Enrico
Schlesinger
Algebra lineare e geometria
Terza edizione
MATEMATICA
Indicegenerale
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Prefazione
Duesonolenovitàprincipalidiquestaterzaedizione:unulteriorecapitolosulla geometriaaffine,ilcuiobiettivofondamentaleèlaclassificazioneaffineemetricadelle quadrichereali,e,nelcapitolo6,unadiversapresentazione,incentratasullanozionedi sottospazioinvariante,delcircolodiideeattinentialproblemadellaformacanonica diJordan.Conquestemodifichedelcapitolo6,ilcriteriodidiagonalizzabilitàin terminidegliindicidegliautovalorihaunadimostrazionerelativamenteelementare, indipendentedallaformacanonicadiJordan,ediventacosìpossibileutilizzarloper fornire,nelcapitolo8,unadimostrazionedelteoremaspettralechesiapplicatantoalle matricisimmetricherealiquantoallematricinormali.
Ilcapitolo7suglispazieuclideièstatoriorganizzato,eoraincludelaclassificazione delleisometrielinearidellospaziotridimensionaleeunparagrafodedicatoalvolumedi unparallelepipedodidimensionearbitrariainunospazioeuclideo.Ilrestodelvolume èstatoattentamenterivistoe,spero,miglioratoneidettagli.L’impaginazioneèstata particolarmentecurataperottimizzarelaleggibilità.
Voglioesprimerelamiaprofondagratitudineall’EditoreZanichellie,inparticolare, aMarikaDeAcetis,chehacuratolarealizzazionediquestoprogetto,aEleonoraCol, chemihaincoraggiatoascriverelanuovaedizione,aNataliaNanni,chehariletto instancabilmentelebozzedeltestosuggerendomoltiimportantimiglioramenti,ea SilviaMaschioperl’eccellentelavorodiimpaginazione.
Ringraziosentitamentetuttiicolleghi,lecolleghe,glistudentielestudentesseche conleloroosservazionihannocontribuitoamigliorareiltesto:traquestiAlessandro Alippi,AlessandroCattaneo,MarcoBoella,GabrieleCaminzuli,MaurizioCitterio, MarcoCompagnoni,AchilleFrigeri,PaoloLella,StefanoLeveraro,LucaMauri,Giorgio Ottaviani,EmanuelePimpini,EmanueleRodaro,AlbertoRoncoroni,IreneSabadini, AlessioSammartano,PiercesareSecchi.
Infine,voglioringraziaremiamoglieMariangelaperilsuopreziosoeindispensabile supporto.
Novembre2025
EnricoSchlesinger
Prefazioneallasecondaedizione
Lanuovaedizionediquestolibroditestomantienel’impiantoelecaratteristichedellaprima edizione,cheerastataideataconundupliceobiettivo:fornireunmanualedifacileletturaper glistudentidelprimoannodiuniversità,riccodiesempiedesercizichemotivinolosvolgimento dellateoriaeneillustrinoleapplicazioni,maancheunlibrocompletoerigorosodalpuntodi vistamatematico,chepossaservirecometestodiriferimentoperl’algebralineareanchenei successiviannidistudio.
Laprincipalenovitàdellanuovaedizioneèl’accorpamentodelcapitolosuglispazivettoriali conquellosulleapplicazionilineari;nellanuovatrattazionelateoriahaunosviluppopiù naturaleesintetico,chedovrebbefacilitarel’utilizzodeltestoperisemprepiùnumerosicorsi dialgebralineareconunesiguonumerodioredilezione.Altrerevisionidegnedinotasonola riscritturadelparagrafosullaformulaesplicitadeldeterminante,lanuovapresentazionedelle proiezioniortogonalinelcapitolosuglispazieuclidei,e,nell’ultimocapitolo,l’introduzione deglioperatoriautoaggiunticheconsentonounadimostrazionepiùconcettualedelteorema spettraleedeisuccessivirisultati.Inoltrehocambiatoisimbolichedenotanoapplicazioni linearieilsottospaziogeneratodauninsiemedivettori,ecorrettoglierroridicuieroa conoscenza;aquestoproposito,voglioringraziareinumerosistudentiecolleghichemihanno segnalatosvarioniederroridistampa.
DevounringraziamentoparticolareaLucaMauri,GiorgioOttaviani,IreneSabadiniePiercesareSecchicheconleloroosservazionihannocontribuitoamigliorareiltesto.Sarògratoachi vorràsegnalarminuovierrorieinesattezzescrivendoall’indirizzoenrico.schlesinger@polimi.it.
Infinedesideroringraziarel’EditoreZanichellinellapersonadelladottoressaIsabellaNenci, pertuttol’aiutochemihafornitonellarealizzazionediquestonuovoprogetto,eladottoressa SilviaMaschioperl’eccellentelavorodirevisioneeimpaginazionedellebozze.
Ottobre2017
Prefazioneallaprimaedizione
Ilpresentevolumeintegraiduevolumi Analisimatematica1 e Analisimatematica2 di Bramanti,PaganieSalsa,inmododafornireuntestocompletopericorsidimatematicadi basedellefacoltàscientifiche.L’algebralineare èlabrancadellamatematicachesioccupadello studiodei sistemilineari epiùingeneraledelle applicazionilineari.Leapplicazionilineari rivestonounruolocentraleinmatematicaperchésonolefunzionipiùsemplici;lostudiodi ognialtrafunzioneèricondotto,inprimaapprossimazione,aquellodiunafunzionelineare:la derivatadiunafunzioneèl’applicazionelinearechemeglioapprossimalafunzionelocalmente; esattamentecomelarettatangenteèlarettachemeglioapprossimaunacurvainunintornodel puntoditangenza.Incoordinateun’applicazionelinearesirappresentamedianteuna matrice e, comeconseguenza,l’algebralinearedalpuntodivistacomputazionalesiriduceall’algebradelle matrici.L’aspettocomputazionalestaassumendounruolosemprepiùimportantecolcrescere dellacapacitàdicalcolodeicomputer,chegiàoggirendepossibilelarisoluzionedisistemi lineariconcentinaiadimigliaiadiincognite.Ilrisultatoècheall’ingegnereealloscienziatodei nostrigiornièrichiestaunaconoscenzasemprepiùampiaeapprofonditadell’algebralineare.
Nellatrattazionenonhocercatodiseguireilpercorsologicopiùbrevepossibile,hoinvece privilegiatoun’esposizionedegliargomenticheportigradualmentedalconcretoall’astratto, cercandocosìdiovviareaquellapercezionedieccessivaastrazionechesembraesserela principaledifficoltànell’affrontarelostudiodell’algebralineare.Specificamente,nelprimo capitolosimostracomegliassiomideglispazivettorialiabbianooriginedaquellidellageometria euclideaesitrattanodettagliatamenteleoperazionisuivettorigeometriciconcuilostudente èfamiliaredallostudiodellafisica;nelsecondocapitolosiintroduconoisistemilineariesi descriveilmetododieliminazionediGauss,fornendocosìunostrumentodicalcoloimportante; ilterzocapitoloèsostanzialmentededicatoalprodottodimatrici.Solonelquartoenelquinto capitolosisviluppalateoriaastrattadeglispazivettorialiedelleapplicazionilineari,sempre privilegiandounapprocciocostruttivo;peresempio,ledimostrazionidelteoremadinullità piùrangoedellaformuladiGrassmannfornisconounmetodopercostruiredellebasidei sottospazicoinvolti.
Ilvolumeèstatopensatoperpoteressereimpiegatoperduescopidifferenti:comelibro ditestoperuncorsodibaseecomelibrodiriferimentodialgebralinearepertuttoilcorso deglistudi;sonopertantotrattati,dinormanegliultimiparagrafidiciascuncapitolo,alcuni risultatimenoelementari,chenontrovanospazioinuncorsodibasedialgebralineareeilcui studiononècomunquerichiestoperlacomprensionedegliargomentifondamentali.
Inuncorsotipicodi35oredilezionee25orediesercitazione,iltestopuòessereutilizzato secondoquestelinee:un’esposizionemoltovelocedelleoperazionisuivettorigeometricidello spazioeuclideo,cheincludaprodottoscalare,proiezioniortogonali,prodottovettorialee determinantedimatrici 2 ◊ 2 e 3 ◊ 3;ilmetododieliminazionediGausseilteoremadiRouchéCapellidelsecondocapitolorichiedonoda3a5oredilezione;nelcapitolo3,ilparagrafo sullafattorizzazioneLUèscrittocomeuncomplementoepuòessereomesso,cosìcomegli ultimidueparagrafidelcapitolo4;ilcapitolo5sulleapplicazionilinearièfondamentale;si puòpoiscegliereseseguirel’ordinedeltesto(determinanteeautovalori)oanticiparelostudio deglispazieuclidei;inognicaso,aldeterminantenonandrebbededicatotroppospazioeil paragrafo2delcapitolosuldeterminanteèstudiatoperconsentireunatrattazionemoltoveloce dell’argomento;l’ultimoparagrafodelcapitolosugliautovalorièdedicatoallaformacanonica diJordanedovrebbeessereomessoinuncorsodibase;unatrattazioneminimaledelcapitolo suglispazieuclideipotrebbelimitarsiaiprimicinqueparagrafi.L’ultimocapitolodellibro contienedueargomentifondamentali,chesonoilteoremaspettraleelasuaapplicazioneallo studiodelleformequadratichereali,insiemeamolticomplementi,ingenerenonelementari, chedinuovosonopensatipiùcomeriferimentochenoncomepartedellibroditesto:traquesti lafattorizzazionediCholeskydellematricidefinitepositive,laleggediinerziadiSylvester,la decomposizioneaivalorisingolari,lamatricepseudoinversa,laformacanonicadiunamatrice normalereale,laformacanonicaeuclideadell’equazionediunaquadrica.
Maggio2011
Autovalorieautovettori
1INTRODUZIONE
Inquestocapitolointroduciamolenozionidi autovettore (ininglese eigenvector)edi autovalore (ininglese eigenvalue)chesono,certamente,traglistrumentidialgebra linearepiùricchidiapplicazioni.Autovalorieautovettoriservono,inparticolare,a risolverequestoproblema:dataun’applicazionelineare L diunospaziovettoriale V in sestesso,qualèlabasedi V chesemplificailpiùpossibilel’espressioneincoordinate di L ?Peresempio,se L : R2 æ R2 èlaproiezioneortogonalesuunaretta r,lascelta naturaleperlecoordinateèdiprendere r comeassedelle x,eunarettaperpendicolare a r comeassedelle y :ciascunadiquesteduerettehalaproprietàdiesserelasciata invariatadall’applicazione L ,nelsensoche L mandaunvettoredi r inunaltro vettoredi r,mantenendonequindiinvariataladirezione.Ingenerale,vedremochela chiaveèdiscegliereunabase B icuiassicoordinatisianorette r chel’applicazione L lasciainvariate,nelsensoche L (r) ™ r.Questoconduceallanozionedi autovettore:un autovettoreèunvettorenonnullo v lacuidirezioneèlasciatainvariatada L .Lerette invariantisonoesattamentequellechesonogeneratedaunautovettore.Purtroppo,non semprecisonodirezionicheun’applicazionelasciainvarianti:peresempio,unarotazione diunangolorettodelpianononlasciainvariataalcunadirezione.Questoproblemasi risolvepassandoalcampocomplesso,doveinvecedirezioniinvariantiesistonosempre: èperquestochelateoriadegliautovettoririchiededilavorarenelcampocomplesso anchequandoilproblemadiinteresserichiedesoloscalarireali.
Lanozionediautovettoreèestremamenteinteressanteanchenelcasodispazi funzionali.Ilfattochelafunzioneesponenzialesiaunautovettoredell’operatorederivata, perché D (ex )= ex ,èallabasedelmetododisoluzionedelleequazionilineariomogenee acoefficienticostanti.
2AUTOVETTORIEAUTOVALORIDIUNENDOMORFISMO
Sia V unospaziovettoriale.Un endomorfismo di V èun’applicazionelineare L : V æ V: ildominioeilcodominiodi L sonoentrambiugualia V.Ciponiamoilproblemadi
trovareunabase B di V talechelamatrice B cherappresenta L rispettoa B siala piùsemplicepossibile.Cominciamoavederequaleproprietàdebbaaverelabase B affinchélamatricerappresentativa B sia diagonale.Questocostituisceunadrastica semplificazione:selabasenonèsceltainmanieraoculata,lamatricerappresentativaè unagenericamatricequadratadiordine n = dim V,cheha n2 elementi;unamatrice diagonaleinvecehasoltanto n elementisignificativi,quellisulladiagonaleprincipale, mentretuttiglialtrisononulli;èevidentechepoterfareiconticon n parametrianziché con n2 costituisceunadrasticasemplificazione.
Comenelcapitolosullematrici,denotiamoconilsimbolo diag(⁄1 ,..., ⁄n ) lamatrice diagonalecheha ⁄i comeelementodiposto (i,i): diag(⁄1 ,..., ⁄n )=
Mostriamooracomelaricercadiunabaserispettoallaqualelamatricerappresentativa di L siadiagonaleconducaall’introduzionedellenozionifondamentalidi autovettore e autovalore.
PROPOSIZIONE 2.1 Sia L unendomorfismodi V,esia B =(v1 ,..., vn ) unabasedi V.Lamatricecherappresenta L rispettoallabase B èlamatrice diagonalediag(⁄1 ,..., ⁄n ) seesolose
(2.1) L (vk )= ⁄k vk perogni k =1, 2,...n
DIMOSTRAZIONE Sia B lamatricecherappresenta L rispettoallabase B .Perdefinizionela primacolonnadi B S W W U b11 b21 . bn1 T X X V èilvettoredellecoordinatedi L (v1 ) rispettoallabase B .Questosignificache: L (v1 )= b11 v1 + b21 v2 + + bn1 vn
Quindilaprimacolonnadi B è S W W U ⁄1 0 . . 0 T X X
seesolose L (v1 )= ⁄1 v1 .
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2Autovettorieautovaloridiunendomorfismo 293
Analogamente,l’uguaglianza L (vk )= ⁄k vk valeseesolosela k -esimacolonnadi B coincide conla k -esimacolonnadellamatricediagonalediag(⁄1 ,..., ⁄n ) perogni k =1, 2,...n.
Perpotertrovareunabaserispettoallaqualelamatricedi L siadiagonaleoccorre, quindi,studiareivettori v nonnulli(altrimentinonpossonofarepartediunabase) periqualiesisteunoscalare ⁄ percui L (v)= ⁄v.Questivettorisidicono autovettori di L :
DEFINIZIONE 2.2
Autovalorieautovettori
Sia L unendomorfismodi V.Unvettore v œ V sidice autovettore di L se:
a) v nonèilvettorenullo;
b)esiste ⁄ œ K taleche L (v)= ⁄v
Loscalare ⁄ èunivocamentedeterminatoda v esidiceautovaloredi L relativo all’autovettore v
Un autovalore di L èquindiunoscalarepercuiesisteunvettorenonnullo v taleche l’equazione
(2.2) L (v)= ⁄v
siasoddisfatta.L’equazione(2.2)sidice equazionedegliautovettorieautovaloridell’applicazione L .Unasoluzionedell’equazioneèunacoppia (v, ⁄) formatadaun autovettoreedaunautovalore.
L’autovalore ⁄ èunivocamentedeterminatodalcorrispondenteautovettore v:se L (v)= ⁄v ed L (v)= µv,allora ⁄ = µ.Infatti
⁄v = µv ∆ (⁄ µ)v = 0
dacuisegue ⁄ µ =0 perché v = 0.
Qualèilsignificatogeometricodiquestadefinizione?Unvettorenonnullo v genera unaretta r = Kv,cheèl’insiemedeivettoridellaforma tv,alvariaredelloscalare t in K.Quindi v èunautovettoredi L seesolose L manda v inunvettoreche appartieneancoraallaretta r,inaltreparoleseesolose L (v) èparalleloa v.Se v èunautovettoredi L relativoall’autovalore ⁄,alloraognivettorenonnullodi r è ancoraunautovettoredi L relativoa ⁄ poiché:
L (tv)= tL (v)= ⁄tv
Quindi L mandalaretta r insestessa,elarestrizionedi L aivettoridellaretta r è lamoltiplicazioneperl’autovalore ⁄:l’autovalore ⁄ èilnumero(lamatrice 1 ◊ 1)che rappresental’applicazione L : r æ r rispettoallabase (v) di r (equindirispettoaogni altrabase,perché r hadimensione 1).Geometricamente,laricercadegliautovettoridi L coincideperciòconlaricercadellerette(sottospazididimensione 1)mandateinse stesseda L .
ESEMPIO
Nell’esempioapagina224abbiamodeterminatol’espressioneincoordinatedellariflessione ortogonale S delpianocartesianochehaperasselaretta r generatadalvettore [cos(–), sin(–)]T Lariflessionelasciafissoognivettoredellaretta r: S (v)= v perogni v œ r.Questosignifica cheognivettoredi r èunautovettoredi S relativoall’autovalore 1.Inoltre, S mappaogni vettore w dellaretta r ‹ ortogonalea r nelsuoopposto: S (w)= w perogni w œ r ‹ Ciòvuoldirecheognivettoredi r ‹ èunautovettoredi S relativoall’autovalore 1.La base !b1 =[cos(–), sin(–)]T , b2 =[ sin(–), cos(–)]T " èformatadaautovettoridi S perché b1 appartienea r e b2 appartienea r ‹ ;perlaproposizione2.1lamatricecherappresenta S rispettoatalebaseè
B = diag(1, 1)= 510 0 16
Rispettoallabasecanonica,lamatricedi S è(sivedapagina224)
A = 5cos(2–)sin(2–) sin(2–) cos(2–)6
Lamatrice diagonale B èmoltopiùsemplicedellamatrice A cherappresentalastessa applicazionerispettoallabasecanonica.
ESEMPIO
Se L : R2 æ R2 denotalarotazionediunangolodi 900 , L nonhanessunautovettoreperché nonlasciainvariataalcunadirezione:nessunvettorevienemandatoinunmultiplodisestesso. Quindinonesistealcunabasedi R2 rispettoallaqualelarotazionepossaessererappresentata daunamatricediagonale.
ESEMPIO
Sia I : V æ V l’applicazioneidentità:
I (v)= v perogni v œ V
Ognivettorenonnullodi V èunautovettoredi I relativoall’autovalore 1.Perlaproposizione2.1 lamatricecherappresenta I rispettoaunaqualunquebase B di V èlamatriceidentità I.
ESEMPIO
Gliautovettoridi L relativiall’autovalore 0 sonoivettorinonnullidelnucleo Ker(L ) perché:
L (v)=0v ≈∆ L (v)= 0V
ESEMPIO
Sia V unospaziovettorialeesia (b1 ,..., bn ) unasuabase.Consideriamolaproiezionesul primoassecoordinato: P (x1 b1 + x2 b2 + ··· + xn bn )= x1 b1 .Ilvettore b1 èunautovettoredi P relativoall’autovalore 1,ivettori b2 ,..., bn sonoautovettorirelativiall’autovalorenullo.
Lamatricedi P rispettoallabase (b1 ,..., bn ) èquindidiag(1, 0,..., 0).
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2Autovettorieautovaloridiunendomorfismo 295
Ilfattocheilnucleodi L siaformatodagliautovettorirelativiall’autovalorenullosegue dallasemplice,mafondamentale,osservazionepercuil’equazionedegliautovettorie autovalori L (v)= ⁄v èlinearein v unavoltafissato ⁄ (siosserviinvecechel’equazione nonèlinearenelcomplesso (v, ⁄) dellesueincognite).Permettereinevidenzaquesto fatto,riscriviamol’equazionenellaforma
L (v)= ⁄v = ⁄I (v)
dove I èl’applicazioneidentità.Ilprimomembrodell’equazionehalastessaforma delsecondo:un’applicazionelineareapplicataa v.Possiamo,quindi,portareaprimo membro ⁄I (v) eottenere:
(2.3) (L ⁄I )(v)= 0
Abbiamocosìseparatoiruolidelleincognite ⁄ e v.Ilgrossovantaggioèche,fissato ⁄, l’equazione(2.3)èun’equazionelineareomogeneain v:unvettore v èunautovettore di L seesoloseèunvettorenonnullonelnucleodi L ⁄I
DEFINIZIONE 2.3 Autospazio
Perogniautovalore ⁄ œ K poniamo
V⁄ = Ker(L ⁄I )= {v œ V : L (v)= ⁄v}
Ilsottospazio V⁄ di V sidice autospazio di L relativoall’autovalore ⁄.Isuoi elementinonnullisonoprecisamentegliautovettoridi L relativiall’autovalore fissato ⁄.
ESEMPIO
Inquestoesempioricaviamogliautospazidell’operatorederivata.Quindi L = D èlafunzione cheassociaaunafunzione y (x) lasuaderivata y Õ (x).L’equazionedegliautovettorieautovalori diviene
y Õ (x)= ⁄y (x) perogni x œ R
Nonèdifficilemostrare(peresempio,dividendoper y (x) siottieneche ⁄ èladerivatadi log |y (x)|)chelesoluzionidiquestaequazionedifferenziale,con ⁄ fissato,sonolefunzioni esponenziali
y (x)= Ce⁄ x
dove C œ R èunacostantearbitraria.Quindil’autospazio V⁄ hadimensione1ehacomebase lafunzioneesponenziale e ⁄x
ESEMPIO
Illustriamooracomelaconoscenzadiautovettorieautovaloriconsentaditrovaresoluzionidi sistemidiequazionidifferenzialilineariacoefficienticostanti.Questaèunadelleprincipali applicazionidegliautovettorieautovalori.Consideriamoilsistemadiequazionidifferenziali:
(2.4) x Õ = Ax
dove A èunamatrice n ◊ n el’incognita x = x(t) èuna n-upladifunzionidifferenziabili:
x =[x1 (t) ...xt ]T .Peresempio,se A = 5ab cd6 e x =[xy ]T ,ilsistema(2.4)è ;x Õ (t)= ax(t)+ by (t) y Õ (t)= cx(t)+ dy (t)
Sidicecheunvettore w =[w1 ...wn ]T œ Kn èunautovettoredellamatrice A se w è unautovettoredell’applicazione LA ,quindiseesiste ⁄ œ K taleche Aw = ⁄w.Ebbene,se Aw = ⁄w,alloralafunzionevettoriale u(t)= e ⁄t w =[w1 e ⁄t w2 e ⁄t ...wn e ⁄t ]T èunasoluzionedelsistema(2.4).Permostrarequesto,bastaricordarecomesiderivala funzioneesponenziale:
Quindi
u Õ (t)= ⁄e⁄t w
u Õ (t)= e ⁄t ⁄w = e ⁄t Aw = A(e ⁄t w)= Au(t)
Questovaleancheper ⁄ e w complessievedremotrabreveperchéquestoèutileanchesesiè interessatisoloasoluzionireali.
Perunesempiospecifico,consideriamoilsistema
(2.5) ; x Õ = x + y y Õ = x + y
Inquestocasolamatricedelsistemaè A = [ 11 11 ].Ilvettore w1 = # 1 1 $ èunautovettore relativoa ⁄1 =0,eilvettore w2 = [ 1 1 ] èunautovettorerelativoa ⁄2 =2.Ilsistemahaperciò leduesoluzioni
u1 (t)= 5 1 16 e u2 (t)= e 2t 51 16
Sipuòmostrarecheognialtrasoluzioneècombinazionelinearediquesteduesoluzioni.
Perunaltroesempio,consideriamoilsistema
(2.6) ; x Õ = x + y y Õ = x + y
Inquestocasolamatricedelsistemaè A = # 11 11 $.Vedremopiùavanticomedeterminare gliautovettoridi A:lamatriceinquestionenonhaautovettorireali,mahal’autovettore complesso w =[ 1 i ] relativoall’autovalore ⁄ =1+ i perché: 5 11 11651 i 6 = 5 1+ i 1+ i6 =(1+ i) 51 i 6
Quindiilsistemahalasoluzionecomplessa u(t)= e(1+i)t 51 i 6
Scomponiamotalesoluzionecomesommadiunaparterealeediunaparteimmaginaria:
u(t)= e(1+i)t 51 i 6 = e t e it 51 i 6 = e t (cos(t)+ i sin(t)) 51 i 6 = 5 e t cos(t) e t sin(t) 6 + i 5 e t sin(t) e t cos(t)6
Spazieuclidei
1INTRODUZIONE
Inquestocapitolointroduciamo,inunospaziovettorialesulcampo R deinumeri reali,ilconcettodi prodottoscalare diduevettorisulmodellodiquantovistonel primocapitoloperlospaziocartesiano.Ilprodottoscalarepermettedidefinirela norma (o modulo o lunghezza)diunvettoreel’angolo formatodaduevettori,reintroducendocosìun’importanteintuizionegeometrica,siapurenelcontestoastratto. Iduepilastridelcapitolosonolenozionidi baseortonormale edi proiezioneortogonalesuunsottospazio.Ivettoridiunabaseortonormalehannolunghezza1esono adueadueortogonali,sulmodellodelsistemadiriferimento (i, j, k) dellospazio cartesiano.Lecomponentidiunvettorerispettoaunabaseortonormalesicalcolano semplicementeproiettandoortogonalmenteilvettoresugliassidellabase;dalpunto divistacomputazionale,questoequivaleadireche,selecolonnediunamatrice Q formanounabaseortonormaledi Rn ,ilcalcolodellamatriceinversadi Q èimmediato, ineffetti Q 1 = QT ,adifferenzadiquantosuccedeperunamatricegenerica,perla qualeilcalcolodellamatriceinversaèdiregolamoltocostoso.Illustreremol’algoritmodi Gram-Schmidt,checonsenteditrasformareunabasearbitrariainunabaseortonormale.
Illettorehacertamentegiàincontratoindiversicontestilanozionediproiezione ortogonale;peresempio,ingeometriaperdeterminareladistanzadiunpuntoda unaretta,infisicaquandohadecompostolaforzaagentesuunaparticellainuna componenteparallelaallatraiettoriaeinunaortogonale.Generalizzandoquestiesempi, datounsottospazio H diunospaziovettoriale V dotatodiprodottoscalare,vedremo comedecomporreunvettore v di V comesommadiunacomponente vH appartenente ad H ediunacomponenteortogonalead H (sottolacondizioneche H abbiadimensione finita).Lacomponente vH sidice proiezioneortogonale di v su H elasuaproprietà fondamentaleèdirisolvereilseguenteproblemadiminimo:tratuttiivettoridi H, vH èquelloadistanzaminimada v,dovela distanza diduevettori v e w èper definizionelalunghezzadelvettoredifferenza w v.Percapirequestadefinizione bisognaimmaginareche v e w sianoivettoriposizionediduepunti P e Q;ilvettore differenzaèallora w v = ≠≠æ PQ e,quindi,ladistanzatra v e w èlalunghezzadelsegmento
PQ.L’introduzionedelladistanzapermettediparlarediapprossimazioniedilimiti, insommadifaredell’analisimatematicaequestoaprelaportaainfiniteapplicazioni. Ènecessariotrattaretuttequestenozioninelcontestoastratto,inparticolareper estendereirisultatiottenutiaglispazidifunzioni.Ilpioniereinquestocampoèstato Fourier:nelsuostudiodellefunzioniperiodiche,Fourierebbel’ideadiapprossimareuna funzioneperiodicaqualsiasiconunpolinomiotrigonometrico,cheèunacombinazione linearedisemplicifunzionisinusoidali;siresecontocheilproblemaditrovareil polinomiotrigonometricochemeglioapprossimaunadatafunzioneèperfettamente analogoalproblemaditrovarelaproiezioneortogonalediunvettoregeometricosuun sottospaziodi Rn .Ilprocedimentodirisoluzionediunproblemadiminimomediante unaproiezioneortogonalevasottoilnomedi metododeiminimiquadrati.Nelcapitolo descriviamoun’applicazioneimportantedelmetododeiminimiquadratiaisistemi linearisovradeterminati.Acausadierrorisperimentalioccorrespessoconsiderare sistemi Ax = b chenonammettonosoluzione:nonesistealcun x percui Ax = b.Ma sipossonosempredeterminaregli x cheminimizzanol’errore Ax b,cioèladistanza tra Ax e b;tali x sidicono soluzioniaiminimiquadrati delsistemalineare.Illustriamo quindiunesempiochevienedallastatistica:ladeterminazionedellarettadiregressione lineareconsistenelrisolvereaiminimiquadratiunsistemalinearesovradeterminato. Un’osservazioneimportante:quantovistoneicapitoliprecedenti(esclusoilprimo) rimanevalidosegliscalarisononumerirazionali(frazioni)piuttostochenumerireali. Questosostanzialmenteperchélarisoluzionediunsistemalinearerichiedesoltantole quattrooperazioni:partendodadatichesononumeriinteriorazionali,siottengono soluzionirazionali.Manelmomentoincuisivoglionomisurarelelunghezzeegliangoli, ilchecomportalasoluzionediequazionidisecondogrado,diventanecessariointrodurre uninsiemenumericoincuisipossanoestrarreleradiciquadrate,percuil’usodei numerirealidiventaimperativo.Questoeragiàstatoosservatodagliantichigreci:la lunghezzadelladiagonalediunquadratodilatounitarioè Ô2,equestoèunnumero irrazionale:ladiagonaledelquadratononècommensurabileallato.
2SPAZIEUCLIDEI
Unospazioeuclideoèunospaziovettorialeincuièpossibilemisurarelunghezzee angoliinmodoanalogoalcasodellospazioeuclideotridimensionalestudiatonelprimo capitolo.Lostrumentotecnicofondamentaleèilprodottoscalarediduevettori.
DEFINIZIONE 2.1 Prodottoscalare-Spazioeuclideo
Sia V unospaziovettorialesulcampodeinumerireali R.Un prodottoscalare (o prodottointerno)in V èunafunzionecheaognicoppiadivettori v e w di V associaunnumeroreale Èv, wÍ inmodocheleseguentiproprietàsiano soddisfatte:
a) Commutatività: Èv, wÍ = Èw, vÍ perogni v, w œ V
©978-88-08-39919-9
b) Linearitànelprimofattore:
Èv1 + v2 , wÍ = Èv1 , wÍ + Èv2 , wÍ perogni v1 , v2 , w œ V
Ètv, wÍ = t Èv, wÍ perogni t œ R eogni v, w œ V
c) Positività:
Èv, vÍØ 0 perogni v œ V
el’uguaglianzavaleseesolose v = 0.
Uno spazioeuclideo èunospaziovettorialesu R dotatodiunprodottoscalare.
Moltealtrenotazionivengonoutilizzateperunprodottoscalare,traquestelepiù comunisono v · w e (v, w).
OSSERVAZIONE Dallacommutativitàedallalinearitànelprimofattore,seguecheun prodottoscalareèlineareanchenelsecondofattore,cioè
Èv, w1 + w2 Í = Èv, w1 Í +
Ilprodottoscalareèquindi bilineare,cioèlineareinciascunodeisuoifattori.La definizionepuòessereriformulatacosì:unprodottoscalareèunafunzionebilineare V ◊ V æ R chesia simmetrica (proprietàa))e definitapositiva (proprietàc)).
ESEMPIO
Lospazioeuclideo En
In Rn il prodottoscalarestandard èdenotatoancheconilsimbolo x y edèdefinitodalla formula
(2.1) x · y = x T y
Quindi,se x =[x1 ...xn ]T e y =[y1 ...yn ]T , x y = x1 y1 + + xn yn
Sesipensaalprimovettorecomeaunvettorerigaealsecondocomeaunvettorecolonna,il prodottoscalarenonèaltrocheilprodottorigapercolonna.Èsemplicedimostrarechequesto prodottoverificaleproprietàrichiestedalladefinizionediprodottoscalare.Mostriamoper esempiolapositività:se x =[x1 ...xn ]T ,allora
x x = x 2 1 + + x 2 n
percui x x Ø 0 el’uguaglianzavaleseesolose x = 0.Sinotichestiamoutilizzandoilfatto cheilquadratodiunnumerorealeèunnumero Ø 0:perquestoperestendereladefinizioneal casocomplessooccorreapportaredellemodifiche.
Denoteremoconilsimbolo En lospazioeuclideo Rn conilprodottoscalarestandard,elo chiameremotalvoltaspazioeuclideo n-dimensionale.Illettorechenonamal’astrazionepuò concentrarsisuquestoesempio.Vedremocheinunsensoprecisoquestoèl’unicoesempio:uno spazioeuclideo V didimensione n conprodottoscalare È , Í puòessereidentificato,mediantela
sceltadiunabaseopportuna,con Rn inmodocheilprodottoscalareastratto È·, ·Í corrisponda alprodottoscalarestandarddi Rn .Comealsolito,lanozioneastrattahailvantaggiodinon dipenderedallasceltadellabaseediconsentire,quindi,lasceltadellabasepiùconvenientea posteriori.Illustriamooraaltriesempidiprodottiscalari.
Inquestocapitolouseremoliberamenteilsimbolodi sommatoria perscriverein formacompattacombinazionilineari
Lalinearitàdelprodottoscalarenelprimofattorecomportal’uguaglianza
dovelasommaaprimomembrodenotaunacombinazionelinearedivettori,mentrela sommaasecondomembroèunacombinazionelinearediscalari.
ESEMPIO Lospazio ¸2
Diamoorailpiùsempliceesempiodispazioeuclideodidimensioneinfinita,sostituendoi vettoricon n componentidi Rn conlesuccessioni,chepossiamopensarecomevettoricon un’infinitànumerabiledicomponenti.Dobbiamoperòlimitarciall’insieme ¸2 dellesuccessioni s = {an }nØ0 dinumerirealicheabbianolunghezzafinitanelsensoseguente:
Dateduesuccessioni s
in ¸2 ,sipuòdimostrare(utilizzandola disuguaglianzadiSchwarzchediscuteremopiùavanti)chelaserie
èconvergente.Sipuòquindiporre s t = +Œ
=0 an bn everificarechesiottienecosìunprodotto scalarein ¸2
ESEMPIO
Possiamopensareaunafunzione f :[a,b] æ R comeaunvettoreconun’infinitàdicomponenti: aogni x di [a,b] corrispondelacomponente f (x) delvettore f .Nonsitrattapiùdiun’infinità numerabilee,sevogliamosommarelecomponenti,occorresostituirelesommatoriecongli integrali.Maperilrestoleformulesonosimili!Peressereprecisi,sia V lospaziovettoriale dellefunzioni f :[a,b] æ R chesono continue in [a,b].In V possiamodefinirel’analogodel prodottoscalarestandarddi Rn ponendo
Èf,g Í = ⁄ b a f (x)g (x)dx
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Geometriaaffine equadriche
1INTRODUZIONE
Inquestocapitolovogliamocostruireunmodellodispaziogeometricoincuiglioggetti diinteressesono punti piuttostoche vettori;incui,peresempio,l’espressione“trepunti sonoallineati”abbiasenso.Ipuntisonoperòun’astrazionematematicaedobbiamo specificarequaliproprietàformaliunospaziodipuntidebbaavere,comeabbiamo fattoperglispazivettoriali.Perfortunanonpartiamodazero(perdirlaconTroisi, “ricominciodatre”):abbiamogiàsviluppatolanozionedispaziovettoriale,epossiamo passaredaivettoriaipuntiassumendocheunospaziodipunti A(V) nonsiaaltro cheunacopiadiunospaziovettoriale V,conl’intuizionecheunpunto p di A(V) siaidentificatodalsuo vettoreposizione ≠æ op œ V rispettoall’origine o;masaremo interessatialleproprietàdelpunto p (intuitivamente,ilsecondoestremodelvettore ≠æ op),indipendentementedall’origine o.Peresempio,potremodefinirelarettaperdue punti p e q estabilireseunpunto a appartengaataleretta,perchétaliproprietà sonoindipendentidallasceltadell’origine;potremocalcolareladistanzatraduepunti. Manonpotremosommarepuntiperchélasommadiduevettoridipendedallascelta dell’origine:seiduepuntisono p e q ecambiamol’originetraslandoilpunto o nel punto o1 ,ivettori ≠æ op + ≠æ oq e ≠æ o1 p + ≠æ o1 q sonodiversi.Quellochepotremofareperòsarà interpretareivettoridi V cometraslazionidi A(V),evedremochequestosaràun rimedioefficaceallamancanzadellasomma.Inquestomodopotremoprenderel’origine dellecoordinatetraslandol’origineinunqualunquealtropuntodellospazio,comeè indispensabilefareinmoltesituazioni;peresempio,perparametrizzareun’ellissenel pianocartesiano,lasceltanaturaleèdiprenderecomeoriginedellecooordinateilcentro disimmetriadell’ellisse.
2SPAZIAFFINI
Sia V unospaziovettorialesulcampo K.Denotiamoconilsimbolo A(V) unacopiadi V:comeinsieme A(V) siidentificacon V,machiameremo punti glielementidi A(V) e lidenoteremoconlettereminuscolequali p e q .Leoperazionialgebricheeleproprietà
geometrichedi A(V) sarannodistintedaquelledi V perchévogliamoche A(V) siauno spaziodipuntienonunospaziodivettori.Ilprincipioècheipuntinonsisommano, masitraslanodiunvettore.Tuttiipuntihannoparidignità,enonc’èunpuntoconun ruoloprivilegiatocomeinvecesuccedeperilvettorenullo,perchénonvogliamofissare aprioriun’originenelnostrospazio,permantenerelalibertàdisceglierlaaposteriori, tenutocontodelproblemachevogliamorisolvere.
Se p èilpuntodi A(V) corrispondentealvettore v di V,scriviamo p = {v}.In altreparole,interpretiamounpuntodi A(V) comeunsottoinsiemedi V costituitoda ununicoelemento: p èilsottoinsiemecostituitodall’unicovettore v.
Ognivettore v di V definisceunatraslazione ·v : A(V) æ A(V):
(2.1) ·v ({v0 })= {v0 + v}
Il punto q = ·v (p) sidenotaconilsimbolo p + v;questoperché,se p = {v0 },allora p + v = {v0 + v}.
ESEMPIO
L’insieme A(Kn ) sidenotaconilsimbolo An = An K .Ilpunto p di An corrispondentealvettore x = #x1 xn $T sidenotaconilsimbolo (x1 ,...,xn );diremoche x èilvettoredelle coordinatecanonichedi p.Ilvettoredellecoordinatedi p + v èallora x + v:
(x1 ,...,xn )+ #y1 yn $T =(x1 + y1 ,...,xn + yn )
Dalladefinizionedelletraslazioniedagliassiomideglispazivettorialiseguono immediatamenteleproprietà:
A1 Latraslazionedelvettorenulloèl’identitàdi A(V): p + 0 = p perogni p œ A(V)
A2 Proprietàassociativadelletraslazioni:
(p + v)+ w = p +(v + w) perogni p œ A(V) eogni v, w œ V
A3 Corrispondenzabiunivocatrapuntievettori: fissato p in A(V),lafunzione V æ A(V) chemanda v in p + v èiniettivae suriettiva.
DIMOSTRAZIONE Laproprietà A1 significa {v + 0} = {v} perogni v œ V;laproprietà A2 seguedallaproprietàassociativadellasommadi V perchésignifica
{(v0 + v)+ w} = {v0 +(v + w)} perogni v0 , v, w œ V
Laproprietà A3 equivaleadireche,perogni v0 in V,lafunzionechemanda v in v0 + v è iniettivaesuriettiva,equestoèchiaroperchéèinvertibile,coninversalafunzionechemanda w in w v0 .
DEFINIZIONE 2.1 Spazioaffine
Uninsieme A sidice spazioaffine conspaziovettorialeassociato V seperogni v œ V èdefinitaunafunzione ·v : A æ A inmodoche,posto p + v = ·v (p), valganoleproprietà A1, A2 e A3
ESEMPIO
Abbiamodimostratochel’insieme A(V) conletraslazionidefinitesopraèunospazioaffinecon spaziovettorialeassociato V.Possiamoorachiarireladifferenzatra V e A(V),checoincidono comeinsiemi,mahannostrutturealgebrichedistinte:lospaziovettoriale V èuninsiemecon ledueoperazionidisommaeprodottoperunoscalare,mentre A(V) èuninsiemesucui lospaziovettorialeassociatoagiscemediantetraslazioni.L’insiemesoggiacenteallospazio vettoriale V divieneunospazioaffine A(V) conspaziovettorialeassociato V unavoltadefinite letraslazioniconlaformula ·v (v0 )= v0 + v
ESEMPIO
Se A èunospazioaffineconspaziovettorialeassociato V e p èunpuntoarbitrariodi A, l’insiemecostituitodalsolopunto p èunospazioaffineconspaziovettorialeassociatoil sottospazio {0} di V:c’èun’unicatraslazionecorrispondentealvettorenullo,chemanda p insestesso.Piùingenerale,se p èunpuntodi A e H èunsottospaziovettorialedi V,il sottoinsiemedi A dituttiipuntichesiottengonotraslando p diunvettoredi H:
(2.2) T = p + H = {q œ A : esiste z œ H taliche q = p + z}
èunospazioaffineconspaziovettorialeassociato H,ediremoche T èunsottospazioaffinedi A.Diremocheunsottoinsiemedi A èuna retta seèdellaforma p + L,con L unsottospaziodi V didimensione 1
ESEMPIO
Unesempiofondamentaledispazioaffineèl’insiemedellesoluzionidiunsistemalineare Ax = b:taleinsiemeèunospazioaffineconspaziovettorialeassociato Ker(A);piùingenerale, se L : V æ W èunafunzionelineare,lefibrenonvuote L 1 (w) di L sonospaziaffinicon spaziovettorialeassociatoKer(L )
Nelseguitodenoteremoconilsimbolo A unospazioaffineconspaziovettoriale associato V.Èimportanteaverchiarochelaproprietà A3 postulacheperognipunto q di A esisteununico vettore v di V taleche q = p + v.Tale vettore sidenotaconil simbolo q p esiinterpretacome vettoreposizione delpunto q rispettoalpunto p,o come vettoredifferenza di q e p.Quindi
(2.3) q = p +(q p)
Un’altraconseguenzadegliassiomièche q1 = q2 seesolose q1 p = q2 p,qualunque sia p
Dagliassiomiseguelafondamentale relazionediChasles.
PROPOSIZIONE 2.2 RelazionediChasles
Perogni p,q,r œ A
(2.4) q p =(q r )+(r p)
DIMOSTRAZIONE Latesidadimostrareèche (q r )+(r p) èilvettore q p chetrasla p in q ,equestoseguedagliassiomicosì:
ESEMPIO
Perogni p in A,ilvettore p p èilvettorenullo:infatti p + 0 = p per A1,eper A3 ilvettore p p èl’unicovettoredi V taleche p +(p p)= p.Quindi p p = 0
Dati p e q in A,in V valel’uguaglianza q p = (p q ).InfattiperlarelazionediChasles (p q )+(q p)= p p = 0
Datounospazioaffine A,possiamodefinireilconcettodi vettoreapplicato:unvettore applicatoè,perdefinizione,unacoppiaordinata (p,q ) dipuntidi A;sidiceche (p,q ) è applicatonelpunto p oche p èl’originedi (p,q ).
Perdistinguere,diremocheunvettoredi V èunvettore libero.Aognivettore applicato (p,q ) èassociatoilvettorelibero v = q p chesidice parteliberadelvettore applicato.Unvettoreapplicato (p,q ) èdeterminatodallasuaorigine p edallasuaparte libera q p perché q = p +(q p).Duevettoriapplicatiin p sipossonosommare applicandoin p lasommadelleloropartilibere:
(2.5) (p,q1 )+(p,q2 )=(p,p +(q1 p)+(q2 p))
Piùavantiinterpreteremoquestaoperazionecomeregoladelparallelogramma(siveda laformula2.8apagina500).
Analogamente,unvettoreapplicatoin p sipuòmoltiplicareperunoscalare:
(2.6) t(p,q )=(p,p + t(q p))
Conquesteoperazioni,l’insieme Vp deivettoriapplicatiin p èunospaziovettoriale,il cuivettorenulloèilvettoreapplicato (p,p).Lafunzionecheaunvettoreapplicato associalasuaparteliberaèunisomorfismodi Vp su V:inognipunto p di A abbiamo cosìcostruitounospaziovettoriale Vp chesiidentificapertraslazionecon V;nessun puntodi A haruoloprivilegiatocomeinvecesuccedeperilvettorenulloin V
Retteinunospazioaffineeilquintopostulato
Sidicecheunsottoinsieme T diunospazioaffine A èuna retta seesistonounpunto p œ A eunvettorenonnullo v œ V taleche
(2.7) T = p + Span(v)= {q œ A : esiste t œ K taleche q = p + tv}
Inaltreparole, T èl’immaginedellafunzione q (t): K æ A cheassociaa t ilpunto q (t)= p + tv;intuitivamente,sitrattadellatraiettoriadelmotorettilineouniformedi unaparticellachesispostaconvelocitàcostante v echealtempo t =0 sitrovanel punto p.Perquesto,spessodiremochelaretta passa per p intendendodireche p è unpuntodellaretta.Nellarappresentazione T = p + Span(v) ilpunto p eilvettore v nonsonounivocamentedeterminati:laproposizioneseguentemostracheilpunto p puòesseresostituitodaunqualunquealtropuntodellaretta,mentreilvettore v è determinatoamenodiunoscalarenonnullo,ilchesignificacheilsottospaziovettoriale L = Span(v) èunivocamentedeterminatoda T .Sidiceche L èla direzione o sottospazio direttore dellaretta T ,eche v èunvettoredirezionedellaretta.Duerettesidicono parallele sehannolastessadirezione.
PROPOSIZIONE 2.3 Retteparalleleinunospazioaffine
Sia A unospazioaffineconspaziovettorialeassociato V.Allora
a) Se T = p + L èunarettain A,ilsottospaziodirettore L èunivocamente determinatoda T perché
L = T T = {z œ V : esistono q,r œ T taliche z = r q }
b) dueretteparallele p + L e q + L coincidonooppurenonhannopuntiincomune. Inparticolare,se q èunpuntodi T = p + L,allora T = q + L.
DIMOSTRAZIONE Posto T = p + L,mostriamoche T T ™ L:se q e r sonopuntidi T ,allora esistono z e w in L taliche q = p + z e r = p + w.Maallora r q = w z appartienea L perché L èunsottospaziovettoriale.
Dimostriamol’inclusioneopposta:se z œ L,allora p + z e p sonopuntidi T lacuidifferenza è z,quindi L ™ T T .
Perilsecondopunto,occorremostrareche,seleduerette p + L e q + L hannoincomuneun punto r ,alloracoincidono.Supponiamoquindicheilpunto r appartengaallerette p + L e q + L. Perilprimopunto,ivettori p r e r q appartengonoa L.Maallora p q =(p r )+(r q ) œ L, equindiperogni v œ L: p + v = q +(p q )+ v œ q + L
Questomostra p + L ™ q + L,escambiandoiruolidi p edi q otteniamol’altrainclusione,per cui p + L = q + L.Questomostrachedueretteparallelesonougualisehannoincomuneun punto.Infine,se q œ p + L,alloraleretteparallele p + L e q + L hannoilpunto q incomune,e quindicoincidono.
OSSERVAZIONE
InunospazioaffineèvalidoilquintopostulatodiEuclidenella formulazionedell’assiomadiPlayfair:comeinfigura2.1,perunpunto q passaun’unica rettaparallellaaunadataretta T ;se T = p + L,perlaproposizioneprecedentesi trattadellaretta q + L,perchéunarettaèdeterminataseconosciamounsuopunto q e ilsuosottospaziodirettore L.Analogamente,datiduepuntidistinti p e q in A,viè un’unicarettapassanteper p e q ,ovverolaretta p + Span(q p)= q + Span(p q ), perchélarettadevepassareper p eavereladirezionedi q p.
Figura2.1 Larettaperilpunto q parallelaallaretta p + L
Laregoladelparallelogramma
Vogliamorecuperareora,nelcontestodeglispaziaffini,lanozionediparallelogramma, eilfattochelasommadivettoriobbedisceallaregoladelparallelogramma.
Ingeometriaeuclidea,un parallelogramma èunquadrilaterochehaduelatiopposti congruentieparalleli;sequestoèilcaso,ancheglialtriduelatioppostisonocongruenti eparalleli.Inunospazioaffine A,se p,q,r,s sonopuntidi A e q p = s r ,allora valeanchel’uguaglianza q s = p r ,chesiottienesommandoaentrambiimembri dell’uguaglianza q p = s r ilvettore p s eusandolarelazionediChasles.Dunquei latidelquadrilaterodivertici p,q,r,s sonoadueadueparalleli,ediremoche iquattro puntisonoiverticidiunparallelogramma.
Ritroviamoilfattochelasommadivettorièdefinitadalla regoladelparallelogramma: datitrepunti p,q,r eposto s = r +(q p),inmodoche q p = s r equindi p,q,r,s sianoiverticidiunparallelogramma,allora
(2.8) (q p)+(r p)=(s r )+(r p)= s p p q r s
Figura2.2 Ilparallelogrammadivertici p, q , r e s = r +(q p)= q +(r p).
Sottospaziaffini
Introduciamooralanozionedi sottospazioaffine,chegeneralizzalanozionedirettaa insiemididimensionesuperiore.
DEFINIZIONE 2.4 Sottospazioaffine
Sia A unospazioaffineconspaziovettorialeassociato V.Unsottoinsieme T di A sidice sottospazioaffine seèilsottoinsiemevuotooppureseesistonounpunto p œ A eunsottospaziovettoriale H ™ V taliche
T = p + H = {v œ V : esiste z œ H taleche v = p + z}
Siosserviche,se T èunsottospazioaffinedi A comenelladefinizione,allora T èuno spazioaffineconspaziovettorialeassociatougualea H.Se H èilvettorenullo,il sottospazioaffine T consistedelsolopunto p;se H hadimensione 1,comenelcasodelle rette,ilsottospaziovettoriale H èunivocamentedeterminatoda T perchécoincidecon l’insieme T T ditutteledirezioniindividuatedacoppiedipuntidi T :
PROPOSIZIONE 2.5 Sottospaziodirettore
Sia A unospazioaffineconspaziovettorialeassociato V.
a) Se T = p + H èunsottospazioaffinenonvuotodi A,allora H dipendesolo da T perchécoincideconl’insieme
T T = {z œ V : esistono p,q œ T taliche z = q p}
ditutteledifferenzedipuntidi T .Sidiceche H èil sottospaziodirettore di T .
b) Duesottospaziaffini p + H e q + H coincidonooppurenonhannopuntiin comune.Inparticolare,se q œ p + H,allora p + H = q + H.
DIMOSTRAZIONE Ladimostrazioneèidenticaaquelladellaproposizione2.3.
DEFINIZIONE
2.6 Dimensione-Sottospaziparalleli
La dimensione diunospazioaffinenonvuotoèladimensionedellospazio vettorialeassociato.Inparticolare,ladimensionediunsottospazioaffineèla dimensionedelsuosottospaziodirettore.Unsottospazioaffinedidimensione k si dice k -piano.Unarettadi A èquindiun 1-piano.Unpianodi A èun 2-piano. Due k -pianisidicono paralleli sehannolostessosottospaziodirettore.Piùin generale,un h-pianoeun k -piano,con h Æ k ,sidiconoparalleliseilsottospazio direttoredelprimoècontenutonelsottospaziodirettoredelsecondo.
OSSERVAZIONE Duerettein A sonoparalleleseesolosehannolostessosottospazio direttore Span(v);unvettoredirezionediunarettaèungeneratoredelsottospazio
direttore.Ilsottospaziodirettoregeneralizzalanozionedivettoredirezionealcasodi sottospaziaffinididimensionearbitraria.
Se p èunpuntodiunsottospazioaffine T e H èilsottospaziodirettoredi T ,allora T = p + H,equindiperl’assioma A3
H = T p = {z œ V : esiste q œ T taleche z = q p}
Questosignificageometricamenteche,dataunaretta T1 contenutain T ,larettaper p parallelaa T1 èancoracontenutain T .
COROLLARIO 2.7
Generalizzazionedelquintopostulato
Siano S e T sottospaziaffinidi A,disottospazidirettori H e K rispettivamente.
a) Se S e T hannounpuntoincomune,alloral’intersezione S fl T èunsottospazio affinedi A aventesottospaziodirettore H fl K
b) Se dim(S ) Æ dim(T ) e S èparalleloa T ,allora S ™ T oppure S e T non hannopuntiincomune.
c) Se q œ A e p + H èun k -piano,allora q + H èl’unico k -pianodi V che contenga q esiaparalleloa p + H
DIMOSTRAZIONE Attenzione:puòbenissimosuccedereche S e T nonabbianopuntiincomune (peresempio,potrebberoessereduepuntidistintiodueretteparallele),mentre H e K hanno semprealmenoilvettorenonnulloincomune.Siccomeilsottoinsiemevuotoècomunque, perdefinizione,unsottospazioaffinedi A,daa)segueinparticolarechel’intersezionedidue sottospaziaffinièancoraunsottospazioaffine.
Dimostriamooral’enunciato.
a) Perlaproposizione2.5,se p èunpuntodi S ,allora S = p + H.Se S e T hannounpunto p incomune,allora S = p + H,T = p + K equindi S fl T = p + H fl K.
b) L’ipotesi dim(S ) Æ dim(T ) e S paralleloa T significa H ™ K.Se S e T hannounpunto p incomune,allora S = p + H ™ p + K = T
c) Èchiaroche q + H èun k -pianocontente q eparalleloa p + H,mentreilfattochesia l’unico k -pianocontaliproprietàseguedalpuntob).
Combinazioniaffini
Se p e q sonoduepuntidistintidiunospazioaffine A,larettaper p e q èilpiùpiccolo sottospazioaffinedi A chelicontenga,eisuoipuntipossonoessererappresentatiin funzionediunparametro t œ K nellaforma p + t(q p).Analogamentevorremmo descrivereilpiùpiccolosottospazioaffinechecontengaunnumeroarbitrariodipunti assegnati(peresempiounpianopertrepuntinonallineatinellospazio A3 ).
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Redazione: Natalia Thea Nanni
Impaginazione: CompoMat, Configni (RI)
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Prima edizione: gennaio 2026
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Enrico Schlesinger
Algebra lineare e geometria
Terza edizione
Inquadra e scopri i contenuti
Algebra lineare e geometria nasce con un duplice scopo: essere un testo accessibile per studenti e studentesse del primo anno, ricco di esempi ed esercizi utili a comprendere i concetti teorici e a mostrarne le applicazioni; e, al tempo stesso, garantire un’impostazione completa e rigorosa, così da costituire un valido riferimento anche negli studi successivi.
L’obiettivo centrale consiste nel fornire una comprensione profonda dei concetti fondamentali che sottendono la teoria delle matrici, dei sistemi lineari e delle trasformazioni lineari, elementi essenziali per qualsiasi studio avanzato in matematica, fisica e ingegneria. Le spiegazioni partono da concetti geometrici intuitivi per arrivare progressivamente alla formulazione matematica rigorosa,
facilitando così la comprensione e l’assimilazione da parte di studenti e studentesse.
La novità di maggior rilievo di questa edizione è un nuovo capitolo sulla geometria affine, il capitolo 9, incentrato sulla classificazione affine delle quadriche reali. Nel capitolo 6 la trattazione della forma canonica di Jordan è stata riscritta premettendo la decomposizione in sottospazi radicali. Il capitolo 7 sugli spazi euclidei è stato riorganizzato, e ora include la classificazione delle isometrie lineari dello spazio tridimensionale, e un paragrafo dedicato al volume di un parallelepipedo di dimensione arbitraria in uno spazio euclideo.
Completano il corso i test interattivi per l’autovalutazione disponibili nel sito del libro.
Enrico Schlesinger è professore associato di Geometria presso il dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano. Con Zanichelli ha pubblicato anche Esercizi di algebra lineare e geometria (2020), scritto con Luca Mauri.
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