Marco Sabatini
400 test di Analisi matematica 1 discussi e risolti
Indicegenerale
Prefazione v
1Successioni
• Domande 1 • Risposte 15
2Funzioni,campodiesistenza
3Funzioni,propriet`aelementari
4Funzioni,limitiecontinuit`a •
5Derivateemonotonia
6Convessit`a,massimieminimi
12Numericomplessi
Lerisorsedigitali
Aquestoindirizzosonodisponibililerisorsedigitalidicomplementoallibro: universita.zanichelli.it/sabatini
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• trovareillinkpergli eserciziinterattividiautovalutazione (10compiti,ognunocompostoda 12domandepresedallibrotrasversaliapi`uargomenti);
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Lerisorsedigitaliprotettesonodisponibiliperchiacquistaillibronuovo.L’accessoall’Ebookealle risorsedigitaliprotette`epersonale,noncondivisibileenoncedibile,n´eautonomamenten´econla cessionedellibrocartaceo.
Prefazione
L’introduzionedellelaureetriennalielaconseguenteriformadeiprogrammideicorsi dibasehaportatoaunapprocciodiversoalladidattica,focalizzatopi`usuiprincipi fondamentalidellamateriachesuisuoiaspettipi`utecnici.Perquantoriguardaicorsidi matematicaquestohaportatoadalleggerirelatrattazionedegliargomenti,evitandodi appesantirel’esposizioneconladescrizioneminuziosadeipassagginecessariperottenere inmodorigorosoirisultatienunciati.Questo`eparticolarmenteveroperilprimocorsodi Analisimatematica,quasisempreilprimocorsodimatematicadilivellouniversitario propostoalcorpostudentesco,incuilaquantit`adinuoviconcetti,esempieteoremi rischiadiesseresoverchianteperchinonhaunaparticolarepredisposizioneperlamateria.
Lamodificadeiprogrammiedellostilediinsegnamentohacomportatoancheun cambiamentodellemodalit`ad’esame,inprecedenzacentratosullaparteorale,conlaprova scrittaspessoridottaaprovadiammissione.Loscrittosvolgeoraunruolopi`ucentrale, avoltecostituendointotol’esame.Inquestocaso,sesilimitalaprovaallosvolgimento dialcuniesercizi,siperdequellapartedell’esamevoltaadaccertarelacomprensionedei concettifondamentalidellamateria.Perovviareaquestamancanza`eutilel’introduzione nellaprovascrittadiunasezioneditest,odomandearispostamultipla,chepermetta dieseguireunaverificadellacomprensionedegliaspettiteoricidellamateriaaltrimenti assente.Inoltrelamaggiorecompattezzadeitestpermettedicopriregliargomentidel programmainmodopi`ucompletorispettoallatradizionaleselezionediesercizi.
Lasempremaggioredi↵usionedell’usodeitestnegliesamideicorsidibasedimostra l’apprezzamentodeidocentiperl’utilit`adiquestostrumentoperl’accertamentodel profitto.Sullascortadiquesteconsiderazioniesullabasedell’esperienzamaturatain annidiinsegnamentoincorsidilaureainIngegnerianascequestapubblicazione.
Questolibro`eun’estensioneeaggiornamentodeltesto 200TestdiAnalisimatematica 1,MarcoSabatini,ed.Youcanprint,2016,orafuoricommercio,incui`estatapresentata unaprimaraccoltaditestpropostiduranteicorsidiAnalisimatematica1perIngegneria.
Iquesitisonocorredatidasoluzioniediscussionidellerisposteerrate,proponendo esempiecontroesempicheaiutanoamostrareperch´ecerteargomentazioninonpossono essereapplicate.L’obiettivoprincipale`eaiutarestudentesseestudentideiprimianni aidentificareedevitareglierroritipicidichia↵rontalamateriaperlaprimavolta.In particolare,aiutarliamigliorarelalorocapacit`adidistingueretraragionamentitraloro similimanontutticorretti.Individuareitranellinascostiinargomentiapparentemente corretti`einfattiessenzialeperilsuperamentodell’esame.Iquesiti,intenzionalmente,non sonopropostiperdifficolt`acrescente.Scopodiquestascelta`eportarechia↵rontaitesta valutarepreventivamentel’impegnorichiestodaisingoliesercizi,inmododaorganizzare ilpropriolavoroottimizzandoiltemponecessario.Sperochequestotestosiautileanche aidocentinellapreparazionediesercitazionieproved’esame,siapericorsidilaureain Ingegneria,siaperaltrelaureeindisciplineSTEM.
DesideroringraziareglistudentideicorsidiAnalisimatematica1perlelorodomande, chemihannoispiratomoltidegliesercizipresentatiinquestotesto.Imieiringraziamenti vannoancheaiprofessoriVittorioBaroneAdesieFabioFerrari,perlelorostimolanti osservazioni.InfinedesideroringraziareMarikaDeAcetiseLucianoRevellidellacasa editriceZanichelliperl’assistenzaprestataincorsod’opera.
Istruzioniperl’usodiquestolibro
Ogniquesito`eaccompagnatodaquattrorisposte,dicuiunasola`ecorretta.Aseconda deltipodiquesito,visonovariepossibilit`a.Seperindividuarelarispostacorrettaoccorre risolvereunesercizio,nelcapitolodellerispostel’eserciziovienesvolto,aggiungendo eventualmentedelleosservazionisulperch´ealcunerisposteerratepossonoessereeliminate senzaricercarelasoluzione.Avolteladiscussionedellerisposteerratenoncompare perch´elerispostesonoreciprocamenteincompatibili,comeinquestocaso:
12.1 Lesoluzionicomplessedell’equazione(z i)2 =1sono:
A i ± p2
B ±i
C 1+ ip3, ip3
D ±1+ i
L’eserciziovienerisolto,lasciandoachileggeilcompitodirilevarecheognirisposta escludelealtre:
R12.1 ♥ D Ilcomplesso z verificalarelazione(z i)2 =1seesolose z i `euna delleradiciquadratedi1,ovveroseesolose
z i = ±1.
Daquiotteniamolesoluzionidell’equazione, z = ±1+ i
Inaltricasiconsideriamodellesituazionimenoelementari,comequellachesegue,incui lerispostenonappaionoadueadueincompatibili.
1.3 Selesuccessioni an e bn sonoentrambestrettamentecrescenti,allora:
A an + bn `estrettamentecrescente
B an bn `estrettamentecrescente
C an bn `estrettamentecrescente
D an bn `estrettamentecrescente
Lerispostevengonodiscusse,indicandoquellacorrettaconilsimbolo ♥,equellesbagliate conilsimbolo :
R1.3 ♥ A Lesuccessioni an e bn sonostrettamentecrescentiseesolose an <an+1 , bn <bn+1 .Lasommaconservaledisuguaglianze,quindi an + bn <an+1 + bn+1 .
B Leduesuccessioni 1 n e n sonostrettamentecrescenti,mailloroprodotto 1 n n = 1`ecostante.
C D Lesuccessioni an = bn = n sonostrettamentecrescenti,malaloro di↵erenza`e0,costante,eillororapporto`e1,asuavoltacostante.
Nell’esempiochesegue,
1.6 Selimn! +1 a2 n =limn! +1 b2 n ,allora:
A lim n! +1 an =lim n! +1 bn
B lim n! +1 an = lim n! +1 bn
C lim n! +1 a 2 n =0
D nessunadellealtretrerisposte`ecorretta
Persapereselarisposta D `ecorrettabisognaesaminarelealtretre:
R1.6 D Cfr.lealtrerisposte
A B C Perlesuccessioni an =( 1)n , bn =1abbiamo: lim n! +1 a 2 n = =lim n! +1 b2 n =1,quindilarisposta C `eerrata.Inoltrelasuccessione an nonha limite,mentre bn convergea1,quindianchelerisposte A e B sonoerrate.
Intuttiiquesitilarichiestaditrovarelesoluzioniequivalearichiedereditrovare tutte lesoluzioni.Unarispostacheindividuasolamenteunapartediessevieneconsiderata errata. ` Eilcasodelquesito:
10.25 Perqualivaloridi ↵ > 0, β > 0, γ > 0laserie 1 X n=1 ↵n β n + γ n converge?
ComeillustratoinR10.25,larispostacorretta`ela D .Larisposta A indicaunaclasse diserieconvergenti,manonleindicatutte,quindivieneconsiderataerratainquanto incompleta.
Perglielementiditeoriaeperlaterminologiafacciamoriferimentoaltesto Analisimatematica1
C.D.Pagani,S.Salsa ed.Zanichelli,2015.
Cisiamoconcessiun’eccezione.Persemplicit`a,leespressioni“un massimo”e“un minimo” indicanounmassimolocaleeunminimolocalediunafunzione.Analogamente“il massimo”e“il minimo”indicanoilmassimoassoluto(globale)eilmassimoassoluto (globale)diunafunzione.Avoltegliaggettivilocaleeassoluto(globale)vengonousati persottolineareladi↵erenzatraidueconcetti.
Nelcapitolosulleequazionidi↵erenziali,l’incognita`eunafunzione y (x),dicuispessoomettiamodiindicarelavariabileindipendente x.Peresempio,nell’esercizio11.1 scriviamo y 0 + y + ex =0 invecedi y 0 (x)+ y (x)+ ex =0.Lasoluzionedelproblemadi Cauchyassociatoaun’equazionedi↵erenziale`elasoluzionecheverificalacondizione dipassaggio y (x0 )= y0 .Essavieneindicatacon y (x,x0 ,y0 )ed`ecaratterizzatadalla relazione y (x0 ,x0 ,y0 )= y0
3 Funzioni,propriet`aelementari
DOMANDE
3.1 Se f,g : R ! R,con f (x)parie g (x)dispari,allora:
A f (x)2 + f (x)g (x)`epari
B g (x) f (x)`edispari
C f (x)+ g (x)`edispari
D g (x)2 + f (x)`epari
3.2
Consideratetrefunzionidefiniteintutto R, f (x)strettamentecrescente, g (x) strettamentedecrescente, h(x)costantenonnulla,abbiamo:
A 1 h(g (f (x))) costante
B f (g (h(x)))strettamentedecrescente
C g (f (h(x)))strettamentecrescente
D f (g (f (x)))costante
3.3 Date f,g,h : R ! R,con f (x)strettamentecrescente, g (x)pari, h(x)periodica, qualedelleseguentia↵ermazioni`evera?
A h(g (f 1 (x)))`estrettamentecrescente
B f 1 (g (h(x)))`eperiodica
C g (f 1 (h(x)))`edispari
D h(g (f (x)))`ecostante
3.4 Detta[x]laparteinteradi x,lafunzione f (x)=[x] x `e:
A costante
B periodica
C crescente
D pari
3.5 Dellefunzioni f,g,h,k : R! R sappiamoche f `estrettamentecrescente, g periodica, h dispari, k costante.Qualea↵ermazione`evera?
A f ◦ g `eperiodica
B g ◦ h `eperiodica
C k ◦ h `edispari
D f ◦ g ◦ h ◦ k `estrettamentecrescente
3.6 Se f,g,h : R! R, f pari, g dispari,hcrescente,qualea↵ermazione`evera?
A f ◦ g ◦ h `epari
B f ◦ g ◦ h `edispari
C f ◦ g ◦ h `ecrescente
D nessunadellealtretrerisposte`ecorretta
3.7 Date f,g : R! R,strettamentecrescenti,qualedelleseguentia↵ermazioni`evera?
A fg `estrettamentecrescente
B f g `estrettamentecrescente
C fg `estrettamentecrescenteinogniintervalloincui f> 0, g> 0
D fg `estrettamentecrescenteinogniintervalloincui f< 0, g< 0
3.8 Lafunzione f (x)=sen(cos(sen(cos(sen( x)))))`e:
A pari
B dispari
C n´eparin´edispari
D pariedispari
3.9 Qualedelleseguentifunzioni`eperiodica?
A f (x)=sen x cos(x +1)
B f (x)=(sen x +cos x)e x
C f (x)= ex sen x
D f (x)= e x sen x
3.10 Siano f,g :[a,b]! R,strettamentecrescenti, f (x) > 0.Qualedelleseguenti a↵ermazioni`evera?
A fg `estrettamentecrescente
B f g `estrettamentecrescente
C g f `estrettamentecrescente
D f + g `estrettamentecrescente
3.11 Qualediquestefunzioni`edispari?
A sen(cos(sen(x)))
B sen(cos(cos(x)))
C cos(cos(sen(x)))
D sen(sen(sen(x)))
RISPOSTE
R3.1
♥ D Abbiamo g ( x)2 + f ( x)= � g (x)�2 + f (x)= g (x)2 + f (x).
A Consideriamo f (x)= x2 , g (x)= x.Abbiamo f (x)2 + f (x)g (x)= x4 + x3 , chenon`epariperch´esiannullain 1manonin1.
B Consideriamo f (x)= x2 , g (x)= x.Abbiamo g (x) f (x)= x x2 ,che non`edispariperch´esiannullain1manonin 1.
C Consideriamo f (x)= x2 , g (x)= x.Abbiamo f (x)+ g (x)= x2 + x,che non`edispariperch´esiannullain 1manonin1.
R3.2 ♥ A Se h(x)`ecostante,lo`eanche h(g (f (x))),quindianche 1 h(g (f (x))) .
B C f (g (h(x)))e g (f (h(x)))sonocostanti.
D f (g (f (x)))`estrettamentedecrescente,perch´ese x1 <x2 ,abbiamo x1 <x2 =) f (x1 ) <f (x2 )=) =) g (f (x1 )) >g (f (x2 ))=) f (g (f (x1 ))) >f (g (f (x2 )))
R3.3 ♥ B Detto T> 0ilperiododi h(x),percui h(x + T )= h(x),abbiamo: f 1 (g (h(x + T )))= f 1 (g (h(x))).
A Scegliendo f (x)= x, g (x)=0, h(x)=cos x,abbiamo: h(g (f 1 (x)))=cos0=1, costante,quindinonstrettamentecrescente.
C Scegliendo f (x)= x, g (x)= x2 , h(x)=cos x,abbiamo: g (f 1 (h(x)))=cos2 x, chenon`edispari.
D Scegliendo f (x)= x, g (x)= x2 , h(x)=cos x,abbiamo: h(g (f (x)))=cos x 2 , chenon`ecostante.
R3.4 ♥ B f (x)`eperiodicaconperiodo1.Infatti f (x +1)=[x +1] x 1=[x]+1 x 1=[x] x = f (x).
A C f (x)non`ecostante,n´ecrescente,perch´e f (0)=0, f
D f (x)non`epari,perch´e
R3.5 ♥ A Se T `eilperiododi g (x),perogni x 2 R abbiamo f (g (x + T ))= f (g (x)).
B Scegliendo g (x)=sen x e h(x)=arctan x,abbiamo (g ◦ h)(x)=sen(arctan x)= x p1+ x2
chenon`eperiodicaperch´esiannullasoloper x =0.
C Scegliendo k (x) ⌘ 1, h(x)= x,otteniamo(k ◦ h)(x) ⌘ 1,chenon`e dispari.
D Scegliendo f (x)= x, g (x)= cos x, h(x)= x, k (x) ⌘ 1,otteniamo (f ◦ g ◦ h ◦ k )(x) ⌘ 1,chenon`estrettamentecrescente.
R3.6 ♥ D Cfr.lealtrerisposte.
A Otteniamouncontroesempioprendendo f (x)= x2 , g (x)= x, h(x)= ex . Lafunzione(f ◦ g ◦ h)(x)= e2x non`epari,perch´e e 2x < 1 <e2x per x> 0.
B Stessocontroesempiodellarisposta A .Lafunzione e2x `epositiva, quindinon`edispari.
C Otteniamouncontroesempioprendendo f (x)= x2 , g (x)= x, h(x)= x Lafunzione(f ◦ g ◦ h)(x)= x2 non`ecrescente.
R3.7 ♥ C Lamoltiplicazioneperunnumeropositivoconservaledisuguaglianze, quindise f (x) > 0, g (x) > 0inunintervallo I possiamoscrivere x1 <x2 =) f (x1 ) <f (x2 )=) f (x1 )g (x1 ) <f (x2 )g (x1 ), x1 <x2 =) g (x1 ) <g (x2 )=) g (x1 )f (x2 ) <g (x2 )f (x2 ).
Combinandoleultimedisuguaglianzedelleduerigheabbiamo x1 <x2 =) f (x1 )g (x1 ) <f (x2 )g (x1 ) <g (x2 )f (x2 ), percui f (x)g (x)`estrettamentecrescentein I
A Leduefunzioni f (x)= g (x)= x sonostrettamentecrescenti,mala funzione f (x)g (x)= x2 nonlo`e.
B Leduefunzioni f (x)= g (x)= x sonostrettamentecrescenti,mala funzione f (x) g (x)=0nonlo`e.
D Leduefunzioni f (x)= g (x)= x sonostrettamentecrescenti,mala funzione f (x)g (x)= x2 nonlo`ein R ,incuileduefunzionisononegative.
R3.8 ♥ A Posto g (x)=cos(sen( x))),abbiamo:
g (x)=cos(sen( x)))=cos( sen(x))=cos(sen(x))= g ( x) quindi g (x)`epari.
Ognifunzioneottenutacomponendocon g (x)`easuavoltapari,quindianche f (x)=sen(cos(sen(g (x))))`epari.
B D Se f (x)fossedisparisiannullerebbein0,ma f (0)=sen(cos(sen(cos(sen( 0)))))= =sen(cos(sen(cos(0))))=sen(cos(sen(1))) =0
R3.9 ♥ A Lafunzione sen x cos(x +1)`elasommadiduefunzioniperiodiche aventilostessoperiodo2⇡ ,quindi`easuavolta2⇡ -periodica.
B Se f (x)=( sen x + cos x)e x fosse T -periodica,con T> 0,esisterebbe unasuccessione nT> 0taleche f (nT )= f (0)=1.Perogni x 2 R abbiamo (sen x +cos x)e x 2e x .
Essendo e1 = e> 2perlastrettamonotoniadi ex possiamoscrivere x> 1=) ex >e1 > 2=) e x = 1 ex < 1 2 =) 2e x < 1
Questocomportacheperogni nT> 1siha f (nT )=(sen nT +cos nT )e nT 2e nT < 1= f (0).
Diconseguenza f (x)non`eperiodica.
C Abbiamo f ⇣ ⇡ 2 ⌘ = e ⇡ 2 .Se f (x)fosse T -periodica,con T> 0,esisterebbe unasuccessione nT taleche f ⇣ ⇡ 2 nT ⌘ = f ⇣ ⇡ 2 ⌘ = e ⇡ 2 .Perlastrettamonotonia di ex possiamoscrivere x< ⇡ 2 =) f (x)= ex sen x ex <e ⇡ 2 = f ⇣ ⇡ 2 ⌘ , quindi f (x)non`eperiodica.
D Unafunzione f (x)`e T -periodicaseesolose f ( x)`easuavolta T -periodica.Abbiamo f ( x)= e ( x) sen ( x)= ex sen (x)chenon`eperiodica perquantoespostoalpunto C .Quindianche e x sen x non`eperiodica.
R3.10 ♥ D Lasommadiduefunzionistrettamentecrescenti`ecrescente: x1 <x2 =) f (x1 ) <f (x2 ),g (x1 ) <g (x2 )=) f (x1 )+ g (x1 ) <f (x2 )+ g (x2 )
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Marco Sabatini
400 test di Analisi matematica 1 discussi
e risolti
Inquadra e scopri i contenuti
Questa raccolta di test prepara a sostenere l’esame di Analisi matematica 1. Propone per ogni argomento una serie di domande a risposta multipla, seguita dalla discussione delle soluzioni: oltre a presentare la risposta corretta, sono esaminate anche le altre risposte, con esempi e controesempi utili a chiarire perché sono errate. L’obiettivo è insegnare a evitare gli errori tipici di chi affronta la materia per la prima volta, a distinguere tra argomenti simili quello corretto, a individuare tranelli nascosti in argomentazioni apparentemente rigorose. Anche per questo motivo, i test non sono ordinati per difficoltà crescente.
Inoltre dal sito del libro è possibile accedere a 120 esercizi in formato interattivo, trasversali agli
argomenti e organizzati in 10 simulazioni di compiti di esame. Gli argomenti del volume, divisi in dodici capitoli, sono:
1. Successioni
2. Funzioni, campo di esistenza
3. Funzioni, proprietà elementari
4. Funzioni, limiti e continuità
5. Derivate e monotonia
6. Convessità, massimi e minimi
7. Simboli di Landau e formula di Taylor
8. Integrali
9. Integrali generalizzati
10. Serie numeriche
11. Equazioni differenziali
12. Numeri complessi.
Marco Sabatini è professore di Analisi matematica presso l’Università di Trento. La sua attività di ricerca è indirizzata principalmente allo studio delle proprietà qualitative delle equazioni differenziali ordinarie. Il suo sito è: sabatini.maths.unitn.it
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