Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktører: Bjørn Johannes Neef og Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS
Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-40894-6 www.aschehoug.no
Bildeliste
s. 6–7 Jonathan Kitchen/Getty Images, s. 20 milan2099/iStock, s. 48–49 Ekspansio/ iStock, s. 54 Nico De Pasquale Photography/Getty Images, s. 57 Science & Society Picture Library/Getty Images, s. 60 monkeybusinessimages/iStock, s. 62 Stock Montage Archive Photos/Getty Images, s. 78 Ciungara/iStock, s. 87 brizmaker/iStock, s. 104–105 Mlenny/iStock, s. 121 Elizaveta Voronina/EyeEm/Getty Images, s. 127 amriphoto/iStock, s. 129 Inger Christin Borge, s. 144 graphixel/iStock, s. 150–151 Conrad Gonzalez Fregine/iStock, s. 155 Saro17/iStock, s. 165 OJO Images/iStock, s. 175 sajoiner/iStock, s. 180 SDI Productions/iStock, s. 183 Robert Haasmann/imageBROKER/NTB, s. 185 mammuth/iStock, s. 188 Christian Vinces/ iStock, s. 190 Cumhur Kaplan/iStock, s. 193 Ariel Skelley/Getty Images, s. 215 Ingrid Maasik/Shutterstock/NTB, s. 218–219 Peter Dazeley/The Image Bank/Getty Images, s. 222 Thomas Winz/The Image Bank/Getty Images, s. 228 katrinaelena/iStock, s. 235 kruwt/iStock, s. 243 Ftiare/iStock, s. 247 sweetym/iStock, s. 258 andresr/iStock, s. 265 Valeriy_G/iStock, s. 266 Gorm Kallestad/NTB, s. 288–289 monkeybusinessimages/iStock, s. 293 grandriver/iStock, s. 296 altmodern/iStock, s. 315 franckreporter/iStock, s. 316 MarsBars/iStock, s. 327 bluejayphoto/iStock, s. 333 Granger/rex/Shutterstock Editorial/NTB, s. 334 Sjo/iStock
SVANEMERKET
Om Matematikk S1
Matematikk S1 følger fagfornyelsens læreplan i matematikk S1 som gjelder fra august 2021, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver. I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra og programmering i Python der det er relevant.
I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk.
Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver:
Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.
Blå oppgaver gir større utfordringer.
Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring.
En del oppgaver bør løses uten hjelpemidler for å gi tiltenkt læringsutbytte. Disse er merket med Oppgaver som krever programmering, er merket med .
Siste kapittel i boka er en oppgavesamling, med relevante oppgaver som forberedelse til eksamen og avsluttende heldagsprøver.
Digitale ressurser på Aunivers.no
De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet:
Som lærer får du også tilgang til:
Vi håper at Matematikk S1 møter dine forventninger til et komplett læreverk. Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikkS1@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne Ørnulf Borgan, Inger Christin Borge, John Engeseth, Odd Heir, Håvard Moe, Tea Toft Norderhaug og Sigrid Melander Vie, og redaktørene Harald Øyen Kittang og
Bjørn Johannes Neef.
Innhold
1 Verktøykassa
1A Tallmengder og symbolspråk 8
1B Likninger 15
1C Faktorisering 24
1D Brøkuttrykk 32
1E Likningssystemer 38
Blandede oppgaver 44
Sammendrag 46
Kapitteltest 47
2 Potenser og logaritmer
2A n-terøtter og potenser 50
2B Logaritmer 57
2C Logaritmesetningene 65
2D Logaritme- og eksponentiallikninger 72
2E Anvendelser 90
Blandede oppgaver 97
Sammendrag 101
Kapitteltest 102
3 Grenseverdier og kontinuitet
3A Funksjoner 106
3B Grenseverdier 115
3C Kontinuitet 129
3D Asymptoter 136
Blandede oppgaver 146
Sammendrag 148
Kapitteltest 149
4 Derivasjon
4A Derivasjon 152
4B Derivasjonsregler 168
4C Fortegnet til den deriverte 182
4D Optimalisering 190
4E Den andrederiverte 197
4F L’Hôpitals regel 207
Blandede oppgaver 209
Sammendrag 216
Kapitteltest 217
5 Sannsynlighet
5A Sannsynlighet og relativ frekvens 220
5B Sannsynlighetsmodeller og stokastiske variabler 228
5C Addisjonssetningen og produktsetningen 240
5D Kombinatorikk 256
5E Hypergeometrisk fordeling 268
5F Binomisk fordeling 275
Blandede oppgaver 282
Sammendrag 286
Kapitteltest 287
6 Anvendelser og modeller
6A Matematiske modeller 290
6B Reelle datasett 298
Blandede oppgaver 312
Sammendrag 314
Kapitteltest 315
7 Oppgavesamling 316
Fasit 335
GeoGebra i S1 357
Python i S1 366
Register 374
Verktøykassa
KAPITTELINNHOLD
1A Tallmengder og symbolspråk 8
1B Likninger 15
1C Faktorisering 24
1D Brøkuttrykk 32
1E Likningssystemer 38
Hvis du skal henge opp et bilde, er spiker og hammer nyttige verktøy. Skal du sy en knapp i en skjorte, er det kjekt med nål og tråd. Det holder imidlertid ikke med verktøy hvis ikke du vet hvordan du skal bruke dem.
Når du skal jobbe med matematikk, fins det også noen nyttige verktøy som du må kunne bruke. De kan være fysiske eller digitale, som GeoGebra og Excel, men verktøy i matematikk er også skrivemåter (notasjoner), definisjoner, formler og strategier. Noe har matematikere funnet ut og noe har de funnet på. Noe er du kanskje kjent med fra før, mens annet kan være nytt. I dette kapitlet finner du de verktøyene du bør være kjent med før du går i gang med dette faget, og som du kanskje kan ha behov for å slå opp underveis.
Tallmengder og symbolspråk
Tallinja
Alle tall har sin bestemte plass på tallinja. Jo større et tall er, desto lenger til høyre står det på tallinja. For eksempel er 2 et større tall enn 3, det vil si at 23−>−
–3 –4 –2
Tallene som er markert på tallinja ovenfor, er hele tall
Symbolet for mengden av de hele tallene er
De positive heltallene kaller vi naturlige tall. Vi regner ikke 0 som et naturlig tall.
Symbolet for mengden av de naturlige tallene er
Hvert punkt på tallinja svarer til ett reelt tall. Uansett hvor lite utsnitt av tallinja vi tar for oss, inneholder det uendelig mange punkter og derfor uendelig mange reelle tall.
Symbolet for mengden av de reelle tallene er
Noen av de reelle tallene kan vi skrive som en brøk med hele tall i teller og nevner. Disse kaller vi rasjonale tall
4 3 er altså et rasjonalt tall. Siden 1,3 13 10 , er også 1,3 et rasjonalt tall.
Men 2 er ikke et rasjonalt tall, fordi tallet ikke er et rasjonalt tall.
Symbolet for mengden av de rasjonale tallene er
SNAKK
Hvilke av tallene nedenfor er rasjonale? Er noen av tallene naturlige?
① 5 ② 2 ③ 1 4
④ 3,14 ⑤ 4 2 ⑥ 0
Et naturlig tall er også et reelt tall, men alle reelle tall er ikke naturlige.
Hvilke av sirklene på figuren representerer hver av tallmengdene , , og ?
SNAKK
Vi bruker symbolene og ∉ for å uttrykke om et tall er med i en mengde eller ikke.
La oss bruke 4 som eksempel. Det er et helt tall, men ikke et naturlig tall.
4 −∈ betyr at 4 er med i mengden av hele tall.
4 ∉ betyr at 4 ikke er med i mengden av naturlige tall.
–3 –4 –5–2–10123 4 5
På tallinja står 4 og 4 like langt fra null, men på hver sin side.
Vi sier at de to tallene har samme tallverdi, eller absoluttverdi, nemlig 4.
Med absoluttverditegn, , kan vi uttrykke det slik: 44 og 44−=
1.1
Bestem absoluttverdien av tallene.
a 6 b 1 c 5 d 0
1.2
Sett inn riktig tegn i de tomme rutene. Velg mellom >, = og <
a 35 b 35 c 33
1.3
Sett inn riktig tegn i de tomme rutene. Velg mellom ∈ og ∉
a 3 b 0 c 3 d 3 e 57 f 1
Listeform
Mengder som inneholder enkeltelementer, skriver vi på listeform.
For eksempel har mengden {5 , 6 , 9} tre elementer: tallene 5, 6 og 9.
Hvis vi skriver x {5,6,9}, sier vi at x kan være ett av de tre tallene.
Hvis vi skriver x \{5,6,9} , sier vi at x kan være et hvilket som helst reelt tall bortsett fra tallene 5, 6 og 9.
Vi kan også for eksempel skrive x {2,4,6,...} . Da er x et positivt partall.
Vi bruker tre prikker … for å markere at lista fortsetter etter samme mønster som de første elementene. Det fins uendelig mange positive partall.
Forklar hva skrivemåtene betyr.
1.4
Skriv tallmengdene på listeform.
a Tallene 4 og 8.
b De naturlige tallene mellom 10 og 20.
c Heltallene mellom 3 og 5.
d De negative oddetallene.
e De naturlige tallene bortsett fra 10 og 20.
Intervaller
Et sammenhengende utsnitt av tallinja er et intervall
Alle intervaller inneholder uendelig mange reelle tall.
–3–2–1012345
På figuren er tallene fra og med 2 til og med 4 markert.
Dette er et lukket intervall, og vi skriver det slik: [2,4]
Hvis endepunktene 2 og 4 ikke er med i intervallet, skriver vi 2,4
Dette er et åpent intervall, og består av tallene mellom 2 og 4.
Tallene 2 og 4 er altså ikke med i intervallet.
Figuren nedenfor viser hvordan vi kan markere dette intervallet på tallinja.
–3–2–1012345
Hvis bare ett av endepunktene hører med til intervallet, sier vi at det er halvåpent:
2 til 4 skriver vi slik: 2,4 [ 2 til og med 4 skriver vi slik: 2,4 ]
For eksempel kan vi skrive 22,4 [ −∈− og 2 ∉ 2,4 ]
Et intervall kan også være ubegrenset oppover eller nedover.
Dette markerer vi ved å sette en pil:
2, skriver vi slik: 2, −→ 2, skriver vi slik: ,2←−
, – 2 – 2 , –6–4–3–2–10123 –5
Til sammen utgjør de to intervallene på forrige side alle reelle tall unntatt 2.
Dette kan vi skrive som \{2} eller ,22, ←−∪−→ .
Symbolet kaller vi union og brukes til å slå sammen mengder.
1.5
Sett inn eller ∉ i de tomme rutene.
a 54,6[] b 3,3 c 2,33
d 10,2{} e 10,2 f 3\3,
1.6
Skriv som intervaller.
a Tallene fra 4 til og med 9.
b Tallene fra og med 4 til og med 9.
c Tallene fra 4 til 9 bortsett fra 5.
d Tallene som er større enn 4.
e Tallene som er mindre enn 4 eller større enn 9.
SNAKK
Ta for deg mengdene 1,2 [] , 1,2 og {1,2}
Beskriv sammenhengen mellom dem.
EKSEMPEL 1
Skriv med ulikhetstegn.
a x 5, ∈→
b y 2,4 [ ∈−
a Tallet x er større enn 5.
Vi kan derfor skrive x > 5.
b Tallet y er et tall fra og med 2 til 4.
Da er y større enn eller lik 2 og samtidig mindre enn 4.
Vi kan derfor skrive y ≥ 2 og y < 4.
Det blir mer oversiktlig å skrive det som en dobbeltulikhet: 2 ≤ y < 4.
1.7
Skriv med ulikhetstegn.
a x ,2 ∈← b y 2, [ ∈→ c z 1,2 ∈−[]
1.8
Skriv som intervaller.
a x 3 b y 55−<< c z 03 <≤
1.9
Finn, for hvert av uttrykkene a–h, et uttrykk blant uttrykkene 1–8 som forteller det samme. a
Implikasjon og ekvivalens
Vi tar for oss to påstander p og q
p: Petter bor i Trondheim.
q: Petter bor i Norge.
Det er umulig å bo i Trondheim uten å bo i Norge.
Derfor sier vi at påstanden p medfører (impliserer) påstanden q
Vi skriver: p ⇒ q
Symbolet ⇒ er en implikasjonspil.
Implikasjonspila sier at hvis p er sann, så er også q sann.
I klartekst:
Hvis Petter bor i Trondheim, så bor Petter i Norge.
Motsatt er det fullt mulig å bo i Norge uten å bo i Trondheim.
Påstanden q medfører derfor ikke påstanden p
Vi skriver: p ⇐ q
p ⇒ q betyr at hvis påstanden p er sann, så er også påstanden q sann.
EKSEMPEL 2
Hvilket av symbolene ⇒ og ⇐ passer i den tomme ruta? xx93 2
Vi vet at 39 2 og at (3)9 2 −=
Selv om det er sant at x 9 2 , behøver ikke x 3 å være sant.
x kan jo være lik 3.
Det er derfor ikke implikasjon mot høyre: x 2 = 9 x = 3
Men hvis det er sant at x 3 , så er det også sant at x 9 2
Det er derfor implikasjon mot venstre: x 9 2 ⇐ x 3.
1.10
Sett inn ⇒ eller ⇐ i rutene der det er mulig.
a Ingun er minst 18 år. Ingun har norsk førerkort for personbil.
b xx164 2
c xx164 ==−
d xx56>=
e xx54 f xx2,83,7
Vi tar igjen for oss to påstander p og q:
p: Petter er eldre enn Mari. q: Mari er yngre enn Petter.
Hvis p er sann, så er q sann. Altså har vi implikasjonen p ⇒ q
Hvis q er sann, så er p sann. Altså har vi også implikasjonen q ⇒ p
Når det er implikasjon begge veier, sier vi at p og q er ekvivalente påstander.
Vi skriver det slik: p ⇔ q
Symbolet ⇔ er et ekvivalenstegn.
I klartekst:
Det at Petter er eldre enn Mari, er det samme som at Mari er yngre enn Petter.
p ⇔ q betyr at hvis påstanden p er sann, så er også påstanden q sann, og omvendt.
EKSEMPEL 3
Hvilket av symbolene ⇔ , ⇒ og ⇐ passer i den tomme ruta?
xx385 +==
Hvis x + 3 = 8, er x = 5.
Altså har vi implikasjon mot høyre.
Hvis x = 5, er x + 3 = 8.
Altså har vi også implikasjon mot venstre.
De to påstandene er derfor ekvivalente: x 38+= ⇔ x 5 =
1.11
Sett inn ⇔ , ⇒ eller ⇐ i rutene der det er mulig.
a xx5210 b xxx164eller4 2 ==−=
c xxy00<⋅< d ABCD er et kvadrat. ABCD er et rektangel.
e xx5,5 <∈← f x er et partall. x er delelig med 2.
RØDE OPPGAVER
1.12
Fyll inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.
a 32,5 b 4,14,5 c 33,5[] d 53, −−→
1.13
Skriv mengdene som intervaller eller på listeform.
a De reelle tallene mellom 5 og 9. b De naturlige tallene mellom 5 og 9.
1.14
Forklar med ord hvilke tall mengdene inneholder.
a 3,3 [] b 3,3 {} c 2, d \4{}
1.15
Sett inn ⇔ , ⇒ eller ⇐ i rutene der det er mulig.
a xx eretpartall.2 b xx 34133 +==
c xyxy31og3 ⋅=== d xyxy 23 +=+=
BLÅ OPPGAVER
1.16
Skriv som mengder.
a De reelle tallene som er større enn 3, og mindre enn eller lik 9.
b De positive heltallene. c Alle reelle tall som er minst lik åtte.
1.17
Fyll inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.
a 352,3 b c (3)2 d 44,9
1.18
Skriv med ulikhetstegn.
a x 5,6[ ∈ b x \3, ∈→
1.19
Skriv så enkelt som mulig.
a 2,8\8{} {} b 1,2\1,2[] {}
1.20
Sett inn ⇔ , ⇒ eller ⇐ i rutene der det er mulig.
a xx00 2 b xx 3 =∈ c xx42 ==− d xx42 2
SNAKK
Likninger
5x + 2 og 2a + ab er eksempler på algebraiske uttrykk.
Når vi setter to algebraiske uttrykk lik hverandre, får vi en likning med én eller flere ukjente størrelser.
5x + 2 = 3x er et eksempel på en likning. Denne likningen har én ukjent, x. Vi løser likningen når vi finner én eller flere verdier for x som gjør at høyresiden i likningen blir lik venstresiden. Du ser kanskje at 1 er den eneste verdien for x som gjør sidene like i denne likningen? Vi sier at 1 er løsningen på likningen og skriver L 1 =−{} .
I noen likninger blir høyresiden og venstresiden like for alle reelle tall vi setter inn for x. Løsningsmengden er da alle reelle tall, og vi skriver L
Det fins også likninger hvor ingen verdier av x gjør sidene like. Da skriver vi L =∅ , løsningsmengden er tom
Når vi løser en likning algebraisk (ved regning), gjør vi de samme regneoperasjonene på begge sider av likhetstegnet.
Lineære likninger
Sindre løser en likning slik:
Kommenter linje for linje hva Sindre gjør. Hvordan kan Sindre kontrollere at løsningen stemmer?
EKSEMPEL 4
I likninger med brøk kan vi ha behov for å finne fellesnevneren. Den er det minste tallet som alle nevnerne går opp i. Løs likningen
Vi setter parentes rundt telleren med flere ledd.
Vi multipliserer med fellesnevneren 6.
Vi forkorter så mye som mulig.
Når det står minus foran en parentes, må vi bytte fortegn inni parentesen.
Altså er L 3 5 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫
Med CAS:
Merk!
gir eksakt løsning.
Vi kan også bruke i eksemplet ovenfor. Da finner vi den tilnærmede løsningen 0,6.
1.21
Løs likningene.
a xx 4352 +=+ b xx 63129 −+=−
c xx 1(38)2(24) −−=+ d xx 23(1)22(13) −−=−−−
1.22
Løs likningene uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.
a xx 23 5 6 −= b x x 3 2 1 46 7 4 +=+
c xx 2 2 3 1 2 4 +=− d x x 2 23 3 19 6 =
SNAKK
Andregradslikninger
I andregradslikninger er den ukjente opphøyd i andre potens. Her er noen eksempler: x 36 2 xx53 2 += tt53 2 +=
Du ser kanskje hvilke verdier av x som gjør at x 36 2 ? Ja, nettopp: 6 eller 6.
Dette kan vi også skrive slik: x 6=±
Likningen x 36 2 har løsningsmengden 6,6 {}, og vi skriver L 6,6 =−{}
Det fins ingen verdier for x slik at x2 er et negativt tall.
Likningen x 36 2 =− har for eksempel ingen løsninger. Altså er L =∅
Vi har gitt likningen xk 2 . k > 0, har likningen to løsninger, Lkk , { {} } = =− . k = 0, har likningen én løsning, L 0{ {} } = = . k < 0, har likningen ingen løsninger, L = =∅ ∅.
Hvilke av likningene er andregradslikninger?
① xx 2 23+= ② x 215 +=
③ yy650 2 −+= ④ xx31 2 −=
⑤ x (3)25 2 += ⑥ x x 3 2 0 −+=
Klarer du å se løsningen på noen av likningene?
EKSEMPEL 5
Løs likningen x (2)16 2 −=
Vi ser på uttrykket x 2 som den ukjente i første omgang. Det gir x x xx xx (2)16 216 24 24 62 2 −= −=± −=∨−=− =∨=−
Altså er L 2,6 =−{}
Tegnet ∨ leser vi eller
EKSEMPEL 6
1.23
Løs likningene. a x 9 2 b x 490 2 −= c x 40 2 += d x 30 2
1.24
Løs likningene.
a x (7)81 2 −= b x (3)36 2 c x (5)25 2 −= d x 3264 2 ()+=
abc-formelen
Vi kan skrive alle andregradslikninger på formen axbxc 0 2 ++=
Her er a, b og c tre vilkårlige tall, men a må være forskjellig fra 0.
Løsningen på andregradslikningen axbxc 0 2 + +++= = er gitt ved x bbac a 4 2 2 = = −±±− hvis bac40 2 −≥ ≥ og a 0.
Formelen ovenfor kaller vi abc-formelen. Beviset for den finner du på Aunivers.no.
Løs likningen xx 23 2 += ved å bruke abc-formelen. xx xx 23 230 2 2 += +−=
Vi ordner likningen på formen axbxc 0 2 + +++= = .
Vi sammenlikner med axbxc 0 2 ++= , og ser at a 2, b 1 og c 3=−
Vi setter inn i abc-formelen:
Med CAS:
EKSEMPEL 7
1.25
Løs likningene ved å bruke abc-formelen. Kontroller med CAS.
a xx320 2 −+= b xx 6 2 −= c xx 3210 2 −−= d xx 431 2 =+
Løs likningen xx 4410 2 −+−= ved å bruke abc-formelen. xx 4410 2 −+−=
Vi ser at a = 4, b = 4 og c = 1.
Vi setter inn i abc-formelen: x 444(4)(1) 2(4) 40 8 40 8 4 8 1 2 2 = −±−⋅−⋅− ⋅− = −± = −± ==
Altså er L 1 2 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ .
EKSEMPEL 8
Løs likningen xx 30 2 −+= ved å bruke abc-formelen. xx 30 2 −+=
Vi ser at a 1, b 1=− og c 3
Vi setter inn i abc-formelen: x (1)(1)413 21 1112 2 111 2 2 = −−±−−⋅⋅ = ±− = ±−
Vi får et negativt tall under rottegnet. Likningen har derfor ingen løsning.
Altså er L =∅ .
Med CAS: xx 1 22 = =⋅⋅ og xx (1)−==−
1.26
Løs likningene ved å bruke abc-formelen. Kontroller med CAS. a xx690 2 −+= b xx 441 2 +=− c xx230 2 ++= d xx34 2 =− e xx 2224 2 −= f xx230 2 −−=
UTFORSK
Hvordan ser vi at likningen xx230 2 ++= ikke har noen løsning?
Hvordan ser vi at likningen xx440 2 ++= bare har én løsning?
Hvordan vil antall løsninger på en andregradslikning axbxc 0 2 ++= avhenge av verdiene til a, b og c?
Figurene viser grafene til andregradsfunksjonene f, g og h gitt ved fxxx ()2 2 =−− , gxxx ()69 2 =−+− og hxxx ()57 2 =−+
y x h
4 5
Bruk grafene til å forklare sammenhengen mellom grafen til en funksjon og antall løsninger på en andregradslikning.
Løs likningene. a fx()0 b gx()0 c hx()0 d fx()2 =−
Produktregelen
Vi skal løse likningen xx320()()−+= uten hjelpemidler. Vi kan multiplisere ut parentesene og bruke abc-formelen, men det enkleste er å bruke produktregelen
Produktregelen sier at hvis produktet av to tall er null, må enten det ene tallet eller det andre tallet (eller begge tallene) være null. ab 0 ⋅⋅= = ⇔ ab00 = =∨∨= =
EKSEMPEL 9
Løs likningene.
a xx (3)(2)0 +⋅−=
b xx50 2 −=
a xx xx xx (3)(2)0 3020 32 +⋅−= +=∨−= =−∨=
Altså er L 3,2 =−{}
b xx xx xx xx 50 (5)0 050 05 2 −= ⋅−= =∨−= =∨=
Altså er L 0,5 {} = .
1.27
Venstre side er ikke et produkt. Det ordner vi ved å sette x utenfor en parentes.
Løs likningene uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.
a xx (4)(3)0 +⋅−= b xx 2430 ()()+−= c xx 253120 ()()−−= d xx(4)0 ⋅−=
1.28
Løs likningene uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.
a xxx (4)(1)0 −−= b xx80 2 −=
c xx40 2 −−= d xx 6 2
UTFORSK
Heltallsmetoden
En andregradslikning der a = 1 og løsningene er hele tall, lar seg ofte løse ved å se godt på tallene i likningen.
I likningen xbxc 0 2 ++= leter vi etter to tall som er slik at produktet av tallene er c, og summen av tallene er b. Hvis vi finner to tall som oppfyller begge disse kravene, så har vi funnet løsningene på likningen.
Eirik har begynt å løse en andregradslikning.
Forklar hvordan han går fram.
Hvilke hele tall mener Eirik er løsningen på andregradslikningen?
Løs likningene uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.
a x2 + 3x + 2 = 0 b x2 7x + 10 = 0
c x2 + 2x 3 = 0 d x2 + x 6 = 0
RØDE OPPGAVER
1.30
Løs likningene uten hjelpemidler. Kontroller svarene med CAS.
a xx 4231522 +−=−−()() b xx 2 7 3 4 −= c xx 2 3 1 46 7 4 +=+
1.31
Løs andregradslikningene uten hjelpemidler. Kontroller svarene med CAS.
a xx40 2 += b x 2180 2 −= c xx 80 2 += d xx (24)(1)0 +−= e xx7120 2 −+= f xx 3410 2 −+= g xx 264 2 =− h xx690 2 −+=
1.32
Ingvild og Idun skal løse likningen xx 260 2 += uten hjelpemidler. Idun vil bruke abc-formelen, men Ingvild mener at det er enklere uten. Vis hvordan hver av jentene løser likningen.
1.33
Lena skal løse likningen xx 2341 ()()+−= . Vurder Lenas løsning.
xx (2+3)(-4)=1 xx xx 2+3=1-4=1 = 1-3 2 =-1=5
BLÅ OPPGAVER
1.34
Løs likningene uten hjelpemidler. Kontroller svarene med CAS. a xx 2 2 3 1 2 4 +=− b xx x 4 3 105 ++= c xxx 5 3 8 15 23 3 6 5 −= d x x (32) 2 50 −+ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =
1.35
Løs likningene. Velg ulik løsningsmetode for hver likning. a xxx (3)(12)0 +−= b xx34 2 += c tt 5 2 10 2 −+= d xx 25130 2 −−=
1.36
En andregradsfunksjon f er gitt ved fxxx ()369 2 =+− . Bestem nullpunktene til funksjonen.
1.37
Ta for deg andregradslikningen xxc40 2 −+= , der c . For hvilken verdi av c har likningen én løsning? Finn denne løsningen.
Kvadratsetningene
ab aabb () 2 22 2 += ++ ab aabb () 2 22 2
Produktregelen
Ørnulf Borgan er professor emeritus ved
Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, der han arbeider med utvikling og anvendelser av statistiske metoder. Han har vært lærebokforfatter i mange år og har gitt en rekke kurs og foredrag for lærere i videregående skole.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i flere år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Potenser med rasjonale eksponenter og n-terøtter
aa a t n t n n t() ==
Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førstelektor ved Matematisk institutt.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Logaritmer
Briggske: p 10 p lg = og k lg10k =
Naturlige: p e p ln = og k ln e k =
Logaritmesetningene ab
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
Kontinuitet og grenseverdier f er kontinuerlig i a: fx fa lim( )( ) xa = → fx b lim( ) xa = → hvis og bare hvis fx bf xb fx b lim( ) lim () lim () xa xa xa == ∧= → →→+− og fx bf xb fx b lim( ) lim () lim () xa xa xa == ∧= → →→+−
MatematikkS1 følger fagfornyelsens læreplan i matematikk S1, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Derivasjonsregler
Læreboka
xnxnn 1 ()′ = uv uv uv ()′ = ′ + ′ u v uv uv v 2
Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSKoppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKKoppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest.
′ = ′ ′ x x (ln) 1 ′ = (e )e xx ′ =
På Aunivers.no finner du Aschehougs digitale læremidler.
fx gu u () () ′ = ′ ′ når fx gu () () = og uu x () =
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole. ISBN 978-82-03-40894-6
