L. Quartapelle & F. Auteri
Fluidodinamica comprimibile
L. Quartapelle & F. Auteri
Fluidodinamica comprimibile
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Redazione: Natalia Nanni
Fotocomposizione e disegni: Luigi Quartapelle e Franco Auteri
Copertina: Luca Ronca
Prima edizione: giugno 2013
Ristampa 4 3 2 1 0 2013 2014 2015 2016 2017
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Stampato da
Pirovano S.r.l.
via della Pace, 19 - San Giuliano Milanese (MI) per conto della CEA, Casa Editrice Ambrosiana viale Romagna, 5 20089 Rozzano (MI)
11.4Ondad’urtonormale
11.5Ondedirarefazione dipendentidaltempo
Equazioniridottepercorrenti1Disentropiche126 Ricercadellasoluzionesimilare127 Casodelgasidealepolitropico130
11.6Tubod’urtocongasideali132
11.7Onded’urtooblique135
10 Correnticomprimibiliviscose83
` atermicaedissipazioneviscosa95
Condizionialcontornoedi fineventaglio145
Problemainformaadimensionale147
12.7Onded’urto
12.9Velocit`arelativelimite
12.10ProblemadiRiemann delgasidealepolitropico
12.11ProblemadiRiemanndelgas diatomicononpolitropico
12.12ProblemadiRiemann perilgasdivanderWaals
13 Magnetogasdinamica193
13.1Dinamicadelcampomagnetico edelfluido
Velocit ` acaratteristiche201
13.5Ondeconcampomagnetico puramentetrasversale 203
Autovaloremultiplolinearmentedegenere204
Ondemagnetoacustiche205
Derivatafondamentale dellamagnetogasdinamicaseBn=0
Ondedirarefazioneecurveintegrali207
13.8Onded’urto
Discontinuit ` adicontatto213
OndediAlfv ´ en214
Ondemagnetoacusticheveloci216
Ondemagnetoacustichelente218
13.7Ondedirarefazione magnetogasdinamiche
13.10ProblemadiRiemannconBn=0227
14.1Nozionipreliminaridirelativit`a231
anchetrasversale
14.8Ondad’urtoconcomponente trasversaledellavelocit`a
14.9Equazionirelativistiche informaconservativa
Prefazione
Ladinamicadei fluidi ` eunadisciplinamoltoattuale.Siaperch ´ ecoinvolgeambitie applicazioniestremamentevicinial nostroviverequotidiano,siaperch ´ emoltifenomeni legatiaessasonooggettodistudioediricerchetesearaggiungereuninquadramento teoricosoddisfacentepergliscopiscientificieingegneristicidioggi.Infatti,soltanto direcentesi ` einiziatoapoterprevedere–nonsempre,perlaverit ` a–ilcomportamento dei fluidiconunaprecisionesufficienteperleapplicazioni.Epoiifenomenilegati alladinamicadei fluidiesercitanoancoraoggiunfascinospessoineguagliatosuchi liosserva,certamenteperlalorobellezzamaforseancheperlalorostupefacente complessit ` a.
Perpotersiavvicinareaunadisciplinacos` ı interessante,maancheestremamente ampiaecomplessa,comeladinamicadei fluidi, ` enecessariopossedereunbagagliodi concettidibasebenchiaroeorganizzato.Inpratica,quellocheoccorre ` euninsieme distrumentieinformazioni,dimodellimatematicieintuizione fisicachecostituiscano contemporaneamenteilcardineattornoal qualeorganizzarel’insiemediconoscenze acquisiteeunavalidaguidaperaffrontareargomentinuovi.
L’introduzionealladinamicadei fluidicheproponiamoinquestotestosipone l’obiettivodifornireallettoreunasolidabasesucuifondareunacomprensioneadeguata deifenomeni fluidodinamici.Nonpotendoessereesauriente,questatrattazionecercadi concentrarsisuglistrumentifondamentali,presentandolinelmodopi ` uchiaroelineare possibile.Aquestoriguardo,abbiamopreferitocorrereilrischiodiessereprolissipur diassicurareallettoreunapienacomprensionedituttipassaggimatematici,inclusi quellipi ` ucomplicati.Taleapprocciovorrebbeevitareunusodistortodellamemoria dapartedellettorequalesostitutodiunaveracomprensione.
Questotesto ` erivoltoinparticolareaglistudentiuniversitari.Nell’ultimodecennio,inItalia,icorsidistudiouniversitarihannosub`ıtoalcuniprofondicambiamenti neilorocontenuti,incidendoinmodosignificativoanchesull’insegnamentodella meccanicadei fluidi.Adesempio, ` estatoeliminatoilcorsoincuivenivainsegnato l’elettromagnetismo,argomentochecostituivaunapremessanaturaleallostudiodella dinamicadei fluidi.Questotagliocurricularehaprivatogliallieviingegneridella palestraidealeperapprendereiconcettieimetodimatematicipropridelleteoriedei mezzicontinuiedeicampi.
Afrontedellanuovasituazionedidattica,alPolitecnicodiMilano ` estatocompiuto unosforzovoltoariorganizzareicorsiriguardantiladinamicadei fluidieilorocontenutiperinserirliorganicamenteall’internodell’attualeordinamento,conparticolare riferimentodellalaureainIngegneriaAerospaziale.Attualmente,nell’ambitodeicorsi dilaureainIngegneriaeinFisica,lostudiodellameccanicadei fluidi ` eaffrontato indiversicorsi:Fluidodinamica,Aerodinamica,Gasdinamica,Magnetoidrodinamica, volendonominaresoloquellifondamentali, per non parlaredeicorsidiFluidodinamicasperimentaleediFluidodinamicanumerica.Questotesto ` efruttodellanostra esperienzadidatticapi ` urecenteinalcunidiquesticorsi.
Permotivieditoriali,l’opera ` estatasuddivisaindueparti.Nelprimovolume, Fluidodinamicaincomprimibile,sistudialadinamicadei fluidiel’aerodinamicadelle correntiincomprimibililaminari.Questosecondovolume, Fluidodinamicacomprimibile, ` einvecededicatoallostudiodellecorrenticomprimibili.Icapitoli9,10e11 riguardanolatrattazioneclassicadellecorrentiisoentropiche,dellecorrentiviscosee dellecorrenticonurti.TaliargomenticompletanoquantopropostonelprimovolumeperquantoriguardailcorsodiAerodinamicaecomprendonomoltiargomentidel corsodiGasdinamica.Icapitolisuccessivicontengonoalcuniargomentiavanzati.In particolare,nelcapitolo12siintroduceilproblemadiRiemannperleequazionidi Eulerodellagasdinamica.Questo ` euntemadigrandeinteresseperlosviluppodei metodipi ` urecentiimpiegatinellasimulazione numericadellecorrentitransonichee supersoniche.Gliultimicapitolitrattanoargomentidicrescenteinteresseincampo astrofisico.Pi ` uprecisamente,icapitoli13e14riguardano,rispettivamente,lagasdinamicainpresenzadicampomagnetico(magnetoidrodinamica)elagasdinamicadelle correntirelativistiche.Nelcapitolo15vieneaffrontatoilproblemadiRiemanndella gasdinamicarelativistica.Infinel’ultimo ` eun’introduzioneallecorrentirelativistiche inpresenzadicampomagnetico.
Questosecondovolume ` ecompletatodaunanutritaseriediappendicidedicate allapresentazionedialcunistrumentifondamentaliedialcuniapprofondimenti.Degni dinota,inparticolare,sonoirichiamiditermodinamica:basatisullaformulazioneassiomatica:ilsistematermodinamico ` edescrittomediantelasuarelazionefondamentale Numerositipidi fluidosonopresentatiinmododettagliato,inclusialcunidinotevole interesse fluidodinamicochevannooltreilsemplicemodellodelgasideale.
Perlostudente
Questolibro ` eilfruttodiun’elaborazionedialcunedispensepreparatepericorsi diFluidodinamicaeAerodinamicacheabbiamotenutoagliallieviaerospazialidel PolitecnicodiMilanonegliultimianni,eincludeancheilmaterialeredattoasupporto dialtricorsi,sempreinambito fluidodinamico.Iltesto finale ` eilrisultatodiuna seriedimodificheediaffinamentisuccessivisuggeritidall’esperienzadidatticae dall’interazioneconmoltistudentineicorsi.
L’intento ` estatoquellodifornireallostudenteunsupportodidatticoilpi ` uchiaro possibileeallostessotemporigoroso,chesiamaneggevoleecompleto.Inmoltitesti scientifici,anchedicaratteredidattico,alcunepartidelledimostrazionisonotalvolta omesse,bench ´ erappresentinounelementoconcettualenecessarioperun’adeguata comprensionedapartedellostudente.Inquestotestoabbiamocercatodievitare taliomissioni,includendomoltedimostrazionicompleteegiustificandorazionalmente ognivoltaiprocedimentiutilizzati,acostodiapparireprolissi.Loscopo ` edievitareil sensodifrustrazionedellettoreche,nonriuscendoagiustificareasestessoun’ipotesi ounprocedimento, finiscepermandarliamemoria.Lanostrascelta ` emoltonetta perch ´ eriteniamochepermettaallostudentedifondarelasuaconoscenzasubasisolide ediridurrecomplessivamentelosforzodiapprendimento.
Iltesto ` estatosuddivisoinduevolumi,dicuiquestosecondocomprendeancheuna nutritaseriediappendici.Nelprimovolumesonopresentatiivarimodellimatematici chedescrivonoladinamicadei fluididellecorrentiincomprimibili.
Ilsecondovolume ` einteramentededicatoalla fluidodinamicadellecorrenticomprimibili.Siparte,nelcapitolo9,coniprincipalirisultatidellagasdinamicaclassica perlecorrentiisoentropiche,cio ` eperquellecorrentinellequalelaviscosit ` adel fluidoe lasuaconducibilit ` atermicagiocanounruolomarginaleenellequalinonsianopresenti onded’urto.Nelcapitolosuccessivosonointrodottiglieffettidovutialladissipazione viscosaeallaconduzionedelcalore;sonoformulateleequazionidiNavier–Stokes comprimibiliericavatialcunirisultatidigrandeinteresse.Ilcapitolo11 ` einvece dedicatoallostudiodellecorrenticononded’urtoapartiredallecondizionidisalto, formulatedapprimaperun fluidodallepropriet ` atermodinamichegeneraliepoispecializzateperilcasodiungasidealepolitropico.L’interocapitolo12 ` ededicatoal problemadiRiemanndellagasdinamica,dinotevoleinteresseperlosviluppodelle tecnichepi ` urecentinecessarieallarisoluzionedelleequazionidiEuleroediNavier–Stokesinregimecomprimibile.Irimanenticapitolitrattanolecorrenticomprimibili inpresenzadelcampomagnetico,siaclassichesiarelativistiche.
Unaparteimportantedelnostrosforzodidatticoediquestovolume ` ecostituita dalleappendici,cheriportanomoltistrumentifondamentaliealcuniutiliapprofondimenti.Particolarmenteutiliacomplementodiquestovolumesonoleappendicidedicateaifondamentidellatermodinamicaeallostudiodellatermodinamicadi fluidi che nonpossonoesseredescritticonilmodellodelgasidealepolitropicoodellemiscele digas.
Ringraziamenti
DesideriamoringraziareilprofessorRobertAdams,autoredeitesti “Calcolodifferenziale1e2” chehannoispiratolaredazionediquestovolume.Anchenell’aspetto grafico,ivolumidicalcolodifferenzialediAdamssonostatiunmodellochehapermessodiorganizzareilnostromaterialein modochiaro,evidenziandoleformule finaliperpoterledistingueredaquelledeipassaggiintermedi,inserendoosservazioni eapprofondimenti,comeanche figureamargine.
SiamomoltogratiaJos ´ eA.Ponsperaverciautorizzatiaincludereneicapitoli sulla fluidodinamcarelativisticaalcunirisultatitrattidaunlavoroscrittoincollaborazione,nonpubblicato,contenenteun’introduzionealproblemadiRiemannrelativistico.SiamoinoltregratiaVincentGiovangigliperavereconsentitodipresentareleequazionichegovernanoilmotodei fluidiconpi ` ucomponentichimiche inun’appendice,seguendoquasiletteralmentealcunepaginediunasuabellissima monografia.L’appendicesulleequazionidelleonde ` etrattadaunpregevoletestodi AlbertoFerrero,FilippoGazzolaeMaurizioZanotti,pergentileconcessionedegli autori.
Desideriamoancheringraziareinumerosicolleghichehannocontribuito,avolte inconsapevolmente,conidee,tecniche,materiale.Unringraziamentoparticolarevaa MarcoBelaneSergioDePonteperavercigentilmentefornitolavisualizzazionedel gettosottoespansocheabbiamoutilizzatoperlacopertinadiquestovolume.Siamo particolarmentegratiancheaGabrieleD’IppolitoeaicolleghiLuigiVigevano,Federico Lastaria,AdrianoMuzzioeLuigiGalgani peravereinvarieoccasionicorrettoalcune partideltesto,migliorandoloinmodononmarginale.Poi,inordinealfabetico: ArturoBaron,MarcoBelan,MassimoBiava,Jean-ChristopheBoniface,Maurizio Boffadossi,GabrieleCampanardi,GiuseppeCrosta,SergioDePonte,MarcoFossati, MichelFourni ´ e,AldoFrezzotti,FlavioGiannetti,GiuseppeGibertini,DonatoGrassi, AlbertoGuardone,PaoloLuchini,EtienneMatheron,AlfonsoNiro,MaurizioQuadrio, GiuseppeQuaranta,StefanoRebay.Alcunidilorosonoringraziatiancheneltesto,nei rispettivipuntiincuiilloroapportosi ` erivelatoutile.
Moltinostristudenticihannocostantementespronatoamigliorareiltesto.Essi hannospessoaiutatolaredazionediquestepagine,evidenziandonelecarenzeoanchesoltantosegnalandoerrori:perquestoliringraziamotutti,collettivamente.Un ringraziamentoparticolare ` eper ` odovutoaNicol ` oCalosso,StefanoFortina,Federico Gualdoni,DavidMessegurSampietro,EnricoRinaldieSimoneStanchi,periloro preziosicontributi.
Ilprimoautore ` einfinegratoatuttiicomponentidel FdVS:senzal’incalzante vicinanzadiognunodiloro,difficilmentequestolavorosarebbegiuntoacompimento Lapreparazionediquestotestohabeneficiatoanchedell’assistenzaeditorialedi NataliaNannieStefanoVillani,chequiringraziamomoltoperlavalidacollaborazione.
L.Q.&F.A. Milano,Maggio2013
Correnticomprimibili nonviscose(senzaurti)
Introduzione Inmoltiproblemididinamicadei fluidinon ` epossibilesupporreche ladensit ` adel fluidosiacostante.Quandolevariazionididensit ` adel fluidononsono trascurabili,diventanecessarioaggiungere laleggediconservazionedell’energiaa quelledellamassaedellaquantit ` adimoto,einoltretenerecontodellepropriet ` a termodinamichedel fluido.Diconseguenzal’insiemedelleequazioniperi fluidi comprimiblirisultaassaidiversorispettoaquelledelcasoincomprimibile.
Inquestocapitolosipresentanoleequazionichegovernanolecorrenti comprimibili nonviscose,nellequalicio ` elevariazionilocalidelladensit ` aprovocanoeffettidi cuisidevetenereconto,mentreglieffettidellaviscosit ` aedellaconduzionedel calorenel fluidopossonoesseretrascurati.Letreequazionicheesprimono,sotto questeipotesi,laconservazionedellamassa,ilbilanciodellaquantit ` adimotoeil bilanciodell’energiasononotecome“equazionidiEulerocomprimibili”oanche come“equazionidellagasdinamica”.Naturalmenteessedevonoesserecompletate dallerelazionitermodinamichechedescrivonolepropriet ` adel fluidoconsiderato, tipicamenteungas.Daquestopuntodivista,lesoluzionidelleequazioninelcaso comprimibiledipenderannonecessariamentedallepropriet ` atermodinamichedel fluido equindisarannomenogeneralidiquellerelativeaiproblemiincomprimibili.
Lecorrentirealirisentono,oltrechedeglieffettilegatiallacomprimibilit ` adel fluidoeallesuepropriet ` atermodinamiche,anchedellesuecaratteristiche dissipative o diffusive.Questieffettientranoafarepartedelmodellotramiteiduecoefficienti diviscosit ` aintrodottinelparagrafo5.11(vol. Fluidodinamicaincomprimibile)eil coefficientediconducibilit ` atermica.Leequazionigeneralidelladinamicadei fluidiche includonotuttiquestifenomenisichiamano“equazionidiNavier–Stokescomprimibili” esarannointrodottesolonelprossimocapitolo.
PerricavareleequazionidiEulerocomprimibiliapartiredalleleggidiconservazioneseguiamounprocedimentoleggermentediversodaquelloconsideratonelcaso incomprimibile.Infatti,laleggediconservazionedell’energiasiesprimeinmodo naturaleconsiderandounaparticelladi fluidoinmotopertenerecontodeidiversi fenomenichefannovariarelasuaenergia.Comevedremo,l’analisidellegamefrala formaglobaleequellalocaledellaleggediconservazionedell’energiarichiededicalcolarelarapidit ` adivariazionediunintegraledivolumesuundominiodiintegrazione variabileneltempo.Perquestaragioneilprimoparagrafodelcapitolo ` ededicato alla dimostrazionedell’identit ` adifferenzialerelativaalladerivatadiunintegralesuun volumechesimuovenellospazio.
Nelsecondoparagrafo,9.2,siintroduceilteoremaditrasportodiReynoldsesi analizzacriticamentelarelazionecheesistefraquestoteoremael’identit ` adifferenziale stabilitanelparagrafoprecedente.
Questaidentit ` a ` epoiutilizzataneitreparagrafi successivi9.3–9.5peresprimere informalocaleilprincipiodiconservazionedellamassa,laleggedibilanciodella quantit ` adimotoequellarelativaall’energia.Nelcasodelleprimedueequazioni,della massaedellaquantit ` adimoto,sipresentaunaderivazionediversamaequivalentea quellevisterispettivamenteneiparagrafi 2.2e2.3.Perquantoriguardainvecelaterza equazionerelativaall’energia, ` equiintrodottaperlaprimavolta.Seneforniranno inoltredueversionidifferenti,unainterminidelladensit ` adienergia totale del fluido l’altrainterminidellasuaenergiaspecifica interna. Ilparagrafo9.6 ` ededicatoalcompletamentodelsistemadiequazionidiEulero dellecorrenticomprimibilipertenerecontodellepropriet ` atermodinamichedel fluido attraversolesueequazionidistato.LeequazionidiEulerocomprimibilisonopoi
scrittesianellaforma conservativa siainquella quasilineare.
Neidueparagrafi successivisiconsideranocorrentistazionarieperlequaliconvienescriverel’equazionediconservazione dell’energiainterminidell’entalpia.Nel paragrafo9.7siintroducela“versionecomprimibile”delteoremadiBernoulli,mentre inquellosuccessivosistudial’andamentodellevariabililungounalineadicorrente. Ilparagrafo9.9presentaunaformaapprossimatadelleequazionicomprimibili instazionarie,ottenutepermezzodiunalinearizzazionecheconsentedirappresentare lapropagazionedellepiccoleperturbazioninel fluido.Inquestoambitosiintroducela velocit ` adelsuonoesiusanoleequazionidiEulerolinearizzateperricavarel’equazione delleondechegovernaifenomeniacustici.Nelparagrafo9.10siestendel’ideadella propagazionedisegnaliall’internodel fluidoalcasogeneraleincuileperturbazioni possonoessereanchediampiezzaarbitrariamentegrande.
Nelparagrafo9.11sistudianolecorrenticomprimibiliirrotazionalieconentropia uniformeesiricaval’equazionechegovernailloropotenzialecineticonellecorrenti instazionarie.Nelparagrafosuccessivo9.12 siconsideranosolocorrentistazionarie (sempreconentropiauniformeeirrotazionali)esideducel’equazionedelpotenziale comprimibile,perlasoluzionedellaquale ` epossibilericorrereaunatecnicaperturbativa.Iparagrafi 9.13e9.14sonoappuntodedicatialladeterminazionedellecorrente comprimibilesubsonicaapprossimatadiungasidealepolitropicoattorno,rispettivamente,auncilindrodisezionecircolareea unasfera.Nelparagrafo9.15siricava l’equazionedellepiccoleperturbazioni.Nelparagrafo9.16siritornaaformularele equazioniperlecorrenticomprimibilistazionarieconentropiauniformeintermini dellavelocit ` aesimostrache,neicasidimotopianooassisimmetrico,lacorrente ` e governatadadueequazioniscalariperlecomponentidellavelocit ` a.L’ultimoparagrafo riguardaancoralecorrenticomprimibilistazionariemaconsiderailcasopi ` ugenerale dimotorotazionaleconentropiavariabilespazialmente.
9.1 Derivatadiintegralisudominimobili
Inquestoparagrafointroduciamoun’identit ` adifferenzialecheesprimelarapidit ` adi variazionediunintegraledivolumeestesoaunaregionechesimuovenellospaziotridimensionaleconleggedimotoassegnata,eventualmentedeformandosi.Ilmovimento deldominiod’integrazioneinogniistanteditempo ` especificatodallaconoscenzadella velocit ` aistantaneadituttiipuntiappartenentiallasuperficiedicontornodeldominio. Lafunzioneintegrandachecomparenell’integraledivolume ` eingeneraleuncampo scalarechedipendesiadalpunto r siadaltempo t .
Derivatadiunintegralesuunintervallovariabile
L’identit ` arelativaalladerivatarispettoaltempodiunintegralesuunvolumevariabile rappresentalageneralizzazionealletredimensionidiunnototeoremadelcalcolo differenzialedifunzionidiunasolavariabile.Supponiamodiavereunafunzione f = f ( x , t ) definitaperogni x appartenenteallarettarealeeperogni t > 0.Consideriamo unintervallo It = [a (t ), b (t )]icuiestremi a e b sonofunzionideltempo.Abbiamo quindiun intervallomobile,esuquestoprendiamoinesameilseguenteintegrale definito G (t ) = It
Laquantit ` a G (t ) definitadall’integraledipender ` adaltempoperduemotividiversi, comeillustratonella figura9.1.
Unprimocontributoderivadallavariazioneneltempodellafunzioneintegranda f ( x , t ).Aquestocontributosideveaggiungerelavariazionecausatadall’eventuale cambiamentodell’intervallod’integrazioneicuiestremi a e b sonomobili.Idue contributiallarapidit ` adivariazionedi G (t ) sonoevidenziatinellaseguenteidentit ` a differenziale
Figura9.1 Fragliistanti t e t + Δt , l’integraledellafunzione f ( x , t ) sull’intervallomobile[a (t ), b (t )]variain conseguenzasiadelcambiamentodella funzionesiadelmovimentodegliestremi dell’intervallo
Questaidentit ` a ` enotacome teoremadiLeibniz esidimostra1 nelseguentemodo. Dalladefinizionediderivataabbiamo
Aggiungiamoesottraiamolaquantit ` a
b (t +Δt ) a (t +Δt )
( x , t ) dx , ottenendo
Maidueultimiintegralihannolastessafunzioneintegranda,consegnioppposti,e hannoincomunegranpartedell’intervallod’integrazione.Diconseguenza,scrivendo
b (t +Δt ) a (t +Δt ) come
(t )
(t ) come a (t +Δt ) a (t ) + b (t ) a (t +Δt ) ,ladifferenzadei dueultimiterminipu ` oesserescrittacomedifferenzadidueintegralisuduepiccoli intervalliviciniagliestremidi[a (t ), b (t )],ovverosia
(t ) e
Sideveprendereillimitedeitretermini.Ilprimotermine ` esemplicemente
1 Nelcasoparticolarediestremid’integrazione“fissi”,idueterminidicontornosonoassentie l’identit ` a ` enotacome“teoremadiderivazionesottoilsegnodiintegrale”.
Ilsecondotermine,amenoditerminidiordinesuperiorein |b (
) b (t )|,vale
Analogamenteilterzoterminediventa
Indefinitiva:
che ` eproprioilteoremadiLeibniz.
Osservazione L’operatorediderivazionechecompareall’esternodell’integraledel membrodisinistra ` escrittocomederivataordinariapoich ´ eagiscesu G (t ),che ` e effettivamenteunafunzionediunasolavariabile:infattiilcalcolodell’integraledefinito fasparireladipendenzadallavariabile x .Alcontrario,sottoilsegnodiintegralela derivatarispettoa t ` eindicatacorrettamenteconilsimbolodiderivataparziale,poich ´ e f ( x , t ) ` eunafunzionediduevariabili.
Lederivatedi a (t ) e b (t ) rappresentanolevelocit ` adeidueestremidi It inbase alladefinizione: va (t ) ≡ da (t )
e vb (t ) ≡ db (t ) dt ,
percuil’identit ` adifferenzialepu ` oesserescrittaanchenellamaniera“cinematicamente pi ` uespressiva”
incuisievidenzialavelocit ` aistantaneadegliestremidell’intervallod’integrazione It = [a (t ), b (t )].Ricorrendopoiallanotazionesemplificatadegliintegraliincuisi indicaildominiod’integrazioneesieliminailcorrispondenteelementoinfinitesimo, l’identit ` adifferenzialepu ` oesserescrittapi ` ucompattamentecome
Derivatadiunintegraledivolumesuundominiovariabile
Consideriamooraunvolume Vt mobilenellospazio,comemostratonella figura9.2.Il volume ` edelimitatodaunasuperficielisciachiusa St icuipuntisimuovonoaltempo t conunavelocit ` aassegnata
vS = vS (r S , t ),
dove r S ∈ St .Consideriamopoiunafunzionescalare f (r, t ) dipendentedaltempo definitainunadeterminataregionedellospaziotridimensionalealcuiinternosimuove
Figura9.2 Volumechesimuoveesi deformanellospazio
Siamointeressatiall’integraledivolumedi f estesoallaregionemobile Vt ,ovvero allafunzione G (t ) = Vt f (r, t ),
dove,comediconsueto,si ` eomessol’elementodivolumeinfinitesimo dV .Larapidit ` a divariazionedi G (t ) rispettoaltempo ` edovutasiaalfattochelafunzioneintegranda dipendedaltemposiaalmovimentodelvolumed’integrazione.Perqualunquefunzione f (r, t ) liscia,ossiaregolare,valeinfattilaseguenteidentit ` adifferenziale:
f (r, t )
t + St f (r S , t ) vS · ˆ n,
dove ˆ n indicailversorenormaleuscentedallasuperficie St e vS rappresentalavelocit ` a deipuntidi St
Ladimostrazionediquestaidentit ` a ` esemplice.Sia Δ Vt ilvolume“spazzato”da St quandoiltempoaumentada t finoa t + Δt .L’elementodivolumeinfinitesimo dV di Δ Vt pu ` oessereespressointerminidell’elementodiarea dS di St mediantela relazione dV = vS · ˆ n dS Δt
Consideriamoilrapportoincrementale G (t + Δt ) G (t ) Δt = 1 Δt Vt +Δt f (r, t + Δt ) Vt f (r, t )
Esprimendoilvolume Vt +Δt come“somma”di Vt e Δ Vt ,sipu ` oscrivere G (t + Δt ) G (t )
t = 1
t Vt
(r, t + Δt ) + Δ Vt
Aggiungendoesottraendonelmembrodidestralaquantit ` a 1 Δt Δ Vt f (r, t ) siottiene
G (t + Δt ) G (t ) Δt = Vt f (r, t + Δt ) f (r, t ) Δt + Δ Vt f (r, t + Δt ) f (r, t )
(r, t + Δt )
(r, t )
t + 1
t Δ Vt f (r, t ).
Elementodivolume
Essendo f liscia,ilsecondointegraledelmembrodidestra → 0quando Δt → 0.Di conseguenzaabbiamo
Quando Δt → 0l’ultimointegralesiriduceaunintegraledisuperficiesu St ,essendo
,comemostratonella figura9.3,equindiabbiamo
che ` epropriol’identit ` adifferenzialedadimostrare.L’integraledisuperficiedel membrodidestradell’identit ` arappresentail flussonettodellaquantit ` a f cheesce dalcontornodellaregioned’integrazione Vt .Sidevenotarechenessunaipotesi ` e statafattasull’esistenzadiqualchecampodivelocit ` aneipuntiinternidellaregione d’integrazione.Inaltreparole,l’identit ` aforniscelarelazioneche ` econseguenzasia delladipendenzatemporaledellafunzione integrandasiadelmotodelsolocontorno St , senzaaverebisognodialcuna equazionedievoluzioneperlavariabilechecostituisce lafunzioneintegranda.
Un’espressionesimilevaleperl’integralediuncampovettoriale F(r, t ) valutato suunvolume Vt chesimuoveinunaregionedellospaziotridimensionaleincuiil campo ` edefinito:
Ledueidentit ` adifferenzialioradimostrateesprimonoinmodogeneralelarapidit ` adi variazionediintegralisuunvolumemobile.Essepermettonodidedurreleequazioni delladinamicadei fluididallaleggediconservazionedellamassa,dalsecondoprincipio delladinamicaedallaleggediconservazionedell’energia.
Notiamochenelragionamentoappenasvolto Vt rappresentaunvolumeintesoinsenso puramente geometrico.Essosimuoveesideformanellospazioeilsuomoto ` edefinito dallavelocit ` a vS (r S , t ) deisolipuntichecostituisconolasua frontieraSt .Inmoltitesti l’argomentodelladerivatadegliintegralisuvolumiinmovimentoechesideformano ` eaffrontatoinunmodoassaidiversodall’analisipresentatanelparagrafoprecedente. Tipicamente,infatti,gliautoridiqueitestiprendonoinesameunaporzionedi fluido altempo t checostituisceun volumemateriale echesar ` aindicatoconilsimbolo
Figura9.3
speciale Vt ,perdistinguerlodalvolumegeometricomobile Vt .Ilmotodelleparticelle del fluido ` edescrittodalcampovettoriale u(r, t ) cherappresentalavelocit ` ainogni puntodel fluido,siaall’internodellaporzione Vt siaalsuoesterno.Nell’ambitodiun taleschemadetto materiale,siincontralaseguenterelazione
(r, t )
,
notaconilnomedi teoremaditrasportodiReynolds,nellaquale Vt ` eunaporzione qualsiasidel fluido,lecuiparticellesimuovonoconvelocit ` a u(r, t ),mentre f (r, t ) ` e uncamposcalaredifferenziabilenoto,chedescrivequalchepropriet ` a fisicadel fluido. IlteoremaditrasportodiReynoldsequivaleineffettiall’identit ` adifferenziale delladerivatadell’integralesuunvolumemobiledimostratanelprecedenteparagrafo. Infatti,graziealteoremadelladivergenza,ilteoremadiReynoldsimplicache
dove St = ∂ Vt .Siccome Vt ` eunaporzionedi fluido,latracciadellavelocit ` a u sulla superficiemobile St ,chesipotrebbeindicarecon u|St ,coincideconlavelocit ` a vS (rS , t ) deipuntidelcontorno St all’istante t ,percuiavremo
Questarelazione,sesiinterpretailvolume Vt dellaporzionedi fluidocomeundominio spaziale Vt lacuisuperficie St simuoveconvelocit ` a vS (rS , t ), ` epropriol’identit ` a differenzialerelativaallarapidit ` adivariazionedell’integralesullaregionemobile Vt . IlteoremaditrasportodiReynoldscheabbiamoriportatohaunaformapercerti versisorprendente:larapidit ` adivariazionedell’integralesulvolume Vt dellaporzione di fluidorisultadipenderedalvaloredi ∇· ( f u) intuttiipuntiinterniallaregione d’integrazione,mentresololavelocit ` adeipuntidelcontornopu ` oavereun’influenza effettivasullavariazionedell’integrale.Ilparadosso ` etuttaviasoloapparentepoich ´ e iltermineconsideratocoinvolgeanchel’operatoredelladivergenza:infattiilteorema delladivergenzamostracomelavelocit ` alocale u(r, t ) neipuntiinternidi Vt ,supponendoicampi f e u regolari,nongiochinoalcunruolo.Questaosservazioneindica cheilteoremaditrasportodiReynoldsdifficilmentepu ` oessereriguardatocomeuna relazioneprimitivaesprimenteladerivatadiunintegralesuunvolumevariabile.
Ilteoremaditrasporto ` etalvoltascrittoancheinmodoscorretto.Adesempio,la derivatatemporaledell’integralenelprimomembro ` eindicatainalcunitesticomeuna derivata parziale,ossia,
Sbagliato!
L’erroreinquestocasoconsistenelnonrendersicontochel’integrale,unavolta calcolato, ` efunzionedellasolavariabile t ,percuilasuaderivatarispettoaltempo ` ela derivataordinariaenonunaderivataparziale.
IncerticasiilteoremaditrasportodiReynolds ` eespressoinunaformaleggermente diversa,conlaquantit ` a ∇· ( f u) espansaindueterminiepermezzodella notazione dellacosiddetta“derivatamateriale”,introdottanelparagrafo3.1(vol. Fluidodinamica incomprimibile),ovverosia
Fluidodinamica comprimibile
Fenomeni come il volo, il funzionamento dell’impianto di riscaldamento domestico, i flussi di materia all’interno di una stella sono tutti oggetto di interesse della Fluidodinamica: l’ampia diffusione in natura della materia allo stato liquido o gassoso e la varietà dei fenomeni fisici che coinvolgono i fluidi giustificano l’enorme importanza di questa disciplina. Quest’opera, che consta di due volumi, è frutto di dieci anni di esperienza didattica dei suoi autori. Il primo volume – Fluidodinamica incomprimibile - è dedicato allo studio delle correnti incomprimibili; il secondo – Fluidodinamica comprimibile - tratta il comportamento delle correnti comprimibili.
Gli Autori, entrambi docenti del Politecnico di Milano, hanno voluto fornire agli studenti uno strumento didattico chiaro, ma al tempo stesso rigoroso, per acquisire una solida conoscenza dei fenomeni e dei metodi inerenti la meccanica dei fluidi.