I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i paesi. L'acquisto della presente copia dell'opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce.
Fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale) nei limiti del 15% di ciascun volume possono essere effettuate dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall'art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941, n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali convenzionati SIAE o con altre modalità indicate dalla SIAE Per riproduzioni a uso non personale (per esempio: professionale, economico o commerciale) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume.
Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a:
Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali (CLEARedi) Corso di Porta Romana 108 20122 Milano e-mail: autorizzazioni@clearedi.org e sito web: www.clearedi.org
L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale. La riproduzione a mezzo fotocopia degli esemplari di tali opere esistenti nelle biblioteche è consentita, non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nel contratto di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei e archivi, la facoltà di cui all’art. 71-ter della legge diritto d’autore.
Redazione: Natalia Nanni
Fotocomposizione e disegni: Luigi Quartapelle e Franco Auteri
Copertina: Luca Ronca
Prima edizione: marzo 2013
Ristampa 4 3 2 1 0 2013 2014 2015 2016 2017
Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra loro. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro rivolgersi a:
Sul sito www.ceaedizioni.it è possibile verificare se sono disponibili errata corrige per questo volume. Accedendo, attraverso il menu sulla sinistra, alla pagina Per l'università, è possibile visualizzare l'elenco dei volumi per i quali è disponibile un errata corrige cliccando sulla voce Errata corrige presente nelle diverse categorie dell'elenco degli strumenti per lo studio. Nel caso, è possibile scaricare il relativo PDF alla sezione Servizi della scheda dedicata al volume, raggiungibile cliccando sul titolo del volume stesso.
Stampato da
Pirovano S.r.l. via della Pace, 19 - San Giuliano Milanese (MI) per conto della CEA, Casa Editrice Ambrosiana viale Romagna, 5 20089 Rozzano (MI)
Perstabilireinmodopi ` uprecisoquestacondizionediapplicabilit ` adelmodellodel fluidocomecontinuo,sideveintrodurreil liberocamminomedio.Questagrandezza rappresentaladistanzamediapercorsadallemolecolefradueurtisuccessivied ` e indicatacon λ.Tipicamente,nell’ariaincondizionistandard(temperatura T = 288K epressioneatmosferica P = 1.01325 × 105 Pa)ilvaloredelliberocamminomedio ` e λaria ≈ 10 7 m.Invecenell’acquaallestessecondizionilemolecolesimuovono rimanendosempremoltovicineeilliberocamminomedio ` epi ` udifficiledadefinire; essovienequindiassuntoarbitrariamenteugualeadalcunedistanzeintermolecolari, percui ` edell’ordinedi λacqua ≈ 10 10 m.
Ilvaloredi λ nellecondizionitermodinamichedellacorrenteinesame ` epoi confrontatoconuna lunghezzacaratteristica delproblemastudiato,cheindichiamo con L ,adesempioladimensionediuncorpoimmersonel fluido.Ilrapportofraqueste duegrandezze,cio ` e
Consideriamolaforzainterna π cheil fluidochesitrovadaunapartedellasuperficie Δ S esercitasul fluidopresentedallaparteopposta.Precisamenteindichiamocon π la forzaperunit ` adiareaprovocatadal fluidochesitrovanellaparteversocui punta la normale ˆ n allasuperficie Δ S .Nellecondizionidimotoindicate,ilvettore π ` edatodal prodottodiunagrandezzascalare P ,chiamata pressione,perladirezionedelversore ˆ n,ossia
π =− P ˆ n,
doveilsegnomenoindicachelaforza f = π Δ S agentesull’area Δ S ` edirettadal fluidoagenteversoil fluidochesitrovadallaparteopposta(ovviamente P > 0),come mostratoin figura1.1.Ilvaloredellapressione P risultadipendereingeneraledalla posizione r incuisitrovalasuperficie Δ S ,percuilapressionesar ` ainrealt ` auna funzionedi r,ossiaavremo P = P (r) equindi
π (r) =− P (r) ˆ n
Ineffettiilproblemafondamentaledellastaticadei fluidiconsisteneldeterminare l’andamentodel campodipressione P (r) nellecondizionidelproblemainesame.
Notarechelapressione ` eunagrandezza scalare percui non ` eunaforzaperunit ` adi superficie,datochelaforza ` eunvettore,mahasolole dimensioni diunaforzaperunit ` a disuperficie.Ineffetti,notalapressioneinunpunto,esistonoinfiniteforzedovute allapressionecheagisconoinquelpuntoasecondadellasuperficieelementarescelta passanteperilpunto.Infatti,perciascunaditalisuperfici,adesempiolasuperficie Δ S connormale ˆ n,siavr ` aunaforzadovutaallapressione,datada f =− P Δ S ˆ n,come mostratoneldisegnoinaltodella figura1.2.Selagiacituradellasuperficiecambiae quindilasuanormale ` ediversa,adesempio ˆ n ,comemostratoneldisegnoinbasso della figura1.2,alloralaforza,semprenellostessopunto,sar ` adatada f =− P Δ S ˆ n , esar ` aquindiingeneralediversada f trannequando ˆ n coincidecon ˆ n Fissatal’area Δ S dellasuperficie,avremocomunquesempre |f |=|f |,qualunquesialadirezionedi ˆ n.Questaindipendenzadell’intensit ` adellaforzadovuta allapressionedalladirezionedellanormaleallasuperficieattraversolaqualelaforza siesercita ` eindicatatalvoltacome“principiodiisotropiadellapressione”.Questa dizione ` einrealt ` ascorrettadatochelapressione ` eunagrandezza scalare equindinon hasensoassociarlel’ideadiunadirezione.Laproposizionedevequindiessereintesa nelsensocheogniforzadovutaallapressionehalamedesima intensit ` a qualunquesia ladirezione ˆ n normaleallasuperficie Δ S attraversocuiagisce.Sipotr ` aquindiparlare pi ` upropriamentedi principiodiisotropiadeglisforzi dovutiallapressione. ˆ n ˆ n f f P P Δ S Δ S
Densit`a
Oltreallapressione,lepropriet ` adel fluidosonocaratterizzateanchedaun’altra grandezzamacroscopica:la densit ` a(dimassa),dettaanche massavolumica o massa specifica,cherappresentailrapportofralamassaeilvolumediunaparticelladi fluido, ossiadiunasuaporzionesufficientementepiccola.Ladensit ` a ` eindicatacon ρ ele suedimensionisonounamassaperunit ` adivolume,percuinelleunit ` adelSistema Internazionaleilvaloredi ρ sar ` aespressoinkg/m3 .Naturalmente,ancheladensit ` a dipendeingeneraledallaposizione r incuisitrovalaporzionedi fluido,percuiladensit ` a ` eunafunzionedellospazioescriveremoquindi ρ(r).Ineffetti,larisoluzionedei problemidellastaticadei fluidirichieder ` adideterminareanchel’andamentospaziale delladensit ` a,ovverodicalcolarelafunzione
ρ = ρ(r).
Nellatabella1sonoriportatiivaloridelladensit ` a ρ dialcuni fluiditipiciincondizioni termodinamichestandard,ovveroallatemperaturadi T = 288Keallapressione atmosferica P = 1.01325 × 105 Pa:ilmercurio(simbolochimicoHg),l’acqua(H2 O) allostatoliquidoedivapore,el’aria.Nellastessatabellasonoindicatianchei valoridellegrandezzeviscosit ` adinamica μ eviscosit ` acinematica ν ≡ μ/ρ delle variesostanzenellecondizionitermodinamicheindicate.Laviscosit ` adinamica μ sar ` a definitapi ` uavantinelparagrafo5.1.
Tabella1. Propriet ` ameccanichedialcuni fluidiallatemperaturadi T = 288Ke allapressioneatmosferica P = 1.01325 × 105 Pa(amenochenonsia diversamentespecificato)
Nelleapplicazionisiutilizzasoventelagrandezza γ = ρ g chiamata pesospecifico del fluido,dove g ` eilcampogravitazionalevicinoallasuperficieterrestreevale g = 9.81N/kg.Ilpesospecifico γ diunasostanzarappresentaquindilaforzapeso perunit ` adi volume agentesudiessavicinoallasuperficiedellaTerra.Adesempio, ilpesospecificodell’acquaedell’ariaincondizionistandardvalgonorispettivamente γH2 O = 9790 4N/m3 e γaria = 11 58N/m3
Performularelacondizionediequilibriodiogniparticelladi fluidodobbiamo considerareleforzecheagisconosudiessa.Nelcasodei fluiditaliforzecomprendono le forzeesterne,chesonocausatedaazioniadistanza(come,peresempio,laforza gravitazionaleolaforzaelettrica),le forzeinterne,chesonocausatedall’azionedelle partidi fluidoadiacentiallaparticellaconsiderata,einfinele forzedicontatto,che sonocausatedallesuperficidicorpiacontattoconil fluido.Leforzeesternesonodette anche forzedivolume,mentreleforzediinterneedicontattosonodetteanche forze disuperficie,perimotivicherisulterannochiarifraunmomento.
Supponiamoallorachesullaparticelladi fluidopostanellaposizione r agiscano delleforzeesternedivolumelacuirisultante ` eespressadalcampodiforze g(r):per essereprecisi, g(r) rappresentalaforza perunit ` a dimassa,percuiilprodotto ρ(r) g(r) rappresenter ` ala forzaperunit ` adivolume,ela forza agentesuunaparticelladivolume elementare dV chesitrovain r sar ` adatada ρ(r) g(r) dV .Adesempio, g(r) potrebbe rappresentareil campodigravit ` a inprossimit ` adellasuperficieterrestreeintalcaso V
F V d F
Figura1.3 Forzadivolume F V esercitatadalcampodiforze g(r) sul fluidonellaregione V avremmo,pi ` uindettaglio, g(r) = g =− g ˆ z,dove g = 9.81N/kg,l’asseverticale z essendodirettoversol’alto.
S n P (r)
F S
Figura1.4 Forzadisuperficie F S cheil fluidoesternoesercitasul fluidonella regione V
Consideriamounvolumedeterminato V di fluido.Perquantodetto,laforza divolumecomplessivadovutaalcampodiforze g(r) esternecheagiscesuquesta porzione finitadi fluido ` edatada
F V = V ρ(r) g(r) dV ,
dovel’elementodivolumeinfinitesimo dV potr ` aeventualmenteessereespressoin coordinatecartesiane ( x , y , z ) interminidegliinfinitesimideitreintegrali,ovvero dV = dxdydz .Ilsimbolo V indicainrealt ` al’integraletriplo V ,cui ` estato preferitopersemplicit ` anotazionale.
Accantoallaforzadivolume,abbiamol’azionedovutaalleforze,interneodi contatto,cheagisconosullaparticelladi fluidoattraversolasuperficie S = ∂ V che racchiudeilvolume V .Incondizionidiequilibrio, ovveroquandolavelocit ` adel fluido ` enullainognipunto,leforzeinternesonodovuteallasolaazionedellapressionee quindilaforzainternatotaleagenteattraversotuttalasuperficiechedelimitalaporzione di fluidosar ` aottenutasommandoicontributidovutiaciascunelementodisuperficie dS ,comemostratonella figura1.4,
F S = S P (r) ˆ n(r) dS ,
dove ˆ n(r) indicailversorenormaleallasuperficieinfinitesima dSuscente dalvolume V el’integraledisuperficie ` eindicatopersemplict ` acon S inluogodiquellodell’integrale bidimensionale S .Lepresenzadelsegnomeno ` edovutachiaramentealfattochela relazioneesprimelaforzadovutaallapressionecheil fluidoall’esternodi V esercita sulquellochesitrovaall’internodi V ( P > 0).
D’altraparte,ilvolume V pu ` oesseresceltoinmodocompletamentearbitrario,percui l’annullamentodell’integraleperognisceltadi V richiedechesianullalafunzione integranda.
Infatti,seunafunzionecontinua f soddisfa V f (r) dV = 0perqualunque dominio V ,allora f (r) = 0intuttiipunti r di V ,inquanto,seesistesseunpunto r0 taleche f (r0 ) = 0,adesempio f (r0 )> 0,allora,perlacontinuit ` adellafunzione f ,essasarebbepositivaintuttiipuntiappartenentiaunintorno B concentroin r0 sufficientementepiccolo,percui B f (r) dV sarebbemaggioredizero,contraddicendo l’ipotesi.
chedeveesseresoddisfattaintuttiipunti r del fluido.Inquestaequazioneilcampo vettoriale g(r) ` enoto,mentreleduefunzioniscalari P (r) e ρ(r) sonolevariabili incognitedadeterminare.
Diconseguenzaentrambelefunzioni ρ = ρ(r) e P = P (r) varierannosolomuovendosilungolelineedelcampovettoriale g(r).Pertantoesister ` aunlegamefraqueste duevariabiliepotremoscrivere P = P (ρ) ovvero ρ = ρ( P ).L’implicazionedi questorisultato ` echel’equazionediequilibrionelcampodiforzeconservativeassume laformapi ` uchiara
∇P
ρ( P ) = g(r), se ∇× g(r) = 0, chehaunasolavariabileincognita, P = P (r). Quandoilcampodiforze g(r) ` econservativo,alloraesisteun’energiapotenziale χ(r) (perunit ` adimassa)chepermettediesprimereilcampocomegradiente,secondo lanotarelazione
Infatti,considerandolafunzioneprimitiva F ( p ) di f ( p ),ossial’integraleindefinito F ( p ) = p f (q ) dq ,risulta
d ds p (s ) f (q ) dq = d ds F ( p (s )) = dF ( p (s )) dp dp (s ) ds = f ( p (s )) dp (s ) ds
L’identit ` asigeneralizzainmodoovvioalcasoincuilavariabilescalare s ` esostituita dalvettoreposizione r eladerivatadiventailgradiente:
∇ p (r) f (q ) dq = f ( p (r)) ∇p (r).
Seapplichiamoquestarelazioneconlasostituzione f ( p ) → 1 ρ( p ) → 1 ρ( P ) ,otteniamo
∇ P (r) dQ
ρ( Q ) = 1 ρ( P (r))
∇P (r) = ∇P (r) ρ( P (r)) .
Grazieaquestaidentit ` aeallarelazione r ∇χ · d s = χ(r),l’equazionediequilibriodel fluidonelcampodiforzeesterneconservativesiintegraimmediatamenteefornisce: P (r) dQ
ρ( Q ) + χ(r) = costante, dovelacostantepu ` oesserepresanulla,datochepu ` oessereinglobatain χ che ` edefinita amenodiunacostante.Seintroduciamolafunzioneprimitiva F ( P ) = P dQ /ρ( Q ), alloralarelazioneprecedentediceche
F ( P (r)) =−χ(r) ovvero P (r) = F 1 ( χ(r)), dove F 1 indicalafunzioneinversadi F = F ( P ).Questarelazioneforniscela distribuzionedellapressionedel fluidoinquietenelcampodiforzeconservativedescrittodall’energiapotenzialespecifica χ(r).Intalcasolesuperficiequipotenziali sonoanchesuperficidilivellodellapressione:precisamente,allasuperficieequipotenziale χ(r) = C corrispondelasuperficieisobara P (r) = F 1 ( C ).Inaltreparole, abbiamoricavatoillegamedirettofreleduevariabili P e χ ,che ` esemplicemente
Consideriamooralasituazioneparticolarediun fluidochesitrovanelcampodi gravitazionedellaTerrainprossimit ` adellasuasuperficie.Inquestocaso,ilcampo diforza g(r) ` e,conbuonaapprossimazione,uncampouniformedirettoverticalmente versoilbasso,comemostratonella figura1.7.Ilcampoassumealloralaformamolto semplice g =− g ˆ z,doveladirezionepositivadell’asseverticale z ` estatapresaverso l’altoedove g = 9 81N/kg ` eilvaloredel campodigravit ` a terrestreallivello delmare.Questocampouniforme ` eirrotazionaleepu ` oessereespressointermini dell’energiapotenzialegravitazionale χ(r) = χ( z ) = gz perunit ` adimassa,percui avremo g =−∇χ =−∇( gz ) =− g ˆ z.L’equazionediequilibriodel fluidodiventa allora ∇P + ρ g ˆ z = 0
Fluidodinamica incomprimibile
Fenomeni come il volo, il funzionamento dell’impianto di riscaldamento domestico, i flussi di materia all’interno di una stella sono tutti oggetto di interesse della dinamica dei fluidi. L’ampia diffusione in natura della materia allo stato liquido o gassoso e la varietà dei fenomeni fisici che coinvolgono i fluidi giustificano la grande importanza di questa disciplina.
Il testo è frutto di dieci anni di esperienza didattica da parte dei suoi autori nei corsi di Ingegneria.
Il primo volume – Fluidodinamica incomprimibile – è dedicato allo studio delle correnti incomprimibili; il secondo – Fluidodinamica comprimibile – tratta il comportamento delle correnti comprimibili. Gli autori, entrambi docenti del Politecnico di Milano, hanno voluto fornire al lettore uno strumento didattico chiaro, ma al tempo stesso rigoroso, per acquisire solide conoscenze dei fenomeni e dei metodi inerenti la meccanica dei fluidi.
