 5ab b) 2xðx -- 3Þ -- xð2x -- 6Þ d) 3aða + bÞ -- aða -- 2bÞ -- 2a2

230

a) Konstruer trekanten ABC ut i fra hjelpefiguren. b) Hvor lang er BC? Begrunn svaret. c) Regn ut AC. d) Hva er arealet av trekanten?

C

30° A

60° 10 cm

B

Repetisjonsoppgaver kategori 2

19

Repetisjonsoppgaver kategori 3

Tekstfarge plate (26,1)

26

BAD = 30 ,

ADB = 90 ,

305

En firkant ABCD har ma˚lene: AB = 6,0 cm, DBC = 90 og BDC = 45 . a) Konstruer firkanten. b) Skriv forklaring. c) Regn ut omkretsen av firkanten. d) Regn ut arealet av firkanten.

306

Da Martin ble født, satte farmoren hans 5000 kr inn pa˚ en sparekonto med 3,75 % rente.

Hvor mange kroner har Martin pa˚ sparekontoen etter a) 10 a˚r b) 18 a˚r c) 30 a˚r

307

Skriv disse tallene med et fornuftig prefiks. a) 1000 g (gram) b) 0,08 l (liter) c) 5 000 000 B (byte) d) 7 000 000 000 000 Wh (watt timer) e) 0,000000009 m (meter) f) 0,000005 s (sekunder) Tierpotens

Prefiks

Symbol

1015

peta

P

1012

tera

T

109

giga

G

10

mega

M

103

kilo

k

102

hekto

h

101

deka

da

10--1

deci

d

--2

10

centi

c

10--3

milli

m

10--6

mikro

m

10--9

nano

n

10--12

pikto

p

6

Tekstfarge plate (27,1)

308

Et hydrogenatom har en diameter pa˚ omtrent 2,0 10--10 m og en masse pa˚ omtrent 1,67 10--30 g. a) Tenk deg at du legger 100 000 hydrogenatomer etter hverandre.

Hvor lang blir raden? b) Hvor mye veier 7 milliarder hydrogenatomer?

309

En gullsmed har 3,0 g rent gull og 1 m = 10-6 m 3,0 g rent sølv. Han skal lage en gullfolie og en sølvfolie med tykkelse 0,2 mm. Gull har massetetthet 19,3 g/cm3 , og sølv har massetetthet 10,5 g/cm3 . a) Hvilken folie har størst areal? b) Regn ut differansen mellom arealene av de to foliene.

310

Løs likningene og sett prøve pa˚ svaret. x 2ðx -- 2Þ 1 -- x = a) -4 3 2 2x -- 2 x + 1 + =2 b) 3 2

311

En stor klokke har en sekundviser som er 2,2 m lang.

Med hvilken hastighet beveger denne sekundviseren seg i ytterkant?

312

Figuren er konstruert ved hjelp av halvsirkler med diameter 1 cm, 2 cm og 3 cm. a) Regn ut arealet og omkretsen av det A skraverte omra˚det. b) Konstruer figuren.

313

Løs likningssettet grafisk og ved regning.

I: y – x = 2 II: -9x + 2y = 9

314

En gjenstand besta˚r av en sylinder og en halvkule. a) Regn ut volumet og arealet av overflaten til beholderen. b) Beholderen veier 2 tonn.

Hvor stor er massetettheten til det stoffet beholderen er lagd av?

C

D

B

60 cm

40 cm

Repetisjonsoppgaver kategori 3

27

Tekstfarge plate (28,1)

315

Per, Pa˚l, Espen og Askeladd ga˚r i den samme gruppa.

– Askeladd er verken den høyeste eller den laveste i gruppa.

– Espen er høyere enn Per. – Pa˚l er høyere enn Espen.

– Askeladd er høyere enn Espen.

Repetisjonsoppgaver kategori 3

Skriv navnene i rekkefølge med den laveste først.

28

316

Et spørreskjema har tre forskjellige svarmuligheter pa˚ hvert spørsma˚l: Ja

Nei

Vet ikke

Det er fem spørsma˚l pa˚ skjemaet.

Hvor mange forskjellige svar er det mulig a˚ gi hvis du svarer pa˚ alle fem spørsma˚lene?

317

3 x -- 3.

2 Velg selv passende verdier for x.

Tegn grafen til funksjonen y =

Tekstfarge plate (29,1)

¨ zti, kalles den Ismannen, eller O godt bevarte kroppen av en 45– 50-a˚rig mann som i september ¨ ztal pa˚ 3200 1991 ble funnet i O meters høyde pa˚ grensen mellom Østerrike og Italia. Mannen hadde frosset i hjel for ca.

5300–5100 a˚r siden og deretter blitt bevart i en isbre.

318

Karbonisotopen 14 C er en radioaktiv isotop som fins i alt som har vært levende. 14 C har en halveringstid pa˚ 5730 a˚r. Det betyr at halvparten av alle atomkjernene i isotopen «forsvinner» i løpet av 5730 a˚r.

Arkeologer bruker C-14-metoden til a˚ tidfeste for eksempel gamle beinrester eller planterester. a) Hvor gammel er en beinbit dersom den inneholder 75 % av den opprinnelige mengden 14 C? b) Hvor mange prosent av den opprinnelige mengden 14 C inneholdt ismannen O¨zti da han ble funnet?

319

Arealet av overflaten til verdenshavene er ca. 361 230 000 km2 , og gjennomsnittsdybden er ca. 3,2 km. Havet inneholder ca. 3,5 % salt og 1 g gull per liter havvann. Jordas diameter er ca. 12 700 km ca.

200 000 ved ekvator. a) Hvor mye salt inneholder havet?

Hvor mye gull er b) Hvor mye gull inneholder havet? det i Atlanterhavet? c) Hvor tykt vil saltlaget bli hvis du kan legge alt saltet oppa˚ jordas overflate?

320

Hans La˚net betaler hver ma˚ned 1500 kr i avdrag pa˚ et la˚n. En ma˚ned betaler han 1700 kr i renter og avdrag. Renten betaler han etterskuddsvis. Renten er 6 % p.a.

Hvor stort restla˚n har han etter at de 1700 kr er betalt?

Repetisjonsoppgaver kategori 3

29

Tekstfarge plate (30,1)

Repetisjonsoppgaver kategori 3

321

30

Tabellen viser antall drepte rovdyr (bjørn, ulv og jerv) i Norge i perioden 1986 til 2003: A˚r

Antall bjørn

Antall ulv

Antall jerv

1986

3

0

4

1987

1

0

5

1988

4

1

10

1989

0

1

2

1990

1

1

1

1991

0

0

2

1992

2

0

5

1993

3

3

10

1994

3

0

13

1995

1

0

17

1996

1

0

16

1997

3

0

17

1998

3

0

19

1999

5

1

22

2000

5

2

31

2001

6

17

41

2002

3

2

48

2003

1

7

38 Kilde: SSB

a) Presenter utviklingen av antallet drepte rovdyr i Norge i samme linjediagram. Bruk forskjellig farge pa˚ de ulike rovdyrene. b) Hva var gjennomsnittlig antall drepte bjørn, ulv og jerv i perioden?

Bjørnemor med to unger

Tekstfarge plate (31,1)

322

Daniel G. Fahrenheit (1686–1736) lagde en temperaturskala som satte vannets frysepunkt til 32 F og vannets kokepunkt til 212 F. Anders Celsius (1701–1744) lagde en temperaturskala som satte vannets frysepunkt til 0 C og vannets kokepunkt til 100 C. Lag en omregningsformel fra a) fahrenheitgrader (F) til celsiusgrader (C) b) celsiusgrader (C) til fahrenheitgrader (F)

Anders Celsius – svensk astronom og fysiker fra Uppsala

323

Hanna satte 5680 kr i banken den 7. august. Hun fikk 4,75 % p.a. i rente. Etter en tid tok hun ut alle pengene, 5729,50 kr, renter medregnet.

Hvilken dato tok hun ut pengene?

324

Simen spiller Monopol med noen venner. For a˚ vinne trenger Simen a˚ sla˚ summen 10 med to terninger.

Hva er sannsynligheten for at Simen ikke klarer a˚ sla˚ summen 10?

325

Onkel Kim vil ha høyere lønn. Hvis han fa˚r en lønnsøkning pa˚ 4 %, blir hans nye ma˚nedslønn pa˚ 26 000 kr.

Hvilken ma˚nedslønn har onkel Kim i dag?

326

L. Aste skal kjøre bort 320 m3 jord. Lasteplanet pa˚ lastebilen er 2,2 m bredt, 6,0 m langt og 1,2 m høyt.

Hvor mange lass ma˚ hun kjøre bort?

Repetisjonsoppgaver kategori 3

31

Tekstfarge plate (32,1)

Repetisjonsoppgaver kategori 3

327

32

Avstanden fra den magnetiske nordpolen til den geografiske nordpolen var i 2004 ca. 800 km.

Hvilken ma˚lestokk har kartet?

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

328

Regn ut omkrets og areal av det skraverte omra˚det. a) 6 cm

3 cm

b)

3 cm

329

Skriv svaret som e´n potens eller sa˚ enkelt som mulig. a) 32 73 c) ð2xÞ2 ð3xÞ2 e) ð3xÞ2 ð3xÞ3 b)

ð2aÞ2 ð2aÞ

2a 3

d)

4x 3

2x ð2xÞ2

f) 5a2 :

ð5aÞ2 4

Tekstfarge plate (33,1)

330

Et tog kjørte med jevn fart. Toget brukte 6 sekunder pa˚ a˚ komme inn i en tunnel, og det tok 30 sekunder fra lokomotivet begynte a˚ ga˚ inn i tunnelen til hele toget var ute av tunnelen igjen. Tunnelen var 324 m lang. a) Hvilken fart hadde toget? Oppgi svaret i m/s og km/h. b) Hvor langt var toget?

331

Hvert a˚r sender sola en energistrøm mot jorda. Av denne energistrømmen blir 35,7 % reflektert tilbake til verdensrommet, 33 % ga˚r til oppvarming av havene, 14 % ga˚r til oppvarming av fastlandet, 17 % ga˚r til oppvarming av atmosfæren, 0,2 % til vind og bølger og 0,1 % til plantevekst pa˚ jorda.

Vis solas energistrøm i et sektordiagram.

Solstra˚ler trenger gjennom skylaget og treffer jordoverflaten.

332

Regn ut omkrets og areal av den likesidete trekanten, na˚r h = 4,3 cm.

4,3 cm

333

Regn ut. Skriv svaret sa˚ enkelt som mulig. a)

2 1 3 5 + -- + 3 2 4 6

b)

4 7 2 -- 1 + -9 3 6

c) 1

1 4 3 + -+3 7 6 14

Repetisjonsoppgaver kategori 3

33

Tekstfarge plate (46,1)

Oppsummering Faktor 1–3 Tall og algebra Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0.

1

2 3

4 5

6

...

Vi kan skrive naturlige tall pa˚ utvidet form.

1234 = 1 1000 + 2 100 + 3 10 + 4 1

Partall og oddetall Partall er hele tall som er delelige med 2.

2

4 6

8 10 ...

Oddetall er hele tall som ikke er delelige med 2.

1

3 5

7 9

11

...

Primtall og sammensatte tall Primtall er naturlige tall som bare er delelige med 1 og seg selv.

Oppsummering

2

46

3 5

7 11 13

17 ...

Sammensatte tall kan skrives som et produkt av naturlige tall som er større enn 1.

42 = 2 3 7

Faktorisering Na˚r vi faktoriserer et tall, skriver vi tallet som et produkt med flere faktorer.

24 = 3 8

24 = 4 6

24 = 2 12

Primtallsfaktorisering: 24 = 2 2 2 3

Alle faktorene er primtall

Tekstfarge plate (47,1)

Desimaltall Et desimaltall besta˚r av et helt tall og desimaler.

Tallet 64,32 har to desimaler.

Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for verdien til sifferet.

6 4,3 2

TIERE

ENERE

TIDELER HUNDREDELER

De fire regneartene Addisjon Ledd + ledd = sum

Subtraksjon Ledd – ledd = differanse

Multiplikasjon Faktor . faktor = produkt

Divisjon Dividend : divisor = kvotient

Potenser Na˚r vi multipliserer tall eller variabler som er like store, kan vi skrive dem som en potens.

5 5 5 5 5 5 = 56 x x x = x3 Na˚r vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer.

23 24 = 23 + 4 = 27 x3 x2 = x3 + 2 = x5 Na˚r vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren.

56 : 52 =

56 = 56 -- 2 = 54 52

x6 : x2 =

x6 = x 6 -- 2 = x 4 x2

Oppsummering 47

Tekstfarge plate (48,1)

Tall pa˚ standardform og pa˚ utvidet form Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall pa˚ standardform.

250 000 =

2,5 105

Vanlig form

Standardform

0,0025

=

Vanlig form

2,5 10 3 Standardform

Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall pa˚ utvidet form.

24 537 = 2 10 000 + 4 1000 + 5 100 + 3 10 + 7 1 = 2 104 + 4 103 + 5 102 + 3 101 + 7 100 385,39 = 3 100 + 8 10 + 5 1 + 3 0,1 + 9 0,01 = 3 102 + 8 101 + 5 100 + 3 10 1 + 9 10 2

Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall.

5 5 = 52 = 25 25 er et kvadrattall.

Oppsummering

Kvadratrot

48

Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25

Trekanttall Vi fa˚r trekanttall ved a˚ summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover.

1+2=3 1+2+3=6

3 er et trekanttall 6 er et trekanttall

Tekstfarge plate (49,1)

Negative tall Negative tall er alle tall som er mindre enn 0.

–4

–3

–2

–1

Negative tall

0

1

2

3

4

Positive tall

Regning med fortegnstall ˚ legge til et negativt tall er det samme som a˚ trekke fra det tilsvarende A positive tallet.

10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3 ˚ trekke fra et negativt tall er det samme som a˚ legge til det tilsvarende A positive tallet.

10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17 Na˚r vi multipliserer eller dividerer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall.

25 ð--5Þ = --125 25 : ð--5Þ ¼ --5 Na˚r vi multipliserer eller dividerer to negative tall, blir svaret et positivt tall.

--25 ð--5Þ = 125 --25 : ð--5Þ = 5

Romertall I romertallsystemet bruker vi bokstaver som symboler for tall.

I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1000

Na˚r et mindre romertall sta˚r foran et større tall, trekker vi det minste tallet fra det største.

Na˚r det største tallet sta˚r først, skal du addere tallene. Vi plasserer aldri romertallene V, L eller D foran et tegn med høyere verdi.

Oppsummering 49

Tekstfarge plate (50,1)

Totallssystemet I totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dette tallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.).

11011

16 (24)

8 (23)

4 (22)

2 (21)

1 (20)

Tallet 11011 i totallssystemet er 11011 = 1 24 + 1 23 + 0 22 + 1 2 + 1 1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27 i titallssystemet.

Brøk En brøk besta˚r av teller, nevner og brøkstrek. Brøkstreken er det samme som divisjonstegn.

3 4

Teller Brøkstrek Nevner

Oppsummering

Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1.

50

5 =1 5

Uekte brøk og blandet tall 3 2

=

1

1 2

Uekte brøk Blandet tall

Tekstfarge plate (51,1)

Utviding og forkorting av brøk Na˚r vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med det samme tallet.

1 1 3 3 = = 5 5 3 15 Na˚r vi forkorter en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det samme tallet.

4 4:4 1 = = 16 16 : 4 4

Addisjon og subtraksjon av brøker Na˚r vi skal addere eller subtrahere to eller flere brøker som har like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren.

7 5 7 -- 5 2 -- = = 9 9 9 9 Hvis brøkene ikke har lik nevner, ma˚ vi først finne fellesnevner.

2 1 2 4 1 3 8 3 8 + 3 11 + = + = + = = 3 4 3 4 4 3 12 12 12 12

Brøk og desimaltall En brøk kan skrives som desimaltall. Da dividerer vi telleren med nevneren.

3 = 3 : 5 = 0,6 5 Alle desimaltall kan skrives som en brøk med nevneren 10, 100, 1000 osv.

0,12 =

12 100

Mange brøker kan ikke skrives som et eksakt desimaltall. Da runder vi av til ønsket antall desimaler.

2 = 0,6666 . . . 0,67 3

Oppsummering 51

Tekstfarge plate (52,1)

Brøk og multiplikasjon Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved a˚ multiplisere det hele tallet med telleren.

4

2 4 2 8 2 = = =2 3 3 3 3

Vi multipliserer to eller flere brøker med hverandre ved a˚ multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren.

1 2 1 2 2 = = 3 3 3 3 9

Brøk og divisjon Vi dividerer en brøk med en brøk ved a˚ multiplisere med den omvendte brøken.

4 1 4 2 8 : = = 9 2 9 1 9

4:

2 4 3 12 = = =6 3 1 2 2

Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved a˚ dividere tallene med hverandre.

Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 =

1 =1:5 5

Oppsummering

Prosent

52

Prosent betyr hundredeler.

5%=

5 100

Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall 5% =

5 = 0,05 100

Prosent Brøk

Desimaltall

Tekstfarge plate (53,1)

Prosenten av et tall Na˚r vi skal regne ut prosenten av et tall, gjør vi om prosenten til desimaltall og multipliserer med tallet.

5 % av 500 kr er 0,05 500 kr = 25 kr

˚ finne prosenten A Vi finner ut hvor mange prosent 40 kr er av 250 kr slik:

40 kr = 0,16 250 kr 0,16 =

16 100

Det betyr at 0,16 = 16 % 40 kr er 16 % av 250 kr

Promille Promille betyr tusendeler.

Vi regner med promille pa˚ samme ma˚te som vi regner med prosent.

5‰=

5 = 0,005 1000

5 ‰ av 12 000 kr er 0,005 12 000 kr = 60 kr

Utregning av talluttrykk Na˚r det er flere regnearter i et talluttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1 2 3

parenteser multiplikasjon og divisjon addisjon og subtraksjon

5 + 3 (4 + 2) = 5 + 3 6 = 5 + 18 = 23

Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven sta˚r da i stedet for et hvilket som helst tall.

Bokstaven kaller vi en variabel.

A = g h O = 2a + 2b

Oppsummering 53

Tekstfarge plate (54,1)

Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved a˚ sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk.

Hvis vi setter a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b fa˚r vi: 2a + 2b = 2 4 + 2 6 = 8 + 12 = 20

Regning med bokstavuttrykk Na˚r vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd.

5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b 3x 5y = 15xy 3a2 2a3 = 6a5 4x 7 : 2x 3 = 2x 4

Bokstavuttrykk og parenteser Na˚r vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen.

Oppsummering

4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3

54

Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved a˚ endre fortegnene pa˚ alle leddene inne i parentesen.

6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y Hvis det sta˚r et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, ma˚ vi bytte fortegn pa˚ alle leddene inne i parentesen.

2xð5 + 7Þ = 2x 5 + 2x 7 = 10x + 14x = 24x --2xð5 -- 7Þ = --2x 5 -- 2x ð--7Þ = --10x + 14x = 4x

Tekstfarge plate (55,1)

Multiplikasjon av to parentesuttrykk Na˚r vi multipliserer to parentesuttrykk med hverandre, multipliserer vi hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða + 2Þ ð2a -- 3Þ = a 2a + a ð -- 3Þ + 2 2a + 2 ð -- 3Þ = 2a2 -- 3a + 4a -- 6 = 2a2 + a -- 6

Faktorisering Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt av primtallsfaktorer.

15x 2 y = 3 5 x x y Vi faktoriserer før vi forkorter en brøk.

4x 2 y 2 2 x x y 2x = = 6xy 2 3 x y 3

Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk.

3 5 2 + -= 4x 6x 3x 3 3 5 2 2 4 + -= 4x 3 6x 2 3x 4 9 10 8 + -= 12x 12x 12x 11 12x

Fellesnevner er 12x.

Likninger og ulikheter Løsing av likninger I en likning er det to uttrykk som har samme verdi, ett pa˚ hver sin side av likhetstegnet. ˚ løse en likning vil si a˚ bestemme den ukjente, slik at begge sider av A likhetstegnet fa˚r samme verdi. x + 5 = 11 har løsningen x = 6, fordi 6 + 5 = 11

Oppsummering 55