– forenklet
John Engeseth
Odd Heir
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
John Engeseth
Hermod Haug
Odd Heir
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
– forenklet
Bokmål
Innhold
1 Tall
Vi øver på å legge sammen og trekke fra 5
Regning med positive og negative tall 7
Vi øver på å gange og dele 8
Kvadratrot 14
Potenser 14
Regning med potenser 16
Store og små tall – standardform 22
Eksamensoppgaver 26
2 Måleenheter
Lengdeenheter 29
Masseenheter 33
Arealenheter 35
Volumenheter 37
Tidsenheter 41
Sammensatte enheter 42
Veien om 1 45
Eksamensoppgaver 48
3 Prosentregning
Prosentandel 56
Endring i prosent 57
Prosentpoeng og prosent 61
Vi finner ny verdi på en rask måte 63
Prosentregning i flere perioder 66
Eksamensoppgaver 67
4 Funksjoner
Koordinatsystemet 71
Funksjonsbegrepet 73
Egenskaper ved funksjoner 81
Funksjoner som modeller 87
Eksamensoppgaver 89
5 Modellering
Mer om modeller 93
Fra målinger til modell − regresjon 97
Hvor god er modellen? 104
Eksamensoppgaver 106
6 Generalisering
Formler 110
Proporsjonalitet 113
Omvendt proporsjonalitet 116
Tallmønstre 119
Figurtall 122
Eksamensoppgaver 124
Fasit 126
Om Matematikk 1P – forenklet
Matematikk 1P – forenklet er én av komponentene i Matematikk 1P, som består av
Forenklet bok
grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med tilpassede
Den passer for elever som skal ha vurdering, og som trenger å repetere
Fagstoffet blir fulgt opp med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til er merket med
Når du mestrer oppgavene i denne boka, bør du prøve deg på oppgavene
Vi håper at Matematikk 1P – forenklet hjelper deg på veien til å mestre
Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne John Engeseth, Odd Heir, Håvard Moe, Tea Toft Norderhaug og
Sigrid Melander Vie, og redaktørene Cathrine Frydenlund og Harald Øyen Kittang
Vi øver på å legge sammen og trekke fra 5
Regning med positive og negative tall 7
Vi øver på å gange og dele 8
Kvadratrot 14
Potenser 14
Regning med potenser 16
Store og små tall – standardform 22
Eksamensoppgaver 26
a 35 + 19
b 3,5 + 1,9
Vi begynner bakerst. 5 + 9 = 14
Vi fører 4-tallet ned, og én tier i minne.
+ 9
+ 15
+ 29
3,8 + 1,3
EKSEMPEL 3
1
–4–3–2–1 –5012 –3
–4–3–2–1 –5 –608 1 2 3 4 5 6 7
Medlemmer i idrettslaget
Antall jenter:
c Hvor mange flere jenter enn gutter er det?
JenterGutterVoksne
a Kan vi gange 7 med et helt tall og få 62 til svar?
b Kan vi gange 5 med et helt tall og få 105 til svar?
c Kan vi gange 3 med et helt tall og få 28 til svar?
Hvilket tall skal stå på strekene?
Hvilket tall skal stå på strekene?
Regn her:
34
54
17
64
17
126
Figuren viser hvor mange elever som kom på leksehjelpen i ukene
a Hvilke uker kom det flere enn 22 elever?
b
Hvor store var matutgiftene til sammen for denne perioden?
Regn og skriv svarsetning her:
EKSEMPEL
a 3,8 ⋅ 2,1
b 8,5 4,3
c 5,7 5,4
d 7,8 ⋅ 6,4
128
a 18,5 3,4
b 6,4 1,7
c 9,24 ⋅ 4,1
d 7,5 18,2
Gange/dele med 10, 100, 1000, osv.
Ser du systemet? Forklar:
Å gange med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot høyre.
Å gange med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot høyre.
Og så videre.
Å dele med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot venstre.
Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plaser mot venstre.
EKSEMPEL 6
Og så videre. a 2,3 100 b 4,5 : 100
a 2,3 100 = 230
b 4,5 : 100 = 0,045
: 100 2,30000
:
35,4 : 10 = b 2,5 : 1000 =
3,5 : 100 = e 0,05 : 10 =
EKSEMPEL 7
35 : 1000
240,5 100 =
0,5 : 100 = 132 a 5 : 10 = b 45 : 100 =
100
35 : 1000 = 0,035 I det hele tallet 35 kan vi tenke oss at det står et komma og null bak det
35 = 35,0 Så bruker vi «knepet» fra eksempel 6b med å skrive noen nuller foran
1000
Hvor mange esker blir det?
Regn og skriv svarsetning her:
134
Hvor mange gram proteinpulver er det i kassa?
Regn og skriv svarsetning her:
Hvor mange av disse er det rimelig å tro at er «venstrehendte»?
Regn og skriv svarsetning her:
Hvor mye saft blir det i hver flaske?
Regn og skriv svarsetning her:
Kvadratrot
36
Kvadratroten av 36 er det positive 366
Å finne kvadratroten av et tall betyr å finne det positive tallet som ganget med seg selv gir tallet.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …
EKSEMPEL 8
Hva er a 16 b 36
a 164 fordi 4 ⋅ 4 = 16
b 366 fordi 6 6 = 36
I GeoGebra kan du finne 36
Du kan også bruke hurtigtasten Alt + Alt +
e 121 = f 6,25 = g 30 =
kvadrattall:
= =⋅⋅⋅⋅ 2222 3 3faktorer
Når eksponenten er et positivt heltall, forteller den hvor mange ganger grunntallet skal stå som faktor.
EKSEMPEL 9
a Regn ut 32
b Skriv tallet 16 som potens
138 a I potensen 34 er grunntallet og eksponenten
b I potensen (2a)5 er grunntallet og eksponenten
139 a 42 = b 72 =
= d 103 = e 43 =
a Skriv som potens med 5 som grunntall: 5 5 5 5 =
b Skriv som potens med b som grunntall: b b b =
EKSEMPEL 10
Skriv tallet 27 som potens med
b c I GeoGebra skriver vi inn potensen 35 I stedet for ^5 kan du trykke Alt + +
Regning med potenser
Multiplikasjon av potenser 32 34 = (3 3)
Vi ser at ⋅== + 3333 24246
Multiplikasjon av potenser med samme grunntall:
⋅⋅= = + aaapqpq
EKSEMPEL 11
a 23 2 24
b b2 b3 b5
⋅⋅=⋅⋅== ++ 22222222 343143148 b ⋅⋅== ++ bbbbb 23523510
143 a 23 24 = 234 = b 54 52 = c 102 104 10 =
2 kan vi skrive som 21
a a4 a3 =
b 10 102 104 =
c y2 y4 y3 =
d 104 105 102 = 145
Skriv tallene i stigende rekkefølge: 23 32 49 7,52 62
Regn her:
Når en potens skal opphøyes i en ny eksponent, opphøyer vi grunntallet i produktet av eksponentene.
( () ) = aa p q pq
EKSEMPEL 14
Regn her:
15
Potenser med null som eksponent
Potenser av typen 20, 30, a0
a0 = 1 for a forskjellig fra 0.
Potenser med negativ
eksponent
2 3 er det samme som 1 23 , 10 2 er det samme som 1 102 = = a a 1 n n
a Vis at = 20,5 1 b Vis at = 100,01 2 c Vis at = 20,25 2
EKSEMPEL 16
Regel
Regn
Regn
Regn
Store og små tall – standardform
Tallene 2,5 103 og 1,7 10 –5 er skrevet på standardform.
Tallene 2500, 45 10 –3 og 0,8 103 er ikke
Når et tall er skrevet på formen a 10n der a er et tall fra og med 1 til 10, og n er et helt tall, sier vi at tallet er skrevet på standardform. 156
Tierpotenser
101 = 10 102 = 10 10 = 100 103 = 10 10 10 = 1000
Ser du sammenhengen mellom eksponenten i tierpotensen og antall nuller i tallet?
Hva blir 104?
Hva blir 107?
Hva blir 10 4?
Hva blir 10 6? 157 a 10 000 = b 1 000 000 = c 0,0001 = d 0,000 001 =
a 105 = b 107 = c 10 5 =
159
a Tusen: b Én tusendel:
c Hundre tusen: d Én million:
Å skrive tall på standardform
EKSEMPEL 18
a 7500 = 7,5 ⋅ 1000 = 7,5 ⋅ 103 b 0,0065 = 6,5 0,001 = 6,510 3
a 7500 b 0,0065 :
7500 = 7,5 · 103
3 plasser mot høyre
Når vi skal gjøre om til standardform, teller vi antall plasser vi må flytte komma
160
161
a 0,024 = b 0,004 = c 12 000 = 0,0065 = 6,5 · 10–3
a 3500 = b 7 500 000 = c 658 = d 0,005 = e 0,000 65 = f 0,000 95 =
EKSEMPEL 19 Vi kan regne ut ved først å gjøre noen mellomregninger:
Regn ut og skriv svaret på 2,4 104 6,5 103
3 plasser mot venstre 2
104 = 24 000
103 = 6500
Eller regne ut mer direkte:
Skriver tallene på vanlig måte.
Trekker tallene fra hverandre. Skriver om svaret til standardform.
162
a 1,2 105 + 2,5 104
b 200 000 5 104
c 3,4 107 6 ⋅ 106
d 300 000 3,5 ⋅ 104
163
a 2,3 ⋅ 103 + 5 ⋅ 104
b 40 000 6,5 103
c 1,4 107 0,6 ⋅ 106
d 32 ⋅ 105 5 ⋅ 105
Regn her:
EKSEMPEL 20
Regn ut og skriv svaret
4000 5 104
Skriver 4000 på standardform.
Regner ut tierpotensene og de andre tallene hver for seg.
Skriver svaret om til standardform.
Merk!
Når vi skal regne ut et «gange/dele stykke» og skrive svaret på standardform, er det ofte lurt å gjøre det i denne rekkefølgen:
Regn her:
Regn her:
Eksamensoppgaver
166 (2P høsten 2019)
Regn ut og sorter tallene i stigende
750 23 22 23 2() 2 3 1 42
167 (2P våren 2019)
7,03 107 7 000 000
168 (2P høsten 2017)
Regn ut og skriv svaret på standardform
3,54 106 + 60 000
169 (2P høsten 2018)
12106,510 0,0005 76
170 (2P høsten 2018)
3 1 9 332(41)
Regn her:
Lengdeenheter
EKSEMPEL 1
Vi flytter kommaet én plass mot høyre.
Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i flere år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Matematikk 1P følger fagfornyelsens læreplan i Matematikk 1P (LK20) og består av lærebok, forenklet tilleggsbok, og digitale elev- og lærerressurser på Aunivers.no
Forenklet bok
Denne engangsboka har de samme kapitlene som læreboka. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med grunnleggende teori og med oppgaver tilpasset teorien. Eleven loses gjennom fagstoffet med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Til slutt i hvert kapittel er det noen eksamensoppgaver. Boka er laget for innskriving.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Digitale ressurser
Aunivers.no inneholder blant annet: •opplæringsressurser til GeoGebra, regneark og Python •interaktive oppgaver •eksamensløsninger
Som lærer får du i tillegg tilgang til: •lærerveiledning •kapittelprøver •terminprøver •aktivt klasserom
Den digitale elevressursen er inkludert i lærerressursen, og er tilgjengelig med FEIDE-innlogging.