Ejercicio de Función de Segundo Grado

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Universidad Nacional AutĂłnoma de Honduras Centro Universitario Regional de Occidente Departamento de MatemĂĄtico Santa Rosa de CopĂĄn, Honduras, C.A.

FunciĂłn CuadrĂĄtica Ejercicio NÂş 1: de la forma đ?’‡ đ?’™ = đ?’‚đ?’™đ?&#x;? + đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ Trace la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 y determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • • • • • • • • • • •

Dominio de đ?‘“ đ?‘Ľ : Rango de đ?‘“ đ?‘Ľ : Concavidad de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ : Cuadrantales de đ?‘“ đ?‘Ľ : a) Intersecto con el eje đ?‘Ľ b) Intersecto con el eje đ?‘Ś Corrimiento: c) Vertical d) Horizontal VĂŠrtice en el punto: (â„Ž, đ?‘˜) Tabla numĂŠrica. (Sugerencia: como mĂ­nimo 5 pares ordenados antes del vĂŠrtice y 5 pares ordenados despuĂŠs del vĂŠrtice) Eje de simetrĂ­a x = h Intervalo donde la funciĂłn es creciente Intervalo donde la funciĂłn es decreciente Punto mĂĄximo o punto mĂ­nimo

1. El Dominio de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ Para determinar el dominio de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4, debemos recordar la definiciĂłn: 1. Si la expresiĂłn es un polinomio 2. Si la expresiĂłn tiene un denominador 3. Si la expresiĂłn tiene un radical Como la expresiĂłn es un polinomio la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ son todos los reales.

∴ El dominio de la funciĂłn đ?‘“

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đ?‘Ľ son todos los Reales.

2. El rango de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ Para determinar el rango de la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4, debemos observar el punto mĂĄximo o mĂ­nimo del grĂĄfico. Dicho punto lo obtendremos en: đ?’š = đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4

đ?&#x;’đ?’‚đ?’„>đ?’ƒđ?&#x;? đ?&#x;’đ?’‚

Si: đ?‘Ž = −4 đ?‘? = −15 đ?‘?=4 Entonces

đ?‘Ś=

BCD>E F BC

4 −4 4 − 15 đ?‘Ś= 4 −4 đ?‘Ś=

-

289 16

∴ El rango de la funciĂłn đ?‘“

đ?‘Ľ es: −∞,

-LM NO

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3. La concavidad de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ La concavidad de đ?‘“(đ?‘Ľ) es: đ?‘†đ?‘– đ?‘Ž > 0 đ??żđ?‘Ž đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘Žđ?‘Łđ?‘Ž â„Žđ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž đ?‘†đ?‘– đ?‘Ž < 0 đ??żđ?‘Ž đ?‘“đ?‘˘đ?‘›đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘Žđ?‘Łđ?‘Ž â„Žđ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘?đ?‘Žđ?‘—đ?‘œ Si observamos la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 vamos a poder determinar el valor de đ?‘Ž = −4 ∴ Como đ?‘Ž = −4 y đ?‘Ž < 0 la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ es cĂłncava hacia abajo Nota: Ver grĂĄfico

4. Cuadrantales de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ a. Intersecto con el eje đ?‘Ľ cuando đ?‘Ś = 0

⊼� �=0

đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 đ?‘Ś = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 0 = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 (Sugerencia: Lo podemos resolver por tanteo especial o la fĂłrmula cuadrĂĄtica)

∴El intersecto con el eje đ?‘Ľ es: ⊼ đ?‘ĽN = (−4, 0) 1 ⊼ đ?‘Ľ- = a , 0b 4

Nota: Ver grĂĄfico

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b. Intersecto con el eje đ?‘Ś cuando đ?‘Ľ = 0

⊼� �=0

đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 (Sugerencia: Sustituir el valor de la đ?‘Ľ = 0 en la funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ ) đ?‘“ 0 = −4 0 đ?‘“ 0 =4

-

− 15 0 + 4

∴El intersecto con el eje đ?‘Ś es: ⊼ đ?‘Ś = 0, 4

Nota: Ver grĂĄfico

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5. VĂŠrtice de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ en el punto (đ?’‰, đ?’Œ) đ?‘“ đ?‘Ľ = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 Si: đ?‘Ž = −4 đ?‘? = −15 đ?‘?=4 Entonces: −đ?‘? â„Ž= 2đ?‘Ž −(−15) â„Ž= 2(−4) 15 â„Ž=− 8

đ?‘˜=

BCD>E F BC

4 −4 4 − 15 đ?‘˜= 4 −4 289 đ?‘˜= 16

-

∴El vĂŠrtice de la funciĂłn es: đ?‘‰đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘’ =

−

Ng -LM L

,

NM

Nota: Ver grĂĄfico

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6. Corrimiento de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ •

Corrimiento: a) Corrimiento Vertical: La grĂĄfica se corriĂł arriba.

-LM NO

unidades hacia

Corrimiento Vertical en 289 đ?‘Ś= 16

b) Corrimiento Horizontal: La grĂĄfica se corriĂł izquierda.

Corrimiento Horizontal en 15 đ?‘Ľ=− 8

NL g

unidades hacia la

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7. Tabla numĂŠrica de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ (Sugerencia: como mĂ­nimo 5 pares ordenados antes del vĂŠrtice y 5 pares ordenados despuĂŠs del vĂŠrtice) đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 9 9 9 đ?‘“ a− b = −4 a− b − 15 a− b + 4 2 2 2 9 19 đ?‘“ a− b = − 2 2 đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 đ?‘“(−1) = −4(−1)- − 15(−1) + 4 đ?‘“(−1) = 15

đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 1 1 1 đ?‘“ a− b = −4 a− b − 15 a− b + 4 2 2 2 11 đ?‘“ (−1) = 2 đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −4đ?‘Ľ - − 15đ?‘Ľ + 4 1 1 1 đ?‘“ a b = −4 a b − 15 a b + 4 2 2 2 5

8. Eje de simetrĂ­a de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ en đ?’™ = đ?’‰ Calcularemos el valor de đ?’‰ −đ?‘? 2đ?‘Ž −(−15) â„Ž= 2(−4) 15 â„Ž=− 8 â„Ž=

∴El eje de simetrĂ­a

de la funciĂłn es: Ng đ?‘Ľ=− L Eje de simetrĂ­a đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’™=− đ?&#x;–

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9. Intervalo donde la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ es creciente: đ?&#x;?đ?&#x;“ −∞, − đ?&#x;–

10. Intervalo donde la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ es decreciente: đ?&#x;?đ?&#x;“ − , +∞ đ?&#x;–

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11. Punto mĂĄximo de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ es: đ?‘ˇđ?‘´ = đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;— − , đ?&#x;–

đ?&#x;?đ?&#x;”

12. Transformar la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’ en la forma canĂłnica đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ž đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? - + đ?‘˜ Forma canĂłnica đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ž đ?‘Ľ − â„Ž - + đ?‘˜ Forma canĂłnica â„Ž=− â„Ž=− đ?‘˜=

đ?‘? đ?‘š 15 8

289 16

đ?‘Ž = −4

-

15 289 đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −4 nđ?‘Ľ − a− bo + 8 16 15 - 289 đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −4 ađ?‘Ľ + b + 8 16 289 đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −4(8đ?‘Ľ + 15)- + 16

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13. Trazo de la funciĂłn đ?’‡ đ?’™ = −đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;’

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