Salud y matemáticas

¿Cuántas veces nos preguntan en clase de matemáticas: “profe, ¿y esto para qué sirve?”?

Pues eso, en estos tiempos de pandemia, ¿para qué sirven las matemáticas? La respuesta no puede ser más rotunda: ayudan a describir, predecir, combatir, controlar…Que sonimprescindibles,vaya.

“Tasa de contagios y de positividad de las pruebas, crecimiento exponencial, pico de la pandemia, aplanar la curva, índice reproductivo”. Son sólo algunos de los conceptos que se han coladoen nuestras vidas yque seguronuestrosalumnossoncapacesdeexplicar apartirdesusconocimientosmatemáticos.

Así, hasta los más jóvenes se manejan ya conlamagiaylabellezadelasproporciones yentienden qué significa que latasa de contagiosse sitúa en España en 150 casos por cada100000habitantes.

Pero claro, todos vemos que el número de casos detectados depende del número de pruebas diagnósticas que se hagan (menos pruebas, menos casos; evidente, ¿no?).

Pues entonces vamos a buscar la tasa de positividad, es decir, las pruebas que dan positivo en función de las realizadas. Si ese número es ahora del 8%, por ejemplo, y vemos que hace unas semanas era del 9%, pues eso, que estamos un poco mejor, inde- pendientemente de que se hayan hecho menos pruebas por eso del llamado “efecto del findesemana”oporelmotivoquesea.

Pero si hay un dato fundamental en toda enfermedadinfecciosaeselimpactoquetendrá sobre la población. Y ahí es donde entra el númerobásicodereproducción,R0.Supone, en promedio,elnúmerodecontagiosnuevos que cada persona infectada es capaz de generar.

Vamos,quedescribealgoasícomoelpotencial de la enfermedad; qué magnitud puede alcanzar.

Los estudios realizados hasta ahora determinan que el índice de reproducción del virus SARS-CoV-2 y, por tanto, de la enfermedad asociada a él, COVID-19, es alrededor de 2,68.

¿Qué quiere decir esto? Bueno, en primer lugar, como sabemos que ver un número decimal o una fracción puede provocar en nuestros alumnos un cierto desasosiego, vamos a suponer que ese número de reproducciónesde3.

Ahora supongamos que tenemos a un “paciente cero” infectado por el virus. Si esa persona entra en contacto con otras personas, en promedio infectará a otras 3. Análogamente, cada una de esas 3 podrían infectar a otras 3 (ya van: 1 + 3 + 9, es decir: 1+

3 + 32 = 13). Si seguimos, en circunstancias similares, en el siguiente paso tendríamos: 1 +3+9+27, esdecir:1+3+32 +33.Yasí sucesivamente.

Elesquemaseríaalgoasí:

TEMÁTICOS, que permiten predecir la evolucióndelapandemia.

Losmodelosqueseutilizanenepidemiología son muy similares e igualmente efectivos en otrassituaciones,sóloesnecesariomodificar algunos parámetros. Son perfectamente aplicables en otros ámbitos (economía, geografía, biología, sociología…).Una vez más, “la magiadelasmatemáticas”.

El modelo matemático más utilizado actualmente se conoce como SIR. Estas siglas hacenreferenciaalostresestadosenquese clasificaa los individuos deunapoblaciónde tamañoN:

S: “Susceptibles” - Todos los individuos que pueden contraer la enfermedad pero aún no sehancontagiado.

Seguro,yahaceratoqueloveíaisvenir:esto es lo que en matemáticas llamamos progresión geométrica. Yporeso (aunquehaymás motivos), se habla tanto de un crecimiento exponencialenelnúmerodecontagios.

Por comparar con otros virus: la gripe estacional se sitúa entre 0,9 y 2,1. Y uno de los números de reproducción básicos más altos es el del sarampión, que se sitúa entre 12 y 18. Curioso, ¿verdad? Porque no hemos escuchado nada de grandes brotes de sarampión. ¿Será por las vacunas que nos ponen depequeñitos?Ahílodejamos;porahora.

La medida de este valor R0 no es fácil, pues depende de muchos factores. Pero lo que sí nos dicen las matemáticas, como ahora intentaremos esbozar, es que cuando es menor que 1, la enfermedad no se propaga de forma tan extrema. Así, hablamos de pandemia cuando este índice básico es superior a1.

Llegados a este punto, es el momento de introducir la idea de los MODELOS MA-

I:“Infectados”–Individuosquehancontraído laenfermedad.

R: “Recuperados” – Individuos que contrajeronlaenfermedadperoyanolatransmiten.

En realidad, este modelo no se ajusta completamente a la situación de pandemia por COVID-19, ya que en el grupo de “infectados”habríaquediferenciarentreinfectadose infecciosos; vamos, que habría que tener en cuenta a los “asintomáticos”, una de las variables más complicadas de determinar en la contencióndelvirus.

Pues bien, en ese caso, que ya se ha contempladoaunquenonosvamosadeteneren ello, se trabaja con el modelo SEIR, que incluye un estado intermedio denotado por E (abreviaturade“expuesto”).

Bien, siguiendo con el modelo SIR, comenzamos suponiendo que el número individuos de la población permanece constante, es decir:S+I+R=N.

Además,suponemosqueunsusceptiblecontrae la enfermedad al entrar en contacto con un infectado y cada infectado tiene la posibilidaddeinfectaraunnúmerodesusceptibles (ya anda por aquí el R0). Por supuesto, de todos los infectados, una proporción de ellos vapasandoalgrupodelosrecuperados.

Así, por resumir, tenemos las funciones S(t), I(t) y R(t), que representan, respectivamente, la fracción de individuos susceptibles, infectados y recuperados en el transcurso del tiempo.Ylosparámetros: β= tasa de infección α= tasa de recuperación.

(Yasabéisloquenosgustanenmatemáticas lasletrasdel alfabetogriego; esque losgriegos fueron muy importantes, ahí tenéis a Pitágorasycompañía).

Bueno, pues ahora que no cunda el pánico, pero resulta que laforma en que se propaga el virus está asociada a un sistema de ecuaciones diferenciales en el que intervienen estas funciones y parámetros que acabamos deindicar.Vamosaescribirloaquí:

����(��) ���� =−����(��)∙��(��)

����(��)

���� =(�� ��(��) ��) ��(��)

����(��) ���� =��∙��(��) ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫

¿Cómooshabéisquedado?Aver,quenuestras chicas y chicos de Bachillerato sí que vanacaptaralmenoslaidea.

Una ecuación diferencial no es más que una ecuación matemática en la que se relaciona unafunciónconalguna oalgunasde susderivadas. (“Vaya, las que faltaban”, estaréis pensando, y con toda la razón). Y ya sabemos que las derivadas nos hablan del comportamiento de las funciones: Si la derivada es positiva, la función crece y si es negativa, la función decrece. ¡Ni siquiera necesitaríamos conocer las funciones, basta con estudiar el comportamiento de sus derivadas parapoderdescribirlas!

Parece claro que la función I(t) debe aumentartantocomodisminuyaS(t)ydisminuirtanto como aumente R(t). En los primeros momentosdelaevolucióndelaenfermedad,los infectados aumentan rápidamente, a la vez que disminuye la proporción de susceptibles. Por supuesto, también aumentan los recuperados,aunqueavelocidadinferior.

Más adelante, al ir disminuyendo el número de susceptibles (por haber sido infectados o ya recuperados), la función I(t) empezará a decrecer y la de recuperados, R(t) seguirá creciendo. Claro, siI(t) pasade ser creciente adecreciente,habrápasadoporun“pico”,es decir, matemáticamente hablando, un máximodeesafunción.

Recordemos que la suma de los tres estadios se mantiene siempre constante, N, por loque,coneltiempo,R(t)seacercaráaltotal delapoblaciónytantoS(t)comoI(t)seacercaránacero.

Por tanto, con el modelo SIR, se puede deducir que habrá un brote epidémico cuando la función I(t) crezca muy rápidamente, es decir,cuandosuderivadaseapositiva:

Como en los primeros pasos de la transmisión, el valor de I(t) será muy pequeño, podemosponer: β∙S(t)−α>0→��(��)> α β

Es decir, que la función de infectados, I(t), crece rápidamente cuando lafunciónde susceptiblesesmayorqueesecociente.Asíque se producirá una epidemia en función del númerode susceptibles másque delnúmero deinfectados.

Es una conclusión muy interesante: para reducir el riesgo de pandemia hay que reducir el número de individuos susceptibles de ser infectados.Yporaquívienenlasmedidasde contenciónparaevitarriesgosdecontagio.

¿Recordamos el R0, índice de reproducción básico?Puesresultaque: R = dad. Así, llamemos p a la fracción de vacunados en la población. Esa fracción, ya sabemos,seráun número entre0y1 (entreno vacunar a nadie o vacunar a toda la población). Por desgracia, esa vacuna no puede llegarenseguidaatodoelmundo.

Con ello: Si R = <1, el individuo se recupera antes de transmitir la enfermedad; por eso no hay riesgo de pandemia. Pero si R = >1,elindividuoinfectadotransmitela enfermedadantesderecuperarseyentonces se considera pandemia, porque la propagaciónestarádescontrolada.

Teniendo esto en cuenta, ahora los susceptibles de ser infectados, S(t), son los que no hayan sidovacunados;esdecir,nos interesa laexpresión: (1−p)∙S(t)

Así que, en el modelo, sólo tendremos que introducir esta expresión en las ecuaciones enellugardeS(t).

Denuevo,lafuncióndeinfectados,I(t),crece rápidamente cuando la función de susceptiblesesmayorqueestecociente:

S(t)> α β(1−p) en el que ahora ya aparece el valor (1−p) delosindividuosnovacunados.

Ya vamos acercándonos al desenlace… Si volvemos al índice dereproducción de la enfermedad: R = y llamamos R al índice que seobtieneteniendo en cuenta laproporcióndevacunados,resultaque:

R =R ∙(1−p)

Pero es que, como pes un valor entre 0 y1, tenemosque 1−p<1,conlocual: R <R .

Llegadosaestepunto,vamosconlapartede ánimo y esperanza: porque los modelos matemáticos también incorporan, y de qué manera,lavariabledelavacuna.

Vamos a introducir en este modelo SIRla existencia de una vacuna contra la enferme-

(Se ha entendido, ¿no? Al multiplicar por un número menor que 1, obtenemos un valor más pequeño; eso es así, no le demos muchasvueltas).

¡Conclusión!: Al introducir la fracción de vacunadosenelmodelo,¡elíndicereproductivo baja!

Vamos, lo que todos sabemos ya: con una vacuna, el índice de reproducción del virus será menor. ¡Pero es que los modelos ma- todos.Asíquevamosaigualara1,quesería el límite aceptable, y obtengamos el valor de p que deseamos para la inmunidad del grupo: β∙(1−p) α =1 → 1−p= α β → 1− α β

=p Esdecir: 1− 1 =p

Así, con soltura y elegancia, concluimos que:p=1−

Evolución de S(t), I(t) y R(t) teniendo en cuenta una fracción de vacunación. La gráfica arriba corresponde al 30% de población vacunada. Abajo, al 70%. (En línea discontinua, el nivel máximo de afectados sin vacunación) temáticoslodemuestran!

Yaúnhaymás:¿quéesesodelainmunidad grupal o “inmunidad de rebaño”? ¿Y por qué nos hablan de llegar a inmunizar a un 70% de la población para alcanzar esa inmunidad?

Pues sí, más matemáticas. Y de las fáciles, de ésas que sabemos todos, de coger una ecuación y darle vueltas hasta que encontramos el valor de la incógnita. Retomamos la expresión del índice reproductivo teniendo encuentalafraccióndevacunados:

R = β∙(1−p) α

Sabemos ya que lo fundamental es que este valorsemantengapordebajode1paraconsiderar controlada la transmisión. Vale, pues podíamos resolver la inecuación correspondiente, pero no, tampoco nos vamos a liar, que eso de “inecuación” ya no nos suena a

Pues ya está, lo tenemos. Recordemos que habíamosfijadoelíndicedereproduccióndel virus SARS-CoV-2 en 3 (aproximadamente). Hagamos entonces un cálculo de valor numéricodeésosqueaparecentantasveces ennuestrastareasmatemáticas: p=1− 1 3 = 2 3≅0,6666…

Se debe alcanzar ese umbral de personas vacunadas, aproximadamente un 66,6%, para obtener la inmunidad grupal que asegure que la enfermedad pueda estar bajo control. Vale, así redondeando, hablamos del 70%. Pero ya vemos que, una vez más, ese dato nosloproporcionanlasmatemáticas.

Y ya que estamos con el tema de las vacunas,habráquetenerprevistounmodelopara sudistribución:diseñodelacadenadesuministro, coste, tiempo de entrega, capacidad de almacenamiento, disponibilidad de embalajes y equipos… Lo mejor para organizarlo: másmatemáticas.

Almenosunapartedeestasmatemáticaslas manejamos en Bachillerato, en la modalidad de Ciencias Sociales: la Programación Lineal. Eso de resolver situaciones en las que se quiere maximizar o minimizar una función (la

“función objetivo”) que está sujeta a determinadaslimitaciones(las“restricciones”).

Claro, en clase nos manejamos con problemas ”pequeñitos”, con dos variables y unas cuantas restricciones; y la distribución de las vacunas es de tal envergadura que necesitará variables y restricciones “a lo grande”. Pero, vamos, que el planteamiento del problemaeselmismo.

Cuandoescribimosestaslíneas,nosabemos mucho de laplanificación que se está llevando a cabo en la distribución de las diferentes vacunas. Pero sí podemos poner un ejemplo muycercanoyvalioso.

Hace unos años, un grupo de matemáticos especializadosen Investigación Operativade la Universidad de Valladolid desarrollaron un programa informático que permite incrementar la eficiencia de la asistencia sanitaria en Castilla y León. Son modelos matemáticos que ayudan a solucionar problemas complejos sobre recursos humanos y materiales, permitiendo a la Administración planificar y tomardecisiones.

Teniendo en cuenta aspectos de nuestra Comunidad como la extensión, dispersión y pirámide poblacional, estos modelos permiten maximizar la atención al ciudadano y mi- vehículos de formaque se pudiera atender a la mayor cantidad de gente en el menor tiempoposible. nimizarcostes.

Concretamente, uno de los primeros problemas de optimización que resolvieron fue la ubicación de ambulancias en la región: se trataba de disponer un número limitado de

No nos vamos a extender más en éste y otros ejemplos. Solo pretendemos despertar la curiosidad de algunos de vosotros. Y, sobre todo, que estas pinceladas ayuden a nuestros alumnos a comprobar que, en el recorrido por la Enseñanza Secundaria y el Bachillerato, se van esbozando ideas que en realidad son potentes herramientas susceptibles de ser aplicadas en una gran cantidad de situaciones, como es el caso de la realidadsanitariaactual.

Lo aquí expuesto, a un nivel muy básico, es lo que dicen las matemáticas. Y, como ciencia exacta que es, no admite discusión. Otra cosaseránlasinterpretacionesquesehagan delasconclusiones.

En nuestro caso, solo hemos recogido algunas ideas de entre todas las que aportan los excelentes matemáticos y divulgadores que hemostenido elplacerdeleer,delosqueos dejamosaquílareferencia.

Bibliografía:

GRIMA, C y BORJA, ENRIQUE F. (2017): Las matemáticasvigilantusalud.Modelossobreepidemiasy vacunas

LEÓNDE,MANUELyGÓMEZ,ANTONIO(2020):Las matemáticasdelapandemia

¡Salud!y¡Matemáticas!

Dpto. Matemáticas