6.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos
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Tomando el límite cuando el grosor ¢x : 0 se obtiene la integral del volumen V = =
L0
3
L0
3
2psx + 1ds3x - x 2 d dx 2ps3x 2 + 3x - x 3 - x 2 d dx
L0
= 2p
3
s2x 2 + 3x - x 3 d dx 3
3 2 1 = 2p c x 3 + x 2 - x 4 d 3 2 4 0 =
45p . 2
A continuación generalizaremos el procedimiento utilizado en el ejemplo 1.
Método de los casquillos Suponga que la región acotada por la gráfica de una función continua no negativa y = f (x) y el eje x en el intervalo finito cerrado [a, b] se encuentra a la derecha de la recta vertical x = L (figura 6.20a). Daremos por sentado que a Ú L , por lo que la recta vertical podría tocar la región, pero no atravesarla. Generamos un sólido, S, al hacer girar esta región alrededor de la recta vertical L. Eje de rotación vertical Eje de rotación vertical
y ! f (x)
y ! f (x)
ck
a a x!L
xk"1
ck
xk
b
x
(a)
x k"1
b ∆ xk (b)
xk
Altura del rectángulo ! f (ck ) x
FIGURA 6.20 Cuando la región que se muestra en (a) se hace girar alrededor de la recta vertical x = L, se produce un sólido que puede rebanarse en casquillos cilíndricos. Un casquillo típico se muestra en (b).
Sea P una partición del intervalo [a, b], dada por los puntos a = x0 6 x1 6 Á 6 xn = b, y sea ck el punto medio del k–ésimo subintervalo [xk - 1, xk]. La región de la figura 6.20a se aproxima por medio de rectángulos con base en esta partición de [a, b]. Un rectángulo de aproximación típico tiene una altura ƒ sck d y un ancho ¢xk = xk - xk - 1 . Si este rectángulo se hace girar alrededor de la recta vertical x = L, genera un casquillo, como se muestra en la figura 6.20b. Una fórmula geométrica nos indica que el volumen del casquillo obtenido a partir del rectángulo es ¢Vk = 2p * radio promedio del casquillo * altura del casquillo * grosor = 2p # sck - Ld # ƒ sck d # ¢xk .