Page 1

Faktor

atiinknket Mauntgedm omstr

10

Faktor

for

på Komponenter 8.u–n1nb0ok.  tOrpipnganve: Gr

Bokmål

Lærerensbok pgavebok

Alternativ op

Faktor Ddigui.ntaol) (faktor.c

PONENTER: TILLEGGSKOM Eksamensforberedende hefte

Temahefter

Regelhefte

ma Faktora

d) (nettste

Faktor

te

Grunnbok

Fordypningshef

10

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

Grunnbok ISBN 978-82-02-47556-7 ISBN 978-82-02-47556-7

9 788202 475567 www.cdu.no

Matematikk for ungdomstrinnet

Bokmål


Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner

Faktor

10 Grunnbok Bokmål


Dette er Faktor 10 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:

Hvert kapittel i grunnboka består av fire deler:

Noen oppgaver er merket med disse symbolene:

Lærestoff og oppgaver

Kalkulator

Prøv deg selv

Finn ut

Noe å lure på Oppsummering

Faktor 10

Hei til deg som skal bruke Faktor!

?

Frioppgave Digitale verktøy Utfordrende oppgave

Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av kalkulator, regneark og GeoGebra. I oppgaveboka finner du øvingsoppgaver i tre vanskelighetsgrader til hvert kapittel. Alle kapitler har også et oppgavesett med repetisjonsoppgaver. Kategori 1 Litt av hvert

Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgaver for digitale verktøy

Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære! Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet!

Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

3


Innhold

Innhold 1 Tall og algebra .......................... 6 Tallsystemer ..................................... 8 Problemløsing................................ 15 Proporsjoner .................................. 19 Regning med variabler.................. 23 Prøv deg selv .................................. 36 Noe å lure på ................................. 38 Oppsummering ............................... 40 2 Geometri og beregninger ....... 42 Pytagoras-setningen ...................... 44 Spesielle trekanter ......................... 49 Konstruksjon og beregning........... 54 Formlikhet og kongruens.............. 64 Kongruensavbildninger ................. 71 Perspektivtegning.......................... 84 Geometri i teknologi, kunst og arkitektur .................................. 89 Prøv deg selv .................................. 95 Noe å lure på ................................. 99 Oppsummering ............................. 100 3 Funksjoner ............................. 104 Funksjoner i dagliglivet ............... 106 Lineære funksjoner...................... 111 Grafen til kvadratiske funksjoner .................................... 119 Proporsjonale størrelser............... 124 Omvendt proporsjonale størrelser ...................................... 129 Prøv deg selv ................................ 133 Noe å lure på ............................... 135 Oppsummering ............................. 137

4

4 Likninger og ulikheter........... 140 Å løse likninger............................ 142 Problemløsing og likninger ......... 149 Grafisk løsing av likninger........... 153 To likninger med to ukjente ....... 157 Ulikheter ...................................... 165 Omforming av formler ................ 170 Prøv deg selv ................................ 173 Noe å lure på ............................... 175 Oppsummering ............................. 177 5 Romgeometri og massetetthet .......................... 180 Rett prisme og sylinder............... 182 Volumet til en pyramide ............. 187 Volumet til en kjegle................... 190 Volumet og arealet av overflaten til en kule ................... 195 Massetetthet ................................ 199 Bruk av formler til problemløsing.............................. 206 Prøv deg selv ................................ 210 Noe å lure på ............................... 213 Oppsummering ............................. 215


7 Økonomi................................. 262 Lønn og skatt .............................. 264 Lån og kredittkort ....................... 271 Forsikringer .................................. 277 Budsjett og regnskap .................. 279 Valuta ........................................... 283 Prøv deg selv ................................ 290 Noe å lure på ............................... 293 Oppsummering ............................. 295

Innhold

6 Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet ................... 218 Statistiske undersøkelser ............. 220 Feilkilder i statistikk ..................... 225 Tolking av linjediagram............... 230 Kombinatorikk ............................. 233 Sannsynlighet ved én eller flere hendelser............................. 240 Forsøk og simulering................... 245 Vanlige feil i sannsynlighetsregning ........................................ 250 Prøv deg selv ................................ 254 Noe å lure på ............................... 257 Oppsummering ............................. 259

Manual for digitale verktøy ...... 296 Kalkulatoren................................. 297 Regneark ...................................... 300 GeoGebra..................................... 304 Fasit ............................................. 312 Stikkord ....................................... 344

5


Avstanden til sola er 1,5  108 km.

Bakterien er 1,5  10 -- 3 mm.


1

Tall og algebra

Vi kan skrive tall på forskjellige måter. Når tallene er svært store eller svært små, er det vanlig å skrive dem på standardform. Vi bruker potenser av 10 (10--3 , 10--2 , 10--1 , 100 , 101 , 102 , 103 , osv.) når vi skriver tallene på den måten.

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . . .

tall i forskjellige posisjonssystemer store og små tall på standardform egenskaper ved spesielle tall proporsjoner variabeluttrykk med parenteser og brøk

Hva er forskjellen på tallene?


Tall og algebra

Tallsystemer Jeg tror de to tallene er like store.

Jeg er ikke sikker!

250 000 000 2,5 . 10 8

Hvordan skriver vi store og små tall på standardform?

Titallssystemet Vi kan skrive 250 000 000 på standardform. Da setter vi desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet og multipliserer med en tierpotens: 250 000 000 = 2,5 108

Vi har flyttet desimaltegnet åtte plasser til venstre.

8


Tall og algebra

Vi kan også skrive små tall på standardform. Vi ser først på disse an sammenhengene ved hjelp av regelen m = an -- m : a 1 10 = 101--0 = 101 = 10 100 101 = 101--1 = 100 = 1 101 Den negative 101 = 101--2 = 10--1 = 0,1 2 eksponenten forteller oss 10 hvor mange plasser vi har osv.

flyttet desimaltegnet!

På samme måte blir 0,01 = 10–2 , 0,001 = 10–3 , osv. Det betyr at vi kan skrive for eksempel 0,0000025 slik: 0,0000025 =

2,5 = 2,5  10--6 106

Vi setter altså desimaltegnet mellom den siste og den nest siste desimalen og dividerer med en tierpotens. Det tallsystemet vi bruker – titallssystemet – er et plassverdisystem. Det betyr at hvert siffer i et tall har en verdi som bestemmes av hvor sifferet er plassert.

HUNDRERE

TIERE

ENERE

TIDELER

HUNDREDELER

TUSENDELER

Vi sier at sifferet 4 har plassverdi hundre, sifferet 3 plassverdi ti, sifferet 5 plassverdi en, sifferet 8 plassverdi tidel, sifferet 7 plassverdi hundredel og sifferet 6 plassverdi tusendel. 1 Vi kan skrive tallet 435,87 på utvidet form:

Husk! 10 = 10 og 100 = 1

435,87 = 4  100 + 3  10 + 5  1 + 8  0,1 + 7  0,01 Når vi bruker standardform på tierpotensene, blir det slik: 435,87 = 4  102 + 3  101 + 5  100 + 8  10--1 + 7  10--2

9


Tall og algebra

Regel

Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Vi skriver små tall som er mindre enn 1 på standardform ved å plassere desimaltegnet bak den første desimalen som ikke er 0. Deretter multipliserer vi med en tierpotens med negativ eksponent. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet. Eksempel 1:1

Skriv tallene på standardform. a) 29 000 000

b) 0,00034

Løsning a) 29 000 000 = 2,9  107

b) 0,00034 = 3,4  10--4

Oppgaver 1.1

1.2

Skriv tallene på standardform. a) 2500 c) 42 000 b) 35 000 d) 120 000

e) 270 000 f ) 1 300 000

g) 2070 h) 30 040

Ammonitter var en gruppe blekkspruter som det fantes mange av for ca. 200 millioner år siden. Skriv 200 millioner på standardform. Ammonitter døde ut på slutten av perioden Kritt for ca. 65 millioner år siden.

10


1.4

Skriv tallene på standardform. a) 5 400 000 c) 2 050 000 b) 103 000 d) 25 000 000

e) 4 070 000 f) 9 060 000 000

Skriv tallene på standardform. a) 0,05 c) 0,0008 b) 0,006 d) 0,00075

e) 0,0085 f) 0,00039

1.5

Regn ut og skriv svarene på standardform. a) 500  4000 c) 2 400 000 000 : 3000 b) 2400  15000 d) 65 000 000 000 : 50

1.6

Skriv tallene på utvidet form. a) 23 493 c) 4 003 129 b) 102 784 d) 50 362 100

e) 500 603 f) 1 030 406

1.7

Skriv tallene på vanlig måte. a) 3  100 + 2  10 + 7  1 b) 5  1000 + 7  100 + 4  1 c) 5  10000 + 7  1000 + 4  10 d) 5  100000 + 7  10000 + 4  100 + 9  1

1.8

Skriv tallene på vanlig måte. a) 3  102 + 2  101 + 7  10 + 5  10--1 b) 5  103 + 7  102 + 4  10--1 + 3  10--2 c) 5  104 + 7  103 + 4  101 d) 5  103 + 7  102 + 4  101 + 3  10--1 + 2  10--2

? 1.9

Tall og algebra

1.3

Finn tre eksempler på at et produkt av to tierpotenser blir 1 million.

Skriv tallene på vanlig måte. a) 6  104 + 7  103 + 5  101 + 9  10--1 b) 2  103 + 8  102 + 5  10 + 9  10--1 + 3  10--2 c) 5  103 + 4  102 + 1  10 + 7  10--1 + 8  10--2 + 2  10--3 d) 1  103 + 7  102 + 5  101 + 5  10--1 + 9  10--2 + 4  10--3 + 7  10--4

1.10 Skriv tallene på utvidet form. a) 483 c) 291,67 b) 34,75 d) 29,273

e) 7,938 f) 5,076

11


Tall og algebra

Totallssystemet Databehandling i datamaskiner bygger på totallssystemet. Det er også et plassverdisystem. Titallssystemet består av ti siffer, mens totallssystemet bare har to siffer, 0 og 1.

Datamaskinen bruker strøm og totallssystemet for å angi data!

Ja, «strøm» = 1 og «ikke strøm» = 0.

Verdien til hver sifferplass i titallssystemet er en potens av tallet 10, mens verdien til hver sifferplass i totallssystemet er en potens av tallet 2. Her ser du verdiene til de fem første posisjonene i totallssystemet: Plassverdi

Seksten

Åtte

Fire

To

Én

24

23

22

21

20

Potens av 2

Et eksempel på et tall i totallssystemet er 11011 (én, én, null, én, én):

1 1 0 1 1

16 ð24 Þ

8 ð23 Þ

4 ð22 Þ

2 ð21 Þ

Vi ser at plassverdiene her er seksten, åtte, fire, to og én.

12

1 ð20 Þ


11011 = = = =

1  24 + 1  23 + 0  22 + 1  21 + 1  20 1  16 + 1  8 + 0  4 + 1  2 + 1  1 16 + 8 + 0 + 2 + 1 27

Tall og algebra

Tallet 11011 (én, én, null, én, én) i totallssystemet kan skrives i titallssystemet:

Tallet 11011 i totallssystemet er altså 27 i titallssystemet.

Totallssystemet kalles også det binære tallsystem! 250 000 000 2,5 · 10⁸

Eksempel 1:2

Skriv 10111 i totallssystemet som et tall i titallssystemet. Løsning 10111 = 1  24 + 0  23 + 1  22 + 1  21 + 1  20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 Tallet 10111 i totallssystemet er 23 i titallssystemet.

13


Tall og algebra

Oppgaver 1.11 Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene som tall i titallssystemet. a) 11 c) 101 e) 10101 b) 111 d) 1101 f) 110011 1.12 Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene som tall i titallssystemet. a) 1111 c) 110100 e) 110001 b) 1000 d) 1001 f) 111111 1.13 Skriv av og sett inn riktig tegn, >, < eller =, i de tomme rutene. Tall i totallssystemet

>, < eller =

Tall i titallssystemet

10101

21

11011

24

1001

10

111111

111

1.14 Tallene nedenfor er skrevet i titallssystemet. Skriv tallene i totallssystemet. a) 7 d) 48 b) 13 e) 10 c) 29 f) 100

?

Når du multipliserer to tall som begge ender på 5, vil svaret også alltid ende på 5. Hvorfor blir det slik?

14

«Bi» betyr dobbelt, det vil si to ganger.


Du er tre ganger så gammel som søsteren din.

Jeg er også ti år eldre enn henne!

Tall og algebra

Problemløsing

Hvor gammel er Herman og søsteren hans?

Løsning ved hjelp av en tabell Vi kan bruke en tabell til å vise at Herman er både ti år eldre og tre ganger så gammel som søsteren sin. Vi prøver oss fram med ulike aldre: Søsterens alder

Ti år eldre enn søsteren

Tre ganger så gammel som søsteren

1 år

11 år

3 år

2 år

12 år

6 år

3 år

13 år

9 år

4 år

14 år

12 år

5 år

15 år

15 år

6 år

16 år

18 år

Vi ser her at når Herman er 15 år, er han både ti år eldre enn søsteren sin og tre ganger så gammel som henne når hun er 5 år.

15


Tall og algebra

Løsning ved hjelp av likning Vi kan også løse problemet ved å sette opp en likning: Søsterens alder:

Ti år eldre enn søsteren:

x år

(x + 10) år

Vi løser likningen.

Tre ganger så gammel som søsteren: 3  x år

Ettersom Herman både skal være ti år eldre enn og tre ganger så gammel som søsteren, får vi denne likningen: x + 10 = 3  x Vi løser likningen slik: x + 10 10 10 2x

= = = =

3x 3x -- x 2x 10

Vi trekker fra x på begge sider av likhetstegnet.

x=5 Det betyr at søsteren er 5 år. Vi ser at både 5 + 10 og 3  5 blir 15. Altså er Herman 15 år. Eksempel 1:3

Simen har 40 kr mer enn Lotte. Det er samtidig dobbelt så mye som det Lotte har. Hvor mange kroner har Simen? Løsning Vi løser oppgaven ved å sette opp en likning. Lotte har: 40 kr mer enn Lotte: Dobbelt så mye som Lotte: x kr (x + 40) kr 2  x kr x + 40 = 2  x 40 = 2x -- x 40 = x x = 40

Vi trekker fra x på begge sider av likhetstegnet.

Lotte har 40 kr. 40 + 40 = 2  40 = 80 Simen har 80 kr.

16


Tall og algebra

Oppgaver 1.15 Sara har dobbelt så mange kroner som Herman. Det er 20 kr mer enn det Herman har. Hvor mange kroner har Herman?

1.16 Et tall er dobbelt så stort som et annet tall. Summen av de to tallene er 45. Hvilke to tall er det? ledd + ledd = su 1.17 Summen av to tall er 25. Differansen mellom de samme to tallene er 5. Hvilke to tall er det?

m ledd – ledd = diff eranse faktor  faktor = produkt dividend : divisor = kvotient

Husk dette!

?

En flaggermus spiste totalt over 1000 mygg i løpet av fire påfølgende netter. Hver natt spiste den 25 flere mygg enn natten før. Hvor mange mygg kan den ha spist den første natten?

17


Tall og algebra

Geysiren Stokkur har regelmessige utbrudd hvert 2. til hvert 6. minutt. Kokende vann spruter opptil 20 m opp i lufta.

1.18 Sara, Martin og Lotte tar ulike småjobber for å skaffe seg lommepenger til en tur til Island. Nå skal de dele 490 kr. Sara skal ha dobbelt så mye som Martin. Lotte skal ha 10 kr mindre enn Sara. Hvor mange kroner skal hver av dem ha?

1.19 Et tall er 9 større enn et annet tall. Når du multipliserer det minste tallet med 8 og det største tallet med 2, får du det samme produktet. Hvilke to tall er det? Originale Originale

1.20 Simen kjøper noen små pizzaer og noen store pizzaer. En liten pizza koster 120 kr. En stor pizza koster 160 kr. Simen betaler 920 kr til sammen. Hvor mange pizzaer kjøper han?

18

Originale Originale Originale Originale

Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale Originale


Jeg skal bruke en tredel av sparepengene mine.

Jeg skal bruke en firedel av mine sparepenger.

Tall og algebra

Proporsjoner

Hvordan forklarer du at Simon og Lotte vil bruke like mye penger?

En firedel av 1600 kr er

1600 kr = 400 kr. 4

En tredel av 1200 kr er

1200 kr = 400 kr. 3

Brøkene

1600 1200 og har samme verdi. 4 3

Dette kan vi sette opp slik: 1600 kr 1200 kr = = 400 kr 4 3 Uttrykket

1600 1200 = er en proporsjon. 4 3

En proporsjon er et uttrykk som viser at to forhold er like store. Hvis ett av tallene i en proporsjon er ukjent, kan vi finne dette tallet ved ü løse proporsjonen som en likning.

19


Tall og algebra

Eksempel 1:4

Onkel Jens tjener 40 000 kr per måned. Han sparer måned. Tante Monica sparer

1 av lønna hver 20

1 av sin lønn hver måned. De sparer like 25

mange kroner. Hvor mye tjener tante Monica per måned? Løsning Tante Monica tjener x kr. Hun sparer

x kr per måned. 25

Onkel Jens sparer

40 000 kr per måned. 20

Proporsjonen blir: x 40 000 = 25 20 x  25 40 000  25 = 25 20

Vi multipliserer alle ledd med 25.

x = 50 000 Tante Monica tjener 50 000 kr per måned.

Oppgaver 1.21 Regn ut x i proporsjonene.

20

a)

x 50 = 5 10

d)

2800 x = 100 8

g)

15 10 = 6 x

b)

x 90 = 8 6

e)

5 10 = x 6

h)

15 3 = 10 x

c)

250 x = 10 12

f)

12 2 = x 3

i)

15 x = 6 4


Tall og algebra

1.22 Sara har 6000 kr i banken. Hun tar ut en tredel av pengene. Simen tar ut en firedel av de pengene han har i banken. De tar ut like mange kroner. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange kroner Simen har i banken.

1.23 En sementblanding består av 5 bøtter sement og 20 bøtter sand. I en annen sementblanding, med samme blandingsforhold, er det 24 bøtter sand.

Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange bøtter sement det er i den andre blandingen. 1.24 Forholdet mellom de lengste og de korteste sidene i to formlike rektangler er likt.

6 cm 4 cm

9 cm

Sett opp en proporsjon og regn ut hvor lang den korteste siden i det minste rektangelet er.

21


Tall og algebra

?

Hanna, Sara og Lotte har 21 brusflasker: 7 er fulle, 7 er halvfulle og 7 er tomme. Kan de fordele flasker og innhold slik at alle inneholder like mye? Begrunn svaret.

1.25 På en skole er forholdet mellom antall jenter og antall gutter 5 : 4. Det er 108 gutter på skolen. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvor mange jenter det er på skolen. 1.26 På et kart i målestokken 1 : 10 000 er det 9 cm mellom Hoppegropa og Buldrefossen. På et annet kart er det 6 cm mellom de to stedene. Sett opp en proporsjon, og regn ut hvilken målestokk det andre kartet har.

22


???

Tall og algebra

Regning med variabler

2(x – 2y) – 2(x – y)

Hvordan kan Herman regne ut uttrykket på tavla? Når vi skal regne ut bokstavuttrykk med parenteser, må vi løse opp parentesene. Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, må vi multiplisere hvert ledd inne i parentesen med dette tallet eller bokstavuttrykket. Vi regner ut uttrykket på tavla slik: 1

2

1

2

2ðx -- 2yÞ -- 2ðx -- yÞ = ð2x -- 4yÞ -- ð2x -- 2yÞ = 2x -- 4y -- 2x + 2y = --2y

Husk at vi forandrer fortegnet foran leddene inne i parentesen når det står minus foran parentesen!

23


Tall og algebra

Eksempel 1:5

Trekk sammen uttrykket 3xðx -- 2Þ -- 2xðx + 4Þ så mye som mulig. Løsning 3xðx -- 2Þ -- 2xðx + 4Þ = ð3x 2 -- 6xÞ -- ð2x 2 + 8xÞ = 3x 2 -- 6x -- 2x 2 -- 8x = x 2 -- 14x

Oppgaver 1.27 Trekk sammen. a) 3x + 2x b) 5x -- x c) 5a -- 4a

d) 3a + b -- a -- 3b e) 3x -- y -- 5x + 4y f) x + 2y -- y -- 3x + 2x

1.28 Løs opp parentesene og regn ut. a) ð2x -- 2yÞ -- ðx -- 3yÞ d) 3a -- ða -- bÞ + ð2a -- 3bÞ b) ð5x -- yÞ + ð--2x + 3yÞ e) ð--3a + bÞ -- ð3a + bÞ f) 2x -- ð--x -- 2yÞ -- 3x c) ð--2a + bÞ + ð5a + 2bÞ 1.29 Regn ut. a) 2ðx -- 3Þ + 3x b) 5a -- 2ð2a -- 3Þ c) ðx -- 2yÞ + 2ðx -- yÞ

d) 2x -- 2ð2x -- yÞ + 3x e) 3ð2a -- 2bÞ -- 2ða + 3bÞ f) 5x -- 2ðx -- 2yÞ + 3ðx + yÞ

1.30 Regn ut. a) 2xðx -- 3Þ -- 2x b) xðx -- yÞ + 2x 2 c) xð2x -- yÞ -- 2xðx -- 2yÞ

d) 5x -- 3xðx -- 2Þ -- xðx + 2Þ e) a2 -- 2aða -- bÞ + 2ab f) að2a -- bÞ -- 3aða + 2bÞ

?

24

Hvor mange ganger i løpet av en 12-timers periode blir summen av timer og minutter som vises på en digital klokke, lik 6?


Noen multiplikasjonsstykker består av to eller flere parentesuttrykk, som for eksempel ða + bÞ  ðc + dÞ Når vi skal multiplisere parentesuttrykkene med hverandre, multipliserer vi hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen.

Tall og algebra

Multiplikasjon av to parentesuttrykk

ða + bÞ  ðc + dÞ = ac + ad + bc + bd Vi kan illustrere dette slik: 2

1

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd 3

4

Regel

Vi multipliserer to parentesuttrykk ved å multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen: ða + bÞðc + dÞ = ac + ad + bc + bd Eksempel 1:6

Regn ut. a) ða + 2Þ  ða -- 3Þ

b) ð2x -- 1Þ  ðx + 2Þ -- 2ðx + 1Þ

Løsning a) ða + 2Þ  ða -- 3Þ

b) ð2x -- 1Þ  ðx + 2Þ -- 2ðx + 1Þ

= a -- 3a + 2a -- 6

= ð2x 2 + 4x -- x -- 2Þ -- ð2x + 2Þ

= a2 -- a -- 6

= 2x 2 + 4x -- x -- 2 -- 2x -- 2

2

= 2x 2 + x -- 4

25


Tall og algebra

Oppgaver 1.31 Regn ut. a) ðx + 1Þ  ðx + 2Þ b) ðx + 2Þ  ð2x -- 1Þ c) ð2 -- aÞ  ða + 3Þ

d) ða -- 2Þ  ða + 2Þ e) ð2x -- 1Þ  ð2 -- xÞ f) ðx -- 4Þ  ð2 -- xÞ

1.32 Regn ut. a) ða -- 2Þð2a -- 1Þ + 3a b) 2a + ða + 1Þð3a -- 2Þ

c) ð4a + 1Þða -- 1Þ -- 2a d) ðx + 2Þðx -- 2Þ -- ðx -- 3Þ

1.33 Regn ut. a) ð3x -- 1Þð2 -- xÞ b) ð2x -- 4Þð2 + xÞ c) ð4a + 1Þða -- 1Þ -- 2a

d) ðx + 2Þðx -- 2Þ -- 3x e) ð2x + 1Þ2 -- 4x 2 f) 4xðx -- 1Þ2

Kvadratsetningene Vi multipliserer tre spesielle parentesuttrykk: ða + bÞ2 = ða + bÞða + bÞ = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 ða -- bÞ2 = ða -- bÞða -- bÞ = a2 -- ab -- ab + b2 = a2 -- 2ab + b2 ða + bÞða -- bÞ = a2 -- ab + ab -- b2 = a2 -- b2

Tredje kvadratsetning kalles også for konjugatsetningen!

Disse utregningene viser de tre kvadratsetningene: = a2 + 2ab + b2 Første kvadratsetning: ða + bÞ2 Andre kvadratsetning: ða -- bÞ2 = a2 -- 2ab + b2 Tredje kvadratsetning: ða + bÞða -- bÞ = a2 -- b2 Eksempel 1:7

Regn ut. a) ðx + 3Þ2

b) ða -- 5Þ2

c) ðx + 2Þðx -- 2Þ

Løsning a) ðx + 3Þ2 = x + 2x3 + 3 2

= x 2 + 6x + 9

26

c) ðx + 2Þðx -- 2Þ

b) ða -- 5Þ2 2

= a -- 2  a  5 + 5 2

= a2 -- 10a + 25

2

= x 2 -- 22 = x 2 -- 4


+ 2)(x + 2)

Tall og algebra

2 2 (x (x + ) =

Oppgaver 1.34 Regn ut. a) ðx + 5Þ2 b) ðx + 4Þ2

c) ða -- 2Þ2 d) ða + 2Þða -- 2Þ

e) ðx -- 3Þ2 + 2x f) ðx + 1Þ2 -- 1

1.35 Regn ut. a) ðx -- 2Þ2 + 2x b) ð3x + 1Þ2 -- 4x 2

c) ðx -- 3Þ2 + x 2 d) ðx + 1Þ2 -- ðx -- 1Þ

e) ð3a + 2Þð3a -- 2Þ f) ðx + 4Þ2 -- 2ðx -- 2Þ

Faktorisering Sammensatte tall kan skrives som et produkt av primtall: 6 = 23 18 = 2  3  3 30 = 2  3  5

Primtall kan bare deles på seg selv og på 1!

På tilsvarende måte kan bokstavuttrykk skrives som et produkt av primtall og variabler: 6xy = 2  3  x  y 10x 2 = 2  5  x  x Når bokstavuttrykket har flere ledd, kan vi faktorisere uttrykket hvis leddene har én eller flere faktorer felles: 2x + 4 = 2  x + 2  2 = 2  ðx + 2Þ Her er 2 felles faktor. Den settes utenfor en parentes. 4a -- 8 = 2  2  a -- 2  2  2 = 2  2  ða -- 2Þ Her er 2  2 felles faktorer. De settes utenfor en parentes.

27


Tall og algebra

Eksempel 1:8

Faktoriser uttrykkene. a) 9xy

b) 6x 2 y

c) 12x -- 18

Løsning a) 9xy = 3  3  x  y b) 6x 2 y = 2  3  x  x  y c) 12x -- 18 = 2  2  3  x -- 2  3  3 = 2  3  ð2x -- 3Þ

Vi får bruk for faktorisering når vi skal forkorte brøker, særlig når tallene er store eller brøken inneholder bokstavuttrykk. Eksempel 1:9

Forkort brøkene mest mulig. 12 4x 2 6x -- 9 c) a) b) 6xy 18 6 Løsning a)

12 2  2  3 2 = = 18 2  3  3 3

b)

4x 2 2  2  x  x 2x = = 6xy 2  3  x  y 3y

c)

6x -- 9 2  3  x -- 3  3 3  ð2x -- 3Þ 2x -- 3 = = = 6 23 23 2

Oppgaver

28

1.36 Skriv tallene som produkt av primtall. a) 8 d) 16 b) 12 e) 18 c) 15 f) 22

g) 36 h) 56 i) 84

1.37 Faktoriser uttrykkene. a) 10xy c) 6a2 b b) 12ab d) 8x 2 y 2

e) 15xy 2 f) 51a3 b


e) 12a + 18 f) 8a -- 12

1.39 Faktoriser uttrykkene. a) 4ab -- 6b c) 8x 2 -- 2x b) 9ab + 6a d) 4a2 -- 6a

e) 10x 2 y -- 4x f) 12a + 18a2

Tall og algebra

1.38 Faktoriser uttrykkene. a) 2x + 6 c) 4x + 6 b) 3x -- 9 d) 10a -- 15

1.40 Forkort brøkene mest mulig. a)

6xy 8y

c)

4x 2 6x

e)

8xy 6x 2 y

g)

10a3 8a

b)

12xy 16xy

d)

4x 10x 2

f)

6a 10a2

h)

12a2 16a3

1.41 Forkort brøkene mest mulig. a)

4x + 8 2

c)

2a + 12 2a

e)

6xy + 3x 3x

b)

6x -- 9 6

d)

6a2 + 4a 8a

f)

8x 2 y -- 4xy 2 4xy

Faktorisering ved hjelp av tredje kvadratsetning Vi kan bruke tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a2 -- b2 = ða + bÞða -- bÞ Eksempel 1:10

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 -- 9

b) a2 -- 25

c) 2x 2 -- 8

b) a2 -- 25

c) 2x 2 -- 8

Løsning a) x 2 -- 9 = x 2 -- 32

= a2 -- 52

= 2ðx 2 -- 4Þ

= ðx + 3Þðx -- 3Þ

= ða + 5Þða -- 5Þ

= 2ðx 2 -- 22 Þ = 2ðx + 2Þðx -- 2Þ

29


Tall og algebra

Oppgaver 1.42 Faktoriser uttrykkene. b) x 2 -- 36 a) x 2 -- 16

c) x 2 -- 49

d) x 2 -- 100

1.43 Faktoriser uttrykkene. a) x 2 -- 4 c) 2a2 -- 8 b) x 2 -- 1 d) 3a2 -- 12

e) 3x 2 -- 27 f) 2x 2 -- 18

g) 2a2 -- 50 h) 2x 2 -- 200

Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøker når de har samme nevner (fellesnevner): 2 3 2+3 5 + = = 7 7 7 7 1 3 1 2 3 3 2 9 11 + = + = + = 6 4 6  2 4  3 12 12 12

Fellesnevneren for 6 og 4 er 12.

Vi bruker samme framgangsmåte når vi trekker sammen bokstavuttrykk. 2x 3x 2x + 3x 5x + = = 7 7 7 7 x 3x x  2 3x  3 2x 9x 11x + = + = + = 6 4 6 2 4 3 12 12 12

Fellesnevneren for 6 og 4 er 12.

Eksempel 1:11

Trekk sammen brøkene. a)

2a a + 9 6

b)

x 1 4 + -3 2x 6x

c)

3 2 + 2x -- 2 x -- 1

Løsning a) Fellesnevneren for 9 og 6 er 18. 2a a + 9 6

30

=

2a  2 a  3 + 92 63

=

4a 3a + 18 18

=

7a 18

Vi utvider brøkene slik at de får fellesnevneren 18.


Tall og algebra

b) Vi finner fellesnevneren: 3=3 2x = 2  x 6x = 2  3  x Fellesnevner: 2  3  x = 6x x 1 4 + -3 2x 6x =

x2x 13 4 + -3  2  x 2x  3 6x

=

2x 2 3 4 + -6x 6x 6x

=

2x 2 + 3 -- 4 6x

=

2x 2 -- 1 6x

Vi utvider to av brøkene slik at de får fellesnevner 6x.

c) Vi finner fellesnevneren: 2x -- 2 = 2ðx -- 1Þ x -- 1 = x -- 1 Fellesnevner: 2(x - 1) 3 2 + 2x -- 2 x -- 1 =

3 22 + 2ðx -- 1Þ 2ðx -- 1Þ

=

3 4 + 2ðx -- 1Þ 2ðx -- 1Þ

=

3+4 2ðx -- 1Þ

=

7 2x -- 2

Vi utvider den andre brøken slik at begge brøkene får fellesnevner 2ðx -- 1Þ:

31


Tall og algebra

Oppgaver 1.44 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. 2 1 + 3 9 5 1 b) -12 6

2x 4x + 3 9 5 2 d) -6 9

2x x + 9 6 3x 3x f) -5 10

c)

a)

e)

1.45 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig. a)

5x 4x + 12 15

c)

2a 4a a + + 5 3 10

b)

7a 5a -8 6

d)

3a 4a 5a -+ 4 9 6

1.46 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

?

Her blir fellesnevneren et bokstavuttrykk!

a)

2 3 + x 4x

d)

1 3 1 + -3a 4a 6a

b)

2 1 -3x 6x

e)

3x x 2x + + x -- 1 x -- 1 x -- 1

c)

3 3 + 8a 2a

Hvilket av disse tallene eller bokstavuttrykkene passer ikke inn? 30

a2 b

4b

50

1.47 Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

32

a)

3x x -- 8 + x -- 2 x -- 2

d)

6x 6x + 4 + 2x + 4 x+2

b)

a+1 2a + 2 + 2a + 2 3a + 3

e)

2 2 + 4x -- 16 3x -- 12

c)

2a -- 2 a -2a -- 4 3a -- 6

f)

3 x -- 1 1 + -3x -- 3 2x -- 2 x -- 1


Tall og algebra

Innsetting av tall i formler og uttrykk

Formelen for arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er

A=

gh 2

h

g

Hvis g = 8 cm og h = 9 cm, blir arealet A=

8 cm  9 cm = 36 cm2 2

Vi kan også sette inn tall som verdier for variablene i bokstavuttrykk. Hvis x = 3 og y = 5, så er 6x -- 2y = 6  3 -- 2  5 = 18 -- 10 = 8

33


Tall og algebra

Eksempel 1:12

a) Trekk sammen. 4x -- 2ðx -- yÞ b) Sett x = 2 og y = 3 inn i oppgave a og i svaret på oppgaven. Sammenlikn de verdiene du får. Løsning a) 4x -- 2ðx -- yÞ = 4x -- ð2x -- 2yÞ = 4x -- 2x + 2y = 2x + 2y b) Vi setter x = 2 og y = 3 inn i oppgaven: 4x -- 2ðx -- yÞ = 4  2 -- 2ð2 -- 3Þ = 8 -- 2  ð -- 1Þ = 8 + 2 = 10 Vi setter x = 2 og y = 3 inn i svaret: 2x + 2y = 2  2 + 2  3 = 4 + 6 = 10 Vi får 10 i begge tilfellene.

Oppgaver 1.48 Formelen for omkretsen av en sirkel er: O = O står for omkretsen, og d står for diameteren i sirkelen.

d r

Regn ut omkretsen når a) d = 10,0 cm b) d = 17,0 cm Formelen for arealet av en sirkel er: A = r 2 A står for arealet, og r står for radien i sirkelen. Regn ut arealet når c) r = 5,0 dm d) r = 8,5 dm

34

d


b

O = 2a + 2b

Tall og algebra

1.49 Formelen for omkretsen O av et rektangel med lengden a og bredden b er:

a

der O står for omkretsen, a for lengden og b for bredden i rektangelet. Regn ut omkretsen når a) a = 8 cm og b = 5 cm b) a = 7,5 m og b = 4,5 m

1.50 Sett x = 2 og y = 4 inn i uttrykkene og regn ut. a) x + y c) 3x + 2y e) 4x -- 2y b) 2x + y d) 3x -- y f) x -- 3y 1.51 a) Sett a = 3 og b = 2 inn i uttrykket og regn ut. 2a -- b + 3a b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter a = 3 og b = 2 inn i svaret. 1.52 a) Sett x = 1 og y = 3 inn i uttrykket og regn ut. 2ð2x -- yÞ -- 3ðx -- 2yÞ b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter x = 1 og y = 3 inn i svaret. 1.53 Formelen for arealet A av en trekant med grunnlinje g og høyde h er

A=

gh 2

h g

a) Regn ut arealet av trekanten når g = 12 cm og h = 8 cm. b) Regn ut grunnlinja når A = 84 cm2 og h = 24 cm. c) Regn ut høyden når A = 55 cm2 og g = 15 cm.

35


Tall og algebra

Prøv deg selv 1

2

3

Skriv tallene på standardform. a) 4500 b) 25 000

c) 370 000

d) 1 200 000

Skriv tallene på standardform. a) 0,008 b) 0,0005

c) 0,00007

d) 0,00049

Skriv tallene på utvidet form. a) 4517 b) 27 019

c) 205 640

d) 1 280 409

4

Skriv tallene på vanlig måte. a) 2  100 + 3  10 + 9  1 b) 4  1000 + 3  100 + 9  1 c) 7  1000 + 6  100 + 1  10 + 4  1 + 2  0,1 + 3  0,01 d) 3  1000 + 9  10 + 5  1 + 6  0,1 + 2  0,01 + 3  0,001

5

Tallene nedenfor er skrevet i totallssystemet. Skriv tallene i titallssystemet. a) 111 d) 1001 b) 101 e) 10101 c) 1111 f) 110011

6

Tallene nedenfor er skrevet i titallssystemet. Skriv tallene i totallssystemet. a) 5 c) 13 b) 8 d) 16

7

a) Summen av to tall er 60. Differansen mellom de samme to tallene er 10. Hvilke to tall er det? b) Simen er ni år eldre enn søsteren sin. Om tre år er Simen dobbelt så gammel som henne. Hvor gamle er de nå?

8

Regn ut x i proporsjonene. a)

36

x 24 = 3 8

b)

36 x = 8 16


10

11

Løs opp parentesene og regn ut. a) 3x -- ðx -- 3Þ c) 3a -- 2ða -- 2bÞ -- 3ða + bÞ b) ð2x -- 1Þ + ðx + 3Þ Regn ut. a) ð2x + 1Þðx -- 2Þ b) ð3a -- 2Þða + 2Þ -- 3a

c) ðx + 2Þ2 -- 4x d) ð3x + 4Þð3x -- 4Þ

Primtallsfaktoriser tallene. a) 12 b) 20

c) 42

d) 91

12

Faktoriser uttrykkene slik at tallene i uttrykkene blir primtall. 8xy + 12x 2 y c) 8a2 b2 d) 3x + 9 e) a) 12xy b) 6a2 b 4xy

13

Regn ut. Forkort svaret hvis det er mulig.

14

a)

1 2 + 6 3

c)

2x x -5 3

e)

3 2 1 + -5a 15a 10a

b)

1 5 + 6 10

d)

5a 1 + 8 12

f)

x 3x -- 1 + 2x -- 4 3x -- 6

Formelen for arealet A av en sirkel med radius r er: A=

Tall og algebra

9

r2 = r  r

r 2

der A står for arealet og r for radien i sirkelen. a) Regn ut arealet når r = 8 cm. b) Regn ut arealet når r = 6 m. 15

a) Sett x = 2 og y = 1 inn i uttrykket og regn ut. 3ð2x -- yÞ -- 3x b) Trekk sammen uttrykket i oppgave a, og sett deretter x = 2 og y = 1 inn i svaret.

37


Tall og algebra

Noe å lure på 1

Tallet 111 i totallssystemet er det samme som 7 i titallssystemet. Tallet 11011 i totallssystemet er det samme som 27 i titallssystemet. I begge tilfellene består tallene i totallssystemet av flere siffer enn tilsvarende tall i titallssystemet. Hvorfor er det slik?

Hm...

2

Vi vet at 105 : 102 = 105 -- 2 = 103 . Bruk tilsvarende regnestykke for å forklare at

1 = 10--3 : 103

3

Du kjenner aldersforskjellen mellom to mennesker. Hvordan kan du på grunnlag av dette alltid finne ut når den ene var, eller blir dobbelt så gammel som den andre?

4

I en blanding av tre stoffer er det 30 % av ett stoff og 50 % av et annet stoff. Hvordan kan du sette opp sammensetningen i denne blandingen som et forhold?

5

Tallet 6 er interessant. Det er et fullkomment tall. 6 = 123 Faktorene er 1, 2 og 3. 6=1+2+3 Kan du finne et annet tall der summen av faktorene er tallet selv? Tips: Et mulig tall er mindre enn 30.

38


Tallet sju finner vi igjen i mange sammenhenger – sjuende far i huset, sjumilsstøvler, sju underverker, osv. 13 er et ulykkestall. Mange tror at det ikke bør sitte 13 til bords, og at fredag den 13. er en ulykkesdag.

Tall og algebra

6

Tallet tre finner vi i en del eventyr. Finn ut mer om tall og mystikk.

De hengende hager i Babylon, et av verdens sju underverker fra antikken. Fra «Histoire Ancienne» av Charles Rollin (1829).

7

Vi dividerer 1 og 2 med 7: 1 = 0,142857 . . . 7

2 = 0,285714 . . . 7

Divider flere tall med 7, og finn ut hvordan svaret endrer seg. 8

Herman påstår at elleve tusen, elleve hundre og elleve er det samme som 11 111. Har Herman rett?

39


Tall og algebra

Oppsummering Tall på standardform og på utvidet form Vi kan skrive naturlige tall på standardform. 250 000

=

Vanlig form

2,5  105

0,0025

Standardform

Vanlig form

= 2; 5  10--3 Standardform

Vi kan skrive naturlige tall og desimaltall på utvidet form. 24 537 = 2  10 000 + 4  1000 + 5  100 + 3  10 + 7  1 = 2  104 + 4  103 + 5  102 + 3  101 + 7  100 385,39 = 3  100 + 8  10 + 5  1 + 3  0,1 + 9  0,01 = 3  102 + 8  101 + 5  100 + 3  10--1 + 9  10--2

Totallssystemet I totallssystemet bruker vi bare sifrene 0 og 1. Plassverdiene i dette tallsystemet er potenser av 2 (1, 2, 4, 8, osv.). Tallet 1101 i totallssystemet er 1101 = 1  23 + 1  22 + 0  2 + 1  1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 i titallssystemet.

Parenteser Når vi løser opp parenteser med minustegn foran, skifter vi fortegn på hvert ledd inne i parentesen. 5x -- ð2x -- 3Þ = 5x -- 2x + 3 = 3x + 3 Når vi løser opp parenteser med plusstegn foran, skifter vi ikke fortegn. 5x + ð2x -- 3Þ = 5x + 2x -- 3 = 7x -- 3

Multiplikasjon av tall med parentesuttrykk Hvis det står et tall eller et variabeluttrykk foran en parentes, må vi multiplisere tallet eller variabeluttrykket med hvert ledd inne i parentesen før vi løser den opp. 5x -- 2ð2x -- 3Þ = 5x -- ð4x -- 6Þ = 5x -- 4x + 6 = x + 6

40


Vi kan multiplisere to parentesuttrykk med hverandre. Vi multipliserer hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða + 2Þ  ð2a -- 3Þ = 2a2 -- 3a + 4a -- 6

Tall og algebra

Multiplikasjon av to parentesuttrykk

= 2a2 + a -- 6

Kvadratsetningene Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Tredje kvadratsetning:

ða + bÞ2 = a2 + 2ab + b2 ða -- bÞ2 = a2 -- 2ab + b2 ða + bÞða -- bÞ = a2 -- b2

Faktorisering Vi kan faktorisere variabeluttrykk. Tallene skrives da som produkt av primtallsfaktorer. 15x 2 y = 3  5  x  x  y Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a2 -- b2 = ða + bÞða -- bÞ

Sammentrekking av brøkuttrykk Vi kan trekke sammen brøkuttrykk som inneholder bokstavuttrykk. Fellesnevner er 12x.

Fellesnevner er 6(a + 1).

3 5 2 + -4x 6x 3x

a+1 2a + 2 + 2a + 2 3a + 3

=

33 52 24 + -4x  3 6x  2 3x  4

=

a+1 2a + 2 + 2ða + 1Þ 3ða + 1Þ

=

9 10 8 + -12x 12x 12x

=

ða + 1Þ  3 ð2a + 2Þ  2 + 2ða + 1Þ  3 3ða + 1Þ  2

=

11 12x

=

3a + 3 + 4a + 4 6ða + 1Þ

=

7a + 7 7ða + 1Þ 7 = = 6ða + 1Þ 6ða + 1Þ 6

41


Hvordan klarte romerne å beregne halvsirklene?

Hm, hypotenusen må være dobbelt så lang som den korteste kateten!

Disse er formlike!


2

Geometri og beregninger

Geometri og beregninger benyttes i mange yrker. Om du er matematiker, arkitekt, snekker, murer eller astronom, må du kjenne litt til de ulike områdene innenfor geometrien og kunne gjøre ulike beregninger.

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . . . .

Pytagoras-setningen egenskapene ved spesielle trekanter konstruksjon av trekanter og firkanter perspektivtegning med ett og to forsvinningspunkter formlikhet og kongruens geometri i teknologi, kunst og arkitektur

Geometri brukes jo overalt!


Geometri og beregninger

Pytagoras-setningen Hvordan kan vi finne den ukjente siden i en rettvinklet trekant?

Vi kan bruke Pytagorassetningen!

N책r kan vi bruke Pytagoras-setningen? En trekant der en av vinklene er 90째, kaller vi en rettvinklet trekant. Den lengste siden ligger alltid lengst vekk fra den rette vinkelen. Den lengste siden kaller vi hypotenus, mens de to andre sidene kaller vi kateter. C katet

A

hypotenus

katet

B

Vi bruker Pytagoras-setningen til 책 regne ut lengden av en ukjent hypotenus eller katet i en rettvinklet trekant.

44


Vi finner hypotenusen eller den ukjente kateten i en rettvinklet trekant ved å bruke formelen: katet2 + katet2 = hypotenus2 Eksempel 2:1

Regn ut hypotenusen.

Geometri og beregninger

Regel

C

x cm

6 cm

A

8 cm

B

Løsning katet2 + katet2 = hypotenus2 62 + 82 = x 2 36 + 64 = x 2 100 = x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 100 = x 2

Vi finner kvadratroten på begge sider.

10 = x x = 10 Hypotenusen er 10 cm.

45


Geometri og beregninger

Eksempel 2:2

Regn ut den ukjente kateten. C

2,5 cm

1,5 cm

A

B

x cm

Løsning katet2 + katet2 = hypotenus2 x 2 + 1,52 = 2,52 x 2 + 2,25 = 6,25 x 2 + 2,25 -- 2,25 = 6,25 -- 2,25

Vi trekker fra 2,25 på begge sider.

2

x = 4,0 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi x 2 = 4,0

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x=2 Den ukjente kateten er 2,0 cm.

Oppgaver 2.1

Regn ut hypotenusen. a) C

9 cm

A

46

12 cm

B


C

7 cm

A

c)

B

24 cm

Geometri og beregninger

b)

C 2,8 cm

A

2.2

B

4,5 cm

Regn ut den ukjente kateten. a) b)

c)

C

C

4 cm

C

4,1 cm 6 cm

17 cm

6,1 cm

15 cm A

B A

A

2.3

B

B

Regn ut den ukjente siden i de rettvinklete trekantene n책r a) hypotenusen er 15 m og den ene kateten er 5 m b) den ene kateten er 12 dm og den andre kateten er 9,5 dm c) hypotenusen er 2,5 km og den ene kateten er 2,0 km

47


Geometri og beregninger

? 2.4

Kan vi bruke Pytagoras-setningen til ĂĽ regne ut sidene i en likebeint trekant? Begrunn svaret. Regn ut arealet av de ulike fargete feltene i flaggene. a) b) 6m

4,5 m 1m

1,5 m

1m 1,5 m 1m 2m

1,5 m Kuwait

2.5

I glasspyramiden til museet Louvre i Paris har grunnflaten form som et kvadrat. Siden i kvadratet er 35 m. Høyden i pyramiden er 20,6 m. Hvor stort areal har hver av sideflatene i pyramiden?

Glasspyramiden foran Louvre i Paris

48

Tsjekkia


Hm, to av sidene er like lange!

Geometri og beregninger

Spesielle trekanter Trekanten er halvparten så stor som en likesidet trekant!

Hva er spesielt med disse to trekantene?

Rettvinklet, likebeint trekant I en rettvinklet, likebeint trekant er én vinkel 90° og to vinkler 45°. I en slik trekant er katetene like lange. Vi kan finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen selv om vi kjenner lengden til bare én av sidene. De to sidene x er like lange.

C 45°

x

45° A

x

B

49


Geometri og beregninger

Eksempel 2:3

C

Regn ut de ukjente katetene.

45°

Løsning AB = AC Vi kaller sidene AB og AC for x.

4,8 cm

katet2 + katet2 = hypotenus2

45°

x 2 + x 2 = 4,82

A

B

2

2x = 23,04 2x 2 23,04 = 2 2

Vi dividerer alle ledd med 2.

x 2 = 11,52 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 11; 52

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x = 3,4 AB = AC = 3,4 cm:

Trekanter med vinkler på 30°, 60° og 90° I en likesidet trekant er alle sider like lange og alle vinkler like store (60°). Hvis vi deler en likesidet trekant i to like store trekanter, får vi to like rettvinklete trekanter der vinklene er 30°, 60° og 90°. C

C

60°

60° A

Hvor lang er den korteste kateten i forhold til hypotenusen?

30°

60°

30°

60° B

A

60° D D

Vi ser at hypotenusen er dobbelt så lang som den korteste kateten i de to trekantene til høyre.

50

C

B

AB = AD + DB


I en rettvinklet trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°, er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten. Vi kan finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen selv om vi kjenner lengden til bare én av sidene. Eksempel 2:4

Geometri og beregninger

Regel

Regn ut hypotenusen og den lengste kateten. C

Løsning BC = 2  AB BC = 2  4,2 cm

30°

BC = 8,4 cm

Vi kaller AC for x. 60°

katet2 + katet2 = hypotenus2 A

x 2 + 4,22 = 8,42

4,2 cm

B

x 2 + 17,64 = 70,56 x 2 + 17,64 -- 17,64 = 70,56 -- 17,64

Vi trekker fra 17,64 på begge sider.

2

x = 52,92 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 52,92

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x  7,3 Den lengste kateten AC er 7,3 cm, og hypotenusen BC er 8,4 cm.

Jeg flytter over og bytter fortegn.

51


Geometri og beregninger

Eksempel 2:5

C

Regn ut hypotenusen og den korteste kateten. 30°

Løsning Vi kaller AB for x. Da blir BC = 2x.

5,2 cm

katet2 + katet2 = hypotenus2 60°

x + 5,2 = ð2xÞ 2

2

2

A

x 2 + 27,04 = 4x 2

B

ð2xÞ2 = ð2xÞ  ð2xÞ = 4x 2

x 2 -- x 2 + 27,04 = 4x 2 -- x 2

Vi trekker fra x 2 på begge sider.

27,04 = 3x 2 27,04 3 9,0 pffiffiffiffiffiffi 9,0 x

3x 2 3 = x2 pffiffiffiffiffi = x2 = 3; 0 =

Vi dividerer begge leddene med 3.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

BC = 2  3,0 cm = 6,0 cm Den korteste kateten AB er 3,0 cm, og hypotenusen BC er 6,0 cm.

Oppgaver 2.6

Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete, likebeinte trekantene. a) b) C

C

45° 45°

9,0 cm 45° 45° A

52

6,0 cm

B

A

B


Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete trekantene. a) b) C

Geometri og beregninger

2.7

C

30°

30°

10 cm 60° A

3,5 cm

B

60° A

2.8

B

Regn ut de ukjente sidene i de rettvinklete trekantene. a) b) C

C

30°

30° 4,5 cm 6,0 cm

60° A

B

60° A

2.9

B

a) Lag en konstruksjonsoppgave der du bruker minst tre av størrelsene under. 3,5 cm

45°

5,0 cm

60°

7,0 cm

90°

b) La en medelev løse oppgaven.

53


Geometri og beregninger

Konstruksjon og beregning Regn ut omkretsen og arealet av firkanten! D

A

C

B

Hva må vi kunne for å beregne omkretsen eller arealet av en figur vi har konstruert?

Mangekanter Når vi konstruerer mangekanter, kombinerer vi ofte flere vinkelkonstruksjoner for å oppnå ønsket vinkelstørrelse.

Normal i et punkt (90°)

Nedfelle en normal (90°)

P

54


Halvere en vinkel

Når vi skal beregne sider, omkrets eller areal av ulike mangekanter, får vi bruk for kunnskap om – ulike mangekanter – Pytagoras-setningen – trekanter med vinkler på 45°, 45° og 90° – trekanter med vinkler på 30°, 60° og 90°

Geometri og beregninger

Konstruere 60°

Eksempel 2:6

En 4ABC har disse målene: AB = 5,5 cm, a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Hvor stor er B? e) Regn ut AC. Løsning a)

A = 45° og

C = 90°

C

45° A

B

5,5 cm

b)

C

A

B

55


Geometri og beregninger

c) 1. 2. 3. 4.

Avsatte AB = 5,5 cm. Konstruerte 45° i A. Nedfelte normalen fra B til As venstre vinkelbein. Fant C der normalen skar As venstre vinkelbein, C = 90°.

d) B = 180° -- 90° -- 45° = 45° e) AC = BC. Vi kaller sidene AC og BC for x. katet2 + katet2 = hypotenus2 x 2 + x 2 = 5,52 2x 2 = 30,25 2x 2 30,25 = 2 2 2 x = 15,13 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 15,13

Vi dividerer begge leddene med 2.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x  3,89 AC = BC = 3,9 cm

Eksempel 2:7

En firkant ABCD har disse målene: AB = 3,0 cm, A = 90°, ABD = 60°, BDC =

DBC = 45°

a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Regn ut de ukjente sidene AD, BD, BC og CD. d) Regn ut arealet av firkanten ABCD. Løsning a) D 45°

90° A

56

C

45° 60° 3,0 cm

B


D

C

A

Geometri og beregninger

b)

B

c) I 4ABD er vinklene 30°, 60° og 90°. BD = 2  AB BD = 2  3,0 cm BD = 6,0 cm AB2 + AD2 = BD2 Vi kaller AD for x. 3,02 + x 2 = 6,02 9,0 + x 2 = 36,0 9,0 -- 9,0 + x 2 = 36,0 -- 9,0 x 2 = 27,0 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 27,0

Vi trekker fra 9,0 på begge sider.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x  5,2 AD = 5,2 cm

57


Geometri og beregninger

I 4BCD er vinklene 45°, 45° og 90°. BC = CD. Kaller BC og CD for x.

x 2 + x 2 = 6,02 2x 2 = 36,0 2x 2 36,0 = 2 2 x 2 = 18,0 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 18,0

Vi dividerer begge leddene med 2.

Vi finner kvadratroten på begge sider.

x  4,2 BC og CD er 4,2 cm.

d) Arealet av 4ABD = Arealet av 4BCD =

AB  AD 3,0 cm  5; 2 cm = = 7; 8 cm2 2 2 BC  CD 4; 2 cm  4; 2 cm = = 8; 82 cm2 2 2

Arealet av firkant ABCD = 7,8 cm2 + 8,82 cm2 = 16,62 cm2 Arealet av firkant ABCD er 16,6 cm2 : Oppgaver 2.10 En 4ABC har disse målene: AB = 7,5 cm, a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Hvor lang er AC? e) Regn ut lengden av BC.

A = 90° og

2.11 En 4ABC har disse målene: AB = 5,0 cm, A = 90° og a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Hvor lang er BC? e) Regn ut lengden av AC.

58

B = 45°

B = 60°


2.13 En firkant ABCD har disse målene: AB = 8,0 cm, B = 60°, BC = 4,0 cm, a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Skriv forklaring.

C = 30° og BC = 4,5 cm

CAD = 45° og AD = 5,0 cm

Geometri og beregninger

2.12 En 4ABC har disse målene: B = 90°, a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Regn ut lengden av AC og AB.

2.14 a) Konstruer en firkant ABCD der A = 90°, AD = 5,0 cm, BD = 9,5 cm, CBD = 60° og avstanden fra C til BD er 5,5 cm. b) Regn ut AB. 2.15 En firkant ABCD har disse målene: AB = 7,0 cm, BAD = 30°, DBC = 90° og BD = BC a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Skriv forklaring. d) Regn ut omkretsen av firkant ABCD. e) Regn ut arealet av firkant ABCD.

ABD = 60°,

Leonardo da Vinci (1452–1519) betegnes som et universalgeni. Han arbeidet blant annet med konstruksjoner knyttet til vitenskapelige målinger og arkitektur.

59


Geometri og beregninger

Sirkelen Sirkelen består av en mengde punkter som ligger like langt fra sirkelens sentrum.

Vi bruker linjestykkene diameter og radius når vi skal beregne omkrets og areal av en sirkel. Linjestykkene fra ett punkt på sirkellinja til et annet, kaller vi en korde. Diameteren er den lengste korden vi kan tegne. En linje som berører (tangerer) sirkellinja i ett punkt, kaller vi en tangent. Tangenten står alltid vinkelrett på radien fra tangeringspunktet.

korde sentrum

radius

diameter

O = d = 2r A = r 2 tangent

60


Geometri og beregninger

Vi kan finne sentrum i en sirkel ved konstruksjon slik:

Midtnormalen til korden er diameteren i sirkelen!

1 Tegn en sirkel. 2 Tegn en korde. 3 Konstruer midtnormalen på korden. Forleng midtnormalen slik at den skjærer sirkellinja i to punkter. Den blir da en diameter. 4 Konstruer til slutt midtnormalen til diameteren. Skjæringspunktet mellom diameteren og denne normalen er sentrum i sirkelen.

Oppgaver 2.16 Tegn en sirkel og finn sentrum ved hjelp av konstruksjon. 2.17 Hva heter den lengste korden du kan tegne i en sirkel? 2.18 Konstruer sirklene og regn ut omkrets og areal. a) b) c)

r = 2 cm r = 3 cm

r = 7 cm

2.19 a) Konstruer en likesidet 4ABC med sider lik 7 cm. b) Konstruer midtnormalene til sidene AB, BC og AC. Kall skjæringspunktene til midtnormalen for S. c) Konstruer en sirkel med sentrum i S, og la den gå gjennom trekantens hjørner.

61


Geometri og beregninger

2.20 a) Konstruer en valgfri sirkel. b) Avsett korder som er like lange som radien, rundt på sirkelbuen. c) Hvor mange korder har du avsatt når du kommer tilbake til startpunktet? d) Hva slags figur har du lagd? 2.21 a) Tegn en sirkel med sentrum S. b) Tegn en stråle fra S som skjærer sirkelbuen. c) Konstruer en tangent til sirkelen i skjæringspunktet mellom sirkelbuen og strålen. 2.22 a) Konstruer en halvsirkel og kall diameteren for AB. Diameteren AB er grunnlinja i en trekant. b) Tegn tre ulike trekanter ABC med grunnlinje AB og slik at C ligger på sirkelbuen. c) Hvor stor er C i de tre trekantene? A

B

A

2.23 Lag et sekskantpuslespill. Du trenger: Passer, linjal, papp eller kartong, saks, blyant 1 Lag en sirkel med diameter 15 cm på kartong. Trekk et loddrett linjestykke gjennom sirkelens sentrum. Kall skjæringspunktene med sirkelbuen for A og D. 2 Sett passerspissen i A og slå en bue som skjærer sirkelbuen to steder. Åpningen i passeren skal være lik radius (7,5 cm). Kall skjæringspunktene for B og F. Gjør det samme i punkt D. Kall skjæringspunktene for C og E.

D

A rad ius

B

E

C D

62

F


A B

F

C

E

Geometri og beregninger

3 Trekk linjestykkene AB, BC, CD, DE og EF og FA. Trekk s책 linjestykkene fra B, C, E og F til sentrum.

D

4 Del linjestykkene AB, BC, CD, DE og EF p책 midten. Kall punktene for G, H, I, J, K og L. Trekk linjestykkene GI, GK, HL, HJ og IK. Sekskanten er n책 fylt med likesidete trekanter.

G

A

L

B

F

H

K E

C

5 Klipp ut og fargelegg brikkene til puslespillet. Velg selv hvordan brikkene skal se ut.

I

D

J

6 Legg brikkene i en konvolutt, bytt med hverandre og pusle puslespillene.

Lurer p책 hvor lang tid jeg bruker...

63


Geometri og beregninger

Formlikhet og kongruens En av figurene på tavla er formlik med denne!

Hva mener vi med formlikhet?

Formlikhet To figurer er formlike hvis de har samme form. De trenger ikke å ha samme størrelse. C

10,0 cm

F

6,0 cm 5,0 cm

A

8,0 cm

B

D

4,0 cm

Når vi måler vinklene i de to trekantene, finner vi at og C = F

3,0 cm E

A=

D,

B=

E

Vi sier at samsvarende vinkler er like store, eller at vinklene er parvis like store.

64


AB 8,0 cm = =2 DE 4,0 cm

BC 6,0 cm = =2 EF 3,0 cm

Vi sier at forholdet mellom to samsvarende sider er konstant. Det betyr at trekantene er formlike. Vi skriver:

AC 10,0 cm = =2 DF 5,0 cm

Tegnet ~ betyr formlik!

Geometri og beregninger

Når vi regner ut forholdet mellom to og to samsvarende sider i de to trekantene på forrige side, finner vi ut at forholdet er konstant.

4ABC  4DEF Regel

I to formlike figurer er samsvarende vinkler like store, og forholdet mellom samsvarende sider er konstant. Eksempel 2:8

C

4ABC  4DEF Regn ut DE. 15 cm F 5 cm 12 cm

A

B

D

x cm

E

Løsning Trekantene er formlike. DE DF = AB AC Vi kaller den ukjente siden DE for x. x 5 = 12 15 x  12 5  12 = 12 15 60 x= 15

Vi multipliserer begge ledd med 12.

x=4 DE er 4 cm.

65


Geometri og beregninger

Oppgaver 2.24 Hvilke figurer er formlike?

?

A

C

E

G

B

D

F

H

Hvordan vil du gå fram for å forklare formlikhet mellom 4DSC og 4ASB?

A C S

D

Fra veggen i trappebrønnen Chand Baori i India. Bygd mellom år 800 og år 900.

66

B


Geometri og beregninger

2.25 Trekantene er formlike. Regn ut de ukjente sidene x. a) C F 6 cm

x

8 cm

A

B

6 cm

D

E

b) C F 5 cm

10 cm

A

x

B

8 cm

D

E

c) 6 cm

E

B

D

C 4 cm

x

8 cm A

F

2.26 4ABC og 4DEF er formlike. Regn ut lengden av sidene DF og EF. C F

5,6 cm

A

4,4 cm

8,0 cm

B

D

6,0 cm

E

67


Geometri og beregninger

2.27 Å finne høyden på ulike ting ved hjelp av skyggen var kjent allerede i antikken. Det sies at filosofen Thales, som levde omkring 600 før vanlig tidsregning, bestemte høyden på Keopspyramiden ved hjelp av sola og pyramidens skygge. Thales brukte kunnskap om formlikhet til å beregne høyden til pyramiden. Modellen nedenfor viser hvordan han ved hjelp av en stokk beregnet høyden til pyramiden.

Portrett av Thales fra Milet av Ambrose Tardieu, ca. 1810

2m 274 m

Hvor høy er Keopspyramiden?

68

4m


To figurer er kongruente hvis de har samme form og størrelse. Da er vinklene parvis like store, sidene parvis like lange, og den ene figuren vil nøyaktig dekke den andre. C

E

D 90°

Geometri og beregninger

Kongruens

90° B

A

Tegnet ffi betyr «er kongruent med»!

F

Vi skriver: 4ABC ffi 4DEF Vi leser: 4ABC er kongruent med 4DEF. Regel

To figurer er kongruente når den ene figuren nøyaktig dekker den andre. Det vil si at figurene er formlike og like store. Vi bruker tegnet ffi for kongruens. Oppgaver 2.28 Hvilke figurer er kongruente? A

C

E

G

I

B

D

F

H

J

69


Geometri og beregninger

2.29 Finn eksempler på ting som er kongruente.

Hva med disse?

2.30 Ta de nødvendige målene og tegn kongruente figurer. a)

c)

b)

2.31 a) Konstruer 4ABC der AB = 5 cm, B = 45° og BC = 7 cm: b) Konstruer 4DEF der DE = 7 cm, D = 45° og DF = 5 cm. c) Er de to trekantene kongruente?

70


Geometri og beregninger

Kongruensavbildninger Snøkrystallen er symmetrisk!

Hva mener vi med symmetri?

Speilingssymmetri En figur er speilingssymmetrisk hvis den kan deles i to kongruente figurer som dekker hverandre nĂĽr vi bretter dem om symmetriaksen. En og samme figur kan ha flere symmetriakser. Vi arbeider med slike figurer i matematikkfaget, og vi finner dem igjen i naturen, i kunsten og i arkitekturen.

Antall symmetriakser:

1

2

4

6

Noen figurer har ingen symmetriakser, mens for eksempel en sirkel har et uendelig antall symmetriakser.

71


Geometri og beregninger

Oppgaver 2.32 Hvor mange symmetriakser har figurene? a) b) c)

d)

2.33 Tegn av figurene og merk av symmetriaksene. a) b) c)

d)

2.34 Se pĂĽ bildene og bestem antall symmetriakser. c) a)

BlĂĽveis

b)

d)

Oransjegullvinge

72

Gjøkesyre

Tepperot


Geometri og beregninger

2.35 Brett et papir, og klipp ut et hjerte, et juletre, en snøkrystall eller en valgfri figur. Hvor finner du symmetriaksen?

Speiling ved hjelp av et koordinatsystem Når vi speiler en figur om en linje, får vi to kongruente figurer. Vi sier at vi har foretatt en kongruensavbildning fordi den opprinnelige figuren og speilbildet av den, er kongruente figurer. Vi kan speile figurer i et koordinatsystem. Da speiler vi figuren om førsteaksen eller andreaksen. Disse aksene fungerer som symmetriakser. Andreaksen

A

A'B'C' leser vi A-merket, B-merket og C-merket.

y

C

C’

B

B’

A’

x Førsteaksen

Hvis vi speiler en 4ABC, kaller vi den nye trekanten for 4A0 B0 C 0 .

73


Geometri og beregninger

Eksempel 2:9

Speil 4ABC om andreaksen. Andreaksen

y C

A

x

B

Førsteaksen

Løsning Andreaksen

B’

y

C’

C

A’

A

x

B

Førsteaksen

Hjørnet A(1, 1) blir A'(–1, 1) Hjørnet B(5, 1) blir B'(–5, 1) Hjørnet C(1, 4) blir C'(–1, 4) Trekker linjestykkene A'B', B'C' og A'C'. 4A0 B0 C 0 ffi 4ABC

74


2.36 Tegn av figuren og koordinatsystemet, og speil figuren om førsteaksen. a) y

x

b)

Geometri og beregninger

Oppgaver

y

x

2.37 Tegn av figuren og koordinatsystemet. Speil figuren om a) andreaksen b) førsteaksen

y

x

75


Geometri og beregninger

2.38 Tegn av figuren og koordinatsystemet. Speil figuren om a) andreaksen b) førsteaksen y

x

2.39 Tegn av figuren og koordinatsystemet. a) Speil figuren om andreaksen. b) Speil den nye figuren om førsteaksen. c) Trekk linjer fra hjørnene av figuren og gjennom origo. Hva oppdager du? y

x

76


Når vi skal speile en figur om en linje, kan vi bruke passer og linjal. Vi nedfeller normaler fra punkter på figuren til linja. Vi avsetter så avstanden fra punktene til linja på den andre siden av linja, slik at vi får nye punkter. Speilbildet av et punkt A kaller vi A'. Eksempel 2:10

C

a) Speil 4ABC om linja l.

l

Geometri og beregninger

Speiling ved hjelp av passer og linjal

b) Skriv forklaring.

A B

Løsning a)

C

A

l

B B’

C’

A’

b) 1. Nedfelte normaler fra A, B og C til linja l. 2. Avsatte avstanden fra A til l på andre siden av l. 3. Gjorde tilsvarende med B og C. 4. Trakk linjestykkene A'B', B'C' og A'C'. 5. Fikk 4A'B'C' 4A0 B0 C 0 ffi 4ABC

77


Geometri og beregninger

Oppgaver 2.40 Tegn av, og speil figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon. a) b) l

l

2.41 Tegn av, og speil figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon. a) l

b) l

78


Geometri og beregninger

2.42 a) Tegn av 4ABC og linjene l og m. C l A

B

m

b) Speil figuren om linja l ved hjelp av konstruksjon. c) Speil s책 den nye figuren om linja m ved hjelp av konstruksjon. Glasspyramiden foran Louvre i Paris

79


Geometri og beregninger

Rotasjon Noen ganger bruker vi rotasjon når vi lager kongruensavbildninger. Hvis ikke noe annet er opplyst, utfører vi rotasjonen mot venstre. Eksempel 2:11

a) Roter 4ABC 90° om punktet P. b) Skriv forklaring.

C

A

B

P

Løsning a) B’ C C’

A’

A

B

P

b) 1. Roterte A 90° om P. a) Trakk en stråle fra A gjennom P. b) Konstruerte 90° i P med det ene vinkelbeinet PA. c) Avsatte avstanden PA på det andre vinkelbeinet og fant A'. 2. Roterte B 90° om P. a) Trakk en stråle fra B gjennom P. b) Konstruerte 90° i P med det ene vinkelbeinet PB. c) Avsatte avstanden PB på det andre vinkelbeinet og fant B'. 3. Roterte C 90° om P. a) Trakk en stråle fra C gjennom P. b) Konstruerte 90° i P med det ene vinkelbeinet PC. c) Avsatte avstanden PC på det andre vinkelbeinet og fant C'. 4. Trakk linjestykkene A'B', B'C' og A'C'. 5. Fikk 4A0 B0 C 0 :

80


C

2.43 Tegn av figuren og roter 4ABC 60° om punktet P ved hjelp av konstruksjon.

P B

A

P

2.44 Tegn av figuren og roter 4ABC 120° om punktet P ved hjelp av konstruksjon.

Geometri og beregninger

Oppgaver

C A

B

2.45 Tegn et kvadrat ABCD. Roter kvadratet 120° om A ved hjelp av konstruksjon. 2.46 a) Tegn en 4ABC og et punkt P utenfor trekanten. b) Roter 4ABC 150° om punktet P ved hjelp av konstruksjon.

Parallellforskyving Parallellforskyving er også en form for kongruensavbildning. Bildene nedenfor viser eksempler på dette.

Pont Alexandre III, Paris

Veggmaleri fra gravkammeret til Ramses I, Egypt

81


Geometri og beregninger

NĂĽr vi parallellforskyver en figur, kan vi konstruere eller tegne inn parallelle hjelpelinjer. Eksempel 2:12

Tegn av og parallellforskyv trekanten 2 cm to ganger i pilens retning.

Løsning

Oppgaver 2.47 Tegn av og parallellforskyv trekanten 3 cm fire ganger i pilens retning.

2.48 Tegn av og parallellforskyv figuren 4 cm tre ganger i pilens retning.

82


Geometri og beregninger

2.49 Tegn av og parallellforskyv figuren 2 cm tre ganger i pilens retning.

2.50 Lag ditt eget mønster som bygger pü parallellforskyvning. a) Følg bruksanvisningen. Du trenger saks og papir. 1 Klipp et A4-ark opp i tre deler.

2 Brett en av bitene som et trekkspill.

3 Klipp ut en figur du bestemmer selv. NB! Ikke klipp over brettekantene.

Ikke klipp her!

Ikke klipp her!

b) Hvilken type kongruensavbildning har du lagd? c) Hvor finner du symmetriaksene?

83


Geometri og beregninger

Perspektivtegning

Hva er forskjellen pĂĽ de to figurene?

Ett forsvinningspunkt Nedenfor ser du et bilde av en vei. Bredden til veien er hele tiden den samme, men pĂĽ bildet ser det ut som om veien forsvinner inn i ett punkt. Grunnen til dette er at det som er langt borte, ser mindre ut enn det som er nĂŚrt. Route 66, USA

84


1 Tegn først grunnfiguren forfra og trekk deretter hjelpelinjer fra hvert av hjørnene mot et forsvinningspunkt.

Geometri og beregninger

Vi lager tegninger og tredimensjonale figurer i perspektiv for at de skal se mer «riktige» ut. Når vi tegner figurer i perspektiv, tegner vi linjene til figuren «inn» i papiret slik at de ender i ett punkt, forsvinningspunktet.

2 Tegn den formlike baksiden av figuren.

3 Trekk til slutt linjestykker mellom hjørnene.

Oppgaver 2.51 Bruk perspektivtegning og tegn a) et rett firkantet prisme b) en terning c) et trekantet prisme 2.52 Tegn et jernbanespor som forsvinner a) i horisonten b) inn i en tunnel

85


Geometri og beregninger

2.53 Figuren viser et rom tegnet i perspektiv, med forsvinningspunktet i sentrum bak figuren.

Tegn av figuren og tegn inn a) et gulvteppe b) et bilde på veggen c) et vindu d) et bord

To forsvinningspunkter Noen ganger bruker vi to forsvinningspunkter. Figuren nedenfor har ett forsvinningspunkt på hver side av figuren. De horisontale linjene på venstre side møtes i forsvinningspunktet F1, og de horisontale linjene på høyre side møtes i forsvinningspunktet F2. Vi gjør det på samme måte som med ett forsvinningspunkt, men vi «strekker» figuren i to retninger. F2 F1

86


2.54 Hvor mange forsvinningspunkter har disse tegningene? a) c)

Geometri og beregninger

Oppgaver

b)

2.55 Tegn et hushjørne med to forsvinningspunkter. Tegn inn to vinduer og en dør.

sw

?

Home, eet home

Kan en figur ha flere enn to forsvinningspunkter? Begrunn svaret.

87


Geometri og beregninger

Pieter Neeffs (1578–1656)

2.56 Studer disse bildene. Hva er forskjellen på hvordan bildene er lagd?

Ambrogio Lorenzetti (1285–1348)

2.57 «Skolen i Aten» av Rafael er malt med ett forsvinningspunkt, men én gjenstand på bildet har et helt annet forsvinningspunkt. Kan du finne hvilken gjenstand det er? Skolen i Aten, Rafael (1483–1520)

88


ÂŤDen vitruvianske mannÂť av Leonardo da Vinci

Geometri og beregninger

Geometri i teknologi, kunst og arkitektur

Hvilke geometriske prinsipper finner du i denne tegningen? Verk innenfor teknologi, kunst og arkitektur er som oftest lagd ved hjelp av matematisk kunnskap om geometriske figurer, ulike kongruensavbildninger og det gylne snitt. Hvis forholdet mellom to lengder er ca. 1,618, kaller vi det for det gylne snitt. Et rektangel som har dette forholdet mellom sidene, kalles et gyllent rektangel.

89


Geometri og beregninger

Her er noen eksempler p책 at vi finner geometriske figurer og sammenhenger p책 kjente byggverk: Slottet i Oslo: Geometriske figurer Parallellforskyving Speilingssymmetri

Notre Dame i Paris: Det gylne snitt Geometriske figurer Speilingssymmetri Parallellforskyving Sirkelgeometri Edens hage i St. Austell, Cornwall: Geometriske figurer Speilingssymmetri Parallellforskyving Sirkelgeometri

90

Klippemoskeen i Jerusalem: Geometriske figurer Speilingssymmetri Parallellforskyving


2.58 Hvilke geometriske begreper finner du på bildene? Bruk lista som hjelp.

Jeg fant: Formlikhet Symmetri Speiling Rotasjon Parallellforskyving Det gylne snitt Innskrevet kvadrat Innskrevet sirkel Innskrevet trekant Tangering

a)

Geometri og beregninger

Oppgaver

Romansk mosaikk

b)

c)

Strikkemønster

Snøkrystall

d)

Greske søyler

91


Geometri og beregninger

e)

f)

Nidarosdomen

Bridge of Sighs, Cambridge, England

2.59 Bildet viser «Den matematiske broen» i Cambridge. Broen er bygd etter prinsipper fra sirkelens geometri. Finn ut hva på broen som er a) tangenter b) forlengete radier Den matematiske broen i Cambridge

92


b)

Geometri og beregninger

2.60 Hvilke typer kongruensavbildninger er brukt på disse mønstrene? a)

c)

2.61 Bruk passeren til å lage ulike mønstre basert på sirkelens geometri.

93


Geometri og beregninger

2.62 Bruk nettet eller en bok om arkitektur og finn eksempler på ulike geometriske former som har blitt brukt i arkitekturen. Lag for eksempel en veggplakat som består av forskjellige geometriske former.

Jeg prøver operaen i Oslo!

Jeg søker på «Viaduc de Millau!

Kanskje architecture + Babylon ...

Hm, hva med Eiffeltårnet?

?

Undersøk og prøv å forklare hvordan denne spiralen er lagd.

2.63 Se på figuren og forklar hvordan a) kvadratet er plassert i forhold til sirkelen b) sirkelen er plassert i forhold til kvadratet c) trekanten er plassert i forhold til sirkelen d) sekskanten er plassert i forhold til sirkelen

94


1

Geometri og beregninger

Prøv deg selv Regn ut den ukjente siden x i de rettvinklete trekantene. Oppgi svaret med én desimal. a) b) C C x 5 cm

A

2

9 cm

4 cm

B

6 cm

A

B

x

Regn ut den ukjente siden x i de rettvinklete, likebeinte trekantene. Oppgi svaret med én desimal. a) b) C 45°

10 cm C 45° 4 cm

x 45°

45° A

B

A

x

B

95


Geometri og beregninger

3

Regn ut den ukjente siden x i de rettvinklete trekantene. Oppgi svaret med én desimal. a) c) C

C 2,5 cm

30° 60°

5,5 cm 30°

A

x

B 60°

b)

A

x

B

C 60° 8 cm

30° A

4

x

B

Konstruer trekantene. a)

b)

C

F 7 cm 60° A

5

96

120°

30° 6,5 cm

B

D

22,5°

En firkant ABCD har disse målene: AB = 8,0 cm, BC = 4,0 cm, CD = 5,0 cm og B = 60° og AB || CD. a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer firkanten. c) Konstruer høyden fra C til AB. d) Regn ut høyden. e) Regn ut arealet av firkanten ABCD.

E


a) Tegn en vilkĂĽrlig sirkel. b) Finn sentrum av sirkelen ved hjelp av konstruksjon. c) Konstruer en tangent til sirkelen.

7

Trekantene er formlike. Regn ut den ukjente siden x.

Geometri og beregninger

6

C F 8,0 cm x

A

10,0 cm

B

D

8,0 cm

8

Ta de nødvendige mülene og lag en kongruensavbildning av figuren.

9

Hvor mange symmetriakser har figurene? a) b)

E

c)

97


Geometri og beregninger

10

Tegn av figuren og koordinatsystemet. a) Speil figuren om førsteaksen. b) Speil sü den nye figuren om andreaksen. y

x

11

Tegn av, og speil figuren om l ved hjelp av konstruksjon. l

98

12

Tegn en 4ABC og et punkt P utenfor figuren. Roter 4ABC 30° om P.

13

Tegn av og parallellforskyv firkanten 2,5 cm to ganger i pilens retning.

14

Tegn et prisme i perspektiv med ett forsvinningspunkt.


1

Vil det bli en knute på tråden hvis du trekker i begge endene samtidig?

2

Martin har lagd en sjokoladekake med areal 3,14 dm2 som han skal putte i en kvadratisk kakeboks. Hvor stor må den kvadratiske kakeboksen være for at kaka skal få plass i boksen?

3

Hva er halvparten av halvparten av halvparten av halvparten av 2000?

4

Bestem hvilken kube som er den riktige.

1

2

3

Geometri og beregninger

Noe å lure på

4

99


Geometri og beregninger

Oppsummering Pytagoras-setningen Vi bruker Pytagoras-setningen til å finne en ukjent side i en rettvinklet trekant. katet2 + katet2 = hypotenus2 C katet

A

katet

hypotenus

B

Spesielle trekanter og Pytagoras-setningen Trekanter med vinkler på 45°, 45° og 90° I en slik trekant er katetene like lange. Dersom vi kjenner lengden til bare én av sidene, kan vi finne de ukjente sidene ved hjelp av Pytagoras-setningen. Vi finner katetene på denne måten:

C

x 2 + x 2 = BC 2 2x 2 = 82 2

2x = 64

8 cm x

2x 2 64 = 2 2 x 2 = 32 pffiffiffiffiffi x = 32 x  5,7

100

A

x

B


C

Vi finner den korteste kateten (x) og hypotenusen (2x) på denne måten når vi kjenner bare den lengste kateten (AC): x 2 + AC 2 = ð2xÞ

30°

2

2x

5 cm

x 2 + 52 = 4x 2

Geometri og beregninger

Trekanter med vinkler på 30°, 60° og 90° I en rettvinklet trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°, er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten.

25 = 4x 2 -- x 2 90°

25 = 3x 2 rffiffiffiffiffi 25 =x 3 2,9  x x = 2,9

60° x

A

B

Formlikhet Når to figurer er formlike, er vinklene parvis like store. Forholdet mellom samsvarende sider er likt. C 60°

F 60° 30°

A

30° B

E

D

4ABC  4DEF Trekant ABC er formlik med trekant DEF.

Kongruens To figurer er kongruente når den ene figuren nøyaktig dekker den andre. Det vil si at figurene er formlike og like store. C

A

F

B

D

E

4ABC ffi 4DEF Trekant ABC er kongruent med trekant DEF.

101


Geometri og beregninger

Kongruensavbildninger Speilingssymmetri En figur er symmetrisk hvis den kan deles i to kongruente figurer som dekker hverandre når vi bretter dem om symmetriaksen. En og samme figur kan ha flere symmetriakser.

Symmetriakse

Speiling ved hjelp av et koordinatsystem Når vi speiler en figur ved Andreaksen y hjelp av et koordinatsystem, speiler vi figuren om førsteaksen eller andreaksen.

x Førsteaksen

Speiling ved hjelp av passer og linjal Når vi speiler en figur om en linje, bruker vi passer og linjal. Vi nedfeller normaler fra punkter på figuren til linja. Vi avsetter så avstanden fra punktet til motsatt side av A normalen slik at vi får et nytt punkt.

C

B B’

A’

102

l

C’


Rotasjon 90° om punktet P

Rotasjon 90° om hjørnet A

B’ B’

C C’

C

A’

Geometri og beregninger

Rotasjon Hvis det ikke er gitt beskjed om noe annet, utfører vi rotasjonen mot venstre.

B

B

A P

C’

A

Parallellforskyving C C’ B A A’

B’

Perspektivtegning med ett eller to forsvinningspunkter

103

Profile for Cappelen Damm

Faktor 10 gb bm blabok  

Faktor 10 gb bm blabok